Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testing)

A statisztikának egyik célja lehet a populáció tulajdonságainak, ismeretlen paramétereinek a becslése.

A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizonyítása vagy cáfolata.

Nullhipotézisnek (null hypothesis) (H0) nevezzük azt a hipotézist,

� amelyet pillanatnyilag nincs okunk megkérdőjelezni, amely a tudomány jelenlegi álláspontja szerint elfogadható,

� amelyet, ha a kísérlet/felmérés semmi újat nem hoz, továbbra is fenntartunk,

� amely helyett nekünk már jobb elméletünk van, és a kísérletet éppen ennek a bizonyítására (egyben a régi megcáfolására) szánjuk.

Ellenhipotézisnek (alternative hypothesis) (H1) nevezzük azt a hipotézist, amelynek bizonyítását a kísérlettől várjuk (az “új elmélet”).

Megszoktuk, hogy általában valamely különbség, hatás, korreláció meglétét, azaz nem-nulla voltát szeretnénk bizonyítani, tehát azt a hipotézist szoktuk H0-nak választani, hogy az illető dolog (különbség, stb.) egyenlő nullával.

Teszt-statisztika (test statistic), próbastatisztika, próbafüggvény: az a mintából számított mennyiség, amelynek értéke alapján a döntést hozzuk. A teszt-statisztika – mivel a mintából számítjuk – véletlen változó. Olyan mennyiségnek kell lennie, amelynek eloszlása lehetőleg minél jobban eltér a H0 és a H1 fennállása esetén, például kisebb értékekre számíthatunk H0, nagyobbakra H1 esetén.

Elutasítási vagy kritikus tartomány (rejection region): a döntési szabályt meghatározó számhalmaz, ha a teszt-statisztika értéke ide esik, a nullhipotézist elvetjük, ha nem, megtartjuk. A kritikus tartomány kiegészítő halmazát elfogadási tartománynak is nevezik. E két tartományt elválasztó érték(ek) az úgynevezett kritikus érték(ek) (critical value).

Elsőfajú hiba valószínűsége (Type I error rate), α , annak a valószínűsége, hogy H0-t elvetjük, pedig igaz.

Az elsőfajú hiba, hogy a teszt-statisztika értéke a kritikus tartományba esik, bár a H0 igaz.

α a teszt-statisztika null-eloszlásától* (null distribution) és a kritikus tartomány megválasztásától függ. Szokásosan a kritikus tartományt úgy választjuk, hogy α = 5% (vagy 1%, esetleg 0.1%) legyen.

Példa:

Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy pénzérme szabályos-e, akkor

H0: az érme szabályos, azaz P(fej)=P(írás)=0.5

H1: az érme nem szabályos

Minta: 6 dobás eredménye (csak a példa egyszerűsége kedvéért ilyen kicsi)

* a teszt-statisztika eloszlása H0 fennállása esetén

Teszt-statisztika: a fejek száma a 6-ból

Null-eloszlás: (a fejek számának eloszlása H0 fennállása, azaz az érme szabályossága esetén): binomiális eloszlás n = 6 és p = 0.5 paraméterrel, azaz

érték 0 1 2 3 4 5 6 valószínűség 0.0156 0.0938 0.2344 0.3125 0.2344 0.0938 0.0156

Döntési szabály: 0 vagy 6 fej esetén elvetjük H0-t.

Az első fajú hiba valószínűsége: 0.0156+0.0156=0.0312

Mivel a tesztek nevüket általában a null-eloszlás után kapják, ezt binomiális tesztnek nevezik.

Másodfajú hiba (Type II error) : ha a H0-t megtartjuk, pedig H1 igaz. Valószínűségét ββββ-val jelöljük, (1-ββββ) a teszt ereje power .

Egy- és kétoldali ellenhipotézis

A céljainktól függően a legtöbb tesztben két fajta ellenhipotézissel dolgozhatunk. Az első esetben az elfogadási tartomány mindkét oldalán van elutasítási tartomány. Az eredmény értékelésekor a feltételezett értéktől való mindkét irányú eltérés érdekes. Ez a kétoldali ellenhipotézis.

