fyzika plazmatu - home.zcu.czhome.zcu.cz/~ptacnik0/res/phd/prednasky.pdf · vysokoteplotní chemie...
TRANSCRIPT
Fyzika plazmatu
Přednášející: Prof. RNDr. Jaroslav Vlček, CSc.
Fyzika plazmatu
1. Úvod (výskyt plazmatu na Zemi a ve vesmíru, význam fyziky plazmatu pro rozvoj plazmových
technologií) 2. Elementární procesy v plazmatu 2.1. Základní částice plazmatu (základní charakteristika, vnitřní struktura atomů a molekul, excitované stavy
a jejich popis) 2.2. Srážkové procesy 2.2.1. Základní charakteristiky srážek (účinný průřez, rychlost procesu, srážková frekvence, střední volná
dráha, obecná formule pro rychlost procesu a její zjednodušení) 2.2.2. Přenos energie při binárních srážkách (pružné a nepružné srážky) 2.2.3. Srážky nabitých částic (účinný průřez pro přenos hybnosti) 2.2.4. Nepružné srážky (nepružné srážky elektron-těžká částice, účinné průřezy, nepružné srážky těžkých
částic) 2.3. Záření plazmatu 2.3.1. Popis radiačních procesů (spektrální hustota toku záření, diferenciální rychlost procesu mezi fotony a
látkovými částicemi) 2.3.2. Základní typy interakce foton-látková částice (čárové a spojité spektrum, fotoexcitace, Einsteinovy
koeficienty, fotoionizace) 2.3.3. Rozšíření spektrálních čar (přirozené rozšíření čar, rozšíření tlakem, starkovské a dopplerovské
rozšíření, využití v diagnostice plazmatu) 2.3.4. Opticky tenké a tlusté plazma (charakteristika, optické únikové faktory) 2.4. Vztahy platné v termodynamické rovnováze (Boltzmannův vztah, Sahova rovnice, využití v diagnostice
plazmatu, Maxwellovo rozdělení, Planckův zákon, lokální termodynamická rovnováha, princip detailní rovnováhy a jeho aplikace)
3. Rozdělovací funkce částic a zákony zachování 3.1. Boltzmanova rovnice (formulace, srážkový člen) 3.2. Zákony zachování (obecná formule pro rovnici kontinuity, zákon zachování energie, rovnice pro energii
elektronů v neizotermickém plazmatu, rovnice pro rozložení teplot ve stacionárním DC výboji, rovnice kontinuity pro elektrony, tok elektronů ve výboji, rovnice pro difúzi, difúze v cylindrickém systému, ambipolární difúze)
3.3. Srážkově-radiační model atomárního plazmatu (výchozí rovnice a jejich zjednodušení, uvažované procesy a jejich rychlostní koeficienty, tvar bilančních rovnic a jejich řešení, interpretace výsledných vztahů)
4. Základní makroskopické charakteristiky plazmatu 4.1. Kvazineutralita plazmatu a Debyeův poloměr stínění (Poissonova rovnice a její řešení) 4.2. Oblast prostorového náboje na rozhraní plazma-pevná látka (potenciál plovoucí elektrody, tloušťka
vrstvy prostorového náboje) 4.3. Doba odezvy plazmatu a plazmová frekvence (rovnice pro oscilaci elektronů v plazmatu a její řešení,
souvislost plazmové frekvence z Debyeova poloměru) 4.4. Sondová diagnostika plazmatu (metoda jedné sondy, měřící obvod, Langmuirova teorie, plovoucí
potenciál a potenciál plazmatu, teoretické stanovení V-A charakteristiky, způsob stanovení teploty a koncentrace elektronů)
4.5. Šíření elektromagnetických vln v plazmatu (Maxwellova rovnice pro elmag. pole v plazmatu, rovnice pro E
r a , disperzní vztah, elmag vlnění v bezesrážkovém plazmatu, vliv srážek, způsob stanovení
koncentrace elektronů a střední frekvence srážek elektronů s těžkými částicemi) Jr
2004 Strana 1
Fyzika plazmatu
1.ÚvodVýskyt plazmatu na Zemi a ve vesmíruPlazma jako stav hmoty znám lidem od nepaměti: Empedoklés (430 př. n. l.): vše je tvořeno čtyřmi živly – země, voda, vzduch a oheň Crookes (r. 1879): prostředí vytvořené elektrickým výbojem je čtvrtým stavem hmoty Langmuir (r 1923): prostředí tvořené elektrony, několika druhy iontů a neutrálními atomy a molekulami
= plazma Výskyt plazmatu ve vesmíru: 99% hmoty ve vesmíru je v plazmatickém stavu (všechny hvězdy včetně Slunce jsou masami
vysokoteplotního plazmatu, mezihvězdný prostor a hvězdné mlhoviny jsou v plazmatickém stavu) ⇒ Crookes neměl pravdu: plazma není čtvrtým, ale prvním stavem hmoty Pozn.: Možný vznik života na Zemi – plazmochemickými reakcemi ve výbojích v atmosféře (bouře)
- výzkum ukázal, že za atmosférických podmínek lze jiskrovým a následným tichým výbojem ve směsi CH4, NH3, H2 a vodních par syntetizovat aminokyseliny, nukleové kyseliny a jiné organické sloučeniny (uvedená směs se mohla vyskytovat na Zemi v prvních fázích jejího vývoje)
Význam fyziky plazmatu pro rozvoj plazmových technologiíMimořádný význam plazmových technologií pro průmysl v USA, Japonsku a v zemích EU (mimořádné zisky a investice) 5 hlavních oblastí: (i) Úprava materiálů, zejména jejich povrchů, a změny látek v nízkotlakém plazmatu (LPP = low-pressure
plazma processing) Obvykle: doutnavé DC, RF a mikrovlnné výboje za tlaku ≤ 1Torr
- depozice tenkých vrstev požadovaných vlastností (tvrdé, otěruvzdorné, odolné proti korozi, optické vlastnosti, atd.), plazmové leptání – mikroelektronika, plazmové modifikace povrchů (např. difúze dusíku do oceli ⇒ vznik tvrdých nitridů Fe), preparativní chemie – syntéze O3, NH3, snížení obsahu SOx a NOx ve spalinách motorů, atd.
(ii) Úprava materiálů a změny látek ve vysokotlakém plazmatu (HPP = high-pressure plasma processing) Obvykle: obloukové výboje za atmosférického tlaku (často tryska do atmosféry) - metalurgie: svařování a řezání materiálu, zpracování šrotu, tavení rud, znovuzískání kovů z odpadu,
vysokoteplotní chemie – např. výroba acetylénu ze zemního plynu, detoxikace PCB, DDT a Dioxinu plazmovou pyrolýzou, plazmový nástřik nových materiálů (odolné keramické nebo kovokeramické vrstvy), atd.
(iii) Nové zdroje světla - lasery a vysoce účinné výbojové lampy (nízkotlaké: Na a Hg, vysokotlaké) (iv) Vypínače „vysokovýkonových“ obvodů (elektrárny) - okamžité přerušení elektrických obvodů při napětí až několik MV a proudech až stovky kA: plazma
obloukového výboje (v) Pulzní zdroje o velmi vysokém výkonu - opakované nahromadění obrovské energie kapacitní nebo induktivní vazbou, její rychlé jednorázové
přenesení - využití pro nukleární fúzi, intenzivní elektronové a iontové svazky k ovlivnění povrchů materiálů,
v medicíně, sterilizace jídla – elektronový svazek, iontová implantace, realizace některých unikátních chemických reakcí, rozklad NOx a SOx na výstupu tepelných elektráren
2. Elementární procesy v plazmatu2.1. základní částice plazmatu- v částečně ionizovaných plynech se vyskytuje 5 typů částic (i) Foton – nemá vnitřní strukturu, nabývá libovolných energií νε h= , h…Planckova konstanta ν…frekvence fotonu (ii) Elektron – nemá vnitřní strukturu, energie volného elektronu závisí jen na jeho translační rychlosti
2
21 vme=ε (nerelativistický případ)
(iii) Atom nebo molekula (v základním nebo excitovaném stavu) - elektronová excitace v atomu nebo v molekule (taková molekula je tvořena atomy, z nichž alespoň u
jednoho byl elektron vybuzen ze základního stavu) - molekula s vybuzenými vibračními stavy (vibrační energie odpovídá oscilacím jader atomů vzhledem
k rovnovážné poloze)
2004 Strana 2
Fyzika plazmatu
- molekula s vybuzenými rotačními stavy (rotační energie odpovídá otáčení molekuly kolem osy jdoucí jejím těžištěm)
Pozn.: Tzv. jednoelektronová excitace víceelektronových systému je mnohem pravděpodobnější, než dvouelektronová excitace (v jednom atomu vybuzeny současně 2 elektrony), atd.
(iv) Kladný iont (atomový nebo molekulární) - může být jednou i vícekrát ionizovaný (viz např. výskyt iontů Fe25+, Fe24+, atd. jako nečistot
v systémech pro termonukleární syntézu – vznikají intenzivním bombardováním stěn z nerezové oceli) - může být v základním nebo v excitovaném stavu (elektronová excitace atomárních i molekulárních
iontů, molekulární ionty s vybuzenými vibračními a rotačními stavy) (v) Záporný iont (atomový nebo molekulární) - vzniká zachycením elektronu některými atomy nebo molekulami (soustava energetických hladin je
tvořena pouze základní hladinou a hranicí kontinua – vzdálenost mezi nimi určuje tzv. elektronová afinita: dodání takové energie vede k uvolnění elektronu od atomu nebo molekuly)
Vnitřní struktura atomů (viz. cvič. 1-2) Zjednodušený energetický diagram atomu (vodíkovský model)
Platí: εij – excitační energie pro přechod elektronu i → j εi – ionizační energie pro i-tou energetickou hladinu gi – statistická váha i-té hladiny kontinuum – oblast nad ionizační energií zákl. hladiny ε1, kde již elektron není vázán v atomu; vzniká
volný elektron a iont, které mohou mít vůči sobě libovolnou energii v závislosti na vzájemné dodané kinetické energii ⇒ název „energetické“ kontinuum
Pozn.: V KM při stanovení energetického spektra je obvykle hranice kontinua, resp. hrana série, ztotožněna s nulovou energií, potom základní hladina má „nejzápornější“ hodnotu energie – elektron je v tomto případě nejsilněji vázán k jádru, tj. v atomu
Metastabilní stavy- vybuzený elektron v atomu, tj. vybuzený atom, spontánně přechází za typickou dobu 10-8s (viz. souvislost s E-koeficienty) do nižšího energetického stavu, při tom vyzáří foton - metastabilním stavem nazveme takový stav elektronu v atomu, ze kterého jsou optické přechody elektronu zakázány (viz. výběrová pravidla cvič. 1-2), a pravděpodobnost přechodu je tudíž velmi nízká ⇒ doba života takového stavu je 10-3s a více Pozn.: Metastabilní atomy ztrácejí svou energii srážkami s elektrony, s jinými atomy a molekulami nebo se
stěnami reakčních komor, jde o důležité „zdroje“ energie: význam nejen pro interakce v plazmatu, ale i pro interakci plazma-pevná látka (modifikace povrchů materiálů)
2004 Strana 3
Fyzika plazmatu
Některé údaje o struktuře atomůAtomové číslo Z
Element Atomová hmotnost
Excitační energie 1.excitované hladiny
ε12 (eV)
Ionizační energie zákl. stavu (tzv. první ioniz. potenciál)
ε1 (eV) 1 H 1.008 10.2 13.6 2 He 4.003 19.8 24.6 : 6 C 12.010 1.26 11.3 7 N 14.010 2.38 14.6 :
11 Na 23.0 2.10 5.14 :
18 Ar 39.94 11.6 15.8 :
26 Fe 55.85 0.859 7.90 :
80 Hg 200.6 4.67 10.4 Pozn.: Velikost excitační a ionizační energie Střední kinetická energie částic v plazmatu je definována vztahem:
kT23
=ε T …obecně tzv. kinetická teplota částic
- o teplotě částic lze (přesně vzato) hovořit pouze v termodynamické rovnováze, kdy jsou teploty všech částic stejné; mimo termodynamickou rovnováhu – což je typická situace pro téměř všechny výboje využívané v plazmových technologiích – je kinetická teplota elektronů Te ≥ Ta kinetická teplota atomů (často Te >> Ta v důsledku urychlení elektronů elektrickým polem) Míra energie částic je charakterizována faktorem:
[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]1119
23123
1160910602.11038.11038.1 −−
−
−−− =
××
=××= KeVKTKeVKTKTJKkT
…tj. částice musí mít teplotu 11609 K, aby faktor kT = 1eV ⇒ střední kin. energie jedné částice bude eV 5.1=ε : tato hodnota je výrazně nižší než ε12 a ε1 pro mnoho atomů (viz zejména vodík a inertní
plyny), přesto dochází k jejich excitaci a ionizaci srážkami s částicemi z chvostu jejich rozdělení podle rychlosti, resp. energie
- v případě doutnavých výbojů za nízkých tlaků (p ≅ 10-3 ÷ Torr) je plazma výrazně neizotermické: Te ≅ 10 000 ÷ 50 000K >> Ta ≅ 300 ÷ 350K - v případě obloukových výbojů za atmosférického tlaku (p = 760 Torr) je plazma kvaziizotermické: Te ≥ Ta = 2 000 ÷ 20 000K Vnitřní struktura molekul- významnou roli v teorii molekul sehrává fakt, že je mm << ⇒ je vv >> mj…hmotnost jader atomů tvořících molekulu ve…rychlost pohybu elektronů v molekule vj…rychlost pohybu jader ⇒ je uplatněn následující postup:
jádra jsou považována za zcela nehybná pro různou vzdálenost jader v molekule jsou stanoveny možné hodnoty celkové energie elektronů
v molekule, tzv. elektronové termy (elektronově excitované stavy) - případ atomů: energetické hladiny elektronů jsou charakterizovány množinou hodnot energie - případ molekul: elektronové termy jsou charakterizovány závislostí ( )rEE elel =
Eel – celková energie molekuly pro danou vzdálenost nehybných jader r = celková energie soustavy elektronů + energie elstat. působení jader mezi sebou
Pozn.: pro každou kombinaci excitovaných atomů tvořících molekulu (viz. např. atom v zákl. stavu + atom v zákl. stavu, resp. atom v zákl. stavu + atom v různých excitovaných stavech) dostáváme jinou závislost Eel = Eel (r) – viz diagram N2
Označení elektronově excitovaných stavů (termů) dvouatomové molekuly- v případě atomů byly excitované stavy charakterizovány hodnotou kvantového čísla L určujícího celkový orbitální moment hybnosti elektronů - v případě molekul jsou elektronově excitované stavy charakterizovány hodnotou kvantového čísla Λ určujícího průmět orbitálního momentu hybnosti elektronů do osy symetrie molekuly (spojnice obou jader)
2004 Strana 4
Fyzika plazmatu
Platí analogie: ATOM ↔ MOLEKULA kvantové číslo stav kvantové číslo stav
L=0 S Λ=0 Σ L=1 P Λ=1 Π L=2 D Λ=2 ∆
výše ležící stavy molekuly nejsou obvykle zkoumány
- násobnost elektronového termu molekuly je dána stejným vztahem jako v případě atomů: 2S+1, kde S - celkový spin všech elektronů v molekule
- označení elektronového termu molekuly: Λ+12S př.: Λ=1, S=1 ⇒ 3Π (tripletní term) Pozn.: Další symboly (+ nebo – v horním indexu Σ-termů, resp. g nebo u v dolním indexu všech termů
dvouatomové molekuly se stejnými atomy) souvisejí s geometrickou symetrií molekuly, která se projeví v symetrii vlnové funkce
Platí: [Laudan, Lifšic: Kvantovaja mechanika, Nauka, Moskva 1974] Σ+ - term popsaný vlnovou funkcí, která nezmění znaménko při odrazu v rovině jdoucí osou symetrie Σ- - term popsaný vlnovou funkcí, která změní znaménko při odrazu v rovině jdoucí osou symetrie
molekuly - odraz v rovině jdoucí osou symetrie nemůže vést k jiné energii molekuly V dolním indexu symbolu termu vystupuje: g – pokud nedojde ke změně znaménka vlnové funkce při změně znaménka souřadnic všech elektronů,
tzv. sudý term u – pokud dojde ke změně znaménka vlnové funkce při změně znaménka souřadnic všech elektronů, tzv.
lichý term - hamiltonián systému se nemůže změnit při změně znaménka souřadnic všech elektronů při konstantních souřadnicích jader, neboť dvouatomová molekula se stejnými atomy má střed symetrie (= počátek souřadného systému) Základní stav naprosté většiny dvouatomových molekul (chemicky stabilních):
+Σ1 , neboť S = 0 (celkový spin molekuly – celkově sudý počet elektronů) a vlnová funkce se nemění při odrazu
+Σg1 , když oba atomy jsou stejné (platí totéž), navíc: g – vlnová fce nezávisí na změně znaménka souřadnic elektronů)
Základní elektronový term molekuly H2, resp. N2, atd.
