دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - nitmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ...

32
ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪا روش اﺧﺘﻼف ﻣﺤﺪود ﺑﺮﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه از ﮐﺘﺎب ﻫﺎﻓﻤﻦ دﮐﺘﺮ ﻋﺒﺎس راﻣﯿﺎ ر

Upload: others

Post on 18-Jan-2020

13 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

به نام خدا

روش اختالف محدود

برگرفته شده از کتاب هافمن

ردکتر عباس رامیا

Page 2: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

معادالت دیفرانسیل جزئی سهموي

مقدمه

ناویر ادالت الیه مرزي و معادالت سهموي. معنوشته می شوندسهموي صورت معادالتمعادالت حرکت در مکانیک سیاالت غالبا به

د.نمعادله انتقال حرارت ناپایا نیز سهموي می باش عالوه بر این استوکس نمونه هایی از چنین فرمول بندي می باشند.

هر معادله گرفت. خواهد مورد بررسی قرار مدل سهموي دیفرانسیل از معادله اختالف محدود مختلفبندي هاي ، فرمولدر این فصل

ساده اغلب هاي مدل ر چه براي معادالتاگ تفاضل محدود بدست آمده ، ویژگی هاي خاص خود را از نظر دقت ، سازگاري و پایداري دارد.

. ه آشنا شوندهاي به کار رفت با این حال بیشتر آنها را در اینجا بررسی می کنیم تا خوانندگان با روش ها به یک صورت عمل می کنند ، روش

هایی که متداول تر روش هاي ممکن براي حل معادالت سهموي را نمی توان در اینجا مورد بررسی قرار داد و تنها روشبدیهی است که همۀ

.شرایط اولیه و مرزي داده شده تعیین خواهند شدو نتایج آن براي ده شدههستند ارائه می شوند. این روشها در معادالت نمونه به کار بر

ندي تفاضل محدودفرمول ب

معادله انتقال حرارت ناپایا نمونه اي از معادلۀ دیفرانسیل جزئی سهموي مرتبه دوم می باشد که ابتدا در حالت یک بعدي و سپس در حالت

.خواهند شددو بعدي و ... بررسی

معادلۀ مدل مورد نظر به صورت زیر است.

��

��= �

���

���(3 − 1)

مقدار ثابتی است. در این معادله �

جزییات مربوط به معادالت تفاضل ) می توان استفاده کرد.3-1ق هاي معادله (تبراي نشان دادن مشاز تقریبهاي تفاضل محدود مختلفی

زیر استفاده می کنیم.براي زمان از تقریب تفاضل پیشرو به صورت .ارائه خواهند شدمحدود حاصل به زودي

��

��=����� − � �

∆�+ � (∆�)(3 − 2)

:ده می شود) را به صورت زیر تقریب ز3-1، معادلۀ ( بااستفادهازتقریبتفاضلمرکزيمرتبۀ�(�∆)برايجملۀمکان

����� − � �

∆�= �

����� − 2� �

� + � ����

(∆�)�(3 − 3)

.به صورت زیر محاسبه می شودتنها مجهول معادله است و ����� در این معادله

����� = ��

� +�(∆�)

(∆�)�(����

� − 2� �� + � ���

� )(3 − 4)

Page 3: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

) 3-4معادلۀ (ط شبکه به کار رفته در . نمایش گرافیکی نقامی آیددر نتیجه معادلۀ دیفرانسیل جزئی مرتبۀ دوم به صورت یک معادلۀ جبري در

می بینید. 3-1را در شکل

داده شده یا از نتایج حل گام قبلی معلوم است و یا به عنوان شرایط اولیه nتوجه داشته باشید که مقادیر متغیر وابسته در مقطع زمانی

حل ، یک شرط اولیه و دو شرط مرزي تنها به مرحلۀ قبلی وابسته اند. براي شروع (n+1)است. یعنی مقادیر محاسبه شده در مقطع زمانی

) و تنها یک مجهول را 3-4به فرمول بندي معادلۀ پیوسته اي که به صورت معادلۀ تفاضل محدودي در آمد ، (مانند معادلۀ باید مشخص شود.

تنها یک مجهول دارد ، معادالت حاصل را در از آنجا که هر معادلۀ تفاضل محدود بر حسب مقادیر معلوم بیان می کند ، روش صریح می گویند.

حال فرض کنید که جواب یک معادلۀ دیفرانسیل جزئی از یک روش جداگانه حل می کنیم تا مقادیر مجهول بدست آیند. n+1 مرحلۀ زمانی

را ببینید). 3-2بدست آمده باشد (شکل n+4تفاضل محدود صریح در زمان پیش رفته و مقادیر مجهول در زمان

Page 4: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

در محاسبات منظور نمی شود (n+4)اطالعات مربوط به شرایط مرزي مرحلۀ (n+4)توجه داشته باشید که در محاسبۀ مجهول در زمان

بنابراین در یک فرمول بندي ثابت هستند. tکه این موضوع با فیزیک مسأله سازگار نیست ، زیرا خطوط مشخصۀ این معادلۀ سهموي خطوط

صریح ، شرایط مرزي به اندازة یک گام زمانی نسبت به محاسبات تأخیر دارند. در مرحله بعد روشی را بررسی می کنیم که در فرمول بندي آن

شرایط مرزي هر گام زمانی در محاسبات منظور می شود.

ق زمانی و تقریب تفاضل محدود مرکزي مرتبه دوم براي مشتق مکانی استفاده هرگاه از تقریب تفاضل محدود پسروي مرتبه اول براي مشت

شود ، معادله به صورت زیر در می آید.

����� − � �

∆�= �

������� − 2� �

��� + � ������

(∆�)�(3 − 5)

���� در این معادله سه مجهول ��� ، ��

���� و��� ) را می بینید.3-5نقاط شبکۀ به کار رفته در معادلۀ ( 3-3وجود دارد. در شکل ���

براي محاسبۀ مجهول ها به یک دسته معادالت تفاضل محدود مرتبط نیاز است. این معادالت را با نوشتن معادالت تفاضل محدود براي همۀ

وش استاندارد حل کنیم ، آن را به صورت زیر می نویسیم:) را به ر3- 5نقاط شبکه بدست می آوریم. براي آنکه معادلۀ (

�∆�

(∆�)�������� − �1 + 2

�∆�

(∆�)����

��� +�∆�

(∆�)�������� = −� �

�(3 − 6)

) را با تعریف 3-6این گونه فرمول بندي را که شامل بیش از یک مجهول در هر معادله تفاضل محدود است ، روش ضمنی می نامند. معادلۀ (

����ضرایب جمله هاي ��� ،��

����و �����به صورت ���

� ،����و �

��و همچنین تعریف سمت راست آن به صورت �، به شکل کلی زیر �

می نویسیم:

�������

��� + �����

��� + �������

��� = ���(3 − 7)

می مجموعه اي از معادالت جبري بدست تفاضل محدود را براي تمام نقاط شبکه در مقطع زمانی جلوتر می نویسیم و در نتیجه این معادلۀ

آید. هرگاه این معادالت را به صورت ماتریسی بنویسیم ، ماتریس ضرایب آن سه قطري خواهد بود.

Page 5: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

نکته مهم این است که در یک مسأله خاص ببینیم کدام روش مناسب تر پس از آشنایی با دو روش منفصل نمودن یک معادله پیوسته ،

چه باید کرد؟ تأثیر انتخاب گام مکانی در حل چیست؟ آیا روش حل پایدار خواهد بود �∆و گام مکانی �∆است. و اما در رابطه با گام زمانی

پردازیم.و میزان دقت آن چقدر است؟ در بخش هاي آینده به این نکته هاي مهم می

روش هاي صریح

در این بخش بعضی از روش هاي صریح مورد استفاده در حل معادالت سهموي معرفی می شوند.

