1 

 

อินทิกรัล

ปฏิยานุพันธและอินทิกรัลไมจํากัดเขต

ให f เปนฟงกชัน เราเรียกฟงกชัน วาปฏิยานุพันธ (anti - derivative) ของF f ถา ( ) ( )'F x f x=

ตัวอยางเชนปฏิยานุพันธของฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย f ( ) 2f x = x คือฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย

F2( ) F x x c= + เมื่อ เปนคาคงตัวใด ๆ เพราะวา c

( )2 2d x cdx

+ = x

ดังนั้นปฏิยานุพันธของฟงกชันหนึ่งจึงมีมากมายนับไมถวน

ทฤษฎีบท ถาฟงกชัน และ G ตางเปนปฏิยานุพันธของฟงกชัน F f บนชวง I แลว และ G ตางกันเพียงคาคงตัวเทานั้น นั่นคือมีคาคงตัว C ที่ทําให

สําหรับแตละ

F

( ) ( ) CG x F x= + x I∈

เราใชสัญลักษณ ( )f x dx∫ แทนปฏิยานุพันธของ ( )f x ที่รวม

คาคงตัว C เขาไวดวยและเรียก ( )f x dx∫ วาอินทิกรัลไมจํากัดเขต

บทนิยาม อินทิกรัลไมจํากัดเขต (indefinite integral) ของฟงกชัน f คือฟงกชันซึ่งกําหนดโดย

( ) ( ) f x dx F x C= +∫

เมื่อ เปนปฏิยานุพันธหนึ่งของ F f และ เปนคาคงตัว C

เราเรียก ( )f x วาอินทิแกรนด (integrand) ของอินทิกรัล เปนตัวแปรของฟงกชัน และเรียกการกระทําเพื่อไดฟงกชัน

x( )f x dx∫ วาการอินทิเกรต (integration)

ทฤษฎีบท ให f และ เปนฟงกชันซึ่ง g ( )f x dx∫ และ ( )g x dx∫ หาไดและ เปนคาคงตัว แลว

k

1. ( ) ( ) k f x dx k f x dx=∫ ∫

2. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫

2 

 

สูตรพ้ืนฐานการอินทิเกรต

1. และ dx x C= +∫ 0dx C=∫ (จาก 1dxdx

= และ 0dCdx

= )

2.1

1

nn xx dx C

n

+

= ++∫ สําหรับ 1n ≠ − (จาก 1

nndx nx

dx−= )

3. lndx x Cx= +∫ (จาก 1lnd x

dx x= )

4. x xe dx e C= +∫ (จาก x

xde edx

= )

5. ln

xx aa dx C

a= +∫ (จาก ln

xxda a a

dx= )

6. sin cosxdx x C= − +∫ (จาก cos sind x xdx

= − )

7. cos sinxdx x C= +∫ (จาก sin cosd x xdx

= )

8. 2sec tanxdx x C= +∫ (จาก 2d tanx = sec xdx

)

9. 2csc cotxdx x C= − +∫ (จาก 2cot cscd x xdx

= − )

10. sec tan secx xdx x C= +∫ (จาก sec sec tand x x xdx

= )

11. csc cot cscx xdx x C= − +∫ (จาก csc csc cotd x x xdx

= − )

12. 1

2sin

1dx x C

x−= +

−∫ (จาก 1

2

1sin1

d xdx x

− =−

)

13. 12 tan

1dx x C

x−= +

+∫

14. 1

2sec | |

1dx x C

x x−= +

−∫

(จาก 12

1tan1

d xdx x

− =+

)

3 

 

ในตัวอยางนี้ จะแสดงการอินทิเกรตดวยสูตรพ้ืนฐาน

1. 131 21-

3 313

3 = 1 2

xx dx C x C− +

+ = +− +∫

2. 24 4 33 3 3 4 4ln

2dx xx dx xdx dx xdx x

x x x⎛ ⎞+ = + = + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ C

ตัวอยาง จงอินทิเกรต ( )2 2x x x+∫ dx

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 2 1x dx

x+

∫

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 1 1 23 22x x x

−⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠∫ dx

4 

 

ตัวอยาง ให f เปนฟงกชันที่มีอนุพันธคือ ( )' sin cosf x x x= + โดยที่

( )0f = 3 จงหา ( )f x

ตัวอยาง จงหาสมการเสนโคง ( ) y f x= ซึ่งผานจุด ( )2, 3− และความชันที่จุดใดๆ ของเสนโคงถูกกําหนดโดยสมการ 2 3y x= −

