2010/6/21 1

制御工学I 第10回安定性

ラウス，フルビッツの安定判別

平成22年6月21日

2010/6/21 2

授業の予定

• 制御工学概論（１回）– 制御技術は現在様々な工学分野において重要な基本技術となっている。工学における制御工学

の位置づけと歴史について説明する。さらに、制御システムの基本構成と種類を紹介する。

• ラプラス変換（１回）– 制御工学、特に古典制御ではラプラス変換が重要な役割を果たしている。ラプラス変換と逆ラプラ

ス変換の定義を紹介し、微分方程式のラプラス変換について解説する。

• 制御システムのモデリングと伝達関数（３回）– システムの相似性について概説し、システムの入出力特性を表す手法である伝達関数について詳

述する。システムの図的表現であるブロック線図とその等価変換について解説する。

• 過渡特性（３回）– システムの過渡状態を評価する方法であるインパルス応答とインディシャル応答について解説する。

システムの速応性や安定性の指標である整定時間、立ち上がり量、行き過ぎ量について述べる。

• 安定性（２回）– システムの安定性の概念を述べ、安定性を判定する代数的方法であるラウス-フルビッツの方法に

ついて説明する。

• 周波数特性（４回）– 周波数領域におけるシステムの特性を周波数特性という。周波数特性と伝達関数との関係を説明

し、ベクトル軌跡とボード線図の作成方法を説明する。

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リアプノフ安定性

• (微分量が0)とする状態 →平衡状態

– 平衡点

• 平衡点に摂動を与えた系の解 の時間経過を考える。ただし， は初期値。

• 定義 ならば，全てのt>=t0に対してとなるような実数aが存在すれば，

平衡点 は安定。存在しなければ不安定。

– 平衡点 が安定かつ， のときは漸近安定。

0=x& ex

ex( )00 ,, txtx

00 , tx

δ≤− xx0

( ) axtxtx e ≤−00 ,,ex

ex ( ) 0,, 00lim =−∞→

et

xtxtx ex

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漸近安定

ex0x

δa

不安定

安定漸近安定

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内部安定性

• 零入力応答

– 入力が零で，初期条件のみに対する応答

– 初期状態

• 内部安定(漸近安定:リアプノフの安定性)– どのような初期状態x0に対しても，

t→∞でx(t)=0となる

• システムが内部安定となる必要十分条件

– 特性方程式の根の実部が全て負⇔漸近安定

( ) 00 xx =

( ) ktextx 0=

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外部安定性

• 零状態応答

– 初期状態が零で，入力のみに対する応答

• 有界な入力u(t)に対する零状態応答

– 有界な入力とは，下式に適当な正数k1が存在する

• システムが外部安定・入出力安定・有界入力有界出力(BIBO:Bounded Input Bounded Output)安定

– 有界な出力とは，下式において適当な正数k2が存在する

– 有界な入力u(t)に対してk2が存在する場合BIBO安定

( ) ∞<≤∞<≤ tktu 0,1

( ) ∞<≤∞<≤ tkty 0,2

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BIBO安定

• システムのBIBO安定と等価な条件– 伝達関数の全ての極（特性方程式の根）が負の実部を持つ。 → 漸近安定

– インパルス応答g(t)に対して，次式を満たす正数kが存在

• 有界入力u(t)に対する出力の応答

任意のtに対して有界

( ) ∞<≤∫∞

kdttg0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∞<≤−≤

−≤−=

∫

∫∫kkdtgk

dutgdutgty

t

tt

101

00

ττ

ττττττ

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BIBO安定

• インパルス応答g(t)が有界でない場合

– 有界な入力u(τ)

– 出力y(t)は有界ではない

• 変数変換が

( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

<−−=≥−=

0101

ττττ

tgforutgforu

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −=−=tt

dtgdutgty00

τττττ

τσ −= t τσ dd −=

( ) ( ) ( )∫∫ =−=−

t

tdgdgty

0

0σσσσ

出力が有界でないのでBIBO安定が成立しない

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制御システムの安定性判別方法(特性方程式の根を調べる方法)

• 特性方程式の特性根を求めて調べる– 特性方程式を解く

– 根軌跡による方法

• 特性方程式の係数を用いて調べる– ラウス-フルビッツの方法

• ベクトル軌跡による方法– ナイキストの方法

• ボード線図を用いた方法– ゲイン余裕，位相余裕

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特性方程式の係数を用いた安定判別法

• 伝達関数の特性方程式の根の実部

– 高次の代数方程式の求解は困難

– 根の実部の正負判別で十分

– 代数方程式を解かないで安定判別

• 特性方程式の解(因数分解)

