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Gu í a de es t u d i o

Guía de estudio

para el examen de admisión

al posgrado en matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa

Inicio de estudios:

Enero 2012

Guía de EstudioPara el Examen de Admisiónal Posgrado en Matemáticas

Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa

El examen tendrá lugar el 26 de octubre de 2011Los trámites se efectuarán del 26 de septiembre al 21 de octubre de

2011

UAMI

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Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa Posgrado en Matemáticas

Examen de Ingreso 26 de octubre de 2011

El examen de Ingreso al Posgrado consiste en varias secciones: se deben elegirtres secciones.

✤ Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial e Integral.

✤ Análisis Real.

✤ Ecuaciones Diferenciales.

✤ Álgebra.

✤ Topología General.

✤ Lógica Matemática.

✤ Teoría de Conjuntos.

✤ Análisis Complejo.

En el examen cada sección tendra 6 problemas, el alumno deberá resolver 3problemas de cada una de las secciones elegidas por él (ella).

La bibliografía recomendada:

Ecuaciones Diferenciales

① Boyce, W.E. y Di Prima, R.C., ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMASCON VALORES EN LA FRONTERA, Limusa, 2007.

② Simmons, G.F. y Robertson, J.S., ECUACIONES DIFERENCIALES TEORIA YPRACTICA, Mc Graw Hill, 2007.

③ Blanchard, P., ECUACIONES DIFERENCIALES, Internacional Thomson Edi-tores, 1998.

④ Ayres, F., ECUACIONES DIFERENCIALES, Mc Graw Hill 1991.

⑤ P. Blanchard, R. Devaney, G. Hall, DIFFERENTIAL EQUATIONS, 3rd Ed.,Thomson, 2006.

⑥ J. D. Logan. A first Course in Differential Equations, Springer-Verlag, 2006.

Álgebra Lineal y Cálculo

❶ Strang, Gilbert, Algebra lineal y sus aplicaciones, Fondo Educativo Interamer-icano. Mexico, 1982.

2



❷ Noble, Ben y J. W. Daniel, Algebra lineal aplicada, tercera edicion. Prentice-Hall Hispanoamericana, Mexico, 1990.

❸ Cullen, Charles G., Matrices and Linear Transformations, segunda edicion,Dover, Nueva York, 1990

❹ Grossman, Stanley I, Algebra lineal, Grupo Editorial Iberoamérica, 5a. edi-cion. Mexico, 1996.

❺ K. Hoffman y R. Kunze, Álgebra Lineal, Prentice Hall.

❻ S. Lang, Algebra Lineal, Fondo Educativo Interamericano, 1976.

❼ C. Pita, Cálculo Vectorial, Prentice-Hall Iberoamericana

❽ J. Marsden, A.Tromba, Cálculo Vectorial, Addison - Wesley 1991.

❾ Edwards, Penney, Cálculo con geometría analítica, 1996.

❿ Thomas, Finney Cálculo con geometría analítica.

Análisis Matemático

➀ T. Apostol, Analisis Matematico, Reverte, 1991

➁ Hasser, Norman B., LaSalle Joseph P., Sullivan Joseph A., Análisis Matemático1; Curso de Introducción, 1ra. edición. Trillas. México. 1978.

➂ Hasser, Norman B., LaSalle Joseph P., Sullivan Joseph A. Análisis Matemático2; Curso Intermedio, 1ra. Ed. Trillas. México. 1970-1979.

➃ R. G. Bartle, Introducción al Análisis Matemático, Limusa 1987

➄ R. G. Bartle, D. Shebert, Introducción al análisis matemático de una variable,1984, Limusa

➅ ��

��

➆ http://www.uv.es/ivorra/Libros/Analisis.pdf

➇ W. Rudin, Principios de Análisis Matemático, Mc Graw Hill 1987

Álgebra

➊ J. B. Fraleigh, Álgebra Abstracta, Addison-Wesley, 1988.

3



➋ ��

��

➌ http://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra.pdf

➍ M. Pineda, Aritmética y Teoría de Grupos, UAMI 1995.

➎ D. Dummit, R. Foote, Abstract Algebra, 3rd Ed. Wiley, 2004.

➏ 6. P. A. Grillet, Abstract Algebra, 2nd Ed., Springer-Verlag, 2007

Análisis Complejo

❶ D. Zill, P. Shanahan, Complex analysis, Jones and Bartlett, 2003.

❷ John Howie, Complex Analysis, Springer-Verlag, 2004.

❸ S. Lang, Complex Analysis, Springer-Verlag, 2008.

❹ J. Marsden, M. Hoffman, Basic complex Analysis, W. H. Freeman, 1987.

❺ B. Palka, An Introduction to Complex Function theory, Springer - Verlag, 1991.

Topología General

➀ V. Tkachuk, Curso Básico de Topología General, UAMI, 1999.

➁ J. Dixmier, General Topology, Springer-Verlag, 1984.

➂ R. Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.

➃ J. Dugundji, Topology, Allyna and Bacon, 1966.

➄ J. Nagata,Modern General Topology, North-Holland, 2nd Ed., 1984

Lógica Matemática

➊ Max Fernández de Castro, Luis M. Villegas Silva, Lógica Matemática I: LógicaProposicional, Intuicionista y Modal, UAMI, 2011.

➋ Max Fernández de Castro, Luis M. Villegas Silva, Lógica Matemática II: Clásica,Intuicionista y Modal, UAMI, 2011.

➌ J. Rubin, Mathematical Logic: Applications and Theory, Saunders Co., 1990.

4



➍ H. D. Ebbinghaus, J. Flum,W. Thomas,Mathematical Logic, 2nd Ed., Springer-Verlag, 1994.

➎ S. Hedman, A first course in Logic, Oxford University Press, 2004.

➏ R. Cori, D. Lascar, Mathematical Logic. A Course with Excercises, I, OxfordUniversity Press, 2000.

➐ P. Hinman, Fundamentals of Mathematical Logic, A. K. Peters, 2005.

➑ G. Metakides, A. Nerode, Principles of Logic and Logic Programming, North-Holland, 1996.

➒ A. Nerode, R. Shore, Logic for Applications, Springer-Verlag, 1994.

➓ W. Rautenberg, A Concise Introduction to Mathematical Logic, Springer-Verlag,2006.

Teoría de Conjuntos

① K. Hrbacek, T. Jech, Introduction to Set Theory, Third Ed., M. Dekker, 1999.

② K. Devlin, The Joy of Sets, Springer-Verlag, 2nd Ed.

③ W. Just, M. Weese, Discovering Modern Set Theory I, II, AMS, 1997

④ A. Levy, Basic Set Theory, Dover, 2002.

⑤ A. Hajnal, P. Hamburger, Set Theory, London Math. Society, CambridgeUniversity Press, 1999.

A continuación varios problemas que deben servir como guia para preparse.

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UAM-Iztapalapa. Departamento de MatemáticasPosgrado en Ciencias (Matemáticas)Noviembre 2011

Examen de admisión, Trimestre ???

INSTRUCCIONES. A continuación encontrará varias secciones. Usted deberáresolver 3 problemas de tres secciones distintas elegidas libremente por Usted.Dispone de 3 horas.

Álgebra Lineal y Cálculo

1. Considere el conjunto S de sucesiones complejas {un : n ∈ N} que verifcanla relación recursiva

un = a1un−1 + · · ·+ akun−k n ≥ k,

donde a1, a2, . . . , ak son números complejos dados.

(a) Muestre que S es un subespacio vectorial del espacio delas sucesionescomplejas sobre C.

(b) Con las operaciones {un}+{vn} = {un+vn}, λ{un} = {λun}. Exhibauna base para S y muestre que su dimensión es k.

2. Sean E el espacion vectorial de polinomios con coeficientes complejos, A esun polinomio dado de grado α. y En+1 el subespacio de E conformado porlos polinomios de grado que no excede a n. Sea f la transormación lineal deE en E definida por f(P ) = AP ′ −A′P , donde A′ y P ′ son las derivadas.

(a) Muestre que si el grado k de P no es α, entonces el grado de f(P ) esα+ k− 1. Demuestre que f(A) es el polinomio cero y que el conjuntof(Eα+1) es idéntico al conjunto f(Eα). Encuentre el núcleo de f .

(b) ¿Cuál es el rango de la restricción de f a En+1?

(c) El conjunto de polinomios Q que pertenecen a Ep+1 y a f(E) es unsubespacio vectorial Fp+1. Muestre que Fp+1 = f(Ep−α+2) y encune-tre la dimensión de Fp+1.

(d) Determine el subespacio F3 cuando A = x2.

3. Sea En+1 el espacio vectorial de los polinomios de grado que no excede a ncon coeficientes complejos.

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(a) Muestre que el valor A(x0) es una forma lineal en En+1.

(b) Si los números x1, x2, . . . , xn+1 son distintos, las formas linealesA(x1), . . . , A(xn+1)son idenpendientes y constituyen una base B∗ del dual E∗

n+1 de En+1.

(c) Verifique que lospolinomios de Lagrange relativos a los valores x1, x2, . . . , xn+1

constituyen una base B de En+1 que es dual a la base B∗. (Dos basesei y ϕj de un espacio E y su dual E∗ se dicen duales si ϕj(ei) = 0siempre que j �= i y ϕi(ei) = 1.)

(d) Encuentre una base de E∗n+1 dual a la base 1, x, . . . , x

n de En+1.

(e) Suponga que x0, x1, . . . , xn+1 son vectores dados del espacio En+1.Verifique que existen constantes λ1, . . . , λn+1 tales que para todo poli-nomio A de grado ≤ n,

A′(x0) = λ1A(x1) + λ2A(x2) + · · ·+ λn+1A(xn+1),

donde A′ es la derivada de A. Encuentre expresiones explícitas paralas constantes λ.

4. Sean E un espacio vectorial de dimensión finita sobre los reales, u, v aplica-ciones lineales de E en E. Suponga que el núcleo u−1(0) de u contiene alnúcleo de v.

(a) Muestre que es posible escoger una base e1, . . . , en para E tal quelos primeros k vectores constituyen una base del nćuleo de v y losprimeros k + h una base del núcleo de u. Demuestre que los vectoresv(ei) cuyo índice excede a k son independientes y constituyen una basede v(E).

(b) Muestre que existe una aplicación lineal w : E → E tal que

u = w ◦ v.

(c) Si E = R3, por definición de un vector según v y u son las proyec-ciones en el plano P que pasa por el origen y sobre la lineaD que pasapor el origen y contenida en P . Dé la restricción de w al plano P .

5. Suponga que E es un espacio vectorial de dimensión n sobre el campo K .Recuerde que las transformaciones lineales de E en E forman un anillo L.Sea f un elemento de L con la siguiente propiedad: las imágenes f p(x0) deun elemento particular x0 ∈ E constituyen una base para E si 1 ≤ p ≤ n.

(a) Muestre que f es biyectiva.

(b) Demuestre que existen números ap enK tales que

(fn + an−1fn−1 + · · ·+ a0e)(x0) = 0,

donde e es la identidad. USando esto compruebe que la aplicaciónfn + an−1f

n−1 + · · ·+ a0e es la aplicación cero.

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(c) Suponga que gconmuta con f . Verifique que se pueden encontrarnúmeros bi enK tales que

g(x0) = (bn−1fn−1 + bn−2f

n−2 + · · ·+ b0e)(x0)

y concluya que

g = bn−1fn−1 + bn−2f

n−2 + · · ·+ b0e.

6. Demuestre que los elementos de la diagonal de una matriz hermitiana sonreales.

7. Una transformación lineal f : R3 → R3 se define dando las coordenadas(X, Y, Z) del vector f(u) como función de las coordenadas (x, y, z) del vec-tor u:

X =(m− 2)x+ 2y − z

Y =2x+my + 2z

Z =2mx+ 2(m+ 1)y + (m+ 1)z.

Compruebe que el ango de f es igual a 3 excepto para valores particularesde m y determine esos valores particulares. Encuentre los rangos de esosvalores y defina el subespacio f(R3).

8. Sean E un espacio vectorial sobre el campoK , E∗ su dual Φ un conjunto devectores que pertenecen a E y F el F el subespacio vectorial de E generadopor Φ.

(a) Compruebe que las transformaciones lineales que se anulan en los el-ementos de Φ constituyen un subespacio vectorial F ∗ de E∗.

(b) Demuestre que los ceros comunes a las transformaciones lineales deF ∗ son los vectores de F .

(c) Verifique que dim(F ) + dim(F ∗) = n.

(d) Sea En+1 el espacio vectorial de polinomios de grado ≤ n con coefi-cientes complejos. Tome como F el subespacio de polinomios múlti-plos de (x − 1)2(x − 2)3(x − 3). Corrobore que F ∗ es el conjunto detrensformaciones lineales l definidas por

l(A) = λ1A(1) + μ1A′(1) + λ2A(2) + μ2A

′(2) + v2A′′(2) + λ3A(3).

9. Pruebe que una matriz hermitiana triangular es diagonal.

10. SeanA,B matrices hermitianas (Del mismo tamaño). Compruebe queA+Bes hermitiana. Si AB = BA, verifique que AB es hermitiana.

11. Sea A una matriz hermitiana. Cerciórese de que At y A son hermitianas. SiA es invertible, entonces pruebe que A−1 es hermitiana.

8



12. Sea A una matriz hermitiana no nula. Demuestre que tr(AA∗) > 0.

13. Calcule el rango de las siguientes matrices.

(a) (2 3 5 11 −1 2 1

)

(b) ⎛⎝3 5 1 42 −1 1 15 4 2 5

⎞⎠

(c) ⎛⎝3 5 1 42 −1 1 18 9 3 9

⎞⎠

(d) ⎛⎜⎜⎝

3 1 1 −1−2 4 3 2−1 9 7 37 4 2 1

⎞⎟⎟⎠

14. ¿Existe una transformación lineal T : IR3 → IR2 tal que T (1, −1, 1) = (1, 0)y T (1, 1, 1) = (0, 1)?

15. Sean V y W espacios vectoriales sobre el campo F y U un isomorfismo deV sobre W . Demuestre que T → UTU−1 es un isomorfismo de L(V, V )sobre L(W,W ), donde L(A,B) es el conjunto de transformaciones linealesentre A y B.

16. Recuerde que si V es un espacio vectorial sobre el campo F , el dual V ∗

consiste en las transformaciones lineales de V en F ; si E ⊆ V ∗, entoncesel anulador E0 es el subespacio de V que consiste en los α ∈ V tales quef(α) = para todo f ∈ E.

(a) Sea n un enntero positivo, F un campo yW el conjunto de los vectores(x1, . . . , xn) de F n tales que x1 + · · · + xn = 0. Demuestre que W 0

consta de todos los funcionales lineales f de la forma

f(x1, . . . , xn) = c

n∑j=1

xi.

(b) Demuestre que el espacio dualW ∗ deW puede identificarse en formanatural con los funcionales lineales

f(x1, . . . , xn) = c1x1 + · · ·+ cnxn

sobre F n que satisfacen c1 + · · ·+ cn = 0.

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17. Sean S un conjunto, F un campo y V (S, F ) el espacio de todas las funcionesde S en F :

(f + g)(x) =f(x) + g(x)

(cf)(x) =cf(x).

