i bimestre 2013

Captulo Pg.

I. Conjuntos numricos ........................................................................................................ 03

II. Adicin y Sustraccin de nmeros naturales ....................................................................... 09

III. Multiplicacin y Divisin de nmeros naturales ................................................................... 15

IV. Conjunto de los nmeros enteros (ZZ ) ................................................................................ 21

V. Adicin y Sustraccin de nmeros enteros .......................................................................... 27

VI. Multiplicacin y Divisin de nmeros enteros ....................................................................... 31

VII. Potenciacin y Radicacin de nmeros enteros ................................................................... 37

VIII. Repaso ........................................................................................................................... 43

Aritmetica

NDICE

B lackames

CIENCIAS - PAMER1

AOARITMETICA

Conjuntos numricos

Captulo I

La nocin de nmero es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vidadiaria. Por ejemplo, usamos nmeros para contar una determinada cantidad de elementos (existen siete notas musicales,cinco continentes, etc.), para establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes del ao, el cuarto hijo, etc.), paraestablecer medidas (3,2 metros; 5,7 kg; 4 C; etc.), etc.

CONJUNTO DE LOSNMEROS NATURALES

( lN )

lN = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;.....}

Los puntos sucesivos significan: y as sucesivamente

El conjunto de los Nmeros Naturales surgi de la necesidadde contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desdesus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

Tiene un nmero infinito de elementos.

Cada elemento tiene un sucesor y todos, exceptoel 0, un antecesor.

Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de lasiguiente manera:

10835 0

Tambin podemos verlos como una serie de puntosalineados y equidistantes

0 1 2 3 4 5 6 7 ...................

Operemos con estos nmeros:

3 + 1 = 44 - 3 = 13 - 4 = ?

Como llegamos a una operacin que no podemos resolver.Es necesario extender este conjunto.

CONJUNTO DE LOSNMEROS ENTEROS

( ZZ )

ZZ = { .....; 4; 3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;.....}

El conjunto de los Nmeros Enteros surge de la necesidadde dar solucin general a la sustraccin, pues cuando elsustraendo es mayor que el minuendo, esta sustraccin notiene solucin en los Conjuntos Naturales (por ejemplo:5 20 = ?).

Debido a esto, la recta numrica se extiende hacia laizquierda, de modo que a cada punto que representa unnmero natural le corresponda un punto simtrico,situado a la izquierda del cero.

Punto simtrico es aquel que est ubicado a igual distanciadel cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de l).

En 1642 y a los 19 aos, Blaise Pascal construy una sencillamquina aritmtica para su padre, porque tena que contardinero en el trabajo. La mquina se serva de engranajesmecnicos para sumar (cifras de hasta ocho dgitos) y restarautomticamente. Unos aos despus el gran matemticoGottfried Leibniz perfeccion el invento de Pascal y obtuvoun nuevo modelo que poda sumar, restar, multiplicar, dividir ycalcular races cuadradas. ste fue el punto de partida paralas autnticas calculadoras, y finalmente para lascomputadoras.


-3

-870

-63

1 38

Tambin podemos verlos de la siguiente manera:

... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...


3 - 4 = -14 x 3 = 126 : 2 = 33 : 2 = ?

Como llegamos a una operacin que no podemos resolver.Es necesario extender este conjunto.

CONJUNTO DE LOSNMEROS RACIONALES

( Q0 )

Un nmero es racional si y slo si puede expresarse comodivisin de dos nmeros enteros, cuyo divisor es distintode cero. Esta divisin se representa como fraccin, dondeel dividendo recibe el nombre de numerador y el divisor dedenominador.

Q0 = ba

/ a ZZ ^ b ZZ ^ b 0

El conjunto de los Nmeros Racionales se cre debido a laslimitaciones de clculo que se presentaban en el conjuntode los Nmeros Naturales y Nmeros Enteros.

Por ejemplo, slo se puede dividir en el conjunto de losNmeros Enteros si y slo si el dividendo es mltiplo,distinto de cero, del divisor. Para solucionar estadificultad, se cre este conjunto, el cual est formado portodos los nmeros de la forma a

b.


-31

0-9 -6

86 32

-38

38

75

11001

Tambin los podemos ver de la siguiente manera:

0 1

0 1 21232


4)2(:porque;24 2

?2

Obviamente necesitamos crear un conjunto que agrupe estetipo de nmeros.

CONJUNTO DE LOSNMEROS IRRACIONALES

( II )

Los Nmeros Irracionales son los que no se pueden expresarcomo racionales, es decir, que su parte decimal tengainfinitas cifras sin presentar periodo alguno.

Algunos ejemplos: = 3,14159265358979323846...

2 = 1,414213562...

5 = -2,23606797...

Este conjunto surgi de la necesidad de reunir a ciertosnmeros que no pertenecen a los conjuntos anteriores;entre ellos se pueden citar a las races inexactas, elnmero Pi, etc. A l pertenecen todos los nmerosdecimales infinitos puros, es decir aquellos nmeros queno pueden transformarse en una fraccin. No debenconfundirse con los nmeros racionales, porque stos sonnmeros decimales finitos, infinitos peridicos e infinitos

semiperidicos (o peridicos mixtos) que s puedentransformarse en una fraccin.


II

6 53

- 3

5

3 22

Podemos graficar de la siguiente manera:

3 52 3

CONJUNTO DE LOSNMEROS REALES

( lR )

El conjunto formado por los racionales y los irracionales sellama conjunto de nmeros reales, y se designa por lR .

lR = { 0Q II }


NZ

Q

0

-31

-6

-9

6 832

6 5

- 3

5 3 22

75

38

-38

-11001

R

II

Los nmeros reales llenan por completo la recta numrica,por eso se la llama Recta Real.

Donde a cada punto de la recta le corresponde un nmeroreal y, a cada nmero real, le corresponde un punto de larecta.

I. Ahora vamos a practicar ...

Escribir S o NO segn pertenezca o no el nmero dado alos conjuntos lN, ZZ , 0Q o II .

II. Completa teniendo en cuenta el nombre delprimer conjunto al que pertenece cada uno delos siguientes nmeros:

1. 2 es un nmero: ..............................................

2. -36 es un nmero: ...........................................

3. 3 es un nmero: ............................................

4. 21 es un nmero: ..........................................

5. +27 es un nmero: ...........................................

6. 7 y -3 son nmeros: ..........................................

7. y 4 son nmeros: .....................................

Problemas para la clase

6

52

0,4

+7

-1

-9

+11

5

3

2,53

1,42

6

3

43

71

92

8. -24 y 3 son nmeros: ....................................

9. -6,34 es un nmero: ........................................

10. 43

y 5,2 son nmeros: ......................................

11. 1,2 y 6,7 son nmeros: ..................................

12. 7 y 4 2 son nmeros: .................................

13. -3; 5 y -2 son nmeros: ..................................

14. 75

es un nmero: ..........................................

15. 73

; 1; -2 y 0,24 son nmeros: .........................

16. 3 2 es un nmero: ...........................................

17. 5; 23 ; 2 son nmeros: .............................

18. ; 3 ; 3 5 son nmeros: .............................

19. 2; 45

; 2,4 son nmeros: ................................

III. Resolver

1. 5 es un nmero:

a) racional b) real y naturalc) irracional d) naturale) entero

2. 0,3333... es un nmero:

a) racional y decimal b) irracionalc) natural d) enteroe) real

3. 4 + 3 da como resultado:

a) un nmero natural b) un nmero enteroc) un nmero racional d) un nmero irracionale) todas son correctas

4. Sealar las afirmaciones correctas:

I. QI RIQ II = IR II. IN ZN ZZ

III. ZZ QZ QI IV. QI IQ II IQ

a) Slo I b) Slo II c) Slo IIId) II y III e) Todas

5. 763

es un nmero:

a) racional y decimal b) decimalc) entero y natural d) irracionale) real e irracional

6. Cul de los siguientes grficos es correcto?

I.

lN ZZ

II.

lN Q

III.

Z QZIV. I

lRQ I

a) Slo I b) Slo II c) Slo IIId) Slo IV e) I y IV

7. Cul de los siguientes enunciados es falso?

a) 24 es un nmero entero

b) -0,432176 es un nmero racional

c) 3,7 es un nmero racional

d) 5 es un nmero real

e) es un nmero natural

8. Cul de los siguientes enunciados es falso?

a) 23

es una fraccin

b) 0,3492 es un nmero irracional

c) 5 es un nmero real

d) 1+ 2 es un nmero irracional

e) 241 es un nmero natural

9. Cul de los siguientes enunciados es verdadero?

a)73

es un nmero naturalb) 3 es un nmero racionalc) 31,

es un irracional

d) 4,3 es un natural

e) es un irracional

10. Sealar las afirmaciones incorrectas:

I. 2 es irracional porque lleva raz.

II. ZZ lN = lN

III. Q0 II= lR

)

a) Slo I b) Slo II c) Slo IIId) I y II e) II y III

11. Sealar la afirmacin correcta:

I. 11 es irracional porque tiene raz.

II. es un nmero no racional.

III. 36 es un nmero irracional.

a) Slo I b) Slo II c) Slo IIId) I y II e) I y III

12. Cul de los siguientes enunciados es verdadero?

a)53

es un nmero no fraccionario.

b) 3 es un nmero racional.

c) 0,349 es un nmero racional.

d) 4 es irracional.

e) 4; 5 y -6 son nmeros naturales.

