limitaciones fundamentales en control siso
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Limitaciones Fundamentales en ControlSISO
Notas basadas principalmente enGoodwin, Graebe y SalgadoControl System Design, PrenticeHall,2001
Virginia Mazzone
INGENIERIA EN AUTOMATIZACION Y CONTROL INDUSTRIAL
http://iaci.unq.edu.arUniversidad Nacional de QuilmesRoque Saenz Pena 352, BernalBuenos Aires, Argentina
- 2
Capıtulo 9
Limitaciones fundamentales en controlSISO
En capıtulos anteriores presentamos las funciones de sensibilidad, que nos permiten analizar lasrelaciones entre las distintas senales en un lazo simple de control.
Luego presentamos un metodo sistematico para asignar los polos de lazo cerrado de estas funcio-nes a partir del conocimiento de un modelo de la planta. Este metodo permite, en principio, asignarlos polos a lazo cerrado en forma arbitraria.
Estas herramientas nos permiten sintetizar un controlador, una vez que se sabe donde deben irlos polos a lazo cerrado. La cuestion central de diseno es como elegir los polos a lazo cerrado.
En este capıtulo vamos a ver que, en general, los polos a lazo cerrado no pueden asignarse enforma arbitraria.
Veremos que cada configuracion de polos deseados elegida siempre tendra asociadas ventajasy desventajas. Ası, frecuentemente estaremos forzados elegir una solucion de compromiso en eldiseno.
Las ventajas y desventajas de una determinada configuracion de polos a lazo cerrado estan aso-ciadas a limitaciones fundamentales de diseno existentes para una planta dada en una dada confi-guracion de control. Estas limitaciones fundamentales estan asociadas a
sensores
actuadores
errores de modelado
caracterısticas estructurales de la planta, como
• polos a lazo abierto con parte real positiva
• ceros a lazo abierto con parte real positiva
Al conocer las limitaciones de diseno, podremos elegir deliberadamente una solucion de compro-miso para la configuracion de polos a lazo cerrado. Es decir, podremos elegir un diseno teniendo encuenta todas las implicancias de tal eleccion.
9.1. Limitaciones debidas a sensores
Los sensores son una parte crucial de cualquier diseno en un sistema de control, dado que proveenla informacion necesaria a partir de la cual se genera la accion de control.
Recordemos que son los ((ojos)) del controlador, por lo que cualquier defecto significativo, o erroren la medicion tendra un impacto significativo en el desempeno global del sistema.
Los principales dificultades asociadas a los sensores tienen origen en
3
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones debidas a sensores- 4
ruido, inherente a la medicion, y
restricciones en la dinamica del sensor en sı.
9.1.1. Ruido
Como vimos en el Capıtulo 5, el efecto del ruido de medicion en la salida del sistema esta cuanti-ficado por las ecuaciones
Y(s) = −T0(s)Dm(s) (9.1)U(s) = −Su0(s)Dm(s) (9.2)
Como generalmente se requiere que la salida y tenga buen seguimiento de referencias en un rango debajas frecuencias — determinado por el ancho de banda de lazo cerrado — la funcion de sensibilidadcomplementaria T0 es tıpicamente 1 a lo largo de este rango de frecuencias.
La existencia de ruido de medicion, tıpicamente de alta frecuencia, impone un lımite superior almaximo ancho de banda a lazo cerrado admisible.
10−2
10−1
100
101
102
0
0.5
1
ω
|T(j
ω)|
Tıpica respuesta en frecuencia de T0
Superando este lımite, la salida podra seguir referencias mas rapidas, pero, por (1) y (9.2), a costade mayor perturbacion por ruido de medicion, tanto en la salida como en el control.
9.1.2. Dinamica del sensor
Otra limitacion comun asociada a los sensores es la propia dinamica de los mismos. Por ejem-plo, la mayorıa de las termocuplas vienen recubiertas por una vaina. Esta vaina protege el sensorbimetalico, pero al mismo tiempo incorpora una dinamica adicional, ya que la vaina tambien debecalentarse y esto lleva un tiempo que puede ser significativo dependiendo del proceso.
Denotando como Ym(s) la salida (temperatura) medida, la dinamica de la vaina puede modelarsecomo
Ym(s) =1
τ1s + 1Y(s)
donde Y(s) es la salida real. Este es un retardo adicinal a la dinamica de la planta.
