korp fal pm -...
TRANSCRIPT
Zjawiska korpuskularno-falowe
Gustaw Kirchoff (1824-1887)
W 1859 rozpoczyna się droga do mechaniki kwantowej od odkrycia linii D w widmie słonecznym
Elektron odkryty przez J.J. Thompsona w 1897 (neutron w 1932). Nowe idee były przyjmowane niechętnie
Promieniowanie termiczne
Podstawowe źródła światła:
- ogrzane ciała stałe lub gazy, w których zachodzi wyładowanie elektryczne.
Emisja ↔↔↔↔ absorpcja
R - widmowa zdolność emisyjna promieniowania
R dλ - szybkość z jaką jednostkowy obszar powierzchni wypromieniowuje energię z zakresu długości fal λ, λ+dλ.
Całkowita zdolność emisyjna promieniowania – szybkość z jaką jednostka powierzchni wypromieniowuje energię:
(analogia do rozkładu Maxwella dla prędkości!)
Własności widma termicznego:
- nie zależy ani od rodzaju substancji ani od kształtu, a jedynie od temperatury ciała;
- widmo jest ciągłe;
- opisane jest dla ciała doskonale czarnego
(ciała, którego powierzchnia absorbuje całe promieniowanie termiczne).
Emisja energetyczna promieniowania ciała doskonale czarnego zmienia się z temperaturą zgodnie z prawem Stefana-Boltzmana:
Idealny absorber
aλ =1
eλ =K(λ,T)
R = σ⋅T4
∫∞
=0
λλdRR
gdzie σ =
Zauważmy, że maksima natężenia promieniowania dla różnych temperatur przypadają na różne długości fal.
Tzn. można to zapisać:
λ1T1 = λ2T2= λ3T3=….
Ogólnie λ⋅T = const - prawo Wiena
Zastosowanie: pomiar temperatury gwiazd na podstawie analizy widmowej. Mierzymy λ ⇒ λ⋅T = 2,898⋅10-3 [m⋅K] i stąd obliczmy temperaturę gwiazdy.
Podejmowano różne próby oparte na fizyce klasycznej, wyjaśnienia rozkładu promieniowania ciała doskonale czarnego.
Teoria Wiena:
gdzie c1, c2 to stałe wyznaczane doświadczalnie.
Pokrywała się ona z wynikami doświadczalnymi jedynie dla małych długości fal.
Z kolei teoria Rayleigh’a była zgodna z doświadczeniem tylko dla dużych λ.
Dopiero Max Planck (1900) zmodyfikował wzór Wiena:
⋅ −42
81067,5Km
W
Tc
e
cR
λλ λ 2
151=
otrzymując pełną zgodność z wynikami doświadczalnymi.
Dla krótkich fal czyli małych λ otrzymujemy wzór Wiena
Chcąc zbudować teorię wyjaśniającą otrzymaną zależność założył, że atomy ciała doskonale czarnego zachowują się jak oscylatory harmoniczne o charakterystycznych częstościach drgań
1. Energia oscylatora jest kwantowana i dana wzorem: E = nhν gdzie
n = 1, 2, 3… - liczba kwantowa, h = 6,63⋅10-34 - stała Plancka.
2. Oscylatory nie wypromieniowują energii w sposób ciągły, ale kwantowany, tzn. wypromieniowana ilość energii ∆E = hν.
3. Oscylator znajdujący się w stanie stacjonarnym (jeden ze stanów kwantowych) nie emituje ani ni absorbuje energii.
Planck wyznaczył wówczas na drodze teoretycznej stałe:
gdzie c – prędkość światła, k – stała Boltzmana. (1918 – nagroda Nobla)
Przykład:
Klasyczny oscylator o częstotliwości ν = 0,5 Hz i energii E = 0,1 J.
Liczba kwantowa takiego oscylatora:
Jeżeli n zmienia się o jedność, to względna zmiana energii oscylatora
co jest praktycznie niemierzalne, czyli kwantowa natura drgań obiektów makroskopowych jest niewidoczna.
1
125
1
−=
Tc
e
cR
λλ λ
2 1cTλ >>
k
hcc =2
21 2 ;c c hπ= ⋅
3234
1001,35,01063,6
1,0 ⋅=⋅⋅
== −νh
En
3334
103,31,0
5,01063,6 −−
⋅=⋅⋅=∆E
E
W 1905, Albert Einstein doszedł do wniosku, że nie można wyprowadzić wzoru Planck’a z praw klasycznej fizyki. Słuszność wzoru Planck’a oznacza koniec fizyki klasycznej
E = hν
E = hc/λ
E – energia cząstki, ν - częstotliwość, λ-długość fali
Promieniowanie należy w pewnych przypadkach traktować jak fale a w innych eksperymentach jako cząstki.
To jest dualizm korpuskularno-falowy
Zjawisko fotoelektryczne
Fotoelektrony wybijane z katody, przyspieszane przez pole elektryczne, tworzą prąd elektryczny, który płynie między katodą a anodą nawet po przyłożeniu przeciwnego potencjału do anody. Natężenie prądu fotoelektrycznego spada do zera przy potencjale anody równym
Uh – potencjał (napięcie) hamujące. Ekmax= e⋅ Uh
Na wykresie natężenia fotoprądu od przyłożonego napięcia, krzywą b otrzymano przy dwukrotnym zmniejszeniu natężenia światła.