5 

 

ตัวอยาง ลูกบอลลูกหนึ่งถูกโยนขึน้ในแนวดิ่งดวยอัตราเรงคงที่เทากับ เมตร/(วินาที)10− 2

ถาความเร็วเมื่อเริ่มโยนลูกบอลเปน 60 เมตร/ วินาที จงหา

1. ความเร็วของลูกบอลเมื่อเวลา t ใด ๆ

2. ความสูงของลูกบอล ณ เวลา ใด ๆ t

วิธีทํา เนื่องจากปฏิยานุพันธของความเรง ( )a t คือความเร็ว ( )v t ดังนั้นปญหาขอ 1 คือใหหาปฏิยานุพันธของ นั่นเอง เราจึงได ( ) 10a t = −

( ) 10v t t C= − +

โดยที่ C เปนคาคงตัว แตเมื่อเริ่มโยนลูกบอลมีความเร็ว 60 เมตร/วินาที

นั่นคือ ( )0 6v = 0 จึงได และสมการ 60C =

( ) 10 60v t t= − +

จึงเปนสมการความเร็วของลูกบอลเมื่อเวลา t ใด ๆ

อีกครั้งหนึ่งเมื่อพิจารณาวาตําแหนงของลูกบอล ณ เวลา ใด ๆ คือ t ( )S t เปนปฏิยานุพันธของความเร็ว เราจะได ( )v t

( ) 2 5 60 S t t t k= − + +

เมื่อ k เปนคาคงตัว และเพื่อหาคา เราแทนคา k 0t = และ 0S = ในสมการของ ( )S t ซึ่งจะได และทําใหได 0k =

( ) 2 5 60S t t t= − +

เปนความสูงของลูกบอลขณะเวลา t ใด ๆ

แบบฝกหัด

1. จงหาสมการเสนโคงเสนหนึ่งซึ่งมีความชัน ณ จุด ( )x, y ใดๆ เปน ( )23 1x x −

และ ทราบวาเสนโคงนี้ตัดแกน ที่ y 2y =

2. จงหาระยะทางที่วัตถุช้ินหนึ่งเคลื่อนที่จากเวลา 1t = วินาทีจนถึง วนิาที ถาความเร็วของวัตถุเมื่อเวลา วินาทีเปน ฟุตตอวินาที

t = 2

t 5t

6 

 

การอินทิเกรตโดยการแทน (integration by substitution)

ในการอินทิเกรต จะเห็นวาอินทิกรัลไมเขาสูตรใดๆของสูตร

พื้นฐานการอินทิเกรต แตสังเกตวาฟงกชัน

( )52 1 2x +∫ xdx51)2(x + ในอินทิแกรนดเปนผลประกอบ

ของสองฟงกชัน กับ 2( )u x x= +1 5( )h x x= โดยเฉพาะอยางยิ่งตัวประกอบที่เหลือ

ในอินทิแกรนดคือ เปนอนุพันธของ 2x 2( )u x x 1= + เราจึงเปล่ียนตัวแปรใหมโดย

ให แลวได ซึ่งทําใหได 2 1u x= + 2du xdx=

( ) ( )62652 5

11 2

6 6

xux xdx u du C+

C+ = = + =∫ ∫ +

ถา เปนปฏิยานุพันธของ F f แลวโดยกฎลูกโซของอนุพันธจะได

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )' 'd F g x F g x g x f g x g xdx

′= =

และเพราะวา ถา ( ) u g แลว x= ( )'du g x dx= เราจะได

สูตรการอินทิเกรตโดยการแทน

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' f g x g x dx f u du F u C F g x C= = + =∫ ∫ +

เมื่อ ( )u g x=

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 2 1xdx

x +∫

7 

 

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 21

xdxx+∫

ตัวอยาง จงอินทิเกรต ( )2

2 33 2

xdx

x x+

+ +∫

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 2tan sec dθ θ θ∫

ตัวอยาง จงอินทิเกรต ( )4ln xdx

x∫

8 

 

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 32 xx e dx∫

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 1x xe e+∫ dx

ตัวอยาง จงอินทิเกรต ( )3

12 1

x dx+

+∫x

ตัวอยาง จงอินทิเกรต lndx

x x∫

9 

 

