KAPITEL 10 – flere eksempler Afsnit 10.3 Matematik i virksomhedsøkonomiske problemstillinger

E3a GROMS og GROMK til bestemmelse af optimale afsætning, hvis salgsprisen er konstant

I eksempel 3 i kapitel 10 fandt vi ud af, at det ville koste næsten 12.500 at producere et stk. mere, hvis vi i forvejen havde produceret.1000 stk.

Kan det så svare sig at producere 1.001 stk.?

Hvis vi antager, at der er tale om et produkt med en fast pris, er det ret enkelt at tage stilling til spørgsmålet. Her ville salgsprisen være afgørende for beslutningen. Hvis vi sælger produktet til fx kr. 10.000,- så ville der være tale om et tab; hvorimod en salgspris på fx 15.000,- ville give en fortjeneste.

Som udgangspunkt gælder, at så længe GROMS (grænseomsætningen) er større end GROMK (grænseomkostningerne), så kan det betale sig at udvide produktionen/salget; men så snart GROMK er større end GROMS bør produktionen stoppe.

Den optimale produktion er derfor, netop der hvor GROMK = GROMS.

Hvis vi antager, at vor omsætningsfunktion er givet som O(x) = 15.000x, er der tale om en fast salgspris uafhængig af afsætningen. GROMS er her da 15.000 kr.

Den optimale produktionsmængde findes ved at løse ligningen:

Gromk = Groms

0,00002651515x2 – 0,01987012x + 5.84127 = 15.000

0,00002651515x2 – 0,01987012x + 5.84127 – 15.000 = 0

x = 1.071,69

Vi kan naturligvis bestemme løsningen ved at anvende nulpunktsformlen til andengradsligninger; men med de værdier, der indgår, er det lettere at anvende et CAS-program eller lignende. Principielt skal vi aflæse, hvor GROMK er 15.000 kr.

f(x)=.00002651515x^2-.01987012x+5.84127

f(x)=15

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

y

GROMK(x) = 0,00002651515x2 - 0,01987012x + 5.84127

GROMS = 15

1071,7

i tusind kr

Det fremgår, at den optimale produktion vil være på 1.071 stk.

E3b GROMS og GROMK til bestemmelse af optimale afsætning, hvis salgsprisen varierer med afsætningen

Vi har flere gange set på forløb, hvor der fx er en lineær sammenhæng mellem prisen og afsætningen. Det vil derfor betyde, at omsætningen ikke kan beskrives ved en lineær funktion.

Hvis: x = afsætning

Prisen: p(x) = ax +b

Omsætningen = pris gange afsætning: O(x) = (ax + b) · x = ax2 + bx

Vi antager, at prisfunktionen er givet ved forskriften p(x) = -0,006x + 18

Vor omsætningsfunktion er derfor givet ved O(x) = -0,006x2 + 18x

Vi kan nu bestemme GROMS: GROMS(x) = )x(O' = -0,012x + 18

Hvis GROMK har samme forskrift som i eksempel 3a, er det følgende ligning, der skal løses, når GROMS = GROMK:

-0,012x + 18 = 0,00002651515x2 – 0,01987012x + 5.84127

Det er principielt også her en andengradsligning, som løses enten ved anvendelse af nulpunktsformlen eller et CAS-program.

Vi får to løsninger, hvor den ene forkastes, da den er negativ, så vi får: x = 841,65

f(x)=.00002651515x^2-.01987012x+5.84127

Serie 1

f(x)=-0.012*x+18; R²=1

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

y

GROMK(x) = 0,00002651515x2 - 0,01987012x + 5.84127

841.65

GROMS (x) = - 0,012x + 18

Vi skal således lægge produktionen til rette, så der stoppes når der er produceret 841 stk.

I praksis er der næppe tale om så simple modeller for omkostnings- og omsætningsforløb; men principielt er funktionsforskrifterne uden betydning, idet vi med CAS-programmer kan løse stort set alle ligninger, ligesom vi uden vanskeligheder kan fastlægge skæringspunkt mellem to funktioner.

E4a Wilsons formel når der indkøbes til lager

En virksomhed anvender i sin produktion en komponent, som koster 8 kr. pr. stk. i indkøb Forbruget er 18.000 stk. pr. år. Lageromkostningerne er 20 % p.a. af lagerets gennemsnitlige værdi, og hver afgiven ordre medfører 100 kr. i omkostninger.

Vi lader

x betegne seriestørrelsen (antal komponenter pr. ordre) Cl = g(x) de samlede årlige lageromkostninger Cp = h(x) de samlede årlige forberedelsesomkostninger (dvs. her hjemtagelsesomkostningerne) C = f(x) = g(x) + h(x) = de totale årlige omkostninger. Udviklingen i lagerbeholdning kan ses på følgende figur:

Forbruget af komponenter foregår jævnt (som illustreret ovenfor) med x som den maksimale

lagerstørrelse og 0 som den minimale størrelse, dvs. 2x er den gennemsnitlige lagerstørrelse, og

dermed er x4x218 =⋅ lagerets gennemsnitlige værdi. Hermed kan vi bestemme forskriften for g,

idet g(x) = 20 % af 4x = 0,20 · 4x = 0,8x for x ≥0 Produktionsforberedelsesomkostningerne er 100 kr. gange antal serier pr. år. Når forbruget er 18.000 stk. pr. år og seriestørrelsen x, er antal serier pr. år

Antal serier pr. år = x000.18

Dvs. forskriften for h er

0xforx000.800.1

x000.18100)x(h >=⋅=

Dermed er forskriften for de totale omkostninger C bestemt ved

0xforx

000.800.1x8,0x000.18100x8,0)x(f

2

>+

=⋅+=

Dette er en brøkfunktion, som vi fandt 'f til i kapitel 5. Vi får

reducerestælleren

x00.800.1x8,0)x(f

anvendesbrøkreglenx

1)00.800.1x8,0()x6,1(x)x(f

2

2'

2

2'

−=

⋅+−=

Vi sætter tælleren lig 0.