Sea W un subespacio de dimensión n de V (S, F ). Demuestre que existenpuntos x1, . . . , xn en S y funciones f1, . . . , fn enW tales que fi(xj) = δij .

18. Sean F un campo y f el funcional lineal en F 2 definido por f(x1, x2) =ax1 + bx2. Para cada uno de los siguientes operadores T , defina gT tf yencuentre g(x1, x2).

(a) T (x1, x2) = (x1, 0).

(b) T (x1, x2) = (−x2, x1).(c) T (x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2).

19. Sea V el espacio vectorial de los polinomios sobre IR. Sean a, b númerosreales fijos y f un funcional lineal en V definido por

f(p) =

∫ b

a

p(x)dx.

Si D es el operador derivación sobre V , ¿qué esDtf?

20. Sean V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo F , T unoperador lineal sobre V y c un escalar. Suponga que existe un vector nonulo α ∈ V tal que T (α) = cα. Demuestre que existe un funcional linealno nulo f en V tal que T tf = cf .

21. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campoF . Demuestreque T → T t es un isomorfismo de L(V, V ) sobre L(V ∗, V ∗).

22. Una matriz n × n, A sobre un campo F es antisimétrica si At = −A. Si Aes una matriz n × n antisimétrica con elementos complejos y n es impar,demuestre que det(A) = 0.

23. Una matriz n × n, A, sobre el campo F es ortogonal si AAt = I . Si Aes ortogonal, demuestre que det(A) = ±1. De un ejemplo de una matrizortogonal para la cual det(A) = −1.

24. Una matriz n × n, A, sobre el campo C se llama unitaria si AA∗ = I (A∗

denota la transpuesta conjugada de A). Si A es unitaria, demuestre que|det(A)| = 1.

25. Sean T y U dos operadores lineales sobre el espacio vectorial V de dimen-sión finita. Demuestre que:

(a) det(TU) = det(T )det(U).

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(b) T es invertible si y sólo si det(T ) �= 0.

26. Sean V el espacio vectorial de las matrices n × n sobre el campo F , B unelemento fijo de V y TB el operador lineal sobre V definido por TB(A) =AB − BA. Demuestre que det(TB) = 0.

27. Sea A una matriz n × n sobre el campo F . Demuestre que existen a lo másn escalares c distintos en F tales que det(cI − A) = 0.

28. Si V es el espacio vectorial de las matrices n× n sobre F y B es una matrizn×n dada sobre F , sean LA y RB los operadores lineales sobre V definidospor LB(A) = BA y RB(A) = AB. Compruebe que

(a) det(LB) = (det(B))n.

(b) det(RB) = (det(B))n.

29. Sean A,B,C,Dmatrices n×n, conmutativas sobre el campo F . Demuestreque el determinante de la matriz 2n× 2n[

A BC D

]

es det(AD − BC).

30. Sean F un subcampo de los complejos y T una función de F 3 a F 3 definidapor

T (x1, x2, x3) = (x1 − x2 + 2x3, 2x1 + x2,−x1 − 2x2 + 2x3).

(a) Verifique que T es lineal.

(b) Si (a, b, c) es un vector de F 3, ¿cuáles son las condiciones para a, b y cde modo que el vector pertenezca a la imagen de T ?, ¿Cuál es el rangode T ?

(c) Encuentre condiciones para a, b, c de tal suerte que (a, b, c) pertenezcaal núcleo de T .

31. Sea V el conjunto de todos los números complejos considerado como unespacio vectorial sobre IR (con las operaciones usuales). Encuentre una fun-ción de V en V que sea una transformación lineal en dicho espacio vectorial,pero que no sea una transformación lineal en C1, es decir, que no sea linealcompleja.

32. Sean V un espacio vectorial de dimensión n sobre el campo F y T unatransformación lineal de V en V tal que la imagen y el núcleo de T seanidénticas. Demostrar que n es par.

33. Sea V un espacio vectorial y T una transformación lineal de V en V . De-mostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes.

11



(a) La intersección de la imagen de T y el núcleo de T es el subespacio{0} de V .

(b) Si T (T (α)) = 0, entonces T (α) = 0.

34. Sean V el conjunto de los números complejos y F el campo de los númerosreales. Con las operaciones usuales V es un espacio vectorial sobre F . De-sciba explícitamente un isomorfismo de este espacio sobre IR2.

35. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo F .Demostrar que V yW son isomorfos si y sólo si dim(V ) = dim(W ).

36. Sea

A =

⎡⎣1 1 00 −1 11 0 1

⎤⎦ .

Sea f : R3 → R3 dada por f(x) = Ax para x ∈ R3.

Encuentre la imagen bajo f del plano con ecuación x3 = 0. Encuentre laimagen bajo f de la intersección de los planos cuyas ecuaciones son x1 +x3 = 0, x1 − x2 = 0.

37. Sea

B =

⎡⎣1 3 0 −1 00 0 1 2 01 3 1 1 1

⎤⎦ .

Sea S = {x ∈ R5 : Bx = 0}. Encuentre un conjunto G que tenga doselementos y que genere a S.

10. Sea α ∈ [0, π] y sea

A =

[cosα − sen αsen α cosα

].

Encuentre A2, A−1 y det(A4).

38. Sea E un espacio vectorial, T : E → E una transformación lineal inyectivay {u1, u2, . . . , um} un subconjunto de E linealmente independiente. De-muestre que {Tu1, Tu2, . . . , Tum} es linealmente independiente.

39. SeanE y F espacios vectoriales reales de dimensión finita y L : E → F unatransformación lineal. Supongamos que la imagen de L es un subespacio Gde F con dimensión n. Demuestre que existe un subespacio H de E condimensión igual a n y tal que L restringida a H es inyectiva y sobre.

40. Encuentre una base B = {u1, u2, u3} de R3 tal que el vector de coordenadasde (0, 1, 0) con respecto a B sea (1,−1, 1).

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41. Sea A una matriz 8 × 8 tal que det(A) �= 0. Sea f : R8 → R8 dada porf(x) = Ax para x ∈ R8. Sea S = {u1, u2, . . . , uk} ⊂ R8 un conjuntolinealmente independiente. Demuestre que la imagen de S bajo f es tambiénlinealmente independiente.

42. Sea

B =

⎡⎣1 3 0 −1 00 0 1 2 01 3 1 1 1

⎤⎦ .

Sea S = {x ∈ R5 : Bx = 0}. Encuentre un conjunto G que tenga doselementos y que genere a S.

43. Sean V espacio vectorial y T : V → V una transformación lineal tal queT 2 = IdV . Demuestre que T es diagonalizable. Si V = IR4 esencialmentecuántas transformaciones hay con esa propiedad?

44. Estudie las soluciones del sistema

λx1 + x2 + x3 = 1x1 + λx2 + x3 = 1x1 + x2 + λx3 = 1.

45. Sean V un espacio vectorial y T : V → V una transformación lineal invert-ible. Muestre que T−1 : V → V es una transformación lineal. Demuestreque siW es un subespacio de V invariante bajo T, entoncesW también esinvariante bajo T−1.

46. Sean n y k enteros mayores que 1. Sea A una matriz k×n y sea b un vectorcolumna con k coordenadas. Sea S el conjunto de soluciones de Ax = b.Marque con una V cada una de las afirmaciones siguientes en caso de quesea necesariamente verdadera, y con una F en caso de que no lo sea.

(a) [ ] Si k > n entonces S es vacío.

(b) [ ] Si k < n entonces S debe ser un conjunto infinito.

(c) [ ] Si k = n entonces S tiene exactamente n soluciones.

(d) [ ] Si k < n entonces no es posible que S contenga exactamente unelemento.

(e) [ ] Si k = n entonces el sistema tiene una única solución.

(f) [ ] Si k > n entonces es posible que S sea un conjunto infinito.

(g) [ ] Si S es vacío entonces n �= k.

(h) [ ] Si S tiene una representación paramétrica con 3 parámetrosreales entonces k ≥ 3.

47. Encontrar la distancia del punto (0, 1,−1, 0) en IR4 al conjunto

{(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 + x3 − x4 = 0}.

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48. Sea T : IR2 → IR2 una transformación lineal que tiene al 1 como único valorpropio. Demuestre o dé un contra-ejemplo para las afirmaciones siguientes:

(i) T es un isomorfismo lineal

(ii) T es diagonalizable.

49. Sea A una matriz real 4×3. Describa todas las posibles formas del conjuntode vectores x en R3 que satisfacen Ax = b, donde b es un vector dado enR4.

50. Encontrar una base B = {u1, u2, u3} de IR3 tal que el vector con coorde-nadas (1,−1, 1) con respecto a B sea (0, 1, 0) (con respecto a coordenadascartesianas).

51. Si T tiene un valor propio λ, demuestre que aT tiene el valor propio aλ.

52. Si x es un valor propio para T1, T2, demuestre que también lo es para aT1 +bT2.

53. Considere el plano como un espacio vectorialV sobre IR, y sea T una rotaciónde V por π/2 radianes. Si bien T no tiene vectores propios, demuestre queque todo vector no nulo es un vector propio de T 2.

54. Si T : V → V tiene la propiedad de que T 2 tiene un valor propio no negativoλ2, demuestre que por lo menos uno de los dos valores λ o −λ es un valorpropio para T .

55. Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas en IR y tales que laintegral

∫ x

−∞ tf(t)dt exista para todo x real. Si f ∈ V definamos g = T (f)

poniendo g(x) =∫ x

−∞ tf(t)dt. Demuestre que todo λ negativo es un valorpropio para T y determine las funciones propias correspondientes a λ.

56. Supongamos que una transformación lineal T tiene dos vectores propiosx, y pertenecientes a valores propios distintos λ y μ. Si ax+ by es un vectorpropio de T , demuestre que a = 0 o b = 0.

57. Si A y B son matrices n× n, siendo B una matriz diagonal, demuestre (porinducción) que el determinante f(λ) = det(λB − A) es un polinomio en λcon f(0) = (−1)ndet(A), y con el coeficiente de λn igual al producto de loselementos diagonales de B.

58. Sea A una matriz hermitiana invertible. Demuestre que A−1 es hermitiana.

59. ¿Cuáles de las siguientes matrices son hermitianas?

(a) (2 i−i 5

)

14



(b) (1 + i 22 5i

)

(c) ⎛⎝ 1 1 + i 51− i 2 i5 −i 7

⎞⎠

60. En los siguientes incisos utilice el Teorema de Green para calcular la cir-culación en sentido contrario al de las manecillas y el flujo saliente para elcampo F y la curva C .

(a) F = (x − y)i+ (y − x)j, C : el cuadrado acotado por x = 0, x = 1,y = 0, y = 1.

(b) F = (x2+4y)i+(x+ y2)j, C : el cuadrado acotado por x = 0, x = 1,y = 0, y = 1.

(c) F = (y2−x2)i+(x2+y2)j, C : el triángulo acotado por y = 0, x = 3y y = x.

(d) F = (x+ y)i− (x2 + y2)j, C : el triángulo acotado por y = 0, x = 3y y = x.

(e) Calcule la circulación del campo F = xyi + y2j en sentido contrarioa las manecillas del reloj y el flujo saliente a través de la frontera de laregión acotada por las curvas y = x2 y y = x en el primer cuadrante.

(f) Encuentre la circulación del campo F = (− sin y)i + (x cos y)j ensentido contrario l de las manecillas del reloj y el flujo saliente a trvésdel cuadrado definido en el primer cuadrante por las rectas x = π/2 yy = π/2.

(g) Encuentre el flujo saliente del campo

F =

(3xy − x

1 + y2

)i+ (ex + tan−1(y))j

a través de la cardioide r = a(1 + cos θ), a > 0.

(h) Calcule la circulación de F = (y + ex ln y)i + (ex/y)j en el sentidocontrarioal de las manecillas, alrededor de la región acotada por arribapor la curva y = 3− x2 y por debajo por la curva y = x4 + 1.

61. Aplique el Teorema de Green para evaluar las integrales siguientes:

(a)∮C(y2dx+x2dy),C es el triángulo acotado por x = 0, x+y = 1, y = 0.

(b)∮C(3ydx+ 2xdy), C es la frontera de 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x.

(c)∮C(6y+x)dx+(y+2x)dy,C es la circunferencia (x−y)2+(y−3)2 = 4.

(d)∮C(2x+y2)dx+(2xy+3y)dy,C es cualquier curva cerrada en el plano,

para la que se cumpla el Teorema de Green.

15



62. Evalue∫∫

S(∇× F ) · dS, donde F = (x2 + y − 4, 3xy, 2xz + z2) y S es la

superficie x2 + y2 + z2 = 16, z ≥ 0.

63. Calcule∫∫

S(∇×F ) · dS, donde S es la superficie x2 + y2 +3z2 = 1, z ≤ 0,

y F = (y,−x, zx3y2).64. Calcule la integral

∫∫SF · dS, donde S es la superfici de la semibola x2 +

y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0 y F = (x+ 3y5, y + 10xz, z − xy).

65. Calcule la integral de superficie∫∫

SF ·ndA, donde F (x, y, z) = (1, 1, z(x2+

y2)2 y S es la superficie del cilindro x2 + yr ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

66. Integre f(x, y, z) = xyz a lo largo de las siguientes trayectorias:

(a) c(t) = (et cos t, et sin t, 3), 0 ≤ t ≤ 2π.

(b) c(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π.

(c) c(t) = (12t2, 2t2, t), 0 ≤ t ≤ 1.

67. Si F (x) es ortogonal a c′(t) en cada punto de la curva x = c(t) ¿qué sepuede decir acerca de

∫cF · ds?

68. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza F (x, y) = (x2 − y2, 2xy) almover una partícula en sentido contrario al que giran las manecillas delreloj, alrededor del cuadrado con esquinas (0, 0), (a, 0), (a, a) y (0, a), a > 0.

69. Un anillo con la forma de la curva x2+y2 = a2 está formado por un alambredelgado que pesa |x|+ |y| gramos por unidad de longitud en (x, y). Encuen-tre la masa del anillo.

70. De una parametrización para cada una de las siguientes superficies:

(a) x2 + y2 + z2 − 4x− 6y = 12.

(b) 2x2 + y2 + z2 − 8x = 1.

(c) 4x2 + 9y2 − 2z2 = 8.

71. Encuentre el área de la superficie definida por Φ(u, v) → (x, y, z), donde

x = h(u, v) = u+ v, y = g(u, v) = u, z = f(u, v) = v,

con 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1. Bosquejar.

72. Un paraboloide de revolución S está parametrizado porΦ(u, v) = (u cos v, u sin v, u2),0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2π.

(a) Encuentre una ecuación en x, y, z que describa la superficie.

(b) ¿Cuál es el significado geométrico de los parámetros u y v?

(c) Encuentre un vector unitario ortogonal a la superficie en Φ(u, v).

16



(d) Encuentre la ecuación para el plano tngente en Φ(u0, v0) = (1, 1, 2) yexprese la respuesta de las dos maneras siguientes:

i. parametrizada por uy v;

ii. en términos de x, y, z.

(e) Encuentre el área de S.

