j3009 unit 10

TEGASAN LENTUR J3009/ 10 /1

TEGASAN LENTUR

Objektif am : Memahami hubungkait antara kedudukan

paksi neutral dan momen luas kedua bagi

keratan piawai dalam persamaan lenturan.

Objektif Khusus : Di akhir unit ini, pelajar akan dapat :-

Memahami jenis-jenis keratan piawai

Mengira kedudukan paksi neutral (PN) bagi keratan

piawai

Mengira momen luas kedua (I) bagi keratan piawai

Menggunakan persamaan lenturan untuk menyelesaikan

masalah-masalah yang melibatkan kekuatan dan

lenturan rasuk yang disokong mudah dan rasuk julur

UNIT 10

OBJEKTIF


10.0 PENGENALAN

Di dalam unit ini, persamaan lenturan akan digunakan bagi menentukan tegasan

lentur bagi bentuk-bentuk piawai. Untuk mendapatkan tegasan lentur, kedudukan

paksi neutral (P.N) dan momen luas kedua bagi bentuk-bentuk piawai (I) perlu

dikira.

10.1 MOMEN LUAS KEDUA

Dalam merekabentuk sebatang rasuk atau aci, dimensi dan bentuk keratan yang

paling sesuai dari segi kekuatan dan ekonomi perlu diberi perhatian. Nilai tegasan

yang berlaku dalam sesuatu rasuk boleh ditentukan melalui persamaan-persamaan

yang diterbitkan. Salah satu elemen dalam persamaan ini ialah momen luas kedua

(I) atau momen Inersia .

Berikut adalah kaedah bagaimana mendapatkan momen luas kedua bagi bentuk-

bentuk :-

i. Keratan Segi Empat

Rajah 10.1 di bawah menunjukkan satu rasuk yang mempunyai keratan rentas

berbentuk segiempat tepat. Perhatikan satu rasuk julur luas dA, tebal dy, lebar b

dan jarak y dari P.N. Oleh sebab keratan rentas rasuk adalah simetri, P.N. adalah

terletak dipertengahan ukuran dalam rasuk.

Rajah 10.1: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat

b

A B

dA

dy

y

D C

P.N. d


Momen luas kedua di takrifkan sebagai

dA y I 2

Oleh itu bagi keratan segiempat tepat, momen luas kedua pada P.N., ialah

12

bd

3

y b

dy y b

dy y I

3

2/

2/

3

2d/2

d/2-

22/

2/P.N.

d

d

d

d

Dengan cara yang sama, momen luas kedua keratan segiempat tepat melalui tepi

bahagian bawah keratan diperolehi dengan kamiran dari 0 hingga d.

Oleh itu 3

bd

3

y b I

3

0

3

CD

d

Bentuk piawai di atas terbukti memudahkan pengiraan IP.N. bagi keratan terbentuk.

Ini ialah dengan cara membahagikan keratan tersebut kepada beberapa segiempat

tepat. Sebagai contoh, nilai IP.N. untuk keratan simetri seperti dalam Rajah 10.2 di

bawah.

Rajah 10.2: Rasuk Berkeratan Rentas I

Untuk Momen Luas Kedua

pada paksi P.N.

Untuk mendapatkan Momen

Luas Kedua dari bahagian

bawah tapak bagi sebuah

segiempat atau dari paksi x - x

A

B

b b

C

D d

F E

P.N.


IP.N. = IACEF – Ib.b ; b.b = bahagian berlorek.

12

)(bd 2 -

12

BD

33

ii. Keratan bulat

Rajah 10.3 menunjukkan satu bulatan yang berjejari r. Unsur berlorek yang

ditunjukkan dalam rajah tersebut mempunyai keluasan dA dan oleh itu persamaan

berikut terbentuk:-

dA = rd dr

Rajah 10.3: Rasuk Berkeratan Rentas Bulat

Daripada sistem kordinat kutub

y = r sin

Momen luas kedua pada P.N. untuk keratan bulat diberikan oleh :-

4

πr

θdθ sin 4

r

4

r dθ sinθ

θdr rd θ sin r

dA y I

4

22π

0

4

0

r

0

42π

0

22r

0

2π

0

2

P.N.

0

o

Untuk mendapatkan momen luas

kedua dengan menggunakan

kaedah potong.

d ro

r

dr


10.2 TEOREM PAKSI SELARI

Teorem paksi selari menyatakan momen luas kedua pada mana-mana paksi yang

selari dengan P.N. ( paksi X – X ) adalah bersamaan dengan momen luas kedua

keliling paksi yang melalui sentroid keratan itu ( P.N. ) campur hasil darab luas

keratan dan ganda dua jarak antara paksi yang selari dengan P.N.