500.1x500.1x000.800.1x8,0 2

−=∨=

=−

Af monotoniforholdene (tjek selv) følger at f har globalt minimum i x = 1.500. Dvs. der skal indkøbes 1.500 stk. for at minimere de samlede indkøbs- og lageromkostninger. Graferne for funktionerne er

-200 -100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

7500

8000

8500

x

y

Indkøbsomkostninger = h(x)

Lageromkostninger = g(x)

de samlede omkostninger = f(x)

x = 1.500 = den optimale seriestørrelse

Af graferne ses, at den optimale seriestørrelse x = 1.500 stk. er skæringen mellem

lageromkostningerne og indkøbsomkostningerne. Vi har løst dette trade–off problem mellem voksende lageromkostninger og faldende indkøbsomkostninger ved større seriestørrelser. Omkostningerne er lige store, hvilket ses at

g(1.500) = 1.200 kr. og h(1.500) = 1.200 kr. dvs. de samlede minimale omkostninger er 2.400 kr.

E4b Wilsons formel når der produceres til lager I det følgende vil vi udvide problemstillingen til en produktionsvirksomhed. Hvis virksomheden selv fremstiller varen, vil produktionen foregå over en periode, og varelageret vil blive gradvist opbygget i løbet af denne produktionsperiode. Forbruget/salget af varer i produktionsperioden vil betyde, at den maksimale lagerbeholdning (ved afslutning af produktion af en serie) er mindre end seriestørrelsen. En virksomhed har et årligt salg på 480.000 stk. af et produkt. Produktet fremstilles i serier på et anlæg med en årlig kapacitet på 2.400.000 stk. Produktionsforberedelsesomkostningerne er 8.400 kr. pr. serie, og lagerrenten er 15 % p.a. Fremstillingsomkostningerne er 15 kr. pr. stk. Der regnes med 360 produktionsdage pr. år. Den optimale seriestørrelse x = produktionen p. serie bestemmes i dette tilfælde som:

Cl = g(x), Cp = h(x) og C = f(x) være bestemt som i eksempel E4a.

Vi bestemmer først forskrifterne for de tre funktioner.

Der skal produceres x stk. pr. serie. Da produktionsapparatet kan fremstille 2.400.000 stk. pr. år,

eller 360000.400.2 stk. pr. dag vil produktionsperioden være

000.400.2360

360000.400.2

xx= dage.

Der sælges 480.000 stk. pr. år eller 360000.480 stk. pr. dag.

I løbet af produktionsperioden vil der således blive solgt

5x

360000.480

000.400.2x360

=⋅ stk.

Det maksimale lager er da stk., og det minimale lager 0 stk. Gennemsnitslageret er

x52

54

21

=⋅ stk.

hvilket er illustreret i følgende tegning

Lagerets gennemsnitlige værdi er således

15 ·0,4x = 6x, og derfor er

g(x) = 15 % af 6x = 0,15 6x = 0,9x for x ≥ 0 Forskriften for h finder man som i eksempel E4a. Der fremstilles x

stk. pr. serie, og derfor skal der fremstilles serier pr. år. Hermed har vi

x

000.000.032.4x000.480400.8)x(h =⋅=

og dermed er de totale omkostninger

x

000.000.032.4x9,0x

000.000.032.4x9,0)x(f2 +

=+=

Vi finder nu f ' og nulpunkterne for f ' (tjek selv eller anvend CAS), som giver:

2

2'

x000.000.032.4x9,0)x(f −

=

f '(x) = 0 0,9x2 – 4.032.000.000 = 0 x = 66.932,8 idet x = –66.932,8 pga. definitionsmængden må forkastes som løsning. Af monotoniforholdene for f sluttes, at den optimale seriestørrelse er 66.933 stk. (helt positivt tal). Grafen der viser omkostningsfunktionerne i dette eksempel ses på næste side

f(x)=4032000000/xf(x)=0.9xf(x)=0.9x+4032000000/x

10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000

100000

200000

300000

400000

x

y

de samlede omkostninger = f(x)

prouktionsomkostninger = h(x) lageromkostninger = g(x)

x = 66.933 stk

Afsnit 10.4 Matematik i samfundsøkonomiske sammenhænge

E2a udvidet indkomstdannelsesmodel – et eksempel

I den udvidede model indgår to yderligere aktører, nemlig udlandet og den offentlige sektor. Dette giver en ny avanceret udgave af Keynes cyklusmodel, illustreret i følgende figur

Det fremgår af figuren, at den udvidede indkomstdannelsesmodel indeholder 4 nye faktorer, som påvirker den økonomiske aktivitet: Import, eksport, offentlig efterspørgsel og skatter. Eksport og offentlig efterspørgsel er begge med til at øge aktiviteten, mens import og skatter mindsker den indenlandske aktivitet.