73. Encuentre una constante c tal que en todo punto de la intersección de lasdos esferas

(x− c)2 + y2 + z2 = 3, x2 + (y − 1)2 + z2 = 1

los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares el uno al otro.

74. Si r1, r2 son las distancias desde un punto (x, y) de una elipse a sus focos, de-muestre que la ecuación r1+ r2 = constante (que satisfacen esas distancias)implica la relación

T · ∇(r1 + r2) = 0,

siendo T el vector unitario tangente a la curva. Interprete geométricamenteese resultado, y con ello demostrar que la tangente forma ángulos igualescon las rectas que unen (x, y) a los focos.

75. Si∇f(x, y, z) es siempre paralela a xi+yj+zk, demostrar que f debe tomarvalores iguales en los puntos (0, 0, a) y (0, 0,−a).

76. El cambio de variable x = u + v, y = uv2 transforma f(x, y) en g(u, v).Calcular el valor ∂2g/(∂v∂u) en el punto en el que u = 1, v = 1, sabiendoque

∂f

∂y=∂2f

∂x2=∂2f

∂y2=

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x= 1,

en dicho punto.

77. Dos funciones F y G de una variable y una función z de dos variables estánligadas por la ecuación

[F (x) +G(y)]2ez(x,y) = 2F ′(x)G′(x)

con tal que F (x) + G(y) �= 0. Demuestre que la derivada parcial mixtazxy nunca es cero. Puede suponer la existencia y continuidad de todas lasderivadas que aparezcan.

78. Suponga la diferenciabilidad de todas las funciones involucradas. Si k es unaconstante positiva y g(x, t) = 1

2x/

√kt, ponemos

f(x, t) =

∫ g(x,t)

0

e−u2

du.

17



(a) Demuestre que

∂f

∂x= e−g2 ∂g

∂x

∂f

∂t= e−g2 ∂g

∂t.

(b) Demuestre que f satisface la ecuación en derivadas parciales

k∂2f

∂x2=∂f

∂t.

79. Considere un campo escalar f definido en IR2 tal que f(x, y) depende desólo la distancia r del punto (x, y) al origen, f(x, y) = g(r), siendo r =(x2 + y2)1/2.

(a) Demuestre que para (x, y) �= (0, 0), se cumple

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2=

1

rg′(r) + g′′(r).

(b) Suponga además que f satisface la ecuación de Laplace,

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0,

para todo (x, y) �= (0, 0). Demuestre, usando (a) que f(x, y) = a log(x2+y2) + b para (x, y) �= (0, 0), siendo a, b constantes.

80. Supongamos que a, b son números positivos fijos.

(a) Encuentre los valores extremos de z = x/a + y/b con la condiciónx2 + y2 = 1.

(b) Encuentre los valores extremos de z = x2 + y2 con la condición x/a+y/b = 1.

81. Encuentre los valores extremos del campo escalar f(x, y, z) = x− 2y + 2zen la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

82. Calcule∫γydx+ zdy + xdz, donde:

(a) γ es la curva de intersección de las dos superficies x + y = 2 y x2 +y2+z2 = 2(x+y). La curva se recorre de tal modo que mirando desdeel origen el sentido es el de las agujas del reloj.

(b) γ es la intersección de las dos superfices z = xy y x2+y2 = 1, recorridaen sentido, visto desde encima del plano xy, es el contrario al de lasmanecillas del reloj.

83. Calcular la integral de línea con respecto a la longitud de arco de los siguien-tes ejercicios:

18



(a)∫C(x+y)ds, siendoC el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1) recor-

rido en sentido contrario al de las manecillas.

(b)∫Cy2ds, en donde C tiene la ecuación vectorial

α(t) = a(t− sin t)i + a(1− cos t)j, 0 ≤ t ≤ 2π.

(c)∫C(x2 + y2)ds, donde C tiene la ecuación

α(t) = a(cos t + t sin t)i+ a(sin t− t cos t)j, 0 ≤ t ≤ 2π.

84. Calcular cada una de las integrales triples en los siguientes incisos. Repre-sentar en cada caso la región de integración. Suponga la existencia de todaslas integrales involucradas.

(a)∫∫∫

Sxy2z3dxdydz, siendo S el sólido limitado por la superficie z = xy

y los planos y = x, x = 1, z = 0.

(b)∫∫∫

S(1 + x+ y + z)−3dxdydz, siendo S el sólido limitado por los tres

planos coordenados y el plano x+ y + z = 1.

(c)∫∫∫

Sxyzdxdydz, siendo S = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥

0, z ≥ 0}.85. En las siguientes integrales, cambiar el orden de integración, trazar las re-

giones correspondientes y evaluar las integrales de las dos maneras.

(a) ∫ 1

0

∫ 1

x

xydydx

(b) ∫ π/2

0

∫ cos θ

0

cos θdrdθ

(c) ∫ 1

0

∫ 2−y

0

(x+ y)2dxdy

(d) ∫ b

a

∫ y

a

f(x, y)dxdy

(exprese su respuesta en términos de antiderivadas).

86. Si f(x, y) = esin(x+y) y D = [−π, π]× [−π, ß], muestre que

1

e≤∫∫

D

f(x, y)dA ≤ e.

87. Muestre que

1

2(1− cos 1) ≤

∫∫[0,1]×[0,1]

sin x

1 + (xy)4dxdy ≤ 1.

19



88. Usando el teorema del valor medio, demuestre que

1

6≤∫∫

D

dA

y − x+ 3≤ 1

4.

89. Calcule∫∫

Df(x, y)dA, donde f(x, y) = y2

√x y D es el conjunto de las

(x, y) con x > 0, y > x2 y y < 10− x2.

90. Evalue∫∫

Dex−ydxdy, dondeD es el interior del triángulo con vértices (0, 0), (1, 3)

y (2, 2).

91. Calcule∫∫

SxydS, donde S es la superficie del tetraedro con lados z =

0, y = 0, x+ z = 1, x = y.

92. Evalue∫∫

SzdS, donde S es el hemisferio superior de radio a, esto es, es el

conjunto de (x, y, z) tales que z =√a2 − x2 − y2.

93. Evalue∫∫

S(x+ y+ z)dS, donde S es la frontera de la bola unitaria, es decir,

S es el conjunto de (x, y, z) con x2 + y2 + z2 = 1.

94. Calcule∫∫

SzdS, donde S es la superficie z = x2 + y2, x2 + y2 ≤ 1.

95. Una superficiemetálica S tiene la forma de un hemisferio z =√R2 − x2 − y2,

0 ≤ x2 + y2 ≤ R2. La densidad de masa en (x, y, z) ∈ S está dada porm(x, y, z) = x2 + y2. Encuentre la masa total de S.

96. Demuestre que:∫ x

0

(∫ v

0

[∫ u

0

f(t)dt

]du

)dv =

1

2

∫ x

0

(x− t)2f(t)dt.

97. Sea S una superficie parámetrica dada en la forma explícita z = f(x, y),donde (x, y) varía en una región plana T , proyección de S en el plano xy.Sean F = P i + Qj + Rk y n la normal unitaria a S de componente z nonegativa. Emplée la representación paramétrica r(x, y) = xi+yj+f(x, y)ky demuestre que∫∫

S

F · ndS =

∫∫T

(−P ∂f

∂x−Q

∂f

∂y+R

)dxdy,

donde P,Q,R están calculadas en (x, y, f(x, y)).

(b) Sean S la misma superficie del inciso previo y ϕ un campo escalar. De-muestre que

∫∫S

ϕ(x, y, z)dS =

∫∫T

ϕ[x, y, f(x, y)]

√1 +

(∂f

∂x

)2

+

(∂f

∂y

)2

dxdy.

20



98. El cilindro x2 + y2 = 2x recorta una porción de superficie S en la hojasuperior del cono x 2 + y2 = z2. Calcule la integral de superficie∫∫

S

(x4 − y4 + y2z2 − z2x2 + 1)dS.

99. En los siguientes incisos transforme la integral de superficie∫∫

S(rot(F) ·

ndS en una integral de linea utilizando el teorema de Stokes, y calcule laintegral de linea.

(a) F(x, y, z) = (y2, xy, xz), donde S es el hemisfereo x2 + y2 + z2 = 1,z ≥ 0 y n es la norma unitaria con componente z no negativa.

(b) F(x, y, z) = (y, z, x), donde S es la parte del paraboloide z = 1−x2−y2 con z ≥ 0 y n es la norma unitaria con componente z no negativa.

(c) F(x, y, z) = (y − z, yz,−xz), donde S consta de las cinco caras delcubo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2 no situada en el plano xy. n esla normal unitaria exterior.

100. Demuestre la identidad

∇ · (F×G) = G · (∇× F)− F · (∇×G),

donde F yG son campos vectoriales diferenciables.

101. Sea F(x, y, z) = (y2z2, z2x2, x2y2). Demuestre que rot(F) no siempre escero, pero que F · rot(F = 0. Encuentre un campo escalar μ tal que μF seaun gradiente.

102. Sea V(x, y) = (yc, xc), donde c es una constante positiva, y sea r(x, y) =(x, y). Consideremos una región plana R bordeada por una curva de Jordanregular a trozos C . Calcule div(V × r) y rot(V × r) y aplique el teoremade GReen demuestre que ∮

C

V × r · dα = 0,

donde α es la función que describe a C .

103. Sea z = f(x, y); encuentre ∂2z∂u∂v

en términos de las parciales con respecto ax y a y si x = u+ 2v y y = u− 2v.

104. Sea f(x, y) diferenciable en IR2; demuestre que la derivada direccional de fa lo largo de la circunferencia x2 + y2 = 1 en la dirección contraria a lasmanecillas del reloj en el punto (x, y) está dada por

−y∂f∂x

+ x∂f

∂y.

Encuentre el valor máximo de f(x, y) = x2 + xy + y2 en la circunferenciax2 + y2 = 1.

21



105. Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie z = x2 + y2 en elpunto (1, 2, 5).

106. Calcule

∫∫R

(2x2 + y2)dA

si R es la región delimitada por las curvas x = 0, x = 4, y = x2 y y = x3.

107. Calcule ∫∫R

(3− x− y)dA

si R es la región delimitada por las curvas x2 − 1 ≤ y ≤ 1− x2.

108. Maximice la función f(x, y, z) = 8xyz sujeta a la restricción

16x2 + 4y2 + 9z2 = 144.

109. Sea f(x, y) diferenciable en IR2; Calcule la derivada direccional de f a lolargo de la circunferencia x2 + y2 = 1 en la dirección contraria a las mane-cillas del reloj en el punto (x, y) de la circunferencia.

110. Sea S un paralelogramo de lados no pararlelos a ningún eje coordenado.Sean S1, S2 y A3 las áreas de las proyecciones de S sobre los planos coorde-nados. Demuestre que el área de S es

√S21 + S2

2 + S23 .

111. Calcule el área de la porción de esfera x2 + y2 + z2 = a2 interior al cilindrox2 + y2 = ay, siendo a > 0.

112. Determine el área de la porción de superficie z2 = 2xy que se proyecta enel primer cuadrante del plano xy y limitada por los planos x = 2 e y = 1.

113. Encuentre el área del toro de ecuación

r(u, v) = (a + b cosu) sin vi+ (a + b cosu) cos vj+ b sin uk,

donde 0 < b < a y 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2π.

114. Sea T el disco unitario en el plano uv, T = {(u, v) : u2 + v2 ≤ 1} ypongamos

r(u, v) =2u

u2 + v2 + 1i+

2v

u2 + v2 + 1j +

u2 + v2 − 1

u2 + v2 + 1k.

(a) Determine la imagen respecto a r de cada uno de los siguientes con-juntos: la circunferencia unidad u2 + v2 = 1; el intervalo −1 ≤ u ≤ 1;la parte de la recta u = v situada en T .

(b) La superficie S = r(T ) es muy conocida. Diga cual es y dibújela.

22



(c) Determine la imagen respecto a r del plano uv. Indique con un dibujoen el espacio xyz los significados geométricos de los parámetros u, v.

115. Sean S la semiesfera x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0 y F (x, y, z) = (x, y). Seann el vector normal unitario exterior a S. Calcule el valor de la integral desuperficie

∫∫SF · ndS, empleando:

(a) la representación vectorial r(u, v) = sin u cos vi+sin u sin vj+cosuk.

(b) La representación explícita z =√

1− x2 − y2.

116. Muestre que los planos tangentes a la superficie

xyz = m3

forman con los planos coordenados tetraedros de volumen constante.

117. Encuentre la ecuación del plano tangente y del normal a la superficie z =e−(x2+y2) en el punto x = 1, y = 2.

118. Sea z = f(x, y); encuentre ∂2z∂u∂v

en términos de ∂2z∂x2 y ∂2z

∂y2si x = u + 2v y

y = u− 2v.

119. Sea f : IR2 → IR definida por

f(x, y) :=

∫ xy

0

t cos2(ty2) dt.

Encuentre ∂f∂x

y ∂f∂y.

120. Encuentre el valor máximo de f(x, y) = x2 + xy + y2 en la circunferenciax2 + y2 = 1.

121. Muestre que los planos tangentes a la superficie

xyz = m3

forman con los planos coordenados tetraedros de volumen constante.

122. Calcule ∫∫R

(2x2 + y2)dA

si R es la región delimitada por las curvas x = 0, x = 4, y = x2 y y = x3.

123. Mediante el teorema de Green evalue:

(a) ∮C

xydy − y2dx,

donde C es el cuadrado delimitado en el primer cuadrante por las rec-tas x = 1 y y = 1.

23



(b) El flujo saliente del campo F (x, y) = xi + y2j a través del cuadradoacotado por las rectas x = ±1 y y = ±1.

Análisis

1. Pruebe que para todo real x �= 1,

(1 + x)(1 + x2)(1 + x4) . . . (1 + x2n) =1− x2n+1

1− x.

2. Sea f : N → N una aplicación tal que f(xy) = f(x)+f(y) para cualesquierx, y. Verifique que f(an) = nf(a) para cada n ∈ N.

3. Sea a ≥ 0. Para cada entero positivo n defina a1/n como el número x talque xn = a, x ≥ 0. Demuestre que tal número x, si es que existe, es único.Muestre que si 0 < a < b, entonces a1/n < b1/n, suponiendo que existen laraíces n-ésimas.

4. Pruebe que√3 es irracional.

5. Sean a un entero positivo tal que√a y α =

√a. Verifique que existe un

número c > 0 tal que para cualesquier enteros p, q con q > 0 se cumple

|qα− p| > c/q.

6. Sea w un racional. Dado ε > 0, muestre que existe un irracional y tal que|y − w| < ε.

7. (a) Sean α un irracional y ε > 0. Muestre que existen enterosm,n > 0 talesque |mα− n| < ε.

(b) De hecho, dado un entero positivoN , verifique que existen enterosm,ny 0 < m ≤ N tales que |mα− n| < 1/N .

(c) Sean w un número y ε > 0. Compruebe que existen enteros q, p tales que

|qα− p− w| < ε.

8. Dado cualquier número real ≥ 0, muestre que tiene raíz cuadrada.

9. Sean x1, . . . , xn números reales. Verifique que x21+ · · ·+x2n es un cuadrado.

10. Sean S un conjunto acotado de reales y A el conjunto de sus puntos deacumulación, es decir, A consiste en los a ∈ R tales que a es punto de unsubconjunto infinito de S. Suponga queA no es vacío. Sea b su cota superiormínima.

