gerilme dönüümleri (stress transformation)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/mukavemet/lecture...

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)

�Bu bölümde, bir noktaya etkiyen

ve bir koordinat ekseni ile ilişkili

gerilme bileşenlerini, başka bir

koordinat sistemi ile ilişkili gerilme

bileşenlerine dönüştürmek için

gerekli yöntemler gösterilecek.

� Dönüşüm denklemleri elde

edildikten sonra, maksimum normal

ve kesme gerilmeleri bulunabilecek

ve ilişkili koordinat eksenlerinin

durumu bulunabilecektir.

Gerilme Dönüşümleri Düzlem-Gerilme Dönüşümleri

� Bir noktaya etkiyen en genel gerilme durumu birbirinden bağımsız altı gerilme ileifade edilmekteydi (Şekil a). Fakat mühendisler birçok durumda basitleştirme vekabuller yaparlar ve bir noktada oluşan gerilme durumunun iki boyutlu bir eleman iletariflenebileceğini kabul ederler. Bu durumda, malzemenin düzlem-gerilme durumunamaruz kaldığı kaldığı kabul edilir (Şekil b). İki boyutlu olarak da Şekil c’degösterilmiştir.

Şekil c: İki Boyutlu Görünüm

Gerilme Dönüşümleri Düzlem-Gerilme Dönüşümleri

� Düzlem gerilme durumunda, birbirinden bağımsız iki normal gerilme ve bir dekesme gerilmesi vardır. Dikkat edilirse kesme gerilmesi dört kenara da etkimektedir.

� Bir noktadaki gerilme durumu birbirinden bağımsız üç gerilme iletanımlanabiliyorsa, aynı noktadaki fakat farklı doğrultudaki gerilme durumu yinebirbirinden bağımsız üç farklı bileşenle tanımlanabilir.

� Buradaki amaç, bir koordinat sistemindeki gerilme durumunu, bir başka

koordinat sistemindeki eş değer gerileme durumuna dönüştürebilmektir:

Bilinen:

xy x xσ σ τAranan:

x y x yσ σ τ′ ′ ′ ′

Gerilme Dönüşümleri Analiz Yöntemi

� Bir koordinat sistemindeki gerilmeler, başka bir koordinat sistemindeki gerilmelereaşağıdaki gibi dönüştürülebilir:

x y ve xσ τ′ ′ ′Bulmak için, ilk sistemi aşağıdaki gibi kes ve x’-y’ doğrultusunda denge denklemlerini uygula:

x y ve yσ τ′ ′ ′Bulmak için, ilk sistemi aşağıdaki gibi kes ve x’-y’ doğrultusunda denge denklemlerini uygula:

Örnek - 1

� Uçak gövdesindeki bir noktada ölçülen düzlem-gerilme durumu aşağıdagösterilmiştir. Yatayla 30o’lik açı yapan bir eleman üzerindeki bir noktada oluşandüzlem gerilme durumunu bulunuz.

50 MPa50 MPa

Örnek – 1 (devam)

� Şekilde gösterilen eleman, a-a kesitinden kesilip alt parçanın dengesi incelenecek.Kesit alındıktan sonra ortaya çıkan alanlar aşağıda gösterilmiştir. Yine bu parçanınserbest cisim diyagramı aşağıda gösterilmiştir:

Bu parçanın dengesi incelenerek x y ve xσ τ′ ′ ′

bulunabilir.

� Şimdi b-b eksenine dik doğrultudaki gerilmeyi bulalım, yani değerini. Bununiçin aşağıdaki gibi bir kesit almak gerekmektedir:


yσ ′

Kesit alınan parçadaki alanlar yandaki şekilde olur. Bu parçanın dengesinden, gerekli gerilme değerleri bulunur.


-25.8 MPa


� a-a ve b-b doğrultularındaki gerilme durumları aşağıda gösterilmiştir:

x’

y’

Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri

� Normal ve kesme kuvveti gerilmelerini x-y koordinat sisteminden, x’-y’ koordinatsistemine dönüştürmek için genel bir yöntem burada çıkarılacaktır.

