gredni element

G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 1/90 MKE u analizi grednih konstrukcija

MKE u analizi grednih konstrukcija

Prof. dr. sc. GORAN TURKALJ, dipl. ing.

Sveučilište u Rijeci

TEHNIČKI FAKULTET

Zavod za tehničku mehaniku

Katedra za čvrstoću konstrukcija

Tel. 051 651 499

Fax. 051 651 490

E-mail: [email protected]


1. UVOD

Sl. 1.1. Odziv konstrukcije: linearni vs. nelinearni odziv � Vrste nelinearnosti:

� geometrijska nelinearnost ⇒ veliki pomaci, velike deformacije

� materijalna nelinearnost ⇒ nelinearna elastičnost, elasto-plastičnost, viskoelastičnost, viskoplastičnost

opterećenje

pomak

linearni odziv

O

nelinearni odziv


� Metode rješavanja:

� egzaktne ⇒ diferencijalne i integralne jednadžbe ⇒ P O T E Š K OĆE !

� približne ⇒ N E T O ČN O S T R E Z U L T A T A !

� Približne (aproksimativne) metode:

� metode rezidiuma ⇒ približno rješavanje diferencijalnih jednadžbi (Bubnov-Galerkinova metoda)

� varijacijske metode ⇒ princip stacionarnosti potencijalne ili komplanarne energije (Rayleigh-Ritzova metoda)

� numeričke metode ⇒ metoda konačnih razlika ⇒ metoda konačnih elemenata ⇒ metoda konačnih volumena ⇒ metoda rubnih elemenata

� Metoda konačnih elemenata:

METODA KONA ČNIH ELEMENATA:

� linearna stabilnost ⇒ matrični problem vlastitih (svojstvenih) vrijednosti

• vlastita vrijednost ⇒ faktor kritičnog opterećenja

• vlastiti vektor ⇒ oblik (forma) gubitka stabilnosti

� nelinearna stabilnost ⇒ inkrementalni pristup:

• total Lagrangian formulacija

• updated Lagrangian formulacija

• Eulerova formulacija


2. ANALIZA DEFORMACIJE I NAPREZANJA GREDNIH NOSA ČA

2.1. Osnovne pretpostavke

Sl. 2.1. Prostorni gredni nosač punog poprečnog presjeka � (x, y) – glavne centralne osi inercije poprečnog presjeka

� wo, uo , vo – translatorni pomaci težišta O po pravcu osi z, x i y

� ϕz , ϕx , ϕy – rotacijski pomaci poprečnoga presjeka oko osi z, x i y

( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )s so o s s s s z z x x y y

dv duw w z u u z v v z z z z

dz dzϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = = = = − = = =

z

x

y

wo ϕz

vo

O

ϕx

ϕy

uo

x O

y

z

x

y

N


2.2. Linearno polje pomaka

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

, ,

, ,

, ,

o oo

o z

o z

dv duw z x y w z y z x z

dz dzu z x y u z y z

v z x y v z x z

ϕϕ

= − −

= −

= +

2.3. Cauchyjev tenzor deformacije

2 2

2 2o o o

zz

zzx

zzy

w dw d v d uy x

z dz dz dzw u d

yx z dzw v d

xy z dz

ε

ϕγ

ϕγ

∂= = − −∂∂ ∂= + = −∂ ∂∂ ∂= + =∂ ∂


2.4. Geometrijske karakteristike ravnih presjeka nosača

� statički momenti površine za os x i y:

,x y

A A

S y dA S xdA= =∫ ∫

� aksijalni momenti inercije površine za os x i y:

2 2,x y

A A

I y dA I x dA= =∫ ∫

� centrifugalni moment inercije površine:

xy

A

I xy dA= ∫

Ako su osi x i y glavne težišne osi tada je:

Sx = Sy = Ixy = 0


2.5. Unutarnje sile

Sl. 2.5. Unutarnje sile

Komponente su rezultante unutarnjih sila definirane na sljedeći način:

� aksijalna sila:

z z

A

F N dAσ= = ∫

� smične sile:

,x x zx y y zy

A A

F Q dA F Q dAτ τ= = = =∫ ∫

z

x

y

Mx

Fz

My

Mz

Fx

Fy

O

dA σz

τzx

τzy

x

y


� torzijski moment:

( )z T zy zx

A

M M x y dAτ τ= = −∫

� momenti savijanja:

,x z y z

A A

M y dA M xdAσ σ= = −∫ ∫

Nadalje, kako je prema Hookeovu zakonu:

. .

. .

. .

z zz

zx zx

zy zy

E

G

G

σ ετ γτ γ

=

pri čemu je E modul elastičnosti ili Youngov modul, G modul smicanja, dok su komponente deformacije dane izrazom (2.26), to iz gornjih izraza dobivamo:

2

2

2

2

oz

s xx x x

ysy y y

zsv t

dwF EA

dz

d v dM EI EI

dz dzdd u

M EI EIdz dz

dT GI

dz

ϕ

ϕ

ϕ

=

= − =

= =

=


Smične sile Fx i Fy :

a) savijanje u ravnini (z, y) b) savijanje u ravnini (z, x)

Sl. 2.6. Ravnoteža segmenta nosača pri savijanju

Tako iz ravnoteže segmenta sa sl. 2.6a, dobivamo:

0BM =∑

0y x x xF dz M M dM− − + + = → xy

dMF

dz=

odnosno iz ravnoteže segmenta sa sl. 2.6b, proizlazi:

0BM =∑

0x y y yF dz M M dM− + + = → yx

dMF

dz= −

23 2 3

3 2 3 2; yo x o

y x x x y y

dd v d d uF EI EI F EI EI

dz dz dz dz

ϕϕ= − = = − = −

dz

My + dMy My

Fx Fx

y

x

z A B

dz

Mx + dMx Mx

Fy Fy

x

y

z A B


3. GREDNI KONA ČNI ELEMENT

3.1. Vektor čvornih pomaka i vektor čvornih sila

a) čvorni pomaci b) čvorne sile

Slika 3.1a. Prostorni gredni konačni element

� (z, x, y) – lokalni koordinatni sustav konačnog elementa � (x, y) – glavne centralne osi inercije poprečnog presjeka

� Vektor čvornih pomaka:

( ) { }T, , , , , , , , , , ,e

oA sA sA zA xA yA oB sB sB zB xB yBw u v w u vϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=u .

� Vektor čvornih sila:

( ) { }T, , , , , , , , , , ,e

zA xA yA zA xA yA zB xB yB zB xB yBF F F M M M F F F M M M=f .

ϕxB

woB

uoB

ϕzB

ϕyB

voB

l

A B

z

x

y

ϕzA woA

uoA

ϕxA

voA

ϕyA MyA

MxA

MzA

FyA

FxA

FzA

A B

z

x

y

čvorovi konačnog elementa

MyB

FyB

FzB MzB

FxB

MxB polje konačnog

elementa


a) čvorni pomaci

b) čvorne sile

Slika 3.1b. Tankostijeni gredni konačni element

ο

o

o

l

OA

OB z x

y o SA

ϕxA woA

usA

ϕzA

θA

ϕxA

vsA

SB

ϕxB woB

usB

ϕzB

θB

ϕxB

vsB

B A

ο

o o

o

l

OA

OB

SA SB

FyB

FxB

MxB MyB

FzB

MzB MωB

z x

y

MyA

MxA

MzA MωA

FyA

FxA FzA

A B

� O – težište poprečnog presjeka

� S – centar smika (torzije) poprečnog presjeka

� dodatni stupnjevi slobode:

� θ – jedinični kut uvijanja

� Mω – bimoment

� Vektor čvornih pomaka:

( ) {}

T, , , , , , ,

, , , , , ,

eoA sA sA zA xA yA oB

sB sB zB xB yB A B

w u v w

u v

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ θ θ

=u.

� Vektor čvornih sila:

( ) {}

T, , , , , , ,

, , , , , ,

ezA xA yA zA xA yA zB

xB yB zB xB yB A B

F F F M M M F

F F M M M M Mω ω

=f.