24



(a) Compruebe que b es punto de acumulación de S. b es el límite superiorde S y se denota lim supS.

(b) Sea c un real. Pruebe que c es el límite superior de S si y sólo si c satisfacela siguiente propiedad. Para todo ε exsite sólo una cantidad de elementosx ∈ S tal que x > c + ε, y exist una cantidad infinita de x ∈ S tales quex > c− ε.

11. Sea d > 1. Pruebe que dado B > 1 existe N tal que si n > N , entoncesdn > B.

12. Pruebe que si 0 < c < 1, entonces

limn→∞

cn = 0.

¿Qué ocurre si −1 < c ≤ 0?

13. Sea x > 0. Suponga que la n-ésima raíz x1/n existe para todo entero positivon. Encunetre limn→∞ x1/n.

14. Sea f la función definida mediante

f(x) = limn→∞

1

1 + n2x.

Muestre que si f es la función característica del conjunto {0}, es decir,f(0) = 1 y f(x) = 0 si x �= 0.

15. Sea A > 0, considere un intervalo 0 < δ ≤ x ≤ 2A− δ. Muestre que existeuna constante C , y para cada entero positivo n, existe un polinomio Pn talque para toda x en el intervalo, se cumple

| log(x)− Pn(x)| ≤ C/n.

16. Dé un ejemplo de dos sucesiones {xn} y {yn} tales que

limn→∞

xn = 0 limn→∞

yn = ∞,

ylimn→∞

(xnyn) = 1.

17. Sea fn(x), n = 1, 2, . . . una sucesión de funciones tal que |fn(x)| ≤ Mn,para todo x real y la serie

∑∞n=0Mn converge.

Demuestre que∑∞

n=0 fn(x) converge uniformemente.

18. Demuestre que una función diferenciable en (a, b) es continua en (a, b).

19. Demuestre que una sucesión monótona converge si y solo si está acotada.

25



20. Calcule los límites:

a) limn→∞

n ln(n)

n2 + 1; b) lim

x→∞

√x√

x+√x.

21. Demuestre que si f es diferenciable en (0, 1) y df/dx es acotada en (0, 1),entonces f es uniformemente continua en (0, 1).

22. Sea f : [a, b] → IR una función continua. Se define g : [a, b] → R porg(a) = f(a) y g(x) = max{f(t) : t ∈ [a, x]}. Demostrar que g es continuaen [a, b].

23. Sea f : [a, b] → IR una función creciente. Demuestre que f es Riemannintegrable en [a, b].

24. Definimos s1 :=√2 y sn+1 :=

√sn + 2. Demuestre que la sucesión {sn}n

está acotada por 2, que es convergente y calcule su límite.

25. Sea f continua para x ≥ 0, derivable para x > 0, con f ′ creciente y f(0) =0. Demuestre que

g(x) :=f(x)

xx > 0

es creciente.

26. Sea f : IR → IR tal que |f(x) − f(y)| ≤ (x − y)2 para cada x, y ∈ IR. De-mostrar que f es diferenciable en IR y citar un teorema que permita concluirque f es constante.

27. Sea {xn}n una sucesión de números reales tal que

limn→∞

|xn+1||xn| = r

con 0 ≤ r < 1. Demuestre que

limn→∞

xn = 0.

28. Sea f : [a, b] → IR continua. Demuestre que la función g : [a, b] → IR dadapor

g(x) := max{f(t) : t ∈ [a, x]}está bien definida y es continua.

29. Demuestre que si {fn} → f uniformemente en [a, b] entonces la sucesión{Fn}n donde

Fn(x) =

∫ x

a

fn

converge.

¿Es cierto que si, además, {fn}n es derivable la sucesión {f ′n}n es conver-

gente? (Demostrarlo o dar un contraejemplo.)

26



30. Defina convergencia de una serie∑an; pruebe que si

∑an es convergente

entonces la sucesión {an} converge a 0. ¿Es cierto el inverso? (Demostrarloo dar un contraejemplo.)

31. Muestre que si {fn} → f uniformemente en [a, b] entonces

{∫ b

a

fndx} →∫ b

a

fdx.

¿Es cierto este mismo resultado si {fn} → f puntualmente? (Demostrarloo dar un contraejemplo.)

32. Muestre que entre dos números reales distintos existe un irracional.

33. Considere el conjunto R = {0, 1} equipado con las siguientes operaciones:

a) Adición (+): 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0.

b) Multiplicación (·): 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1.

c) Orden: 0 ≥ 0, 1 ≥ 1, 1 ≥ 0.

¿Satisface R los axiomas de los números reales? Explique su respuesta.

34. Muestre que si |x| < 1, entonces lim xn = 0.

35. Encuente lim sup y lim inf de la sucesión {xn} definida por

x1 =1

3, x2n =

1

3x2n−1, x2n+1 =

1

3+ x2n,

n ∈ N.

36. Sea {xn} una sucesión acotada. Muestre que

lim sup(−xn) = − lim inf xn, lim inf(−xn) = − lim sup xn.

37. De un ejemplo de que si∑

k ak y∑

k bk son series convergentes de númerosreales, entonces la serie

∑k akbk puede no converger. También muestre que

si∑

k ak = A y∑

k bk = B, entonces∑

k akbk puede converge pero susuma puede no ser igual a AB.

38. Muestre que la serie∞∑k=1

2

(k + 1)(2k + 1)

es convergente y que su suma es ≤ 1.

39. Sea a ∈ R con a > 1. Muestre que la serie∑∞

k=1(1/ak!) es convergente.

27



40. Sean f, g : [2,∞) → R definidas por

f(t) =

{1, si k ≤ t < k + (1/k2) para algún k ∈ N

0, en otro caso.

g(t) =

{k, si k ≤ t < k + (1/k3) para algún k ∈ N

0, en otro caso.

Muestre que∫∞2f(t)dt y

∫∞2g(t)dt convergen, f(k) = 1 para cada k ∈ N

con k > 2 y g(k) → ∞ conforme k → ∞.

41. Sean a ∈ R y f : [a,∞) → R tal que f es integrable en [a, x] para todax ≥ a. demuestre lo siguiente:

(a) Si∫∞af(t)dt es convergente y f(x) → l conforme x → ∞, entonces

l = 0.

(b) Si f es diferenciable y∫∞af ′(t)dt es convergente, entonces existe l ∈ R

tal que f(x) → l conforme x→ ∞.

(c) Si f es diferenciable y tanto∫∞af(t)dt como

∫∞af ′(t)dt son conver-

gente, entonces f(x) → 0 conforme x→ ∞.

(d) Use lo anterior para concluir que la integral∫∞0t sin t2dt es divergente.

42. Sea f : [1,∞] → R tal que f es integrable en [1, x] para toda x ≥ 1.Demuestre que:

(a) Si existen p > 1 y l ∈ R tales que tpf(t) → l conforme t → ∞,entonces

∫∞1f(t)dt es absolutamente convergente.

(b) Suponga que f(t) > 0 para toda t ∈ [1,∞). Si existen p ≤ 1 yl �= 0 tales que tpf(t) → l conforme t → ∞, entonces

∫∞1f(t)dt es

divergente.

43. Muestre que las integrales impropias∫∞1

sin t2dt y∫∞1

cos t2dt son conver-gentes.

44. Determine cuál de los números eπ y πe es mayor. [Sugerencia: encuentre elmínimo absoluto de f(x) = x1/x para x ∈ (0,∞) y haga x = π; alternativa:encuentre el mínimo absoluto de f : R → R, f(x) = ex − 1 − x y hagax = (π/e)− 1.]

45. Considere la función g : R → R definida por g(x) = x2 − 2 cosx. Muestreque g es estríctamente convexa en R aunque g se anula en una cantidadinfinita de puntos ¿Tiene g un mínimo absoluto?

46. Considere la función f : (−π/2, π/2) → R definida por f(x) = tan x.Muestre que f no es uniformemente continua en [0, π/2), pero que paracualquier δ > 0, f es uniformemente continua en [−(π/2) + δ, (π/2)− δ].

28



47. Considere la sucesión de funciones {gn}n∈N, donde para cada x ∈ IR,

gn(x) =1

n(1 + x2),

(a) Encuentre el límite puntual de {gn}n∈N para cada x ∈ IR(b) ¿Se tiene convergencia uniforme de {gn}n∈N en IR?

48. Considere la sucesión de funciones {fn}n∈N, donde para cada x ∈ IR,

fn(x) =nx

1 + nx2,

(a) Encuentre el límite puntual de {fn}n∈N para cada x ∈ (0,∞)

(b) ¿Se tiene convergencia uniforme de {fn}n∈N en (0,∞)?

(c) ¿Se tiene convergencia uniforme de {fn}n∈N en (0, 1)?

(d) ¿Se tiene convergencia uniforme de {fn}n∈N en (1,∞)?

49. Una función f : R → R es localmente creciente en el punto x0 si existeδ > 0 tal que

f(x) < f(x0) < f(y)

siempre quex0 − δ < x < x0 < y < x0 + δ.

Muestre que una función que es localmente creciente en cada punto de R

debe ser creciente, esto es, f(x) < f(y) para cualesquiera x < y.

50. Suponga que f : E → R tiene la siguiente propiedad: para todo e ∈ Eexiste ε > 0 tal que

f(x) > ε si x ∈ E ∩ (e− ε, e+ ε).

Muestre que si el conjunto E es compacto entonces existe un real positivo ctal que

f(e) > c

para cada e ∈ E. Muestre que cuando E no es cerrado o acotado, la con-clusión puede fallar.

51. Sea C la colección de subintervalos cerrados de [a, b] con la propiedad de quepara cada x ∈ [a, b] existe δ = δ(x) > 0 tal que C contiene a los intervalos[c, d] ⊂ [a, b] que contienen a x y tienene longitud menor que δ. Supongaque C tiene la propiedad de que si [α, β] y [β, γ] pertenecen a C también[α, γ] pertenece. Entonces [a, b] pertenece a C.

29



52. De un ejemplo de una cubierta abierta deQ que no contiene una subcubiertafinita.

53. (a) Si f una función creciente y acotada sobre un intervalo (a, b); entoncesf es de variación acotada en (a, b).

(b) Si f = g− h, donde g y h son crecientes y acotadas en (a, b), entonces fes de variación acotada en (a, b).

54. Sea f : IR → IR la función dada por

f(x) =

{1n, si; x = m

n∈ Q

0, si; x ∈ IR \QConsidere quem y n no tienen factores comunes. Pruebe que limx→c f(x) =0 para cada c ∈ IR.

55. Use la definición ε− δ para probar que

f(x) =1

x

es continua en x = 1.

56. Sea f(x) = ax2

2donde a > 0, consideremos

g(y) = supx∈IR

(xy − f(x)), y ∈ IR.

Muestre que g(y) = y2

2ay que además f ′ y g′ son inversas.

Ecuaciones Diferenciales

1. Exprese la solución general de la ecuación u′ = 2tu + 1 en términos de lafunción error.

2. Una ecuación diferencial de la forma

u′ = a(t)u+ g(t)un

se conoce como ecuación de Bernoulli. Muestre que la ecuación de Bernoullise puede reducir a la ecuación lineal

y′ = (1− n)a(t)y + (1− n)g(t)

(cambie la variable dependiente de u a y mediante y = u1−n).

Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli

30



(a) u′ = 23tu+ 2t

u.

(b) u′ = u(1 + uet).

(c) u′ = −1tu+ 1

tu2 .

3. Considere el sistema lineal

x′ = −x+ y, y′ = 4x− 4y,

con condiciones iniciales x(0) = 10, y(0) = 0. Encuentre fórmulas para lassoluciones x(t), y(t).

4. Resuleva el problema con valores iniciales

x′ =(

2 1−1 0

)x.

x(0) =

(1−1

)

5. Determine el comportamiento de las soluciones cerca del origen para el sis-tema

x′ =(3 a1 1

)x

para diferentes valores del parámetro a.

6. Considere el sistema

x′ =− 3x+ ay

y′ =bx− 2y.

¿Existen valosres de a y b tales que las soluciones sean cíclos cerrados (ór-bitas periódicas)?

7. Encuentre un sistema lineal bidimensional cuya matriz tiene valores propiosλ = −2 y λ = −3.

8. ¿Cuál es el comportamiento posible, que depende de γ, de las soluciones delsiguiente sistema lineal?

x′ =− γx− y,

y′ =x− γy.

9. Encuentre la solución general de los siguientes sistemas.

(a)

x′ =

⎛⎝ 3 1 3−5 −3 −36 6 4

⎞⎠x.

31



(b)

x′ =

⎛⎝−0.2 0 0.2

0.2 −0.4 00 0.4 −0.2

⎞⎠x

(c)

x′ =

⎛⎝ 2 1 −2−1 0 00 2 −2

⎞⎠x

10. Encuentre la solución general del sistema

x′ =ρx− y

y′ =x+ ρy

z′ =− 2z

donde ρ es una constante.

11. Considere el sistema no lineal x′ = x2, y′ = −y.(a) Encuentre una relación entre x y y que describa las órbitas. ¿están

contenidas las órbitasen esta relación para valores diferentes de la con-stante arbitraria?

(b) Bosqueje el campo vectorial en diversos puntos cerca del origen

(c) Dibuje el diagra de fase. ¿es el equilibrio estable o inestable?

(d) Encuentre las soluciuones x = x(t), y = y(t).

12. Un modelo no lineal de la forma

x′ =y − x

y′ =− y +5x2

4 + x2

se ha propuesto para describir la diferenciación celular. Encuentre solu-ciones al equilibrio.

13. Encuentre la ecuación de las orbitas del sistema x′ = ex − 1, y′ = yex ygrafique las órbitas en el plano fase.

14. Determine la naturaleza de cada equilibrio del sistema x′ = 4x2 − a, y′ =−y

4(x2+4) y muestre cómo cambia el equilibrio conforme varía el parámetro

a.


x′ =2x(1− x

2)− xy

y′ =y(9

4− y2)− x2y.

Encuentre los equilibrios. Use la matriz jacobiana para determinar el tipo yestabilidad de cada punto de equilibrio.

32



16. Un sistema

x′ =f(x, y)

y′ =g(x, y)

se conoce como un sistema hamiltoniano si existe una funciónH(x, y) parala que f = Hy y g = −Hx. La función H se llama el hamiltoniano. De-muestre las siguientes afirmaciones sobre sistemas hamiltonianos.

(a) Si fx + gy = 0, entonces el sistema es hamiltoniano.

(b) Sobre cualquier órbitaH(x, y) = constante, por lo que las órbitas estándadas por H(x, y) = constante.

(c) Si un sistema hamiltoniano tiene un equilibrio, no es un sumidero ouna fuenta.

(d) Cualquier ecuación dinámica conservativa x′′ = f(x) da lugar a unsistema hamiltoniano y el hamiltoniano coincide con la energía total.

(e) Encuentre el hamiltoniano del sistema x′ = y, y′ = x − x2; grafiquelas órbitas.

17. En un sistema hamiltoniano el hamiltoniano está dado por H(x, y) = x2 +4y4. Escriba el sistema y determine los equilibrios. Bosqueje las órbitas.