� Ancak bu formüller çıkarılmadan önce, işaret kabullerini oluşturmakgerekmektedir. Elemanın tüm yüzeylerinden dışarı doğru yönlenen normal gerilmepozitif normal gerilmedir; pozitif kesme gerilmesi ise şu şekildedir: elemanın sağyüzünde yukarı doğru yönlenmiş kesme gerilmesi pozitif kesme gerilmesidir.

Dikkat edilirse, dört yüzdeki kesme gerilmesinden sadece birinin yönünü bilmek, diğer üçünün yönünü bilmek için yeterlidir (denge şartından dolayı).

Pozitif gerilme yönleri.

Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm Denklemleri

� Gerilme durumunu bildiğimiz bir elemanın gerilme durumunu farklı bir doğrultuyadönüştürme içi pozitif θ açısını bilmek gerekmektedir, pozitif bu açı ve pozitif x’-y’ eksenleri aşağıda gösterilmiştir:

Dikkat edilirse, pozitif z ekseninin yönü sağ el kuralına göre belirlenir. Pozitif θ açısı pozitif x ekseninden pozitif x’ eksenine doğru ölçülür.

Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm DenklemleriNormal ve Kesme Gerilmeleri Dönüşümleri

� Pozitif yön kabulleri dikkate alınarak, aşağıda gösterilen eleman şekildeki gibikesilmiştir ve pozitif eksenler gösterilmiştir:

Dikkate edilirse, kesilen alan ∆A ise diğer yüzlerin en kesit alanları şekildeki gibi olmaktadır.


� Ortaya çıkan serbest cisim diyagramından, kesilen elemanın dengesiincelenerek bilinmeyen değerleri bulunur:x y ve xσ τ′ ′ ′

( ) ( )0; sin cos sin sinx x xy yF A A Aσ τ θ θ σ θ θ′ ′= ∆ − ∆ − ∆∑+ ( ) ( )( ) ( )

( )2 2

0; sin cos sin sin

- cos sin cos cos 0

cos sin 2sin cos

x x xy y

xy x

x x y xy

F A A A

A A

σ τ θ θ σ θ θ

τ θ θ σ θ θ

σ σ θ σ θ τ θ θ

′ ′

′

= ∆ − ∆ − ∆

∆ − ∆ =

= + +

∑

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2 2

0; sin sin sin cos

- cos cos cos sin 0

sin cos cos sin

y x y xy y

xy x

x y y x xy

F A A A

A A

τ τ θ θ σ θ θ

τ θ θ σ θ θ

τ σ σ θ θ τ θ θ

′ ′ ′

′ ′

= ∆ + ∆ − ∆

∆ + ∆ =

= − + −

∑

+

+


� Bu iki denklem aşağıdaki trigonometrik eşdeğerlikler kullanılarakbasitleştirilebilir:

( )( )

2

2

sin 2 2sin cos

sin 1 cos2 / 2

cos 1 cos2 / 2

θ θ θ

θ θ

θ θ

=

= −

= +

� Bu durumda, şu ifadeleri yazmak mümkündür (bu ifadeler ezberlenecek):� Bu durumda, şu ifadeleri yazmak mümkündür (bu ifadeler ezberlenecek):

cos2 sin 22 2

x y x y

x xy

σ σ σ σσ θ τ θ′

+ −= + +

sin 2 cos22

x y

x y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

(1)

(2)


� denklemi ise, (1) nolu denklemde θ= θ+90 konarak bulunur:yσ ′

cos2 sin 22 2

x y x y

y xy


+ −= − − (3)

Örnek - 2

� Örnek 1’de denge denklemleri kullanılarak çözülmüş gerilme durumunun,aşağıdaki şekilde döndürülmüş duruma denk gelen gerilme değerlerini genelformülleri kullanarak hesaplayınız..

Örnek – 2 (devam)� Denklemler (1) ve (2) kullanılarak soru çözülecek. Yaptığımız işaret kabullerinegöre, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkün:

x den x’ üne ölçülen θ açısı -30o derecedir. x den x’ üne ölçülen θ açısı -30o derecedir. Denklemlerde bu değerleri yerine koyarsak:

Burada – işareti, gerilmenin -x’ yönünde olduğunu göstermektedir.