Stosowane katody I grupa: Li, Cs, Rb
Einstein: światło rozchodzi się w postaci cząsteczek – fotonów, z których każdy unosi kwant energii:
A zatem w zjawisku fotoelektrycznym spełniona jest zasada zachowania energii:
hν = W + Ek
gdzie W – praca wyjścia elektronu, charakterystyczna dla danego metalu katody.
Jeżeli Ek = 0 to
jest to graniczna długość światła, przy której zachodzi zjawisko fotoelektryczne.
Z zasady zachowania energii:
Jest to więc sposób wyznaczenia pracy wyjścia oraz wartości stałej Plancka.
λν c
hhE ==
W
hcW
hch gr
grgr =⇒== λ
λν
e
W
e
hUh −= ν
αα tgehe
htg ⋅=⇒=
Zjawisko Comptona
Jest to drugi efekt wskazujący na korpuskularna naturę światła. Compton (1923) zaobserwował rozproszone promienie X o zmienionej długości fali. Klasyczna teoria fal elektromagnetycznych zjawisko rozproszenia tłumaczyła jako pobudzenie do drgań elektronów ośrodka rozpraszającego, które stają się wtórnym źródłem fal – ale bez zmiany długości !
Według teorii kwantowej zjawisko polega na zderzeniu padającego fotonu z elektronem swobodnym. Podczas zderzenia foton oddaje elektronowi jedynie część energii.
Jeżeli światło można traktować jak zbiór fotonów, należy spodziewać się zderzeń pomiędzy fotonami i cząstkami materii (np. elektronami)
Efekt Comptona jest wynikiem rozpraszania fotunu γ na quasi-swobodnym elektronie e w metalicznej próbce (folii)
γ + e → γ' + e’
Zasada zachowania energii:
( )22
020
1'c
v
cmhccm
hc
−+=+
λλ
Zasada zachowania pędu dla osi OX:
Zasada zachowania pędu dla osi OY:
Po wyeliminowaniu z równań v oraz ϕ otrzymujemy:
W zjawisku Comptona zmiana długości fali nie zależy od energii fotonu padającego, a zależy jedynie od kąta jego rozproszenia.
Dla ϕ = 00 ∆λ = 0;
dla ϕ = 1800 ∆λ = 2 Λ (rozproszenie wsteczne),
a dla ϕ = 900 ∆λ = Λ
( )�� ��� ��
�����
elektron
foton cv
vmhh ϕϕλλ
cos1
cos' 2
0
−+=
( )�� ��� ��
���
elektron
foton cv
vmh ϕϕλ
sin1
sin'
02
0
−−=
)cos1('0
ϕλλλ −=−=∆cm
h
Oba opisy światła: falowy i korpuskularny są poprawne: w pewnych przypadkach promieniowanie elektromagnetyczne zachowuje się jak fala o określonej długości i częstotliwości, a w innych jak zbiór fotonów o określonym pędzie i zerowej masie spoczynkowej. Przejście od obrazu falowego do korpuskularnego opisują wzory:
Dokładniej omówiony ten problem będzie w następnym rozdziale.
Model atomu Bohra
Postulaty Bohra:
I. Atom wodoru może znajdować się jedynie w ściśle określonych stanach stacjonarnych, w których nie promieniuje energii.
II. Elektron atomu w stanie stacjonarnym porusza się tylko po takich orbitach
kołowych, dla których moment pędu jest skwantowany, tzn. spełnia zależność: gdzie n = 1, 2, ..
III. Warunkiem wypromieniowania energii jest przejście atomu ze stanu o energii wyższej Ek do stanu o energii niższej Ej :
hν = Ek - Ej
Skoro elektron porusza się po orbicie kołowej pod wpływem siły kulombowskiej będącej siłą dośrodkową, to z tego warunku można obliczyć prędkość elektronu. Zatem pęd p elektronu i jego moment pędu L można zapisać:
Uwzględniając warunek kwantyzacji momentu pędu otrzymujemy wyrażenia na promień orbity i energię kinetyczną elektronu.
mv
hhphE === λ
λν
π2
hnLn =
0
2
0
2
44 πεπεrme
prLr
memvp ====
220
4
20
22
8 nh
meE
me
hnr nn επ
ε −==
Czyli promień orbity rośnie jak n2, a energia całkowita rośnie (do zera) jak 1/n2. Jonizacji atomu odpowiada n = ∝. Wówczas całkowita energia atomu E = 0, a r
= ∝.
Energia atomu w stanie podstawowym n = 1 : E1 = -13,6 eV
Na podstawie powyższych wzorów otrzymujemy wzór na częstość linii widmowych atomu wodoru:
gdzie R jest stałą Rydberga.
Przejścia elektronu między kwantowanymi poziomami energetycznymi można przedstawić w postaci tzw. serii widmowych.
Linie serii zagęszczają się w kierunku fal krótkich, a każdą serię ogranicza linia odpowiadająca najmniejszej długości fali danej serii.