18. Un sistema

x′ =f(x, y)

y′ =g(x, y)

es un sistema gradiente si existe una función G(x, y) para el cual f = Gx yg = Gy.

(a) Si fy − gx = 0, pruebe que el sistema es gradiente.

(b) Muestre que sobre cualquier órbita, ddtG(x, t) ≥ 0. Compruebe que las

órbitas periódicas son imposibles en sistemas gradiente.

(c) Corrobore que si un sistema tiene un equilibrio, éste no es centro o unespiral.

(d) Muestre que el sistema x′ = 9x2 − 10xy2, y′ = 2y − 10x2y es unsistema gradiente.

(e) Demuestre que el sistema x′ = sin y, y′ = x cos y no tiene órbitasperiódicas.

19. Muestre que el sistema

x′ =1 + x2 + y2

y′ =(x− 1)2 + 4

no tiene soluciones periódicas.

33



20. Analice la dinámica del sistema

x′ =y,

y′ =− x(1 − x) + cy

para diferentes valores de c. Dibuje el diagram de fase para cada caso, ilustreel comportamiento.

21. Para el sistema

x′ =y,

y′ =x− y − x3

determine el equilibrio. Escriba la matriz jacobiana en cada equilibrio einvestigue estabilidad. Bosqueje un diagrama de fase.


x′ =ax+ y − x(x2 + y2),

y′ =− x+ ay − y(x2 + y2)

donde a es un parámetro. Discuta el comportamiento cualitativo del sistemacomo función del parámetro a. En particular, ¿cómo evoluciona el plano faseconforme a cambia?


x′ =x(P − ax+ by),

y′ =y(Q− cy + dx)

donde a, c > 0. Muestre que no pueden existir órbitas periódicas en elprimer cuadrante del plano xy.

24. Convierta la ecuación de segundo orden

d2y

dt2− y = 0

en un sistema de primer orden en términos de y y u, donde v = dy/dt.

(a) Determine el campo vectorial asociado con el sistema de primer orden.

(b) Bosqueje suficiente vectores para describir su estructura geométrica.

(c) Describa en forma sucinta el comportamiento de las soluciones.

Repita lo anterior para la ecuación

d2y

dt2+ 2y = 0.

34



25. En la gráfica anexa se dan 8 sistemas de ecuaciones y cuatro campos dedirecciones. Determine el sistema que corresponda a cada campo de direc-ciones y describa brevemente como supo elegir.

26. Convierta la ecuación de segundo orden

d2x

dt2+ 2

dx

dt− 3x+ x3 = 0

en un sistema de primer orden en términos de x y v = dx/dt.

(a) Determine el campo vectorial asociado con el sistema de primer orden.

(b) Encuentre los puntos de equilibrio.

(c) Describa brevemente el comportamiento de las soluciones.

35




dx

dt=2x+ 2y

dy

dt=x+ 3y

Para la función Y (t) =)x(t), y(t)) dada, averigüe si Y (t) es Y (t) es solucióndel sistema.

(a) Y (t) = (2et,−et).(b) Y (t) = (3e2t + et,−et + e4t).

(c) Y (t) = (2et − e4t,−et + e4t).

(d) Y (t) = (4et + e4t,−2et + e4t).

28. Resuelve la ecuación diferencial

x3dy

dx= x2y − 2y3.

29. Resuelva(2xy3 + 2)dx+ (3x2y2 + ey)dy = 0.

30. Encuentra la solución general

y′′+ 2y′ − 3y = 4e2x.

31. Resolver el problemay′′+ 2y′+ 3y = 0y(0)=2 y′(0)=−3

.

32. Encuentra la solución general de

y′′+ y = tanx.

33. Dibuja el plano fase del sistema

x = −x+ 3yy = 2x− 2y

.

34. Encuentra los círculos límite de

x = y(1− x2 − y2)y = −x(1 − x2 − y2)

.

35. Encuentre la solución de y′′ − 8y′ + 7y = 0.

36



36. Determine una solución general de la siguiente Ecuación de Cauchy-Eulerpara x > 0 usando la sustitución x = et: y′′ − 1

xy′ + 5

x2y = 0.

37. Determine una solución general de la ecuación: xy′′ + 3y′ − 3xy = x2

38. Encuentre la solución general de la ecuuación: x2y′′ + 3xy′ + y = x−1.

39. La ecuación de Bessel de orden un medio

x2y′′ + xy′ +(x2 − 1

4

)y = 0, x > 0

tiene dos soluciones linealmente independientes,

y1 = x−1/2 cos x, y2 = x−1/2 sin x.

Determine una solución general de la ecuación no homogénea

x2y′′ + xy′ +(x2 − 1

4

)y = x5/2, x > 0.

40. En los siguientes ejercicios:

(a) Determine el campo vectorial asociado con el sistema dado.

(b) Bosqueje suficientes vectores para capturar la estructura geométrica.

(c) Describa brevemente el comportamiento de las soluciones.

i.

dx

dt=1

dy

dt=0.

ii.

du

dt=u− 1

dv

dt=v − 1.

iii.

dx

dt=x

dy

dt=1.

iv.

dx

dt=x

dy

dt=− y.

37



v.

dy

dt=− v

dv

dt=y.

41. En los siguientes ejercicios considere la ecuación de segundo orden paray(t) dada.

(a) Grafique el campo de direcciones en el plano yv donde v = dy/dt.

(b) Encuentre dos soluciones �= 0 que sean múltiplos una de la otra.

(c) Para cada solución, grafique su curva solución en el plano yv y susy(t), x(t)-gráficas.

i.d2y

dt2+ 3

dy

dt− 10y = 0.

ii.d2y

dt2+ 3

dy

dt+ 2y = 0.

iii.d2y

dt2+ 4

dy

dt+ y = 0.

iv.d2y

dt2+dy

dt− 2y = 0.

42. Encuentre una solución del sistema dx/dt = |x|sen y y dy/dt = |y| cosx.43. Encuentre los puntos de equilibrio del sistema dx/dt = y y dy/dt = ey+x2.

44. Convierta la ecuación de segundo orden d2y/dt2 = 1 en un sistema deprimer orden. Encuentre la solución general del sistema.

45. Encuentre los puntos de equilibrio del sistema dx/dt = y y dy/dt = sin(xy).

46. La forma general de una ecuación de segundo orden, lineal y homogéneacon coeficientes constantes es

d2y

dt2+ p

dy

dt+ qy = 0.

(a) Escriba el sistema de primer orden para esta ecuación, y transfórmeloa forma matricial.

(b) Muestre que si q �= 0, el origen es el único punto de equilibrio delsistema.

(c) Pruebe que si q �= 0, laúnica solución de la ecuación de segundo ordencon y constante es y(t) = 0 para cada t.

38



47. Convierta la ecuación de tercer orden

d3y

dt3+ p

d2y

dt2+ q

dy

dt+ ry = 0,

donde p, q, r son constantes, a un sistema lineal de tres dimensiones escritoen forma matricial.


dx

dt=2x+ y

dy

dt=− y.

(a) ¿porqué es inmediato que Y (t) = (e2t − e−t, e−2t) no es solución delsistema?

(b) ¿Hay una forma fácil de mostrar que Y (t) = (4e2t − e−t, 3e−t) essolución del sistema?

(c) Encuentre una solución general del sistema.

(d) ¿Se pueden elegir constantes de tal suerte que la de la solución generalse obtenga la solución Y (t) = e−t, 3e−t)?

(e) Sin conocer la solución general, ¿cómo puede deducir que Y (t) =(e−t, 3e−t) no es solución?

(f) Determine una solución que satisfaga la condición inicial Y (0) = (x(0), y(0)) =(1, 0).

(g) En el plano fase xy, grafique la curva solución asociada a la solucióndel inciso anterior. grafique las correspondientes x(t), y(t)-gráficas.

(h) Determine la solución que satisface la condión inicial Y (0) = (x(0), y(0)) =(−1, 3).

49. Tenga en cuenta el sistema lineal

dY

dt=

(2 01 1

)Y

(a) Muestre que las funciones

Y1(t) =

(0et

)

y

Y2(t) =

(e2t

e2t

)son soluciones de la ecuación diferencial.

39



(b) Resuelva el problema con valores iniciales

dY

dt=

(2 01 1

)Y, Y (0) =

(−2−1

).

50. Considere el sistema lineal

dY

dt=

(1 −11 3

)Y.

(a) Muestre que la función

Y (t) =

(te2t

−(t + 1)e2t

)

es una solución de la ecuación diferencial.

(b) Resuelva el problema con valores iniciales:

dY

dt=

(1 −11 3

)Y, Y (0) =

(02

).

51. En los siguientes ejercicios se especifica una matriz de coeficiente para elsistema lineal

dY

dt= AY, Y (t) =

(x(t)y(t)

).

También se dan dos funciones y un valor inicial. Para cada sistema:

(a) Averigüe si las funciones son solución del sistema, de no serlo detén-gase.

(b) determine si las soluciones son linealmente independientes, de no serlo,deténgase.

(c) Encuentre la solución al sistema lineal con el valor inicial dado.

i.

A =

(−2 −12 −5

)Funciones: Y1(t) = (e−3t, e−3t), Y2(t) = (e−4t, 2−4t). Valor inicialY (0) = (2, 3).

ii.

A =

(−2 −12 −5

)Funciones: Y1(t) = (e−3t − 2e−4t, e−3t − 4e−4t), Y2(t) = (2e−3t +e−4t, 2e−3t + 2e−4t). Valor inicial Y (0) = (2, 3).

iii.

A =

(−2 −33 −2

)Funciones: Y1(t) = e−2t(cos 3t, sin 3t), Y2(t) = e−2t (− sin 3t,cos 3t). Valor inicial Y (0) = (2, 3).

40



iv.

A =

(2 31 0

)

Funciones: Y1(t) = (−e−t + 12e3t, e−t + 4e3t), Y2(t) = (−e−t,2e−t). Valor inicial Y (0) = (2, 3).

Álgebra

1. Suponga que (G, ∗) es un grupo de orden 3. Muestre que g ∗ g ∗ g = e paratodo g ∈ G.

2. Muestre que existe un grupo G que contiene subgrupos H,K,L tales queH∪K∪L es el subgrupo generado porH,K,L peroH∩K∩L /∈ {H,K,L}.

3. Suponga que H es un subgrupo de G, que H es finito generado y que elíndice |G : H| es finito. Demuestre que G es finito generado.

4. Suponga que G esun grupo finito generado y que G está generado por unconjunto Y , donde Y no es necesariamente finito. Pruebe que existe unsubconjunto X de Y finito tal que X genera a G.

5. Suponga que ϕ : G→ H es un epimorfismo de grupos y que G es abeliano.Pruebe que H es abeliano.

6. Suponga que G está generado por el subconjunto X y que θi : G → Hson homomorfismos de grupo (i = 1, 2) tales que θ1(x) = θ2(x) para cadax ∈ X . Muestre que θ1 = θ2.

7. Suponga que H es un subgrupo de G y que |G : H| = 2. Demuestre queH �G.

8. Suponga que G es un grupo y que H ≤ Z(G), es decir, todos los elementosde H pertenecen al centro de G. Más aún, suponga que G/H es cíclico.Compruebe que G es abeliano.

9. Sea σ un a permutación del grupo simétrico Sn. Escriba σ como el productode cíclos ajenos. Muestre que el orden de σ es el mínimo común múltiplo dela longitud de esto cíclos.

10. Exhiba un elemento del grupo simétrico de Z que es un producto infinito dede cíclos infinitos ajenos.

41



11. Encuetre los enteros x, si es que alguno existe, que satisfaga las siguientescongruencias:

3x ≡2 mod 7

12x ≡38 mod 12

10x ≡3 mod 5

12x ≡1 mod 13

25x ≡30 mod 15.

12. Encunetre las soluciones de la ecuación x2 = 0 en Z4. Haga lo mismo paraZ5.

13. En Z12 encuentre las soluciones de x2 = x.

14. ¿Cuáles de los conjuntos Z3,Z4,Z5,Z6 contienen un elemento x tal que2x = 1? ¿Cuáles de ellos contienen un elemento y �= 0 tal que 2y = 0?

15. Si n es un enetero impar, pruebe que x = 0 es el único elemento en Zn quesatisface x = −x.

16. Muestre que si x = y + z y d es un divisor de dos de los tres enteros x, y, z,entonces d es divisor del tercero.

17. Sim es un entero positivo, pruebe que (ma,mb) = m(a, b).

18. Si x = yn+ t, demuestre que (x, n) = (t, n).

19. Sean a, b, n enteros. Pruebe que n se puede expresar como combinaciónlineal de a y b si y sólo si (a, b)|n.

20. Muestre que (a, bc) = 1 si y sólo si (a, b) = 1 y (a, c) = 1.

21. Defina el máximo común divisor de tres enteros a, b, c y verifique que esigual a ((a, b), c).

22. Demuestre la siguiente variante del algoritmo de la división: si a, b ∈ Z conb ≥ 1, entonces existen enteros únicos q y r tales que

a = bq + r, −b/2 < r ≤ b/2.

23. Si p es un primo que divide a a2, para algún entero a, pruebe que p|a.24. Si p1, p2, . . . , pn son primos, muestre que el entero 1 + (p1p2 · · · pn) no es

divisible por ninguno de los pj .

25. Sea n un enetero positivo, Demuestre que todo primo divisor de 1 + n! esmayor que n.

42



26. Muestre que un entero positivo a > 1 es el cuadrado de un entero si y sólosi los exponentes de la descomposición como producto de primos de a sonenteros pares.

27. Compruebe que si b, c son eneteros positivos tales que bc es el cuadrado deun entero y si (b, c) = 1, entonces b y c son cuadrados de aenteros.

28. Para un entero positivo n, sea d(n) la cantidad de enteros positivos quedividen a n.

(a) Si p es un primo, muestre que d(pk) = k + 1.

(b) Si m,n son eneteros positivos con m,n) = 1, pruebe que d(mn) =d(m)d(n).

(c) Si p, q son primos, muestre que d(pkqk) = (k + 1)(h+ 1).

(d) Generalice el inciso previo para encontrar una fórmula general parad(n) que se pueda calcular a partir de la descomposición como pro-ducto de primos de n.

29. Determine los isomorfismos del grupo (Z6,+) con (Z7, ·).30. Sea G un grupo cíclico de orden n y H un grupo cíclico de ordenm.

(a) Pruebe que existe un homomorfismo de G sobre H si y s’olo sim|n.(b) Si θ : GtoH es un hommomorfismo, muestre que el orden de g[G]

divide a (n,m).

31. Demuestre que el grupo cíclico de orden 6 es el producto directo de un grupocíclico d orden 2 y un grupo cíclico de orden 3.

32. Sea G = (R − {0}, ·) y H = ((0,∞], ·) ≤ G . Encuentre los elementosrepresentativos de las distintas clases laterales de H en G y muestre que|G : H| = 2.

33. Pruebe que un grupo de orden n tiene un subgrupo propio si y sólo si n noes primo.

34. Sean p un primo y G un grupo abeliano que contiene a los elementos a, btales que a no pertenece al grupo cíclico generado por b y a, b tienen ordenp. Demuestre que {aibj : 0 ≤ i, j ≤ p− 1} es un subgrupo de orden p2.