� BC düzlemine dik doğrultudaki gerilmeyi bulmak için aşağıdaki şekle referansladenklem (1) ve (2) kullanılabilir θ = 60o :

Aynı denklem (1) değil de denklem (3) kullanılarak da elde edilebilirdi, bu durumda θ = -30o olacaktır.

Burada – işareti, gerilmenin -x’ yönünde olduğunu göstermektedir. Gerilme durumu aşağıda gösterilmiştir:

Düzlem-Gerilme Durumu için Genel Dönüşüm DenklemleriAsal Gerilmeler ve Maksimum Kesme Gerilmesi

� (1) ve (2) denklemlerinden, gerilmelerin θ açısına bağlı olduğu görülmektedir.Mühendislikte, genellikle maksimum ve minimum normal gerilmelerin oluştuğu veyine maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemlerin bilinmesi önemlidir.

� Maksimum ve minimum normal gerilmeleri bulmak için denklem (1) θ’ya göre birkez türevi alınıp sıfıra eşitlenirse:

( )2sin 2 2 cos2 0x yx

xy

d σ σσθ τ θ

θ′

−= − + =( )2sin 2 2 cos2 0

2xy

dθ τ θ

θ= − + =

Bu denklem çözülürse, θ = θp‘nin, yani maksimum ve minimum normal gerilmelerin olduğu düzlemlerin açısı bulunacaktır:

( ) ( )tan 2

2

xy

p

x y

τθ

σ σ=

−(4)


� Bu denklemin iki kökü vardır, θp1 ve θp2. 2θp1 ve 2θp2 aralarındaki açı 180derecedir, bu durumda θp1 ve θp2 aralarındaki açı ise 90 derecedir. Bu açılar, normalgerilme formülü (1)’de yerine konursa gerekli ifadeler elde edilir. Aşağıdaki grafiğereferansla, θp1 için:

( )12

sin 2xy

p

τθ

σ σ=

−

( ) ( )tan 2

2

xy

p

x y

τθ

σ σ=

− ( )

( )

12

2

12

2

2

2cos 2

2

p

x y

xy

x y

p

x y

xy

σ στ

σ σ

θσ σ

τ

− +

−

=−

+

(5)

2


� Aşağıdaki grafiğe referansla, θp2 için ise:

( )22

2

sin 2

2

xy

p

x y

xy

τθ

σ στ

−=

− +

( )22

2

2

2cos 2

2

xy

x y

p

x y

xy

τ

σ σ

θσ σ

τ

+

−−

=−

+

(6)


� (5) ve (6) nolu denklem setinden herhangi biri, denklem (1)’de yerine konursa,asal normal gerilmeleri bulmak için kullanılan basitleştirilmiş ifadeler elde edilir(ezberlemeniz gerekecek):

2

2

1,22 2

x y x y

xy

σ σ σ σσ τ

+ − = ± +

( )1 2σ σ> (7)

Asal normal gerilmelerin bulunduğu düzleme asal düzlemler denir.


� Dikkat edilirse, θp1 ve θp2 ifadeleri denklem (2)’de yerine konursa, kesme

gerilmelerinin bu düzlemlerde sıfır olduğu görülür.

Yani bir başka deyişle, asal düzlemlerde kesme gerilmesi oluşmamaktadır.


� Maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemse, denklem (2)’nin θ’yatürevi alınıp bu ifade 0’a eşitlenerek aşağıdaki gibi bulunur:

( )( )

2tan 2

x y

s

xy

σ σ

θτ

− −

= (8)

Bu denklemin iki kökü, aşağıdaki şekle referansla bulunabilir:

� Dikkat edilirse, asal normal gerilmelerin olduğu düzlem ve maksimum kesmegerilmesinin olduğu düzlem birbirinden 90 derece açıyla ayrılmıştır, bu durumdaθs ve θp birbirinden 45 derece ile ayrılır:


Yani, maksimum kesme gerilmelerinin olduğu düzlem, asal düzlemleri tanımlayan düzlemleri 45 derece döndürerek bulunabilir.

