Guıa 2, ProbabilidadesFacultad de Ingenierıa y Ciencias Aplicadas, U. de Los Andes.

Temas: Combinatoria y Modelos de Urnas.

P1.- Un insecto camina por el plano discreto IN2 = IN × IN , partiendo de (0, 0) ydando pasos unitarios hacia arriba o hacia la derecha, con el proposito de llegaral punto (m, n) donde m,n ≥ 1. Es decir, los desplazamientos permitidos son(x, y) → (x + 1, y) o bien (x, y) → (x, y + 1).

(a) Determinar el numero de caminos posibles que tiene el insecto para llegara su destino.Ind: Notar que en cualquier camino se deben hacer m movidas a laderecha y n hacia arriba, el problema es como distribuir tales movidas.

(b) Si el insecto decide pasar por el punto (p, q) donde p ≤ m, q ≤ n dondehay un cristal de azucar. Calcular cuantos caminos tiene para llegar a sudestino bajo esta situacion.

P2.- Se tienen n bolitas iguales y m cajas enumeradas, donde cada una de las cajastiene una capacidad maxima de 2 bolitas y ademas m ≤ n ≤ 2m. Calcular elnumero de maneras en que se pueden distribuir las n bolitas en las m cajasde modo que ninguna quede vacıa.

P3.- Sea Ω = 1, 2, 3, . . . , n. Calcular el numero de subconjuntos de Ω que tienenal menos un numero par.Ind: Pensar en el complemento y separar en los casos n par e impar.

P4.- Una caja contiene 3 calcetines azules, 3 rojos y 4 verdes. Se extraen 8 calcetinessecuencialmente, es decir uno tras otro, sin devolucion. Calcular el numero desecuencias posibles, suponiendo que los calcetines del mismo color son indis-tinguibles y que el orden es importante.Ind: Puede analizar el problema del punto de vista de los calcetines que quedanen la caja.

P5.- Sea Ω = 1, 2, . . . , n con n ≥ 1 natural. Calcular el cardinal del conjunto debiyecciones f : Ω → Ω tales que f(i) 6= j donde i, j ∈ Ω estan fijos.

P6.- Sea un grupo de n hombres y m mujeres.

(a) Demostrar que el numero de subconjuntos de tamano r es(n+m

r

), donde

0 ≤ r ≤ n + m.(b) Demostrar que el numero de subconjuntos de tamano r, en los cuales los

r integrantes son mujeres. esta dado por(n0

)(mr

).

(c) Demostrar que el numero de subconjuntos de tamano r, en los cualesr − 1 integrantes son mujeres. esta dado por

(n1

)(m

r−1

).

(d) En general, muestre que el numero de subconjuntos de tamano r en loscuales hay k hombres y por lo tanto r − k mujeres es

(nk

)(m

r−k

), con

k ∈ 0, 1, . . . , r.(e) Usar las partes anteriores para justificar combinatorialmente la igualdad:

(n + m

r

)=

(n

0

)(m

r

)+

(n

1

)(m

r − 1

)+ · · ·+

(n

r

)(m

0

).

1

P7.- Sean un grupo de n personas del cual debe ser elegido un comite de tamano jy dentro de este un subcomite de tamano i, donde 0 ≤ i ≤ j ≤ n. Para ello sepropone el siguiente esquema:

(a) Demostrar que el numero de formas al obtener primero el comite y luegoel subcomite esta dada por

(nj

)(ji

).

(b) Demostrar que si primero se escoge el subcomite y luego entre las restanteslas personas del comite que no estan el subcomite, el numero de man-eras posibles es

(ni

)(n−ij−i

).

(c) Usar las partes anteriores para derivar una igualdad combinatorial y de-mostrar que:

n∑

j=i

(n

j

)(j

i

)=

(n

i

)2n−i.

P8.- Sea un conjunto de n personas del cual debe ser elegido un comite y el presi-dente de dicho comite.

(a) Demostrar que para un comite de tamano k donde k ∈ 1, 2, . . . , n elnumero de maneras de escoger al comite y su presidente es k

(nk

).

(b) Demostrar que el numero de maneras de escoger al presidente y luego alresto del comite de tamano k esta dado por n

(n−1k−1

)donde k ∈ 1, . . . , n

(c) Usar las partes anteriores para presentar un argumento combinatorial quedemuestre la siguiente igualdad:

n∑

k=1

k

(n

k

)= n2n−1.

P9.- Sea Ω = 1, 2, . . . , n.(a) Demostrar que el numero de subconjuntos de Ω que tienen tamano k en

los cuales el mayor numero es i esta dado por(

i−1k−1

)donde k ≤ i ≤ n.

Ind: Si i es el mayor numero de un conjunto de tamano k entonces losrestantes k − 1 numeros deben pertenecer al conjunto 1, . . . , i− 1.

(b) Sea A uno de los(nk

)subconjuntos de Ω de tamano k, demostrar que

el rango en el cual puede estar el mayor numero de este conjunto esk, . . . , n.

(c) Use las partes anteriores para argumentar la siguiente igualdad combina-torial:

n∑

i=k

(i− 1k − 1

)=

(n

k

), Identidad de Fermat.

P10.- Calcular el numero de formas de distribuir 8 bolas en 4 cajas distintas, demanera que:

(a) Ninguna caja quede vacıa.

(b) Exactamente una caja quede vacıa.

(c) Por lo menos una caja quede vacıa.

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P11.- Un grupo de 9 estudiantes invitan a un profesor a comer al PIT y PAT, lugaren el cual se ofrecen 4 tipos de sandwiches: S1, S2, S3, S4. Cada una de estas10 personas pide un sandwich o bien decide que no tiene hambre y no pidenada.