Perhatikan keratan bagi sebuah segiempat tepat seperti Rajah 10.4 . Jika sekiranya

satu unsur daripada keratan itu yang mempunyai jarak y darp paksi x – x, maka

momen luas kedua keratan ini pada paksi x – x boleh didapati dari persamaan :-

dA y I 2

xx

Rajah 10.4: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat

Jika garisan P.N. dilakarkan juga selari dengan garisan x – x , maka rumusan di

atas boleh dihuraikan seperti berikut:-

dAh dA y'2h dA )(y'

dAh h 2y' ) (y'

)h y' ( I

h y' y

22

22

2

xx

Kamiran pertama merupakan momen luas kedua keratan pada paksi yang melalui

pusat bentuknya. Kamiran kedua merupakan momen luas pertama pada paksi

yang melalui pusat bentuk, oleh itu dAy' adalah bersamaan dengan sifar.

P

y

N

h

dA

x x

y’


Kamiran terakhir adalah untuk jumlah luas keratan. Seterusnya persamaan diatas

boleh ditulis sebagai :-

Ixx = IP.N. + Ah2

10.3 JADUAL KERATAN PIAWAI

Dari persamaan yang telah dibuat, kita boleh ringkaskannya seperti jadual

dibawah:-

Jadual 10.1: Ringkasan Momen Luas Kedua untuk bentuk piawai

BENTUK SENTROID MOMEN LUAS KEDUA

b/2 x

d/2 y

12

bd I

3

P.N.

3

bd I

3

xx

d/2 x

d/2 y 4

r

64

d I

44

P.N.

c r x x

3

4r y

4

P.N r 0.11 I

8

r I

4

xx

P.N.

y

x

b

d

y

P.N.

>

d

y

P.N

x

Rumus ini penting dalam mencari nilai

momen luas kedua sesuatu keratan yang

terdiri daripada beberapa gabungan

bentuk asas.


BENTUK SENTROID MOMEN LUAS KEDUA

c

x x

h/3 y

36

bh I

3

P.N.

12

bh I

3

xx

48

hb I

3

yy

10.4 SENTROID

Seperti pusat gravity yang dianggap sebagai titik dimana semua jisim sesuatu

jasad itu terpumpun, sentroid pula adalah titik dimana luasan sesuatu bentuk itu

terpumpun.

Berikut adalah contoh bagaimana sentroid sesuatu bentuk itu ditentukan.

i. Bentuk Gabungan

Bentuk gambarajah boleh dihasilkan dengan menggabungkan beberapa bentuk

asas atau memotong gambarajah asal (Rajah 10.5(a)).

Rajah 10.5(a)

Bentuk dalam Rajah 10.5(a) dihasilkan dengan menggabungkan segiempat tepat

ABCD dengan separuh bulatan ADP.

y

P.N.

D

C B

A

P


Bagi Rajah 10.5(a) tinggi sentroid tiap-tiap bentuk asas dari BC tidak sama iaitu

y1 y2 (Rajah 10.5(b)).

Rajah 10.5(b)

Oleh yang demikian,

ii. Bentuk Terpotong

Dalam Rajah C10.6(a) bahagian segiempat DEFG dipotong dan ditanggalkan

daripada bentuk segiempat asal ABCH.

Rajah 10.6(a)

)A (A

)yA y(A

A

Ay y

2 1

2211

y tapak,dari Sentroid Tinggi

C B

D

H

G

A

E

F

C B

D

C

B

D A

y

A

P

C

p

D

y2

y1

A D


Bagi Rajah 10.6(a) tinggi sentroid bagi setiap bentuk asas dari garisan BC adalah

sama (Rajah 10.6(b)). Jadi,

Rajah 10.6(b)

Merujuk kepada Rajah 10.7 pula bentuk L itu boleh dihasilkan dengan menggabungkan

dua segiempat atau dengan kaedah memotong dan memisahkan segiempat EDGF

daripada ABCG.

Rajah 10.7

21 y y y

y

C B

D

H

G

A

E

F

y2 y1 D

G

E

F

C B

H A

y

y2

y1

E D

C B

F A

D

G

E

F

C B

G A


Jika menggunakan kaedah potong dan pisah, gunakan formula berikut:

Contoh 10.1

Sebatang rasuk mempunyai keratan rentas berbentuk segiempat tepat, 30 mm

lebar dan tebalnya 50 mm (Rajah C10.1). Tentukan momen luas kedua bagi rasuk

tersebut.

Penyelesaian.