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones debidas a sensores- 5
Figura 9.1: Vaina de una termocupla
Podrıa pensarse que este retardo es evitable pasando Ym(s) por un filtro pasa-altos que ((cancele))el polo de la dinamica de la vaina, por ejemplo
Ym f (s) =τ1s + 1τ2s + 1
Ym(s), donde τ1 > τ2.
Sin embargo, esto llevarıa entonces a que el problema sea el ruido medicion, que serıa ahora ampli-ficado por el filtro pasa-altos incorporado.
9.1.3. Actuadores
Como dijeramos, ası como los sensores son los ojos del controlador, los actuadores son su musculo.Los actuadores son tambien origen de limitaciones de desempeno en control. En particular, con-
sideraremos
restricciones en actuacion maxima, y
restricciones en actuacion mınima.
Estas restricciones pueden ser tanto en amplitud, como en velocidad.
Restricciones en actuacion maxima
En la practica, todos los actuadores tienen lımites maximos de actuacion, que pueden alcanzarsesi la senal de control experimenta picos elevados, y ası, el actuador satura.
Estos picos elevados en la actuacion pueden producirse a causa de cambios rapidos y grandes enla senal de referencia R(s), o en la perturbacion de salida Do(s).
En el lazo de control de 1 grado de libertad visto,
U(s) = Su0(s) (R(s)− D0(s)) , donde Su0(s) =T0(s)G0(s)
. (9.3)
En particular, vemos en (9.3) que si el ancho de banda a lazo cerrado (T0(s)) es mucho mayor que elancho de banda a lazo abierto (G0(s)), necesariamente Su0(s) amplificara significativamente compo-nentes de alta frecuencia en R(s) o Do(s).
Ejemplo 9.1. Consideremos la planta G0(s) y funcion de sensibilidad complementaria asociada T0(s)
G0(s) =10
(s + 10)(s + 1), y T0(s) =
100s2 + 12s + 100
.
El ancho de banda a lazo cerrado es aproximadamente 10 veces el de la planta, lo que implicara que la funcion desensibilidad de control Su0(s) amplificara significativamente componentes de altas frecuencias en la referencia(presentes, por ejemplo, si hay cambios rapidos en R(s)).
Efectivamente, podemos ver en la Figura 9.2 (izquierda) un diagrama de Bode de magnitud de Su0( jω)para este sistema, que presenta alta ganancia para frecuenciasω > 7rad/s.
La Figura 9.2 (derecha) muestra el control u(t) generado por una variacion escalon unitaria en la senalde referencia r(t). El pico inicial de u(t) puede hacer saturar al actuador, que puede tener efectos severos en eldesempeno del sistema.
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones debidas a perturbaciones- 6
.
Figura 9.2: Efectos de una gran diferencia entre ancho de banda a lazo cerrado y a lazo abierto
Frecuentemente, los lımites maximos en actuacion no solo existen en amplitud, sino tambien envelocidad, que suele referirse en ingles como slew-rate. El slew-rate es una limitacion en el maximovalor de u(t), es decir, sU(s). Por la misma expresion (9.3), vemos que
sU(s) = Su0(s) (sR(s)− sD0(s)) =T0(s)G0(s)
(sR(s)− sD0(s)) . (9.4)
Tambien vemos que grandes diferencias entre el ancho de banda a lazo cerrado y el de la plantaproducen gran sensibilidad a variaciones rapidas en r(t) y do(t).
La existencia de lımites en la actuacion maxima, tanto de amplitud como de velocidad, ge-neralmente impone un lımite superior al maximo ancho de banda a lazo cerrado admisiblepara evitar saturacion en el actuador.
Restricciones en actuacion mınima
Otra limitacion frecuente es la imposibilidad de efectuar actuaciones arbitrariamente pequenas.Un caso tıpico es el de un controlador que actua mediante un dispositivo cuantizado, Figura 9.3.
Cuando la actuacion esta cuantizada, el mınimo error estatico de seguimiento estara limitado porel umbral de cuantizacion del actuador — en general no podra conseguirse error nulo en regimenpermanente.
Otro caso en que existen limitaciones de actuacion mınima se origina en la existencia de elementosmecanicos con friccion estatica (el actuador ((se pega))).
Un ejemplo tıpico de este fenomeno se da en valvulas de corredera del tundish, Figura 9.4, en elproceso de colada continua. La valvula no se mueve si no hay un mınimo de fuerza aplicada, y segenera una oscilacion permanente en el nivel de acero en el molde.