روش پیشرو نسبت به زمان و تفاضل مرکزي نسبت به مکان .1

ل مرکزي براي مشتق هاي مکانی در همان گونه که پیشتر بحث شد ، از تقریب تفاضل پیشرو براي مشتق هاي زمانی و تقریب تفاض

:) نتیجه می شود3-1معادلۀ (

����� = ��

� +�∆�

(∆�)�(����

� − 2� �� + � ���

� )(3 − 8)

�(�∆)/(�∆)� است. می توان نشان داد که حل این معادله در صورتی پایدار است که [�(�∆),(�∆)] که از مرتبۀ ≤�

�باشد. نقاط

نشان داده شده است. 3-1) در شکل 3-8در معادله (ورد استفاده شبکۀ م

روش ریچاردسون .2

) معادلۀ تفاضل محدود 3-1در این روش از تقریب تفاضل مرکزي براي مشتق هاي زمانی و مکانی استفاده می شود. براي معادلۀ مدل (

بدست آمده به صورت زیر است.

����� − � �

���

2∆�= �

����� − 2� �

� + � ����

(∆�)�

تحلیل پایداري در مورد معادلۀ باال نشان می دهد که این معادله بی قید و شرط ناپایدار است و است. نتایج [�(�∆),�(�∆)]که از مرتبۀ

بنابراین هیچ ارزش عملی ندارد.

فرانکل – روش دوفورت .3

در این روش ، مشتق زمانی ��

��تقریب زده می شود. تقریب مشتق مرتبۀ دوم مکانی �(�∆)تفاضل محدود مرکزي مرتبۀ با یک رابطه

��منتها به علت مالحظات پایداري عبارت تعیین می شود. �(�∆)نیز با یک رابطه تفاضل محدود مرکزي مرتبۀ در جملۀ انتشار با مقدار �

��متوسط مقادیر ��و ���

فرمول بندي در واقع نوع تغییر یافتۀ روش ریچاردسون است. جایگزین می شود. این ���

معادلۀ تفاضل محدود حاصل به صورت زیر است.

Page 6: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

����� − � �

���

2∆�= �

����� − 2

����� + � �

���

2 + � ����

(∆�)�(3 − 9)

که از آنجا داریم:

����� = ��

��� +2�(∆�)

(∆�)������

� − � ���� − � �

��� + � ���� �(3 − 10)

است. بنابراین معادله را می توان به صورت iدر سمت راست معادله ظاهر می شود ، این تنها مربوط به موقعیت (n+1)با اینکه باالنویس

حل کرد. در نتیجه: n+1در مقطع زمانی ��صریح براي مجهول

�1 +2�(∆�)

(∆�)����

��� = �1 −2�(∆�)

(∆�)����

��� +2�(∆�)

(∆�)�[����

� + � ���� ](3 − 11)

,�(�∆)�این روش از مرتبۀ (∆�)�,(∆�

∆�)است. گفتنی است که این فرمول بندي بی قید و شرط پایدار است. عبارت اضافی ��(

∆�

∆�)�

زودي به آن می پردازیم. که در جملۀ خطا ظاهر شده ناشی از تحلیل پایداري است که به

باید معلوم باشند. بنابراین در آغاز باید دو دسته اطالعات اولیه ارائه شده باشد n-1و nدر مقاطع زمانی ��براي شروع محاسبات ، مقادیر

به عنوان (�∆)که از یک گام زمانی و یا اینکه از نقطه نظر عملی از یک گام زمانی به عنوان شروع کننده باید استفاده کرد. البته در حالتی

ام را ایجاد کند. با استفاده از nنیاز است تا جواب هاي مرحله n-1شروع کننده استفاده شود ، تنها به یک دسته اطالعات اولیه در زمان

، دقت فرانکل استفاده می کنیم. در رابطه با این روش دو نکته را باید به خاطر داشت. اوالً -، از روش دوفورت nو n-1در مرحله ��مقادیر

به دقت حل شروع کننده بستگی دارد. ثانیاً ، چون براي حل مجهول در هر نقطه به اطالعات دو نقطۀ قبلی نیاز است ، فرانکل -روش دوفورت

نشان داده شده 3-4) در شکل 3-11به این امر اختصاص داد. شبکۀ نقاط دخیل در معادله ( اید در کامپیوترفضاي ذخیره سازي بیشتري را ب

اند.

Page 7: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

روش هاي ضمنی

به صورت زیر گسسته شد 3-1وقتی که معادله مدل

����� − � �

(∆�)= �

������� − 2� �

��� + � ������

(∆�)�(3 − 12)

آن را معادله ضمنی نامیدیم ، زیرا بیش از یک مجهول در معادلۀ تفاضل محدود ظاهر شد. در نتیجه مجموعه اي از معادالت را به طور هم

زمان باید حل کرد که باعث افزایش زمان محاسبه در هر گام زمانی می شود. روش هاي ضمنی داراي فایدة مهم پایداري معادالت تفاضل

بنابراین گام هاي زمانی بزرگتر در این روش مجاز است. به هر حال انتخاب گام زمانی بیشتر آنها بی قید و شرط پایدارند. محدودند ، زیرا

بزرگتر با توجه به مسأله دقت محدود می شود ، زیرا افزایش گام زمانی منجر به افزایش خطاي قطع کردن معادله تفاضل محدود می شود. در

ول بندي هاي متداول در روش هاي ضمنی را تشریح می کنیم.این بخش بعضی از فرم

روش السونن .1

) به روش ضمنی السونن معروف است. با به کار بردن این فرمول بندي در تمام نقاط شبکه مجموعه اي از 3-12فرمول بندي سادة معادله (

بینید.می 3-3معادالت جبري خطی به دست می آید. نقاط شبکه را نیز در شکل

نیکلسون –روش کرنک .2

جایگزین کنیم ، n+1و n) را با مقدار متوسط تفاضل هاي مرکزي در مقاطع زمانی 3-1اگر عبارت انتشار در معادلۀ (

معادلۀ گسستھ شده حاصل بھ صورت زیر است:

����� − � �

(∆�)= ��

1

2� �������� − 2� �

��� + � ������

(∆�)�+����� − 2� �

� + � ����

(∆�)��(3 − 13)

که سمت چپ معادله ، تقریب تفاضل مرکزي با گام زمانی باید دانست∆�

� است. یعنی:

��

��=����� − � �

2(∆�2 )

است. �(�∆)که از مرتبۀ

سمت چپ معادله تقریب مرکزي )3-5از دیدگاه نقاط شبکه (شکل ��

��حالی که سمت راست متوسط جملۀ انتشار است ، در Aدر نقطۀ

در همان نقطه است. این روش حاصل جمع محاسبات در دو گام زمانی به صورت زیر است. با استفاده از روش صریح داریم:

��

���� − � �

(∆�2 )

= ������ − 2� �

� + � ����

(∆�)�(3 − 14)

Page 8: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

داریم:در حالی که با استفاده از روش ضمنی

����� − �

����

�∆�2�

= �������� − 2� �

��� + � ������

(∆�)�(3 − 15)

) داریم:3-15) و (3- 14از جمع معادالت (

����� − � �

(∆�)=1

2� �

������� − 2� �

��� + � ������

(∆�)�+����� − 2� �

� + � ����

(∆�)��(3 − 16)