35. Muestre que un grupo abeliano de orden 6 debe ser cíclico.

36. Muestre que todo grupoG con identidad e tal que x∗x = e para toda x ∈ Ges abeliano.

37. Si ∗ es una operación binaria en un conjunto S, un elemento x de S esidempotente para ∗ si x∗x = x. Pruebe que un grupo tiene exactamente unelemento idempotente.

43



38. Muestre que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces{hk : h ∈ H, k ∈ K} es un subgrupo de G.

39. Pruebe que un grupo cíclico con un sólo generador puede tener a lo más doselementos.

40. Muestre que si a ∈ G, donde G es un grupo finito con identidad e, entoncesexiste n > 0 tal que an = e.

41. Muestre que siH ≤ G yK ≤ G, entoncesH ∩G ≤ G.

42. SeanG un grupo y a ∈ G. Muestre que la transformación λa : G→ G dadapor λa(g) = ag para g ∈ G, es una permutación de G.

43. Sean p y q números primos. Encuentre el número de generadores del grupocíclico Zpq.

44. Sea p un primo. Encuentre el número de generadores del grupo cíclico Zpr .

45. Sea (S, ∗) el grupo de los reales excepto el −1 con la operación a ∗ b =a + b + ab. Demuestre que (S, ∗) es isomorfo al grupo R∗ de los númerosreales distintos de cero con la multiplicación.

46. Sean G un grupo y g ∈ G. Demuestre que la transformación ig(x) = gxg−1

para x ∈ G es un automorfismo de G.

47. Pruebe que todo grupo cíclico finito de orden n es isomorfo a Zn.

48. Considere un grupo abeliano G y H el subconjunto de G que consta de laidentidad junto con todos los elementos de G de orden 2. Muestre que H esun subgrupo de G.

49. Recuerde que ig(x) = gxg−1. Demuestre que el conjunto de las g ∈ G talesque ig : G → G es el automorfismo identidad ie es un subgrupo normal deG.

50. Muestre que si un grupo finito G contiene exactamente un subgrupo H deun orden dado, entonces H es un subgrupo normal de G.

Análisis Complejo

1. Sea n ∈ Z. Muestre que si n = 4r + 3, con 0 ≤ r ≤ 3, entonces

in =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩1, si r = 0

i, si r = 1

−1, si r = −2

−i, si r = 3.

44



2. Muestre por inducción que, para toda z �= 1,

1 + 2z + 3z2 + · · ·+ nzn−1 =1− (n+ 1)zn + nzn+1

(1− z)2

Deduzca que, si |z| < 1,

∞∑n=1

nzn−1 =1

(1− z)2.

3. Encuentre la suma de la serie

cos θ + cos 3θ + · · ·+ cos(2n+ 1)θ.

4. Sea γ = ρeθ(/∈ IR) una raíz de P (z) = 0, donde

P (z) = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0,

y a0, a1, . . . , an son reales. Muestre que γ también es una raíz e infiera quez2 − 2ρ cos θ + ρ2 es un factor de P (z).

5. Determine las raíces de las ecuaciones:

(a) z2 − (3− i)z + (4− 3i) = 0.

(b) z2 − (3 + i)z + (2 + i) = 0.

6. Determine las raíces de z5 = 1 y deduzca que

z5 − 1 = (z − 1)(z2 − 2z cos2π

5+ 1)(z2 − 2z cos

4π

5+ 1).

Infiera que

cos2π

5+ cos

4π

5= −1

2, cos

2π

5cos

4π

5= −1

4.

Concluya que

cosπ

5=

√5 + 1

4, cos

2π

5=

√5− 1

4.

7. Sea p(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anz

n un polinomio de grado n. Muestreque

lim|z→∞

p(z)

anzn= 1.

8. Muestre que ez = ez para toda z ∈ C, y deduzca que

sen z = sen z, cos z = cos z.

45



9. Muestre que si F (z) = cosh2 z − sinh2 z, entonces F ′(Z) = 0, y deduzcaque cosh2 z − sinh2 z = 1 para toda z.

10. Demuestre que z → tan z es meromorfa, con polos simples en (2n+ 1)π/2(n ∈ Z).

11. Investigue las singularidades de z → 1/(z sin z).

12. Sea r una función racional con un polo de orden k en el punto c. Muestreque la derivada de r tiene un polo de orden k + 1 en c.

13. Sea γ(t) = z − a− t (0 ≤ t ≤ h). Pruebe que∫γ

dζ

ζn+1=

1

n

(1

(z − a− h)n− 1

(z − a)n

).

14. Evalue∫γf(z)dz, donde

(a) f(z) = Re(z), γ(t) = t2 + it, t ∈ [0, 1].

(b) f(z) = z2, γ(t) = eit, t ∈ [0, π].

(c) f(z) = 1/z, γ(t) = eit, t ∈ [0, 6π].

15. Sea n

f(z) =z3 − 4z + 1

(z2 + 5)(z3 − 3),

y γ(t) = Reit (0 ≤ t ≤ π). Demuestre que∣∣∣∣∫γ

f(z)dz

∣∣∣∣ ≤ πR(R3 + 4R + 1)

(R2 − 5)(r3 − 3).

16. Aplique el Teorema de Cauchy a ez e integre alrededor de un contorno cir-cular para probar que∫ 2π

0

er cos θ cos(r sen θ + θ)dθ = 0.

17. Evalue las siguientes integrales:

(a)∫κ(0,1)

ekz

zn+1dz,

(b)∫κ(0,2)

z3

z2−2z+2dz,

(c)∫κ(0,2)

ez

πi−2zdz,

donde κ(a, r) es un círculo con centro en a y radio r.

18. Evalue ∫κ(0,2)

zm

(1− z)ndz (m,n ∈ N).

46



19. Suponga que la función f es holomorfa en N(a, R) (la bola con centro en ay radio R). Pruebe que, si 0 < r < R,

f ′(a) =1

πr

∫ 2π

0

F (θ)e−iθdθ,

donde F (θ) es la parte real de f(a+ reiθ).

20. Suponga que la función f es holomorfa en N(0, R′), y sea a tal que |a| =r < R < R′.

(a) Demuestre que

f(a) =1

2πi

∫κ(0,R)

R2 − aa

(z − a)(R2 − za)f(z)dz.

(b) Deduzca la fórmula de Poisson: si 0 < r < R, entonces

f(reiθ) =1

2π

∫ 2π

0

R2 − r2

R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2f(Reiϕ)dϕ.

21. Sea zk ∈ C cualquier raíz n-ésima de la unidad, pruebe que

1 + zk + z2k + · · ·+ zn−1k = 0, si zk �= 1.

22. Muestre que, en z = 0, la función

f(z) =

{z3

|z|2 , si;z �= 0,

0, si; z = 0

satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero no tiene derivada en esepunto.

23. Si z = x + iy, muestre que no existe una función entera cuya derivada seala función f(z) = x.

24. Sea g : [0, 1] → IR continua. Defina

f(z) =

∫ 1

0

g(t)

1− ztdt, |z| < 1.

Pruebe que f es analítica en |z| < 1 y encuentre su derivada.

25. Encuentre las tres soluciones de z3/2 = 4√2 + i4

√2.

26. Encuentre las raices de la ecuación z4 − 4z3 +6z2 − 4z+5 = 0 suponiendoque z1 = i es una rraíz.

47



27. SeaS = {z1, z2, . . . , zn} es un conjunto finito de números complejos. Mues-tre que S está acotado en C.

28. De una prueba de que la imagen de un círculo respecto a una transformaciónlineal es un círculo.

29. Muestre que la transformación lineal que aplica el círculo |z−z0| = r1 sobreel círculo |w − w0| = r2 se puede expresar como

A(w − w0) = (z − z0)r2, donde|A| = 1.

30. Encuentre la imagen de los siguientes conjuntos respecto a la aplicaciónw = z1/2.

(a) {reiθ : r > 1, π/3 < θ < π/2}.(b) {reiθ : 1 < r < 9, 0 < θ < 2π/3}.(c) {reiθ : r < 4,−π < θ < π/2}.

31. Sea f(z) = z2

|z|2 .

(a) Encuentre limz→0 f(z) sobre la recta y = x.

(b) Determine limz→0 f(z) sobre la recta y = 2x.

(c) Calcule limz→0 f(z) sobre la parábola y = x2.

(d) ¿Qué se puede concluir sobre el límite de f(z) cuando z → 0?

32. Sea f(z) = z/z. Muestre que f(z) no tiene límite conforme z → 0.

33. Sea f(z) = zRe(z)|z| cuando z �= 0 y f(0) = 0. Muestre que f es continua para

toda z.

34. Sea f(z) = Re(z)/|z| cuando z �= 0 y f(0) = 1. ¿Es f(z) continua en elorigen?

35. Suponga |g(z)| ≤M y que limz→z0 f(z) = 0. Demuestre que limz→z0 f(z)g(z) =0.

36. Pruebe que ddz

1z= −1

z2.

37. Decida cuáles de las siguientes funciones son enteras, suponiendo que f y glo son:

(a) (f(z))3.

(b) f(1/z).

(c) f(z)g(z).

(d) f(z − 1).

(e) f(g(z)).

48



38. sea P el polinomio de grado 2 dado por

P (z) = (z − z1)(z − z2),

donde z1 y z2 son distintos. Demuestre que

P ′(z))P (z)

=1

z − z1+

1

z − z2.

39. Muestre que f(z) = (y + ix)/(x2 + y2) es diferenciable para todo z �= 0.

40. Sea f(z) = |z|2. Pruebe que f es diferenciable en z0 = 0 pero no lo es enningún otro punto.

41. Muestre que las siguientes funciones son enteras:

(a) f(z) = cosh x sin y − i sinh x cos y.

(b) cosh x cos y + i sinh x sin y.

42. Sea f(z) = x2 − y2 + i2|xy|.(a) ¿Donde tien f derivada?

(b) ¿donde es f analítica?

43. Encuentre la función analítica f(z) = u(x, y) + iv(x, y) dado lo siguiente:

(a) u(x, y) = y3 − 3x2y.

(b) u(x, y) = sin y sinh x.

(c) v(x, y) = ey sin x.

(d) v(x, y) = sin x cosh y.

44. suponga que u(x, y) es armónica. Pruebe que U(x, y) = u(x − y) es ar-mónica.

45. En los siguientes problemas encuentre la imagen del conjunto dado respectoa la aplicación reciprocaw = 1/z en el plano complejo extendido.

(a) El círculo |z| = 5.

(b) El semicírculo |z| = 12, π/2 ≤ arg(z) ≤ 3π/2.

(c) El semicírculo |z| = 3, −π/4 ≤ arg(z) ≤ 3π/4.

(d) El cuarto de círculo |z| = 14, π/2 ≤ arg(z) ≤ π.

(e) La linea y = 4.

(f) La linea x = 16.

46. En los siguientes problemas conteste Verdadero o Falso. Si la afirmación esverdadera justifique su respeusta, si es Falsa dé un contraejemplo.

49



(a) Si |ez| = 1, entonces z es un número imaginario puro.

(b) Re(ez) = cos(y).

(c) La aplicación w = ez transforma rectas verticales en el plano z sobrerectas horizontales en el plano w.

(d) Existen una cantidad infinita de soluciones z para la ecuación ez = w.

(e) ln(i) = 12πi.

(f) Im(ln(z)) = arg(z).

(g) Para todo complejo z �= 0, eLn(z) = z.

(h) Si w1, w2 son dos valores de ln(z), entonces Re(w1) = Re(w2).

(i) Ln(1z) = −Ln(z) para cada z �= 0.

(j) Para cualesquiera complejos no cero, Ln(z1z2) = Ln(z1) + Ln(z2).

(k) Ln(z) es una función entera.

(l) El valor principal de ii+1 es e−π/2+i.

(m) La potencia compleja zα siempre es multi valuada.

(n) cos z es periódica con periodo 2π.

(o) Existen complejos z tales que | sin(z)| > 1.

(p) tan(z) tiene singularidades en z = (2n+1)π/2, para n = 0,±1,±2, . . ..

(q) cosh(z) = cos(iz).

(r) z = 12πi es un cero de cosh(z).

(s) La función sin(z) nunca es analítica.

(t) Cualquier rama de tan−1(z) es entera.

Topología General

1. Sea X un espacio topológico. Dada una familia {As : s ∈ S} ⊆ Pot(X),demuestre que

⋃{As : s ∈ S} ⊆ ⋃{As : s ∈ S}.2. Proporcione un contraejemplo a la "igualdad" A ∩B = A ∩B.

3. Sea X un espacio topológico tal que A ∩B = A ∩ B para cualesquieraA,B ⊆ X . Verifique que X es discreto.

4. Sea (X, τ) un espacio topológico. Suponga que U, V ∈ τ y que U)V = X .Pruebe que U ∩ V = X .

5. Sean Δ el conjunto de (x, y) ∈ R2 tales que x2 + y2 ≤ 1, S el conjunto depuntos de R2 de la forma (x, 0) con 0 ≤ x ≤ 1, y A = Δ− S. Encuentre elinterior, exterior, frontera y cerradura de A (en R2).

50



6. Exhiba que no siempre se cumple la igualdad⋂{Int(As) : n ∈ N} =

Int(⋂{As : s ∈ N}).

7. Sea X un espacio topológico tal que Int(A ∪ B) = INt(A) ∪ Int(B) paracualesquiera A,B ⊆ X . Compruebe que X es discreto.

8. Demuestre que toda sucesión convergente de IR, tomada con su límite, es unsubconjunto cerrado de IR.

9. Pruebe que A = X − Int(X − A).

10. Verifique queQ tiene una base que consiste en subconjuntos abierto-cerrados.

11. Sea X ⊆ R discreto. ¿Es cierto que X es numerable?

12. Sea X un espacio topológico. Si A es un subconjunto de X , denotamos conFr(A) la frontera de A, es decir, Fr(A) = A− A.

(a) Demuestre que Fr(A) ⊂ Fr(A), Fr(A) ⊂ Fr(A). Pruebe medianteun ejemplo (que estos tres pueden ser distintos. (Intente con X = R,A = Q ∩ [0, 1]). Compruebe que

Fr(A ∪B) ⊂ Fr(A) ∪ Fr(B).

Encuentre un ejemplo para ilustrar que estos tres conjuntos puedenser distintos. Verifique que si A ∩ B = ∅, entonces Fr(A ∪ B) =Fr(A) ∪ Fr(B).

13. (a) Cerciórese de que un conjunto con dos elementos hay 4 posibles topologías.

(b) En un conjunto finito, pruebe que la uníca topología Hausdorff es ladiscreta.

14. Demuestre que un subconjunto abierto de R es la unión de una sucesión deintervalos abiertos ajenos entre sí.

15. Usualmente se identifica R con el subconjunto R × {0} de R2. Entonces[0, 1] tiene interior no vacío relativo a R, pero tiene interior vacío relativo aR2.

16. Sea X el conjunto R equipado con la topología discreta. Muestre que laidentidad de X en R es continua, pero no es abierta o cerrada.

