i bimestre 2013
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Capítulo Pág.
1. Exponentes I ................................................................................................................... 43
2. Exponentes II .................................................................................................................. 49
3. Productos notables ........................................................................................................... 53
4. Ecuaciones de primer grado .............................................................................................. 59
5. Factorización I ................................................................................................................. 67
6. Factorización II ................................................................................................................ 73
7. Ecuaciones de segundo grado ........................................................................................... 79
8. Repaso ........................................................................................................................... 85
Álgebra
ÍNDICE
B lackames
CIENCIAS - PAMER4
AÑOÁLGEBRA
Exponentes I
Capítulo I
Los armarios
En las escuelas superiores de EEUU, los estudiantes guardan sus pertenencias en armarios particulares durante eltiempo de clase. En una determinada escuela había 1000 estudiantes y 1000 armarios. Cada año el primer día declase, los estudiantes se alinean por orden alfabético y realizan el extraño ritual que sigue:El primer estudiante abre todos los armarios. El segundo cierra los armarios pares comenzando por el dos. Eltercero cambia la situación de cada tercer armario (abre los cerrados y cierra los abiertos). El cuarto cambia lasituación de cada cuatro armarios; el quinto cambia cada quinto,etc.¿Qué armarios se quedan abiertos cuando todos los estudiantes han terminado?
La notación exponencial se emplea en varias situaciones.El ejemplo muestra el uso de exponentes para analizaruna situación en la que cierta sustancia esta decreciendode modo exponencial.
Ejemplo:
Supongamos que una sustancia radiactiva se desintegrade tal manera que solo queda 1/2 de la cantidad previadespués de cada hora. Si en un momento dado hay 320gramos de dicha sustancia, ¿qué cantidad quedará despuésde 8 horas?, ¿cuánto quedará después de “n” horas?
Solución:
Como la cantidad restante, después de cada hora, es 1/2de los gramos que había al final de la hora anterior, podemosencontrarla multiplicando el número precedente de gramospor (1/2).
Gramos restantes
Inicio: 0 horas 32021
3200
Después de 1 hora 16021
3201
Después de 2 horas 8021
3202
Después de 3 horas 4021
3203
: :
Después de 8 horas45
21
3208
Fíjese usted en que cada potencia de 1/2 es la misma queel número de horas que ha estado desintegrándose lasustancia. Si suponemos que seguirá aplicándose la mismanorma sacamos la conclusión de que después de “n” horasquedarán:
n
n
2
32021
320
gramos de la sustancia original.
Problemas resueltos
1. Reducir :
33753
254223222
)x(xxxxx
xxxxxS ; x 0
Solución:
Aplicando : (am)n = amn
tenemos :9753
108642
)x(x.x.x.x.xx.x.x.x.x
S ; luego aplicando:
am . an = am+n
tenemos : 525
30
97531
108642
)x( xxx
xx
S
5)x( xS
2. Reducir:
8
4 22
222S
Solución:
Aplicando: mprsr)qnp(
m p r sqn aaaa
tenemos:
422
2
2S
8
828
85
87
8
85
87
S = 4
3. Si: xm yn = 3m ......... ( )xn ym = 3n ......... ()
Hallar :xy
yx
S
Solución :
Multiplicando: ( )()tenemos :
xm yn . xn ym = 3m . 3n
de donde: xm+n yn+m = 3m+n
acomodando: (xy)m+n = 3m+n
xy = 3
Dividiendo:
n
m
mn
nm
33
yxyx
nmnm
nm
3yx
nmnm
3yx
3
yx
Luego reemplazamos:S = 33 = 27 S = 27
4. Simplificar:294
336
30.14.1580.35.21
S
Solución:
Descomponiendo en base 5, 3 y 7
2229944
3123366
294
3436
5.2.3.2.7.3.5
5.2.5.7.3.7
)5.2.3()2.7()3.5(
)5.2()5.7()3.7(S
22.5.3.72.5.3.7
S11669
12669
S = 2
PRECAUCIÓN: Aprenda a evitar errores como estos
Mal Bien
52 . 54 = 58 (No multiplique los exponentes) 52 . 54 = 56
52 . 54 = 256 (No multiplique las bases de las potencias)
32
6
555 (No divida los exponentes) 4
2
6
555
42
6
155 (No divida las bases de la potencia)
(52)6 = 58 (No sume los exponentes) (52)6 = 512
(-2)4 = -24 (Mala interpretación del paréntesis) (-2)4 = (-1)424 = 24
(-5)0 = -1 (Mala interpretación de la definición de b0) (-5)0 = 1 (Definición de b0)
33
21
2 (Mala interpretación de la definición de b-n) 33
21
2 (Definición de b-n)
1434
3
2222
(Descuido al restar exponentes) 7)4(34
3
2222
53 + 53 = 56 53 + 53 = (1 + 1)53 = 2 . 53
(La adición de exponentes no se aplica con el signo de suma) (Propiedad distributiva)
(a + b)-1 = a-1 + b-1ba
1)ba( 1
(Mala aplicación de la definición del exponente negativo) (Definición del exponente negativo)
525 (Mal uso de la definición de a ) 525
434/3 )16(16 (Mal uso de la definición de bm/n) 4 3344/3 16ó1616
(-2)-1/3 = 21/3 33/13/1
2
1)2(1
)2(
ba
1ba 2/12/1
b
1
a
1ba 2/12/1
EXPONENTES Y RADICALES
definimos:
tenemos:
b.b.b.b. .......b = bn ; n lN
exponente natural"n" veces
Exponente nulo
a = 1 ;-n
an
Exponente negativo
n > 0a
a = 1 ; a 00
Exponente fraccionario
a =mn amn
Multiplicación debases iguales
a . a = am+nm n
Potencia de un productoRaíz de raíz
(ab) = a bn n n
= an
bn ; b 0ab
n
= amnp
am n p
División de basesiguales
=am
an a ; a 0m-n Raíz de un producto
=abn
an
bn
a > 0 b > 0
a > 0 b > 0
=n
an
babn
Consecuencia
= aam n p
a qar s
(np+q)r+smpr
Potencia de potencia
(a ) = am n mnpp
Potencia de exponente
además:
= |a|a2
en general:
= |a|a2n2n
Nota:
= a ; a > 0ann
.
a = am m
n np p
Potencia de un cociente
Bloque I
1. Reducir:
22625324
24332342
)y,x()y()x()y()x()y()x()y()x(
S ; x, y 0
a) x3y5 b) x5y3 c)35yx
1
d) x-3y-5 e) 1
2. Simplificar:
129
1251
K
a) 1 b) 5 c)51
d) -51
e) - 5
3. Reducir:
24 2 33
812793P
a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) 27
4. Si: n = 24 . 48
Hallar el valor de: S = 5 n
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 16
5. Simplificar:
abbc
1c ba
cb
a1
x.x
x.xR
; a b ; c 0; a 0
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8
6. Simplificar:
0n-31
2-n-31
2- }).(-8)((-2)).8{(2 “n” es par.
a) 0 b) 1 c) 21
d) 2 e) -1
Problemas para la clase 7. Simplificar:
1n21n
1n1n2
3-993
a) 4 b) 2 c) 1
d) 21
e) 31
8. Calcular:
3n233n223n2
3n2
5.54.5.5225.)225(
a) 45 b) 25 c) 15d) 5 e) 1
9. Hallar: a2 + b2; si: a, b IN en:
34
ba-a b
b a3
b.a
b.a
a) 2 b) 8 c) 10d) 15 e) 20
10.Reducir:
34
182 41682644 )x.])x([
Si: x > 0
a) 2x b) 2x
c) x
d) x2 e) x3
Bloque II
1. Reducir:
1xx
x11 12x2xxE
; x 0
a) x2 b) xx c) x xd) 1 e) x
2. Si: a + b = 7
Reducir:baa2a
7aaa aaS
a) 1 b) 2 c) a
d) b e)21
3. Reducir:
3 3 33 3 3 913 3327L
a) 1 b) 3 c) 9
d) 27 e)31
4. Calcule: UNI
Si :1241616U ; 444N ; I = NU
a) 16 b) 8 c) 32d) 1 e) 2
5. Simplifique:
mmm3
m2m1m21m
55.25.25.2
E
; m 0
a) 5m b) 5 c) 10d) 10m e) 2
6. Operar:
61
1-1-1-2-2
53-2
25
51
a) 2 b) 2 c) 3
d) 5 e) 21
7. Simplificar:
3 43103 259 3 5
3 203 5031259
)25(
5
a) 1 b) 2 c) 5
d) 21
e) 51
8. Simplificar:
nnn
nnnnnnn nnnn
n1.n
a) 1 b) 2 c) nd) n2 e) nn
9. Calcular aproximadamente:
A = ...4242
a) 2 b) 2 3 2 c) 2
d) 16 e) 4 52
10.Hallar una relación entre “x” e “y” en:
3xy
y x-2yxxy
3
1x.y
y.x
a) x = y b) y = 3x c) y = 2xd) y = 5x e) 2x = 3y
Bloque III
1. Si: nn = n+1
Reducir: nnn n
n1n
.nnM
a) 1 b) n c) n-1
d) n-2 e) n2
2. Simplificar:
0x;
x.x.x
x.x.xP
1a 2a 3a 2a1aa
3a 2a 1a a1a2a
si: a = 2003
a) x2003 b) x2002 c) xd) x-1 e) 1
3. Reducir :12
22 2 2 22S
a) 1 b) 2 c) 2
d) 4 e) 22
4. Reducir:aax
x ax x axx 1aax2R
; x 0
a) 2 b) 2x c) 2-1
d) 22 e) 1
5. Simplificar:
13 3
3 39
13 333 33
3 23 33
3
3P
a) 3 b) 9 c) 81d) 27 e) 1
6. Simplificar:
125
5.5
5
1-
453
5545
a) 1 b) 5 c) 25
d) 125 e) 5
7. Si: ab =a
b1
= 2; calcular:
ab.ba1
b1aa1b
b-1aa-1b
ba
ba
a) 2 b) 21
c) 4
d) 41
e) 8
8. Reducir:
)1x(xx)x(
4x
xxxx-x5
Si: xx = 5
a) 1 b) x c) x + 1d) x2 e) x5
9. Si: xx = 4; calcular:
x
x21
xx
102
1
x
a) 3 b) 4 c) 2
d) 4 2 e) 41/4
10.Calcular:
1-aa
1aa
a ; si: a-a = 31
a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3
d) 5 3 e) 3
1. Simplifique:
0y;0x;yx
yyxS
2322
323
a) yx
b)xy
c) 2yx
d)yx2
e) x.y
2. Reducir: 0x;
x6x3x2
P4
223
a) 1 b) 4x8 c) 6x7
d) 6x8 e) 6x4
3. Simplifique: 0a;0b;baba
Q 25
5
23
32
a)ba
b)ab
c) ab
d) 2
2
ba
e)5
ba
4. Reducir:3
2
6
3
ba8
R
a) - 4a2b4 b) 4a2b4 c) 2a2b3
d) 4b2a4 e) 1
5. Simplifica: 3n44n3
n1n3
yxyx
L
a) x-1 y-n b) nxy4
c) xy2
d) xyn e) nyx
Autoevaluación
Claves1. d 2. d 3. b4. b 5. a
CIENCIAS - PAMER4
AÑOÁLGEBRA
Exponentes II
Capítulo II
Hermanas con hermanos
Tres amigas, Irene, Sandra y Erika, tienen un hermano cada una, con el tiempo, cada chica acaba saliendo con elhermano de una de sus amigas. Un día Irene se encuentra con el hermano de Sandra y le dice: “¡Mira!, ahí veo entraral cine a alguien con tu pareja”.¿Puedes decir cómo están formadas las parejas?.
