Broj bez kraja

• Najverovatnije da ni jedan simbol u matematici nije izazvao toliko znatiželje i

čuđenja kao broj π.

Priča o njemu stara je oko 4000 godina.

Počela je onda kada se pojavila potreba da se

izmeri dužina jedne kružne linije (obim

kruga).

Kakav je to broj??? ?

• Pri izračunavanju dužine kružne linije uočeno je da je količnik obima kruga i njegovog prečnika uvek isti.

• Ta konstanta je dobila naziv π (pi). r-poluprečnik 2r-prečnik O-obim (dužina

kružne

linije) O:2r=π

r

• Pretpostavlja se da su Vavilonci, 1900-1600 godine pre nove ere, pri izračunavanju površine i obima kruga, za π koristili procenu 3.

• π ≈ 3

Glinene ploče koje su Vavilonci koristili za pisanje

Prvi zapisi o broju pi stari su oko 3650 godina i nalaze se na

papirusu koji je pronađen u 19. veku.

Pisao ga je pisar Ahmes ali on nije bio i autor ovog matematičkog

spisa.

Ahmes je napisao: “ Oduzmite 1/9 prečnika, a nad ostatkom konstruišite kvadrat, on će imati istu površinu kao krug.”

U Ahmesovom papirusu za π je izračunata približna vrednost sa greškom na drugoj decimali:

≈ 3.1605 44

3

• Ahmes je za sobom ostavio svitak dug oko 5 metara koji predstavlja najstariju matematičku raspravu pronađenu do danas.

• Ovaj spis preuzima stariji papirus pisan oko 2000. godine pne.

• Papirus je otkriven u 19. veku u hramu u kom je sahranjen Ramzes II

Rindov (Ahmesov) papirus.

Škotski egiptolog Aleksandar Henri Rind je

otkupio ovaj papirusi i odneo ga u Englesku.Čuva se u Britanskom

muzeju.

Prvi matematičar koji se najozbiljnije počeo baviti izračunavanjem tačne vrednosti broja π bio je slavni

ARHIMED.

• Poznat kao Arhimed iz Sirakuze.

• Živeo je u periodu od 287. do 212. godine pre nove ere.

• “Eureka”-uzviknuo je, kada je sedeći u kupatilu otkrio fizički zakon da svako telo potopljeno u tečnosti , gubi od svoje težine onoliko kolika je težina njime istisnute tečnosti.

• Poginuo je od mača rimskog vojnika u rodnom gradu Sirakuzi, koja je dve godine odolevala Rimljanima, zahvaljujući spravama i mašinama koje je Arhimed konstruisao.

• Poslednje reči su mu bile: ”Ne diraj moje krugove”.

Prema njegovoj želji na nadgrobnoj ploči su mu urezana dva geometrijska tela lopta i valjak. Arhimed je zaslužan za prve dve

decimale broja pi koje, verovatno, svi znaju:

π ≈ 3,14

• Arhimed je osmislio metodu opisivanja i upisivanja pravilnog mnogougla u i oko kruga.( metoda iscrpljivanja)

• Koristio je činjenicu da sa povećanjem broja stranica mnogougla, obim mnogougla teži obimu kruga.

Ponavljajući ovaj postupak povećavanja broja stranica mnogouglova koji su

upisani i opisani oko kruga , Arhimed je stigavši do devedesetšestougla (96-ougao) , došao do veoma precizne

procene za broj π:

Što znači :π ≈ 3.1428571

722

Istu ideju sa upisivanjem i opisivanjem pravilnih mnogouglova u i oko kruga iskoristili su i kineski matematičari Tsu Ch’ung Chih i njegov sin oko 450. godine nove ere.

Tsu Ch‘ung Chin(403 -501.godine)

• Stigavši do mnogougla sa 24.576 stranica, izračunali su prvih

sedam decimala broja π.

• Ovaj podvig nije dostignut narednih 1000 godina.

• π ≈ 3,1415926...

