Inequações Variacionais Teoria e Aplicações

José Angel Dávalos Chuquipoma

Departamento de Matemática e Estatística - DEMAT, UFSJ

36300-352, São João del-Rei, MG

jadc13@ufsj.edu.br

RESUMO

O objetivo principal deste minicurso é apresentar os lineamentos gerais de uma teoria

matemática que encontra suas aplicações em numerosos problemas que aparecem

em mecânica, física, biologia, teoria de controle ótimo, etc. Problemas que são

formulados matematicamente por sistemas de inequações em derivadas parciais e

cuja solução se baseia fortemente em técnicas chamadas inequações variacionais.

Diversos exemplos de aplicação serão apresentados nos diferentes campos da

engenharia e da física.

Palavras-chave: Inequação variacional, método de penalização, problema penalizado,

formulação Lagrangiana.

ERMAC 2010: I ENCONTRO REGIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL

11 - 13 de Novembro de 2010, São João del-Rei, MG; pg 36 - 64 36

Introducao

Inequacoes variacionais ou tambem chamadas desigualdades variacionais e uma teorıa matematica que foi de-

senvolvida no inicio dos anos sessenta na Italia pelos professores Guido Stampacchia e Fichera. Stampacchia

motivado pela teoria do potencial, enquanto Fichera motivado pelos problemas da mecanica (elasticidade

com restricoes unilaterais), na atualidade, a teoria das desigualdades variacionais tornaram-se uma rica fonte

de inspiracao para a matematica pura e aplicada estimulando novos e profundos resultados das equacoes

diferenciais parciais nao-lineares. Alem disso, as desigualdades variacionais tem respondido a muitas questoes

de mecanica, fısica, otimizacao e controle otimo, programacao linear, etc .., sendo agora considerado como

um ferramenta essencial em varias areas da matematica aplicada.

Nese sentido, o principal objetivo deste minicurso e apresentar ao leitor as ferramentas matematicas que

nos permitem resolver estes problemas. Problema da existencia e unicidade de solucoes e tratada, tipos

de inequacoes variacionais, suas consequencias analiticas, asim como tambem os metodos de solucao sao

estudadas. Metodos de aproximacao de inequacoes variacionais de primeiro tipo sao baseados no metodo

de penalizacao, esse metodo consiste em aproximar o problema atraves de uma equacao dependendo de um

parametro, neste caso as restricoes dadas pelo conjunto convexo donde se encontra a solucao e penalizada

obrigando a solucao do problema penalizado no limite pertencer ao conjunto que define as restricoes, ja o

metodo de regularizacao permite aproximar uma inequacao de segundo tipo que nao e Gateux diferenciavel

atraves de um problema regularizado para depois encontrar estimativas que permitem fazer a passagem ao

limite.

No Capıtulo 1, fazemos uma introducao de como podem aparecer inequacoes variacionais atraves de

diversos exemplos concretos assim como tambem classificamos o tipo de inequacao que governa o problema.

No Capıtulo 2, apresentamos uma exposicao da teoria matematica das inequacoes variacionais. Enunci-

amos e provamos alguns teoremas de existencia e unicidade de solucoes, apresentamos a formulacao abstrata

de uma inequacao variacional de tipo elıptico, parabolico e hiperbolico e suas respetivos teoremas de ex-

istencia de solucoes.

No Capıtulo 3, dois exemplos de aplicacao sao apresentados, o primeiro exemplo modela um problema de

fluxo, e provada uma formulacao equivalente introduzindo um funcional Lagrangiano que permite estabelecer

um novo problema, chamado, problema dual do problema de fluxo. A razao de apresentar este problema

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e que muitos problemas em inequacoes variacionais podem ser representados por um problema dual do

problema original (problema primal) facilitando uma nova abordagem na obtencao da solucao atraves de

metodos numericos.

No segundo exemplo de aplicacao apresentamos uma inequacao variacional de segundo tipo que modela

a deflexao de uma placa fina com presenca de uma fratura vertical em seu interior. Problemas deste tipo

sao encontrados na mecanica de fraturas.

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Capıtulo 1

O que e uma Inequacao Variacional ?

Neste capıtulo apresentaremos diversos exemplos de problemas que dao origem a uma inequacao variacional,

e classificamos o tipo de inequacao que modela determinados problemas fısicos. Entao, e logico se perguntar

o que e uma Inequacao Variacional ?. uma inequacao variacional, por exemplo, ocorre naturalmente no

calculo de variacoes, quando queremos encontrar o mınimo ou maximo de uma funcional em um conjunto

de restricoes, neste caso, a equacao classica de Euler e substituıda por uma inequacao, quando isso acontece,

dizemos que a inequacao variacional provem de um problema do calculo de variacoes, veremos posteriormente

que existem outras formas de poder expressar uma inequacao em derivadas parciais.

1.1 Inequacoes variacionais em espacos de dimensao finita

Consideremos como motivacao os seguintes exemplos:

Exemplo 1:

Se f e uma funcao diferenciavel sobre o intervalo I = [a, b]. Se x0 e o ponto donde o mınimo ocorre, entao

como sabemos tres casos podem acontecer:

se a < x0 < b entao f ′(x0) = 0;

se x0 = a entao f ′(x0) ≥ 0;

se x0 = b entao f ′(x0) ≤ 0.

Estas condicoes necessarias podem ser resumidas como o problema de encontrar x0 ∈ I tal que:

f ′(x0)(y − x0) ≥ 0, ∀ y ∈ I. (1.1)

Tal desigualdade sera chamada de inequacao variacional.

Exemplo 2 :

Seja agora f uma funcao de valor real de classe C1 sobre Rn e K ⊂ Rn um conjunto fechado convexo,

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denotando por 〈, 〉 o produto escalar em Rn, se existe algum x0 ∈ K tal que:

f(x0) = minx∈K

f(x) (1.2)

entao x0 satisfaz:

x0 ∈ K, 〈∇f(x0), x− x0〉 ≥ 0, ∀ x ∈ K. (1.3)

Com efeito, como K e convexo, o segmento de reta (1− t)x0 + tx = x0 + t(x− x0), 0 ≤ t ≤ 1, pertence a

K. A funcao

φ(t) = f(x0 + t(x− x0)), 0 ≤ t ≤ 1,

atinge seu mınimo em t = 0; assim, do exemplo 1, temos

φ′(0) = 〈∇f(x0), x− x0〉 ≥ 0, ∀ x ∈ K.

Consequentemente, o ponto x0 satisfaz a inequacao variacional (1.3). Se alem de K ser fechado e convexo,

suponhamos que e limitado entao a existencia de pelo menos uma x0 e imediata, Teorema 1.1

Em geral uma solucao de (1.3) nao e uma solucao de (1.2) a menos que f seja convexo. De fato: sendo

f convexo temos que f(x) ≥ f(x0)+ < ∇f(x0), x − x0 >, ∀x ∈ K, como 〈∇f(x0), x − x0〉 ≥ 0, temos

f(x0) ≤ f(x), ∀x ∈ K.

Por exemplo, se f(x) = ‖x− a‖2, (a ∈ Rn), entao em (1.3) temos:

〈∇f(x0), x− x0〉 = 2〈x− a, x− x0〉 ≥ 0 ⇒ 〈x− a, x− x0〉 ≥ 0 ∀ x ∈ K,

e dizer x0 e a projecao de a sobre K, x0 = Proj K a. Alem disso, como f e convexo, pois a norma e uma

aplicacao convexa, a solucao da inequacao e tambem solucao do problema de minimizacao (1.2).