براي مشتق زمانی دشوار است. این روش ضمنی بی قید و شرط پایدار و از �(�∆)گفتنی است که با این تحلیل امکان تشخیص مرتبۀ

است. یعنی این روش از مرتبۀ دوم است. [�(�∆),�(�∆)]مرتبۀ

(�)فرمول بندي بتا

است. ) شکل کلی معادله تفاضل محدود به صورت زیر3-1براي معادلۀ مدل (

����� − � �

(∆�)= � ��

������� − 2� �

��� + � ������

(∆�)�+ (1 − �)

����� − 2� �

� + � ����

(∆�)��(3 − 17)

0.5این روش براي ≤ � ≤ βبی قید و شرط پایدار است. به ازاي 1 = نیکلسون است. براي –، این روش همان روش ضمنی کرنک 0.5

0 ≤ � ≤ β، این فرمول بندي به صورت مشروط پایدار است. براي 0.5 = تبدیل می شود. (FTCS)این فرمول بندي به روش صریح 0

Page 9: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

سیالی را بین دو صفحه ي نامحدود موازي در نظر بگیرید به گونه اي که کناره هاي صفحات اثري در سیال ندارد. صفحات موازي و سیال

شتاب می گیرد. دستگاه x) می بینید صفحه پایینی ناگهان در امتداد 3- 6است. همان گونه که در شکل (بین آنها در آغاز در حال سکون

است. hعمود باشد. فاصلۀ دو صفحه برابر yو بر محور xzمختصات به گونه اي انتخاب می شود که دیوار پایینی شامل صفحۀ

استوکس براي این مسأله به صورت زیر است. –معادلۀ ناویر

��

��= �

���

���

لزجت سینماتیکی سیال است. پروفیل سرعت را محاسبه می کنیم. شرط اولیه و مرزي براي این مسأله عبارت است از: �که

الف (شرط اولیه)

� = 0,� = ��for� = 0

,� = 0for0 < � ≤ ℎ

ب (شرایط مرزي)

� ≥ 0,� = ��for� = 0

,� = 0for� = ℎ

Page 10: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

معادالت سهموي دو بعدي

تا این مرحله ، فرمول بندي هاي تفاضل محدود مختلفی را براي معادالت دیفرانسیل جزئی سهموي با در نظر گرفتن معادلۀ مدل غیر دائم

و یک بعدي ، بررسی کردیم. در این بخش ، مسأله را به دو بعد مکانی تعمیم و روش حل مفیدي را براي آن نشان می دهیم. معادله مدل زیر

نظر بگیرید:را در

��

��= ��

���

���+���

����(3 − 18)

مقدار ثابتی است. �که در آن

معادلۀ تفاضل محدود صریحی که در آن از تفاضل پیشرو براي مشتق زمان و تفاضل مرکزي براي مشتق هاي مکان استفاده می شود ، به

صورت زیر است:

��,���� − � �,�

∆�= � �

����,�� − 2� �,�

� + � ���,��

(∆�)�+

��,���� − 2� �,�

� + � �,����

(∆�)��(3 − 19)

است. تحلیل پایداري نشان می دهد که این روش در صورتی پایدار است که: [�(�∆),�(�∆),(�∆)]این معادله از مرتبۀ

��∆�

(∆�)�+

�∆�

(∆�)�� ≤

1

2

صورت:با تعریف اعداد انتشار به

�� =�∆�

(∆�)�

و

�� =�∆�

(∆�)�

شرط پایداري چنین می شود:

��� + � �� ≤1

2

گام هاي مکانی ] )3-8معادلۀ ( یعنی[براي انجام مقایسه اي ساده بین این شرط پایداري و شرط پایداري یک معادلۀ تفاضل محدود یک بعدي

�∆مساوي به گونه اي انتخاب کنید که = ��در نتیجه باشد. �∆ = �� = ) به 3-19و شرط پایداري معادله دیفرانسیل جزئی ( �

�صورت ≤ حالت یک بعدي است. چنین محدودیت دست و پا گیري بر روي گام ، فرمول بندي است. این شرط نصف شرط پایداري 0.25

) را براي برخی کاربردها روشی غیر عملی می کند.3-19صریح (

ۀ تفاضل محدود زیر در نظر بگیرید:در عوض فرمول بندي ضمنی را با معادل

��,���� − � �,�

∆�= � �

����,���� − 2� �,�

��� + � ���,����

(∆�)�+

��,������ − 2� �,�

��� + � �,������

(∆�)��

که از آن داریم:

������,���� + � �����,�

��� − �2� � + 2� � + 1���,���� + � ���,���

��� + � ���,������ = −��,�

� (3 − 20)

Page 11: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

) را به شکل زیر می نویسیم:3- 20، معادله ( fو همچنین طرف راست با a ،b ،c ،d ،eبا تعریف ضرایب جمله هاي مجهول با

��,�����,���� + ��,�����,�

��� + ��,���,���� + � �,���,���

��� + ��,���,������ = ��,�

مجهول وجود دارد. n+1 ،9در نظر بگیرید. در مقطع زمانی 3-12را مطابق شکل 5در 5براي بحث در مورد این موضوع ، یک دستگاه شبکه

برابرند با: 3-12معادله باید به طور هم زمان حل شوند. معادالت تفاضل محدود ضمنی براي نقاط شبکۀ شکل 9بنابراین

��,���,�+ ��,���,�+ ��,���,�= ��,�− ��,���,�− � �,���,�

��,���,�+ ��,���,�+ � �,���,�+ ��,���,�= ��,�− ��,���,�

��,���,�+ ��,���,�+ � �,���,�= ��,�− ��,���,�− ��,���,�

��,���,�+ ��,���,�+ ��,���,�+ ��,���,�= ��,�− � �,���,�

��,���,�+ ��,���,�+ ��,���,�+ � �,���,�+ ��,���,�= ��,�

��,���,�+ ��,���,�+ ��,���,�+ � �,���,�= ��,�− ��,���,�

��,���,�+ ��,���,�+ ��,���,�= ��,�− � �,���,�− � �,���,�

��,���,�+ ��,���,�+ � �,���,�+ ��,���,�= ��,�− � �,���,�

��,���,�+ ��,���,�+ � �,���,�= ��,�− � �,���,�− ��,���,�

جمع کردیم. (n)که همۀ کمیت هاي معلوم مربوط به شرایط اولیه را به سمت راست معادالت برده و با مقادیر مربوط به مرحله زمانی پیشین

Page 12: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

اولین مرحلۀ محاسبات و پیرو آن از حل مرحله قبل حاصل می شود. مجموعۀ معادالت از روي شرایط اولیه تحمیلی nداده هاي مقطع زمانی

ل ماتریسی زیر می توان نوشت:را به شک

پنج قطري است. روش حل یک دستگاه معادالت پنج قطري نیز زمان زیادي الزم دارد. یک روش براي برطرف کردن ماتریس ضرایب

در این روش دو دسته معادالت است. (ADI)کاستی ها و عدم کارایی آن ، روش جداکردن است. نام این روش ، روش ضمنی با جهت متغییر

می شود که باید به ترتیب حل شوند. قبالً روش کارآمدي را براي حل معادالت سه قطري معرفی کردیم. معادالت سه قطري هم زمان ایجاد

به صورت زیر است: (ADI)) با فرمول بندي 3-7تفاضل محدود معادله مدل (

��,�

���� − � �,�

�∆�2�

= � �����,�

���� − 2�

�,�

���� + �

���,�

����

(∆�)�+

��,���� − 2� �,�

� + � �,����

(∆�)��(3 − 21�)

و

��,���� − �

�,�

����

�∆�2�

= � �����,�

���� − 2�

�,�

���� + �

���,�

����

(∆�)�+

��,������ − 2� �,�

��� + � �,������

(∆�)��(3 − 21�)

به شکل سه قطري زیر نوشته (21b-3)و (21a-3)و بی قید و شرط پایدار است. معادالت [�(�∆),�(�∆),�(�∆)]این روش از مرتبۀ

می شوند.