H0: p=p0 H1: p≠p0

Időnként az egyik irányú eltérés érdektelen a kísérlet szempontjából, például ha egy új eljárást vizsgálunk a vércukorszint csökkentésére, akkor érdektelen az, hogy az érték nő vagy változatlan marad, csak a csökkenést van értelme kimutatni. Ez az egyoldali ellenhipotézis.

H0: p≤p0 H1: p>p0, vagy

H0: p≥p0 H1: p<p0

Figyeljük meg, hogy a nullhipotézisben mindig van egyenlőség.

Az, hogy számunkra a nullhipotézis elutasítása vagy megtartása a kedvező, mindig a kísérleti elrendezéstől függ.

Normális eloszlású változó várható értékére vonatkozó próbák egy minta esetén

z-próba vagy u-próba (u-test)

„Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó populációátlaga egy feltételezett

0µ érték?”

Feltétel: normális eloszlású változó, valamint (ismert σ szórás, vagy 30-nál nagyobb elemszám).

Próba-statisztika:

n

xuz

σµ0−

== , ahol ( )1,0~ NZ

Nullhipotézis: 00 : µµ =H

Ellenhipotézis: 01 : µµ ≠H

Kritikus tartomány: { }kritzzK >:

Nullhipotézis: 00 : µµ ≤H

Ellenhipotézis: 01 : µµ >H

Kritikus tartomány: { }kritzzK >:

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61zkrit

a

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 610 zkrit

a/2 a/2

-zkrit

egymintás t-próba (one sample t-test)

Feltétel: normális eloszlású változó (robosztus, elég ha szimmetrikus és unimodális)

Próba-statisztika:

n

s

xt 0µ−= ,

mely Student féle t eloszlású változó, n-1 szabadsági fokkal

Minden más megegyezik a z-próbával. Az egyetlen különbség, hogy a szórás ismert, vagy a mintából kell becsülni. A t-próba értelemszerűen kevésbé hatékony, hiszen eggyel több becsült paramétert használ.

Ha a mintaelemszám elég nagy (>30), akkor használható a z-próba is.

A z-próbát csak a kézzel, táblázatból történő munka esetén preferáljuk. A számítógépes programokkal nyugodtan használhatjuk a t-próbát.

Normális eloszlású változó várható értékére vonatkozó próbák két minta esetén

z-próba vagy u-próba

„Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változók átlaga megegyezik a két populációban?”

Feltétel: független, normális eloszlású változók, valamint (ismert szórások, vagy 30-nál nagyobb elemszámok).

Próba-statisztika:

2

22

1

21

21

nn

xxuz

σσ+

−== , ahol ( )1,0~ NZ

Nullhipotézis: 210 : µµ =H

Minden más ugyanúgy megy, mint az egymintás esetben.

Kétmintás t-próba (two sample t-test)

Feltétel: független, normális eloszlású változók ismeretlen, de vélhetően azonos szórással.

Próba-statisztika:

21

21

11

nns

xxt

+⋅

−= , ahol

( ) ( )2

11

21

2

22

2

11

−+−+−

=nn

snsns

Szanadsági fokok száma: 221 −+ nn

Nullhipotézis: 210 : µµ =H

Ha a két szórás nem egyezik meg, akkor vagy megpróbáljuk transzformálni a mintákat, vagy közelítő próbát alkalmazunk. (Welch-próba)

Welch-próba (Welch-test)

Feltétel: független, normális eloszlású változók.

Próba-statisztika:

2

22

1

21

21

n

s

n

s

xxt

+

−=

Szabadsági fokok száma: ( )( )

( ) ( )( )

−−+−

−−=

22

21

21

111

11

cncn

nnnW , ahol

2

22

1

21

2

22

2

n

s

n

s

n

s

c

+

=

Nagy mintákra (mindkét elemszám nagyobb, mint 30) a szórások jól becsülhetőek és a z-eloszlás kritikus értékei elég közel vannak a t-eloszlás kritikus értékeihez, ezért a z-próba használható a mintából becsült szórások esetén is.

A t-próbát és a Welch-próbát kis mintákra használjuk attól függően, hogy a szórásokat azonosnak gondoljuk-e. Ha nem tudjuk, használhatjuk az F-próbát a szórások tesztelésére. A statisztikusok egy része ezt nem fogadja el, szerintük a két szórás sosem tekinthető azonosnak.