• Dakle, nakon 2000 godina od ljudskog saznanja da ovaj neobičan broj postoji, izračunato je tek njegovih sedam decimala, a ima ih beskonačno mnogo!

• Pravi posao oko izračunavanja tačnih decimala broja π tek predstoji.

1424. godine (1000 godina

nakon Kineza!) , Persijanac

Al Kaši iz Samarkanda, je

nastavljajući Arhimedovumetodu, izračunao 16decimala broja π.

Njegov mnogougao je imao

3 x 228 stranica što značida ih je bilo

805.306.368)

Jamshid Masud al-Kashi 1390-1450

3000 godina je prošlo, a dostignuta je tek 16-a

decimala

Π ≈ 3.1415926535897932...

• Ludolf van Selen (oko 1600.god) , Nemac, profesor matematike, 34 godine svog života ( skoro trećinu) proveo je računajući 35 decimala broja

π.

• U njegovu čast broj π su u Nemačkoj nazvali Ludolfov broj. Pod tim nazivom poznat je i danas.

Ludolf van Ceulen (1540 - 1610)

• On je poslednji računao broj originalnom Arhimedovom metodom.

• Njegov mnogougao imao je 262 stranice

( što znači preko 32 biliona stranica).

• Ponosan na svoje dostignuće zahtevao je da se ove decimale urežu na njegov nadgrobni spomenik.

• Spomenik je vremenom izgubljen. • Građani Lajdena su 5. jula 2000. godine, obeleživši i 400. godišnjicu njegovog rada, svečano postavili novi spomenik, kopiju prethodnog.

Obnovljen nadgrobni spomenik

Ludolfa van Ceulena

• 1579. godine, francuski matematičar Fransoa

Vijet, prvi put za računanje broja π koristi beskonačnu formulu :

Počela je era pronalaženja beskonačnih formula za

izračunavanje broja π.

Sledi par najpoznatijih...

John Wallis (1655)

2 2 4 4 6 6 8...2 1 3 3 5 5 7 7 9...

William Brouncker (1620-1684)

2

2

2

2

2

4 11325272922 ...

1706. godine, je engleski pisac William Jones, prvi

put upotrebio slovo grčkog alfabeta π (pi), da bi

imenovao konstantu koja se dobija kada obim kruga

delimo sa njegovim prečnikom.

• A zašto baš π ?

• Zato što je to početno slovo grčke reči

περιφέρεια (periferia) što znači obod, a matematički

obim (dužina) kružne linije .

• 1874. englez Vilijam Šenks (William S.) izračunao je 707 decimala broja pi.

• Svih 707 decimala je ispisano na frizu okrugle sobe, posvećene broju pi, u Palati otkrića u Parizu.

Palata je bila

sazidana za veliku

Svetsku izložbu 1900.godine ,

baš kada je

podignut i Ajfelov toranj.

Palata otkrića (Palace of discovery)

• 1947. godine izvesni D.F.Ferguson je , proveravajući račun, otkrio da je 528. decimala Šenksovog proračuna pogrešna ! Ispravio je grešku i dodao još 101 novu decimalu – ukupno 808 poznatih decimala !

Soba broja pi u Palati otkrića

• Ubrzo je počela era izračunavanja decimala broja pi uz pomoć mašina – kompjutera.

• Rekordi se obaraju svakoga dana.• Do sada je otkriveno 1,24 triliona

decimala broja pi (1018)• To je učinio Japanac Yasumasa Kanada 2002. godine na univerzitetu u Tokiju.

• Na sajtu www.joyofpi.com nalazi se spisak od 10.000 decimala broja pi ( ukoliko vam nekad u životu budu zatrebale).

• Na istom sajtu možete saznati razne zanimljivosti o ovom broju, kao i šta je

to pi-umetnost, pi-muzika, pi-dan, pi-memorisanje,

pi-poezija, pi-filmovi...

Autor prezentacije:

Slađan Kitanović- nastavnik

OŠ ”Branko Radičević”Bujanovac