−� �����,���

�� + (1 + 2��)��,�

���� − � �����,�

���� = ����,���

� + (1 − 2��)��,�� + � ���,���

� (3 − 22�)

و

−� ���,������ + (1 + 2��)��,�

��� − � ���,������ = ������,�

���� + (1 − 2��)��,�

���� + � �����,�

���� (3 − 22�)

Page 13: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

که در آن:

�� =1

2�� =

1

2���

(��)�

�� =1

2�� =

1

2���

(��)�

، بنابراین حل صریح است yضمنی و در جهت xدر جهت (22a-3)شروع می شود. فرمول بندي معادله (22a-3)روش حل با حل دستگاه

، داده هاي مورد نیاز براي سمت راست معادلۀ (22a-3)می گویند. جواب معادلۀ سه قطري xجارو کردن در جهت در این مرحله را

(3-22b) را فراهم می کند تا بتوان معادلۀ سه قطري(22-3b) .را حل کرد

3- 13این روش در شکل می گویند. yصریح است و به آن جارو کردن در جهت xضمنی و در جهت yاین معادله تفاضل محدود در جهت

نشان داده شده است.

Page 14: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

بسط روش به حالت سه بعدي

که براي معادله سهموي دو بعدي غیر دائم بررسی شد ، به حالت سه بعدي تعمیم می دهیم ، که در نتیجه گام هاي زمانی (ADI)روش

n ،n +�

� ،n +

� . معادالت حاصل براي معادله مدلرا شامل می شود n+1و

��

��= ��

���

���+���

���+���

����(3 − 35)

عبارتند از:

��,�,�

���� − � �,�,�

∆�3

= ������

�,�,�

����

(∆�)�+�����,�,�

(∆�)�+�����,�,�

(∆�)��

��,�,�

���� − �

�,�,�

����

∆�3

= ������

�,�,�

����

(∆�)�+����

�,�,�

����

(∆�)�+����

�,�,�

����

(∆�)��

��,�,���� − �

�,�,�

����

∆�3

= ������

�,�,�

����

(∆�)�+����

�,�,�

����

(∆�)�+�����,�,�

���

(∆�)��

می باشد و شرط پایداري آن به صورت زیر است: [�(�∆),�(�∆),�(�∆),(�∆)]از مرتبۀ روش این

��� + � � + � �� ≤3

2

تحلیل همسازي معادالت تفاضل محدود

طبق تعریف قبلی ، معادلۀ تفاضل محدودي که یک معادلۀ دیفرانسیل جزئی را تقریب می زند ، در صورتی همساز است که با کاهش اندازة

معادلۀ تفاضل محدود به سمت معادلۀ دیفرانسیل جزئی اصلی میل کند. در این بخش سازگاري برخی از روش هایی را که به سمت صفر ،گام

در بخش هاي قبلی به کار بردیم ، بررسی می کنیم. از آنجا که روش کار ساده و سرراست است ، تنها چند مثال می آوریم. به عنوان اولین

) را در نظر بگیرید. یعنی:3- 1دل (مثال ، معادلۀ م

��

��= �

���

���

چنین است: (FTCS)که تقریب تفاضل محدود آن با استفاده از روش صریح

����� − � �

∆�= �

����� − 2��

� + � ����

(∆�)�(3 − 36)

Page 15: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

�uرا حول نقطۀ uهر جملۀ بسط تیلور می دهیم. در نتیجه: �

����� = ��

� +��

��(∆�)+

���

���(∆�)�

2!+ O(∆�)�(3 − 37)

����� = ��

� +��

��(∆�)+

���

���(∆�)�

2!+���

���(∆�)�

3!+ O(∆�)�(3 − 38)

����� = ��

� −��

��(∆�)+

���

���(∆�)�

2!−���

���(∆�)�

3!+ O(∆�)�(3 − 39)

) نتیجه می شود:3- 36) در معادله (3-39) و (3-38) ، (3-37با قرار دادن معادالت (

1

∆����

� +��

��(∆�)+

���

���(∆�)�

2!+ O(∆�)� − � �

�� =

(∆�)����

� +��

��(∆�)+

���

���(∆�)�

2!+���

���(∆�)�

3!+ O(∆�)� − 2� �

+��� −

��

��(∆�)+

���

���(∆�)�

2!−���

���(∆�)�

3!+ O(∆�)��

که از آن داریم:

���

��+���

���∆�

2+ O(∆�)�� = � �

���

���+ O(∆�)��

یا

��

��= �

���

���− �

∆�

2����

���+ O[(∆�)� + (∆�)�]

به سمت صفر ، معادلۀ تفاضل محدود باید به معادله دیفرانسیل جزئی اولیه �∆و �∆الزمۀ همسازي این است که با میل دادن گام هاي

�∆,�∆تبدیل شود. در این مثال هرگاه → ، معادله دیفرانسیل جزئی اولیه ، یعنی 0��

��= �

���

���دست می آید. بنابراین روش همساز ب

است.

در نظر بگیرید. فرمول بندي تفاضل محدود معادلۀ مدل فوق به صورت زیر است:فرانکل را –به عنوان دومین مثال ، روش دوفورت

(1 + 2�)����� = (1 − 2�)��

��� + 2�(����� + � ���

� )(3 − 40)

که در آن:

� = �∆�

(∆�)�(3 − 41)

Page 16: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

��مشابه روش قبل ، عبارت هاي ��� ،��

��� ،��������و �

��را حول نقطۀ �) 3-40بسط تیلور می دهیم و نتایج حاصل را در معادله ( �

:دست آیدجایگزین می کنیم تا نتایج زیر ب

(1 + 2�)���� +

��

��(∆�)+

���

���(∆�)�

2!+���

���(∆�)�

3!+ O (∆�)�� =

(1 − 2�)���� −

��

��(∆�)+

���

���(∆�)�

2!−���

���(∆�)�

3!+ O (∆�)��

+2������ +

��

��(∆�)+

���

���(∆�)�

2!+���

���(∆�)�

3!+ O(∆�)��

+���� −

��

��(∆�)+

���

���(∆�)�

2!−���

���(∆�)�

3!+ O(∆�)���

این معادله به صورت زیر ساده می شود:

��

��(∆�)+ (�)

���

���(∆�)� + O(∆�)� = (�)

���

���(∆�)� + (�)[O(∆�)�]

) در معادله اخیر نتیجه می شود:3-41با جایگزین کردن رابطۀ (

��

��(∆�)+

�∆�

(∆�)����

���(∆�)� + O(∆�)� =

�∆�

(∆�)�����

����(∆�)� +

�∆�

(∆�)�[O(∆�)�]

یا

��

��+ �

���

����∆�

∆���

= ����

���+ O[(∆�)�,(∆�)�]

یا

��

��= �

���

���+ O�(∆�)�,(∆�)�,�

∆�

∆���

�به سمت صفر میل کند �∆و �∆این روش تنها در صورتی همساز است که اگر ∆�

∆�� → نیز به سمت صفر میل کند. بنابراین 0

��

��= �

���

���به سمت صفر میل �∆سریعتر از �∆شایان ذکر است که اگر که همان معادله دیفرانسیل جزئی اولیه است بدست می آید.