13. 25 es un nmero:

a) racional e irracionalb) decimalc) irracionald) natural y enteroe) real y decimal

14. Sealar la afirmacin correcta:

I. 3 lR II. 24;5; lN

III.23 ;

52 y 0,3 IQ IV. 0; 5; -3 y -2 ZZ

a) I y II b) I y IV c) Slo IIId) Slo II e) I, III y IV

15. Cuntas de las afirmaciones son correctas?

I. 4,3 Q0 II. 2 y 3 2 Q0 y lRIII. 3,4 y -5 lN IV. 0 lN

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

16. Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

I. 2 y -3 son nmeros enteros

II. 3 y 1 son irracionales

III. -1,4 y 2 son racionales

IV. 0Q e II estn contenidos en los enteros

a) FFVV b) VVFF c) VFVFd) FFFF e) VFFV


I. 5; 2 y 2 son enteros y reales

II. 36 es un nmero irracional

III. 2 es natural y entero

IV.51- y

32;

23 son racionales

a) FFVV b) FVFV c) FVVVd) VFVV e) VVVV

18.Indicar verdadero (V) o falso (F), segn corresponda:

I. La suma de dos nmeros irracionales siempre es

otro irracional. ......................................... ( )

II. El producto de dos nmeros irracionales puede ser

un nmero entero. ................................... ( )

III. La expresin 16 es irracional. .............. ( )

a) VVV b) VFV c) FVFd) VFF e) FVV

19.El rea de un crculo es un nmero:

a) natural b) enteroc) racional d) irracionale) todas las anteriores

20.Si el lado de un cuadrado es 3 , entonces su rea es:

a) irracional b) racional y decimalc) racional y entera d) enterae) natural

1. Indicar verdadero o falso segn corresponda:

a) 721

es un nmero racional ...................... ( )

b) 8 es un nmero racional ...................... ( )

c) 7 y -7 son nmeros naturales ................... ( )

d) 17 y 3 son nmeros irracionales ............ ( )

e) 436 y 4 son nmeros enteros. .............. ( )

2. Si agregamos una decena al nmero 2 , el resultadoser un nmero:

a) natural b) enteroc) racional d) irracionale) todas las anteriores

Autoevaluacin

3. En ZZ , cul es el antecesor del nmero -13?

a) -14 b) -12 c) 13d) -31 e) 12

4. 49 , es un nmero:

a) racional b) irracionalc) decimal d) entero

5. Cul de los siguientes nmeros est ubicado ms haciala izquierda en la recta numrica?

a) -15 b) -10 c) 0d) -18 e) 19

LA BIBLIA EN NMEROS

LaBibl ia

co nti ene3 566 480

letras; pala-bras, 773 693;

31 102 versculos;1 189 captulos y

66 l ibros. El captuloms largo es e l Sa lmo

119, y el ms corto es elSalmo 117. El versculo 8

del Salmo 118 est en el mediode la Biblia. El nombre ms largose encuentra en e l cap tulo 8 del

libro de Isaas. La palabra y est46 277 veces y la palabra Seor est1855 veces. El captulo 37 del libro de

Isaas y el 19 del 2 de Reyes son parecidos.El versculo ms largo es el 9 del cap-

tulo 8 de Esther, y el ms corto esten xodo 20:13. En el versculo 21del captulo 7 de Esdras est casi

todo el alfabeto. La pieza msfina de lectura es el captulo

26 del libro de los Hechos.El nombre de Dios no

se menciona ene l

l ibrode Esther.

La Biblia contienesabidura, intel igencia,

santidad, y, sobre todo, Paz y Amor

CIENCIAS - PAMER1

AOARITMETICA

Adicin y Sustraccin denmeros naturales

Captulo II

ADICIN DE NMEROS NATURALES

Observa: tengo nueve fresas:

Mi mam me regala dos fresas ms

Ahora tengo once fresas:

A la accin de agrupar, agregar o aadir le llamamosADICIN, pero, sabes cmo represento numricamenteesta adicin?

0119 +12 11

Definicin de AdicinEs una operacin binaria en la que se hace corresponder acada par de nmeros a, b lN otro nmero naturalllamado suma y denotado por a + b.

{a; b} lN (a + b) lN

Ejemplos:

1. 15 + 7 = 22 Operacin: AdicinOperador: +Sumandos: 15 y 7Suma: 22

2. 27 + 12 = 39 Operacin: AdicinOperador: +Sumandos: 27 y 12Suma: 39

Cuando se resuelve una adicin hay que tener presente:

Los nmeros que se suman o sea, los SUMANDOS, debenestr colocados correctamente, es decir: UNIDADESdebajo de UNIDADES, DECENAS debajo de DECENAS,CENTENAS debajo de CENTENAS, ...

Los objetos que se suman deben ser de una mismaespecie, no se puede sumar naranjas con carros, perroscon muecas, hombres con pias.

ELEMENTOS DE UNA ADICIN

Dentro de la adicin encuentro varios elementos:

A los trminos que se van a sumar o se van a agregar,los llamaremos SUMANDOS.

Al resultado de la adicin, se le llama SUMA.

Y el signo sealado por una cruz pequea se le da elnombre de SIGNO MS.

PROPIEDADES DE LA ADICIN DENMEROS NATURALES

La adicin de nmeros naturales cumplen con las siguientespropiedades:

1. Propiedad de Clausura

"Si sumamos dos o ms nmeros naturales el resultadoser tambin otro nmero natural".

Es decir:

Si: a lN y b lN (a + b) lN

ACERTIJO

NUMRICO

Qu suma es mayor?

I II

11 21 2 31 2 3 41 2 3 4 5 + 1 +

1 21 2 3

1 2 3 41 2 3 4 5

Ejemplo:5 lN y 9 lN 5 + 9 = 14 lN

2. Propiedad conmutativa (conmutar = cambiar)Si cambiamos el orden de los sumandos, la suma no sealtera.

Es decir:

Si: a lN b lN a + b = b + a

Ejemplo: 5 + 9 = 9 + 5 14 = 14

3. Propiedad asociativa (asociar = agrupar)"La forma como agrupamos los sumandos, NO altera lasuma".

Es decir:

Si: a; b; c lN (a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo: (5 + 9) + 12 = 5 + (9 + 12)14 + 12 = 5 + 21

26 = 26

4. Propiedad del elemento neutro"El elemento NEUTRO de la adicin es el CERO, pues sisumamos cualquier nmero natural con el CERO, elresultado sigue siendo el mismo nmero natural".

Es decir:

Si: a lN a + 0 = 0 + a = a

Ejemplo:5 + 0 = 0 + 5 = 5

SUSTRACCIN DE NMEROSNATURALES

Observa:

Yo tengo once balones:

Pero perd cinco balones:

Cuntos balones me quedaron?

A esa accin de sacar, quitar o de extraer le llamamosSUSTRACCIN.

Y sabes cmo represento numricamente la sustraccin?,as:

11 - 56

Cuando se resuelve una SUSTRACCIN hay que tenerpresente:

Los nmeros que se restan seben estar colocadoscorrectamente, es decir, UNIDADES debajo de lasUNIDADES, DECENAS debajo de las DECENAS,CENTENAS debajo de las CENTENAS.

Siempre se deben restar objetos de una misma especie;naranjas a naranjas, perros a perros, muecas amuecas, carros a carros, hombres a hombres, pias apias. Esto quiere decir, objetos de una misma clase,de un mismo gnero.

El MINUENDO siempre tiene que ser mayor que elSUSTRAENDO. Es decir, la primera cantidad que apareceen la resta debe ser ms grande que la segundacantidad, ya que es imposible quitarle a un nmeromenor uno mayor, verdad?

ELEMENTOS DE UNA SUSTRACCIN

En la sustraccin tenemos tres elementos:

Al mayor de los dos nmeros que se restan le llamamosMINUENDO, y representa la totalidad de objetos que setiene al cual se le va a quitar una cantidad.

El nmero menor que aparece en la sustraccin se leda el nombre de SUSTRAENDO.

Al resultado de la sustraccin, se le llama DIFERENCIA.

Y el signo sealado por una rayita pequea se le da elnombre de SIGNO MENOS.

En nuestro ejemplo:

11 - 5 = 6Minuendo

Sustraendo

Diferencia

Otros ejemplos:

* Al 24 restarle 16: 24 - 16 = 8* Restar 20 de 40, es: 40 - 20 = 20* 15 excede a 8 en: 15 - 8 = 7* 9 es excedido por 13 en: 13 - 9 = 4

PROPIEDAD"La suma de los tres trminos de una sustraccines igual al doble del minuendo".

M + S + D = 2M

Ejemplo de aplicacin:La suma de los tres trminos de una sustraccin esigual a 2 548. Hallar el mayor de los tres trminos.

Solucin:Sabemos que el mayor de los trminos de unasustraccin es el MINUENDO.

Dato del problema: M + S + D = 2 5482M = 2 548

De donde: M = 1 274

COMPLEMENTO ARITMTICO(CA)

Es la cantidad de unidades que le falta a un nmero paraser el menor nmero de orden inmediato superior.

CA (3) = 10 - 3 = 7

CA (9) = 10 - 9 = 1

CA (23) = 100 - 23 = 77

CA (47) = 100 - 47 = 53

CA (642) = 1 000 - 642= 358

ceros""cifras8cifras8

9806548702034512000000100020)345CA(12

Mtodo prcticoTomando de derecha a izquierda la primera cifra significativadel nmero al que se le est calculando su complementoaritmtico, se le resta de 10 y a las dems de 9.

Ejemplo:

a. CA (2 340) = 7 660(9-2) (9-3)(10-4)0

9 9 10

b.9 9 9 9 10

CA (90 235) = 9 765

(9-9)(9-0) (9-2)(9-3)(10-5)

Calcular el CA de los siguientes nmeros:

1. CA (22) = ____________________

2. CA (36) = ____________________

3. CA (143) = ____________________

4. CA (2 236) = ____________________

5. CA (23 492) = ____________________

6. CA (53 216) = ____________________

7. CA (102 403) = ____________________

8. CA (492 760 020) = ____________________

Bloque I

I. Completar el siguiente cuadro escribindo la propiedadrespectiva.

II. Resuelve en tu cuaderno:

1. 5 + 55 + 555 + 5555 + ... + 5555555

2. 3 + 33 + 333 + ... + 333333

3. 7 + 78 + 788 + 7888 + ... +7888884. Cul es la cifra de millares del resultado?

sumandos9

...222222

5. Indicar las dos ltimas cifras de la siguiente suma:

sumandos10

...6666777667

Expresin en lN Propiedad

5 + 0 = 5

7 + 9 = 9 + 7

7 +(1 + 5) = (7 + 1) + 5

8 + 3 = 11

9 + 0 = 9

9 + 7 = 16

2 + 0 = 2

12 + 10 = 10 + 12

12 + 5 = 17

7 + 1 = 1 + 7

538 + 0 = 538


6. Restar 137 de 2 498.

7. Restar 24 de 1 983.

8. De 493 restar 241.

9. Restar:(6 + 7 + 8 + 9) de (11 + 9 + 92).

10.Calcular el complemento aritmtico de los siguientesnmeros:

a) 3 b) 71

c) 918 d) 9991

e) 57 265 f) 571 983

Bloque II

I. Cambie las interrogaciones por nmeros que completencorrectamente las operaciones.

a) ??02 8?+ 5040 ?15?4

b) 3538 3?556? 9?0+ ?22?14

75?341

II. Cambie las letras por dgitos que completencorrectamente las operaciones. Si una letra se repiteen una suma debe cambiarse siempre por el mismodgito en esa operacin.

a) 996 CAB+ 8B1 2B92

b) T 2 T K T T+ K 4 T 7 9 9

III. Cambie las interrogaciones por nmeros que completencorrectamente las operaciones.

a) 68?6- ??07

5639

b) ??9?- 10?5 687

VI. Cambie las letras por dgitos que completencorrectamente las operaciones. Si una letra se repiteen una resta debe cambiarse siempre por el mismodgito en esa operacin.

a) 2RR0- 13RR 119R

b) HHHD- HDD 1990

DA LITROSDE GASOLINALITROS

DE ACEITEdomingo

lunesmartes

mircolesjuevesviernessbado

5481 680

9871 2301 8562 5893 202

207876

1 245560876345453

Bloque III

1. En una fbrica de vidrio soplado, todo el proceso deconfeccin de una pieza toma 203 horas. Si la primeraparte hasta antes del enfriado, toma 17 horas, cuntotiempo lleva el enfriado?

a) 196 horas b) 183 c) 187d) 186 e) 188

2. En la misma fbrica, la temperatura del horno de cocidoes de 1 230 C. Si al finalizar el proceso de enfriado laspiezas estn a 45 C, cuntos grados centgrados bajala temperatura con el enfriado?

a) 1 275 C b) 1 185 c) 1 195d) 1 175 e) 1 285

3. Roberto tiene una estacin de servicio. l anota en unlibro las ventas de gasolina y aceite que hacediariamente. En la siguiente tabla, se especifican lasventas de una semana:

Opera y responde en tu cuaderno las siguientespreguntas:

a) Cuntos litros de gasolina vendi en una semana?

b) Cuntos litros de aceite vendi en una semana?

c) Qu vendi ms, gasolina o aceite? Cunto ms?

