glava 9 - konzolaktmjm.gf.ukim.edu.mk/images/stories/0_statika/literatura/statika_gl.9a.pdfmehanika...

Mehanika Statika - Glava 9

147

9.7. KONZOLA

Liniskiot nosa~ koj na edniot kraj e vkle{ten, a na drugiot kraj sloboden, se vika konzola.

Sli~no kako i kaj prostata greda i kaj konzolata pod dejstvo na nadvo-re{nite tovari se javuvaat dva otpora. Edniot otpor e reakcijata A vo mestoto na vkle{tuvaweto koja e vo ramnoteà so rezultantata na optovaruvaweto i ja spre~uva translacijata na nosa~ot. Ako na konzolata dejstvuvaat kosi sili toga{ reakcijata se razloùva vo pravec na koordinatnite oski. Vtoriot otpor se javuva, isto taka, vo mestoto na vkle{tuvaweto vo vid na spreg koj se sprotivstavuva na zavrtuvaweto, rotacijata na gredata okolu vkle{tuvaweto. Momentot na ovoj spreg se vika moment na vkle{tuvawe. Intenzitetot na momentot na vkle{tuvawe e ednakov na algebarskiot zbir na stati~kite momenti od site sili {to dejstvuvaat na konzolata vo odnos na teì{teto na presekot vo mestoto na vkle{tuvaweto, no so sprotivna nasoka, Sl. 9.45.

Zna~i, vo op{t slu~aj, kaj konzolata se javuvaat najmnogu tri nepoznati reaktivni golemini zA , yA i AM , koi se opredeluvaat so

koristewe na trite analiti~ki uslovi za ramnoteà na sistem od proizvolni sili vo ramnina.

Reakcijata A na konzolata se nao|a od uslovite za ramnoteà:

ΣZ = 0 i ΣY = 0 (52)

Dokolku na konzolata dejstvuvaat kosi sili

toga{ intenzitetot i pravecot na reaktivnata

golemina se opredeluva na ve}e poznatiot na~in

kako {to sleduva:

22yz AAA +=

z

yA A

Atg =α (53)

Momentot na vkle{tuvawe AM se nao|a od uslovot za ramnoteà∑ = 0M ,

pri {to za momentna to~ka se izbira mestoto na vkle{tuvaweto. Nasokata na reaktivniot moment na vkle{tuvawe e sprotivna od nasokata na obrtnoto dejstvo na tovarite.

Postapkata za opredeluvawe na vnatre{nite stati~ki golemini (napadnite momenti, transverzalnite i aksijalnite sili) e napolno ista kako i za prosta greda. Kaj konzolata e karakteristi~no toa {to vo mestoto na vkle{tuvaweto se javuva najgolem napaden moment i najgolema transverzalna sila. Vrednosta na napadniot moment na slobodniot kraj na konzolata sekoga{ e nula, osven ako ne deluva ekscentri~en tovar, odnosno koncentriran moment. Isto taka, konzolata e nosa~ vo koj se javuvaat najgolemi napadni momenti, vo sporedba so napadnite momenti kaj site ostanati vidovi nosa~i. Primerno, kaj konzola so raspon l se javuvaat napadni momenti {to se okolu ~etiri pati pogolemi otkolku momentite kaj prosta greda so ista dolìna.

Sl.9.45 Otpori vo vkle{tuvaweto na konzolata

z z


148

Na konzolniot nosa~, kako i kaj prostata greda, moàt da dejstvuvaat site vidovi tovari.

9.7.1. Konzola tovarena so koncentrirani sili

Na Sl. 99.46.a prikaàna e konzola natovarena so vertikalni koncentri-rani sili i kosi sili. Sekoja kosa sila se razloùva na komponenti po koordinatnite oski, horizontalna i vertikalna komponenta. Vo vkle{tuvaweto }e se javi edna kosa reakcija A ~ii komponenti Az i Ay, analiti~ki se opredeluvaat od slednite uslovi za ramnoteà:

Σ Z=0; Az - F1z = 0 ⇒ Az = F1z

ΣY = 0; Ay - F1y - F2 = 0 ⇒ Ay = F1y + F2 (54)

Intenzitetot i pravecot na reakcijata A se:

22yz AAA +=

z

yA A

Atg =α

Intenzitetot na reaktivniot moment na vkle{tuvawe, ~ija {to nasoka e sprotivna od nasokata na zavrtuvawe na silite, se opredeluva od ramnote`niot uslov:

Σ MA = 0; -MA + F1y. a + F2 (a + b) = 0 ⇒ MA = F1y

. a + F2. L (55)

Transverzalnite sili vo eden proizvolen presek na konzolata se opredeluvaat spored definicijata, pri {to se razgleduva desniot prese~en del od istata (sporedbeno se dadeni i za leviot prese~en del ):

za delot A - Cl: Txdesno = F2 + F1y (Tx

levo = +Ay)

za delot Cd- B: Txdesno = +F2 (Tx

levo = Ay - F1y)

Promenata na napadniot moment vo karakteristi~ni preseci, zemaj}i go povtorno predvid desniot prese~en del od konzolata, se definira so zakonite:

za delot A – C: Mxdesno = -F2 (l - x) - F1y (a - x) 0 ≤ ≤x a (56)

Ekstremnite vrednosti na momentite vo dijapazonot na va`nosta na h se:

za x = 0 MA = -F2 . l - F1y . a

za x = a MC = -F2 (l - a)

C - B Mxdesno = -F2 (l - x) a x l a b≤ ≤ = +

za x = a MC = - F2 (l - a) = - F2 . b

za x = l MD = 0


149

Sl. 9.46 Konzola tovarena so koncentrirani sili

Napadniot moment po dolìna na konzolata se menuva spored zakoni od prv red i pri grafi~kata prezentacija vo dijagramot na napadni momenti (Sl.9.46a) se pretstavuva so dve kosi pravi koi go menuvaat naklonot, se prekr{uvaat, vo presekot kade {to dejstvuva koncentriranata sila yF1 .

Aksijalnata sila N, po definicija, se javuva vo presekot z me|u vkle{tuvaweto A i to~kata S kade deluva kosata sila 1F .

A - Clevo Nzlevo = -Az (Nz

desno = F1z)

Cdesno - B Nzlevo = Az - F1z = 0 (Nz

desno = 0) Vrz osnova na pogore definiranite zakoni na promena na transverzalnite

sili, napadnite momenti i aksijalnite sili se konstruirani i soodvetnite dijagrami, prikaàni na Sl. 9.46 (g), (d) i (|).

