Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный технологический

университет растительных полимеров»

Гладышев Н.Н.

Гидрогазодинамика

Конспект лекций

Санкт-Петербург

2012

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

УДК 532.526+621.643 07.07

Гидрогазодинамика: конспект лекций/ Гладышев Н.Н.; ГОУВПО СПбГТУРП. СПб 2012- 159 с.

Конспект лекций предназначен для студентов всех форм обучения университета. Рассмотрены основные задачи адиабатного движения газа с высокими скоростями. Рассмотрены специальные задачи газодинамики: движение газа в трубах, соплах, диффузорах и решетках профилей.

Рецензенты: начальник отдела ГСПМ (Союзпроектверфь), канд.техн.наук., профессор С.П.Наседкин;

канд.техн.наук, доцент кафедры промыщленной энергетики СПбГТУ РП С.Н.Смородин

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

5

Глава 1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.1 Соотношения термодинамики

Процессы в газовых потоках при больших скоростях течения,

сравнимых со скоростью звука, приводят к изменению плотности газа.

Движение с большими скоростями изучается газовой динамикой.

Как известно из курса термодинамики, основные параметры

состояния идеального газа - давление р, плотность р и абсолютная

температура Т - связаны уравнением состояния

р/ρ=RT, (1.1)

гдеR- газовая постоянная. Для воздухаR= 287,1 Дж/(кг∙К).

В большинстве задач, рассматриваемых газодинамикой, процессы

изменения состояния газа можно считать адиабатными; из-за их

быстротечности они осуществляются без теплообмена с окружающими

телами. При адиабатном процессе давление и плотность связаны

соотношением

=const, или = (1.2)

Гдеk = ср/ cv- показатель адиабаты; ср и cv- теплоемкости при

постоянном давлении и постоянном объеме. Для воздуха и других

двухатомных газов к = 1,4, для перегретого водяного пара к= 1,33.

Используя уравнение состояния (1.1), получим для адиабатного

процесса формулы связи между давлением, плотностью и температурой:

= =( )

; = ( ) ; = ( ) . (1.3)

В задаче о движении газа в длинной трубе без теплоизоляции стенок

процесс изменения состояния принимаетсяизотермическим - длительный

контакт со стенками трубы приводит к тому, что температура газа не

отличается от температуры стенки. Для изотермического процесса

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

6

Рис. 1.1

=const. (1.4)

1.2 Скорость звука. Число Маха (М)

В трубе с абсолютно жесткими стенками скорость волны давления

равна скорости распространения упругих колебаний (звука). Выведем ее

величину.

Представим себе, что в жидкость, заполняющую трубу (рис. 5.1) с

площадью поперечного сеченияFи имеющую модуль объемной упругости Е,

вносится возмущение сжатия за счет движения поршня. Пусть за время ∆τ

после начала движения поршень проходит путь ∆х. За то же время волна

сжатия, которая отделяет невозмущенную, покоящуюся жидкость от

начавшей двигаться со скоростью поршня, проходит расстояние∆L.

Предполагаем, что возмущение слабое, т.е. ∆x<<∆L.Сила, с которой

поршень сжимает возмущенный объем, пропорциональна его

относительному сжатию:

(1.5)

С другой стороны, эту силу можно определить по изменению

количества движения в объеме F∆L, применяя уравнение изменения

количества движения:

Поскольку возмущение слабое, плотность можно считать неизменной

и тогдаm=ρF∆L. Изменениескорости ∆w= , так что

, что совместно с (1.5) дает

. (1.6)

Но есть скорость распространения волны возмущения в

неподвижной жидкости .

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

7

Следовательно a= Е (1.7)

Исключим из уравнения (1.7) модуль объемной упругости жидкости

Е. По закону Гука, объем V = F∆L меняется с изменением давления:

푑푉 = −1퐸

푉푑푝 , и푑푉푉

= −푑푝퐸

Поскольку масса жидкости внутри возмущенного объема не меняется

при прохождении волны сжатия (уменьшение объема компенсируется

увеличений плотности), очевидно, что pV=const. Логарифмируя и

дифференцируя последнее равенство, получаем = − . Сравнивая это с

выражением, полученным ранее из закона Гука, имеем = ; по формуле

(1.7) скорость звука оказывается равной

= (1.8)

Как видим, скорость звука зависит от отношения возмущений

давления и плотности. Она определяется физическими свойствами жидкости.

Для воды, например, скорость звука равна примерно 1450 м/с, для нефти -

около 1200 м/с. В случае трубы с деформируемыми стенками скорость

ударной волны несколько меньше скорости звука. Она определяется

формулой (3.12), применявшейся в подразделе «Гидравлический удар в

трубах».

Процесс изменения параметров газа в звуковой волне, которая

представляет собой распространяющиеся в газе слабые возмущения

давления и плотности, является адиабатным. Из уравнения (5.2) имеем

푝 = 퐶휌 ; 푑푝 = 푘퐶휌 푑휌 ; = 푘퐶휌 = 푘 .

Подставляя последнее равенство в формулу (5.8), получим скорость

звука для газа:

a= 푘 (1.9)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

8

Рис. 1.2

Используя уравнение состояния (1.1), введем в формулу для

температуру T:

a=√푘푅푇 . (1.10)

В частности, для воздуха, подставляя величины k и R, имеем

a=20,1√푇

При температуре 15°С последняя формула дает a = 340 м/с.

Скорость звука a - одна из важнейших механических характеристик

газа. Законы его движения резко отличаются в зависимости от соотношения

скорости газа w и скорости звука a. ОтношениеM= . Называется числом

Маха. Течения, в которых w<a и М<1, называются дозвуковыми.

Если w>a и М>1, течение сверхзвуковое.

1.3 Уравнение энергии. Критическая и максимальная скорости

газа

Рассмотрим установившееся одномерное движение газа. Считаем, что

газ не обменивается теплотой и работой с окружающими телами, трение

отсутствует. В струйке одномерного течения

(рис. 5.2) скоростьwи параметры газар, ρ,Т мо-

гут меняться по ее длине, оставаясь

неизменными по сечениюF.Вследствие малой

плотности газа допустимо пренебречь

изменением высоты струйки над плоскостью

сравнения, так как для частицы газа влияние силы тяжести

пренебрежимомало по сравнению с силами инерции и давления.

Тогда ускорение элементарной частицы с объемом dV=Fdx и массой

dM = ρFdx. Сила действующая на частицу вследствие перепада

давления, равнаF 푑푥 = 푑푉.

Ускорение частицы равно = × = 푤.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

9

По второму закону Ньютона 푑푉 = 휌퐹푑푥 푤 , или = .

Мы получили уравнение Эйлера для одномерного течения газа.

Перепишем его в виде

푑 + = 0 (1.12)

Выражение (1.12) представляет собой уравнение энергии для

газа, записанное в дифференциальной форме. Считая течение адиабатным,

выразим в последнем уравнении дифференциал давления через изменение

плотности с помощью уравнения адиабаты (5.2):

dp = 푘퐶휌 푑휌 ; = 푘퐶휌 푑푝. Подставляя это выражение в

уравнение (1.12)

и интегрируя вдоль струйки, получим уравнение энергии в

интегральной форме, или уравнение Бернулли - Сен-Венана (1839 г.):

+( )

= 푐표푛푠푡. (1.13)

Уравнение Бернулли - Сен-Венана можно представить также по-

иному. Разделив его члены на g, получим

+( )

= 푐표푛푠푡. (1.13a)

Сравнивая выражение (1.13а) с уравнением Бернулли для

идеальной несжимаемой жидкости (2.12a), видим, что отличие состоит в

множителе при пьезометрической высоте . Появление этого множителя

для воздуха, равного = ..

= 3.5 ,связано с тем, что в потенциальную

энергию газа входит еще иего внутренняя энергия. Иногда говорят, что в

случае газа к пьезометрическому напору добавляется «температурный

напор».

Выражая в уравнении энергии (13) отношение — через

уравнение состояния (1.1), получим

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

10

+ = 푐표푛푠푡. (1.13б)

Последнее равенство показывает, что при отсутствии

теплообмена с внешней средой увеличение скорости вдоль струйки приводит

к падению температуры газа, и наоборот. Температура максимальна в

покоящемся газе (при w = 0); ее называют температурой торможения Т*.

Подставляя температуру торможения в уравнение (1.136), получаем

+ =∗. (1.13в)

Используя формулу для скорости звука (5.9), уравнение энергии

(1.13) можно также представить в виде

+ = 푐표푛푠푡, (1.13г)

откуда ясно, что скорость движения газа и скорость звука взаимосвязаны:

увеличение скорости течения приводит к уменьшению скорости звука.

Вследствие адиабатного охлаждения она меньше скорости звука,

соответствующей начальному состоянию газа, когда скорость равна нулю и

температура наибольшая.

Выражение (1,13 г) позволяет выяснить смысл постоянной в

правой части уравнения энергии. Действительно, в покоящемся газе w= 0 и

скорость звука достигает здесь своей наибольшей величины a0.

Следовательно, const = и уравнение энергии может быть представлено в

виде

+ = (1.13д)

При ускорении газового потока и одновременном уменьшении

скорости звука а наступает момент, когда они сравниваются; при этом

достигается критическая скорость Акр, величину которой легко выразить,

подставляя в уравнение (1,13д) w = a = aкр:

푎кр = 푎 = ∗ (1.14)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

11

С достижением критической скорости дозвуковой поток

переходит в сверхзвуковой. Критическая скоростьaкр, в отличие от локальной

скорости звука a , остается постоянной вдоль струйки. Поэтому удобно

измерять скорость течения в долях этой величины; так вводится

безразмерная скорость газа

휆 =кр

(1.15)

иногда называемая также коэффициентом скорости.

Знаменатель формулы для безразмерной скорости (1.15) aкр -

величина постоянная вдоль струйки, тогда как в выражении для числа Маха

знаменатель - переменный. При w=aкр имеем λ = М = 1. Связь между этими

величинами очевидна из соотношения М = кр =.

. Используя

уравнение энергии в(1,13д), получим M= ( ) 0.5

При истечении газа в пустоту, когда р→0, его потенциальная энергия

полностью переходит в кинетическую. В этом случае T→0, скорость

становится максимальной. Ее величину можно определить из выражения

(1.13в) при Т= 0:

푤 = = 푎 (1.16)

В частности, если в пустоту вытекает воздух при температуре 15°С,

то wmax= 760 м/с. При истечении в пустоту из ракетного двигателя продуктов

cгopания, имеющих в камере сгорания температуру Т* = 3000 и газовую

постоянную R= 330 Дж/(кгК), получаем wmax= 2640 м/с. Повышение Т* в

камере cгopания приводит к росту скорости истечения газов и увеличению

тяги двигателя.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

12

Наконец, если использовать понятие энтальпии, или

теплосодержания газа h,рассматриваемое в термодинамике как h = cрT = ,

где сР – теплоемкость газа при постоянном давлении, то уравнение энергии

(1,13б) приобретает вид, уже известный из курса термодинамики:

푤2

+ ℎ = 푐표푛푠푡 = ℎ∗

(здесь h* - энтальпия газа при w = 0).

Таким образом, потенциальная энергия газа выражается

различными формами в уравнениях энергии (1.13) - (1.13 д) с помощью

различных взаимосвязанных параметров - давления, температуры, скорости

звука, энтальпии.

Примеры

1.В воздушный поток, имеющий температуру торможения Т* = 400 К

и скорость w = 300 м/с, ввели легкий предмет, который приобрел скорость

потока. Определить температуру предмета после установления теплового

равновесия.

Из уравнения (1,13в) имеем

푇 = 푇∗ − = 400 − ( . )∙∙ , ∙

= 335퐾

2.В трубу с движущимся воздухом заведена дифференциальная

термопара, один спай которой имеет температуру воздуха, а второй -

температуру стенки трубы, близкую к температуре торможения. Определить

скорость воздуха в трубе, если разность температур спаев, замеренная

термопарой, составляет 8 К.

Применяя уравнение (1,13в), имеем

푤 = ( ∗ ) = ∙ , ∙ ∙,

= 128 м/с.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

13

Рис. 2.1

Глава 2 ТЕЧЕНИЯ ГАЗА БЕЗ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА

2.1 Связь скорости газа с сечением потока. Сопло Лаваля

Выясним зависимость скорости течения от площади F поперечного

сечения потока. Для газа уравнение неразрывности, или уравнение

постоянства массового расхода при установившемся течении, имеет вид

ρwF = const . (2.1)

Логарифмируя и дифференцируя это равенство, получим

+ + = 0 , (2.1а)

откуда

= − 1 − (2.1б)

Из уравнения энергии в дифференциальной форме (1.12) имеем

= − , что дает после подстановки в уравнение (2.1б): = 푤 −

1. Поскольку, согласно формуле (1.8),푑푝푑휌=푎2, получаем

= − 1 = (푀 − 1). (2.2)

Из уравнения (2,2) следует, что изменение

скорости при изменении сечения dF происходит по-

разному для дозвукового и сверхзвукового течения. В

дозвуковом потоке (w < а, М< 1,рис. 5.3а) знаки dw и

dF в (2,2) противоположны: уменьшение сечения в

сужающемся канале приводит к возрастанию

скорости. Наоборот, в расширяющемся канале скорость вниз по потоку

уменьшается. При сверхзвуковом течении (w>a, М> 1, рис. 5.3б) в

сужающемся канале поток замедляется, в расширяющемся - ускоряется.

Чтобы пояснить полученные результаты, которые для сверхзвукового

течения кажутся неожиданными, сопоставим уравнения (2.2) и (2.1б):

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

14

Рис. 2.3

푀 = . (2.3)

Поскольку левая часть равенства (2.3) всегда положительна, ясно, что

знаки dρ и dw всегда противоположны: рост скорости приводит к

уменьшению плотности. Но при дозвуковом течении (М < 1)скорость

изменяется более быстро, чем плотность: > . При сверхзвуковом

течении, наоборот, более быстро уменьшается плотность: < .

Для получения сверхзвуковых скоростейв

технике используется сопло Лаваля (1889г.),

принцип действия которого ясен из приведенных

рассуждений. В дозвуковом потоке, поступающем в

сужающуюся часть сопла Лаваля, скорость

увеличивается. Если в наименьшем сечении сопла не

достигается скорость, равная скорости звука, то в

расширяющейся части происходит ее уменьшение;

скорость по длине сопла изменяется по кривой I на рис. 5.4. Если перепад

давления достаточно велик, чтобы в наименьшем сечении скорость течения

сравнялась со скоростью звука, то при дальнейшем расширении поток

переходит в сверхзвуковой, скорость его изменяется по кривой II.

Сопло Лаваля имеет широкое применение, являясь составной частью

реактивных двигателей, сопловых аппаратов некоторых турбин (в которых

рабочие лопатки обтекаются сверхзвуковым потоком), сверхзвуковых

аэродинамических труб и т.д. Более полная теория сопла учитывает влияние

трения на стенках и волновых явлений на выходе потока.

2.2 Параметры изоэнтропического торможения газа.

Газодинамические функции

При торможении газа его кинетическая энергия переходит в

потенциальную, при этом давление, плотность и температура возрастают. В

случае полного торможения (остановки) потока, например, в точке

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

15

раздвоения струйки на передней поверхности обтекаемого тела параметры р,

ρ, Т достигают максимальных для данного потока величин - параметров

торможения р*, ρ*, Т*. Определим эти величины для адиабатного

изоэнтропического процесса торможения, при котором давление и плотность

газа связаны соотношением (1.2).

Применим уравнение энергии (1.13г) к сечениям струйки «на

бесконечности», т.е. там, где на поток не оказывает искажающее влияние

обтекаемое тело, и в точке торможения:

∞ + ∞ = .

Как и следовало ожидать, получен частный случай уравнения

(1.13д). Разделивпоследнее выражение на ∞ , имеем ( ) ∞

∞+ 1 =

∞ .

Принимая во внимание, что ∞

∞= 푀∞, где 푀∞ - число Маха для

невозмущенного потока, и что, согласно формуле (1,10), ∞

=∗

∞ , получим

∗

∞= ( ) ∞ (2.4)

Повышение температуры газа у поверхности тела, обтекаемого

при больших числах Маха, называется аэродинамическим нагревом.

Отметим, что неподвижный термометр, помещенный в поток газа,

показывает температуру, близкую к температуре торможения.

Используя зависимости (5.3), связывающие температуру адиабатного

процесса с давлением и плотностью, получим

∗

∞= ( ) ∞ ;

∗

∞= ( ) ∞ (2.5)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

16

Рис. 2.5

Зависимость температуры, давления и

плотности торможения от числа М∞

представлена графически на рис. 1.5.

Расчет по формулам (2,4, 2,5)

показывает, что при М = 0,2 (для воздуха при

15°С это соответствует скорости 68 м/с)

сжимаемость газа приводит к поправкам в

плотности и давлении торможения примерно

на 2%, в температуре - около 1%. Ввиду

малости этих поправок ими пренебрегают,

считая газ при малых скоростях несжимаемой

жидкостью. В задачах, не требующих

высокой точности решения, можно считать газ несжимаемым и при еще

больших числах М (до 0,3). В частности, при расчете систем вентиляции

допустимо использовать соотношения гидравлики для несжимаемой

жидкости.

Выражения (2,4) и (2,5) являются, по сути, еще одной формой записи

уравнения энергии (1,13). Переходя в формулах для параметров торможения

газа (2,4) И (2,5) от числа М к λ, получим соотношения

휏(휆) = ∗ = 1 − ( ) ; 휋(휆) = ∗ = 1 − ( ) ;

휀(휆) = ∗ = 1 − ( ) (2.6)

Формулы (2.6) дают изменение параметров

газа вдоль струйки в зависимости от скорости.

Они носят название газодинамических функций.

Их численные значения для различных k и λ (или

М) сведены в таблицы и графики

газодинамических функций. В частности, в

таблице (1.1) даны газодинамические функции для

Рис. 2.4

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

17

воздуха (к = 1,4). На рис. 5.6 представлены газодинамические функции для

воздуха (к = 1,4) и перегретого водяного пара (к = 1,33) в зависимости от

безразмерной скорости λ.

2.3 Истечение газа

Исследуем истечение газа через сужающееся

сопло из бака, где он находился под давлением р*, в

среду с противодавлением р <р* (рис. 5.7). Применяя к

сечениям струйки газа в баке, где w=0, и в сжатом

сечении уравнение энергии в форме (1,13), имеем

푤2

+푘푝

(푘 − 1)휌=

푘푝∗

(푘 − 1)휌∗

Выражая отношение плотностй ∗через отношение давлений

∗cпомощью уравнения адиабаты (1.2) и используя уравнение состояния

(1.1), получим формулу Сен-Венана и Ванцеля (1839 г.) для скорости

адиабатного истечения газа

푤 =∗

1 − ∗ (2.7)

При постепенном уменьшении давления в среде, в

которую вытекает газ, начиная от р = р*, согласно

формуле (2.7), растет скорость истечения (рис. 5.8).

Возрастание скорости в соответствии с

уравнением энергии в форме (1.13г) приводит к

уменьшению местной скорости звука . Наконец, при

достаточно малом давлении среды

푝 = 푝 = 푝∗ , (2.8)

называемым критическим давлением, скорость истечения достигает

максимума, она сравнивается с местной скоростью звука; устанавливается

Рис. 2.6

Рис. 2.7

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

18

Рис. 2.8

критическая скорость потока акр, величина которой определяется

соотношением (1.14). Для воздуха πкр = (р/р*)кр = 0,528. Плотность и

температура газа при этом также достигают критических значений,

определяемых формулами

휌 = 휌∗ ; 푇кр =∗ (2.8a)

Величина критической скорости определяется внутренней

энергией газа, т.е. температурой в баке Т*. В частности, для воздуха,

имеющего температуру 15°С, кр = 0,91 0 = 310 м/с. При дальнейшем

уменьшении противодавления р скорость истечения на срезе сопла остается

неизменной и равной кр (рис. 5.8).

Постоянство скорости (и расхода) при p≤pкр

можно объяснись следующим образом. Представим себе

(рис. 5.9), что газ вытекает из резервуара I в вакуумную

камеру II через трубу, давление в которой регулируется

краном К. При р > ркр скорость w< кр и при открытии

крана волны разрежения от него, распространяясь навстречу струе,

соответственно увеличивают скорость истечения. Если достигнута звуковая

скорость истечения, то волны разрежения от крана уже не могут

распространяться навстречу струе и понижение давления р не меняет

скорость истечения w = кр.

Таким образом, при противодавлении p> ркр скорость истечения -

дозвуковая (w < кр) и определяется формулой (2,7). Такое истечение

называется докритическим. При р ≤ ркрнаблдается критическое истечение,

скорость на срезе сопла 푤 =∗. Вследствие потерь энергии на трение

реальная скоростьистечения газа немного меньше (на 1...3%), чем

теоретическая. Массовый расход газа через сопло определяется

соотношением

퐺 = 휇휌푤퐹, (2.9)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

19

где μ - коэффициент расхода. Для сужающегося сопла μ = 0,92...0,98.

С использованием газодинамических функций формула (2.9) приводится к

виду

퐺 =푚푝∗퐹푞(휆)

푇∗ .

где для воздуха m = 0,0405 (если величины выражены в системе СИ).

Газодина-мическая функция q(λ) называется приведенной плотностью тока:

푞(휆) =кр кр

= кр , (2.10)

для воздуха ее значения даны в табл. 5.1. При критическом истечении

через сужающееся сопло принимают q = 1, при докритическом выбирают по

значению π=р/р*.

В случае расчетного истечения через сопло Лаваля, когда на срезе

расширяющейся части сопла давление вытекающей струи равно

противодавлению среды р, скорость и параметры газа в струе определяют по

значению π = р/р* из таблиц газодинамических функций. Расход газа через

сопло Лаваля равен расходу через сужающееся сопло с выходным сечением,

равным критическому сечению Fкр сопла Лаваля. Площадь выходного

сечения сопла Лаваля, обеспечивающего расчетное истечение, определяется

по газодинамической функции приведенной плотности тока (2.10).

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

20

Таблица 1.1

Газодинамические функции для воздуха (k=1,4) λ τ π ε q

М

0,00 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,05 0,9996 0,9986 0,9990 0,0788 0,0457 0,10 0,9983 0,9942 0,9959 0,1571 0,0914 0,15 0,9963 0,9870 0,9907 0,2344 0,1372 0,20 0,9933 0,9768 0,9834 0,3102 0,1830 0,25 0,9896 0,9640 0,9742 0,3842 0,2290 0,30 0,9850 0,9485 0,9630 0,4557 0,2760 0,35 0,9796 0,9303 0,9497 0,5243 0,3228 0,40 0,9733 0,9097 0,9346 0,5897 0,3701 0,45 0,9663 0,8868 0,9178 0,6515 0,4179 0,50 0,9583 0,8616 0,8991 0,7091 0,4663 0,55 0,9496 0,8344 0,8787 0,7623 0,5152 0,60 0,9400 0,8053 0,8567 0,8109 0,5649 0,65 0,9296 0,7745 0,8332 0,8543 0,6154 0,70 0,9183 0,7422 0,8082 0,8924 0,6668 0,75 0,9063 0,7086 0,7819 0,9250 0,7192 0,80 0,8933 0,6738 0,7543 0,9518 0,7727 0,85 0,8796 0,6382 0,7256 0,9729 0,8274 0,90 0,8650 0,6019 0,6959 0,9879 0,8833 0,95 0,8496 0,5653 0,6653 0,9970 0,9409 1,00 0,8333 0,5283 0,6340 1,0000 1,0000 1,05 0,8163 0,4913 0,6019 0,9969 1,0609 1,10 0,7983 0,4546 0,5694 0,9880 1,1239 1.15 0,7796 0,4184 0,5366 0,9735 1,1890 1,20 0,7600 0,3827 0,5035 0,9531 1,2566 1,25 0,7396 0,3479 0,4704 0,9275 1,3268 1,30 0,7183 0,3142 0,4374 0,8969 1,4002 1,35 0,6962 0,2816 0,4045 0,8614 1,4769 1,40 0,6733 0,2505 0,3720 0,8216 1,5575 1,45 0,6496 0,2209 0,3401 0,7778 1,6423 1.50 0,6250 0,1930 0,3088 0,7397 1,7321 1,55 0,5996 0,1669 0,2784 0,6807 1,8273 1,60 0,5733 0,1427 0,2489 0,6282 1,9290 1,65 0,5463 0,1205 0,2205 0,5740 2,0380 1,70 0,5183 0,1003 0,1934 0,5187 2,1555 1,75 0,4896 0,0821 0,1677 0,4630 2,2831 1,80 0,4600 0,0660 0,1435 0,4075 2,4227 1,85 0,4296 0,0520 0,1201 0,3530 2,5766 1,90 0,3983 0,0399 0,1002 0,3002 2,7481 1,95 0,3662 0,0297 0,0812 0,2497 2,9414 2,00 0,3333 0,0214 0,0642 0,0224 3,1622 2,05 0,2996 0,0147 0,0491 0,1588 3,4190 2,10 0,2650 0,0096 0,0361 0,1198 3,7240 2,15 0,2296 0,0058 0,0253 0,0857 4,0961 2,20 0,1933 0,0032 0,0164 0,0570 4,5674 2,25 0,1563 0,00151 0,00966 0,0343 5.1958 2,30

2,35 0,1183 0,00057 0,00482 0,0175 6,1033 0,0796 0,00014 0,00170 0,0063 7.6053

2,40 0,0400 0,128 ∙10-4 0,00032 0,0012 10,957 2,449 0 0 0 0 ∞

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

21

Примеры

1. Самолет, летящий у поверхности земли (р = 0,1 МПа), имеет М =

0,7. Определить повышение температуры, плотности и давления в носовой

точке фюзеляжа. Найти ошибку, которая получится, если определить рд без

учета сжимаемости воздуха, т.е. по формуле рд = .

Пользуясь таблицей для М = 0,7, имеем 푇푇∗ = 0,910 ;

푝푝∗ = 0,723; 휆 = 0.73

Принимая для невозмущенного воздуха р = 0,1 МПа и 0= 340 м/с,

получаем

푎кр = 푎2

푘 + 1= 309

мс

; 푤 = 휆 кр = 226мс

;

푝днесж =휌휔

2= 31400 Па ; 푝несж = 푝 + 푝Д = 0,1314 МПа.

С учетом сжимаемости

푝сж =0.10,723

= 0,1383 МПа

2. Воздух течет по трубе переменного сечения. Число Маха в первом

сечении трубы М1 = 1 во втором сечении М2 = 2. Каково соотношение между

скоростями в первом и во втором сечениях?

По таблице газодинамических функций определяем

휆 = 1, 휆 = 1,63; 푤푤

=휆휆

= 1,63

3. Воздух вытекает из баллона в атмосферу через сужающееся

сопло с диаметром выходного сечения 10 мм. В баллоне температураt=

127сС и давлениер* = 1,0 МПа. Найти скорость истечения и массовый

секундный расход.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

22

Так как р<ркр, скорость истечения равна критической скорости;

согласно формуле(1.14)

푎кр =∗

= ∙ , ∙ ∙,

= 567 м/с.

Массовый секундный расход

G =0,405푝퐹

푇 , =0,0405 ∙ 10 ∙ 3.14 ∙ 10

400 , ∙ 4= 0.156 кг/с.

4. Для условий предыдущего примера найти скорость, массовый

расход и параметры газа при расчетном истечении через сопло Лаваля.

Найти также диаметр выходного сечения, если диаметр критического

сечения 10 мм.

По значению π = р/р* = 0,1 из таблицы (1.1) находим:

휆 =휔

푎кр= 1,70; 휏 =

푇푇∗ = 0,5183 ; 휀 =

휌휌∗ = 0.1934 ; 푞 =

퐹кр

퐹= 0,5187.

Соответственно на срезе сопла Лаваля

w=λτкр=1,70∙567=964 м/с ; T= τ∙T*=0,5183∙400=207 K;

ρ=ερ*=∗

∗ = , ∙∙

= 0,168 кг/с.

Площадь выходного сечения, обеспечивающего расчетное

истечение,퐹 = кр = , диаметр сопла Лаваля на выходе

퐷 = кр,

= кр, = 13,9мм.

Глава 3. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА С ТРЕНИЕМ И

ЭНЕРГООБМЕНОМ

3.1 Изотермическое течение в трубах

В длинных газопроводах без тепловой изоляции температуру газа

можно считать постоянной и равной температуре окружающей среды. Вдоль

трубопровода давление и плотность уменьшаются, скорость возрастает.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

23

Будем учитывать потери давления на трение вдоль трубы по формуле

Дарси (2.16), тогда потери на участке трубы длиной dx составят

푑푝 = 휆

,

где 휆 - гидравлический коэффициент трения. Используя уравнение

энергии в дифференциальной форме (1.12), составим дифференциальное

уравнение баланса кинетической и потенциальной энергии с учетом потерь

на участке dx:

푑 + + 휆тр = 0. (3.1)

Из уравнения состояния (1.1) выразим плотность как 휌 = , из

уравненияпостоянства массового расхода G = ρFw = const скорость равна

푤 = = (3.2)

Подставляя эти величины в равенство (3.1), имеем

휆푑푥퐷

= 2푑푝푝

−2퐹

푅푇퐺푝푑푝.

Обозначим давление в начальном сечении трубы через р1. Тогда

давлениеp2 в конечном сечении, расположенном на расстоянии l от

начального, определится интегрированием последнего уравнения:

휆 = 2푙푛 + (푝 − 푝 ). (3.3)

Разрешив равенство (3.3) относительно G, получим формулу для

массового расхода газа при изотермическом течении:

G = F . (3.4)

Введем число Маха, которое, учитывая выражения для скорости звука

(1.10) и скорости потока (3.2), можно представить в виде

푀 = =,

.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

24

Очевидно, что отношение давлений обратно пропорционально

отношению чисел Маха = и равенство (3.3) может быть представлено в

виде:

= + 2푙푛 . (3.5)

Из полученного уравнения следует, если во входном сечении

трубы скорость газа дозвуковая (М1< 1), то в выходном сечении число М2

возрастает и может достигнуть единицы. Соответствующую критическую

длину трубы lкр легко найти, принимая в равенстве (3.5) М2= 1. Если длина

равна критической, то при понижении давления в конце трубы расход не

увеличивается.

Гидравлический коэффициент трения λтр, вообще говоря, является

функцией чисел Re, М и относительной шероховатости трубы. Но число

Рейнольдса при изотермическомтечении вдоль трубы не меняется;

действительно, если представить его в виде

푅푒 = = ,

где μ - динамический коэффициент вязкости, то видно, что и

числитель, и знаменатель - постоянные величины (ρw = const по уравнению

неразрывности; μ газов зависит только от температуры; при постоян-ной

температуре изотермического течения μ= const). Как показали опыты

Фресселя, гидравлический коэффициент трения для газов при небольших

числах Маха практически не зависит от М. Поэтому для изотермического

течения газов λтр не меняется по длине трубы и может определяться по

формулам гидравлики.

3.2 Адиабатное течение в трубах

В случае короткого трубопровода, когда газ не успевает обменяться

теплотой со стенками, или при наличии тепловой изоляции полная энергия

газа по длине трубы остается постоянной; работа, расходуемая на трение,

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

25

Рис. 3.1

полностью переходит в теплоту, идущую на нагрев газа. Здесь удобно

применить уравнение энергии в форме (1.13е).

Принимая во внимание, что энтальпия h = срТ запишем его в виде +

с 푇 = 푐표푛푠푡 .

Как показывает это равенство, понижение температуры по

сравнению с начальным сечением зависит только от скорости в данном

сечении и не зависит отсопротивления.

Температура торможения вдоль трубы не меняется: Т* =const.