� θs lerden herhangi birini denklem (2)‘de yerine koyarak, maksimum kesmegerilmesi değerini aşağıdaki gibi buluruz (bu ifade de ezberlenecek):


2

2

max2

x y

xy

σ στ τ

− = +

(9)

� θs lerden herhangi birini denklem (1)‘de yerine konulursa da bu düzlemdeoluşan normal gerilmeler bulunur (bu ifade de ezberlenecek):

2

x y

avg

σ σσ

+=

Dikkat edilirse, maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemde, ortalama normal gerilme de oluşmaktadır.

(10)

Örnek - 3

� Şekilde gösterilen çubuğa, P eksenel kuvveti uygulanmaktadır. (a) asal gerilmeleribulunuz, (b) maksimum kesme gerilmesini ve buna karşılık gelen ortalama normalgerilmeyi bulunuz.


� Pozitif yön kabulleri dikkate alınarak, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür:

Yukarıdaki değerleri, asal gerilme denklemlerinde yerine koyarsak:denklemlerinde yerine koyarsak:

( ) ( )tan 2 0

2

xy

p

x y

τθ

σ σ= =

−

2

2

1,22 2

x y x y

xy

σ σ σ σσ τ σ

+ − = ± + =

Olduğunu görürüz, yani kesme gerilmeleri olmadığı için asal gerilmeler şekildeki gibi oluşmaktadır.


� Maksimum kesme gerilmeleri için ise,

Bu gerilmelerin doğru yönlerini bulmak için (2) nolu denklem kullanılabilir:

(-) işareti, pozitif kesme gerilmesi yönünün tersi yönünde gerilmenin oluştuğunu gösterir.


� Maksimum kesme gerilmesinin ve bununla ilişkili normal gerilmenin yönleriaşağıda gösterilmiştir:

Örnek - 4

� Şekildeki şaftın kırılma düzleminde ölçülmüş düzlem gerilme durumu aşağıdagösterilmiştir. Bu gerilme durumunu asal gerilmelere dönüştürünüz (asal gerilmelercinsinden ifade ediniz)


� İşaret kabulleri altında, gerilmeler aşağıdaki gibi ifade edilir:

Denklem (4) uygulanırsa:

Bu denklem çözülürse:

2θp1 ve 2θp2 arasındaki açı farkı 180 derece olduğuna göre (bakınız yukarıdaki çizimler):


� Asal eksenlerdeki gerilme durumu aşağıda gösterilmiştir:

Pozitif açı yönü dikkate alınarak çizilmiştir. Şimdi, bu eksenler doğrultusundaki gerilmeleri bulabiliriz, denklem (7) kullanılırsa:

Aynı değerler denklem (1)’de θp = -23.7 derece konularak da bulunabilirdi:


� σ1 ve σ2’nin hangi düzlemlere etkidiği θp = θp2 = -23.7 dereceyi denklem (1)’deyerine koyarak bulabiliriz, bunu yaparsak σ2 = -46.4 Mpa olarak bulunur. Budurumda -23.7 derecelik düzleme bu asal gerilme etkimektedir. θp1 = 66.3

dereceye de σ1 = 116 Mpa etkimektedir.

Dikkat edilirse, asal gerilmelerin olduğu düzlemde kesme gerilmeleri oluşmamaktadır.

Örnek - 5

� Şekildeki gösterilen gerilme durumuna ait maksimum kesme gerilmelerininoluştuğu düzlemi bulunuz ve maksimum kesme ve ortalama normal gerilmelerihesaplayınız.

Yukarıdaki gerilme

durumu ile aynı!


� Maksimum kesme gerilmesini oluştuğu düzlemi bulmamız gerekmekte, yine işaretkabulleri altında, aşağıdaki ifadeleri yazmamız mümkün:

Denklem (8) kullanılarak:

Dikkat edilirse, burada gösterilen düzlemlerle asal düzlemler arasında 45

derecelik bir fark vardır.