Uma generalizacao natural do problema (1.3) e dada a continuacao. Suponhamos que A e uma aplicacao

contınua de Rn em Rn; o problema de encontrar x0 ∈ K tal que:

〈Ax0, x− x0〉 ≥ 0, ∀ x ∈ K. (1.4)

e uma inequacao variacional.

Observacao 1.1 Quando K = x; αx ∈ K, α ≥ 0 e um cone convexo com vertice em 0, entao (1.4) e

equivalente a:

x0 ∈ K, 〈Ax0, x〉 ≥ 0, ∀ x ∈ K, e 〈Ax0, x0〉 = 0 (1.5)

Por exemplo se K = Rn+ (o cone positivo em Rn), entao (1.5) e:

x0 ≥ 0, Ax0 ≥ 0, 〈Ax0, x0〉 = 0. (1.6)

Se A e uma aplicacao afim, entao (1.6) e um problema de complementaridade da programacao linear.

A seguir temos um primeiro resultado de existencia.

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Teorema 1.2 (Hartman-Stampacchia, 1966). Se K e um conjunto convexo compacto em Rn. Entao (1.4)

admite uma solucao.

O Teorema 1 e equivalente ao teorema do ponto fixo de Brouwer’s.

1.2 Inequacoes variacionais em espacos de dimensao infinita

O problema classico do calculo de variacoes em um domınio Ω do espaco Rn pode ser formulado como segue:

encontrar uma funcao u pertencente a alguma classe V de funcoes (tipo espaco de Sobolev), tal que a seguinte

condicao e realizada para uma funcao dada f e para toda funcao teste v ∈ V :∑|α|≤m

∫Ω

Aα(x, u,Du, ....,Dmu)Dαvdx−∫

Ω

fvdx = 0, (1.7)

onde Aα sao operadores que definem o problema de contorno. Em algumas inequacoes variacionais imporemos

restricoes sobre u da forma:

u ∈ K, (1.8)

onde K e um conjunto convexo fechado nao vazio de V . Em geral uma solucao de (1.7) que verifica (1.8)

nao existe, mas se substituimos (1.7) pela ”inequacao variacional elıptica”:∑|α|≤m

∫Ω

Aα(x, u,Du, ....,Dmu)Dα(v − u)dx−∫

Ω

f(v − u)dx ≥ 0, ∀ v ∈ H, (1.9)

entao sob certas afirmacoes que posteriormente veremos podemos provar a existencia de uma funcao u ∈ K

solucao de (1.9).

Na sua forma abstrata o problema e o seguinte: seja A um operador elıptico linear ou nao linear do

espaco de Hilbert V em seu espaco dual V ′, e seja K um conjunto convexo fechado em V ; dado f ∈ V ′,

precisamos encontrar um elemento u ∈ K tal que:

〈Au− f, v − u〉 ≥ 0, ∀ v ∈ K. (1.10)

No caso em que A define a forma bilinear a(u, v) = 〈Au, v〉, a inequacao variacional (1.10) e:

u ∈ K a(u, v − u) ≥ 〈f, v − u〉 ∀v ∈ K. (1.11)

Tanto (1.10) como (1.11) sao chamadas de Inequacoes Variacionais Elıpticas de Primeiro Tipo.

Se ψK denota a funcao indicatriz do conjunto K, e dizer:

ψK(v) =

0, v ∈ K

+∞ v ∈ V −K.(1.12)

Entao (1.10) e equivalente a desigualdade:

u ∈ V, 〈Au− f, v − u〉+ ψK(v)− ψK(u) ≥ 0, ∀ v ∈ V. (1.13)

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O problema dado na forma (1.13) pode ser generalizado, e e muito utilizado nas aplicacoes: se ψ e uma

funcao sobre V com valores em (∞,+∞] na qual e convexa, semi-contınua inferior, e nao identicamente igual

a ∞ (funcao propria); A ∈ L(V, V ′) o problema agora e encontrar u ∈ V solucao da inequacao:

〈Au− f, v − u〉+ ψ(v)− ψ(u) ≥ 0, ∀ v ∈ V. (1.14)

A desigualdade (1.14) e chamada Inequacao Variacional de Segundo Tipo, e e importante desde o ponto

de vista matematico para muitas aplicacoes de inequacoes de evolucao a ser tratadas.

Exemplo 3: Encontrar a evolucao da pressao de um fluido quando uma diferenca de pressao e aplicada

na superfıcie externa de uma parede fina semi-permeavel. Assim, em vez de tentar descobrir o que a pressao

vai ser quando o equilıbrio e alcancado, buscamos determinar a evolucao da pressao em cada ponto do

recinto Ω, a partir do momento inicial em que uma diferenca de pressao e estabelecida na fronteira Γ de

Ω ate um determinado instante T (se T e suficientemente grande, a pressao deve evoluir para a solucao

de estado estacionario). Este problema e formulado da seguinte forma: encontrar uma funcao u(x, t) para

t ∈ [0, T ], x ∈ Ω tal que:∂u

∂t−4u = f, para (x, t) ∈ Q = Ω× [0, T ], (1.15)

com condicoes de contorno (sendo h(x) a pressao externa aplicada na fronteira Γ):

u(x, t) > h(x)⇒ ∂u

∂ν(x, t) = 0, x ∈ Γ, t fixo (1.16)

com a pressao interna superior a pressao externa, a parede semi-permeavel impede qualquer troca de fluidos,

u(x, t) ≤ h(x)⇒ ∂u

∂ν(x, t) ≥ 0, x ∈ Γ, (1.17)

com a pressao externa maior que a pressao interna, a parede semi-permeavel permite o paso de um fluxo

positivo do exterior para o interior de Ω, portanto em virtude da continuidade, o caso u(x, t) = h(x) so e

possıvel. A condicao inicial para o problema e:

u(x, 0) = u0, x ∈ Ω (u0 ≥ h), (1.18)

e claro que a evolucao da pressao e dependente da pressao no instante inicial. Vamos colocar este problema

na forma de uma inequacao variacional dependente do tempo. Para este fim, introduzimos:

V = H1(Ω), a(u, v) =∫

Ω

∇u∇vdx, (f, g) =∫

Ω

fgdx, K = v ∈ V ; γ0v ≥ h sobre Γ,

γ0 representa o operador traco de ordem zero, denotando por u(t) a funcao u(x, t), aplicando a formula de

Grenn, e provado que o problema (1.15)− (1.18) e equivalente a inequacao variacional, ver [13]:

u(t) ∈ K, t ∈ [0, T ],∫

Ω

du

dt(v−u)+

∫Ω

∇u∇ (v − u) dx−∫

Ω

f (v − u) dx ≥ 0, ∀v ∈ K,u(0) = u0, (1.19)

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a desigualade (1.19) constitui um exemplo de uma Inequacao Variacional Parabolica de Primeiro Tipo, que

em sua forma abstrata e formulado como sigue:

u(t) ∈ K, t ∈ [0, T ],(du(t)dt

, v − u(t))

+ a(u, v − u(t))− (f, v − u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ K, u(0) = u0, (1.20)

onde A ∈ L(V, V ′), ou em forma equivalente se a(u, v) = 〈Au, v〉:

u(t) ∈ K, t ∈ [0, T ],⟨du(t)dt

+Au(t)− f(t), v − u(t)⟩≥ 0, ∀v ∈ K, u(0) = u0, (1.21)

Exemplo 4: No exemplo anterior, introduzimos uma inequacao dependente do tempo, relativa a um con-

junto convexo. No seguinte exemplo derivamos uma inequacao em funcao do tempo que envolve um termo

nao diferenciavel. Esta inequacao e obtida de uma formulacao dependendo do tempo de um problema de

controle termico, ver [8].

