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Capítulo 2 – Matemáticas Financieras

Profesor: Miguel Mercado Campusano

Agenda

Resumen Interés Simple Interés Compuesto Análisis Tasa de Retorno Mínima Aceptable (TRMA)

Tasa de Interés

Interés: Diferencia entre una cantidad final de dinero y una

cantidad inicial

Interés = Cantidad actual – Cantidad inicial

Tasa de Interés: Interés pagado en relación a una unidad de tiempo

específica expresado como % de la suma original

Tasa de Interés = Interés acumulado por unidad de tiempo * 100%

Suma original

Tasa de Interés: Equivalencia Económica

Concepto: Dos sumas diferentes de dinero en diferentes tiempos

tienen el mismo valor económico

Ejemplo: Tasa de interés de 15% anual, $200 hoy ¿A cuánto

equivalen en un año después? Cantidad acumulada = 200 + 200 * (0.15) = $230 o

200(1+0.15)=$230 ¿Cuánto habría sido el monto equivalente el año

anterior? = 200/1.15 =$173.91

Tasa de Interés: Equivalencia Económica

$173.91 $26.09 $30

$30 $200

$230

Hace 1 año Ahora Un año después

Equivalencia de 3 cantidades a una tasa de interés de 15% anual.

Tasa de Interés de 15% anual

Interés Simple y Compuesto

Para un periodo de interés en el pasado y un periodo de interés en el futuro se utiliza:

Interés, periodo de interés y tasa de interés

Para más de un periodo de interés se utiliza:

Interés simple y compuesto

Interés Simple

Se calcula utilizando el Principal e ignorando cualquier interés generado en los períodos de interés precedente. El interés que se adeuda cada año se calcula siempre sobre el Principal.

El interés simple total durante varios períodos se calcula de la siguiente manera:

Interés total = Principal * Nº períodos * Tasa de interés

Donde: Int = Interés P = Principal, Cantidad de dinero en el presente i = Tasa de interés (expresada en forma decimal)

Interés Compuesto

El interés generado durante cada período de interés se calcula sobre el Principal más el monto total del interés acumulado en todos los períodos anteriores

Refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés

Cálculo:

Interés = (Principal + todos los intereses acumulados) * Tasa de interés

o Nro

Años

Adeudo total después de = Principal ( 1+ tasa de interés) cierta cantidad de año

Ejercicio

Complete la siguiente tabla con el interés simple y compuesto para un total de 10 períodos para un monto inicial de 100 umr con un interés de 10%

Año BalanceInicial

+ Intereses

= Adeudo Suma Pagada

BalanceInicial

+ Intereses


1 100 + 10 = 110 100 + 10 = 110

2 110 + 11 = 121

3

4

…

10

Ejercicio

Año BalanceInicial

+ Intereses = Adeudo Suma Pagado

BalanceInicial

+ Intereses0,1*(BI)


1 100 + 10 = 110 0 100 + 10 = 110 0

2 110 + 10 = 120 0 110 + 11 = 121 0

3 120 + 10 = 130 0 121 + 12.1 = 133.1 0

4 130 + 10 = 140 0 133.1 + 13.3 = 146.4 0

10 190 + 10 = 200 200 236 + 24 = 259 259

20 290 + 10 = 300 0 612 + 61 = 673 0

50 590 + 10 = 600 0 10.672 + 1.067 = 11.739 0

100 1.090 + 10 = 1.100 1.100 1.252.783 + 125.278 = 1.378.061 1.378.061

Interés Simple Interés Compuesto

Análisis de Resultados: Tasa de Interés Simple v/s Tasa de Interés Compuesta

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Años

100

200

300

Umr

259

200Crecimiento a interés simple (10%)

Crecimiento a interés compuesto (10%)

Diferencia: Se Incrementa cada año.

Ejercicio

1) Analizar los diferentes planes de pago de un préstamo. En cada plan se reembolsa un préstamo de $ 5.000 en 5 años al 8% de interés anual

Plan1: Interés simple; pago del total al final: no hay pago de interés ni del principal hasta el final del año 5. Los intereses se generan cada año exclusivamente sobre el principal

Plan 2: Interés compuesto; pago del total al final. No hay pago de intereses ni del principal hasta el final del año 5. Los intereses se generan cada año sobre el total del principal y todos los intereses acumulados

Plan 3: Pago anual del interés simple; reembolso del principal al final. Los intereses acumulados se pagan cada año y todo el principal se reembolsa al final del año 5

Plan 4: Pago anual del interés compuesto y de parte del principal. Los intereses generados y una quinta parte del principal($1000) se reembolsa cada año. El saldo vigente del préstamo se reduce cada año, de manera que el interés de cada año disminuye

Plan 5: Pagos anuales iguales del interés compuesto y del principal: Se hacen pagos iguales cada año($1252,28); una parte se destina al reembolso del principal y el resto cubre los intereses generados. Como el saldo del préstamos disminuye a un ritmo menor que en el Plan 4, como consecuencia de los pagos iguales de fin de año, el interés disminuye, aunque a un ritmo más lento.

