guía ejercicios resueltos sumatoria y binomio de newton

Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile

Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton

Solución:

a)

Como k no depende de j, 2k es constante a la sumatoria.

b)

c)

d)


e)

f)

g)

h)

Las demás se resuelven de la misma forma.


Solución:

a)

b)

Como es una sumatoria telescópica se salva el primero y el último.

c)

La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula.


Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria.

Solución:

De esta sección solo realizare el primero, dada la simplicidad de los ejercicios.

Dado los valores del enunciado para .

Solución:

a)


b)

c)

d)


e)



f)

g)




h)

i)



j)

k) J

Para la sumatoria que esta más a la derecha el 2 elevado a la i, es independiente de j.


Solución:

Solución:

6) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma:

nksksksks 32

116)12*104()10(412

565202

sssk

ksks

6202

)110(101240

2)110(10

12)4(101032

10

1

10

1

i

i

iks

iksksksksks



nksksksks 32

344

nksks

2471

n

i

iks

Calculemos la sumatoria:

49424942

2472

2472

1

2

2

1

kknsnknknsn

nnksn

nnksniks

n

i

Ahora, sumemos las dos ecuaciones del enunciado.

38234

4

knksnksks

Reemplazando, 1349438 nn


nksksksks 32

2700

200

100

51

50

1

i

i

iks

iks


200127550

2002

1505050

50

1

ks

ksiksi


29005050100

29002

1100100100

2900

2700

100

1

200

50

1

100

1

100

51

ks

ks

iks

iksiksiks

i

iii

Tomado las dos ecuaciones;

200127550 ks (1)

29005050100 ks (2)

2*(1) - (2) 40029001275*25050 k

5,211

25002500sk

k


nksksksks 32

3

360000

360000

40

31

40

1

i

i

iks

iks


36000082040

3600002

1404040

40

1

ks

ksiksi

24000046530

1200002

1303030360000

12000030

1

360000

40

1

40

31

ks

ks

iksiksiksiii

Tomado las dos ecuaciones;

36000082040 ks (3)

24000046530 ks (4)


3*(3) –4* (4) 240000*4360000*3465*43*820 k

4900200

120000600

sk

k

10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:

r

raraararara

nn

i

in

11 1

0

2

472954

6

3

ar

ar

Resolviendo:

1623

4729

54

4729

54

54

3

63

3

ar

r

rr

ra

n

i

in

i

ira00 2

316

Solución:

Considere que,

Para r<1.


Ahora, debemos calcular:

Solución:

10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma:

r

raraararara

nn

i

in

11 1

0

2

320

406

3

ar

ar

Resolviendo:

528

32040

32040

40

3

3

63

3

arr

r

rr

ra

El décimo termino es igual a 25602*5 99 ar


11

00

2135

2121

525

n

nn

i

in

i

ira

Solución:

Usando que,

Simplificar y calcular.

Resolveremos los más difíciles, pues en los demás se puede utilizar la calculadorafacilmente.

Pero sabemos que,

Ahora, restemos a la ultima ecuación los terminos que no estan en la primera sumatoria.


Resover (ultimo),

Si consideramos, a=2 y b=1

La unica diferecia con nuestra primera ecuación, es que una parte desde 1 y la otra desde cero. Consideremos la ultima ecuación y separemos el primer termino.

Solución:

a)

b)


c)

d)

Solución:

a)

b)


c)

Solución:

Usando que,

a)


b)

c)

d)


Solución:

a)

kxkk

k kxx

kkxkxk

k kxx

kxk

xk k

xx

77327

0

77223

737227

0

77223

73227

0

77223

Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al 11x , basta igualar el

exponente del kx 7 a 11.

4117

kk

Entonces, para 4k encontraremos el coeficiente que acompaña a 11x .

334247

113342474747342

47

Coef

xx


b)

3254272

27

0

2727

223

254327227

0

2727

223

27223127

0

2727

223

kkxk

k kxx

kxk

xk

k kxx

kx

k

xk kx

x

3754272

27

0

2727

223

kxk

k kxx

Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al 2x , basta igualar el

exponente de 3754 k

x

a 2.

24

23

754

k

k

Entonces, para 24k encontraremos el coeficiente que acompaña a 2x .

322427

324*75424272

2427

Coef

x

c) Es análogo a los dos anteriores.

d)

kxkr

k krr

x

krkx

r

k krr

x

214

0

4421

4124

0

4421

Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al rx 2 , basta igualar el

exponente de kx2 a 2r.


rkrk

22

Entonces, para rk encontraremos el coeficiente que acompaña a rx 2 .

rrr

Coef

rxrrr

14

214

19. Encuentre los términos centrales en el desarrollo de

a) 106

3

aa

kakk

k kaa

kkakak

k kaa

kak

ak kaa

210103610

0

101063

10310610

0

101063

103610

0

101063

Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio 106

3

aa ,

basta tomar el 5k , pues la sumatoria va desde 0 a 10 siendo el termino central el 5k .