Grafi~kata metoda za re{avawe na konzolata, isto taka, e prikaàna na Sl. 9.46. Najprvo vo soodvetna razmera za dolìni (RD), isto kako i kaj prostata greda, se crta nosa~ot so rasporedot na silite, Sl. 9.46(a). Potoa, za izbran razmer na sili (RS), se konstruira poligonot na sili, i se opredeluva reakcijata A na konzolata koja e ednakva na rezultantata na koncentriranite sili so sprotivna nasoka Sl. 36(b). Za iznao|awe na napadniot moment vo bilo koj presek se konstruira poligon od site vertikalni sili, a proizvolniot pol se izbira na horizontalata povle~ena od krajot na poslednata sila, vo slu~ajov silata 2F .

zz

z z

z

z z

z

z

z z

z z

z z


150

Potoa, so polnite zraci 1', 2 i 3 se konstruira veri`niot poligon koj {to se zatvora so ordinatata ymax = A'A" ograni~ena so prese~nite to~ki na prviot i posledniot zrak so vertikalata niz to~kata na vkle{tuvaweto. So pomo{ na ordinatite yx od vaka formiranata Kulmanova momentna povr{ina se opredeluva grafi~ki napadniot moment vo site karakteristi~ni preseci:

Mz = H . yz = H . Yz . RD

. RS (57)

Vrz osnova na planot na sili, na ve}e poznat na~in, e konstruiran grafi~ki i dijagramot na transverzalnite sili, Sl. 9.46(g).

9.7.2. Konzola tovarena so ramnomerno podelen tovar

Re{avaweto na konzolniot nosa~ so ramnomerno podeleno optovaruvawe koe deluva na dol`ina “c” od rasponot, Sl. 9.47(a), e sli~no kako i vo dosega{nite slu~ai. Reakcijata A e opredelena analiti~ki od uslovot ΣY=0 i ima intenzitet:

ΣY=0 ; A-q⋅c=0 ⇒ A= q⋅c = Fq (58) Ako “q” dejstvuva dol` celiot raspon (a=0, c=l, Sl. 9.48) za A se dobiva: A=ql

Momentot na vkle{tuvawe MA se nao|a od uslovot ∑ = 0AM pri

{to podeleniot tovar zamisle-no se zamenuva so sila Fq=q⋅c koja deluva na c/2:

∑ = 0AM Fq⋅(a+c/2)-MA=0

MA= q⋅c⋅(a+c/2) (59)

Za konzola optovarena po celiot raspon (a=0 , c=l ) MA ima vrednost:

MA=Mmax=ql2

2 (60)

Promenata na transverzalnata sila e definirana so dva zakona i toa:

A÷C: Tzlevo= A

( Tzdesno = Fq = q⋅c )

C÷B: Tzlevo= A - q(z-a)

[Tzdesno = q⋅(l-z )] ( a ≤ z ≤ l )

z=a TC = A = q⋅c

z=l TB = 0 Sl. 9.47 Konzola tovarena so ramnomerno podelen tovar

z

z z

z

z

z

z

z


151

Na delot A÷S transverzalnata sila e konstantna, so intenzitet ednakov na reakcijata A, a dodeka na tovareniot del C÷B taa se menuva po liniski zakon (ravenka od prv red) i vo dijagramot na transverzalni sili se pretstavuva so nakloneta prava linija (Sl. 9.47 d.). Napadniot moment, isto taka, }e se menuva po dva zakona : na delot AS - liniski , a na delot SV po kriva od vtor red (parabola):

A÷C Mzlevo= A⋅z - MA 0 ≤ z ≤ a

[ Mzdesno = )

2( czlcq −−⋅⋅− ]

z=0 MA = -MA

z=a MA = -MA +A⋅a = -q⋅ c2

2 c l a= −

C÷B Mzlevo= A⋅z - MA - q⋅

2)( azaz −

− a ≤ x ≤ l

[Mzdesno = -q⋅

2)(

2)(

2zlqzlzl −⋅−=

−− ]

z=a MC = − ⋅q c2

2

z=l MB = 0 Primenata na grafi~kata

metoda se zasnova vrz toa {to podeleniot tovar vo princip se deli na beskona~no mali lameli. Vo konkretniot primer, Sl. 9.47(a) i Sl. 9.47(b), tovarot e podelen na tri dela so dolìna s/3 i so za-mestitelna sila vo sekoj del Fqi=q⋅c/3; i=1,2,3. Potoa postapkata za konstruirawe na poligonot na sili i veri`niot poligon od koj se dobiva i Kulmanovata momentna povr{ina, Sl. 9.47(v), e potpolno ista kako i vo prethodnite primeri.

Pri definiraweto na zakonite na promena na transverzalnite sili i napadnite momenti kaj konzolnite nosa~i, mnogu poednostavni izrazi bi se dobile ako tekovnata koordinata x se zeme od slobodniot kraj na nosa~ot, odnosno vo nasoka (-)z.

Ovaa postapka }e bide prikaàna na konzolniot nosa~ AV tovaren so podelen tovar q na celiot raspon, Sl. 9.48(a).

Sl. 9.48 Konzola tovarena so ramnomerno podelen tovar po cela dolìna

zz

zz

zz

z

z

z


152

Ravenkata na transverzalnata sila za proizvolen presek od konzolata e definirana so izrazot:

B÷A Tzdesno = q⋅z 0 ≤ z ≤ l

z=0 TB = 0

z=l TA = q⋅l

Promenata na napadniot moment pretstavuva parabola od vtor red so teme na krajot od konzolata, Sl. 9.48(v).

A÷B Mzdesno =

2

2zq ⋅− 0 ≤ z ≤ l

z=0 MB = 0

z=l MA = − ⋅q l2

2

9.7.3 Konzola tovarena so triagolen tovar

Na Sl. 9.49(a) e prika`ana konzola so raspon l tovarena so triagolen tovar so intenzitet q [KN/m`]. Vertikalnata reakcija V vo vkle{tuvaweto na konzolata e ednakva na intenzitetot na koncentriranata sila Fq=q⋅l/2 so koja mo`e zamisleno da se zameni tovarot.

Y =∑ 0 ; A q l−

⋅=

20 ⇒ A q l

=⋅2

(61)

Reaktivniot moment na vkle{tuvawe MB se opredeluva od uslovot :

M B∑ = 0 ; − ⋅ + =F l Mq B30

M F l q l l q lB q= ⋅ =

⋅⋅ =

⋅3 2 3 6

2 (62)

Ravenkata na transverzalnata sila pretstavuva parabola od vtor red, Sl. 9.49(b) i za eden proizvolen presek e definirana so izrazot:

A÷B Tzlevo=

lzqzq z

22

2)( ⋅

−=⋅

− lz ≤≤0

Ekstremnite vrednosti na T se dobivaat za z=0 i z=l: 0=z TA = 0

Sl. 9.49 Konzola tovarena so triagolen tovar

z

z

z

z z z z

z

z z

z z


153

2lz = T q l

lq l

l //

2

2 42 8

= −⋅

= −⋅

lz = T q lB = −

⋅2

Zakonot na promena na napadniot moment e pretstaven so edna ravenka od tret stepen, odnosno so parabola od tret red, kako {to sleduva:

A÷B Mzlevo =

lzqzzq z

632

3)( ⋅

−=⋅⋅

− lz ≤≤0

Maksimalniot napaden moment se javuva vo vkle{tuvaweto za z=l , a dodeka na slobodniot kraj, za z=0, napadniot moment e nula:

0=z M A = 0

2lz = M q l

lq l

l/( / )

2

2 226 48

= −⋅

= −⋅

lz = M q lB = −

⋅ 2

6

Dijagramot na napadnite momenti grafi~ki e prezentiran na Sl. 9.49(v).