17. SeanX, Y espacios topológicos, f una aplicación deX en Y . Las siguientescondiciones son equivalentes:

(a) f es continua y cerrada.

(b) f(A) = f(A) para todo subconjunto A ⊆ X .

18. Sea E un espacio topológico e I = [0, 1]. En el espacio producto E × I .Considere la relación de equivalencia R cuyas clases son:

51



(a) Los conjuntos con un elemento {(x, t)} donde x ∈ E, t ∈ I , t �= 1;

(b) el conjunto E × {1}.El espacio topológico C = (E × I)/R es el cono sobre E.

(a) Para x ∈ E, denote por f(x) la imágen canónica de (x, 0) en C . De-muestre que f es un homeomorfismo de E sobre f(E).

(b) Comprueba que E es Hausdorff si y sólo si C es Hausdorff.

19. La topología de orden. Sea (X,<) un conjunto totalmente ordenado. Latopología de orden en X es la topología generada por la subbase de losconjuntos de la forma {x ∈ X : x < a} o {x ∈ X : x > a} para a ∈ X .

(a) Pruebe que la topología de orden en X es la menor topología con lapropiedad de que siempre que a, b ∈ X y a < b existen vecindadesU de a y V de b tales que U < V (es decir, tales que x < y paracualesquiera x ∈ U , y ∈ V ).

(b) Pruebe que si X es conexo (respecto a la topología), entonces X escompleto como conjunto totalmente ordenado, es decir, todo subcon-junto no vacío con cota superior tiene menor cota superior.

(c) Si existen puntos a, b ∈ X tales que a < b y no existe c ∈ X cona < c < b, decimos que X tiene un hueco. Pruebe que X es conexo siy sólo si X es completo y no tiene huecos.

(d) ¿Es cierto que X es completo si y sólo si todo subconjunto cerrado yacotado de X es compacto?

20. SeaX un espacio topológico, L un subconjunto deX y x ∈ L. Decimos queL es localmente cerrado en x si existe una vecindad V de x en X tal queL ∩ V es cerrado en el subespacio V . L es localmente cerrado en X si eslocalmente cerrado en cada uno de sus puntos.

(a) Muestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) L es localmente cerrado;

(ii) L es abierto en L;

(iii) L es la intersección de un abierto y un cerrado enX .

(b) La imagen inversa de un subconjunto localmente cerrado respecto a unaaplicación continua es localmente cerrado.

(c) Si L1 y L2 son localmente cerrados enX , entonces L1∩L2 es localmentecerrado enX :

(d) Si L1 es es localmente cerrado en L2, y L2 es localmente cerrado en L3,entonces L1 es localmente cerrado en L3.

(e) Suponga queL es localmente cerrado enX . Sea U una familia de abiertosU de X con L ⊆ U y L cerrado en U . Sea F la frontera de L con respecto aL. Pruebe que X − F es el mayor elemento de U .

52



21. Sean X, Y espacios topológicos.

(a) Sean x, x1, x2, . . . ∈ X y y, y1, y2, . . . ∈ Y . Si la sucesión ((xn, yn))admite (x, y) como punto de adherencia enX×Y , entonces la sucesión(xn) (repectivamente (yn)) admite x (respectivamente y) como puntode adherencia en X (respectivamente Y ).

(b) Demuestre que existe una sucesión ((xn, yn)) en R2 que no admiteningún punto de adherencia, aunque las sucesiones (xn) y (yn) tenganun punto de adherencia en R.

22. Compruebe que las proyecciones canónicas de un espacio producto a susfactores son abiertos.

23. Sean X, Y espacios topológicos A ⊆ X y B ⊆ Y . Muestre que las siguien-tes topologías en A× B coinciden:

(a) La topología inducida por la topología producto en X × Y ;

(b) El producto de las topología inducidas en A y B.

24. EnRn, defina una relación de equivalenciaR: (x1, x2, . . . , xn) y (y1, y2, . . . , yn)son R-equivalentes si xi − yi ∈ Z para toda i. Muestre que el espacio co-ciente Rn/R es homemorfo a Tn, donde T es el círculo unitario en R2.

25. Sean X, Y espacios Hausdorff, f un a aplicación continua de X en Y . Veri-fique que la gráfica de f es un subconjunto cerrado de X × Y .

26. Sea E un espacio topológico, F y G subconjuntos de E tal que G ⊆ F .Demuestre que para que G sea cerrado en F , es necesario y suficiente queG ∩ F = G, dondes G es la cerradura de G en E.

27. En R2 equipado con la métrica usual, sea D un disco abierto con centro enx0 y radio α > 0 y A un compacto contenido en D. Compruebe que existeα′ ∈ (0, α) tal que A está contenido en el disco abiero con centro en x0 yradio α′.

28. Sean E un esapcio Hausdorff, (x1, x2, . . .) una sucesión de puntos en E quetiende a x ∈ E. Muestre que {x1, x2, . . .} es compacto.

29. Verifique que los espacios topológicos (0, 1) y [0, 1] no son homeomorfos.

30. Sea A = Rn+1 − {0}. Defina una relación de equivalencia Rn en A dela siguiente forma: dos puntos x, y ∈ A son R-equivalentes si existe t ∈R − {0} tal que y = tx. El espacio cociente A/Rn se denota Pn(R) y sellama el espacio proyectivo real de dimensión n.

(a) Sea π la aplicación canónica de A sobre Pn(R). Muestre que π esabierto.

(b) Demeustre que π no es cerrada.

53



(c) Sea Γ = {(x, y) ∈ A×A : xRy}. Verifique que Γ es cerrado. Deduzcaque Pn(R) es Hausdorff.

31. Sean (X, d) un espacio métrico, A,B,C subconjuntos deX . Demeustre queno necesariamente ocurre d(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C).

32. Sean X un espacio métrico, A un subconjunto cerrado de X , B un subco-nunto compacto deX . Suponga que A∩B = ∅. Demeustre que d(A,B) >0.

33. Muestre que para toda familia {Os : s ∈ S} de topologías en un conjuntoXexiste una topología enX que es la menor cota superior de {Os : s ∈ S} (esdecir, la más gruesa que es más fina que cualquiera de las Os) y que existeuna topología en X que es la mayor cota inferior de las {Os : s ∈ S} (esdecir, la topología más fina en la familia de todas las topologías de X másgruesa que cualquiera de las Os.)

34. Demuestre que para todo conjunto abierto U en un espacio topológico X y

cada A ⊆ X se cumple U ∩A = U ∩ A.35. Verifique que para todo cerrado F en un espacio topológico X y cada A ⊆

X es cierto que Int((F ∪ Int(A))) = Int(F ∪ A), donde Int(A) = A.

36. Muestre que cualquier subespacio abierto de un espacio denso en sí mismoes denso en sí mismo.

37. Una familia {As : s ∈ S} de subconjuntos de un espacio topológico X eslocalmente finita si para todo punto x ∈ X existe una vecindad U de x talque {s ∈ S : U∩As �= ∅} es finita. Sea {As : s ∈ S} una familia localmentefinita de un espacioX .

(a) Muestre que Fr(⋃

s∈S As) ⊆⋃

s∈S Fr(As).

(b) Verifique que si todos los mimebros de la familia {As : s ∈ S} sondensos en ninguna parte en X , entonce la unión

⋃s∈S As también es

densa en ninguna parte en X .

38. Verifique que una aplicación f : X → Y es cerrada si y sólo si f(A) = f(A)para cada A ⊆ X y que f es una aplicación abierta si y sólo si es continua yf(Int(A)) ⊆ Int(A) para toda A ⊆ X . Dé un ejemplo para ilustrar que laúltima contención no puede sustituirse por igualdad.

39. Muestre que una aplicación fX → Y es abierta si y sólo si f−1(B) =f−1(B), equivalente Int(f−1(B) = f−1(Int(B)) para cada B ⊆ Y .

Lógica Matemática

54



1. Describa una fórmula equivalente a ϕ→ ψ pero que sólo involucre el conec-tivo ↓, también conocido como NOR ≡ P NOR Q ≡ ¬P ∧ ¬Q.

2. Existe un conectivo ↑ (en ingles se denota NAND) que tiene la misma tablade verdad que ¬(ϕ ∧ ψ).(a) Escriba la tabla de verdad de ↑.(b) Determine si ↑ es asociativo.(c) Demuestre que

(ϕ ∧ ψ) ⇔ [(ϕ ↑ ψ) ↑ (ϕ ↑ ψ)].

(d) Determine si ↑ distribuye sobre ↓.(e) Determine si ↓ distribuye sobre ↑.

3. Traduzca los siguientes enunciados al lenguaje proposicional, use las vari-ables proposicionales indicadas

a) No es el caso que Óscar apruebe lógica suponiendo que él estudie y nohaga la tarea (P,S, H).

b) Una condición suficiente para que Óscar apruebe lógica es que estudiey haga la tarea (P,S,H).

c) Si pierdo el tren, llegaré 10 minutos tarde, suponiendo que el siguientetren es puntual (M,L,N).

d) Si lógica es difícil, Óscar y Virginia aprobarán sólo si estudian (D,O,V,S).

e) Si la función f es continua en el intervalo (a, b), entonces f tiene unmáximo en [a, b] o f no es continua en a y b (C,M,A,B).

f) Una condición necesaria para que la función f tenga un máximo en[a, b] es que f sea continua en (a, b) y f sea continua en a y en b(M,C,A,B).

4. Encuentra la conversa, inversa y contrapositiva de cada uno de los siguien-tes enunciados condicionales

a) Si −→v es paralelo a −→w , entonces |−→v · −→w | = ||−→v || ||−→w ||.b) Dos rectas se intersectan si no son paralelas.

c) Una condición necesaria para que dos triángulos sean similares es quetengan lados iguales.

5. Dé la tabla de verdad de cada fórmula

a) A→ (B → ¬A);b) A ∧ ¬A→ B ∨ ¬C ;c) (A ∧ ¬B ∧ C ∧D) ∨ (A ∧B ∧ ¬C ∧ ¬D).

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6. Para cada una de los siguientes parejas, use las tablas de verdad para deter-minar si

i) α⇒ β.

ii) β ⇒ α.

iii) α⇔ β.

iv) Ninguna de estas

a) α ≡ A→ (B → ¬C) β ≡ A→ (¬B → C);

b) α ≡ A ∧ B → ¬C β ≡ A→ (C → ¬B);

c) α ≡ (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧B ∧ ¬C) β ≡ C ∧ ¬C ;d) α ≡ (A→ B) ∨ C β ≡ (A↔ B) ∧ C ;

7. Traduzca los argumentos y determine su validez mediante tablas de verdad.Recuerde que un argumento consiste en un conjunto de premisas y una con-clusión. El argumento es válido si siempre que las premisas son verdaderas,también la conclusión lo es.

a) Si Óscar asiste a clases, Miriam o Virginia asisten a clase. Miriam noasiste a clase. Por lo tanto, Virginia asiste a clase si Óscar lo hace(O,M,V).

b) Si Óscar asiste a clase, entonces Virginia asiste a clase sólo si Jorgeasiste a clase. Jorge asiste a clase. Por lo tanto, si Óscar asiste a clase,Virginia también lo hace (O,V,J).

c) Una condición necesaria para que Óscar asista a clase es que Miriamo Virginia asistan. Una condición suficiente para que Virginia asistaa clase es que Jorge asista. Sin embargo, Jorge no asiste a menos queMiriam asista, y Virginia asiste sólo si Óscar asiste. Por lo tanto, Vir-ginia asiste a clase si y sólo si Óscar asiste (O,M,V,G).

8. Determine la validez de cada uno de los siguientes argumentos usando ta-blas de verdad

a) – Premisas: O →M ∨ V,M, V → O.

– Conclusión: O.

b) – Premisas: O →M,G→ V,¬M ∨ ¬V,G ∨ ¬M .

– Conclusión: O ↔ ¬G.c) – Premisas: O ∧G→ V , V → ¬M , ¬J →M ,M → ¬G.

– Conclusión: G→ (O → J).

d) – Premisas: (M → O) ∧ (G→ V ),M ∨G, O.– Conclusión: O ∧ V .

9. Demuestre las leyes de De Morgan para proposiciones α1, . . ., αn, es decir

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a) ¬(α1 ∨ α2 ∨ · · · ∨ αn) ≡ ¬α1 ∧ ¬α2 ∧ · · · ∧ ¬αn.

b) ¬(α1 ∧ α2 ∧ · · · ∧ αn) ≡ ¬α1 ∨ ¬α2 ∨ · · · ∨ ¬αn.

No intente escribir las tablas de verdad. Argumente directamente de lascondiciones de veracidad para disyunción y conjunción.

10. Un conjunto C de conectivos lógicos es adecuado si dada cualquier fórmulaϕ del cálculo proposicional, podemos encontrar una fórmula ψ construidaexclusivamente mediante variables proposicionales y conectivos en C talque ϕ ≡ ψ. Muestre que {¬,∨} es adecuado. Pruebe que {¬,→} es unconjunto adecuado.

11. Recuerde que un conjunto Σ de fórmulas es consistente si existe una asig-nación que hace cierta a cada fórmula en Σ. Determine si los siguientesconjuntos son consistentes.

(a) Σ = {A ∧ ¬B,A→ B}.(b) Ψ = {A ∨ ¬B,B ∨ ¬A,A→ C}.(c) Θ = {A ∨ C ∨G,F → G,G↔ A}.(d) Σ = {A ∧ B → C,A ∧ ¬C}.(e) Ψ = {A→ B ∨ C,A ∧ ¬B}.

12. Si Σ = {A ∨ B,A→ C}, pruebe que Σ |= B ∨ C .13. Si Σ = {A ↔ C,B ↔ D, (A ∨ B) ∧ (C ∨D)} pruebe que Σ �|= (A ∧ B) ∨

(C ∧D).

14. Pruebe que si {A,¬B} |= C ∧ ¬C entonces {A} |= B.

15. Pruebe que si Σ ∪ {A} |= B, entonces Σ |= A→ B.

16. Sea Ψ un conjunto de fórmulas cerrado respecto a ∧,∨ y ¬, y Σ un sub-conjunto consistente de Ψ. Decimos que Σ es máximo consistente si, paratodo Σ′ ⊆ Ψ con Σ ⊆ Σ′, Σ′ es inconsistente. Pruebe que un conjuntoΣ es máximo consistente si y sólo si para toda proposición σ ∈ Ψ, ocurreexactamente una de las siguientes afirmaciones:

i) σ ∈ Σ.

ii) ¬σ ∈ Σ.

17. Muestre que los siguientes enunciados son equivalentes.

(a) ϕ |= ψ

(b) |= ϕ→ ψ,

(c) ϕ ∧ ¬ψ no es satisfacible,

(d) ϕ ≡ ϕ ∧ ψ, donde ϕ ≡ ψ significa que ψ |= ϕ y ϕ |= ψ.

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18. Sea Σ un conjunto finito de fórmulas y ∧Σ la conjunción de sus miembros.Pruebe que para cualquier fórmula las siguientes afirmaciones son equiva-lentes

a) Σ |= α.

b) |= ∧Σ → α.

c) |=� α.

