geometrÍa 6 ciencias

CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2021-I (Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta publicación) Pág. - 11 -

CIRCUNFERENCIA

1. DEFINICIÓN. Es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del plano, denominado centro. La distancia constante de estos puntos al centro se denomina radio de la circunferencia. En símbolos: Dado el punto “O” y el número positivo “r”, llamamos circunferencia de centro O y radio r al conjunto de puntos P cuya distancia de O es igual a r.

1.1. Elementos de la circunferencia:

a. Centro. Es el punto fijo dado. (figura: “O”)

b. Radio. Es el segmento que une el centro con un

punto cualquiera de la circunferencia o la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia. ( figura: OE)

c. Arco. Es una porción de la circunferencia

determinada por dos puntos de la misma, denominados extremos del arco. (figura: CD )

d. Cuerda. Segmento determinado por dos puntos

cualesquiera de la circunferencia. (figura: CD )

e. Diámetro. Es una cuerda que pasa por el centro. (figura: AB )

f. Flecha o sagita. Es el segmento comprendido

entre los puntos medios de una cuerda y el arco de menor longitud que subtiende dicha cuerda. (figura: MN )

g. Tangente. Es la recta que toca en sólo un punto a la circunferencia. Este punto se llama punto de tangencia o punto de contacto, y decimos que la recta y la circunferencia son tangentes en este punto. T es punto de tangencia ( figura: LT)

h. Secante. Recta que corta a la circunferencia en

dos puntos. ( figura: PQ )

i. Normal. Recta perpendicular a la tangente en su punto de tangencia.

Observación:

La circunferencia divide al plano en tres subconjuntos de puntos: Puntos interiores a la circunferencia Puntos exteriores a la circunferencia Puntos de la circunferencia.

CÍRCULO. Es la figura formada por los puntos de la circunferencia y sus puntos interiores.

2. TEOREMAS FUNDAMENTALES

Teorema 1. Del radio y la tangente Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

GEOMETRÍA

6 CIENCIAS

Si “T” es punto de tangencia ⇒

PUNTOSINTERIORES

PUNTOSEXTERIORES

O

r

T RT

Geometría Teoría y ejercicios – Semana 6


Teorema 2. De las tangentes. Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia, los segmentos comprendidos entre los puntos de tangencia y el punto exterior son congruentes. Además el segmento que une el punto exterior con el centro de la circunferencia, es bisectriz del ángulo formado por las tangentes. Teorema 3. En toda circunferencia cuerdas iguales subtienden arcos iguales y recíprocamente arcos iguales le corresponden cuerdas iguales.

Teorema 4. Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a ésta y al arco que subtiende en dos partes iguales. Teorema 5. Los arcos de una circunferencia comprendidos entre rectas paralelas son congruentes.

Teorema 6. En toda circunferencia dos cuerdas iguales equidistan del centro.

Teorema 7. 3. ÁNGULOS ASOCIADOS A LA

CIRCUNFERENCIA

3.1. Ángulo Central. Tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. Su medida es igual al arco que subtienden sus lados.

3.2. Ángulo Inscrito. Su vértice está sobre la circunferencia y sus lados son dos cuerdas. Su medida es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

x α

α

O

B

C

α A

Si B y C son puntos de tangencia ⇒ AC = AB ∧

: es bisectriz del ∠BAC

α θ

L1

L2

θ

B C

A D

α

Si: AB = CD ⇔ α = θ

Si: ⇒ α = θ

Si: AB es diámetro ⇒ x = 90°

O B A

x

o x α x: ángulo central α: arco ⇒ x= α

x: ángulo inscrito

α: arco ⇒

O

M

B A N

Si: ⊥ ⇒ AN = NB ∧

D

B A

C

E

B

A

C

O D F

Si: O es centro y AB = CD ⇒ OE = OF



rA B

AB : Diámetro

Corolario I. Todos los ángulos inscritos en un mismo arco tienen igual medida.

Corolario II. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es ángulo recto.

3.3. Ángulo Semi – inscrito. Su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son una cuerda y una tangente. Su medida es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

3.4. Ángulo Interior. Su vértice es un punto interior a la circunferencia y sus lados son dos cuerdas que se cortan. Su medida es igual a la semisuma de los arcos correspondientes.

3.5. Ángulo Exterior. Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y sus lados son dos secantes o dos tangentes o una secante y una tangente. Su medida es igual a la semidiferencia de los arcos interceptados.