3.2. Ravnotežne jednadžbe grednog konačnog elementa – inkrementalna formulacija

Sl. 3.2. Inkrementalni pomaci konačnog elementa

(Z, X, Y) – globalni koord. sustav (iz, ix, iy) – lokalni koord. sustav u i-toj konfiguraciji Ci – i-ta konfiguracija

(i = 0, 1, 2)

C0

C1

C2

0z

0y

0x 1z

2z

2x

1x

2y

1y Z

Y

X

Inkrementalni pristup:

• total Lagrangian formulacija ⇒ referentna konfiguracija C0

• updated Lagrangian formulacija ⇒ referentna konfiguracija C1

• Eulerova formulacija ⇒ referentna konfiguracija C2


Princip virtualnih radova:

δ δ=U W

Rad unutarnjih sila:

2

2 22δ ij ij

V

e dVτ δ= ∫U

Rad vanjskih sila:

( ) ( )2 2

2 2 2 2 22 2 2i i i i i i

A V

t u u dA f u u dVσ

σδ δ δ= + + +∫ ∫ɶ ɶW

ili

( )2

2 2 2 22 2 2za 0i i i i

A

t u u dA fσ

σδ δ= + =∫ ɶW

UL formulacija:

2 1

2 2 2 12 1 1ij ij ij ij

V V

e dV S dVτ δ δ ε=∫ ∫ ; 2 2 2 12 1i it dA t dAσ σ=

( )1 1

2 1 2 11 1 1ij ij i i i

V A

S dV t u u dAσ

σδ ε δ= +∫ ∫ ɶ


Kako je:

2 1 11 1 1 1ij ij ij ij ijS S S Sτ= + = + (inkrementalna UL formulacija)

1 1 1 1ij ij ij ije eδ ε δ δ η δ= + + ɶ

1 1 1ij ijkl klS C ε= (Hookeov zakon)

slijedi:

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ijkl kl ij ij ij ij ij i i i i ij ij

V V V A A A

C dV S dV S e dV t u dA t u dA S e dAσ σ σ

σ σ σε δ ε δ η δ δ δ δ+ + − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ɶ ɶ

Linearizacijom:

1 1 1 1 1ij ij ij ijkl kle S C eδ ε δ ≅→≅

dobivamo linearizirane inkrementalne ravnotežne jednadžbe konačnog elementa zapisanih u skladu s UL formulacijom:

2 1

E G 1 1δ δ δ δ+ = −U U W W

gdje je:

( )

( )

( ) ( )

1

1 1 1

T11 1 1

T1 1 1 1 1 11 1 1 1 1

T2 1 e e 2 1 2 11 1 ekv 1 1 ekv 1 ekv 1 ekv

δ δ

δ δ

δ ; ;

e e eE ijkl kl ij E

V

e e eG ij ij ij ij i i G

V V A

e e e e e e e

C e e dV

S dV S e dV t u dAσ

σ

δ

δ η δ δ

δ δ

= =

= + − =

− = + = − = −

∫

∫ ∫ ∫

u k u

u k u

u f f f f f f f f

ɶ ɶ

U

U

W W


U eksplicitnom obliku:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 20

lo o s s s s z z z z

x y t

dw dw d v d v d u d u d d d dEA EI EI EI GI dz

dz dz dz dz dz dz dz dz dz dzωϕ ϕ ϕ ϕδ δ δ δ δ

+ + + + + ∫

2 2 21

0

12 2

2

lo s s s z s z

z s s

dw du dv du d dv dF y x

dz dz dz dz dz dz dz

ϕ ϕδ δ δ δ δ + + + + − +

∫

2 2

12 2

2 2 2s s s s s o sx z s s

dv du d u du d v dw duF x y

dz dz dz dz dz dz dzδ ϕ δ δ δ + + + − +

2 2

12 2

2 2 2s s s s s o sy z s s

du d u dv dv d v dw dvF x y

dz dz dz dz dz dz dzδ ϕ δ δ δ

+ − + + − +

22 21 1

2 2s s s s z

z

d u dv du d v dM K

dz dz dz dz dz

ϕδ δ δ + − + +

2 2

12 2

2s s z o sx z

d u du d dw d vM

dz dz dz dz dz

ϕδ ϕ δ δ + − − +

2 2

12 2

2s s z o sy z

d v dv d dw d uM

dz dz dz dz dz

ϕδ ϕ δ δ + − + −

( ) ( )2

T1 2 11 12

2 e e eo zdw dM dz

dz dzωϕδ δ

− = −

u f f .


3.3. Elastična (linearna) matrica krutosti konačnog elementa

( )1

T11 1 1δ δ

e e eE ijkl kl ij E

V

C e e dVδ= =∫ u k uU

Eksplicitni oblik:

( )2 2 2 2 2 2

T

2 2 2 2 2 20

δ δ

le e eo o s s s s z z z z

E x y t E

dw dw d v d v d u d u d d d dEA EI EI EI GI dz

dz dz dz dz dz dz dz dz dz dzωϕ ϕ ϕ ϕδ δ δ δ δ

= + + + + = ∫ u k uU

Ukupnu deformaciju konačnog elementa možemo rastaviti na one zbog:

� aksijalnog opterećenja

� savijanja u ravnini (z, y)

� savijanja u ravnini (z, x)

� torzije.


a) Aksijalno opterećenje

Sl. 3.3. Aksijalno opterećenje konačnog elementa: komponente pomaka i komponente sila

Kako sa stanovišta aksijalnog opterećenja, konačni element sa sl. 3.3 ima dva stupnja slobode, tada pomak wo u polju konačnog elementa možemo

aproksimirati polinomom prvoga stupnja, tj.

1 2ow zα α= + ,

ili u matričnom obliku:

ow = aα ,

gdje je a matrica polja konačnog elementa ili matrica polinoma:

[ ]1 z=a ,

dok je αααα vektor konstanti ili generaliziranih koordinata:

{ }T1 2α α=α .

Pošto za čvorove A i B, a u skladu s izrazom (3.21), vrijedi:

1

1 2

0 o oA

o oB

z w w

z l w l w

αα α

= → = = = → = + =

,

l

z

woA, FzA z

y x woB, FzB

A B

FzA Fz

Fz FzB

=

=

zB

zAw

oB

oA

F

F

w

w

f

w


to za vektor čvornih pomaka w možemo pisati:

1

2

1 0

1oA

oB

w

w l

αα

= =

w ,

ili kraće:

k=w a α ,

gdje indeks k označava konturu (čvorove) konačnog elementa. Kako na osnovi izraza (3.27), slijedi da je:

( ) 1k −=α a w ,

to iz gornjih izraza imamo:

( ) 1ko ww

−= =a a w N w,

pri čemu je Nw matrica interpolacijskih funkcija:

1w

z z

l l = −

N .

Za prvi član integrala, dobivamo:

( ) ( ) [ ] ( )T

T T T

0 0 0 0

1d d dδ d d dδ d d δ d δ 1 1 d δ

1d d d d d d

l l l lwo o o o w wE

w w w w EAEA z EA z EA z z

z z z z z z l

− = = = − =

∫ ∫ ∫ ∫N N

w w w w w k w

gdje je wEk elastična matrica krutosti:

1 1

1 1wE

EA

l

− = − k .


b) Savijanje u ravnini (z, y)

Sl. 3.4. Savijanje konačnog elementa u ravnini (z, y): komponente pomaka i komponente sila

Pošto konačni element sa sl. 3.4 ima četiri stupnja slobode, to se pomak vs (ili vo) u polju konačnog elementa može aproksimirati polinomom

trećeg stupnja: 2 3

1 2 3 4sv z z zα α α α= + + + ,

ili u matričnom obliku:

sv = aα ,

gdje je, sada:

2 31 z z z = a ,

{ }T1 2 3 4α α α α=α .

Budući da u čvorovima vrijedi:

l

z

vsA, FyA

z

y x

vsB, FyB

A B

Fy

Fy

ϕxB, MxB ϕxA, MxA

MxB

FyB

FyA

Mx

Mx

MxA

=

=

xB

yB

xA

yA

v

xB

sB

xA

sA

M

F

M

F

v

v

f

v

ϕ

ϕ


1 2

2 3 21 2 3 4 2 3 4

0 ,

, 2 3

ss sA xA

ss xB

dvz v v

dzdv

z l v l l l l ldz

α α ϕ

α α α α α α α ϕ

= → = = = = − = → = + + + = + + = −

,

za vektor čvornih pomaka v možemo pisati:

1

22 3

32

4

1 0 0 0

0 1 0 0

1

0 1 2 3

sA

xA k

sB

xB

v

v l l l

l l

αααα

ϕ − = = =

ϕ − − −

v a α ,

odnosno vektor je konstanti:

( ) 1k −=α a v .

Vratimo li izraz (3.40) u izraz (3.35), imamo:

( ) 1ks vv

−= =a a v N v,

gdje je Nv matrica interpolacijskih funkcija:

2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 2 3 2

3 2 2 3 21v

z z z z z z z zz

l l l l l l l l

= − + − + − − −

N .