Consideremos um domınio Ω com fronteira Γ, u(x, t) representa a temperatura em x ∈ Ω no instante t,

um aparelho de ar condicionado esta presente, cuja funcao e injetar fluxo de calor atraves da fronteira Γ

quando a temperatura u(x, t), x ∈ Γ, esta fora do intervalo [h1, h2]. E dizer quando

u(x, t) 6∈ [h1, h2], x ∈ Γ,

vamos supor que nos podemos produzir um fluxo de calor, cujo valor e proporcional a diferenca entre

u(x, t), x ∈ Γ e quanto mais perto dos dois numeros h1, h2.

O problema e formulado da seguinte forma: encontrar u(x, t) para t ∈ [0, T ], x ∈ Ω tal que:

du

dt−4u = f, para (x, t) ∈ Q = Ω× [0, T ], (1.22)

com condicao de fronteira:

−∂u∂ν

= φ(u), x ∈ Γ, (1.23)

onde φ e uma funcao, que nao e diferenciavel definida por:

φ(λ) =

g1(λ− h1) se λ ≤ h1,

0 se h1 ≤ λ ≤ h2,

g2(λ− h2) se λ ≤ h2,

com g1 < 0 < g2, h1 ≤ h2, e condicao inicial:

u(x, 0) = u0, temperatura inicial x ∈ Ω, (1.24)

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Este problema pode ser escrito em forma de uma inequacao variacional dependendo do tempo, para este

fim introduzimos

V = H1(Ω), a(u, v) =∫

Ω

∇u∇vdx, (f, g) =∫

Ω

fgdx, ψ(v) =∫

Γ

φ(v)dΓ.

Consideramos o problema: encontrar u(t) ∈ V, t no intervalo [0, T ], tal que:∫Ω

du

dt(v−u)dx+

∫Ω

∇u∇(v−u)dx−∫

Ω

f(v−u)dx+∫

Γ

φ(v)dΓ−∫

Γ

φ(u)dΓ ≥ 0, ∀v ∈ K,u(0) = u0, (1.25)

a desigualdade (1.25) constitui um exemplo de uma Inequacao Variacional Parabolica de Segundo Tipo, que

em sua forma abstrata e formulado como segue:

u(t) ∈ K, t ∈ [0, T ],(du(t)dt

, v − u(t))

+a(u, v−u(t))−(f, v−u(t))+ψ(v)−ψ(u) ≥ 0, ∀v ∈ K, u(0) = u0,

(1.26)

onde A ∈ L(V, V ′), e ψ e uma funcional semi-contınua inferior, convexa, propria sobre V . Ou em forma

equivalente se a(u, v) = 〈Au, v〉 temos:

u(t) ∈ K, t ∈ [0, T ],⟨du(t)dt

+Au(t)− f(t), v − u(t)⟩

+ψ(v)−ψ(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ K, u(0) = u0, (1.27)

Outra forma de inequacoes parabolicas variacionais de segundo tipo, pode ser formulado no seginte caso:

Dada uma funcao f(t) ∈ V ′, A ∈ L(V, V ′) encontrar uma funcao t → u(t) definida em [0, T ] e com valores

em V , tal que: ⟨du(t)dt

+Au(t)− f(t), v − du(t)dt

⟩+ ψ(v)− ψ

(du(t)dt

)≥ 0, ∀ v ∈ V, (1.28)

com

u(0) = u0, u0 es dado. (1.29)

Ja no caso de Inequacoes Variacionais Hiperbolicas, temos o seguinte problema de segunda ordem em

t em que A ∈ L(V, V ′), ψ e uma funcional semi-contınua inferior, convexa, propria sobre V . Encontrar

u(t) ∈ V tal que:

⟨d2u(t)dt2

+Au(t)− f(t), v − du(t)dt

⟩+ ψ(v)− ψ

(du(t)dt

)≥ 0, ∀ v ∈ V, (1.30)

com condicoes iniciais,

u(0) = u0,du(0)dt

= u1. (1.31)

E natural, entao descobrir, como e em que medida a teoria dos problemas de valor de contorno para as

equacoes pode ser estendido a desigualdades em derivadas parciais.

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Capıtulo 2

Existencia de solucoes de Inequacoes

Variacionais

2.1 Inequacoes Variacionais Elıpticas

Seja V um espaco de Hilbert (ou Banach reflexivo) sobre R, K um conjunto fechado convexo nao vazıo em V .

Seja u, v → a(u, v) uma forma bilinear contınua sobre V que pode ser simetrico ou nao simetrico e coercivo

no seguinte sentido: existe uma constante α > 0 tal que:

a(u, v) ≥ α‖v‖2, α ≥ 0, (2.1)

onde ‖v‖ denota a norma de v ∈ V . Seja v → 〈f, v〉 uma forma linear contınua sobre V , ψ : V → R = R∪∞

e uma funcional convexa semi-contınua inferior, propria (ψ e uma funcional propria se ψ(v) > −∞ ∀v ∈

V, ψ 6= +∞). Consideremos os problemas:

Inequacao Variacional Elıptica de primeiro tipo:

Encontrar u ∈ K verificando;

a(u, v − u)− 〈f, v − u〉 ≥ 0, ∀ v ∈ K. (2.2)

Inequacao Variacional Elıptica de segundo tipo:

Encontrar u ∈ V verificando;

a(u, v − u)− 〈f, v − u〉+ ψ(v)− ψ(u) ≥ 0, ∀ v ∈ V. (2.3)

Observacao 2.1 i). Quando a(u, v) 6= a(v, u), (2.2) e (2.3) nao correspondem a um problema do calculo de

variacoes. Dizemos que (2.2) ou (2.3) e uma inequacao variacional elıptica; que por simplicidade chamaremos

de inequacao variacional.

ii). Se K = V e ψ = 0, entao os problemas (2.2) e (2.3) se reduzem a classica equacao variacional:

a(u, v) = f(v), u ∈ V,∀ v ∈ V, .

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iii). A distincao entre (2.2) e (2.3) e artificial, com efeito, (2.2) pode ser considerado como um caso particular

de (2.3) substituindo ψ em (2.3) pela funcao indicatriz ψK de K definido por:

ψK(v) =

0, v ∈ K

+∞ v ∈ V −K.(2.4)

Mesmo que (2.2) e um caso particular de (2.3), vale a pena considerar (2.2) diretamente, porque na maioria

dos casos ela surge naturalmente.

2.2 O caso linear

Historicamente, o primeiro resultado para inequacoes variacionais e o seguinte ([?]):

Teorema 2.2 (Stampacchia, 1964) Se a(u, v) e uma forma bilinear contınua coerciva sobre V entao existe

uma unica solucao do problema (2.2). Alem disso, se a e simetrica, entao u caracteriza-se pela propiedade:

F (u) = minv∈K

F (v), onde F (v) =12a(v, v)− 〈f, v〉. (2.5)

Alem disso a aplicacao f → u e contınua.

Demonstracao:

Unicidade: se u1 e u2 sao duas solucoes, entao tomando v = u2 (respectivamente v = u1) na desigualdade

(2.2) relativo a u1 (respectivamente a u2) e somando os resultados, obtemos a(u1 − u2, u1 − u2) ≤ 0. Logo

de (2.1) temos u1 = u2.

Existencia: Pelo teorema de representacao de Riesz, existe A ∈ L(V, V ), (A = A∗ se a(u, v) e simetrico)

e l ∈ V tal que:

(Au, v) = a(u, v), ∀u, v ∈ V e 〈f, v〉 = (l, v) ∀v ∈ V.