EXPONENTES Y RADICALES
definimos:
tenemos:
b.b.b.b. .......b = bn ; n lN
exponente natural"n" veces
Exponente nulo
a = 1 ;-n
an
Exponente negativo
n > 0a
a = 1 ; a 00
Exponente fraccionario
a =mn amn
Multiplicación debases iguales
a . a = am+nm n
Potencia de un productoRaíz de raíz
(ab) = a bn n n
= an
bn ; b 0ab
n
= amnp
am n p
División de basesiguales
=am
an a ; a 0m-n
Potencia de un producto
=abn
an
bn
a > 0 b > 0
a > 0 b > 0
=n
an
babn
Consecuencia
= aam n p
a qar s
(np+q)r+smpr
Potencia de potencia
(a ) = am n mnpp
Potencia de exponente
además:
= |a|a2
en general:
= |a|a2n2n
Nota:
= a ; a > 0ann
.
a = am m
n np p
Potencia de un cociente
Problemas para la clase
Bloque I
1. Efectuar:
31
121
3431
31
41
41
241
M
a) 21
b) 2 c) 8
d) 16 e) 32
2. Reducir:
)3(3
33S
1n
1n3n
a) 3n - 1 b) 3n+1 - 1 c) 24d) 1 - 3n e) 18
3. Reducir:
}1{lNn;999E n n21nn
1n1n1
n
a) 9 b) 18 c) 81d) 162 e) 243
4. Efectuar:5,049278M
a) 0,5 b) 2 c) 0,75d) 0,25 e) 2,5
5. Reducir:
25
273 3 3 222
)x( x.x.x.xM
a) x b) x2 c) x3
d) x4 e) x7
6. Reducir:
x3 y3x
x2 y4xx yx
b
b.bM
a) x6 y12xbb19 b) x6 y12x19b
c) x3 y12x9b d) 63 b.b
e) 6 b.b
7. Reducir:
0n;nS
1n1n
0n
nn
22n
a) n
-2n b) n-n c) n2n
d) nn e) nn/4
8. Reducir:
3 3 3 222 radicales.............x.x.xS
a) 1 b) 2x c) xd) 3x e) 4x
9. Reducir:
x1x2x3x4x
x1x2x3x4x
77777
77777S
a) 49 b) 343 c) 2401d) 16807 e) 4096
10.Si:xnym = 10n xmyn = 10m
Hallar: xy
)xy(A
a) 1010 b) 101
101
c)10
101
d) 101
10 e) 10
Bloque II
1. Reducir:
xxx
xx
ba
baS
a) ab b) a + b c) ab1
d) ba
e) a2 + b2
2. Calcular el valor de:
9n29n229n
19n
39
90S
a) 1 b) 2 c) 10d) 9 e) 40
3. Reducir:133
393
3 22L
a)21 b) 2 c) 4
d) 8 e) 216
4. Simplifique:
a
2a1 aa 2a1
2a1 1aa2
a.a
)aa(J
a) a + 2 b) a
2 + a c) a - 2d) a + 1 e) a
5. Simplifique:
abba:para;xx
xxM
ba
b aa b
a) x b) 1 c) x -1
d) xa e) xb
6. A partir de:
9
a
bab 1
a 1
3
1
ba
ab
2
La relación que existe entre “a” y “b” es:
a) b = 3a b) b = 9a c) b = 6ad) b = 27a e) a = b
7. Calcular:
53
812793E
a) 3 b) 31
c) -3
d) 9 e) 27
8. Reducir:
33
3 273
163
3 3 3 44
31
E
a) 1 b) 3 c) 31
d) -3 e) 3-2
9. Simplificar:
0x;xxxS0
x2
x x5
x5 x 2
a) x b) x-1 c) x2
d) x-2 e) 2x
10.Efectuar:
0x;xxAx
xx
x 1x1
1x
a) 1 b) x c) x1
d) -x e) x2
Bloque III
1. Reducir:
n n n n
n n n nn 2
xxxx
xxxxxS
2
a) n x b) 2n 2x c) 3n x
d) n e) 4n 2x
2. Reducir:
0n;)n(n
)n(nnR
nnnn11
nnnnnn
a) n b) n2 c) n-1
d) n-2 e) 1
3. Simplificar:
12
x
x
x
x
x
x
x
x9
1a
a
a
2a
a
1a
3 a
2a
12
2
2
2.8
12
2.6
8
2
P
a) 2 b)xa2 c) 1
d) 22 e) 2
4. Reducir:1
21
10
2
163231
4,0 )161
()1251
()21
()64()32(A
a) 1 b) 31
c) -1
d) - 31
e) 3
5. Simplificar:
1)n2m(
mn21
1
n2m
yx
yxE
a) x b) y c) xy
d) yx
e)n
yx
6. Transformar:
12242
8 2 16
22
2 2 4 24S
a) 2 b) 2 c) 21
d) 12 e) 4
7. Transformar: 2a1a 2aa a
Hallar:2 2 aa
a) 2 b) 4 c) 2d) a e) a2
8. Calcular aproximadamente:
3 3 3 radicales.....42424L
a) 1 b) 2 c) 4
d) 22 e) 2
9. Efectuar:
4ab baba )ab( )ab()ba(P
(a - b) es impar.
a) 0 b) 1 c) a - b
d) b - a e) ba1
10.Simplificar:44
4 544
4 3 64S
a) 22 b) 24 c) 4 2
d) 4 4 e) 8
1. Reducir:8081
3 3 3 3 2222 x.x.x.xS
a) x b) x2 c) xx
d) xx - 1 e) x-1
2. Simplificar: 40 30 50 300 600985838 x.x.x.x
a) x b) x2 c) xx
d) x-1 e) x20
3. Reducir:
radicales....222
radicales....666S
a) 2 b) 3 c) 6d) - 6 e) - 2
4. Reducir:x4x3x2x1x
x4x3x2x1x
3333333333
K
a) 4 b) 27 c) 9d) 81 e) 243
5. Reducir:23223242
33422324
)y()x()y()x()y()x()y()x(
S
a) x4 b) y3 c) x4y3
d) x3y4 e) x2y2
Autoevaluación
Claves1. a 2. a 3. b4. d 5. c
CIENCIAS - PAMER4
AÑOÁLGEBRA
Bombones
En una fiesta hay 15 mujeres y algunos hombres. Primero cada mujer le regala un bombón a cada hombre conocido,que se lo come inmediatamente. Después cada hombre le regala un bombón a cada mujer desconocida. En total seregalan 240 bombones.Con esta información, ¿se puede determinar el número de hombres que hay en la fiesta?
Son productos indicados que tienen una forma determinada,de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo,sin necesidad de efectuar la operación.
1. Trinomio cuadrado perfecto
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Identidad de Legendre
I1: (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)I2: (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
2. Diferencia de cuadrados
(a + b) (a - b) = a2 - b2
3. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca(ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc (a + b + c)
4. Desarrollo de un binomio al cubo
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Identidades de Cauchy
I3: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)I4: (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)
Relaciones particulares:
(a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2)(a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)
5. Suma y diferencia de cubos
(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
6. Desarrollo de un trinomio al cubo
Según Cauchy se puede escribir así:(a+b+c)3= a3+ b3+ c3+ 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) + 6abc
Otras formas más usuales del desarrollo:
(a + b + c )
3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a)(a + b + c)3 = a3+ b3+ c3+ 3(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc(a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2+ b2+ c2) - 2(a3+ b3+ c3) + 6abc
7. Identidades de Stevin
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab(x+a)(x + b)(x + c) = x3+ (a + b + c)x2+ (ab + bc + ca)x + abc(x - a)(x - b)(x - c) = x3 - (a + b + c)x2+ (ab + bc + ca)x - abc
8. Identidad trinómica de Argand
(x2m + xmyn + y2n) (x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n
Formas particulares más usuales:
Si: m=1 , n=1(x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
Si: m=1, n=0(x2 + x + 1) (x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1
9. Identidad de Lagrange
(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) =(ax + by + cz)2 + (ay - bx)2+(bz - cy)2+(az - cx)2
10.Igualdades condicionales
Si: a + b + c = 0, se verifican las siguientes relacionesnotables:
* a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)* a3 + b3 + c3 = 3abc
* a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 = 21 (a2 + b2 + c2)2
Productos notables
Capítulo III
Problemas resueltos
1. Reducir:L = (x + 4) (x + 2) + (x + 3) (x + 5) - 2x (x + 7) + 7
Solución:
Aplicando: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + abtenemos:
L = x2 + 6x + 8 + x2 + 8x + 15 - 2x2 - 14x + 7 L = 30
2. Si: 3x1
x2
; hallar:3
3
x1
xS
Solución:
Desarrollando: x2 + 2x
x1
+ 2x1
= 3
1x1
x2
2 ; luego de “S” :
2
23
3
x1
1xx1
xx1
xS
Reemplazando: 0S00x1
xS
3. Reducir:S = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x - 1) (x - 2) (x - 3)
- 2x(x2 + 11) - 1
Solución:
Operando :S = x3 + 6x2 + 11x + 6 + x3 - 6x2 + 11x - 6 - 2x3 - 22x - 1De donde :
S = - 1
4. Reducir:
abc)ca()cb()ba(
P333
Si : a + b + c = 0
Solución:
Tenemos que: a + b = - cb + c = -aa + c = -b
Luego reemplazando:
abcabc3
abc)cba(-
abc)b-()a-()c-(
P333333
P = -3
5. Reducir:
57
57
57
57S
Solución:Operando:
22
2222
57
)57(2
)57)(57(
)57()57(S
122
)57(2S
S = 12
Bloque I
1. Multiplicar:
212121212S 488
a) 1 b) 2 c) 22
d) 2 e) 84
2. Multiplicar:
154.154P
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 16
3. Operar:
33333 4144927S
a) 9 b) 5 c) 3d) 1 e) 16
4. Reducir:
223737P
a) 2 b) 10 c) 20d) 40 e) 16
5. Simplificar:
0y,x;xy
yx
xy
yx
S22
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Problemas para la clase
6. Si:a + b = 4ab = 1
Hallar:P = (a2 + b2)2
a) 190 b) 196 c) 197d) 198 e) 194
7. Si:a + b = 4ab = 1
Hallar:S = a3 + b3
a) 52 b) 51 c) 50d) 49 e) 60
8. Calcular el valor de:
32 643216842 )12)(12)(12)(12)(12)(12(31S
a) 4 b) 8 c) 16d) 160 e) 64
9. Multiplicar:
62532532P
a) 0 b) 1 c) 2
d) 62 e) 10
10.Multiplicar:R = (x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2) - (x4 + y4)