+Σu
3 - pro tripletní stav energie Eel monotónně klesá s růstem vzdálenosti r, což odpovídá odpuzování obou atomů, hovoříme o tzv. repulsivním stavu molekuly, ⇒ disociace molekuly (systém zaujímá stav s nejnižší energií)
+Σg1 - singletní elektronový term odpovídá vytvoření stabilní molekuly – viz. výrazné minimum pro rovnovážnou vzdálenost jader r = r0
Vibrační a rotační stavy (viz cvič. 3-4) - platnost vztahu me << mj dává možnost počítat celkovou energii molekuly (včetně vibračního a rotačního pohybu) ve dvou krocích
(i) nejprve stanovit celkovou energii soustavy elektronů pro nehybná jádra v závislosti na vzájemné vzdálenosti jader, tj. funkci Eel = Eel (r) pro různé elektronově excitované stavy (ii) potom pro daný elektronový stav započítat pohyb jader (vzájemná vibrace jader a rotace kolem osy jdoucí hmotným středem molekuly)
2004 Strana 5
Fyzika plazmatu
Platí: rotvibel EEEE ++= E…celková energie molekuly Eel…celková energie elektronů (včetně coulombické interakce jader) pro
rovnovážnou vzdálenost jader Evib…vibrační energie molekuly (je kvantována) Erot…rotační energie molekuly (je kvantována)
Platí: (viz cvič. 3-4) rotvibel EEE ∆>>∆>>∆ ∆Eel…interval mezi elektronově excitovanými stavy jedné molekuly
∆Evib…interval mezi vibračními stavy, které odpovídají danému elektronově excitovanému stavu
∆Erot…interval mezi rotačními stavy, které odpovídají danému elektronově excitovanému stavu
⇒ vibrační pohyb jader štěpí elektronové termy na poměrně blízko ležící hladiny, tyto hladiny jsou dále jemně rozštěpeny v důsledku rotačního pohybu molekuly Pozn. Metastabilní stavy- také v případě molekul vznikají excitované stavy s dlouhou dobou života (deexcitace je zakázána výběrovými pravidly), tzv. metastabilní stavy molekuly; vliv na průběh srážek v plazmatu, plazmochemických procesů a interakce plazma–pevná látka Excitace, ionizace a disociace molekul
Platí: - molekula s oběma atomy A v základním stavu, tj. jejich elektrony nejsou vybuzeny 2A
*2A - molekula tvořená jedním atomem v základním stavu A a jedním atomem v excitovaném stavu A*
+2A - molekulární iont tvořený jedním atomárním iontem v základním stavu A+ a jedním atomem
v základním stavu A disε - energie pro tepelnou disociaci molekuly, molekula se rozloží na atomy přes vibrační stavy
(disociační energii odpovídá vibrační kvantové číslo ∞→′v ) Křivka b : disociace molekuly A2 v důsledku její srážky s elektronem – excitace molekuly ze základního stavu na křivku Eel = Eel (r), která odpovídá nestabilnímu řešení, tj. vede k disociaci (pro molekulu je výhodné zaujmout stav s nejnižší energií)
ionε - ionizační energie molekuly (odpovídá energetickému rozdílu mezi stavy 0=′vKřivka a : ionizace molekuly v důsledku její srážky s elektronem, nezbytná energie nemusí být nutně rovna εion (posun minim)
Křivka c : excitace molekuly po srážce s elektronem
2004 Strana 6
Fyzika plazmatu
Tepelná disociace a disociace dopadem elektronuDISOCIAČNÍ ENERGIE (eV)
Molekula Tepelná Dopadem elektronu H2 4.476 8.8 N2 9.760 24.3 O2 5.080 7.0 NO 6.48 >10.0
Ionizační energie některých molekulMolekula Ionizační energie (eV)
H2 15.427 N2 15.576 O2 12.063
NO2 9.78 NH3 10.19 CH4 12.704
2004 Strana 7
Fyzika plazmatu
2.2. Srážkové procesy 2.2.1. Základní charakteristiky srážek Účinný průřez Svazek nalétávajících Terčová částice 2 částic 1
Platí: gn11 =Γ , kde n1 – objemová koncentrace nalétávajících částic g – relativní rychlost nalétávajících částic vzhledem k terčovým částicím Γ1 – intenzita svazku = plošná hustota toku dopadajících částic (počet
nalétávajících částic, které projdou za 1s jednotkovou plochou kolmou na směr svazku)
Platí:
( )1
12 Γ=
XgQtot , kde X je počet dopadajících částic, které se za 1s srazí s terčovou částicí
( )gQtot12 - celkový účinný průřez pro srážku nalétávající částice 1 s terčovou částicí 2
Pozn.: (i) rozměr účinného průřezu: , tj. účinný průřez je efektivní plocha „překážky“, kterou představuje terčová částice pro svazek nalétávajících částic – charakterizuje pravděpodobnost interakce
[ ] 213
1
12 mmsm
sQtot ==−−
−
(ii) celkový účinný průřez je atomovou veličinou, která závisí pouze: na typu interagujících částic – pro různé částice v různých stavech registrujeme odlišnou
pravděpodobnost různých procesů na jejich vzájemné rychlosti
Platí: ineleltot QQQ 121212 Σ+= elQ12 …účinný průřez pro pružnou srážku částic 1a 2 (nedochází ke změně vnitřní energie částic)
inelQ12Σ …suma účinných průřezů pro všechny nepružné srážky 1 a 2 (př. nepružné srážky – excitace částice 2: m→n, kde m charakterizuje jednotlivé energetické hladiny částice 2) → při definici jednotlivých „dílčích“ účinných průřezů je nutno příslušný proces charakterizovat v čitateli definičního výrazu
Diferenciální účinný průřez
Platí: ( )∫ Ω=
π
ϕχ4
1212 , dIQ …diferenciální účinný
průřez pro rozptyl částice 1 po srážce s částicí 2 do tělesového úhlu d )sin ϕχχ ddsin 22ϕχχ rdrdd =Ω=Ω (viz.
- za předpokladu azimutální symetrie lze provést integraci přes úhel πϕ 2,0∈ : Q ( )∫=π
χχχπ0
1212 sin2 dI
2004 Strana 8
Fyzika plazmatu
Účinný průřez pro přenos hybnosti Platí: gg
rr=′ , neboť při pružné
srážce se zachovává celková hybnost a celková kinetická energie
Platí (pro 1 částici): ( )χχ cos1cos 111 −=− gmgmgm
444 3444 21
pohybu) původního směr-(z částice
hybnostisložky ové-z pokles
Platí (pro n částic):
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ Ω−Γ=ΩΓ−
Ω
ππ
ϕχχϕχχ4
1211
4
1211 ,cos1,cos1 dIgmdIgm elel
321
444444 8444444 76
4434421
plochou) jedn. 1s zaprojdou které svazku,částic (hybnostčástic
chdopadající svazku vehybnosti toku hustota
1s začástic všechhybnostisložky ové-z zmenšení celkové
d úhlu íhoelementárndo rozptýleny srážkou
pružnou 1s za jsou kteréčástic, chdopadající počet
S ohledem na definici účinného průřezu lze psát: ( )( ) ( ) ( )∫ Ω−=
π
ϕχχ4
121
12 ,cos1 dIgQ el ..účinný průřez pro přenos hybnosti
Rychlost procesu Předpoklady:
(i) Pro jednoduchost zatím předpokládáme, že vzájemná rychlost všech interagujících částic je konstantní (nerealistický předpoklad – později opuštěn) (ii) Zvolíme jednu částici jako terčovou, ionizovaný plyn budeme považovat za superpozici
cích částic o nekonečně malé intenzitě dΓ
elementárních svazků nalétávají
latí: 1 gd P 1dn⋅=Γ
ustota toku chlosti) –
c, které mají týž směr
o sumaci přes všechny svazky:
Γících částic, které za 1s interagují s jednou terčovou částicí
Po vynásobení objemovou koncentrací terčových částic n2 dostáváme:
dΓ1…h částic ve svazku (mají týž směr rydiferenciální hustota toku nalétávajících částic dn1…objemová koncentrace nalétávajících částirychlosti P
121 Qgn - počet nalétávaj
1
122112 gQnnR = …celková rychlost procesu (celkový počet srážek mezi nalétávajícími a terčovými částicemi v jedn
Rychlostotce objemu za 1s)
vybraného procesu p:
( )ggQnnR pp122112 = Q12…účinný průřez pro p-tý proces
2004 Strana 9
Fyzika plazmatu
Srážková frekvence
( )ggQnn
R122
1
1212 ==ν Platí:
ν12…celková frekvence srážek = počet všech srážek jedné nalétávající částice za 1s se všemi terčovými částicemi
Pro jednotlivé procesy platí: ( )ggQn pp12212 =ν
Příklad frekvence srážek s přenosem hybnosti: ( )ggQn 1122
112 =ν
Platí: …celková frekv. srážek dopadajících částic s terčovými částicemi různého typu ∑∑ ==s
sss
s gQn 111 νν
Střední volná dráha
Platí: 1
11ν⋅= gl …kde l1 je střední volná dráha = střední dráha nalétávající částice mezi dvěma po sobě
jdoucími srážkami
1
1ν
…střední doba mezi dvěma srážkami nalétávající a terčové částice
Po dosazení: ∑∑
==
sss
sss QnQng
gl11
111
Pozn.: Jsou-li terčovými částicemi neutrální částice, p
l 1~1 , neboť (viz. Daltonův zákon) snp ~
Obecný výraz pro rychlost procesů - budeme uvažovat skutečné rozdělení částic podle rychlosti (viz. bod (i) výše) Platí:
( ) CdCfnWCd 3111
rrr−=Γ
…diferenciální hustota toku nalétávajících částic 1Γd
WCrr
− …okamžitá velikost rel. rychlosti nalétávající a terčové částice
Wr
...rychlost terčové částice ( ) CdCfndn 3
111
r= …objemová koncentrace částic ve svazku, které mají rychlost v
intervalu ( )CdCCrrr
+,
( ) CdCf 31
r…pravděpodobnost, že nalétávající částice má v daném čase v daném místě rychlost
v intervalu ( )CdCCrrr
+, Normovací podmínka pro rozdělovací funkci:
( ) 131 =∫
+∞
∞−
CdCfr
…celková pravděpodobnost výskytu částice 1 v rychlostním prostoru
Platí: ( ) ( ) ( )
( )
4434421
r
44444 344444 21
rrrrr
rrrWdWW
pp WdWfnWCQWCCdCfndR
+
−−=
,
32212
31112
intervalu v rychlost majíkteré objemu, jednotce v
částic terčových početčásticí terčovou jednou s 1s za interagují které
svazku, ímelementárn včástic chdopadající počet
…diferenciální rychlost procesu p = počet procesů za 1s v jednotce objemu mezi nalétávajícími částicemi s rychlostmi ( )CdCC
rrr+, a terčovými částicemi s rychlostmi ( )WdWW
rrr+,
Po integraci:
( ) ( ) ( )44444444 344444444 21
rrrrrr
integrál rychlostní tzv.
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
−−= WCddWCQWCWfCfnnR pp 3312212112
Pozn.: (i) Rychlostní integrál vyjadřuje střední hodnotu veličiny gQ12, která charakterizuje pravděpodobnost procesu
2004 Strana 10
Fyzika plazmatu
(ii) V případě procesů s prahovou energií (viz excitace, ionizace, atd.) je integrál nenulový pouze tam, kde 012 ≠
pQDůležitý případ z hlediska modelování výbojového plazmatu: Často platí: CW
rr<< , viz. srážky elektronů s těžkými částicemi (me<<mh.p.)
Potom lze psát:
( ) ( ) ( )CQCQWCQ
CCg
ppp121212 ==−
≡=rrr
rr
…tj. účinný průřez pro daný proces závisí pouze na rychlosti nalétávajících částic
Po dosazení:
( ) ( ) ( )∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
=
4434421
rr
podmínka) normovací (viz 1
WdWfCdCCQCfnnR pp 32
31212112
Dostáváme formuli pro rychlost procesu:
( ) ( )∫+∞
∞−
= CdCCQCfnnR pp 31212112
r, tj. rychlost procesu závisí na objemových koncentracích interagujících
částic, na účinném průřezu srážky a na rozdělovací funkci nalétávajících částic 2.2.2. Přenos energie při binárních srážkách (cvič. č. 6) (i) Pružné srážky (ii) nepružné srážky 2.2.3. Srážky nabitých částic Případ pružných srážek dvou nabitých částic: (i) Výhoda oproti popisu srážek nenabitých částic
- známe přesný výraz pro diferenciální účinný průřez pro rozptyl (Rutherfordova formule) – důsledek využití C-zákona:
( ) ( )
2sin
2,4
20
χχ bgI = , kde 2
12
0
2
00 4
2 gm
Ze
bbbtg πεχ
== ,
m12…redukovaná hmotnost obou částic b0…záměrná vzdálenost nalétávající částice pro její rozptyl pod úhlem 90° (χ = 90°, potom b = b0, viz tangens)
2χI(χ,g) je největší pro χ→0, kdy b >> b0 (viz. tg )
Pozn.:
Platí: 21
2112 mm
mmm+
= ; lze ukázat, že 2
2
12gm=ε je kinetická energie vzájemného pohybu obou částic; g je
vzájemná rychlost obou částic (ii) Problém vznikne při výpočtu účinného průřezu pro přenos hybnosti při takové srážce (důležitá veličina pro popis chování nabitých částic v plazmatu, zejména při stanovení jejich rozdělovacích funkcí podle energie)
Po dosazení do výchozí formule:
( ) ( ) ( )∫ −=π
χ χχχπ0 2
4
2
2112 sin
sincos12
0
dgQb
Platí: 22
22
22
22 sin2cos1sin21sincoscos χχχχ χχ =−⇒−=−=
2004 Strana 11
Fyzika plazmatu
Po dosazení:
( ) ( )
dtdt
dgQb
=⋅⇒=
= ∫χ
χπ
χχ
πχχ
χχ
21cossin
cossin2sin
sin22
22
022
24
2
22
2112
0
:substituce
Po dosazení:
( ) +∞→== ∫ 01ln414 2
0
1
0
20
112 bdt
tbgQ ππ , tj. integrál diverguje!!
Fyzikální objasnění:
Ř
P
P
P
VP
P
P
2
Divergence integrálu je způsobena silnou tendencí částic k rozptylu pod velmi malými úhly; efektivníplocha překážky, kterou představuje terčová částice pro svazek nalétávajících částic (viz fyzikální význam účinného průřezu), se jeví nekonečně velká, neboť díky coulombické interakci „na dlouhou vzdálenost“ (viz rU ) interagují s terčovou částicí současně prakticky všechny částice. pot 1~
ešení problému ozději bude ukázáno, že pole bodového náboje q je vždy v plazmatu stíněno náboji opačné polarity, lze psát:
( ) Drer
qr λ
πεϕ /2
04−= …potenciál ve vzdálenosti r od náboje q
21
20
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
enkT
e
eD
ελ …Debyeův poloměr stínění – charakterizuje rozměr oblasti, v níž je narušena
kvazineutralita Te…teplota elektronů ne…koncentrace elektronů
odmínka platnosti modelu (splněna prakticky vždy):
134 3 >>= eDD nN πλ …počet elektronů v debyeovské kouli – musí být dostatečný, abychom mohli
hovořit o kolektivním chování nabitých částic, které vede ke stínění náboje opačné polarity ozn.: Ve výrazu pro ND vystupuje koncentrace elektronů, přestože stínění záporného náboje je prováděno
kladnými ionty; mimo D-kouli totiž platí podmínka kvazineutrality plazmatu: ie nn = ni…objemová
koncentrace iontů ( , atd.) +++ >> ii nn
první aproximaci lze psát: ozn.: Dostaneme stejný výsledek jako při těžkopádném postupu se stíněným potenciálem
( )r
Zer04πε
ϕ = pro r ≤ λD ⇒ b ≤ bmax = λD
Platí: ( ) 0, ≠gI χ (viz formule výše), tj. max
02min
bbtg =χ
ozn.: Musí být 1max
0 <<bb , aby χmin bylo co nejmenší, tj. abychom neignorovali rozptyl do velmi malých úhlů
(automaticky zaplněno, když ND>>1) ( ) 0=rϕ pro r > λD ⇒ pro b > bmax = λD
Platí: ( ) 0, =gI χ , tj. žádný rozptyl o dosazení (viz výše):
( ) ( ) ( ) ( )
∫
∫∫
=
==−=
π
χχ
χ
π
χ
χχχ
χπ
χχ
χπ
χπχχχπ
min
min
0
min
0
2
220
222
4
2
22
2
24
2
2112
sincos
2
cossin2sin
sin22sinsin
cos12
db
ddgQbb
004 Strana 12
Fyzika plazmatu
Substituce: θχθπχθπχ dd 222
2 −=⇒−=−= tj. ,
Po dosazení:
( ) max20
0
20
112 cosln4
cossin4
max
θπθθθπ
θ
bdbgQ −== ∫
Platí (snaha vyjádřit názorněji cosθmax):
( ) ( )( )
21
max
min
2
0
max2
0
max
max22
22
max
0
cot
max
max
max2
max22
1
1
1coscos
11
1cossin
sincos
cossin
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⇒=+
=+
==−−
=
bb
bb
tg
bbtg
θ
θθ
θθ
θ
π
πχ
43421g
= λD (bmax=λD)
Po dosazení:
( )2
12
0
20
112 1ln4
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
bbgQ Dλπ , kde 20
1~g
b
Přechod ke středním hodnotám (zbavíme se závislosti účinného průřezu na vzájemné rychlosti obou částic) - v případě srážky elektron-iont obvykle není problém se stanovením g, neboť g ≡ C (viz. C>>W, W –rychlost iontu), avšak v případě srážky elektron-elektron je situace komplikovaná ⇒ je praktické přejít ke středním hodnotám účinných průřezů - zavádí se veličina Λ:
0bDλ=Λ kde
2120
2
04 gm
Zebπε
= …záměrná vzdálenost, při které se jakási „střední částice“ systému
rozptýlí pod úhlem 90°
ee kTgmkTgm23
2,3
2122
12 ==321
ener. kin. vzáj.hodnota střední
neboť
- za předpokladu lnΛ >>1, který je dost dobře splněn ve většině výbojů, kde lnΛ ≅ 5 ÷15 Dostáváme:
Λ= ln6 20
1 bQei π …střední hodnota účinného průřezu pro srážku s přenosem hybnosti mezi elektronem a iontem
lnΛ…tzv. Coulombův logaritmus (viz. C-interakce) (Pozn.: ( ) ( ) ( ) ∆=∆=∆+=∆+ lnln211ln211ln 22212 )
6…faktor daný středováním, tj. integrací Pozn.: Pro Z = 1 (náboj iontu) 11
eeei QQ =
2004 Strana 13
Fyzika plazmatu
Formule pro číselné vyjádřeni uvedených veličin a jejich hodnoty pro dva typické výboje
Předpoklad: ΛΛ⇒= ln~,1~~,1 10 eiQ
ZZbZ viz
Formule Doutnavý výboj Te = 25 000K ne = 1×1016m-3
Obloukový výboj Te = 10 000K ne = 1×1022m-3
[ ]m2
1
0.69 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
e
eD n
Tλ 1.09 × 10-4 m ≈ 0.1mm 6.9 × 10-8 m ≈ 7×102Å
[ ]meT
b6
01056.5 −×
= 2.22 × 10-10 m ≈ 2Å 5.56 × 10-10 m ≈ 6Å
21
371024.1 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×=Λ
e
e
nT 4.9 × 105 (lnΛ = 13.1) 1.24 × 102 (lnΛ = 4.82)
[ ]22
101 ln1085.5e
ei TQ Λ
×= − m 1.22 × 10-17 m2 2.82 × 10-17 m2
1eeQ= ↑ vysoké hodnoty ↑
(viz C-interakce dlouhého dosahu) Pozn.: Typická hodnota pro účinný průřez srážky s přenosem hybnosti mezi elektronem a neutrální částicí je
2191 10 m−≅enQ , tj. zhruba o dva řády nižší hodnota než 1eiQ
2.2.4. Nepružné srážky (i) Nepružné srážky elektron-těžká částice (atom, iont a molekula) - nepružné srážky elektronů s těžkými částicemi jsou nejdůležitějšími srážkami v plazmatu: elektrony jsou „nejaktivnějšími“ částicemi plazmatu (urychlovány elektrickým polem) a neutrální těžké částice tvoří výbojový plyn Excitace a deexcitace atomů
( ) ( ) enAemA +↔+excitace
deexcitace
m stavu ve Aatom321
- účinné průřezy pro excitaci různých atomů při srážce s elektronem vykazují velkou podobnost ⇒ lze použít univerzálních poloempirických formulí, viz např. Drawin (1963): Opticky dovolené přechody m→n Platí: , tj. spontánní přechod n → m existuje 43421
ostimultipletn změnou se přechodnačníinterkombi o nejde tj.