� Denklem (9) kullanılarak, maksimum kesme gerilmeleri bulunur:

Bu değerin yönü açısını denklem (2)’de yerine koyarak bulunabilir:

= =

Bu değerin yönü açısını denklem (2)’de yerine koyarak bulunabilir:

Pozitif işareti, kesme gerilmesinin pozitif y’ doğrultusunda etkidiğini gösterir.


� Ortalama gerilmeler ise denklem (10) kullanılarak hesaplanabilir:

= =

Örnek - 6

� T burulma momenti şafta saf kesme gerilmeleri oluşturmaktadır. Bu durumda, (a)oluşan maksimum düzlem kesme gerilmesi ve ortalama normal gerilme değerlerini,(b) asal gerilmeleri bulunuz.

� İşaret kabulleri altında, aşağıdaki ifadeleri yazmamız mümkün:


= = =

Denklemler (9) ve (10) uygulanarak, maksimum kesme gerilmesi ve ortalama normal gerilme hesaplanır:

Demek ki, maksimum kesme gerilmesi, ilk şekilde gösterildiği gibi oluşmaktaymış.

� Asal gerilmeler ise önce denklem (4) sonra denklem (7) uygulanarak, aşağıdakigibi hesaplanır:


Denklem (1)’de konarak gerilmelerin doğru yönleri bulunabilir:

--

� Deneyler göstermektedir ki, düktil (sünek) malzemeler kesme gerilmelerinden,gevrek malzemeler ise kesme gerilmelerinden kopmaktadır:


Sünek Malzeme Gevrek Malzeme

� Bu bölümde, düzlem gerilme dönüşüm denklemlerinin grafiksel bir yöntemile nasıl uygulanabildiğini göstereceğiz. Böylece dönüşüm denklemlerininezberlenmesi de daha kolay hale gelecektir.

Mohr Dairesi – Düzlem Gerilme

� Ayrıca bu yöntem ve x x yσ τ′ ′ ′� Ayrıca bu yöntem nün etkidikleri düzlemin oryantasyonu (açısı) değiştikçe nasıl değiştiklerini izlememiz açısından da kolaylık sağlayacaktır.

ve x x yσ τ′ ′ ′

cos2 sin 22 2

x y x y

x xy


+ −− = +

sin 2 cos22

x y

x y xy

σ στ θ τ θ′ ′

−= − +

� Denklem (1) ve (2) aşağıdaki gibi yazılabilir:

Mohr Dairesi – Düzlem Gerilme (devam)

(10)

(11)sin 2 cos22

x y xyτ θ τ θ′ ′ = − +

� Her iki denklemin karesini alıp birbirine eklersek θ değerinden kurtuluruz,sonuç aşağıdaki gibi olur:

2 2

2 2-

-2 2

x y x y

x x y xy

σ σ σ σσ τ τ′ ′ ′

+ + = +

(12)

� Spesifik bir problem için bilinen sabitler ise, bu durumdayukarıdaki denklem daha kompakt formda yazılabilir:


� burada

( )2 2 2-x ave x y Rσ σ τ′ ′ ′+ =

, ve x y xyσ σ τ

(13)

� burada

2

2

2

-

2

x y

ave

x y

xyR

σ σσ

σ στ

+=

= +


ve σ τEğer için pozitif eksenler aşağıdaki gibi olacak şekilde düşünürsek denklem (13)’ün R yarıçaplı , merkezi C( , 0)’da olan bir daire denklemi olduğunu görürüz:

a v eσ

( )2 2 2-x ave x y Rσ σ τ′ ′ ′+ =

σ σ+

2

2

2

-

2

x y

ave

x y

xyR

σ σσ

σ στ

+=

= +

Alman mühendis Otto Mohr tarafından geliştirilen Mohr Dairesi!


� Mohr dairesi üzerindeki her bir nokta bir gerilme durumunu ifade etmektedir. Örnek olarak aşağıdaki elemanı ele alalım:

90o derecedöndür

A G

Negatif

Eleman üzerinde θkadar dönme, Mohr dairesi üzerinde 2θkadar dönmeye karşılık gelmektedir.