a) -x2y2 b) x2y2 c) x4y4
d) x6y6 e) x8y8
Bloque II
1. Encontrar el equivalente de:R = 2(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac)
Si: x = a + b ; y = b + c ; z = c + a
a) x + y + z b) xyz c) x2y2z2
d) x2 + y2 + z2 e) xy + yz + zx
2. Hallar el valor numérico de:E = (a2 - b2) [(a2 + b2)2 - a2b2]
Para:
12b
12a3
3
a) 9 b) 24 c) 26d) 6 e) 1
3. Siendo:a = x(x2 + 3) b = 3x2 + 1
Hallar: 31
22 ba
a) x2 - 1 b) x3 + 1 c) x2 + x - 1d) x3 - 1 e) x2 + 1
4. Si:33 24P
Calcular el valor de: )6P()6P(PM
a) 6 b) 9 c) 3d) 2 e) 0
5. El valor numérico de:
33 10361036S
a) 1 b) 2 c) 2
d) 2 2 e) 4
6. Siendo:A = (a + b)2 - (a - b)2
B = (a2 + b2)2 - (a2 - b2)2
C = (a3 + b3)2 - (a3 - b3)2
Obtener: CAB
S
a) 1 b) 2 c) -2d) 4 e) 4ab
7. Si:
32ab;b2
b3ay;
a2ba3
x2222
Determinar el valor de:
32
32
yxyxw
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16
8. Evaluar: 3xxE 1010
Siendo: 3xx 1
a) 1 b) 2 c) 5
d) 7 e) 3
9. Si:
110ba
110100ab322
33
Obtener: N = (a + b)4 - (a - b)4
a) 100 b) 88 c) 64d) 168 e) 60
10.Obtener el valor de:S = (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a - b) + 2b8
Para: 12a 12b
a) 28 b) 30 c) 34d) 47 e) 62
Bloque III
1. Reducir:S = (a + 1) (a - 1) (a4 + a2 + 1)
Si: 154154a
a) 9 b) 99 c) 999d) 9999 e) 1
2. Si: a + b + c = 0
Calcular:)ac()cb()ba(
)ac()cb()ba(M
333
a) 3 b) -3 c) 4d) -2 e) 16
3. Si: 0zyx 666
Calcular:xzyzxy
)zyx(xyz9L
3
a) 1 b) 2 c) -2d) 4 e) 8
4. Si:a3 + b3 + c3 = 4abca2 + b2 + c2 = ab + bc + ac + 1Calcular:
bcacaba
cbb
cac
ba
a) 0 b) 1 c) -1d) -3 e) 3
5. Sabiendo que:
335
1453
15
1453
1x
Calcular: E = 5x3 + 3x + 1
a) 1 b) 11 c) 3d) 4 e) 8
6. Simplificar:
222222
444
)xz()zy()xz()yx()zy()yx(
)xz()zy()yx(S
a) 5 b) 3 c) 4d) 2 e) 1
7. Si:x + y + z = 1x3 + y3 + z3 = 4Calcular:
xyz1
zxy1
yzx1
P
a) -2 b) 2 c) -1d) 1 e) 3
8. Si: a + b + c = 0 ; reducir:
22
22222
cbcb
babaabc
acb
bca
S
a) 3abc b) 3 c) -3d) -3abc e) 1
9. Si se cumple que:(x + y + 2z)2 + (x + y - 2z)2 = 8(x + y)z
Hallar:
879
yzxz
yzzx
z2yx
E
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
10.Si: a2 + b2 + c2 = 12ab + bc + ac = 12abc = 8
Calcular:E = a3(ab+ac) + b3(ab+bc) + c3(ac+bc)
Considerar: a + b + c > 0
a) 216 b) 192 c) -216d) -192 e) 190
1. Reducir:22
x3y2
y2x3
x3y2
y2x3
S
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Simplificar:25
25
25
25P
Autoevaluación
a)37
b)27
c)67
d)3
14e)
514
3. Si : a + b + c = 0
Calcular :acbcabcba
R222
a) 1 b) 2 c) - 1d) - 2 e) 0
4. Reducir: 22 )38()38(K
a) 20 b) 19 c) 22d) 23 e) 40
5. Simplificar:R = (a + b + c + d)2 - (a + b + c) (a + b + d) -
(b + c + d) (a + c + d)
a) ab b) ac + cd c) cd + abd) -cd - ab e) 0
Claves1. d 2. d 3. d4. c 5. d
CIENCIAS - PAMER4
AÑOÁLGEBRA
Los Obstáculos
Todos los seres humanos, cuando intentamos lograr cualquier cosa en la vida, nos encontramos obstáculos que noslo impiden, y entre mayor dificultad encontramos, mayor facilidad adquirimos. Los obstáculos nos significan los retosque debemos afrontar para hacer realidad nuestros sueños. Anotaba Albert Einstein: “Qué sería del mundo sin lossoñadores”; con los que soñaron en su tiempo que el hombre podía volar, encender un foco, comunicarse a través deun cable, crear la radio, el telégrafo, etc. No solamente eran soñadores, sino que además eran pacientes, no en elsentido de esperar pacientemente a que las cosas sucedieran, sino que insistían incansablemente hasta lograr suobjetivo. Muchos de ellos tuvieron que luchar ante la falta de recursos o la desaprobación generalizada, que lostachaba de locos, pues lo que intentaban en opinión de los demás resultaba imposible.Tomás Alva Edison llegó a la bombilla incandescente después de 5 mil intentos. Imaginémoslo a la mitad de susexperimentos; de no haber sido un optimista consumado, lo hubiera dejado a la mitad del camino.
TEORÍA DE ECUACIONES
una
igualdad
es
una relación de comparación quese establece entre dos expresionesel cual nos indica que tienen elmismo valor.
A B
1 miembroer 2 miembrodo
=
CLASES DE IGUALDAD
Absolutas Incondicionales Relativas Condicionales
es es
Aquella que se verifica para todos losvalores asignados a sus incógnitas
Ejm: (x+1) = x + 2x + 1
la igualdad se verifica para cualquiervalor real de "x".
2 2
Aquella que se verifica para ciertosvalores particulares que se les atribuye asus incógnitas
Ejm: 2x+1 = x + 7se verifica solo si: x = 6
2(6) + 1 = 6 + 7
Ecuaciones de primer grado
Capítulo IV
ECUACIÓN
es
Solución o raíz Conjunto solución Ecuaciones equivalentes
son es el es dos
Aquellos valores que asumenlas incógnitas las cuales veri-fican o satisfacen una deter-minada ecuación.
Conjunto formado portodas las soluciones.
Efectuar en ellas todas lasoperaciones necesarias paraobtener sus soluciones.
Ecuaciones son equivalentessi todas las soluciones de laprimera ecuación son tam-bién soluciones de la segun-da ecuación e inversamente.
Así para
Dada la ecuación:x - 5x = x - 11x + 6
Para: x = 1 -4 = -4
3 2 2
Para: x = 2 -12 = -12Para: x = 3 -18 = -18
luego las raíces o solucionesson:
x = 1; x = 2; x = 3
Como las soluciones de laecuación:
x - 5x = x - 11x + 6
Son : x = 1; x = 2; x = 3
entonces el conjunto solu-ción (C.S.) es:
C.S. = {1; 2; 3}
3 2 2
Conseguirlo se le transformasucesivamente en otrasequivalentes.
hasta
Conseguir que ello seasencillo y permita hallar elvalor de la incógnita.
las ecuaciones:x + 2x = 14 ; 5x - 36 = 2x2 3
son equivalentes puesto queambas ecuac iones severifican solamente para:
x = 12
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Una igualdad condicional que queda satisfecha solopara algunos valores asignados a sus variables.Así : 5x - 3 = + 25
3x
queda satisfecha solo cuando: x = 6
AsíAsí
Así:
Ej:x(3x-1)+5=3(x-3)-10x+6
al reducir se obtiene:5 = 6
la ecuación es absurda
irracional
si
cuando
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
según
Estructura
fraccionaria
Número de soluciones
será
Cuando presenta variablesen su denominador:
Ej.:
su el
x+1x+2
x - 1x - 3+ = 1
Compatibles incompatibles oabsurdas
cuando
Admite por lomenos una solución
no existe ningunasoluciónC.S. =
y es
determinada indeterminada
si
existe un númerofinito de soluciones
el número de solu-ciones es ilimitada
Cuando la incógnita se en-cuentra dentro de un radical.Ej.:
x+1 + x - 4 = 7
si
si
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
forma general
Análisis de sus raíces
si
Teoremas
de
a 0 b lR x = -
solución única(Compatible determinada)
ba
Transposición
* a+b = c a = c-b* ab = c a = c ; si: b 0 b* a = c a = bc ; b
si: b 0
ax + b = 0
si
a = 0 b = 0 0 x = 0
"x" admite cualquier solución(Compatible indeterminada)
a = 0 b 0 0x = -bno existe ningún valor "x"que multiplicado por cerode como resultado "-b"
(Incompatible ó absurda)
Cancelación
si
* a+c = b+c a = b; si: c lR* ac = bc a = b; si: c 0* a = b c c
a = b; si: c 0
Problemas resueltos
1. Resolver: 4015x9
5x3
3x2
Solución:
Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de losdenominadores : 15
401515x9
155x3
153x2
15
5(2x) + 3(3x) = 9x + 60010x + 9x = 9x + 600
eliminando 9x: 10x = 600 x = 60
2. Resolver :3x
11
3x1
Solución:
Tener presente que el denominador es diferente de cero.Es decir : x - 3 0 x 3 ...... (1)
Reduciendo la ecuación:3x
13x
3x1
Cancelando (x - 3):1 + x - 3 = 1
x = 3 .......... (2)
De (1) y (2) se observa una contradicción.Concluimos: la ecuación no tiene solución o esincompatible.
3. Resolver:4x
x2x
3
4x
x52x
322
Solución:
Reduciendo las fracciones a común denominador resulta:
4x
x)2x)(2x(
)2x(3
4x
x5)2x)(2x(
)2x(322
4x
x
4x
)2x(3
4x
x5
4x
)2x(32222
4x
x)2x(3
4x
x5)2x(322
Para: x = 2 x = -2, los denominadores se anulan portanto: x ± 2 ........ (1)
3(x - 2) - 5x = 3 (x + 2) + x 6x = - 12
De donde: x = -2 ............... (2); de (1) y (2) se observauna contradicción
Se concluye : la ecuación no tiene ninguna solución oes incompatible.