Produktion  

Efterspørgsel  

Indkomst  

Offentlig  efterspørgsel  

Eksport   Import  

Skatter  

Som det fremgår af figuren, indgår det offentlige i den økonomiske cirkel, både med hensyn til skatter og i form af offentlig efterspørgsel. Fører vi det over på den samlede efterspørgsel fås følgende: DY C I G= + + , hvor G betegner den offentlige efterspørgsel. Noget af indkomsten gik til skatter, samtidig med det offentlige betaler overførselsindkomster i form af SU, dagpenge, pension osv. Skatter betegnes med TA, og indkomstoverførsler får betegnelsen TR. Der skelnes i følgende mellem bruttoindkomsten, Y, og den disponible indkomst YD. Pr. definition er den disponible indkomst givet ved: YD = Y - TA + TR Dvs. nu afhænger det private forbrug af den disponible indkomst i stedet: C C cYD= + Dette kan således skrives som: ( )C C c Y TA TR= + − + For at finde frem til den samlede efterspørgsel i samfundet må vi antage nogle logiske konklusioner. Indkomstoverførelserne samt det offentlige forbrug antages til værende eksogene, altså konstante. Indkomstskatten afhænger af skatteprocenten. Vi betegner den gennemsnitlige skatteprocent med t. Dvs. TA = tY

Vi har derved

TR TR= ,G G= samt TA tY= , hvor 0 < t < 1 Da det stadig gælder, at efterspørgslen er lig udbuddet, som er lig den samlede indkomst/produktion, kan vi sammenfatte den samlede indkomst i samfundet til følgende:

( )Y C c Y tY TR I G= + − + + + Endnu en gang kan vi herved udlede ligevægtsindkomsten ved samling af alle endogene størrelser på sammen side.

))t1(c1(GITRcCY

GITRcC))t1(c1(Y

GITRcCctYcYY

GITRcctYcYCY

GI)TRtYY(cCY

*

*

***

***

***

−−

+++=

+++=−−

+++=+−

+++−+=

+++−+=

Dette udtryk er ganske interessant for nu kan fortolke effekten af forskellige indgreb i økonomien. Ser vi fx på en forøgelse af investeringerne i samfundet vil et sådant indgreb øge den økonomiske aktivitet med mere end forøgelsen af investeringerne. Dette ses nok en gang ved at differentiere indkomsten Y som funktion af investeringerne I

1 11 (1 )

dYc td I

= >− −

Det matematiske argument er helt simpelt: c(1-t) giver et positivt tal der er mindre end 1 da 0 <c < 1 og 0 < 1-t < 1. Dette betyder, at 1-c(1-t) < 1 og derved bliver brøken større end 1. Så hvis vi øger

investeringsniveauet med fx 1 milliard vil den økonomiske vækst blive større end 1 milliard. Den økonomiske forklaring af den matematiske models resultater er de såkaldte afledte effekter. Det at vi øger investeringsniveauet har nogle afledte effekter fx kunne de øgede investeringer være investeringer i maskiner. Disse bliver købt i en virksomhed der derved får større indtjening, noget af denne indtjening bruger virksomheden til andre varekøb hvilket giver øget indtjening i en anden virksomhed, der så bruger lidt ekstra penge og derved at en positiv spiral i gang.

Keynes brugte modellen til at argumentere for at den offentlige sektor skulle spille en aktiv rolle under forskellige konjunktur forløb fx ved at øge det offentlige forbrug under lavkonjunkturer og nedsætte det offentlige forbrug under højkonjunkturer. Lad os lige se dette argument i vores model.

En forøgelse af det offentlige forbrug vil nemlig øge aktiviteten i samfundet: 1 11 (1 )

dYc tdG

= >− −

Når indkomsten blev højere ved en forøgelse af det offentlige forbrug, vil det naturligvis medføre

flere skatteindtægter: ( ) 0d tY dYtdG dG

= >

Det ville i denne situation være nærliggende, at stille det spørgsmål om det offentlige forbrug var selvfinansieret? Her bruger man udtrykket budgetsaldoen (B), som er forskellen mellem staten indtægter og udgifter, som er givet ved: B tY G TR= − − Herved kan ligevægtsindkomsten indsættes og effekten findes:

)t1(c1G)t1)(1c(TR)c1()IC(tB

)t1(c1)TRG())t1(c1()GITRcC(tB

TRG)t1(c1GITRcCtB

−−

−−+−−+=

−−

+⋅−−−+++=

−−−−

+++=

En ændring i det offentlige forbrug vil altså have følgende effekt:

0GddB1

)y1(c1)t1)(1c(

GddB

<<−⇔−−

−−=

Lad os først argumentere for at 0GddB

< . Tælleren er negativ da (c-1) er mindre end 0 og (1-t) er

større end 0. produktet mellem et positivt og et negativt tal giver noget negativ. Nævneren er et positivt tal mindre end 1 som vi argumenterede for før.