В дозвуковом потоке нагревание газа вследствие трения приводит к

уменьшению плотности; из-за постоянства массового расхода скорость при

этом возрастает. Это возрастание возможно вплоть до величины скорости

звука кр, которая может иметь место в выходном сечении трубы при

достаточно большой начальной скорости w1, и достаточно малой длине

трубы l. При этом в конце трубы наблюдается резкое падение давления. На

рис. 3.1 показаны кривые изменения давления в зависимости от длины

трубы, полученные Фресселем экспериментально.

Длина трубы отложена на оси абсцисс в долях x/D

(в «калибрах»). Числа, проставленные у кривых,

показывают расход в долях максимального

расхода, который можно получить при том же

перепаде давления в случае истечения через

короткий насадок с диаметром, равным диаметру

трубы.

3.3 Течение газа с энергообменом

Во многих случаях течение газа сопровождается обменом

механической энергией и теплотой с окружающими телами. Например, при

подаче воздуха в газотурбинный двигатель к нему подводится техническая

работа сжатия lk в компрессоре и теплота сгорания топлива q в камере

сгорания (рис. 3.2). Кроме того, выделяется теплота трения lтр. При

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

26

Рис. 3.2

Рис. 3.3

энергообмене газа уравнение энергии, выведенное

для энергетически изолированного течения,

необходимо дополнить соответствующими

членами. Так, для случая, представленного на рис.

3.2, уравнение энергии принимает вид

dq=d(w2/2)+dh+dlk+dlтр.

При подводе теплоты к дозвуковому

потоку газа в трубе его скорость уве-личивается

вплоть до М = 1. Дальнейшее увеличение

скорости за счет подвода теплоты невозможно.

Однако сверхзвуковой поток ускоряется за счет

отвода теплоты. Поэтому если в трубе за

критическим сечением, где скорость течения

звуковая, организовать отвод теплоты, то можно

получить сверхзвуковую скорость. На этом принципе основано устройство

«теплового сопла» (рис. 3.3,а).

Дозвуковой поток ускоряется при совершении газом работы

(например, на рабочем колесе турбины). При М > 1 скорость возрастает, если

газ получает механическую энергию извне, например от компрессора. На

этом принципе работает механическое сопло (рис. 3.3,6), в котором до

критического сечения работаотводится от газа, а ниже критического сечения

подводится к нему.

Возможно также получение сверхзвуковых скоростей в

комбинированных соплах. Например, в полутепловом сопле (рис. 3.3, в) в

дозвуковом участке газ разгоняется за счет подвода теплоты, а ниже

критического сечения - за счет геометрического расширения канала.

Пример. Газопровод диаметром D = 250 мм имеет длину l = 10 км,

гидравлический коэффициент трения λтр = 0,025. Давление на входе р1 = 5

МПа, на выходе р2 = 4,5 МПа. Перекачивается природный газ, R = 520

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

27

Рис. 4.1

Дж/(кгК). Найти массовый расход газа, считая течение изотермическим при

Т= 280 К. Найти также скорости газа и числа Маха на входе и выходе.

По соотношению (3.4) расход газа

G = F푃 − 푃

푅푇 + 2푙푛=

3,14 ∙ 0,254

∙10 (5 − 4,5 )

520 ∙ 280( , ∙,

+ 2푙푛.

.

= 8,86 кг/с

Плолотности газа на входе и выходе

휌 =푝푅푇

=5 ∙ 10

520 ∙ 280= 34,3 кг/м

휌 =푝푅푇

=4,5 ∙ 10

520 ∙ 280= 30,9 кг/м

Скорости газа 푤 = = 5,26 м/с ; 푤 = = 5,84 м/с

Скорость звука 푎 = √푘RT = 1,33 ∙ 520 ∙ 280 = 440 м/с

Число Маха М = = 0,012 ; М = = 0,013 .

Глава 4 ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ

4.1. ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ

Распространение возмущений

В неподвижной жидкости малые

возмущения давления распространяются со

скоростью звука. В потоке скорость

возмущения давления относительно

жидкости также равна скорости звука.

Сферические волны давления сносятся потоком

от источника возмущений. Относительно

неподвижного обтекаемого тела возмущения

распространяются вниз по потоку со скоростью

a + w, а вверх - со скоростью a - w.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

28

Рассмотрим распространение в потоке возмущений от точечного

источника А (например, от небольшого обтекаемого тела). При дозвуковой

скорости потока (w<a, рис. 4.1а) возмущения от препятствия

распространяются во все стороны, в том числе и вверх по потоку. Волны

давления, идущие вверх по течению, несут потоку информацию об

источнике возмущений, «подготавливают» его к предстоящей встрече с

препятствием. Линии тока в дозвуковом течении отклоняются еще до

встречи с обтекаемым телом.

В сверхзвуковом потоке (w> а, рис. 4.1,б) возмущения давления вверх

по течению не распространяются. Последовательные возмущения от

источника А сносятся вниз попотоку; сферические волны возмущений

заполняют конус с вершиной в точке А, расходящийся вниз по течению. До

встречи с этим конусом возмущений поток не получает информации о

препятствии, линии тока не искривлены.

Угол при вершине конуса, называемый углом возмущений или

углом Маха, легко определить из треугольника ABC. Если сферическая

волна возмущений пробегает за время ∆τ путь СВ, равный ∆τ, то ее центр

сносится потоком на расстояние АС (равноеw∆τ),откуда

푠푖푛 = = = (4.1)

где М=w/a – число Маха.

Характеристики сверхзвукового потока

При сверхзвуковом течении газа вдоль стенки бугорки и впадины

шероватости являются источниками волн давления, которые сносятся вниз

по течению под углом Маха. При изменении плотности газа в волнах

давления меняется его коэффициент преломления для световых лучей. На

этом основано применение оптических методов для исследования

сверхзвуковых потоков. С их помощью удается сделать видимой картину

волн давления у обтекаемого тела.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

29

Слабые волны возмущения называют характеристиками

сверхзвукового потока. В равномерном потоке характеристики

прямолинейны, угол их наклона тем меньше, чем больше скорость; его

величина определяется по формуле (4.1). Если в потоке имеется поперечная

неравномерность скоростей, то характеристики искривляются. Возрастание

скорости приводит, согласно выражению (4.1), к увеличению угла Маха и

наклона характеристики.

Волны разрежения

Рассмотрим сверхзвуковое обтекание плоской стенки с внешним

тупым углом (рис. б.2а). У точки А поток расширяется, поворачиваясь на

угол Θ. В соответствии с выводами раздела 5 скорость его увеличивается,

давление, плотность, температура падают. Линия возмущения

(характеристика) АВ для набегающего потока расположена под углом 1,

причем в соответствии с формулой (4.1)

. Для ускоренного и повернутого на угол Θ потока линия

возмущения от вершины угла А - характеристика АВ2, причем

Внутри угла В1АВ2 расположена волна

разрежения, в которой линия тока С1С2 плавно

поворачивает на угол Θ. Параметры потока

непрерывно изменяются внутри волны

разрежения. Вдоль любой характеристики АВ в

пучке, размещенном между линиями АВ1 и АВ2,

параметры газа остаются постоянными,

независимыми от расстояния до вершины угла А.

На характеристике одинаковы также величина и направление скорости.

Составляющая скорости, нормальная к характеристике, равна скорости

звука, соответствующей состоянию газа в этом месте.

Подобная волна разрежения образуется и при сверхзвуковом

истечении газа в среду с пониженным давлением p2<p1 (рис. 4.2б). В этом

Рис. 4.2.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

30

Рис. 4.3.

случае поток внутри волны В1АВ2 отклоняется на угол Θ. При истечении в

пустоту поток воздуха нормальных параметров может отклониться на

максимально возможный угол, равный 129°; при этом достигается

максимальная скоростьwmax, определяемая Формулой (1.16).

Процесс расширения газа в волне разрежения является

изоэнтропическим, механическая энергия потока не теряется, поэтому

давление торможения р2* за волной равно исходному р1*. Изменение

параметров потока после волны разрежения зависит от величин М1 и Θ,

аналитические зависимости для них выглядят достаточно громоздко. Для

практических расчетов используются составленные по ним графики и

таблицы (содержащиеся, в частности, в [4]).

Рассмотрим сверхзвуковой поток около

выпуклой стенки с заданной на-чальной

скоростью w1 (рис. 4.3а). Каждая точка

поверхности стенки является источником

возмущения разрежения; линии возмущения

(характеристики) наклонены к поверхности.

Параметры газа изменяются вдоль линии тока

С,С2 непрерывно. Заменим криволинейную

поверхность ломаной (рис. 4.3б), т. е. будем

предполагать, что изменение параметров газа

происходит прерывно и каждая из вершин углов А1, А2... является

источником волны возмущения. Эти волны разрежения показаны на рисунке

пучками характеристик, выходящих из точек А1А2... Обычно разбивку

ломаной линии на поверхности тела делают так, чтобы у каждой вершины

угла поток отклонялся на определенный угол, например 2°. После этогос

помощью диаграммы характеристик легко определить скорости потока

w2,w3... и положение волн разрежения.

Методом характеристик можно исследовать поток и около вогнутой

стенки (рис. 4.3,в); в этом случае характеристиками являются линии (волны)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

31

Рис. 4.4.

уплотнения. Следует иметь в виду, однако, что если несколько линий

уплотнения пересекаются, то в этом месте параметры газа и скорость течения

меняются прерывно - образуется скачок уплотнения, в котором процесс

сжатия газа становится необратимым, механическая энергия газа теряется.

При малой интенсивности скачка еще допустимо применение метода

характеристик для приближенного расчета скорости после волны

уплотнения, но в случае сильных скачков ошибки становятся

значительными.

4.2. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ

Прямой скачок уплотнения

При достаточно сильном

(конечном) повышении давления в

газовом потоке возникают

прерывистые волны давления,

называемые скачками уплотнения.

Рассмотрим причины возникновения

прямого скачка.

Пусть в трубе с неподвижным газом (рис. 4.4) начинает ускоренно

перемешаться поршень и по достижении скорости w продолжает двигаться

равномерно. В отличие от вывода формулы для скорости звука (7) считаем

скорость w не малой по сравнению с a. Впереди поршня распространяется

волна сжатия С, которая отделяет неподвижный невозмущенный газ от

сжатого поршнем. На рис. 4.4 область волны сжатия покрыта точками.

Основание, или подножие, волны сжатия (рис. 4.4, точка О) движется

впра-во со скоростью, равной скорости звука в покоящемся газе a. Гребень

волны сжатия (рис. 4.4, точка Г) движется быстрее: здесь больше скорость

распространения возмущений, так как при сжатии газ нагревается. Кроме

того, к этой скорости здесь добавляется скорость движения газа вместе с

поршнем. В результате гребень догоняет основание и в последовательные

моменты времени τ1,τ2,τ3 повышение давления в волне сжатия становится все

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

32

более резким. Наконец, на некотором расстоянии от поршня возникает

ударная волна - прерывное изменение давления, в котором параметры газа

меняются очень быстро на расстоянии порядка длины свободного пробега

молекулы, т. е. при нормальных условиях - порядка микрометра. Ударная

волна движется в газе со скоростьюw1, превышающей скорость звука a.

Сзади поршня по трубе распространяется волна разрежения Р.

Скорость распространения гребня волны разрежения равна a, тогда как

скорость основания меньше - здесь сказывается охлаждение газа из-за

расширения и его течение за поршнем. Поэтому волна разрежения делается

все более пологой; ударные волны возможны только в волнах уплотнения.

Прерывное изменение параметров газа и скорости течения

наблюдается также и при обтекании неподвижного тела сверхзвуковым

потоком. Если, например, обтекаемое тело имеет спереди затупленную

форму, то торможение газа в лобовой части приводит к появлению здесь

области дозвуковых скоростей. Волны повышения давления от тела

распространяются в этой области дозвуковых скоростей навстречу потоку,

но на сравнительно небольшое расстояние - до скачка уплотнения,

расположенного перед телом. В скачке уплотнения сверхзвуковая скорость

потока прерывно переводится в дозвуковую. До перехода через скачок

сверхзвуковой поток остается невозмущенным - волны давления от

обтекаемого тела распространяются со скоростью звука, а скорость потока ее

превышает.

Если система координат связывается с областью прерывного сжатия

газа (или с обтекаемым телом, относительно которого она неподвижна), то

эта область прерывного изменения параметров газа называется скачком

уплотнения. Сквозьнего протекает газ, который имеет сверхзвуковую

скорость w1 на входе и w2<w1, на выходе. Температура, давление и плотность

в скачке мгновенно возрастают.

Если система координат связана с неподвижным газом, в котором

распространяется со сверхзвуковой скоростью область прерывного сжатия,

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

33

Рис. 4.5.

то эта область называется ударной волной. Физические процессы,

происходящие в скачке уплотнения и в ударной волне, одинаковы, поэтому

иногда эти оба названия применяют для одного и того же явления (например,

скачок уплотнения перед затупленной передней частью тела называют

«головной ударной волной»).

Прерывное уплотнение сжатия, которое

расположено по нормали к вектору скорости (рис.

6.5), называется прямым скачком уплотнения.

Рассмотрим движение газа через прямой

скачок уплотнения. Исходные уравнения:

1. Уравнение неразрывности, имеющее в

данном случае вид

휌 푤 = 휌 푤 (4.2)

2. Уравнение количества движения (1.6), приводящееся к виду

휌 푤 (푤 − 푤 ) = 푝 − 푝 (4.3)

3. Уравнение энергии в форме + = + .

Если заданы три величины, например w1, p1, ρ1то из приведенных

уравнений могут быть определены три остальные:w2, p2, ρ2 .Приведем без

вывода основные результаты совместного решения исходных уравнений.

Скорости w1 и w2 связаны между собой соотношением

푤 ∙ 푤 = 푎кр или λ1λ2=1. (4.4)

Следовательно, в прямом скачке уплотнения сверхзвуковой

поток (λ> 1) всегда переходит в дозвуковой (λ< 1).

Разность скоростей w = w1 – w2 (для ударной волны - это

скорость, которую газ имеет за ударной волной; для случая, представленного

на рис. 4.4 - скорость движения газа вместе с поршнем) определяется

соотношением

푤 = 푤 − 푤 = 푤 −푎푤

= 푤 1 −푎푤

= 푤 1 −1휆

.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

34

Рис. 4.6.

Повышение давления в скачке р2 –р1 равно

푝 − 푝 = 휌 푤 (푤 − 푤 ) = 휌 푤 1 − . (4.5)

Возрастание плотности ρ2-ρ1 составляет

휌 − 휌 = 휌 − 1 = 휌 (휆 − 1). (4.6)

Из равенств (4.4)...(4.6) следует, что

изменение параметров на скачке тем резче,

чем больше λ1 т. е. его интенсивность

усиливается с ростом сверхзвуковой

скорости газа на входе в скачок. На рис. 4.6

представлена зависимость величин

(푝 − 푝 )/푝 и (휌 − 휌 )/휌 от безразмерного

отношения скоростей λ для воздуха (k = 1,4);

по оси абсцисс отложены также соответствующие значения чисел Маха.

Ударная адиабата. Рост энтропии и потеря давления в прямом

скачке

Безразмерная скорость газа λ - величина ограниченная.

Действительно,

휆 =푤푎

, или휆 =푘 + 1푘 − 1

,

(для воздуха휆 =2,449; это значениеλ соответствует М = ∞).

Поэтому возрастание плотности в скачке уплотнения (формула 4.6)

оказывается ограниченным:

휌휌

= (휆 ) =푘 + 1푘 − 1

Для воздуха (к = 1,4) возможно максимальное уплотнение в скачке в 6

раз.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

35

Рис. 4.7.

В то же время, известно, что при обратимом (изоэнтропическом)

адиабатном cжатии = , т. е. при возрастании давления плотность

растет неограниченно.

Связь между давлением и плотностью в скачке называется ударной

адиабатой или адиабатой Гюгонио (приводится без вывода):

=( ) ( )

( ) ( ) (4.7)

На рис. 4.7 представлено изменение давления при

изменении плотности воздуха для изоэнтропического сжатия

(кривая 1) и для сжатия в скачке уплотнения (кривая 2).

Асимптота адиабаты Гюгонио показана пунктиром.

Как известно из термодинамики, при теплообмене

между телами, составляющими термодинамическую систему,

энтропия системы возрастает. При течении газа без скачков теплообмен

между частицами пренебрежимо мал, движение изоэнтропическое. В то же

время, процесс сжатия газа в скачке уплотнения - не изоэнтропический,

энтропия в скачке нарастает. Это происходит вследствие передачи теплоты

от уп¬лотненного и нагретого объема газа к невозмущенному газу

процессами теплопроводности; температура в скачке резко меняется на

очень малом расстоянии толщины ударной волны (порядка микронов). Доля

кинетической энергии частицы газа единичной массы, равная Дж/кг

переходит в тепловую энергию.

Однако при расширении газа от давления р2 снова до давления р1 эта

тепловая энергия не полностью преобразуется в кинетическую. Потери

механической энергии характеризуются коэффициентом восстановления

давления σ, равным отношению давлений торможения за скачком и до

скачка:

휎 =∗

∗. (4.8)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

36

Рис. 4.8.

Рис. 4.9.

Коэффициент восстановления давления

приходится вводить, например, при измерении

скорости сверхзвукового потока трубкой Пито

(см. рис. 4.10б): в этом случае в скачке

уплотнения, который появляется перед

трубкой, происходят потери давления.

Отметим, что температура торможения,

характеризующая полную энергию газа,

одинакова для изоэнтропического и скачкового

сжатия. Действительно, при переходе через

скачок уменьшается механическая энергия

частиц газа и возрастает их внутренняя

(тепловая) энергия. Полная же энергия, мерой

которой является температура торможения,

остается неизменной.

Параметры газа за прямым скачком

и величины коэффициента восстановления

давления приводятся в таблицах прямых

скачков, облегчающих решение задач. Такие

таблицы даны, например, в [4].

Важное практическое значение имеют прямые скачки в

расширяющей части сопла Лаваля (рис. 4.8). Эти скачки появляются в случае

нерасчетного истечения при достаточно большом противодавлении на

выходе из сопла. В прямом скачке скорость переходит в дозвуковую и резко

растет давление; если, например скачок занимает положение I-I, давление в

расширяющейся части сопла изменится по линии КАВС (кривая 1). При

дальнейшем возрастании противодавления скачок приближается к

наименьшему сечению сопла, давление изменяется по кривым 2, 3, 4.

Наконец, если противодавление достаточно велико, течение в сжатом

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

37

сечении сопла становится дозвуковым, давление изменяется по кривой 5,

скорость - по кривой I на рис. 2.3.

Косые скачки уплотнения

Исследуем обтекание сверхзвуковым потоком (w1>a, М1> 1) острого

клина. При малом угле раствора клина Θ (рис. 4.9a) возмущение уплотнения,

вносимое клином в поток, также невелико. В этом случае линия возмущения

АВ совпадает с характеристикой сверхзвукового потока, угол может быть

определен по формуле

푠푖푛 =

При обтекании клина с конечной величиной угла раствора Θ (рис.

4.9,б) возмущение сжатия, которое он вносит в поток, также имеет конечную

величину. Волна уплотнения располагается по линии АВ и носит название

косого скачка уплотнения.

При переходе через косой скачок возрастают давление, плотность и

температура газа и уменьшается скорость течения (w2<w1).Угол косого

скачка β больше угла слабой волнывозмущения, наблюдаемой при той же

величине числа Маха набегающего потока М1. При возрастании скорости

набегающего потока w1, (или, что то же, числа М1) угол β уменьшается, при

увеличении Угла поворота Θ он, наоборот, растет.

Кроме случая обтекания клина, косойскачок уплотнения наблюдается

также при обтекании внутреннего тупого угла (рис.6.в), когда сверхзвуковой

поток, текущий вдоль плоской стенки, поворачивает вместе с ней на угол Θ.

Наконец, косой скачок появляется при сверхзвуковомистечении газа в среду

с более высоким давлением (рис.4.9.г). В этом случае угол отклонения

потока Θ определяется соотношением давлений .

Параметры газа на косом скачке, как и в случае прямого скачка

уплотнения, меняются скачкообразно. Отличие от прямого скачка

уплотнения состоит в том, что на косом скачке вектор скорости изменяется

не только по величине, но и по направлению.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

38

Обозначим нормальные к плоскости скачка составляющие скорости

потока индексом n и касательные - индексом t (рис. 4.9.б). Касательная

составляющая скорости не претерпевает разрыва при переходе через косой

скачок. Изменение скорости и параметров газа при переходе через косой

скачок определяется изменением нормальной составляющей скорости. Они

составляют:

∆푤 = 푤 − 푤 = 2푤 ;

∆푝 = 푝 − 푝 = 2휌 푤 ;

∆휌 = 휌 − 휌 = 휌 (휆 − 1),

푀 =푤푎

, 휆 =푤푎

Расчет параметров газа за косым скачком по этим формулам

оказывается трудоемким. Для его облегчения используются номограммы и

таблицы косых скачков, приведенные, в частности, в [4].

Возрастание энтропии и потеря давления в косом скачке

Как и в случае прямого скачка, в косом скачке происходит

возрастание энтропии, механическая энергия претерпевает необратимые

потери. При этом коэффициент восстановления давления зависит только от

параметра М1, sinβ, где β угол скачка (см. рис.4.9,б). С возрастанием М1, sin β

коэффициент σ убывает и соответственно возрастают потери механической

энергии. Наибольшей величины они достигают при β = 90°, т. е. в прямом

скачке. Поэтому для уменьшения потерь всегда стремятся заменить прямые

скачки косыми. Например, крылья звуковых самолетов делают тонкими и

заостренными спереди. Входные кромки турбинных лопаток, обтекаемых

сверхзвуковым потоком, также заостряют. Вэтом случае прямые скачки

заменяются косыми и потери энергии уменьшаются. В случае слабого

возмущения сжатия, когда коэффициент восстановления давления

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

39

Рис. 4.10.

приближается к единице (p1*≈p2

*), косой скачок уплотнения вырождается в

слабую волну возмущения (характеристику).

Конический скачок

При продольном обтекании конуса

сверхзвуковым потоком (рис. 4.10.a) его вершины

образуется конический скачок уплотнения,

который оказывается более слабым, чем косой

скачок на клине такого же раствора. В отличие от

плоского косого скачка за коническим скачком

линии тока не прямолинейны: они искривлены и с

удалением от вершины конуса приближаются к его

поверхности. Как в случае косого скачка, для

каждого числа Маха М1 существует свой

предельный угол раствора; в случае больших углов

раствора конуса скачок становится отсоединенным. Потери энергии для

конуса оказываются меньшими, чем для клина того же раствора (при

одинаковой скорости сверхзвукового потока).

При сверхзвуковом обтекании осесимметричных тел с затупленной

носовой частью (таких, например, как трубка Пито - Прандтля, показанная на

рис. 4.10,б) перед ними образуется скачок уплотнения криволинейной

формы. В осевой части потока газовые струйки проходят через прямой

скачок. Здесь наиболее велики потери механической энергии, которые

необходимо учитывать при измерении скорости потока по давлению

торможения р2*. При удалении от оси скачок уплотнения приближается к

коническому и вдали от обтекаемого тела вырождается в слабую волну

возмущения.

Примеры. 1. Наблюдатель услышал звук пролетающего на высоте 10

км самолета в то время, когда самолет удалился от наблюдателя на 10 км по

горизонтали. Определить число Маха самолета, считая ударную волну

прямолинейной.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

40

Применяя формулу (4.1):

푠푖푛 =1푀

, 푀 =1

푠푖푛=

1푠푖푛45

= 1,41

2. Струя воздуха имеет скорость w1=520 м/с, давление р1=0,1

Мпа, температуру Т1=323К. Определить скорость и параметры воздуха за

прямым скачком уплотнения.

До скачка уплотнения плотность воздуха

휌 = =∙

= 1,079 кг/с ,

Скорость звука и число Маха

푎 = 푘푅푇 = 360,2 м/с , М = = 1.444.

По таблице газодинамических функций приведенная скорость λ1=

1,327, приведенная температура τ1|=0,707, соответственно критическая

скорость и температура торможения:

푤 = = 391,9 м/с , Т∗ = Т = 456,9 К.

Приведенная скорость за скачком

휆 = = 0,7536 , 푤 = 휆 푎кр = 295,3 м/с

Возрастание плотности по формуле (4.7)

휌 − 휌 = 휌 (휆 − 1) = 0,821 кг/м .

Приведенная температура по таблице газодинамических функций

τ2=0,905, температура за скачком

Т = 휏 Т∗ = 412,7 К.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

41

Рис. 5.1.

Глава 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА С

ОГРАНИЧИВАЮЩИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ

5.1 Силы, действующие на обтекаемое тело со стороны

сверхзвукового потока

Рассмотрим сверхзвуковое обтекание

простейшего тела - тонкой пластинки,

установленной в потоке под углом атаки а

(рис.5.1.). «Углом атаки» в данном случае

называют угол, образованный пластинкой с

направлением набегающего невозмущенного

потока. У входной кромки на нижней поверхности пластинки образуется

косой скачок уплотнения АВ, при переходе через который давление

повышается до величины рн> р1. На верхней поверхности появляется волна

разрежения В1АВ2, в которойдавление понижается до величины рв<р.

За выходной кромкой пластинки давление выравнивается; на верхней

поверхности образуется косой скачок уплотнения ab, на нижней - волна

разрежения b1ab2. Потери механической энергии в скачках уплотнения АВ и

ab приводят к тому, что скорость потока за пластинкой не восстанавливается

до величины w1 - за обтекаемым телом наблюдается спутный поток.

Температура газа здесь выше, чем в набегающем потоке.

Из-за разности давлений на нижней и верхней сторонах пластинки на

нее действует сила R, которая может быть разложена на подъемную силу Ry

и силу лобового сопротивления Rx. Применяя общую формулу для

определения аэродинамических сил, запишем выражения для Rу и Rх в виде

; , (5.1)

где ρω2/2 - динамическое давление потока, Па;

F - площадь пластинки, м2;

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

42

Рис. 5.2.

Су и Сх - безразмерные коэффициенты подъемной силы и лобового

сопротивления. Величины Су и Сх, могут быть определены по формулам

(приводятся без вывода)

, (5.2)

(угол атаки выражен в радианной мере).

Лобовое сопротивление Rx, появляющееся

из-за потерь механической энергии в скачках

уплотнения, носит название волнового сопротивления.

Работа силы Rx на некотором пути приводит к

приращению энтропии газа на этом пути.

При сверхзвуковом обтекании других тел,

имеющих заостренную переднюю кромку, поле течения

также включает косые скачки уплотнения и волны

разрежения. На рис. 5.2. показаны поля течения для

продольного обтекания чечевицеобразного (а) и ромбовидного (б) крыльев.

В сверхзвуковом потоке появляются системы скачков уплотнения: головных

В1АВ1 и хвостовых b1ab1. Волны разрежения в случае двояковыпуклого

крыла распределены непрерывно по его поверхности, а в случае

ромбовидного крыла сосредоточены у углов поворота потока. Избыточные

давления в носовой части положительны, а в хвостовой — отрицательны.

Поэтому равнодействующая сила давления на поверхность крыла направлена

по потоку - это сила волнового сопротивления Rx. Если обтекание таких

крыльев несимметрично (они установлены в потоке под некоторым углом

атаки), то появляется еще и подъемная сила. При малой толщине крыла

величину коэффициента подъемной силы для сверхзвукового обтекания

допустимо определять по формуле (5.2) для пластинки, в случае

значительной толщины необходимо учитывать форму его поверхности.

Сила лобового сопротивления при сверхзвуковом обтекании тел с

затупленной носовой частью (таких, как на рис. 4.10,б) оказывается больше,

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

43

Рис. 5.3.

чемдля заостренных тел, вследствие того, что давление больше возрастает за

прямым скачком. Поэтому для уменьшения силы лобового сопротивления

выгодно придавать обтекаемому телу такую форму, при которой прямые

скачки уплотнения заменяются на косые.

5.2 Отражение волн давления

При пересечении волн давления они

проникают друг через друга без заметного взаимного

влияния: характеристики и линии тока при этом

лишь слегка искривляются. Иное дело - отражение

волн давления от твердой стенки или от свободной

границы струи.

При обтекании внешнего тупого угла, от

твердой стенки (рис. 5.3,а). Эта волна после

отражения также является волной разрежения. Линия тока, возвращаясь

первоначальному направлению, вторично искривляется в ней, еще больше

увеличивая скорость. Эффект ускорения потока может использоваться для

получения высоких скоростей в многократно отраженных волнах

разрежения.

При отражении от свободной газовой границы струи (рис. 5.3,б) волна

разрежения превращается в волну уплотнения. Такое изменение знака

воздействия на поток можно пояснить следующим. Если сверхзвуковое

истечение происходит в газовую среду с таким же давлением р, как и

давление в струе, то за первичной волной разрежения B1AB1 давление

понижено. Следовательно, на участке B2D давление снова повышается до

величины ри волна, исходящая от участка B2D, является волной уплотнения.

При переходе через эту отраженную волну поток еще больше отклоняется, а

скорость w2 уменьшается и становится равной исходной скорости w1.

При отражении от твердой стенки косого скачка уплотнения,

образовавшегося, например, в вершине внутреннего тупого угла (рис. 5.3,а),

происходит его отражение также в виде скачка. Линия тока возвращается к

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

44

Рис. 5.4.

Рис. 5.5.

исходному направлению, а величина вектора скорости вторично

уменьшается. При значительных углах отклонения потока Θ и небольшой

сверхзвуковой скорости w1угол отклонения потока в отраженном скачке

может превысить максимальный угол отклонения. В этом случае вблизи

точки отражения В скачок переходит в прямой, скорость за ним оказывается

дозвуковой. Лишь на некотором расстоянии от точки Вэтот прямой скачок

переходит в косой. Система первичного косого скачка и отраженных -

прямого и косого - носит названиеλ-образного скачка.

В случае падения косого скачка на свободную

границу струи, вытекающей в газовую среду того же

давления (рис. 5.4,б), он отражается в виде волны

разреженияВ1ВВ2. В этой волне линия тока плавно

искривляется, еще больше отклоняясь от

первоначального направления, а скорость возрастает.

Важный для практики случай отражения волн

давления представляют явления, происходящие при

нерасчетных режимах истечения из сопла Лаваля. В

частности, при истечении в газовую среду с

противодавлениемр, меньшим, чем давление на срезе

сопла АА (рис.5.5,а), происходит расширение струи в

волнах АВ. После их отражения в виде волн

уплотнения ВС образуются снова волны разре-

женияCDи т. д. В результате струя претерпевает

последовательные расширения и сжатия.

При истечении в среду с повышенным противодавлением (рис. 5.5,6)

появляются косые скачки АВ. Их отражение от свободной границы струи

также порождает систему волн разрежения и уплотнения. Рост

противодавления приводит к тому, что косые скачки АВ принимают

формумостообразного скачка, средняя часть которого представляет собой

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

45

прямой скачок. При дальнейшем увеличении противодавления прямой

скачок размещается внутри расширяющейся части сопла (см. рис.11.5).

Пример. Квадратная пластинка размером 200x200 мм обтекается

сверхзвуковым потоком воз- Духа нормальных параметров (р=0,1013 МПа,

Т=273 К) под углом атаки а=10° при числе Маха М=1,5. Определить

подъемную силу и лобовое сопротивление.

Плотность воздуха (формула 5.1)

휌 = = , ∙∙

= 1,293 кг/м .

Скорость звука

푎 = √푘푅푇 = √1,4 ∙ 287 ∙ 273 = 331,2 м/с.

Скорость газа

푤 = 푎푀 = 331,2 ∙ 1,5 = 496,8 м/с.

Аэродинамические коэффициенты по формулам (4.10)

퐶у =( ) , = ∙

, ( , ) , = 0,6244 ; 퐶 =( ) , = 0,109

Аэродинамические силы

푅у = Су퐹휌푤

2= 0,6244 ∙ 0,2 ∙ 0,2 ∙

1,293 ∙ 496,82

= 3985 Н,

푅 = С 퐹휌푤

2= 695.5 퐻

Глава 6. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ

ЖИДКОСТИ

6.1. Кинематический анализ движения жидкости

Виды движения жидкой частицы

Кинематика жидкой среды существенно отличается от кинематики

системы материальных точек или кинематики твердого тела. Движение

твердого тела в общем случае складывается из поступательного

перемещения вместе с полюсом (мгновенным центром вращения) и

вращения относительно мгновенной оси, проходящей через полюс.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

46

Рис. 6.1.