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 3sin cosx xd∫ x

การอินทิเกรตทีละสวน (integration by parts)

จากกฎผลคูณของการหาอนุพันธ ดังนี้ A

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x g x f x g x f x g x= +

ถาเราอินทิเกรตทั้งสองขางของสมการนี้จะได

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f x g x dx f x g x dx f x g x dx= +∫ ∫ ∫

ซึ่งทางซายมือของสมการจะคือ ( ) ( )f x g x เพราะเปนปฏิยานุพันธของ

( ) ( )( ')f x g x และเมื่อจัดพจนใหม เราจะไดสูตรการอินทิเกรตทีละสวนดังตอไปนี้

สูตรการอินทิเกรตทีละสวน

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 'f x g x dx f x g x g x f x dx′ = −∫ ∫

เราอาจให ( ) u f x= และ ( ) v g แลวได ( ) du f x dx′= และ ทําใหไดสูตรการอินทิเกรตทีละสวนในรูปตัวแปร u และ ดังนี้ ( ) dv g x dx′= dv

x=

สูตรการอินทิเกรตทีละสวน

udv uv vdu= −∫ ∫

10 

 

ตัวอยาง จงหา ln xdx∫วิธีทํา ให และ dv แลวได lnu x= dx= dxdu

x= และ ซึ่งทําใหได v x=

ln ln ln lndxxdx x x x x x dx x x x Cx

= − = − = − +∫ ∫ ∫

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 1 x x dx−∫

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 1cos axdx−∫

11 

 

ตัวอยาง จงอินทิเกรต xxe dx∫

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 2 xx e dx∫

12 

 

ตัวอยาง จงอินทิเกรต sin x x d∫ x

ตัวอยาง จงอินทิเกรต 2ln x dxx∫

13 

 

ตัวอยาง จงอินทิเกรต ( )cos ln x dx∫

ตัวอยาง จงหา cosxe x∫ dx

การอินทิเกรตฟงกชันตรรกยะ

14 

 

ในหัวขอนี้เราจะแสดงวิธีการหา ( )f x dx∫ เมื่ออินทิแกรนด ( )f x เปน

ฟงกชันตรรกยะ (rational function) กลาวคือ ( ) ( )( )

p xf x

q x= เมื่อ และ ( )p x ( )q x

เปนพหุนามและ ( ) 0q x ≠

ถากําลังของ ( )p x นอยกวากําลังของ ( )q x เราจะเรียก ( )( )

p xq x

วา

ฟงกชันตรรกยะแท (proper rational function) แตถากําลังของ ( )p x มากกวาหรือเทากับกําลังของ ( )q x เราก็สามารถหาพหุนาม ( )q x และ ( )r x ไดเสมอที่ทําให

( )( ) ( ) ( )

( )

p x r xg x

q x q x= +

โดยที่ ( )( )

r xq x

เปนฟงกชันตรรกยะแท ดังนั้น

( )( ) ( ) ( )

( )

p x r xdx g x dx dx

q x q x= +∫ ∫ ∫

และเนื่องจากการอินทิเกรตฟงกชันพหุนาม ( )g x dx∫ ทําไดโดยงาย เราจึงกลาวถึงการ

อินทิเกรต ( )( )

p xdx

q x∫ เฉพาะเมื่อ ( )( )

p xq x

เปนฟงกชันตรรกยะแท ดวยเทคนิคที่เรียกวา

การเขียนฟงกชันตรรกยะในรูปเศษสวนยอย (partial fraction expansion) โดยดําเนินการตามลําดับขั้นตอนตอไปนี้

ขั้นที่ 1 : แยกตัวประกอบ ( )q x

ฟงกชันพหุนามใดๆ ที่มีกําลังมากกวาหรือเทากับ จะเขียนไดในรูปผลคูณของฟงกชันพหุนามเชิงเสนและ/หรือพหุนามกําลังสองซึ่งลดทอนไมได [หมายเหตุ : พหุนาม

กําลังสอง ลดทอนได ก็ตอเมื่อ ดังนั้น เขียนได

ในรูปผลคูณของพหุนามเชิงเสน แตถา

2

2 ax bx c+ + 2 4b a≥ c

c

2 ax bx c+ +2 4b a< แลว 2ax bx c+ + จะลดทอนไมได

15 

 