Entonces, el término central es igual a:

5185

105185

1053565

1010*2105103565

10

a

b) 5

25

54

xx


kxkk

k kxx

kxk

kxk

k kxx

kxk

xk kxx

255

54

255

0

55

25

54

55

54

255

0

55

25

54

5

54

255

0

55

25

54

Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio 5

25

54

xx

,

basta tomar el 2k y el 3k , pues la sumatoria va desde 0 a 5 existiendo dos términos centrales, debido a que son 6 términos los del desarrollo.


c) 24xbxa , con ba 0

kxbkxak k

xbxa

kxbkxak k

xbxa

2424

0

2424

2424

0

2424

Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio

24xbxa , basta tomar el 12k , pues la sumatoria va desde 0 a 24 siendo

el termino central el 12k .


11035

5

2425

12

543

25

353

542

25

25

3*2535

543

25

352*25

25

542

25

25

min

xx

xx

xxoTer


661224

1224121224

min

xbxa

xbxaoTer

20. Encontrar el término independiente de x en el desarrollo.

a)

9

31

2

23

xx

kxk

kk

kxx

kxk

kkx

k

kxx

k

kxk

xkxx

3189

0

9

23

319

9

31

2

23

2189

0

9

23

319

9

31

2

23

9

0

9

2

233

199

31

2

23

Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio

9

31

2

23

xx

,

basta igualar a cero el exponente de kx 318 , pues el termino independiente de x esta elevado a la cero.

60318

kk

Entonces, el término independiente es:

3

36

696

61

69

23

31

69

6*31823

31

69

depen)Termino(in

x


a) n

xx

3

21

n

k

knxkknn

xx

n

k

knxkxkknn

xx

n

k

knxk

xknn

xx

3

0

33133

21

3

0

32133

21

3

0

32133

21

Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio n

xx

3

21

,

basta igualar a cero el exponente de knx 33 , pues el termino independiente de x esta elevado a la cero.

nkkn

033


n

nnn

nn

xnn

13

13

depen)Termino(in 33

21. Calcular el valor numérico del término independiente de x.

n

xxx

3

21

2653

Solución:

n

k

knxkknn

k

knxkknn

xxx

n

k

knxkxkkn

xn

xxx

n

k

knxk

xkn

xn

xxx

3

0

331233

0

65331333

21

2653

3

0

3213

26533

21

2653

3

0

3213

26533

21

2653


Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio n

xxx

3

21

2653

, basta igualar a cero el exponente de 6533 knx y el de

knx 33 , pues por cada sumatoria podría existir un termino independiente de x.

Para la primera sumatoria:

365

06533

nk

kn

Como el k no es un número entero positivo, implica que ese término no existe.

Para la segunda sumatoria:

nkkn

033


n

nnn

nn

xnn

123

123

depen)Termino(in 33

Es decir, la primera sumatoria no aporta nada.

22. Calcular el coeficiente de 2x en el desarrollo de x: 28

2122

xxx

28

0

45812828

2122

28

0

4561282

28

2122

28

0

25621282

28

2122

28

0

28221282

28

2122

k

kxkkx

xx

k

kxkk

xx

xx

k

kxkxkk

xx

xx

k

kx

k

xkx

xxx


Como nos piden encontrar el coeficiente de 2x del binomio 28

2122

xxx , basta

igualar a -2 el exponente de kx 458 , lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente

152458

kk

Entonces, el coeficiente de 2x

1528

1528

11528

min

2

15*45815

Coef

x

xoTer

23. Determinar el valor de a para los coeficientes de 7x y 6x en el desarrollo de:

325 axax sean iguales.

Solución:

5

0

858

5

0

71512

5

0

6256

5

0

535

5

0

558

5

0

5512

5

0

556

5

0

55

5

0

5538212263325

5

0

5532325

3223

k

kakxkk

kakxkk

kakxkk

kakxk

k

kakxk

ak

kakxk

xak

kakxk

axk

kakxk

x

k

kakxk

axaaxxaxax

k

kakxk

axaxax

- Tenemos cuatro sumatoria que nos aportaran coeficientes para 7x y 6x .

- Como nos piden encontrar el coeficiente de 6x del binomio 325 axax , basta

igualar a 6 el exponente de 3kx , 2kx , 1kx y kx , lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria:

Primera sumatoria:


363

kk

23535

35

1 aaCoef

Segunda sumaria

462

kk

245

64645

62 aaCoef

Tercera sumaria

561

kk

255

125755

123 aaCoef

Cuarta sumaria

6k

No aporta nada, debido a que el mayor valor que puede tomar k es 5.