Движение жидкости значительно сложнее, поскольку частица кроме

указанных перемещений может деформироваться.

Изучим возможные формы движения жидкой частицы, рассматривая

для начала ради простоты плоское движение в плоскостиху. Будем

обозначать составляющие вектора скорости в

данной точке через wx, wy, wz. Для рассматривае-

мого плоского течения wz= 0. Пусть частица в

форме квадрата с «полюсом» в точке А

переместилась за некоторое время∆tв соседнее

положение, изображенное на рис. 6.1

параллелограммом. Точка А при этом заняла положение А'. Очевидно,

перемещение частицы складывается из следующих составляющих: а) пе-

ремещение полюса; б) вращение около полюса; в) деформация частицы.

Скорость поступательного движения полюса, как и в случае движения

твердого тела, определяется компонентами вектора скорости wx, wr.

Вращательное движение жидкой частицы существенно отличается от

вращения твердого тела. Действительно, вращение жидкой частицы нельзя

охарактеризовать угловой скоростью какого-либо одного отрезка,

выбранного в этой частице. Например, угловая скорость ребра АВ может

быть определена из разности скоростей изменения составляющих скорости в

направлении оси у:

휔 =(푤 + 푑푥) − 푤

푑푥=

푑푤푑푥

.

Угловая скорость ребра AD равна

휔 =(푤 + 푑푦) − 푤

푑푦=

푑푤푑푦

.

По предложению Гельмгольца, за угловую скорость жидкой частицы

принимается средняя алгебраическая величина из угловых скоростей сторон

прямоугольника:

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

47

휔 = − ; (6.1)

индекс z в выражении (6.1) показывает, что определяется составляющая

вектора угловой скорости относительно оси z, нормальной к плоскости ху.

Угловая скорость считается положительной, если вращение происходит

против часовой стрелки.

Деформация жидкой частицы может быть двоякого рода. Во-первых,

это деформация растяжения - сжатия, характеризующаяся удлинением

сторон исходной частицы. Очевидно, что такое удлинение определяется

изменением соответствующих компонент скорости по координатным

осям: , .

Во-вторых, возможна деформация скоса ребер жидкой частицы

(заострение или затупление) исходных углов. Такую деформацию можно

охарактеризовать поперечной изменчивостью скорости течения или средней

арифметической из угловых скоростей вращения ребер:

휀 = − .

Приведённые соображения позволяют сформулировать теорему

Гелъмгольца: скорость жидкой частицы складывается из скорости полюса,

скорости вращательного движения около оси, проходящей через полюс, и

скорости деформационного движения, состоящего, в свою очередь, из

линейной деформации растяжения-сжатия и угловой деформации

скашивания ребер частицы.

Теорема Гельмгольца справедлива и для более общего случая

пространственного движения. При этом появляются новые члены,

характеризующие движение: деформация растяжения-сжатия в направлении

оси z, т. е. , и угловые скорости и деформации скоса относительно осей у

и х. Приведем выражения для этих величин без вывода. Угловые скорости:

휔 = − , 휔 = − , 휔 = − , (6.2)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

48

Рис. 6.2.

деформация скоса:

휀 =12

푑푤푑푦

−푑푤푑푧

, 휀 =12

푑푤푑푧

−푑푤푑푥

, 휀 =12

푑푤푑푥

−푑푤푑푦

, (6.3)

Индексы x, y, zпри휀в последних выражениях не следует

понимать как символы проекции: они указывают лишь направление

перпендикуляра к площадке, в которой происходит перекашивание грани.

Вообще, в отличие от угловой скорости ω, которая, как и в механике

твердого тела, имеет векторный характер, деформация скоса ε является

скаляром.

Вихревое и безвихревое движение

Если при движении жидкости ее частицы вращаются и составляющие

угловой скорости ωx,ωy,ωz не равны нулю, движение называется вихревым.

Наличие вращательных движений в двухмерном потоке может быть

установлено таким простейшим экспериментом: в поток вводят поплавок со

стрелкой-индикатором, причем его размер мал по сравнению с радиусом

кривизны линий тока. Если при движении поплавка стрелка-

индикатор не остается параллельной самой себе, изменяет

свое направление с некоторой угловой скоростью ω, то

движение - вихревое и угловая скорость поплавка совпадает

с угловой скоростью жидкой частицы.

Необходимо отметить, что вихревым может быть течение и при

прямолинейных траекториях частиц. Например, если частицы движутся

параллельно оси x (рис. 6.2), причем скорости изменяются по закону

wx=ау + b, где а и b - постоянные, то угловая скорость равна

휔 =12

푑푤푑푥

−푑푤푑푦

= −12

푎 ≠ 0 ;

мы имеем вихревое течение, и поплавок, помещенный в поток, будет

вращаться по часовой стрелке. Течение вязкой жидкости в трубах

постоянного сечения также вихревое, причем угловая скорость вращения

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

49

частиц нарастает с приближением к стенке трубы. (Изучению

закономерностей вихревого движения посвящен подраздел 6.3).

Рассмотрим один частный случай движения жидкости, когда

вращение частиц отсутствует. В этом случае ωx=ωy=ωz=0. Такое движение

называется безвихревым.

Важность этого частного случая движения определяется тем

обстоятельством, что, как показывает опыт, при обтекании тела с плавными

обводами вращение частиц наблюдается только в тонкой пристенной области

и за кормой. Во всем остальном потоке движение осуществляется

практически без вращения частиц. Поэтому безвихревое движение имеет

особое значение для теории удобообтекаемых тел (таких, как современные

самолеты, ракеты, корабли, проточные части турбомашин). Особенно

большое значение имеет теория безвихревого движения для решения задачи

о распределении давлений на поверхности обтекаемого тела.

При плоском (двухмерном) течении равенство нулю угловой

скорости вращения приводит к выражению − .

Если обратиться к рис. 6.1, то угловая скорость ребра АВ при

этом будет 휔 = и положительна (ребро АВ вращается против часовой

стрелки). Угловая скорость ребра AD будет 휔 = , и отрицательна

(ребро AD вращается почасовой стрелке). Средняяскорость вращения휔 =

− , равная угловой скорости биссектрисыисходного прямого угла,

в случае безвихревого движения равна нулю; частица перемещается без

вращения, несмотря на наличие деформационного движения. В этом случае

поплавок, опущенный в жидкость, будет перемещаться вместе с потоком

таким образом, что стрелка-индикатор остается все время параллельной

самой себе.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

50

Рис. 6.3.

Безвихревое циркуляционное течение

Интересным и практически важным примером безвихревого

движения является круговое течение, в котором скорость обратно

пропорциональна расстоянию от оси вращения частиц (рис. 7.3):

푤 = (6.4)

Хотя линии тока этого течения криволинейны,поток является

безвихревым -частицы деформируются, но не вращаются.

Приведем доказательство безвихревого характера этого течения. Для

элементарной частицы, имеющей форму криволинейной трапеции (рис. 6.3),

относительная скорость точки В по отношению к точке А равна разности

между абсолютной скоростью точки В и скоростью переносного движения

вместе с точкой А, т. е.

푤 + 푑푤 − 푤푟 + 푑푟

푟= 푑푤 − 푤

푑푟푟

где wu - скорость окружного движения. Угловая скорость вращения

ребра АВ вокруг точки А равна − .

Угловая скорость вращения всей частицы

вокруг точки А равна полусумме угловых скоростей

ребер АВ и AD. При этом, если линии тока -

концентрические окружности, то wr = 0, ребро AD в

относительном вращении не участвует, и полусумма

угловых скоростей равна − .

Кроме этой угловой скорости, частица вращается

вокруг точки О с угловой скоростью .

Складываяпоследние выражения, мы получим формулу для полной угловой

скорости концентрического течения:

휔 = − . (6.5)

Если скорость течения меняется вдоль радиуса по закону (6.4), то

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

51

Рис. 6.4.

Рис. 6.5.

푑푤푑푟

= −푐표푛푠푡

푟=

푤푟

и, следовательно, ω = 0, т.е. течение - безвихревое.

Течение, в котором скорость подчиняется закону (6.4), называют

безвихревым циркуляционным потоком (иногда - менее точно - плоским

вихрем).

Рассмотрим безвихревое циркуляционное

течение с непрерывно убывающим радиусом. Скорость

течения и ее градиент вблизи оси вращения должны не

прерывно нарастать и в пределе стать бесконечно

большими (рис.6.4). В реальной жидкости это

невозможно из-за действия вязкости; опыт показывает,

что центральная область вихря приходит во вращение и

вращается как твердое тело с угловой скоростью ω. За

пределами этого ядра вихря (заштрихованный круг на

рис 6.4) скорость изменяется по закону (6.4). Примерами

подобных потоков являются круговые течения у отверстия стока воды в

ванне, атмосферные смерчи и т.д. Возрастание скорости с приближением к

оси потока приводит к понижению давления, поэтому свободная поверхность

жидкости принимает воронкообразную форму. В свою очередь, местное

понижение давления в жидкости приводит через некоторое время к

формированию такого поля скоростей, которое приближается к

безвихревому циркуляционному течению.

Важным примером использования в технике безвихревого

циркуляционного течения является движение газов в спиральной камере с

тангенциальным подводом газа (рис. 6.5). Газовый поток вращается в камере;

выход газов осуществляется через окна, прорезанные в торцевых стенках

камеры вблизи от ее оси. Хотя линии тока являются спиралями, но радиусы

их кривизны приближенно можно считать равными радиусу

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

52

Рис. 6.6.

соответствующей окружности r, проведенному из оси камеры.

Распределение скоростей оказывается близким к заданному формулой (6.4).

Скорость сильно возрастает с приближением к оси камеры.

Возрастание скорости с приближением к оси спиральной камеры

позволяет использовать ее в качестве циклонной установки для сепарации

твердых частиц из газового потока. Центробежные силы, действующие на

частицы при движении с большой скоростью по криволинейным

траекториям, отбрасывают их к стенкам камеры. Другое применение

спиральной камеры - так называемые рециркуляционные печи, используемые

при термической обработке крупных поковок или отливок. Обрабатываемое

изделие (садка) размещается у оси камеры. За счет большой скорости газов,

обтекающих поверхность садки, происходит интенсивный теплообмен

между потоком и поверхностью, что позволяет сократить длительность

термообработки.

6.2. ФУНКЦИЯ ТОКА И ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ

Уравнение линии тока

Вектор скорости частицы wнаправлен по

касательной к линии тока S; для плоского

течения это показано на рис. 6.6. Пусть wx, wy -

проекции вектора скороди на координатные оси.

Из рис. 6.6 следует, что

푐표푠훼 =푤푤

=푑푥푑푠

, 푐표푠훽 =푤푤

=푑푦푑푠

,

где ds - элемент дуги линии тока.

Составим производные пропорции:

푑푤

=푑푠푤

,푑푤

=푑푠푤

, откуда

푑푤

=푑푤

(6.6)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

53

Мы получили уравнение линии тока для плоского течения. В случае

трехмерного (пространственного) потока уравнения линии тока выводятся

аналогичнои имеют вид

푑푤

=푑푤

=푑푤

(6.6 а)

Функция тока для двухмерного течения

Дифференциальное уравнение линии тока плоского течения (6.6)

может быть представлено в виде

푤 푑푥 − 푤 푑푦 = 0 (6.6 б)

Введем такую «функцию тока» ψ(х,у), полный дифференциал которой

равен левой части выражения (6.6 б):

푑휓 = 푤 푑푥 − 푤 푑푦 (6.7)

Поскольку на линии тока согласно формуле (6.6б) dψ = 0,

очевидно, что функция тока сохраняет вдоль линии тока постоянное

значение.

Полный дифференциал функции двух переменных ψ имеет вид

푑휓 = 푑푥 + 푑푦.

Сравнивая это выражение с формулой (6.7), получаем, что

производные функции тока определяются зависимостями

= 푤 , = −푤 (6.8)

Сама функция тока может быть определена интегрированием

выражения (6.8).

Пусть, например, составляющие скорости течения заданы

уравнениями wx =кx, wy = -кy.

Определим вид линий тока. Подставляя значения wx, wy в

дифференциальное уравнение линии тока, имеем kydx + kxdy = 0, или после

разделения переменных и сокращения

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

54

Рис. 6.7.

푑푥푥

+푑푦푦

= 0

Интегрируя последнее равенство, имеем lnx + lny = const, или ху = С.

Последнее уравнение представляет семейство гипербол с асимптотами -

осями координат (рис. 6.7). Подобную картину имеют линии тока при

натекании равномерного потока на поперечную плоскую преграду.

Контур поверхности тела, обтекаемого

потоком идеальной жидкости, сам является

линией тока: в некоторой «критической» точке

набегающий поток раздваивается и огибает тело.

Следовательно, на обтекаемой поверхности

функция тока постоянна. Но можно, наоборот,

рассматривать любую линию тока как контур сечения твердого тела.

Действительно, если заменить область, ограниченную линией тока, твердым

телом, то остальные линии тока не изменятся (так как жидкость мы считаем

идеальной, трение отсутствует). Они дают картину обтекания такого тела. В

этом состоит принцип отвердения линий тока, широко применяемый в

гидродинамике идеальной жидкости. Если, например, считать отвердевшими

линии тока, проходящие на рис.6.7 по координатным осям х, у, то получится

картина течения внутри прямого угла.

Потенциал скорости

Функцией скоростного потенциала или - сокращенно - потенциалом

скорости φ(x,y,z) называется такая функция, частные производные которой

равны составляющим вектора скорости по соответствующим координатным

осям:

휕휑휕푥

= 푤 ,휕휑휕푦

= 푤 ,휕휑휕푧

= 푤 . (6.9)

Полный дифференциал функции φ равен

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

55

Рис. 6.8.

푑휑 = 휕휑휕푥

푑푥 +휕휑휕푦

푑푦 +휕휑휕푧

푑푧

или

푑휑 = 푤 푑푥 + 푤 푑푦 + 푤 푑푧 (6.10)

Сама функция скоростного потенциала определяется

интегрированием выражения (6.10).

Введение потенциала скорости позволяет заменить векторное поле

скорости течения, для изучения которого нужно знать три компоненты по

координатным осям, распределением в пространстве одной скалярной

функцииφ что значительно упрощает исследование. В механике твердого

тела вводитсяаналогичное понятие «потенциала силы»: это скалярная

функция, производные от которой равны составляющим силы по

координатным осям. Такую же природу имеет в электротехнике понятие

потенциала электрического поля: вместо задания в пространстве векторной

величины напряженности поля вводится скалярная функция потенциала V,

производные от которой по координатным осям равны соответствующим

компонентам вектора напряженности.

Придавая функции φ определенные

значения, получаем уравнения поверхностей

равного потенциала, или эквипотенциальных

поверхностей (в случае двухмерного течения -

линий равного потенциала, или

эквипотенциалей).

Определим, например, какой вид имеют линии равного потенциала

для рассмотренного выше течения (wx = kx, wy = -ky).

Дифференциальное уравнение функции потенциала имеет в этом

случае вид

dφ = wxdx + wydy = kxdx - kydy.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

56

На линиях равного потенциала dφ = k(xdx - ydy) = 0. Интегрируя,

получаем

φ=x2-y2=const.

Это уравнение семейства гипербол с асимптотами, наклонёнными под

углом 45° к координатным осям (штриховые линии на рис. 6.7).

Рассмотрим связь потенциала скорости и функции тока. В случае

плоского (двухмерного) течения wz = 0; дифференциал функции тока

выражается формулой (6.7), дифференциал функции скоростного потенциала

из равенства (6.10) формулой

dφ = wxdx + wydy.

Пусть линия тока φ = const такого течения представлена на рис. 7.8

сплошной линией, эквипотенциаль φ = const - штриховой линией.

Проведем к этим линиям касательные в точке их пересечения А. Угол

наклона прямой АВ к оси абсцисс определится согласно уравнению (6.6 б)

выражением

푡g훼 =푑푦푑푥

=푤푤

;

угол наклона прямой AD выражением

푡g훼 =푑푥푑푦

=푤푤

.

Очевидно, что tgα1tgα2 = -1 и угол β между касательными равен 90°.

Таким образом, функция тока ψ и потенциал скорости φ взаимно

ортогональны; линии тока и эквипотенциали пересекаются всегда под

прямым углом. Это позволяет по известнымэквипотенциалям строить линии

тока и наоборот. Семейства линий ψ(х,у) = constиφ(х,у) = const, нанесенные

на один чертеж, называются гидродинамической сеткой течения. Пример

такой сетки был приведен на рис. 6.7.

Сравнивая выражения для составляющих скорости плоского течения

wx и wy через функцию тока ψ (6.8) и функцию скоростного потенциала φ

(8.9), видим, что функции ψ и φ связаны условиями:

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

57

휕휓휕푥

=휕휑휕푦

,휕휓휕푦

= −휕휑휕푥

(6.11)

В математике эти условия называются условиями Коши - Римана. При

их соблюдении оказывается возможным использовать для исследования

функций ψ и φ математический аппарат теории функций комплексной

переменной, который широко применяется в теории потенциального

обтекания геометрически правильных тел.

Указывалось, что угловая скорость вращения жидкой частицы в

плоском потоке определяется формулой (6.7). Если течение потенциально, т.

е. существует некоторая функция скоростного потенциала φ, производные

которой равны соответствующим компонентам вектора скорости, то

согласно выражению (6.9) имеем

휔 =12

휕 휑휕푥휕푦

−휕 휑

휕푦휕푥= 0.

Равенство нулю угловой скорости вращения свидетельствует о том,

что потенциальное течение - безвихревое, т. е. вращение частиц в нем

отсутствует. Как будет показано в дальнейшем, у твердых поверхностей,

ограничивающих поток, вследствие вязкости всегда формируются зоны

вращательных движений, поэтому вблизи стенок теория потенциального

обтекания неприменима. Однако для изучения внешнего потока теория

потенциала используется с успехом.

Применим к потенциальному течению несжимаемой жидкости

уравнение неразрывности (2.7):

휕푤휕푥

+휕푤휕푦

+휕푤휕푧

= 0.

Подставляя в него выражения для компонентов скорости через

функцию скоростного потенциала (6.9), получаем

휕 휑휕푥

+휕 휑휕푦

+휕 휑휕푧

= 0 (6.12)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

58

Это уравнение известно в математической физике под названием

уравнения Лапласа. Таким образом, для нахождения функции φ, полностью

определяющей кинематику потенциального потока, необходимо решить

уравнение Лапласа.

Дифференциальное уравнение в частных производных (6.12) имеет

бесчисленное множество решений, поэтому должны быть заданы

дополнительные (граничные) условия для данной конкретной задачи. Как

уже говорилось в разделе 2, к таким условиям относятся задание скорости в

удалении от обтекаемого тела w∞ и условие равенства нулю на поверхности

тела нормальной составляющей скорости. При этом предполагается, что

жидкость обтекает тело без отрывов. У поверхности тела скорость

направлена по касательной (имеет место «скольжение» жидкости).

В силу того, что сумма любого числа частных решений уравнения

Лапласа является также его решением, оказывается возможным суммировать

потенциалы скорости простейших течений для получения картины сложного

течения. В этом состоит идея метода наложения потенциальных потоков

Моделирование потенциальных течений

Исследование обтекания реальных тел аналитическими методами

представляет в общем случае большую математическую сложность.

Отыскание функции скоростного потенциала или функции тока, например,

для турбинных лопаток наперед заданной формы оказывается весьма

трудным. Эта задача существенно упрощается с использованием метода

аналогий. Наибольшее развитие к настоящему времени получило

исследование потенциальных потоков методом электрогидродинамической

аналогии (ЭГДА). Он базируется на следующих положениях.

Согласно выводам теоретической электротехники, распределение

электрического потенциала в проводнике, как и распределение потенциала в

безвихревом потоке идеальной жидкости, подчиняется уравнению Лапласа.

Действительно, закон Ома, связывающий силу тока с распределением

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

59

потенциала электрического поля, записывается в дифференциальной форме

следующим образом:

푖 = 퐶 ; 푖 = 퐶 ; 푖 = 퐶 , (6.13)

где i - плотность тока, т.е. количество электричества, протекающее в

одну секунду через единицу площади проводника; V - электрический

потенциал; С - коэффициент электропроводности (величина, обратная

удельному сопротивлению).

По закону Кирхгофа, уравнение сплошности электрического тока

имеет вид + + = 0,т. е. оно аналогично уравнению неразрывности

(2.7). Подставим в него значение i из системы (6.13). При постоянной

лектропроводности среды С уравнение сплошности принимает вид

+ + = 0 (6.12a)

т.е. мы опять получили уравнение Лапласа.

Таким образом, электрический потенциал V аналогичен потенциалу

скорости φ, удельная плотность электрического тока аналогична скорости

течения w. Поэтому, если область распространения электрического тока

геометрически подобна области течения жидкости, а граничные условия для

V и φ аналогичны, интегралы уравнения Лапласа (6.12) и (6.12 а) будут

отличаться лишь произвольными постоянными. Эквипотенциальные

поверхности в электрическом поле V(x,y,z)=const в этом случае

соответствуют эквипотенциальным поверхностям в потоке жидкости φ(x,y,z)

= const, а силовые линии в электрическом поле соответствуют линиям тока в

жидкости. Практическое использование этой аналогии состоит в том, что

уравнение Лапласа решается на установке ЭГДА, а результаты решения

переносятся на поток жидкости.

Для решения задач плоского потенциального обтекания сейчас

преимущественно используются модели, в которых в качестве

электропроводного материала применяется бумага с графитовым покрытием.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

60

Рис. 6.9.

Для измерения потенциалов в различных

точках модели измерительная цепь собирается по

мостовой схеме (рис. 7.9). Постоянный или

переменный ток от источника тока подводится к

шинам Ш1 и Ш2. Параллельно шинам подключен

потенциометр R, на скользящем контакте К

которого можно задавать любые промежуточные

значения электрического потенциала между потенциалами шин Ш1 и Ш2.

Указателем равновесия моста является гальванометр Г, включенный в цепь

щупа Щ. Прикасаясь щупом Щ к какой-либо точке графитированной бумаги,

мы подаем на щуп электрический потенциал данной точки.

Граничные условия в моделируемом потоке жидкости таковы: 1-

Вдали от обтекаемого тела на линиях, перпендикулярных вектору скорости

(им соответствуют линии установки шин на модели, рис. 7.9), потенциал

скорости φсохраняет постоянное значение: φ= const.

2. На поверхности обтекаемого тела (ей соответствует вырезанный

участок на электропроводной бумаге) = 0.

Задавая на потенциометре различные значения электрического

потенциала V, с помощью щупа находят на модели точки, принадлежащие

линиям равного потенциала. В этих точках ток в цепи щупа равен нулю,

стрелка гальванометра не отклоняется. В этом состоит «аналогия А»,

позволяющая построить эквипотенциали плоского потока.

В силу взаимной ортогональности функций скоростного потенциала

<р и тока у/, на установке ЭГДА можно также смоделировать течение таким

образом, чтобы линии равного потенциала электрического поля

соответствовали линиям тока в жидкости, силовые линии - эквипотенциалям

в потоке жидкости. В этом случае на участок модели, соответствующий

обтекаемому телу, наклеивается электропроводным клеем модель сечения

тела, вырезанная из материала, электропроводность которого во много раз

превосходит электропроводность бумаги (например, из фольги). Шины

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

61

размещаются по сторонам модели вдоль потока. Построив с помощью щупа

эквипотенциали электрического поля, мы получим картину линий тока в

потоке жидкости. Этот способ получил название «аналогии В».

Построение гидродинамической сетки течения методом ЭГДА

осуществляется быстро, не требует высокой квалификации исполнителей

или сложного оборудования и, в то же время, обеспечивает высокую

точность решения. Этим объясняется его широкое применение.

Глава 7. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ

7.1 Интенсивность вихря

Как было показано, угловая скорость вращения жидкого элемента

выражается через производные скорости течения формулами (6.2). Угловой

скорости при этом приписывается векторный смысл: по определению, это -

вектор, нормальный к плоскости вращения частицы и ориентированный

таким образом, что из его конца вращение кажется происходящим

противчасовой стрелки. Величина этого вектора равна геометрической сумме

его компонентов ωx, ωy, ωz:

휔 = 휔 휔 휔 . (7.1)

Как и всякий вектор, вектор угловой скорости имеет некоторое

распределение в пространстве - «вихревое поле». Отметим, что в некоторых

курсах гидромеханики удвоенную величину угловой скорости вращения

называют «вихрем скорости» или «ротором скорости»; в частности, в случае

плоского течения

푟표푡 푤 = 2푤 =휕푤휕푥

−휕푤휕푦

.

Точно так же, как была определена линия тока, можно ввести

понятие вихревой линии - это такая линия, в каждой точке которой вектор

угловой скорости направлен по касательной к ней. Очевидно, вихревая линия

представляет собой мгновенную ось вращения частиц жидкости,

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

62

Рис. 7.1.

располагающихся на ней. Дифференциальные уравнения вихревых линий

подобны уравнениям линии тока (6.6 а):

= = (7.2)

Вихревые линии, проведенные через все

точки замкнутого элементарного контура,

взятого в потоке (рис. 7.1), образуют вихревую

трубку (аналог элементарной струйки,

поверхность которой составлена из линий тока). Обозначим площадь

нормального сечения вихревой трубки через dF и будем считать угловую

скорость вращения ω постоянной по ее сечению.

Интенсивностью dJ элементарной вихревой трубки называется

удвоенное произведение угловой скорости вращения на площадь сечения:

푑퐽 = 2휔푑퐹 (7.3)

Интенсивность вихревой трубки конечных размеров, для которой

нельзя пренебрегать изменением угловой скорости по сечению, равна

퐽 = 푑퐽 = 2 휔푑퐹 = 2휔 퐹,

где ωcp- средняя величина угловой скорости по сечению F вихревой

трубки.

7.2 Циркуляция скорости. Теорема Стокса

Выделим в движущейся жидкости произвольный контур l, в

некоторой точке которого вектор скорости равен w, а его проекция на

касательную к контуру равна wl; (рис. 7.2). Произведение этой проекции на

длину элемента контура называется элементарной циркуляцией dГ

푑Г = 푤 푑푙 = 푤푐표푠(푤, 푙) ∙ 푑푙.

Циркуляцией Л по всему контуру l называется интеграл

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

63

Рис. 7.2.

Г = 푑Г = 푤 푑푙 (7.4)

Знак циркуляции, вычисленной по замкнутому контуру, зависит

от управления его обхода. Положительным направлением обхода контура

считают такое, когда ограниченная им область остается слева. Размерность

циркуляции – м2 /с.

Понятие циркуляции в гидромеханике аналогично понятию

работы в механике, только вместо вектора скорости в работу входит вектор

силы. Действительно, работа силы f на элементарном путиdl равна

произведению касательной составляющей силы на путь: fldl. Работа на

некотором конечном пути получается интегрированием, как и для формулы

(7.4).

Циркуляция скорости по контуру

непосредственно связана с интенсивностью

вихревой трубки, натянутой на этот контур. Пусть,

например, контур в плоском потоке представляет

собой прямоугольник с элементарными сторонами

dx, dy площадью dF = dxdy (см. рис. 7.2). Значения

составляющих скорости вдоль сторон прямоугольника показаны на рисунке.

Вычислим циркуляцию по этому элементарному контуру. Она складывается

из четырех частей:

푑Г = 푤 푑푥 + 푤 +휕푤휕푥

푑푥 푑푦 − 푤 +휕푤휕푦

푑푦 푑푥 − 푤 푑푦

= 푑푥푑푦휕푤휕푥

−휕푤휕푦

= 2휔 푑퐹 = 푑퐽

Таким образом, циркуляция оказалась равна интенсивности вихря для

вихревой трубки, натянутой на элементарный контур. Для контура,

охватывающего вихревую трубку конечного сечения, циркуляция скорости

определится аналогично:

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

64

Рис. 7.3.

Г = 휔푑퐹 = 퐽 (7.5)

Нами получено доказательство теоремы Стокса: циркуляция по

произвольному контуру равна сумме интенсивностей вихревых трубок,

пронизывающих поверхность F, натянутую на этот контур. Таким образом, в

безвихревом (потенциальном) течении циркуляция скорости по любому

контуру равна нулю. Только при появлении вращательного движения в

жидкости циркуляция становится отличной от нуля.

7.3 Теоремы о вихрях

Для вихревого движения идеальной жидкости справедливы

следующие теоремы.

Кинематическая теорема Гельмгольца: интенсивность вихря не

меняется по длине вихревой трубки.

Выберем на вихревой трубке конечных размеров

произвольные сечения 1 и 2 (рис. 7.3). Проведем

замкнутый контур ABCDEF по поверхности вихревой

трубки. Очевидно, что циркуляция по этому контуру

равна нулю, так как вихревыми линиями не пронизывается: ГABCDEFA= 0; но

ГABCDEFA=ГABC+ГCD+ГDEF+ГFA=0 (7.6)

Сближая кривые AFкCD, получим в пределеГCD+ГFA=0, так как

направления обхода по этим линиям противоположны. Следовательно, из

равенства (7.6):ГABC= -ГDEF. Применяя теорему Стокса и приняв во внимание,

что направления обхода контуров ABC и DEF противоположны, получаем

ГABCDEFA=J1-J2=0 иJ1=J2=J=const. (7.7)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

65

Рис. 7.4.

Из этой теоремы следует, что вихревая трубка

не может закончиться в жидкости. Действительно,

если F→0, то для выполнения условия J = 2ωF = const

необходимо, чтобы ω→∞; однако бесконечное

увеличение угловой скорости вращения частиц невозможно вследствие

действия вязкости. Поэтому вихревая трубка должна быть либо замкнута

сама на себя, образуя вихревое кольцо (рис.7.4,а), либо упираться концами в

свободную поверхность жидкости или твердую стенку (рис. 7.4,б,в).

Приведем теперь без вывода основную теорему о вихрях в идеальной

жидкости.

Теорема Томсона: циркуляция по замкнутому жидкому контуру в

идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в поле действия силы

тяжести, не меняется со временем.

Из теоремы Томсона следует, что в идеальной жидкости вихри не

могут возникать и не могут уничтожаться; если в некоторый начальный

момент времени движение было безвихревым, то оно останется безвихревым

и в Дальнейшем. В реальной жидкости вихри размываются с течением

времени вследствие вязкости. Однако во многих практическиважных

случаях, например при определении подъемной силы крыла, влиянием

вязкости можно пренебречь.

7.4 Поле скоростей, вызываемое вихревыми трубками

В ряде применений гидромеханики приходится сталкиваться с

задачей определения скоростей движения жидкости, вызванного заданной

системой вихрей. До сих пор мы решали обратную задачу: по известному

полю скоростей находили вектор угловой скорости частиц потока [формулы

(6.2) и (6.4)].

Каждый из элементарных вихрей, составляющих вихревую систему,

около себя поле скоростей, распространяющееся на весь поток, в том числе и

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

66

Рис. 7.5.

Рис. 7.6.

на другие элементарные вихри системы. Выясним, какую скорость вызывает

в произвольной точке потока одиночная вихревая трубка.

Пусть dl - элемент вихревой трубки; Г - циркуляция

скорости по контуру, охватывающему эту трубку; α - угол

между касательной к элементу и радиусом- вектором r,

проведенным в точку М, в которой определяется скорость

(рис. 7.5). Скорость течения, вызываемая в этой точке

элементом вихревой трубки, определяется формулой Био - Савара, которую

мы приводим без вывода:

푑푤 = Г 푠푖푛훼 (7.8)

В теоретической электротехнике закон Био -

Савара определяет действие элемента проводника, по

которому течет ток, на единичный магнитный полюс,

помещенный в точку М. При этом сила тока в проводнике

является аналогом циркуляции Г, а сила воздействия на

магнитный полюс - аналогом индуцируемой скорости. Индуцируемая

скорость dw направлена перпендикулярно плоскости, содержащей отрезки

dlиr, в сторону циркуляции.