4. Hallar la edad de un padre que tiene 15 aos ms quela suma de las edades de sus cuatro hijos, que tienen:el cuarto tres aos, el tercero un ao ms que el cuarto;el segundo tres aos ms que el tercero; y el primerotanto como los otros tres juntos.

a) 39 aos b) 53 c) 45d) 43 e) 51

5. En una bodega haba 12 536 toneladas de producto.Cuando terminaron los repartidores de llevarse suscargas quedaron 789 toneladas. Cuntas toneladas sellevaron los repartidores?

a) 789 Tn b) 11 747 c) 12 747d) 10 747 e) 11 047

6. En una pequea empresa se anotaron los siguientesgastos en una quincena: $ 23 837 de salarios, $ 1 208de material, $ 890 de la compostura de una mquina y$ 1 500 de renta. Cunto se gast en la quincena enesa empresa?

a) $27 435 b) 37 435 c) 25 435d) 35 435 e) 27 543

7. A un rollo de 500 metros de alambre se le agregaron275 metros ms. Despus se utilizaron 692 metros.Cunto de alambre qued?

a) 53 m b) 63 c) 73d) 83 e) 93

8. De una caja en la que hay $ 21 879 se sacan estascantidades: $ 506, $ 987, $ 46 y $ 5 618. Cunto quedaen la caja?

a) $12 162 b) 13 722 c) 14 632d) 14 712 e) 14 722

9. Una compaa que fabrica pan recoge de las tiendas elpan entregado dos das antes y que no se vendi. Uncamin de la compaa recorre tres tiendas. En laprimera tienda haba dejado 180 bolsas y se vendieron162, en la segunda haba dejado 50 bolsas y se vendieron47, y en la tercera haba dejado 96 bolsas y se vendieron43. Cuntas bolsas recoge el camin?

a) 70 bolsas b) 71 c) 72d) 73 e) 74

10.En una regin se tiene los siguientes cultivos: 10 548 hade maz, 821 ha de frijol, 472 ha de haba, 439 hade alverjn, 127 ha de planta de ornato, 3 058 hade huertas de manzana, 2 109 ha de huertas depera y 502 ha de huertas de ciruela. Cuntashectreas de cultivo tiene la regin?

a) 17 086 ha b) 18 067 c) 17 068d) 18 076 e) 10 876

1. Hallar la cifra de centenas del resultado.

sumandos10

...2323232232

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Es un ejemplo de la propiedad conmutativa de la adicin:

a) 5 + 0 = 5b) 5 + 7 = 5 + 6 + 1c) 5 + 7 = 7 + 5d) 5 + 1 + 1 + ... + 1 = 5 + 108

100 veces

e) (5 + 7) + 1 = 5 + (7 + 1)

3. De 587 restar 29.

a) 558 b) 568 c) 548d) 559 e) 557

4. El complemento aritmtico de 57 081 es:

a) 42 918 b) 42 018c) 42 019 d) 42 919e) 57 081

5. La suma de los tres trminos de una sustraccin es 4 204.Hallar el minuendo.

a) 2 152 b) 2 404 c) 1 202d) 2 157 e) 2 102

Autoevaluacin

CIENCIAS - PAMER1

AOARITMETICA

Multiplicacin y Divisin denmeros naturales

Captulo III

Las divisiones son un asunto difcil?

Para muchas personas la divisin en general es ms complicada que la multiplicacin y aunque ahorapodemos resolverla con gran facilidad, no siempre fue as.

En la antigedad se consideraba "sabio" a quien haca correctamente y con rapidez las divisiones;cada "maestro en divisin" (algo as como especialista) deba comunicar a los dems el resultado dedeterminados casos de esta operacin.

Algunas veces, encendiendo un cerillo con un movimiento habitual, todava reflexionamos sobre cuntotrabajo cost a nuestro antecesores, inclusive no muy remoto, la obtencin del fuego. Empero pocossospechan que a los actuales mtodos de realizacin de las operaciones aritmticas tampoco fueron, ensu origen, as de sencillos y cmodos para que en forma tan rpida y directa condujeran al resultado.

Nuestros antepasados emplearon mtodos mucho ms lentos y engorrosos, y si uno de ustedes, escolardel primer ao de secundaria del siglo XXI (del colegio Trilce, por supuesto) pudiera trasladarse tres ocuatro siglos atrs, sorprendera a nuestros antecesores por la rapidez y exactitud de sus clculosaritmticos.

El rumor acerca de ustedes recorrera las escuelas y monasterios de los alrededores, eclipsando lagloria de los ms hbiles contadores de esa poca, y de todos lados llegaran gente a aprender del nuevogran maestro el arte de calcular.

Particularmente difciles y complejas eran en la antigedad las operaciones de la multiplicacin y lad i v i s i n : e s t a l t i m a e n m a y o r e s c a l a . "La multiplicacin es mi martirio, y con la divisin es ladesgracia" decan entonces. Pero an no exista, como ahora, un mtodo prctico elaborado paracada operacin. Por el contrario, estaba en uso simultneamente casi una docena de diferentes mtodosde multiplicacin y divisin con tales complicaciones que su firme memorizacin sobrepasaba a lasposibilidades del hombre medio. Cada "maestro de la divisin" exaltaba su mtodo particular al respecto.

En el libro de V. Belustino: "Cmo lleg la gente gradualmente a la aritmtica actual" (1911), aparecen27 mtodos de multiplicacin, y el autor advierte: "es muy posible que existan todava mtodos ocultos enlugares secretos de bibliotecas, diseminados fundamentalmente en colecciones manuscritas" : y todosestos mtodos de mul-tiplicacin : "ajedrecstico o por organizacin", "por inclinamiento", "por partes","por cruz pequea", "por red", "al revs", "por rombo", "por tringulo", "por cubo o copa", "por diamante",y otros, as como todos los mtodos de divisin, que tenan nombres no menos ingeniosos, competanuno con otro tanto en voluminosidad como en complejidad.

MULTIPLICACIN DE NMEROSNATURALES

La multiplicacin es una suma abreviada de sumandosiguales, que pueden repetirse muchas veces.

Por ejemplo, segn esto, 2 x 5 significa 5 veces el 2.

Entonces:

2 x 5 = veces5

22222 = 10

O tambin:

2 x 5 = veces2

55 = 10

ELEMENTOS

En la multiplicacin encontramos los siguientes elementos:

2 x 5 = 10

Los nmeros que se multiplican tambin se llamanfactores.

El resultado se conoce como producto.

MultiplicandoMultiplicador

Producto

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIN DENMEROS NATURALES

La Multiplicacin de Nmeros Naturales cumple con lassiguientes propiedades:

1. Propiedad de clausura

Si multiplicamos dos o ms nmeros naturales elresultado ser tambin otro nmero natural.

Es decir:Si: a lN b lN (a x b) lN

Ejemplo:5 lN 9 lN 5 x 9 = 45 lN

2. Propiedad conmutativa

El orden de los factores NO altera el producto.

Es decir:Si: a lN b lN a x b = b x a

Ejemplo:5 x 9 = 9 x 5

45 = 45

3. Propiedad asociativa

La forma como agrupamos los factores NO altera elproducto.

Es decir:Si: a; b; c lN (a x b) x c = a x (b x c)

Ejemplo:

( 5 x 9 ) x 12 = 5 x ( 9 x 12 ) 45 x 12 = 5 x 108

540 = 540

4. Propiedad del elemento neutro

El elemento NEUTRO de la multiplicacin es el UNO,pues si MULTIPLICAMOS cualquier nmero natural conel UNO, el resultado sigue siendo el mismo nmeronatural.

Es decir:Si: a lN a x 1 = 1 x a = a

Ejemplo:5 x 1 = 1 x 5 = 5

5. Propiedad del elemento absorvente

El elemento ABSORVENTE de la multiplicacin es elCERO, pues si MULTIPLICAMOS cualquier nmeronatural con el CERO, el resultado siempre ser CERO.

Es decir:Si: a lN a x 0 = 0 x a = 0

Ejemplo:5 x 0 = 0 x 5 = 0

6. Propiedad distributiva

Si un numero natural multiplica a una suma o diferencia,se distribuye como factor en cada elemento de la sumao diferencia.

Es decir:a x (b + c) = a x b + a x ca x (b - c) = a x b - a x c

Ejemplo:5 x ( 3 + 2 ) = 5 x 3 + 5 x 2

Comprobemos: 5 x 5 = 15 + 10

25 = 25

DIVISIN DE NMEROSNATURALES

Es una operacin inversa a la multiplicacin que tiene porobjeto, dados dos nmeros: dividendo (D) y divisor (d),hallar un tercero llamado cociente (q), que indique cuntasveces contiene el dividendo (D) al divisor (d).

CLASES DE DIVISIN

a. Divisin exactaCuando no hay residuo.

D dq D = d . q

Donde:D = dividendo lNd = divisor lNq = cociente lN

Ejemplo 1: 280280

740

0

Donde: 280 = 7 x 40

Ejemplo 2:

168168

1218105

2158

0

Donde: 1218 = 21 x 58

b. Divisin inexactaCuando existe un residuo (r).

D dqr 0 D = d . q + r

Donde:D lN ; d lN ; q lN ; r lN

Ejemplo 1:

3

2421

73

Donde: 24 = 7 x 3 + 3

Ejemplo 2:

6865

19813

1315

3

Donde: 198 = 13 x 15 +3

PROPIEDADES

a. 0 < residuo < d

b. rMX = divisor - 1rMN = 1

Bloque I

1. Desarrolla las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno:

a) 2606 68

b) 2708 1656

2. Cambie las interrogaciones por nmeros que completencorrectamente las operaciones.

a) 4?8? ?2 837433496??????

b) ? ??? 145 10320 82562064??????