A Welch-próba is csak közelítő eredményt ad, de használata széles körben elfogadott.

A fenti módszerekkel nem csak az átlagok egyenlősége tesztelhető, hanem a köztük levő eltérés is.

A számítógépes programok általában csak a t-próbát ismerik, a Welch-próbát is abba építik be.

Várható értékre vonatkozó próba két összefüggő minta esetén

Páros t-próba (paired t-test)

Ha a két minta összefügg (például ugyanazon egyedeken végeztük a mérést a kezelés előtt és a kezelés után, vagy ikerpárokon mérünk, …), akkor a kétmintás t-próbánál jóval erősebb a páros t-próba (paired t-test).

Technikailag egy mintát képzünk, kiszámolva mindenütt a két változó értékének különbségét, és arra egymintás t-próbát alkalmazunk.

Megjegyzések:

A páros t-próba azért erősebb, mert információt hordoz, hogy melyik mérés melyikkel áll párban. A kapott különbségek szórása jóval kisebb lehet, mint a kétmintás próbában előálló szórás.

Ha kezelés előtti és utáni eredményeink vannak, akkor a különbséget célszerű úgy képezni, hogy a későbbi mérés eredményéből vonjuk ki a korábbiét, ez esetben ugyanis a pozitív eredmény jelenti a növekedést.

Feltétel: a mérések ugyanazon az egyedeken, vagy más módon párosítható mintákon történtek (a minták nem függetlenek), valamint a két változó különbsége normális eloszlású (a változók nem kell, hogy azok legyenek).

Nullhipotézis: 00 µµ =dH :

Próba-statisztika:

n

s

dt

d

0µ−=

Varianciaanalízis (ANOVA)

Kettőnél több minta esetén annak a nullhipotézisnek a tesztelésére szolgál, hogy valamennyi részpopulációban, amelyekből a minták származnak, ugyanaz a várható érték. Az ellenhipotézis, hogy van olyan (egy vagy több) részpopuláció, melyben a várható érték eltér.

A próba feltétele a változók normalitása és a szórásuk azonossága, valamint az adatok függetlensége.

Számtalan módon előfordulhat az, hogy a nullhipotézis nem teljesül!

Populációban egy tulajdonság arányára vonatkozó próba

z-próba

„Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált tulajdonság előfordulási valószínűsége a populációban a feltételezett 0p érték?”

Feltétel: mivel a próba a binomiális eloszlás közelítésén alapul, hagyományosan akkor tekintik elfogadhatónak, ha 55 −≤≤ npnˆ , ahol p̂ a mintabeli relatív gyakoriság.

Nullhipotézis: 00 ppH =:

Próba-statisztika: ( )n

pp

ppz

00

0

1−−

=ˆ

Ha a feltételek nem teljesülnek, akkor egzakt binomiális próbát kell csinálni. (Lásd konfidencia-intervallum meghatározás…)

Két valószínűség összehasonlítása

„Származhat-e a két független minta adott tulajdonságra vonatkozóan azonos előfordulási valószínűségű populációból?”

Nullhipotézis: 210 ppH =:

Próbastatisztika: ( )

21

21

111

ˆˆ

nnpp

ppz

pp+−

−= , ahol

21

21

nn

ffp p +

+=

Két valószínűség összehasonlítása homogenitás vizsgálatként, 2χ -próbával is történhet.

Egy változó varianciájára vonatkozó próba

2χ -próba

„Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó populációbeli varianciája egy

feltételezett 20σ érték?”

Feltétel: a vizsgált változó normális eloszlású.

Nullhipotézis: 20

20 σσ =:H vagy 2

02

0 σσ ≥:H vagy …

Próba-statisztika: ( )

2

22 1

σχ sn −

=

Szabadsági fok: n-1

Kritikus tartomány:

20

21 σσ ≠:H esetén

≥≤ −+

22222

21

21 vagy pp χχχχχ :

20

21 σσ <:H esetén

≤ +

222

21 pχχχ :

Két változó varianciájának összehasonlítása

F-próba (F-test)

„Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változók varianciája megegyezik a két populációban?”