Hvad så med GddB >-1? Stilles ligningen op fås følgende udtryk:

)y1(c1)t1)(1c(

−−

−−>-1 For at udtrykket

kan bevises må tælleren i alle tilfælde numerisk være større end nævneren.

0t1ctct1ctc1)t1(c)t1)(1c(

1)t1(c1)t1)(1c(

>

−−>+−−

−−>−−

−>−−

−−

Og da det sidste udsagn er sandt, er det første udsagn sandt

Nu kan vi drage to konklusioner:

For det første er en stigning i det offentlige forbrug ikke selvfinansierende, da ændringen ikke er over 0.

For det andet er forringelsen på budgetbalancen ikke lige så stor som stigningen i det offentlige forbrug.

Den sidste effekt som vil blive analyseret, er en ændring i skattesatsen. Det virker umiddelbart indlysende, at en skattestigning vil føre til lavere aktivitet, og derved mindre indkomst i samfundet.

Dette kan bekræftes ved følgende: 2))t1(c1(GITRcC

dtdY

−−

+++=

Vi kunne have udvidet modellen og inddraget eksport og import. Eksporten vil være givet udefra af den udenlandske efterspørgsel efter danske varer mens importen antages at være afhængig af indkomstniveauet. Jo større indkomst jo højere import. Vi siger M(importen)= mY.

I konkrete tilfælde gælder det om at bestemme tallene

c: forbrugskvoten, t:skatteprocenten og m:importkvoten. Hvis disse tal kendes er det ganske simpelt at udregne effekterne af et politisk indgreb på fx forbruget, investeringerne, de offentlige finanser og den økonomiske vækst.

E2b indkomstdannelsesmodellen – et taleksempel

Lad os kigge på et taleksempel på den udvidede model med offentlig sektor men uden udland.

Relationerne er som følger:

Indkomsten: ))t1(c1(GITRcCY*

−−

+++=

Indkomstskatten TA =t))t1(c1(GITRcCtY*

−−

+++=

Forbruget: ))t1(c1(GITRcCcCcYCC **

−−

++++=+=

Budgettet: )t1(c1

G)t1)(1c(TR)c1()IC(tB−−

−−+−−+=

Vi antager nu at c = 0,90, t = 0,48.

Vi vil nu se på effekten af en fremrykning af offentlige investeringer på 10 milliarder.

Indkomsten:

88,1))52,01(9,01(

1))t1(c1(

1dGdYY

**' =

−−=

−−==

Dette betyder at for hver milliard vi øger de offentlige udgifter vil det give en økonomisk vækst på 1,88 milliarder. Så en forøgelse på 10 milliarder vil give en økonomisk vækst på 18,8 milliarder.

Hvad sker der med de forskellige størrelser:

1) Indkomstskatten:

902,0532,048,0

))t1(c1(t

dGdTA'TA ==

−−==

Så indkomstskatten stiger med 9,02 milliarder

2) Det private forbrug:

69,1532,09,0

)t1(c1(c

dGdCC

**' ==

−−==

Så det private forbrug vil stige med 16,9 milliarder

3) Budgettet:

098,0532,052,01,0

))t1(c1()t1)(1c(

dGdB'B −=

⋅−=

−−

−−==

Dette betyder, at de offentlige finanser samlet forringes med knap en milliard (980.000.000 kr.) Dette tal kunne vi selvfølgelig også have fundet ved at trække forøgelse i de offentlige udgifter (10 milliarder) fra de øgede indkomstskatteindtægter (9,02 milliarder).

Så effekterne er meget simple at finde ud fra modellen. Igen skal vi huske, at modellen i dette tilfælde er en meget forsimplet udgave af virkeligheden, og at den bygger på nogle antagelser der kan være beskrevet for simpelt, være forkerte eller blive forkerte som tiden går. Fx vil lille c, forbrugstilbøjeligheden, ændre sig hvis der er krise i samfundet.

Men dette får ikke anvendelsen af matematikken til at blive mindre betydningsfuld. Konklusionen synes nemlig at være forsøg på at beskrive økonomien grundigere og grundigere. Fx så vi, at der i DREAM modellen var mere end 22.000 ligninger, mens vi i vores model nærmede os ti ligninger.

Afsnit 10.5 Matematik og SRP – flere eksempler

E1a optimering af funktioner i flere variable

Vi ønsker at optimere ikke-lineære funktioner i flere variable. Metoden eller algoritmen vi vil bruge er minder om den vi gennemgik i kapitel 4. Dvs. vi vil bruge differentialregning. Når denne metoden skal bruges for funktioner i flere variable er vi nødt til at ændre lidt i algoritmen. Det er nemlig ikke muligt at bruge en fortegnsvariation af 'f for funktioner i flere variable. Derfor udvikler vi her en nu metode og vi betragter først et eksempel med en funktion i en variabel.

Vi kan kort resumere metoden til at bestemme maksimum og/eller minimum for en given funktion. Man kalder punkt 2. 'f (x) = 0, for en nødvendig betingelse for et ekstrema. Hvis der skal være et maksimum eller et minimum, skal der være en vandret tangent, 'f (x) skal være lig med nul ved et eventuelt ekstrema. Men det er ikke en tilstrækkelig betingelse. Det er nemlig ikke nok, at der er en vandret tangent. Vi ser i nedenstående eksempel, at der i punktet (-1, 1) er en vandret vendetangent. Idet tangenten er vandret er 'f (x) = 0, men som vi tydeligt ser af tegningen, er punktet (-1, 1) hverken et minimums- eller maksimumspunkt.