4. Resolver : 11x4x
Solución:
Transponiendo: 1x
1x14x Elevando al cuadrado miembro a miembro:
2221x1x214x
1x1x214x Reduciendo se tiene:
1x24 21x Al cuadrado : x - 1 = 4 x = 5Llevando: x = 5 a la ecuación propuesta:
11x4x 11545 3 - 2 = 1 (Se verifica la igualdad)
la solución es: x = 5
5. Resolver : 75xx
Solución:
x75x
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
22)x7(5x x + 5 = 49 - 14x + x2
x2 - 15x + 44 = 0x - 11x - 4
Verificando en la ecuación original:
75xx
Si: x = 11 751111 11 + 4 = 7 (Falso)
Si: x = 4 7544 4 + 3 = 7 (Verdadero)o)
la única solución es: x = 4
6. Resolver : (x - 2) (x - 4) = 5x(x - 4)
Solución:
Llevando 5x(x - 4) al primer miembro:(x - 2) (x - 4) - 5x (x - 4) = 0
Extraemos el factor común (x - 4):(x - 4) [(x - 2) - 5x] = 0
x - 4 = 0 (x - 2) - 5x = 0Despejando para c/u se tiene:
x = 4 x = -21
Bloque I
1. Resolver:5 - {-x + -(4 - 2x) - 5} = x + (-5 + 2x)
a)174
b)4
17c)
132
d)213
e) 419
2. Resolver :2
6x5x3
2x
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Resolver:3x4
7x32
23x
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 18
4. Resolver:6xx
33x
12x
12
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7
5. Resolver:
1xx12x9xx4x 222
a)31
b)21
c)61
d) -61
e)41
6. Resolver:(x - 3)2 + 5x = (x + 2)2
a) 1 b) -1 c) 2
d) 3 e) 2
7. Resolver:
x37 = 3
a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5
Problemas para la clase
8. Resolver:
61
2x
3x
21x
a) -1 b) 1 c) 2d) -3 e) 5
9. Resolver:
1n
nxm
mx
a) - nmmn b) m + n c) n-m
mn
d) m - n e) mn
10.Resolver:2(x - 5)2 + x2 = (x - 6)2 + 2(x2 - 1)
a) 6 b) 5 c) 2
d) -2 e) 21
Bloque II
1. Resolver: (x + 5)3 - x3 - 15x2 = 50
a) 0 b) -1 c) -2d) 1 e) 2
2. Resolver: 11x1x
a)45
b)54
c)41
d) 1 e) -1
3. Resolver: 32x13x Hallar la inversa de su solución
a) 3 b)31
c) 2
d) 4 e)41
4. Sea la ecuación de 1er grado:(m - 7) x2 + (m2 + 2m + 6)x + 3m + 2 = 0
Hallar “x”.
a) 0 b) 7 c)31
d) -31
e) -7
5. Resuelva c/u de las ecuaciones, luego indique:zy.x
A.
4x2x
2
21
B.
151
52
53
1
31
y
53
1
C. 23z5z2
5z23z
a)51
b) -71
c)41
d) 1 e) - 51
6. Resolver:
x5
)3-x2(x3-
3-2x1
a) 35
b) 34
c) 31
d) 3 e) - 31
7. Resolver:
ab)b-a(ax3
ab-x
bax2 2
a) 2b b) 2a c) a + bd) a - b e) 1
8. Resolver:
33x3)-2(x
-2x
)2-x(5
a) 27
b) 211
c) - 29
d) 21
e) - 21
9. Resolver:
1b-a
x)b-a(21-ba
bax2
b-ax
22
a) 2b-a
b) 2ba
c) a + b
d) a - b e) 3ba
10.Resolver:
1-
1x9
41
1x1-x-
213
a) b) 5 c) 4d) 3 e) 2
Bloque III
1. Resolver :
)cba(xabc1acx
bcx
abx
a)cba
abc
b)abc
cba
c) abc d) a + b + ce) 1
2. Resolver:
21
1x1x
1
1x1x
1x1x
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Resolver:
333 a5xaxa
a)45
a2 b)54
a2 c)4a2
d)5a2
e) a2
4. Marcar V o F
I. La ecuación: x - (5 - x) = 3 - (-2x + 8)es indeterminado.
II. La ecuación : 3x + (x-5) = 2x - (-2x+3)es incompatible.
III. La ecuación: x19x8 es indeterminado.
a) VFV b) FFF c) VFF
d) VVV e) VVF
5. Calcular “n”, si la ecuación:(n + 1)2 x + 7 = (n - 3)2 x + 15
es incompatible
a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 5
6. Resolver:
c1
b1
a12
abc-x
acb-x
bca-x
abc 0
a) 1 b) a + b + c c) a + b - c
d) 2cba
e) a - b - c
7. Resolver:
1b-ax1b-a
bax1x
a) ba
b) 1ba c) 1-b
a
d) b1a
e) b1-a
8. Resolver:
1cba
x4a
x-cbb
x-cac
x-ba
a) a + b + c b) a - b - cc) a - b d) a + b
e) cba
9. Resolver:
cbaca
ac-xcb
bc-xba
ab-x
a) a + b + c b) ab + bc + ac
c) 2cba
d) cb-a
e) abc
10.Si: a b -c; resolver:
cac
1xab-c
a
1xc
ba
a) a b) c c) acd) ac + 1 e) ac - 1
1. Resolver: 8 - 3x + 25x2 = (1 - 5x)2
a) - 2 b) - 1 c) 0d) 1 e) 2
2. Resolver:5
4x4
3x3
2x2
1x
a)5367
b)6753
c)5337
d)3753
e) 1
3. Resolver: 42x6x , indicar: x2 + x + 1
a) 13 b) 12 c) 11d) 10 e) 9
Autoevaluación
4. Sea la ecuación de 1er grado:(a + 5) x2 + (a + 3) x + 7 - 3a = 0Hallar “x”.
a) 9 b) -5 c) -3d) 11 e) 12
5. Hallar “x” en:
33x1234
a) 1 b) 20 c) 30d) 40 e) 12
Claves1. b 2. a 3. a4. d 5. e
CIENCIAS - PAMER4
AÑOÁLGEBRA
Factorización I
Capítulo V
Aprendizaje y superación
Carlos A. Madrazo decía: “Conozco dos tipos de hombres: los que nunca fracasan y los que tienen éxito”. Porsupuesto, los primeros nunca fracasan porque nunca intentan nada; en cambio, los segundos acumulan tal cantidadde fracasos que a través de ellos aseguran el éxito.
Si usted solamente intenta lo que está seguro que le va a salir bien, le puedo predecir que logrará pocas cosas en lavida. Si intenta muchas cosas y algunas le salen bien, también le puedo predecir que usted será un triunfador.
La madurez es la gran capacidad del ser humano de cambiar para ser mejor; el ser siempre joven es aquel que noha detenido su crecimiento y día a día busca su superación; es el que sabe decir genuinamente cuando desconoce untema: “No sé”, y esto le llega una gran cantidad de información que lo enriquece y que le asegura su permanentedesarrollo.
No se detenga, siga adelante. El crecimiento es permanente y en la vida el poder destacar solamente está permitidopara aquellos que tienen la osadia de buscar su superación día a día.
CONCEPTOS PREVIOS
Factor o Divisor
es
Factor Algebraico
es
Factor Primo
si
Todo polinomio quedivide en forma exacta
a otro polinomio.
así
Todo polinomio degrado no nulo que
divide en forma exactaa otro polinomio.
Admite por divisoresa 1 y a si mismo.
asíasí
P = xy(x;y)
P = x(y - 1)(x;y)
P = xy(x;y)2
sus sussus
Divisores son:P = 11(x;y)
P = xP = yP = xy
2(x;y)
3(x;y)
4(x;y)
Divisores son:P =11(x;y)
P =xP =y - 1P =x(y - 1)
2(x;y)
3(x;y)
4(x;y)
No es factoralgebraico
Divisores son:P = 11(x;y)
P = xP = y
P = yP = xy
P = xy
2(x;y)
3(x;y)
4(x;y)
5(x;y)
2
26(x;y)
únicosfactoresprimos
FACTORIZACIÓN
Definición
Consiste en transformar un polinomio en otraequivalente expresada en una multiplicación de factoresprimos sobre un determinado campo numérico.
P = 2x - 5x + 3en (enteros)(x)
2
OBSERVACIONES
Un polinomio está sobre undeterminado campo numéricosi sus coeficientes pertenecena dicho campo numérico.
Factor primo o polinomio irre-ductible es todo polinomio degrado no nulo (no constante)que no se puede expresar co-mo la multiplicación de dos omás factores.
La factorización de un polino-mio lo realizamos en el campode los números enteros ( ) esdecir los factores primos de-ben presentar únicamentecoeficientes enteros.
Todo polinomio de primergrado : = ax + b;es irreductible en cualquiercampo numérico.
P(x)
Así
P(x) = 4x - 3
Así
Factorizar en :9x -4y = (3x+2y)(3x-2y)2 2
Así
P = x - 4 no es primopues: = (x+2)(x-2)(x)
2
P(x)
Así
Coeficientes enteros
R = 3x + 2ix + i
en C (complejos)(x)
2 3
Q(x) = x - 6 es primo
R(x) = x + 1 es primo2
Factorizar en lR:2x -3y = ( 2x + 3y)( 2x- 3y)2 2
Coeficientes reales
Factorizar en C:4x +1 = (2x + i) (2x - i)2
Coeficientes complejos
Q(x;y) = x + y - 1
R(x;y;z) = 2x - 3y + 4z
ZZ
Q = 5x + 3 x -1x+1 2en lR (reales)
(x)3 2
ZZ
ZZ
CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
P = ax y +bx yfactor común : x y
(x;y)5 5 4 6
4 5
Eligen las basescomunes afectadas al
menor exponente.
Así
FACTOR COMÚN AGRUPACIÓN IDENTIDADES ASPA SIMPLE
se
Seleccionan conveniente-mente los términos detal manera que genere
un factor común.
se
la aplicación inmediatade algunos productos
notables.
es
Aplicable generalmente atrinomios. El proceso consta
de 3 pasos:* Descomponer los extremos* Prueba de aspa* Escritura de los factores
es
P(x;y) = x y (ax+by)4 5
luego
Nota:Los factores primos de
son:P(x;y)
PPP
1(x;y)
2(x;y)
3(x;y)
= x = y = ax + by
P(x;y) = x +xy+xz+y +yx+yzagrupando de 3 en 3
2 2
Así
P
P
(x;y)
(x;y)
= x(x+y+z)+y(y+x+z)
factor común: x + y + z = (x+y+z)(x+y)
luego
A - B = (A+B) (A-B)2 2
Diferencia de cuadrados
A +B = (A+B) (A -AB+B )3 3 2 2
A + )3 3 2 2-B = (A-B) (A AB+B
Suma y Diferencia de cubos
Trinomio cuadrado perfecto
A +A B +B = (A +AB+B )(A -AB+B )4 2 42 2 2 2 2
Identidad de Argand
Así
P(x;y) = 2x +5xy+2y2 2
2x y = xyx 2y = 4xy
5xy
luego
P(x;y) = (2x+y)(x+2y)A +2AB+B = (A+B)2 2 2
A2 2-2AB+B = (A - B)2
Problemas resueltos
1. Factorizar: a3b4c5 + a3b3c5y + a2b4c5x + a2b3c5xyDar como respuesta el número de factores primos
Solución:
Extraemos el factor común: a2b3c5
E = a2b3c5 [ab + ay + bx + xy]Agrupando de 2 en 2:
E = a2b3c5 [(ab + ay) + (bx + xy)]E = a2b3c5 [a(b + y) + x(b + y)]
E = a2b3c5 (b + y) (a + x)Los factores primos son:
a; b; c; (b + y); (a + x) Total 5
2. Factorizar : P(x;y) = x2 + y2 + x(y+z) + y(x+z)Dar como respuesta la suma de factores primos
Solución:
Efectuando: P(x;y) = x2 + y2 + xy + xz + yx + yzAgrupando convenientemente:
P(x;y) = (x2 + y2 + xy + yx)+(xz + yz)
P(x;y) = (
perfectocuadradoTrinomio
22 xy2yx ) + (xz + yz)
P(x;y) = (x + y)2 + z(x + y)Factor común : (x+y)
P(x;y) = (x + y) (x + y + z)Los factores primos son: (x + y); (x + y + z)La suma de factores primos es:
x + y + x + y + z2x + 2y + z
3. Factorizar: R = (x - 3)3 + 125
Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2dogrado.