کند ، ∆�

∆� به صورت زیر در می آید: میل می کند و معادله Kه سمت مقدار ب

��

��+ �� �

���

���= �

���

���

که نشان دهندة یک معادله هذلولوي است.

Page 17: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

خطی کردن

معادالت مدلی را که تا این مرحله بررسی کردیم ، همگی خطی بودند. در حالت کلی معادالت مورد نظر در مکانیک سیاالت و انتقال حرارت

غیر خطی هستند. در این بخش روش هاي مختلف خطی سازي معادالت تفاضل محدود بررسی می شوند. براي نشان دادن روش خطی سازي

�، جمله غیر خطی ��

��استوکس است) در نظر بگیرید. در این مثال ، جریان دو بعدي و حالت –را (که عبارت جا به جایی در معادلۀ ناویر

j، خواص در همۀ گستره هاي iدائم فرض شده است و از روش تفاضل پیشرو براي تقریب زدن مشتق جزئی استفاده می شود. براي هر مکان

محاسبه می کنیم. (i+1)معلوم است و می خواهیم خواص را در مکان

(lagging)تأخیري – Iروش

) حساب کنیم. بنابراین ، شکل معادله تفاضل محدود به صورت زیر iدر این روش خطی سازي ، ضریب مشتق را در موقعیت معلوم (یعنی

است:

��,�����,�− � �,�

∆�

وجود دارد و عبارت تفاضل محدود خطی است. �,���uدر این معادله تنها یک مجهول

(Iterative)تکراري – IIروش

نشان دهیم ، فرمول kمقدار تأخیري ، تجدید مقدار می شود تا معیار همگرایی مشخصی را ارضا کند. اگر مرحلۀ تکرار را با در این روش ،

بندي به صورت زیر است.

����,��

����,���� − � �,�

∆�

�,����برابر است. پس از محاسبه �,��با مقدار در موقعیت قبلی ، یعنی �,����، k = 1براي اولین مرحلۀ تکرار ، یعنی �,����، ضریب ���

� ،

ن به مقدار معیار همگرایی ادامه می یابد. معیار و به دنبال آن جواب جدید را بدست می آوریم. این روش تا رسید تجدید مقدار می شود

همگرایی را می توان با یکی از دو عبارت زیر (بسته به نوع مسأله) بیان کرد.

�����,���� − � ���,�

� � ≤ �

یا

�����,���� − � ���,�

����,����

� ≤ �

خطی سازي تکراري نیوتن – IIIروش

بین دو مرحلۀ تکرار با Aدر نظر بگیرید. تغییر مقدار متغیر (B)(A)براي نشان دادن طرز کار این روش ، عبارت غیرخطی را به صورت

نشان می دهیم. در این صورت: ��

Page 18: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

�� = ���� − � �

به همین ترتیب:

�� = ���� − � �

یا

���� = �� + ��(3 − 42)

���� = �� + ��(3 − 43)

جایگزین کنید تا عبارت زیر بدست آید. (B)(A)) را در عبارت 3- 43) و (3-42مقادیر (

�������� = ��� + ����� � + ��� = � ��� + � ��� + � ��� + (��)(��)

معادله به صورت زیر مرتب می شود: ، (��)(��)پس از حذف عبارت مرتبۀ دوم

�������� = ���� + � ������ − � �� + � ������ − � ��

= ���� + � ����� − � ��� + � ����� − � ��� = ������ + � ����� − � ���

�حال ، براي مسأله قبلی که خطی کردن ��

�� مورد نظر بود داریم:

���

��= �� �

��

������

+ � ��� ���

����

− � � ���

����

با تفاضل پیشرو:

���

��= ����,�

� ����,���� − � �,�

∆�+ � ���,�

��� ����,�� − � �,�

∆�− � ���,�

� ����,�� − � �,�

∆�=

1

∆������,�

� ����,���� − � ���,�

� ��,�+ � ���,���� ����,�

� − � ���,���� ��,�− � ���,�

� ����,�� + � ���,�

� ��,��

بنابراین:

���

��=

1

∆��2����,�

� ����,���� − �� ���,�

� ��− � �,�����,�

��� �

خطی سازي در روش هاي عددي است. از متداول ترین روش هايروش خطی سازي فوق ،

Page 19: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

معادالت بیضوي

مقدمه

را می توان براي برخی کاربرد هاي ویژه ساده کرد و به شکل بیضوي نوشت. به عنوان معادالت حاکم در مکانیک سیاالت و انتقال حرارت

و معادلۀ تابع جریان نام برد. مثال می توان از معادله هدایت حرارتی حالت پایا ، معادله پتانسیل سرعت براي جریان تراکم ناپذیر غیر لزج

الپالس: ۀت اند از معادلمعادالت بیضوي دو بعدي در دستگاه مختصات دکارتی عبار

���

���+���

���= 0(5 − 1)

و معادلۀ پواسون:

���

���+���

���= �(�,�)(5 − 2)

این دو معادلۀ مدل در بررسی روش هاي مختلف حل به کار می روند.

فرمول بندي هاي تفاضل محدود

بیشتر استفاده می شود. در این روش ، از تفاضل مرکزي " اي پنج نقطه"از بین فرمول بندي هاي تفاضل محدود موجود ، از فرمول بندي

) به صورت زیر تقریب زده می شود:5-1که از دقت مرتبۀ دوم برخوردار است استفاده می شود. بنابراین معادلۀ مدل (

����,�− 2��,�+ � ���,�

(∆�)�+��,���− 2��,�+ � �,���

(∆�)�= 0(5 − 3)

) نشان داده شده است.5-1نقاط مربوط به شبکۀ این فرمول بندي در شکل (

Page 20: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

است که در آن تقریب مرتبۀ چهارم براي مشتق ها به کار می رود. با این نوع" نقطه اي 9"فرمول بندي با مرتبۀ باالتر ، فرمول بندي

) به صورت زیر است:5-1معادله مدل ( فرمول بندي ، معادله تفاضل محدود

−� ���,�+ 16����,�− 30��,�+ 16����,�− � ���,�

12(∆�)�

+−� �,���+ 16��,���− 30��,�+ 16��,���− � �,���

12(∆�)�= 0(5 − 4)

) نشان داده شده است.5- 2) آمده اند در شکل (5-4نقاطی از شبکه که در معادله (

ه آسان یکی از دشواري هاي آشکار استفاده از این معادله ، به کار بردن شرایط مرزي است. بنابراین در مسائلی که به دقت باال نیاز دارند ، را

5نقطه اي با شبکه اي ریزتر استفاده شود. به علت سادگی معادله 5، از معادلۀ نقطه اي با دقت مرتبۀ چهارم 9تر این است که به جاي معادلۀ

) را به صورت زیر می نویسیم:5-3) می بینید ، در این فصل از این معادله استفاده می کنیم. معادلۀ (5-3نقطه اي که در معادله (

����,�− 2��,�+ � ���,�+ �Δ�

���

���,���− 2��,�+ � �,���� = 0(5 − 5)

�بنابراین ، تعریف می کنیم �نسبت گام ها را = ∆� ) به صورت زیر نوشته می شود:5-5. در نتیجه معادله ( ⁄�∆

