Il principio d'induzione è un enunciato sui numeri naturali che in matematica trova un ampio impiego nelle dimostrazioni.

Il principio d'induzione deriva direttamente dal quinto assioma di Peano, ed è ad esso equivalente: assumendolo cioè come assioma, ne deriva il quinto assioma di Peano. L'idea intuitiva con cui si può comprendere il senso dell'enunciato è quella di un "effetto domino": affinché le tessere da domino disposte lungo una fila cadano tutte sono sufficienti due condizioni:

che cada la prima tessera che ogni tessera sia posizionata in modo tale che cadendo provochi la caduta della

successiva.

Il principio d'induzione estende quest'idea al caso in cui la fila è composta da infinite tessere.

Indice

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1 Enunciato 2 Dimostrazioni per induzione o 2.1 Esempio

3 Il principio d'induzione forte o 3.1 Utilità del principio di induzione forte

4 Forme equivalenti del principio d'induzione 5 L'induzione è un assioma o un teorema? 6 Generalizzazioni o 6.1 Base diversa dallo zero o 6.2 Induzione transfinita

7 Errori e fraintendimenti 8 Voci correlate

Enunciato [modifica]

Il principio d'induzione asserisce che se è una proprietà che vale per , e se

per , allora vale con .

In simboli:

dove k e n sono numeri naturali.

Dimostrazioni per induzione [modifica]

Il principio d'induzione offre un importante strumento per le dimostrazioni. Per dimostrare che un

certo asserto in cui compare un numero naturale vale per qualunque si può sfruttare il principio d'induzione nel seguente modo:

Si pone ,

1. si dimostra che vale (o ), cioè che (o ) è nel sottoinsieme dei numeri naturali

per cui vale ;

2. si assume come ipotesi che l'asserto valga per un generico e da tale assunzione si

dimostra che vale anche (cioè che )

e quindi si conclude che l'insieme dei numeri per cui vale coincide con tutto l'insieme dei numeri naturali. Il punto 1 è generalmente chiamato base dell'induzione, il punto 2 passo induttivo.

Un modo intuitivo con cui si può guardare a questo tipo di dimostrazioni è il seguente: se disponiamo di una dimostrazione della base

e del passo induttivo

allora chiaramente possiamo sfruttare queste dimostrazioni per dimostrare usando la regola

logica modus ponens su (la base) e (che è un caso particolare del passo

induttivo per ), poi possiamo dimostrare poiché adesso usiamo il modus ponens su

e , così per , , eccetera... è chiaro a questo punto che possiamo

produrre una dimostrazione in un numero finito di passi (eventualmente lunghissimo) di per

qualunque numero naturale , da cui deduciamo che è vero per ogni .

Esempio [modifica]

Dimostriamo che vale l'asserto: per ogni risulta:

.

Abbiamo in questo caso definito .

Base dell'induzione: l'affermazione è vera per , infatti, per sostituzione, si

verifica che Passo induttivo: dobbiamo mostrare che per ogni n la validita' della formula, cioè che

, implica che la formula valga anche per n+1 oppure, esplicitamente:

la dimostrazione di questa affermazione diventa più semplice dopo aver premesso che sommare i primi n+1 numeri interi equivale ad aggiungere n+1 alla somma dei primi n numeri interi, cioè che:

quindi la dimostrazione che cerchiamo si ottiene aggiungendo n+1 a e verificando che il

risultato coincida con i passaggi algebrici sono dunque:

.

Questo conclude la dimostrazione del passo induttivo.

Avendo dunque verificato la validità sia della base dell'induzione che del passo induttivo, possiamo concludere che la formula

è vera per ogni .

Il principio d'induzione forte [modifica]

Il principio d'induzione forte deriva da una versione con ipotesi più restrittive del quinto assioma di Peano, ma equivalente: se è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri naturali tale che

contiene (o ), se contiene tutti i numeri minori di allora contiene anche

allora

La parola "forte" è legata al fatto che questa formulazione richiede delle ipotesi apparentemente più forti e stringenti per inferire che l'insieme coincide con : per ammettere un numero nell'insieme è richiesto infatti che tutti i precedenti ne facciano già parte (e non solo il numero precedente). In pratica, la proprietà deve valere non solo per n, ma per ogni . Non è difficile dimostrare la sua equivalenza logica con il principio d'induzione, ragionando così: se vale per 1 (o 0), vale anche per il suo successore, e per il successore di quest'ultimo, etc., fino a n. Inoltre, se la proprietà vale per ogni numero minore di n, vale anche per 1 (o 0), e se vale per b, vale anche per b+1 <= n, ed è perciò equivalente al principio d'induzione.

Utilità del principio di induzione forte [modifica]

Questa formulazione, talvolta, rende più agevoli le dimostrazioni per induzione, data la possibilità di disporre di una platea più ampia di ipotesi (tutti i numeri minori di ) per la dimostrazione del successivo "passo induttivo". Questo si verifica, ad esempio, nella dimostrazione della fattorizzabilità dei numeri interi (v. teorema fondamentale dell'aritmetica): laddove, nella dimostrazione, si voglia usare il principio d'induzione, la regressione da un numero n a fattori più piccoli non porta al numero precedente m ma a numeri più piccoli. In tal caso il principio di induzione debole non sarebbe utile. La stessa situazione si incontra nella fattorizzazione dei polinomi.