Feltétel: normális eloszlású(!) független változók, 22

21 ss ≥ (sorszámozás kérdése…)

Nullhipotézis: 22

210 σσ =:H vagy 2

2210 σσ ≥:H (harmadik nem lehet 2

221 ss ≥ miatt)

Próba-statisztika: 22

21

s

sF =

Szabadsági fok: n1-1 a számlálóban, n2-1 a nevezőben

Kritikus tartomány: {2

1 pFFF −≥: } illetve { pFFF −≥ 1: }

A normalitás nagy mintaelemszám esetén is kell.

Nemparaméteres próbák

Ha az eddig megismert paraméteres próbák nem alkalmazhatóak, mert nem teljesülnek a feltételeik, akkor nemparaméteres próbákat kell alkalmazni. Ezek általában sokkal egyszerűbbek, mint a paraméteres próbák, sokkal megengedőbbek (feltételek), viszont jóval kisebb az erejük.

A paraméteres és a nemparaméteres próbák összehasonlítása

Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák

Nagyjából függetlenek a változó eloszlásától. DE: azért nem minden eloszlásra, csak egy tágabb körre. Feltételeket ellenőrizni kell.

Feltételezik, hogy ismert a változó eloszlása: (leggyakrabban) normális, exponenciális, binomiális, stb.

Mediánok összehasonlítása. Átlagok és varianciák összehasonlítása. Gyakoriságok elemzésére alkalmas. A gyakoriságokat általában transzformálni

kell előtte.

Származtatott adatok elemzésére is jó, pl. arányok.

Származtatott adatokat először transzformálni kell.

Előjelpróba (sign test)

“Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó mediánja egy feltételezett med0 érték?”

Feltétel: a vizsgált változó eloszlása folytonos. 6 30< <n

Nullhipotézis: 00 medmedH =:

Próba-statisztika: a medhipot-nál nagyobb mintaelemek száma.

<>

=0

0

ha0

ha1

medx

medx

i

ii

,

,δ , ∑

==

n

iiB

1δ

Vigyázat! n-be azokat nem számoljuk bele, ahol 0medxi = !

Kritikus tartomány: a null-eloszlás binomiális, n=mintaelemszám, p=0.5. A kritikus tartomány 1H -től függően egy- vagy kétoldali.

Megjegyzések:

� A próbát azért hívják előjelpróbának, mert eredetileg a medián(X) = 0 hipotézis tesztelésére találták ki, és ekkor a próbához a mintabeli értékeknek csupán az előjelét használjuk.

� Két párosított minta esetén a különbségekre alkalmazható.

� Feltételként az eloszlás folytonossága helyett elegendő annyi is, hogy P(med0) = 0.

� Nagy mintára a binomiális eloszlást a szokásos módon közelíthetjük Poissonnal vagy normálissal.

� Ugyanígy megy medián helyett tetszőleges kvantilisre.

Wilcoxon-féle előjeles rang-próba (Wilcoxon signed rank test)

“Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó mediánja egy feltételezett med0 érték?”

Feltétel: a vizsgált változó eloszlása folytonos és szimmetrikus

Szimmetrikus eloszlás esetén a medián és az átlag egybeesik, ezért mindegy, melyikkel fogalmazzuk meg a hipotéziseket. Csak hagyomány-tiszteletből írjuk fel mediánnal.

Nullhipotézis: 0H : med = med0

Próba-statisztika: a megfigyelt értékek med0-tól való eltéréseit abszolút értékük nagysága szerint sorba rendezzük, és rangszámokat rendelünk hozzájuk. A statisztika a pozitív eltérésekhez tartozó rangok összege.

Párosított minták esetén a különbségre alkalmazható.

Példa:

10 elemű minta: 1.4 3.3 5.0 5.0 6.2 7.5 10.1 10.5 13.0 18.1 med0 = 9

Eltérések: -7.6 -5.7 -4.0 -4.0 -2.8 -1.5 1.1 1.5 4.0 9.1 Rangszámok: 9 8 6* 6* 4 2.5§ 1 2.5§ 6* 10

* § Egyenlő abszolút eltérést adó értékek (ties) esetén mindegyikük az összesen rájuk jutó rangok átlagát kapja (kapcsolt rangok, tied ranks).