(a) Del punto de vista del mozo que los atiende, determinar cuantos pedidosdiferentes puede hacer el grupo. Observar que el mozo tiene que saberpara quien son los sandwiches.

(b) Responder lo mismo de la parte anterior, pero desde la perspectiva delmaestro de cocina. Notar que en este caso al cocinero no le interesa saberpara quienes son los sandwiches.

P12.- El conejo de pascua MIMU debe repartir n ≥ m ≥ 3 huevos de chocolatea un grupo de m personas de cierta institucion, entre los cuales estan loshermanos Pedro y Juan. Calcular el numero de maneras en que se puedehacer la reparticion si necesariamente cada persona debe tener al menos unhuevo y los hermanos exactamente la misma cantidad.Ind: Estudiar los casos segun la cantidad de huevos asignados a uno de loshermanos.

P13.- Calcular el numero de soluciones enteras no negativas que posee la ecuacion:

n1 + n2 + n3 + n4 = 7.

P14.- Determinar el numero de soluciones enteras no negativas que posee la ecuacion:

n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 < 10.

Generalizar el resultado al caso de n1 + n2 + n3 + · · ·+ nk < n.Ind: Observe que la suma puede tomar el valor de j ∈ 0, 1, . . . , 9, resolverel problema para este valor de j y luego sumar los casos.

P15.- Calcular el numero de soluciones enteras de la ecuacion n1 +n2 + · · ·+n5 < 40en los siguientes casos:

(a) ni ≥ 0 para 1 ≤ i ≤ 5. (b) ni ≥ −3 para 1 ≤ i ≤ 5.

P16.- El ministerio de Salud tiene 7 contratos diferentes, relacionados con temas muysensibles. Cuatro empresas pueden adjudicarse cualquiera de los contratos peropor razones polıticas es necesario que todas las empresas tengan al menos uncontrato. Calcular el numero de maneras en que es posible adjudicar los con-tratos a las empresas.Ind: Si ni > 0 es el numero de contratos asignados a la empresa i, coni=1,. . . ,4, entonces el problema es equivalente a determinar las soluciones en-teras de la ecuacion n1 + n2 + n3 + n4 = 7

P17.- Determinar el numero de palabras de largo 7 que pueden formarse con lasletras A,B,C,D de manera que cada una de estas letras aparezca al menos unavez.Ind: Sea la palabra AABCBDA a ella le asociamos el vector (3, 2, 1, 1) unasolucion de n1+n2+n3+n4 = 7. Luego contar cuantas permutaciones distintasde la palabra generan el mismo vector.

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P18.- Un curso de la carrera de Ingenerıa tiene un profesor auxiliar y tres ayudantes.Suponga que hay 7 examenes recuperativos que corregir. Calcular el numerode formas posibles en que pueden ser asignados los examenes de manera queel profesor auxiliar corrija el examen del mejor alumno y cada uno de losayudantes corrija al menos un examen. Considere los casos en que el auxiliarcorrige solo un examen (el del mejor alumno) y mas de un examen (el delmejor alumno y otros mas).

P19.- Determinar el numero de soluciones enteras positivas que posee la ecuacionn1 + 2n2 + n3 = 10.Ind: Notar que n2 = j ∈ 0, 1, . . . , 5 y calcular el numero de soluciones de laecuacion n1 + n3 = 10− 2j , luego sume los casos.

P20.- Se tienen 20 millones de euros que deben ser invertidos en 4 perıodos distintos.Cada vez que se invierte debe ser un numero entero de millones de euros, ycumpliendo un mınimo de dinero para cada perıodo, estos mınimos son 2, 2, 3y 4 millones de euros por cada perıodo respectivamente. Calcular el numerode estrategias de inversion en los casos:

(a) En todos los perıodos se tiene que invertir algo.

(b) Si se debe invertir en por lo menos 3 de los 4 perıodos.

P21.- Un ascensor parte desde el primer piso con 8 pasajeros (sin incluir el operador).En el momento de alcanzar el septimo piso ya no quedan pasajeros, salvo eloperador. Si para este los ocupantes son indistinguibles, calcular el numero deformas en que los pasajeros puedieron distribuirse en los distintos pisos. Comocambia la respuesta en el caso que el grupo consta de 5 mujeres y 3 hombressiendo el operador capaz de distinguir el sexo del pasajero.Ind: Modele como un problema de bolas y urnas, donde las urnas son los 6pisos en que pudieron bajarse los pasajeros que son las bolas.

P22.- Sea f : IRn → IR una funcion de clase Ck, Calcular el numero de derivadasparciales de orden k posibles de f , se entiende que x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn.Ind: Bolas y urnas, para ello sea mi ≥ 0 la cantidad de veces que se derivarespecto a xi para i = 1, 2, . . . , n. Por lo tanto se deben contar las solucionesenteras de m1 + m2 + · · ·+ mn = k.

P23.- Cuatro bolas distinguibles deben distribuirse en tres urnas distinguiblesde manera que ninguna quede vacıa. Determinar el numero de tales configu-raciones y muestre 6 casos distintos.

P24.- Considere una calculadora de bolsillo cuyos sımbolos son dıgitos o signos.Diremos que una secuencia de sımbolos es aceptable si el primer y ultimosımbolo de la secuencia es un dıgito, y cualquier otro caracter de la secuenciaque es un signo debe estar seguido por un dıgito. Suponga la calculadoraposee 10 dıgitos y 4 signos, se desea determinar el numero Nk de secuenciasaceptables de largo k.

(a) Muestre que N1 = 10, N2 = 100.

(b) Deduzca la recurrencia Nk = 10Nk−1 + 40Nk−2 k ≥ 2.

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