� Mohr dairesi çizildikten sonra asal düzlemler ve bunlara karşılık gelen asal gerilmeler veya herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir:

A noktası, θ = 0, C ve A birleştirilerek R hesaplanır ve daire çizilir.

A

Asal eksenler 2θp1

(CA’dan CB’ye) ve 2θp2 (CA’dan CD’ye) açıları ile gösterilmektedir. B ve D noktaları.

B


� Mohr dairesi çizildikten sonra asal düzlemler ve bunlara karşılık gelen asal gerilmeler veya herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir:

Asal kesme gerilmesi 2θs1

(CA’dan CE’ye) ve 2θs2 (CA’dan CF’ye) açıları ile gösterilmektedir. E ve F noktaları.

E

ve F noktaları.

Herhangi bir θaçısındaki gerilme değeri (P noktası). CA çizgisinden saat akrebinin tersi yönünde 2θ kadar dönerek bulunur.

P

Mohr Dairesi – Örnek 1

� Üzerine etkiyen yüklemeden dolayı, şaft üzerindeki A noktası şekilde gösterilen düzlem gerilme durumuna maruz kalmıştır. Bu noktada oluşan asal gerilmeleri bulunuz.

MPa

MPa

Mohr Dairesi – Örnek 1 (devam)

� Pozitif yön kabullerini dikkate alarak, aşağıdaki ifadeler yazılabilir:

MPa MPa

�Ortalama gerilme: MPa

� Bu durumda, referans noktası A(-12,-6) ve dairenin merkezi ise C(-6,0) noktaları olmaktadır. Dairenin yarı çapı ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

MPa MPa

MPa

(+)

(+)


� Asal eksenler, daireye referansla, B ve D noktalarıdır:

(+) MPa

1 2σ σ> için:

MPa

MPa

(+)

(+)

MPa

MPa


� Asal eksenin olduğu düzlem, referans noktası A’dan saat akrebinin tersi yönünde 2θP2 kadar dönülerek bulunur:

MPa

(+)MPa

MPa

(+)

MPa

MPa


� Şekilde gösterilen düzlem gerilme durumu için maksimum düzlemsel kesme gerilmesini ve bulunduğu düzlemi hesaplayınız.


� Problem verisinden, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür:

�Ortalama gerilme:

� Bu durumda, referans noktası A(-20, 60) ve dairenin merkezi ise C(35,0) noktaları olmaktadır. Dairenin yarı çapı ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:


� Maksimum kesme gerilmeleri Mohr dairesi üzerinde E ve F noktaları ile gösterilmektedir. Dikkat edilirse, bu noktalarda, normal gerilme ortalama değerdedir:

� Maksimum kesme gerilmesi düzlemi:

Dikkat edilirse, E noktasında hem kesme hem de normal gerilmeler pozitiftir!


� Şekilde gösterilen düzlem gerilme durumundaki eleman, saat akrebinin tersi yönünde 30 derece döndürüldüğünde oluşan gerilme durumunu hesaplayınız.

MPa

MPa

MPa


� Problem verisinden, aşağıdaki ifadeleri yazmak mümkündür:

�Ortalama gerilme:

MPa MPa MPa

MPa

� θ = 0 noktası referans noktası olup koordinatları A(-8, -6) ve dairenin

merkezi C ise (2, 0) noktasındadır. Yarıçap ise aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

MPa


� Elemanın referans noktası olan A noktasından 30 derece dönmesi, Mohr dairesinde 2(30) = 60 derece dönmeye karşılık gelmektedir (P noktası):

( , )x x yP σ τ′ ′ ′Değerler, trigonometriden kolaylıkla bulunur:

MPaMPa

MPa

MPa

MPa


� Elemanın DE yüzüne etkiyen gerilmeler ise Mohr dairesinde Q noktasına denk gelmektedir. Q noktasının koordinatları ise aşağıdaki gibi bulunabilir:

( , )x x yQ σ τ′ ′ ′Değerler, trigonometriden kolaylıkla bulunur:

MPa

MPaMPa

MPa

MPa

gerilme dönüümleri (stress transformation)kisi.deu.edu.tr/ozgur.ozcelik/mukavemet/lecture...

Documents