A pozitív eltérések rangösszege: T+ = 19.5

Kritikus tartomány: { }kritTTK ≤+: . A null-eloszlást kis mintaelemszámokra kiszámolták, a kritikus értékeket táblázatba foglalták. (Csak akkor érvényes, ha nincsenek kapcsolt rangok!)

Nagyobb mintákra a null-eloszlás a ( )

4

1+=

nnµ , 24

121 ))(( ++=

nnnσ paraméterű

normálissal közelíthető, a kritikus értékek ebből számolhatók.

Mann-Whitney-féle U-teszt (vagy: Wilcoxon-féle rangösszeg-teszt)

“Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált X és Y változókra igaz a P(X<Y)=P(X>Y) egyenlőség (azaz ha mindkét változót megfigyeljük, azonos esély van arra, hogy az egyik, illetve a másik lesz nagyobb)?”

Feltétel: a változók eloszlása folytonos, sűrűségfüggvényeik azonos alakúak (eltolással egymásba átvihetők, varianciák megegyeznek); a két változóra két független mintánk van.

Nullhipotézis: 0H : a változók eloszlása megegyezik, azaz az eltolás 0.

Ellenhipotézis: 1H : az eltolás ≠ 0 (ez kétoldali ellenhipotézis, de megfogalmazható egyoldali is)

/

Kolmogorov-Smirnov próba

“Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált X és Y változók eloszlása azonos?”

A kétmintás t-próba megfelelője nem egyező varianciák esetére.

Feltételek: Ordinális vagy folytonos változók, független minták, azonos alakú eloszlások.

Nullhipotézis: )()(:0 YFXFH ≡

Ellenhipotézis: )(: XFH1 ≡ F(Y)

Próbastatisztika: A két eloszlásfüggvény közötti maximális differencia.

Nagyon kevéssé hatékony teszt.

Medián (Mood) próba

“Tartható-e az az álláspont, hogy a két minta ugyanakkora mediánú populációból származik?”

Nullhipotézis: 210 medmedH =:

Számítás menete: Kiszámítjuk az összes adat közös mediánját. Készítünk belőle egy 2×2-es kontingencia táblázatot, és abból kiszámítjuk az alábbi 2χ értéket:

1. minta 2. minta > Közös medián 11f 12f

≤ Közös medián 21f 22f Próba-statisztika:

( )( )( )( )2221121122122111

2

221222112 2

ffffffff

nffff

++++

−−

=χ

Kritikus tartomány:

1H : med1 ≠ med2 esetén { χ 2 : χ 2 ≤ χ 2 1 – α / 2 vagy χ 2 ≥ χ 2

α / 2 },

1H : med1< med2 esetén { χ 2 : χ 2 ≤ χ 2 1 – α },

1H : med1> med2 esetén { χ 2 : χ 2 ≥ χ 2α },

ahol α az elsőfajú hiba megengedett szintje, χ 2α , χ 2

α / 2 és χ 2 1 – α / 2 pedig az n-1

szabadsági fokú χ 2-eloszlás megfelelő kritikus értékei.

Megjegyzés:

Sokkal gyengébb teszt, mint a kétmintás t-próba, illetve a M-W teszt, ha azok is alkalmazhatók.

Ha néhány gyakoriság nagyon kicsi, akkor a Fischer-féle egzakt teszt alkalmazandó.

Példa:

X-re 8 elemű minta: 1, 3, 7, 8, 9, 15, 16, 17

Y-re 10 elemű minta: 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 23, 25

Összevont minta: 1, 3, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 15, 15, 16, 17, 18, 21, 23, 25

Közös medián = 11

1. minta 2. minta > Közös medián 11f =3 12f =6

≤ Közös medián 21f =5 22f =4

( )( )( )( )

( )( )( )( ) 84132045099118

918

456356532

18564318

2

2050

2

2

2221121122122111

2

221222112

,, , =<=⋅⋅⋅

⋅=

++++

−⋅−⋅⋅

=

++++

−−

=

χ

χffffffff

nffffn

0H⇒ -t nem vetjük el

Kruskal-Wallis-féle H teszt (Kruskal-Wallis H-test)

Több mint két minta esetén használjuk, hasonlóan az ANOVA-hoz.

Feltétel: a változók eloszlása folytonos, sűrűségfüggvényeik azonos alakúak (eltolással egymásba átvihetők); k változóra k független mintánk van.