(นั่นคือแยกตัวประกอบในรูปผลคูณของพหุนามเชิงเสนไมได)] ตัวอยางเชน สําหรับพหุ

นาม ลดทอนไมได เพราะ 2 1x + 20 4b ac 4= < = เปนตน

ตัวอยาง จงแยกตัวประกอบ

1. 2. 3 22 2x x x+ + +1 63 22 5x x x− − +

วิธีทํา 1. เพราะวา ( ) ( ) ( )3 21 2 1 2 1 1 ังนั้น ( )1x + เปนตัวประกอบ

หนึ่งของ 3 2 1x x x+ + +2 2 าใหได

0− + − + − + = ด

ทํ

( )( )3 2 22 2 1 1x x x x x x+ + + = + + +1

โดยที่ ลดทอนไมได เพราะ 2 1x x+ + ( )( )21 4 4 1 1b ac 4= < = =

2. เพราะวา ดังนั้น ( ) ( ) ( )3 21 2 1 5 1 6− − + 0= ( )1x − เปนตัวประกอบหนึ่ง ทําใหได

( )( ) ( )( )( )2 2 2 2 5 6 1 6 1 2x x x x x x x x x− − + = − − − = − + − 3

ขั้นที่ 2 : เขียน ( )( )

p xq x

ในรูปผลบวกของเศษสวนยอยที่มีสวนเปนตัวประกอบของ ( )q x

ถามีพหนุามเชิงเสน ปรากฏเปนตัวประกอบของ เราจะเขียนใหมในรูปผลบวก

(ax b+ )n)(q x

( ) ( ) ( )1 2

2n

nkk k

ax b ax b ax b+ + +

+ + +

เปนสวนหนึ่งของผลบวกของ ( )( )

p xq x

เมื่อ เปนคาคงตัวซึ่งเราจะหาในขั้น

ตอๆไป

1 2, ,...,k k nk

16 

 

ตัวอยาง ( ) ( )

231 2

2 33

2 3 3( 1) 1 1 1

kk kx xx x x x+ +

= + ++ + + +

ถามีพหุนามกําลังสอง 2ax bx c ซึ่งลดทอนไมได ปรากฏในผลคูณของ ( )q x ทั้งหมด ครั้ง เราจะเขียนผลบวก m

+ +

( ) ( )1 1 2 2

22 2 2

m mm

c x dc x d c x d ...ax bx c ax bx c ax bx c

++ ++ + +

+ + + + + +

ตัวอยางนี้แสดงการเขียนฟงกชันตรรกยะในรูปผลบวกของเศษสวนยอย โดยไมแสดงการหาคาคงตัว

1. ( )( )

2 2

3

2 3 2 31 1 1

1

x x x x A B Cx x x x x x x x+ + + +

= = +− − + −

++

2. ( ) ( )

231 2

22

7 12 1( 1) (2 1) 1 1

kk kx xxx x x x

+ += + +

++ + + +

3. ( )( ) 22

2 61 11 1

x k cx dx x xx x x

− + += +

+ ++ + + +

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2

32 13 31 2 1 1 2 2

3 2 222 2 2

2 6 21 111 1 1

c x dk k c x d c x dx xx x xxx x x x x x x

++ +− += + + + +

+ + +++ + + + + + +

ขั้นที่ 3 : หาคาคงตัวของขั้นที่ 2

การหาคาคงตัวในผลบวกของเศษสวนยอย กระทําได วิธีคือโดยพิจารณาการเปนเอกลักษณ(identities) หรือโดยการเทียบสัมประสิทธิ์(equating coefficients)

2

ตัวอยาง จงหาคาคงตัว และ ของ 1 2k ,k 3k( )( )

231 22 3

1 1 1kk kx x

1x x x x x x+ +

= + +− + −

+

วิธีทํา รวมพจนทางขวามือกอน และเนื่องจากตัวเศษของทั้งสองขางจะตองเทากัน เราจึงไดเอกลักษณ

( )( ) ( ) ( )21 2 32 3 1 1 1 x x k x x k x x k x x+ + = − + + + + − 1

ซึ่งเปนจริงสําหรับทุกๆ จํานวนจริง ดังนั้นถาเราแทนคา x 1 0 x ,= − และ 1 จะไดสมการตามลําดับตอไปนี้เปนจริงเชนกัน