Rajah C10.1: Rasuk Berkeratan Rentas Segiempat Tepat

b = 30 mm

d = 50 mm

Gunakan Formula IP.N. = 12

bd3

30 mm

50 mm P.N.

Ini adalah kerana kita ingin mendapatkan momen

luas kedua pada paksi neutral ( IP.N. )

)A (A

)yA y(A

A

Ay y

2 1

2211


y3

y2

y1

y

x x

P.N.

47-

45

3

3

P.N.

mm 10 x 3.125

mm 10 x 3.125

12

50 x 30

12

bd I

Contoh 10.2

Kirakan momen luas kedua untuk keratan – I seperti Rajah C10.2 pada paksi x – x yang

melalui pusat graviti keratan itu.

Contoh C10.2: Rasuk Berkeratan Rentas I

Penyelesaian.

Langkah 1. Pecahkan keratan kepada 3 bahagian dan dapatkan nilai luas dan y dari

permukaan x – x.

h1

h2

h3

B1

B2

B A

B3

B A

120 mm

20 mm

100 mm

20 mm

20 mm

60 mm

X X


Bahagian Luas, A ( mm2 )

y dari x – x

( mm ) h (mm)

20

60

20 x 60

= 1200

20/2 + 120

= 130

yy

= 130 – 57.1

= 72.9

100

20

100 x 20

= 2000

100/2 + 20

= 70

yy

= 70 – 57.1

= 12.9

20

120

20 x 120

= 2400

20/2

= 10

y- y

= 57.1 – 10

= 47.1

Langkah 2 Dapatkan pusat graviti bagi keratan – I tersebut ) y ( . Katakan jarak

pusat graviti keratan itu ialah y dari permukaan atas ( A – B ).

mm 57.1 y

) 20 x 120 ( ) 20 x 100 ( ) 20 x 60 (

) )(10 20 x 120 ( ) 70 )( 20 x 100 ( ) )(130 20 x 60 (

A A A

yA yA yA

A

yA y

321

332211


Langkah 3 Dapatkan nilai momen luas kedua dari pusat graviti bagi setiap bahagian.

Gunakan formula dibawah :-

3

G12

bd I

Bahagian 1 Bahagian 2 Bahagian 3

mm 80,000 mm 671,666,666. mm 40,000

12

20 x 120

12

100 x 20

12

20 x 60

12

db I

12

db I

12

db I

444

333

3

11G1

3

11G1

3

11G1

Langkah 4 Dapatkan momen luas kedua untuk keseluruhan keratan tersebut. Gunakan

Formula :-

) 47.1 x 2400 ( 80,000 ) 12.9 x 2000 ( 671,666,666. ) 72.9 x 1200 ( 40,000

h A I h A I h A I

) hA I ( I

222

2

33 G3

2

22 G2

2

11 G1

2

GPN

= 13.8 x 10-6

m4

Formula ini digunakan kerana

bentuk piawai bagi keratan ini

adalah segiempat tepat.

Nilai h di perolehi setelah y keseluruhan

di tolak dengan y untuk setiap bahagian

= 13,820962.67 mm4


10.5 PERSAMAAN LENTURAN

Persamaan lenturan membolehkan kita menentukan nilai tegasan yang berlaku di

jarak y daripada paksi neutral. Anggapan momen lentur ini malar biasanya tidak

dapat di penuhi kerana momen lentur berubah dari keratan ke keratan di

keseluruhan panjang rasuk. Dalam merekabentuk rasuk, tujuan kita adalah untuk

menentukan nilai tegasan lentur maksimum yang berlaku. Oleh itu amalan biasa

ialah untuk menggunakan nilai momen lentur maksimum yang didapati daripada

gambarajah momen lentur bagi rsuk tersebut. Jadi tegasan yang ditentukan dengan

menggunakan nilai ini adalah yang maksimum dan jika kita merekabentuk

sebatang rasuk berdasarkan kepada nilai ini, maka sudah tentu ia akan dapat

menentang momen lentur yang dikenakan.

10.6 MODULUS KERATAN

Kita telah pun melihat bahawa tegasan lentur berkadar terus dengan jarak

daripada paksi neutral PN dan nilai tegasan ini boleh ditentukan dengan

menggunakan persamaan:

y I

M

Jika m ialah tegasan lentur maksimum yang berlaku dan ym ialah jarak

maksimum daripada paksi neutral, maka:

y

I x M

y

I

M

m

m

m

m

Persamaan ini memberi hubungan terus di antara momen lentur (M) dengan

tegasan lentur () dan momen luas kedua (I).