3. Cambie las letras por dgitos que completencorrectamente las operaciones. Si una letra se repitedebe cambiarse siempre por el mismo dgito en esaoperacin.

a) A979 AA B187BB187BBA0A1B

b) 47K4 K8 T8T524T14646K812

c)

YY50 YZZ

89008900

178001877900


4. Realiza las siguientes operaciones en tu cuaderno yescribe el dividendo como el cociente por el divisor msel residuo.

a) 1 234 8b) 2 396 17c) 1 331 11d) 543 87e) 19 827 121

5. Completa el siguiente cuadro escribiendo la propiedadcorrespondiente a cada operacin indicada:

5 ( 7 + 1 ) = 5 x 8 7 + 1 = 8

Propiedad:

7 x 8 = 8 x 7

Propiedad:

8 2 = 6 3 ( 8 2 ) = 3 x 6

Propiedad:

7 x 6 x 18 x 0 x 11 = 0

Propiedad:

6 x ( 3 x 5 ) = ( 6 x 3 ) x 5

Propiedad:

7 x 41 = 41 x 7

Propiedad:

24 x 1 = 24

Propiedad:

4 x 24 x 9 x 0 = 0

Propiedad:

3 ( 2 + 9 ) = 3 x 2 + 3 x 9

Propiedad:

9 ( 3 + 2 ) = 9 x 5 3 + 2 = 5

Propiedad:

521 x 3 = 1 563

Propiedad:

Bloque II

1. Cuntas horas hay en una semana?, y en un ao nobisiesto?

2. Cuntos minutos hay en un da?, y en una semana?,y en un mes?

3. En una fbrica de telas se compraron 57 docenas decarretes de hilo, a $ 106 el carrete. Cunto se gasten hilo?

4. Un automvil viaj durante tres horas a una velocidadconstante de 60 kilmetros por hora. Cuntoskilmetros viaj?

5. Jess compr tres camisas a $ 65 cada uno cuatropantalones a $ 85 cada uno Cunto gast?

6. Liliana compr tres blusas a $ 65 cada una y tres faldasa $ 115 cada una. Cunto gast?

7. Se cargaron 25 camionetas, cada una con 34 cajas de10 kg y con 21 cajas de 7 kg. Cuntos kilogramos secarg?

8. Se cargaron 25 camionetas, cada una con 15 cajas de12 kg de leche descremada y con 11 cajas de 12 kg deleche entera. Cuntos kilogramos se cargaron?

Bloque III

1. A Felipe le pagaron el ao pasado $15 990 con todo yaguinaldo. Si el aguinaldo es el equivalente a un mesde sueldo, cul fue el salario mensual de Felipe?

2. Se desea guardar 427 envases de jugo en cajas en lasque caben 24 envases. Cuntas cajas se llenan?,cuntos envases sobran?, cuntas cajas se necesitansi se desea guardar todos los envases?

3. Se desea transportar a 128 personas en camionetas enlas que caben 10 pasajeros. Cuntas camionetas senecesitan?

4. Se cuenta con cinco autobuses para transportar a 134personas. Cuntas personas deben ir en cada autobspara que queden repartidas de la manera ms parejaposible?

5. De un frasco de botones se utilizaron 6 botones paracada uno de los 27 sacos, y sobraron 3 botones. Cuntosbotones haba en el frasco?

6. De un frasco con 300 botones se utilizaron 8 para cadasaco y sobraron 4 botones. A cuntos sacos se lespuso botones?

7. Marcela decidi gastar $ 1 000 en ropa. Compr dospares de zapatos de $ 195 cada uno, tres faldas de $ 79cada uno, cuatro blusas de $ 57 cada uno y un suterde $ 126. Cunto dinero le sobr?

8. Ivn y Esa se fueron de viaje y acordaron que unopagaba la comida y el otro el hotel. Esa pag lascomidas; las cuentas son de $ 45, $ 134, $ 78, $ 57,$ 241, $ 50 y $ 33. Ivn pag el hotel: dej $ 600 acuenta pero le devolvieron $ 200 porque se quedaronuna noche menos de lo previsto. Cunto dinero le debedar quin a quin para que los gastos queden repartidosequitativamente?

1. Es un ejemplo de la propiedad distributiva de lamultiplicacin.

a) 5 x 8 = 8 x 5b) 5 ( 3 + 9 ) = 5 x 12 3 + 9 = 12c) 7 ( 5 + 4 ) = 7 x 5 + 7 x 4d) ( 8 x 2 ) x 3 = 8 x ( 2 x 3 )e) 4 x 5 x 6 x 0 x 45 = 0

2. En un bosque de 72 hectreas hay 1 620 rboles porhectrea. Cuntos rboles tiene el bosque?

a) 11 664 b) 116 650 c) 116 645d) 116 640 e) 11 665

3. Se cuenta con $ 832 para comprar discos que cuestana $ 95 cada uno. Para cuntos discos alcanza?

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 6

4. Ariana compr cierto nmero de sacos de azcar porS/. 675 y luego los vendi por S/. 1 080, ganando S/. 3por cada saco. Cuntos sacos de azcar compr?

a) 125 b) 135 c) 145d) 115 e) 155

5. Ivanna compra el mismo nmero de lpices que delapiceros por S/. 84. Si cada lpiz le costo S/. 5 y cadalapicero S/. 7, cuntos lapices y lapiceros compr entotal?

a) 7 b) 14 c) 18d) 12 e) 9

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CIENCIAS - PAMER1

AOARITMETICA

Conjunto de los nmerosenteros (ZZ )

Captulo IV

LA CONTRASEA

Un grupo de policas est investigando a un grupo de delicuentes que trafican en un local bien custodiado. Desde uncoche camuflado vigilan la entrada al local. Quieren infiltrar a un grupo de policas, pero no saben la contrasea. Enese momento llega un cliente. Llama a la puerta y desde el interior le dicen: 18. El cliente responde: 9. Lapuerta se abre y accede al interior. Los policas se miran, creen tener la respuesta. Pero deciden esperar. Vieneotro cliente. Desde dentro le dicen: 8. l responde: 4. La puerta se abre. Los policas sonren. Ya lo tenemos.Se trata de responder la mitad del nmero que te dicen desde dentro. Llega otro cliente. Desde dentro dicen:14. El cliente contesta: 7. La puerta se abre. Lo veis? dice el jefe de polica. Deciden enviar a un agente.Llama a la puerta. Desde dentro le dicen: 0. El polica se queda parado. Despus de unos breves segundosresponde: 0. Se oye una rfaga de disparos y el polica muere. Los agentes que hay en el coche se quedansorprendidos, pero deciden enviar a otro agente. Desde dentro se oye: 6. El polica contesta muy convencido: 3.Pero la puerta no se abre. Se oye una rfaga de disparos y el polica muere. Por qu?

INTRODUCCIN

En el conjunto de los nmeros naturales (lN) la sustraccindonde el minuendo era menor que el sustraendo NO tenasolucin, como por ejemplo: 5 - 8. Investigemos este tipode situaciones, representamos 5 - 8 en la recta numrica.

. . . ? ? ? ? ? 0 1 2 3 4 5 6 7 . . .

Como podemos ver, si se conocieran los nmeros que estnubicados a la izquierda del CERO ... estara resuelto elproblema! Veamos:

El punto que est ubicado a una unidad a la izquierdadel cero, representa el nmero entero -1

El punto que est ubicado a dos unidades de laizquierda del cero, representa el nmero entero-2

El punto que est ubicado a "n" unidades a laizquierda del cero, representa el nmero entero"-n"

Ahora podemos responder: qu nmero entero es elresultado de 5 - 8? Sera -3.

Nos encontramos frente a un nuevo conjunto numrico.

EL CONJUNTO DE LOS NMEROSENTEROS (ZZ )

El conjunto de los nmeros enteros permite resolver lassustracciones donde el minuendo es menor que elsustraendo, adems que nos permite tambin expresar12 bajo cero, como: -12 y se lee "menos 12 grados".Tambin, si se debe S/.5 000, decir: -S/.5 000, que se lee"menos S/.5 000"; o si retrocedemos 49, sealar -49, etc.

De esta manera, el mbito numrico se nos agranda haciala izquierda de la recta numrica, donde el 0 es el origen.

0

Ubicaremos los enteros que ya conocemos, por convencin,a la derecha del 0, y ahora los llamaremos enteros positivos.Estos nmeros no necesitan llevar ningn signo +, peropara identificarlos mejor, los escribiremos con su signo.As:

1+ + + + + + +2 3 4 5 6 7 . . .0

Enteros positivos

Al conjunto de los enteros positivos se le reconoce como ZZ +.

Hacia la izquierda del 0, colocaremos los nmeros enterosnegativos. Estos van a la misma distancia del 0 que losenteros positivos.

A los enteros negativos no les puede faltar el signo - . Losenteros negativos se simbolizan como ZZ -.

1------- 234567. . . 0

Enteros negativos

Como los enteros negativos estn a la misma distancia del0 que los positivos, se les llama opuestos o simtricos.Entonces, -5 es el opuesto de +5.

- +5 50

Se observa que:Opuesto de - 5 = 0p(- 5) = - (- 5) = 5

Resumiendo ...El conjunto de los nmeros enteros est formado por losenteros positivos, el cero y los enteros negativos.

1 1- +- +- +- +- +- +2 23 34 46 67 7

En smbolos: ZZ={ZZ- U {0} U ZZ+}

- +5 50

RELACIN DE ORDEN EN ZZ

ZZ es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que haynmeros enteros mayores o menores que otros.

Un nmero es mayor que otro si su representacin en larecta numrica est ms a la derecha; por ejemplo 4 esmayor que 1 (se representa: 4 > 1). Un nmero es menorque otro si su representacin en la recta est ms a laizquierda; por ejemplo, 2 es menor que 5 (se representa:2 < 5).

Analicemos los siguientes ejemplos:

Ordenaremos de menor a mayor +7; -6; +4 y -2 en larecta numrica, a partir del 0. As, tenemos que:

1 1- +- +- +- +- +- +2 23 34 46 67 7- +5 50

El nmero menor es -6, porque es el que est ms a laizquierda; luego viene el -2; el 4 y el 7. En smbolosqueda:

-6 < -2 < +4 < +7

En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor-1; +2; +5; 0 y -3. Tenemos:

1 1- +- +- +- +- +- +2 23 34 46 67 7- +5 50

El nmero mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda:

+5 > +2 >0 > -1 >-3

Analizando los ejemplo anteriores, podemos sacar algunasconclusiones muy importantes. Estas nos servirn paraordenar nmeros enteros sin dibujar la recta numrica:

Todo nmero entero positivo es mayor que 0.