Применим формулу Био - Савара для вычисления скорости,

индуцируемой в некоторой точке М (рис. 7.6) бесконечной вихревой трубкой

с прямолинейной осью, отстоящей от точки М на расстоянии h. Очевидно,

что 푟 = . Выделим элементарный отрезок АВ длиной dl.

Из треугольника ABC: 푑푙 = .

Подставляя это значение dl в формулу (7.8), имеем

푑푤 = Г 푠푖푛훼 = Г 푑푎 = Г 푠푖푛훼푑훼.

Скорость, вызываемая в точке М всей вихревой трубкой,

определится интегрированием полученного выражения в пределах от α = 0 до

α = π:

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

67

푤 = 푑푤 =Г

4휋ℎ푠푖푛훼푑훼 =

Г2휋ℎ

(7.9)

Было показано, что в двухмерном безвихревом циркуляционном

течении распределение скоростей определяется формулой (6.4): w = .

Сравнивая это выражение с равенством (7.9), убеждаемся, что одиночная

вихревая трубка порождает в окружающей жидкости поле скоростей

характерное для безвихревого циркуляционного течения. При этом константа

вравенстве (6.4) может быть представлена через циркуляцию: const = Г . Это

обстоятельство позволяет определять величину циркуляции Г в плоском

циркуляционном течении (или около одиночной вихревой трубки).

Действительно, если задана скорость w, на одной из концентрических линий

тока, расположенной на расстоянии r от оси вихревой трубки, то циркуляция

Г = 푤 푑푙 = 푤 푑푙 = 2 휋푟푤

Глава 8. ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ

8.1 Распределение давления по поверхности обтекаемого тела

Исследуем обтекание тела произвольной формы равномерным

потоком идеальной несжимаемой жидкости. Пусть вдали от тела, где поток

можно считать невозмущенным, скорость течения равна w∞, давление р∞.

Будем рассматривать плоский горизонтальный поток, что избавит нас от

необходимости учитывать распределение скоростей и давлений по

координате z.

Применим уравнение Бернулли к струйке, проходящей по

поверхности обтекаемого тела (рис. 7.16). Выберем сечение этой струйки «на

бесконечности», где не сказывается искажающее влияние на поток

обтекаемого тела, и в некоторой точке на поверхности тела, где скорость

равна w, давление р:

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

68

Рис. 8.1.

휌푤∞

2+ 푝∞ =

휌푤2

+ 푝.

Из уравнения Бернулли непосредственно следует

푝 − 푝∞ = ∞ 1 −∞

(8.1)

Величина ∞ называется динамическим давлением потока. Мы

встречались с ним в разделе 2, рассматривая принцип действия трубки Пито.

Безразмерное отношение

푝 =푝 − 푝∞

∞= 1 −

푤푤∞

носит название коэффициента давления.

На поверхности обтекаемого тела

величина коэффициента давления определяется

скоростью течения в данной точке, т.е. тем

возмущающим действием, которое оказывает на

поток помещенное в него твердое тело

(рис.8.1.). В передней «критической» точке А,

где раздваивается набегающий поток, скорость равна нулю и вся

кинетическая энергия потока идет на повышение давления. Давление здесь

превышает р∞ на величину динамического давления ∞.

В области утолщения обтекаемого тела (у «миделя»), где скорость

вследствие поджатая потока превышает w∞, коэффициент давления

отрицателен и р<р∞. В случае особенно резкого падения давления в точкеВ

могут даже возникнуть разрывы потока. В несжимаемой жидкости при

падении р до давления парообразования может начаться процесс кавитации.

Возрастание давления в кормовой области, связанное с уменьшением

скорости течения, полностью компенсирует избыток давления в носовой

части. Поэтому при обтекании тела идеальной жидкостью

равнодействующая сил давления в направлении потока равна нулю (парадокс

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

69

Рис. 8.2.

Даламбера). В вязкой жидкости имеет место сила сопротивления,

обусловленная касательными напряжениями по поверхности обтекаемого

тела и недостаточным возрастанием давления в кормовой области вследствие

образования там вихревой зоны.

8.2 Теорема Жуковского

Мы установили, что при обтекании тела идеальной жидкостью сила

сопротивления, направленная по потоку, равна нулю. Однако в этом случае

возможно существование сил, перпендикулярных направлению течения.

Предположим, что в

плоскопараллельный поток со скоростью w∞

помещено тело произвольных очертаний,

например в форме одиночного крыла (рис. 8.2.).

Вблизи тела течение окажется заметно

возмущенным; появляются добавки к

скоростиw∞, которые мы обозначим через,

w x,w у. Скорость результирующего течения

оказывается равной

푤 = (푤∞ + 푤 ) + 푤 .

По мере удаления от тела величина добавочных составляющих

w x,w у уменьшается.

Определим с помощью уравнения количества движения, чему

равна сила Ry. Выберем контрольную поверхность ABCD, расположенную

достаточно далеко от тела, чтобы добавки w x,w у были на ней малы по

сравнению с w∞. При таком выборе можно пренебречь количество движения

жидкости, передаваемым через поверхности ВС и AD, вследствие малостиw у

. Подсчитав разность между количеством движения в направлении оси у,

поступающим через АВ и уходящим через CD, мы сможем определить сумму

всех сил, действующих в направлении оси у на поверхность ABCD. Эта

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

70

сумма склады ваяется из сил давления на AD и ВС, которые мы обозначим

через Р, и из силы Ry,действующей на тело.

Поступающий через АВ в слое единичной толщины элемент жидкости

шириной dy несет в направлении оси у количество движения, равное 휌(푤∞ +

푤 )푤 푑푦. Следовательно, все количество движения, входящее через АВ,

равно

휌 (푤∞ + 푤 )푤 푑푦

(мы считаем ρ =const), а разность количество движения на АВ и CD

составляет

휌 (푤∞ + 푤 )푤 푑푦 + 휌 (푤∞ + 푤 )푤 푑푦С

Для подсчета силы, действующей в направлении оси у,

푃 = 푝푑푥 − 푝푑푥

воспользуемся зависимостью между давлениями и скоростями (уравнением

Бернули):

휌∞ +휌푤∞

2= 푝 +

휌푤2

.

Квадрат скорости w можно представить в виде

푤 ≈ 푤∞ + 푤 + 푤 ≈ 푤∞ + 2푤∞푤 .

Так какw'xи w'yмалы по сравнению сw∞ то величинами w'x2и w'y2

можно пренебречь по сравнению с w∞2. Следовательно, имеем

푝 − 푝∞ ≈휌2

(푤∞ − 푤∞ − 2푤∞푤 ) = −휌푤∞푤 .

Будем считать давление вдали от тела равным нулю, так как оно все

равно дает на замкнутой поверхности результирующую, равную нулю. Сила

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

71

Ry, равная разности приращения количества движения и силы давления Р,

определяется выражением

+휌 푤∞푤 푑푥 − 휌 푤∞푤 푑푥.

При подсчете членами вида ρ∫wxw ydy можно снова пренебречь, так

как w xw yмало по сравнению w∞w x. Тогда имеем

푅 = 휌푤∞ − 푤 푑푦 − 푤 푑푦 − 푤 푑푦 − 푤 푑푦

Сумма интегралов, стоящих в круглых скобках, представляет собой

не что иное, как циркуляцию добавочной скорости по контуру ABCD.

Таким образом, при циркуляционном обтекании тела слоем жидкости

единичной толщины сила, действующая на тело, будет равна

푅 = 휌푤∞Г[Н/м]. (8.2)

Нами доказана теорема Н.Е. Жуковского (1902 г.): поперечная сила,

действующая на тело, пропорциональна плотности, скорости набегающего

потока и циркуляции по контуру, охватывающему тело. Формула (8.2)

выведена для слоя единичной толщины и определяет силу, действующую на

элемент обтекаемого тела, поперечный размер которого равен единице

длины. В случае обтекания тела заданной длины величина этой силы (в

ньютонах) определяется выражением

푅 = 휌푤∞Г푙 , (8.3)

где l - размер тела в направлении, перпендикулярном плоскости

контура (в случае обтекания крыла это длина крыла).

Циркуляция скорости Г может быть отличной от нуля только в случае

вихревого движения. Поэтому подъемная сила Ry, перпендикулярная

направлению течения, возникает лишь в тех случаях, когда на набегающий

поток накладывается вихрь.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

72

Рис. 8.3.

8.3 Постулат Чаплыгина - Жуковского

Теорема Н.Е. Жуковского имеет основополагающее значение для

теории крыла. Отметим, что крылом в гидромеханике называют не только

несущую плоскость самолета или судна на подводных крыльях, но и лопасть

пропеллера или судового винта, лопатку турбины, компрессора или насоса и

вообще тело с плавными обводами и заостренной задней кромкой,

обтекаемое продольно или под небольшими «углами атаки». Чтобы

нагляднее показать природу возникновения поперечной силы, действующей

на крыло, полезно использовать аналогию

между обтеканием крыла и цилиндра.

На рис. 8.3. схематически показана

картина линий тока при обтекай кругового

цилиндра идеальной жидкостью без

циркуляции (а), чисто циркуляционное

течение вокруг него (б) и комбинация этих

течений (в). Эта картина может быть получена

методами гидродинамики идеальной жидкости, в результате наложения

потенциальных потоков, отвечающих

равномерному поступательному течению,

обтеканию цилиндра и безвихревому циркуляционному течению. В третьем

случае появляется поперечная, или подъемная, сила. Действительно, над

цилиндром линии тока сгущаются, в этой области скорость возрастает, а

давление в соответствии с уравнением Бернулли понижается. Под

цилиндром имеет место обратная картина. Равнодействующая сил давления

и представляет собой подъемную силу.

Появление поперечной силы при обтекании вращающегося тела носит

название эффекта Магнуса по фамилии ученого, впервые объяснившего это

явление (1852 г.). До изобретения нарезных артиллерийских орудий шаровые

снаряды после вылета из ствола часто отклонялись в сторону от расчетной

траектории. Магнус показал, что эта сила появляется из-за вращения ядра

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

73

Рис. 8.4.

вокруг вертикальной оси, происходящего вследствие случайных причин.

Такую же природу имеет поперечная сила, действующая на «резаный»

футбольный или теннисный мяч; эта сила всегда направлена к той стороне

тела, где направления вращения и обтекающего потока совпадают.

При обтекании крыла с заостренной задней кромкой форма его

сечения такова, что необходимый для появления циркуляции вихрь

возникает здесь самопроизвольно. Как показывает опыт, в начале процесса

обтекания картина линий тока соответствует рис. 8.3., а. Подъемная сила

пока еще отсутствует. Струйки сходят с поверхности крыла на его спинке, у

задней острой кромки образуется область больших скоростей (теоретически -

бесконечных) и больших градиентов скорости.

Если около крыла появится циркуляционное течение, показанное на

рис. 8.3,б, то в результате наложения обоих течений при соответствующем

выборе личины циркуляции получается течение, показанное на рис. 8.3, в,

или безотрывное обтекание крыла.

Возникновение циркуляционного течения около крыла можно

пояснить следующими соображениями. У острой задней кромки, в

соответствии с рис.8.3, а, в начальной стадии обтекания скорость течения

резко возрастает. В реальной жидкости такое возрастание скоростей

лимитируется вязкостью. У кромки

формируется поверхность разрыва скоростей.

Эта поверхность свертывается в вихрь,

увлекаемый течением (рис. 8.4) во внешний

поток, где силы трения не оказывают

существенного влияния. По теореме Томсона

суммарная циркуляция не должна изменяться по сравнению с начальным

моментом, т. е. должна оставаться равной нулю. Это равенство, в частности,

должно иметь место и для области, ограниченной линией А. Поэтому при

отходе вихря определенной интенсивности около крыла должен сохраниться

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

74

вихрь, равный по интенсивности, но противоположный по направлению

вращения. В итоге картина линий тока принимает вид, изображенный на рис.

8.3,в.

В этом состоит суть постулата, сформулированного С.А. Чаплыгиным

и Н.Е. Жуковским: при безотрывном обтекании крыла около него

формируется такая циркуляция Г, которая обеспечивает сход струек с задней

кромки вдоль средней линии крыла.

Таким образом, с чисто гидродинамической точки зрения крыло

можно рассматривать как несущую вихревую линию. Так как согласно

выводам о скорости, обусловленные вихревой линией, убывают обратно

пропорционально расстоянию от оси вихря, то и возмущение набегающего

потока, вызванное наличием крыла, также убывает пропорционально ,

т.е. 푤 ≈ Г . На достаточном удалении от крыла картина течения

оказывается такой же, как если бы крыло заменить единичным вихрем. При

этом считают, что ядро вихря, т. е. его внутренняя область, где жидкость

должна вращаться как твердое тело, размещается внутри крыла.

8.4 Моделирование циркуляционного обтекания

Как показано выше, картину линий тока, наблюдаемую приобтеканий

крылового профиля, можно получить в результате наложения на

плоскопоступательный поток циркуляции, обеспечивающей сход струек с

задней острой кромки крыла. На электрической модели потока

эквипотенциали чисто циркуляционного течения около цилиндра могут быть

получены, если разрезать область движения (см. рис. 8.5.) по лучу, укрепить

по линии разреза шины и приложить к ним разность потенциалов. В

обращенной задаче, т.е. для построения линий тока по аналогииВ, следует

установить шины по контуру круга, заменяющего ядро вихря, и по

окружности достаточно большого радиуса, после чего приложить к ним

разность потенциалов.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

75

Рис. 8.5.

Для того чтобы можно было на одной модели построить полностью

гидродинамическую сетку течения, т.е. семейства кривых ψ = const и φ =

const, следует начинать решение задачи с построения линий тока. Для этого

вырезают исследуемый профиль из электропроводного материала (например,

медной фольги) и приклеивают его электропроводным клеем на модель

области движения (рис. 8.5,а). Размеры

моделируемой области выбирают так, чтобы

на ее границах искажающее влияние профиля

на поток было пренебрежимо малым.

Опыт показывает, что на расстоянии

от профиля порядка трех-четырех его

продольных размеров поток можно считать

практически невозмущенным. Если не

подавать на модель крылового профиля

никакого напряжения, то полученная модель

будет отвечать бесциркуляционному обтеканию крыла. Поскольку модель

выполнена из проводника, на ней соблюдается условие ψ = const и она

является линией тока. Картина линий тока окажется такой, как на рис. 8.5, а.

Если с помощью независимого

источника тока подать на профиль некоторое напряжение, то тем самым

будет смоделирована циркуляция, наложенная на поток. Задача теперь

заключается в том, чтобы путем подбора нужного значения электрического

потенциала, подаваемого на профиль, получить на нем величину ψ=ψk,

обеспечивающую соблюдение постулата Чаплыгина - Жуковского, т. е.

параллельный сход верхних и нижних струек с задней острой кромки. Такой

подбор осуществляется с помощью потенциометрического делителя

напряжения R2 (рис. 8.5, а). Пусть, например, на одном из этапов подбора на

профиль подан некоторый потенциал ψk.

С помощью щупа строят небольшой участок линии тока ψk= const на

электропроводной бумаге в окрестности задней критической точки. Если

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

76

поданный потенциал ψk соответствует безотрывному обтеканию, то

встроенная линия тока будет сбегать с задней кромки профиля в направлении

его средней линии. В противном случае продолжается подбор нужного

значения ψk последовательными приближениями. Подобрав ψk, строят на

электро проводной бумаге всю линию тока ψk = const и остальные линии

тока ψ = const некоторым интервалом, задавая делителем напряжения R1

величины электрического потенциала, например, через 10 % (за 100 %

считается исходная разность потенциалов на шинах).

Для построения линий φ=const вырезают обтекаемый профиль вместе

с фольгой. Питающие шины переносятся на торцевые обрезы моделируемой

области (рис 8.5, б). В результате имеем возможность построения

эквипотенциалей по аналогии А, при которой обтекаемый контур выполнен

из изолятора (воздуха). В этом случае при подаче на шины напряжения

наповерхности профиля соблюдается условие = 0

В искомой сетке эквипотенциалейφ = const нужно знать положение

одной из них, начинающейся на контуре. Эту эквипотенциаль (желательно

проводить ее через нижнюю поверхность крыла) строят графически,

ортогонально к линиям тока, построенным в результате моделирования по

аналогии В. По найденной эквипотенциали модель разрезается, вдоль границ

разреза наклеиваются изолированные друг от друга шины Ш3 и Ш4, и к ним

подается напряжение от независимого источника тока. Это напряжение

подбирается так, чтобы одна из эквипотенциалей на модели проходила через

заднюю критическую точку, не имея в ней разрыва. Подбор осуществляется

так же, как и при построении линий тока. После этого строят линии равного

потенциала через заданный интервал (например, через 10 % от разности

потенциалов на шинах Ш1 и Ш2).

Отметим, что если разрез модели выполнен по вогнутой поверхности

крыла, то дополнительный источник тока может быть заменен простым

реостатом, подключенным к шинам ШЗ и Ш4. В результате на этих шинах

под действием исходной разности потенциалов на шинах Ш1 и Ш2

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

77

устанавливается некоторая разность потенциалов V3 - V4, как это и

требовалось для моделирования чисто циркуляционного течения.

Построенная гидродинамическая сетка течения позволяет определить

величину и направление вектора скорости в любой точке потока. Измерив на

построенной сетке расстояние между эквипотенциалями вдоль линии тока в

данной точке ∆s и вдали от профиля, где поток не искажен, ∆s∞, определим

скорость в данной точке (х, у) из выражения

푤(푥, 푦) = 푤∞∆ ∞

∆ (8.4)

С использованием вычисленной скорости легко определить давление

в любой точке потока по формуле (8.1). В частности, так вычисляется

распределение давления по поверхности крыла, которое определяет силовое

взаимодействие крыла с обтекающим потоком.

Измерив на модели, выполненной по аналогии А, разности

электрических потенциалов V на питающих шинах Ш1 и Ш2 и на

дополнительных шинах Ш3 иШ4, можно вычислить циркуляцию скорости

вокруг исследуемого профиля формуле

Г = 푤∞퐿м

, (8.5)

где L - расстояние между шинами Ш1 и Ш2 (длина модели); b и bм-

размеры хорды крыла в натуре и на модели (т. е. отношение — есть

линейный масштаб модельного крыла).

В итоге с помощью метода ЭГДА оказываются определенными

параметры потенциального потока, важные для практических приложений.

Методом ЭГДА могут решаться и задачи пространственного

(трехмерного) обтекания. В этом случае модель, выполненная из изолятора

(например, парафина), помещается в ванну с электролитом. Разность

потенциалов подается к плоским шинам, установленным по стенкам ванны.

Положение эквипотенциальных поверхностей определяется с помощью

пространственного щупа, смонтированного на координатнике.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

78

Глава 9 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

9.1. Уравнения движения вязкой жидкости

Уравнения Навье-Стокса

При обтекании тела реальной (вязкой) жидкостью на его поверхности

появляются касательные напряжения, связанные с действием вязкости. Такие

же напряжения имеют место и при относительном движении слоев

жидкости. По закону Ньютона для вязкого трения касательная сила f,

действующая между слоями жидкости при их относительном движении,

определяется формулой

푓 = −휇퐹푑푤푑푛

.

Действие вязкости учитывается введением в дифференциальные

уравнения движения членов, описывающих внутреннее трение. В итоге

уравнения оказываются более сложными, чем уравнения гидродинамики

идеальной жидкости Эйлера.

Как и при выводе уравнений Эйлера, применим второй закон

Ньютона 푚 = ∑ 푓 к жидкой частице в форме параллелепипеда с малыми

ребрами dx,dy,dz. Рассмотрим силы, действующие на жидкую частицу

направлении оси х. Будем считать жидкость несжимаемой (р = const). Кроме

силы давления dpdydz и объемной силы Xρdxdydz, в вязкой жидкости

действует еще разность сил трения на верхней и нижней гранях частицы:

휇푑푥푑푦верх

− 휇푑푥푑푦нижн

.

Если предположить для простоты вывода, что в данном потоке

жидкости скорость меняется только в направлении оси z, то

푑푤푑푥

= 0,푑푤푑푦

= 0,푑푤푑푧

≠ 0 .

В этом случае уравнение второго закона Ньютона запишется в

виде

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

79

휌푑푥푑푦푑푧푑푤푑푡

= −푑푝푑푥푑푦 + 푋휌푑푥푑푦푑푧 + 휇푑푥푑푦푑푤푑푧 верх

−푑푤푑푧 нижн

.

Разделив последнее равенство на pdxdydz и принимая во внимание,

что = 푣- кинематический коэффициент вязкости, а предел отношения

верх нижнравен второй производной , получим

푑푤푑푡

= −1휌

휕푝휕푥

+ 푋 + 푣푑 푤

푑푧.

Учитывая возможность изменения вектора скорости также в

направлении осей у и z и применив аналогичные рассуждения для проекций

сил на эти оси, запишем уравнения движения в виде

푑푤푑푡

= −1휌

휕푝휕푥

+ 푋 + 푣푑 푤푑푥

+푑 푤푑푦

+푑 푤푑푧

;

푑푤푑푡

= −1휌

휕푝휕푦

+ 푌 + 푣푑 푤푑푥

+푑 푤푑푦

+푑 푤푑푧

;

푑푤푑푡

= −1휌

휕푝휕푧

+ 푍 + 푣푑 푤푑푥

+푑 푤푑푦

+푑 푤푑푧

; (9.1)

В отличие от уравнений Эйлера полученные дифференциальные

уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости учитывают влияние на

ускорение частицы [левые части уравнений (9.1)] сил вязкого трения

(последние слагаемые правых частей). Это - уравнения Навье - Стокса (1822,

1845 г.).

Система (9.1) получена для несжимаемой вязкой жидкости. В случае

сжимаемой жидкости (газа) уравнения Навье - Стокса имеют более сложный

вид.

Граничные условия

Уравнения Навье - Стокса совместно с уравнением неразрывности

образуют для несжимаемой жидкости замкнутую систему четырех

уравнений с четырьмя неизвестными: wx,wy,wz,р. При решении этой системы

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

80

для какоголибо конкретного случая движения необходимо задать начальные

и граничные условия.

Начальные условия формулируются для задач о движении вязкой

жидкости так же, как и для идеальной. Они сводятся к тому, что для

некоторого момента времени, принимаемого за начальный, задаются

скорости и давления как функции координат. При установившемся движении

начальные условия не задаются.

Существенные отличия от идеальной жидкости имеют место при

формулировке граничных условий. В динамике идеальной жидкости

допускается, что жидкость скользит по поверхности обтекаемого тела с

конечной скоростью. При обтекании тела вязкой жидкостью, как показывают

опытные данные, частицы жидкости прилипают к поверхности тела.

Следовательно, здесь оказываются равными нулю не только нормальные wn

но и касательные wt , составляющие скорости течения.

Последнее граничное условие (wt = 0) весьма усложняет решение

задач, относящихся к движению вязкой жидкости. Вследствие

математических трудностей, связанных с интегрированием нелинейных

уравнений Навье - Стокса при этих граничных условиях, до сих пор

получено очень мало точных решений. Поэтому для решения конкретных

задач прибегают к упрощению уравнений Навье - Стокса, чтобы сделать

возможным их интегрирование.

Один из способов такого упрощения состоит в пренебрежении

инерционными (конвективными) членами в уравнениях движения [левые

части уравнений (9.1)]. Это приближение оправдано только в случае

доминирующего влияния вязкости или при очень малых числах Рейнольдса

푅푒 = (здесь L - характерный линейный размер для рассматриваемой

задачи, например диаметр трубы или поперечный размер обтекаемого тела).

Примером такого упрощения является решение задачи Пуазейля для

ламинарного течения в круглой трубе, рассмотренной ранее.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

81

Другой способ упрощения уравнений Навье - Стокса, предложенный

Прандтлем, основывается на предположении, что при движении маловязкой

жидкости вдоль поверхности удобообтекаемого тела частицы

затормаживаются только в тонком пристенном слое, где велики поперечные

градиенты скорости и пропорциональные им силы вязкого трения. Основные

положения теории пограничного слоя изложены в разделе 9.

Пределы применимости этих способов упрощения уравнений

движения могут быть установлены только экспериментально. Более сложные

задачи (например, определение силового взаимодействия потока с телом

произвольной формы) приходится решать опытным путем.

Глава 10. МОДЕЛИРОВАНИЕ В ГИДРОГАЗОДИНАМИКЕ

Принципы динамического подобия

Натурные объекты, с которыми имеют дело гидромеханика и

газодинамика, гидромашины, корабли, гидротехнические сооружения для

несжимаемой жидкости, а также паровые и газовые турбины, компрессоры,

самолеты, ракеты - слишком велики по размерам, сложны и дороги, чтобы

ихможно было испытывать только в натуральных условиях. Модели

различных вариантов этих объектов испытываются обычно в стадии их

проектирования и расчета. Поэтому большое значение приобрела теория

моделирования, разрабатывающая правила и условия проведения

экспериментов и переноса результатов эксперимента с модели на натуру.

Движением жидкости управляют силы тяжести, инерции, давления и

трения. Они различны по своему происхождению и природе, и каждая из них

изменяется при изменении скоростей, размеров потока и других условий по

своим особым законам. Однако во многих задачах приходится рассматривать

совместное действие этих сил и определять величину отношения одной из

них к другой. Исследованием этих вопросов занимается теория

механического подобия потоков.

При моделировании в гидромеханике и газодинамике недостаточно

добиться геометрического подобия модели и натуры, т. е.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

82

пропорциональности их сходственных размеров. Должно быть обеспечено

еще динамическое подобие. Основные требования динамического подобия

таковы:

1.В натурном и модельном потоках должны действовать силы

одинаковой физической природы.

2.В сходственных точках натурного и модельного потока

действующие силы должны находиться в постоянном соотношении. Так,

если на некоторой поверхности натурного объекта действует сила давления

Р и сила тренияТ, а на модели эти же силы равны соответственно Рм и Тм, то

условие динамического подобия для этих сил записывается в виде

푃푇

=푃푇

или푃

푃=

푇푇

= 푐표푛푠푡.

3. Граничные и начальные условия для натурного и модельного

потоков должны совпадать.

Подобие называется полным, если в натурном и модельном потоках

одинаковы отношения любых действующих сил, например: силы трения к

силе инерции, силы давления к силе инерции, силы тяжести к силе инерции.

Вследствие разной природы этих сил они по-разному зависят от скорости и

размеров потока, поэтому на уменьшенной модели часто не удается добиться

полного динамического подобия. В этом случае довольствуются

соблюдением частичного подобия, т. е. тождественности для натуры и

модели лишь отношения каких-то двух сил, которые предполагаются

определяющими для данного потока. По остальным силам в этом случае

подобие не соблюдается, поэтому данные модельного эксперимента при

частичном подобии не могут в точности соответствовать натуре. Но в ряде

случаев действие этих сил пренебрежимо мало либо может быть рассчитано

теоретически; поэтому моделирование при частичном подобии получило

широкое распространение.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

83

Закон полного динамического подобия Ньютона

Рассмотрим два динамически подобных потока, обтекающих

геометрически подобные объекты: модель и натуру. Будем обозначать

величины, относящиеся к модельному потоку, индексом «м», а относящиеся

к натурному потоку - без индекса. Частица жидкости массой m под действие

силыfприобретает некоторое ускорение по второму закону Ньютона

푓 = 푚 .

Если потоки динамически подобны, то согласно второму принципу

динамического подобия

푓푓м

=푚

푚мм

м

= 푐표푛푠푡. (10.1)

Масса частицы m может быть представлена через ее плотность ρ и

объем который, равен кубу некоторой характерной длины частицы l, т.е. m =

ρl3 качестве характерного размера частицы, имеющей, например, форму

куба, естественно принять его ребро.

Ускорение частицы выражается через приращение ее характерной

скорости ∆wи характерное время ∆t, т.е. ≈ ∆∆

~ (мы предполагаем, что

приращение скорости ∆w пропорционально ее величине w). Подставляя эти

величины в формулу (10.1), имеем

푓푓м

=휌푙 푤

푡 ∶

휌м푙м푤м

푡м= 푐표푛푠푡.

Принимая во внимание, что отношение пути частицы, характерная

длина которой l, к характерному времени t пропорционально скорости w, т.

е. ~푤 , приведем последнее выражение к виду

푓푓м

=휌푙 푤

휌м푙м푤м= 푐표푛푠푡. (10.2)

Перепишем это равенство несколько иначе:

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

84

푓휌푙 푤

=푓м

휌м푙м푤м= 푁푒 = 푐표푛푠푡. (10.3)

Отношение называется числом Ньютона, а выражение (10.3)

является записью закона динамического подобия Ньютона: потоки подобны,

если числа Ньютона для модели и натуры тождественны.

Аэродинамические коэффициенты

Представим себе, что в результате аэродинамического эксперимента

пример, при продувке модели в аэродинамической трубе) определена

которая силаfм (например, сила лобового сопротивления). При известных

параметрах модели ρм, lм, wм легко вычислить число Ньютона:

푁푒 = м

м м м.

Если эксперимент выполнен с соблюдением полного динамического

подобия, то натурная аэродинамическая сила f может быть определена из

выражения (10.3): f=Neρl2w2. Обозначая l2=F, где F - «характерная площадь»

потока, и принимая во внимание, что - динамическое давление потока,

приведем последнее равенство к виду 푓 = 2푁푒퐹 , или, обозначив2푁푒 = 퐶,

получим

푓 = 퐶퐹 (10.4)

В формуле (8.5) С - это аэродинамический коэффициент для данного

потока:

퐶 = 2푁푒 = м

м м м .

В частности, при определении подъемной силы крыла Ry

аэродинамический коэффициент обозначают через Су, в качестве

характерной площади F берут площадь наибольшей проекции крыла. При

определении силы лобового сопротивления некоторого тела Rx

аэродинамический коэффициент обозначают через Сх, в качестве

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

85

характерной площади берут площадь миделевого (наибольшего

поперечного) сечения тела.

Пример. В результате опытов, поставленных в аэродинамической

трубе, получено, что коэффициент сопротивления шара Сх = 0,45.

Определить, с какой силой увлекает течение со скоростью w = 1 м/с шаровую

мину диаметром 1 м.

Согласно формуле (10.4):

푅 = 퐶휋퐷

4휌푤

2= 0,45

3,14 ∙ 14

∙1000 ∙ 1

2≈ 177 Н.

Общий закон динамического подобия Ньютона позволяет на

основании экспериментов, поставленных на динамически подобной модели,

определить параметры натурного потока. Но он не дает указаний: как

поставить эксперимент, чтобы модель была динамически подобна натуре.

Ответ на этот вопрос получают, рассматривая различные случаи частичного

подобия.

Экспериментальные установки в гидрогазодинамике

Исследование движения тела относительно покоящейся жидкости

возможно двумя способами:

1. протаскиванием модели в неподвижной жидкости;

2. обтеканием неподвижной модели равномерным потоком жидкости.

Первый способ применяется, главным образом, при испытании

моделей судов в специальных бассейнах. Модель судна, выполненная в

некотором масштабе геометрически подобной натурному судну,

протаскивается специальным устройством с определенной скоростью вдоль

канала, причем динамометры («гидродинамические весы») измеряют силу

сопротивления. Присоединяя датчики давления к дренажным отверстиям,

выполненным заподлицо с поверхностью модели, можно выявить также

распределение давления по обтекаемому днищу и бортам.

В аэродинамических исследованиях применяется преимущественно

второй способ: модель обтекается потоком воздуха в аэродинамической

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

86

Рис. 10.1.