R

E

I

M

y

σ

Persamaan lenturan, dari

unit 9


Contoh 10.3

Rajah C10.3 (a): Rasuk Disokong Mudah Dan Rajah C10.3 (b): Rasuk Berkeratan

Dikenakan Beban Tumpu Rentas T

Sebatang bar – T yang panjangnya 6 meter menanggung beban terpumpun. Tiap-tiap satu

beban itu ialah 16 kN pada jarak 1 m dari kedua-dua hujung rasuk tersebut. Bar itu

disangga mudah pada kedua-dua hujungnya, Rajah C10.3(a). Keratan rentas bar

ditunjukkan pada Rajah C10.3 (b). Kirakan yang berikut :-

i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah rasuk.

ii. Momen luas kedua keliling paksi neutral.

iii. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk.

iv. Tegasan lentur maksimum mampatan dan tegangan yang terhasil dalam rasuk.

Diberi: E bagi rasuk = 200 GN / m2

80 mm

20 mm

15 mm

60 mm

16 kN 16 kN

1 m 1 m

6 m


Penyelesaian.

Bahagikan keratan tersebut kepada dua bahagian. Kirakan luas dan jarak

sentroid bagi setiap bahagian dari bahagian tapak keratan.

Bahagian Luas ( mm2

) y ( mm )

60 x 20 = 1200 80 + 20/2 = 90

80 x 15 = 1200 80/2 = 40

i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah keratan rentas.

mm 65

1200) 1200(

) 40 x (1200 ) 90 x (1200

AA

yA yA y

21

2211

60

20

80

15

Oleh kerana kita menggunakan

kaedah keratan terpotong, gunakan

Formula ini.

1

2



Kirakan momen luas kedua dan jarak h untuk setiap bahagian

Bahagian IC (Momen luas kedua setiap bahagian) h (mm )

1 433

mm 40,000 12

20 x 60

12

bd y-y = 90 – 65 = 25 mm

2 433

mm 640,000 12

80 x 15

12

bd y - y = 65 – 40 = 25 mm

Momen luas kedua pada paksi neutral ialah

IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h2

2 )

= ( 40,000 + ( 1200 x 252 ) ) + ( 640,000 + ( 1200 x 25

2 ) )

= 2.18 x 106 mm

4

= 2.18 x 10-6

m4

iii. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk.

Gunakan formula M

EI R

R

E

y

I

M

Dari pembebanan yang ditunjukkan,

kita dapati bahawa susunan

pembebanan itu adalah simetri, oleh

itu tindakbalas :-

R1 = R2 = 16 kN

Dari G.M.L. pula, momen lentur

dipertengahan rentang :-

16 kN 16 kN

1 m 1 m

6 m

R1 R2

( + )

(-)

G.D.R

( + )

G.M.L.


M = 16 kNm ( meleding )

iv. Jejari kelengkungan di pertengahan rentang rasuk.

m 27.25

10 x 16

10 x 2.18 x 10 x 200 R

3

-69

v. Tegasan lentur maksimum mampatan dan tegangan yang terhasil dalam rasuk.

Merujuk kepada rajah keratan rasuk, kita dapati :-

ybawah > yatas

maksimum terhasil pada permukaan bawah iaitu,

ymax = 65 mm = 0.065 m

) tegangan ( N/mm 10 x 477

10 x 18.2

0.065 x 10 x 16

I

yM σ

26

6-

3

maksmaks

maksimum terhasil pada permukaan atas iaitu,

ymaks = 35 mm = 0.035 m

)mampatan ( N/m 10 x 256.8

10 x 18.2

0.035 x 10 x 16

I

yM σ

26

6-

3

maksmaks

M

EI R nilai E telah diberi iaitu 200 GN/m

2


Contoh 10.4

Rajah C10.4: Rasuk JulurBerkeratan Rentas T Yang Dikenakan Beban Teragih Seragam

Satu rasuk julur sepanjang 10 m menanggung beban teragih seragam disepanjang rentang

rasuk itu. Keratan rentas rasuk adalah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah C10.4.

dimana EE adalah permukaan atas bagi rasuk. Tentukan yang berikut :-

i. kedudukan paksi neutral bagi keratan rentas.


iii. Tegasan tegangan maksimum dan tegasan mampatan maksimum didalam

rasuk hasil dari lendutan.

Penyelesaian.

Bahagikan keratan tersebut kepada 2 bahagian. Dapatkan luas dan jarak

sentroid bagi setiap bahagian dari bahagian tapak keratan.