OPTIMERINGS ALGORITME – hvordan finder vi eventuelle maksimum og minimumspunkterne for en funktion f.

1. Bestem den afledte funktion f’ ved at differentiere f 2. Løs ligningen f’(x)=0 dvs. bestem nulpunkterne for f’ 3. Lav en fortegnsvariation af f’ omkring nulpunkterne for f’ 4. 3 tilfælde:

1. fortegnene skifter + 0 – og der er fundet et maksimumspunkt 2. fortegnene skifter – 0 + og der er fundet et minimumspunkt 3. fortegnene skifter – 0 – eller + 0 + og der et hverken maksimum

eller minimum

f(x)=3x^4+8x^3+6x^2y=0x+1Serie 1

-1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

x

y

(-1,1)

(-1, 1) er hverken et maks eller et min punkt  

Det er derfor vi altid er nødt til at lave fortegnsvariation (punkt 3. og 4.) Fortegnsskiftene + 0 – og – 0 + kaldes også for tilstrækkelig betingelser for maksimum og minimum

Med kendskabet til begreberne konveks og konkav også fra kapitel 4, kan vi bestemme 2.ordens betingelserne på en anden måde der også virker i flere dimensioner.

Hvis en funktion er konveks i det område hvor 'f (x) = 0 har vi fundet et minimumspunkt, og hvis f er konkav i det område hvor 'f (x) = 0, er det et maksimumspunkt. Hvis funktionen har vendetangent der hvor 'f (x) = 0 er der hverken maksimum eller minimum. Sammenhængen fremgår tydeligt af følgende tegninger:

Nødvendige  og  tilstrækkelige  betingelser  for  maksimum  og  minimum(1.ordens-­‐  og  2.ordensbetingelser).  

A. Nødvendig  betingelse  =  1.ordens  betingelsen:  f’(x)  =  0  B. Tilstrækkelig  betingelse  =  2.ordens  betingelsen:    

Maksimum:     fortegnsskift  +  0  –  for  f’  

Minimum:     fortegnsskift  –  0  +  for  f’  

Minimum fordi f er konveks omkring 'f (x)=0

f(x)=x^2y=0x+0Serie 1

konveks

f'(x)=0  

1.ordens betingelsen  

2.ordens betingelsen

 

minimumspunkt  

Maksimum fordi f er konkav omkring 'f (x)=0

f(x)=-x^2+8y=0x+8Serie 1

konkav

f'(x)=0  

1.ordens betingelsen

2.ordens betingelsen  

maksimumspunkt

 

 

Her er der hverken maksimum eller minimum da funktionen f skifter fra at være konveks til at blive konkav der hvor 0)x('f =

f(x)=3x^4+8x^3+6x^2y=0x+1Serie 1Serie 3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

x

y

f'(x)=0  

konveks

konkav

vandret vendetangent  

dette punkt er hverken et maksimumspunkt eller et minimumspunkt

 

2.ordensbetingelsen er IKKE opfyldt

Dette betyder, at vi blot skal konstatere om f er konkav, konveks eller skifter fra konkav til konveks eller omvendt, for at bestemme om et givet punkt er et maksimum, et minimum eller intet ekstrema. Vi samler de nye 1.ordens og 2.ordens betingelser op i følgende skema.

Lad os se metoden i følgende eksempel.

Lad x3x2x31)x(f 23 −−=

Vi ønsker, at bestemme maksimum og minimumspunkterne.

1.ordensbetingelsen 'f (x) = 0:

1x3x03x4x

0)x('f2

=∨=

=−−

=

Der er to kandidater til maksimum og minimum for f nemlig (3, f(3)) og (1, f(1))

Vi kontrollerer 2.ordensbetingelserne

4x2)x(''f −=

Først punktet (3,f(3)):

Vi indsætter 3 i ''f (x): 2·3-4 = 2 > 0 så f er konveks og punktet (3, f(3)) er et minimums punkt

Punktet (1, f(1)):

Indsætter 1 i ''f (x): 2·1-4 = -2 < 0 så f er konkav og punktet (1, f(1)) er et maksimumspunkt.

 Husk,    

hvis  f’’(x)  <  0  er  f  konkav  og  hvis  f’’>  0  er  f  konveks  

1.ordensbetingelsen  

f’(x)  =  0  

2.ordensbetingelserne  

Minimum:       f’’(x)    0  

Maksimum:       f’’(x)    0  

Intet  ekstrema:   f’’  skifter  fortegn  

Metoden kan direkte overføres til eksempler med flere variable. E1b optimering af funktioner i flere variable ved hjælp af partielle afledede En virksomhed producerer og sælger to produkter. VUELTA og GIRO. Prisen pr stk. VUELTA kan bestemmes ved

p1(x) = -0,025x + 40 0 < x < 700, hvor x er afsætningen i stk. VUELTA Prisen pr stk. GIRO kan bestemmes ved

p2(x) = -0,025y + 30 0 < x < 500, hvor y er afsætningen i stk. GIRO De variable enhedsomkostninger ved produktionen er 15 kr. pr. stk. VUELTA og 10 kr. pr. stk. GIRO Det samlede dækningsbidrag kan beskrives med en funktion f(x,y). Regneforskriften bliver:

f(x, y) = -0,025x2 +25x – 0,025y2 + 20y Vi husker, at dækningsbidraget er omsætningen minus de variable omkostninger. Omsætningen er pris gange afsætning så for VUELTA bliver det p1(x)·x – 15x og tilsvarende for GIRO. Nu vil vi gerne finde den kombination af VUELTA og GIRO der giver det største samlede dækningsbidrag. Dette svarer til at finde (x, y) der optimerer f(x, y). Så vi skal i gang med at differentiere: 1.ordens betingelserne:

020y05,0yf025x05,0

xf

=+−=∂

∂∧=+−=

∂

∂

Dette giver et simpelt ligningssystem som vi løser

40005,020y500

05,025x

020y05,0025x05,0

==∧==

=+−∧=+−

1.ordens betingelserne giver os altså en mulig kandidat til et maksimum eller minimum og det er punktet (500, 400) Vi kontrollerer 2.ordens betingelserne:

0xyf

yxf05,0

yf05,0

xf 22

2

2

2

2=

∂∂

∂=

∂∂

∂∧−=

∂

∂∧−=

∂

∂

Vi samler i matricen

A=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∂

∂=

∂∂

∂

=∂∂

∂−=

∂

∂

05,0yf0

xyf

0yxf05,0

xf

2

22

2

2

2

Da 05,0xf2

2−=

∂

∂ <0 og yxf

xyf

yf

xf 22

2

2

2

2

∂∂

∂⋅

∂∂

∂−

∂

∂⋅

∂

∂ (= DeterminantA)  = (-0,05)·(-0,05) - 0·0 = 0,025>0 er

punktet (500, 400) et maksimumspunkt. Undervejs benyttede vi os af metoden til at differentiere funktioner i flere variable – det hedder at finde de partielle afledede. Den måde man gør det på er at først differentiere med hensyn til den ene variabel fx x. Dernæst med hensyn til den anden variabel. Når man differentiere med hensyn til x lader man som om alle y leddene er konstanter og tilsvarende når man differentierer med hensyn til y så er x blot en konstant. Det ”bløde” d er et lille delta og viser at det er en partiel afledet og ikke en ”rigtig” afledet. De dobbelt afledede findes på tilsvarende vis og fordi der er to variable giver det 4 dobbelt afledede. Eksemplet kan sagtens udvides så virksomheden f.eks. står overfor et begrænset kapacitets problem. Dvs. der skal maksimeres over et begrænsningsområde som i lineær programmering. I sådanne tilfælde kan der opstilles en såkaldt Lagrange funktion, der så maksimeres som i ovennævnte tilfælde.

E2a Portefølje management, Stokastiske variable og Lagrange funktionen.

I eksempel E2 i afsnit 10.5 skrev vi

Porteføljemanagement er en disciplin inden for investering i værdipapirer. Investering handler i bund og grund om at opnå det højeste afkast med den lavest mulige risiko. Man deler risikoen op i systematisk og usystematisk risiko. Den usystematiske risiko kan reduceres(bortdiversificeres) ved at investere i mange forskellige værdipapirer. Men da en stor samling (stor portefølje) af fx aktier vil give store handelsomkostninger og derved sluge gevinsten(afkastet) handler porteføljemanagement primært om at vælge de ”rigtige” aktier. De ”rigtige” aktier er aktier der varierer godt sammen – de skal variere modsat således at den usystematiske risiko minimeres.

Det er her vi kan udnytte teorien om stokastiske variable. Vi kan nemlig beskrive afkastet ved at investere i en aktie ved hjælp af en stokastisk variabel. Hvis vi så laver en portefølje af forskellige aktier bliver dette til summe af stokastiske variable. De forventede værdier af disse summe af stokastiske variable kan fortolkes som det forventede afkast af en given portefølje. Variansen kan fortolkes som risikoen ved porteføljen. Så i princippet gælder det om at sammensætte sine aktier således, at det forventede afkast(den forventede værdi af summen) er størst mulig, og risikoen(variansen) mindst mulig.

Lad os samle lidt op på matematikken i dette.

Vi lader afkastet af en portefølje med n aktier være beskrevet ved den stokastiske variabel !. Hver

aktie beskrives !!, hvor ! er den !′te aktie. Desuden tilføjer vi en konstant !!, som betegner den !'te

akties vægt i forhold til den samlede portefølje. Her skal det nævnes at der gælder følgende

sammenhæng for en konstant og den forventede værdi:

! ! ∙ ! = ! ∙ !"

!" = !! ∙ !(!!)!!!!

Dette er udtrykket for det forventede afkast. Risikoen eller variansen ved den enkelte aktie ser

således ud

!"# ! ∙ ! = !! ∙ !"#(!)

For hele porteføljen:

!"#(!) = !!! ∙!

!!!

!"# !! + 2 !! ∙ !! ∙ !"#!

!!!

(!! ,!!)!

!!!

Det sidste led i summen cov(Xi, Xj) er covariansen mellem den i’te aktie og den j’te aktie. Det er et

udtryk for hvordan de to aktier spiller sammen. Dette udtryk kan være negativt og dette vil sige at

de to aktier i gennemsnit varierer modsat – de er med andre ord gode at sætte sammen i en

portefølje.