Vrskata {to postoi pome|u tovarite, transverzalnite sili i napadnite momenti kaj konzolata e napolno ista so onaa kaj prosta greda tovarena so ramnomerno podelen tovar i triagolen tovar. Edinstvena razlika e vo toa {to na mestoto na vkle{tuvaweto kade {to se javuva ekstremnata vrednost na momentot, se javuva i maksimalnata vrednost na transverzalnata sila.

Sl. 9.50 Konzola tovarena so triagolen tovar

z

z z

z

z z z z z

z z

z

z


154

9.8 GREDA SO PREPUST

Greda so prepust e liniski nosa~ potpren na dve leì{ta so dolìna pogolema od dolìnata na rasponot, Sl. 9.51(a). Vo zavisnost od toa dali e prodolèna samo preku ednoto, ili preku dvete leì{ta, se dobiva greda so eden, Sl. 9.51(b), ili so dva prepusta, Sl. 9.51(a). Gredata so prepusti moè da se tretira i kako kombiniran nosa~ sostaven od prosta greda i edna ili dve konzoli, Sl. 9.51(v).

Gredata so prepusti moè da bide tovarena so razli~ni tovari. Ako tovarite se dadeni kako kosi koncentrirani sili, toga{ pri analiti~koto opredeluvawe na reakciite i stati~kite golemini istite se razloùvaat na komponenti po dvete koordinatni oski, Sl. 9.52(a). Podelenite tovari: ramno-merno podelen, triagolen ili trapezen tovar, koi deluvaat na celata dolìna na nosa~ot, za pojasno i polesno presmetuvawe, najdobro e da se oddelat i toa kako tovar vo pole i tovari na prepustite, Sl. 9.52(b).

Sl. 9.51 Greda so prepusti Sl. 9.52 Vidovi tovari i podelba na podelenite tovari

Gredata so prepusti e stati~ki opredelen nosa~ i za nea vaàt anali-ti~kite uslovi za ramnoteà od koi se opredeluvaat nepoznatite reaktivni golemini, koi vo op{t slu~aj gi ima tri:

z

z

z z


155

∑ = 0Z Y =∑ 0 M =∑ 0 (63)

Pri grafi~koto re{avawe se primenuvaat grafi~kite uslovi za ram-noteà pri {to se konstruira zatvoren poligon na sili i zatvoren verièn poligon. Zavr{nata strana na veri`niot poligon mora da minuva niz prese~nite to~ki na prvata i poslednata strana od veri`niot poligon so vertikalite vo leì{tata. Dokolku na nosa~ot dejstvuvaat i kosi sili, toga{ prvata strana na veri`niot poligon mora da minuva niz nepodvi`noto leì{te.

Za opredeluvawe na vnatre{nite stati~ki golemini vo proizvolen presek od gredata so prepusti vaàt istite postavki kako i kaj prostata greda.

Ovde treba da se napomene deka tovarite na prepustite i tovarite vo poleto predizvikuvaat razli~ni dejstva. Tovarite na prepustite predizvikuvaat napadni momenti nad leì{tata i imaat vlijanie vrz intenzitetot na reakciite i momentite vo poleto. Zaradi vakvoto dejstvo na tovarite, kaj gredata so eden prepust se javuvaat dva, a kaj gredata so dva prepusta tri opasni preseka, vo koi napadnite momenti moàt da bidat maksimalni - najgolemi. Toa se presecite nad potporite i presekot vo pole.

Za gredata so eden ili dva prepusta karakteristi~no e i toa {to na-padniot moment i transverzalnata sila go menuvaat znakot. Poradi toa se javuvaat nulti to~ki kade {to napadniot moment ima vrednost nula. Trans-verzalnata sila moè da go menuva znakot nad samite leì{ta i vo poleto.

Ovie nosa~i imaat i prednosti vo odnos na prostata greda. Pri ista vkupna dolìna na gredata, gredata so prepusti ima pomal raspon i pomali napadni momenti vo poleto koi se namaluvaat od dejstvoto na negativnite leì{ni momenti. Racionalnite dolìni na prepustite moè da se opredelat od uslovot maksimalniot moment vo poleto da bide ednakov na najgolemiot napaden moment nad leì{teto.

Ponekoga{, koga gredata so prepust e tovarena so pove}e tovari, pri opredeluvawe na stati~kite golemini do rezultatot se doa|a pobrzo ako se primeni principot na superpozicija.

9.8.1. Greda so prepusti tovarena so koncentrisani sili

Na Sl. 9.52(a) e prikaàna greda so dva prepusta tovarena so vertikalni i kosi koncentrisani sili. Zaradi horizontalnite komponenti od kosite sili vo nepodvi`noto leì{te se javuvaat dve nepoznati reaktivni golemini Az i Ay. Vo podvi`noto leì{te B se javuva vertikalna reakcija, upravna na leì{nata plo~a.

Postapkata za opredeluvawe na reakciite vo to~kite na potpirawe e ista kako i kaj prosta greda na dve leì{ta. Grafi~ki, prviot zrak na veri`niot poligon minuva niz nepodvi`noto leì{te A, odnosno A'= A, dodeka posledniot zrak 4 se prodolùva do presekot so pravecot na reakcijata (vertikalata ) vo podvi`noto leì{te, na to~ka B' na Sl. 9.53(a). Zavr{nata strana S na veri`niot poligon se dobiva so povrzuvawe na to~kite A' i B'.

Od analiti~kiot uslov za ramnoteà ∑M=0, koga za momentna se izbira leì{teto V, se opredeluva vertikalnata komponenta na reakcijata Ay:


156

Sl. 9.53. Greda so dva prepusta tovarena so koncentrisani sili

MB =∑ 0 ; Ay . l - F1(a + l) - F2y . l/2 + F3y

. b = 0

⇒ ( )Al

F a l F l F by y y= ⋅ + + ⋅ − ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

121 2 3 (64)

analogno:

M A =∑ 0 ; -B . l - F1. a + F2y

. l/2 + F3y . (l + b) = 0

⇒ Bl

F l F l b F ay y= ⋅ + ⋅ + − ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

122 3 1( ) (65)

kontrola: ∑Y=0; Ay - F1 - F2y + B - F3y = 0 ⇒ Ay + B = Σ Fiy

Horizontalnata komponenta na reakcijata Az se dobiva od ramnote`niot uslov ∑Z=0:

∑Z=0: Az + F2z - F3z = 0 ⇒ Az = - F2z + F3z = - ... [kN] (66)

z

z z

z z z

z

z z

z

z

z


157

Negativniot znak poka`uva deka ovaa reaktivna golemina ima obratna nasoka od pretpostavenata.

Zaradi horizontalnite komponenti na silite, aktivnite i reaktivnite, vo karakteristi~nite preseci x dol` oskata na nosa~ot, osven transverzalni sili i napadni momenti se javuvaat i aksijalni sili koi se menuvaat po zakoni od nulti stepen:

C÷Alevo N = 0 kN

Adesno ÷Dlevo N = + Az

Ddesno ÷E N = + Az – F2z ( Ndesno = - F3z )

i vo N-dijagramot na Sl. 9.53(g) se pretstaveni so pravi paralelni so apcisnata oska pomesteni za vrednosta na sekoja od niv.

Transverzalnite sili na netovarenite delovi, me|u dve koncentrirani vertikalni sili, imaat konstantna vrednost, so promena na znakot na prepustite vo to~kite na potpiraweto i vo poleto pod silata F2y, Sl. 9.53(d).