Bahagian Luas ( mm2

) y ( mm )

120 x 40 = 4800 80 + 40/2 = 100

80 x 60 = 4800 80/2 = 40

80 mm

40 mm

60 mm

120 mm

E E

y

1 m

20 kN/m

120

40

80

60

1

2


i. Jarak paksi neutral dari bahagian bawah keratan rentas.

mm 70

4800) 4800(

) 40 x 4800 ( ) 100 x (4800

A A

21

2211

AA

yyy


Dapatkan momen luas kedua dan jarak h untuk setiap bahagian

Bahagian IC (Momen luas kedua setiap bahagian) h ( mm)

1 4333

mm 10 x 640 12

40 x 120

12

bd yy = 100 – 70 = 30

2 4333

mm 10 x 2560 12

80 x 60

12

bd y - y = 70 – 40 = 30

Momen luas kedua pada paksi neutral ialah

IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h2

2 )

= ( 640 x 103 + ( 4800 x 30

2 ) ) + ( 2560 x 10

3 + ( 4800 x 30

2 ) )

= 11.84 x 106 mm

4

= 1.184 x 10-5

m4

iii. Momen lentur maksimum berlaku pada bahagian bar yang bertemu tembok iaitu :

Mmaks = ( - 20 x 103)( 1 )(0.5) = 10,000 Nm = 10 kNm

Oleh kerana rasuk ini meleding, permukaan atas akan mengalami tegangan dan

permukaan bawah mengalami mampatan.

Oleh kerana kita menggunakan

kaedah keratan terpotong, gunakan

Formula ini.


ybawah maksimum = 70 mm

yatas maksimum = 120 – 70 = 50 mm

MN/m 59.12 10 x 1.184

10 x 70 x 10,000 mampatan σ

MN/m 42.23 10 x 1.184

10 x 50 x 10,000 tegangan σ

I

yM σ

y

σ

I

M

2

5-

3-

maks

2

5-

3-

maks

maksmaks

maks

10.7 AGIHAN TEGASAN

Jika nilai bagi tiap-tiap lapisan dari permukaan atas ke permukaan sebelah

bawah rasuk ditentukan, nilai-nilai itu boleh diplotkan pada satu graf seperti

dibawah. Graf menunjukkan agihan tegasan lentur.

Perhatikan yang nilai tidak bergantung kepada lebar keratan rentas sesuatu jalur.

Pada lapisan P.N., = 0.

Rajah 10.8: Agihan Tegasan Bagi Rasuk Berkeratan Rentas T

P.N.

5 cm

7 cm

+ 42.23 MN/m2

- 59.12 MN/m2

= 0


Contoh 10.5

Rajah C10.5 menunjukkan keratan rentas bagi sebatang rasuk.

a) Kirakan :-

i) jarak y

ii) momen luas kedua keliling paksi neutral.

b) Jika rasuk itu yang disokong mudah pada kedua-dua hujungnya membawa

beban teragih seragam 30 kN/m pada keseluruhan rentangnya yang

panjangnya 3m, kirakan tegasan lentur dalam rasuk itu pada:-

i) permukaan atas

ii) permukaan bawah

Rajah C10.5

80 mm

20 mm

20 mm 10 mm

100 mm

10 mm

100 mm

P.N.

40 mm


Penyelesaian

a) Keratan itu boleh dianggap berbentuk T hasil cantuman bahagian 1 dan bahagian

2. Sementara dibahagian tengahnya pula ditebuk satu lubang berbentuk segiempat

tepat (bahagian 3).

Rajah C10.5 (a)

Dapatkan luas bagi setiap bahagian yang terlibat :-

Bahagian 1 A1 = 80 x 20 = 1600 mm2

Bahagian 2 A2 = 40 x 100 = 4000 mm2

Bahagian 3 A3 = 20 x 100 = 2000 mm2

Kirakan jarak y dari bahagian tapak keratan T tersebut.

y1 = 100 + 10 = 110 mm ; y2 = 50 mm ; y3 = 10 + 50 = 60 mm

i) Dapatkan nilai

A

Ay y formulan menggunakadengan y

mm 71.1

2000) - 4000 1600(

60) x (2000 - 50) x (4000 110) x (1600

A A A

y A - y A y A y

321

332211

P.N.

1

2

3


ii) Dapatkan momen luas kedua keliling paksi neutral.

h1 = y1 - y = 110 – 65.3 = 44.7 mm

h2 = y - y2 = 65.3 – 50 = 15.3 mm

h3 = y - y3 = 65.3 – 60 = 5.3 mm

Dapatkan nilai Ah2 bagi setiap bahagian.

A1h12 = 1600 x ( 44.7 )

2 = 3.2 x 10

6 mm

4

A2h22 = 4000 x ( 15.3 )

2 = 936 x 10

3 mm

4

A3h32 = 2000 x ( 5.30 )

2 = 56 x 10

3 mm

4

Gunakan formula Ic = 12

bd3

untuk mendapatkan momen luas kedua bagi setiap

bahagian.

