GPS時代の測地学

西修二郎

GPSは測地学を変えた

GPSの登場で、 測地学が大きく変わった。

①地球座標系の確立（重心位置、地球自転軸方向、自転速度の高精度決定）

②グローバルな測位の実現（地表面地形としての“地球の形”の直接測定）

③GPSと物理測地学の結合：（GRACE等のミッション

による詳細な地球重力場（ジオイド）の決定。 重力場の時間的変化の探求。）

①：地球座標系の確立

地球座標系とは、地球に固定された座標系である。

地図を作製したり、地球上での位置を表すために使われる。

歴史的には国毎にローカルな地球座標系（測地基準系と呼ばれる）が使われてきた。

20世紀の終わりごろから、グローバルな地球座標系が測地基準系として導入され始めた。

測地基準系

測地基準系とは、その国で位置を表現する基準となるものである。

測地基準系は地球座標系と回転楕円体で構成される。

回転楕円体は、位置を経度、緯度で表すために導入される。

測地基準系に採用された地球座標系が測地座標系であり、採用された回転楕円体は準拠楕円体と呼ばれる。

測地基準系の歴史

ローカルな測地原点に基づく測地座標系（例：旧日本測地系、アメリカNAD27、・・）

とローカルな準拠楕円体（例：ベッセル楕円体、クラソフスキー楕円体、・・）

↓

グローバルなネットワーク型地球座標系(例：ITRF,WGS84、・・）

グローバルな準拠楕円体

（例：GRS80、WGS84、・・)

測地基準系 ＝ 測地座標系 ＋ 準拠楕円体

測地基準系 国家、地域単位で位置の基準となる座標系

地球座標系

回転楕円体

X,Y,Z Φ、λ、ｈ

準拠楕円体(a,b)

ローカルに決定

h0

φ0

Φ0

測地原点

α0

A0

Λ0

H0

λ0 東京湾平均海面

天文経緯度観測

天文方位角観測

GPS以前の測地基準系

Λ0

Φ0

A0

H0

＝α0

＝φ0

＝λ0

＝h0

準拠楕円体を測地原点の観測値を使って地球に固定した。

GPS以前の測地基準系

準拠楕円体

h0

φ0

λ0

測地原点

平均自転軸

地球重心

？

Z

X

Y

天頂方向（ ）：天文経緯度 00 ,

天文方位角（ ) 0A

ローカルな測地基準系

GPS時代の測地基準系

１）地球上数百点の宇宙測地観測点での 観測に基づきネットワーク型の地球座標系を構築。

２）この地球座標系とグローバルな地球楕円体を採用･導入。

最新の地球座標系

ネットワーク型の座標系

ITRF(国際地球基準座標系）

IERS（国際地球回転観測事業）によって決

定される座標系。ITRF８９、ITRF9４、ITRF2005・・・

WGS84

DoD（米国）がGPSのために構築した座標系

最新の地球座標系の構築

１）位置の分かった観測点での宇宙測地観測

２）その結果、地球重力場、地球自転軸方向についての詳しい値が得られるとともに、地球重心に基づくより精度の高い観測点位置座標が決定できる。

１）～２）を繰り返すことにより観測点位置座標をより高精度なものに更新できる。 このようにして得られた観測点位置座標の集まりで、地球座標系を構築（実現）している。 ネットワーク型の座標系。