Seja ρ > 0, entao a inequacao variacional (2.2) e equivalente a encontrar u ∈ V tal que:

(u− ρ(Au− l)− u, v − u) ≤ 0, ∀u, v ∈ K, ρ > 0.

Da definicao de projecao sobre um conjunto fechado convexo, temos que o problema anterior equivale a

encontrar u ∈ K tal que:

u = PK(u− ρ(Au− l)) para algum ρ > 0, (2.6)

onde PK denota o operador projecao de V sobre K.

Definimos a aplicacao Sρ : K → K, tal que para todo v ∈ K Sρv = PK(v − ρ(Av − l)). Provaremos

que se ρ > 0 e escolhido adequadamente, entao Sρ e uma contracao estrita, e dizer, existe k < 1 tal que:

‖Sρv1 − Sρv2‖ ≤ ‖v1 − v2‖ ∀ v1, v2 ∈ K. Com efeito:

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Sendo o operador projecao um operador Lipschitz contınuo, e dizer,

‖PK(v1)− PK(v2)‖ ≤ ‖v1 − v2‖ ∀v1, v2 ∈ V,

temos

‖Sρv1 − Sρv2‖ ≤ ‖(v1 − v2)− ρ(Av1 −Av2)‖,

entao‖Sρv1 − Sρv2‖2 ≤ ‖v1 − v2‖2 − 2ρ(Av1 −Av2, v1 − v2) + ρ2‖Av1 −Av2‖2

≤ ‖v1 − v2‖2(1− 2ρα+ ρ2C2).

Assim a aplicacao Sρ sera uma contracao se fixamos ρ < 0 tal que 0 < ρ <2αC2

, pois neste caso,

k2 = 1− 2ρα+ ρ2C2 < 1, portanto pelo o Teorema do ponto fixo de Banach, Sρ admite um unico ponto fixo

u ∈ K tal que:

Sρu = PK(u− ρ(Au− l)) = u 0 < ρ <2αC2

.

Suponhamos agora que a forma a(u, v) e simetrica. Entao a(u, v) = ((u, v)) define um novo produto

escalar em V cuja norma associada ((u, u))1/2 = |u| e equivalente a norma ‖ ‖. Do teorema de representacao

de Riesz, para f ∈ V ′ existe um unico g ∈ V tal que:

〈f, v〉 = a(g, v) ∀v ∈ V.

Entao a inequacao variacional (2.2) tem a forma

a(g − u, v − u) = ((g − u, v − u)) ≤ 0 ∀v ∈ K,

e dizer u = PKg, logo (2.2) equivale a encontrar u ∈ K tal que

a(g − u, g − u) = |g − u| ≤ |g − v| = a(g − v, g − v) ∀v ∈ K,

ou |g − u|2 ≤ |g − v|2, de onde

F (u) =12a(u, u)− 〈f, u〉 ≤ F (v) =

12a(v, v)− 〈f, v〉 ∀v ∈ K.

2.3 O caso nao linear

Ainda, podemos estender as hipoteses supondo que V e um espaco de Banach reflexivo e a forma u, v →

a(u, v) e contınua sobre V , linear em v, nao necessariamente linear em u; entao definimos o operador

A : V → V ′:

a(u, v) = 〈Au, v〉, Au ∈ V ′. (2.7)

Se K e um conjunto fechado convexo de V , consideramos o problema sobre a forma (2.2):

〈Au− f, v − u〉 ≥ 0, ∀ v ∈ K. (2.8)

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Definicao 2.3 Um operador A : V → V ′ e dito:

• monotono, se:

〈Av −Au, v − u〉 ≥ 0, ∀ u, v ∈ V, (2.9)

• hemi-contınuo, se a funcao φ(α) = 〈A(u+ αv), w〉 e contınua sobre R ∀u, v, w ∈ V fixados,

• coercivo, se existe v0 ∈ V tal que:

〈Av, v − v0〉‖v‖

→ +∞, quando ‖v‖ → +∞. (2.10)

Para demonstrar a existencia de solucoes do problema (2.2), utilizamos o metodo de penalizacao que veremos

a continuacao.

2.3.1 O metodo de penalizacao

Definicao 2.4 Seja V um espaco de Banach reflexivo e K um conjunto fechado convexo em V , um operador

β : V → V ′ e chamado de operador de penalizacao relativo a K, se as seguintes propiedades sao verificadas:

• β e um operador monotono, limitado e hemi-contınuo,

• Kerβ = K.

Estes operadores existem (ver [16]). Se J : V → V ′ e o operador dualidade 0, e PK : K → V e o

operador projecao ( ‖v − PKv‖ ≤ ‖v − k‖ ∀ k ∈ K); entao o operador β definido pela relacao:

β(v) = J(v − PKv) (2.11)

e um operador de penalizacao.

Exemplo 5: Seja K = v ∈ H1(Ω) | γ0v ≥ 0 sobre ∂Ω = Γ e definimos β pela relacao:

〈β(v), w〉 = −∫

Γ

v−wdΓ (2.12)

onde v− = sup−v, 0 e γ0 e o operador traco de ordem zero. Nao e difıcil provar que β assim definido e

um operador de penalizacao.

Teorema 2.5 Seja V um espaco de Banach reflexivo, e K um subconjunto fechado convexo em V . Assu-

mindo que o operador A : V → V ′ definido por (2.7) e limitado, hemi-contınuo, estritamente monotono, se

A e coercivo sobre K ou K e limitado. Entao existe uma unica solucao do problema (2.8).

Demonstracao: A unicidade e imediato; sejam u1, u2 ∈ K duas solucoes de (2.8), fazendo v = u2 (respec-

tivamente v = u1) na inequacao relativa a u1 (u2 respectivamente) e somando obtemos

〈Au1 −Au2, u1 − u2〉 ≤ 0,0Isto e, 〈J(v), v〉 = ‖J(v)‖V ′‖v‖ e ‖J(v)‖V ′ = φ(‖v‖), onde a funcao λ → φ(λ) e contınua, e estritamente monotona

crescente para λ ≥ 0, φ(0) = 0, e φ(λ)→ +∞ quando λ→∞.

48

da monotonicidade de A obtemos u1 = u2. Introduzimos a equacao penalizada associada a inequacao

variacional (2.8): isto e para ε > 0 consideramos a equacao:

Auε +1εβ(uε) = f. (2.13)

Como A e monotono temos que A = A +1εβ e um operador monotono, usando a teoria de equacoes

monotonas (ou, mais geralmente operadores seudo-monotonos, ver [16]) vemos que existe uma solucao uε ∈ V

de (2.13). Provaremos que uε tende a uma solucao de (2.8) quando ε → 0. De fato, primeiro verifiquemos

que uε e limitado.