a 01 =∆±=∆ Sl
( )( )
( )mnmnmn
mnAmnmn
mn
HAmn faQ εεβ
εεεεα
εεπε 25.1ln14 2
2
120
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
( )εAmnQ …účinný průřez pro excitaci m → n; index A = allowed = dovolen
22020 10879.0 m −×=aπ , neboť (1. Bohrův poloměr) (typická hodnota charakter.
vel. účinných průřezů) m 10
0 10529.0 −×=a
ε…relativní kinetická energie nalétávajícího elektronu vzhledem k terčové částici eV 59.131 =Hε …ionizační energie vodíku
mnmn 11 εεε −= , excitační energie pro přechod m → n
mnf ... tzv. síla oscilátoru pro daný přechod (charakterizuje pravděpodobnost dovoleného přechodu, fmn ~ Anm – Einsteinův koeficient)
mnamn βα a - tzv. „filtrovací“ koeficienty – číselné faktory dané porovnáním teoretických křivek
s experimentálními (tvar křivky, poloha maxima, celkový souhlas) - když o účinném průřezu ( )εA
mnQ není experimentální údaj, obvykle se volí:
11 == mnAmn βα a
Pozn.: - Einsteinův koeficient Anm charakterizuje pravděpodobnost spontánního přechodu elektronu n→m, tj. pravděpodobnost tzv. radiační deexcitace (je vyzářen foton o energii mnmn hνε = )
2004 Strana 14
Fyzika plazmatu
- Platí (viz uvedená formule):
( ) mnAmnQ εεε −~ , tj. lineární růst (obvykle rychlý), mnεε ≥ pro , tj. blízko prahové energie
souhlas s experimenty
( )εεε ln~A
mnQ mnεε >> pro
souhlas s kvantově-mechanickými výpočty Opticky zakázané přechody
4342143421
splněno pravidlovýběrové tj. osti,multipletn
změně ke nedochází
KM) (viz.parity zachovánízákon tzv. pravidlo,
výběrové narušeno
ale )0,1( =∆±≠∆
⎪⎩
⎪⎨⎧
Sl
zakázán je mn přechod spontánní tj.
→
( )( )2
20
14mn
mnPmn
Pmn aQ
εεεε
απε−
= Pmnα …číselný faktor daný porovnáním s experimentem
P…parity forbidden = „paritně“ zakázáno Opticky zakázané přechody
43421
⎪⎩
⎪⎨⎧
≠∆
přechodnačníinterkombi tzv.
osti,multipletn změna
)0( S
zakázán je mn přechod spontánní tj.
→
( ) ( )( )5
220
14mn
mnSmn
Smn aQ
εεεε
απε−
= Smnα … číselný faktor daný porovnáním s experimentem
S…spin forbidden = „spinově“ zakázán Pozn.: - Účinné průřezy pro opticky zakázané přechody mohou být svou velikostí srovnatelné s účinnými
průřezy pro opticky dovolené přechody - V případě a zejména registrujeme posun maxima směrem k nižším energiím a rychlejší
pokles hodnot za maximem oproti (viz obr. pro He)
PmnQ S
mnQAmnQ
Ionizace atomů a tříčásticová rekombinace ( ) ( )
m
eeAemA
ε energii ztratilsrážce při který
el., cínalétávají
uvolnil se který elektron,
vázáný dříve erekombinac
ionizace
↓↓
+
←→ +++ 1
Pozn.: Ionizace srážkou s elektrony je nejdůležitějším procesem pro udržení výboje (viz. vytváření nosičů náboje), ionizace obecně podstatně mění chemickou aktivitu prvků (viz. reaktivnost iontů inertních plynů – vnější slupka není uzavřena) ⇒ plazmochemie
Drawin (1963) (viz podobnost s ): AmnQ
( )( )
( )mmm
mmm
m
H
m aQ εεβεεεεαξ
εεπε 25.1ln14 2
2
120
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
…účinný průřez pro ionizaci atomu ve stavu m mε …ionizační energie pro m-tou energetickou hladinu
mξ …počet energeticky ekvivalentních elektronů na m-té hladině (počet elektronů se stejnými n a l)
mα a mβ …“fitovací“ parametry, v případě neexistence experimentálních dat: 67.0=mα a 1=mβ
Pozn. - ξ1 = 1 pro H, 2 pro He, 6 pro Ar (18 el.): ( ) – viz. struktura atomů
4847648476 el. 8
el. 6
el. 8el. 262622 33221 pspss
ξn = 1 pro n ≥ 2, neboť uvažujeme pouze jednoelektronovou excitaci atomů, tj. excitovaný atom má vybuzen pouze 1 elektron - Rychlosti inverzních procesů (deexcitace, tříčásticová rekombinace) je možno vyjádřit pomocí účinných průřezů pro přímé procesy (excitace, ionizace) pomocí principu detailní rovnováhy (viz. dále)!!
2004 Strana 15
Fyzika plazmatu
Některé účinné průřezy pro nepružné srážky v He (Carman, Maitland 1987)
Excitace, ionizace a disociace molekul (viz. partie o vnitřní struktuře molekul)
( ) eABeAB ++←
→ *
deexcitace excitace
molekula v excitovaném stavu (excitace elektronových stavů, rotačních a vibračních stavů)
Pozn.: (viz. obr. – rozdíly v prahových energiích ↔ souvislost s energetickou strukturou N2): S postupným narůstáním energie nalétávajících elektronů startují procesy excitace: Rotačních stavů (ε ≅ 10-2 – 10-1 eV) Vibračních stavů (ε ≅ 100 eV) Elektronových stavů (ε ≅ 100 – 101 eV)
eBAeAB +++ →disociace
Pozn.: Jde o disociaci molekuly přes její repulzivní stav (viz dříve), obvyklým výsledkem disociace je vzrůst
chemické aktivity produktů vzhledem ke zdrojové molekule
( )eeBAeAB
eeABeAB+++⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+
++⎯⎯⎯⎯ →⎯++
+
ionizace nídisociativ
ionizace přímá
2004 Strana 16
Fyzika plazmatu
Některé účinné průřezy pro srážky elektronů s molekulami N2 (Y. Itikawa 1986)
(ii) Nepružné srážky těžkých částic Excitace a deexcitace atomů
( ) ( ) ( ) ( )11 BnABmA ++←
→deexcitace
excitace
B(1)…nalétávající částicí je atom v základním stavu, neboť téměř vždy ( ) ( ) ( )3B>>> 21 BB ,
atd.; velmi často: ( ) ( )11 AB ≡ (viz. případ výboje v jednom plynu) Pozn.: - na rozdíl od srážek elektron-atom není k dispozici tolik experimentálních údajů o účinných průřezech,
ani realistických poloempirických formulí - v případě stanovení rychlosti procesu je nutno vzít T ≡ Ta – teplota atomů Ionizace a tříčásticová rekombinace
( ) eBABmA +++ +
←→
erekombinac vátříčástico ionizace
B…opět obecně uvažujeme A ≠ B, opět (viz. výše) B ≡ B(1) Pozn.: - ionizace základní hladiny atomu A, tj. m = 1, má obvykle dost vysokou prahovou energii a je málo
efektivní, neboť nalétávající atomy mají většinou mnohem menší energii než A1ε
- proces ionizace při srážkách atom-atom je mnohem účinnější při srážce dvou různých atomů, pro něž
platí: B1εε >A
m1 …ionizační energie základního stavu atomu B B1ε
…excitační energie m-tého stavu atomu A Am1ε
potom lze psát: ( ) ( ) ( )
BAm
eBABmA
11
11
εε −
↓
+ ++↔+
energii kinetické oelektron uvolněný
Zvláštní případ této srážky: Penningova ionizace V tom případě: ( ) atomu stav nímetastabil - mA Pozn.: - Metastabilní stavy atomů jsou významné mezi excitovanými stavy, neboť jejich obsazení je vysoké,
pokud stupeň ionizace není poměrně vysoký (potom by srážky s elektrony snižovaly přepopulování metastabilních stavů) ⇒ rychlost Penningovy ionizace je vysoká (zejména když p ≤ 10-2 Torr, kdy je střední volná dráha částic dostatečně dlouhá)
- Penningova ionizace vede k existenci iontů materiálu terče, který je rozprašován při depozičních procesech (bombardováním ionty inertních plynů, nejčastěji Ar+), a ke zvýšení stupně ionizace plazmatu
2004 Strana 17
Fyzika plazmatu
(jeden z důvodů použití Ar, resp. He, kde , resp. , při plazmových technologiích)
eV Ar 6.111 =mε eV He 8.191 =mε
Asociativní ionizace a disociativní rekombinace ( ) eABBmA ++
↓
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
←→
iont ímolekulárn
erekombinac nídisociativionizace íasociativn
- Asociativní ionizace a disociativní rekombinace určují v mnoha případech rychlost vzniku a zániku nabitých částic v plazmatu:
- asociativní ionizace je významná zejména v počáteční fázi vzniku výboje ve slabě ionizovaném plazmatu (např. těsně po průchodu silné rázové vlny), kdy koncentrace elektronů ne je ještě relativně nízká
- disociativní rekombinace probíhá při dostatečném výskytu molekulárních iontů v plazmatu (jde o jeden z nejrychlejších rekombinačních procesů) Platí: koncentrace molekulárních iontů
α+−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛2nn
dtdn
ee
rek.dis.
, kde ∑=m
mdα …rychlostní koeficient pro disociat. rekombinaci (až 10-6cm3s-1)
koncentrace elektronů rychlostní koeficient pro rekombinaci, která rychlost úbytku počtu elektronů vede ke vzniku atomu v m-tém stavu Pozn.: Ionizačně-rekombinační nerovnováha v plazmatu
- když převládá ionizace nad rekombinací, hovoříme o plazmatu v ionizační nerovnováze (tj. plazma je vytvářeno) Příklad: tzv. ionizační zóny výbojů, kde Te je relativně vysoká v důsledku dodávání energie elmag pole
Oblast v ose výbojů mezi elektrodami (doutnavé a obloukové výboje) Oblast plazmových trysek Oblast vinutí a těsně nad ním u induktivně vázaných RF výbojů (ICP) – proud ve vinutí
cívky ⇒ Br
nejsilnější v ose ⇒ kruhový pohyb elektronů ⇒ průraz - když převládá rekombinace nad ionizací, hovoříme o plazmatu v rekombinační nerovnováze (tj. plazma zaniká) Příklad: tzv. rekombinační zóny výbojů, kde Te je relativně nízká
Plazma dohasínajících výbojů – fáze po vypnutí zdroje energie (Te klesá s časem); např.: před dalším pulzem
Expandující plazma vytvořené např. plazmovými tryskami – při vzdalování od ionizační zóny Te klesá
- za stacionárních podmínek ve výboji se nemění koncentrace elektronů, resp. iontů ani v ionizační zóně, odkud nosiče náboje odtékají (difúze, konvekce – viz. trysky), ani v rekombinační zóně, kam nosiče náboje přitékají
Konverze atomárních iontů v molekulární ( ) XABXBA +++ +
←→+
iontu mol. rozpad iontu atom. konv.
- proces konverze atomárních iontů v molekulární je velmi efektivní v plazmatu slabě ionizovaných plynů za vyšších tlaků (p ≥ 100 Torr) - v případě TR (plazma je však většinou mimo TR) lze psát:
( ) ( ) kT
disE
eR
nnnR
ABRB
RA
−++ ⋅=⋅ 30
1 …tj. poměrné zastoupení atomárních iontů je vyšší, když disociační energie molekulárních iontů je nižší (snazší rozpad) a teplota je vyšší (snazší disociace)
+An …rovnovážná koncentrace atomárních iontů RBn …rovnovážná koncentrace atomů B +ABn …rovnovážná koncentrace molekulárních iontů
0R …vzdálenost odpovídající řádově lin. rozměru molekulárního iontu
2004 Strana 18
Fyzika plazmatu
Přenos náboje V případě atomů:
( )
( ) ( )mAAAmA
BABmAe
e
+⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →←+
+⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →←+
++
++
−
−
náboje přenos rez. symetrický
náboje přenos ýasymetrick
Pozn.: - oba typy náboje jsou důležité v příelektrodové oblasti výbojů využívaných v plazmových technologiích, kde výrazně ovlivňují energii iontů a neutrálních částic, které dopadají na elektrodu
Příklad: Plazmová nitridace (modifikace povrchu katody doutnavého výboje difúzí dusíku z výbojové směsi – vytváření tvrdých,
otěruvzdorných a nekorozivních nitridů kovů v povrchové vrstvě kovových materiálů) Přenos náboje v příkatodové oblasti Symetrický přenos náboje:
elektronu) zisku po iontu íhomolekulárn z (vznikla
molekula neutrální rychlá
molekuly) neutrálnípomalé z (vznikl iont
ímolekulárn pomalý
oblasti) ípříkatodovv polem melektrický
silným (urychlen iontímolekulárn rychlý
molekulaneutrální pomalá
FS
e
FS NNNN 2222 +→+ ++
−
Důsledek: Neutrální molekuly přispívají k ohřátí katody, které je nezbytné pro difúzy dusíku do materiálu (400-
550 °C); nemohou být zahřáty el. polem (nenesou náboj), ani pružnou srážkou s elektrony (nízký stupeň ionizace)
Asymetrický (disociativní) přenos náboje:
molekulaneutrální rychlá
(disociaceatom pomalý
náboje přenesení po iontu vého
-molekulo pomaléhodisociací (vznikl iont
atomární pomalýiont
ímolekulárn rychlýmolekula
neutrální pomaláF
N
SS
e
FS NNNNN
S
2
)
22
2
++→+
+
−
+
Důsledek: Na nitridovanou katodu dopadají rychlé neutrální molekuly, ale i pomalé atomární ionty (ty však mohou
vzniknout i disociací molekulárního iontu ) a pomalé atomy +2N
Vznik záporných iontů Nejdůležitější proces: BAeAB ++ −
←→
elektronu uvolnění íasociativn záchyt nídisociativ
Pozn.: Proces disociativního záchytu se vyskytuje v částečně ionizovaném plazmatu při nízkých teplotách, existence záporných iontů podstatně ovlivňuje elektrickou vodivost plazmatu (přítomnost dalších záporných nosičů náboje kromě elektronů), rychlost ionizace a rekombinace (zánik nosičů při rekombinaci kladných a záporných iontů), a rychlost difúze plazmatu
- Základní veličinou, která charakterizuje záporný iont, je tzv.elektronová afinita = energie, kterou je nutno dodat elektronu, aby byl uvolněn od atomu nebo molekuly
Atom Elektronová afinita (eV) Molekula Elektronová afinita (eV) H 0.754 O2 0.43 C 1.25 Cl2 <1.7 O 1.465 CN 3.8 Cl 3.613 HBr 3.03 NO2 2.4 CCl4 2.12 SF6 3.39
Z tabulky je vidět, že záporné ionty se nejsnáze tvoří v halogenových plynech (Cl, F, Br, I) a v plynech, které obsahují prvky halogenů (CCl4, SF6 – náplň pro zhášení oblouků při vypínání vysokoproudých obvodů) V plynech o vyšším tlaku BABAe +⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →←++ −záchyt výtříčástico
2004 Strana 19
Fyzika plazmatu
2.3. Záření plazmatu Záření plazmatu je jedním ze základních projevů jeho existence (význam pro diagnostiku plazmatu) 2.3.1. Popis radiačních procesů Vzájemnou interakci záření s látkovým prostředím budeme uvažovat jako srážkový proces fotonů s terčovými částicemi o nenulové klidové hmotnosti (viz. analogie s výše zmíněnými srážkovými procesy) Platí:
rychlosti
a frekvenci o fotonu hybnost
frekvenci ofotonu energie
Ω=Ω=
==
chhp
hh
c
νλπ
π
νπνπ
ε
ν
ν
ν
ν
22
22
Ω …jednotkový vektor ve směru pohybu fotonu
Analogicky jako dříve: - počet fotonů v jednotce objemu, které mají v daném čase a v daném místě
hybnost v intervalu ( )ννν pdpp +,
( )
( )
43421
ννν
ννν
ν
ν
pdpp
pdpfn
+
⋅
,
3
intervalu v hybnost má foton že
bnost,pravděpodo
frekvenci o fotonů
ekoncentrac objemová
Normovací podmínka pro rozdělovací funkci fotonů:
( ) 13 =∫+∞
∞−
ννν pdpf
Po úpravě: ( )[ ] cpdpfn ⋅νννν
3 … diferenciální hustota toku fotonů (viz. dΓ1)
(počet fotonů s hybností v intervalu ννν pdpp +, , které projdou jednotkou plochy za 1s) Po vynásobení hν:
cpdpfnh ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
ννννν 3 …diferenciální hustota toku energie fotonů
Ω=Ω= ddchpddpppd ννννν
223
dΩ… element tělesového úhlu určeného jednotkovým vektorem Ω Po dosazení: ( ) ( ) ΩΩ=Ω ddIddpfnph ννν ννννν
22
( )ΩνI …spektrální hustota toku záření (intenzita záření o frekvenci ν ve směru Ω ) = energie záření připadající na interval frekvence dν a tělesový úhel dΩ, která projde jednotkou plochy za 1s
Platí (viz analogie s ): PdR12
( ) ( )
( )
4434421
WdW
PP WdWfncQpdpfndR
+
=
,
322
3
Wrychlostí s objemu
jednotce včástic terčových počet
cemiterč.části afotony mezi p
procesu rychlostlnídiferenciá
νννννν
Po dosazení:
( )( ) ( ) PP Qddh
IWdWfndR νν
ν νν
44 344 21
fotonů tokuhustota lnídiferenciá
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Ω
Ω= 3
22 , tj. musíme znát ( ) ( ) PQIWf νν ,,2 Ω
2.3.2. Základní typy interakce foton-látková částice Absorpce a stimulovaná emise fotonů Rozptyl fotonů
Pozn.: Vybuzená částice se stává zdrojem záření také samovolně při spontánní emisi záření, resp. fotonů Platí: Procesy emise fotonů a jejich absorpce jsou vzájemně vázány tzv. principem detailní rovnováhy (viz.
