fundamentos matematicos

ESCUELA:

NOMBRES:

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

FECHA:

Ciencias de la Computación

Ing. Ricardo Blacio

ABRIL - AGOSTO 2010

1

4. Funciones polinomiales y racionales

Una función polinomial tiene la forma:

Si el coeficiente se dice entonces que la función polinomial es de grado n, el número se denomina coeficiente principal del polinomio.

Generalmente, a medida que el grado aumenta, la gráfica es más complicada.

011

1 ....)( axaxaxaxf nn

nn

0na

na

Se puede obtener una gráfica totalmente precisa utilizando el procedimiento sugerido a continuación:

1.Calcule (x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría.2.Calcule el intersecto (0) en y. 3.Factorice el polinomio. 4.Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación (x) 0.5.Trace una recta numérica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde (x) 0 y donde (x) 0.6.Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario.

En los casos en los que (x) son positivos ((x)0), la gráfica de la función está por encima del eje x.

La gráfica de la función esta por debajo del eje x, en aquellos intervalos donde los valores de (x) son

negativos ((x) 0).

5

Funciones racionales Las funciones racionales se definen en términos de cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una función racional sí:

g(x), h(x) son polinomios; el dominio de F es el conjunto de todos los números reales tales que h(x) 0. Las funciones racionales son continuas para todo valor de x, con excepción de aquellos para los que el denominador h(x) es cero.

0)()(

)()( xh

xh

xgxF

Asíntotas

Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica, se llaman asíntotas.

Asíntotas verticales Se dice que una recta x a es una asíntota vertical para la gráfica de una función sí.

axoaxquemedidaaxf

óaxoaxquemedidaaxf

)(

)(

Asíntotas horizontales

Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma:

Teoremas:1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal.2.- Sí m =n, la recta y=am/bn es una asíntota horizontal.3.- Sí m > n, no hay asíntotas.

bxbxbaxaxa

n

n

m

mxF01

01

.......

.......)(

0, ba nm

Gráfica de funciones racionales

Si F(x)= g(x)/h(x) donde g(x) y h(x) son polinomios se debe seguir las siguientes pautas:1.Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 0.2.Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x)=0.3.Encontrar las intersecciones con y, obteniendo F(0), trazamos la intersección (0,F(0)).4.Aplicar teorema de asíntotas horizontales y=c.5.Si existen asíntotas horizontales determinar si corta la gráfica con f(x) = c.6.Trazar la gráfica en cada región.

1. Intersección con x hacer y = 0

Ejercicios. Trace la gráfica de f

2)1(

2)(

x

xfa.-

0 = - 2 No hay intersección con x

2. Asíntota vertical

x + 1 = 0

x = - 1

3. Intersección con y hacer x = 0

2)1(

2)(

x

xf2)10(

2

1

2 = - 2

10

4. Asíntota horizontal

2)1(

2)(

x

xf1

1 < 2 Entonces el eje x es la asíntota horizontal

Teorema 1

5. No aplica Este paso se da cuando se tiene el teorema 2 en el paso anterior.

6. Trazar la gráfica x y

1 -1/2

2 -2/9

3 -1/8

-2 -2

-3 -1/2

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

Intersección con y


2

2

16

3)(

x

xxf

b.-

0 = 3x2


16 – x2 = 0


= 0

x = 0

– x2 = - 16 x2 = 16 x = ± 4

2

2

16

3)(

x

xxf

2

2

)0(16

)0(3


2 = 2 La recta y=am/bn es la asíntota horizontal

Teorema 2

5. Determinar si la asíntota horizontal corta la gráfica

2

2

16

3)(

x

xxf

y=3 /-1 y= -3

316

32

2

xx f(x) = c

3x2 = - 48 + 3x2

0 = - 48 La gráfica no cruza la asíntota horizontal y = -3 porque f(x) = - 3 no tiene solución real.

14

6. Trazar la gráfica

x y

1 1/5

2 1

3 27/7

--- ---

--- ---

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

Intersección con x, y

15

xx

xxxxf

2

82)(

2

23

)2(

)82()(

2

xx

xxxxf 2

82)(

2

x

xxxf

x2 - 2x – 8 = 0 (x - 4) (x + 2) = 0 x = 4

x = - 2

- x + 2= 0 - x = - 2 x = 2

)0(2)0(

)0(8)0(2)0()0(

2

23

f2

8 = - 4

c.-




16

2

82)(

2

x

xxxf

12 > 1


No hay asíntota horizontal

Teorema 3

5. No aplica

6. Asíntota oblicua

Una función racional tiene una asíntota oblicua cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.2

82)(

2

x

xxxf

1

17

x2 - 2x – 8 - x + 2- x2 + 2x

- 8- x

Uno de los métodos más usados es la división sintética para hallar la ecuación de la asíntota oblicua.

Este cociente es la ecuación de la asíntota.

y = - xx y

0 0

1 -1

2 -2

-1 1

-2 2

--- ---

18

Asíntota vertical

Intersección con y

Asíntota oblicua

Intersección con x

6. Trazar la gráfica

Ing. Ricardo Blacio

Docente – UTPL

Correo electrónico: [email protected]

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mailto:[email protected]

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