трубе. Схема устройства аэродинамической трубы наиболее

распространенного типа представлена на рис. 10.1. Поток воздуха,

циркулирующий в трубе, получает энергию от вентилятора 6. Сужение

потока в конфузорном коллекторе 1 позволяет получить в рабочей части 5

трубы, где устанавливаются модели исследуемых тел, более высокую

скорость и большую равномерность потока, чем в остальных участках.

Пройдя рабочую часть трубы, воздух возвращается к конфузору по

обратному каналу 4. Направляющие лопатки 3 устанавливаются в

поворотных коленах 2, чтобы уменьшить завихрения. Скорость потока

определяется с помощью трубки Пито (раздел 2). Аэродинамические силы

при продувке определяются с помощью аэродинамических весов,

распределение давления по поверхности тел - с помощью пьезометров или

микроманометров, присоединяемых к дренажным отверстиям. Современные

большие аэродинамические трубы представляют собой весьма

внушительные по размерам и энергоемкости сооружения.

В газодинамических трубах, применяемых для исследования

обтекания числах Маха больше единицы, сверхзвуковой поток получают с

помощью сопла Лаваля. В этих опытах широко применяются оптические

методы исследования, позволяющие сделать видимой систему скачков и

волн разрежения у тела.

В таких задачах, как, например, исследование особенностей потоков в

рабочем пространстве металлургических или технологических печей,

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

87

течения в гидроузлах, искомым является не силовое взаимодействие потока с

телом, а его скоростное поле - величины и градиенты скорости,

расположение вихревых и застойных зон и т. д. Подобные случаи

исследуются преимущественно на гидравлических моделях, позволяющих

наиболее просто выявить кинематические особенности течения.

Глава 11. ПОДОБИЕ ПОТОКОВ ПРИ ДЕЙСТВИИ

РАЗЛИЧНЫХ СИЛ

Гравитационное подобие

Пусть в потоке основной действующей силой является сила

тяжестиG.Ее можно представить для частицы массы m как G = mg =

pl3g,гдеg- ускорение силы тяжести;l - характерный размер частицы. Согласно

закону динамического подобия Ньютона отношение сил тяжести,

действующих на сходственные частицы натуры и модели, подчиняется

равенству (10.2):

퐺퐺м

=휌푙 g

휌м푙мgм=

푓푓м

=휌푙 푤

휌м푙м푤м.

Изпоследнеговыраженияследует

푤푙g

=푤м

푙мgм= 퐹푟 = 푐표푛푠푡 (11.1)

Безразмерное число = 퐹푟носит название числа Фруда. Таким

образом, если в рассматриваемом потоке определяющей является сила

тяжести, то на динамически подобной модели и в натуре числа Фруда

должны быть тождественными. Соблюдение постоянства числаFrотвечает

частичному подобию по действию силы тяжести.

Гравитационное моделирование широко применяется для

исследования явлений, связанных с движением несжимаемых жидкостей под

действием силы тяжести. В частности, при движении судна на поверхности

воды образуютсяволны, давление которых составляет значительную часть

лобового сопротивления. Эксперименты по определению силы

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

88

сопротивления суднапроводятся в специальных бассейнах. Поскольку в

лабораторных условиях обычноg= gM,то из уравнения (11.1) следует, что

푤м = 푤푙м

푙, (11.2)

т. е. при гравитационном подобии масштаб скоростей

пропорционален квадратному корню из масштаба длин. Например, если

модель судна выполнена в масштабе 1/16натуральной величины, то скорость

ее протаскивания в бассейнедолжна составлять 1/4 скорости натурного

судна. В опытах на моделях насосов гидротурбин, плотин гидроузлов также

должны быть одинаковыми числа Фруда.

Вязкостное подобие

Пусть в потоке основную роль играют силы вязкого трения Т. Это

справедливо для тех случаев, когда относительная роль силы веса мала по

сравнению с силами вязкого трения, например при оседании мелких частиц в

вязкой жидкости или при всплывании капель нефтепродуктов в воде. Силы

вязкого трения определяются формулой Ньютона. Выражая площадь

соприкосновения слоевFчерез квадрат характерного размера частицы l,

аградиент скорости через отношение характерной скорости к

характерному

размеру , запишем выражение (1.4) в виде Т =μlw. С использованием

законадинамического подобия Ньютона (10.2) получаем

푇푇м

=휇푙g

휇м푙мgм=

휌푙 푤휌м푙м푤м

.

Последнее равенство может быть представлено в виде

휌푙푤휇

= 휌м푙м푤м

휇м= 푅푒 = 푐표푛푠푡

Принимая во внимание, что = 휈, где ν - кинематический

коэффициентвязкости, имеем

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

89

Рис. 11.1.

푤푙휈

= 푤м푙м

휈м= 푅푒 = 푐표푛푠푡; (11.3)

отношение = 푅푒называется числом Рейнольдса.

Таким образом, если в рассматриваемом потоке определяющая сила -

это вязкое трение, то модель будет динамически подобна натуре, если

вычисленные для них числа Рейнольдса одинаковы. Соблюдение

постоянства числаReотвечает частичному подобию по действию силы

вязкого трения.

Вязкостное моделирование применяется,

главным образом, при определении

сопротивления жидкости. В частности, из

гидравлики известновлияние числаRe= на

гидравлическое сопротивление трубы

приламинарноми турбулентном режимах (в

данном случае в качестве характерного размера потока использовался

диаметр трубыD).В качестве другого примера нарис. 11.1 представлена

полученная в опытах зависимость коэффициента лобовогосопротивления

шара от числаRe= (здесьd- диаметр шара).

Число Рейнольдса выражает в безразмерном виде соотношение между

силами инерции и вязкости. Если Re мало, то в потоке преобладают силы

вязкого трения. Если Re велико, то главную роль играют силы инерции. Для

этих двух случаев законы сопротивления очень сильно отличаются друг от

друга, в чем мы уже убедились при рассмотрении потерь напора по длине

трубы. Масштаб скоростей при вязкостном подобии может быть определен

из уравнения (11.3):

푤м = 푤푙

푙м

휈м

휈, (11.4)

т.е. отношение скоростей обратно пропорционально масштабу длин и

пропорционально масштабу коэффициентов вязкости. Если опыты (нап-

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

90

ример, в аэродинамической трубе) проводятся с той же средой (воздухом),

что и для натурного объекта, то согласно формуле (11.4) уменьшение

масштаба модели м должно вызывать пропорциональное увеличение

скорости продувки модели. Если натурные скорости достаточно велики,

тосоответствующие модельные будут, во-первых, труднодостижимы, а во-

вторых, их осуществление привело бы в область сжимаемых потоков, в

которых критерий подобия совсем иной. Поэтому при продувках в

аэродинамической трубе часто приходится мириться с несоблюдением

точного подобия сил трения.

Подобие движения сжимаемых сред

При движении сжимаемых жидкостей (газов) в области малых

скоростей их можно рассматривать как несжимаемые. По мере возрастания

скорости потока влияние сил упругости все возрастает и при скоростях,

близких к скорости звука, становится преобладающим по сравнению с

влиянием вязкости и весомости.

Если Е - модуль объемной упругости газа (модуль Юнга), имеющий

размерность Н/м2, то сила давления вследствие сжимаемости среды ∆Р на

площадку площадью l2 равна ∆Р=El2.

Скорость звука в сжимаемой среде выражаетсячерез модуль

упругости и плотность формулой: а= откудаЕ = ρа2.

Таким образом, ∆Р = ρа2l2. Согласно закону динамического подобия

Ньютона(8.3) отношение сил избыточного давления вследствие упругости

среды для модели и натуры равно

푓푓м

=∆푃∆푃м

=휌푎 푤

휌м푎м푤м=

휌푙 푤휌м푙м푤м

,

или 푤푎

=푤м

푎м= М = 푐표푛푠푡, (11.5)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

91

Рис. 11.2.

Рис. 11.3.

Где = М – число Маха.

Итак, чтобы два сравниваемых потока

были подобны по действию сил,

возникающих вследствие сжимаемости

среды, необходимо, чтобы в опыте и в

натурных условиях были одинаковыми числа

М.

Число Маха сильно влияет на

величину аэродинамических коэффициентов. На рис. 11.2. дана зависимость

коэффициентов лобового сопротивления различных тел - цилиндра с

продольной осью, направленной по течению, шара и снарядов разной формы

- от числа М. Зависимость величины Сх от числа Маха связана с появлением

скачков уплотнения.

Подобие колебательных движений в жидкости

На практике часто встречаются периодически повторяющиеся дви-

жения в потоке жидкости. Таковы, например, колебания турбинной лопатки

или крыла самолета, вращение пропеллера. При

движении в жидкости плохо обтекаемых тел

(например, поперечно поставленной пластинки

или цилиндра) с их поверхности срываются

вихри, сохраняющие в потоке Шахматный

порядок (так называемая дорожка Кармана, рис. 11.3.).

При экспериментальном исследовании периодически повторяющихся

процессов необходимо соблюдать на модели кинематическое подобие с

натурным процессом, состоящее в том, что частицы в сходственных точках

модели и натуры проходят путиLв пропорциональные отрезки времени Т.

Следовательно, для кинематического подобия колебательного процесса

необходимо, чтобы в натуре и на модели были постоянными отношения

푤푇퐿

=푤м푇м

퐿м= 푆ℎ = 푐표푛푠푡. (11.6)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

92

Число = 푆ℎназывается числомСтрухаля. Опыт показывает, в

частности, что для широкого диапазона условий срыв вихрей с поверхности

цилиндра диаметром Dпроисходит при푆ℎ = = 0,2т.е. период схода

вихрей равен푇 = , .

Полное и частичное подобие

Изложенные условия динамического подобия являются основой для

правильной постановки модельного эксперимента. Однако в натуре обычно

силы действуют не порознь, а совместно. Поэтому основные характеристики

потока оказываются зависящими не от какого-либо одного критерия подобия

- Fr, Re, М илиSh,а от их сочетания. В частности, коэффициент лобового

сопротивления обтекаемого тела есть функция нескольких переменных:

Сх =f(Fr, Re, М, Sh),и к тому же он зависит от формы и расположения тела в

потоке, степени турбулентности потока и, возможно, других факторов.

Осуществить полное подобие всех действующих сил на модели часто

не удается. Например, при обтекании корабля, наряду с сопротивлением

волн, обусловленным силой тяжести, важную роль играет и сопротивление

вязкого трения. Поэтому на модели нужно было бы обеспечить как

гравитационное, так и вязкостное подобие. Приравнивая для этого случая

соответствующие выражения для масштабов скоростей [выражения (11.2) и

(11.4)], получим

푙м

푙=

푙푙м

푣м

푣, или

푣м

푣=

푙푙м

/

.

Таким образом, для одновременного осуществления на модели и в

натуре тождественности критериев Фруда и Рейнольдса необходимо

поставить опыты в жидкости, вязкость которой удовлетворяет последнему

равенству. Для примера, рассмотренного в разделе о гравитационном

подобии (протаскивание в бассейне модели судна в масштабе 1/16

натуральной величины), пришлось бы использовать жидкость с вязкостью, в

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

93

64 раза меньшей вязкости воды. Таких жидкостей в природе нет. Поэтому

приходится удовлетворяться частичным подобием, воспроизводя на модели

лишь сопротивление волн, а сопротивление вязкого трения рассчитывать

аналитически с использованием теории пограничного слоя.

Еще более неблагоприятно обстоит дело при необходимости

удовлетворить в одном опыте требованию о тождественности трех критериев

напримерRe, М иSh.Поэтому в ряде случаев целесообразно стремиться к

постановке натурного эксперимента, т.е. к проведению опыта в условиях

натурного объекта (турбины, самолета и др.).

Глава12 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

12.1. Общие понятия и дифференциальные уравнения

пограничного слоя

Понятие пограничного слоя

Как уже отмечалось выше, при движении с большой скоростью в

маловязких жидкостях или газах удобообтекаемых тел действие вязкости

сосредоточено в тонком пристенном слое - пограничном слое. Поэтому при

интегрировании уравнений движения вязкой жидкости нет необходимости

распространять их на все пространство, занятое потоком, достаточно

применить их лишь к области быстрого изменения скорости.

Опыт показывает, что толщина пограничного слоя весьма мала по

сравнению с размерами обтекаемого тела. Так, например, при продольном

обтекании пластинки потоком воздуха со скоростью 100 м/с на расстоянии 1

м от входной кромки скорость на поверхности пластинки равна нулю, а на

расстоянии 15 мм от поверхности она практически равна 100 м/с и не

изменяется при дальнейшем удалении. Из-за малых градиентов скорости во

внешнем потоке силы вязкости там пренебрежимо малы; движение в этой

области подчиняется законам динамики идеальной жидкости.

Исходя из этих соображений, при обтекании тел маловязкой

жидкостью и при большой скорости потока wпространство, занятое потоком,

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

94

Рис. 12.1.

можно условно разбить на три области, которые мы рассмотрим

применительно к обтеканию крыла (рис. 12.1.).

Первую область занимает пограничный слой, в котором скорость

течения меняется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущенного

потока на границе слоя. Для наглядности на рис. 12.1 масштаб для

поперечных размеров выбран более крупным, чем для продольных; в

действительности пограничный слой имеет меньшую толщину. Вторая

область - аэродинамический след, или спутная струя, - содержит частицы

пограничного слоя, унесенные потоком. Третья область - это остальное

пространство, занятое потоком, в котором жидкость можно считать

идеальной, а движение - происходящим без вращения частиц, т.е.

потенциальным.

Уравнения Прандтля

При выводе дифференциальных уравнений пограничного слоя

выберем систему координат, как показано на рис. 12.1: ось х направлена

вдоль обтекаемой поверхности, ось у всюду к ней перпендикулярна. Начало

координат - в передней критической точке, где раздваивается набегающий

поток. В силу малой толщины пограничного слоя S по сравнению с

размерами обтекаемого тела можно пренебречь кривизной поверхности и

рассматривать выбранную систему координат как обычную декартову.

Будем считать жидкость несжимаемой, а движение - установившимся.

Для плоского (двухмерного) потока система уравнений Навье - Стокса (9.1)

имеет вид

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

95

푑푤푑푡

= −1휌

휕푝휕푥

+ 푣휕 푤휕푥

+푑 푤푑푦

; 푑푤푑푡

= −1휌

휕푝휕푦

+ 푣휕 푤휕푥

+휕 푤휕푦

.

В силу сделанных предположений внутри пограничного слоя

значительны градиенты только продольной составляющей скорости wx,

поэтому второе из записанных уравнении принимает вид = 0.

Из него следует, что давление внешнего потока передается

черезпограничный слой без изменений. Легко показать также, что в первом

уравнении член пренебрежимо мал по сравнению с членом . В итоге

первоеуравнение и записанное совместно с ним уравнение неразрывности

образуют систему:

푑푤푑푡

= −1휌

휕푝휕푥

+ 푣휕 푤휕푦

,

휕푤휕푥

+휕푤휕푦

= 0. (12.1)

Отметим, что полная производная скорости wx (х, у, t)по времени,

стоящая в левой части первого уравнения системы (12.1), по правилу

дифференцирования функции нескольких переменных равна

푑푤푑푥

=휕푤휕푡

+휕푤휕푥

푑푤푑푡

+푑푤휕푦

푑푦푑푡

=휕푤휕푡

+ 푤휕푤휕푥

+ 푤휕푤휕푦

(так как = 푤 , = 푤 ). Поэтому при установившемся

движении = 0 система (12.1) может быть представлена в виде системы

уравнений Прандтля:

푤푑푤푑푥

+ 푤푑푤푑푦

= −1휌

휕푝휕푥

+ 푣휕 푤휕푦

;

휕푤휕푥

+휕푤휕푦

= 0. (12.1 а)

Уравнения Прандтля значительно проще, чем исходные уравнения

Навье - Стокса (12.1). Вместе с тем они достаточно хорошо соответствуют

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

96

действительности, и результаты их интегрирования весьма точно совпадают

с данными эксперимента.

Продольное изменение давления (член− ) в уравнениях Прандтля

можетбыть выражено через распределение скоростей во внешнем

неискаженном потоке. Действительно, если скорость внешнего потока у

данной точки обтекаемого тела равнаU,то согласно уравнению Бернулли для

идеальной жидкости + = 푐표푛푠푡

Дифференцируя последнее равенство по х, получаем

푈푑푈푑푥

+1휌

휕푝휕푥

= 0,

или − = 푈 , и система (12.1а) приобретает вид

푤푑푤푑푥

+ 푤푑푤푑푦

= 푈휕푈푑푥

+ 푣휕 푤휕푦

;

휕푤푑푥

+휕푤푑푦

= 0. (12.1б)

Распределение скоростей во внешнем потоке, входящее в первое

Уравнение системы (12.1 б), может быть получено в результате решения

задачи об обтекании тела потоком идеальной жидкости, например, методом

ЭГДА. Таким образом осуществляется «стыковка» двух основных

теоретических разделов гидроаэромеханики - динамики идеальной и вязкой

жидкости.

Граничные условия

Одно из граничных условий решения системы (12.1) требует

равенства нулю вектора скорости на поверхности обтекаемого тела

wx∣y=0 = wy∣y=0=0. (12.2)

Второе условие предусматривает отсутствие торможения на внешней

границе пограничного слоя. Оно может задаваться двояким образом. Строго

говоря, влияние пристенного торможения должно сказываться на любом

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

97

расстоянии от стенки, поэтому при строгой постановке задачи второе

условие задается в виде

wx∣y→∞ =U. (12.3)

Решение этой задачи позволяет определить параметры «асимптоти-

ческого» пограничного слоя, в котором распределение скоростей в

пограничном слое асимптотически переходит в распределение скоростей во

внешнем потоке. Чаще второе граничное условие задается для пограничного

слоя конечной толщины, под которым понимают слой, где полное изменение

скорости происходит на расстоянии конечной толщины пограничного слоя δ,

от нуля на стенке до wx=Uна внешней границе, т. е. второе граничное

условие имеет вид

wx∣ y=δ =U, ∣y=δ=0 (12.3a)

В качестве δ можно, например, принимать расстояние от стенки, на

котором скорость отличается на 1% от скорости невозмущенного потока.

Хотя такое задание граничного условия является менее строгим, однако

математически решение оказывается более простым, а результаты почти

совпадают с решением более строгой задачи.

Турбулизация пограничного слоя

Опыт показывает, что слоистое, ламинарное, течение жидкости в

пограничном слое наблюдается лишь на начальном участке обтекаемой

поверхности. При достаточно больших размерах обтекаемого тела на

некотором расстоянии от передней критической точки наблюдается

перестроение ламинарного течения в турбулентное, в котором движение

носит неустановившийся пульсационный характер. Критическая точка на

поверхности тела, где начинается переход ламинарного течения внутри

пограничного слоя в турбулентное, называется точкой перехода. Схема

обтекания крыла с двумя видами пограничного слоя на нем представлена на

рис. 9.2. Область 1 соответствует ламинарному пограничному слою, область

2 - турбулентному; точкиТв иТн соответствуют началу перехода ламинарного

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

98

Рис. 12.2

пограничного слоя в турбулентный на верхней и нижней поверхностях

крыла, в точке Sпроисходит отрыв пограничного слоя. Область 3 -

аэродинамический след за телом, область 4 - внешний невозмущенный

поток.

Обычно предполагают, что в непосредственной близости от

обтекаемой поверхности пульсации скорости сдерживаются этой

поверхностью и движение здесь ламинарное. Это - так называемый

ламинарный подслой, аналогичный подслою при движении жидкости в

трубах в области гидравлически гладкого сопротивления. Но толщина этого

подслоя настолько мала, что на рис. 12.2 он не показан.В случае достаточно

крупных выступов шероховатости на обтекаемой поверхности ламинарный

подслой вообще разрушается.

Перестроение режима течения в пограничном слое зависит от

величины местного числа Рейнольдса 푅푒 = , где х - расстояние от

передней критической точки. В частности, согласно экспериментальным

данным при продольном обтекании пластинки точка перехода лежит при

значениях хкр, соответствующих в среднем критическому числу Рейнольдса

푅푒 кр = ∞ кр ≈ 5 ∙ 10 . (12.4)

Уравнения Прандтля (12.1) выведены в предположении, что трение в

пограничном слое происходит только за счет вязкости. Это предположение

справедливо для ламинарного пограничного слоя. При турбулентном

течении обмен количеством движения между слоями происходит за счет

взаимного проникновения вихревых частиц, размеры которых намного

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

99

превышают размеры молекул. Поэтому обмен количеством движения резко

возрастает и соответственно увеличивается сила трения. Механизм трения в

турбулентном пограничном слое, как и в случае гидравлического

сопротивления труб, зависит от величины числа Рейнольдса и

шероховатости поверхности.

Дифференциальные уравнения Прандтля для решения задач

турбулентного пограничного слоя применять невозможно. Для этого

используется метод интегральных соотношений, предложенный Карманом;

он более прост, чем интегрирование дифференциальных уравнений Прандтля

и поэтому применяется также и в задачах ламинарного пограничного слоя.

Способ Кармана не позволяет определить поле скоростей в пограничном

слое, однако он дает возможность вычислить толщину пограничного слоя и

распределение сил трения по поверхности обтекаемого тела с достаточной

для практики точностью гораздо проще, чем при интегрировании

дифференциальных уравнений.

12.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И РАСЧЕТ

ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Соотношение Кармана

Рассмотрим двухмерное установившееся движение жидкости в

пограничном слое. Выберем два сечения пограничного слоя, проведенные

нормально к обтекаемой поверхности на расстоянии Ах (рис. 12.3).

Применим теорему об изменении количества движения к объему жидкости,

ограниченному контуромABCDи имеющему единичную толщину.

Уравнение импульсов имеет вид

∆( )∆

= 푓, (12.5)

или в проекции на ось х

∆( )∆

= 푓 (12.5a)

где f - результирующая всех сил, приложенных к объему. Жидкость втекает в

выделенный неподвижный объем через левую и верхнюю грани и вытекает

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

100

Рис. 12.3

.3

через правую, в результате чего устанавливается некоторый баланс в обмене

количеством движения. Опуская промежуточные выкладки и переходя к

пределу при ∆х → 0, получим

푑푑푥

휌푤 − 푈푑

푑푥휌푤 푑푦 = −훿

푑푝푑푥

− 휏 . (12.6)

Уравнение (12.6) называется уравнением импульсов или

интегральным соотношением Кармана (1921 г.) для плоского

установившегося течения в пограничном слое.

Если, как и в подразделе 9.1, выразить с помощью уравнения

Бернуллипродольный градиент давления через распределение

скоростейUво внешнем невозмущенном потоке, т. е.− = 휌푈 ,то

уравнение Кармана перепишется в виде

푑푑푥

푤 푑푦 − 푈푑

푑푥푤 푑푦 = 훿푈

푑푈푑푥

−휏휌

. (12.6 а)

При выводе уравнения импульсов (12.6) мы не делали никаких

предположений относительно природы касательного напряжения τ, поэтому

оно в одинаковой степени применимо как к ламинарному, так и к

турбулентному пограничному слою.

В

уравнении импульсов предполагается известным распределении скоростей

во внешнем потоке, т.е. величины Uи ; они могут бытьопределены

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

101

Рис. 12.4

методами гидродинамики идеальной жидкости или опытным путем в

результате измерения распределения давления на поверхности обтекаемого

тела. Неизвестные величины - это wx, δ и τ, а в случае сжимаемой жидкости

еще и р. Поэтому для определения наиболее важных для практики

характеристик пограничного слоя - его толщины δ и касательного

напряжения на стенке τ - приходится задаваться распределением скоростей в

слое. То обстоятельство, что скорость wxвнутри слоя входит в уравнение

импульсов под знаком интеграла, уменьшает погрешность расчета и

позволяет пользоваться приближенными законами распределения скорости.

Условные толщины пограничного слоя

Приведем еще одну форму записи уравнения импульсов, получаемую

из выражения (12.6 а) путем тождественных преобразований. Так как

푑푑푥

푈 푤 푑푦 =푑푈푑푥

− 푤 푑푦 + 푈푑

푑푥푤 푑푦 ,

то уравнение (12.6) может быть представлено в виде

푑푑푥

푤 푑푦 −푑

푑푥푈 푤 푑푦 +

푑푈푑푥

− 푤 푑푦 − 훿푈푑푈푑푥

= −휏휌

.

Объединяя в последнем выражении члены, содержащие производные

от интегралов, получим

푑푑푥

(푈푤 − 푤 )푑푦 +푑푈푑푥

(푈 − 푤 ) 푑푦 == −휏휌

. (12.6 б)

интеграл во втором слагаемом левой части уравнения (12.6 б) представляет

собой Разность между расходами жидкости в пограничном слое, если бы

скорость во всем его сечении не уменьшалась вследствие вязкости,

аоставалась равнойU,и действительным расходом (рис. 12.4). Таким образом,

этот интеграл представляет собой уменьшение

расхода в пограничном слое вследствие вязкости. Графически он изображен

площадью с перекрестной штриховкой на рис. 12.4. Разделив этот интеграл

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

102

на скорость внешнего потокаU, получим некоторый

размер δ*, равный толщине слоя, через который

протекал бы недостающий расход:

На расстояние δ* оттесняются от поверхности тела линии тока

невозмущенного течения вследствие торможения в пограничном слое.

Поэтому δ* носит название толщины вытеснения.

Аналогично интеграл в первом слагаемом левой части уравнения

(12.6 б) можно рассматривать как уменьшение количества движения

жидкости, протекающей через пограничный слой, или потерю импульса.

Разделив этот интеграл наU2,получим линейную величину δ**, называемую

толщиной потери импульса:

Вводя величины δ* и δ** в уравнение (12.6 б), получим

или, выполнив дифференцирование и разделив на U2,

В этой форме записи уравнения импульсов неизвестными являются

δ*, δ**, и τ.

Ламинарный пограничный слой на плоской пластинке

При продольном обтекании тонкой плоской пластинки скорость

внешнегопотока не меняется по длине х; члены U в уравнениях Прандтля

(12.1 а) иδU вуравнении Кармана (12.6. а) равны нулю. Поэтому основные

параметры пограничного слоя на плоской пластинке определяются наиболее

просто. Результаты этого расчета часто используются для приблизительного

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

103

определения параметров пограничного слоя различных удобообтекаемых тел

- тонких крыльев и др.

Применим для расчета пограничного слоя на плоской пластинке

уравнение импульсов (12.6а). Будем считать жидкость несжимаемой. Если

постоянная скорость внешнего потока равна , то уравнение импульсов

приобретает вид

푑푑푥

푤 푑푦 − 푤∞푑

푑푥푤 푑푦 = −

휏휌

, (12.7)

или

푑훿∗∗

푑푥=

휏휌푤∞

(12.7 а)

Наиболее простой способ задания скорости в ламинарном

пограничном слое - это представлениеwxв виде степенного ряда по

степеняму.

wx= а0(х)+ а,(х)у + а2(х)у2 + ...

Коэффициенты этого рядаа0(х), а1(х) . . . можно определить из

граничных условий (12.2) - (12.5), которым должна удовлетворять скорость

wx, и ее производные на границах слоя. Эти условия таковы:

wx∣y=0 =0 ; wx∣y=δ= w∞ ; ∣y=δ=0 ; ∣y=δ=0 ; … (12.8)

Для простоты ограничимся в разложении wxпервыми двумя

членами, т.е. wx=a0+a1y.Предположение о линейном распределении

скоростей по толщине пограничного слоя является, конечно, очень грубым

приближением, но мы убедимся ниже, что даже такое приближение дает

удовлетворительные результаты. Используя первые два из граничных

условий (12.8), получим

a0=0 ,a1= ∞, т.е. wx= ∞ 푦.

Касательное напряжение τ на поверхности пластинки определяется по

закону Ньютона, т.е.휏 = 휇 ∣ ; в данном случае имеем 휏 = 휇 ∞.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

104

Для определения толщины пограничного слоя δ подставим

полученные величины в уравнение импульсов (12.7). Для этого вычислим

входящие в него интегралы:

푤 푑푦 =푤∞

훿푦 푑푦 =

13

푤∞훿 ; 푤 푑푦 =푤∞

훿푦푑푦 =

12

푤∞훿 .

Подставляя эти величины в уравнение (12.7), имеем

13

푤∞푑훿푑푥

−12

푤∞푑훿푑푥

= −휇휌

푤훿

, или12

푤∞푑훿푑푥

=푣훿

.

Это – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными;

запишем его в виде훿푑훿 =∞

푑푥. Интегрируя это уравнение, получаем훿 =

∞+ 퐶.

Постоянную интегрирования находим из условия на передней кромке

пластинки. Полагая, что при х = 0 пограничный слой только начинает

развиваться, т.е. = 0, имеем С = 0; следовательно,

훿 =12푣푥

푤∞= 3,46

푣푥푤∞

=3,46푥

푅푒 ,

где 푅푒 = ∞ - местное число Рейнольдса. Касательное напряжение

τ получается равным

휏 =휇푤

훿= 0,289

휇휌푤∞

푥=

0,289푅푒

휌푤∞ .

Полученные решения для δ и τ отличаются от точных формул,

являющихся результатом более сложного решения уравнений Прандтля

(12.1), только числовыми коэффициентами. Точные решения имеют вид

훿 = , ; (12.9)

휏 = , 휌푤∞ . (12.10)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

105

Рис. 12.5

(в точном решении за толщину пограничного слоя принималось такое

расстояние от стенки, где скорость отличается всего на 1% от скорости

невозмущенного потока).

Решение для пластинки показывает, что в

ламинарном пограничном слое его толщина δ

нарастает по длине пластинки по параболическому

закону, а напряжение трения обратно

пропорционально√푥(рис. 12.5). Этот закон при х = 0

дает τ = ∞. В действительности напряжение трения

у входной кромки не может возрастать безгранично, так как у реальной

пластинки (а не бесконечно тонкой) происходит торможение у входной

кромки из-за ее конечной толщины и wx∣x=0=0. Следовательно, в передней

критической точке иτ∣x=0=0. Поэтому действительное распределение

касательных напряжений на поверхности пластинки будет таким, как

показано на рис. 12.5 штриховой линией. Величина участка, к которому

неприменима формула (12.10), зависит от степени заостренности входной

кромки пластинки.

Определим полную силу трения на поверхности пластинки длиной lи

шириной b при ламинарном обтекании. Используя выражение (12.10),

получим, что сила трения на одной из сторон пластинки равна

푅 = 푏 휏푑푥 = 0,332푏 휇휌푤푑푥√푥

= 0,664푏 휇휌푤 푙 .

Общая формула для гидродинамических сил (12.5) записывается в

виде

푅 =1,328

푅푒= 푏푙

휌푤2 ,

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

106

где 푅푒 = – местное число Рейнольдса для х=l. Следовательно,

коэффициент сопротивления Стр для ламинарного пограничного слоя на

пластинке может определяться по формуле

С .л = , . (12.11)

Турбулентный пограничный слой на плоской пластинке

Применим уравнение импульсов (12.7) для расчета турбулентного

пограничного слоя на пластинке. Для этого, как уже отмечалось выше,

требуется задать хотя бы приближенно закон распределения скоростей

поперек слоя и характер зависимости τ отUи δ. Наиболее просто эти

дополнительные условия задаются, если считать распределение скоростей в

турбулентном пограничном слое таким же, как и распределение скоростей по

радиусу цилиндрической трубы.

Согласно опытным данным в трубе при достаточно больших числах

Рейнольдса осредненная скорость пропорциональна расстоянию от стенки в

степени 1/7. Поэтому будем считать, что

푤 = 푈/

. (12.12)

Также из экспериментов с трубами следует, что зависимость

касательного напряжения трения от δ иUимеет вид

휏 = 0,0450/

. (12.13)

Подставляя выражение (12.12) в уравнение импульсов на плоской

пластинке (12.7), вычислим входящие в него интегралы:

푤 푑푦 = 푤푦훿

/푑푦 =

79 푤 훿 , 푤 푑푦 = 푤

푦훿

/푑푦 =

78 푤 훿 .

