BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMWebsite:www.vted.vn 1

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMWebsite:www.vted.vn

1

HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỐI XỨNG VỚI NHAU MỘT ĐIỂM, QUA ĐƯỜNG THẲNG Bài toán 1: *Xét đường cong (C0): y = f (x) và điểm I(a;b). Tìm đường cong (C) đối xứng với (C0) qua I. Phương pháp giải. Xét điểm M(x0; y0)∈(C0),N(x; y)∈(C) đối xứng với nhau qua điểm I(a;b), ta có

x0 =2a− xy0 =2b− y

⎧⎨⎪

⎩⎪.

Thay x0 , y0 vào phương trình của (C0), ta được: 2b− y = f (2a− x)⇔ y =2b− f (2a− x)⇒(C): y =2b− f (2a− x). Bài toán 2: *Xét đường cong (C0 ) : y = f (x) và đường thẳng Δ : y = ax + b. Tìm đường cong (C) đối xứng với (C0 ) qua Δ. Phương pháp giải. Xét điểm M (x0; y0 )∈(C0 ), N (x; y)∈(C), ta có hệ phương trình đối xứng

ax + x0

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

y + y0

2+ b = 0

x − x0

a=

y − y0

−1

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔x0 = x − 2a(ax − y + b)

a2 +1

y0 = y + 2(ax − y + b)a2 +1

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.

Thay x0 , y0 tìm được vào phương trình của (C0 ) ta sẽ suy ra (C) cần tìm. *Kiến thức đã biết:

• Hàm số y = ax4 +bx2 + c có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

• Đồ thị của hai hàm số y = ax , y = loga x (0<a≠1) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Câu 1. Hỏi đồ thị của hàm số nào dưới đây đối xứng với đồ thị của hàm số y = 3x + 2

x − 2 qua trục hoành

?

A. y = − 3x + 2

x − 2. B.

y = −3x + 2

x − 2. C.

y = 3x + 2

x + 2. D.

y = − 3x + 2

x + 2.

Câu 2. Hỏi đồ thị của hàm số nào dưới đây đối xứng với đồ thị hàm số y = x

x −1 qua trục tung ?

2BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMWebsite:www.vted.vn

2 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMWebsite:www.vted.vn

A. y = x

x +1. B. y = − x

x +1. D. y = − x

x −1. D. y = x

x −1.

Câu 3. Nếu gọi 1( )G là đồ thị hàm số xy a= và 2( )G là đồ thị hàm số logay x= với 0 1a< ≠ . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 1( )G và 2( )G đối xứng với nhau qua trục hoành. B. 1( )G và 2( )G đối xứng với nhau qua trục tung. C. 1( )G và 2( )G đối xứng với nhau qua đường thẳng y x= . D. 1( )G và 2( )G đối xứng với nhau qua đường thẳng y x= − .

Câu 4. Hỏi đồ thị của hàm số nào dưới đây đối xứng với đồ thị của hàm số y = − loga x (0 < a ≠ 1) qua đường thẳng y = x ?

A. y = ax . B. y = a− x . C. y = −ax . D. y = a1x .

Câu 5. Hỏi đồ thị của hàm số nào dưới đây đối xứng với đồ thị hàm số y = loga(x +1)(0<a≠1) qua đường thẳng y = x? A. y = a

x+1. B. y = ax +1. C. y = a

x −1. D. y = a− x−1.

Câu 6. Hỏi đồ thị của hàm số nào dưới đây đối xứng với đồ thị của hàm số y = a1x 0<a≠1( ) qua

đường thẳng y = x ?

A. y = loga

1x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟. B.

y = log1

a

1x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟. C.

y = − 1

loga x. D.

y = 1

loga x.

Câu 7. Hỏi đồ thị của hàm số nào dưới đây đối xứng với đồ thị của hàm số y = loga x (0 < a ≠ 1) qua đường thẳng y = x +1? A. y = −ax+1 −1. B. y = ax+1 −1. C. y = ax+1 +1. D. y = −ax+1 +1.