9.2. Limitaciones debidas a perturbaciones
Otra fuente de limitaciones de desempeno en un lazo de control es la existencia de perturbaciones;senales no deseadas, que no pueden manipularse, y que entran al lazo de control.
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones debidas a perturbaciones- 7
Figura 9.3: Caracterıstica entrada-salida de un cuantizador
Figura 9.4: Valvula de corredera
Recordando el lazo de control de 1 grado de libertad introducido en el Capıtulo 4, las perturba-ciones a la entrada y a la salida de la planta afectan a la salida segun la formula
Y(s) = Si0(s)Di(s) + S0(s)Do(s),
donde
Si0(s) =G0(s)
1 + G0(s)K(s)= G0(s)S0(s), S0(s) =
11 + G0(s)K(s)
.
Asumiendo que las perturbaciones di y do solo son significativas en bandas de frecuencias Bi y Borespectivamente, sera deseable que las magnitudes |Si0( jω)| y |S0( jω)| sean pequenas en las bandasBi y Bo respectivamente.
Como G0(s) es fija, lo unico que podemos manipular es S0(s), que debera ser de forma tal que|S0( jω)| ≈ 0, en la union de las bandas Bi y Bo. En otras palabras, |T0( jω)| ≈ 1 en esas mismasfrecuencias.
La existencia de perturbaciones en el lazo de control impondran, en general, un lımiteinferior en el ancho de banda del sistema a lazo cerrado.
Ejemplo 9.2. Sea la planta G0(s) = 1s , controlada con control K(s) = Kp. La funciones de sensibilidad y
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Error de modelado- 8
sensibilidad complementaria nominales resultan
S0(s) =s
s + Kp, T0(s) =
Kp
s + Kp.
Supongamos que tenemos perturbaciones sinusoidales di = cos(2π t) (frecuencia 1 Hz) y do(t) = sen(10π t)(frecuencia 5 Hz).
Vemos que para reducir el efecto de estas perturbaciones a la salida de la planta deberemos disenar Kp paraque el ancho de banda de lazo cerrado sea de por lo menos 50 Hz.
−3
10−2
10−1
100
101
102
103
10
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
.
Magnitud
Hz
db
−3
10−2
10−1
100
101
102
103
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
.
Fase
Hz
degrees
Figura 9.5: Funcion de sensibilidad nominal para atenuar las perturbaciones de 1 y 5 Hz (Kp = 100π)
Podemos lograr este ancho de banda haciendo Kp ≥ 100π , ver Figura 9.5. Sin embargo, notar que si hubieraruido de medicion de alta frecuencia, o restricciones en la actuacion, existiran tambien lımites superiores almaximo valor de Kp.
9.3. Error de modelado
Las incertidumbres en el modelo nominal de la planta tambien limitan el desempeno alcanzabledel sistema. Como vieramos en el Capıtulo 4, las funciones de sensibilidad reales diferiran en generalde las nominales.
Para un modelo de error multiplicativo (MEM) la planta real G(s) se puede expresar en funciondel modelo nominal G0(s) como
G(s) = G0(s)(1 + G∆(s)),
donde G∆(s) es en general desconocida, aunque puede conocerse alguna cota de su magnitud. Ge-neralmente, la magnitud de G∆( jω) crece con la frecuencia — ya que a mayores frecuencias existemayor incertidumbre en el modelo.
Con este MEM, las funciones de sensibilidad reales alcanzadas con un dado controlador — di-senado en base al modelo nominal de la planta — pueden relacionarse a las nominales. Por ejemplo,como vimos en el Capıtulo 4,
S(s) = S0(s)S∆(s), T(s) = T0(s)(1 + G∆(s))S∆(s),
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones Estructurales- 9
dondeS∆(s) =
11 + T0(s)G∆(s)
.
Para que las funciones de sensibilidad nominales se aproximen a las reales alcanzadas, es deseableque |S∆( jω)| ≈ 1 en las frecuencias donde exista incertidumbre.
Esto puede lograrse disenando |T0( jω)| de forma que sea pequena donde |G∆( jω)| sea signi-ficativa — generalmente a frecuencias altas ⇒ lımite superior al ancho de banda de lazo cerradoalcanzable.
En conclusion,
La incertidumbre de modelado generalmente impondra un lımite superior al ancho debanda de lazo cerrado alcanzable.