Опуская промежуточные выкладки, запишем конечную формулу

длярасчета толщины турбулентного слоя на пластинке:

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

107

Рис. 12.6

훿 = , (12.14)

Отметим, что толщина турбулентного слоя пропорциональна х4/5 , т.е.

она нарастает вдоль пластинки гораздо быстрее, чем в случае ламинарного

пограничного слоя, где δ~x1/2. Это объясняется тем, что в турбулентном слое

вследствие перемешивания частиц торможением охватываются более

толстые слои внешнего потока, чем в случае ламинарного слоя.

Подставляя значение δ из (12.14) в формулу (12.13), получим

выражение для касательного напряжения τ в турбулентном слое пластинки:

휏 =0,37푥

푅푒∙

휌푤2 (12.15)

Выражение (12.15) показывает, что в

турбулентном слое τ убывает с удалением от

входной кромки пропорционально х-1/5т.е. менее

интенсивно, чем в случае ламинарного слоя, где

τ~x-1/2.Распределение касательных напряжений по

длине пластинки, на которой ламинарный

пограничный слои переходит в турбулентный при х = хкр, представлено на

рис.9.6.

Определим полную силу трения для пластинки длиной l и шириной b.

Сила трения на одной стороне пластинки равна

푅 = 푏 휏푑푥 = 0,0578휌푤

2푣

푤

/푥 푑푥 = 0,144푏휌푤

푣푤 푙

/ ,

отсюда коэффициент трения

퐶 . =푅

푏푙=

0,072 , или С . =

0,072푅푒

(12.16)

При числах Рейнольдса Rex= <2∙107 формула (12.16) находится

вхорошем согласии с экспериментальными данными. При Rel>2-

107значенияСтр.т получаются несколько заниженными.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

108

Наряду со степенным заданием скорости в турбулентном слое (12.12),

уравнение импульсов (12.7) проинтегрировано также при логарифмическом

распределении скоростей в пограничном слое:U-wx~lnδ; такой способ

задания скорости является универсальным для более широких значений

Rel(от 106до 109). Использование логарифмического закона приводит к

следующей формуле для Стр.т.:Стр.т = ,( ) , .

При не слишком больших значениях Rel последняя формула дает

результаты, практически совпадающие с расчетом по (12.16).

Пример. Опыт показывает, что положение точки перехода и,

следовательно, величина критического местного числа Рейнольдса Rexкр

зависят от условий входа потока, состояния поверхности пластинки и от

степени турбулентности набегающего потока, при этом Rexкp всреднем равно

5∙105, но может меняться в пределах от 0,9∙105 до 11∙105. Пусть, например,

пластинка длиной 1 м и шириной 0,5 м обтекается водой при температуре

20° С (v=10-6 м2/с) со скоростью 1 м/с. Местное число Рейнольдса,

вычисленное для х = 1, составляет

Rel= ∞ = 106

При таком значении числа Рейнольдса пограничный слой на

пластинке может быть как ламинарным, так и турбулентным.

Вычислим толщины слоя у выходной кромки пластинки и величины

силы трения для обоих возможных режимов движения в пограничном слое.

Для ламинарного слоя в соответствии с формулой (12.9) толщина Sу

выходной кромкиравна

훿 л =4,901

푅푒, = 4,9 мм.

Сила трения Rтр.л , в соответствии с формулой (12.10), равна

푅 .л = 퐶 .л퐹휌푤∞

2= 1,378

2푏푙푅푒

휌푤∞

2= 0,689 퐻.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

109

Пусть теперь условия обтекания пластинки благоприятны для

ранней турбулизации пограничного слоя (шероховатая поверхность, высокая

степень турбулентности набегающего потока). Как отмечалось выше, в таких

условиях Rexкр может уменьшаться до величины 0,9∙105; при этом

ламинарный пограничный слой на пластинке имеет место до

xкр =Re .кр

w∞= 9 см,

т.е. занимает лишь 9% поверхности пластинки. Пренебрегая этим

начальным участком, вычислим δ и Rтр, предполагая, что на всей пластинке

пограничный слой турбулентный. Используя формулу (12.14), определим его

толщину у выходной кромки

δ л =0,371

Re= 23,3 мм ,

т.е. в 4,8 раза больше, чем для ламинарного слоя. Сила трения с

использованием формулы (9.16) оказывается равной

R .л = C .лFρw∞

2=

0,072

Re∙ 2bl

ρw∞

2= 4,55 H

т.е. в 6,6 раза больше, чем в случае ламинарного слоя.

Приведенный пример показывает, что замена турбулентного режима в

пограничном слое ламинарным на одном и том же теле приводит к

значительному уменьшению силы сопротивления. Это обстоятельство

выдвигает проблему ламинизации пограничного слоя в одну из

первоочередных для современной гидроаэромеханики. Даже увеличение

длины ламинарного входного участка за счет отодвигания точки перехода

вниз по потоку приводит к значительному выигрышу в силе трения.

Факторы, влияющие на «турбулизации» пограничного слоя

Рассмотрим явление турбулизации пограничного слоя в аналогии с

переходом течения в трубе из ламинарного в турбулентное. При

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

110

равномерном течении в трубе в ее поперечном сечении, как и в пограничном

слое, происходит нарастание скорости от стенки к оси (например, для

ламинарного течения в трубе эпюра скоростей была показана на рис. 3.4).

Поэтому толщину пограничного слоя можно считать аналогичной радиусу

трубы푟 = и можно вычислять число Рейнольдса по толщине пограничного

слоя.

Reδ =w∞δ

v .

Опыт показывает, что критическое число Рейнольдса Reδкр на

пластинке оказывается в среднем близким к 푅푒кр = для трубы. Это

обстоятельство говорит о том, что потеря внутренней устойчивости

ламинарного движения в трубе и в пограничном слое имеет одинаковую

природу.

Имеются, однако, и существенные различия между этими явлениями.

В трубе величина Reкр практически не зависит от начальных

возмущений, вносимых в поток на входном участке трубы; эти возмущения

затухают в ламинарном течении, и только потеря внутренней устойчивости

приRe>Reкр приводит к появлению пульсаций. В пограничном слое,

наоборот, положение точки перехода существенно зависит от интенсивности

турбулентных пульсаций в набегающем потоке. Это связано с тем, что через

внешнюю границу пограничного слоя в него непрерывно поступают

возмущения из внешнего потока. При повышении степени возмущенности

этого потока величина критического числа Рейнольдса уменьшается, точка

перехода смещается навстречу течению. Таким образом, увеличение

интенсивности пульсаций во внешнем потоке способствует ранней

турбулизации пограничного слоя.

В трубе величина Rекр практически не зависит от степени

шероховатости стенок: при ламинарном течении скорость вблизи стенки

равна нулю, и выступы шероховатости лежат в застойной области. В случае

пограничного слоя у входной кромки пограничный слой только начинает

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

111

развиваться (δ∣x=0=0) и бугорки шероховатости высовываются из

пограничного слоя, внося в него возмущения. Поэтому повышение степени

шероховатости способствует ранней турбулизации пограничного слоя и

увеличению сопротивления трения. Это явление особенно сильно

сказывается при больших скоростях обтекания, поэтому увеличение

скоростей (в авиации, турбиностроении и т.д.) предъявляет повышенные

требования к чистоте обработки обтекаемой поверхности, особенно вблизи

входной кромки.

Величина критического числа Рейнольдса и связанная с ней

координата точки перехода xкр зависит также от того, является ли течение

конфузорным.

Повышение скорости вниз по течению в конфузорном канале >

0 угнетаетразвитие пограничного слоя и способствует его ламинизации,

величина критического числа Рейнольдса возрастает. Наоборот, переход к

диффузорному течению > 0 способствует ранней турбулизации

пограничного слоя. Например, на спинке крыла самолета или лопатки

турбомашины имеется входной конфузорный участок, где скорость

возрастает с координатой х; здесь пограничный слой, как правило,

ламинарный. В задней части крыла поток диффузорный и пограничный слой

турбулентен. Точка перехода обычно близка к сечению, в котором = 0.

12.3. ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ И СОПРОТИВЛЕНИЕ

ПРИ ОТРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ

Возникновение отрыва

Рассмотрим обтекание выпуклой поверхности потоком вязкой жидкости

(рис. 12.7). За точкой минимума давления в кормовой части обтекаемого тела

скорость вниз по течению падает, давление нарастает > 0

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

112

Рис. 12.7

Жидкость в этой области движется против подтормаживающего

действия перепада давления. Если бы она была идеальной, то запаса ее

кинетической энергии, накопленного в результате возрастания скорости у

выпуклой стенки (участок < 0 на рис. 12.7), хватило для преодоления

этого торможения и поток сомкнулся бы у задней критической точки. В

случае, когда жидкость вязкая, она теряет в пограничном слое свою

механическую энергию на трение. Поэтому встречный перепад давления

вызывает сначала остановку, а затем и попятное движение жидкости в

пограничном слое (пограничный слой как бы выдавливается навстречу

основному потоку). При встрече прямого и попятного течения (точкаSна

рис.12.7) линии тока оттесняются от поверхности тела, толщина

пограничного слоя резко увеличивается, а затем и происходит его отрыв от

поверхности тела. Из рис. 12.7 следует, что в точке отрываSпродольная

составляющая скорости wx у поверхности обтекаемого тела не меняется с

координатой у, поэтому условие отрыва записывается математически в виде

푑푤푑푦

∣ = 0 .

Из приведенных соображений ясно, что основная причина отрыва

пограничного слоя - возрастание давления вниз по течению. В некоторых

специальных случаях явление отрыва может вызываться также действием

значительных по величине массовых сил, «отжимающих» поток от стенки

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

113

Рис. 12.8

(например, центробежной и кориолисовой сил инерции в межлопаточном

канале турбомашины).

Появление отрыва резко меняет картину обтекания тела по сравнению

с обтеканием идеальной жидкостью. За точкой отрыва линии тока как в

пограничном слое, так и во внешнем потоке уже не следуют вдоль контура

обтекаемого тела. Частицы пограничного слоя в результате отрыва и

закручивания значительными градиентами скорости, свойственными

течению в пограничном слое, образуют вихри, которые поочередно отходят

от поверхности тела и уносятся потоком, формируя за телом

аэродинамический, или кильватерный, след (область 3 на рис. 12.2). Если в

лобовой части обтекаемого тела распределение скоростей и давлений во

внешнем потоке очень близко к соответствующему распределению при

обтекании тела идеальной жидкостью, то в кормовой части вследствие

отрыва пограничного слоя и образования вихревого следа картина течения

оказывается совершенно отличной от движения идеальной жидкости. В

частности, картина течения при поперечном обтекании кругового цилиндра

представлена на фотографиях различных последовательных стадий

обтекания (рис. 12.8).

На рис. 12.8, а, соответствующем начальному моменту движения,

пограничный слой еще не успел образоваться и линии тока такие же, как при

потенциальном обтекании цилиндра (идеальная жидкость, см. рис. 8.3, а).На

рис. 12.8, б пограничный слой, образовавшийся у поверхности цилиндра»

отрывается и начинается вихреобразование. Рис. 12.8, в демонстрирует окон-

чательную стадию образования вихревого следа за цилиндром, симметрия

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

114

Рис. 12.9

вихрей нарушена, вихри поочередно отходят от поверхности цилиндра и

сносятсяпотоком, вызывая пульсации скорости и давления в

аэродинамическом следа образование дорожки Кармана (см. рис. 11.3).

Силовое взаимодействие потока с телом при отрывном обтекании

Отрывпограничного слоя и образование вихревого следа коренным

образом меняют распределение давления по поверхности тела. Рассмотрим,

например, поперечное обтекание круглого цилиндра. Распределение

давления в зависимости от углаΘ , отсчитываемого от передней критической

точки, показано на рис. 12.9 (I и II - экспериментальные кривые, III -

теоретическая для безотрывного обтекания идеальной жидкостью).

Симметрия коэффициентов давления р относительно поперечного диаметра

цилиндра, характерная для потенциального обтекания (кривая III), при

отрывном обтекании нарушается.

В результате экспериментальных продувок дренированных

моделей в аэродинамических трубах установлено, что в лобовой части

цилиндра (при Θ< 40°) давление в реальной и идеальной жидкости

распределено одинаково. У Миделя цилиндра, т.е. при Θ = 90°, минимум

давления при отрывном обтекании оказывается менее глубоким, чем при

потенциальном. В кормовой части Чилиндра (приΘ> 100°) давление остается

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

115

практически постоянным; оно ниже Давления в лобовой части цилиндра и

даже ниже давления невозмущенного Потока. Максимум давления у задней

критической точки (при Θ = 180°), характерный для потенциального

обтекания, отсутствует. В итоге равнодействующая элементарных сил

давления, приложенных к поверхности, неравна нулю и направлена по

потоку. Парадокс Даламбера в потоке реальной жидкости не соблюдается.

Отрыв пограничного слоя и образование зоны пониженного давления

в вихревом следе за кормовой частью приводит к появлению силы лобового

сопротивления, величина которой определяется шириной аэродинамического

следа и степенью понижения давления в нем. Эти факторы существенно

зависят от формы обтекаемого тела, поэтому сопротивление от разности

давлений иногда называют сопротивлением формы. Для плохо обтекаемых

тел (таких, как шар, цилиндр; пластинка, поставленная поперечно к потоку)

сопротивление от разности давления обычно намного превышает силу

сопротивления, обусловленную трением в пограничном слое. Сопротивление

формыRxвычисляют по общей формуле для определения аэродинамических

сил:

где в качестве характерной площади F принимают площадь миделевого

сечения тела. Коэффициент сопротивления Сх, показывающий, какую долю

динамического давления потока составляет разность давлении наплощадь

миделя F,определяется опытным путем, продувкой моделей тел в

аэродинамических трубах. Ниже представлены значения коэффициентов

лобового сопротивления Сх для ряда тел, которые остаются постоянными

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

116

в широком диапазоне чисел Рейнольдса Re= .

Опыт показывает, что для одних и тех же тел распределение давления

на поверхности и величина Сх при различных условиях не остаются

постоянными.

Например, при обтекании цилиндра сечение отрыва может лежать

приΘ = 83°; в этом случае аэродинамический след имеет большую ширину,

разность давлений в лобовой и кормовой частях особенно велика (кривая I на

рис. 12.9). В других условиях опыта сечение отрыва смещается до Θ = 120°,

аэродинамический след сужается, асимметрия давлений относительно

миделя уменьшается (кривая II); цилиндр становится как бы «лучше

обтекаемым».

Для объяснения этого явления, а также для выяснения общего

характера изменения сопротивления тел при различных условиях опыта

обратимся к экспериментам по исследованию обтекания шара. Зависимость

Сх шара от числа Реинольдса Re= , полученная на основании

многочисленных опытных продувок, представлена на рис. 11.1

При очень малых значенияхRe(примерно доRe=10)

сопротивление обусловлено влиянием вязкости. Пограничного слоя в

обычном понимании этого явления на шаре нет. Скорость медленно

нарастает с удалением от поверхности; обтекание безотрывное. В этих

условиях коэффициент сопротивления резко убывает с ростом Re.

При достаточно больших значениях числа Рейнольдса

(порядкаRe=103) поверхности шара развивается ламинарный пограничный

слой, в области встречного перепада давления наблюдается отрыв слоя, за

кормовой частью формируется вихревой след (рис. 12.8, в). Сопротивление

от разности давлений преобладает над силой вязкого трения. Дальнейшее

увеличениеReприводит к тому, что сопротивление трения становится

исчезающе малым по сравнению с сопротивлением формы; этот участок

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

117

зависимости Сх = f (Re),вплоть до Re≈ 5∙105 , называют областью

автомодельного сопротивления (здесь С≈0,45и не меняется с изменениемRe).

При возрастании числа Рейнольдса до величины примерно 5∙105

наблюдается резкое падение коэффициента сопротивления; это явление

получило название кризиса сопротивления. Оно объясняется тем, что при

достаточно больших значенияхReламинарный пограничный слой на

поверхности шара переходит в турбулентный. Появление турбулентных

пульсаций в слое приводит к резкому увеличению обмена количеством

движения между внешним потоком и пограничным слоем, в итоге внешний

поток сжимает аэродинамический след, сечение отрыва смещается вниз по

потоку; шар становится «лучше обтекаемым».

Приведенное объяснение кризиса обтекания может быть

проиллюстрировано следующим простым опытом. Если при продувке шара в

аэродинамической трубе в области докризисного обтекания (например, при

числе Рейнольдса около 105) на его лобовую часть надеть тонкое

проволочное кольцо, турбулизирующее пограничный слой, то сечение

отрыва смещается вниз по потоку и сила сопротивления резко уменьшается.

Явление кризиса обтекания характерно не только для шара, но и для

других плохообтекаемых тел. В частности, на рис. 9.9 кривая I соответствует

распределению давления при докризисном обтекании цилиндра, кривая II -

при кризисном обтекании. Величины Сх, приведенные выше для разных тел,

даны для автомодельного сопротивления, когда силы вязкого трения уже не

сказываются на сопротивлении, а кризис еще не наступил.

Влияние различных факторов на явление отрыва. Управление

пограничным слоем

Силы, приложенные к поверхности обтекаемого тела, можно

разложить на касательные и нормальные. Проекция главного вектора

касательных сил на направление невозмущенного потока называется

сопротивлением трения; она определяется характеристиками пограничного

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

118

Рис. 12.10

слоя. Соответствующая проекция главного вектора сил давления называется

сопротивлением давления.

Как показано выше, сопротивление давления из-за разности давлений

в лобовой и кормовой частях появляется вследствие отрыва, т.е. опять-таки

определяется характеристиками пограничного слоя. Поэтому проблема

управления пограничным слоем (УПС) является одной из основных проблем

в теории силового взаимодействия потока с обтекаемым телом.

Выше отмечалось, что для тел с затупленной кормовой частью (шар,

цилиндр) сопротивление трения исчезающе мало по сравнению с

сопротивлением давления. Поэтому наиболее перспективный путь решения

задачи уменьшения полного лобового сопротивления - это уменьшение

сопротивления давления. Задача решается приданием телу удобообтекаемой

формы, при которой отрыва пограничного слоя нет или в крайнем случае

сечение отрыва смещено по возможности ниже по потоку.

Основной фактор, способствующий предотвращению отрыва в

широком диапазоне чисел Рейнольдса, - это уменьшение встречного

перепада давления. Известно, что продольное обтекание тонкой пластинки

равномерным потоком, когда = 0, осуществляется без отрыва. Эксперимент

показывает, что безотрывно могут обтекаться также тела сигарообразной

формы с заостренной кормовой частью или крылья малой толщины при

незначительной величине продольного градиента давления у их задней

кромки.

В случаях значительных продольных перепадов давления в

диффузорной части потока за миделем обтекаемого тела сечение отрыва

может быть смещено вниз по потоку, если понижать давление у стенки за

счет отсоса некоторого количества жидкости. На рис. 12.10 представлены

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

119

Рис. 12.11

фотографии картины движения жидкости в канале, образованном

изогнутыми стенками. В местах, показанных стрелками, пограничный слой

может отсасываться внутрь обтекаемой поверхности. На рис. 12.10,а

приведен случай, когда отсос не производится: непосредственно за сечением

минимума давления поток отрывается от стенок. На рис. 12.10,б

пограничный слой отсасывается у обеих стенок. В этом случае отрыв

наступает за сечением отсоса; количество жидкости, отсасываемой для

предотвращения отрыва, оказывается сравнительно небольшим.

Отсос пограничного слоя применяется не только для смещения вниз

по потоку точки отрыва, но также и для затягивания явления перехода

ламинарного слоя в турбулентный на удобообтекаемых телах с целью

уменьшения сопротивления трения. Как отмечалось в подразделе 12.2,

турбулизация пограничного слоя на крыле или лопатке турбомашины

происходит обычно в начале диффузорного участка за точкой минимума

давления. Если прорезать ниже этой точки щель, соединяющую поверхность

канала с полостью, в которой поддерживается пониженное давление (рис.

12.10,а), то пограничный слой будет отсасываться внутрь крыла,

диффузорный участок превращается в конфузорный, толщина пограничного

слоя становится меньше критической и точка перехода сдвигается вниз по

потоку.

Управление пограничным слоем возможно и другим способом. Так

как причина отрыва - нарастание давления вниз по потоку, для преодоления

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

120

Рис. 12.12

которого недостает кинетической энергии

заторможенных частиц пограничного слоя, то

искусственное увеличение скорости (т.е.

увеличение кинетической энергии частиц)

приведет к смещению сечения отрыва вниз по

потоку. Такое сдувание пограничного слоя на

верхней поверхности крыла показано на рис.

12.11б.

В некоторых специфических условиях на поток действуют очень

значительные по величине поперечные силы (например, силы инерции в

межлопаточном канале турбомашины или лоренцовы силы при движении

электропроводной жидкости в магнитном поле). В этом случае точка отрыва

смещается вниз по потоку у той стенки канала, у которой массовая сила

«прижимает» течение и, наоборот, приближается к входу в канал у стенки, от

которой течение «отрывается» поперечной силой.

Взаимодействие пограничного слоя со скачками уплотнения

Рассмотрим взаимодействие скачка уплотнения с пограничным слоем

на твердой поверхности, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа

(рис.12.12). Так как на обтекаемой поверхности скорость равна нулю

(условие 12.2), а на внешней границе пограничного слоя (при у = 8) она

сверхзвуковая, то пограничный слой можно разделить на две области:

сверхзвуковую (внешнюю) Iи дозвуковую II.Граница раздела показана на

рис. 12.12 а штриховой линией. Скачок уплотнения ЛВ, пересекая

сверхзвуковую часть слоя, не продолжается в дозвуковую часть.

Вызванные скачком возмущения сжатия через дозвуковую часть

пограничного слоя распространяются навстречу потоку на значительные

расстояния от основания скачка (примерно 50<5). Таким образом,

продольное нарастание давления осуществляется в пограничном слое уже не

скачком, а постепенно. Эпюра давления показана

на рис. 12.12 стрелками. Продольное нарастание давления влечет за собой

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

121

Рис. 13.1

утолщение пограничного слоя, а при достаточно большой величине и его

отрыв от обтекаемой поверхности.

Нарастание толщины пограничного слоя и толщины вытеснения δ*

приводит к оттеснению линий тока от поверхности тела, равносильному

повороту стенки во внутреннем тупом угле (см. рис. 4.6, в). В потоке

появляется помимо основного скачка АВ слабый косой скачок ВС, система

скачков принимает характерную λ-образную форму (рис.12.12, б). В

результате резкого повышения давления в скачке пограничный слой за

скачком обычно оторван от поверхности тела. Поэтому возрастание

сопротивления при сверхзвуковых скоростях обусловлено не только

потерями механической энергии при ударном сжатии в скачках, но и

появлением вихревых областей вследствие отрывного обтекания.

Глава13. КРЫЛО И ЛОПАТОЧНАЯ РЕШЕТКА В ГАЗОВОМ

ПОТОКЕ

13.1 Геометрические параметры крыла

Тела достаточно большого удлинения с заостренной

задней кромкой, обтекаемые продольно или под

небольшими углами атаки, называются в

гидроаэромеханике крыльями.

Крыло характеризуется профилем и формой в плане.

Профилем крыла называется его поперечное сечение

плоскостью, параллельной направлению набегающего

потока. В зависимости от назначения крыла форма профиля может быть

различной. На рис.13.1 показаны типичные профили: для крыла и пропеллера

дозвукового самолета, а также для компрессорной лопатки (а), для крыла

сверхзвукового самолета (б), для реактивной лопатки паровой турбины (в),

для активной лопатки (г).

Хордой профиля в (рис.13.1, с)) называют отрезок, соединяющий две

наиболее удаленные тонки. Толщина профиля с - это длина отрезка, перпен-

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

122

дикулярного к хорде, между верхним и нижним контурами профиля.

Пунктиром показана средняя линия профиля, представляющая собой

геометрическое место точек, равноудаленных от верхнего и нижнего

контуров; хс - расстояние от передней кромки до сечения максимальной

толщины; а - угол атаки. Важная характеристика крыла в плане - это

удлинение Λ, равное отношению квадрата длины крыла l к его площади, т. е.

훬 = для прямоугольного крыла удлинение равно отношению длины

крыла к хорде: 훬 = = = .

В теории крыла «бесконечного размаха» не принимаются во внимание

искажения картины течения у концов крыла (что соответствует удлинению

Λ= ∞). Эффекты, связанные с влиянием концов крыла на поток, учитываются

теорией крыла конечного размаха.

Аэродинамические характеристики крыла

Поперечная сипа, действующая на крыло, согласно теории идеальной

жидкости, определяется формулой Жуковского (8.3):

Ry= pw∞Гl

Входящая в нее циркуляция Г может быть определена для идеальной

жидкости с использованием постулата Чаплыгина-Жуковского

аналитическими методами или экспериментально (методом ЭГДА). В случае

реальной жидкости потенциальный поток испытывает обратное влияние

пограничного слоя (в частности, оттеснение линий тока за счет торможения в

пограничном слое). Это влияние может быть учтено расчетом толщины

вытеснения δ* и соответствующим увеличением толщины профиля. Теория

пограничного слоя позволяет также определить силу трения на поверхности

крыла, увлекающую его в направлении потока.

Такой расчет достаточно сложен и трудоемок; в то же время, при

отрыве струй от крыла он не позволяет с требуемой точностью учесть

искажение внешнего потока. В случае отрывного обтекания невозможно

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

123

Рис. 13.2

определить изменение циркуляции и величины давления на поверхности

крыла за точкой отрыва, которые обусловливают величину подъемной силы

и лобового сопротивления. Поэтому практические расчеты подъемной

силыRyи силы лобового сопротивленияRxкрыла обычно ведут с

использованием общих формул (10.4)для определения силового

взаимодействия потока с обтекаемым телом:

Ry= CyFpw2/2,Rx= CxFpw2/ 2 , (13.1)

где F - площадь наибольшей проекции крыла, называемая площадью

крыла. Для прямоугольного крыла F =bl. Коэффициенты подъемной силы Сy

и лобового сопротивления Сx определяются опытным путем в результате

измерения подъемной силы и силы лобового сопротивления при продувке

моделей крыльев в аэродинамических трубах.

Аэродинамические коэффициенты Сy и Сx

зависят от формы и толщины профиля и в очень

значительной степени от угла атаки a. Кривые

зависимостей Сy(а) и Сx(а) для крыла данной формы

и толщины называются характеристиками крыла.

Типичные характеристики тонкого мало изогнутого

крыла представлены на рис. 13.2

Анализ кривых Су(а) и Сх(а) показывает, что с увеличением угла атаки

коэффициент подъемной силы Су (а следовательно, при постоянной скорости

потока и подъемная сила данного крылаRy) сначала нарастает почти по

линейному закону и при некотором значении а = акрСу достигает максимума.

(Углы атаки, меньшие акр, в авиации называют лётными). Дальнейшее

увеличениеа приводит к резкому уменьшению коэффициента подъемной

силы. Коэффициент лобового сопротивления Сх сначала медленно

увеличивается с ростом а и при а >акp резко возрастает. Такой вид

характеристик объясняется явлениями в пограничном слое крыла. При

критическом угле атаки, когда диффузорность потока у спинки создает

достаточно большой встречный перепад давления, в задней части спинки

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

124

крыла поток отрывается, что сразу приводит к возрастанию лобового

сопротивления и уменьшению подъемной силы. Опыт показывает, что при

отсосе или сдуве пограничного слоя акр увеличивается.

Влияние сжимаемости газа на характеристики крыла

При малой скорости газового потока (числа М < 0,3) сжимаемость

газа не оказывает заметного влияния на распределение давлений по

поверхности крыла, величину подъемной силы и сопротивления. В этой

области чисел Маха газ можно считать несжимаемой жидкостью.

При увеличении скорости газа начинает сказываться влияние сжимае-

мости. Ввиду сложности происходящих при этом явлений, их точный анализ

встречает непреодолимые математические трудности. Поэтому получили

развитие приближенные способы решения проблемы, развитые в работах

Прандтля, С.А.Чаплыгина, С.А. Христиановича. Наибольшее

распространение имеет метод малых возмущений, разработанный

применительно к обтеканию тонких мало изогнутых тел при небольших

углах атаки. Возмущения, которые вносит такое тело в поток, невелики

сравнительно с его скоростью.

Изложим без вывода основные результаты, полученные в рамках

метода малых возмущений.

При больших дозвуковых скоростях тонкий мало изогнутый профиль

вносит в поток газа более сильные возмущения, чем в несжимаемой

жидкости. Для того чтобы получить такие же возмущения в несжимаемой

жидкости, нужно увеличить толщину профиля и угол атаки в1/(1-M∞2)0.5 раз

(здесь М∞-число Маха невозмущенного потока). Поэтому для газового

потока коэффициент давления на поверхности профиля рсж = p/(pw∞2/2) и

коэффициент подъемной силы Су сж можно получить из соответствующих

коэффициентов для несжимаемой жидкости:

Ry= Cy Fpw2/2,Rx= CxFpw2/ 2 , (13.2)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

125

Рис. 13.3

Рис. 13.4

При малых числах Мх поправки на сжимаемость близки к нулю.

При движении вдоль поверхности обтекаемого

тела скорость изменяется. На рис. 13.3 показан график

распределения скорости вдоль линии тока, проходящей

по поверхности крыла.

В местах поджатая потока (точка А) скорость

газа достигает максимума, а местная скорость звука в

соответствии с уравнением энергии газового потока - минимума. С

увеличением скорости набегающего потока при некотором значении М∞ =

Мкр на поверхности крыла достигается скорость,

равная местной скорости звука, т.е. критическая

скорость акр, определяемая формулой (1.14).

Величина Мкр называется критическим числом

Маха; она меньше единицы и зависит от

толщины обтекаемого тела и угла атаки.

При дальнейшем увеличении w∞ когда Мкр< М∞< 1, у поверхности

крыла образуются области сверхзвукового движения (рис. 13.4). Переход

дозвукового течения в сверхзвуковое (их граница показана на рисунке

пунктирной линией) происходит плавно. Обратный переход сверхзвукового

течения в дозвуковое в хвостовой части профиля осуществляется через

прямой скачок уплотнения АВ.

Появление скачков уплотнения при Мкр< М∞< 1 очень усложняет

анализ течения. Распределение давления на поверхности крыла и подъемная

сила становятся совсем другими, чем при докритическом обтекании. Сила

лобового сопротивления крыла увеличивается за счет волновых потерь в

скачках уплотнения. Кроме того, взаимодействие скачков с пограничным

слоем может приводить к отрывам и вихреобразованию. С приближением

числаM∞ к единице сверхзвуковые области расширяются, скачки

уплотнения сдвигаются к задней кромке. Сопротивление круто растет.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

126

Рис. 13.5

При М∞> 1 имеем сверхзвуковое обтекание крыла. Для уменьшения

потерь сверхзвуковые крылья изготавливают с острой передней кромкой.

(Картина сверхзвукового обтекания пластинки, чечевицеобразного и

ромбовидного крыльев была показана на рис. 5.1 и 5.2; способы расчета поля

скоростей изложены в разделе 6). Основной вклад в силу сопротивления при

сверхзвуковом обтекании профиля вносят волновые

потери; потери на трение в пограничном слое

сравнительно невелики. Анализ показывает, что

величины коэффициентов давления р, подъемной силы

Су и волнового сопротивления Сх при обтекании

тонкого крыла обратно пропорциональны

величине 푀∞ − 1, , т. е. уменьшаются с ростом чисел

Маха М∞. Примерный характер зависимости коэффициентов лобового

сопротивления одиночного крыла от числа дан на рис. 13.5.