����,�+ � ���,�+ ����,���+ �

���,���− 2 �1 + �

����,�= 0(5 − 6)

6براي بررسی روش هاي مختلف ، ابتدا قلمرو حلی را با شرط مرزي دریکله در نظر بگیرید. به عنوان مثال ، شبکۀ × با شرایط مرزي زیر را 6

) در نظر بگیرید.5-3در شکل(

� = 0� =��,� = 0� = ��

� = �� =��,� = �� = ��

Page 21: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

مجهول بدست می آید که عبارت اند از: 16معادله با 16) را در نقاط داخلی شبکه به کار بریم ، 5- 6اگر معادلۀ (

��,�+ ��,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

�� ��,�= 0

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

��,�+ ��,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

�� ��,�= 0

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

��,�+ ��,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

�� ��,�= 0

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

��,�+ ��,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

�� ��,�= 0

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

Page 22: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

��,�+ � �,�+ ����,�+ �

���,�− 2 �1 + �

����,�= 0

این معادالت در شکل ماتریسی به صورت زیر در می آیند:

�که در آن = −2 �1 + �� می باشد. �

این یک ماتریس پنج قطري با قطر هاي غیر همجوار است. ثانیاً ، اجزاي قطر اصلی شکل ماتریسی داراي دو ویژگی قابل توجه است. اوالً ،

حل اهمیت خاصی دارند. هاي در هر ردیف بیشترین مقدار رادارند. این ویژگی ها در هنگام ایجاد روش

الگوریتم حل

) دو روش وجود دارد. این روش ها عبارت اند از روش مستقیم و روش تکراري.5- 7براي حل همزمان دستگاه معادالت جبري خطی (

برخی از روش هاي مشهور مستقیم عبارت اند از قاعده کرامر و روش حذفی گوس. عیب بزرگ این روش ها ، عملیات ریاضی بسیار زیاد

آنها آنها براي ایجاد یک جواب است. روش هاي مستقیم پیشرفته اي پیشنهاد شده اند که به زمان محاسبات کمتري نیاز دارند ، اما تقریباً همۀ

که این شرایط عبارت اند از: دستگاه مختصات دکارتی ، قلمرو ایی دارند. معموال این روش ها با یک یا چند شرط محدود می شوندعیب ه

مستطیلی ، اندازه ماتریس ضرایب ، ظرفیت ذخیره باال ، شرایط مرزي و مشکل برنامه نویسی در آنها.

Page 23: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

از کاربردها ابزار مفیدي به نظر می رسند. از آنجا که کاربرد کلی روش هاي حل در هر حال برخی از روش هاي مستقیم پیشرفته در بعضی

مورد نظر ما است ، بررسی خود را به روش هاي ساده و قابل درك تکراري محدود می کنیم. روش هاي تکراري براي حل دستگاه معادالت

پایه و اساس این روش ها ، بدست آوردن جواب با استفاده از رد کرد.خطی ساده هستند و به راحتی می توان آنها را در برنامۀ کامپیوتري وا

معموال جواب نخست را حدس می زنیم و مقدار جدید متغیر ها را محاسبه می کنیم. از مقادیر جدید محاسبه شده ، جواب هاي تکرار است.

خاصی ارضا شود.جدیدتري بدست می آوریم و این کار را آنقدر ادامه می دهیم تا معیار همگرایی

اگر فرمول بندي فقط به یک مجهول ختم شود ، آن را فرمول بندي هاي مختلف روش هاي تکراري را می توان به دو گروه تقسیم کرد.

روش تکراري نقطه اي می گویند. این روش مشابه روش صریح در معادالت سهموي است. از سوي دیگر ، اگر فرمول بندي شامل بیش از یک

ول باشد (معموال سه مجهول که ماتریس ضرایب سه قطري را می دهد) ، به آن ، روش تکراري روي خط می گویند که مشابه فرمول مجه

مورد بحث و بررسی قرار می دهیم.بندي ضمنی معادالت سهموي است. برخی از روش هاي تکراري را در اینجا

روش تکرار ژاکوبی

در این روش مقدار کمیت وابسته در هر نقطه از مقادیر حدس اولیۀ نقاط مجاور و یا مقادیر محاسبه شده در مرحلۀ پیشین براي نقاط

به صورت زیر استفاده می شود : k+1در مرحله جدید �,��) براي محاسبۀ مقدار جدید 5-6بنابراین از معادلۀ (مجاور محاسبه می شود.

��,���� =

1

2 �1 + ��������,�

� + � ���,�� + �

����,���

� + � �,���� ��(5 − 8)

محاسبات را تا رسیدن به حد به مقادیر محاسبه شدة پیشین (یا مقادیر حدس اولیه براي نخستین مرحلۀ محاسبه) بستگی دارد. kکه

توجه می کند که راهی براي بهبود روش حل پیدا کنیم. یکی از سوال ها این همگرایی مشخصی ادامه می دهیم. بی درنگ این نکته جلب

در واقع ، استفاده از این ایده ، روش براي محاسبۀ مقدار نقاط همسایه استفاده نکنیم؟ متغیر وابسته است که چرا از مقادیر محاسبه شدة جدید

روش ژاکوبی ریع تر همگرایی و در نتیجه آن کاهش زمانِ محاسبه می شود.سایدل را به ما ارائه می کند که سبب افزایش س –تکراري گوس

به ندرت در حل معادالت بیضوي استفاده می شود. این روش را فقط به این منظور در اینجا نشان می دهیم که نحوة بهبود گام به گام روش

هاي مختلف تکراري را نشان داده باشیم.

و یک معادله سهموي تابع زمان را بررسی می کنیم. مورد بحثتشابه بین روش هاي تکراري پیش از پرداختن به دیگر روش هاي تکراري ،

معادلۀ سهموي زیر را در نظر بگیرید:

��

��=���

���+���

���(5 − 9)

به شکل زیر است: (FTCS)فرمول بندي صریح معادله تفاضل محدود

��,���� − � �,�

∆�=����,�� − 2� �,�

� + � ���,��

(∆�)�+��,���� − 2� �,�

� + � �,����

(∆�)�

یا

��,���� = ��,�

� +∆�

(∆�)������,�

� − 2� �,�� + � ���,�

� � +∆�

(∆�)�(��,���

� − 2� �,�� + � �,���

� )

Page 24: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

�∆براي سادگی مساله فرض کنید = باشد ، در نتیجه داریم: �∆

��,���� = ��,�

� +∆�

(∆�)������,�

� + � ���,�� − 4� �,�

� + � �,���� + � �,���

� �

�∆براي (∆�)�⁄ ≤ �∆، روش حل پایدار است. بنابراین براي حد باالي آن یعنی 0.25 (∆�)�⁄ = داریم: 0.25

��,���� = ��,�

� +1

4�����,�

� + � ���,�� − 4� �,�

� + � �,���� + � �,���

� �

یا

��,���� =

1

4�����,�

� + � ���,�� + � �,���

� + � �,���� �(5 − 10)

β) به کار می بریم. با فرض 5-1حال روش تکرار ژاکوبی را در معادله بیضوي دو بعدي ( = ∆� ∆�⁄ = ، نتیجه می شود: 1

��,���� =

1

4�����,�

� + � ���,�� + � �,���

� + � �,���� �(5 − 11)

) که روش تکرار ژاکوبی یک معادله بیضوي است ، 5-11یک معادله سهموي است ، با معادلۀ ( (FTCS)) که تقریب 5- 10مقایسه معادلۀ (

دو فرمول بندي مختلف و در واقع دو مساله فیزیکی کامال متفاوت را نشان می نشان می دهد که دو معادله یکسانند. با آن که این دو معادله

دهند ، از نظر ریاضی (و کامپیوتر) یکسانند. از این تشابه نتیجه می گیریم که برخی از روش هاي حل معادالت سهموي می تواند گسترش پیدا

، راي حل معادالت سهموي به کار رفت که پیشتر ب (ADI)ع روش کند تا روش حل کاربردي براي حل معادالت بیضوي بدست آید. در واق

براي حل معادالت بیضوي را به زودي تشریح خواهیم کرد. (ADI)روش مثالی از این نمونه است.

