kuliah 2: fungsi multivariabelindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_01.pdf · cakram...
TRANSCRIPT
BAB 1 2
Definisi Dasar
Perhatikan fungsi
𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑚: 𝐱 ⟼ 𝑓 𝐱
𝑛 = 𝑚 = 1 fungsi bernilai riil satu variabel
𝑛 = 1,𝑚 > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel
𝑛 > 1,𝑚 > 1 fungsi bernilai vektor multivarabel
© Indah Yanti 2012
Operasi Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚dengan 𝐴 ⊆ ℝ𝑛
Jumlahan 𝑓 + 𝑔 𝐱 = 𝑓1 𝐱 + 𝑔1 𝐱 ,⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 + 𝑔𝑚 𝐱
Perkalian skalar
𝑐𝑓 𝐱 = 𝑐𝑓1 𝐱 ,⋯ , 𝑐𝑓𝑚 𝐱
Perkalian fungsi 𝑓 ∙ 𝑔 𝐱 = 𝑓1 𝐱 ∙ 𝑔1 𝐱 ,⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 ∙ 𝑔𝑚 𝐱
BAB 1 © Indah Yanti 2012 3
Catatan
Perhatikan bahwa dimensi domain dan kodomain dari dua fungsi yang dioperasikan harus sama.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 4
Cakram Buka
DEFINISI Untuk setiap 𝐱𝟎 ∈ ℝ𝑛 dan bilangan riil 𝑟 > 0, himpunan
𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 = 𝐱 ∈ ℝ𝑛: 𝐱 − 𝐱𝟎 < 𝑟 disebut cakram buka atau bola buka dengan pusat 𝐱𝟎 dan jari – jari 𝑟. Dengan 𝐱 − 𝐱𝟎 menyatakan jarak euclidean antara 𝐱 dan 𝐱𝟎.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 5
Titik Dalam
DEFINISI
Misalkan himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛. Titik 𝐱0 ∈ 𝐺 merupakan titik dalam jika terdapat 𝑟 > 0 sedemikian sehingga 𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 ⊆ 𝐺.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 6
Titik Batas
DEFINISI
Misalkan himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛. Titik 𝐱0 merupakan titik batas himpunan 𝐺 jika untuk setiap 𝑟 > 0 berlaku 𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 ∩ 𝐺 ≠ ∅ dan 𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 ∩ 𝐺𝑐 ≠ ∅.
Catatan
Titik batas himpunan 𝐺 tidak harus selalu ada di dalam 𝐺.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 7
Soal 1.
Misalkan 𝐺 = 𝑥1, 𝑥2 0 ≤ 𝑥1 < 1
a. Carilah semua titik dalam dari 𝐺
b. Carilah semua titik batas dari 𝐺
BAB 1 © Indah Yanti 2012 8
Titik Luar
DEFINISI
Misalkan himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛. Titik 𝐱0 merupakan titik luar himpunan 𝐺 jika terdapat 𝑟 > 0 sedemikian sehingga 𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 tidak memuat titik 𝐺.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 9
Himpunan Buka
DEFINISI
Himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛disebut himpunan buka jika untuk setiap 𝐱𝟎 ∈ 𝐺 terdapat 𝑟 > 0 sedemikian sehingga cakram buka
𝐷 𝐱𝟎, 𝑟 ⊆ 𝐺.
Himpunan 𝐺 ⊆ ℝ𝑛disebut himpunan buka jika semua titik di 𝐺 adalah titik dalam 𝐺.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 10
Soal 2.
Tentukan apakah himpunan pada soal 1 merupakan himpunan buka atau himpunan tutup.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 11
Neighbourhood
DEFINISI
Misalkan 𝐱0 ∈ ℝ𝑛. Maka sebarang himpunan buka 𝐺 sedemikian sehingga 𝐱0 ∈ 𝐺 disebut neighbourhood dari titik 𝐱0.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 12
Closure
DEFINISI
Misal diberikan 𝐴 ∈ ℝ𝑛. Himpunan 𝐴 , himpunan yang mengandung semua titik 𝐴 dan titik batas dari 𝐴, disebut closure dari 𝐴.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 13
Soal 3.
Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan buka atau himpunan tutup 𝐴 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 < 4
𝐴 = 𝑥, 𝑦 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃 ∈ ℝ2 0 ≤ 𝜃 <𝜋
4, 𝜃2 < 𝑟 < 𝜃
BAB 1 © Indah Yanti 2012 14
Limit
DEFINISI Pandang fungsi 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 , dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 dan 𝐛 ∈ ℝ𝑚. Dikatakan fungsi 𝑓 mempunyai limit b untuk x mendekati x0, dinotasikan
lim𝐱→𝐱0
𝑓 𝐱 = 𝐛
jika, diberikan sebarang neighbourhood 𝑁 dari b, terdapat neighbourhood 𝐺 dari 𝐱0 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 ∈ 𝑁 untuk setiap 𝐱 ≠ 𝐱0 memenuhi 𝐱 ∈ 𝐺 ∩ 𝐴.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 15
Teorema 1A
Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 , dan berlaku
lim𝐱→𝐱0
𝑓 𝐱 = 𝐛1
lim𝐱→𝐱0
𝑓 𝐱 = 𝐛2
dimana 𝐛1, 𝐛2 ∈ ℝ𝑚. Maka 𝐛1 = 𝐛2.
Dengan kata lain jika limit ada maka keberadaannya tunggal.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 16
Teorema 1B Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 , maka untuk 𝐱 → 𝐱0 berlaku
a. Jika 𝑓 𝐱 → 𝐛, maka 𝑐𝑓 𝐱 → 𝑐𝐛 untuk setiap 𝑐 ∈ ℝ
b. Jika 𝑓 𝐱 → 𝐛1 dan 𝑔 𝐱 → 𝐛2, maka 𝑓 + 𝑔 𝐱 → 𝐛1 + 𝐛2
c. Jika 𝑓 𝐱 = 𝑓1 𝐱 ,⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝐴, maka 𝑓 𝐱 → 𝐛 jika dan hanya jika 𝑓𝑖 𝐱 → 𝑏𝑖 untuk setiap 𝑖 = 1,⋯ ,𝑚, dimana 𝐛 = 𝑏1, ⋯ , 𝑏𝑚
BAB 1 © Indah Yanti 2012 17
Teorema 1C
Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ dan 𝑔: 𝐴 → ℝ, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 . Maka untuk 𝐱 → 𝐱0 berlaku
a. Jika 𝑓 𝐱 → 𝑏1dan 𝑔 𝐱 → 𝑏2, maka
𝑓𝑔 𝐱 → 𝑏1𝑏2
b. Jika 𝑓 𝐱 → 𝑏 ≠ 0, maka 1𝑓 𝐱 → 1
𝑏
BAB 1 © Indah Yanti 2012 18
Kontinuitas
DEFINISI
Pandang fungsi 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Dikatakan fungsi 𝑓 kontinu di titik 𝐱0 ∈ 𝐴 jika
lim𝐱→𝐱0
𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱0 .
Fungsi 𝑓 kontinu di 𝐴 jika 𝑓 kontinu di setiap 𝐱0 ∈ 𝐴. BAB 1 © Indah Yanti 2012 19
Teorema 1D
Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 . a. Jika 𝑓 kontinu di 𝐱0, maka 𝑐𝑓 juga kontinu di 𝐱0.
b. Jika 𝑓 dan g kontinu di 𝐱0, maka 𝑓 + 𝑔 juga kontinu di 𝐱0 .
c. Jika 𝑓 𝐱 = 𝑓1 𝐱 ,⋯ , 𝑓𝑚 𝐱 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝐴, maka 𝑓 kontinu di 𝐱0 jika dan hanya jika 𝑓1, ⋯ , 𝑓𝑚 kontinu di 𝐱0.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 20
Teorema 1E
Misalkan 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑚 dan 𝑔: 𝐴 → ℝ𝑚, dimana
𝐴 ⊆ ℝ𝑛. Misalkan 𝐱0 ∈ 𝐴 .
a. Jika 𝑓 dan 𝑔 kontinu di 𝐱0, maka 𝑓𝑔 juga kontinu di
𝐱0.
b. Jika 𝑓 kontinu di 𝐱0 dan 𝑓 𝐱0 , maka 1 𝑓 juga
kontinu di 𝐱0.
BAB 1 © Indah Yanti 2012 21