Forme equivalenti del principio d'induzione [modifica]

In totale le forme del principio d'induzione sono 4:

induzione classica induzione estesa principio del minimo intero principio della discesa infinita

Queste forme sono equivalenti nel senso che assumendone vera una si possono dimostrare le altre tre.

L'induzione è un assioma o un teorema? [modifica]

Generalmente, il principio d'induzione è indicato come assioma dei numeri naturali: a volte viene considerato al posto del quinto assioma di Peano, ottenendo un modello equivalente, in quanto, come detto in precedenza, i due sono equivalenti. La teoria che si ottiene considerando gli assiomi classici di Peano formalizzati (cioè gli assiomi dell'aritmetica di Peano) eccettuato il principio d'induzione viene chiamata Aritmetica di Robinson ed ammette modelli alternativi in cui il principio d'induzione è falso.

Esistono però alcuni sistemi logici in cui esso può essere dimostrato: ad esempio, quando viene usato l'assioma

L'insieme dei numeri naturali è bene ordinato

ovvero

Ogni sottoinsieme non vuoto dell'insieme dei numeri naturali ha un numero minimo

noto anche come Principio del Buon Ordinamento per i numeri naturali. In realtà, questo assioma aggiuntivo è una formulazione alternativa del principio d'induzione matematica: i due assiomi sono infatti equivalenti.

Infatti se un insieme non vuoto non ha minimo lo 0 non gli appartiene. Assumendo poi che numeri inferiori a m numeri non gli appartengono, allora anche m non gli appartiene (altrimenti sarebbe il minimo. Applicando l'induzione forte si ottiene che nessun numero gli appartiene.

Viceversa, dato un insieme goda delle due proprietà enunciate dal principio d'induzione senza coprire tutto . Esisterà, per il buon ordinamento, il minimo numero che non gli appartiene e sia questo m. Allora m non può essere 0. Il suo precedente m-1 non rispetta l'ipotesi induttiva.

Tuttavia, in alcuni casi il principio d'induzione non è considerato assioma, ciò dipende da come è definito l'insieme dei numeri naturali. Se definisco l'insieme per via assiomatica (con gli assiomi di Peano) avrò che il principio d'induzione è un assioma, come precedentemente detto, viceversa se definisco l'insieme come il più piccolo insieme induttivo contenuto in , e più precisamente come l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi contenuti in , avrò che il principio d'induzione non si potrà considerare un assioma non essendo l'insieme definito per via assiomatica, ma sarà una conseguenza del fatto che è il più piccolo insieme induttivo.

Generalizzazioni [modifica]

Base diversa dallo zero [modifica]

Una prima generalizzazione molto elementare consiste nel far partire l'induzione da un numero

naturale k diverso da zero. Ovvero: se vogliamo dimostrare che un enunciato vale per ogni numero naturale maggiore di un numero prefissato applichiamo la tecnica di dimostrazione per

induzione considerando come base dell'induzione anziché .

Induzione transfinita [modifica]

Per approfondire, vedi la voce induzione transfinita.

Il principio d'induzione transfinita generalizza il principio d'induzione alla classe degli ordinali transfiniti On (di cui i numeri naturali sono un sottoinsieme).Esso afferma che se è un sottoinsieme della classe di tutti gli ordinali che verifica le seguenti due proprietà:

contiene , ogni volta che contiene tutti gli ordinali minori di allora contiene anche ,

allora coincide con l'intera classe degli ordinali .

Il principio d'induzione transfinita, a differenza del principio d'induzione forte, è un principio strettamente più potente del principio d'induzione, infatti esistono teoremi come il Teorema di Goodstein che possono essere dimostrati per induzione transfinita ma non possono essere dimostrati mediante l'induzione semplice.

Errori e fraintendimenti [modifica]

Una classica applicazione sbagliata del Principio d'induzione è la seguente "dimostrazione" che porta a concludere che

Tutti i cavalli sono dello stesso colore

Ragioniamo per induzione sulla grandezza dei possibili insiemi di cavalli: dimostriamo che per ogni

vale ="un insieme di cavalli contiene tutti cavalli dello stesso colore":

1. Base dell'induzione: un insieme formato da un unico cavallo (n=1) contiene tutti cavalli dello stesso colore.

2. Passo induttivo: supponiamo vero ="un insieme di cavalli contiene tutti cavalli

dello stesso colore" e dimostriamo : un insieme di cavalli si può guardare come l'unione di due insiemi di cavalli che hanno in comune elementi, quindi dall'ipotesi induttiva questi insiemi hanno tutti cavalli dello stesso colore, e dal fatto che hanno intersezione non vuota deduciamo che tutti gli cavalli hanno lo stesso colore,

cioè abbiamo dimostrato .

Segue dal principio d'induzione che qualunque sia il numero di cavalli presenti al mondo, questi hanno tutti lo stesso colore.

La dimostrazione del passo induttivo precedente è solo apparente: infatti per n=1 i due insiemi di n elementi hanno in comune n-1 = 0 elementi e non si può quindi dedurre che n+1 = 2 cavalli abbiano lo stesso colore.