IC1 = 433

mm 10 x 53 12

20 x 80

IC2 = 433

mm 10 x 3.33 12

100 x 40

IC3 = 463

mm 10 x 1.67 12

100 x 20

IP.N. = ( IC1 + A1h12 ) + ( IC2 + A2h2

2 ) - ( IC3 + A3h3

2 )

= 5.8 x 106 mm

4

= 5.8 x 10-6

m4


b) Dapatkan daya yang bertindak balas pada kedua-dua hujung A dan B.

Rajah C10.5 (b)

Kita tahu bahawa rasuk tersebut dibebankan teragih seragam. Oleh yang

demikian, dapatkan dahulu jumlah daya yang terlibat.

Jumlah daya pada A = Jumlah daya pada B

RA = RB

Oleh yang demikian, RA = RB = kN 45kN 2

330

Mmaks akan berlaku dipertengahan rentang, oleh itu,

Mmaks = (+45 ) x 1.5 + (- 30 x 1.5) x 0.75

= 33.75 kNm

ybawah = 65.3 mm Oleh itu, yatas = 120 – 65.3 = 54.7 mm

I

y M σ

y

σ

I

M maksmaks

maks

2

6-

3

atas MN/m 318 x108.5

0.0547 x 10 x 33.75 σ

2

6-

3

bawah MN/m 380 x108.5

0.0653 x 10 x 33.75 σ

3 m

30 kN/m

RA RB


UJI KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT SELANJUTNYA.

SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DIHALAMAN

BERIKUTNYA.

Kirakan momen luas kedua bagi keratan rentas rasuk dibawah:-

10.1

10.2

AKTIVITI 10

A

200

90 90

B

300 260

D C

P.N.

Semua ukuran dalam mm

200 300

100

200

ø 120


10.3

10.4 Sebatang aci bulat padu ABCD disokong mudah dan dibebankan seperti Rajah

10.4 di bawah. Kirakan diameter aci jika tegasan lentur maksimum yang

dibenarkan ialah 100 MN/m2.

Rajah 10.4

80

20

20 10

100

10

100

P.N.

40

0.1 m 0.2 m 0.2 m 0.1 m

50 kN

A

20 kN 10 kN RA RE

B C D E

d


10.5

Bentuk keratan rentas sebatang rasuk yang disokong mudah dikedua-dua

hujungnya ditunjukkan dalam Rajah 10.5. Rasuk itu menanggung beban teragih

seragam sebanyak 6 kN/m disepanjang rasuk. Jika tegasan lentur maksimum

dalam rasuk itu tidak boleh melebihi 35 MN/m2, tentukan,

a) Panjang rasuk

b) Tegasan tegangan maksimum

Rajah 10.5

200 mm

25 mm

250 mm

25 mm

25 mm

150 mm


TAHNIAH KERANA ANDA TELAH MENCUBA.!!!!!!!!!

Jawapan :-

10.1

Oleh kerana keratan ini adalah simetri, maka pusat bentuk adalah berada di tengah-

tengah keratan.

Gunakan persamaan

12

bd 2 -

12

BD I

33

P.N.

12

260 x 90 2 -

12

300 x 200 I

3 3

P.N.

= 1.86 x 108 mm

4

= 1.86 x 10-4

m4

MAKLUM BALAS 10

A B

D C

P.N.

B

D

b

d


10.2 Sebelum nilai momen luas kedua ini diperolehi, kedudukan pusat bentuknya perlu

ditentukan dahulu.

Bentuk keratan ini terdiri daripada dua komponen iaitu segiempat tepat dan

bulatan. Sufiks 1 dipilih untuk segiempat tepat dan sufiks 2 untuk bulatan.

Sekiranya tapak segiempat tepat dipilih sebagai paksi rujukan, maka persamaan

berikut digunakan:-

mm 138.4

4

(120) - )300)(200(

)200(4

(120) - (300)(150) 200

A - A

A - A

A

2

2

21

2211

i

yy

A

y

y

i

i

i

i

Setelah kedudukan P.N. diketahui, maka nilai momen luas kedua untuk

keseluruhan keratan dapat dicari. Ini dilakukan dengan menggunakan teorem

paksi selari.

x x

2

1


46

243

2

222

2

111..

mm 10 x 405

)4.138200(4

)120(

64

)120()4.138150)(300)(200(

12

)(300) (200

)A I ( - )A (I

hhI NP

10.3 Keratan itu boleh dianggap berbentuk T hasil cantuman bahagian 1 dan bahagian

2. Sementara dibahagian tengahnya pula ditebuk satu lubang berbentuk segiempat

tepat (bahagian 3).