Todo nmero entero positivo es mayor que cualquiernmero entero negativo.

Todo nmero entero negativo es menor que 0.

Todo nmero entero negativo es menor que cualquierentero positivo.

Si expresamos estas conclusiones en smbolos, tenemos:

ZZ+ > 0 ZZ+ > ZZ-ZZ- < 0 ZZ- < ZZ+

SIGNO Y VALOR ABSOLUTO

Un nmero entero tiene dos partes: el signo y su valorabsoluto.

El signo puede ser positivo: +, o negativo: -.

El valor absoluto puede definirse como su distancia al 0 enla recta numrica o la cantidad de unidades que tiene.

Por ejemplo, observa:

-28 tiene signo "-" y su valor absoluto es 28.

Para simbolizar el valor absoluto de un nmero, loencerramos entre dos barras.

Por ejemplo:

Si queremos indicar el valor absoluto de -49,escribiremos l-49l = 49

* l+10l = 10

* l-10l = 10

Nos qued pendiente determinar una frmula paraencontrar un orden slo entre enteros positivos o slo entreenteros negativos. Aplicamos el concepto de valor absoluto.

Entre enteros positivos, es mayor el que tiene un valorabsoluto mayor. Por ejemplo, si ordenamos +40, +9,+300 de mayor a menor, tenemos que: el mayor valorabsoluto lo tiene 300, luego sigue 40 y finalmente 9.Entonces decimos:

+300 > +40 > +9

Mientras ms lejos de 0 est un nmero entero positivo, suvalor es mayor, porque est ms a la derecha.

En los enteros negativos sucede lo contrario: mientrasms lejos de 0, su valor es menor, porque est ms a laizquierda en la recta numrica.

Esta conclusin nos permite determinar que en los enterosnegativos, es mayor el que tiene menos valor absoluto.

Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor -40; -9;-300. El menor es -300, porque tiene el valor absolutomayor, le sigue -40 y luego -9.

-300 < -40 < -9

Antecesor y sucesor

Otra caracterstica que representa el conjunto de losnmeros enteros, es que cada nmero tiene antecesor ysucesor.

Para cualquier nmero, es antecesor el que se ubicainmediatamente a la izquierda de l y es sucesor, el queest inmediatamente a su derecha.

Observa:

1 1- +- +- +- +- +- +2 23 34 46 67 7- +5 50

a n te ce so r

a n te ce so r a n te ce so r

n m e ro

n m e ro n m e ro

su ce so r

su ce so r su ce so r

En los nmeros naturales, el 0 (cero) no tena antecesor,en cambio, en los nmeros enteros, todo nmero tieneantecesor y sucesor.

Bloque I

1. Expresa las siguientes situaciones con nmeros enteros:

a) Siete grados bajo cero.b) La altitud de un pico es de 1 205 m.c) El buzo est a 32 metros de profundidad.d) El avin vuela a 8 500 m de altura.e) Veinte aos antes de Cristo.

2. Escribe en tu cuaderno los nmeros enteroscomprendidos entre:

a) -4 y +3b) -5 y +5c) -10 y -2d) -8 y +1e) +5 y +12

3. Cundo estoy financieramente mejor?

a) Si tengo S/.500 si tengo S/.159b) Si debo S/.200 si tengo S/.8c) Si debo S/.40 si debo S/.45d) Si no tengo dinero o si debo S/.60

4. En cada caso, uno de los hombres mencionados es elpadre y el otro es el hijo. Decida cul es cada uno deellos.

a) Manrique naci en el ao 135 a.C. y Jos naci en elao 158 a.C.

b) Jorge naci en el ao 18 d.C. y Pedro naci en al ao7 a.C.

c) Marcelo naci en el ao 1547 d.C., y Julin en el ao1578 d.C.

d) Roberto naci en el ao cero de nuestra era yHumberto en el 40 a.C.


5. Colocar el signo ">" (mayor que) o "

10.Calcular:

a) el opuesto del negativo de -7.

b) el negativo del opuesto de +12.

Bloque II

Resuelve en tu cuaderno:

1. En cada ejercicio ordene los nmeros de menor a mayory escriba entre ellos el smbolo > o el smbolo o el smbolo

1. Ordena los siguientes nmeros de menor a mayor:

-3; +15; -1; +3; -8; +1; 0

2. Escribe el signo: >; < =, segn corresponda:

a) -5 ..... -4b) 5 ..... 4c) -150 ..... -350d) -48 ..... +30

3. Cul es el nmero entero que es una decena mayorque -18?

4. Si Juan naci en el ao 24 a.C. y Vctor el ao 18 d.C.Quin es el mayor?

5. Encuentra un nmero una centena menor que 50.

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CIENCIAS - PAMER1

AOARITMETICA

Adicin y Sustraccinde nmeros enteros

Captulo V

Problema concurso I

Utilizando los dgitos: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9(en ese orden) y slo las operaciones de adiciny sustraccin, obtn el nmero 100.

Ojo: Debes usar cada dgito una sola vez,adems, si deseas puedes unirlos para formarnuevos nmeros; por ejemplo, 12; 34; 123; 45;etc.

No te rindas muy pronto, pues hay por lo menos5 formas distintas de hacerlo. Suerte!

100 = ..................................100 = ..................................100 = ..................................100 = ..................................100 = ..................................

INTERPRETACIN DE LA ADICINDE NMEROS ENTEROS

Imaginemos que nos vamos a desplazar en la recta numrica, enla cual el nmero cero ser nuestro punto de referencia de dondevamos a iniciar nuestro camino.

Luego, podremos interpretar la adicin de nmeros enteros,asignando nmeros positivos a la distancia que nos vamos adesplazar hacia la derecha (avanzar) y nmeros negativos si nosdesplazamos hacia la izquierda (retroceder). Veamos:

* Primero avanzamos 4 m y luego avanzamos 6 m ms.

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

avanzo 4 avanzo 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

nuestro desplazamiento es: (+4) + (+6) = (+10)

* Primero avanzamos 4 m y luego retrocedemos 6 m.

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

avanzo 4

retrocedo 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

nuestro desplazamiento es: (+4) + (-6) = (-2)

* Ahora, primero retrocedo 4 m y luego avanzo 6 m.

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

avanzo 6

retrocedo 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

nuestro desplazamiento es: (-4) + (+6) = (+2)

* Primero retrocedemos 4 m y luego retrocedo 6 m ms.

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

retrocedo 4retrocedo 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

nuestro desplazamiento es: (-4) + (-6) = (-10)

Resumiendo estas operaciones:

(+4) + (+6) = (+10)

(+4) + (- 6) = (- 2)ii

(- 4) + (+6) = (+2)i

(- 4) + (- 6) = (-10)

Ahora, podemos establecer la siguiente ...

REGLA DE SIGNOS EN LA ADICINDE NMEROS ENTEROS

1. Para sumar nmeros enteros del MISMO SIGNO,sumamos los valores absolutos, y el signo delresultado es el mismo de los sumandos.

Ejemplos:

a) (-12) + (-8) = (-20)

b) (+40) + (+10) = (+50)

c) (-300) + (-100) = (-400)

2. Para sumar nmeros enteros de DISTINTOSIGNO, restamos los valores absolutos (el mayorMENOS el menor), y el signo del resultado es eldel MAYOR valor absoluto.

Ejemplos:

a) (-15) + (+5) = (-10)

b) (-15) + (+20) = (+5)

c) (+8) + (-9) = (-1)

PROPIEDADES DE LAADICIN EN ZZ


"La suma de dos nmeros enteros es otro nmeroentero".

Si: aZZ y b ZZ (a+b)ZZ

Ejemplo:

(+7) ZZ y (-5) ZZ (+7) + (-5) = (+2) ZZ


"El orden de los sumandos no altera la suma".

a + b = b + a

Ejemplo:

(-9) + (+3) = (+3) + (-9)


"La forma como se agrupen los sumandos no altera lasuma".

(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo:

[(-3) + (-2)]+(+1) = (-3) + [(-2) + (+1)](-5) + (+1) = (-3) + (-1)

(-4) = (-4)

4. Elemento neutro

"El elemento neutro de la adicin es el CERO. Sisumamos cualquier nmero entero a con el CERO, elresultado tambin es a".

a + 0 = a

Ejemplo:

(-357) + 0 = -357

5. Elemento opuesto o simtrico

"Un nmero entero es el opuesto de otro, si sumadosdan como resultado CERO".

a + (-a) = 0

Ejemplo:

El opuesto de (+5) es (-5), pues: (+5) + (-5) = 0

El opuesto de (-13) es (+13), pues: (-13) + (+13) = 0

SUSTRACCIN DE NMEROSENTEROS

Para hallar la diferencia de dos nmeros enterostransformamos la sustraccin en una adicin del minuendocon el opuesto del sustraendo. Ejemplo:

a) Efectuar: (-8) - (-3)

MinuendoSustraendo

El opuesto del sustraendo es (+3)

La sustraccin convertida en ADICIN:(-8) + (+3) = (-5)

Bloque I

I. Efectuar las siguientes sumas:

1. (+3) + (+8)

2. (+9) + (-3)

3. (-8) + (+5)

4. (-8) + (-7)

5. (-3) + (-3)

6. (-9) + (+9)

7. (+24) + (+32)

8. (+9)+(-3)+(-6)

9. (+11)+(-9) + (-3)

10. (-17)+(-15)+(+32)


II. Efectuar las siguientes sustracciones:

1. (+9) - (+3)

2. (+8) - (+9)

3. (+6) - (+12)

4. (+3) - (+2)

5. (+7) - (+9)

6. (+11) - (-3)

7. (+18) - (-9)

8. (+24) - (-2)

9. (+31) - (-9)

10. (-24) - (-3)

Bloque II

A. Completa el siguiente cuadro escribiendo la propiedadde la adicin de nmeros enteros aplicada.

(+9) + (-2) = (-2) + (+9)

Propiedad aplicada:

(-3) + (-8) = -11

Propiedad aplicada:

(-10 + 0) = -10

Propiedad aplicada:

(-24) + (+24) = 0

Propiedad aplicada:

(+7) + (0) = (+7)

Propiedad aplicada:

(-37) + (+37) = 0

Propiedad aplicada:

(-4) + (-7) = (-7) + (-4)

Propiedad aplicada:

(-23) + (0) = -23

Propiedad aplicada:

B. Efectuar:

1. - 3 + 8 - 2 - 5

2. 7 + 37 - 9 + 2

3. 25 - 50 - 100 + 125

4. - 8 - 9 - 10 + 11 + 12

5. (- 3 + 8) - (4 - 15)