C÷Alevo T = - F1

Adesno ÷Dlevo T = - F1 + Ay

Ddesno ÷Blevo T = - F1+ Ay – F2y ( Tdesno = + F3y - B )

E÷Bdesno T = + F3y Promenata na napadnite momenti se definira za istite karakteristi~ni

delnici kade se menuvaat i transverzalnite sili, i toa na prepustite i vo poleto:

C÷A M = - F1⋅z 0 ≤ z ≤ a

z = 0 M = 0 kNm

z = a MA = - F1⋅a = - 5.0 kNm

A÷D M = - F1⋅( a + z ) + Ay⋅z 0 ≤ z ≤ l/2

z = 0 MA = - F1⋅a = - 5.0 kNm

z = l/2 MD = - 5.0⋅3.5 + 13.0⋅2.5 = 15.0 kNm

D÷B M = - F1⋅( a + l/2 + z ) + Ay⋅ ( l/2+z ) – F2y⋅z 0 ≤ z ≤ l/2

E÷B M = - F3y⋅z 0 ≤ z ≤ b

z = 0 ME = 0 kNm

z = b MB = - F3y⋅b kNm

Od M-dijagramot na Sl. 9.53 (|) se konstatira deka nad le`i{tata se javuvaat negativni napadni momenti a vo poleto pod koncentriranata sila, kade transverzalnata sila go menuva znakot i minuva niz nulata, maksimalen pozitiven moment.


158

9.8.2. Greda so prepust tovarena so ramnomerno podelen tovar

Gredata so prepusti moè da bide optovarena so ramnomerno podelen tovar po celata svoja dolìna, Sl. 9.54(a). Za analiti~ko i grafi~ko opredeluvawe na nepoznatite reaktivni golemini podeleniot tovar se zamenuva so dve koncentrisani sili, edna vo poleto i edna nad prepustot, koi dejstvuvaat vo teì{tata od povr{inite na soodvetnite tovari:

Fq1 = q . l i Fq2 = q . a

Ponatamu, postapkata za definirawe na ramnoteàta na nosa~ot (opredeluvawe na reakciite) i za opredeluvawe na vnatre{nite stati~ki golemini e potpolno ista kako i vo prethodnite primeri. Grafi~kata prezentacija na vnatre{nite stati~ki golemini T i M e dadena na Sl. 9.54 (g), (d).

no

RD 1cm = n [m]

Sl. 9.54 Greda so prepust tovarena so ramnomerno raspredelen tovar

z z

z z

Tz z

z

z

z


159

9.9 Kontinuiran tovar pri prosta greda

Prost greda moè da bide tovarena so kontinuiran liniski tovar ~ij intenzitet e:

ramnomerno raspredelen dol` oskata na nosa~ot (sl. 9.34), se menuva po linearen zakon (triagolen tovar, sl. 9.37) neramnomerno raspredelen dol` oskata na nosa~ot (sl. 9.55).

Sl. 9.55 Kontinuiran tovar kaj prosta greda

Intenzitetot na neramnomerno raspredeleniot liniski tovar zavisi od rastojanieto z od potporata A i e daden so ravenkata )(zfq = . Celiot tovar qF

moè da se pretstavi so povr{inata {to ja obrazuvaat krivata )(zf , oskata na

nosa~ot z i krajnite ordinati Aq i Bq i moè da se opredeli so integrirawe na funkcijata )(zf vo dadenite granici:

∫=l

oq dzzfF )( (67)

Reakciite vo potporite se dobivaat od uslovite za ramnoteà: ∑ = 0AM i

∑ = 0BM . Polo`bata na teì{teto S na formiranata povr{ina (napadnata to~ka

na silata qF ) odnapred ne e definirana, pa ne moè direktno da se presmeta

stati~kiot moment od silata qF vo odnos na to~kite A i V. Zatoa celata

povr{ina se deli na elementarni povr{ini (sili) dzqz ⋅ (sl. 9.55) koi od

potporata A se na rastojanie z i vo odnos na istata imaat elementaren stati~ki moment dzzqdM zA ⋅⋅= , a vo odnos na to~kata V imaat elementaren stati~ki

moment dzzlqdM zB ⋅−⋅= )( . Uslovite za ramnoteà sega glasat:

∑ = 0AM ⇒ ∑ =+⋅− 0AdMlB ⇒ ∑ =⋅⋅+⋅− 0dzzqlB z

∑ = 0BM ⇒ ∑ =−⋅ 0BdMlA ⇒ ∑ =⋅−⋅−⋅ 0)( dzzlqlA z

Ako sumite se zamenat so opredeleni integrali, za reakciite A i V se dobiva:

)(zfq =

zq

z dz

cz czl −

l

Aq Bq

B A

qF C


160

∫ ⋅⋅=l

z dzzql

B0

1 (68)

∫ ⋅−⋅=l

z dzzlql

A0

)(1 (69)

Kako kontrola mo`e da se primeni uslovot ∑ = 0Y :

0=−+ qFBA ; ∫ =−+l

z dzqBA0

0 (70)

Za da gi definirame prese~nite stati~ki golemini, odnosno napadniot moment i transverzalnata sila vo daden presek koj od potporata A se nao|a na rastojanie z , voveduvame nova promenliva ξ (sl. 9.56).

Sl. 9.56 Definirawe na prese~ni stati~ki golemini kaj prosta greda tovarena so kontinuiran tovar

Na takov na~in za transverzalnata sila vo daen presek na rastojanie z od potporata A se dobiva:

∫ ⋅−=z

z dqAT0

ξξ ili ∫ ⋅+−=l

zz dqBT ξξ (71)

a za napadniot moment vo istiot presek se dobiva:

∫ ⋅−⋅−⋅=z

z dzqzAM0

)( ξξξ ili ∫ ⋅−⋅−−=l

zz dzqzlBM ξξξ )()( (72)

kade )( ξ−z pretstavuva rastojanie od elementarniot tovar ξξ dq do presekot,

koga napadniot moment vo presekot se presmetuva kako suma na stati~ki momenti od tovarite levo od presekot, a izrazot )( z−ξ pretstavuva rastojanie od

elementarniot tovar ξξ dq do presekot, koga napadniot moment vo presekot se

presmetuva kako suma na stati~ki momenti od tovarite desno od presekot.

)(zfq =

ξq

ξ ξd

z zl −

l

BA ξ−z


161

9.10 Gerberova greda

Ako nosa~ot e sostaven od dve ili pove}e kruti plo~i povrzani me|u sebe, toga{ za sekoja plo~a, posmatrana kako posebno telo, vaàt poznatite uslovi za ramnoteà, {to zna~i deka za n plo~i }e imame vkupno n3 slobodi na dvièwe. Za potpolno ukinuvawe na site slobodi na dvièwe potrebni se najmalku n3 otpori ( reakcii ili leì{ni stapovi), vo koi se vklu~eni ne samo otporite vo leì{tata, tuku i otporite na vrskite pome|u plo~ite.