Nullhipotézis: 0H : mind a k változó eloszlása megegyezik

Ellenhipotézis: 1H : nem mind azonos eloszlásúak

Próba-statisztika: bonyolult… (lásd lejjebb)

Kritikus tartomány: a null-eloszlás aszimptotikusan χ2 (k–1 szabadsági fokkal), ebből kaphatjuk a kritikus értékeket

Példa:

Egy biológus 4 mezőn (A, B, C, D) 5-5 véletlenszerűen kiválasztott kvadrátban számolja az orchideákat. Van-e különbség bármelyik két mező között az orchideák számát tekintve?

megf/mező A B C D 1 27 (12) 48 (16) 11 (6) 44 (15) 2 14 (7) 18 (9,5) 0 (1) 72 (19) 3 8 (4,5) 32 (13) 3 (2) 81 (20) 4 18 (9,5) 51 (17) 15 (8) 55 (18) 5 7 (3) 22 (11) 8 (4,5) 39 (14)

A Kruskal-Wallis próba menete:

Készítsük el a fenti táblázatot. Oszloponként vannak a minták, zárójelben a megfigyelések rangja (összes mintaelemre együtt kiszámítva).

Számítsuk ki mintánként a darabszámokat (ni) és adjuk össze: N.

Számítsuk ki mintánként a rangösszeget: Ri. Emeljük négyzetre: 2iR .

Osszuk el a mintaelemszámmal és adjuk össze: ∑i

i

n

R2

.

A próbastatisztika ( 2χ eloszlású): ( ) ( )131

122

+−

+⋅

= ∑ N

NNn

RK

i

i

Hasonlítsuk össze K-t a megfelelő χkrit2 értékkel. A szabadsági fok: a minták száma-1

(4-1=3).χkrit2 7 81= . . K krit> χ 2 ⇒ elutasítjuk a H0-t.

Ezek szerint az orchideák számát tekintve a mezők nem tekinthetők egyformáknak. Csak azt tudjuk, hogy valamelyik kettő között biztos van különbség. Biztos, hogy a

legnagyobb és a legkisebb átlagos rangszámú

i

i

n

R különbözik, jelen példában a C és

D mezők.

Megjegyzések:

Két minta esetén ugyanaz mint a Mann-Whitney próba.

Szignifikancia esetén nem tudjuk megmondani, hogy ténylegesen melyikek különböznek (legkisebb-legnagyobb biztos).

Ha a kmedmedmedH === ...: 210 hipotézis szeretnénk tesztelni, a medián próba kiterjeszthető több minta esetére.

Nem független minták esetén a Friedman teszt használható.

Gyakoriságok elemzése

Leszámolásos mintákra alkalmazható próbák.

Klasszikus módszer: χ 2 próba. Alkalmazzák homogenitás, véletlenszerűség, függetlenség és illeszkedésvizsgálatra.

Alapelv: megfigyelt gyakoriságokat összehasonlítása nullhipotézis alapján várt gyakoriságokkal. Ha az eltérés egy bizonyos kritikus értéknél nagyobb, akkor elutasítjuk a nullhipotézist.

Lényeg: hogyan számítsuk ki a várt gyakoriságokat?

Illeszkedés vizsgálat (goodness-of-fit, GOF)

„Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó populációbeli eloszlása (eloszlásfüggvénye) egy feltételezett Fhipot eloszlás (eloszlásfüggvény)?”

2χ -próba

Feltételek: a próbához a változó értékkészletét osztályokba kell sorolni és minden osztályra meghatározni az ei ún. várt gyakoriságot (a gyakoriság illeszkedés esetén várható értékét): a mintaelemszámot meg kell szorozni annak az i. osztálynak a feltételezett eloszlás szerinti valószínűségével. Akkora mintával kell dolgozni, vagy az osztályokat úgy megválasztani, hogy az ei-k ne legyenek 3-nál kisebbek, és 5-nél kisebbek is legfeljebb az osztályok 20%-ában.

0100 FFHFFH ≠≡ ::

0.1

0.2

0.3

0.4

P

25 10 15 20

2

46

10

χ

Próba-statisztika: ( )χ 2

2

1

=−

=∑ f e

e

i i

ii

k

, ahol fi a megfigyelt gyakoriság, ei a várt

gyakoriság, k pedig az osztályok száma.