Ejemplo 9.3. Efecto de errores de modelado Supongamos que tenemos un modelo nominal de una planta
G0(s) =1
((a + δ)s + 1)F(s)
que tiene una incertidumbre δ en el valor exacto de un polo, o sea que la planta real es
G(s) =1
(as + 1)F(s).
El MEM para esta incertidumbre es
G∆(s) =G(s)G0(s)
− 1 =δs
(as + 1).
a−3
10−2
10−1
100
101
102
103
10
−50
−40
−30
−20
−10
0
.
MagnituddB (normalizado a la incertidumbre)
Figura 9.6: Diagrama de magnitudo correspondiente a G∆(s)
Este error es mas significativo a frecuencias altas, llegando a un valor maximo de magnitud |δ/a|. El modelonominal de la planta sera fidedigno hasta aproximadamente la frecuencia a del polo incierto, como muestra laFigura 9.6. Esta frecuencia sera un lımite al ancho de banda de lazo cerrado, si queremos evitar los efectos delerror en el polo en el lazo real.
9.4. Limitaciones Estructurales
Las limitaciones vistas hasta ahora (debidas a sensores, actuadores, perturbaciones, o errores demodelado) estan todas asociadas a la implementacion real del lazo de control. Sin embargo, existenlimitaciones que se manifiestan aun en el lazo nominal. Estas son limitaciones originadas en ciertascaracterısticas estructurales de la planta a lazo abierto.
Analizaremos en esta seccion las limitaciones de desempeno debidas a compromisos estructura-les, dadas por
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones Estructurales- 10
Retardos de transporte
Ceros de fase no mınima
Polos inestables
Plantas con estas caracterısticas estructurales seran inherentemente difıciles de controlar satisfactoriamen-te.
9.4.1. Retardos temporales
Sin duda, una de las fuentes mas comunes de limitaciones de desempeno. Los retardos de trans-portes estan tıpicamente asociados al transporte de materiales de un punto a otro.
Un retardo en la planta se modela en su funcion transferencia como e−sτ , donde τ es el retardo.El termino e−sτ no modifica la magnitud de la funcion transferencia, ya que
|e− jωτ | = 1 ∀ω, τ ,
pero agrega un retraso de fase creciente con la frecuencia,
^e− jωτ = −ωτ .
El ancho de banda esta dado por la frecuencia de corte del sistema (cruce de 0 dB). Aumentando estafrecuencia lo suficiente, se lleva a un sistema con retardo indefectiblemente a la inestabilidad.
−3
10−2
10−1
100
101
10
−60
−40
−20
0
20
40
60
.
−3
10−2
10−1
100
101
10
.
−3
10−2
10−1
100
101
10
−60
−40
−20
0
20
40
60
.
−3
10−2
10−1
100
101
10
.
Fase
MagnituddB
−π
0G( jω)
G( jω)e− jωτ
Es facil ver en un diagrama de Nyquist que la presencia de un retardo limita el maximo ancho debanda de lazo cerrado alcanzable. Un ancho de banda mayor requiere mayor ganancia de lazo, perodisminuye los margenes de estabilidad.
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones Estructurales- 11
G( jω)e− jωτ
G( jω)
−1
Un retardo de transporte en la planta impondra un lımite superior al maximo ancho de banda delazo cerrado alcanzable.
9.4.2. Retardos y errores de modelado
En relacion a las limitaciones inducidas por los retardos de transporte, cabe preguntarse si vale lapena usar un controlador con predictor de Smith en la practica, ya que es un controlador que agregaun retardo al lazo.
La respuesta es posiblemente sı si el modelo de la planta (especialmente el retardo) se conocencon precision.
Sin embargo, si solo se dispone de una estima muy incierta del retardo, el uso de un predictor deSmith sera contraproducente. El error de modelado nos obligara a limitar significativamente el anchode banda de lazo cerrado, como ilustramos a continuacion.
Consideremos una planta G(s) con retardo τ , de la que disponemos un modelo nominal G0(s).Supongamos que sabemos que la planta tiene un retardo del que solo conocemos un valor approxi-mado
G(s) = e−sτF(s), G0(s) = e−sτ0 F(s).
Supongamos que el retardo del modelo nominal τ0 puede expresarse como τ0 = τ(1 + η), donde ηrepresenta el error relativo en τ0 respecto del valor real τ .
La expresion del modelo de error multiplicativo (MEM) G∆(s) en el modelo nominal debido aeste error en el retardo (asumiendo que el resto del modelo es aceptablemente preciso) es
G∆(s) =G(s)G0(s)
− 1 = eητs − 1.