Vrskata me|u dve plo~i obi~no se izveduva so nepodvièn zglob koj spre~uva dva stepeni na sloboda, odnosno ovozmoùva plo~ite da imaat isto translatorno pomestuvawe (isti pomestuvawa vo pravec na dvete koordinatni oski z i y ), a rotacijata, odnosno tretiot stepen na sloboda, ostanuva nespre~en (plo~ite nezavisno rotiraat). Vo zglobnata vrska se javuva reaktivna sila so koja prvata plo~a dejstvuva vrz vtorata i obratno (princip na akcija i reakcija), i istata ima proizvolen pravec (silata G

r pretstavena e so dve nezavisni

komponenti zG i yG , sl. 9.57 a).

Nepodvi`niot zglob G , so koj se svrzani dvete sosedni kruti plo~i, moè da bide realen i opredelen so edna to~ka (sl. 9.57 a), ili pak opredelen so dva leì{ni stapa koi se se~at vo edna to~ka (sl. 9.57 b) ili imaat imaginaren presek (sl. 9.57 v). Vo vtoriot slu~aj aksijalnite sili vo stapovite 1 i 2 se komponenti na reakcijata na vrskata (silata G

r).

Ako sakame da go spre~ime i tretiot stepen na sloboda, odnosno da ja spre~ime mo`nata rotacija na plo~ite okolu zglobot G , dovolno e vrskata da ja nadopolnime so u{te eden stap postaven me|u dvete plo~i, no pritoa treba da bide obezbedeno trite stapa da ne se se~at vo ista to~ka (sl. 9.57 g).

Sl. 9.57 Vrski pome|u kruti plo~i koi gi spre~uvaat mo`nite stepeni na sloboda

G

Gz Gz

Gy

Gy G

a) b)

1

2

v)

1

2

g)

S

G


162

Za da definirame dali nosa~ sostaven od dve ili pove}e kruti plo~i vrzani so zglobovi e stati~ki opredelen, stati~ki neopredelen, ili pretstavuva mehanizam (kinemati~ki labilen) , poa|ame pak od kriteriumot koj go izvedovme za nosa~ sostaven od edna kruta plo~a. Sekoja kruta plo~a vo ramnina ima tri stepeni na sloboda (dve translacii i edna rotacija) koi treba da bidat spre~eni so soodvetni vrski. Reakciite na vrskite se opredeluvaat od analiti~kite uslovi za ramnoteà.

Vo slu~aj koga nosa~ot e formiran od n plo~i toj ima vkupno n3 stepeni na sloboda koi treba da bidat spre~eni so to~no n3 vrski. Sekoj zglob {to povrzuva dve plo~i spre~uva dva stepeni na sloboda, a ostanatite stepeni na sloboda treba da bidat spre~eni so leì{ta (podvi`ni, nepodvi`ni, ili vkle{tuvawa). Leì{tata moàt da bidat izvedeni i so stapovi, pa izrazot so koj se definira dali nosa~ot e stati~ki opredelen glasi:

sgnk −−= 23 (73)

kade: n - broj na kruti plo~i

g - broj na zglobovi so koi se povrzani plo~ite

s - broj na leì{ni stapovi (broj na nepoznati reakcii na vrski)

Ako: 0<k - nosa~ot e stati~ki neopredelen

0=k - nosa~ot e stati~ki opredelen

0>k - sistemot e kinemati~ki labilen i pretstavuva mehanizam.

Ako nosa~ot e sostaven i potpren taka {to ima pove}e od n3 reakcii vo leì{tata i zglobovite ( 0<k ), toga{ toj e tolku pati stati~ki neopredelen kolku {to ima prekubrojni reakcii na vrski (stepenot na stati~kata neopre-delenost e ednakov na brojot k ). Vo toj slu~aj reakciite vo leì{tata ne moàt da se opredelat samo so koristewe na uslovite za ramnoteà.

Od stati~ki opredelenite nosa~i, sostaveni od dve ili pove}e kruti plo~i, najgolema prakti~na primena nao|aat Gerberovata greda, lakot na tri zgloba i ramkata na tri zgloba.

Gerberovata greda e sloèn nosa~, stati~ki opredelen, sostaven od dve ili pove}e kruti plo~i, me|usebe vrzani so zglobovi i toa na takov na~in {to site potpori (leì{ta) i zglobovi leàt na edna prava linija. Ovoj nosa~ ima samo edno nepodvi`no leì{te, a site ostanati se podvi`ni leì{ta. Vakvite gredi prvpat gi primenil germanskiot inèner Gerber, ~ie ime go nosat i denes.

Gerberovata greda gi ima tie prednosti {to ne e tolku osetliva na neramnomernite slegnuvawa na potporite, {to e slu~aj kaj kontinuiranite stati~ki neopredeleni nosa~i (edna kruta plo~a potprena so pove}e od dve leì{ta ili pove}e od tri leì{ni stapa).

So vmetnuvawe na zglobovi kontinuiraniot nosa~ moè da se pretvori od stati~ki neopredelen vo stati~ki opredelen, pri {to sekoj vmetnat zglob ja namaluva stati~kata neopredelenost za edna{. Na sl.9.58a prikaàn e kontinuiran nosa~ na tri poliwa i istiot e dvapati stati~ki neopredelen. So vmetnuvawe na dva zgloba nosa~ot e pretvoren vo stati~ki opredelena Gerberova greda (sl.9.58b). Vo ovoj slu~aj taa ima pet nepoznati leì{ni reakcii {to moàt da se opredelat od pette uslovi za ramnoteà:

∑ = 0Z ; ∑ = 0Y ; ∑ = 0AM ; ∑ = 01levoGM ; ∑ = 02

desnoGM (74)


163

Sl. 9.58 Pretvarawe na stati~ki neopredelen kontinuiran nosa~

vo stati~ki opredelen nosa~

So cel Gerberovata greda da bide stabilna i vnatre{no nepodvi`na, ne

treba vo edno pole da se vmetnat pove}e od dva zgloba. Vo sprotivno istata }e premine vo mehanizam. Bidej}i krajnite leì{ta se smetaat za zglobovi, vo krajnite poliwa od kontinuiranata greda moè da se vmetne samo eden zglob. Polo`bata na zglobovite se opredeluva od uslov pribli`no da se izedna~at pozitivnite napadni momenti vo poleto so negativnite nad potporite, a so cel poracionalno da se iskoristi nosivosta na nosa~ot vo soodvetnite preseci.

Zglobot e konstruktiven element koj ne prezema nikakvi momenti i ovozmoùva rotacija na krutite plo~i. Ova zna~i deka eden sistem od proizvolni sili, koj napa|a vrz eden takov sloèn nosa~, }e bide vo ramnoteà ako ne predizvikuva rotacija okolu zglobot na nitu eden del od sloèniot nosa~. Vakvoto svojstvo na zglobot se koristi kako dopolnitelen uslov za ramnoteà, i toa:

• algebarskiot zbir na stati~kite momenti od site sili levo ili desno od zglobot vo odnos na obrtnata to~ka vo zglobot mora da bide ramen na nula

(analiti~ki uslov ∑ = 0levoGM ili ∑ = 0desno

GM )

• napadnata linija na rezultantata od site sili levo ili desno od zglobot mora da minuva niz zglobot (grafi~ki uslov).