Kritikus tartomány: { }K krit: χ χ2 2> . A kritikus értéket a szignifikancia szintnek

megfelelően kell kikeresni.

Tiszta illeszkedésvizsgálat: A feltételezett eloszlás típusa és paraméterei is ismertek. Szabadsági fok: k -1.

Becsléses illeszkedésvizsgálat: Csak az eloszlás típusa ismert, a paramétereit becsüljük. Szabadsági fok: k-1-(becsült paraméterek száma).

� Normalitást is ezzel a próbával vizsgálhatunk.

� df = 1 esetén szokták az ún. Yates korrekciót alkalmazni: ( )

,5.0

1

22 ∑

=

−−=

k

i i

ii

e

efχ

de erről a statisztikusok véleménye különbözik, azt a módszert kell használni, amely a tudományterületen, vagy az adott folyóiratban szokásos.

Példa:

Kockadobás. Az az elképzelésünk (modellünk), hogy a kocka szabályos, azaz minden szám egyforma (1/6) valószínűséggel fordulhat elő. A modell teszteléséhez dobáljuk a kockát, számoljuk az egyes előfordulások gyakoriságát, majd elvégezzük a χ 2 -próbát.

Formálisan felírva a hipotéziseket:

H0: A kocka szabályos

H1: Nem szabályos

( )χ 22

1

=−

=∑ f e

e

i i

ii

k

, ahol fi a megfigyelt gyakoriság,

ei a várt gyakoriság, k pedig az osztályok száma.

Behelyettesítve a képletbe:

( ) ( ) ( )..... 214

10

142

10

104

10

106

10

108 2222 ==

−++

−+

−=χ > 07112 .=kritχ

⇒ elutasítjuk a nullhipotézist!

érték megfigyelt (fi) várt (ei) gyakoriság

1 8 10 2 6 10 3 16 10 4 17 10 5 9 10 6 4 10

Kolmogorov-Szmirnov próba

Az eloszlásfüggvények legnagyobb abszolút eltérését veszi csak figyelembe.

Példa:

Házi rövidszőrű macskák étkezési preferenciáinak tesztelése. Ugyanaz a táp 5 féle nedvességtartalommal. 35 éhes macskát letettek egyenként az 5 táptól ugyanolyan távolságra. Melyiket választják?

H0: A macskáknak nincs nedvesség preferenciája

H1: Legalább egyfélét preferálnak

Próba-statisztika: dmax=7

Táblázatból: dkrit(0.05, 5, 35)=7

K:{dmax ≥ dkrit} ⇒ H0-t elutasítjuk.

Nedves → száraz táp 1 2 3 4 5

fi 8 13 6 6 2

ei 7 7 7 7 7

kum fi 8 21 27 33 35

kum ei 7 14 21 28 35

di 1 7 6 5 0

Függetlenségvizsgálat – khi-négyzet próba

„Tartható-e az az álláspont, hogy a két vizsgált változó független egymástól?”

A próbához mindkét változó értékkészletét osztályokba kell sorolni (nem feltétlenül ugyanannyi osztályba!) és minden osztály-kombinációra (cellára) meghatározni az ún. várt gyakoriságot (eij) az alábbi képlettel:

∑ ∑

∑∑

= =

===I

i

J

jij

J

jij

I

iij

ij

f

ff

e

1 1

11))((

,

ahol I és J az egyik, illetve másik változó szerinti osztályok száma, fij pedig az i,j-edik cella mintabeli gyakorisága.

Feltételek: Akkora mintára van szükség, hogy az eij várt gyakoriságok ne legyenek 3-nál kisebbek, és 5-nél kisebbek is legfeljebb a cellák 20 %-ában.

1 2 3 ... J-ik osztály

1

2

...

I-ik

oszt. ez a (2, 3)-ik

Nullhipotézis: H0: a két vizsgált változó független egymástól

Ellenhipotézis: H1: nem függetlenek

Próba-statisztika: ( )

,∑ ∑= =

−=

I

i

J

j ij

ijij

e

ef

1 1

22χ ahol fij a megfigyelt, eij a várt gyakoriság az

i,j-edik cellában, I és J pedig az egyik, illetve a másik változó szerinti osztályok száma.

