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Função real de variável real 2020
Elaborado por: A. A. E. M 1
Definição (função real de variável real)
Seja X e Y conjuntos de números reias. Uma função real F de variável real x de X em
Y, e uma correspondência unívoca que associa a cada número x em X exatamente um
número y de Y. BAf : yfx x .
Nota:
Se uma função está reduzida na forma
xfy , diz – se que está na forma
esplícita;
Se uma função não está resolvida em ordem a qualquer das variaveis,
0, yxf , diz – se que está na forma implícita.
Classificação de Funções:
As funções dividem – se em duas categorias:
1- Algébricas
2- Não algébricas ou trascendentes
Função algébrica
É a função em cuja expressão analítica apenas figuram operações elementares
(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação), em números
finitos.
Em cada tema tem exercício resolvido e exercícios
propostos.
Os estudantes devem resolver os exercícios propostos a
partir da próxima semana até dia10/05 /2020.
E devem enviar as resoluções dos exercícios na semana
de 11 à 15 /05/2020.
Att: prof. Altino Matias
Função real de variável real 2020
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Não algébricas ou trascendentes
É a função em cuja a expressão analítica figuram operações exponenciais,
logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas ou elemntares em número infinito
As funções algébricas podem ser: Racionais e irracionais
As Funções algébricas racionais subdividem –se em duas:
Funções algébricas racionais polinomiais ou inteiras.
Ex: cxbxaxf nn
x 1
Funções algébricas racionais faccionárias. Ex:
zbxax
bxbxaxf
pp
nn
x
1
1
As funções algébricas irracionais podem ser de índice par e impar.
DOMÍNIO
Chama – se domínio de uma função real de variável real, ao conjunto de valores que
se podem atribuir a variável independente xf de modo que resulte para a variável
dependente y; valores somente reais.
Para determinar o domínio das funções algébricas deve – se efetuar as simplificações
seguintes e reduções, seguidamente a sua classificação.
O domínio para funções algébricas polinomiais ou inteiras:
,:RxDf
O domínio para funções algébricas fraccionárias:
0:, xDRxDxD
xPf fx
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O domínio de funções irracionais de índice par (n é par):
0: xfRxDxfy fn
O domínio de funções irracionais de índice impar ( n é ímpar):
0: xfRxDxfy fn Exemplo:
DOMÍNIO DE FUNÇÕES NÃO ALGEBRICAS OU TESCENDENTE
Função exponencial ( xfay )
Sendo o expoente uma função algebrica, o domínio determina – se
aplicando ao expoente as regras das funções algébrias;
Função logarítmica ( )log xfy
O domínio para as funções logarítmicas é constituido pelos valores para
os quais 0xf
Nota: só existe logaritmos de numeros positivos
Funções circulares directas
Funções da forma ( xyesenxy cos )
O dominio para estas funçoes sera R; isto é RD f
Nota: Sendo, ,cos xfyxsenfy o domínio depende do tipo da
função xf
Funções da forma ( xyetagxy sec )
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O dominio para estas funções será:
2
2:
kxRxD f , no
intervalo )2,0(
Funções da forma ( xyeagxy seccoscot )
O dominio para estas funções será: RkkxRxD f ,: ,
Determina o domínio das seguintes funções:
a) 1xy b) 13 xy
Resolução
0: xRxD f
aRxD
IRAFx
y
xy
xyb
f :
...3
1
13
013)
FRAFx
y
xya
...1
01)
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Exercícios
1- De acordo as funções abaixo, simplifique-as caso passível, classifique-as e indica o
domínio de cada uma delas
a) 12 xy
b) 12 xy
c) 3
13
3
x
xy
d) e) 2
1
x
xy
e) 13 23 xxyyxyx
f) xxyyx 3501,0 32
VALOR NUMÉRICO DE UMA FUNÇÃO
Chamamos de valor numérico de uma função o valor que a variável xfy assume
quando atribuindo a x um determinado valor.