که تابع �,��) را براي محاسبه مقادیر متغیر 5-10بحث باال را به صورت تصویري به شکل زیر می توان نشان داد. فرض کنید که معادله (

) نشان داده شده است.5-4زمان است ، استفاده کنیم. حل حالت دائم پس از زمانی طوالنی بدست می آید که در شکل (

). 5-11و فرض کنید که از یک روش تکراري براي حل استفاده شده است ، مثال معادله ( ) را در نظر بگیرید5-1حال حل معادله حالت پایا (

) نشان داده شده است.5- 5نمونه اي از جواب در شکل (

) در هر مرحلۀ زمانی 5-10تفاوت عمدة بین دو روش حل را در این مرحله نشان می دهیم. جواب وابسته به زمان بدست آمده از معادلۀ (

) در مراحل میانی داراي هیچگونه ارزش فیزیکی نیست و تنها مقداري در مسیر5-11. از طرف دیگر ، هرگونه جواب معادلۀ (اعتبار است داراي

Page 25: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

رسیدن به جواب حالت دائم به شمار می رود.

که در فصل سوم گفتیم ، براي شروع حل نکتۀ قابل اشاره دیگر را یادآور می شویم. براي ارائه روش حل براي مسالۀ غیر دائم ، همان گونه

هرگاه شرط اولیه و گام زمانی فیزیک مساله را به شکل درستی بیان کنند ، جواب بدست آمده جواب دقیق زمانی به شرط اولیه نیاز داریم.

هذلولوي در اطراف یک شکل است. اما ، سوال این است که در مورد مسائلی که شرط اولیه دقیقی وجود ندارد چه باید کرد؟ میدان جریان

دست پیچیده ، مثالی از این نوع است. در چنین شرایطی ، شرط اولیه اي را به طور دلخواه انتخاب می کنیم. در نتیجه معادالت الزم را براي ب

دیر اولیۀ اختیاري حل می بنابراین یک مساله تابع زمان را با مقا آوردن جوابی همگرا که نشان دهنده جواب حالت دائم است ، حل می کنیم.

جواب هاي درست فیزیکی نیستند. در بیشتر مواردي که از چنین روشی کنیم تا به جواب حالت دائم برسیم. جواب هاي مراحل میانی ،

ی و گام تکرار را به جاي هم به کار می بریم. به همین ترتیب ، از گام زمان استفاده می شود ، عبارت هاي جواب همگرا شده و جواب حالت دائم

بیضوي بر می گردیم. نیز به جاي هم می توان استفاده کرد. در این مرحله به روش هاي تکراري براي حل معادالت

روش تکراري گوس سایدل نقطه به نقطه

در این روش به محض مشخص شدن مقادیر متغیر وابسته ، از آن براي محاسبۀ مقادیر نقاط مجاور آن استفاده می کنیم. این امر باعث

این روش در صورتی پایدار است که بزرگترین درصد). 100افزایش چشمگیر همگرایی این روش در مقایسه با روش ژاکوبی می شود (تقریبا

) شد. شرط کافی براي همگرایی این روش 5-7یب روي قطر اصلی آن قرار گیرد ، مانند فرمول بندي که منجر به رابطه (ضراجزء در ماتریس

به صورت زیر است:

|���| ≥ ��� ���

������

و حداقل براي یک ردیف ماتریس:

|���| > ������

������

Page 26: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

این شود حتی اگر شرط فوق براي همۀ ردیف ها برقرار نباشد. حال فرمول بندياز آنجا که این شرط یک شرط کافی است ، روش همگرا می

) داده شده اینجا دوباره تکرار می کنیم.5-6روش را در نظر می گیریم. معادلۀ تفاضل محدود که در معادلۀ (

��,�=1

2 �1 + ��������,�+ � ���,�+ �

����,���+ � �,�����(5 − 12)

) را براي تعدادي از گره ها به کار 5-12در سمت راست معادله باید معلوم باشند. اگر معادلۀ ( u، مقادیر i,jدر نقطۀ uبراي محاسبۀ مقدار

ی ) می بینید ، نتیجه م5-6) ، همان گونه که در شکل (2و2براي محاسبۀ اولین نقطه ، مثال نقطۀ (بریم ، روش کار به راحتی قابل درك است.

شود:

��,���� =

1

2 �1 + ������,�+ ��,�+ �

����,�+ � �,���

از �,��و �,��که در معادلۀ باال زیر آنها خط کشیده شده است از شرایط مرزي مشخص هستند. تنها دو مقدار �,��و �,��در این معادله

استفاده می شوند بنابراین ، بر حسب گام تکرار داریم: kمقادیر تکرار قبلی

��,���� =

1

2�1 + ������,�

� + ��,�+ �����,�

� + � �,���(5 − 13)

) داریم:3و2حال براي نقطۀ (

��,�=1

2 �1 + ������,�+ � �,�+ �

����,�+ � �,���

با معادلۀ �,��از روي مقادیر محاسبه شدة پیشین بدست می آیند. اما �,��و �,�� در شرط مرزي داده شده است و �,��در این معادله ،

را ببینید) ، بنابراین: 5-7) داده می شود (شکل 13-5(

��,���� =

1

2 �1 + ������,�

� + � �,���� + �

����,�

� + � �,���(5 − 14)

Page 27: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

سرانجام ، فرمول بندي کلی به معادلۀ زیر منجر می شود:

��,���� =

1

2 �1 + ��������,�

� + � ���,���� + �

����,���

� + � �,������ ��(5 − 15)

) در شکل 5-15این روش ، یک روش تکراري نقطه به نقطه است ، زیرا تنها یک مجهول را باید محاسبه کرد. شبکۀ نقاط مربوط به معادله (

) نشان داده شده است.5- 8(

Page 28: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

روش تکراري گوس سایدل خط به خط

است و فرمول بندي به شکل زیر است: (i+1,j)و (i,j)و (i-1,j)) داراي سه مجهول در نقاط 5-6در این فرمول بندي ، معادلۀ (

����,���� − 2 �1 + �

����,�

��� + � ���,���� = −�

���,���� − �

���,������ (5 − 16)

) می بینید ، به کار بریم ، یک دستگاه معادالت خطی 5-9ثابت ، همان گونه که در شکل ( jدر یک iاگر این معادله را براي تمام مقادیر

بدست می آید که در یک شکل فشرده داراي ماتریس ضرایب سه قطري است.

Page 29: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

1روش گوس سایدل نقطه به نقطه همگرا می شود (تقریباً با ضریب این روش سریع تر از ، اما زمان محاسبۀ بیشتري را به ازاي هر تکرار ) ⁄2

نیاز دارد ، چون دستگاه معادالت باید به طور هم زمان حل شود. گفتنی است که در این روش ، شرایط مرزي روي یک خط ، بالفاصله در

وابسته در یک که مقدار متغیر در مسائلیجواب اثر می گذارد و این مانند حالت مربوط به فرمول بندي ضمنی در معادالت سهموي است.