Najprost nosa~ sistem Gerberova greda imame vo slu~aj koga toj e sostaven samo od dve kruti plo~i, me|u sebe vrzani so zglob i potpreni na tri leì{ta (sl.9.59). Ovoj nosa~ vsu{nost pretstavuva kombinacija od edna prosta greda (GC) i edna greda so prepust (ABG). Prostata greda nalegnuva vrz gredata so prepust i pretstavuva sekundaren nosa~, dodeka gredata so prepust pretstavuva primaren nosa~.

Sl. 9.59 Gerberova greda formirana od dve kruti plo~i

A B G C Ι ΙΙ

A B

G C

Ι

ΙΙ

A B CΙ ΙΙ

A B G1 C

ΙΙΙ D

G2

a) 2531 −=−⋅=k

b) 052233 =−⋅−⋅=k D


164

Sl. 9.60: Reakcii na vrski kaj Gerberova greda formirana od tri kruti plo~i

Sl. 9.61: Reakcii na vrski kaj Gerberova greda formirana od tri kruti plo~i

Na sl. 9.60 i sl. 9.61 {ematski se prikaàni Gerberovi gredi razloèni na prosti gredi i gredi so prepusti. Za re{avawe na nosa~ite mo`ni se dva na~ina:

• Reakciite na vrskite se opredeluvaat na nerazloèniot nosa~ (a), primenuvaj}i gi pritoa osnovnite uslovi za ramnoteà: ∑ = 0Z , ∑ = 0Y ∑ = 0AM i dopolnitelnite uslovi koi se rezultat na vmetnuvaweto na zglobovite (vo konkretniot slu~aj: ∑ = 01

levoGM ; ∑ = 02

desnoGM ). Od

dobienite pet ravenki se opredeluvaat pette nepoznati reakcii na vrski: Az, Ay, By, Cy i Dy.

• Nosa~ot se razloùva, a potoa se opredeluvaat reakciite na sekoj elementaren nosa~ pooddelno. Vo toj slu~aj se dobivaat reakciite na vrski i vo potporite i vo zglobnite to~ki (b). Reakciite vo zglobovite, opredeleni na sekundarnite nosa~i, se prefrlaat po princip na akcija i

A B G1 C G2 D

L1 a b L2 L3

Ay By Cy Dy

Dz

a)

Ay

G1z

G1y

G1z G1y

G2z

G2y Dy

Dz

G2z G2y

b)

By Cy

A B G1 C G2 D

L1 a b L2 L3

Ay By Cy Dy

Az a)

Ay

G1z

G1y

G1z

G1y

Cy Dy

G2y

b) G2y G1y Az


165

reakcija vrz primarniot nosa~. Za da se opredeli horizontalnata reakcija vo nepodvi`noto leì{te se primenuva ∑ = 0Z za celiot nosa~.

Po definirawe na reakciite vo potporite i zglobovite moè za sekoj del od Gerberoviot nosa~ da se opredelat vnatre{nite stati~ki golemini: napadniot moment, transverzalnata i aksijalnata sila i da se nacrtaat nivnite dijagrami.

9.11 Stati~ki opredeleni ramovi

Dve, ili pove}e kruti plo~i ~ii oski ne leàt na ista prava, a se vzaemno povrzani ili so kruta vrska koja ne ovozmoùva nikakvo vzaemno pomestuvawe i zavrtuvawe, ili so zglobovi i pritoa se potpreni so soodvetni leì{ta, formiraat ramovska konstrukcija, odnosno ram.

Zavisno od na~inot na povrzuvawe i na~inot na potpirawe na plo~ite ramovite moàt da bidat nadvore{no stati~ki opredeleni (sl. 9.62), nadvore{no stati~ki neopredeleni (sl. 9.63) i vnatre{no stati~ki neopredeleni (sl. 9.64).

Zavisno od na~inot na potpirawe nadvore{no stati~ki opredelenite ramovi moàt da bidat: sistem konzola (sl. 9.62a), sistem prosta greda (sl. 9.62b), sistem greda so prepusti (sl. 9.62v), ram na tri zgloba (sl. 9.62g) i ram so zatega (sl. 9.62d). Kaj ramovite na sl. 9.63(a, b i v) plo~ite me|usebe se kruto povrzani i se tretiraat kako edna plo~a. Za opredeluvawe na reakciite vo potporite se primenuvaat osnovnite uslovi za ramnoteà: ∑ = 0Z ; ∑ = 0Y ; ∑ = 0AM .

Sl. 9.62: Nadvore{no stati~ki opredeleni ramovski konstrukcii

F

q

Ay

Az MA a)

F

q

Ay

Az By b)

Fq

Ay

Az

By

v)

F

q

Ay

Az

By

g)

Bz

GF

q

Ay

Az

By

g)

Bz

G F

q

Ay By

d) Bz

G

S S

⇒=−−⋅=−−= 0301323 sgnk stati~ki opredelen nosa~

⇒=−⋅−⋅=−−= 04122323 sgnk stati~ki opredelen nosa~


166

Kaj ramovskite konstrukcii na sl. 9.63 (g i d) plo~ite me|usebe se kruto povrzani, no vmetnat e zglob, pa istite se tretiraat ne kako edna, tuku kako dve kruti plo~i. Pritoa e zapazen uslovot trite zgloba da ne leàt na ista prava (uslov nosa~ot da ne se pretvori vo mehanizam). Za opredeluvawe na reakciite vo potporite i silata vo zategata se primenuvaat osnovnite uslovi za ramnoteà:

∑ = 0Z ; ∑ = 0Y ; ∑ = 0AM , no istite se nedovolni (postojat vkupno 4 nepoznati

sili), pa kako dopolnitelen uslovot se primenuva: ∑ = 0levoGM ili ∑ = 0desno

GM .

Pri definirawe na prese~nite stati~ki golemini (napadniot moment, transverzalnata i aksijalnata sila) na mestoto kade dvete plo~i se vkle{teni, a oskite ne leàt na ista prava, treba da se vnimava na slednoto:

• napadniot moment se prenesuva od ednata na drugata plo~a so svojata golemina i znak;

• transverzalnata sila za horizontalnata plo~a pretstavuva aksijalna

sila za vertikalnata plo~a, i obratno.

Sl. 9.63: Nadvore{no stati~ki neopredeleni ramovski konstrukcii

Kaj nadvore{no stati~ki neopredelenite ramovi brojot na nepoznati reakcii na vrski e pogolem od brojot na raspoloìvite analiti~ki uslovi za ramnoteà (vkupno tri). Za kolku e pogolem nivniot broj, tolku pati nosa~ot e nadvore{no stati~ki neopredelen, pa za opredeluvawe na reakciite vo leì{tata potrebno e da se koristat i soodveten broj dopolnitelni uslovi od deformaciite na nosa~ot.