– pi:実数根，σi:複素根実部,ωi:複素根虚部

( ) ( ){ }∏∏=

−

=

−−

+++=

++++=μμ

ωσ1

222

1

11100

iii

n

jj

nn

nn

sps

sasasaa L

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特性方程式の係数を用いた安定判別法

• 全ての根の実部が負

• skの係数は全て正

– 全ての根の実部が負となる必要条件

( ) ( ){ }

( ) { }∏∏

∏∏

=

−

=

=

−

=

++++=

+++=

μμ

μμ

ωσσ

ωσ

1

2222

1

1

222

1

2

0

iiii

n

jj

iii

n

jj

ssps

sps

( ) ( )μσμ LL 10,210 =>−=> injp ij

0,02,0 22 >+>> iiijp ωσσ

( )100 −=> nkak L十分条件は？

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ラウスの安定判別法

• 特性多項式の係数からラウス表を作成

– 係数を変換

– 変換した係数の変換

nnn ssasaa ++++ −−

1110 L

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

−

−

−

−

−

MM

51

2

31

1

11

1

40

2

20

1

00 1

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

α

α

α

α

α

α

11111

0

1101

102 +

++++

+++

++ +=

−= k

ikk

ik

ki

kki

kk

i αγαα

ααααα

ただし 1, 001

0

01 == ++ α

ααγ k

k

k

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ラウスの安定判別法

• ラウス表

– 安定判別法(根の実部が全て負となる必要十分条件)