Exemplo:
Considere os conjuntos 5,3,1,12,1,0,1 BeA e a função BAf : definida por
.12 xxf Vejamos quais valores xfy assume:
111211 fx
110200 fx
311211 fx
512222 fx
Exercicios
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1- Sendo 232 xxxf definida de R em R, determine:
a) 0f c) 1f e)
3
2f g) 2f + 2f
b) 2f d) 2f f) 3,0f
FUNÇÕES PARES E IMPARES
Função par
A função y = f(x) é par, quando ∀x∈D(f), f(-x) = f(x), ou seja, para todo elemento do
seu domínio, f(x) = f (- x). Portanto, numa função par, elementos simétricos possuem a
mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das
funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.
Se (a,b)∈f ⇒ (-a,b)∈f.
Exemplo: y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Pois, f(2) = 24 + 1 =
17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
Função ímpar
A função y = f(x) é ímpar, quando ∀x∈D(f), f(-x) = - f(x), ou seja, para todo elemento do
seu domínio, f(-x) = - f(x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem
imagens simétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das
funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema
de eixos cartesianos. Se (a,b)∈f ⇒ (-a,-b)∈f.
Exemplo: y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.
Função sem paridade
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Se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade. O
gráfico, abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é
simétrica em relação ao eixo dos y e, não é simétrica em relação à origem
Exercícios Resolvidos
Para a resolução dos exercícios abaixo procederemos da seguinte forma: Primeiro
verificaremos se a função é par depois se ela é impar e por fim se ela não tem
paridade.
1 – Determine a paridade das funções abaixo:
a) f(x) = 2x + 3
Solução: f(-1) = 2.(-1) + 3 = 1; f(1) = 2.1 + 3 = 5 e –f(1) = -5.Como f(x) ≠ f(-x)ef(-x) ≠ -
f(x) então a função não é par nem ímpar.
b) g(x) = x2
Solução: f(-1) = (-1)2 = 1; f(1) = 12 = 1.Como f(x) = f(-x)então a função é par.
Exemplo
y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x.
Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
O gráfico abaixo, é de uma função par.
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Exemplo
y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.
O gráfico abaixo é de uma função ímpar:
Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.
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Exemplo:
O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é
simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.
FUNÇÕES COMPOSTAS
Definição
De um modo geral, dadas as funções f = f(x) e g = g(x) , a função composta h = g o f é
definida por
h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)).
Repare que esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio
de f. Consequentemente, o domínio de f o g é o conjunto dos valores de x no domínio
de g , tal que g(x) está no domínio de f. Veja o desenho abaixo.
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Exemplo 1
Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos:
a) g o f
(g o f)(x) = g(f(x))
g(x) = x² + 5
g(4x) = (4x)² + 5
g(4x) = 16x² + 5
(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5
Exercicios
1. Dada as funções 112 xxgexxxf , calcule:
a) xfog
b) xgof
c) 2
1
fg
gf
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Função inversa
Sendo BAf : uma função bijectora, dizemos que ABf :1 é função inversa de f
se, e somente se, para todo .,,, 1 fxyfyx
Regra prática para determinação da função inversa
Para obter a função inversa de uma função xf , basta reescrever f trocando de lugar
as variáveis x e y e expressar y em função de x.
Exemplo:
Determine a inversa da função: 12 xy .
Resolução
Trocando x por y e y por x, temos: 2
11212
xyxyyx
Então a inversa de 2
112
xyexy
Os gráficos de uma função e de sua inversa são simétricos em relação à bissetriz dos
quadrantes ímpares ( 1º e 3º ) do plano cartesiano.
Exercicios
1. Dadas as funções 3
1223
xxgexxf , determine:
a) xf 1 b) xg 1 c) 211 gf
2. Sendo 42
1
x
xxf , determine:
a) xf 1 b) ,fD c) xf 1Im d) xfD 1 e e) xfIm
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