Dapatkan luas bagi setiap bahagian yang terlibat :-

Bahagian 1 A1 = 80 x 20 = 1600 mm2

Bahagian 2 A2 = 40 x 100 = 4000 mm2

Bahagian 3 A3 = 20 x 100 = 2000 mm2

Dapatkan jarak y dari bahagian tapak keratan T tersebut.

y1 = 100 + 10 = 110 mm ; y2 = 50 mm ; y3 = 10 + 50 = 60 mm

Dapatkan nilai

A

Ay y formulan menggunakadengan y

P.N.

1

2

3


mm 71.1

2000) - 4000 1600(

60) x (2000 - 50) x (4000 110) x (1600

A A A

y A - y A y A y

321

332211

Kirakan nilai momen luas kedua

46-

46

2

33C3

2

22C2

2

11C1.N.P

432

33

4633

C3

432

22

4333

C2

462

11

4333

C1

33

22

11

m 10 x 5.3

mm 10 x 5.3

)h A (I )h A (I )h A (I I

mm 10 x 56 hA ; mm 10 x 1.67 12

100 x 20

12

bd I

mm 10 x 936 hA ; mm 10 x 3.33 12

100 x 40

12

bd I

mm 10 x 3.2 hA ; mm 10 x 53 12

20 x 80

12

bd I

mm 5.3 60 - 65.3 y - y h

mm 15.3 50 - 65.3 y - y h

mm 44.7 65.3 - 110 y - y h

10.4 Dengan mengambil momen pada A, kita akan dapat:

Momen ikut jam = Momen lawan jam

MA = 0

0.1 x 50 – 0.3 x 20 – 0.5 x 10 – 0.6 x RE = 0

5 – 6 – 5 – 0.6RE = 0


RE = - 10 kN (menunjukkan arah sebenar RE adalah ke bawah)

Dengan mengambil momen pada E, ia akan memberikan,

Momen ikut jam = Momen lawan jam

ME = 0

0.6 x RA – 0.5 x 50 + 0.3 x 20 + 0.1 x 10 = 0

0.6RA – 25 + 6 + 1 = 0

RA = 30 kN

Semakan,

Jumlah daya keatas = Jumlah daya ke bawah

RA + RE + 20 kN + 10 kN = 50 kN

(30 – 10 + 20 + 10) kN = 50 kN (kiraan adalah betul)

Jika jumlah daya ke atas tidak sama dengan jumlah daya kebawah, ini

menunjukkan pengiraan tersebut tidak tepat.

Gambarajah momen lentur ditunjukkan seperti di bawah:

50 kN RE = 10 kN

RA = 30 kN 20 kN 10 kN

3 kNm

1 kNm

G.M.L

0.1 m 0.2 m 0.2 m 0.1 m


Dari G.M.L, momen lentur maksimum berlaku pada x = 0.1 m, dalam persamaan

M = 30x, iaitu:

Mm = 30 x 0.1

= 3 kNm

Menggunakan I

M

y

dengan

m = 100 x 106 N/m

2

ym = 2

d

Mm = 3 kNm

I = 64

d4

Kita dapati,

mm 67.36 ddan

2 x 10 x 100 x

64 x 10 x 3 d

d x

64 x 10 x 3

d

2 x 10 x 100

64

d x

10 x 3

2

d

10 x 100

6

33

4

36

4

36

10.5

Langkah 1. Pecahkan keratan kepada 3 bahagian dan dapatkan nilai luas dan y

dari tapak

h1

h2

h3

y3

y2

y1

y

x x

P.N.

B1

B2

B3

Rajah 10.5(a)


Bahagian Luas ( mm2 ) y ( mm )

25

150 25 x 150 = 3750 300 – 25/2 = 387.5

250

25

25 x 250 = 6250 25 + 125 = 150 mm

25

200 200 x 25 = 5000 12.5 mm

Langkah 2 Kirakan pusat graviti bagi keratan – I tersebut ) y ( . Katakan jarak pusat

graviti keratan itu ialah y dari tapak.

mm 138.5 y

) 5000 ( 6250) ( 750)3 (

) )(12.5 5000 ( ) 150 )( 6250 ( ) )(287.5 3750 (

A A A

yA yA yA

A

yA y

321

332211

Langkah 3 Kirakan nilai momen luas kedua dari pusat graviti bagi setiap bahagian.

Gunakan formula dibawah :-

3

G12

bd I

Formula ini digunakan kerana

bentuk piawai bagi keratan ini

adalah segiempat tepat.