Индуктивное сопротивление. Элементы теории крыла конечного

размаха

При обтекании крыла конечного размаха жидкость перетекает вокруг

его концов из-под крыла, где давление повышено, в область минимального

давления над крылом. Согласно простейшей схеме этого явления,

предложенной С.А. Чаплыгиным, крыло конечного размаха возбуждает в

потоке такие же возмущения, как П-образная система вихрей, показанная на

рис. 13.6. Свободные вихревые трубки, сходящие с конца крыла и уходящие

в бесконечность, имеют ту же интенсивность, что и вихрь, порождаемый

крылом. Свободные вихри, сходящие с концов крыла, возбуждают

(индуцируют) около себя поле скоростей, которое накладывается на скорость

невозмущенного потока. В итоге набегающий поток между этими

свободными вихрями отклоняется вниз, имеет место скос потока. Если

скорость невозмущенного течения равнаw∞, а скорость, индуцируемая

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

127

Рис. 13.6 Рис. 13.7

свободными вихрями, -wi(рис. 13.7), то малый угол скоса ∆а определяется

выражением

∆a ≈ tg∆a =∞

Но по теореме Жуковского подъемная сила крыла Ryнаправлена

перпендикулярно к полному вектору скорости. Поэтому в случае скоса

потока сила Ry может быть разложена на составляющие: подъемную силуR'y

индуктивное сопротивлениеRi. Очевидно, что при малых углах скоса

R = R′ tg∆a = R∞ (13.3)

Согласно теории, разработанной С.А.Чаплыгиным, индуктивное

сопротивление пропорционально квадрату подъемной силы крыла.

13.2. Лопаточная решетка

Геометрические параметры лопаточных решеток

В турбомашине преобразование энергии движущегося газа

происходит в результате силового взаимодействия потока с неподвижными

лопатками направляющего аппарата и вращающимися лопатками ротора.

Решетка турбомашины - это система лопаток одинаковой формы,

равномерно размещенных по некоторой поверхности вращения (рис. 13.8, а).

В случае, если длина лопатки l мала по сравнению с диаметромd,можно

пренебречь веерностью решетки и рассматривать лопаточный венец или

прямую решетку лопаток (рис.13.8,б). Профиль лопатки по длине может

быть переменным; при большой длине лопатки lприменяется ее «закрутка».

Сечение прямой решетки лопаток плоскостью, нормальной к

образующей лопатки, дает плоскую решетку профилей. Таким образом,

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

128

плоской решеткой профилей называется бесконечный ряд одинаковых

профилей, расположенных на равных расстояниях друг от друга и

образующих одинаковые углы с прямой линией, соединяющей сходственные

точки профилей. Эта линия называется фронтом решетки (ось и на рис. 13.8),

а перпендикулярная к ней прямая есть ось решетки (ось а на рис.13.8).

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

129

Рис. 13.8 Важнейшими параметрами решетки являются: длина лопатки l; шаг

решеткиt,характеризующий ее густоту; хорда профиля b; установочный угол

βу, входной и выходной углы лопатки β1Л и β2л. Смысл этих величин ясен из

Рис. 13.8. Относительным шагом решетки t =t/ b называется отношение шага

к хорде профиля. Угол, образованный касательными к осевой линии профиля

у его входной и выходной кромок, называется углом изгиба профиля.

Углы входа и выхода потока могут, вообще говоря, не совпадать с

соответствующими углами входной и выходной кромок профиля. Если поток

входит в межлопаточный канал по касательной к средней линии лопатки

(β1=β1л), то такой вход называется безударным. При безударном входе потока

входные потери энергии сводятся к минимуму. В β1≠β1л имеем вход под

«углом атаки»i=β1л-β1. Этот угол считают положительным, если поток на

входе в решетку направлен на вогнутую часть лопатки, и отрицательным - в

противном случае.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

130

По влиянию на поток решетки делят на конфузорные, активные и

диффузорные.

В конфузорной решетке скорость потока на выходе больше, чем на

входе: статическое давление в ней уменьшается. Конфузорные решетки

используются как сопловые в направляющем аппарате турбины.

Вактивной решетке изменяется только направление скорости, а ее

величина остается неизменной. Статическое давление потока в активной

решетке не меняется. Активные решетки применяются в первых ступенях

ротора турбины. На выпуклой поверхности лопатки скорость газа в среднем

больше, чем на вогнутой. Поэтому результирующая сила давления на

лопатку направлена в сторону спинки лопатки. Эта сила и создает полезный

момент, вращающий ротор.

В диффузорной решетке происходит торможение потока, статическое

давление растет. Диффузорные решетки используются в компрессорах.

Совокупность сопловой и рабочей решеток называетсяступенью

турбомашины. Ступень турбины называют активной, если расширение

потока происходит только в сопловых неподвижных решетках, а на рабочих

лопатках давление остается постоянным. В реактивной ступени пар

расширяется не только в сопловой, но также и в рабочей решетке.

Силовое взаимодействие потока с одиночной лопаткой решетки.

Формулы Эйлера

При обтекании решетки вектор скорости меняется как по величине,

так и по направлению. Поэтому силовое взаимодействие потока с решеткой

имеет специфические особенности.

Пусть β1 и β2 - углы, составляемые направлением входной и выходной

скоростей потока с направлением фронта решетки (рис. 13.8). Выделим в

потоке область, включающую одну из лопаток решетки. Боковые контуры

этой области возьмем в виде линий токаа1а2 и b1b2, расположенных друг от

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

131

друга на расстоянии, равном шагу решетки. Фронтальные границы области

выберем на достаточном удалении от решетки, где скорость течения и

давление можно считать неизменными по шагу. Так как во всех каналах

решетки течение одинаковое, то скорость и давление в точках линий а1а2 и

b1b2, лежащих на одинаковом расстоянии от оси решетки и, также

одинаковы. Пусть скорость течения на входе в выбранную область равна w1,

на выходе w2. Параметры потока на фронтальной границе области

а1b1равныр1 и ρ1, на границе а2b2 - соответственно р2 и ρ2.

Для определения силового взаимодействия потока и решетки

воспользуемся уравнением количества движения, применив его к массе газа,

находящегося в пределах области a1b1b2a2. Изменение во времени количества

движения mwмассы жидкости, заключенной в выбранной области, равно

вектору внешних сил:

[d(mw)]/dτ= f. (13.4)

За промежуток времени dτ границы а1а2 и b1b2 выбранной области

останутся неизменными, будучи линиями тока. Граница а1b1 сместится в

положение а'1b'1, а границаb2а2 - в положение а'2b'2. Вычислим изменение

количества движения в слое единичной толщины в областях а1b1а'1b'1 и

а2b2а'2b'2. При установившемся движении массы жидкости, заключенные в

этихобластях, очевидно, одинаковы. Поэтому приращение количества

движения равно

d(mw) = m(w2–w1),

где масса выражается через составляющую скорости waв направлении

оси а следующим образом:

m = ρ1wlatdτ = p2w2atdτ.

Левая часть уравнения (13.4) приводится теперь к виду

[d(mw)]/dτ = ρlwlatdτ(w2 –w1)= ρ2w2atdτ(w2 –w1).

Проектируя это равенство на направление фронта решетки ии на

направление оси а, получим

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

132

[d(mw)/dτ]u = ρ1w1at(w2u -wlu)= ρ2w2at(w2u-wlu);

[d(mw)/dr]a = ρ1w1at(w2a - wla)= ρ2w2at(w2a - wla).

Внешние силы, действующие на жидкость в объеме a1b1b2a2, сводятся

к силам давления на границахa1b1иb2a2, равным соответственноp1tиp2t,и к

силеR,сообщаемой потоку со стороны обтекаемой лопатки. Очевидно, что

последняя сила численно равна главному векторуР сил воздействия потока

на лопатку и направлена противоположно ему. Фронтальная составляющая

силыRравнаRuи осеваяRa.

Действием внешних массовых сил (силы тяжести и т. д.)

пренебрегаем ввиду малости их влияния на газовый поток. Подставляя

систему (13.5) в уравнение (13.4) и используя изложенные соображения,

получим

ρ1w1at(w2–w1)=R + t(p1 -р2),

или, проектируя последнее равенство на направления и и а:

ρ1w1at(w2u ~wlu)= Ru

ρ1w1at(w2a - wla)=Ra + t(p1 -р2),

Отсюда найдем известные формулы Эйлера (1757 г.) для

составляющих силы воздействия потока на обтекаемую лопатку:

Pu= ρ1w1at(wlu- w2u)= ρ2w2at(w1u- w2u);

Pa=ρ1w1at(wla- w2a)+t(p1 -р2)=ρ2w2at(w1a- w2a)+ t(p1 -р2).

Если составляющие скорости w1uи w2uнаправлены противоположно

(как на рис. 13.8), то они имеют противоположные знаки, в формуле дляРи

разность, стоящая в скобках, превращается в сумму.

Обратим внимание, что входящее в формулу дляРи произведениеt(wIu

-w2u)есть не что иное, как разность циркуляции вектора скорости на отрезках

а1b1иb2а2. При обходе граница1b1 иb2а2, так как они конгруэнтны (т. е.

совпадают при наложении), составляющие циркуляции равны по величине и

имеют противоположные знаки, поэтому полная циркуляция скорости по

контуруa1b1b2a2 равна

(13.5)

(13.6)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

133

Г = t(w1u- w2u) (13.7)

Таким образом, согласно первому уравнению системы (10.6)

поперечная сила, действующая на лопатку единичной длины в решетке,

равна

Pu= ρ1w1aГ=ρ2w2aГ (13.8)

т. е. она определяется формулой, аналогичной формуле Жуковского (13.1),

новместо скорости «на бесконечности» берется составляющая скорости

равномерного потока до (или после) решетки в направлении оси а.

13.3. ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ В РЕШЕТКАХ. ХАРАКТЕРИСТИКИ

РЕШЕТОК

При движении газа через лопаточные решетки турбомашин

механическая энергия потока теряется: вследствие вязкости (а в случае

появления сверхзвуковых областей еще и вследствие ударного сжатия в

скачках уплотнения) она частично переходит в теплоту. Коэффициентом

потерь решетки называют безразмерное отношение

ζ = ∆ЕЕ

(13.9)

где ∆Е - потери механической энергии; Е0 - полная механическая

энергия потока на входе в решетку. Задача проектирования решеток состоит

в том, чтобы свести к минимуму потери энергии и, в то же время, добиться

максимального отклонения потока, т. е. получить по возможности малый

выходной угол потока β2.

Потери энергии в решетках можно классифицировать следующим

образом:

1.Профильные потери, аналогичные потерям при обтекании

одиночного крыла бесконечного размаха. Они складываются из потерь на

трение в пограничном слое, вихревых потерь в случае отрывного обтекания

лопатки, потерь на вихреобразование за выходной кромкой и волновых

потерь при наличии скачков уплотнения.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

134

2. Концевые потери, возникающие вследствие появления вторичных

течений у концов лопатки. В частности, у свободного конца лопатки

(решетка без бандажа) концевые потери аналогичны индуктивному

сопротивлению при обтекании крыла конечного размаха.

Теоретически могут быть определены только потери на трение при

безотрывном обтекании (с помощью теории пограничного слоя) и волновые

потери (с помощью теории скачков уплотнения). Остальные виды потерь

определяются экспериментально, продувкой решеток в специальных

аэродинамических трубах. В этих экспериментах полное и статическое

давление в потоке и на поверхности лопатки измеряется посредством

пневмонасадок и дрен, поле плотности потока - оптическими методами,

профили скорости в пограничном слое - микротрубкой Пито или

электрическими методами. Врезультате определяются все виды потерь и

строятся характеристики решетки, т. е. зависимости коэффициента потерь и

угла поворота от различных параметров

Ζ= f(t, βy, βl, Re, M, ∆, форма).

Здесь Re - число Рейнольдса, вычисляемое для решеток по

формуле

Re =w b

υ ;

гдеυ- кинематический коэффициент вязкости; М число Маха, причем

M =wa

;

∆- толщина выходной кромки лопатки. В частности, строят

нормальную характеристику решетки, которой называют зависимость

коэффициента потерь и угла поворота потока от угла атаки.

По коэффициенту потерь ζ, определяют коэффициент полезного

действия решетки из соотношенияη=1-ζ.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

135

Рис. 13.9

Потери на трение и вихреобразование (при от-

рывном обтекании) определяются свойствами пог-

раничного слоя на лопатке. Пограничный слой лопатки в

решетке показан на рис. 13.9 для безотрывного (а) и

отрывного (б) обтекания. Толщина пограничного слоя,

распределение скоростей и касательных напряжений

трения обусловлены продольным изменением давления

(и скорости) в потоке, т. е. формой межлопаточного

канала (рис. 13.9, г). Вблизи узкого сечения канала, где

давление вдоль потока падает, а скорость возрастает

(конфузорный участок), пограничный слой угнетается, его толщина может

даже уменьшаться вниз по потоку. В косом срезе на спинке давление растет

(диффузорный участок), что приводит к быстрому увеличению толщины

пограничного слоя, а иногда и к отрыву. Потери на трение рассчитываются с

помощью теории пограничного слоя отдельно для ламинарного и

турбулентного участков (опыт показывает, что точка перехода на спинке

профиля лежит вблизи точки минимума давления).

Согласно экспериментальным данным, влияние чистоты обработки

поверхности лопатки на профильные потери оказывается аналогичным

влиянию шероховатости на гидравлическое сопротивление труб. В

частности, при нанесении на поверхность лопаток искусственной

шероховатости в опытах получены кривые зависимости коэффициента

потерь от относительной высоты выступов шероховатости. Поэтому для

уменьшения потерь в турбулентном пограничном слое повышают класс

чистоты обработки лопаток.

Влияние числа М на профильные потери сказывается при больших

дозвуковых, околозвуковых и сверхзвуковых скоростях. Появление

скачковуплотнения приводит к волновым потерям. Как уже указывалось,

волновые потери при обтекании лопатки сверхзвуковым потоком

уменьшаются при заострении входной кромки - в этом случае прямой скачок

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

136

уплотнения заменяется косым. Взаимодействие скачков уплотнения с

пограничным слоем на лопатке способствует турбулизации и отрыву

пограничного слоя. Поэтому переход к околозвуковым и сверхзвуковым

скоростям всегда приводит к увеличению потерь. Примерный характер

зависимости коэффициента профильных потерь от числа М таков же, как и

для изолированного крыла (см рис. 13.5).

Важной составной частью профильных потерь являются кромочные

потери, которые связаны с отрывным обтеканием затупленной выходной

кромки (рис. 13.9, в). Вихревой след за выходной кромкой, как и в случае

обтекания тела с затупленной кормовой частью, переводит часть

кинетической энергии транзитного потока в теплоту. Опыт показывает, что

величина кромочных потерь возрастает с увеличением толщины выходной

кромки∆ и с уменьшением шага решетки t. На лопатках с закругленной

выходной кромкой кромочные потери меньше, чем в случае обрезанной

кромки. При повышении степени турбулентности потока кромочные потери

могут уменьшаться за счет перехода к кризисному обтеканию.

Теоретический расчет величины кромочных потерь, как и расчет

сопротивления при отрывном обтекании, весьма сложен и до сих пор

недостаточно эффективен. Поэтому для их оценки применяются

эмпирические зависимости, полученные на основании опытных данных.

Наиболее простой из таких зависимостей является формула Флюгеля:

휁 = 퐾∆푎

,

где a2- ширина межлопаточного канала в наиболее узкой части;К -

безразмерный коэффициент, равный примерно 0,2. Опыт показывает, однако,

что коэффициентК может меняться в довольно широких пределах в

зависимости от геометрических и режимных параметров решетки.

Влияние геометрических и режимных параметров на

характеристики решетки

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

137

Рис. 13.10 Рис. 13.11

Рассмотрим некоторые результаты экспериментальных продувок

лопаточных решеток.

Влияние шага. Зависимость коэффициента потерь ζ и выходного

углаβ2от относительного шага решеткиt = t/b,полученная экспериментально

для конфузорнойрешетки, представлена на рис. 13.10. Из рисунка видно, что

потери минимальны при некотором оптимальном значении шага. Сгущение

решетки (уменьшение шага по сравнению с оптимальным при безотрывном

обтекании) приводит к возрастанию потерь за счет увеличения поверхности,

омываемой потоком на единицу длины решетки. Разрежение (увеличение

шага по сравнению с оптимальным) приводит к более ранней турбулизации

пограничного слоя на спинке и (при большом шаге t) даже к отрыву.

Величина выходного угла β2 монотонно возрастает с ростом шага.

Влияние установочного угла. Влияние βнаζи β2отражено на рис.

13.11. Как и для шага, имеется некоторый диапазон оптимальных

установочных углов, при которых потери минимальны. Выход за пределы

оптимальных установочных углов приводит к появлению диффузорных

участковна вогнутой поверхности или на спинке, что ускоряет турбулизацию

пограничного слоя и увеличивает потери. Выходной угол β2, естественно,

увеличивается с ростом βу.

Влияние входного угла потока. Влияние β1 на ζ и β2 отражено на рис.

13.12 (а - для конфузорной решетки; б - для активной решетки). Наименьшие

потери соответствуют условиям безударного входа, когда β1 =β1л.Наиболее

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

138

Рис. 13.12

неблагоприятными являются режимы с малыми углами входа, когда на

входном участке спинки появляется диффузорная область, в которой

происходит ранняя турбулизация (или даже местный отрыв) пограничного

слоя. При β1 >β1лдиффузорная область расположена на вогнутой поверхности

лопатки.

Для уменьшения потерь в активных решетках, работающих при

переменных режимах и, следовательно, при переменных углах входаβ1,

входную кромку лопатки закругляют (положение такой входной кромки

показано на рис. 13.12,б пунктиром). Зависимость ζ = f(β1) для активной

решетки стационарной турбины, имеющей более тонкую входную кромку,

показана на рис. 13.12,б кривой 1, а для решетки с закругленной кромкой -

кривой 2. Потери при безударном входе в решетке с закругленной входной

кромкой несколько больше, чем в решетке стационарной турбины. Но зато в

более широком диапазоне входных углов решетка 2 имеет малые потери.

При значительной веерности решетки (когда длина лопатки l

сравнима по величине с радиусом ротораr) элементы лопатки у ее корня и

конца обтекаются под разными углами входа потока. Для уменьшения

потерь прибегают к закрутке лопатки, стремясь к безударному входу потока

по всей ее длине.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

139

Рис. 13.13

Рассмотрим природу концевых потерь. В

межлопаточном канале (рис. 13.13) давление на

вогнутой стороне лопатки больше, чем на спинке.

Частицы газа, движущиеся в пограничном слое у

поверхностей, ограничивающих межлопаточный

канал с торцов (у втулки и бандажа), имеют меньшую

скорость в направлении основного движения, чем

поток в ядре. Поэтому под действием поперечного

градиента давления они приобретают поперечную

составляющую скорости: в пограничном слое у торцевых стенок канала

наблюдается перетекание газа от вогнутой поверхности лопатки к спинке.

Вблизи от концов лопатки на спинке, где линии тока вторичного течения

сближаются с линиями тока транзитного потока, наблюдается набухание

пограничного слоя (пограничный слой показан на рис. 13.13 штриховкой) и

могут появиться даже местные отрывы.

Вторичные течения у концов лопатки обусловливают дополнительные

потери энергии потока. Эти потери связаны с трением, вследствие

вторичного движения, и с вихреобразованием в зонах отрыва. Измерение

полного давления потока на выходе из решетки показывает, что

максимальные потери соответствуют области набухания пограничного слоя

на спинке.

Концевыми потерями называют разность между суммарными и

профильными потерями, измеренными на лопатках значительной длины в

удалении от концов. Опытные данные показывают, что концевые

потериобратно пропорциональны удлинению лопатки, т. е. ζ ~ b/l, где b-

хорда, l- длина лопатки. Для расходящихся межлопаточных каналов

концевые потери увеличиваются с возрастанием угла диффузорностиω(рис.

13.14) а).

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

140

Рис. 13.14

Иной характер имеют концевые потери в решетке без бандажа. В

радиальном зазоре∆rмежду концом лопатки и статором (рис. 13.14,б) газ

перетекает с вогнутой поверхности лопатки на спинку (подобно перетеканию

у концов крыла конечного размаха). Это перетекание приводит к оттеснению

линий тока транзитного течения от поверхности спинки, к набуханию

пограничного слоя и местным отрывам.

Теория индуктивного сопротивления, развитая для крыла конечного

размаха, в чистом виде не может быть применена для определения концевых

потерь решетки, так как перетекание газа с вогнутой поверхности лопатки на

спинку происходит не в безграничном пространстве, а в узком зазоре

шириной∆r. Поэтому концевые потери решеток без бандажа определяют

опытным путем.

Согласно опытным данным Андергуба, концевые потери в таких

решетках возрастают с увеличением радиального зазора ∆rи обратно

пропорциональны длине лопатки. Эмпирическая формула для оценки

концевых потерь в этом случае имеет вид

휁к = 1,7(∆푟 , /푙).

Концевые потери у свободного конца лопатки всегда больше, чем в

решетке с бандажом.

Пример. Рабочая решетка турбины испытывается на воздухе.

Параметры на входе: р1= 2,85 МПа, Т1 = 655 К, w1= 205 м/с, угол входа β1=

19,5°С. На выходе р2 = 2,7 МПа, β2= 20,6°. Шаг решетки 15,4 мм. Определить

параметры воздуха на выходе и силы, действующие на одиночную лопатку.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

141

Рис. 14.1

Плотность воздуха на входе р1 = р1/(RT1)= 15,2 кг/м3.

Процесс расширения - адиабатный, параметры воздуха на выходе из

решетки

휌 = 휌푝푝

= 14,6 кг м ⁄ , 푇 = 푇푝푝

= 645 К

Уравнение неразрывности

휌 푤 = 휌 푤 , или휌 푤 푠푖푛훽 = 휌 2푠푖푛훽 ,

откуда

푤 =휌휌

푤 =휌휌

푤 푠푖푛훽 = 71,2 м с⁄ , 푤 =푤

푠푖푛훽= 202,4 м/с

Аэродинамические силы, действующие на лопатку метровой длины

푃 = 휌 푤 [푤 − (−푤 )] = 6120 Н м⁄ ,

푃 = 휌 푤 (푤 − 푤 ) + 푡(푝 − 푝 ) = 2270 Н/м

Для лопатки длиной L=25 мм полные аэродинамические силы равны

푅 = 푃 퐿 = 155 Н , 푅 = 푃 퐿 = 56,7 Н .

Глава 14. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ

14.1. Распыливание жидкости

Характеристики распыла

Распыливание - это процесс дробления

струи или пленки жидкости на большое

количество капель. Система капель, или

факел распыла, распределяется в некотором

объеме.

При распыле капли имеют неоди-

наковые размеры. Равномерность распыла

оценивают по дисперсным характеристикам. На рис. 14.1 кривая N - это диф-

ференциальная (частотная) дисперсная характеристика распределения числа

капель по диаметрам. С помощью этой кривой можно определить

относительное число капель данного размера в факеле распыла: N = Ncp∆d,

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

142

где Ncp- среднее значение относительной частоты капель в интервале

диаметров от d до d+∆d. Так, для факела, частотная характеристика

которого представлена на рис. 14.1, а, в диапазоне диаметров капель от 20 до

30мкм средняя относительная частота Ncp= 0,0261/мкм, относительное число

капель с размерамиd=20...30 мкм в факеле распыла составляет N = Ncp∆d=

0,26, или 26 %.

На рис.14.1, а представлена также интегральная (суммарная) кривая

распределения G. Кривая G показывает относительное число капель,

диаметры которых меньше заданного. Диаметр dM, который делит площадь

под суммарной кривой пополам, т. е. для которогоG= 0,5, называют

медианным. Так, для факела, характеристики распыла которого

представлены на рис. 14.1, а, dм = 28 мкм.

Среднеарифметический диаметр определяется из соотношения

푑ар = ∑푑 푛 /∑푛 (14.1)

где i- номера фракций, на которые разбита совокупность капель.

Кроме среднеарифметического, при анализе процессов горения

распыленного жидкого топлива применяется понятие среднеобъемного

диаметра капель, который рассчитывается по формуле

푑об = ∑푑 푛 /(∑푛 ) . (14.2)

а при анализе процессов тепломассообмена факела распыла с окружающим

газом - заутеровский (объемно -поверхностный) средний диаметр

푑з = ∑푑 푛 / ∑푑 푛 (14.3)

Дисперсные характеристики распыла для данной конструкции

распылителя (форсунки) определяют экспериментально, подсчитывая число

капель разных диаметров, уловленных в специальные ванночки. В последнее

время для определения дисперсных характеристик применяют

голографирование факела распыла, подсчет числа капель и определение их

диаметра автоматизированы с использованием телевидения и ЭВМ.

Экспериментальные данные обобщают уравнениями в критериальной форме,

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

143

причем используются безразмерные числа (критерии) подобия,

учитывающие соотношение сил поверхностного натяжения, инерции и

трения. Эти критерии:

число Вебера

We=휌г푤 푑 휎⁄ , (14.4)

число Рейнольдса

Re = wdc / v, (14.5)

число Лапласа Lp=σdc/(ρжv2), (14.6)

где 휌г - плотность газа, ρж,σ,v- плотность, поверхностное натяжение и

кинематический коэффициент вязкости распыливаемой жидкости,

dc - диаметр струи (сопла).

Важная характеристика факела распыла - распределение плотности

орошения распыливаемой жидкостиq,кг/(м2с) по ширине факела. На рис.

14.1,б представлено такое распределение для струйной форсунки

(цилиндрического сопла); по абсциссе отложен относительный радиус

факела распыла. Из рис. 14.1, б следует, что для струйной форсунки

распределение плотности орошения близко к нормальному (гауссову) закону.

Подводимая к распылителю энергияЕ расходуется на увеличение

поверхностной энергии жидкости при распаде струи на капли Ер; на

сообщение каплям кинетической энергии поступательного движения Ек; на

преодоление гидравлических потерь в распылителе. Отношение Ер/Е

=ηpназывается коэффициентом полезного действия распыла. Обычно он не

превышает долей процента. Отношение Ек/Е =ηк это гидравлический КПД,

характеризующий потери в распылителе.

Гидравлическое распыливание

При гидравлическом распиливании жидкость, подаваемая под

давлением к распылителю, вытекает с высокой скоростью в форме струи или

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

144

пленки с последующим распадом на капли. Гидравлическое распыливание -

наиболее простой и экономичный способ, однако он дает довольно грубый и

неоднородный распыл; затруднено распыливание этим способом

высоковязких жидкостей.

При истечении через простейший распылитель - цилиндрическое

сопло - с малой скоростью струя распадается на капли из-за действия

пережимающих ее капиллярных сил (рэлеевский распад) и из-за

волнообразных искривлений. При большой скорости струи относительно

газовой среды основная причина распада струи - это турбулентные

пульсации скорости и давления па границе раздела «жидкость - газ»,

приводящие к появлению гребней волн и срыву с них вторичных струек и

капель. Плоские пленки, истекающие из сопел некруглого сечения,

распадаются на отдельные струйки и затем на капли из-за появления волн на

их поверхности.

Скорость истечения через струйную форсунку определяется

формулой

푤 = 휑(2∆푝/휌ж) , .

При сравнительно небольшой скорости истечения (до 20 м/с),

согласно экспериментальным данным, среднеобъемный диаметр капель

определяется выражением

푑об 푑⁄ = 6 푅푒 , , (14.7)

гдеdc- диаметр сопла. При больших перепадах давления

рекомендуется формула

푑об 푑⁄ = 3,01 퐿푝 , (푊푒ж휌г/휌ж) , . (14.8)

Применяются также форсунки с соударением струй и ударно-

струйные форсунки, в которых струя после истечения из сопла

распластывается по поверхности отражателя. Эти форсунки дают

веерообразный факел в виде жидкой пленки, распадающейся на капли.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

145

Рис. 14.2

К гидравлическим распылителям относятся также центробежные фор-

сунки, в которых жидкость перед истечением закручивается вследствие

подвода по касательной к камере или шнеком (винтовым завихрителем). В

отличие от струйной форсунки, у которой плотность орошения имеет

максимум на оси (рис. 14.1), при истечении через центробежную форсунку

на оси наблюдается минимум плотности орошения, а кольцевой максимум

расположен на некотором расстоянии от него. Широко применяются также

центробежно-струйные форсунки, в которых распыливаемая жидкость

частично проходит через винтовые каналы и частично - через осевое

отверстие. Завихрение потока способствует его турбулизации и дроблению.

Пневматическое распыливание

При пневматическом распыливании жидкость подается с небольшой

скоростью; энергия для распыла подводится к ней в результате динамиче-

ского взаимодействия с высокоскоростным газовым потоком, который

формирует волны на поверхности раздела жидкость - газ, расслаивает ее на

отдельные струйки и капли. Пневматические форсунки дают

мелкодисперсный распыл, однако их недостаток по сравнению с

гидравлическими - более сложное оборудование (включающее источник

сжатого газа) и повышенный расход энергии на распыливание.

Дисперсность распыла (медианный

диаметр капель) при пневматическом

распыливании определяется, прежде всего,

скоростью газожидкостного потока wr.

Оказывают влияние также плотности газа и

распыливаемой жидкостиρг, ж, поверхностное

натяжение с, вязкость жидкостиv,удельный

расход распыливающего газаGr/ Gж.

На рис. 14.2 показана зависимость медианного диаметра капель воды

от скорости истечения газожидкостной смеси при распыливании

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

146

пневматической форсункой; давление воздуха 0,3 МПа. С увеличением

wCMдиаметр капель уменьшается.

Для определения медианного диаметра капель при пневматическом

распыливании рекомендуются зависимости, в которых используются числа

Лапласа (14.6) и Вебера (14.4): при Lp=σdc /(ρжv2)>200:

푑м 푑⁄ = 0,77 푊푒г, ; (14.9)

при 2 < Lp < 200: 푑м 푑⁄ = (0,77 + 1,24 퐿푝 , )푊푒г

, ; (14.10)

при Lp <2: 푑м 푑⁄ = (0,77 + 0,94 퐿푝 , )푊푒г

, ; (14.11)

где We =휌г푤 푑 휎⁄ , 푑 - диаметр жидкостного сопла, w- скорость газовой

струи относительно жидкостной.

Наибольшая скорость газожидкостного потока обеспечивается в

прямоструйных форсунках высокого давления. Однако такие распылители

создают узкий факел с большой дальнобойностью. Дальнобойность

уменьшается в форсунках низкого давления, но в них для уменьшения

медианного диаметра капель приходится увеличивать удельный расход газа.

Для получения широкого факела распыла применяется закручивание

жидкостного потока или установка на пути факела отражателя.

Пневматическое распиливание широко применяется в топках

теплоэнергетических установок, работающих на жидком топливе

Другие способы распыливания

При механическом распыливании жидкость подается на поверхность

быстровращающегося диска, увлекается им и срывается с периферии в виде

пленок или струй, дробясь на капли. Этот способ обеспечивает относительно

высокую равномерность распыла, дает возможность распыливать

высоковязкие и загрязненные жидкости. Его недостатки - высокая стоимость

и энергоемкость.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

147

При акустическом распыливании, как и при пневматическом, энергия

для распыливания сообщается жидкости потоком газа, причем к газовой

струе подводятся колебания ультразвуковой частоты, что обеспечивает более

тонкое и однородное дробление.

Пульсационное распыливание представляет собой разновидность

гидравлического, когда на поток распыливаемой жидкости накладываются

колебания давления. Это обеспечивает большую однородность и тонкость

распыла при незначительном усложнении конструкции. Новым видом

пульсационного является электрогидравлическое распыливание, когда

импульсы давления в жидкости создаются высоковольтными

электрическими разрядами в полости распылителя. Ударные волны с

повышением давления до сотен мегапаскалей приводят к выбросу капель с

очень высокой скоростью; они догоняют и дополнительно дробят частицы,

покинувшие распылитель в промежутках между импульсами.

Применяются также комбинированные методы распыливания, в

которых сочетаются отдельные из перечисленных (например,

пневмогидравлическое распыливание).