Solución:
A potencia 3:R = (x - 3)3 + 53 suma de cubos
R = [(x - 3) + 5] [(x - 3)2 - (x - 3)(5) + 52]Desarrollando y reduciendo:
R = (x + 2)(x2 - 6x + 9 - 5x + 15 + 25)R = (x + 2) (x2 - 11x + 49)
Factores primos:
gradoPrimer
2)(x gradoSegundo
2 )9411x-(x
Finalmente la suma de coeficientes del factor primo de2do grado es: 1 - 11 + 49 = 39
4. Hallar la suma de los factores primos de:M = 2x5 + 5x4 - 26x3 - 65x2 + 72x + 180
Solución:
Agrupando de 2 en 2:M = (2x5 + 5x4) - (26x3 + 65x2) + (72x + 180)
Descomponiendo cada paréntesis:
M = x4 ( 5x2 ) - 13x2 ( 5x2 ) + 36 ( 5x2 )
Factor común : 2x + 5M = (2x + 5) [x4 - 13x2 + 36]
x2 -4x2 -9
-4x2
-9x2
-13x2Suman:
Luego:M = (2x + 5) (x2 - 4) (x2 - 9)M = (2x + 5) (x2 - 22) (x2 - 32)
Diferencia de cuadradosM = (2x + 5) (x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3)
Donde la suma de sus factores primos será:(2x + 5) + (x + 2) + (x - 2) + (x + 3) + (x - 3) = 6x + 5
5. Factorizar: P(x) = 4x4 - 101x2 + 25
Solución:P(x) = 4x4 - 101x2 + 25
4x2 -1x2 -25
-x2
-100x2
-101x2Suman:
Luego: P(x) = (4x2 - 1) (x2 -25)
Transformando cada factor a una diferencia decuadrados:
P(x) = [(2x)2 - 12] [x2 - 52]Finalmente:
P(x) = (2x + 1) (2x - 1) (x + 5) (x - 5)
Problemas para la clase
Bloque I
1. Factorizar:F(x;y;z) = x2 + xy + xz + yz
indicando la suma de factores primos.
a) 2x+y+z b) 2y+x+z c) 2z+x+yd) x - y - z e) x + y - z
2. Factorizar:P(x) = x3 (x - 3) + 3x2(x - 3)
indicando el número de factores primos.
a) 3 b) 2 c) 4d) 1 e) 5
3. Factorizar:P(x) = x2(x + 7) + 4x(x + 7) + 4x + 28
Indicando un factor primo.
a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3d) x + 8 e) x + 9
4. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene elsiguiente polinomio?
P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
5. Factorizar:F(x) = 8x6 + 7x3 - 1
indicar el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
6. Factorice:P(x) = x4 - 16
indicando un factor primo.
a) x + 4 b) x2 + 4 c) x2 - 2d) x2 + 2 e) x2 - 4
7. Factorizar:P(x; y) = 2x2y + 3xy2 + xy
Indicar el número de factores primos.
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
8. Factorizar:P(x; y; z) = x2 + xy + zx + zy + x + y
Indicar un factor primo.
a) x + y b) x + y + z c) x + 1d) z + 1 e) x + z - 1
9. Factorizar:P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2
e indicar la suma de factores primos.
a) 4x - 8y b) 4x + 8y c) 2x - 4yd) 2x + 4y e) 3x2 + 12y2
10.Factorizar:P(x; y) = 15x2 + 11xy + 2y2 + 16x + 6y + 4
Indicar un factor primo.
a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2yd) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2
Bloque II
1. Dar la suma de los términos independientes de losfactores primos de:
P(x,y) = x2 + 2x + xy + y + 1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. Un factor primo del polinomio:P(x;y) = xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n
luego de factorizar es: xn + ym
II. Si factorizamos el polinomio:P(x;y;z) = (x3+y3+z3)3 - x9 - y9 - z9
se obtienen 7 factores primosIII. Factorizando:
P(x;y) = (x-y)3 - (x-y)2 - 2(x-y)la suma de sus factores primos es:
3x - 3y - 1
a) FFF b) VFF c) FVFd) VVV e) VFV
3. Factorizar:P(a;b;c) = (a-b)(a3-c3) - (a-c)(a3-b3)
la suma de sus factores primos es:
a) 3a-b-c b) 3a+b+c c) 3a-b+cd) 3a-b+1 e) 3a-3b+c
4. Factorizar:P(x;y;z)=x3+y3+z3+x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y
a) (x2+y2+z2) (x+y+z) b) (x3+y3+z3) (x+y+z)c) (x+y+z)3 d) (xy+xz+yz)2 (x+y+z)e) (x+y+z)(x2+y2+z)
5. Al factorizar:P(x) = x2 (x+2)2 + x2+2x - 12
I. Existen 2 factores primos de 2do grado.II. Existe un factor primo de 1er grado.III. El polinomio P(x) tiene 3 factores primos.
a) FFF b) FVV c) FFVd) VVV e) FVF
6. Factorizar:P(x; y) = x9y - x3y7
Indicar un factor primo.
a) x2 + xy + y2 b) x2 - xy - y2 c) x2 + y2
d) x2 + y e) x2 - y
7. Factorizar:M(a; b) = a2 - 4 + 2ab + b2
Indicar un factor primo.
a) a - b - 2 b) a + b + 2 c) a + bd) a - b e) ab
8. Indicar el número de factores primos de:P(x) = (x2 + 7x + 5)2 + 3(x2 + 1) + 21x + 2
a) 3 b) 5 c) 7d) 4 e) 2
9. Factorizar:P(x) = x2n + 1 + 3xn + 1 + xn + 3 - xn + 3x3 - 3
Indicar un factor primo.
a) xn + 3 b) xn + 1 + x3 c) xn + 1
d) xn - 1 - 2 e) xn - 1
10.Indicar el número de factores primos de:P(x; y; z) = (x2 - y2 - z2)2 - (2yz)2
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
Bloque III
1. Factorizar el polinomio:P(a;b;c) = ac (a+c) + bc(a-b) - bc(b+c)
indicando un factor primo
a) 2b + c + a b) 2b + c c) 2a - bd) a - 2b e) a + 2c
2. Factorizar:P(x) = x7 + 2x5 + x4 + 2x3 + x2 + x + 1
indicando el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Factorizar:P(x) = (x4 - x3 + x2 - x + 1)2 - x4
indicando el número de factores primos
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
4. Factorizar:P(a;b;c) = a(b-c)2 + b(a-c)2 + c(a-b)2 + 9abc
indicando el factor de 2do grado
a) a2+b2+c2 b) ab+bc+ac c) a+b+cd) abc e) a2+ab+b2
5. Factorizar:F(x;y) = 4x4 - y4 + 4xy2 + 1
a) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1+y2)b) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1-y2)c) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1-y2)d) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1+y2)e) (2x2-2x-1+y2) (2x2-2x-1-y2)
6. Indicar el número de factores primos de:M(a; b; c) = 144a11b2 - 436a9b4 + 100a7b6
a) 2 b) 4 c) 5d) 3 e) 6
7. Indicar un factor de:P(a) = a12 - 6a8 + 5a4 + 2a6 - 6a2 + 1
a) a6 + 1 b) a6 + 1 - 5a2 c) a6 - 1 - a2
d) a6 - a2 e) a6 + a2 + 2
8. Indicar un factor de:M(x; y; z) = (x + y + z)(x - y + z) - (x + y)(x - y)
a) 2x - z b) z c) z + xd) z - x e) 2z - x
9. Factorizar:T(a; b; m) = 12abm2 - (16a2 - 9b2)m - 12ab
indicar un factor
a) 4am + 3b b) 3mb c) 3mb - 4d) 3b - 4 e) 4am - 3b
10.Indicar el número de factores de:P(m; n; p) = (2m + 3n - p)2 - 14m - 21n + 7p - 18
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
1. Factorizar: P(x;y) = x3y2 - y5
indicar la suma de factores primos.
a) y2 + x - y + x2 + xy b) x + x2 + xy + y2
c) y2 + x3 - y3 d) y + x3 - y3
e) xy + y + 1
2. Dar uno de los factores primos del polinomio:P(a;b;c) = a(b2+c2) + b(c2+ba2)
a) 2a + b b) 2a - b c) a + bd) a - 3b e) a + 3b
3. Factorizar: F(a;b;c) = (a - b) (a2 - c2) - (a - c) (a2 - b2)indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Factorizar :P(a;b;m;n) = 2003am + 2003bm - 2003an - 2003bn
indicando un factor primo.
a) m - n b) m + n c) m + 2nd) a + 2b e) a - 2b
5. Factorizar: P(x) = (x + 3)2 - 49indicando un factor primo.
a) x + 2 b) x + 10 c) x + 20d) x + 18 e) x + 4
Autoevaluación
Claves1. b 2. c 3. c4. a 5. b
CIENCIAS - PAMER4
AÑOÁLGEBRA
Potencialidades
Todos los seres humanos poseemos potencialidades y también limitaciones; un ser humano sin cualidades sería un monstruo yun ser sin defectos no sería humano, sería un querubín. Todos los seres humanos tenemos una vocación, un llamado a ser; elproblema es descubrir esa potencialidad y posteriormente pagar la colegiatura para realizar plenamente ese ser.
Debemos preguntarnos con toda sinceridad: “¿Quién deseo ser? ¿Qué deseo lograr en la vida? ¿Qué quiero realizar? ¿Qué megustaría hacer?” Estoy seguro de que hay cierto tipo de actividades que usted goza plenamente al realizarlas, y es ahí donde ustedexpresa plenamente su potencialidad. ¿Cuáles son?, ¿ya las identificó? Desafortunadamente muchas de esas tareas las tenemosrelegadas como pasatiempo de fin de semana y esperamos ansiosamente un día de descanso para dedicarnos a aquello en lo quenos sentimos plenamente realizados.
