integral lipat - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1.5-integral_lipat_.pdf · integral...
TRANSCRIPT
INTEGRAL LIPAT
Kalkulus 2
Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dariinterval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, ….n
Dengan cara yang sama, kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An
n
k
b
a
dxxf1
kkn
x )f(xlim )(
Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk ) dan bentuklah jumlah:
Jika jumlah sub daerah makin besar (n→∞), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan:
AyxfAyxfAyxfAyxf nnn
n
k
kkk
),(.......),(),(),( 222
1
111
n
k
kkkn
R
AyxfdAyxf1
),(lim),(
Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :
a.
● Di mana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahuludengan menganggap variabel y konstanta, kemudian hasilnyadiintegralkan kembali terhadap y.
),( ),( RR
dxdyyxfdAyxf
b
a
yfy
yfy
dydxyxf
)(
)(
2
1
),(
b.
Di mana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahuludengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegralkembali terhadap x.
Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akanmemberikan hasil yang sama.
RR
dydxyxfdAyxf ),(),(
b
a
yfy
yfy
dxdyyxf
)(
)(
2
1
),(
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI
PANJANG
Bentuk umum:
Di mana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }a,b,c dan d adalah konstanta
dxdyyxfdAyxfR
),(),(
R
a b
c
d
CONTOH
1.
2.
3.
4.
1
0
2
1
dxdy
4
2
2
1
22 )( dxdyyx
4
2
2
1
2 )3( dydxyxy
4
2
2
0
)2cos(sin
drdr
INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN
PERSEGI PANJANG
Di mana : R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }
Di mana : R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }
)(f
)(
2
1
dx ),( ),( .
x
xfy
b
axR
dyyxfdAyxfa
)(f
)(
2
1
dy ),( ),( .
y
yfx
d
cyR
dxyxfdAyxfb
CONTOH
1. 1
0
2
2
x
x
dydxxy
2
1
3
)( .2
y
y
dxdyyx
1
0 2
2
2
.3
xx
x
dydxx
2 2sin
2cos
2 .4
drd
APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA
Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :
1. LUASLuas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika f(x,y) = 1, sehingga integral lipat dua menjadi:
Dalam koordinat polar:
R
dAyxf ),(
RR
dydx dxdy A atau R
dAA
2
1
2
1
d d
R
dAA
CONTOH
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = 0, x + y = 2 dan 2y = x + 4
2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola-parabola: y2 = 4 – x dan y2 = 4 – 4x
3. Hitung:
dengan R adalah daerah dikuadran pertama yang berada diluar lingkaranr=2 dan di dalam kardioda r = 2(1+cos ѳ)
R
dAA
2. VOLUME
Jika z=f(x,y) adalah persamaan permukaan , maka:
adalah volume benda antara permukaan dan bidang xoy.
Contoh:Hitung volume benda yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = 4 dan bidang-bidang y + z = 4 dan z = 0
R
dxdyyxfV ),(
3. MASSA
Jika f(x,y) dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas ), maka:
merupakan massa dari benda itu.
Contoh:
Sebuah lamina (pelat tipis) dengan kerapatan f(x,y)=xy dibatasi olehsumbu x, garis x = 2 dan kurva y=x3
Tentukan massa totalnya.
R
dxdyyxf ),(
4. PUSAT MASSA
Jika f(x,y) merupakan massa jenis dari lamina (pelat tipis), makapusat massanya (x,y) adalah sbb :
,
Contoh:Tentukan pusat massa dari lamina yang mempunyai kerapatanf(x,y) = xy dan dibatasi oleh sumbu x , garis x = 2 dan kurva y = x3
S
SY
dAyxf
dAyxfx
M
Mx
),(
),(
S
SX
dAyxf
dAyxfy
M
My
),(
),(
5. MOMEN INERSIA
Momen Inersia dari pelat tipis yang mempunyai kerapatan f(x,y) terhadap sumbu x dan sumbu y adalah:
Sedangkan momen inersia terhadap sumbu z ( titik asal ) :
Contoh:Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z untuk lamina yang mempunyai kerapatan xy dan dibatasi sumbu x , garis = 2 dankurva y = x3
R
x dAyxfyI )..,(2
R
y dAyxfxI )..,(2
R
yxZ dAyxfyxIII )..,()( 22
INTEGRAL LIPAT TIGA
Integral lipat tiga dari suatu fungsi tiga variabel bebas
thd. daerah R, dimana fungsi bernilai tunggal dan kontinu, merupakan suatu
pengembangan dari integral tunggal dan integral lipat dua.
Jika f(x,y,z) = 1, maka integral menjadi:
dapat diartikan pengukuran volume daerah R
R
dVzyxf ),,(
dVdVzyxfR
),,(
Dalam koordinat tegak lurus , integral tersebut dapat dinyatakan dalambentuk:
Di mana:x1 ≤ x ≤ x2
y1 (x) ≤ y ≤ y2(x)z1 (x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)
2
1
2
1
2
1
)(
)(y
),(
),(
z)dzdydxy,f(x, ),,(
x
x
xy
x
yxz
yxzR
dVzyxf
CONTOH
2
1
3
2
4
3
dzdydx xyz .1
1
0 x 02
dzdydx 2z .2
x xy
1
0 2-x 0
2
dzdydx 2xz .3
x yx
1
0
2
x
2
0
dzdydx 2z)(x .4
x yx