6. (- 31 + 20) + (- 8 - 15)

7. [- 15 - (14 - 13) + 8]

8. [15 - (12 - 15)] - (15 - 12)

C. Efectuar:

1. {-5 + 7 - [8 - 9 - 10] + 3} - {[-(-5 - 8) + 10] - 20}

a) - 13 b) 21 c) 19d) - 19 e) 13

2. {8 - 15 - [(3 - 8 + 9) - 13] + 5}

a) 8 b) 7 c) - 7d) - 8 e) 0

3. [3 + 8 - 12 + (15 - 17) + 3] - 8 + 9

a) 1 b) - 1 c) 0d) 11 e) 17

4. -{-[-9 - 9 -(9 - 9 - 9)] - 9}

a) 9 b) - 9 c) - 18d) +18 e) 0

5. {-[-9 + 8 - (-3 - 7)] + [-8 - (7 + 9 + 8) - 15]}

a) 38 b) - 38 c) - 37d) 56 e) - 56

6. -5 - {-8 - [-7 - 6 - (-5 - 4)] - 3 - 2} -1

a) - 3 b) +3 c) - 4d) - 5 e) - 6

7. 45 - {-78 + 90 - [-100 + 101]} - (150 - 157)

a) 41 b) 27 c) -27d) -41 e) 34

8. - {7 + [5 - (-7 - 2)]} + 5 - {-[9 - (14 - 5) + 3] - 5} - 8

a) 21 b) 42 c) - 21d) - 16 e) 16

1. Hallar "A - B" , si: A = (-5) + ( -19 )B = (+25) - (-23)

a) -22 b) - 24 c) +72d) -72 e) + 24

2. En la maana Polonia amaneci con 5 C detemperatura, si durante el da la temperatura disminuy9 C, cul es su nueva temperatura?

a) +14 b) -14 c) -4d) -9 e) -6

3. Es un ejemplo de la propiedad asociativa de la Adicin:

a) (-15) + (-19) = (-19) + (-15)b) (-15) + [ (-19) + (+23) ]= [ (-19) + (-15) ] + (+23)c) (+56) + 0 = (+56)d) (+29) + (-45) = (-16)e) Si: (-15) + (-19) = (-15) + (-10) + (-9)

entonces: (-19) = (-10) +(-9)

4. El opuesto del negativo de (+3) es :

a) +3 b) -3 c) -1/3d) +1/3 e) N.A.

5. Efectuar:

- {-15 + 18 - [- 47 +18 - (- 5 - 9) + 9] - 9}

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Autoevaluacin

CIENCIAS - PAMER1

AOARITMETICA

Multiplicacin y Divisinde nmeros enteros

Captulo VI

Problema concurso II

Utilizando las cuatro operaciones fundamentales y los dgitos 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 (enese orden) obtener el nmero 100.

Ojo: Ya sabes que debes usar cada dgito una sola vez, puedes unirlos y adems que seandiferentes a las del captulo anterior.

100 = ..................................100 = ..................................100 = ..................................100 = ..................................100 = ..................................

MULTIPLICACIN DE NMEROS ENTEROS

Regla de signos para la multiplicacin de nmeros enteros:

1. "Si dos nmeros enteros tienen el mismo signo, suproducto tendr signo positivo".

Ejemplo:(-5) x (-3) = (+15)

(+8) x (+2) =(+16)

2. "Si dos nmeros enteros tienen distinto signo, suproducto tendr signo negativo".

Ejemplo:(-5) x (+3) = (-15)

(+8) x (-2) = (-16)

En resumen:

( + ) ( + ) = ( + )( - ) ( - ) = ( + )( + ) ( - ) = ( - )( - ) ( + ) = ( - )

Observacin: De la regla de signos para la multiplicacinse desprende lo siguiente al multiplicar dos o ms factores.

1. Si todos los factores tienen signo POSITIVO, el productotambin es POSITIVO.

Ejemplo:a. (+3) (+2) (+5) = (+30)

b. (+4) (+7) (+1) (+2) = (+56)

2. Si algunos de los factores son de signo negativo,tendremos en cuenta la cantidad de estos factores.

2.1. Si la cantidad de factores que tienen signonegativo es un nmero PAR, el producto total esde signo positivo.

Ejemplo:

a. (-2) (-3) (-1) (-4) = (+24)

N de factotes negativos: 4 PAR!

b. (+5) (-3) (+2) (+4) (-1) = (+120)

N de factotes negativos: 2 PAR!

2.2 Si la cantidad de factores que tienen signonegativo es un nmero IMPAR, el productototales de signo NEGATIVO.

Ejemplos:

a. (-8)(-2) (-1) (+3) = (-48)

N de factores negativos: 3 IMPAR!

b. (+3) (+4) (-9) (+1) = (-108)

N de factores negativos: 1 IMPAR!

Observacin: Una multiplicacin como:(+5) x (-3)

tambin puede ser expresada as:(+5) (-3)

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACINDE NMEROS ENTEROS


"El resultado de multiplicar dos nmeros enteros es otronmero tambin entero".

Si: aZZ y bZZ a x b ZZ

Ejemplo: Si: (-3) ZZ y (+4) ZZ

entonces: (-3)(+4) = (-12) ZZ


"El orden de los factores no altera el producto".

a x b = b x a

Ejemplo: (+13) (-3) = (-3) (+13)

(-39)= -39


"La forma como se agrupen los factores, no altera elproducto".

(a x b) x c = a x (b x c)

Ejemplo: [(-5) (+2)] (-3) = (-5) [(+2)(-3)]

(-10) (-3) = (-5) (-6) +30 = +30

4. Elemento neutro

"El elemento neutro de la multiplicacin de nmerosenteros es el +1. Cualquier nmero entero multiplicadopor el elemento neutro da como producto el mismonmero entero".

a x (+1) = a

Ejemplo:(+157) (+1) = +157

5. Elemento absorvente

"El elemento absorvente de la multiplicacin de nmerosenteros es el CERO. En cualquiermultiplicacin de doso ms factores, si al menos UNO DE ELLOS es CERO,entonces el producto es cero".

a x 0 = 0

Ejemplo:(-1 532) (+742) (-3) (0) (-1) = 0

6. Propiedad distributiva

"Si un nmero entero multiplica a una ADICIN, resultala suma de los productos de dicho nmero entero porcada uno de los sumandos".

a x (b + c) = a x b + a x c

Ejemplo:

(-6)[(+4) + (-3)] = (-6) (+4) + (-6) (-3)(-6) [+1] = (-24) + (+18)

(-6) = (-6)

DIVISIN DE NMEROS ENTEROS

Regla de signos para la divisin de nmeros enteros:

1. Al dividir dos nmeros enteros del MISMO SIGNO, elcociente obtenido es de SIGNO POSITIVO.

Ejemplos:( +20 ) ( +4 ) = ( +5 )

( - 40 ) ( - 5 ) = ( +8 )

2. Al dividir dos nmeros enteros de DISTINTO SIGNO, elcociente obtenido es de SIGNO NEGATIVO.

Ejemplo:

(+20) ( - 5 ) = ( - 4 )

(- 40) ( +8 ) = ( - 5 )

En resumen:

( + ) ( + ) = ( + )

( - ) ( - ) = ( + )( + ) ( - ) = ( - )

( - ) ( + ) = ( - )

Observacin: Las reglas de signos de lamultiplicacin y divisin de nmeros

enteros son similares

4. (+3) (-2) (+4) (+5)

5. (-1) (-2) (-3) (-4)

6. (-4) (+10) (+3)

7. (+2) (-2) (+2) (-2) (-2)

8. (-2) (+2) (-3) (+4) (-5)

9. (-1) (+2) (-3) (+4) (-5)

10.(-3) (-3) (-3) (+2) (+2)

11. veces8

)2()2(...)2()2()2(

12. veces30

)1(...)1()1()1(

13. veces101

)1(...)1()1()1(

14. 34

)1()1()...1()1()1()1(

15.(+5 - 3) (+5 - 2) (+5 - 1) (+1 - 5)

16.

factores13

)...1()1()1()1(

17. factores7

)...3()1()3()1(

18.(-9) (-8) (-7) (-6) (+5 - 3 - 2)

19.(-8) (+2) (-1) (+4) (-3 +3)

20.(+12 -20)(+12 -19)(+12 -18)(+12 -17) ... (+12 -2)(+12 -1)

Bloque II

I. Completa el siguiente cuadro efectuando las divisionesindicadas. Coloca un aspa si la divisin es inexacta.


Bloque I

I. Completa el siguiente cuadro efectuando lasmultiplicaciones indicadas.

II. Completa el siguiente cuadro escribiendo las propiedadesde la multiplicacin de nmeros enteros aplicadas encada expresin dada:

(- 8) (-342) = (-342) (- 8)

Propiedad:

(- 5) ( 0 ) = 0

Propiedad:

(+1) (-100) = -100

Propiedad:

(-9) (-11) ( 0 ) (+3) = 0

Propiedad:

(-2) [(+5) + (-8)] = (-2) (+5) + (-2) (-8)

Propiedad:

(+15) (-11) = -165

Propiedad:

(-3 542) (+987) = (+987) (-3 542)

Propiedad:

(-1) (+365) = (+365) (-1)

Propiedad:

III. Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones:

1. (-9) (-3)

2. (+9) (-2)

3. (-10) (+3)

+6 -8 -4 +3 -10 +9

-2

-3

+5

+4

+2

-7

- 11- 1 + 2 - 2 + 3 - 4 - 5

+110

+12

-15

-24

+100

-120

+440

II. Efectuar:

1. (- 32) (+ 16)

2. (+ 320) (- 16)

3. (+ 480) (- 120)

4. (- 1 000) (- 50)

5. (- 132) (+ 12)

6. (512) (- 8)

7. (- 1 024) (- 8)

8. (+ 484) (+ 11)

9. (- 3 522) (- 3)

10. (- 780) (+ 15)

Bloque III

1. Si en una multiplicacin de tres nmeros enteros seduplica uno de ellos, qu sucede con el producto?

a) queda multiplicado por 2b) queda dividido por 2c) queda multiplicado por 4d) queda dividido por 4e) no se altera

2. Si en una multiplicacin de tres enteros se duplica cadauno de ellos, qu sucede con el producto?

a) queda multiplicado por 2b) queda multiplicado por 4c) queda multiplicado por 6d) queda multiplicado por 8e) no se altera

3. Luego de dividir el mayor nmero entero positivo dedos cifras entre (+9) el cociente es:

a) +11 b) -11 c) +10d) +9 e) +1

4. Al dividir el mayor nmero entero de tres cifras diferentesentre el opuesto de (+3), el cociente es:

a) -333 b) +333 c) -329d) +329 e) +309

5. Tengo S/. 101 y quiero dar S/. 15 de propina a cadauno de mis siete sobrinos, cunto dinero me falta?

a) S/. 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 105

6. Se tiene una multiplicacin de dos factores. Si se duplicauno de ellos y se triplica el otro, en cuanto vara elproducto inicial?

a) queda multiplicado por 12b) queda multiplicado por 6c) queda multiplicado por 5d) queda dividido por 6e) no se altera

7. El producto de dos nmeros no positivos es 18 y sucociente es 2. Cul es la suma de estos nmeros?

a) -12 b) -9 c) -6d) -14 e) -8

8. Luego de multiplicar el triple de (-24) con la mitad de (-24),el producto es:

a) +864 b) -864 c) +3 456d) -3 456 e) N.A.