později), který obecně spojuje přímé a inverzní procesy ⇒ dále se proto zaměříme pouze na proces absorpce záření
Při dopadu svazku fotonů na terčové částice registrujeme po průchodu:
2004 Strana 20
Fyzika plazmatu
(i) Čárové spektrum Záření definovaných vlnových délek je (často velmi silně) absorbováno v důsledku přechodu terčových částic z jednoho energetického (vázaného) stavu do druhého (viz. rotační, vibrační a elektronové stavy), tzv. bound-bound transitions Př.: fotoexcitace atomů ( ) ( )nAhmA mn deexc. spontánní
cefotoexcita←
→+ ν
hνmn…toto přesně definované kvantum (hνmn=ε1n-ε1m) je absorbováno ⇒ prudký pokles v intenzitě procházejícího záření, pokud jeho frekvence ν=νmn
(ii) Spojité spektrum Dopadající záření je absorbováno při fotoionizaci terčových částic (bound-free transitions) Př.: fotoionizace atomů ( ) eAhmA ++ +
←→
erekombinac radiační cefotoionizaν
hν…libovolné kvantum (hν≥εm) je absorbováno ⇒ spojitá změna v absorpčním spektru e…kinetická energie uvolněného elektronu závisí na rozdílu hν-εm
ad i) Fotoexcitace Platí:
( ) ( )νϕνϕεν mnmn
e
nm ffcm
eQ 6
0
2
1065.24
−→ ×==
Qν…účinný průřez pro fotoexcitace atomu m→n fmn…síla oscilátoru pro absorpci záření (atomová konstanta, viz. rozsáhlé tabulky pro jednotlivé atomy, obvykle v rozsahu od 0 do 1) ϕ(ν)…funkce profilu čáry při absorpci (charakterizuje pravděpodobnost absorpce záření o frekvenci ν)
Pozn.: Síla oscilátoru 0=mnf ⇔ radiační deexcitace n→m je opticky zakázána (viz. souvislost mezi fmn a
Anm, cvič. č. 8) Účinný průřez není atomovým parametrem, neboť šířka čáry závisí na okolí atomu (viz faktory
rozšíření spektrálních čar později)
nmQ →ν
Funkce profilu čáry ∆ν – tzv. pološířka spektrální čáry (charakterizuje „šířku“ čáry) = „šířka“ čáry v místě odpovídajícím ½ hodnoty ϕmax(ν) ≡ ϕ(νmn) analogicky: ∆ν = FWHM („full width at half maximum“)
Normovací podmínka:
( ) 10
=∫∞
ννϕ d
Pozn.: ( ) 0≠νϕ pouze pro mnνν ≈ (viz. rozšíření spektrálních čar dále) Po dosazení za dostáváme: PQν
( )( ) ( ) ( ) ννϕνε
νν d
hIdf
cmeWdWfndR mn
emm
nm ΩΩ=→
0
23
4
2004 Strana 21
Fyzika plazmatu
Po integraci:
( ) ( ) ( )44 844 76
4434421
fotonů chdopadajícífrekv.hodnoty možné
všechny přes integrál
částic terčových rychlosti
hodnoty možnévšechny přes integrál
1
∫∫∞
=
∞+
∞−
→ ΩΩ=∆
00
23
4ννϕ
νεν
ν dh
Idfcm
eWdWfnR mne
mmnm
mn ( )
4434421podmínka normovací
10
=∫∞
ννϕ d
( ) ( )mnh
Ih
I mn
νννν
Ω→
Ω …předpokládáme, že funkce ( )ΩνI a hν, resp. jejich
podíl, jsou jen slabě závislé na ν tam, kde ϕ(ν) ≠ 0 Dostáváme:
…celkový počet přechodů m→n v jednotce objemu za 1s v důsledku absorpce záření z tělesového úhlu dΩ (většinou „silná“ neizotropnost – dopad paprsku)
( ) ΩΩ=∆ → dIfchm
enRmn
mn
mn
B
mnmne
mnm
νν νε444 3444 21
záření absorpci prokoeficient Einsteinův -
0
2
4 Potom:
( ) ΩΩ dIBmnmn ν …počet přechodů m→n připadajících na jeden atom ve stavu m za 1s v důsledku
absorpce záření z tělesového úhlu dΩ, viz. samozřejmá závislost na ( )Ωmn
Iν Jiná interpretace:
- pravděpodobnost toho, že za 1s dojde v atomu k jednomu přechodu m→n v důsledku absorpce záření z tělesového úhlu dΩ
Analogicky lze psát: - pravděpodobnost toho, že za 1s dojde v atomu k jednomu přechodu n→m v důsledku
dopadu záření do tělesového úhlu dΩ
Einsteinův koeficient pro stimulovanou emisi
( ) ΩΩ dIBmnnm ν
Pozn.: Nalétávající fotony indukují vyzáření fotonů o téže frekvenci, šířících se týmž směrem (dopadající a vznikající záření jsou koherentní – viz lasery)
Podobně platí: - pravděpodobnost toho, že za 1s dojde v atomu k jednomu spontánnímu přechodu n→m
s vyzářením fotonu do tělesového úhlu dΩ ΩdAnm
π4 Anm…Einsteinův koeficient pro spontánní emisi Platí: Spontánní záření je izotropní, tj. pravděpodobnost, že za 1s dojde ke spontánnímu přechodu n→m
v libovolném směru, je Anm (viz. π4Ωd - poměr určující část záření jdoucí do tělesového úhlu dΩ)
Pozn.: Pro intenzivní emisní čáry je -1s 810≈nmA , tj. za 1s se stav n „rozpadne“ 108krát v důsledku spontánní emise do všech směrů ⇒ krátká doba života excitovaných stavů (kromě metastabilů)
ad ii) Fotoionizace Pro vodík a vodíku podobné atomy platí:
( ) ][1091.733
64 23
222
3
220
4 0
2
m bfm
bfm
em g
hZmg
hZma
cQ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛×=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= −
νε
νεππε
νh
účinný průřez pro fotoionizace hladiny popsané hlavním kvantovým číslem m gbf…Gauntův faktor (většinou velmi blízký 1) m…hlavní kvantové číslo dané hladiny Z=1 pro vodík εm…ionizační energie m-té hladiny
Pozn.: Účinný průřez je atomovým parametrem mQν
0≠mQν pro mh εν = , tj. pro prahovou hodnotu frekvence mm hνQ ε
νν >pro 13~
2004 Strana 22
Fyzika plazmatu
2.3.3. Rozšíření spektrálních čar Rozšíření, resp. tvar, spektrálních čar jsou dány následujícími čtyřmi mechanismy:
(i) přirozené rozšíření čar – dáno spontánním zářením atomů (ii) rozšíření tlakem – dáno vzájemným působením zářících atomů se sousedními částicemi (neutrální
částice, elektrony) (iii) dopplerovské rozšíření – dáno tepelným pohybem zářících atomů (iv) rozšíření kombinací zmíněných mechanismů ad i) přirozené rozšíření čar V KM lze ukázat, že platí tzv. Heisenbergovy relace neurčitosti: htEpx x ≈∆∆=∆∆ ∆E…neurčitost stanovení energie částice v jejím určitém stavu
∆t…neurčitost stanovení doby života částice v daném stavu Ukážeme platnost vztahu:
tEpx x ∆∆=∆∆ pro volnou částici Pravděpodobnostní popis KM: Pohybující se částici si představujeme jako postupující vlnový balík o „šířce“ ∆x Platí: tvx ∆=∆ ∆x…neurčitost ve stanovení polohy částice ∆t…neurčitost ve stanoveni doby dopadu částice v…rychlost pohybu částice Pro energii volné částice platí:
mpE x
2
2
=
Po diferenciaci:
xxx pv
mppE ∆=
∆=∆
22
neurčitost ve stanovení energie částice způsobená neurčitostí hybnosti Po dosazení:
tEvEtvpx x ∆∆=
∆∆=∆∆
Pozn.: Tato rovnost platí i pro vázané systémy Platí:
hnn ≈∆ τε , kde n
n γτ 1
=
…střední doba života částic v daném stavu (dá se ukázat, že tato veličina charakterizuje nejen jakousi průměrnou dobu života částic, ale i neurčitost jejího stanovení) …rozšíření n-té energetické hladiny (neurčitost stanovení energie)
Po dosazení: nn hγε ≈∆ , kde ∑
<
=nj
njn Aγ
…převrácená hodnota doby života částice v n-tém stavu (celkový počet přechodů z n-té hladiny za 1s v důsledku spontánní emise)
Pro funkci tvaru čáry pro absorpci m→n platí:
( )( ) ( )22 4
41πγνν
πγπ
νϕmnmn
mn
+−= ,
kde
hladiny hornírozšířeníurčujícíparametr
hladiny dolnírozšířeníurčujícíparametr ↓↓
+= nmmn γγγ
Jde o tzv. lorentzovský tvar čáry, pro její pološířku platí:
πγν2
mnN =∆
Pozn.: Funkce ϕ(ν) je pro přirozené rozšíření pouze charakteristikou daného atomu (viz. závislost na Anm)
2004 Strana 23
Fyzika plazmatu
Pro záření ve viditelné oblasti ∆λN ≈ 10-4Å (rozlišovací schopnost poměrně kvalitního monochromátoru je 0.1 Å); v částečně ionizovaných plynech je přirozená šířka čáry téměř vždy mnohokrát menší než šířka způsobená tlakem nebo Dopplerovým efektem (viz. dále)
ad ii) rozšíření čar tlakem Na rozdíl od emisních čar izolovaného atomu vykazují tytéž čáry v reálném prostředí statistické rozšíření v důsledku srážek zářícího atomu s okolními částicemi
Vzájemná interakce s neutrálními částicemi téhož typu Vzájemná interakce s neutrálními částicemi jiného typu
Pozn.: V mnoha případech je rozšíření čar tlakem omezováno pouze na tyto dvě interakce, tj. starkovské rozšíření je uvažováno samostatně
starkovské rozšíření – dáno vzájemným působením atomu s okolními nabitými částicemi, především s elektrony
Pozn.: Starkův jev spočívá v rozštěpení energetických hladin ve vnějším elektrickém poli (viz. Zeemanův jev: rozštěpení v magnetickém poli)
Ve všech těchto případech, kromě S-rozšíření čar vodíku a některých čar He, je tvar čáry přibližně lorentzovský (γmn musí být nahrazeno Γmn, které je dáno jinou formulí) Představa o „velikosti“ efektu:
Při tlaku 100 kPa (atmosférický tlak) je pološířka čáry ve viditelné oblasti způsobená interakcí s neutrálními částicemi řádově ∆λL ≅ 0.05 Å
Pro ne ≅ 1016cm-3 (hodnota typická pro obloukové výboje) vede S-efekt k pološířkám ∆λS ≅ 100 – 101 Å v závislosti na atomu a zkoumané čáře
Význam S-rozšíření pro diagnostiku plazmatu: Platí:
32~ eS nλ∆ ...pro lineární S-jev, viz. např. Hβ (n = 4 → n = 2, tj. druhá čára Balmerovy série ve
vodíku), λ = 4861.3 Å eS n~λ∆ …pro kvadratický S-jev
V případě dostatečně vysoké stupně ionizace plazmatu, viz. tzv. kvaziizotermické plazma (Te≅Ta) – např. v obloukových výbojích, kde S-efekt výrazně ovlivňuje rozšíření čar, lze využít uvedených formulí k měření koncentrace elektronů ne
Výhoda : – plazma nemusí být ve stavu LTE (lokální termodynamická rovnováha), není třeba znát ani teplotu, ani chemické složení;
postup Obvyklý : – slabé přimísení vodíku (≈1%, aby nedošlo k ovlivnění výboje) do výbojové směsi, studium rozšíření čáry Hβ (výrazný efekt, teorie zvládnuta, viditelná oblast)
ad iii)Dopplerovské rozšíření V důsledku tepelného pohybu zářících atomů registruje pozorovatel různé frekvence záření v závislosti na hodnotě relativní rychlosti atomů vůči němu Podle Dopplerova jevu:
mnxvc
c νν−
=
ν…frekvence registrovaná pozorovatelem, vůči němuž se zdroj pohybuje νmn…frekvence v soustavě zdroje (klidný atom) vx…rychlost pohybu zdroje (atomu): vx > 0 – pohyb k pozorovateli, vx < 0 – pohyb od pozorovatele
Platí (viz přednáška F III):
( ) xkTvm
a
axx dve
kTmdvvf a
xa2
21 2
2−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
π …Maxwellovo rozdělení částic podle rychlosti
pravděpodobnost, že atom má x-ovou složku rychlosti v intervalu (vx,vx+dvx) Pozn.: Maxwellovo rozdělení bylo odvozeno za předpokladu, že systém se nachází ve stavu termodynamické
rovnováhy; v případě atomů platí velmi dobře i v případech velmi vzdálených od TR. Po úpravě:
( )( ) c
vc
vcvcvcc x
cvx
x
x
mnx
+=−
+=
−+
= 11 2
222νν
<<1, tj. uvažujeme nerelativistický případ
2004 Strana 24
Fyzika plazmatu
Dostáváme:
ννν
ν dcdvcvmn
xmn
x =⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 1
Po dosazení:
( )( )
ννπ
νν νν
ννϕ
dcekT
mdfmn
kTcm
a
a
d
mna
a22
122
1
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
≡
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=321
- pravděpodobnost naměření frekvence ν z hlediska pozorovatele Pozn.:
Rozšíření čáry závisí na pravděpodobnosti výskytu různých hodnot vx atomů Čára je velmi úzká, neboť pro ν ≠ νmn se projeví silný útlum díky faktoru c2 v exponentu
Podmínka pro pokles ϕmax(ν =νmn) na ½ ϕmax(νmn): 21
221
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
mna
a
kTcm
e νν
Po úpravě:
2ln12
22
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
mna
a
kTcm
νν
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±=± 2ln21 2cm
kT
a
amnνν
Po dosazení:
( ) 2121
2 2ln22 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆
cmkT
a
amnD νν …pološířka čáry rozšířené Dopplerovským efektem
Číselná hodnota:
mna
aD M
T νν 71016.7 −×=∆ Ma…poměrná atomová hmotnost
Pozn.: V případě D-čáry Na, ∆λD = 0.04Å při Ta=2000K Využití v diagnostice: měření teploty atomů v plazmatu (využití Fabry-Perotova interferometru pro
stanovení tvaru čáry), D-efekt je výrazný pro lehké prvky (viz. formule) při relativně vysokých hodnotách Ta – je výhodné použít těch čar, které nejsou příliš citlivé na Starkův efekt (Ta relativně vysoká ⇔ ne je relativně vysoká)
Platí:
( )D
mn
a
a
ckTm
νν
∆=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ 21212ln2
2
Po dosazení:
( ) ( )
2
212ln2
2121
2ln2
1 ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆−
−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
∆=
D
mn
eD
ννν
νπνϕ …dopplerovský (obecně gaussovský) tvar čáry
- rychlejší pokles (viz. exponenciála) na křídlech rozdělení oproti lorentzovskému tvaru (důležité při identifikaci efektů při identifikaci efektů, které se projevují současně)
2004 Strana 25
Fyzika plazmatu
2.3.4. Opticky tenké a tlusté plazma Analogicky jako v případě srážek látkových částic platí:
∑=
P
PQnl
νν
2
1…střední volná dráha fotonu o frekvenci ν
n2…objemová koncentrace terčových částic účinný průřez pro daný radiační proces P (tento proces mění hustotu toku fotonů v daném místě plazmatu)
Jestliže platí: (i) RLl resp. ,>>ν L…tloušťka vrstvy plazmatu R…poloměr sloupce plazmatu; v případě uzavřených systémů ≡ poloměr výbojové trubice
potom hovoříme o plazmatu, které je opticky tenké pro dané záření, tj. fotony téměř nejsou v dané vrstvě pohlcovány ⇒ záření vystupuje z plazmatu (ii) RLl resp. ,<<ν potom hovoříme o plazmatu, které je opticky tlusté pro dané záření, tj. téměř všechny fotony jsou v dané vrstvě reabsorbovány ⇒ záření neopouští plazma
Pozn.: V případě čárového spektra je možné za určitých podmínek, že plazma je opticky tlusté pro střed čáry ( , tj. pro ( )νϕν ~nmQ → Ll
mnmn <<⇒→ ννν ), ale opticky tenké na jejích křídlech ( , neboť Ll >>ν
( ) 0→νϕ ), v takovém případě se výrazně mění tvar čar vyzařovaných plazmatem (složitý problém přenosu záření – význam pro spektroskopickou diagnostiku plazmatu: plazmové technologie, plazmochemie, astrofyzika, realizace termonukleární fůze)
Optické únikové faktory Slouží ke zjednodušenému popisu přenosu záření v plazmatu, započítávají parametricky lokální vliv absorpce záření a stimulované emise, a tak simulují různou optickou tloušťku plazmatu pro přechody elektronů mezi dvěma energetickými hladinami, Λmn, resp. mezi excitovanou hladinou a kontinuem, Λm
Platí: Λmn, Λm ∈⟨0,1⟩ 01→=Λ
0…plazma je opticky zcela tlusté, tj. veškeré záření je reabsorbováno ⇒ z plazmatu nevystupuje žádné záření ( 0=Λ , tj. výstupu: 0% záření) 1…plazma je opticky zcela tenké, tj. žádné záření není reabsorbováno ⇒ veškeré záření vystupuje z plazmatu ( 1=Λ , tj. výstupu: 100% záření)
Příklad: 1.021 =Λ , tj. při spontánní deexcitace 2→1 (dána Einsteinovým koeficientem A21) vystupuje
z plazmatu pouze 10% záření, neboť 90% záření je neabsorbováno Pozn.: K největší reabsorpci záření dochází při tzv. rezonančních přechodech 12 →≥n (zákl. hladina),
neboť n1>>n2, n3, atd. ⇒ atd. ,,321 nnn
lll ννν <<
2.4. Vztahy platné v termodynamické rovnováze Lze ukázat, že v termodynamické rovnováze platí:
Boltzmannův vztah (pro obsazení jednotlivých energetických hladin částic daného typu – atomů, molekul a iontů)
Sahova rovnice (pro obsazení excitovaného stavu částice daného typu při známé koncentraci volných elektronů a iontů v základním stavu, které z daných částic vznikly)
Maxwellovo rozdělení (pro rozdělení částic podle rychlosti) Planckův zákon (pro spektrální intenzitu záření)
(i) Bolztmannův vztah Platí:
tato rovnost platí pouze za předpokladu, že atomy, ionty nebo molekuly mají pouze jednu ionizační mez
…poměr mezi objemovými koncentracemi částic daného typu (atomy, ionty a molekuly) ve dvou vybuzených stavech
gm…statistická váha m-tého (dolního) stavu
kT
m
n
m
nmn
egg
nn ε
−=
T...teplota všech částic plazmatu je TR stejná kde nmmnmn εεεεε −=−= 11 excitační energie pro excitaci m→n
2004 Strana 26
Fyzika plazmatu
Uvážíme m = 1, tj. dolní hladinou bude základní stav Platí:
kT
n
nn
egn
gn 1
1
1ε
−= , tj. známe-li n1 (viz měření tlaku) a hodnotu T (platí: Te = Ta = Ti ≡ T) známe nn
Po úpravě: ( ) ( ) kTgngn nnn 111lnln ε−=
Pozn.:
Směrnice B-přímky: ( nn
n fgn
1ln ε= ) určuje teplotu částic
Význam pro diagnostiku: V případě, že plazma je v nerovnovážném stavu (Te ≠ Ta), koncentrace základní hladiny n1 a často i koncentrace n2, resp. n3 neleží na Boltzmannově přímce, koncentrace výše položených stavů však na ní leží, přičemž její směrnici určuje teplota elektronů Te – význam pro stanovení hodnoty Te z měření emisní intenzity dvou čar, které vede ke stanovení obsazení dvou vysoko položených excitovaných stavů (tzv. metoda dvou čar)
(ii) Sahova rovnice
extrapolací naměřené B-přímky
Platí:
…poměr mezi koncentrací atomů v n-tém stavu a koncentrací volných elektronů a jednou ionizovaných iontů v základním stavu
statistická váha iontu v základním stavu
kT
e
n
e
nn
ekTm
hgg
nnn ε
π
232
11 22 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
++
ionizační energie n-tého stavu atomu
Po úpravě:
( ) kTe
kTe
en
nnn
egnTnSe
gn
Tn
kmh
gn εε
π +
+
<
+
+
×
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
1
1
11
123
10066.2
232
,22
1
216
4342144 344 21
podmínek)ickýchrelativist (za
Kcm 33
Dostáváme:
( )kTg
nTnSgn n
en
n ε++= +
+
< 1
1ln,lnln43421
0
Pro εn = 0, tj. pro energetický stav atomu na hranici kontinua:
( ) +
+
<∞
∞ +=1
1
0
ln,lnlngnTnS
gn
e43421⇒ ( )TnS
gn
gn
e,lnlnln1
1 +=∞
∞+
+
, viz. obr.