Seja v0 ∈ K; logo β(v0) = 0, assim temos que 〈β(uε), uε − v0〉 = 〈β(uε) − β(v0), uε − v0〉 ≥ 0, pois β e

monotona; isso implica que o operador A = A+1εβ e coercivo, pois:

〈Auε, uε − v0〉 = 〈Auε, uε − v0〉+1ε〈β(uε), uε − v0〉 = 〈Auε, uε − v0〉+

1ε〈β(uε)− β(v0), uε − v0〉

implica que

〈Auε, uε − v0〉 ≥ 〈Auε, uε − v0〉

Da coercividade de A deduzimos:

〈Auε, uε − v0〉‖uε‖

→ +∞ se ‖uε‖ → +∞ (2.14)

Portanto uε e limitado

‖uε‖ ≤ C1 = constante. (2.15)

Sendo A limitado, A(uε) e limitado, assim,

β(uε) = ε(f −A(uε))→ 0 em V′ (2.16)

ou o que e o mesmo

‖β(uε)‖V ′ ≤ C2ε. (2.17)

Assim pela reflexividade de V podemos extrair de uε uma sub-sequencia ainda denotada por uε tal que:

uε u fraco em V quando ε→ 0. (2.18)

Para qualquer v ∈ V temos 〈β(uε)− β(v), uε − v〉 ≥ 0, logo tomando o limite com relacao a ε e usando

(2.16) e (2.18) obtemos:

−〈β(v), u− v〉 ≥ 0 ∀ v ∈ V. (2.19)

Escolhendo v = u − λw, com λ > 0 e w ∈ V , encontramos de (2.19) que λ〈β(u − λw), w〉 ≤ 0, portanto

temos:

〈β(u− λw), w〉 ≤ 0 (2.20)

49

Fazendo tender λ a 0 em (2.20); como β e hemi-contınua segue que 〈β(u), w〉 ≤ 0 para todo w ∈ V , e

dizer 〈β(u),±w〉 ≤ 0 ∀ w ∈ V obtemos que β(u) = 0, o qual indica que u ∈ K.

Fixado um elemento arbitrario v ∈ K, Usando (2.7) e observando que β(v) = 0 obtemos:

a(uε, v − uε)− 〈f, v − uε〉 = 〈A(uε)− f, v − uε〉 =1ε〈β(v)− β(uε), v − uε〉 ≥ 0,

e portanto

a(uε, v)− 〈f, v − uε〉 ≥ a(uε, uε) (2.21)

Como lim infε→0

a(uε, uε) ≥ a(u, u) deduzimos de (2.21) a inequacao variacional (2.8)

Observacao 2.6 Desta forma, obtemos um processo construtivo para aproximar uma solucao u de uma

inequacao variacional, ao menos no caso quando u e unico. No calculo de variacoes o metodo de penalizacao

essencialmente consiste no seguinte: em ordem a minimizar a funcional F (v) sobre um conjunto fwchado

convexo K ⊂ V , iniciamos com o problema de minimizacao de uma funcional penalizada Fε, ε > 0 sobre o

espaco todo V :

Fε(v) = F (v) +1εP (v) (2.22)

onde P (v) = 0, ∀ v ∈ K e P (v) > 0, se v ∈ V −K.

Sejam P, F funcionais Gateux-diferenciavel, se uε e uma solucao do problema:

infv∈V

Fε(v) = Fε(uε), (2.23)

entao uε satisfaz a equacao de Euler:

F ′ε(uε) +1εP ′(uε) = 0, (2.24)

onde ′ denota a derivada no sentido de Gateux.

A equacao (2.13) e uma adaptacao de (2.24) ao caso em que Av−f nao e necessariamente a derivada de

alguma funcao convexa. O termino1εP (v) em (2.22) e chamado de termo de penalizacao ou operador de

penalizacao, esta ideia foi introduzida por Courant em seu trabalho sobre programacao nao linear (ver[6]).

E no caso em que a(, ) e uma forma bilinear simetrica, F (v) =12a(v, v) − (f, v) e β e a derivada da

funcional P , entao, temos que o problema (2.23) e equivalente ao problema variacional:

a(uε, v) +1ε〈β(uε), v〉 = (f, v), (2.25)

A ideia de penalizacao e de aproximar uma inequacao variacional atraves de equacoes, onde a restricao

v ∈ K e substituıdo por um termo de penalizacao, ficando cada vez maior se a solucao se afasta de K e em

consequencia forca ao lımite das solucoes aproximadas a pertencer a K.

50

2.3.2 O metodo de regularizacao

O metodo de regularizacao que nesta secao estudaremos, aplica-se a desigualdades do tipo (1.14) ou tambem

para o problema de encontrar u ∈ V solucao da inequacao variacional:

a(u, v − u) + ψ(v)− ψ(u) ≥ 〈f, v − u〉, ∀v ∈ V, (2.26)

De forma geral consideremos uma funcional F (v) = J(v) + ψ(v), onde J : V → R e uma funcao Gateux-

diferenciavel sobre V e ψ : V → R uma funcao contınua 0 nao necessariamente Gateux-diferenciavel. Se

a(, ) e uma forma bilinear simetrica contınua e coerciva (ou se K e limitado) sobre V . Entao o problema de

minimizacao:

infv∈V

F (v) = F (u). (2.27)

e equivalente a inequacao variacional:

u ∈ V, 〈J ′(u), v − u〉+ ψ(v)− ψ(u) ≥ 0, ∀v ∈ V, (2.28)

se F e estritamente convexa, a solucao u de ambos problemas equivalentes e unica, a prova de esta afirmacao

e feita de maneira analoga a demostracao do Teorema 2.2, para mais detalhes temos formalmente o seguinte

teorema, ver [9].

Teorema 2.7 (Minimizacao com Restricoes) Suponhamos que F (v) = J(v)+ψ(v), J e ψ sao funcionais

estritamente convexas, semi-contınuas inferior, definidas sobre o conjunto fechado convexo K ⊂ V a valores

em R, se J e Gateux diferenciavel com diferencial J ′. Entao o unico u ∈ K verificando (2.27) e caracterizado

como solucao da inequacao variacional

〈J ′(u), v − u〉+ ψ(v)− ψ(u) ≥ 0, ∀v ∈ K.

Usando este resultado, temos que o problema (2.26) ou (2.28)e equivalente ao problema de minimizacao

(2.27) para o caso em que J(v) =12a(v, v) − 〈f, v〉. O metodo de penalizacao descrita na secao (2.3.1) e

substituida pelo metodo de regularizacao que a seguir passamos a explicar.

Consideremos a inequacao (2.26) onde a funcao ψ e nao Gateux diferenciavel. E natural aproximar ψ

por uma familia de sequencias ψε convexas e Gateux diferenciaveis. Por exemplo a funcional

ψε(v) =∫

Γ

g|v|dΓ, g ≥ 0, (2.29)

pode ser aproximada pela sucessao de funcoes convexas diferenciaveis ψ(v) =∫

Γ

gφε(v)dΓ onde λ → φε(λ)

e qualquer funcao convexa diferenciavel que aproxima a funcao λ→ |λ|.

De forma geral para todo ε > 0 definimos a sucessao de inequacoes que aproximam ao problema (2.26):

a(uε, v − uε) + ψε(v)− ψε(uε) ≥ (f, v − uε) (2.30)0ou convexa, propria e semi-contınua inferior; ψ e propria se ψ 6= +∞, ψ(v) > −∞ ∀v ∈ V.

51

Como ψε e diferenciavel, temos na verdade a equacao variacional

a(uε, v) + 〈ψ′ε(uε), v〉 = (f, v) ∀v ∈ V. (2.31)

Da teoria de operadores monotonos temos que esta equacao nao linear admite uma unica solucao, pois, como

saibemos a diferencial ψ′ε de um operador convexo diferenciavel ψε e um operador monotono de V em V ′.

Teorema 2.8 Se u, e a solucao do problema (2.26) e uε e solucao da equacao (2.30) ou (2.31). Entao uε → u

quando ε→ 0.

A prova deste teorema e feita da mesma forma que o Teorema 2.5, toda vez que o metodo de regularizacao

para inequacoes do tipo (2.26) coincide com o metodo de penalizacao, ver [13].

2.4 Inequacoes Variacionais Parabolicas

Formulacao Abstrata

Seja V → H, V denso em H com a injecao de V em H contınua.