17 

 

ถา จะได ( )1x = − ( ) ( )( )231 2 1 3 0 0 1 1 1 2k − + − + = + + − − − = 3k ดังนั้น 3 1k =

ถา จะได ดังนั้น 0x = ( )( )13 1 1 k = − 1 3k = −

ถา จะได 1x = ( ) ( )( )21 2 1 3 1 1 1 k + + = + ดังนั้น 2 3 k =

ทําใหได

( )( )2 2 3 3 3 1

1 1 1 x x

1x x x x x x+ + −

= + +− + − +

ตัวอยาง จงหาคาคงตัวของสมการ ( ) ( ) ( ) ( )

21 2

2 27 1

1 21 2 1 1k kx x A

x xx x x+ +

= + +1+ ++ + +

วิธีทํา หลังจากรวมพจนทางขวาแลว ตัวเศษของทั้งสองขางสมการจะเทากัน ทําใหได

( )( ) ( ) ( )221 27 1 1 2 1 2 1 1x x k x x k x A x+ + = + + + + + +

18 

 

ตัวอยาง จงหาคาคงตัวของสมการ ( )( ) 22

2 61 11 1

x k cx dx x xx x x

− + += +

+ + ++ + +

วิธีทํา รวมพจน 21k cx d

1x x x+

++ + +

แลวจะไดเอกลักษณ

( ) ( )( )22 6 1 1x k x x x cx d− + = + + + + +

ซึ่งเปนจริงสําหรับทุกจํานวนจริง ดังนั้นเมือ่เราแทน x 1x = − จะได และเมื่อแทน และ ตามลําดับ จะไดสมการ

8k =

0x = 1x =

6k d + = และ 3 2 2k c d 4+ + =

ซึ่งเมื่อแทน จะได และดังนั้น 8k = 2d = − 8c = − ทําใหได

( )( ) 22

2 6 8 8 21 11 1

x xx x xx x x

− + += −

+ + ++ + +

หรือเราอาจหาคาคงตัวเหลานี้อีกวิธีหนึ่ง โดยการเทียบสัมประสิทธิ์ของสมการ

( ) ( ) ( )22 6x k C x k c d x k d− + = + + + + + +

เราจะไดระบบสมการ 0k c + =

2k c d + + = −

ซึ่งมีคําตอบของระบบสมการคือ 8 2k , d และ 8c เชนกัน

= − = = −

ตัวอยาง จงหาคาคงตัวของสมการ

( )( ) ( )3 2

1 1 2 22 222 2

2 3 11 2 21 2 2 2 2

c x d c x dx x x kx x xx x x x x

+ ++ + −= + +

+ + ++ + + + +

วิธีทํา เมื่อรวมพจน ( )

1 1 2 222 21 2 2 2 2

c x d c x dkx x x x x

+ ++ +

+ + + + + แลวจะไดเอกลักษณ

( )23 2 2 21 1 2 22 3 1 2 2 ( )( 1)( 2 2) ( )( 1 x x x k x x c x d x x x c x d x+ + − = + + + + + + + + + + )

ซึ่งเมื่อแทน จะได 1x = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 22 1 3 1 1 1 1 2 1 2 k ⎡ ⎤− + − + − − = − + − +⎣ ⎦ ดังนั้น 1 k = −

19 

 

ถา และ จะได 0x = 1k = − 1 22 3d d + =

ถา และ จะได 1x = 1k = − 1 1 2 25 5 1 c d c d 5+ + + =

ถา และ จะได 2x = 1k = − 1 1 2 220 10 2 43 c d c d + + + =

ถา และ จะได 2x =− 1k = − 1 1 2 24 2 2c d c d 3− + − =−

เราไดคําตอบของระบบสมการขางตนเปน 1 1 21 3 c , d , c 2= = = − และ 2 3 d = −

ตัวอยาง จงหา 2 1

x dxx −∫

วิธีทํา

20 

 

ตัวอยาง จงหา 3 2

2

31

x x dxx++∫

วิธีทํา

ตัวอยาง จงหา 3

3

2x dxx x+−∫

วิธีทํา

21 

 

ตัวอยาง จงหา ( ) ( )

2

27 1

1 2 1x x dx

x x+ +

+ +∫

วิธีทํา

ตัวอยาง จงหา 3 1dx

x +∫

วิธีทํา