I praksis kan covarianserne regnes ud fx i Excel. Så ved at indlæse en række afkast tal for to aktier i

Excel kan vi få covarianserne udregnet. Det samme gælder selvfølgelig for varianserne.

Hele problemstillingen kan nu reduceres til et simpelt optimeringsproblem. Vi kan nemlig opstille

følgende problem:

Minimer: ∑∑∑= ==

⋅⋅+⋅=n

1i

n

1jjijii

n

1i

21 )X,Xcov(ww)Xvar(w)X(Var

Givet følgende betingelser

!!

!

!!!

= 1

!! ∙ ! !! = !"!

!!!

!! ≥ 0

Og det forventede afkast skal være et givet fast niveau fx 5%

Vi kræver, at alle vægtene summerer til 1, at porteføljens afkast er summen af de enkelte aktiers

vægtede afkast og at vi ikke kan have en negativ andel af en aktie samt at vi ønsker et forventet

afkast på 5 %

Problemet kan løse ved at opstille en Lagrange funktion og optimerer denne. Hvis vi har en

portefølje med 3 aktier vil dette give et ligningssystem med 3 ligninger med 3 ubekendte.

Løsningen til et konkret problem vil ikke være statisk. Dette skyldes at afkastene på de enkelte

aktier kan ændre sig over tid – de er dynamiske størrelser. Dette betyder i praksis at portefølje

sammensætningen skal justeres løbende.

E2b beregning af forventet afkast og varians for en portefølje med 3 aktier.

Vi vil nu prøve at sammensætte en portefølje af tre aktier fra det danske C20 indeks. Vi vil vælge to

defensive aktier og en cyklisk aktie for at skabe noget variation i henhold til porteføljestrategien. Vi

vil i dette eksempel bruge Nordea, Novo Nordisk og William Demant Holding som er opstillede

med forventede afkast og risiko i følgende skema:

Forventet afkast pr. måned Risiko

Nordea (N) 1,11 60,7

Novo Nordisk (O) 5,19 16,9

William Demant Holding (L) 0,33 30,53

Tallene i tabellen er beregnet ud fra fortidige kurser taget fra Nasdaqomxnordic.com. Risikoen er

beregnet som variansen af den stokastiske variabel X

Fra overstående skema ses det, at Novo Nordisk har et højt afkast og en lav risiko, en meget atypisk

situation, men derudover ser vi en sammenhæng mellem risiko og afkast. Lad os nu se, på afkast og

risiko af den samlede portefølje. Vi vil lave en portefølje med en vægt på 33 % af hver aktie.

Herudfra vil vi udregne det forventede afkast af porteføljen med formlen ∑=

⋅=3

1iii EXwEX :

0,33 ∗ 1,11+ 0,33 ∗ 5,19+ 0,33 ∗ 0,33 = 2,19

Det forventede afkast på porteføljen er altså højere end Nordea og William Demant Holding men en

del mindre end Novo Nordisk. At udregne covariansen kræver mange data, derfor nøjes vi med en

udregning fra Excel, der giver os følgende covarianser:

!"# !! ,!! = −0,89

!"# !! ,!! = −22,69

!"# !! ,!! = −4,47

Vi er altså i den gunstige situation, at alle aktierne i en eller anden grad varierer modsat hinanden.

Med de angivne vægte fra før vil vi nu udregne variansen med

∑ ∑∑= = =

⋅⋅+⋅=3

1i

3

1i

3

1jjijii

2i )X,Xcov(ww2)Xvar(w)Xvar( :

Var(X) = 0,332·60,7 + 0,332·16,9 + 0,332·30,5 + 2(0,33·0,33·(-0,89) + 0,33·0,33·(-22,69) +

0,33·0,33·(-4,47) = 11,24.

Vi ser, at det forventede afkast er 2,19% (pr måned) og variansen (risikoen) er 11,24. Dette er

dermed ikke umiddelbart en optimal portefølje da den vil blive slået af en portefølje kun med Novo

Nordisk aktier.

E2c den kritiske rand – minimumsvarians porteføljer – Lagrange funktion

Så det må kunne gøres bedre. Vi så, at de tre covarianser alle var negative – dette skal udnyttes.

Første trin i at vælge den optimale portefølje er at bestemme det man kalder den kritiske rand. Den

svarer til de kombinationer af de pågældende aktier der til et givet forventet afkast har den laveste

risiko.

Vi skal finde den bedste kombination i en portefølje, hvor der i princippet er uendeligt mange

kombinationer. Det lyder tidskrævende! Imidlertid kan den optimale porteføljesammensætning

udregnes med stokastiske variabler som en optimering af den kritiske rand.

Den kritiske rand kan udregnes ud fra Lagrange-optimering i form af en minimering af den samlede

porteføljes varians under visse forudsætninger. Optimeringsproblemet kan vi beskrive ud fra det

tidligere eksempel:

Minimer: ∑ ∑∑= = =

⋅⋅+⋅=3

1i

3

1i

3

1jjijii

2i )X,Xcov(ww2)Xvar(w)Xvar(

Med følgende betingelser:

(i) !!!!!! = 1

(ii) !! ∗ ! !! = !"!!!!

iii) !! ≥ 0

Vi kræver altså, at den samlede vægt af porteføljen er 100 %, at det forventede afkast på alle aktier

gange deres vægt er lig med det forventede afkast på porteføljen, og at vægten på en aktie ikke må

være negativ.