…extrapolovaná hodnota koncentrace v excitovaném stavu na ionizační mezi ( )TnS e,ln …sahovský skok Po dosazení:
kTgn
gn n
n
n ε+=
∞
∞lnln , viz. souhlas s B-přímkou
2004 Strana 27
Fyzika plazmatu
Pozn.:
Obě přímky na B-S grafu, zachycujícím B-vztah a S-rovnici, mají stejné směrnice Význam pro diagnostiku plazmatu: V případě, že plazma je v nerovnovážném stavu (Te≠Ta), je možno
využít experimentálních hodnot pro sahovský skok, pokud (podmínka neutrality plazmatu v případě dominance jednoho plynu ve výbojové směsi), ke stanovení hodnoty T
+= 1nne
e (metoda 2 čar je považována za poměrně nespolehlivou, i když využijeme vysoko položených stavů – nízká intenzita čar, nespolehlivost odpovídajících E-koeficientů):
( )
obr. viz.
stavy, ležící vysokopro hodnot naměřených z stanovenéhodnoty anéextrapolov ačáry rozšíření-S z určené hodnoty álníexperiment pomocí stanoví se hodnota álníExperiment
nn
eee
gngnHnnTnS
∞∞
+=
β
1,
Zobecněná Sahova rovnice:
kT
er
rn
re
rn
rn
ekTm
hgg
nnn ε
π
232
11
11 22 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ++ , kde r≥0 je stupeň ionizace atomu resp. iontu
…vztah mezi obsazením n-tého stavu r-krát ionizovaného atomu, resp. iontu, koncentrací volných elektronů a obsazením zákl. stavu (r+1)-krát ionizovaného atomu, resp. iontu
(iii) Maxwellovo rozdělení Pro všechny částice (elektrony, těžké částice) plazmatu platí:
( ) kTmW
M ekT
mWf 223 2
2−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=π
…hustota pravděpodobnosti, že částice má rychlost v intervalu (W,W+dW)
m…hmotnost částic T…teplota (iv) Planckův zákon B-vztah, S-rovnice a M-rozdělení jsou důsledkem termodynamické rovnováhy v látkovém prostředí Planckův zákon je důsledkem termodynamické rovnováhy mezi látkovým prostředím a zářením Platí:
( )1
2 23
−=Ω kThe
chI ννν
-1…neboť fotony jsou bosony (viz. FIII)
Pozn.: ( )ΩνI nezávisí v TR na směru toku (neboť záření je izotropní), je dána pouze hodnotou teploty (silná
závislost, viz. exponenciála – obr.)
spektrální hustota záření (intenzita záření o frekvenci ν ve směru Ω )
2004 Strana 28
Fyzika plazmatu
Wienův zákon posuvu:
.konstTm =λ λm je vlnová délka odpovídající Iλ maxim pro danou T (roste-li T, posun λm k nižším hodnotám; viz. objevení tmavorudé barvy materiálů s růstem T – při nižších T pouze infračervené záření)
Pozn.: Planckova formule vyjadřuje spektr
Přibližn ně černého tělesa
ální rozdělení intenzity záření pro tzv. absolutně černé těleso (těleso zahřáté na určitou teplotu, pohlcuje veškeré záření, které na ně dopadne) ý model absolut
Pozn.: V rovnovážném stavu platí rovnost mezi rychlostmi absorpce a vyzáření energie stěnami
íLokáln termodynamická rovnováha Úplná termodynamická rovnováha je pro plazmové systémy zcela netypická, neboť téměř vždy dochází k jejímu
ýbojů) blízko tzv.
Plazma je ve stavu LTE, když rychlosti srážek vedoucích k obsazení excitovaných stavů látkových
du (Nick 1984: p = 760
I [A S-vztah fel(ε) stav plazmatu ≥
narušení v důsledku úniku záření ze systému, tj. je narušena platnost Planckova zákona. Plazmové systémy se však mohou nacházet (viz. kvaziizotermické plazma obloukových vlokální termodynamické rovnováhy (LTE), kdy je možno použít B-vztahu, S-rovnice a M- rozdělení, neboť látkové částice jsou ve vzájemné rovnováze a plazma je charakterizováno jednou teplotou. Pozn.:
částic jsou mnohem vyšší než rychlosti odpovídajících radiačních procesů Růst odklonu od LTE v ose obloukového výboje s poklesem výbojového prouTorr – Argon, poloměr výbojové trubice R = 0.2 cm)
] ne[cm-3] Te[K] Ta[K] B- &≥ 40 7 × 1016 12 100 11 900 PLATÍ M LTE 20 2 × 1016 10 400 9 500 NEPL O n1ATÍ PR M PLTE 2 2 × 1015 9 800 5 400 NEPLATÍ PRO n1,
porucha i pro n2
slabý odklon
da es pokles silný pokles chvostu od M
PLTE
lší pokles pokl( kle .
Te – T roste
pla de postupně se
detailní rovnováhy
při velkém po su I, respne již nepůjde o obloukový výboj)
a
tí pouze pro nn, kindex n je dostatečně vysoko ležící hladina
odklon o M roste naruší PLTE
Princip ké rovnováhy platí: V podmínkách termodynamic
Diferenciální rychlost libovolného mikroskopického procesu je rovna diferenciální rychlosti odpovídajícího inverzního procesu.
2004 Strana 29
Fyzika plazmatu
Příklad: Excitace a deexcitace atomu srážkou s elektronem ( ) ( ) enAemA ++
←→
deexcitace srážková excitace srážková 2
21 Cmemn ′=−=′ εεε (kinetická energie el. po srážce)
2
21 Cme=ε (kinetická energie elektronu před srážkou)
Předpoklad: C >> W (velmi dobře splněno, viz. dříve) W = W′, tj. po nárazu elektronu nedojde ke změně kinetické energie atomu (realistické zjednodušení,
které vede rychleji k výsledku) Platí (viz. dříve): ( ) ( ) ( ) WdWfnCCQCdCfndR MR
mexcmn
Me
excmn
33 ⋅=
→
321
TR v nm excitacerychlost lnídiferenciá
koncentrace atomů v m-tém stavu v případě TR ( ) ( ) ( ) WdWfnCQCCdCfndR MR
ndeexcnm
Me
deexcnm
33 ′′⋅′′= Po dosazení a porovnání diferenciálních rychlostí:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) WdWfnQm
dmm
eekTe
mn
WdWfeggnQ
md
mme
kTmn
MRnmn
deexcnm
C
mne
CdC
Cd
mne
C
e
mn
Cf
kTkTee
M
n
kT
n
mRn
excmn
C
e
dCCCd
dC
e
C
e
Cf
kT
e
ee
M
e
mn
e
Rm
e
mn
M
e
321
4
212123
321
4
212123
221224
2
221224
2
2
2
23
2
εεεεεεεεεππ
εεεεεππ
π
εε
ε
π
ε
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
′′′
′
−
′′
+−
=
−−
444 8444 764444444 84444444 76
4444 34444 21434214444 34444 21
48476484764444 84444 76
444 3444 21444 3444 21
Dostáváme:
( ) ( ) ( mndeexcnmmnn
excmnm QgQg εεεεεε −−= )
Fyzikální význam: Pomocí principu detailní rovnováhy dostáváme vztah mezi účinnými průřezy pro přímý a inverzní proces, tento vztah je dán pouze atomovými parametry ⇒ platí i mimo LTE!! ⇒ význam pro modelování nerovnovážného plazmatu (srážkovou deexcitaci popisujeme pomocí účinného průřezu pro srážkovou excitaci)
Pozn.: pro ( ) 0≠εexcmnQ mnεε > (excitace je procesem s prahem) ⇒ ( ) 0≠′εdeexc
nmQ pro 0>′ε , tj. deexcitace nemá práh
V termodynamické rovnováze platí:
deexcnm
excmn RR =
rychlost srážkové excitace m→n
rychlost srážkové deexcitace n→m
Po dosazení
deexcitacisrážkovou pro
koef. rychlostní
integrál) í(rychlostnexcitaci
srážkovou prokoef. rychlostní
↓=
↓
deexcnm
Rne
excmn
Rme SnnSnn
Po úpravě:
excmn
kT
n
mdeexcnm Se
ggS e
mnε
= ...známe-li koeficient S (viz. integ. dříve), je snadné okamžitě stanovit S excmn
deexcnm
Příklad (cvičení 8): Dokažte, že tento vztah proS platí i mimo LTE, avšak pouze tehdy, je-li rozdělovací funkce elektronů maxwellovská
deexcnm
Cvič. 8: Odvoďte vztah mezi Anm a fmnCvič. 7: Ilustrativní – obsah není předmětem zkoušky Optická emisní spektroskopie
2004 Strana 30
Fyzika plazmatu
3. Rozdělovací funkce částic a zákony zachování Stanovení rozdělovací funkce je klíčové pro popis plazmatu – slouží k určení středních hodnot veličin, rychlostí procesů a veličin charakterizujících přenos částic, hybnosti a energie plazmatu 3.1. Boltzmannova rovnice Platí: ( ) ( ) CdtCrftrndn sss
3,,,rr
=
počet částic s-tého druhu v jednotce objemu v místě rr
, jejichž rychlosti leží v intervalu ( )CdCC +,
( ) CdtCrfs3,,
r…pravděpodobnost, že částice se nachází v daném čase t v místě r
ra má rychlost ( )CdCC +,
( trns , )r…objemová koncentrace částic s v daném místě r
rv daném čase t
Po integraci:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 344 21
rrrrr
podmínka normovací - 1
33 ,,,,,,, ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
== CdtCrftrnCdtCrftrntrn sssss
Po další integraci:
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫+∞
∞−
+∞
∞− Ω
+∞
∞−
== 43421rrr
321
prostoru fázovémrnémšestirozmě v
integrace -
systému v typutého-sčástic
počet celkový dssss rCddtCrftrnrdtrntN 333 ,,,,
rychlost změny počtu částic s v důsledku pružných srážek
Platí:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )434214444 34444 21
rr
4444 34444 21
rrr
444 3444 21
rr
444 3444 21
rr
rrrsrážek důsledku
včástic počtuzměny rychlost
zdrojem) vyvolanou E pole intenzitou dánelektronů případě (v polem silovýmčástic
urychlení důsledku vzměny rychlost
částic) proudění resp. stěnám, ke difúzeradiální např. difúze, existuje prostoru v ínehomogennčástic rozdělení
je když nenulový, je člen (tentočástic toku důsledku vzměny rychlost
energie) zdroje zapnutí a vypnutí při významný člen
tento je elektronů případě (vzměny časové čistě rychlost
prostoru fázovéhobodě jednom v tj. t, čase
daném v C rychlostí s r místě v objemu jednotce v sčástic
počtuzměny rychlost celková.
,,,,,,,,,,,,sr
ss
nF
ssC
C
ssrssss tfn
tCtCrftrn
trtCrftrntCrftrn
ttCrftrn
dtd
sS
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∂∂
⋅∇+∂∂⋅∇+
∂∂
=
⇒
δδ
Po úpravě:
( ) ( ) ( )
.sr
sssCs
s
sssr
ss
tfnfn
mFfnC
tfn
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=∇+∇⋅+
∂∂
δδ
…B-rovnice pro rozdělovací funkci ( )tCrfs ,,r
Srážkový člen Platí:
( ) ..