Muchas veces como padres de familia cometemos el error de forzar a nuestros hijos a ser lo que no desean ser. Imagínese: elpadre de Miguel Ángel Buonarroti quería que su hijo fuera comerciante, pero el hijo, desafiándolo, luchó por ser escultor, y quéescultor, uno cuya obra ha trascendido a través de los siglos. Pero cuántos, tal vez miles, no han tenido el valor de Miguel Ángel yse han muerto con todo su potencial dormido. El más usual de los epitafios reza así: “Fulano de tal nació, vivió y murió, y nunca supopara qué existió”.
Factorización II
Capítulo VI
ASPA DOBLE
forma general
Procedimiento
P = ax + bx y + cy + dx + ey + f(x;y)2n n m 2m n m
si le faltase un término, completar con el cerot1 t2 t3 t4 t5 t6
paso 1
Aspa simple a los términos : t ; t y t1 2 3
Aspa simple a los términos: t ; t y t3 5 6
los factores se adoptan horizontalmente
paso 2
paso 3
Aspa simple de comprobación: t ; t y t1 4 6
paso 4
ASPA DOBLE ESPECIAL
forma general
Procedimiento
si le faltase un término, completar con el cero
P = ax + bx + cx + dx + f(x)4n 3n 2n n
t1 t2 t3 t4 t5
paso 1
Descomponer los términos "t " y "t " de modoque el producto en aspa determine un
término cuadrático.
1 5
los factores se adoptan horizontalmente
paso 2
paso 3
paso 4
Descomponer el término que resulta dehacer la diferencia del término central y eltérmino cuadrático obtenido en el paso 1.
Si esta expresión fuese correcta, almultiplicar en aspa debe verificar lostérminos segundo (t ) y cuarto (t ).2 4
DIVISORES BINÓMICOS
se
Procedimiento
Utiliza para factorizar polinomios degrado mayor o igual a tres.
paso 1
Determinar el rango de aquellos posiblesvalores que anulan al polinomio.
paso 2
paso 3
En base a estos valores realize evaluacioneshasta conseguir algún valor que logre anularlo
: Todo valor que anula al polinomio genera un factor de 1er grado.Nota
Para conseguir el otro factor o factoresaplicaremos Ruffini cuántas veces
sea necesario.
si
Problemas resueltos
1. Factorizar: P(x;y) = 5x2 + 8xy + 3y2 + 2x - 3
Solución:
Completamos con 0 y; aplicamos luego aspa doble.
P(x;y) = 5x + 8xy + 3y + 2x + 0y - 32 2
5x
x
3y
y
- 3
1I IIIII
I. 5xy3xy8xy
+II. 3y
-3y 0y
+III. 5x
-3x 2x
+
Luego:P(x;y) = (5x + 3y - 3) (x + y + 1)
2. Factorizar: Q(x;y;z) = 2(x2 + y4 + z6) - 5y2 (x + z3) + 4xz3
Solución:
Efectuando:Q(x;y;z) = 2x2 + 2y4 + 2z6 - 5y2x - 5y2z3 + 4xz3
Ordenando convenientemente para aplicar el aspadoble:
Q(x;y;z) = 2x - 5xy + 2y + 4xz - 5y z + 2z2 2 4 3 2 3 6
2x
x
-y
-2y
2
2
2z
z
3
3I III II
luego:Q(x;y;z) = (2x - y2 + 2z3) (x - 2y2 + z3)
3. Factorizar: P(x) = x4 + 13x3 + 45x2 + 20x + 2
Solución:
* Paso 1: Descomponemos los extremos y obtenemosel resultante de las aspas.
P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)4 3 2
x2
x2
1
2Aspas = 3x2
* Paso 2: Obtenemos :
= 45x - 3x = 42x2 2 2
términocentral
Aspas
* Paso 3: Se debe verificar 13x3 y 20x mediante ladescomposición apropiada de:
42x2 7x
6x
P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)4 3 2
x2
x2
1
2
7x
6x
* Paso 4:P(x) = (x2 + 7x + 1) (x2 + 6x + 2)
4. Factorizar : P(x) = 16x4 - 8x3 - 16x2 - 22x - 15
Solución:
P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)4 3 2
4x2
4x2
3
-5Aspas = -8x2
= -16x - (-8x ) = -8x2 2 2 2x
-4x
P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)4 3 2
4x2
4x2
3
-5
2x
-4xFinalmente :
P(x) = (4x2 + 2x + 3) (4x2 - 4x - 5)
5. Factorizar: P(x) = x3 - x2 - 2x - 12
Solución:
* Paso 1:
Cálculo de los posibles valores que anulan alpolinomio: cómo el polinomio es mónico usaremoslos divisores de 12: ±(1; 2; 3; 6).
* Paso 2:
Evaluando:Para: x = 1 P(1) = 13 - 12 - 2(1) - 12 = -14 (No)Para: x = -1 P(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 2(-1) - 12
= -12 (No)Para: x = 2 P(2) = 23 - 22 - 2(2) - 12 = - 12 (No)Para: x = 3 P(3) = 33 - 32 - 2(3) - 12 = 0
P(3) = 0 (x - 3)es un factor del polinomio P(x)
* Paso 3:
Aplicando Ruffini :3x
P )x(
x = 3
1 -1 -2
3 6
1 2 4
-12
12
0
q(x) = x2 + 2x + 4Finalmente:
P(x) = (x - 3) (x2 + 2x + 4)
6. Factorizar: P(x) = 2x3 + x2 + x - 1
Solución:
* Paso 1:El polinomio no es mónico, usaremos opcionalmente:
divisores del término independientedivisores del coeficiente principal
2;11
* Paso 2:Evaluamos:
Para: x = 1 P(1) = 2(1)3 + 12 + 1 - 1 = 3 (No)Para: x = -1 P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 + (-1) - 1 = -3 (No)
Para: x =21 01
21
21
21
2P23
21
entonces
21
x es un factor
* Paso 3:
Utilizando Ruffini :
21
x
P )x(
x = 1 2
2 1 1
1 1
2 2 2
-1
1
0
Finalmente:
P(x) =
21-x (2x2+2x+2) =
21-2x
(2)(x2+x+1)
P(x) = (2x - 1) (x2 + x + 1)
Problemas para la clase
a) 5x+2y+3 b) 5x+y-3 c) 5x+2y-3d) x+y+1 e) x+2y+3
2. Factorizar:P(x;y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1
indicando uno de los factores primos
a) x-y-1 b) 3x-y+1 c) 3x+y-1d) x+y-1 e) 3x+y+1
3. Factorizar:P(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6
Indique el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
4. Factorizar:P(x) = x4 - 2x3 -10x2 + 5x + 12
a) (x2 + x - 3) (x - 4) (x + 1)b) (x2 + x - 3) (x + 4) (x - 1)c) (x2 + x + 3) (x - 4) (x + 1)d) (x2 + x + 3) (x - 4) (x - 1)e) (x2 + x - 3) (x - 4) (x - 1)
5. Factorizar:P(x) = x3 - 11x2 + 31x - 21
a) (x - 1) (x - 7) (x + 4)b) (x + 1) (x + 7) (x + 3)c) (x - 1)(x + 7)(x - 3)d) (x - 1)(x - 7)(x + 3)e) (x - 1)(x - 7)(x - 3)
6. Factorizar:P(x; y) = 15x2 + 11xy + 2y2 + 16x + 6y + 4
Indicar un factor primo.
a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2yd) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2
7. Factorizar:P(x; y) = 10x2 + 11xy - 6y2 - x - 11y - 3
Indicar un factor.
a) 5x - 2y - 3 b) 5x - 2y c) 2x + 3yd) 2x - 3y + 1 e) 2x - 3y
8. Indicar un factor de:P(x) = x4 + 7x3 + 14x2 + 7x + 1
a) x2 + 3x - 1 b) x2 + 3x + 1c) x2 - 4x d) x2 + 4x - 1e) x2 + 1
9. Indicar un factor de:C(x) = x3(x + 1) + 2x2 + 5(x - 3)
Bloque I
1. Factorizar:P(x;y) = 6x2+7xy-3y2+11x-11y-10
indicando la suma de sus factores primos
a) x2 - 5 b) x2 + 5 c) x2 - x - 3d) x2 - 3 e) x2 + 3
10.Indicar un factor de:P(x) = x3 + 5x + 6
a) x - 1 b) x + 1 c) x + 3d) x - 3 e) x + 2
Bloque II
1. Factorizar:P(x;y;z) = 2x2 - 2y2 - 3z2 - 3xy + 7yz - xz
indicando la suma de sus factores primos
a) 3x-y-2z b) 3x+y+2z c) x-y-2zd) x-y+z e) 3x-3y-2z
2. Factorizar:P(x) = x4 + 5x3 - 7x2 - 29x + 30
indicar la suma de todos los factores primos.
a) 4x + 3 b) 4x + 4 c) 4x + 5d) 4x + 6 e) 4x + 7
3. Factorizar:P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6
indicar la suma de coeficientes de un factor primo
a) -3 b) 0 c) 2d) -4 e) 1
4. Factorizar:P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24
indicar la suma de los términos independientes de losfactores primos
a) -7 b) -5 c) -3d) 4 e) 6
5. Factorizar:P(x) = x4 + 2x2 + 9
indicar un término de un factor primo
a) x b) 6x c) 7xd) x2 e) 9
6. Factorizar:H(x) = x3 - 7x + 6
Indicar un factor.
a) x - 3 b) x + 2 c) x - 1d) x + 1 e) x
7. Indicar un factor de:M(x) = 2x3 - 5x2 - 23x - 10
a) x - 2 b) x + 5 c) 2xd) x - 5 e) x + 3
8. Indicar un factor de:B(x) = x4 + 4x2 + 16
a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 2x c) x2 - 2xd) x2 - 2x + 3 e) x2 + 6x - 1
9. Indicar la suma de coeficientes de los factores primosde:
I(x) = x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10
a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10
10.Indicar un factor de:M(x) = 6x6 - 5x5 - 6x4 - 13x2 - 6
a) 2x3 - 2 b) 2x3 - 3x2 + 2c) 2x3 - 3x2 - 2 d) x3
e) x3 - 1
Bloque III
1. Factorizar:P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 + x2 - 8x - 4
indique V o F
I. El polinomio tiene 5 factores primos.II. El polinomio tiene 3 factores primosIII. La suma de sus factores primos es 3x + 2IV. Uno de los factores primos es (x + 2)2
a) FVFF b) VVVV c) FVVVd) FVVF e) VVVF
2. Factorizar:P(x;y) = 24x3y2+60x2y2-6xy4 + 6xy3 + 36xy2
a) 6xy2 (x + y + 1)(2x - y + 3)b) 6xy2 (x + y + 2)(2x - y + 3)c) 6xy2 (2x + y + 2)(x - y + 3)d) 6xy2 (2x + y - 2)(2x - y - 3)e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x - y + 3)
3. Factorizar:P(x) = x5 + x + 1
a) (x2 + x + 1) (x3 - x2 + 1)b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1)c) (x2 - x - 1) (x3 - x2 + 1)d) (x2 - x - 1) (x3 + x2 + 1)e) (x2 + x + 1) (x3 + x2 - 1)
4. Factorizar:P(x) = 12x3 + 8x2 - 3x - 2
a) (3x + 2)(2x - 1)(x - 2)b) (3x - 2)(2x - 1)(x - 1)
c) (3x + 2)(2x - 1)(x - 1)d) (3x + 2)(2x + 1)(2x - 1)e) (3x + 2)(2x + 1)(x - 1)
5. Factorizar:P(x) = x12 - 3x9 - 7x6 + 27x3 - 18
a) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3-5)(x3-3)b) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3+3)(x3-3)c) (x+1)(x2-x+1)(x3-2)(x3+3)(x3-3)d) (x-1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3-3)e) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3+4)(x3-3)