Primer caso. De dos secantes

Segundo caso. De dos tangentes

Tercer caso. De una secante y una tangente.

Muy Importante

α x β

α x

β

α β

α β

o

α x

x: ángulo Semi-Inscrito

α: arco ⇒

x: ángulo interior α, β: arcos

⇒


⇒


⇒

α x

β


⇒

α + β = 180°

α + β = 90°



3.6. Ángulo Ex inscrito. Su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son una cuerda y una secante. Su medida es igual a la semisuma de los arcos determinados por sus lados.

4. TEOREMAS DE PONCELET, PITOT Y STEINER 4.1. Teorema de Poncelet. En todo triángulo

rectángulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más dos veces el radio de la circunferencia inscrita en él.

Observación: Circunferencia inscrita. Una circunferencia

se dice inscrita en un triángulo si los lados del triángulo son tangentes a la circunferencia.

4.2. Teorema de Pitot. En todo cuadrilátero

circunscrito a una circunferencia, la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados.

Observación: Cuadrilátero circunscrito. Un cuadrilátero se

dice circunscrito a una circunferencia si sus lados son tangentes a la circunferencia.

4.3. Teorema de Steiner. En todo cuadrilátero ex inscrito a una circunferencia, la diferencia de dos lados opuestos es igual a la diferencia de los otros dos lados.

Observación: Cuadrilátero ex inscrito. Un cuadrilátero se

dice ex inscrito a una circunferencia si sus lados prolongados son tangentes a la circunferencia.

5. CUADRILÁTERO INSCRITO.

Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una misma circunferencia. 5.1. Propiedades de los cuadriláteros inscritos.

i. Los ángulos opuestos de un cuadrilátero

inscrito son suplementarios.

ii. Las diagonales de un cuadrilátero inscrito forman con los lados opuestos ángulos congruentes.

iii. Un ángulo interior de un cuadrilátero inscrito es congruente con el ángulo opuesto exterior.

a + b = x + y

a + c = b + 2r

c

b

B

C A

r a

x

b a

D

B

A

C

y

b

a

c

d a ‒ b = c ‒ d β α

x

x: ángulo ex inscrito α, β: arcos

⇒

α

θ C B

A D α = θ

α

C B

A D θ

α = θ

α

θ C B

A D

α + θ = 180°



6. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE Es aquel cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia.

6.1. Condiciones para que un cuadrilátero sea

inscriptible. Para que un cuadrilátero sea inscriptible deberá cumplir con cualquiera de las tres condiciones siguientes:

Primera condición:

Segunda condición:

Tercera condición:

EJERCICIOS DE CLASE 1. En un cuadrante AOB ( = °m AOB 90 ) ∈C AB .

Entonces, la suma de las medidas de los ángulos OAC y CBO es: A) 120° B) 130° C) 135° D) 153° E) 160°

2. En una circunferencia se ubican los puntos

consecutivos A, Q, B, C y P de manera que AB y CQ son perpendiculares al igual que AC y BP. Si la medida del arco QBP es 200º, entonces la m ∠ABP es: A) 42º B) 37º C) 43º D) 40º E) 50º

3. En un triángulo ABC, se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB y BC en los puntos F y N respectivamente. Por el punto F se traza una recta paralela al lado AC, dicha paralela intersecta a la circunferencia en el punto E. Si

= °m ABC 50 y = °m BAC 70 , entonces la mNE es

A) 24° B) 30° C) 20° D) 70° E) 10°

4. En una circunferencia se trazan las cuerdas AB y CD, se ubican los puntos medios M y N de los arcos AB y CD. Halle la media del ángulo que determinan MN y AB al intersecarse, si AB = CD, y − = θmAD mBC 2 .

A) 90° + θ/2 B) 90° ‒ θ/2 C) 90° + θ D) 90° + θ E) 90°

5. Se tiene dos circunferencias C1 y C2 tangentes exteriores en F, se trazan las secantes exteriores AFB y CFH tal que A y C pertenecen a C1, B y H pertenecen a C2. Si mAC = 140º. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos CAB y CHB

A) 45º B) 35º C) 43º D) 55º E) 50º

6. Se tiene dos circunferencias tangentes

exteriormente en C, por C se traza una recta 'que intersecta a la circunferencia mayor en A y a la menor en B, luego por A se traza la Tangente AD a la circunferencia menor que intersecta a la mayor en el punto E. Si la medida del arco AE es 104°. Halle la m∢BCD.