9. Tengo cierto nmero de pelotas para vender. Si lasvendo a S/. 17 cada una, gano S/. 12, pero si las vendieraa S/. 15 cada uno perdera S/. 6 en total. Cuntaspelotas tengo para vender?

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

10.Un profesor decide repartir caramelos entre todos losalumnos del aula y descubre que si le da siete caramelosa cada uno le sobraran 20 caramelos, pero si les dieranueve caramelos a cada uno le faltaran diez caramelos.Cuntos alumnos hay en el aula?

a) 10 b) 15 c) 20d) 30 e) 39

11.En el problema anterior, cuntos caramelos tiene elprofesor?

a) 125 b) 105 c) 135d) 30 e) 115

12.Si un comerciante vendiera a S/.11 cada calculadoraque tiene, ganara S/.60 en total, pero si decidevenderlas a S/.6 cada una, pierde S/.20 en total.Cuntas calculadoras tiene para vender?

a) 24 b) 8 c) 16d) 12 e) 10

1. A una cmara refrigeradora, que se encuentra a-15 C, se le baja sucesivamente cuatro veces esamisma temperatura. Cul es la marca final?

a) 45 C b) -45 c) -60d) -75 e) -90

2. Calcular el producto de:

(+1) (-2) (+3) (-4) (+5) (-8)

a) 960 b) -900 c) -800d) -960 e) 800

3. Calcula y luego seala el resultado correcto:

(-10) -(+4)(-3) + 15 (-3) + (-2)

a) -5 b) 5 c) 3d) -3 e) 10

4. Efectuar:

veces54

...1)(1)(1)(1)(

a) 54 b) -54 c) 1d) -1 e) 0

5. Efectuar:

(+15 - 20)(+15 - 19)(+15 - 18)(+15 - 17) ... (+15 - 1)

a) 525 b) 210 x 15 c) 0d) 1 e) -15

Autoevaluacin

CIENCIAS - PAMER1

AOARITMETICA

Potenciacin y Radicacinde nmeros enteros

Captulo VII

Sabas que ...

En el tablero de operaciones de la antigua China, lamultiplicacin se iniciaba con las cifras del ordensuperior, pasando gradualmente a las cifras derdenes menores. Adems, ya se empleaban lastablas de multiplicar.

POTENCIACIN DE NMEROS ENTEROS

Podemos definir la potenciacin como una multiplicacinabreviada.

Donde: a : base

n : exponente

P : potencia

As:

veces"n"

n a...aaaa

a1 = a

a0 = 1

00 = No est definido

ObservacinEn este captulo veremos la potenciacin slo conexponente natural.

Ejemplos:

1. (+5)2 = (+5) (+5) = +25

2. (+5)3 = (+5) (+5) (+5) = +125

3. (-5)2 = (-5) (-5) = +25

4. (-5)3 = (-5) (-5) (-5) = -125

Signos de potenciacin en ZZ

Investiga con otros ejemplos adicionales los signos de lapotenciacin y completa el cuadro con esos datos.

En resumen:(+a) par o impar = +P

(-a) par = +P

(-a) impar = -P

a = Pn

POTENCIA EXPONENTE PAR EXPONENTE IMPAR

Basepositiva

Basenegativa

Supongamos, a ttulo de ejemplo, que se trata demultiplicar 346 por 27. El proceso de la multiplicacintomaba aproximadamente el siguiente aspecto:

346 x27

621

8281242

9342

Casos especiales

a. Multiplicacin de potencias de bases iguales

a2 x a3 = (a x a) x (a x a x a) = a5

a x a5 = a x (a x a x a x a x a) = a6

b. Divisin de potencias de bases iguales

a5 a2 =2

5

aa =

aaaaaaa

xxxxx = a3

a6 a =aa6 =

aaaaaaa xxxxx = a5

c. Potencia de potencia

(a2)4 = (a x a) x (a x a) x (a x a) x (a x a) = a8

(a3)2 = (a x a x a) x (a x a x a) = a6

RADICACIN DE NMEROS ENTEROS

Ahora que conoces la operacin potenciacin, recorre unode los caminos inversos.

Piensa qu nmero debes elevar a cada exponente paraque d el resultado que se indica y completa:

a) (......)3=+8

b) (......)3=+27

c) (......)2=+64

e) (......)4=+16

c) (......)2=+64

d) (......)2=+25

e) (......)4=+16

f) (......)3=+64

El clculo que has hecho, recibe el nombre deRADICACIN.

En el caso del primer ejercicio, la escribimos as:3 8 = 2; porque: 23 = +8

En smbolos:

am (m+n)x an = a

am m-nan = a

amn nxm= a

a a; porque:ndice

radicalradicando raz

n n== bb

Observacin 1: El ndice "n" debe ser un nmero naturalmayor que UNO (n>1).

Observacin 2: negativo

PAR a no est definida en ZZ .

Por ejemplo: 25 ; no existe un nmero entero queelevado al cuadrado, d como resultado -25.

Casos especiales

1. Raz de una multiplicacin indicada

nnn baba

2. Raz de una divisin indicada

nnn baba ; b 0

3. Raz de una potencia

mnn aam

(a 0)

Bloque I

1. Completa el nmero que falta en el casillerocorrespondiente:

a. (-9)2 =

b. (-1)13456 =

c. (-1)7 =

d. (-1)8 =

e. (-3)2 =

f. (-2)3 =

g. (+7)2 =

h. (-4)3 =

i. (-1)0 =

j. (-7 + 7)0 =

k. (+12)2 =

l. (-11)2 =

2. Calcula:

a. -31

b. 32

c. (-3)2

d. (+3)2

e. (-3)0

f. -32

g. -(-3)0

h. -(-3)3

3. Resuelve:

a. -34 + (-3)4

b. -35 + (-3)5

c. 02 + 20 x 20

d. 02 x (20 + 20)

4. Responde:

a) La distancia entre la Tierra y el Sol es de 15 x 107 km.Calcula el resultado.

b) En un siglo, un rayo de luz recorre aproximadamente1015 km. Escrbelo en la forma corriente.

5. Algunos de los siguientes nmeros son potencias de -4,encirralos en un crculo.

a) -64 b) -16 c) -4d) 4 e) 16 f) 64

6. Completa los casilleros para que se verifiquen lassiguientes igualdades:

a) (-3)2(-3)3(-3)4(-3)5 = (-3)

b) (-19)153 (-19)118 = (-19)

c) 16

810

)13()13()13(

=(-13)

d) (-5)2(-6)(-5+5) =

7. Completa el nmero que falta (si existe) en el casillerocorrespondiente.

a. 3 27


b. 121

c. 3 8

d. 5 32

e. 4 81

f. 3 64

g. 3 64

h. 49

i. 3 1000

j. 4 625

k.5

= -32

l.2

= +16

8. Calcula y completa el siguiente cuadro, en los casosposibles.

9. Ingniatelas para completar los siguientes recuadros:

a) 4

b) 27 = 3

c) 4 = 4

d) 3 )64()1000( =

e) 3 = )5()2(

f) x 36 = 12

10.Tus padres, abuelos, bisabuelos, etc., son tusascendientes; usa este dato para calcular:

Qu nmero de ascendentes tienes en la 20generacin?

Bloque II

1. Indicar el resultado de:

[ - 9 + 6 - 3 - 2 - 9 + 1 ]

2

a) +128 b) -256 c) -128d) +64 e) +256


[+24-18-9+6]3

a) -9 b) -27 c) +27d) +8 e) -8

3. Completar el valor que falta en el casillerocorrespondiente:

- (-3)4 =

(-5)3 =

(-2)5 =

Nmero Cuadrado Cubo

-10

-2

64

-16

27

-64

GENERACINNMERO DE ASCENDIENTES

Cantidad Expresado comopotencia

PadresAbuelos

Bisabuelos

1

2

345

2 21

20

Dar como respuesta la suma de los resultados.

a) -328 b) +228 c) +238d) -128 e) -238

4. Completar el valor que falta en el casillerocorrespondiente:

(-1)25 =

-240 =

(-9)2 =

Dar como respuesta el menor valor encontrado.

a) 0 b) -1 c) 1d) 81 e) -81

5. Completar el casillero para que se verifique la siguienteigualdad:

(-2)4(-2)5(-2)7(-2) = (-2)29

a) 11 b) 13 c) 14d) 12 e) 10

6. Completar el siguiente casillero para que se verifique lasiguiente igualdad:

229

221

5)(5)(5)(5)((-5)

25)(

a) 8 b) 10 c) 11d) 7 e) 6

7. Indicar la suma de los valores de los recuadros en:

[(-2)4(-3)12(+15)3]4=(-2) (-3) (+15)

a) 76 b) 82 c) 77d) 81 e) 74


I. (-5)2 = +25

II. (-3)3 = -27

III. (-7)3 = -343

IV. (+2)3 = -8

a) VVFF b) VVVF c) VFVFd) FV FV e) VVVV


4 3 143)(9275

a) +2 b) -1 c) 0d) +1 e) No existe en ZZ

10. Indicar el resultado de restar A de B si:

A = 5 22)(36

B = 3 051)(28

a) -3 b) +1 c) -5d) -1 e) -2

11. Indicar el valor que debe ir en los recuadros:

I. 4 81 =

II. 3 64- =

III. 2432 +1 =

Dar como respuesta la suma de valores encontrados.

a) +2 b) -2 c) -1d) +1 e) 0

12. Indicar el valor que debe ir en cada recuadro:

I. 22 12)((-5) =

II. 3 27- =

III. 4 2 11)7)(((-2) =

Dar como respuesta la suma de los dos mayores valoresencontrados.

a) +3 b) +13 c) -9d) +16 e) -2


I. 3 0001 = -10

II. 4 81 ; No existe en ZZ

III. 92)( 4 = +5

a) VVV b) V FV c) FVVd) FFV e) FFF

Problema concurso III

Tienes siete botellas llenas, otras siete vacasy otras siete por la mitad. Cmo te las ingeniaspara poder repartirlas equitativamente entre trespersonas, sin tener que abrir ninguna de ellas?