6. Indicar un factor de:P(x; y; z) = 6x2 - 20y2 - 14z2 + 7xy + 38yz - 17xz
a) 3x - 4y + 2z b) 3x - 4y + 2c) 3x + 2y d) 2x + 5ye) 2x + 5y - 7
7. Indicar un factor de:P(x; y; z) = 10x2 - yz + 3y2 - 17xy + 5xz
a) y - x b) 2x + 3y + z c) 5x - yd) 2x - 3y - z e) 5x + y
8. Dar un factor primo de:P(x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x + 1
a) x2 + x + 1 b) x3 + x + 1 c) x2 + x - 1d) x3 - x - 1 e) x2 - x + 1
9. Factorizar:F(n) = (n + 1)2[n2 + 2n + 9] + 5(n + 1)[n2 + 2n + 2] + 1indicar un factor primo.
a) n + 7 b) n + 8 c) n + 2d) n + 6 e) n + 10
10.Indicar la suma de términos independientes de susfactores primos:
P(n) = (n2 + n - 1)2 + (2n + 1)2
a) 3 b) -1 c) 4d) 2 e) -2
1. Factorizar:P(x;y) = 4x2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9
indicar un factor primo
a) 2x + 5y + 3 b) 2x + 5y + 4c) 2x + 5y + 5 d) 2x + 5y + 6e) 2x + 5y + 7
2. Factorizar:P(x;y) = 4x2 + 13xy + 10y2 + 18x + 27y + 18
indicar la suma de factores primos
a) 5x + 7y + 8 b) 5x + 4y + 8c) 5x + 7y + 9 d) 4x + 7y + 6e) 4x + 6y + 7
3. Factorizar:P(x) = x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18
a) (x2 + x + 3) (x2 - x + 6)b) (x2 + 5x + 6) (x2 - 2x + 6)c) (x2 - 5x + 3) (x2 - 2x + 6)d) (x2 + 5x - 3) (x2 + 2x - 6)e) (x2 + 5x + 3) (x2 + 2x + 6)
4. Factorizar:P(x) = x3 - x - 6
a) (x + 2) (x2 + 2x + 3)b) (x - 2) (x2 + 2x + 3)c) (x + 1) (x2 + 2x + 6)d) (x - 1) (x2 - 2x + 6)e) (x - 2) (x2 - 2x + 3)
5. Factorizar: P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6indicar un factor primo
a) x - 1 b) x + 2 c) x + 3d) x + 4 e) x + 6
Autoevaluación
Claves1. a 2. c 3. e4. b 5. a
CIENCIAS - PAMER4
AÑOÁLGEBRA
Ecuaciones de segundo grado
Capítulo VII
Fracaso y éxito
El fracaso tiene mil excusas, el éxito no requiere explicación. Cada vez que no logramos algo siempre tenemos unamagnífica disculpa; el mediocre busca instintivamente una justificación para su fracaso y, por supuesto, siempre juega elpapel de víctima.El triunfador es siempre una parte de la respuesta; el perdedor es siempre una parte del problema.El triunfador dice: “Podemos hacerlo”; el perdedor dice: “Ése no es mi problema”.El triunfador siempre tiene un programa; el perdedor siempre tiene una excusa.El triunfador ve siempre una respuesta para cualquier problema; el perdedor ve siempre un problema en toda respuesta.El triunfador ve una oportunidad cerca de cada obstáculo; el perdedor ve de dos a tres obstáculos cerca de cada oportunidad.El triunfador dice: “Quizá es difícil, pero es posible”; el perdedor dice: “Puede ser posible, pero es demasiado difícil”.
ECUACIÓN DE 2do GRADO
Forma Formación de la ecuación
ax + bx + c = 0 ; a 02 depende
suma
se resuelve por
Factorización Fórmula
AB = 0
A=0 B=0 x =1,2 2a
-b b -4ac 2
A = b - 4ac2
Discriminante
si
A > 0
Raíces realesdiferentes
A = 0
Raícesiguales
A < 0
Raícescomplejas
y conjugadas
A 0
Raícesreales
>
x x1 2 x = x1 2 x = m + nix = m - nim; n lR,
además: i = -1
1
2
producto
Diferencia
se debe tener
Suma :S = - b a
Producto :P = c a
donde
x - Sx + P = 02
OBSERVACIONES
Operaciones con raíces Ecuaciones cuadráticasequivalentes
suma de inversas si si si las ecuaciones
ax +bx+c = 0 ; a 0mx +nx+p=0 ; m 0
2
2
1x1
+1x2
=x + x
x x1 2
1 2
suma de cuadrados se cumplese cumple
tienen
las mismas raíceso soluciones
x + x = (x +x )-2x x1 2 1 2 1 22 2 2 x + x = 01 2
x x = 11 2
suma de cubos
x + x = (x +x )-3x x1 2 1 2 1 23 3 3 (x +x1 2)
suma, producto y diferencia
(x +x ) - (x -x )= 4x x1 2 1 2 1 22 2
se cumple
bn
am
cp= =
Teorema:(Raíces irracionales conjugadas)
Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a 0 de raíces “x1” “x2”; donde (a; b; c) Q (coeficientes racionales).
Si: x1 = m + n es una raíz irracional, entonces:
x2 = m - n es la otra raíz irracional conjugada.
C.S. = {m + n ; m - n }
Teorema:(Raíces complejas conjugadas)
Sea la ecuación : ax2 + bx + c = 0; a ¹ 0 de raíces “x1” “x2” ; donde (a; b; c) lR.
Si: x1 = m + ni es una raíz compleja, entonces:x2 = m - ni; es la otra raíz compleja conjugada.
C.S. = {m + ni ; m - ni} m; n lR.
Problemas resueltos
1. Resolver:2abx2 - (b2 + 6a2)x + 3ab = 0; ab 0
Solución:
Aplicando aspa simple:
2abx - (b + 6a )x + 3ab = 02 2 2
2ax
bx
-b
-3a
-b x2
-6a x2
-(b +6a )x2 2
Luego :(2ax - b) (bx - 3a) = 0
2ax - b = 0 bx - 3a = 0
x =a2b x =
ba3
C.S. =
ba3
;a2b
2. Calcular los valores de “m” que hacen que la ecuación:2x2 - mx + (m + 6) = 0 ; tenga raíces iguales.
Solución:
Las raíces de la ecuación serán iguales, si eldiscriminante:
= b2 - 4ac = 0 ......
De la ecuación :
6mcmb
2a
Reemplazando en ():(-m)2 - 4(2)(m+6) = 0 m2 - 8m - 48 = 0
m -12m +4
(m - 12)(m + 4) = 0
m - 12 = 0 m + 4 = 0Finalmente : m = 12 m = -4
3. Determinar la suma de los valores de “k” que hacenque la suma de las raíces de la ecuación:
x2 + kx + 2x - k2 + 4 = 0sea igual al producto de las mismas.
Solución:
Dando forma a la ecuación:1x2 + (k+2)x + (4 - k2) = 0
Según el problema:x1 + x2 = x1 x2
1k4
1)2k( 2
- k - 2 = 4 - k2
k2 - k - 6 = 0k - 3k +2
(k - 3) (k + 2) = 0
De donde: k - 3 = 0 k + 2 = 0k = 3 k = - 2
4. Determinar el valor de “p” en la ecuación:x2 - 6x + 4 + p = 0
sabiendo que la diferencia de sus raíces es 2.
Solución:
Por propiedad:a
xx 21
Dato del problema : x1 - x2 = 2
Reemplazando datos :
1)p4)(1(4)6(
22
2p41636
Elevando al cuadrado : 20 - 4p = 4 4p = 16 p = 4
5. Hallar el valor de “n” para que las raíces de la ecuación:
1n1n
2x5x3x2
sean simétricas.
Solución:
Multiplicando en aspa se tiene:(n + 1) (x2 + 3x) = (n - 1) (5x + 2)
Efectuando :(n+1)x2 + 3(n+1)x = 5(n - 1)x + 2(n - 1)
Transponiendo y agrupando:(n + 1)x2 + [3(n + 1) - 5(n - 1)]x - 2(n - 1) = 0
(n + 1)x2 + (-2n + 8) x - 2 (n - 1) = 0Las raíces de la ecuación serán simétricas, si:x1 + x2 = 0
01n
)8n2(
-2n + 8 = 0 2n = 8Finalmente: n = 4
6. Forma la ecuación de 2do grado de coeficientes reales, siuna de sus raíces es: x1=2 - 5i
Solución:
Por teorema de raíces complejas conjugadas, si:x1 = 2 - 5i entonces la otra raíz esx2 = 2 + 5iPara formar la ecuación se necesita:
)i52)(i52(xxP4i52i52xxS
21
21
= 22 - (5i)2 = 4 - 25i2
pero: 1i1i 2 Reemplazando:
P = x1x2 = 4 - 25 (-1) = 29Luego la ecuación es: x2 - Sx + P = 0Es decir: x2 - 4x + 29 = 0
Problemas para la clase
Bloque I
1. Hallar las raíces de la ecuación:3x2 - x - 10
a)
2;
35
b)
5;
23
c)
2;35
d)
5;23
e) {5; -2}
2. Hallar una raíz de la ecuación:2x2 - 3x - 3 = 0
a)3
322 b)
43313
c)2
323
d)4
333 e) 3
3. Siendo: “x1” “x2” las raíces de la ecuación:2x2 - 5x + 1 = 0
Hallar :21 x
1x1
E
a) 2 b) 3 c) 6d) 4 e) 5
4. Siendo “” y “” raíces de la ecuación:2x2 - 6x + 1 = 0
Hallar :M
a) 16 b) 15 c) 14d) 13 e) 12
5. Calcular “m”, si una raíz de la ecuación:x2 - mx + 8 = 0, es: x = 2
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
6. Hallar una raíz de:6x2 + x - 12 = 0
a) 23
b) 34
c) - 34
d) -4 e) 3
7. Resolver:
x3x184-
x5
3xx2
2
a) 21
b) 23
c) - 21
d) 2 e) 1
8. Resolver:x2 + 4x + 2 = 0
Indicar una raíz.
a) - 2 + 2 b) 2 - 2 c) 2 + 2
d) 2 - 2 e) 2
9. Hallar una raíz de:x2 + 6x + 7 = 0
a) -3 + 2 b) 3 + 2 c) 3 - 2
d) 3 e) 3 + 1
10.Resolver:12x2 + 60x + 75 = 0
a) 25
b) 52
c) - 25
d) 21
e) 5
Bloque II
1. Hallar “a” (a>0), si la ecuación:9x2 - (a + 2)x + 1 = 0
presenta raíces iguales.