A) 63º B) 68º C) 62º D) 66º E) 64º

7. Desde un punto A exterior a una circunferencia se

trazan la recta tangente AB y la recta secante ADC. Si AB = BC y la medida del arco DC mide 30°, calcule la medida del ángulo ABC. A) 24° B) 30° C) 20° D) 70° E) 40°

Si: αº = θº ⇒ ABCD es un cuadrilátero inscriptible

Si: αº + θº = 180º ⇒ ABCD es un cuadrilátero inscriptible

α

θ C B

A D

Si: αº = θº ⇒ ABCD es un cuadrilátero inscriptible



8. El radio de una circunferencia y el perímetro de un triángulo rectángulo circunscrito a dicha circunferencia miden 3 cm y 50 cm respectivamente, entonces el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo mide : A) 14 cm B) 11 cm C) 4 cm D) 10 cm E) 9 cm

9. En un cuadrilátero ABCD circunscrito en una

circunferencia, =AB 7k , =BC k , = °m ADC 90 , = °m ACD 60 , Calcular la medida del radio de la

circunferencia inscrita en el triángulo ADC. A) k B) 2k C) 3k D) k/2 E) k/3

10. En una circunferencia se ubican los puntos A, P, B

y E respectivamente, ⊥PM AB ∈(M AB) . Calcule BE si AP = PE, AM = a y BM = b.

A) −a b B) −2a b C) −a b5

D) +a b E) −2a 3b7

11. Desde un punto P que pertenece a la

circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, se trazan las perpendiculares PQ y PS a los lados BC y AC respectivamente. Si SQ intercepta a la prolongación de AB en T. entonces la m PTA es: A) 45° B) 53° C) 60° D) 55° E) 90°

12. En el lado BC de un triángulo ABC, se ubica el punto

D de tal manera que

= = m BAD m ABD m DAC

2 8 3. Si AD = BC,

Calcule la m DAC .

A) 10° B) 30° C) 66° D) 42° E) 68°

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN 1. De la figura, Calcula m PQ

A) 30º

B) 35º

C) 40º

D) 45º

E) 50º 2. En la figura, AB = BC. Si =mBE 70º calcula el valor

de θ.

A) 30º

B) 35º

C) 50º

D) 60º

E) 45º

3. En el gráfico, θ + α = 100º. Calcula el valor de “x”. A) 100º

B) 110º

C) 90º

D) 120º

E) 130º 4. En el gráfico, = = =AB BC PD QD.

Si =m CBA 120º , calcula el valor de x. A) 60º

B) 40º

C) 50º

D) 30º

E) 70º

X

PC

B

AQ



5. Según el gráfico, AB es diámetro. Si AM = MO. Calcula el valor de X,

A) 18º30’

B) 26º30’

C) 22º30’

D) 15º

E) 37º

6. En la figura, AB es diámetro y T es punto de tangencia. Si AM = 8m, calcule PH

A) 4m

B) 6m

C) 8m

D) 5m

E) 3m

7. En la figura, A, B, C y D son puntos de tangencia. Halle el valor “x”

A) 15º

B) 16º

C) 17º

D) 18º

E) 19º 8. En el gráfico, T es punto de tangencia. Halle el

valor de “x”.

A) 80º

B) 60º

C) 35º

D) 50º

E) 40°

9. En la figura, calcule mAB; si = °m CDE 145 .

A) 70º

B) 145º

C) 72,5°

D) 140º

E) 90º

10. Calcule α + β :

Dato: =mBM mBN A) 120º

B) 150º

C) 90º

D) 130º

E) 180º

11. Según el gráfico, calcule la diferencia entre las medidas del mayor y menor AB. A) 90º

B) 45º

C) 180º

D) 270º

E) 135º 12. Se prolonga el diámetro BA de una circunferencia

de centro O, hasta el punto P y se traza la tangente PT . Halle la medida del arco TB, si PT = AB/2. A) 135° B) 115° C) 90° D) 130° E) 120°



13. En el gráfico, calcule x + y + z, sabiendo que los puntos A, B, C, D, E Y F son puntos de tangencia.

A) 180°

B) 240°

C) 270°

D) 300°

E) 360°

14. En el interior de un triángulo ABC, recto en B, se ubica el punto M de tal manera que

= = = m BAM m ACM 2m MBC 2m MCB. Calcule la

m ACM . A) 25° B) 30° C) 60° D) 85° E) 65°

z

A B

F C

DE

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