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（六）分數的除法

1.問題名稱:分數的除法

2.相關能力指標或分年細目:5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。

3.問題敘述:

說明：

說明：

區分「全部裝完」與「儘量裝完」：

全部分完:ａ÷b＝a/b (b≠0)。

儘量分完:ａ÷b＝q……r (b≠0)，其中 q 是整數，而且 0≦ｒ<b。

等分除問題的除數是分數或包含除問題的商數是分數，都是當量除問題，一定不會有餘數。

所謂「當量除問題」： 單位數（次數）不是整數。例如:3/7 人，5/8 盤，2/9 次。

包含除類的問題:

‧52

9 公升的果汁，每76 公升裝成一瓶，全部裝完，相當於可以裝成幾瓶？

‧52

9 公升的果汁，每76 公升裝成一瓶，儘量裝完，可以裝成幾瓶？剩下

多少公升?

等分除類的問題:

‧52

9 公升的果汁，平分裝成 7瓶，全部裝完，請問一瓶裝多少公升？

50

EX：‧ 14 個蘋果，3個蘋果裝 1盤，儘量裝完，可以裝成幾盤？剩下幾個？‧ 14/5 個蘋果，3/5 個裝 1盤，儘量裝完，可以裝成幾盤？剩下幾個？‧ 14/5 個蘋果，3/11 個裝 1盤，儘量裝完，可以裝成幾盤？剩下幾個？

EX：‧ 14 個蘋果，3個蘋果裝 1盤，全部裝完，(相當於)可以裝成幾盤？‧ 14/5 個蘋果，3/5 個裝 1盤，全部裝完， (相當於)可以裝成幾盤？‧ 14/5 個蘋果，3/11 個裝 1盤，全部裝完， (相當於)可以裝成幾盤？‧

4.教學策略或提醒:‧ 針對下面的例題：

514 個蘋果，

53 個裝 1 盤，儘量裝完，可以裝成幾盤？剩下幾個?

可行的策略有 策略甲：連減策略。

514 －

53 =

511 （第一盤）

511－

53 =

58 （第二盤）

58 －

53 =

55 （第三盤）

55－

53=

52

（第四盤、剩下52個）

策略乙：先乘後減策略。

53 ×4＝

512

‧ 包含除類的分數除法：（商數是分數）

‧ 儘量分完：

‧ 整數÷整數 分數÷分數（同分母）‧ 分數÷分數（異分母）

‧ 等分除類的分數除法：（除數是分數）‧ 全部分完：‧ 整數÷整數 分數÷分數（同分母）‧ 分數÷分數（異分母）

51

514

－5

12 ＝52（可以裝成 4盤，剩下

52 個）

策略丙：被除數與除數同時換單位。

以『51 個蘋果』為新單位，分數除以分數的包含除問題就變成整數除以整數的

包含除問題。

14÷3＝4……2（2個51，可以裝成 4盤，剩下 2/5 個）

‧ 異分母分數除法經過通分後，問題變成同分母分數除法問題。被除數與除數同時換單位策略是國小階段最主要的解題策略。

策略丁：顛倒相乘策略EX：

541公升果汁，

72 公升裝 1 瓶， 全部裝完，相當於裝成幾瓶？

‧ (1/35 公升＝1 杯，異分母分數除法分母通分)41/5 ÷ 2/7＝(41×7)/(5×7)÷(2×5)/(7×5) →（同時換單位）

＝(41×7) ÷ (2×5)→（因為分母相同，所以分數的除法變成整數的除法）

＝(41×7)/(2×5)→（除法的紀錄格式轉為分數的紀錄格式）＝287/10 →（得到答案）

比較另一種過程（或步驟）41/5 ÷2/7＝(41×7)/(5×7)÷(2×5)/(7×5)＝(41×7)÷(2×5) （同時換單位）＝(41×7)/(2×5) （得到答案）＝(41×7)÷(5×2) （利用乘法的交換性調整）＝41/5 ×7/2 （得到相同的答案）

如果我們給予學生夠多的例子，並且並呈上述兩種不同的解題步驟，讓學生發現兩者之間的差異，但最後得到的答案是相同的：

41/5 ÷2/7 ＝(41×7)÷(5×2) ＝41/5 ×7/2＝287/10與 41/5 ÷2/7 ＝(41×7)÷(2×5) ＝287/10

這樣學生在心理上可以接受「除號變乘號、除數上下顛倒」解題策略，但是學生仍然無法瞭解所謂「顛倒相乘」的真正意義。以下針對如何引入「顛倒相乘」策略再加以說明。

52

倒數觀念的引入與建立

一個數與其「倒數」的關係：基準量與比較量位置互換的關係。

◎以比的策略說明a:1=1:1/a。 （a的倒數是 1/a）→a：1＝(a÷a)：（1÷a）＝1：1/a

a/b:1=1:b/a。 （a/b 的倒數是 b/a）

→a/b：1＝ba×b：1×b＝a：b＝（a÷a）：（b÷a）＝1：

ab

◎以線段表徵的策略說明

「倒數」關係的運用：EX：

2/7 公升裝成 1 瓶→1公升是 7/2 瓶

2/7 公升 1 公升1瓶 7/2 瓶

1 公升是 1時，2/7 公升是 2/72/7 公升是 1(瓶)→1 公升是 7/2(瓶)

EX:一件工作三日完成，則每一日完成全部工作的多少？

1 ÷ 3＝31（除法記錄格式轉換成分數記錄格式）

＝1 ×31（注意記錄格式，

31是 3的倒數）

72公升 ：1 瓶

→ 2 公升 ：7 瓶

→ 1 公升 ：27瓶

瓶→74 1公升

47公升1瓶→

瓶34

瓶14瓶

14

14 瓶1瓶

(1公升）

瓶14瓶

14

14

瓶瓶14

(47公升）

1瓶

53

EX：

541公升的牛奶，每

72 公升莊成一瓶，全部裝完不可剩下，可以裝成多少瓶？

541 ÷

72 ＝

541 ×

27 （

27 是

72 的倒數）

◎形成算則：甲÷乙＝甲×乙的倒數（亦即乙1 ）

‧ 綜合而言，若一定要教「顛倒相乘」的方法，應先利用種種方法引導學生找到答案（例如：連減策略、先乘後減策略、通分換分母策略、線段表徵策略、比值策略等），然後藉由比較差異讓學生發現（接受）「顛倒相乘」的紀錄格式，此時學生應可順利利用「顛倒相乘」的方法得到答案（形成算則），但學生要真正瞭解「顛倒相乘」策略，則必須藉由「倒數」的引入才能克盡其功。

5.1參考教材一：82 國編版第 9冊課本第 71~76 頁

2/7 公升是 1(瓶)→1 公升是7/2(瓶)

41/5 公升是 41/5 個 1 公升，是 41/5 個 7/2 瓶，是 41/5×7/2 瓶。

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55

5.2參考教材二：82 國編版第 9冊課本第 152~156 頁

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5.3 參考教材三：82 國編版第 10 冊課本第 98~106 頁

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58

5.4 參考教材四：82 國編版第 12 冊課本第 40~47 頁

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5.5參考教材五：82 國編版第 12 冊課本第 56~61 頁

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＊參考文獻及資料來源

1. 甯自強教授上課筆記。2. 謝堅教授簡報資料。3. 82 年版國編版數學教科書。