Készítette: Nagy Mihály tanKészítette: Nagy Mihály tanáárrPerecsen, 2006.Perecsen, 2006.

Halmazok Descartes-szorzata

A halmazok Descartes-szorzata:

Tehát a Descartes-szorzat rendezett elempárok halmaza.

Például: A={3,5}, B={1,4}, akkor AXB={(3,1), (3,4), (5,1), (5,4)}.

Általában: AXB≠ BXA .

A derékszögű koordináta-rendszer

A valós számok halmazának geometriai ábrázolása egy egyenes (számegyenes). Két egymásra merőleges számegyenes egy Descartes-féle koordináta-rendszert alkot. Az RXR={(x,y)|xR, y R} szorzat minden elempárja ábrázolható ebben a rendszerben. Az OX az abszcissza, OY az ordináta tengely. O a kezdőpont (origó).

Az egyenesek négy negyedet határoznak meg: I., II., III., IV. negyed. A számozás az óra járásával ellenkező irányban történik.

II I

III IV

y

xO

M(2;3)

N(-3;-1)

Az M pont koordinátái 2 és 3. A 2 az abszcissza, a 3 az ordináta. Az N pont koordinátái a -3 illetve a -1. Az RXR szorzat bármely elemének megfelel egy pont a síkban. Vagyis bármely számpár ábrázolható a koordináta-rendszerben.

A függvény fogalmaTekintsük az A(-2,-4), B(-1,-2), C(0,0), D(1,2), E(2,4). Készítsünk táblázatot:

x -2 -1 0 1 2

y -4 -2 0 2 4

Megfigyelhetjük, hogy y = 2x. Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben a pontokat:

y

xO

(-2,-4)

(-1,-2)

(0,0)

(1,2)

(2,4)

Adott az A{-2, -1, 0, 1, 2} és B={0, 1, 4} halmaz. A két halmaz alapján az alábbi táblázatot készíthetjük:x -2 -1 0 1 2y 4 1 0 1 4Észrevesszük, hogy y = x2.Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben:

y

xO (0,0)

(1,1)

(2,4)

(-1,1)

(-2,4)

Készítsünk diagramokat és nyílakkal ábrázoljuk az elelemek közötti kapcsolatokat (relációkat):1. 2.

-2

-1

0

1

2

0

1

4

-2

-1

0

1

2

-4

-2

0

2

4

Más relációkat kifejező diagramok:3. A B

1

2

3

45

a

Vizsgáljunk meg még egy diagramot:4. C D

a

b

c

1

23

45

6

Tanulmányozzuk egy kicsít az előbbi relációkat:

Az 1., 2. és 3. ábrán az első halmaz bármely elemének a második halmazból egy és csak egy elem felel meg.

Ezek függvényszerű relációk. A negyedik ábrán a C halmaz a elemének a D halmazban több elem felel meg. Ez a reláció nem függvényszerű.

Mondhatjuk, hogy az első három reláció függvény, az utolsó viszont nem függvény.

Értelmezés:Adott az A és B halmaz. Ha valamilyen eljárással (f) az A halmaz bármely x elemének megfeltetünk egy és csak egy y elemet a B halmazból úgy, hogy y = f(x), azt mondjuk, hogy egy f :A B függvény értelmeztünk.

Az A halmazt értelmezési tartománynak, a B halmazt értéktartománynak nevezzük.

Az f a megfeleltetési szabály, törvény, eljárás ami lehet képlet vagy egyéb összefüggés.

Az előbbiek alapján látható, hogy a függvényeket háromféleképpen határozhatjuk meg:

•táblázattal: x 1 2 3 4y 1 4 9 16

•diagrammal:

•képlettel

f(x) = x2

12

34

14

916

A függvény grafikus képe

A Gf={(x,y)|x A,y=f(x)} halmazt az f:A B függvény grafikus képének nevezzük, ahol GfAXB. A Gf számossága mindig egyenlő az A halmaz számosságával.

Például: Legyen A={-1, 0, 1, 2}. Tekintsük az f: A B , f(x) = 2x + 1 függvényt. Akkor a Gf = {(-1,-1), ( 0,1), (1,3), (2,5)}. Az A és B halmaz lehet éppen az R.Ebben az esetben Gf RXR.