Denotamos por ((, )) (respectivamente (, )) o produto interno em V (respectivamente em H) e por ‖.‖

(respectivamente |.|) a correspondente norma. Assim temos:

|v| ≤ c‖v‖ ∀v ∈ V. (2.32)

Identificamos H com seu dual. Entao, na identificacao compatıveis com o exposto acima, temos:

V → H → V ′ V ′ dual de V. (2.33)

‖w‖V ′ = supv∈V〈w, v〉, ‖v‖ = 1.

Definimos o espaco W (0, T ) por

W (0, T ) =v ; v ∈ L2(0, T ;V ), v′ =

dv

dt∈ L2(0, T ;V ′)

com o produto interno

(u, v)W (0,T ) = (u, v)L2(0,T ;V ) + (u′, v′)L2(0,T ;V ′),

W (0, T ) e um espaco de Hilbert. Cada v ∈W (0, T ) e depois de uma modificacao de um conjunto de medida

nula, contınua de [0, T ]→ H.

Podemos entao definir um subespaco afim de W (0, T ) por:

W0(0, T ) = v ∈W (0, T ) ; v(0) = v0, v0 dado em H

Consideremos as seguintes notacoes:

K, subconjunto nao vazio de V , u0 ∈ K uma condicao inicial dada. A ∈ L(V, V ′) com A um operador

coercivo, isto e:

〈Av, v〉 ≥ α‖v‖2, α > 0 constante.

52

Definimos:

a(u, v) = 〈Au, v〉, (2.34)

ψ : K → R,

e uma funcional sobre K diferente de ±∞, semi-contınua inferior e integravel ∀v ∈ L2(0, T ;K), e dizer:∣∣∣∣∣∫ T

0

ψ(v)dt

∣∣∣∣∣ < +∞,

f ∈ L2(0, T ;V ′)

K = v ∈W (0, T ) ; v(t) ∈ K, quase sempre t ∈ [0, T ]

K0 = v ∈W0(0, T ) ; v(t) ∈ K, quase sempre t ∈ [0, T ]

O problema estudado e formulado da seguinte forma:

Encontrar u ∈ K tal que∫ T

0

(u′ +Au− f, v − u)dt+∫ T

0

(ψ(v)− ψ(u)) ≥ 0, ∀v ∈ K, (2.35)

ou em forma equivalente. Encontrar u ∈ K0 tal que

(u′ +Au− f, v − u) + ψ(v)− ψ(u) ≥ 0, ∀v ∈ K, q.s. t ∈ [0, T ] (2.36)

Uma solucao u de (2.35) ou (2.36), caso exista, e chamada uma solucao forte. Temos o seguinte resultado

de existencia de solucoes das inequacoes variacionais parabolicas de primeiro tipo.

Teorema 2.9 Se as seguintes condicoes sao validas:

f ′ =∂f

∂t∈ L2(0, T ;V ′), ψ(v) ≡ 0, f(0)−A(u0) ∈ H.

Entao o problema (2.35) ou (2.36) admite uma unica solucao u verificando

u, u′ ∈ L2(0, T ;V ) ∩ L∞(0, T ;H).

A prova e baseada em um metodo numerico de aproximacao que nao sera apresentado, para maiores detalhes

ver [13].

Observacao 2.10 O resultado do teorema anterior tambem e valido no caso ψ(v) 6= 0. Por causa das

condicoes necessarias para a existencia da solucao de (2.35) ou (2.36), somos levados a considerar uma

formulacao ”fraca”dos problemas (2.35) ou (2.36). Para isso, definimos:

Kf = v ∈ L2(0, T ;V ) ; v(t) ∈ K, quase sempre t ∈ [0, T ],

e consideramos o problema: encontrar u ∈ Kf tal que∫ T

0

(u′ +Au− f, v − u)dt+∫ T

0

(ψ(v)− ψ(u))dt ≥ 0, ∀v ∈ Kf , (2.37)

53

Pode-se demonstrar sem dificuldade que qualquer solucao de (2.35) e uma solucao de (2.37). No entanto, o

inverso nao e verdadeiro, salvo hipoteses complementares sao feitas (por exemplo as condicoes do Teorema

2.7). Uma solucao u de (2.37) e chamada solucao fraca do problema. temos:

Teorema 2.11 A inequacao variacional (2.37) possui uma unica solucao.

Observacao 2.12 Se ψ e Gateux diferenciavel quase sempre e convexa, com derivada ψ′, entao na inequacao

(2.35) e (2.37) podemos substituir o termo∫ T

0

(ψ(v)− ψ(u))dt por∫ T

0

(ψ′(v), v − u)dt.

Por ultimo, podemos aplicar estes teoremas de existencia de solucoes de inequacoes variacionais de tipo

parabolico ao exemplo 3 do primeiro capıtulo, para provar que a inequacao (1.21) tem uma unica solucao.

Observacao 2.13 Quando K = V e se ψ e Gateux diferenciavel e convexa, a inequacao e reduzida a uma

equacao; por exemplo neste caso o problema (2.36) e encontrar u ∈W0(0, T ) tal que:

u′ +Au− f + ψ′(u) = 0, x ∈ Ω, a.e. t ∈ [0, T ].

2.5 Inequacoes Variacionais Hiperbolicas

Formulacao Abstrata

Usando a mesma configuracao funcional como na secao 2.4 (V ⊂ H ⊂ V ′) introduzimos, K conjunto convexo

fechado de V , e os conjuntos convexos:

K = v ∈W (0, T ) ; v(t) ∈ K, quase sempre t ∈ [0, T ],

K∗ = v ∈ L2(0, T ;V ) ; v′(t) ∈ K,

K∗0 = v ∈ K∗ ; v(0) = u0, v′(0) = u1,

onde u0, u1 sao dados, consideremos a desigualdade variacional:

u ∈ K∗0, L(u, v) =∫ T

0

(u′′ −Au− f, v − u′)dt ≥ 0, ∀v ∈ K, (2.38)

com u(0) = u0, u′(0) = u1 onde A e f tem a mesmas propriedades como na secao 2.4, em particular

A e assumido simetrico (e claro que e coercivo e contınua). Podemos tambem considerar o operador A

dependendo de t, neste caso a inequacao anterior pode ser tratada em forma analoga.

A desigualdade (2.38) e mais frequentemente escrito na forma

u ∈ K∗0, (u′′ −Au− f, v − u′) ≥ 0, ∀v ∈ K, (2.39)

A existencia de u solucao de (2.38) e dado pelo seguinte teorema ([16]).

54

Teorema 2.14 Sejam:

f, f ′ ∈ L2(0, T ;H),

Au0 ∈ H,

u1 ∈ K,

Entao existe uma unica funcao u verificando (2.38) ou (2.39) tal que

u, u′ ∈ L∞(0, T ;V ),

u′′ ∈ L∞(0, T ;H).