1. Efectuar: 5364 2

a) 45 b) 37 c) 53d) 54 e) 85

2. Qu nmero debe ir en el recuadro?2 = - 64

a) 4 b) - 4 c) 8d) - 8 e) no existe un ZZ

3. Qu nmero debe ir en el recuadro?3

= - 4

a) 64 b) - 64 c) 16d) -16 e) otra respuesta

4. Resolver:

( 81 x 72 - 142) (-140 4)

a) -7 b) - 6 c) 6d) 7 e) 0

5. Resolver:

11)(538 22

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

Autoevaluacin

CIENCIAS - PAMER1

AOARITMETICA

Repaso

Captulo VIII

Bloque I


I. - 27 es natural

II. -24 es un nmero entero

III. 32

es racional

IV. 5 es irracional

a) F F V V b) VFFF c) FVVVd) FV V F e) VFVF

2. Cuntos de los siguientes grficos son correctos?

I.

QN

II. R

N

III. IV.

R

V.IQ I

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

3. Efectuar la siguiente operacin:

7 + 77 + 777 + ... + cifras20

77...777

Dar como respuesta la cifra de decenas del resultado.

a) 3 b) 2 c) 7d) 1 e) 6


I. 2 + 9 = 9 + 2 Propiedad de clausura

II. 9 + 0 = 9 Elemento neutro

III. 7+9 = 16 Propiedad asociativa

IV. 4 + 6 = 6 + 4 Propiedad conmutativa

a) FFVV b) FVFV c) VVVVd) FFFV e) FVVV

5. Calcular:

CA(234) + CA(921) + CA(17) - CA(670)

a) 676 b) 598 c) 698d) 498 e) 578

6. Indicar la propiedad aplicada en:

6(5 - 4 + 3) = 6 . 5 - 6 . 4 + 6 . 3

a) asociativa b) distributivac) monotona d) cancelativae) conmutativa

7. Indicar la cifra de millares ms la cifra de unidadesdel resultado de multiplicar 1 034 por 39.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

8. Calcular el residuo ms el cociente natural de la siguientedivisin:

24 934 21

a) 1 187 b) 1 194 c) 1 094d) 1 177 e) N.A.

9. Indicar los elementos del conjunto ZZ -- .

a) {0; 1; 2; 3; 4; ...}b) {0}c) {-1; -2; -3; -4; -5; ...}d) {...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}e) {...-3; -2; -1; 1; 2; 3; ...}

10. Dados los siguientes nmeros enteros:-9; -11; +13; +17; -4; -5; +6

Cul de los nmeros dados est en el centro de larecta numrica?

a) -9 b) +13 c) -4d) +6 e) -11

11. Sea:

A = Negativo de -(-3)B = El negativo del opuesto de (-7)

Calcular: A3 - B

a) -3 b) -20 c) +20d) +9 e) -17

12. Calcular el opuesto del resultado de:

(+67) - (-9) + (+3 - 9 + 7 - 4)

a) -29 b) +73 c) -73d) -68 e) +67

13.Restar:

(-9 + 6 - 7 + 2 - 5) de (-8 - 9 - 1)

a) -6 b) -9 c) +8d) -5 e) +5

14. Hallar el valor que debe ir en el recuadro para que severifique la igualdad.

(-7) (-1) (+6) = x -1

a) +13 b) - 42 c) -9d) -2 e) +42

15.Completar el valor que falta en el casillerocorrespondiente:

[(-3)2]2 =

-2430 =

(+2)6 =

Dar como respuesta la diferencia entre el mayor valor yel menor valor encontrado.

a) +82 b) +80 c) -29d) +63 e) -65

Bloque II

1. Completa el cuadro, recordando que -n es el opuestode n. Por ejemplo, -9 es opuesto de 9; 8 es opuestode -8.

2. Resuelve el crucinmero. En los casilleros debes colocarlos resultados de los siguientes clculos:

a) 9 + (-20) + 8b) -1 + (-3) + (-4)c) -5 + (-2) + 14d) 1 + (-9) + (-3)

3. Razona y encuentra el nmero que debe ir en losrecuadros.

a) (-2)12 x (-2)3 x (-2)0 x (-2) = (-2)20

b) 2 27 = 213

c) 25 2 = 22

d) (23) = 26

e) (2 )4 = 1

4. Si al elevar dos nmeros al cuadrado da el mismoresultado, puede afirmarse que los nmeros soniguales? Analiza con ejemplos.

a

+

c

=

d

b+

+

+

+

= =

=

=

=

-b a + b a + (-b) -a + b -a + (-b)a

3

-4

-2

b

7

1

-5

Verticales

1. Es el resultado de una sustraccin.

2. "Dado una igualdad, podemos sumar a ambosmiembros, un mismo nmero entero, resultandoentonces otra igualdad"; se est cumpliendo lapropiedad ...

3. En una diferencia, la suma de la diferencia msel sustraendo es igual al ...

5. Qu propiedad estamos aplicando en el siguienteejemplo: (+5) + (-8) = (-8) + (+5)

10."La suma de dos nmeros enteros es otro nmeroentero", eso nos dice la propiedad de ...

Horizontales

4. El elemento neutro de la adicin de nmerosenteros.

6. Qu propiedad estamos aplicando en el siguienteejemplo:

[(-6) + (-2)] + (-4) = (-6) + [(-2)+(-4)]

7. Con la letra "ZZ " denotamos el conjunto de losnmeros ...

10.Si: a + c = b + c, entonces se cumple que: a =c; estamos aplicando la propiedad ...

9. Con la letra "lN" denotamos el conjunto de losnmeros ...

1 0

Propiedades de la Adicin en ZZ

Propiedades de la Multiplicacin en ZZ

Verticales

1. Si: a x c = b x c, y adems c 0; entonces secumple que: a = b; estamos aplicando lapropiedad ...

2. Qu propiedad estamos aplicando en el siguienteejemplo:[ (-6) x (-2) ] x (-4) = (-6) x [ (-2) x (-4) ]

3. Si dos nmeros enteros tienen DISTINTOSIGNO, su producto tendr SIGNO ...

4. Qu propiedad estamos aplicando en el siguienteejemplo: (+5) x (-8) = (-8) x (+5)

7. Es el resultado de una multiplicacin.

Horizontales

5. Es el elemento neutro de la multiplicacin denmeros enteros.

6. "El producto de dos nmeros enteros es otronmero entero", eso nos dice la propiedad de...

8. Si dos nmeros enteros tienen el MISMOSIGNO, su producto tendr SIGNO ...

9. Es el elemento absorbente de la multiplicacin.

10. "Dado una igualdad, podemos multiplicar aambos miembros, por un mismo nmeroentero, resultando entonces otra igualdad"; seest cumpliendo la propiedad ...

Lectura:Algo ms de Historia

El mtodo del nueve

000 8713 100x0264 x 30034852 3052278 017426 002300232

4 + 6 = 10;1 + 0 = 1

6 913 1 +- 2 587 - 4

4 326 6

Hace unos siglos era muy difcil realizar las cuatrooperaciones fundamentales, los mtodos eran muy largosy engorrosos; es as que llegando despus, de mltiplestrabajos al final de una operacin aritmtica, nuestrosantecesores consideraron absolutamente necesariocomprobar este total obtenido con el sudor de su frente,ya que los mtodos voluminosos provocaron, como eslgico, desconfianza hacia sus resultados; es muy fcilperderse en un camino, lerdo y sinuoso que en el rectocamino de los mtodos modernos. Naturalmente, de aqusurge la antigua costumbre de comprobar toda operacinaritmtica efectuada, encomiable regla que an hoy sepractica.

El mtodo favorito de comprobacin era el llamado"mtodo del nueve", el cual frecuentemente se describeen algunos manuales contemporneos de aritmtica.La comprobacin por el nueve se basa en la "regla de losresiduos" que dice: el residuo de la divisin de una sumaentre cualquier nmero, es igual a la suma de los residuosde la divisin de cada sumado entre el mismo nmero.En la misma forma, el residuo de un producto es igual alproducto de los residuos que al dividir entre 9 la suma delas cifras del mismo nmero. Por ejemplo, 758 entre 9da como residuo 2: el mismo 2 se obtiene como residuode la divisin de 7 + 5 + 8 entre 9.

Comparando ambas propiedades indicadas, llegamosal mtodo de comprobacin por nueve, es decir, pordivisin entre 9. Mostraremos con un ejemplo en quconsiste dicho mtodo.

PARA LA ADICINSe desea comprobar la justeza de la adicin de la

siguiente columna:

Suma de cifras

Realicemos la suma de las cifras de cada sumando yal mismo tiempo, en los nmeros de dos cifras obtenidas,sumemos tambin las cifras (esto se hace en el procesomismo de adicin de las cifras de cada sumando), hastaobtener en el resultado final un nmero de una cifra.Estos resultados (residuos de la divisin entre nueve),los escribimos como se indica en el ejemplo, al lado delcorrespondiente sumando. Al sumar todos los residuos(7 + 7 + 1 + 2 = 17; 1 + 7 = 8), obtenemos 8. Igualdeber ser la suma de las cifras del total (5 339 177) sila operacin est efectuada correctamente:

5 + 3 + 3 + 9 + 1 + 7 + 7

38 932 + 7 +1 096 7

4 710 043 1 589 106 2

5 339 177 8

despus de todas las simplificaciones resulta igual a 8.

PARA LA SUSTRACCINLa comprobacin de la sustraccin se realiza en la

misma forma si se considera al minuendo como suma, yal sustraendo y la diferencia como sumandos. Por ejemplo:

Suma de cifras

PARA LA MULTIPLICACINEste mtodo es en especial conveniente si se aplica

para comprobar la operacin de multiplicacin, como lovemos en el siguiente ejemplo:

Suma de cifras

Si en tal comprobacin fuera descubierto un error delresultado, entonces, para determinar precisamente dndetiene lugar dicho error, se puede verificar por el mtododel nueve cada producto parcial por separado; y si elerror no se encuentra aqu, queda solamente comprobarla adicin de los productos parciales.

Cmo se puede comprobar la divisin conforme aeste mtodo? Si tenemos el caso de una divisin sinresiduo, el dividendo se considera como el producto deldivisor por el cociente. En el caso de una divisin conresiduo se aprovecha la circunstancia de que:

dividendo = divisor x cociente + residuo

Por ejemplo:

3821

192residuo;6353457438720116

suma de cifras:

2 8 + 3 = 19; 1 + 9 = 10; 1 + 0 = 1

i bimestre 2013

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