Elutasítási tartomány: {χ 2:χ 2≥χ 2α}, ahol 2

αχ az (I–1)(J–1) szabadsági fokú

χ2-eloszlás megfelelő kritikus értéke.

Ha nem független két változó, akkor hogyan tudjuk mérni a kapcsolat

erősségét?

� kontingencia táblázatok (nominális változók esetén) pl. asszociációs mértékekkel,

� ordinális skálák esetén pl. rangkorrelációval,

� intervallum skála esetén pl. a korrelációs együtthatóval.

Homogenitásvizsgálat

„Tartható-e az az álláspont, hogy a vizsgált változó eloszlása (eloszlásfüggvénye) azonos a két populációban?”

Függetlenségvizsgálat

A vizsgálatot visszavezethetjük függetlenségvizsgálatra egy új változó segítségével, amelynek értéke minden mintaelemre annak a populációnak a sorszáma, amelyből a mintaelem származik (1 vagy 2). Az, hogy a vizsgált változó ugyanolyan eloszlást követ a két populációban, ekvivalens azzal, hogy a vizsgált változó független ettől a sorszám-változótól.

A sorszám-változónak természetesen két osztálya van, a vizsgált változó értékeit pedig a függetlenségvizsgálat feltételeinek megfelelően kell osztályokba sorolni.

1 2 3 ... J-ik osztály

1

2

osztály (populáció)

Feltételek: lásd a függetlenségvizsgálatnál.

Nullhipotézis: H0: F1=F2, ahol F1 és F2 az ismeretlen eloszlásfüggvények.

Ellenhipotézis: H1: F1≠F2

Próba-statisztika: lásd a függetlenségvizsgálatnál.

Elutasítási tartomány: lásd a függetlenségvizsgálatnál.

Ezzel a módszerrel kettőnél több populációra is végezhető homogenitásvizsgálat.

Ha nem lett volna érthető: mindkét mintát osztályokba soroljuk, azonos határokkal. A táblázat első sorába az első mintából, a második sorába a második mintából írjuk be a megfigyelt gyakoriságokat. Így az első sor az első mintára, a második a második mintára vonatkozik. Ha a két sorban az eloszlás azonos, az ugyanazt jelenti, mintha a két minta független lenne.

Fisher egzakt teszt 2x2-es kontingencia táblázatokra

Ha túl kicsik a gyakoriságaink, akkor a 2χ próba nem ad helyes eredményt (csak közelítés, nagy mintákra működik jól.)

A Fisher egzakt teszt azt számítja ki, hogy az adott marginális eloszlások mellett mekkora az adott, illetve annál extrémebb táblázatok valószínűsége, ha feltételezzük a változók függetlenségét. Ha ez a valószínűség kicsi (<5%), akkor nem fogadjuk el a nullhipotézist.

Példa:

Van 40 betegünk, akik részben pszichotikusok, részben neurotikusok, illetve részben éreznek öngyilkossági hajlamot, részben nem.

Öngyilkossági hajlam

pszichotikus neurotikus Összes

Igen 2 6 8 Nem 18 14 32 Összes 20 20 40

Egy adott táblázat valószínűségét a hipergeometrikus eloszlás adja meg:

Az adott marginálisok mellett a táblázat valószínűsége:

Mit jelent az, hogy extrémebb?

Kiválasztjuk azt az átlót, amelyben a gyakoriságok összege nagyobb, és azt még tovább növeljük (az adott irányú összefüggés irányába megyünk tovább.)

Itt úgy tűnik, mintha a neurotikusok kicsit hajlamosabbak lennének az öngyilkosságra, mint a pszichotikusok. Megnézzük, hogy mi a helyzet, ha még jobban eltoljuk ebbe az irányba a táblázatot:

Öngyilkossági hajlam

pszichotikus neurotikus Összes

Igen 1 7 8 Nem 19 13 32 Összes 20 20 40 Öngyilkossági hajlam

pszichotikus neurotikus Összes

Igen 0 8 8 Nem 20 12 32 Összes 20 20 40

A példabeli táblázat valószínűsége, illetve a nála extrémebbeké:

Összesen:

Következtetés. A két tünet függetlennek tekinthető.