Câu 8. Cho đồ thị (C) : y = (x −1)2

x − 2. Tìm hàm số f (x) có đồ thị đối xứng với (C) qua điểm I(1;1).

A. f (x)= − x

2 +1x

. B. f (x)= x2

x −1. D. f (x)= − x2

x −1. D. f (x)= x

2 +1x

.

Câu 9. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + 7x + 3 có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ. A. (−∞;0). B. (−∞;0]. C. {0}. D. (−∞;−3).

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 23y x x m= − + có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. A. 0 1.< <m B. 0.m > C. 0.m ≤ D. 1.m >

ĐÁP ÁP

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMWebsite:www.vted.vn 3

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMWebsite:www.vted.vn

3

1A 2A 3C 4B 5C 6D 7C 8D 9A 10B LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Ta có Ox : y = 0⇒

x0 = xy0 = − y

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ − y = 3x + 2

x − 2⇔ y = − 3x + 2

x − 2 (A) .

Câu 4. Xét điểm M (x0; y0 )∈(C0 ) : y = − loga x, N (x; y)∈(C) đối xứng với nhau qua đường thẳng

y = x.

Ta có

x + x0

2−

y + y0

2= 0

x − x0

1=

y − y0

−1

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔x = y0

y = x0

⎧⎨⎪

⎩⎪.

Thay x0 , y0 vào phương trình của (C), ta được x = − loga y ⇔ y = a− x . Chọn đáp án B. Câu 5. Xét điểm M(x0; y0)∈(C0): y = loga(x +1),N(x; y)∈( ′C ) cần tìm, sao cho M ,N đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Ta có hệ điều kiện:

x + x02 −

y + y02 =0

x − x01 =

y − y0−1

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔x = y0y = x0

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

thay x0 , y0 vào phương trình của (C0), ta được:

x = loga( y +1)⇔ y +1= ax ⇔ y = ax −1. Chọn đáp án C.

Câu 6. Xét điểm M(x0; y0)∈(C0): y = a1x ,N(x; y)∈(C) và M ,N đối xứng với nhau qua đường thẳng

y = x.

Ta có hệ điều kiện:

x + x02 −

y + y02 =0

x − x01 =

y − y0−1

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔x = y0y = x0

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

thay x0 , y0 vào phương trình của (C0), ta được: x = a

1y ⇔ 1

y= loga x⇔ y = 1

loga x.

4BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMWebsite:www.vted.vn

4 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMWebsite:www.vted.vn

Chọn đáp án D. Câu 7. Xét điểm M (x0; y0 )∈(C0 ) : y = loga x, N (x; y)∈(C) đối xứng với nhau qua đường thẳng

y = x +1.

Ta có

x + x0

2−

y + y0

2+1= 0

x − x0

1=

y − y0

−1

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇔x0 = y −1y0 = x +1

⎧⎨⎪

⎩⎪.

Thay x0 , y0 vào phương trình của (C0 ), ta được x +1= loga ( y −1) ⇔ y = 1+ ax+1. Chọn đáp án C.

Câu 8. Xét điểm M (x0; y0 )∈(C), N (x; y)∈( ′C ) cần tìm, ta có

x0 = 2− x

y0 = 2− y

⎧⎨⎪

⎩⎪.

Thay vào phương trình của (C), ta được 2− y =

(2− x)−1⎡⎣ ⎤⎦2

(2− x)− 2⇔ y = x2 +1

x.

Chọn đáp án D.

Câu 9. Xét hai điểm A(x0; y0 ), B(−x0;− y0 )∈(C),(x0 ≠ 0) ta có

y0 = x03 + mx0

2 + 7x0 + 3

− y0 = −x03 + mx0

2 − 7x0 + 3

⎧⎨⎪

⎩⎪⇔ 2mx0

2 + 6 = 0⇒ m < 0.

Chọn đáp án A.

Câu 10. Ta có

y0 = x03 − 3x0

2 + m

− y0 = −x03 − 3x0

2 + m

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒ 2m− 6x0

2 = 0⇒ m > 0.

Chọn đáp án B.