.
inels
els
sr
ss CCtfn
+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
δδ
rychlost změny počtu částic s v důsledku nepružných srážek
Platí:
( ) ( )[ ( ) ( )]( )
∑ ∫ ∫+∞
∞−
′′
Ω−′′=r
dQ
sr
s
rs
s
rsrsels WddIgWfCfWfCfnnC
sr
π4
3.876
4342143421
C naC z rychlost změnila
se srážce (při Crychlostí s typu
částic počtu sníženícíodpovídají člen
C naC z rychlost změnila
se srážce (při Crychlostí s typu
částic počtu přírůstkucíodpovídají člen
velikost relativní rychlosti
diferenciální účinný průřez pro srážku s-r
Pružná srážka mezi částicemi s a r
integrace přes všechny rychlosti částic typu r
Přímá srážka: Inverzní srážka:
2004 Strana 31
Fyzika plazmatu
Platí (viz dříve): ( ) ( ) ( ) WCdddggIWfCfnn srrsrs
33, Ωχ
…počet srážek částic s z intervalu ( )CdCC +, a částic r z intervalu ( )WdWW +, v jednotce objemu za 1s, kdy nalétávající částice se odchylují pod úhlem χ
Při popisu inverzní srážky bylo užito:
WdCdWCdd
WCWCg
′′=
′−′≡−=
≡′
3333
χχ
Pozn.: V případě srážek nabitých částic je nutno započítat debyeovské stínění v dolní mezi integrálu přes dΩ (χmin≠0)
3.2. Zákony zachování Zákony zachování počtu částic, resp. hmotnosti, hybnosti a energie jsou základními zákony pro objasnění procesů ve výbojích
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
Lze je získat po vynásobení B-rovnice funkcí 1)( =Φ C , resp. ms, Cms a 2
21 Cms a po její integraci přes celý
rychlostní prostor
∫∫∫∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞
∞
Φ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=Φ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∇+Φ⋅∇⋅+Φ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣ ∂
C na pouze závisí
CdCtfnCdCfn
mFCdCfnCCdC
tfn ss
sCss
sssr
ss 3333
δδ
∫+⎡∂
Dostáváme: − Po úpravě:
(i) ( ) ( )( )
( ) ( )rychlostivšechny
přes hodnota střední
C na nezávisí
nezávislé jsou a
funkcí expl. není
↵Φ
∂∂
=Φ∂∂
=Φ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
∫∫∞+
∞−
Φ
∞+
∞−
Cnt
CdCfnt
CdCtfn
s
n
ss
tC
tC
ss
s
rr
33
(ii) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅Φ⋅∇=⋅Φ∇=∇⋅⋅Φ ∫∫
∞+
∞−
∇
∞+
∞−
CCnfnCCCdfnCCCd sr
rC
n
ssrssr
s
nezávislé jsou a
za bude ale,C na nezávisí r na explicitně
nezávisí
r
rr
rr
48476
4342133
(iii) Předpokládáme, že působící síla F je elmag. povahy, tj. F nezávisí naC v elektrickém poli a F ⊥C v magnetickém poli, tj. Fx nezávisí na Cx, Fy na Cy a Fz na Cz v magnetickém poli Potom:
( ) ( )( )
( )[ ]
( ) ( )∫∫∫∞+
∞−
±∞→→→Φ
∞+
∞−
∞+
∞−
Φ⋅∇−=Φ∇−Φ∇=∇Φ
∞+
∞−
CnmFCCfdn
mFfCCdn
mFfn
mFCCd Cs
s
sCss
s
s
CffC
sCss
ssCs
s
s
s
s
3
0,0
,0
33
444 3444 21
876
pro protože neboť
partes" per" složky néstejnojmen
nezávislé
Po dosazení:
( ) ( ) ( ) ( )( ).sr
sCss
ssrs Cn
tCn
mFCCnCn
t ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ Φ=Φ∇−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Φ⋅∇+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ Φ
∂∂
δδ
…obecná formule vyjadřující zmíněné zákony zachování Aplikace:
(i) Po dosazení ( ) 1=ΦC dostáváme zákon zachování počtu částic (rovnice kontinuity pro částice s)
2004 Strana 32
Fyzika plazmatu
Platí:
.
0sr
ssr
s
tnCn
tn
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛∇+
∂∂
δδ
43421
místědaném včástic toku
hustota objemová
časová změna počtu částic v jednotce objemu v daném místě v důsledku srážkových procesů
kde …tzv. difúzní (jinde označovaná jako unášivá, resp. driftová) rychlost = střední
rychlost, kterou se celý oblak částic s pohybuje určitým směrem, přičemž částice v tomto oblaku vykonávají neuspořádaný tepelný pohyb
∫+∞
== uC∞−
CdfC ss3
Platí: .terms vuC +=
C …okamžitá rychlost
su …tzv. difúzní rychlost (o čistě difúzní rychlost půjde pouze v případě neutrálních částic, pokud nebudou unášeny jinými částicemi; na částice s nábojem působí elmag. pole ⇒ drift)
termv …termální rychlost částic Pozn.:
Platí: ( )( ) ( )
s
S
s
Vs
ssr SddVun Φ=⋅Γ=
Γ
⋅∇ ∫∫věta-G
321 celkový tok částic s uzavřenou plochou S
Γs…hustota toku částic s v daném místě = počet částic, které projdou jednotkou plochy za 1s v daném místě
Pro pozorovatele, který se pohybuje rychlostí su , tj. s mrakem částic, bude rozdělení částic podle termv
zcela symetrické od počátku rychlostního prostoru, tj. 03 =∫+∞
∞−
Cdfv sterm (viz. zavedení su )
(ii) Po dosazení ( ) CmC s=Φ dostáváme zákon zachování hybnosti
(iii) Po dosazení ( ) 2
21 CmC s=Φ dostáváme zákon zachování energie
Po netriviálních úpravách:
444 3444 21
32143421321 .
2
21
25
23
srsssss
s Cmnt
qupdt
dp⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅∇+⋅∇+
δδ
, kde sss kTnp = …parciální tlak částic s
změna energie částic s v jednotce objemu za 1s při změně jejich parciálního tlaku (změna ns, resp. Ts), komprese nebo expanze částic při zapnutí a vypnutí
změna energie v důsledku proudění částic v nehomogenním plazmatu
( )ruu ss =
změna energie v důsledku přenosu tepla (viz. např. tepelné ztráty)
změna energie částic s v důsledku jejich srážek s ostatními částicemi
Pozn.:
Platí: sss Tq ∇−= λ , kde λs je tepelná vodivost částic vektor toku tepla, které je přenášeno částicemi s (energie, která projde jednotkou plochy za 1s) – vždy, když se okamžitá rychlost částic v daném místě liší od střední unášivé rychlosti, tj. částice mají vyšší nebo nižší teplotu, než je průměrná
Rovnice pro energii elektronů v neizotermickém plazmatu Vzdaluje-li se plazma od stavu LTE, začíná se lišit teplota elektronů Te od teploty těžkých částic Ta≅Ti (≡Th); hovoříme o tzv. dvouteplotním plazmatu
2004 Strana 33
Fyzika plazmatu
Pro elektrony platí: tento člen nutno přidat v případě nabitých částic
( ) ( )in
heeeeeeeeee C
TTknEJTukTnkTn
dtd
−−
−⋅=∇−⋅∇+⋅∇+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
44 344 213214434421 τ
λ 23
25
23
ztráta energie elektronů při pružných srážkách s těžkými částicemi
úbytek energie elektronů při nepružných srážkách
celková energie zdroje předaná elektronům v jednotce objemu za 1s EJe //σ=
Pozn.: Objasnění ztrátového členu na pravé straně rovnice
ee T∆−λ za předpokladu, že
( )ree
rλλ ≠ (ztráta
energie odvedením tepla)
( he TTk −23 )…energie přenesená z elektronu na těžkou částici při srážce
τ…tzv. charakteristická doba pro přenos energie (doba mezi dvěma srážkami elektronu s těžkými částicemi, při nichž jim elektron předá svou kinetickou energii)
Platí:
Eehν
τ 1= , kde ( )12 eh
h
eEeh m
m νν321
=
frekvence srážek elektronu, při kterých elektron předá svou kinetickou energii těžkým částicím
Zjednodušený tvar rovnice pro rozložení teplot ve stacionárním dc výboji
faktor přenosu energie, tj. střední hodnota poměrné části kinetické energie elektronu, kterou elektron ztratí při pružné srážce s těžkou částicí
frekvence srážek elektronu s těžkými částicemi, při nichž je přenášena hybnost, tj. energie obecně
Platí: 0=dtd (viz. stacionární)
Navíc předpokládáme, že členy s eu⋅∇ a jsou zanedbatelné, inC ( )ree
rλλ ≠
Potom:
( )
023
=∆+−
−⋅ eehee
e TTTkn
EJ λτ
Případ homogenní, stacionární oblasti plazmatu (viz. např. kladný sloupec výboje):
( )τ
heee
TTknEJ
−=⋅ 2
3
Po úpravě:
τ⋅⋅+=
knEJTT
e
ehe 3
2…formule pro rozdíl Te − Th
Te…kinetická teplota elektronů ( ekT23=ε )
Th…teplota atomů (většinou mají M-rozdělení) EJe ⋅ …výkon zdroje předaný do jedn. objemu
Pozn.: V první aproximaci lze psát: pnUEnJ
hvýbee
1~1~,~,~ τ , kde p je tlak; je vidět, že Te – Th nabývá
poměrně velkých hodnot v nízkotlakých doutnavých výbojích (E a τ poměrně velké), zatímco Te≈Ta v obloukových výbojích za atmosférického tlaku (E a τ poměrně malé)
Rovnice kontinuity pro elektrony Elektrony jsou nejaktivnějšími částicemi plazmatu (urychlovány elektrickým polem) – jejich popis je proto velmi významný
2004 Strana 34
Fyzika plazmatu
Jednou ze základních charakteristik plazmatu je objemová koncentrace elektronů ne, která je dána rovnicí kontinuity:
( ) 4444 84444 76 srážkách při elektronů počtuzměně ke vedou které procesy, hlavní
.. zácheeioneeee nnnnunt
n ναν −−=⋅∇+∂∂
+
νion....frekvence jednostupňové ionizace atomů nebo molekul po srážce s elektronem (počet ionizačních aktů po srážce s 1 elektronem za 1s) α…koeficient pro rekombinaci elektron-iont (předp. ne≅n+) νzách....frekvence záchytu elektronu neutrálními částicemi
Platí (viz. vztah pro ): PR12
∑=s
ionssion gQn .ν , kde ns je objemová koncentrace atomů, resp. molekul v určitém energet. stavu
.ionsgQ …střední hodnota výrazu − rychlostní integrál .ion
sgQ
Tok elektronů ve výboji: Platí:
eee un=Γ …hustota toku elektronů ue…unášivá rychlost elektronů V obecném případě lze napsat:
E,kde µe je pohyblivost elektronů, intenzita vloženého elektrického pole, koeficient difúze pro elektrony:
driftový tok elektronů (proti směru E , tj. směrem od – k +), driftová rychlost:
Ev ed µ−=
difúzní tok elektronů (proti směru nárůstu ne)
1ehe
ee
mkTDν
=
Pozn.: Platí E-vztah mezi pohyblivostí a koeficientem difúze: ee
e ekTD µ= (viz tok nosičů náboje v
střední frekvence srážek s přenosem hybnosti mezi elektronem a všemi těžkými částicemi
321321 eeeee nDEn ∇−−=Γ µ
polovodičích) Rovnice pro difúzi Budeme předpokládat, že ve výrazu pro eΓ dominuje difúzní člen. Tento případ je velmi důležitý v mnoha prakticky zajímavých situacích pro elektrony (viz. např. dohasínající výboj po vypnutí zdroje nebo oblast výboje mimo působení elektrického pole); mimoto, stejná situace je řešena i pro neutrální částice při jejich difúzi z místa jejich vzniku Další předpoklady:
všechny členy na pravé straně považujeme za nulové (viz. princip superpozice – zajímá nás pouze vliv difúze)
zatím zanedbáváme vliv iontů na difúzi elektronů (viz. ambipolární difúze později) uvažujeme, že De je konstantní
Potom lze napsat:
0=∆−∂∂
eee nDt
n…rovnice pro difúzi
ee nD ∆− …tok elektronů z místa jejich vzniku⇒ 0<∂∂
tne v místě odkud elektrony odtékají (ve
stacionárním případě ne ≅ konst. , neboť difúze je v rovnováze s rychlostí ionizace) Řešení hledáme ve tvaru: ( ) ( ) ( )tTrRtrne
rr=,
2004 Strana 35
Fyzika plazmatu
Po dosazení:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )konstanta být musí→
−=∆=∂
∂
∆=∂
∂
τ11 rR
rRD
ttT
tT
rRtTDttTrR
e
e
rr
rr
Pro časovou závislost dostáváme:
( )( ) dttTtdT
τ1
−=
( ) ( ) τt
eTtT−
⋅= 0 , tj. ( ) τt
e etrn−
~,r
, kde τ je tzv. difúzní rozpadová doba (ne klesne e-krát za t=τ) Pozn.: ne by klesla v důsledku difúze, kdyby byl vypnut zdroj (viz. „vypnutí“ ionizačního členu na pravé straně
rovnice kontinuity) Pro prostorovou závislost platí:
( ) ( ) ( ) ( )rRD
rRrRrR
D
e
e rrrr
ττ11
−=∆⇒−=∆⋅
Lze psát:
( ) ( )rnrn ee
rr2
1Λ
−=∆ , kde τeD=Λ
...difúzní rovnice pro prostorovou závislost koncentrace difundujících elektronů (řešení závisí na geometrii)
Difúze v cylindrickém systému Cylindrická geometrie je velmi významná pro fyziku plazmatu a plazmové technologie (viz. tvar výbojových trubic a komor) – nabité i nenabité částice difundují z oblasti svého vzniku (většinou v ose výboje), kde Te, Ta, Ti, ne≅ni a nn nabývají svých maximálních hodnot, radiálním směrem ke stěnám výbojových trubic a komor reaktorů
Po zavedení válcových souřadnic:
( ) 2
2
2
2
211
znn
rrnr
rrrn eee
e ∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
=∆ϕ
r
Předpokládáme, že:
0=∂∂
zne , tj. žádný tok ve směru osy z
0=∂∂ϕ
en, tj. symetrie kolem osy
Po dosazení:
222
2
011 rnrn
rrnr
reee =
Λ+
∂∂
+∂∂
02
2
22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Λ
+∂∂
+∂∂
eee nr
rnr
rnr ...Besselova rovnice pro 0=n (je snadné se zbavit zlomku
Λ=
ry )
Pozn.: Besselova rovnice
( ) 0222
22 =−++ ynx
dxdyx
dxydx
( ) ( )funkce) (Weberova
2.druhu funkce-B
indexu1.druhu funkce-B
↓↓+= xYCxJCy n
n
n 21 Obecný tvar řešení:
tzv. difúzní délka (charakterizuje pokles koncentrace ne v prostoru v důsledku difúze)
2004 Strana 36
Fyzika plazmatu
V našem případě splňuje určitě B-rovnici B-funkce ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ΛrJ0 , řešení pro ne(r) píšeme ve tvaru:
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Λ
=rJnrn ee 00 ...výraz pro radiální závislost koncentrace elektronů
...tzv. dominantní difúzní mód – představuje dominantní člen v obecném řešení Besselovy rovnice (rozpadová konstanta pro další člen je mnohokrát kratší)
Průběh závislosti J0(x)
Okrajová podmínka:
( ) Rrrne == pro 0 ...tj. na stěnách výbojové trubice, resp. komory nejsou v důsledku rekombinace na stěně žádné elektrony
Vztah pro difúzní délku:
( ) 2.405 x pro J graf viz.
0 ==↓
=Λ⇒=Λ
0
405.2405.2
x
RR
Po dosazení:
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
RrJnrn ee 405.20 0
koncentrace elektronů v ose výboje koncentrace elektronů ve vzdálenosti r od osy
Difúzní rozpadová doba pro dominantní mód:
405.2RDe =τ ⇒
2
405.21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
RDe
τ ,
Ambipolární difúze Zatím jsme předpokládali, že difúze elektronů není ovlivněna existencí iontů, to je možné jedině při velmi nízkém stupni ionizace ae nn , resp. 1nne , kde n1 je objemová koncentrace atomů na základní hladině
tj. pRDR
e
22
~~τ ⇒ pokles ne v důsledku difúze je rychlý,
když poloměr výbojových trub je malý a tlak je nízký
V reálných výbojích je difúze elektronů ovlivněna ionty (viz. např. radiální difúze ve výbojových trubicích) Platí:
11ihi
ii
ehe
ee
mkTD
mkTD
νν=>>= , neboť me<<mi a často Te>>Ti
De...koeficient difúze pro elektrony Di...koeficient difúze pro ionty (dále píšeme Di ≡ D+) ⇒ při stejném koncentračním spádu je difúzní tok elektronů mnohokrát větší než difúzní tok iontů, to vede ke
vzniku vnitřního elektrického pole o intenzitě vnE , které bude působit proti difúznímu toku elektronů a zároveň zvyšovat tok iontů o jejich drift, tím bude zachována kvazineutralita plazmatu (základní vlastnost plazmatu viz. dále)
2004 Strana 37
Fyzika plazmatu
Platí:
43421 vneeeee EnnD µ−∇−=Γ driftový tok elektronů proti směru vzniklého vnitřního elektrického pole, tj. celkový tok elektronů ve směru poklesu ne se zmenší
43421 vnEnnD +++++ +∇−=Γ µ driftový tok iontů ve směru vzniklého vnitřního elektrického pole, tj. celkový tok iontů ve směru poklesu n+ se zvětší
Po úpravě:
evnvn
evnevneeeeee
nEEnnDt
n
nEEnnDt
n
µµµ
µµµ
++++++++
+
∇−⋅∇−∆=Γ⋅−∇=∂∂
∇+⋅∇+∆=Γ⋅−∇=∂∂
Platí: nnne ≡≅ + (podmínka kvazineutrality, zajištěna působením vnitřního elektr. pole) Po úpravě:
( ) ( ) nDDtn
eee ∆+=∂∂
+ +++ µµµµ
nDDtn
aD
e
ee ∆++
=∂∂
+
++
4434421µµµµ
Dostáváme:
e
eea
DDDµµµµ
++
=+
++ ...koeficient ambipolární difúze (je stejný pro elektrony i ionty, tj. částice obou typů „difundují“ stejnou rychlostí – viz. vliv vnitřního elektrického pole)
Pozn.: V reálném výboji, kde nelze zanedbat vliv iontů, je nutno De (viz dříve) nahradit DaPlatí:
++
+ =>>=>> DkTeD
kTeDD e
eeae µµ a neboť
11ihiehe
em
em
eν
µν
µ =>>= +
Potom dostáváme:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=
+
+=
++++
+
+
<<
++
+ TTDD
TT
ekTD
D eeD
a
e
e
e
11
1
µµ
µµ
µ faktor zvětšení „difúzního“ koeficientu iontů v důsledku vnitřního elektrického pole
Pozn.: V případě nízkotlakých doutnavých výbojů (depozice vrstev, modifikace povrchů: Te>>T+) +>> DDa ,
pro obloukové výboje za atmosférického tlaku (tzv. kvaziizotermické plazma Te ≅ T+) +≅ DDa 2 (nejmenší zvětšení Da oproti D+)
Stanovení intenzity vnitřního elektrického pole vnE
Platí: vnvneee EnnDEnnD +++ +∇−=−∇−=Γ=Γ µµ43421
rovnováhynastavení po
Po úpravě:
nnDDE
e
evn
∇+−
−=+
+
µµ
2004 Strana 38
Fyzika plazmatu
Pro De>>D+ a µe>>µ+ dostáváme:
nn
ekT
nn
D
E e
e
DD
e
vn
e
e
∇−=
∇
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
<<
<<
+
+
1
1
1
1
µµµ
...tj. intenzita vytvořeného elektrického pole závisí na teplotě elektronů, koncentraci nosičů náboje a jejím gradientu
Cvičení 10-11: Srážkově-radiační model plazmatu (ilustrativně ukázat případ reálného řešení pro Ar plazma,
viz. Paper I – ukázat tvorbu modelu, fitování účinných průřezů, zákl. rovnice – srážky atom-atom, difúze metastabilů, tvar, B-rovnice – to nebude předmětem zkoušky)
4. Základní makroskopické charakteristiky plazmatu Zatím jsme se zabývali především chováním a vlastnostmi jednotlivých částic v částečně ionizovaném plynu. Nyní se zaměříme na studium makroskopických charakteristik systému nabitých částic, které vykazují kolektivní chování (viz. ambipolární difúze) 4.1.Kvazineutralita plazmatu a Debyeův poloměr stínění Základní vlastností plazmatu je jeho s
znikne-li v nějakém místě plazmatu náboj, dojde k tomu, že v jeho okolí
latí:
naha nastavit v jakémkoliv místě kvazineutralitu
obe
jemová koncentracelektronů v místě r
r
objemová
ístě koncentraceelektronů v m
( ) 0=rUpot
r, tj. l vliv
nábotam, kde by
je odstíněn
Vjsou v důsledku coulombické interakce shromažďovány náboje opačné polarity. Tím je vliv daného náboje odstíněn.