( ) ( )T2 2 2 2 2 2

T T

2 2 2 2 2 20 0 0

l l lvs s s s v v

x x x E

d v d v d v d v d dEI dz EI dz EI dz

dz dz dz dz dz dz

δδ δ δ

= = =

∫ ∫ ∫N N

v v v k v ,

gdje je vEk elastična matrica krutosti sljedećeg oblika:


3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

x x x x

x x x x

vE

x x x x

x x x x

EI EI EI EI

l l l lEI EI EI EI

l l l lEI EI EI EI

l l l lEI EI EI EI

l l l l

− − − −

= − −

k .

c) Savijanje u ravnini (z, x)

Sl. 3.5. Savijanje konačnog elementa u ravnini (z, x): komponente pomaka i komponente sila

Ponovimo li za konačni element sa sl. 3.5 postupak kao u prethodnom slučaju, tada za pomak us (ili uo) u polju konačnog elementa, imamo:

2 31 2 3 4su z z zα α α α= + + + ,

odnosno:

su = aα ,

=

=

yB

xB

yA

xA

u

yB

sB

yA

sA

M

F

M

F

u

u

f

u

ϕ

ϕ

l

z

usA, FxA usB, FxB

A B

Fx

Fx

ϕyB, MyB ϕyA, MyA

MyB

FxB

FxA

My

My

MyA

z y

x


pri čemu su a i αααα dani izrazima (3.36) i (3.37). Pošto u čvorovima konačnog elementa vrijedi:

1 2

2 3 21 2 3 4 2 3 4

0 ,

, 2 3

ss sA yA

ss yB

duz u v

dzdu

z l u l l l l ldz

α α ϕ

α α α α α α α ϕ

= → = = = = = → = + + + = + + =

,

to za vektor čvornih pomaka u, imamo:

1

22 3

32

4

1 0 0 0

0 1 0 0

1

0 1 2 3

sA

yA k

sB

yB

u

u l l l

l l

αααα

ϕ = = =

ϕ

u a α ,

odnosno:

( ) 1k −=α a u .

( ) 1ks uu

−= =a a u N u,

2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 2 3 2

3 2 2 3 21u

z z z z z z z zz

l l l l l l l l

= − + − + − − +

N .

( ) ( )T2 2 2 2 2 2

T T

2 2 2 2 2 20 0 0

l l lus s s s u u

y y y E

d u d u d u d u d dEI dz EI dz EI dz

dz dz dz dz dz dz

δδ δ δ

= = =

∫ ∫ ∫N N

u u u k u ,


pri čemu je uEk elastična matrica krutosti sljedećeg oblika:

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

y y y y

y y y y

uE

y y y y

y y y y

EI EI EI EI

l l l lEI EI EI EI

l l l lEI EI EI EI

l l l lEI EI EI EI

l l l l

−

− = − − − −

k .


d1) Slobodna torzija

Sl. 3.6a. Torzija konačnog elementa: komponente pomaka i komponente sila - pomak ϕz u polju konačnog elementa:

1 2z zzα α ϕϕ = + ⇒ ϕ = N ϕϕϕϕ

1 w

z z

l lϕ = − =

N N .

( ) ( ) [ ] ( )T

T T T

0 0 0 0

11 1

1

l l l lz z z z

t t t t E

d dd d d dGI dz GI dz GI dz GI dz

dz dz dz dz dz dzϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕδ δ δ δ δ

− = = = − =

∫ ∫ ∫ ∫

N Nkϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

gdje je:

1 1

1 1t

E

GI

lϕ −

= − k .

zA

zB

zA

zB

M

Mϕ

ϕ = ϕ

=

f

ϕϕϕϕ

l

z

z

y x

A B

ϕzB, MzB ϕzA, MzA

MzB Mz

Mz MzA


d2) Torzija s ograničenim vitoperenjem

Sl. 3.6b. Torzija konačnog elementa: komponente pomaka i komponente sila

- pomak ϕz u polju konačnog elementa:

2 31 2 3 4z zz z zα α α α ϕϕ = + + + ⇒ ϕ = N ϕϕϕϕ

Nϕ - matrica interpolacijskih funkcija:

2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 2 3 2

3 2 2 3 21 v

z z z z z z z zz

l l l l l l l lϕ

= − + − + − − − =

N N .

=

=

B

zB

A

zA

B

zB

A

zA

M

M

M

M

ω

ωϕ

θϕθϕ

f

ϕϕϕϕ

l

z

z

y x θB, MωB

A B

θA, MωA

ϕzB, MzB ϕzA, MzA

MzB

MωB

Mω

Mz

Mz

Mω

MzA Mω


Elastična matrica krutosti konačnog elementa:

e w v uE E E E E

ϕ= + + +k k k k k

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1

1 1

2 2

2

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

eE

a a

b c b c

b c b c

d d e e

f c g

f c g

a

b c

b c

sym d e e

f

−−

− − −− − −

−

=−

k

1. . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

f

h i

h

EAa

l= , 1 3

12 yEIb

l= , 2 3

12 xEIb

l= , 1 2

6 yEIc

l= , 2 2

6 xEIc

l= ,

3

12 6

5tEI GI

dl l

ω= + ,

2

6

10tEI GI

el

ω= + , 1

4 yEIf

l= , 2

4 xEIf

l= , 1

2 yEIg

l= , 2

2 xEIg

l= ,

4 2

15tEI GI l

hl

ω= + , 2

30tEI GI l

il

ω= − .


3.4. Geometrijska (nelinearna) matrica krutosti konačnog elementa

( )1 1 1

T1 1 1 1 1 11 1 1 1 1δ δ

e e eG ij ij ij ij i i G

V V A

S dV S e dV t u dAσ

σδ η δ δ= + − =∫ ∫ ∫ u k uɶ ɶU

Eksplicitni oblik:

2 2 2

1

0

2 21

2 2

1δ 2 2

2

2 2 2

lo s s s sz z

G z s s

s s s s s o sx z s s

dw du dv du dvd dF y x


dv du d u du d v dw duF x y


ϕ ϕδ δ δ δ δ

δ ϕ δ δ δ

= + + + − +

+ + + − +

+

∫U

2 21

2 2

22 21 1

2 2

21

2

2 2 2

2

s s s s s o sy z s s

s s s s zz

s s ozx z

du d u dv dv d v dw dvF x y


d u dv du d v dM K

dz dz dz dz dz

d u du dwdM

dz dz dz

δ ϕ δ δ δ

ϕδ δ δ

ϕδ ϕ δ δ

− + + − +

+ − + +

+ − −

( )

2

2

2 21

2 2

2T1

2

2

2 δ

s

s s o szy z

e e eo zG

d v

dz dz

d v dv dw d udM

dz dz dz dz dz

dw dM dz

dz dzω

ϕδ ϕ δ δ

ϕδ

+

+ − + −

− =

u k u


Pomake u polju konačnog elementa zamijeniti čvornim pomacima, a unutarnje sile čvornim silama:

• aksijalna sila: 1 1 1

z zA zBF F F= − =

• smične sile:

( )

( )

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1

1

x xA xB yA yB

y yA yB xA xB

F F F M Ml

F F F M Ml

= − = = − +

= − = = +

• moment torzije: 1 1 1

z zA zBM M M= − =

• momenti savijanja:

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1

1

x xA yA xA xB

y yA xA yA yB

z zM M F z M M

l l

z zM M F z M M

l l

= − − = − − +

= − + = − − +

• bimoment: 1 1 1

A BM M Mω ω ω= − =

• Wagnerov koeficijent:

( )1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 11 1

z z x x y y

zB z xA xB x yA yB y B

K F M M M

z z z zF M M M M M

l l l l

ω ω

ω ω

α α α α

α α α α

= + + + =

= + − − + + − − + +


Geometrijska matrica krutosti konačnog elementa:

1 1 2 2 1 1

1 1 1

1 1 1

1 2 1

1 1 3 1 1 1

2 2 1 1

1 1 1

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

eG

a u v a u v w w

c d e f c g e f h i

c b f e c g f e h i

j k k d b j l l m m

n o u e f l p e q r

n v f e l e p q r

a u v w w

c g e f h i

c g f e h i

sym j

− − − − − −− −

− − − −− − −− −− − − −

−=

− − − −− − −

k

2 3 1

2 2

3 3 1

1

2

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

k k m m

n o r s

n r s

t t

t

− − −

1zBF

al

= , 1 11 116

5 10yA yBzB s

M MF xb

l l

−= − + ,

16

5zBF

cl

= , 1 1 16 11

5 10zB s xA xBF y M M

dl l

−= + ,

( ) ( )1 1 1 11

2 2

xA xB s yA yB szBM M x M M yM

el l l

+ += + + ,

( ) ( )1 1 1 11

1 2 2 2

xA xB s yA yB szBM M x M M yM

el l

+ += + + ,

1

10zBF

f = , 1 1 16 11


gl l

−= − − ,

1 11

1

116,

5 10yA yBzB s

M MF xg

l l

−= −


1 1

10 10zB s xAF y M

h = − − , 11

1 10 10yAzB s

MF xh = − ,

1 1

10 10zB s xBF y M

i = − + , 11

1 ,10 10

yBzB sMF x

i = +

( ) ( )1 1 1 1 11 3 3 66

5 5 5 5

xA xB x yA yB y BzB zM M M M MF

jl l l l

ω ωα α αα − −

= − − + ,

1 11 2

10 5yA yBzB s

M MF xk

−= − ,

1 1 1

12


k−

= +

1 11

2

2

10 5yA yBzB s

M MF xk

−= − + ,

1 1 1

32


k−

= − − , 1 1 12


l+

= + , 1 11

1

2

10 10yA yBzB s

M MF xl

+= − ,

1 11

2

2

10 10yA yBzB s

M MF xl

+= − − ,

1 1 1

32


l+

= − + ,

11 11

,10 10 10 10

yB yxB x BzB zMM MF

m ω ωαα αα= − − − −

11 11

1 10 10 10 10yA yxA x BzB z

MM MFm ω ωαα αα= − + + − ,

( )1 112

15 2

xA xB szBM M yF l

nl

+= −

( )1 11

12

15 2

yA yB szBM M xF l

nl

+= + ,

( )1 11

22

15

xA xB szBM M yF l

nl

+= + ,

( )1 11

32

15

yA yB szBM M xF l

nl

+= − ,

( ) ( )1 1 1 1

2 2

xA xB s yA yB sM M x M M yo

l l

+ += − ,

1

30zBF l

p = , ( )1 11 32

15 30

yA yBzB sM M lF x l

q−

= − + ,


( )1 11

1

32

15 30

xA xBzB sM M lF y l

q−

= − − , 11

30 30yAzB s

M lF x lr = − ,

1 1

1 30 30zB s xAF y l M l

r = + , 11

2 30 30yBzB s

M lF x lr = + ,

1 1

3 30 30zB s xBF y l M l

r = −

( )1 11 32

15 30

yA yBzB sM M lF x l

s−

= − + , ( )1 11

1

32

15 30

xA xBzB sM M lF y l

s−

= − − ,

( ) ( )1 1 1 1 11

30 60 60 30

xA xB x yA yB y BzB zM M l M M l M lF l

t ω ωα α αα − −

= − + + − ,

( ) ( )1 1 1 1 11

1

3 3 22

15 30 30 15



= − − + ,

( ) ( )1 1 1 1 11

2

3 3 22

15 30 30 15



= − − + ,

1

1xAM

ul

= , 1

2xBM

ul

= , 1

1yAM

vl

= , 1

2yBM

vl

= , 1

1BM

wlω= .


Ravninski element (z, y):

1 11 1

1 1 1 1

1 11 1 1 1

1 11 1

1 1 1 1

1 11 1 1 1

. .

6 6. .

5 10 5 10

2

10 15 10 30

. .

6 6. .

5 10 5 10

2

10 30 10 15

xA xBzB zB

zB zB zB zB

xA xAzB zB zB zB

eG

xA xBzB zB

zB zB zB zB

xB xBzB zB zB zB

M MF F

l l l l

F F F F

l l

M MF F l F F l

l l

M MF F

l l l l

F F F F

l l

M MF F l F F l

l l

− − −

− − −− − −

=−

−

− − −

k

Pojednostavljena geometrijska matrica krutosti:

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

. . . . . .

6 6. .

5 10 5 10

2. .

10 15 10 30. . . . . .

6 6. .

5 10 5 10

2. .

10 30 10 15

zB zB zB zB

zB zB zB zB

eG

zB zB zB zB

zB zB zB zB

F F F F

l l

F F l F F l

F F F F

l l

F F l F F l

− − − − − =

− − −

k


3.5. Jednadžba konačnog elementa

( ) ( ) ( ) ( )T T 2 1e e e e e e eE Gδ δ+ = −u k k u u f f

odnosno: e e eT =k u f

gdje je eTk tangentna matrica krutosti e-tog konačnog elementa:

e e eT E G= +k k k

dok je fe pripadni vektor inkrementalnog čvornog opterećenja: 2 1e e e= −f f f

Vektor čvornih sila konačnog elementa za novu ravnotežnu konfiguraciju C2:

( )2 2 1 11

e e e e e e e eE G= = + = + +f f f f f k k u

Sl. 3.7a. Čvorne sile u konfiguracijama C1 i C2 prije force recoveryja


UL formulacija – force recovery:

- NDA (natural deformation approach) : e e en r= −u u u

( )2 2 12

e e e e e eE G n= = + +f f f k k u

- ESA (eksternal stiffness approach):

( )2 2 12

e e e e e e eE G Ext= = + + −f f f k k k u

eExtk – EKSTERNA MATRICA KRUTOSTI KONAČNOG ELEMENTA

Sl. 3.7b. Čvorne sile u konfiguracijama C1 i C2 poslije force recoveryja


Virtualni se pomak (kao i stvarni pomak) konačnog elementa iz konfiguracije C1 u konfiguraciju C2 sastoji od pomaka konačnog elementa kao krutog tijela, sl. 3.8a i pomaka koji su posljedica čiste deformacije, sl. 3.8b.

a) b)

Sl. 3.8. Virtualni pomaci konačnog elementa: a) kao krutog tijela; b) zbog ukupne deformacije

Stoga, za ukupni virtualni pomak konačnog elementa unutar jednog inkrementa, možemo pisati:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

nr

nyryynxrxxnzrzz

nsrssnsrssnoroo vvvuuuwww

δθδθθδ

ϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδ

δδδδδδδδδ

+=

+=+=+=

+=+=+=

,,

,,

r = RIGID BODY DEFORMATION

n = NATURAL DEFORMATION

Kako su pri pomaku konačnog elementa kao krutog tijela komponente pomaka: wo, ϕz, ϕx i ϕy konstantne, dok se us i vs linearno mijenjaju, vrijedi:

1A 1B

2A

2B

z

sBvδ ( )rsvδ sAvδ

l

1z

1y 1x sBvδ

1A 1B

2A

2B

z

( )rsvδ sAvδ

( )nsvδ

l


2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2

2

, ,

,

,

o o s s s s

n n n

x x sz z

n n n

y y s zn

n n

dw dw d u d u d v d v

dz dz dz dz dz dz

d d d vd d

dz dz dz dz dz

d d d u d

dz dz dz dz

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δθ δ δθ

= = =

ϕ ϕϕ ϕ = = = −

ϕ ϕ ϕ= = = =

Sljedeći je korak da iz integrala, a na osnovi kojeg je dobivena geometrijska matrica krutosti konačnog elementa, izlučimo sve članove koji ne

sadrže natural deformation pomake, što daje:

1

0

12

2

ls s s s s sz z

z s s

du du dv dv du dvd dF y x

dz dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ ϕ ϕ + + − +

∫

2 2

12 2

2 2 2s s s s s s o sx z z s s

dv dv d u du d v du dw duF x y

dz dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ δ

+ ϕ + ϕ + + − +

2 2

12 2

2 2 2s s s s s s o sy z z s s

du du d u dv d v dv dw dvF x y

dz dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ δ

+ − ϕ − ϕ + + − +

2 2 2

1 12 2 2s s s s s sz

z x z

d u dv d v du d u dudM M

dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ

ϕ+ − + ϕ − +

2

12s sz

y z

d v dvdM dz

dz dz dzδ δ

ϕ+ ϕ −


Ako prethodni izraz parcijalno integriramo na način da u integralu povećamo red derivacije virtualnih pomaka, nakon sređivanja imamo:

1

0

l

s s s sz s s s z s z

du dv du dvF u v y x

dz dz dz dzδ δ δ δ + + ϕ − ϕ +

1

0

l

s s s s sx s z s s o

du du dv du duF v x y w

dz dz dz dz dzδ δ δ δ + ϕ + + − +

1

0

l

s s s s sy s z s s o

du dv dv dv dvF u x y w

dz dz dz dz dzδ δ δ δ + − ϕ + + − +

111

0 0 02 2 2

lll

ys s s s x s s s szz z z z

Mdu dv dv du M du du dv dvM

dz dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ δ δ

+ − + ϕ − ϕ + ϕ − ϕ +

2

12

0

ls s s s

z s s s z s z

d u dv du dvF u v y x

dz dz dz dzδ δ δ δ

+ − − − ϕ + ϕ +

∫

2 2 2

12 2 2

s s s s szx s s s o

du d u dv d u d udF v x y w

dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ

ϕ+ − − − + +

2 2 2

12 2 2

s s s s szy s s s o

du d v dv d v d vdF u x y w

dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ

ϕ+ − − + +

12 2 1 2 21

2 2 2 22 2 2ys s s s x s s s sz z z

z z

Mdv d u du d v M d u du d v dvM d ddz

dz dz dz dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ δ δ

ϕ ϕ+ − + ϕ − + ϕ −


Kako integral iz prethodnog izraza sadrži samo virtualne pomake zbog čiste deformacije, slijedi:

1

0

l

s s s sz s s s z s z

du dv du dvF u v y x

dz dz dz dzδ δ δ δ + + ϕ − ϕ +

1

0

l

s s s s sx s z s s o

du du dv du duF v x y w

dz dz dz dz dzδ δ δ δ + ϕ + + − +

1

0

l

s s s s sy s z s s o

du dv dv dv dvF u x y w

dz dz dz dz dzδ δ δ δ + − ϕ + + − +

( ) ( )11

0 02 2

ll

xzx y y x y z z y

MM δ δ δ δ

+ ϕ ϕ − ϕ ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ +

( ) ( )1

T

02

l

y e e ez x x z Ext

Mδ δ δ

+ ϕ ϕ − ϕ ϕ =

u k u

Pošto je pri pomaku konačnog elementa kao krutog tijela veza između pomaka u polju konačnog elementa i čvornih pomaka, sljedeća:

, 1 , 1

, , , 0

sA sAo oA oB s s

sB sB

z zA zB x xA xB y yA yB A B

u vz z z zw w w u v

u vl l l l

θ θ θ

= = = − = −

ϕ = ϕ = ϕ ϕ = ϕ = ϕ ϕ = ϕ = ϕ = = =

dobivamo:


1 1

1 1

1

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

eExt

b m k e b m k e

a j l f a j l f

c d i h

i g

h g

b m k e b m k e

a j l f a j l f

c d i h

i g

h g

− − − −− − − −

−−

−

=− − − −

− − − −− − −

−−

k

1 . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

1 1

2xA xBM M

al

+= , 1 1

2

yA yBM Mb

l

+= ,

1 1xA xBM M

cl

+= , 1 1

yA yBM Md

l

+= ,

1zB sF y

el

= ,

1zB sF x

fl

= , 1

2zAM

g = , 1

1 2zBM

g = , 1

2xAM

h = , 1

1 2xBM

h = , 1

2yAM

i = , 1

1 2yBM

i = ,

( )1 1

3

xA xB sM M xj

l

+= ,

( )1 1

3

yA yB sM M yk

l

+= ,

( )1 11

3

xA xB szBM M yF

ll l

+= + ,


3.6. Transformacijske matrice

Sl. 3.9. Lokalni i globalni koordinatni sustav

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1 1 10

1 1 1

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

z Z z X z Y

x Z x X x Y

y Z z X z Y

=

t

1 1 1 T

0 0 ortogonalna matrica− = ⇒t t

1

01

01 1

01

0

2

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

e

e

e e

e

=

t

tt t

t

I

Z

Y

X

1x

1z

1y

a

(Z, X, Y) - globalni koord. sustav

(1z, 1x, 1y) - lokani koord.

sustav


1e e e=u t u 1e e e=f t f e e eT =k u f

( )T1 1e e e eT T=k t k t

e e eT E G= +k k k ( )T1 1e e e e

E E=k t k t ( )T1 1e e e eG G=k t k t

3.7. Jednadžba konstrukcije

T =K U P

T E G= +K K K 2 1= −P P P

Sl. 3.10. Krivulja ‘opterećenje – pomak’

opterećenje

pomak

stabilna ravnoteža

stabilna ravnoteža

nestabilna ravnoteža

omekšanje očvršćenje

A

B

C

D

E

O

Kriti čne točke: � granične točke (A i D)

� snap-back točke (B i C).


Faze inkrementalno-iterativne procedure ili sheme:

� PREDIKTOR:

PKU 1−= T

� KOREKTOR:

� korekcija geometrije svakog konačnog elementa (updating of geometry)

� određivanje eksterne matrice krutosti svakog konačnog elementa

� određivanje vektora čvornih sila svakog konačnog elementa u konfiguraciji C2 (force recovery faza):

ee ff 22

2 =

� KONTROLA RAVNOTEŽE UNUTARNJIH I VANJSKIH SILA


3.8. Korekcija geometrije konačnog elementa

U tu je svrhu potrebno definirati tri sustava koordinatnih osi:

� referentne osi svakog čvora konstrukcije

� osi konačnog elementa

� osi čvorova konačnog elementa.

3.8.1. Referentne osi

Sl. 3.11. Referentne osi Inkrementalni pomak čvora A:

� translacijski inkrement ∆UA:

A A A AW U V∆ = + +U k i j

� rotacijski inkrement ∆φφφφA:

A ZA XA YAφ φ φ∆ = + +k i jφφφφ

X Z

Y

1ζζζζA

1ηηηηA

1ξξξξA A

C1

0ξξξξA 0ζζζζA

0ηηηηA

A

C0

2ζζζζA

2ηηηηA

2ξξξξA

A

C2


U skladu s Rodriguezovom formulom za velike rotacije položaj je referentnih osi čvora A u konfiguraciji C2 :

2 2 11 , , ,A A A= =q R q q ζ ξ ηζ ξ ηζ ξ ηζ ξ η

( )2 21 3

1 cossin

A

AAA Α Α

A2

− ∆φ∆φ= + +∆φ ∆φ

R I Φ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ

2 2 2A A ZA XA YAφ φ φ∆φ = ∆ = + +φφφφ ,

0

0

0

YA XA

Α YA ZA

XA ZA

φ φφ φφ φ

− = − −

ΦΦΦΦ

Uvedu li se sljedeće aproksimacije:

1sin , cos 1

2 AA A A2∆φ ≅ ∆φ ∆φ ≅ − ∆φ

dobivamo za rotacijsku matricu:

( )

( )

( )

2 2

2 2 2 21 3

2 2

1 1 11

2 2 21 1 1 1

12 2 2 2

1 1 11

2 2 2

XA YA YA ZA XA XA ZA YA

A Α Α YA ZA XA ZA YA ZA XA YA

XA ZA YA ZA XA YA ZA XA

φ φ φ φ φ φ φ φ



− + − + + ≅ + + = + − + − + − + + − +

R I Φ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ

U slučaju malih rotacija:

21 3

1

1

1

YA XA

A Α YA ZA

XA ZA

φ φφ φφ φ

− ≅ + = − −

R I ΦΦΦΦ


Koordinate su čvora A u konfiguraciji C2:

2 1

2 1

2 1

A A A

A A A

A A A

Z Z W

X X U

Y Y V

= +

3.8.2. Osi čvorova konačnog elementa i osi konačnog elementa a) b)

Sl. 3.12. Čvorne osi i osi konačnog elementa: a) u konfiguraciji C0; b) u konfiguraciji C1

(γγγγi, ααααi, ββββi), i = A, B – jedinični vektori osi čvorova konačnog elementa ili čvornih osi

(zs, xs, ys) – osi konačnog elementa

0l = l

0ββββA 0ααααA

0γγγγA 0γγγγB

0ααααB 0ββββB

0zs

0ys 0xs

A B

1l

1ββββA 1γγγγB 1ββββB

1ααααB 1ααααA 1γγγγA

1zs

1xs 1ys

A B


Veza je između čvornih osi konačnog elementa i referentnih osi u konfiguraciji C0:

( )0 0 0 , , ; , , ; , ,i i i A B= = = =p R q p qγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ η

0R - transformacijska matrica koja transformira lokalne osi (0zs, 0xs,

0ys) konačnog elementa uglobalni koordinatni sustav (Z, X, Y):

( )T0 0 0 0 00e

s s s = = R t z x y

( ) ( ) ( ) ( ){ }T0 0 0 0cos , cos , cos ,s s s sz Z z X z Y=z

( ) ( ) ( ) ( ){ }T0 0 0 0cos , cos , cos ,s s s sx Z x X x Y=x

( ) ( ) ( ) ( ){ }T0 0 0 0cos , cos , cos ,s s s sy Z y X y Y=y

Ako su konačni elementi u čvorovima međusobno kruto spojeni, tada i za konfiguracije C1 i C2 vrijedi:

( )( )

T1 0 1 0 10

T2 0 2 0 20

, , ; , , ; , ,

ei i i

ei i i

i A B= = = = == =

p R q t qp q

p R q t qγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ η

Sljedeći korak predstavlja određivanje matrice 1R, koja transformira osi (1zs, 1xs,

1ys) konačnog elementa iz konfiguracije C1 u globalni koordinatni sustav, odnosno:

( )T1 1 1 1 10e

s s s = = R t z x y

Komponente vektora 1zs mogu se dobiti na osnovi koordinata čvorova A i B, tj.