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 10
2. Hallar “m”, si la ecuación:x2 - (m+7)x + 25 = 0
presenta raíz doble (m>0)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Hallar “m”, si la ecuación:3x2 - (3m - 600)x - 1 = 0
posee raíces simétricas.
a) 0 b) 50 c) 100d) 150 e) 200
4. Hallar “k”, si la ecuación:(2k - 1)x2 - 7x + (k+9) = 0
posee raíces recíprocas
a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11
5. Dada las ecuaciones:(n-1)x2 - 3(n+5)x + 10 = 0 ...... (I)(m-2)x2 - (m+7)x + 2(9m+1) = 0 ...... (II)
La suma de raíces de la ecuación (I) es 12 y el productode raíces de la ecuación (II) es 20. Calcular “mn”
a) 63 b) 64 c) 65d) 66 e) 67
6. Si x1; x2 son raíces de:x(x - 6) = -3
obtener:T = (1 + x1)(1 + x2)
a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
7. La suma de las inversas de las raíces de la ecuación:(a - 2 )x
2 - 2ax - (3 - 2a) = 0es 10/7. Calcular “a”.
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 6
8. Si:(m - 1)x2 - 2mx + m + 2 = 0
tiene raíz doble, calcular el valor de:(m2 + m + 1)
a) 3 b) 13 c) 21d) 7 e) 31
9. Hallar el valor de “n” si:x2 - 2(n - 3)x + 4n = 0
tiene única solución.
a) 3 b) 7 c) 9d) 1 e) -3
10.Hallar una raíz:
9-x36
3x5
3-xx2
2
a) 217
b) 27
c) 3
d) - 217
e) -3
Bloque III
1. Formar la ecuación de 2do grado de coeficientes
racionales, si una de sus raíces es: x1 = 7 - 2
a) x2 - 14x + 49 = 0 b) x2 - 14x + 45 = 0c) x2 - 14x + 47 = 0 d) x2 + 14x - 47 = 0e) x2 - 14x - 47 = 0
2. Para que una de las raíces de la ecuación:ax2 + bx + c = 0
sea el triple de la otra, la relación de coeficientes debeser:
a) 16b2 = 4ac b) 16b2 = 3ac) 3b2 = 16a d) 3b2 = 16ace) 9b2 = 16ac
3. Indique (V) o (F):
I. En: abx2 - (a2 - b2)x = ab, una raíz es -ab
II. Si: ...222x entonces: x = 2 .
III. La mayor raíz de (x-4)2 + (x-5)2 = (x - 3)2 , es: x = 8
a) VFF b) VVV c) FFVd) VFV e) VVF
4. Formar la ecuación de 2do grado cuyas raíces son:
1a
a;
1a
a
a) (a - 1)x2 - 2ax + a = 0b) (a - 1)x2 + 2ax + a = 0c) (a + 1)x2 - 2ax + a = 0d) (a - 1)x2 - ax + a = 0e) x2 + ax + 1 = 0
5. Dada la ecuación:2x2 - 12x + (p + 2) = 0
Calcular “p”, para que la diferencia de sus raíces sea 2.
a) -14 b) -7 c) -1d) 1 e) 14
6. Hallar una raíz:
8xx8x164a-1
x)-(a-)ax-1( 4322
22
a) 5 b) -3 c) 2
d) 4 e) - 35
7. Para qué valor de m (m 0) las raíces de:(m + 4)x2 - 3mx + m - 1 = 0
difieren de 1.
a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11
8. Calcule “a” ZZ para que:ax2 - (a + 3)x + 5 - a = 0
tenga una sola raíz.
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
9. Si:(b - 1)x2 + 2bx + c = 0
tiene raíces iguales, hallar el mayor valor de “c”, sabiendoque “b” es único.
a) 0 b) 2 c) 3d) 4 e) 1
10.En:2x2 - (m - 1)x + (m + 1) = 0
¿qué valor positivo debe darse a “m” para que las raícesdifieran en uno?
a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11
1. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10.(m - 2)x2 - (5m + 5) x + 8 = 0
a) 0 b) 1 c) 5d) 15 e) 25
2. Hallar “k” (k<0), si la ecuación:9x2 - kx + 4 = 0
posee raíces iguales.
a) 12 b) 14 c) 16d) -16 e) -12
3. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación son recíprocas:(m - 3)x2 - (m + 2)x + 3m - 15 = 0
a) 1 b) 2 c) 6d) 7 e) 8
4. Hallar “n”, si una raíz de la ecuación:x2 + (n + 6)x + 6n = 0, es: x = 3
a) -3 b) -2 c) 1d) 2 e) 3
5. Formar la ecuación de 2do grado cuyas raíces son:
34x
34x
2
1
a) x
2 - 8x + 13 = 0 b) x2 + 8x + 13 = 0
c) x2 - 2 3 x + 16 = 0 d) x2 - 8x + 13 = 0e) x2 - 8x + 3 = 0
Autoevaluación
Claves1. c 2. e 3. c4. a 5. a
CIENCIAS - PAMER4
AÑOÁLGEBRA
Una demostración imposible
2 = 1
Paso 1:Partimos de la igualdad : x = y
Paso 2:Multiplicando por “x” : x2 = xy
Paso 3:Restando y2 : x2 - y2 = xy - y2
Paso 4:Descomponiendo en factores:
(x + y)(x - y) = y (x - y)
Paso 5:Dividimos por “x - y” : x + y = y
Paso 6:Como: x = y, resulta : y + y = y
2y = y
Paso 7:Dividimos por “y” : 2 = 1
Nota:Alguno de los pasos dados es incorrecto. La regla, que seha utilizado mal en la demostración esta relacionada con ladivisión. ¿Cuál es?.
Repaso
Capítulo VIII
Problemas para la clase
1. Hallar el número de factores primos del polinomio:P(x;y) = 13x10y5 - 26x7y8 + 39x11y9
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Dar un factor primo de:P(x) = (x-3)(x-2)(x-1)+(x-1)(x-2)-(x-1)
a) x - 3 b) x + 3 c) x + 2d) x - 2 e) x + 5
3. Dar la suma de factores primos de:P(a;b;c;d) = a2 + 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2
a) a + b b) 2a + 2b c) 2c + 2dd) c + d e) 3a + 3b
4. Factorizar:F(x;y) = x2(x - y)2 - 14xy2(x - y) + 24y4
dar un factor primo
a) x + 2y b) x - 3y c) x - 4yd) x - y e) x + 8y
5. Factorizar:F(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6
a) (x - 1)(x + 2)(x - 3) b) (x + 1)(x - 2)(x + 3)c) (x - 1)(x - 2)(x - 3) d) (x + 1)(x + 2)(x + 3)e) (x + 1)(x + 2)(x + 4)
6. Resolver:16x-[3x - (6-9x)] = 30x+[-(3x+2) - (x+3)]
a) 6 b)43
c)21
d)31
e)32
7. Resolver:
82x
1x
2x7x3
a) -3 b) 1 c) 2d) 5 e) -4
8. Si las raíces de la ecuación:x2 + px + q = 0
son “p” y “q”, indicar una de dichas raíces.
a) 4 b) -2 c) 3d) -3 e) 2
9. Formar la ecuación de 2do grado, si sus raíces son:
1mmx
1mmx
22
21
a) 2x2 - mx + 2 = 0 b) 2x2 - 4mx + 2 = 0c) 2x2 - 2mx + 1 = 0 d) 2x2 - 2mx + 2 = 0e) 2x2 - mx + 1 = 0
10.Dada la ecuación:(2m + 2)x2 + 4x - 4mx + m - 2 = 0
Hallar la suma de raíces, sabiendo que estas soninversas.
a)103
b)31
c) 3
d)3
10e) 1
11.Calcular “m” en la ecuación:3x2 - 7x + m = 0
Si una raíz es seis veces la otra
a) 3 b) -1 c) -2d) 4 e) 2
12.Calcular (x1 - x2)2, si “x1” “x2” son raíces de laecuación:
x2 + 7x + 5 = 0
a) 19 b) 29 c) 39d) 18 e) 24
13.Hallar “m”, si las raíces de la ecuación son iguales.x2 - 2 (1 + 3m)x + 7 (3 + 2m) = 0; (m>0)
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
14.Relacione correctamente, sea la ecuación:cx2 + ax + b = 0; c 0
donde “x1” y “x2” son sus raíces.
1. Raíces reales iguales. ( )2. x1 + x2 ( )3. Discriminante ( )4. x2 = 16 ( )5. x1 - x2 ( )6. Raíces complejas conjugadas ( )7. x2 = 10x ( )8. x1 x2 ( )9. 2x2 - 5x + 2 = 0 ( )10.Raíces reales diferentes ( )11.El polinomio:
P(x) = x3 - x ; tiene: ( )12.La ecuación :
51
1-x4
51x2
1-x4 es: ( )
13.La ecuación: ( )x - (2x + 1) = {8 - (3x + 3)} + 2x-6 es:
14.El polinomio:H(x) = 2(x - 1)4 (x + 2)7 tiene: ( )
15.Unidad imaginaria. ( )
Relacionar:
a)cb
b) = a2 - 4cbc) x = 0 x = 10d) Raíces recíprocase) = 0
f) -ca
g) > 0h) x = 4 x = -4i) < 0
j)|c|cb4-a2
k) Dos factores primosl) Compatible indeterminadoll) incompatible
m) i = (0; 1) = 1n) tres factores primos
15.Resolver:
)ba()ba(a2
x)ba()ba(
x)b-a(22222
a) 22
22
ba
ba
b)
ab2ba 22
c)ab
ba 22
d)baba 22
e) 2
22
)ba(
ba
1. Resolver:9x - (5x + 1) - {2 + 8x - (7x - 5) + 9x} = 0
a) 3 b) -41
c) -34
d) -3 e)32
2. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación:(m - 3)x2 - (m + 2)x + 3m - 15 = 0
son recíprocas.
a) 1 b) 2 c) 6d) 7 e) 8
Autoevaluación3. Formar la ecuación de 2do grado, sabiendo que sus
raíces son:
i32
31
x
i32
31
x
2
1
; donde: i2 = -1
a) 9x2 - 6x + 5 = 0 b) 9x2 + 6x - 5 = 0c) 9x2 + 2x + 5 = 0 d) 9x2 + 6x + 5 = 0e) 9x2 - 6x - 5 = 0
4. Encontrar el valor de “p”, si una raíz es el doble de laotra en la ecuación:
x2 + 6x + p = 0
a) 1 b) 6 c) -6d) -8 e) 8
5. Hallar “k”, si las raíces de la ecuación son iguales:x2 - 6x + k = 0
a) 1 b) -9 c) 9d) 4 e) -4
Claves1. c 2. c 3. e4. e 5. c