P( )0ε
ρ rEr
=⋅∇
ρ...objemová hustota volného náboje (zdroj existence elektrického pole)
Po dosaz
) ( ) ( )
E...intenzita vzniklého elektrického pole ení:
( ( ) ( )0ε
ϕ rnrner ei
rrr −
=∇
−⋅∇
( ) ( ) ( )[ ]rnrner ei
rrr−−=∆
0εϕ ...Poissonova rovnice pro potenciál vzniklého elektrického pole
ϕ...potenciál elektrického pole v daném místě rr
ro prost p lížení použít rovnovážné Boltzmannovo rozdělení
P orové rozložení elektronů i iontů lze v dobrém řib(viz. FIII):
( )( ) ( )
kTre
kTrU
ee enenrnpot
rr
r ϕ+−
⋅=⋅= označíme:
nnn ie ≡= (rovnovážná ntů koncentrace elektronů a io
v místě, kde byl vliv náboje odstíněn, tj. ( ) 0=r
rϕ
2004 Strana 39
Fyzika plazmatu
Pozn.: Pro malé r lze psát: ( ) obrázek) (viz. pokud , 004 0
>>≈ qr
qrπε
ϕr
, tj. ( ) nrne >r
a (viz.
formule) pro r ≈ 0 ⇒ blízko kladného náboje q se hromadí elektrony (důsledek C-interakce)
( ) nrni <r
Po dosazení:
( )( )
( )
( )
( ) ( )( )
0 q důsledku v r neboť >
>>
+−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−=∆
0,0
r
rr
r
r
r
321321r
ϕ
ϕϕ
εϕ
rnrn
kTre
rn
kTre
iei
eeenr
Řešení rovnice pro ϕ: Zavedeme sférické souřadnice a využijeme izotropie, tj. zajímá nás jenom závislost na vzdálenosti od náboje q, tj. funkce ϕ=ϕ(r)
Platí: ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∆
drdr
drd
rr ϕϕ 2
21r
Pro oblast, kde se začne projevovat stínění, tj. v oblasti poklesu ( )rr
ϕ pro dostatečně velká r, lze psát:
1<<kTeϕ
Potom:
( ) ( ) ( ) ( )rrkT
nekT
rekT
reendrdr
drd
r D
ϕλ
ϕε
ϕϕε
ϕ2
0
2
0
22
22111==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−+−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
LL
Substituce: 21
20 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=ne
kTD
ελ ...zatím pouze konstanta (fyzikální smysl později)
Zavedeme funkci:
( ) ( )rrgr =ϕ
Platí:
( ) ( ) ( )dr
rdgr
rgrdr
rd 112 +−=
ϕ
Po dosazení:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )r
D
D
D
DeCrg
rgdr
rgd
rgdr
rgdrdr
rdgdr
rdgr
rrg
drrdg
rrg
rr
drd
r
λ
λ
λ
λ
2
22
2
22
2
222
2
2
21
2111
±
⋅=
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
+ nemá fyzikální smysl, neboť ϕ(r)→0 pro r→∞
Po dosazení:
( )r
eCrr
Dλ
ϕ
2−
⋅=
průběh potenciálu pro dostatečně velkou vzdálenost od náboje (r musí být tak velké, aby platilo
1<<kTeϕ )
Stanovení konstanty C: Pro dostatečně malou vzdálenost r od náboje q se efekt stínění neprojevuje, tj.
( )r
qr04πε
ϕ = ...obyčejný coulombický potenciál vyvolaný nábojem q ve vakuu
2004 Strana 40
Fyzika plazmatu
Po dosazení:
objemová koncentrace elektronů mimo oblast prostorového náboje, neboť v ní nedochází ke srážkám
velikost hustoty toku elektronů (ve směru osy y), které dopadnou na elektrodu
na povrch elektrody dopadnou pouze ty elektrony, které se pohybují směrem k ní a které překonají potenciálovou bariéru danou existencí záporného náboje na elektrodě
, kde λD je délkový parametr [m] určující faktor stínění, tzv. Debyeův poloměr
stínění průběh potenciálu vyvolaného nábojem q, který vznikne v plazmatu
Pozn.: Debyeův poloměr λD vymezuje oblast existence elektrického pole vyvolaného nábojem v plazmatu, tj. oblast narušení kvazineutrality plazmatu; pro r = λD dostáváme faktor stínění C-potenciálu:
24.02 =−e 4.2. Oblast prostorového náboje na rozhraní plazma-pevná látka Jedním z důležitých případů narušení kvazineutrality v plazmatu je oblast prostorového náboje, která vzniká na rozhraní plazma-pevná látka. Pochopení tohoto jevu je důležité pro objasnění principu sondových metod diagnostiky plazmatu a dějů v oblasti elektrod využívaných v plazmových technologiích. Předpoklady:
Do stacionárního plazmatu je vložena tzv. plovoucí elektroda (taková, jejíž potenciál není dán vnějším zdrojem), která neemituje elektrony.
Pro jednoduchost uvažujeme rovnost TTT ie ≡= , tj. teplota elektronů a těžkých částic je stejná v celém systému.
Platí:
iei
ie
e mmmkTC
mkTC <<⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=>>⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= neboť ,
212188ππ
eC ...tepelná rychlost elektronů se kterou dopadají na elektrodu
iC ...tepelná rychlost iontů Tok elektronů na elektrodu v první fázi mnohokrát převyšuje tok dopadajících iontů ⇒ elektroda se velmi rychle nabije záporným nábojem takové hodnoty, která brání dopadu dalších elektronů a vede k vyrovnání elektronového a iontového toku.
Dvě základní otázky řešení problému:
Stanovit hodnotu potenciálu plovoucí elektrody ϕ0 < 0 Určit rozměr oblasti, kde je narušena kvazineutralita, tj. tloušťku vrstvy prostorového náboje, kde
ϕ(y)≠0 Hodnota ϕ0Předpokládáme, že
tloušťka vrstvy prostorového náboje < střední volná dráha elektronů a iontů ( ie ll , ), tj. uvnitř oblasti nedochází ke srážkám
rozdělovací funkce elektronů ( )Cfe je maxwellovská Platí: ( )∫
>
=Γ0
3
yy CC
yee CdCCfn
( )r
Der
qr λ
λεϕ
2
04
−
⋅=
2004 Strana 41
Fyzika plazmatu
Platí:
Platí:
0
2
20 ϕe
Cm ye −= ϕ0<0 – hodnota potenciálu plovoucí elektrody
Po dosazení:
4444 34444 214444 34444 211
221
22
2
221
1
221 2
2
0
22
222 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=Γ ∫∫∫∞+
∞−
−
=
=
∞+−
+∞∞
∞+
∞−
−
zkTCm
e
dtkT
dCCm
tkTCm
C
yykTCm
ex
kTCm
ee dCe
kTmdCCe
kTmdCe
kTmn
ze
yye
ye
y
yexe
πππ
:Substituce
,- intervalu vC rychlosti složkou ovou- xs částice
výskytu bnostpravděpodo celková -podmínka) normovací (viz.
x
Po dosazení: , tj. tok elektronů je brzděn
záporným nábojem plovoucí elektrody (ϕ0<0)
[ ] kTe
ekTe
t
e
kTe
t
e
ee eCne
mkTndte
mkT
kTmn
0
0
04
842
2121 ϕ
ϕϕ
ππ=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=Γ
∞+
−
−+∞
−
−∫ Analogicky pro ionty:
ii Cn4
=Γ ...velikost hustoty toku iontů ve směru osy y (žádná bariéra pro ionty)
n...objemová koncentrace iontů mimo oblast prostorového náboje (uvnitř ní nedochází ke srážkám) Potenciál plovoucí elektrody ϕ0 se nastaví na takovou hodnotu, že platí:
ie Γ=Γ 2121
84
84
0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
kTe
e mkTne
mkTn
ππ
ϕ
0ln
0
21
0 <⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
>43421 e
i
mm
ekTϕ , viz. silnou závislost na teplotě částic (důsledek závislosti Γe na T)
hodnota potenciálu plovoucí elektrody Tloušťka vrstvy prostorového náboje: Obdobně jako v případě stínění náboje q získáváme:
( )( )
( )
( )
( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−−=∆
<
+−
321321r
rr
r
r
r
rnrn
kTre
rn
kTre
iei
eeenrϕϕ
εϕ
0
Poissonova rovnice pro průběh potenciálu
elektrického pole v oblasti prostorového náboje e
( )rr
ϕ
Na okraji vrstvy platí:
neboť ( ) 0<rr
ϕ , tj. blízko záporně nabité elektrody převládá kladný náboj (viz. obrácenou situaci vzhledem k případu náboje q>0, který vznikl v plazmatu)
( ) 1<<
kTrer
ϕ
V jednodimenzionálním případě dostáváme pro dostatečně velké y (vzdálenost od plovoucí elektrody): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yy
kTne
kTye
kTyeen
dyyd
D
ϕλ
ϕε
ϕϕε
ϕ2
0
2
02
2 2211 ==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−+−−= LL
Řešení má tvar:
( )y
Dey λϕ2
~−
Pro všechny y lze v dobré aproximaci psát:
2004 Strana 42
Fyzika plazmatu
( )y
Dey λϕϕ2
0
−
⋅=, tj. tloušťka vrstvy prostorového náboje je zhruba rovna Debyeovu poloměru stínění – kolem elektrody se vytváří vrstva kladného náboje, která brání tomu, aby do plazmatu pronikalo elektrické pole, viz. základní vlastnost plazmatu
λD...Debyeův poloměr ϕ(y)...potenciál ve vzdálenosti y od plovoucí elektrody 4.3. Doba odezvy plazmatu a plazmová frekvence Při jakémkoli narušení kvazineutrality plazmatu vznikají značné síly, které mají tendenci nastavit znovu kvazinuetralitu ⇒ dochází ke vzniku oscilací elektronů a iontů v plazmatu. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že ionty jsou v plazmatu zcela nehybné, neboť ei mm >> , tj. jsou jakýmsi pozadím při rychlých oscilacích elektronů. Nechť v daném místě plazmatu dojde v určitém čase k elementární změně objemové koncentrace elektronů, tj. platí: ( ) ( )tnntne δ+= ne(t)...okamžitá hodnota objemové koncentrace elektronů n...stacionární hodnota ne=ni≡n před poruchou δn(t)...elementární změna objemové koncentrace Platí:
( ) ( ) ( )0εδ tnetE −
=⋅∇ ...Gaussova věta (viz. dříve)
okamžitá lokální hodnota intenzity elektrického pole vytvořeného prostorovým nábojem Podle 2.N-zákona:
( )
e
e
nEe
tu −
=∂∂
, kde eu - (střední) unášivá rychlost elektronů
okamžité zrychlení el., které jsou odpuzovány z místa přebytku záporného náboje (δn>0) V daném místě dochází k přerozdělení koncentrace elektronů, platí zákon zachování počtu elektronů:
( ) 0=⋅∇+∂∂
eee unt
n
zanedbáváme srážkový člen Pozn.:
Je-li ( ) 0>⋅∇ eeun , tj. elektrony odtékají z daného místa, potom 0<∂∂
tne , tj. koncentrace elektronů
v daném místě klesá, až se δn stane v důsledku setrvačnosti pohybu elektronů záporným ⇒ v tom okamžiku se směr E obrátí, tj. elektrony začnou přitékat do daného místa, tj. ( ) 0<⋅∇ eeun , potom
0>∂∂
tne ,tj. koncentrace elektronů v daném místě roste, až se δn stane kladným – děj se opakuje:
hodnota δn osciluje s časem, směr pohybu elektronů se v okolí daného místa mění (hovoříme o oscilacích elektronů)
Základní otázka řešení problému: Stanovit tzv. plazmovou frekvenci, tj. frekvenci oscilací elektronů Po dosazení:
( )( ) ( ( ))( )
0=+⋅∇++∂∂
<<↓
e
n
utnntnnt 321
zanedbáme aproximaci
první vtn tj. ,čase na nezávisí
δ
δδ
Dostáváme:
( ) ( )( )
( )( )
( )výše viz.
prostoru malém velmi ve probíhá n
změna neboť ,rnn předp.
0
0
2
2
=∂∂
⋅∇+∂∂
∂∂
=⋅∇+∂∂
−=
≠
emtEe
e
e
tunn
t
tunn
t
δ
δ
δ
r
2004 Strana 43
Fyzika plazmatu
Po úpravě:
(viz. výše) – tato úprava vede k rovnici pro kmity
( ) ( )( )
0
0
2
2
=⋅∇−∂∂
−=
321
εδ
δtnee
tEmenn
t
Po dosazení:
- tzv. plazmová frekvence (viz. dále)
( )kontinuity rovnici v srážek zanedbání důsledku vtlumeny nejsoukmity ↓
=+∂∂ 0
2
0
2
2
2
nm
nent
p
e
δε
δ
ω321
Tvar řešení:
( ) ( )pptXtn αωδ += sin
okamžitá hodnota elementární změny koncentrace elektronů po poruše ( 0><nδ ) v daném místě
kruhová frekvence oscilací elektronů
Platí: p
Tωπ2
= , tj. pω
1 - tzv. doba odezvy plazmatu (charakterizuje dobu, za níž plazma zareaguje na narušení kvazineutrality)
doba jedné periody kmitů
π-krát kratší doba než interval mezi maximální kladnou a maximální zápornou hodnotou δn
Souvislost plazmové frekvence a Debyeova poloměru
e
e
e
epD C
mkT
mne
nekT
≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=2121
0
221
20
εεωλ velikost střední tepelné rychlosti elektronů Platí: e
Po úpravě:
Dp
eC λω
≈⋅1
poloměr oblasti, v níž je narušena kvazineutralita
→ doba odezvy plazmatu pω
1 je čas, za který se elektrony dostanou z místa vzniku poruchy do vzdálenosti λD
Pozn.:
Platí: [ -3m214.56 ep n×=ω ] ⇒ 2~11en1
pω, tj. reakce plazmatu na poruchu kvazineutrality je rychlá,
když ne je dostatečně vysoká (př. obloukové výboje) Je-li plazma narušováno dopadem elmag. vlny o kruhové frekvenci ω, potom elektrony plazmatu jsou
schopny udržet jeho kvazineutralitu, tj. stínit plazma před elmag. polem, pokud pωω < - elmag. vlna se odrazí ⇒ plazmatem se mohou šířit pouze elmag. vlny o kruhové frekvenci ω≥ωp (uvedený závěr je třeba modifikovat, když budou započteny srážky).