Примеры. 1. Дизельное топливо распиливается в камеру сгорания

цилиндра дизеля через струйную форсунку (цилиндрическое сопло)

диаметромdc= 0,4 мм, коэффициент расхода сопла μ = φ= 0,6. Параметры

воздуха в камере сгорания при впрыске топлива: рг = 6,5 МПа; Тг = 970 К.

Давление, развиваемое топливным насосом высокого давления, составляет

60 МПа, температура распыливаемого топлива 60°С. Определить

среднеобъемный диаметр капель.

Из табл.1: ρж= 850кг/м3, vж=2* 10-6 м2 /с, σ= 0,027 Н/м.

Плотность воздуха из уравнения состояния

ρж =р /(RT)= 6,5*106 / (287*970) = 23,6, кг/м3.

Скорость истечения струи топлива

w= φ (2 ∆р / р)0,5 = 0,6 [2*(60 - 6,5)* 10-6 / 850 ]0,5 =213 м/с.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

148

Скорость превышает 20 м/с, применяем формулу (11.8). Число

Лапласа

Lp= σdc(ржv2) = 0,027*4*10-4 / [850 (2*10-4)2] = 6,35*10-3.

Число Вебера

Weж= 휌г푤 푑 휎⁄ = 850*2132 *4* 10-4 / 0,027 = 5,71 * 105.

Среднеобъемный диаметр капель

dоб = dc* 3,01Lp-0,073 (Weжρt/ ρж)-0266 = 4,84*10-5 м = 48,4 мкм.

2. Мазут при температуреtж = 150° С распиливается пневматический

форсункой с соосным расположением струй жидкости и воздуха. Диаметр

жидкостного сопла dc= 2 мм. Струя воздуха с температуройtr= 150°С при

нормальном давлении имеет скорость, превышающую скорость струи мазута

на wм/с. Определить медианный диаметр капель распыла при изменении wот

100 до 400 м/с. Расчет сделать через 50 м/с. Как изменится медианный

диаметр капель при понижении температуры мазута до 100°С?

Из табл.1: ρж= 950 кг / м3,vж = 2*10-5м2/cпри t=150°C,vж = 4,5*10"5 м2 /

с при t= 100° С, σ = 0,026 Н/м.

Плотность воздуха ρг=р/ (RT) = 0,833 кг/м3.Числа Лапласа Lp= σdc(ржv2):

при tж=150°СLp= 274; при tж= 100°С Lp = 27,0. При температуре tж = 150°С

применяем формулу (14.9), при tж = 100°С- (14.10).

Число Вебера в зависимости от скорости w приводится к виду

We=휌г푤 푑 휎⁄ = 6,41 *10-2w2.

Медианный диаметр капель:

при температуре мазута 150°С:dм = dc*0,77Wer-0,45 = 5,30*10-3/w0,9 м;

при температуре мазута 100°С:

dм= dc(0,77+ 1,24 Lp-0.62) Wer-0,45= 6,41* 10-3/w0.9м.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

149

Рис. 15.1

Глава 15. ДИФФУЗОРЫ

Геометрические и газодинамические параметры диффузоров

Диффузоры используются для постепенного уменьшения скорости

потока; кинетическая энергия при этом преобразуется в потенциальную. Они

используются в компрессорах, трубопроводах, аэродинамических трубах,

выхлопных патрубках паровых и газовых турбин, в вентиляционных

установках и других машинах. Основное назначение диффузоров -

восстанавливать давление при наименьших потерях.

При дозвуковых скоростях

торможение потока осуществляется в рас-

ширяющейся трубе (рис. 15.1). Поэтому

дозвуковые диффузоры имеют форму

расширяющихся патрубков с плоскими,

коническими или криволинейными стенками. В компрессорных машинах

диффузорные каналы образуются лопаточным аппаратом. Важнейшим

геометрическим параметром диффузора является егостепень уширенияп,

равная отношению площади сечения на выходе F2к входной площадиF1;

푛 = .

Заданная степень уширения п может быть достигнута за счет

надлежащего подбора угла раствора диффузораaили его длины L (рис.15.1).

Нарастание давления вниз по потоку приводит к быстрому увеличе-

нию толщины пограничного слоя, а при достаточно большом градиенте дав-

ления - и его отрыву. Поэтому потери энергии в диффузорах значительно

больше, чем в цилиндрических и конфузорных трубах той же длины. При

отрывном течении в диффузоре заданное повышение давления не обес-

печивается, эффективность его падает. Основная задача проектирования

диффузора - определение его наилучшей формы, при которой течение

безотрывно и потери энергии при заданных скоростях минимальны.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

150

Пусть на входе в диффузор средняя скорость течения газа равна w1,

его удельная кинетическая энергия w12/2. Если необратимые потери удельной

энергии в диффузоре вследствие трения и вихреобразования составляют ∆Е,

то безразмернымкоэффициентом внутренних потерь С, (или коэффициентом

гидравлического сопротивления) диффузора называют отношение

휁 = 2∆퐸 푤⁄ . (15.1)

Если кинетическая энергия выходящего из диффузора потока w22/ 2 в

дальнейшем не используется (т. е. после диффузора поток расширяется с

полным торможением скорости), то целесообразно ввести коэффициент

полных потерь диффузораζп:

휁 = 2(∆퐸 + 푤 2)푤⁄ (15.2)

Очевидно, что ζп>ζд. Кинетическая энергия в выходном сечении

тратится на обеспечение заданного расхода через диффузор.

Коэффициентом полезного действия диффузораηд называется

отношение действительного прироста потенциальной энергии к максимально

возможному при изоэнтропийном сжатии и заданной степени уширения в

диффузоре. Для несжимаемой жидкости КПД диффузора определяется через

отношение разности давлений на выходе р2 и на входе р1 и теоретической

разности давлений, которая находится из уравнения Бернулли:

휂д =푝 − 푝

푝 − 푝

Потери энергии в дозвуковых диффузорах

Картина потока в диффузоре отличается значительной сложностью.

Профили скорости непрерывно деформируются по его длине. Поэтому

теоретический расчет потерь с использованием теории пограничного слоя

затруднителен; хотя он и совершенствуется, но до сих пор не обеспечивает

необходимой точности. Наиболее достоверные данные о потерях в

диффузорах получены экспериментальным путем. Они представлены, в

частности, в справочнике.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

151

Рис. 15.2

Опыт показывает, что при безотрывном обтекании стенок

диффузора величина максимального угла раскрытия а зависит от степени

уширения n. При n = 2 αmax=240, при n = 5 αmах = 9°.

Внутренние потери в диффузоре принято выражать в долях

потерь, имеющих место в местном сопротивлении при резком расширении

трубы с той же степенью уширенияn. Потери напора при резком расширении

определяются формулой Борда

∆푝 = 휌(푤 − 푤 )

2 .

Если относить потери напора к скоростному напору на выходе из

ступенчатого диффузора, то его коэффициент местного сопротивления равен

휁 = 2∆푝 휌푤⁄ = (퐹 퐹⁄ − 1) = (푛 − 1) .

Коэффициент внутренних потерь ζд в диффузоре с плавно

расширяющимися стенками меньше, чем 휁 . Его измеряют в долях

последнего:

ζ = ψ ζ = ψ (n − 1) .

Множитель ψд< 1 называется коэффициентом смягчения удара. Его

величина зависит от угла раствора диффузора

а. Характер этой зависимости для конического

диффузора представлен по осредненным

экспериментальным данным на рис. 15.2. Из

рисунка видно, что при малых углах раствора

внутренние потери диффузора невелики: они

составляют величину около 0,15 от потерь

ступенчатого диффузора. С ростом а потери увеличиваются и при растворе

около 40° сравниваются с потерями при резком расширении.

С учетом сжимаемости газа коэффициент восстановления

давления диффузора имеет вид (приводится без вывода)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

152

Рис. 15.3

휎 =∗

∗ = 1 − 휁 휆 ∗ . (15.3)

Опыт показывает, что при больших углах раствора внутренние потери

могут быть уменьшены, если образующую стенки диффузора выполнить не

прямой, а криволинейной. В частности, диффузор, стенки которого

спрофилированы так, чтобы продольный градиент давления был по его длине

постоянным, дает уменьшение потерь примерно на 25% по сравнению с

коническим диффузором с углом раствора 40°. При малой длине и большой

степени уширения nоказывается эффективным комбинированный диффузор:

вначале давление повышается в обычном плавно расширяющемся канале, а

затем имеется резкое (ступенчатое) расширение сечения.

На величину потерь в диффузоре оказывают влияние режимные

параметры: числа Рейнольдса, Маха, степень турбулентности потока, а также

форма эпюры скоростей на входе в сечениеF1.Увеличение скорости у стенки

смещает сечение отрыва струй вниз по потоку. Поэтому для улучшения

характеристик диффузора оказываются эффективными отсос или сдув

пограничного слоя.

Сверхзвуковые диффузоры

Сверхзвуковые диффузоры широко

используются в воздухозаборниках летательных аппаратов и

в аэродинамических трубах. Ступенчатое торможение

сверхзвукового потока можно осуществить в различных

комбинациях скачков уплотнения, показанных на рис. 15.3.

Потери энергии в сверхзвуковых диффузорах связаны,

главным образом, с нарастанием энтропии в скачках

уплотнения. Потеря полного давления оценивается

коэффициентом восстановления давления диффузора

σд=р2*/p1*.

Как показано в разделе 6, волновые потери в

прямом скачке растут с увеличением числа М1, они сущес-

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

153

твенно превышают потери в косых скачках. Поэтому для уменьшения потерь

оказывается целесообразным понизить скорость газа в системе косых

скачков и перевести сверхзвуковой поток в дозвуковой в слабом прямом

скачке, завершающем эту систему. Расчет показывает, что преимущество

системы «косой скачок + прямой скачок» (К и П, рис. 15.3, б) над одним

прямым скачком становится заметным при М≥ 1,5 .При М1 = 3 система из

двух скачков при оптимальном выборе угла косого скачка дает полный

коэффициент восстановления давления, равный 0,58, тогда как в прямом

скачке σд = 0,33, т. е. система из двух скачков обеспечивает выигрыш в

полном давлении почти вдвое. При дальнейшем увеличении скорости

набегающего потока преимущество двух скачков становится еще более

значительным; дальнейшее повышение эффективности диффузора

достигается системой «два косых скачка+прямой скачок» (K1, К2 и П, рис.

15.3, в). Системы косых скачков перед входным сечением диффузора

получают за счет введения «центрального тела». На расчетном режиме

работы диффузора косые скачки, отходящие от центрального тела,

пересекаются на входной кромке обечайки. В этом случае система скачков не

нарушает внешнего обтекания обечайки.

При проектировании сверхзвуковых диффузоров приходится

учитывать взаимодействие скачков уплотнения с пограничным слоем и

изменение положения системы скачков в нерасчетных режимах работы (при

изменении числа Маха на входе).

Пример. В коническом воздушном диффузоре со степенью уширения

п = F2/F1= 3 и углом раствора а = 8° на выходе приведенная скорость воздуха

λ2=0,3. Определить коэффициент внутренних потерь диффузора и потерю

давления в нем.

В ступенчатом диффузоре (резком расширении)

λрр=(n-1)2=4.

Коэффициент смягчения удара, согласно рис. 15.2, ψ = 0,12,

коэффициент внутренних потерь диффузора, согласно соотношению (15.2),

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

154

ζ= ψζpp= 0,48.

Коэффициент восстановления давления по формуле (15.3)

휎 =푝∗

푝∗ = 1 −퐾

퐾 + 1휁 휆 = 0,975 ;

потери давления в диффузоре

∆р휕=р1*-р2* = 0,025р1*.

Глава 16. ЭЖЕКТОРЫ

Рабочий процесс эжектора

Газовым эжектором называется устройство, в котором энергия

«эжектируемого» газового потока увеличивается струей другого потока,

имеющего больший напор. Простота конструкции и удобство регулирования

рабочего процесса эжектора обусловливают его широкое применение в

различных областях техники. В частности, в конденсационных системах

паросиловых установок эжектор используется для понижения давления в

конденсаторе: необходимый вакуум создается в конденсаторе за счет

увлечения и уноса частиц пара и воздуха высоконапорной струей пара. В

вакуумной технике аналогичные эжекторы, работающие на парах жидкостей

с малым давлением насыщения, позволяют достигать глубоких разрежений

(порядка миллионных долей атмосферы). При эксплуатации газовых

месторождений низконапорные скважины подключают в газосборную сеть с

помощью эжектора, в котором давление низконапорного газа повышается за

счет энергии эжектирующего газа из высоконапорных скважин. Таким путем

удается одновременно увеличить производительность низконапорных

скважин и повысить давление газа в сети. Эжекторы используются также

вместо вентиляторов в аэродинамических трубах ит. д.

На рис. 16.1 показаны основные элементы эжектора: сопло высоко-

напорного (эжектирующего) газа С1 сопло низконапорного (эжектируемого)

газа С2, смесительная камера К и диффузор Д.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

155

Рис. 16.1

Назначение сопел - подвод газов к

смесительной камере с минимальными потерями.

Важным геометрическим параметром эжектора

является отношение площадей выходных сечений

сопел F1/F2. Если падение давления в соплеС,

превышает критическое, то для эжектирующего

газа целесообразно применять сопло Лаваля. Но и

при сверхкритических отношениях давления часто

используют эжектор с обычным (сужающимся)

соплом. Такой эжектор называетсязвуковым.

В камере смешения происходит обмен энергией между потоками

в турбулентном пограничном слое, разделяющем их. Камера может быть

цилиндрической или иметь переменное по длине сечение. В цилиндрической

камере давление нарастает вниз по потоку, в то время как давление

торможения (т. е. полная механическая энергия) уменьшается за счет потерь.

Изменение статического давления р и давления торможения р* по длине

дозвукового эжектора показано графически в нижней части рис. 16.1. При

правильно выбранной длине камеры у еевыходного сечения процесс

смешения потоков заканчивается, эпюра скоростей (показанная в верхней

части рис. 16.1) выравнивается.

Назначение диффузора, устанавливаемогона выходе из камеры

смешения, - повышение статического давления выходящейиз эжектора смеси

газов или понижение давления в камере смешения.В некоторых случаях

вместо диффузора на выходе из эжектора устанавливается сужающееся

сопло или сопло Лаваля, если ставится задача получить на выходе высокие

скорости смеси.

Статическое давление р1 на срезе сопла C1, пониженное из-за

ускорения потока эжектирующего газа, ниже полного давления

эжектируемого газа р2*, который под действием этой разности давлений

течет в камеру смешения. Обозначим массовый расход эжектирующего газа

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

156

черезG1,эжектируемого – через G2. Отношение G2/G1=п называется

коэффициентом эжекции. Его величина зависит от площадей сопел и

давленийр1*ир2*. Смешиваемые в эжекторе газы могут первоначально

различаться по температуре и химическому составу. Поперечные

пульсационные компоненты скорости в пограничном слое на границе

потоков приводят к взаимному внедрению частиц; на выходе из камеры

смешения состояние смеси близко к однородному.

Процесс смешения потоков сопровождается потерями энергии.

Помимо потерь на трение о стенки камеры смешения, имеют место потери,

связанные с вихревой структурой потоков в турбулентном слое на границе

струй. Они могут быть определены по разности кинетических энергий:

суммарной энергии эжектирующего и эжектируемого потоков во входном

сечении и энергии навыходе. Потери увеличиваются с возрастанием разности

скоростей смешивающихся потоков.

Расчет эжектора

Будем считать поток газа в выходном сечении камеры смешения

3 одномерным, т. е. процесс выравнивания параметров смеси завершенным.

Применим уравнения неразрывности, энергии и количества движения. При

заданных условиях на входе эти три уравнения позволяют определить три

параметра газа на выходе, например: температуру, давление и скорость.

Параметры эжектирующего газа во входном сечении цилиндрической

камеры смешения будем отмечать индексом 1, параметры эжектируемого

газа - индексом 2, параметры смеси в выходном сечении - индексом 3.

Параметры заторможенного потока отмечаем дополнительным индексом *.

Уравнение неразрывности (постоянства расхода) имеет вид

G3 = G1+G2,или G3/G1=п + 1. (16.1)

Если в камере смешения теплота к газу не подводится и не отводится,

а теплоемкости ср смешиваемых газов равны, то уравнение энергии может

быть применено к нашей задаче в виде

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

157

퐺 ℎ +푤2

= 퐺 ℎ +푤2

+ 퐺 ℎ +푤2

или

퐺 푐 푇 +푤2

= 퐺 푐 푇 +푤2

+ 퐺 푐 푇 +푤2

гдеh- энтальпия газа; ср - теплоемкость.

Переходя к температуре торможения Т*, характеризующей полную

энергию газа, получим

G3T3*= G1T2*+G2T2*.

Разделив последнее уравнение на G1T1*и подставив в него

соотношение (16.1), имеем(푛 + 1)∗

∗ = 1 + 푛∗

∗, откуда

푇∗ 푇∗⁄ = (푛푇∗ 푇∗⁄ + 1)/(푛 + 1) (16.2)

Таким образом, температура торможения в выходном сечении

камеры смешения определена нами через параметры на входе.

Составим уравнение количества движения в проекции на ось

камеры. Из внешних сил на объем газа внутри камеры смешения действует

разность давлений на торцевых сечениях. В дозвуковом эжекторе, для

которого р1 = р2, она равна F3(р1 .р3), где F3- площадь сечения камеры. При

сверхкритическом отношении давлений для эжектирующего газа, когда

скорость истечения - звуковая, давление р1 на срезе сопла C1 превышает

давление р2; поэтому разность давлений на торцевые сечения камеры

составляетp1F, +p2F2 -p3F3.

Уравнение количества движения можно теперь записать в виде

G3w3 –G1w1-G2w2 =p1F1 -p2F2 - p3F3 (16.3)

Совместное решение уравнений (16.2) и (16.3) позволяет

определить скорость смеси в выходном сечении. Приведем результат, минуя

промежуточные выкладки:

[(푛 + 1)(푛푇∗ 푇∗⁄ + 1)] , (휆 + 1 휆⁄ ) = (휆 + 1/휆 ) + 푛(푇∗/푇∗) , (휆 + 1/휆 ),

(16.4)

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

158

Рис. 16.2

где λ = w/акр - безразмерная скорость газа, акр– критическая скорость.

Выражение (16.2) называют основным уравнением эжекции. Оно позволяет

определить по известным входным параметрам газодинамическую функцию

(λ3 + 1 / λ3) и по ней - безразмерную λ3 и размерную w3скорости на выходе из

камеры смешения. Совместное решение уравнений (16.2) и (16.4) дает

возможность найти полное выходное давление р3*.

В уравнениях (16.2) и (16.4) мы считали заданным коэффициент

эжекции n = G2/G. Но скорости w1и w2, определяющие расходы, заранее

неизвестны; они определяются статическими давлениями р1и р2 во входном

сечении, в свою очередь зависящими от режима работы камеры смешения и

диффузора. Поэтому расчет эжектора приходится делать методом

последовательных приближений: задаваться рядом значений скорости на

входе и определять соответствующие им конечные параметры. Полученные

решения позволяют выбрать оптимальный режим работы эжектора

(например, такой, который обеспечивает получение заданного коэффициента

эжекции при наивысшем полном давлении смеси).

Более полная теория эжектора учитывает силу трения о стенки

камеры, влияние подвода теплоты в камеру смешения извне или вследствие

химических реакций в потоке, влияние физических свойств при смешении

разнородных газов или переменной площади сечения камеры. (Теория

изложена в. Там же даны приближенные способы расчета эжекторов и

числовые примеры).

Критические режимы и запирание эжектора

При сверхкритическом отношении давлений

струя эжектирующего газа на выходе из сопла имеет

статическое давление, превышающее давление в

эжектируемом газе. Поэтому она расширяется,

скорость ее становится сверхзвуковой (рис.16.2).

Так же ведет себя сверхзвуковая струя, если в

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

159

эжекторе применено сопло Лаваля с недорасширением. Дозвуковой поток

эжектируемого газа между сечениями 1 и 1' движется в суживающемся

канале между границами сверхзвуковой струи и стенками камеры, скорость в

нем нарастает, а давление падает. В сечении 1', называемом сечением

запирания, достигается максимальная скорость эжектируемого потока и

минимальное статическое давление. Здесь статические давления потоков

сравниваются.

Скорость эжектируемого потока в сечении запирания не может

превысить скорости звука. При этом наблюдается максимальный расход

эжектируемого газа и максимально возможная величина коэффициента

эжекции п. Дальнейшее понижение давления на выходе из эжектора не

приводит к увеличению nи G2 (явление, аналогичное работе сопла Лаваля,

когда в его сжатом сечении достигнута звуковая скорость, при которой

расход через сопло становится максимальным и не зависящим от давления на

выходе из сопла). Такой режим работы эжектора называется критическим.

Параметры эжектора, при которых достигается максимальное

значение коэффициента эжекции, определяют из условия λ'2 = 1. Это условие

позволяет определить соответствующие величины скорости λ', и отношения

полных давлений р1*/р2*. Дальнейшее возрастание перепада давления

приводит к увеличению скорости λ'1 и площади сеченияF'1. Если

отношениер1*/р2*достаточно велико, то расширяющаяся струя

эжектируемого газа заполняет все сечения камеры смешения, для прохода

эжектируемого газа не остается места. Такое явление называется запиранием

эжектора.

Характеристики эжектора

Если эжектор работает при различных соотношениях исходных

параметров газов (например, при разных степенях сжатия эжектируемого

газа р4*/р2*или разных отношениях полных давлений на входе р1*/р2*) то его

расход G4и коэффициент эжекции п = G2/G1могут меняться. Зависимости

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

160

Рис. 16.3

между переменными параметрами эжектора

называются его характеристиками.

На рис. 16.3 представлена сетка

полученных экспериментально характеристик

эжектора с сужающимся эжектирующим

соплом и цилиндрической камерой смешения,

для которой отношение площадей F1 /F2 = 0,725

и температуры торможения смешиваемых потоков одинаковы.

Характеристики показывают зависимость степени сжатия эжектируемого

газа р4*/р2*от коэффициента эжекции п при нескольких отношениях р1*/р2*.

Опытные точки, по которым построены характеристики, получены

при постоянных давлениях р1*ир2* последовательным понижением

статического давления на выходе из диффузора р4. При этом уменьшается

статическое давление во входном сечении камеры смешения и возрастают

скорость и расход эжектируемого газа, тогда как расход эжектирующего газа

изменяется незначительно при λ < 1 или вовсе не меняется при λ = 1. В

результате увеличивается коэффициент эжекции п.

При критическом режиме, когда скорость эжектируемого газа в

сечении запирания достигает скорости звука, коэффициент эжекции

становится максимальным (для данного отношения р1*/р2*) и не изменяется с

дальнейшим понижением давления на выходе из эжектора. На

докритических режимах некоторое уменьшение степени повышения

давления р4*/р2* с увеличением коэффициента эжекции связано с ростом

потерь в камере смешения и диффузоре при возрастании расхода.

Увеличение р1*/р2*приводит к росту «напорности» эжектора, т. е. степени

повышения давления; но при этом уменьшаются предельные значения

коэффициента эжекции, так как растет площадь сверхзвуковой

эжектирующей струи в сечении запирания F'1 и уменьшается сечение

эжектируемого потока.

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

161

Пунктирная линия на рис. 16.3, соединяющая предельные точки

кривых р1*/р2*= constсетки характеристик, ограничивает область реальных

режимов эжектора. С увеличением полных давлений р1*/р2*она

приближается к оси ординат и при некотором значении (р1*/р2*)mах

пересекается с ней. Точка пересечения, в которой степень повышения

давления р4*/р2*достигает минимума для данного эжектора, а коэффициент

эжекции равен нулю, соответствует режиму запирания эжектора.

Иногда используются характеристики другого типа, например отража-

ющие зависимости коэффициента эжекции от полного давления

эжектирующего газа р1*при постоянных величинах р2* и р4*.

Если ставится задача получения максимально возможной степени

повышения давления эжектируемого газа р4*/р2* , то эффективным

оказывается эжектор, в котором эжектирующий газ подается через сопло

Лаваля. Следует отметить, что такие сверхзвуковые эжекторы целесообразно

использовать при малых коэффициентах эжекции (до n = 0,5...0,6). Если

отношение полных давлений р1*/р2*становится меньше критического,

характеристики эжектора с соплом Лаваля значительно ухудшаются.

Поэтому если эжектор работает в широком диапазоне режимов,

целесообразно использовать сужающееся сопло.

Пример. Эжектор имеет характеристику, представленную на рис.

11.8. Давление торможения эжектирующего газа р1* = 1 МПа, коэффициент

эжекции п = G2/G1= 0,4. Найти полное давление на выходе из эжекторар4*

если давление эжектируемого газа составляет (Р2*)l=0,55 МПа; (Р2*)ll =0,45

МПа; (Р2*)lll=0,37 МПа.

Используя рис. 11.8, находим

(р1*/p2*)l= 1,818 ≈1,8 ; (р4* /р2*)l = 1,32; (р4*)l ≈ 0,726МПа,

(р1*/p2*)ll = 2,22; (р4* /р2*)ll = 1,46;(р4*)ll ≈ 0,672МПа,

(р1*/p2*)lll = 2,70;

ближайшая кривая р1*/p2*= 2,68 на рис. 11.8 обрывается (становится

вертикальной) при п< 0,4. Следовательно, данный эжектор при р1*=lМПа,

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

162

р2*=0.37 МПа не может обеспечить расход эжектируемого газа

G2= 0.4G1 (коэффициент эжекции п = 0.4).

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

163

Оглавление

Глава 1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ .................................................................. 5 1.1Соотношения термодинамики ..................................................................... 5 1.2 Скорость звука. Число Маха (М) ............................................................... 6 1.3 Уравнение энергии. Критическая и максимальная скорости газа............ 8

Глава 2 ТЕЧЕНИЯ ГАЗА БЕЗ ТРЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА ........................ 13 2.1 Связь скорости газа с сечением потока. Сопло Лаваля .......................... 13 2.2 Параметры изоэнтропического торможения газа. Газодинамические функции ........................................................................................................... 14 2.3 Истечение газа ........................................................................................... 17

Глава 3. ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА С ТРЕНИЕМ И ЭНЕРГООБМЕНОМ .......................................................................................... 22

3.1 Изотермическое течение в трубах............................................................ 22 3.2 Адиабатное течение в трубах ................................................................... 24

Глава 4 ВОЛНЫ ДАВЛЕНИЯ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ .................................. 27 4.1. ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ .......................................................................... 27

Распространение возмущений .................................................................... 27 Характеристики сверхзвукового потока .................................................... 28 Волны разрежения ....................................................................................... 29

4.2. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ ....................................................................... 31 Прямой скачок уплотнения ......................................................................... 31 Ударная адиабата. Рост энтропии и потеря давления в прямом скачке ... 34 Косые скачки уплотнения ........................................................................... 37 Возрастание энтропии и потеря давления в косом скачке ........................ 38 Конический скачок ...................................................................................... 39

Глава 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА С ОГРАНИЧИВАЮЩИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ............................................. 41

5.1 Силы, действующие на обтекаемое тело со стороны сверхзвукового потока .............................................................................................................. 41 5.2 Отражение волн давления ........................................................................ 43

Глава 6. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ...... 45 6.1. Кинематический анализ движения жидкости ........................................ 45

Виды движения жидкой частицы ............................................................... 45 Вихревое и безвихревое движение ............................................................. 48

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

164

Безвихревое циркуляционное течение ....................................................... 50 6.2. ФУНКЦИЯ ТОКА И ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ ................................. 52

Уравнение линии тока ................................................................................. 52 Функция тока для двухмерного течения .................................................... 53 Потенциал скорости .................................................................................... 54 Моделирование потенциальных течений ................................................... 58

Глава 7. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ ........................................... 61 Глава 8. ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ............................ 67

8.1 Распределение давления по поверхности обтекаемого тела .................. 67 8.2 Теорема Жуковского ................................................................................. 69 8.3 Постулат Чаплыгина - Жуковского ......................................................... 72 8.4 Моделирование циркуляционного обтекания ......................................... 74

Глава 9 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ................................................ 78 9.1. Уравнения движения вязкой жидкости .................................................. 78

Уравнения Навье-Стокса ............................................................................ 78 Граничные условия...................................................................................... 79

Глава 10. МОДЕЛИРОВАНИЕ В ГИДРОГАЗОДИНАМИКЕ ........................ 81 Принципы динамического подобия............................................................ 81 Закон полного динамического подобия Ньютона ..................................... 83 Аэродинамические коэффициенты ............................................................ 84 Экспериментальные установки в гидрогазодинамике .............................. 85

Глава 11. ПОДОБИЕ ПОТОКОВ ПРИ ДЕЙСТВИИ РАЗЛИЧНЫХ СИЛ ...... 87 Гравитационное подобие ............................................................................ 87 Вязкостное подобие ..................................................................................... 88 Подобие движения сжимаемых сред .......................................................... 90 Подобие колебательных движений в жидкости ........................................ 91 Полное и частичное подобие ...................................................................... 92

Глава12 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ..................................................................... 93 12.1. Общие понятия и дифференциальные уравнения пограничного слоя 93

Понятие пограничного слоя ........................................................................ 93 Уравнения Прандтля ................................................................................... 94 Граничные условия...................................................................................... 96 Турбулизация пограничного слоя .............................................................. 97 Соотношение Кармана ................................................................................ 99

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

165

Условные толщины пограничного слоя ................................................... 101 Ламинарный пограничный слой на плоской пластинке .......................... 102 Турбулентный пограничный слой на плоской пластинке ....................... 106 Факторы, влияющие на «турбулизации» пограничного слоя ................. 109 Возникновение отрыва .............................................................................. 111 Силовое взаимодействие потока с телом при отрывном обтекании ...... 114 Влияние различных факторов на явление отрыва. Управление пограничным слоем ................................................................................... 117 Взаимодействие пограничного слоя со скачками уплотнения ............... 120

Глава13. КРЫЛО И ЛОПАТОЧНАЯ РЕШЕТКА В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ ... 121 13.1 Геометрические параметры крыла ....................................................... 121

Аэродинамические характеристики крыла .............................................. 122 Влияние сжимаемости газа на характеристики крыла ............................ 124 Индуктивное сопротивление. Элементы теории крыла конечного размаха .................................................................................................................... 126

13.2. Лопаточная решетка............................................................................. 127 Геометрические параметры лопаточных решеток ................................... 127 Силовое взаимодействие потока с одиночной лопаткой решетки. Формулы Эйлера ....................................................................................... 130

13.3. ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ В РЕШЕТКАХ. ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕШЕТОК........................................................................................................................ 133

Влияние геометрических и режимных параметров на характеристики решетки ...................................................................................................... 136

Глава 14. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ .............. 141 14.1. Распыливание жидкости ...................................................................... 141

Характеристики распыла .......................................................................... 141 Гидравлическое распыливание ................................................................. 143 Пневматическое распыливание ................................................................ 145 Другие способы распыливания ................................................................. 146

Глава 15. ДИФФУЗОРЫ .................................................................................. 149 Геометрические и газодинамические параметры диффузоров ............... 149 Потери энергии в дозвуковых диффузорах.............................................. 150 Сверхзвуковые диффузоры ....................................................................... 152

Глава 16. ЭЖЕКТОРЫ ..................................................................................... 154 Рабочий процесс эжектора ........................................................................ 154

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ

166

Расчет эжектора ......................................................................................... 156 Критические режимы и запирание эжектора ........................................... 158 Характеристики эжектора ......................................................................... 159

НАУЧ

НО

-ИНФОРМАЦИОННЫЙ

ЦЕНТР

САНКТ

-ПЕТЕ

РБУ

РГС

КОГО

ГОСУД

АРСТВ

ЕННОГО

ТЕХНОЛО

ГИЧЕСКО

ГО У

НИВЕРСИТЕ

ТА Р

АСТИ

ТЕЛЬ

НЫХ

ПОЛИ

МЕРОВ