Observacao 2.15 Definimos:

Kf = v ∈ L2(0, T ;V ) ; v′ ∈ L2(0, T ;V ), v(0) = u0, v′(t) ∈ K, q.s. t ∈ [0, T ],

podemos investigar a existencia de ”solucao fraca” da inequacao variacional, ([4]):

u ∈ Kf ,∫ T

0

(u′′ −Au− f, v − u′)dt ≥ 0, ∀v ∈ K∗0, (2.40)

Observacao 2.16 Um formalismo um pouco mais geral do que (2.38) e considerar a inequacao:

u ∈ K∗0,∫ T

0

(u′′ −Au− f, v − u′)dt+∫ T

0

[ψ(v)− ψ(u′)]dt ≥ 0, ∀v ∈ K, (2.41)

onde ψ : K → R e uma funcional diferente de ±∞ sobre K, semi-contınua inferior e integravel ∀v ∈

L2(0, T ;K), e dizer: ∣∣∣∣∣∫ T

0

ψ(v)dt

∣∣∣∣∣ < +∞,

55

Capıtulo 3

Aplicacoes

3.1 dualidade

A teoria de dualidade e suscetivel desde diferentes abordagens, levando assim a diferentes expressoes analıticas

do problema em questao. A ideia principal de todas as teorıas de dualidade e que uma funcao convexa, propria

e semi-contınua inferior e o supremo de todas as funcoes afins que sao inferiores a ela. Como vimos ante-

riormente, uma inequacao variacional pode ser caracterizada como um problema de minimizacao, as vezes

estes problemas de minimizacao sao complicados de solucionar, neste sentido e conveniente usar outros meios

de solucao, como por exemplo a teoria de dualidade. Nesta secao usaremos um metodo de dualidade que

consiste em caracterizar a solucao de um problema de minimizacao, num problema equivalente que e obtido

introduzindo um funcional chamado o Lagrangiano e uma nova funcao variavel chamada multiplicador de

Lagrange, este novo problema e chamado de problema dual do problema de minimizacao (problema primal)

e basicamente consiste em encontrar o supremo de uma nova funcional em outro espaco de funcoes onde esta

definido o multiplicador de Lagrange.

3.1.1 Um Problema de Escoamento

Um fluido que escoa sem obstrucao num tubo liso apresenta normalmente um regime chamado laminar. A

velocidade de escoamento cresce das paredes ate o eixo do caminho percorrido, onde atinge o seu maximo

valor. O problema de escoamento laminar num tubo de secao transversal Ω de um fluıdo de Bingham

(Relacao linear, ou nao linear em alguns casos, entre o esforco cortante e o gradiente de deformacao depois

de ter superado um determinado valor do esforco cortante) leva ao problema seguinte, encontrar a velocidade

u(x) tal que:

F (u) = infv∈H1

0 (Ω)F (v), (3.1)

56

onde F : H10 (Ω)→ R e definida por:

F (v) =12a(v, v)− (f, v) + ψ(v), ψ(v) =

∫Ω

g|∇v|dx, g ≥ 0 constante, (3.2)

a(u, v) =∫

Ω

∇u.∇vdx. (3.3)

Do Teorema 2.7, temos que o problema (3.1) e equivalente a procurar u ∈ H10 (Ω) verificando:

a(u, v − u) + ψ(v)− ψ(u) ≥ (f, v − u) ∀ v ∈ H10 (Ω). (3.4)

Observacao 3.1 A interpretacao em condicoes habituais deste problema e complicado, uma alternativa para

caracterizar a solucao u e dada em termos de multiplicadores de Lagrange que e detalhado abaixo.

Observe que a funcional ψ e uma funcao convexa, propria, semi-contınua inferior, logo da teorıa da analise

convexa temos a seguinte representacao:

ψ(v) = supp∈P

∫Ω

gp.∇vdx, g ≥ 0, (3.5)

pois a funcao v →∫

Ω

gp.∇vdx e uma funcao afim inferior a ψ.

Aqui P = p = (p1, p2, ....pn) ∈ [L2(Ω)]n ; |p| ≤ 1 quase sempre em Ω. Do mesmo modo sendo a

funcional F uma funcional convexa, semi-contınua inferior e como

12a(v, v)− (f, v) +

∫Ω

gp.∇vdx ≤ 12a(v, v)− (f, v) + sup

p∈P

∫Ω

gp.∇vdx = F (v).

Logo sendo a funcao v → 12a(v, v)− (f, v) +

∫Ω

gp.∇vdx uma funcao afim, temos que

F (v) = supp∈P

[12a(v, v)− (f, v) +

∫Ω

gp.∇vdx].

Assim o problema (3.1) e equivalente a:

infv∈H1

0 (Ω)supp∈P

[12a(v, v)− (f, v) +

∫Ω

g.∇vdx]. (3.6)

Definimos o Lagrangiano associado ao problema de minimizacao (3.1):

L(v, p) =12a(v, v)− (f, v) +

∫Ω

gp.∇vdx (3.7)

Portanto se u e a solucao de (3.1), temos:

infv∈H1

0 (Ω)supp∈P

L(v, p) = F (u) (3.8)

57

Nos deduzimos de (3.8) (pois sup inf ≤ inf sup) que:

supp∈P

infv∈H1

0 (Ω)L(v, p) ≤ F (u). (3.9)

Mostraremos por um metodo direto o seguinte teorema.

Teorema 3.2 Na verdade temos:

supp∈P

infv∈H1

0 (Ω)L(v, p) = F (u). (3.10)

Demonstracao: Na demostracao usaremos o seguinte resultado:

Teorema 3.3 u e a solucao de (3.1), se e somente se existe m = (m1, ....mn) tal que

| m | ≤ 1 quase sempre em Ω, (3.11)

m.∇u = | ∇u | quase sempre em Ω, (3.12)

−4u− g div m = f em Ω, (3.13)

u = 0 sobre Γ. (3.14)

Demonstracao do Teorema 3.3:

Este teorema e uma caracterizacao da solucao de nosso problema de minimizacao (3.1), com efeito, se u e

a solucao do problema (3.1), ou equivalentemente solucao do problema (3.4), entao fazendo v = 0 e v = 2u

em (3.4) obtemos:

a(u, u)− (f, u) + ψ(u) = 0, (3.15)

Logo fazendo v = ±v e tendo em conta (3.15) obtemos:

| a(u, v)− (f, v) |≤ ψ(v), ∀ v ∈ H10 (Ω) (3.16)

Observemos que (3.4) e equivalente a (3.15), (3.16). Fazendo:

r =1g

(4u+ f), (3.17)

vemos que (3.16) e equivalente a:

|(r, v)| ≤∫

Ω

|∇v|dx, ∀v ∈ H10 (Ω). (3.18)

Introduzindo o espaco:

Φ = ϕ ; ϕ ∈ [L1(Ω)]n, ‖ϕ‖Φ =∫

Ω

|ϕ|dx

e a aplicacao v → πv =(∂v

∂x1, ....,

∂v

∂xn

)= ∇v de H1

0 (Ω) → Φ (supondo Ω limitado). Entao (3.18) e

equivalente a:

|(r, v)| ≤ ‖πv‖Φ, (3.19)

58

e em consequencia depois de aplicar o Teorema de Hahn-Banach, existe m ∈ Φ′ = [L∞(Ω)]n, tal que:

‖m‖Φ′ ≤ 1, (3.20)

(r, v) = (m,πv) = Σni=1

∫Ω

mi∂v

∂xidx, (3.21)

e (3.15) e equivalente a:

(r, u) =∫

Ω

|∇u|dx. (3.22)

No entanto (3.20) e equivalente a (3.11), (3.21) a (3.13) e (3.22) equivale (3.12). Como u ∈ H10 (Ω) tem se

(3.14). A propriedade recıproca e verificado por um calculo direto.

Demonstracao do Teorema 3.2. Nos podemos calcular explicitamente:

infv∈H1

0 (Ω)L(v, p)

que e satisfeita por v = v(p) solucao de:

(S)

−∆v = g div p + f,

v = 0 sobre Γ.

Logo tem se para v = v(p),

L(v, p) = −12a(v, v), (3.23)

e em consequencia:

(T )

supp∈P

infv∈H1

0 (Ω)L(v, p) = sup

p∈P−1

2a(v(p), v(p)),

v(p) solucao de (S).