Za razlika od nadvore{nata stati~ka neopredelenost nosa~ot moè da bide i vnatre{no stati~ki neopredelen (sl.9.64), ako istiot e formiran od zatvoren ram potpren taka {to brojot na leì{nite reakcii e ednakov na brojot na analiti~kite uslovi za ramnoteà. Vo takov slu~aj nosa~ot e nadvore{no stati~ki opredelen zatoa {to site reakcii vo leì{tata moàt da se opredelat samo od analiti~kite uslovi za ramnoteà, me|utoa toj e vnatre{no stati~ki neopredelen zatoa {to ne e mo`no, koristej}i gi zakonite na Statikata, da se

F

q

Ay

Az MA

F

q

Ay

Az

Fq

Ay

Az

By By

Bz

S S

⇒−=−−⋅=−−= 1401323 sgnk nadvore{no stati~ki neopredelen nosa~

By

C Mcdole

Mcdesno


167

opredelat vnatre{nite sili vo elementite na nosa~ot: napadniot moment, transverzalnata i aksijalnata sila. Od tuka sledi deka sekoj zatvoren ram e tripati stati~ki neopredelen, pa nosa~ot na sl.9.64a e tripati vnatre{no stati~ki neopredelen, nosa~ot na sl.9.64b e dvapati vnatre{no stati~ki neopredelen (zglobot ja smaluva stati~kata neopredelenost za edna{), a nosa~ot na sl.9.64v e {est pati vnatre{no stati~ki neopredelen.

Sl. 9.64: Vnatre{no stati~ki neopredeleni ramovski konstrukcii

9.11.1 Ram na tri zgloba

Ram na tri zgloba, ili trozgloben ram, e stati~ki nadvore{no opredelen sloèn nosa~ formiran od dve kruti plo~i koi me|u sebe i so potporite se vrzani so nepodvi`ni zglobovi koi ne leàt na edna ista prava linija (sl.9.65). Glavna stati~ka osobina na ovoj nosa~, po {to istiot se razlikuva od prostata greda, e {to i kaj vertikalni i kaj kosi tovari vo leì{tata se javuvaat kosi reakcii.

Trozglobniot ram ima golema prakti~na primena vo inènerskite konstrukcii. Negovata prednost vo odnos na prostata greda e {to pri isti tovari i isti rasponi ima srazmerno pomali napadni momenti (pri~ina za toa se horizontalnite komponenti na reakciite vo potporite A i V koi se narekuvaat horizontalen potisok), dodeka negova negativna strana e {to horizontalnite komponenti na reakciite dopolnitelno go optovaruvaat tloto na koe nosa~ot e potpren.

Sl. 9.65: Ram na tri zgloba

q

Ay

Az

By

a)

Bz

GF

q

Ay

Az

By v)

Bz

G

Ay

Az

By b)

Bz

G

q

L/2 L/2

h

F

h 1

h 1

1 2

y1

z2

y3

F

q

Ay

Az a)

F

q

Ay By

v) Bz

By

F

F

F

q

Ay

Az b)

By


168

Kaj ramot na tri zgloba se javuvaat dve nepoznati leì{ni reakcii A i V, pretstaveni so ~etiri nepoznati komponenti: Az, Ay, Bz i By. Istite moàt da se opredelat od trite analiti~ki uslovi za ramnoteà, nadopolneti so ~etvrtiot uslov koj proizleguva od vmetnuvaweto na zglobot G.

∑ = 0Z ; ∑ = 0Y ; ∑ = 0AM ; ∑ = 0levoGM (75)

Mnogu ~esto za opredeluvawe na reakciite se primenuvaat alternativnite uslovi za ramnoteà:

∑ = 0AM ; ∑ = 0BM ; ∑ = 0levoGM ; ∑ = 0desno

GM (76)

dodeka uslovite ∑ = 0Z i ∑ = 0Y se primenuvaat samo za kontrola na dobienite

rezultati. Gore navedenata postapka }e ja primenime za opredeluvawe na reakciite

kaj nosa~ot na sl.9.65a.

∑ = 0AM ⇒ 202

2/qLBLqLB yy =⇒=+⋅− (77)

∑ = 0BM ⇒ 202

2/qLALqLA yy =⇒=−⋅ (78)

kontrola: ∑ = 0Y ⇒ 0=−+ qLBA yy

∑ = 0levoGM ⇒ 0

422=⋅−⋅−⋅

LLqhALA zy ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

81 2Lqh

Az (79)

∑ = 0desnoGM ⇒ 0

422=⋅+⋅+⋅−

LLqhBLB zy ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

81 2Lqh

Bz (80)

kontrola: ∑ = 0Z ⇒ 0=− zz BA

Po definirawe na komponentite moàt da se opredelat i intenzitetite na vkupnite reakcii vo potporite A i V:

22yz AAA += i 22

yz BBB += (81)

kako i nivnite pravci:

z

y

AA

tg =α i z

y

BB

tg =β (82)

Od rav.77 i rav.78 moè da se uvidi deka vertikalnite komponenti na reakciite A i V se isti kako i za prosta greda so ist raspon, tovarena so ist vertikalen tovar. Ako nosa~ot e tovaren i so horizontalni tovari (sl.9.65b i v) vertikalnite komponenti na reakciite A i V }e se razlikuvaat od vertikalnite komponenti na reakciite kaj soodvetnata prosta greda za vlijanieto na ~lenot 1hF / .

Horizontalnite komponenti zA i zB (horizontalniot potisok N) imaat ist intenzitet, a sprotivna nasoka (rav.79 i rav.80). Nivniot intenzitet moè da se dobie od napadniot moment grpr

GM . za sredi{nata to~ka na soodvetna prosta greda:

grprGzz M

hqL

hBAH ,

2 18

1⋅=⋅=== (83)

Za iznao|awe na stati~kite golemini, odnosno napadniot moment, transverzalnata i aksijalnata sila vo proizvolen presek od nosa~ot napolno vaàt istite postavki kako i kaj prosta greda:


169

Na delot A-1: 1yAM z ⋅−= ; zAT −= ; yAN −= ( hy ≤≤ 10 ) (84)

Na delot 1-2: hHMzqzAhAM grpryz ⋅−=−⋅+⋅−= .

22

2 2 (85)

grpry TzqAT .2 =⋅−= ; zAN −= ( Lz ≤≤ 20 ) (86)

Na delot V-2: 3yBM z ⋅−= ; zBT = ; yBN −= ( hy ≤≤ 30 ) (87)

Napadniot moment za horizontalnata greda 1-2 e pomal od soodvetniot za prosta greda (rav. 85), dodeka transverzalnite sili imaat ista vrednost (rav. 86). Kaj prosta greda tovarena so vertikalni tovari ne postojat aksijalni sili, {to ne e slu~aj kaj nosa~ite na tri zgloba (horizontalniot potisok N sekoga{ dava aksijalna sila vo horizontalnata greda). Dijagramite za definiranite stati~ki golemini prikaàni se na sl.9.66.

Sl. 9.66: Dijagrami za stati~ki golemini kaj ram na tri zgloba

Od dijagramite prikaàni na sl.9.66 moè da se uvidi deka pri simetri~na konstrukcija tovarena so simetri~ni tovari dijagramite na napadnite momenti i aksijalnite sili se simetri~ni, dodeka dijagramot na transverzalnite sili e antimetri~en.

Kaj nosa~ite kaj koi oskata se prekr{uva napadniot moment se prenesuva od ednata na drugata plo~a so svojata golemina i znak, dodeka transverzalnata sila za horizontalnata plo~a pretstavuva aksijalna sila za vertikalnata plo~a, i obratno.