19. Si Σ1,Σ2 son conjuntos de fórmulas, determine si las siguientes afirma-ciones son ciertas (recuerde que Cn(Σ) denota el conjunto de consecuenciaslógicas de Σ, es decir, el conjunto de fórmulas ϕ para las cuales se cumpleΣ |= ϕ.

a) Cn(Σ1 ∪ Σ2) = Cn(Σ1) ∪ Cn(Σ2).

b) Cn(Σ1 ∩ Σ2) = Cn(Σ1) ∩ Cn(Σ2).

Si la afirmación es falsa, proporcione un contraejemplo. Si es cierta, de-muéstrela.

20. Suponga que el conjunto Σ es consistente, pruebe que Σ ∪ {ϕ} es inconsis-tente si y sólo si Σ |= ¬ϕ.

21. Si Σ1 ⊆ Cn(Σ2) entonces Cn(Σ1 ∪ Σ2) = Cn(Σ2).

22. (a) Encuentre una fórmula ϕ en FNC que tenga la siguiente tabla de verdad.

A B C ϕF F F FV F F VF V F VF F V VV V F FV F V FF V V FV V V V

(b) Encuentre una fórmula en FND que tenga la tabla de verdad anterior.

23. Dadas las siguientes tablas de verdad, encuentre una fórmula ϕ que tenga latabla de verdad dada. Después encuentre la FNC de la fórmula ϕ.

i) La primera tabla es

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P Q R S ϕV V V V FV V V F FV V F V FV V F F FV F V V VV F V F VV F F V VV F F F FF V V V FF V V F FF V F V FF V F F VF F V V FF F V F FF F F V VF F F F V

ii) La segunda tabla es:

A1 A2 A3 A4 ϕV V V V FV V V F FV V F V FV V F F VV F V V VV F V F VV F F V FV F F F FF V V V FF V V F VF V F V FF V F F FF F V V FF F V F FF F F V VF F F F F

24. Encuentre fórmulas en FNC equivalentes a cada una de las siguientes.

(a) (A↔ B) ↔ C .

(b) (A→ (B ∨ C)) ∨ (C → ¬A).(c) (¬A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ ¬C) ∨ (B ∧ C) ∨A.

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25. Sean Φ y Ψ conjuntos de fórmulas. Decimos que Φ es equivalente a Ψ,Φ ≡ Ψ, si para toda asignación A, A |= Φ si y sólo si A |= Ψ.

(a) Muestre que lo siguiente es cierto:

Para cualesquiera Φ y Ψ, Φ ≡ Ψ, si y sólo si Φ |= ψ para cada ψ ∈ Ψy Ψ |= ϕ para cada ϕ ∈ Φ.

(b) Demuestre que lo siguiente no es cierto:

Para cualesquiera Φ y Ψ, Φ ≡ Ψ si y sólo si para cada ψ ∈ Ψ existeϕ ∈ Φ tal que ψ |= ϕ y para cada ϕ ∈ Φ existe ψ ∈ Ψ tal que ϕ |= ψ.

26. Considere el conjunto de variables P = {A1, . . . , An}.(a) Muestre que la siguiente fórmula es una tautología.( ∨

1≤i<j≤n

(Ai ∧ Aj)

)↔

∧1≤i≤n

(∨j �=i

Aj

).

(b) ¿Qué asignación en P hace falsa la siguiente fórmula:( ∨1≤i≤n

Ai

)↔

∧1≤i≤n

(∨j �=i

Aj

)?

(c) Muestre que la fórmula previa es lógicamente equivalente a

∧1≤i≤n

(Ai →

∨j �=i

Aj

).

27. Considere un conjunto P de variables. Identificamos {0, 1}(= {V, F}) conel campo 〈Z2,+,×, 0, 1〉.(a) Exprese los conectivos usuales en términos de + y ×.

(b) Exprese las operaciones+ y × usando los conectivos usuales.

(c) Muestre que cada fórmula proposicional ϕ[A1, . . . , An] se puede aso-ciar con un polinomio en n incógnitas Pϕ ∈ Z2[X1, . . . , Xn] tal quepara toda asignaciónA, se cumple

A(ϕ) = Pϕ(A(A1), . . . ,A(An)),

donde Pϕ denota a la función polinomial (de {0, 1}n a {0, 1}) asociadacon el polinomio Pϕ. Dada una fórmula ϕ ¿es único el polinomio Pϕ?

(d) De lo anterior, deduzca un procedimiento para determinar si dos fór-mulas son lógicamente equivalentes o si una fórmula es una tautología.

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Teoría de Conjuntos

En toda la sección se supone la teoría Zermelo-Fraenkel-Axioma de elección,a menos que se indique explícitamente algo distinto.

1. Muestre que el conjunto de todos los x tales que x ∈ A, x /∈ B, existe,suponiendo que A,B existen.

2. Demuestre que la colección de todos los conjuntos no es un conjunto.

3. Demuestre que Pot(X) ⊆ X es falso para cualquier conjuntoX . En partic-ular, Pot(X) �= X para cualquierX . Deduzca que la colección de todos losconjuntos no es un conjunto.

4. Compruebe que (a, b) ∈ Pot(Pot({a, b})) y que a, b ∈ ⋃(a, b).. En general,si a, b ∈ A, entonces (a, b) ∈ Pot(Pot(A)).

5. Sean A una relación binaria en un conjunto B y A =⋃(⋃R)). Verifique

que (x, y) ∈ R implica x, y ∈ A. Deduzca de lo anterior que dom(R) yran(R) son conjuntos.

6. Pruebe que:

(a) Si |A| < |B| y |B| ≤ |C|, entonces |A| < |C|.(b) Si |A| ≤ |B| y |B| < |C|, entonces |A| < |C|.

7. Pruebe que

(a) |A×B| = |B × A|.(b) |(A×B)× C| = |A× (B × C)|.(c) |A| ≤ |A× B| si B �= ∅.

8. Muestre que |A| ≤ |Pot(S)|. [Sugerencia: |S| = |{{a} : a ∈ S}|].9. Muestre que |A| ≤ |AS| para cualesquiera conjuntos A, S. [Sugerencia:

considere funciones constantes].

10. Sean a, b, c, d conjuntos. Demuestre que

{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} si y sólo si a = c y b = d.

11. Decimos que una relación binaria D es asimétrica si (x, y) ∈ D implica(y, x) /∈ D. Demuestre que toda relación irreflexiva, transitiva y binaria esasimétrica.

12. Sea Fin el conjunto de subconjuntos finitos de N. Encuentre todos los ele-mentos mínimos, máximos, menor, mayor de (Fin,⊆) y de (Fin−{∅},⊆).

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13. Construya un conjunto parcialmente ordenado (cpo) que tenga exactamenteun elemento mínimo pero que no tenga menor elemento.

14. Suponga que n > 0 y a0, . . . , an son elementos distintos entre sí de unconjunto X . Sea R ⊆ X2 tal que

{(a0, a1), (a1, a2), . . . , (an−1, an), (an, a0)} ⊆ R.

Muestre que R no está bien fundada.

15. Sea P el conjunto de todos los polinomios en una variable x con coeficientesen IR. Defina una relación binaria D en P mediante: (p0, p1) ∈ D si p0 es laderivada de p1. Muestre que D no es transitiva, ni reflexiva, ni irreflexiva,pero está bien fundada.

16. Sea A = {An : n ∈ N} una familia de conjuntos. Muestre que existe unafamiliaM = {Mn : n ∈ N} tal queMn ⊆ An para toda n ∈ N, los conjuntosMn son ajenos entre sí, y

⋃n∈NAn =

⋃n∈NMn.

17. Muestre que (Fin,⊆) se puede encajar en (N− {0},≤1), donde

a ≤1 b ⇔ a|b.

18. Muestre que para todo cpo (X,≤) existe una familia de conjuntos A tal que(X,≤) ∼= (A,⊆). [Sugerencia: Sea A ⊆ Pot(X) la familia A = {{y : y ≤x} : x ∈ X}.]

19. Muestre que si to(A,≤A) = to(B,≤B), entonces

to(A,≤∗A) = to(B,≤∗

B).

20. Muestre que to(Z,≤) = ω∗ + ω.

21. Muestre que si to(A,≤) = ω + ω∗, entonces (A,≤) tiene un elemento mín-imo.

22. Muestre que |IR| = |(a, b)|.23. Demuestre que |C| = |[0, 1)× [0, 1)|.24. Para cada f ∈ {0, 1}N, defina

H(f) =∑n∈N

f(n) · 2−(n+1).

Pruebe que H es una función de {0, 1}N sobre [0, 1].

25. Filtros y ultrafiltros. sea x �= ∅. Un filtro F en x es una colección no vacíade subconjuntos de x tal que

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(i) F es cerrado respecto a supraconjuntos, es decir,

∀ y ∈ F∀ z ⊆ x(y ⊆ z → z ∈ F ).

(ii) F es cerrado respecto a intersecciones finitas, es decir, ∀H ⊆ F (H es finito →⋂H ∈ F ).

Un filtro es propio si ∅ /∈ F .

(a) Sea x un conjunto no vacío. Meustre que si F es un filtro en x, entoncesx ∈ F .

(b) Muestre que Pot(x) es el único filtro impropio en x.

(c) Muestre que para todo subconjunto y de x la familia y = {z ⊆ x : y ⊆z} es un filtro en x.

(d) Suponga que x es infinito. Muestre que la familia F = {y ⊆ x :x− y es finito} es un filtro propio en x.

Un filtro F en x es un ultrafiltro si F es propio, y para todo filtro Gen x que satisfaga F ⊆ G, ya sea G = F o G = Pot(x). En otraspalabras, un ultrafiltro es un filtro propio máximo. Sean x �= ∅ y Fun filtro en x. Entonces F es un ultrafiltro en x sii para todo y ⊆ xexactamente uno de los conjuntos y, x− y pertenece a F .

(e) Sean x un conjunto no vacío, y a ∈ x. Muestre que el conjunto Fa ={y ⊆ x : a ∈ y} es un ultrafiltro en x.

Un ultrafiltro F en x es principal si F = Fa para alguna a ∈ x. Losultrafiltros no principales se conocen como libres.

(f) Si x es un conjunto no vacío finito y F es un ultrafiltro en x, entoncesF = Fa para alguna a ∈ x.

(g) Sea x un conjunto no vacó, y F un filtro propio en x. Muestre queexiste un ultrafiltro H en x tal que F ⊆ H . [Sugerencia: Considere lafamilia de todos los filtros en x que contienen a F . Ordene esta familiapor ⊆. Use el lema de Zorn para obtener un elemento máximo, que esel ultrafiltro buscado.]

(h) Muestre que si x es infinito, existe un ultrafiltro libre en x.

(i) Un filtro F en un conjunto X es cerrado respecto a interseccionesnumerables o numerablemente completo si satisface la condición

∀H ⊆ F (H es numerable →⋂

H ∈ F ). (➊)

Muestre que todo ultrafiltro principal es numerablemente completo.

(j) Sea x un conjunto no numerable. Muestre que el filtro numerable enx, es decir, la familia F = {y ⊆ x : x − y es numerable}, es un filtronumerablemente completo en x.

26. Simplifique las siguientes operaciones ordinales:

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(a) (ω + 1) + ω.

(b) ω + ω2.

(c) (ω + 1) · ω2.

27. Pruebe que para todo ordinal α, existe un único ordinal límite β y un úniconúmero natural n tal que α = β + n. [Sugerencia: β = sup{γ ≤ α :γ es límite}.]

28. (a) Si α1, α2 y β son ordinales y β �= 0, entonces α1 < α2 si y sólo siβ · α1 < β · α2.

(b) Para cualesquiera ordinales α1, α2, y β �= 0, β · α1 = β · α2 si y sólo siα1 = α2.

29. Pruebe que si A se puede ordenar totalmente, entonces todo sistema de sub-conjuntos finitos de A tiene una función de elección (sin usar el Axioma deelección).

30. Sea E una relación binaria en un conjunto A. Muestre que existe una fun-ción f : A → A tal que para todo x ∈ A, (x, f(x)) ∈ E si y sólo si existey ∈ A tal que (x, y) ∈ E.

31. Pruebe que todo conjunto no numerable tiene un subconjunto de cardinali-dad ℵ1.

32. En este ejercicio se desarrolla otra prueba del Teorema de Cantor-Bernstein,que norecurre a los números naturales.

Sea F una función de Pot(A) en Pot(A). Un conjunto X ⊆ A es un puntofijo de F si F (X) = X . La función F es monótona si X ⊆ Y ⊆ A implicaF (X) ⊆ F (Y ).

(a) Sea F : Pot(A) → Pot(A)monótona. Entonces F tiene un punto fijo.[Sugerencia: sea T = {X ⊆ A : F (X) ⊆ X}. Note que T �= ∅. SEaX =

⋂T y pruebe que X ∈ T , F (X) ∈ T . Por lo tanto, F (X) ⊆ X

es imposible.]

(b) Use elejercicio anterior para dar una prueba alterna del teorema deCantor-Bernstein. [Sugerencia: en clase se probo un lema auxiliar para de-mostrar el teorema de Cantor-Bernstein. Pruebe este mismo lemacomo sigue: sea F : Pot(A) → Pot(A) definida mediante F (X) =(A − B) ∪ f [X]. Muestre que F es monótona. Sea C el punto fijo deF , es decir, C = F (A−B)∪ f [C], y seanD = A−C . Defina g comoen la prueba original y muestre que es inyectiva y sobre B.]

(c) Pruebe que X en el ejercicio 5(a) es el menor punto fijo de F , es decir,si F (X) = X para algúnX ⊆ A, entonces X ⊆ X .

33. Una función F : Pot(A) → Pot(A) es continua siF (supi∈NXi) =⋃

i∈N F (Xi)se cumple para cualquier sucesión no decreciente de subconjuntos de A. La

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sucesión 〈Xi : i ∈ N〉 no es decreciente si Xi ⊆ Xj se cumple siempre quei ≤ j.

Pruebe que F en el ejercicio 5(b) es continua.

34. Pruebe que si X es el menor punto fijo de una función monótona y con-tinua F : Pot(A) → Pot(A), entonces X =

⋃i∈NXi, donde definimos por

recursión: X0 = ∅, Xi+1 = F (Xi).

35. Si X, Y son finitos, entonces X × Y es finito y |X × Y | = |X| · |Y |.36. Si X es finito, entonces |Pot(X)| = 2|X|.

37. Si X y Y son finitos, entonces XY tiene |X||Y | elementos.

38. Si |X| = n ≥ k = |Y |, entonces el número de funciones inyectivas f : Y →X es n · (n− 1) · · · (n− k + 1).

39. X es finito si y sólo si toda familia no vacía de subconjuntos de X tiene unelemento ⊆-máximo. [Sugerencia: si X es finito, |X| = n para algún n.Si U ⊆ Pot(X), sea m el mayor número en {|Y | : Y ∈ U}. Si Y ∈ Uy |Y | = m, entonces Y es máximo. Por otro lado, si X es infinito, seaU = {Y ⊆ X : Y es finito}.]

40. Si A,B son finitos y X ⊆ A × B, entonces |X| = ∑a∈A ka donde ka =

|X ∩ ({a} × B)|.

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inicio de estudios: enero 2012 - uam...

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