جهت تغییرات بیشتري دارد ، بهتر است که از روش گوس سایدل خط به خط در آن جهت استفاده شود ، زیرا با تعداد تکرار کمتري به جواب

همگرا می شود.

هایی انجام داد که براي همگرایی جواب ، باید دانست که با به کارگیري مقادیر جدید ، آهنگ همگرایی بهتر می شود. هنوز هم می توان کار

تعداد تکرارها کاهش یابد و بهبود بیشتري حاصل شود ، که این موارد را در بخش بعد خواهیم دید.

(PSOR)روش فوق رهایی پی در پی نقطه به نقطه

معادلۀ غیر دائم سهموي را نشان دادیم. بنابراین ، حل (FTCS)پیشتر ، تشابه بین روش تکراري حل معادله بیضوي و فرمول بندي صریح

روشی دانست که از حالت اولیه اي آغاز می شود و به سمت حالت دائم پیش می رود. در طی فرآیند حل ، اگر در به روش تکرار را می توان

ابی مرحلۀ تکرار بعدي می توان استفاده کرد و مقادیر محاسبه شدة متغیر وابسته جهت خاصی دیده شود ، از سمت و جهت تغییر براي برون ی

می گویند. (SOR)فرآیند حل را سرعت بخشید. این روش را روش رهایی پی در پی

ابتدا ، روش گوس سایدل نقطه به نقطه را در معادلۀ زیر در نظر بگیرید:

��,���� =

1

2 �1 + ��������,�

� + � ���,���� + �

����,���

� + � �,������ ��

�,�� با افزودن� − � �,�

به سمت راست معادلۀ فوق و بازآرایی جمله ها ، داریم: �

��,���� = ��,�

� +1

2 �1 + ��������,�

� + � ���,���� + �

����,���

� + � �,������ � − 2 �1 + �

����,�

� �

�,��با پیشروي حل ، �,��باید به سمت �

، پارامتر رهایی ، ضرب �پیش برود. براي شتاب بخشیدن به حل ، عبارت داخل پرانتز را در ���

می کنیم. بنابراین:

��,���� = ��,�

� +�

2 �1 + ��������,�

� + � ���,���� + �

����,���

� + � �,������ � − 2 �1 + �

����,�

� �(5 − 17)

0 براي اینکه جواب همگرا شود ، باید < � < 0باشد. اگر 2 < � < .می گویند (under-relaxation)آن را رهایی زیرین باشد 1

�گفتنی است اگر = باشد ، روش تکراري گوس سایدل بدست می آید. 1

) را به صورت زیر می نویسیم:5-17فرمول بندي (

��,���� = �1 − ��� �,�

� +�

2 �1 + ��������,�

� + � ���,���� + �

����,���

� + � �,������ ��(5 − 18)

Page 30: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

در وجود ندارد. �چقدر است؟ هیچگونه راهنماي کلی براي محاسبه مقدار بهینه �یک سوال ساده این است که مقدار بهینۀ ضریب رهایی

این روابط که در حل معادالت بیضوي بهینه از سوي پژوهشگران مختلف پیشنهاد شده است. نوعی از �پاره اي موارد ، روابطی براي محاسبۀ

در یک قلمرو مستطیلی با شرایط مرزي دریکله و اندازه گام هاي ثابت استفاده می شود ، رابطه زیر است:

���� =2 − 2√1 − �

�(5 − 19)

که در آن:

� = �cos �

��� − 1

� + � � cos ��

�� − 1�

1 + � ��

(5 − 20)

را به آسانی نمی توان محاسبه کرد. بنابراین در بیشتر موارد از آزمایش عددي استفاده می شود. ����در حالت کلی ،

(LSOR) روش فوق رهایی پی در پی خط به خط

روش تکراري گوس سایدل خط به خط را می توان با استفاده از ضریب رهایی مانند آنچه در روش تکراري گوس سایدل نقطه به نقطه به

) به صورت زیر است:5- 16سرعت بخشید. روش گوس سایدل خط به خط براي معادلۀ مدل ( ،کار رفت

����,���� − 2 �1 + �

�� ��,�

��� + � ���,���� = −�

���,���� − �

���,������

با به کار بردن ضریب رهایی و مرتب کردن معادالت ، نتیجه می گیریم:

�����,���� − 2 �1 + �

�� ��,�

��� + �����,���� = −�1 − �� �2 �1 + �

��� ��,�

� − ������,���

� + � �,������ �(5 − 21)

استفاده می شود. ����بهینه راه ساده اي وجود ندارد. در عمل براي یک مساله خاص از روش سعی و خطا براي تعیین �براي محاسبه

(ADI)روش ضمنی با جهت متغیر

تشابه بین روش هاي تکراري و معادالت سهموي تابع زمان ، بررسی روش هاي به کار رفته در حل معادالت سهموي را پیشنهاد می کند. از

یک دور تکرار را در صورتی کامل می نامیم که دستگاه معادالت سه براي معادالت بیضوي است. (ADI)موارد جالب آن به کار گیري روش

) به شکل 5-1مدل ( معادلۀ تفاضل محدود براي معادلۀابتدا براي همۀ ردیف ها و سپس براي همۀ قطرها حل شود و بر عکس. قطري حاصل ،

زیر در می آید:

����,�

���� − 2 �1 + �

�� �

�,�

���� + �

���,�

���� = −�

����,���

� + ��,���

���� �(5 − 22)

و

����,������ − 2 �1 + �

�� ��,�

��� + ����,������ = −�

���,�

���� − � ���,�

��� (5 − 23)

Page 31: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

به روش ضمنی حل می شود. روش حل و شبکۀ y) نیز در جهت 5-23به روش ضمنی و معادله ( x) در جهت 5-22در این معادالت ، معادلۀ (

) نشان داده شده است.5-10) در شکل (5- 23) و (5-22نقاط معادالت (

می توان روش حل را سرعت بخشید. فرمول بندي حاصل چنین است: (ADI)در معادالت �با به کار گیري پارامتر رهایی

�����,�

���� − 2 �1 + �

�� �

�,�

���� + ��

���,�

���� =

−�1 − �� �2 �1 + ���� ��,�

� − ������,���

� + ��,���

���� �(5 − 24)

و

�����,������ − 2 �1 + �

����,�

��� + �����,���

��� =

−�1 − �� �2 �1 + ���� �

�,�

���� − ���

���,�

���� + � ���,�

��� �(5 − 25)

Page 32: دوﺪﺤﻣ فﻼﺘﺧا شور - NITmec.nit.ac.ir/file_part/master_doc/...ﯽﻨﻤﺿ يﺎﻫ شور ﺪﺷ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﺮﯾز ترﻮﺻ ﻪﺑ 3-1 لﺪﻣ ﻪﻟدﺎﻌﻣ

براي همگرایی سریع تر استفاده می کنیم. �براي بدست آوردن بهترین مقدار دشوار است ، از آزمون عددي ����مجدداً ، چون محاسبۀ

و روش هاي حل آنها در مراجع دیگر آمده است. چون بنا نیست که همۀ روش ها در اینجا آورده شوند ، (ADI)روش هاي دیگر فرمول بندي

پایه براي حل معادالت بیضوي ، روش هاي روش هاي دیگر (که معموال پیچیده ترند) در اینجا آورده نمی شوند. روش هایی که تشریح شدند

هستند و براي هدف ما کفایت می کنند.