Final del Año

Interés a pagar por el

año

Adeudo total al final del

año

Pago de fin de año

Adeudo total después del

pago

Plan1: Interés simple; pago del total al final

Plan1: Interés simple; pago del total al final: no hay pago de interés ni del principal hasta el final del año 5. Los intereses se generan cada año exclusivamente sobre el principal

Solución Plan 1

Plan 1 Interés simple =(principal original)(0.08)

Final del Año

Interés a pagar por el año

Adeudo total al final del año

Pago de fin de año


pago

Plan 2: Interés compuesto; pago del total al final

Plan 2: Interés compuesto; pago del total al final. No hay pago de intereses ni del principal hasta el final del año 5. Los intereses se generan cada año sobre el total del principal y todos los intereses acumulados

Solución Plan 2

Plan 2 Interés compuesto =(adeudo total del año anterior )(0.08)

Final del Año



Pago de fin de año


pago

Plan 3: Pago anual del interés simple; reembolso del principal al final

Plan 3: Pago anual del interés simple; reembolso del principal al final. Los intereses acumulados se pagan cada año y todo el principal se reembolsa al final del año 5

Solución Plan 3

Plan 3 Interés simple =(principal original)(0.08)

Final del Año



Pago de fin de año


pago

Plan 4: Pago anual del interés compuesto y de parte del principal

Plan 4: Pago anual del interés compuesto y de parte del principal. Los intereses generados y una quinta parte del principal($1000) se reembolsa cada año. El saldo vigente del préstamo se reduce cada año, de manera que el interés de cada año disminuye

Solución Plan 4

Plan 4 Interés compuesto =(adeudo total del año anterior)(0.08)

Plan 5: Pagos anuales iguales del interés compuesto y del principal

Plan 5: Pagos anuales iguales del interés compuesto y del principal: Se hacen pagos iguales cada año($1252,28); una parte se destina al reembolso del principal y el resto cubre los intereses generados. Como el saldo del préstamos disminuye a un ritmo menor que en el Plan 4, como consecuencia de los pagos iguales de fin de año, el interés disminuye, aunque a un ritmo más lento.

Final del AñoInterés a pagar por

el añoAdeudo total al

final del añoPago de fin de

añoAdeudo total

después del pago

Solución Plan 5

Plan 5 Interés compuesto =(adeudo total del año anterior)(0.08)

Nomenclatura Ingeniería Económica

P: Valor o cantidad de dinero en el presente o tiempo 0 , también P recibe el nombre de Valor Presente(VP)

F: Valor o cantidad de dinero en el futuro (fin año N), F también recibe el nombre de Valor Futuro(VF)

A: Anualidad. Serie de cantidades sucesivas de dinero distribuidas en el tiempo. (Se asume al final de cada período). A se denomina también como Valor Anual(VA) y Valor Anual Uniforme Equivalente(VAUE)

i: Tasa de interés n: Número de Períodos (año, meses, días)-Vida proyecto t: Tiempo expresado en periodos (año, meses, días), t1

Ejemplo

Para realizar una compra de un equipo necesita pedir un préstamo de $15.000. Decide que reembolsará todo el principal más 6% de intereses anuales después de 5 años. Identifique los símbolos de ingeniería económica necesarios para resolver el problema, así como los valores que tienen para el adeudo total después de 5 años.

P= $15.000 i= 6% anual n= 5 años F=?

Tasa de Retorno Mínima Aceptable (TRMA)

¿Objetivo de un inversionista?

Obtener rentabilidad (TR) positiva: quiere decir obtener una cantidad mayor que la invertida

MAYOR DINERO QUE EL INVERTIDO

TASA RETORNO POSITIVA

TR = Cantidad Obtenida como Ganancia / Cantidad Original


Conocida también como la Tasa Mínima Atractiva de Rendimiento

Es la cantidad obtenida como ganancia en relación a la cantidad original

Se observa desde la perspectiva del inversionista

La TRMA constituye una tasa de rendimiento razonable establecida como tasa base para determinar si una alternativa es económicamente viable

La TRMA siempre es superior al rendimiento de una inversión segura

Magnitud de la TRMA con respecto a otros valores de tasa de rendimiento

Tasa de Rendimiento de “Inversión Segura”(Bono por ej.)

TRMA

Tasa de Rendimiento Esperada de una Nueva Propuesta

Rango de TR


Tasa de Rendimiento,porcentaje

La TR es una Tasa de retorno que se puede calcular, es la rentabilidad que se espera obtener

La TRMA no es una tasa que se puede calcular sino que es una tasa que es establecida por la dirección financiera y se utiliza para valorar la TR de una alternativa en el momento de tomar decisiones de aceptación o rechazo


Obtener capital( fondos de capital y de inversión de capital) cuesta dinero en la forma de interés.

El interés en forma de tasa de porcentaje recibe el nombre de Costo de Capital

Usualmente las empresas calculan el costo de capital obtenido de diferentes fuentes de financiamiento para obtener los fondos deseados

Idea : Encontrar el Costo de Capital que la empresa debe cargar para obtener fondos



Existen dos tipos de financiamiento: Financiamiento de Patrimonio Financiamiento de Deuda

De la combinación de ambos financiamiento resulta:

Costo Promedio Ponderado de Capital:

CPPC = x*Tasa deuda% + (1-x)*Tasa Patrimonio%

Donde las Tasas se expresan en en porcentaje

Se debe cumplir este criterio para aceptar un proyecto:

TR >= TRMA > CPPC


Ejercicio:

Tres proyectos independientes calcularon tasas de rendimiento del 11, 14 y 19% anual.

Un ingeniero desea saber qué proyectos aceptar sólo basándose en la tasa de rendimiento. El departamento de finanzas le informa que los fondos de la compañía, que tienen un costo de capital de 16% anual, normalmente se utilizan para financiar el 35% de todos los proyectos de capital.

Más tarde se le informa que la obtención de un préstamo está costando 9% anual.

Si el valor de la TRMA es exactamente igual al CPPC, ¿Qué proyectos debe aceptar el ingeniero?

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