For at udregne den kritiske rand i det konkrete eksempel skal vi benytte den på følgende beskrevne

fremgangsmåde. Vi tager udgangspunkt i eksemplet fra før, dog uden tal, og bruger betegnelserne

Nordea (N), Novo Nordisk (O) og William Demant Holding (L) for at holde dem adskilt. Vi

opstiller Lagrange-funktionen således:

� = !!! ∗ !"# !! + !!! ∗ !"# !! + 1− !! − !! ! ∗ !"# !! + 2!!!! ∗

!"# !! ,!! +  2!! ∗ 1− !! − !! ∗ !"# !! ,!! + 2!! ∗ 1− !! − !! ∗

 !"# !! ,!! − ! ∗ (!! ∗ ! !! + !! ∗ ! !! + ! !! 1− !! − !! − !")

Vi udnytter (i) til at skrive !! som den restvægt af porteføljen, der er tilbage, når de to andre aktiers

vægte er trukket fra. Vi ser også, at vi som det sidste trækker den forventede værdi af den samlede

portefølje fra, det er den værdi som vi vil minimere risikoen ud fra. Sidst med ikke mindst er !

Lagrangemultiplikatoren. Derudover er det hele blot variansen af summen og den forventede værdi

af porteføljen.

Efter at have opstillet Lagrange-funktionen simplificerer vi den, ved at trække de ubekendte led

sammen. Så laver vi en differentiering af funktionen ud fra de to porteføljevægte !! og !! samt

Lagrangemultiplikatoren λ . Derefter kan de fremkommende 3 ligninger løses som 3 ligninger med

3 ubekendte. Så skulle vi gerne kunne udregne !! og !!, som vi trækker fra 1, og derved har vi

også !!. Til sidst kan vi udregne variansen af porteføljen.

E3a Teknisk analyse – et konkret eksempel

Teknisk analyse er nogle relativt simple matematiske modeller der bruges til at forudsige mønstre i

aktiekursudviklingen og dermed bedre være i stand til at købe når aktierne er billige og sælge når de

er dyre.

Der findes mange forskellige modeller – såkaldte indikatorer, men vi vil nøjes med at kigge på den

mest simple af alle modellerne, nemlig et såkaldt glidende gennemsnit. I praksis bør man bruge

flere modeller på samme tid og bruge modellernes fælles købs og salgssignaler.

Et glidende gennemsnit er rent matematisk et gennemsnit der løbende ændrer sig ved, at man

udskifter det ”ældste” tal i gennemsnittet med et ”nyt”. Hvis man fx laver et 30 dages løbende

gennemsnit vil man hver dag udskifte den 30 dage gamle kurs med dagens kurs.

Nedenstående figur viser kursudviklingen af Novozymes fra den 29-10-2011 til 17-10-2011

Vi kan nu prøve at se på et 30 dages glidende gennemsnit. Dvs. vi tager de første 30 dages kurser,

lægger sammen og dividerer med 30. Så tager udskifter vi det ældste tal med det 31’te tal, igen

lægger vi de 30 kurser sammen og dividerer med 30. Dette gør vi så løbende og resultatet ses i

figuren.

Hvis den røde gennemsnitskurve ligger under den blå er aktien i et opgående trend. Hvis den ligger

over er aktien i et nedadgående trend. Dette betyder også at hvis den røde kurve skærer igennem

den blå er det signaler på at trenden skifter(måske) En skæring nedefra er et salgssignal mens en

skæring oppefra er et købssignal.

Generelt kommer der fejlsignaler og jo kortere det glidende gennemsnit er, jo oftere kommer der

fejlsignaler.

Af figuren ses at der kommer et salgssignal omkring den 25.januar. Kursen er her ca 780. Omkring

1 marts kommer der et købssignal til ca. kurs 763. Dette efterfølges af et salgssignal kort efter

omkring 15 marts til kurs 754. Købssignalet den 1.marts var altså et fejlsignal idet købsprisen var

højere end salgsprisen.

Den 18 marts kommer der så igen et købssignal denne gang til kurs 772. Salgssignalet kommer den

1.august til kurs 861. Fra den 8.september til den 15.september kommer der to købssignaler og et

600  

650  

700  

750  

800  

850  

900  

950  

30  dages  glidende  gennemsnit  

dagskurser  

salgssignal ca. til samme kurser. Hvis man hoppede ind på det sidste købssignal ville aktien købes

til 740. Omkring 4.oktober kommer der så igen salgs og købssignal til ca. samme kurs 765.

Der er altså noget støj og en del fejlsignaler. Men strategien ville have givet et pænt overskud hvis

den var fulgt slavisk.

Vi kunne prøve med et 60 dages glidende gennemsnit og se om det bedre kan sortere fejlsignalerne

fra. Det vil vi overlade til læseren.

Når teknisk analyse skal bruges er det vigtigt at kombinere flere modeller, i flæng kan nævnes

volumen, Momentum, RSI og dobbelt gildende gennemsnit.