Ay

Az

By

Bz

G8

2

2qLM −=

8

2

1qLM −=

1

- 2

-

Az Bz

G1

-

2

+

+ -

2/qL

2/qL

M dijagram T dijagram

Ay By

G

- -

-

N dijagram

Bz Az


170

9.12 Lak na tri zgloba

Nosa~ot na tri zgloba mo`e da bide izveden i od plo~i so zakriveni oski, vo koj slu~aj se narekuva “lak na tri zgloba” (sl. 9.67). Geometriski lakot se pretstavuva so kriva linija ~ija ravenka e definirana vo zOy koordinaten sistem. Naj~esto primenuvani vo praksata se paraboli~niot i kru`niot lak. Paraboli~niot lak e definiran so ravenkata:

)(42 zLz

Lfy −= (88)

Lakot na tri zgloba gi ima slednite geometriski karakteristiki:

• Horizontalnoto rastojanie L pome|u potporite A i V (raspon na lakot)

• Horizontalnite rastojanija 1l i 2l na sredniot zglob od potporite A i V

• Vertikalnite rastojanija 1f i 2f na sredniot zglob od potporite A i V

Ako sredniot zglob e postaven vo najvisokata to~ka od lakot, a potporite A i V se na ista visina, vertikalnite rastojanija 1f i 2f se ednakvi i se narekuvaat strela na lakot f .

Sl. 9.67: Lak na tri zgloba

Reakciite na vrskite se opredeluvaat kako i kaj ram na tri zgloba. ∑ = 0AM ⇒

∑∑ ⋅−⋅=⇒=⋅−⋅+⋅− )cossin(10)cossin( iiiiiiyiiiiiiy yFzFL

ByFzFLB αααα (89)

∑ = 0BM ⇒

∑∑ ⋅+−⋅=⇒=⋅+−⋅−⋅ )cos)(sin(10)cos)(sin( iiiiiiyiiiiiiy yFzLFL

AyFzLFLA αααα (90)

∑ = 0levoGM ⇒ 0)(cos)2/(sin

2 111111 =−⋅+−⋅−⋅−⋅ yfFzLFfALA zy αα ⇒ zA (91)

∑ = 0desnoGM ⇒ 0)(cos)2/(sin

2 211222 =−⋅+−⋅+⋅+⋅− yfFLzFfBLB zy αα ⇒ zB (92)

Po definirawe na komponentite mo`at da se opredelat i intenzitetite na vkupnite reakcii vo potporite A i V:

Ay

Az

By

Bz

G

2l

L

f

1l

1α

1Fr

2Fr

2α

z1 z2

y2 y1

z

y

z

y


171

22yz AAA += i 22

yz BBB +=

kako i nivnite pravci:

z

y

AA

tg =α i z

y

BB

tg =β

Napadniot moment vo proizvolen presek, definiran so koordinatite z i y, se opredeluva kako i kaj ram na tri zgloba, pri {to vo ravenkata u~estvuvaat reakciite i tovarite levo, ili desno od presekot:

))(cos)(sin( iiiiiiyz yyFzzFzAyAM −+−−⋅+⋅−= ∑ αα (93)

Napadniot moment kaj lak na tri zgloba, kako i kaj ram na tri zgloba, e pomal od soodvetniot kaj prosta greda so ist raspon i isti tovari.

Pri definirawe na transverzalnata i aksijalnata sila vo proizvolen presek treba da se vodi smetka deka agolot {to normalata i tangentata vo presekot go zaklopuvaat so horizontalnata oska z se menuva od presek do presek (sl.9.68). Ako oskata na lakot e dadena so ravenka )(zfy = , toga{ agolot ϕ mo`e da se opredeli preku prviot izvod na funkcijata: )(' zytg =ϕ .

Sl. 9.68: Proektirawe na silite kaj lak na tri zgloba

Taka, za transverzalnata sila vo proizvolen presek (zemaj}i gi silite levo od presekot) se dobiva:

ϕϕ

ϕαϕαϕϕ

sincos

sin)cos(cos)sin(sincos

. ⋅−=

=−−−=⋅−⋅=

∑∑∑∑∑

HT

FAFAHVT

grpr

iiziiy (94)

Transverzalnata sila kaj lak na tri zgloba, kako i kaj ram na tri zgloba, e pomala od soodvetnata kaj prosta greda so ist raspon i isti tovari. Pri~ina za toa e horizontalniot potisok N.

Za aksijalnata sila (zemaj}i gi silite levo od presekot) se dobiva:

ϕϕ

ϕαϕαϕϕ

cossin

cos)cos(sin)sin(cossin

. ⋅−−=

−−−−=⋅−⋅−=

∑∑∑∑∑

HT

FAFAHVN

grpr

iiziiy (95)

Aksijalnata sila kaj lak na tri zgloba, kako i kaj ram na tri zgloba, e pogolema od soodvetnata kaj prosta greda so ist raspon i isti tovari. Pri~ina za toa povtorno e horizontalniot potisok N. Koga prosta greda e tovarena samo so vertikalni tovari aksijalnata sila e nula, {to ne e slu~aj kaj lakot na tri zgloba.

Ay

Az

1α1Fr

TrN

r

iϕ

∑V

∑ H


172

9.13 Lak so zatega

Ako kaj lak na tri zgloba ednoto nepodvi`no leì{te se zameni so podvi`no toga{, za nosa~ot da ostane nadvore{no stati~ki opredelen, se dodava zatega koja go prima horizontalniot potisok. Lakot so zatega (sl. 9.69) vo pogled na opredeluvawe na reakciite vo potporite A i V se odnesuva kako prosta greda, a vo pogled na opredeluvawe na stati~kite golemini vo poedini preseci, kako lak na tri zgloba. Zategata moè da se postavi na razli~no nivo h, a dokolku se postavi na nivo na leì{tata A i V, nosa~ot vo potpolnost se odnesuva kako lak na tri zgloba, so taa razlika {to terenot e rastovaren od horizontalniot potisok {to go vr{at horizontalnite komponenti na reakciite A i V.

Ako oskite na plo~ite se pravi, ili prekr{eni, se dobiva soodvetno ram so zatega.

Reakciite vo potporite se dobivaat od trite analiti~ki uslovi za ramnoteà:

∑ = 0Z ; ∑ = 0Y ; ∑ = 0AM

Silata vo zategata se dobiva od dopolnitelnite analiti~ki uslovi za ramnoteà koi proizleguvaat od vmetnuvaweto na zglobot G:

∑ = 0levoGM ili ∑ = 0desno

GM .

∑ = 0levoGM ⇒ 0)()(cos)2/(sin

2 111111 =−⋅−−⋅+−⋅−⋅− hfSyfFzLFfALA zy αα ⇒

)(cos)2/(sin2

(1111111 yfFzLFfALA

hfS zy −⋅+−⋅−⋅−

−= αα (96)

Sl. 9.69: Lak so zatega

Za iznao|awe na stati~kite golemini, odnosno napadniot moment, transverzalnata i aksijalnata sila vo proizvolen presek od nosa~ot napolno vaàt istite postavki kako i kaj lak na tri zgloba.

Ay

Az

By

G

2l

L

f

1l

1α

1Fr

2Fr

2α

z1 z2

y2 y1

z

y

z

y S S

h

glava 9 - konzolaktmjm.gf.ukim.edu.mk/images/stories/0_statika/literatura/statika_gl.9a.pdfmehanika...

Documents