Az elsőfokú függvény

Az f::A B, f(x) = ax + b, a, bR alakú függvényeket elsőfokú függvényeknek nevezzük. Amint előbb láttuk ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenesbe eső pontok. Ezért tévesen egyes tankönyvekben lineáris függvényként emlegetik. Ha A R, akkor a grafikon egy szakasz, félegyenes vagy egyenes. Az f : R R, f(x) = ax + b az elsőfokú függvény általános alakja.

Példák: 1. Adott az f:{-1, 0, 1, 2} R, f(x) = 2x+1 függvény.

xO

y

(-1,-1)

(0,1)

(1,3)

(2,5)

2. Legyen az f: R R, f(x) = 4x-3 függvény. Ábrázoljuk:

y

xO

(0,-3)

(-1,1)

f(x)x 0 -1

y -3 1

3. Tekintsük az f:R R, f(x)=3 és a g:R R, g(x)=-2 függvényeket. Ábrázoljuk:

xO

y

f(x)

g(x)

4. Ábrázoljuk az f:R R, f(x) = -2x függvényt!

xO

y

f(x)

A tengelyekkel való metszéspontok meghatározása

Legyen f:R R, f(x)=ax+b az elsőfokú függvény általános alakja.

Ha x=0, akkor f(0)=b, tehát A(0,b) az OY tengellyel való metszéspont.

Ha f(x)=0, akkor ax+b=0, vagyis x=

tehát B( ,0), az OX tengellyel való

metszéspont. A két ponton áthaladó egyenes a függvény grafikonja.

a

b

a

b

Példa: Tekintsük az f:R R, f(x)=2x-6 függvényt. Keressük meg a tengelyekkel való metszéspontokat és ábrázoljuk.

Ha x=0, akkor f(0)=-6, tehát A(0,-6) pontban metszi az OY tengelyt.

Ha f(x)=0, akkor 2x-6=0, azaz x=3, tehát a B(3,0) pontban metszi az OX tengelyt.

Mivel az elsőfokú függvény grafikonja egy egyenes és két pont mindig meghatároz egy egyenest, ezért a két ponton átmenő egyenes a függvény grafikonja.

Készítsük el a grafikont:

x

y

O

B(3,0)

A(0,-6)

f(x)

Függvény meghatározása két pontja segítségével

Példa: Határozzuk meg az A(-2,3) és B(4,-1) pontokon áthaladó függvényt!

Megoldás: Az elsőfokú függvény általános alakja f(x)=ax+b. Kiszámítjuk az f(-2) és f(4) értékeket, azután pedig megoldjuk az f(-2)=3 és f(4)=-1 egyenletekből álló egyenletrendszert.

Innen kapjuk, hogy a = és

b = .

A függvény:

14

32

ba

ba3

2

3

5

3

2 xxf

5

3

Feladat: Határozzuk meg az f:R R, f(x)=3x+6 függvény grafikonja és a tengelyek által határolt alakzat területét!

x=0, f(x)=6, tehát A(0,6)

f(x)=0, x= -2, tehát B(-2,0)

f(x)

xO

A(0,6)

B(-2,0)

62

62

2

OAOBT

Az elsőfokú függvény tulajdonságai

• Növekvő, ha a<b, akkor f(a)<f(b)

• Állandó, ha a<b, akkor f(a)=f(b)

•Csökkenő, ha a<b, akkor f(a)>f(b)

y

O x

yf(a)

a b

f(b)

O xa

f(b)

f(a)

b O x

y

ba

f(a) f(b)

Intervallumokon értelmezett elsőfokú függvények

Az f:I R, f(x)=ax+b függvény a g:R R, g(x)=ax+b függvénynek az I intervallumra való leszűkítése. Az f függvény grafikus képe a g függvény képének (d) egy része, ami lehet szakasz vagy félegyenes.

Ahogy az értelmezési tartomány zárt vagy nyílt intervallum, úgy a grafikon zárt vagy nyílt szakasz.

Nézzünk egy pár példát:

1. Legyen az f:(-2,3) R, f(x)=x+3.

xO

y

-2 3

f(x)

2. Legyen az f:[-2,3] R, f(x)=x+3.y

xO-2 3

f(x)

y

xO-2 3

f(x)

3. Legyen az f:[-2,+ ) R, f(x)=x+3.