例：WGS84、ITRF

地球重心

地球自転軸

GPS

SLR

VLBI

準星

レーザー衛星

：観測点：座標値X

宇宙測地観測による地球座標系の構築

観測量：L

観測モデル

ｆ（La、ｘa）＝0

Ｌa ：観測量 ｘa ：未知量（観測点座標等）

たくさんの宇宙測地観測を行い最小二乗法で未知量を求める。

0),,,,,( 21211 auaaanaa xxxlllf

0),,,,,( 21212 auaaanaa xxxlllf ・・・・

0),,,,,( 2121 auaaanaar xxxlllf

GRS８０楕円体

測地原点のITRF座標

h0

φ0

λ0

測地原点

ITRF座標系

),,(),,( 000000 hZYX

現在の日本測地基準系

平均自転軸

地球重心

Z

X

Y

測地原点には地球座標系の位置座標を与える。

GPS 以前

・測地座標系は測地原点１点だけの

観測で決定

・ローカルな準拠楕円体

ローカル

地球重心に関係しない

GPS時代

・世界中数百点の観測点で代表される

ネットワーク型の地球座標系を導入

・グローバルな準拠楕円体

グローバル

地球重心座標系

測地基準系

特徴

②：グローバルな測位の実現

GPS以前は

（二次元(水平位置）+一次元（高さ））で表すローカルな測位

観測点での鉛直線方向に影響された測位

ＧＰＳ時代は

グローバルな三次元測位

観測点での重力場に依存しない測位

u

（上）

n(北）

e(東）

P1

P２

Z

A

S

Δn

Δe

Δu

ZS

AZS

AZS

u

e

n

PP

cos

sinsin

cossin

21

測位の基本

位置が既知の基準点 P1と未知点 P2

との間で観測を行いP2の位置を決定

ローカルな局地座標系での測位

測地座標系 u上

Z

X

Y

Φ

Λ

天文経度

ΔY

e東

n北

ΔZ

Δn

Δe

Δu

P２ 未知点

鉛直線方向

P1 基準点

局地座標系

天文緯度

O

測地座標系での測位は実際には複雑

鉛直線の向きが場所により変化

測位が鉛直線の方向

（観測点での重力場） に依存する。

鉛直線

鉛直線

局地座標系１

局地座標系２

観測点毎に鉛直線の向きが異なる。

古典的な位置観測は重力場の方向（水平面や鉛直線に依存する。 例えばトランシットによる角度観測は鉛直線の方向に基づくから、鉛直線の方向により角度観測値は変わる。

大気屈折

高度角観測の誤差

P1

P２

ZS

AZS

AZS

PP

cos

sinsin

cossin

21

P1からP2への観測で方位角Aは良く決まるが

高度角Zは大気屈折の影響で良く決まらない。

N

A

高さ方向の大気屈折が問題を更に複雑化する。 ：観測ベクトルが誤差で歪み高さ方向が良く決まらない

u上 P２

e東

n北

A

Z

S

P1

Q1

Q2

s

α

子午線

準拠楕円体面上での位置決定

A: 観測方位角

↓

α：測地方位角

S：空間距離

↓

s:測地線長

観測値の化成

古典的な解決法： 測位を２次元+１次元に分解 ２次元：準拠楕円体面上で

位置計算を行う三角測量

１次元：高さは三角測量では精度

を犠牲にし、高精度の高さ

は水準測量で行なう。

準拠楕円体面上での水平位置決定：三角測量

楕円体へ投影

された図形

地表面地形

高さ方向に多少の誤差があっても、楕円体面上

での水平位置にはほとんど影響しない。

GPSによる測位 観測点での重力場に依存しない測位

GPS観測は、極めて幾何学的な観測である。

GPS衛星測位は、観測点での鉛直線の向きに影響されない

地球重力場はGPS軌道位置の計算を通して間接的に入ってくるが、その影響は小さい。

GPS衛星

地球

地球重力場

：GPS衛星の軌道位置計算

に必要。 観測点での重力場

には影響されない。

③：GPSと物理測地学の結合 ジオイド（地球重力場）の決定

ガウスの提唱した“地球の形（ジオイド）”