( ) { }T1 1 1 1 1 1 11

1s B A B A B AZ Z X X Y Y

l= − − −z ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1 1 1 1

B A B A B Al Z Z X X Y Y= − + − + −


a) b) c)

Sl. 3.13. Određivanje položaja osi 1xs i 1ys: a) projekcije čvornih osi u ravninu 1Π; b) jedinični vektori srednjih vrijednosti; c) konačni

položaj osi 1xs i 1ys (

1Π ⇒ ravnina okomita na os 1zs )

- projekcije vektora 0ααααi i 0ββββi, i = A, B, u ravninu 1Π, sl. 3.13a:

( ) ( )1 * 1 1 T 1 1 , , ; ,j j j s s j A B= − = =p p p z z p α βα βα βα β

- normalizacija:

( )( )

1 *1

T1 * 1 *

, , ; ,jj

j j

j A B= = =p

p pp p

α βα βα βα β

- srednje vrijednosti projekcija:

( )1 1 1 , , ; ,i A B i x y= + = =e p p p α βα βα βα β

1ey

1ex

Aα1

Bα1

Aβ1

Bβ1

1Π 1Π

11e

21e

1xs

1ys

45o

45o

1Π

ye1−

1e2

1e1 ye1

xe1

1e1 ⊥ 1e2


- normalizacija:

( )( )

11

T1 1

, ,ii

i i

i x y= =ee

e e

- modifikacija: 1 1 1 1 1 1

1 2,x y x y= + = −e e e e e e

- normalizacija:

( )( )

11

T1 1

, 1, 2jj

j j

j= =e

ee e

- novi je položaj osi 1xs i 1ys definiran vektorima:

( )1 1 o 1 o 1 11 2 1 2

2sin 45 cos 45

2s = + = +x e e e e

( )1 1 o 1 o 1 11 2 1 2

2cos 45 sin 45

2s = − = −y e e e e

3.9. Numeričke procedure za rješavanje nelinearnih problema

� čista inkrementalna procedura

� inkrementalno-iterativna procedura


3.9.1. Čista inkrementalna procedura

- jednadžba konstrukcije za i-ti inkrement: ( 1) ( ) ( )i i iT

− ∆ = ∆K U P

- vektor inkrementalnog opterećenja za i-ti inkrement: ( ) ( ) ( 1)i i i −∆ = −P P P

- ukupno opterećenje konstrukcije na kraju i-tog inkrementa:

( ) ( )

1

r ii r

r

=

== ∆∑P P

- ukupni pomak konstrukcije na kraju i-tog inkrementa:

( ) ( )

1

r ii r

r

=

== ∆∑U U

Sl. 3.14. Čista inkrementalna procedura

opterećenje

pomak

1

greška

)1( −iTK

)(∆

iP

)(∆ iU

)1( −iU )( iU

)1( −iP

)(iP

točno rješenje


3.9.2. Inkrementalno-iterativne procedure

- jednadžba konstrukcije za j-tu iteraciju i-tog inkrementa:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 1)( 1)

î i i iT j j jj −−

∆ = Λ +K U P R

P̂ - vektor referentnog opterećenja ( )( )ijΛ - faktor inkrementalnog opterećenja za j-tu iteraciju u i-tom inkrementu

( )( 1)ij −R - vektor neuravnoteženog opterećenja iz (j – 1) iteracije:

( ) ( ) ( )( 1) ( 1) ( 1)i i ij j j− − −= −R P F

( )( 1)

ij −F - vektor unutarnjih sila konstrukcije za (j – 1) iteraciju

- vektor vanjskog opterećenja u j-toj iteraciji i-tog inkrementa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( )

î i i i i ij j j j j j− − −= + ∆ = + + ΛP P P R F P

- inkrementalni pomak konstrukcije u j-toj iteraciji i-tog inkrementa:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

î i i ij j j j∆ = Λ ∆ + ∆U U U

- komponenta ( )( )

ˆ ij∆U :

( )( ) ( )( )( 1)

ˆ î iT jj −

∆ =K U P

- komponenta ( )( )ij∆U :

( )( ) ( ) ( )( ) ( 1)( 1)

i i iT j jj −−

∆ =K U R


- ukupan pomak konstrukcije na kraju j-te iteracije i-tog inkrementa:

( ) ( ) ( )( ) ( 1) ( )i i ij j j−= + ∆U U U

- određivanje faktora inkrementalnog opterećenja ( )( )ijΛ :

� Newton-Raphsonova procedura

� displacement control procedura

� arc-length procedura

� work control procedura

� generalized displacement control procedura:

( )( )

T( 1) ( )(1) ( )( )

( ) T( 1) ( )(1) ( )

ˆ, 2

ˆ ˆ

i iji

ji i

j

j

−

−

∆ ∆Λ = − ≥

∆ ∆

U U

U U

( ) (1)(1) (1) GSP , 1i jΛ = ±Λ =

GSP = generalizirani parametar krutosti:

( )( )

T(1) (1)(1) (1)

T( 1) ( )(1) (1)

ˆ ˆGSP

ˆ ˆi i−

∆ ∆=

∆ ∆

U U

U U


- kontrola kriterija konvergencije na kraju j-te iteracije i-tog inkrementa:

� pomak:

( )( )

( )(1)

ij

Di

∆≤

∆

U

Ue , ( ) )(

)(

T)()(

)()(

ij

ij

ij UUU ∆∆=∆

� neuravnoteženo opterećenje:

( )( )

( )(1)

ij

Fi≤

R

Re , ( )T( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )i i ij j j=R R R

� rad neuravnoteženog opterećenja:

( )( )

T( ) ( )( ) ( )

T( ) ( )(1) (1)

i ij j

Ei i

∆≤

∆

U R

U Re

, ,D F E ⇒e e e dopuštena odstupanja ili tolerancije:

3

10 6

10

10 , ,10D F

E

−

− −

= == …

e e

e


3.9.3. Linearna analiza stabilnosti

( ) 2 1E G+ = = − =K K U P P P 0

( )ˆλE G+ =K K U 0

( )ˆdet λ 0E G+ =K K

λ – vlastita vrijednost (faktor kritičnog opterećenja)

U – vlastiti vektor (forma izvijanja)


3.10. Elasto-plastična analiza

a) b)

Sl. 3.15. Krivulja εσ − za: a) linearno-elastičan materijal; b) linearno-elastičan idealno-plastičan materijal

Pretpostavke:

� materijal je linearno-elastičan idealno-plastičan, tj. kada naprezanje u materijalu dostigne vrijednost naprezanja na granici tečenja

T Yfσ = deformacije rastu bez povećanja naprezanja

� nema zaostalih naprezanja

� svi su plastični efekti koncentrirani u tzv. plastičnim zglobovima (plastic hinges) nulte duljine

� plastični se zglobovi pojavljuju samo u čvorovima konačnog elementa, dok je u polju konačnog elementa materijal linearno-elastičan

� deformacije su male

� postoji kontinuirana funkcija tečenja Φ, koja je funkcija čvornih sila konačnog elementa i koja zadovoljava uvjet:

( ) 1eΦ = Φ = ⇒f PLASTIČNI ZGLOB

1Φ < ⇒ NEMA PLASTIČNOG ZGLOBA

1Φ > ⇒ NEDOPUŠTENO

Φ ≡ analitički oblik n-dimenzionalne plohe tečenja (yield surface) 7,,1…=⇒ n

ε

σ

ε

σ

σν


Deformacije su male ⇒ aditivna dekompozicija inkrementalnog vektora čvornih pomaka:

e e eel pld d d= +u u u

eeldu - elastični dio

epldu - plastični dio

- Prandtlov kriterij tečenja (Prandtl’s flow rule ili normality principle):

( )T0e e

pld d =u f ili epld d=u G λ

G - gradijentna matrica plohe tečenja

dλ - vektor proizvoljnih pozitivnih skalarnih funkcija ili plastičnih multiplikatora

- plastični zglob u čvoru A konačnog elementa:

epl A A Ad dλ=u G

TA

zA xA yA zA xA yA AF F F M M M Mω

∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ G

- plastični zglob u čvoru A i B konačnog elementa:

epl A A Ae

pl epl B B B

d dd

d d

λλ

= =

u G 0u

u 0 G


- za linearno-elastičan idealno-plastičan materijal:

,e e eel pld d d= =f f f 0

( )( )

,

, , ,

e e e e e e eE G Ext el T Ext el

e e e e e eT Ext pl T Ext T Ext

d d d

d d d d

= + − = =

= − = −

f k k k u k u

k u u k u k G λ

,e e eT Ext T Ext= −k k k

- iz Prandtlova kriterija tečenja i uvjeta da je λd proizvoljan, imamo :

( )T T T T0 0 (za )e e ed d d d d d= = ⇒ = =G λ f λ G f G f λ 0

- vektor proizvoljnih pozitivnih skalarnih funkcija:

( ) 1Τ T

, ,e e eT Ext T Extd d

−=λ G k G G k u

- inkrementalni vektor čvornih sila:

( ) ( ), , ,e e e e e e e e e e e

T Ext T Ext T Ext P T Ext Pd d d d d= − = − = − −f k u k G λ k k u k k k u

- plastična redukcijska matrica:

( ) 1Τ T

, , ,e e e eP T Ext T Ext T Ext

−=k k G G k G G k

- nema plstičnog zgloba: eP =k 0


- ukupna matrica krutosti konačnog elementa:

� za prediktor fazu: e e e e eT P E G P− = + −k k k k k

� za korektor fazu:

,e e e e e eT Ext P E G Ext P− = + − −k k k k k k

eP ⇒k inkrementalna promjena vektora čvornih sila konačnog elementa u plastičnom zglobu leži u tangencijalnoj ravnini plohe

tečenja

- u narednom inkrementu: ( ) 1eΦ = Φ >f

Sl. 3.23. Korekcija vrijednosti čvornih sila

.

.