28

212230210

255

12245

6235

321

6

6

6

6

aCoef

aaaCoef

aaaCoef

CoefCoefCoefCoef

- Como nos piden encontrar el coeficiente de 7x del binomio 325 axax , basta

igualar a 7 el exponente de 3kx , 2kx , 1kx y kx , lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria:

Primera sumatoria:

473

kk

aaCoef

4545

45

1


Segunda sumaria

572

kk

aaCoef

55

65655

62

Tercera sumaria

671

kk

No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5.

Cuarta sumaria

7k

No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5.

aCoefaaCoef

aaCoef

CoefCoefCoef

7

7

7

7

65

55

645

21

Ahora, igualando el 7Coef a 6Coef .

0188 2

76

aaaa

CoefCoef

Es decir, para 81

0 21 aa los coeficientes de 7x y 6x son iguales.


24. Hallar el coeficiente de 7x en el desarrollo de: nxx 321

Desarrollo:

ik

i

kn

k

kn

ik

i

kn

k

kn

kkn

k

kn

n

k

knkn

xik

xkn

xx

xik

xkn

xx

xxkn

xx

xxkn

xx

0

2

0

2

0

2

0

2

2

0

2

0

22

111

111

1111

1111

Para la sumatoria que depende de i, los términos que dependen de k son constantes.

Como nos piden encontrar el coeficiente de 7x del polinomio nxx 321 , basta

igualar a 7 el exponente de ikx 2 , de esa manera conoceremos los posibles valores que pueden tomar k e i.

72 ik

Con las siguientes restricciones,

nki 0

Ahora,

70 ik Debido a que ki



13 ik Este caso cumple con nki 0

14 ik Debido a que nki 0

Luego, la única solución es con 13 ik

n

k

ikk

i

knx

ik

kn

xx0

2

0

2 111


13

3

113

33

ncoef

ncoef

25.

i)

144

0

144

k kk

Desarrollo:

423423

0

423423

0

423423

0

423

0

2423

11423

11423423

k

k

kk

kk

k

k

kk

ii)

1012

0

10121

k

k

k

Desarrollo:

01012

1

111012

1

1110121012

1

1012

0

10121012

0

10121012

0

1012

0

k

k

k

k

kk

kk

k

k

k

kk

iii)

144

0

144

k kk

Desarrollo:


144

1

144

1

144

1

144

1

144

1

1143!1!144

11144!1!144

144!1!144

144!!144144

k

k

k

kk

kk

kk

kk

kkk

kk

144

1

144

1

144

1

144

1

1143

144

1143!1!143

144

1143!1144!143

1143!1!144

k

k

k

k

k

kk

kk

kk

143

143

143143

0

143

0

2144

11144

11143

144

143144

143143

142143

2143

1143

0143

144

kk

k

k

k

k

iv)

1998

0

1998

211

k kkk

Desarrollo:

Multiplicaremos por 1, para reordenar la combinatoria.


1998

0

1998

0

1998

0

1998

0

1998

0

1998

0

1998

0

22000

200019991

!22000!2!2000

200019991

!221998!2!2000

200019991

200019991

!1998!2!2000

2000199920001999

!1998!!1998

211

20001999200019991998

2111998

211

k

k

k

k

k

kk

k

kk

kk

kk

kkkk

kkkkkk

20002000

19992000

52000

42000

32000

22000

200019991

Ahora, sumemos cero dentro del paréntesis.

12000

020002000

200019991

12000

02000

20002000

19992000

22000

12000

02000

200019991

12000

12000

02000

02000

20002000

32000

22000

200019991

2000

0

0

0

k k

2001220001999

1

12000

02000

220001999

1

12000

02000

1120001999

1

12000

02000

112000

200019991

2000

2000

2000

20002000

0

kk

k k


26. Determine:

i) 7a en nnan

kk 62

1

Desarrollo:

Partamos con algo conocido,

nnk

nnk

n

k

n

k

2

1

1

2

21

Sumemos a toda la ecuación 5n.

nnk

nnk

nnk

nnnnk

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

652

652

6152

552

2

1

2

11

2

11

2

1

Por enunciado,

1952

652

7

1

2

1

aka

annk

k

n

kk

n

k


ii) 7t en 723

yx

x

37

77

7727

31

77

72317

7

0

72317

0

7723

xtyx

xt

k

yx

k

xk

t

kkt

k

yx

k

xk ky

xx

k

iii) 5t en

20

23

25

34

x

x

15115

325

54

520

520

23

25

5

345

20

20

23

25

3420

20

0

20

23

25

3420

0

2020

23

25

34

5

5

xt

x

xt

k

x

kx

kt

kkt

k

x

kx

k kx

x

k


iv) 5t en 122 yx

7255

12

512255

12

12212

12

0

12212

0

12122

7

5

xyt

xyt

kxkyk

t

kktkxky

k kyx

k

guía ejercicios resueltos sumatoria y binomio de newton

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