↓

グローバルな高さの基準面へ。

詳細な地球重力場探求のはじまり。

地球の形？

“地球の形”を歴史的に並べると

球 ：エラトステネスの時代

回転楕円体 ：ニュートンの時代

↑近似の形 ↓実体的な形

平均海水面（ジオイド） ：ガウスの時代

地表面地形 ：GPSの時代

地表面地形としての地球の形 GPS以前：部分地形

GPS時代：グローバルな地形

ジオイド面としての地球の形 GPS以前：部分ジオイド

GPS時代：グローバルなジオイド

地球の形の決定

部分的な

地表面地形

ジオイド

GPS以前の地球の形

地上測量 重力測定

部分的な

ジオイド面

地表面

GPS時代の地球の形

グローバルな

地表面地形

グローバルな

ジオイド

GPS 重力衛星

鉛直線

重力

地表面

ジオイド

ジオイド＝平均海水面と一致する重力の等ポテンシャル面

ジオイド：ガウスが“地球の形”として提唱。

ジオイドの決定

ジオイド決定の方法

a）天文測地法

b）重力法

c）衛星法（軌道観測、重力衛星、アルチメーター等）

GPS以前：a＋b）

GPS時代：b＋c）

a）天文測地法

古典的な決定法

三角測量で測地経緯度の決定

天文測量で天文経緯度の決定

鉛直線偏差の計算

鉛直線偏差の経路積分でジオイド高を計算

ジオイド

楕円体

ｄN

ds

N

鉛直線偏差

鉛直線

楕円体法線

天文測地法

b）重力法

重力のポテンシャル理論から

地表面での重力観測：ｇ‘

ジオイド上での（化成）重力値：g

重力異常の計算：Δｇ＝ｇ－γ、（γ：正規重力）

ストークス積分の計算

ジオイド高＝

gdSR

N )(4

準拠楕円体

ジオイド

ジオイド高：N

Δｇ

ジオイド上ですべての重力異常（Δｇ＝ｇ－γ）が分かれば

ジオイド高Nは で与えられる。

gdSR

N )(4

c-1）衛星法－１ 軌道観測によるジオイド決定

地球の引力ポテンシャルを球関数に展開

衛星の軌道観測から球関数の係数を決定

重力ポテンシャルの決定

ジオイド高の決定

)(sin)(sin1 33

3

22

2

PJr

aPJ

r

a

r

GMV EE

)(2

222

yxVW

/)( UWN

楕円軌道の変化

赤道面

軌道面（ｔ）

春分点方向

極

昇交点や近地点等の位置が時間と共に

変化し、軌道面が動いていく。

ω（ｔ） Ω（ｔ）

近地点

軌道面（ｔ+Δｔ） 昇交点

昇交点経度 iJa

aE cos3 2

2

2J

は、衛星の周回毎に 変化する。

昇交点経度の変化を観測することで、例えば、ポテンシャル係数 が求まる。

海面高

楕円体

海面（ジオイド）

アルチメーターの

楕円体高

アルチメーター

ジオイド高

GPS

c-２ ）衛星法－２ アルチメーターによるジオイドの決定

重力観測衛星（CHAMP,GRACE等）

GPS衛星

重力観測衛星の軌道(位置）を決定

地球

重力計（加速度計)搭載

c-３ ）衛星法ー３ GPSと重力衛星によるジオイド決定

CHAMP,GRACE ミッション

GPS時代のジオイド

地球の形としてより、地球重力場の表現として重要になっている。 CHAMP,GRACE、ミッションで

地球重力場の詳細が調べられており、その結果として詳細ジオイドが得られている。

高さ（正標高）の基準面としての役割は、GPS時代になってより大きくなっている。

グローバルなジオイド決定とGPSを組み合わせた統一した高さ体系の構築が将来の課題。

ジオイド面

地表面

H ：正標高

GPSの登場により正標高を（水準測量＋重力測量）によらず

求める方法を手に入れた。

その結果、高さの基準面としてのジオイドの重要性が高まった。

ジオイド

B

HB

NB

Bh

地表面

準拠楕円体

ジオイド

A

HA

NA Ah

地表面

将来の課題

GPS水準による高さのシステムの結合 HA-HB=(ｈB-hA)-(NB-NA)

GPSは測地学を変えた

GPSの登場で、座標系の構築や測位の実現、地

球重力場の決定等において、測地学が大きく変わりつつある。