4.4. Sondová diagnostika plazmatu Velmi důležitá pro stanovení základních charakteristik plazmatu: koncentrace a teploty elektronů, potenciálu a rozdělovací funkce elektronů v různých místech výboje. Langmuirova sonda (r. 1924)
Tenká kovová elektroda (Pt, Mo, W nebo nerez – dostatečně vysoká teplota tání a odolnost proti bombardování nabitých částic) v trubičce z izolátoru, která svým hrotem 5 až 10mm dlouhým zasahuje do plazmatu, kam je vnořena (může být pohyblivá)
Metoda jedné sondy Je používána, když alespoň jedna elektroda výboje je v plazmatu Pozn.:
V případě bezelektrodových výbojů (RF, mikrovlnné výboje) je nutno použít metody dvou sond
2004 Strana 44
Fyzika plazmatu
Měřící obvod s jednou sondou
Měříme volt-ampérovou charakteristiku sondy, resp. I-ϕ charakteristiku (změnou napětí zdroje měníme hodnotu potenciálu sondy ϕp(probe potential), vůči vztažné elektrodě: K, A nebo komora) v daném místě plazmatu ⇒ získáváme lokální hodnoty ( )εϕϕ elsfee fTn resp. a ,, ϕf...plovoucí potenciál(floating potential)
ϕs...potenciál plazmatu (plasma space potential) Teorie sondových měření je vypracována jen pro specifické podmínky v plazmatu, interpretace měření musí být dělána s ohledem na analýzu teoretických předpokladů (hlavním problémem je otázka vlivu srážek mezi částicemi v plazmatu na V-A charakteristiku). Platí následující předpoklady:
Nejjednodušší případ – výboje za nízkého tlaku (p ≤ 0.1 Torr = 13.3 Pa) – Langmuirova teorie
(i) Plazma jako celek je nehybné, tj. drift elektronů je zanedbatelný vzhledem k jejich tepelné rychlosti (ii) Sonda neemituje elektrony
(iii) Rozměr sondy ie llL ,<< , tj. dopadající nabité částice nevykonávají v oblasti sondy srážky
~p1 , kde p je tlak ve výbojové komoře
(iv) Rozměr sondy DL λ>> (Debyeův poloměr), tj. příelektrodovou oblast lze považovat za rovinnou (viz.
vztah pro Γe a Γi), nedochází v ní ke srážkám ( lLD <<<<λ ) Pro jednoduchost navíc předpokládáme (viz. odvození formulí pro Γe a Γi): (tyto předpoklady budou oslabeny na cvičení) (v) Rozdělovací funkce elektronů a iontů je maxwellovská (vi) Teplota elektronů a iontů je stejná, tj. TTT ie ≡= (toto zjednodušení je velmi silné)
2004 Strana 45
Fyzika plazmatu
Typický tvar V-A charakteristiky sondy
Závislost I = I(ϕp)lze rozdělit na 3 oblasti:
AOblast : fp ϕϕ ≤ Platí: 0, == Ifp když ϕϕ
celkový tok na sondu je nulový, neboť elektroda má takový záporný potenciál vzhledem k potenciálu plazmatu (viz. ie CC >> ), že elektronový tok je redukován na hodnotu iontového toku
fp ϕϕ < Pro : iontový tok začne převládat nad tokem elektronů, tj. I<0 – elektrony jsou odpuzovány sondou
fpp ϕϕϕ >>< Pro 0 : registrujeme tzv. iontový saturační proud (jeho hodnota pomalu roste s dalším
poklesem ϕp v důsledku růstu efektivní plochy sondy při zvětšování tloušťky oblasti prostorového náboje u sondy – v okolí záporné sondy je oblast kladného prostorového náboje, tou prolétne iont beze srážky na sondu, viz. Child-Langmuirova rovnice v LS)
BOblast : spf ϕϕϕ ≤<
fp ϕϕ > Pro : I > 0 → celkový tok na sondu je kladný, neboť převládá tok elektronů nad tokem iontů
pϕrůstu dalším Při : I roste, neboť vrůstá tok elektronů na sondu v důsledku dalšího snížení bariéry, kterou
vytvářejí na sondě záporné náboje, protože ie CC >>
sp ϕϕ = případě V : bariéra pro elektrony zcela zaniká, tj. celkový tok na sondu je dán rozdílem neredukovaných toků elektronů a iontů, jež jsou důsledkem jejich tepelného pohybu (sonda na potenciálu plazmatu nenarušuje kvazineutralitu plazmatu v daném místě ⇒ v okolí sondy se netvoří oblast prostorového náboje)
COblast : sp ϕϕ >
sp ϕϕ > Pro : tok iontů na sondu je redukován nutností iontů překonávat potenciálovou bariéru (sonda narušuje kvazineutralitu plazmatu, neboť v jejím okolí se hromadí záporný náboj odpovídající kompenzaci rozdílu ϕp - ϕs > 0)
sp ϕϕ >> Pro : téměř všechny ionty jsou odpuzovány sondou, je registrován tzv. elektronový saturační proud (jeho hodnota roste s dalším růstem ϕp v důsledku růstu efektivní plochy sondy při zvětšování tloušťky záporného prostorového náboje u ní, ale i v důsledku ionizace atomů a molekul elektrony, při jejich toku na sondu)
2004 Strana 46
Fyzika plazmatu
Teoretická závislost I = I(ϕp) Platí: ie III −= ...celkový tok elektronů a iontů na sondu Ie...tok elektronů Ii...tok iontů Po uplatnění výchozích předpokladů a výsledků pro Γe a Γi (viz. dříve) dostáváme: (i) B) aA oblast (viz. Pro sp ϕϕ ≤
Tok elektronů je snižován bariérou a tok je dán tepelným pohybem přičemž zanedbáváme vliv ϕp na efektivní plochu sondy
ne = ni ≡ n (v oblasti prostorového náboje u sondy nedochází ke srážkám, ieD llL ,<<<<λ )
Platí:
( )
**i
kTe
e IeIIps
−=−
−ϕϕ
, kde
4* ee
CneAI ⋅⋅=
velikost hustoty toku elektronů ve směru kolmém na rovinnou vrstvu prostorového náboje
A...plocha sondy ...saturační proud elektronů *
eI
4* ii
CneAI ⋅⋅=
Pozn.:
Pro velké záporné hodnoty ϕp dostáváme: *iII −=
Pro ϕp = ϕs: **ie III −= , tj. žádná redukce chaotických toků
(ii) C)oblast (viz. Pro sp ϕϕ > Tok iontů je snižován bariérou a tok elektronů je dán tepelným pohybem, přičemž zanedbáváme vliv ϕp na efektivní plochu sondy
Platí:
( )
kTe
ie
sp
eIIIϕϕ −
−−= **
Pozn.:
Pro ϕp = ϕs: **ie III −=
Pro velké kladné hodnoty ϕp: *eII =
Sondová diagnostika plazmatu Pozn.: Stále platí zjednodušující předpoklady (maxwellovské rozdělení elektronů a iontů, Te = Ti ≡ T) Obvyklý postup: (i) Nastavením dostatečně velkého záporného potenciálu na sondě lze po extrapolaci k ϕf (viz. obrázek) získat
hodnotu saturačního proudu iontů *iI
(ii) V oblasti B, kde je hodnota I velmi citlivá na ϕp, platí:
( )
kTe
ei
ps
eIIIϕϕ −
−=+ **
Po zlogaritmování:
( )kTe
eIII pkTe
ei
s ϕϕ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
−** lnln
dostáváme lineární závislost ( )*ln iII + na ϕp, směrnice určuje teplotu elektronů Te ≡ T
2004 Strana 47
Fyzika plazmatu
Pozn.: V případě nemaxwellovské rozdělovací funkce elektronů (viz. ochuzování jejího chvostu při nízkém stupni ionizace plazmatu) je stanovení teploty elektronů problematické a tudíž nespolehlivé, neboť závislost není obecně lineární, dostáváme pouze odhad hodnoty T( ) ( )pi fII ϕ=+ *ln e
(iii) Známe-li: AmTTI iei a ii), bod (viz. i), bod (viz. ≡* , stanovíme pomocí formule 21
* 84 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=
ii m
kTneAIπ
hodnotu nne ≡ Poznámka o metodě dvou sond Dvě sondy jsou používány v případě RF a mikrovlnných bezelektrodových výbojů, kde není obvykle dostupná referenční elektroda (viz. metoda jedné sondy). Diagnostika plazmatu je prováděna na základě měření V-A charakteristiky dvou sond, které jsou před vložením napětí na plovoucím potenciálu, tj. žádná z nich není uzemněna. Je měřena závislost celkového proudu mezi sondami na rozdílu potenciálů mezi nimi (zajišťován vložením napětí ze zdroje). 4.5. Šíření elektromagnetických vln v plazmatu Lze ukázat, že plazmatem se šíří rovinné elmag. vlny schopné přenášet energii. Budeme se zabývat studiem vlivu plazmatu na šíření elmag. vln a využitím tohoto efektu pro diagnostiku plazmatu. Budeme předpokládat:
Plazma je homogenní, neomezené, nehybné a nestlačitelné Koncentrace elektronů je ne, střední hodnota frekvence srážek s přenosem hybnosti elektronů na
všechny těžké částice eneieH νννν +=≡ Maxwellovy rovnice pro elmag. pole v plazmatu:
ρ=Ddiv ...zobecněná G-věta: zdrojem elektr. pole jsou volné náboje a vázané náboje impl. zap. v D ρ...objemová hustota volného prostorového náboje Pozn.: V důsledku nenulové vodivosti plazmatu (kvazineutralita) ( ) 0≈r
rρ
0=Bdiv ...neexistence magnetických nábojů
tBErot∂∂
−= ...zobecněný F-zákon
tDjHrot∂∂
+=r
...zobecněný A-zákon: Zdrojem magnet. pole jsou volné proudy, posuvný proud tD∂∂
a vázaný proud impl. započ. v H Materiálové vztahy:
ED ε= , kde ( )eχεε += 10 započítává schopnost prostředí polarizovat se v elektr. poli (vliv vázaných elektronů neutrálních částic a iontů)
HB 0µ= , tj. použijeme stejného vztahu jako ve vakuu, potom H nebude zahrnovat vliv tzv. vázaných proudů na vznik magnetického pole, jak je obvyklé v případě mnoha pevných
látek, kde HM mχ= , kde χm je magnetická susceptibilita (vyjadřuje schopnost látky magnetizovat se)
M ...vektor magnetizace (objemová hustota magnetického dipólového momentu) H ...intenzita magnetického pole v látce
V plazmatu:
B
M 1~ , kde B je velikost magnetické indukce vnějšího magnetického pole
BM ↑↓ , tj. plazma vykazuje diamagnetické chování (χm<0), magnetické pole vyvolané vnějším magnetickým polem působí v látce proti němu
Závěr: Oddělení vlivu volných a vázaných proudů se neprovádí, potom jr
představuje hustotu celkového proudu v A-zákoně
2004 Strana 48
Fyzika plazmatu
Vtah pro proudovou hustotu j
r:
Vzhledem k předpokládané nehybnosti plazmatu je možno zanedbat konvenční proud a napsat:
Jj = J ...hustota celkového vodivostního toku Platí:
( )eeii ununeJ −=
eu ...unášivá rychlost elektronů
iu ...unášivá rychlost iontů Tvar Ohmova zákona: V částečně ionizovaném plynu je vztah pro proudovou hustotu velmi komplikovaný. Pouze v případě kvazineutrálního, stacionárního a homogenního plazmatu bez magnetického pole (vnějšího i vlastního, tj. nerelativistický případ) lze použít obvyklého (viz pevné látky) tvaru Ohmova zákona:
EJ σ= , kde ν
σe
e
men 2
= je měrná vodivost plazmatu pro konstantní proud (případ AC výbojů v LS)
měrná vodivost Pozn.: Každá komponenta plazmatu (elektrony, ionty a neutrální částice, obecně různých prvků, se liší
hmotnostmi a unášivými rychlostmi) je uvažována jako oddělená tekutina, která interaguje s druhými při pohybu „skrz“ ně, viz. zásadní odlišnost od modelu krystalové mříže s mrakem volných elektronů.
Za výše zmíněných výchozích předpokladů (nyní uplatníme, že plazma je homogenní, nehybné, nestlačitelné a kvazineutrální) a za předpokladu, že vnější magnetické pole je nulové a vlastní magnetické pole se neuplatní, neboť uvažujeme nerelativistický pohyb částic, lze psát:
JEtJ
−≈∂∂ σ
ν1
, 1. rovnice pro E a J
Po úpravě F-zákona:
( ) ( )0) plazmatu, alitakvazineutr (viz. ≈→
∂∂
−=∆−=ρ
µ Hrott
EEdivgradErotrot 0
0321
dosadíme z A-zákona
Po dosazení z A-zákona:
2
2
00 tE
tJE
∂∂
+∂∂
=∆ εµµ , 2. rovnice pro E a J
Dostáváme dvě rovnice pro E a J . Řešení budeme hledat ve tvaru rovinné vlny: Vztah mezi vlnovým číslem k a kruhovou frekvencí šířících se vln ω dostaneme po dosazení za E a J do obou výchozích rovnic.
( )
( tkxi
tkxi
eJJ
eEEω
ω
−
−
=
=
1
1
) , kde 1E a 1J jsou konstantní vektory kolmé na směr šíření vlny ve směru osy x
k...velikost vlnového vektoru, tzv. vlnové číslo (obecně komplexní číslo, nelze přímo napsat λπ2=k ) ω...kruhová frekvence šířící se elmag. vlny (reálné číslo)
Platí:
( ) JEJi −=− σων1 ⇒ EiJ σ
νω
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −1
( ) ( ) ( ) EiJiEik 200
2 ωεµωµ −+−= ⇒ EJiEk 200
2 ωεµωµ +=
Po dosazení za J :
Ei
iEEkνω
ωσµωεµ−
+=1
020
2
2004 Strana 49
Fyzika plazmatu
Po přepsání:
νω
ωσµωεµi
ik−
+=1
020
2
...tzv. disperzní vztah, který musí platit mezi k,ω a parametry prostředí,abychom dostali řešení pro E a J ve tvaru rovinné vlny
Po úpravě:
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) 0
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
20
202
100
0
02
20
202
02
111
111
11
0
022
0
02
2
2
εω
ω
ωµωµ
ωµεεεε
σµωσµωεµ
ωνων
νωνω
ωω
ωνων
νω
νω
νω
εε
ννω
νω
εε
ν
νωνω
νω
e
ep
men
men
cR
meniRkc
cik
ik
ppp
e
e
e
e
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅
+
⋅+
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⋅
+−+=
+
⋅−
+
⋅+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
+=
+−
++=
kde ,
321
Dostáváme:
( )( )
( ) ( )( )22
2
2
2
22
111
ωνων
ωω
ων
ωω
ω ++
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
+−+=
pp
iRkc
příspěvek vázaných elektronů Vlnové číslo lze psát ve tvaru (viz. formule výše): αβ ik += Po dosazení:
( txixeeEE ωβα −−⋅= 1) , kde β je konstanta určující fázový posun: λπβ 2= , λ...délka vlny
faktor útlumu vlny, tj. α - konstanta útlumu (reálné číslo)
Platí: fv
cn = , kde 00
1µε
=c ...rychlost světla ve vakuu
index lomu prostředí βω
=fv ...fázová rychlost
Po dosazení:
βωcn =
Vliv veličiny R V případě, že ne = 0, tj. neexistují žádné volné elektrony ⇒ ωp = 0 (kruhová frekvence kmitů elektronů v plazmatu) Potom (viz. výše): β≡k , tj. k je reálné číslo, a dostáváme:
Rnkc+== 12
2
22
ω R...tzv. lámavost prostředí
Platí: V případě plynů: 1<<R V případě plazmatu v širokém rozsahu podmínek (viz. formule výše):
( )( )2
2
1 ων
ωω
+<<
p
R
...tj. veličinu R započítávající vliv vázaných elektronů lze zanedbat (tím spíše, čím je pro danou hodnotu ω koncentrace elektronů ne vyšší)
2004 Strana 50
Fyzika plazmatu
Šíření elmag vln v plazmatu
(i) Limitní případ 0→ων , tj. srážky elektronů s těžkými částicemi lze zanedbat
Platí: 22
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ωω
ωpck
pokud ωω <p , potom k je reálné číslo ⇒ elmag vlna by se šířila bez útlumu (α=0, tj. útlumový faktor je 1): elektrony se nestačí přesouvat tak rychle, aby dokázaly stínit plazma před poruchou, tj. rozruch jde do něho
Pokud ωω >p , potom k je ryze imaginární číslo, tj. platí:
tix eeEE ωα −− ⋅⋅= 1
řešení nepopisuje šíření rozruchu
útlumový faktor (kmitů)
Závěr: Elmag. vlnění, jehož frekvence ω je nižší než plazmová frekvence ωp, by se v případě neexistence srážek odrazilo od plazmatu (kmity elektronů jsou tak rychlé, že stačí kompenzovat vzniklou poruchu kvazineutrality)
(ii) Započítání vlivu srážek, tj. neplatí ων << Zavádí se tzv. kritická koncentrace elektronů pro danou kruhovou frekvenci elmag. vln ω: krit
en
0
22
εω
e
krite
men
=
koncentrace elektronů v plazmatu (určuje plazmovou frekvenci ωp)
Útlum vlnění pro případ ω = 7×1010 s-1, tj. λ ≈ 2.7 cm a tloušťku homogenní vrstvy plazmatu d = 3.82 cm.
Potom platí:
Pokud ωω << pkritee nn tj., (v bezesrážkovém plazmatu
elmag. vlny procházely bez útlumu), registrujeme útlum vln rostoucí s poměrem ων (viz. obrázek).
Pokud ωω >> pkritee nn tj., (v bezesrážkovém plazmatu
se elmag. vlny vůbec nešířily), registrujeme velmi silný útlum nepříliš závislý na poměru ων (viz. obrázek).
Pozn.:
[ ] ( )( )dI
I 0log10=dB útlum
I(x)...intenzita elmag vlny v daném místě
HES ×=I ~ , pro rovinou vlnu: EHHE ~ a ⊥
velikost Poyintingova vektoru Po dosazení:
[ ] ( )
( )( )
ded
edxE
xE d
αα
α
686.8log20
log100
log10 22
2
=
===
==
výše viz.
dB
=
útlum
2004 Strana 51
Fyzika plazmatu
Závislost koeficientů α a β na ων a ωωp
Pravou stranu rovnice pro 2
22
ωkc napíšeme ve tvaru:
ImRe iKKK += , kde ( )( )2
2
Re 11
ων
ωω
+−=
p
K a ( )
( )22
Im 1 ων
ων
ωω
+=
p
K
Pro levou stranu platí:
χ
αω
µ
βωω
cicck+=
Potom:
ImRe
222
22
2K
iK
kc
K
µχχµω
+−= 43421321
....první vztah pro µ a χ
Platí: ( ) 222222Im
2Re
2 χµχµ +=⇒+=+= KKKK ...druhý vztah pro µ a χ Po sečtení výrazů pro µ a χ:
KK += Re22µ ⇒
21Re
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +==
KKc βω
µ
dostáváme informaci o indexu lomu, tj. o fázové rychlosti, tj. o β, neboť ω známe)
Po odečtení výrazů pro µ a χ:
Re22 KK −=χ ⇒
21Re
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −==
KKc αω
χ
Stanovení ne a ν pro známou hodnotu kruhové frekvence ω Změníme-li konstantu útlumu α (viz. vztah pro útlum v dB) a konstantu fázového posuvu β (viz. vztah pro fázový posun níže), dostáváme dvě rovnice o neznámých ωωp a ων , tj. rovnice pro ne a ν . Platí:
( )1212122200
0
000 −=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=−=∆Φ nddddddd
fv
c
λπ
λπ
λλ
λπ
λπ
λπββ
ν
ν
∆Φ...fázový posun d...tloušťka vrstvy plazmatu (viz. formule pro útlum)
na pravé straně rovnice jsou funkce závislé na ( ωωp ) a ( ων )
β0...fázová konstanta ve vakuu (výboj vypnut) λ0...délka vlny ve vakuu Pozn.: Pro danou ω žádáme dostatečně vysokou hodnotu ne v plazmatu, aby R bylo zanedbatelné ve výrazu pro
222 ωkc (např. interferometrická metoda pro měření fázového posuvu ve viditelné oblasti spektra je použitelná pro ne ≥ 1016 cm-3).
2004 Strana 52