Bahagian 1 Bahagian 2 Bahagian 3

mm 10 x 260.4 mm 10 x 32.55 mm 10 x 195

12

25 x 200

12

250 x 25

12

25 x 150

12

db I

12

db I

12

db I

434643

333

3

11G1

3

11G1

3

11G1

Langkah 4 Dapatkan momen luas kedua untuk keseluruhan keratan tersebut. Gunakan

Formula :-

) 12.5 x 5000 (

10 x 260.4 ) 150 x 6250 ( 10 x 32.55 ) 287.5 x 3750 ( 10 x 195

h A I h A I h A I

) hA I ( I

2

32623

2

33 G3

2

22 G2

2

11 G1

2

Gxx

= 196.5 x 10-6

m4

a) ybawah = 138.5 mm yatas = 300 – 138.5 mm = 161.5 mm

yatas ybawah max terhasil pada permukaan atas.

Nilai h di perolehi setelah y keseluruhan

di tolak dengan y untuk setiap bahagian

= 196.5 x 106 mm

4


kNm 425.85

Nm 0.01615

10 x 196.5 x 10 x 35

y

I σ

y

I

M

6-6

atas

maxmax

Tindakbalas, R = 2

6L

= 3L

Mmax berlaku pada pertengahan rentang, iaitu:

Mmaks = kNm 4

L

2

L(-6)

2

L3L

= 0.75L

2 kNm = 750 Nm

750L2 = 425.85 x 10

3 L = 23.8 m

b) Oleh kerana rasuk itu melendut, maka permukaan bawah mengalami tegasan

lentur tegangan.

Keratan rentas Agihan tegasan

Rajah 10.5(b)

L m

6 kN/m

R R

P.N.

161.5 mm

138.5 mm

- 35 MN/m2

+ bawah

= 0


tegangan = maks

atas

bawah σ x y

y

= 2MN/m 35 x 161.5

5.138

= 30 MN/m2


Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan dari pensyarah modul anda. Selamat mencuba dan semoga berjaya !!!!!!!!!!!!! 1.

2.

PENILAIAN KENDIRI

90 mm

20 mm

40 mm

30 mm

B A

200 mm

25 mm

250 mm

25 mm

25 mm

150 mm


3.

4.

5. Sebatang rasuk berbentuk keratan ‘T’ dibebankan seperti Rajah 5. Kirakan

tegasan-tegasan lentur maksimum yang berlaku dalam rasuk ini.

Rajah 5: Rasuk Keratan T Disokong Mudah Dan Dikenakan Beban Tumpu

160 mm

20 mm

20 mm

120 mm

20 kN

A B

750 mm

3 m

20 cm

5 cm 4 cm

1 cm

20 cm

1 cm

1 cm

1 cm

70 mm

100 mm

30 mm


6. Sebatang rasuk dibebankan seperti Rajah 6. Jika tegasan lentur maksimum

dihadkan kepada 35 kN/m2, kirakan nilai b.

Rajah 6: Rasuk Disokong Mudah Keratan Segiempat Yang Dikenakan Beban Tumpu

7. Sebatang rasuk berkeratan rentas bulat dibebankan seperti Rajah 7. Kirakan

tegasan lentur maksimum yang berlaku.

Rajah 7: Rasuk Disokong Mudah Keratan Bulat Yang Dikenakan Beban Tumpu

8. Tentukan nilai b bagi sebatang rasuk disokong secara mudah seoerti Rajah 8

dibawah dengan syarat tegasan lentur maksimum tidak melebihi 150 MN/m2.

Rajah 8: Rasuk Disokong Mudah Keratan Segiempat Yang Dikenakan Beban

Teragih Seragam

5 kN

A B

1 m

2 m

b

3b

A

200 mm

600 kN

B

600 mm

100 kN

50 mm 250 mm

b

100 mm

b

5 m

2 kN/m

RA RB


9. Sebatang rasuk julur dibebankan seperti Rajah 9. Jika tegasan lentur tidak boleh

melebihi 60 MN/m2, tentukan W

Rajah 9: Rasuk Julur Bergeronggang Yang Dikenakan Beban Tumpu

100 mm

10 mm

W

40 mm

240 mm


Adakah anda telah mencuba ?

Jika “Ya”, sila semak jawapan anda.

Jawapan

1. 196.5 x 10-6 m4

2. 868 x 10-9 m4

3. 5742.7 cm4

4. 5.2 x 10-6 m4

5. Tegasan lentur maksimum = 38.35 MN/m2, 74.02 MN/m2

6. b = 47.6 mm

7. Tegasan lentur maksimum = 114.06 MN/m2

8. b = 25 mm

9. W = 17.39 kN

MAKLUMBALAS

KENDIRI

j3009 unit 10

Education