n

n

nn

m

mm

mm

mmm

n

n

n

n

sss

ssss

0

10

21

20

32

32

31

30

21

22

22

21

20

11

12

12

11

10

001

02

02

01

00

0

1

2

3

2

1

αα

αα

αααααααααααααα

αααααα

−

−−

−

−−

−−

−−

−

−

−

MM

L

L

L

L

M

( )nkk ,,2,10 L=>γ( )nii ,,2,100 L=>α または

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フルビッツの安定判別法

• 特性多項式の係数からフルビッツ行列を作成– nxn行列

– 要素an-1よりはじめる

• 一つ右に移る毎に係数を2減らす

• 一つ下に移る毎に係数を1増やすす

• an=1• ak=0 k>n or k<0 ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

−

−−

−−

−−−

0

1

2

31

42

531

00000

1000100010

a

aaaaaaaaa

Hn

n

nn

nn

nnn

M

L

L

L

L

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フルビッツの安定判別法

• フルビッツ行列

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−

−−

−−

−−−

−

−−

−−

−−−

02

41

62

831

2

0231

142

0531

000000

000000000

aaaaaaaaaaa

aaaaaa

aaaaaaaa

H

nn

nn

nnn

nnn

nn

nn

nnn

nnn

L

MM

L

LMML

LL

LL

LL

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フルビッツの安定判別法

• フルビッツ行列式の作成– 左上kxk小行列の行列式⊿k(k=1,2,・・・,n)（主座小行列式）

• 安定判別法

– 特性方程式の根の実部が全て負となる

Hdet=Δn⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Δ

−

−−

2

312 1 n

nn

aaa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=Δ

−−

−−

−−−

31

42

531

3

01

nn

nn

nnn

aaaaaaa

11 −=Δ na

0>Δk

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ラウス法とフルビッツ法の等価性

• フルビッツ行列のラウス配列要素表示

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

−

−−

−−

−−−

0000

0

0

0000

101

01

00

10

01

00

11

10

02

01

00

12

11

10

1

2

31

42

531

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

Hn

n

nn

nn

nnn

L

L

L

L

L

L

L

L

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ラウス法とフルビッツ法の等価性

• 係数行列をつくる

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=Γ

100000

1001

10001

01

1

1

1

1

O

γ

γ

γ

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ラウス法とフルビッツ法の等価性

• フルビッツ行列に係数行列をかける

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−−

=Γ=

0000

0

0

0

0000

10

20

11

10

21

20

12

11

10

101

00

10

111

01

101

10

12

10

121

02

111

11

101

00

12

11

10

11 aaaaaaaaa

aaa

aaaaaa

aaaaaaaaa

HH L

L

L

L

L

L

L

L

γ

γγ

γγγ

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ラウス法とフルビッツ法の等価性

• 係数行列2をつくる

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=Γ

10000

01

1010010

01

2

2

2

O

γ

γ

2010/6/21 21

ラウス法とフルビッツ法の等価性

• フルビッツ行列に係数行列をかける

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=Γ=

000

0

00

000

0

00

20

30

21

20

12

11

10

20

212

11

21

20

12

11

10

122

M

L

L

L

L

M

L

L

L

L

aaaaaaa

aaa

aaaaa

HHγ

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ラウス法とフルビッツ法の等価性

• 同様にして

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=Γ

1010

10

1010

010001

O

O

k

kk

γ

γk-1個

1−Γ= kkk HH

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ラウス法とフルビッツ法の等価性

• 変形フルビッツ行列

– の左上kxk小行列の行列式(主座小行列式)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

−

−

−

n

n

n

n

n

a

aaaaaaaaaaaaaa

H

0

43

40

33

31

30

22

22

21

20

11

13

12

11

10

0

~

ML

L

L

L

L

HHH nnnn 111~ ΓΓΓ=Γ= −− L

nkaaa kk ,,2,1,~

02

01

0 LL ==Δ

H~

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ラウス法とフルビッツ法の等価性

• 係数行列について– は下三角行列，対角要素は全て1– も対角要素が全て1の下三角行列11

~ ΓΓΓ=Γ − Lnnn

kΓ

( )( )( ) ( ){ }( ) ( )

( ) k

k

kkHkkHkk

kkHkk

kkH

kkH

Δ=×=

××Γ=

×××Γ=

×Γ=

×=Δ

小行列の左上

小行列の左上小行列の左上

小行列の左上小行列の左上

小行列の左上

小行列の左上

1det~det

~det

~det

~det~

nkaaa kk ,,2,1,0

20

10 LL ==Δ

nka k ,,2,1,00 L=> nkk ,,2,1,0 L=>Δ

ラウスの安定判別法 フルビッツの安定判別法

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根軌跡法

• システムの過渡応答は極の位置(値)に関係する

• 制御ゲインにより極の場所(値)が変わる– どのように変化するのか注目

• 設計– 適切なゲインの設定により，極を所期の場所に配置

– システムの極や零の追加の影響の定性的な評価

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根軌跡

• ゲインKを持つフィードバック制御システム– 閉ループ伝達関数

• sの多項式で表す

• ac+kbd=0→根は伝達関数の極

• bc=0 →根は伝達関数の零点

• K:0→∞で伝達関数の極(特性方程式の根)は変化

K G(s)+-

R(s) C(s)

H(s)( )( )

( )( ) ( )sHsKG

sKGsRsC

+=

1

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )scsdsH

sasbsG == ,

( )( )

( )( )( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sdsKbscsa

scsbKsdsKbscsa

scsasasbK

scsd

sasbK

sasbK

sRsC

+=

+=

+=

1

根軌跡根のs平面上の変化

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根軌跡の例

• 二次遅れシステム– 特性方程式

• K=0• 0≦K≦a2/4

• a2/4<K

• 固有角周波数

• 減衰定数

( )( ) Kass

KsRsC

++= 2

02 =++ Kassass −== 21 ,0

24

2,

2

21Kaass −

±−=

24

2,

2

21aKjass −

±−=

Kn =ω

Ka

2=ζ

-a 0-a/2

xx

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根軌跡の性質1

• 伝達関数– d(s):n次，c(s):m次, m<n

• 始点 K=0: →伝達関数の極に対応

• 終点 K=∞: →m個は零点に対応

– 極は零点より多い(m<n)ので残りは無限遠点に終わる

• 実軸対称 特性方程式の根は実数または共役複素数なので，根の配置は実軸対称

• 枝数 特性方程式の根はn個→根軌跡の枝数n本

( ) 0=sd

( ) ( ) ( )( ) 011 =+=+sdscKsHsKG

( ) 0=sKc

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根軌跡

• s(s+2)(s+5)+K=0の根軌跡

– 漸近線• 極の数n=3,零の数m=0,(r=n-m=3)

– 無限遠点に向かう軌跡の漸近線• 漸近線の実軸上の交点座標=(0-2-5)/3=-7/3

• 漸近線の方向角=π/3,π,5/3π

K G(s)+-

R(s) C(s)

H(s)( )( ) ( )( ) Ksss

KsRsC

+++=

52

( ) ( )( ) ( ) 1,52

1=

++= sH

ssssG

( ) ( )r

sa零点の座標の総和極の座標の総和 −

=

( ) 1,,2,1,0,12−=

+= rk

rk

k Lπθ

0x xx-2-5

●

-7/3

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根軌跡

• 極，零点の付加により根軌跡が変化

– 二次遅れシステム

– 極の付加

• 根軌跡を極から離す

– 零点付加

• 零点に根軌跡を引き込む

( ) ( ) ( )asssHsKG

+=

1

( ) ( ) ( )( )bsasssHsKG

++=

1

( ) ( ) ( )asscssHsKG++

=

-a 0-a/2

xx

-b 0-axx x

-a-b/2

-c 0-axO x

a-c