1

4

3 2

6

5

mx

my

Φ < 1

Φ = 1

Φ > 1

G

0

,

,

xx

x gr

yy

y gr

Mm

M

Mm

M

=

=


- transformacija u globalni koordinatni sustav:

( )T1 1e e e eP P=k t k t

- tangentna matrica krutosti konstrukcije:

T E G P= + −K K K K

PK - plastična redukcijska matrica konstrukcije

- dλ sadrži pozitivne skalarne funkcije, pa kod pojave negativnog člana:

0Adλ < ⇒ elastično rasterećenje plastičnog zgloba u čvoru A

0Bdλ < ⇒ elastično rasterećenje plastičnog zgloba u čvoru B

CONCI & GATTASS ⇒ laki I-profil 3112W × (AISC standard):

2 2 2 4 2 2 6 2 4 2 2

, , , , , , , , , , ,

1,15 3,67 3 4,65y y yx x xz z z z

z gr z gr x gr y gr z gr x gr z gr y gr x gr y gr gr

M M MM M M MF M F F

F M M M F M F M M M Mω

ω

Φ = + + + + + + +


GRANIČNE VRIJEDNOSTI:

Sl. 4.1. I-profil

- aksijalna sila:

( ), T 2 2z gr p s pF bt t h tσ = + −

- momenti savijanja:

( )2

, T 2x gr p p s p

hM bt h t t tσ

= − + −

( )2 2

, T 22 4

p sy gr p

b t tM h tσ

= + −

- bimoment:

2, T 4

pgr p

h tM b tω σ

−=

- torzijski moment:

( )2 2, , T

1

2z gr sv gr p p sM T bt h t tτ = = + − T T0,577

3νστ σ= ≈ (von Mises)

s....struk (hrbat, rebro, engl. web) p....pojasnica (pojas, engl. flange) ts

tp

tp

b

h


- gradijentna matrica:

T 0 0 , A,Bi i i i ii

zi zi xi yi i

iF M M M Mω

∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ G

gdje je:

2 5 2

, , , , , ,

12,3 7,34 18 yii zi zi xi zi

zi z gr z gr z gr x gr z gr y gr

MF F M F

F F F F M F M

∂Φ = + + ∂

2,

2i zi

zi z gr

M

M M

∂Φ =∂

2,

2i i

i gr

M

M Mω

ω ω

∂Φ =∂

2 3 2

, , , , , ,

12 7,34 18,6 yii xi zi xi xi

xi x gr x gr z gr x gr x gr y gr

MM F M M

M M M F M M M

∂Φ = + + ∂

3 6 4

, , , , , ,

14 6 9,3yi yi yii zi xi

xi y gr y gr z gr y gr x gr y gr

M M MF M

M M M F M M M

∂Φ = + + ∂


4. PRIMJERI Primjer 4.1. Čisto torzijsko i čisto fleksijsko izvijanje

Vrijednosti kritične sile F = Fkr = Fϕ (kN) kod čistog torzijskog izvijanja konzole:

THINWALL Teorijska vrijednost

MSC/NASTRAN [98] (shell model) Br. elem. 0=ωI 0≠ωI

1 285,491 288,197 - izraz (2.140): 285,484

- izraz (2.139):

286,155

288,880 2 285,491 288,182

4 285,491 288,163

8 285,491 288,162

Vrijednosti kritične sile F = Fkr = Fy (kN) kod čistog fleksijskog izvijanja konzole:

THINWALL Teorijska vrijednost izraz (2.122)

MSC/NASTRAN [98] (shell model) Br. elem. 0=ωI 0≠ωI

1 435,391 435,391

432,141 428,280 2 432,362 432,362

4 432,155 432,155

8 432,142 432,142

l = 200 cm

F

A B Z

Y X

20 cm

30

0,5

0,5 25 Ncm10210 −⋅=E

.Ncm1077,80 25 −⋅=G


F B

Z

Y X

A

MZ = 0,001F

F B

Z

Y X

A

FX = 0,001F

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 20 40 60 80 100 120

Pomak φ zB (10-3 rad)

F /

Fϕ

UB = VB = 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

U B / lF

/ F

y Model 'A'

Model 'B'

Chin et al.

VB = φzB = 0


Primjer 4.2. Torzijsko-fleksijsko izvijanje - koordinate su centra smicanja: xs = 1,5884 cm, ys = –2,5723 cm - modul elastičnosti: E = 30000 Ncm-2 - modul smicanja: G = 11500 Ncm-2

Vrijednosti kritične sile F = Fkr (N) za torzijsko-fleksijsko izvijanja konzole:

Br. elem.


izraz (2.110) MSC/NASTRAN [98]

(shell model)

1 14,0048

13,9016 14,0294 2 13,9086

4 13,9020

8 13,9016

1,375

4,375

10

4 cm

2

x

y

6,249o

O

0,5

0,5

0,5 l = 200 cm

F

A B Z

Y X y x


F A B

Z

Y X

FX = 0,001F

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-0,25-0,2-0,15-0,1-0,050

Pomak φ zB (rad)

F /

Fkr

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

U B / l

F /

Fkr

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-1-0,8-0,6-0,4-0,20

(VB / l ) 102

F /

Fkr


Primjer 4.3. Lateralno izvijanje - koordinate su centra smicanja: xs = 0, ys = 1,645 cm - modul elastičnosti: 25 Ncm10210 −⋅=E

- modul smicanja: .Ncm1077,80 25 −⋅=G

Vrijednosti kritičnog momenta M = Mkr (kNcm) za lateralno izvijanja grede:

Broj elemenata


izraz (2.161)

1 669,362

601,586 2 602,758

4 600,429

8 600,270

Z

Y X

A B

M M

l = 480 cm

y x

5 cm

7

0,68

0,68

0,45 5,526

1,645 10 O

S

x

y


0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

2,25

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5

φ zC (rad)

M /

Mkr

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

2,25

-0,05-0,04-0,03-0,02-0,010

U C / l

M /

Mkr

Z

Y X A

M

l / 2

C

MZ = 0,005M


Primjer 4.4. Velike rotacije vs. male rotacije - pravokutni poprečni presjek: b× t = 30× 0,6 mm - modul elastičnosti: E = 71240 Nmm-2 - modul smicanja: G = 27191 Nmm-2

Vrijednosti kritičnog momenta M = Mkr (Nmm) i kritične sile F = Fkr (N) za lateralno izvijanja okvira:

Opterećenje THINWALL Male rotacije [50]

(beam model) TRUMP [50] (shell model)

M 634,53 316,17 632,50

F 3,9899 2,4267 3,9459

M M

F

A B

C

240 240 t

b

Z X

Y


a) b)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Pomak WC (mm)

Sila

F (

N)

M M

A B

C FZ = 0,0025M

Z X

Y

A B

C FZ = 0,0001F

Z X

Y

F

0

100

200

300

400

500

600

700

0 30 60 90 120 150

Pomak WC (mm)

Mo

me

nt M

(N

mm

)

Mkr = 623,311 Nmm


Primjer 4.5. Off-axis opterećenje - koordinate centra smicanja: xs = 1,5884 cm, ys = –2,5723 cm - modul elastičnosti materijala: E = 30000 Ncm-2 - modul smicanja: G = 11500 Ncm-2

a) b) c)

F

O

F

O

F

O

0

0

=

=

i

i

y

x

cm660,5

cm009,0

=

=

i

i

y

x

cm281,4

cm098,1

−=

=

i

i

y

x

1,375

4,375

10

4 cm

2

x≡ X

y≡ Y

6,249o

O

0,5

0,5

0,5 l = 200 cm

F

A B Z


Vrijednosti kritične sile F = Fkr (N) za lateralno izvijanje konzole:

Off-axis opterećenje prema slici

Broj elemenata

THINWALL Kim et al. [51] (beam model)

ABAQUS [51] (shell model)

a

4 4,1577 –6,0442

4,1582 –6,0432 4,1086

–5,8933 8

4,1461 –5,9902

4,1468 –5,9889

b

4 4,5586 –4,3935

4,5589 –4,3932 4,5127

–4,2500 8

4,5456 –4,3653

4,5460 –4,3649

c

4 3,6614 –7,0450

3,6639 –7,0258 3,6001

–6,8629 8

3,6541 –6,9548

3,6543 –6,9539


Primjer 4.6. Efekt različite definicije momenta

- NELINEARNA ANALIZA ⇒ poremećaj u presjeku C ⇒ FZ = 0,0001M

Definicija momenta

THINWALL

Model ‘A’ Model ‘B’

M-ST 0,9867 0,9949

M-QT1 0,4973 0,4975

M-QT2 3,4460 3,4448

M-ST M-QT1 M-QT2

2cm2,0=A 4cm1=xI

4cm125,0=yI 40,01cmtI =

0=ωI 24 Ncm10 −=E

24 Ncm105,0 −⋅=G

M = MZ

C

B A Z X

Y

100

100 cm


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-15-12-9-6-30

Pomak WC (cm)

Mo

me

nt

M-S

T (

Ncm

)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-15-12-9-6-30

Pomak WC (cm)

Mo

me

nt M

-QT

1 (

Ncm

)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

-35-30-25-20-15-10-50

Pomak WC (cm)

Mo

me

nt

M-Q

T2

(N

cm)