−⋅=
−=
2222320
4 1111
8 kjcR
kjh
me
εν
Przykład:
Obliczyć długość fali emitowanej przy przejściu elektronu z orbity 3 na 1.
313113 λ
ν hchEE ==−
9131
121
21
31
EE
EEhc −=
−−
−=λ
1311
31 8
9
9
8
E
hcE
hc =⇒= λλ
Hipoteza de Broglie’a
1923 – Ludwik de Broglie – cząsteczki materialne, podobnie jak fale elektromagnetyczne powinny wykazywać cechy falowe. Pęd fotonu Masa fotonu stąd: cząsteczce o pędzie p i całkowitej energii E odpowiada fala płaska o częstotliwości i długości Fala materii nie ma nic wspólnego z falą elektromagnetyczną ! Cząstce można przyporządkować grupę fal o różnych ν i określonej prędkości grupowej. Przykłady Fale materii związane z obiektami mikro- i makroskopowymi: Elektron przyspieszony różnicą potencjałów U = 150 [V] uzyskuje prędkość
2
2
mvUe= →
72 m~ 10
s
Uev
m= ≈
a zatem
10~ 10 m2
h
emUλ −= ≈
h
E=ν
mv
h
p
h ==λ
f
E h hp
c c
νλ
= = =
2f
hm
c
ν=
Klasyczny obiekt – piłka o pędzie
m(1kg) 10
sp mv
= =
34
356.6 10 J6.6 10 [m]
kg×m10
s
h
pλ
−−⋅= = = ⋅
Jak widać w przypadku obiektu makroskopowego, w porównaniu z jego rozmiarami λ ≈ 0 tzn. nie rejestrujemy jego falowej natury. Natomiast jeżeli cząstce można przypisać cechy falowe, to powinny istnieć zjawiska, w których te cechy by się ujawniły – np. interferencja, czy dyfrakcja. Doświadczenie Davissona Germera 1922 – C.J. Davisson i K.H.Germer badali zjawisko rozproszenia wiązki elektronów przechodzącej przez folię monokryształu niklu (umieszczony w punkcie C). Natężenie wiązki odbitej badane jest dla różnych wartości potencjału przyspieszającego V. Prąd kolektora w detektorze (D) jest funkcją energii kinetycznej padających elektronów i wykazuje maksimum dyfrakcyjne dla określonego kąta ϕ odpowiadającego napięciu 54 V.
Spełniony jest warunek Bragga λ = 2dsinΘ.
Dla warunków przedstawionych na rysunku, obliczona długość fali wynosi: λ = 2.(0.091 nm) sin65° = 0.165 nm Natomiast długość fali obliczona ze wzoru de Broglie’a, dla napięcia przyspieszającego 54 V:
0.165nm2 2k
h h h
p mE mUeλ = = = =
Zgodność wyników jest doświadczalnym potwierdzeniem hipotezy de Broglie.
Ruch elektronów w atomach Ruch elektronów w wiązce emitowanej z katody np.wolframowej nie jest niczym ograniczony. Natomiast w przypadku związania elektronów z atomami, ruch elektronów może być opisany przez stojące fale materii, a na dodatek ruch ten jest kwantowany – energia ich może przyjmować tylko określone wartości. Falę materii (stojącą), związaną z orbitą o promieniu r można przedstawić następująco: Długość fali musi być tak dobrana, aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą liczbę fal materii:
p
hnrnr =⇒= πλπ 22
A więc moment pędu:
2
hL rp n
π= =
gdzie n = 1, 2,.. jest to warunek kwantyzacji Bohra ! Zasada nieoznaczoności Heisenberga (1927) Z dyfrakcji światła na szczelinie
1-sze minimum dyfrakcyjne powstaje pod kątem α
sin2 2
xλ α∆=
sinxλ α= ∆
x
px
P0
Wiązka elektronów cząstek przechodzących przez szczelinę doznaje zmiany pędu ∆px w kierunku równoległym do szczeliny
sinxp p α∆ =
sinxλ α= ∆
sinh
xp
α= ∆
sin x
h hp p
x xα= ⇒ = ∆
∆ ∆
Elektrony (fale) tworzące maksima wyższych rzędów doznają większego odchylenia stąd
xp x h∆ ∆ = xp x h∆ ∆ ≥
yp y h∆ ∆ ≥
zp z h∆ ∆ ≥ Iloczyn nieokreśloności pędu i jej położenia w danym kierunku jest zawsze większy od stałej Plancka Nieoznaczoność energii i czasu
dvdpdx mdvdx m dxdt madxdt Fdxdt dEdt
dt= = = = =
stąd
p x E t E t h∆ ∆ = ∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ ≥ Przykład Stan wzbudzenia atomu charakteryzuje energia i czas wzbudzenia . niepewność
określenia energii: 34
26 78
6.63 10~ 6.6 10 J 4 10 eV
10
hE
t
−− −
−
⋅∆ ≥ = ≈ ⋅ ≥ ⋅∆
. Dokładność
określenia stanu wzbudzenia atomu jest rzędu 10-7 eV.