Se tomamos v = u, p = m, u,m satisfazendo as condicoes do Teorema 3.3, temos que p ∈ P e:

supp∈P

infv∈H1

0 (Ω)L(v, p) ≥ −1

2a(u, u) = F (u),

que junto a (3.9) da (3.10).

Observacao 3.4 Desde o ponto de vista das aplicacoes numericas, temos a posibilidade de solucionar, no

lugar do problema inicial (ou primal) o problema dual:

infp∈P

12a(v(p), v(p)), solucao de S. (3.24)

Observacao 3.5 A solucao simultanea dos problemas primal e dual de um problema dado, como na teoria

classica, os limites para F (u):

59

F (v) ≤ F (u) ≤ 12a(v(p), v(p)) ∀ v, ∀ p ∈ P

Observacao 3.6 Podemos considerar (3.24) como um problema de controle otimo para um sistema gover-

nado por equacoes em derivadas parciais. De fato, consideramos p como o controle. O estado do sistema

v = v(p) e definido pela solucao de (S) e a funcao de custo, ou funcao objetivo, e dado por:

F (p) =12a(v(p), v(p)). (3.25)

O problema de controle otimo e entao encontrar :

infp∈P

F (p). (3.26)

3.2 O Problema de Deflexao de uma Placa Fina com uma Fratura

Consideramos uma placa cujo plano medio ocupa um domınio limitado Ω ⊂ R2 com fronteira regular Γ,

com vetor normal unitario exterior η = (η1, η2) sobre Γ. No interior da placa consideramos uma fratura

vertical denotada por ΓC . Seja ν = (ν1, ν2) o vetor normal unitario a ΓC o qual define a parte positiva Γ+C

e a parte negativa Γ−C da superfıcie da fratura. Denotamos por ΩC = Ω \ ΓC o plano medio da placa, Fig.

3.1. Seja w(x) o vetor dos deslocamentos verticais dos pontos x = (x1, x2) da superfıcie media da placa Ω.

Figura 3.1: Geometria do problema.

Assumimos que existe uma continuacao fechada∑

de ΓC a qual divide Ω em duas subdomınios: o domınio

Ω− com normal exterior ν em Σ, e o domınio Ω+ com normal exterior −ν sobre Σ. Para uma funcao suave

w em ΩC definimos o traco de w na fronteira ∂Ω±, os tracos w± e o salto [w(x)] = w+(x) − w−(x) sobre

ΓC . Consideramos as seguintes notacoes:

b(w, z) = D∫

Ω

(wxxzxx + wyyzyy + κ(wxxzyy + wyyzxx) + 2(1− κ)wxyzxy) , (3.27)

60

onde D = Eh3/3(1−κ2), E e o modulo de Young’s, 2h e a espessura da placa e κ e o coficiente de Poisson’s

com 0 < κ < 0.5. Sobre ΓC definimos, respectivamente, a tensao tangencial e o momento cortante:

t(z) = D ∂

∂ν

(∆z + (1− κ)

∂2z

∂τ2

), m(z) = D ∂

∂ν

(κ∆z + (1− κ)

∂2z

∂ν2

),

Aqui τ = (−ν1, ν2) e o vetor tangente sobre ΓC e ∆ e o operador do Laplace. A forma b(w, z) sendo simetrica

define um produto escalar e uma norma b(w,w) = ‖w‖ no espaco de Hilbert:

H(ΩC) =z ∈ H2(ΩC) | z =

∂z

∂η= 0 sobre Γ

.

Em presenca das forcas externas em ΩC de densidade f ∈ L2(ΩC) e da forca de friccao (atrito) g ∈

L2(ΓC), com g ≥ 0 quase sempre sobre ΓC , o problema de equilıbrio de placas com fratura e dado pela

minimizacao da funcional da sua energia potencial, [10]:

F (w) = infz∈H(ΩC)

F (z) =12b(z, z) +

∫ΓC

g |[z]| −∫

ΩC

fz, (3.28)

Sejam

J(z) =12b(z, z)−

∫ΩC

fz e ψ(z) =∫

ΓC

g|[z]|.

Como ψ nao e Gateux diferenciavel, temos que F (z) = J(z) + ψ(z) nao e diferenciavel. Sendo J e ψ

semi-contınuas inferiormente e convexas, do Teorema 2.7 o problema de minimizacao (3.28) e equivalente a

inequacao variacional,:

w ∈ H(ΩC),⟨J ′(w), z − w

⟩+ ψ(z)− ψ(w) ≥ 0, ∀ z ∈ H(ΩC).

Isto e,

w ∈ H(ΩC), b(w, z − w) +∫

ΓC

g(|[z]| − |[w]|

)≥∫

ΩC

f(z − w), ∀ z ∈ H(ΩC). (3.29)

Como g ≥ 0 quase sempre em ΩC , vemos que F e coerciva, estritamente convexa e semi-contınua inferior,

do Teorema 2.7 temos que existe uma unica solucao w ∈ H(ΩC) do problema (3.29).

Teorema 3.7 Se w e a solucao da inequacao variacional (3.29), entao w e caracterizado como solucao do

problema de valor de contorno:

D∆2w = f em ΩC,

m(w) = 0, [t(w)] = 0, |t(w)| ≤ g sobre ΓC,

t(w)[w] + g|[w]| = 0 sobre ΓC.

Aplicacao do Metodo Regularizacao:

Definımos a funcao β ∈ H2(R):

β(t) =

t, t > 1,

−t, t < −1,

1 + t2

2, | t |≤ 1.

61

A derivada β′ ∈ H1(R) e dada por:

β′(t) =

1, t > 1,

−1, t < −1,

t, | t |≤ 1.

As funcoes β, β′ sao Lipschitz contınua. Alem disso, para qualquer φ ∈ H1(ΓC\∂ΓC), temos β(φ) , β′(φ) ∈

H1(ΓC\∂ΓC), [11]. Definimos respectivamente a regularizacao ψε de ψ e a funcional penalizada diferenciavel

Fε de F :

ψε(z) =∫

ΓC

gβ

([z]ε

), ∀ z ∈ H(ΩC). (3.30)

Fε(z) =12b(z, z) + ε

∫ΓC

gβ

([z]ε

)−∫

ΩC

fz, ∀ z ∈ H(ΩC). (3.31)

Sendo z ∈ H(ΩC), o salto [z] ∈ H1(ΓC\∂ΓC) e β(

[z]ε

)∈ H1(ΓC\∂ΓC). Entao a integral sobre ΓC na

formula Fε esta definida. A funcional Fε e coerciva, pois g ≥ 0, β ≥ 0, estritamente convexa e semicontınua

inferior. Portanto, existe uma unica solucao wε ∈ H(ΩC) do seguinte problema de minimizacao:

Fε(wε) = infz∈H(ΩC)

Fε(z). (3.32)

Logo o problema (3.32) e equivalente a seguinte equacao variacional:

〈F ′ε(wε), z〉 = 0, ∀z ∈ H(ΩC). (3.33)

Isto e,

b(wε, z) +∫

ΓC

gβ′(

[wε]ε

)[z] =

∫ΩC

fz, ∀z ∈ H(ΩC). (3.34)

Provamos em [7] o seguinte teorema.

Teorema 3.8 Se wε e uma sequencia formada pelas solucoes de (3.34) e w e uma solucao de (3.29), entao:

wε → w em H (ΩC ) quando ε→ 0. (3.35)

Alem disso, ‖wε − w‖H(ΩC) ≤ C√ε, onde C2 =

12‖g‖L1(ΓC).

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