Primjer 4.7. Izvijanje Rajasekaranovog prostornog okvira

Vrijednosti kritične sile F = Fkr (kN):

Model THINWALL Chen & Atsuta [76]

(beam model)

‘A’ 53101

52175 ‘B’ 52738

‘C’ 52579

l

l

H

A

B

C

D

H

G

F

E

F

F F

F

X Z

Y

X

Z

B D

F H

poremećaj: FZ = 0,0001F

I-profil 4910W × (AISC) E = ⋅210 105 Ncm-2, G = ⋅80 105 Ncm-2


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

-3,5-3-2,5-2-1,5-1-0,50

(WB / l ) 103

F /

Fkr

Model 'A'

Model 'B'

Model 'C'


Primjer 4.8. Elasto-plastično lateralno izvijanje obične grede

- materijal: E = 203 GPa; ν = 0,3; σΤ = fY = 320 MPa

- KRITIČNA SILA LATERALNOG IZVIJANJA F = Fkr:

� eksperiment: F = Fkr = 235 kN

� Kuohia i Tuomala: F = Fkr = 241,8 kN

� THINWALL: F = Fkr = 240,3 kN

12,3

12,3

7,67

151,5 mm

261

Z

Y X

A B

F

1219,2 mm 1219,2

C


0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

275

-5 0 5 10 15 20 25

U C (mm)

F (

kN) THINWALL

Kouhia & Tuomala

Eksperiment

mehanizam

F

e

Z

Y X

A C

F / 2

4× 275 mm 119,2


Primjer 4.9. Elasto-plastično izvijanje ravninskog okvira

- stupovi prve etaže: I-profil 7912W × , MPa240=νσ , GPa200=E , GPa80=G - stupovi na preostale tri etaže: I-profil 6010W × , MPa240=νσ , GPa200=E , GPa80=G

- horizontalne grede: I-profil 4016W × , T 300 MPaσ = , GPa200=E , GPa80=G

- HALDAR & NEE ⇒

2

, ,

xz

z gr x gr

MF

F M

Φ = +

X Z

Y

0,5F

0,5F

0,5F

0,25F

0,5F

0,5F

0,5F

0,5F

0,5F

0,5F

0,5F

0,5F F

F

F

F

A

365,8

365,8

365,8

365,8

457,2 cm 457,2

5

7

6

4

1

2

3

Z


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 5 10 15 20 25 30

Pomak U A (cm)

Sila

F (

kN)

THINAWLL

Haldar & Nee

1 2

3 4

5

6 7

1, 2

3 4

5

6 7

THINWALL: kN151≅= krFF

Haldar & Nee: kN155≅= krFF


Primjer 4.10. Elasto-plastično izvijanje dvoetažnog prostornog okvira

2F 2F

2F

0,5F

4F

4F

4F F

A

l

l

l

l l

X

Z Y

X

Y

1

4

2

6 5 3

I-profil W14 43×

l = 287,76 cm

E = 210 GPa

G = 80 GPa

σT = 248,3 MPa


0

40

80

120

160

200

240

0 1 2 3 4 5

Pomak U A (cm)

Sila

F (

kN)

THINWALL

Gebbeken

Vogel & Maier

1 1

2 2 3 4 5

5

6

THINWALL:kN6,185== krFF

GEBBEKEN:kN190≅= krFF

VOGEL & MAIER: kN,6,192== krFF


Primjer 4.11. Elasto-plastično izvijanje šesteroetažnog prostornog okvira

Z

X

- visine stupova: h = 10 m - duljine horizontalnih greda: l = 20 m. - stupovi donjih triju etaža: I-profil 12012W ×

- stupovi gornjih triju etaža: I-profil 7912W ×

- horizontalne grede: I-profil 5312W ×

- materijal: GPa,210=E GPa,80=G MPa250=νσ

- 1 element/stup; 1 element/greda - prednji čvorovi: dodatna sila Fz = -0,4F - prvi zglob: čvor 19, element 54, WA = 38,7 cm, F = 67,59 kN

F

X Z

Y

19 54

A

F

F F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F 2F

F

F

2F

2F

2F

2F 2F


0

20

40

60

80

100

120

140

-8-7-6-5-4-3-2-10

(WA / l ) 102

Sila

F (

kN)

elasto-plastic

elastic

Linearna analiza stabilnosti: Fkr = 760,84 kN

Nelinearna analiza:

Fmax = 79,2 kN


Gredni nosači punog poprečnog presjeka

Example 4.1.

The cantilever is modelled using four equal-sized beam elements. Figure 4 shows that the obtained results for the cantilever tip in-plane displacements are in excellent agreement with those obtained by Yang & Kuo [9], who applied twenty beam elements and the NDA in the force recovering. It also should be mentioned here that their solution completely followed the analytical solution given by Mattiasson [26].

Figure 1: Elastic cantilever under shear load.

Z

Y X

l

F

A B

0

2

4

6

8

10

-0,9-0,6-0,30

WB / L; VB / L

FL

2 /(E

I x)

This paper

Yang & Kuo

WB / l VB / l


Example 4.2.

To examine the performance of presented finite element model under large displacement and rotation regime, an elastic cantilever with a rectangular cross-section 120×=× tb cm subjected to pure bending is shown in Figure 5. Elastic modulus E = 107 Ncm-2 and Poison’s ratio ν = 0. In the analysis, the column is meshed by five equal-sized beam elements and. In Figure 6, the obtained results for the cantilever tip displacements are compared with those of Chin et al. [20], who applied five special thin plate elements.

Figure 2: Elastic cantilever under pure bending.

Z

Y X

l = 100 cm

M

A B

t

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

WB / l ; VB / l ; φ xB / (2 π)

M l

/ (

2 π

E I x

)

This paper

Chin et al.

VB / l

WB / l

φxB / l

A B


Example 4.3.

The next example is an elastic cantilever 45-degree bend in Figure 7, subjected to a concentrated end load at the free end B. The cantilever lies in the (X, Y) plane. It has a radius of 254 cm and a quadratic cross-section 2.54 2.54× cm. Elastic modulus E = 68.95⋅ 105 Ncm-2 and Poison’s ratio ν = 0. The cantilever is idealised using two (N = 2) and four (N = 4) equal-sized beam elements and the corresponding load-deflection curves shown in Figure 8 demonstrate a very good comparison with the results reported by Surana and Sorem, who applied eight curved beam elements.

Figure 3: Elastic circular bend.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

WB / R ; -U B / R ; -VB / R

F R

2 /

(E I x

)

N = 2

N = 4

Surana & Sorem

VB / l

WB / l –UB / l 2.54 cm

2.5

4

Cross-section

Z

Y

X

F A

B

R

45o


Example 4.4.

Figure 4: Elastic framed dome.

12.190

24.380

4.5

5

1.5

5

(all dimensions in metres)

X

Z

λ x 123.8 MN

0.76

1.2

2

Cross-section (all members)

12.570

10

.885

6.285

21

.115

E = 20690 MNm-2

G = 8830 MNm-2

Y

X

B A


a) elastični odziv

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Vertical apex deflection (m)

Loa

d f

act

or

λ

Present analysisKondoh et al.Shi & AlturiIzzuddin & Elnashai

RemsethPark & Lee (N = 4)

Model 'A'

Model 'B'

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8


Loa

d f

act

or

λ

Present analysis

Izzuddin

Kouhia & Tuomala

Stable response

Unstable response


b) elasto-plastični odziv

The yield function: 2 2 4 2 2 6 2 2 2

3.5 3 4.5y y yx x xz z z

pz px py pz px pz py px py

M M MM M MF F F

F M M F M F M M M

Φ = + + + + +

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1 2 3 4


Loa

d f

act

or

λ

This paper

Park & Lee (N = 8)


Example 4.5.

Two finite elements are used for a beam and six elements for a column. Model ‘A’ and model ‘B’ are applied for the force recovering. The adopted yielding function:

px

x

pz

z

M

M

F

F+

=

2

Φ

X

Y

Z

F

A

60

cm

0.5 cm

20 cm

B

C

30

cm

D

t

t

E = 200 GPa

G = 76.92 GPa

Yield strength: σy = 235 MPa

b = 3 cm

t = 0

.5 c

m


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

-2-1,5-1-0,50

Displacement U B (cm)

For

ce F

(N

)

Experiment

Model 'B'

Model 'A'

elastic

elastic-plastic

elastic-plastic

elastic

First plastic hinge


Example 4.6: Hodgeov prostorni okvir

Figure 15: Elastic-plastic four-storey frame.

l

0.5 l

0.5 l

F

A B

C

D

Z

Y X

a

a


a = 25 cm

l = 1000 cm

E = 210 GPa

G = 80 GPa

σy = 250 MPa

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

VB E I / (M p l2)

F l

/ M

p

This paper

Shi & Alturi

Park & Lee

A B

2

C

D

3

1

5.06

1

3 2

3

222

+

+

=

pz

z

py

y

px

x

M

M

M

M

M

MΦ

gredni element

Documents