Calculamos la magnitud del MEM para tener una idea de los rangos de frecuencia en los que seramas importante,
|G∆( jω)| = |e jητω − 1|
=√(1− cos(ητω))2 + sen2(ητω)
= 2 |sen (ητω/2)|
La magnitud del error crece rapidamente hasta 2 en un rango de bajas frecuencias, como muestrala Figura 9.7. Para mantener |G∆( jω)| < 1 es q necesario imponerω < 1/(ητ).
Del analisis anterior, concluimos que si el retardo se conoce con un η% de certidumbre, entoncesel ancho de banda de lazo cerrado debe limitarse a
ωmax <1ητ
,
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones Estructurales- 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
η = 0,5
ωτ
η = 1
η = 0,2
η = 0,1
|G∆( jω)|
Figura 9.7: |G∆( jω)| versusωτ para distintos valores de error relativo η.
que podemos considerar como la frecuencia de corte de T0( jω). Por ejemplo, si η = 1/3 podemosobtener un ancho de banda maximo de aproximadamente 3/τ .
Por otro lado, un simple controlador PID puede probablemente alcanzar un ancho de banda 4/τcon una sintonıa adecuada, sin utilizar un predictor de Smith.
En resumen, el conocimiento preciso del modelo del sistema y el retardo es una condicion sinequa non para obtener ventajas del predictor de Smith.
9.4.3. Restricciones de interpolacion
9.4.4. Efecto de integradores a lazo abierto
9.4.5. Limitaciones estructurales: polos y ceros en +
Estudiamos ahora en mas detalle las limitaciones en diseno inducidas por polos inestables y cerosde fase no mınima de la planta a lazo abierto. Consideremos nuevamente el lazo de realimentacionunitaria de la Figura 9.8, y las funciones de sensibilidad y sensibilidad complementaria
S0(s) =1
1 + G0(s)K(s), T0(s) =
G0(s)K(s)1 + G0(s)K(s)
.
Restricciones de Interpolacion en S0 y T0
lema 1 (Restricciones de Interpolacion). Sea H(s) , G0(s)K(s) en el lazo de la Figura 9.8. Sea K(s) talque el lazo cerrado sea internamente estable. Entonces,
1. si p es un polo inestable de H(s) (Re p ≥ 0)
S(p) = 0 y T(p) = 1.
2. si q es un cero de fase no mınima de H(s) (Re q ≥ 0)
S(q) = 1 y T(q) = 0.
Sea cual fuera K(s), las funciones S0(s) y T0(s) deberan satisfacer estas restricciones en lospolos y ceros de parte real no negativa del lazo abierto.
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones Estructurales- 13
f?
f?m
mf
f
fm m f--
6
6
?-
+
+
+- -
�
-
Dm(s)
R(s)
D0(s)
+ + Y(s)+
−K(s)
+U(s)
Di(s) x0
G0(s)
Figura 9.8: Lazo de control de un grado de libertad.
Especificaciones de la respuesta temporal
La especificacion de la respuesta temporal es mas directa que especificar magnitudes de S0( jω)o T0( jω), pero entonces es mas difıcil traducir estas especificaciones a condiciones en S0(s) o T0(s),que son las que se disenan en ultima instancia.
Los parametros tıpicos para la respuesta al escalon, 9.9, son
sobrevalor ysob
subvalor ysub
tiempo de crecimiento tc
tiempo de establecimiento te
2εysob
y(t)
1
0
tcte
tysub
Figura 9.9: Respuesta al escalon tıpica
Con referencia al sistema de la Figura 9.8, definimos el error de seguimiento e(t) = r(t)− y(t). Deesta forma definimos
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones Estructurales- 14
sobrevalor: es el maximo valor en que la respuesta del sistema excede su valor de regimen perma-nente,
ysob ,= maxt{−e(t)}.
subvalor: es maximo pico negativo de la salida del sistema,ysub , max
t{−y(t)}.
tiempo de crecimiento: cuantifica aproximadamente el tiempo mınimo que toma la salida en alcan-zar el nuevo punto de operacion,
tc , maxδ{δ : y(t) ≤ t/δ para todo t en el intervalo [0, δ]}
tiempo de establecimiento: cuantifica el tiempo que tardan los transitorios en decaer permanente-mente por debajo de un determinado nivel ε, usualmente entre el 1 y 10 % del valor de regimenpermanente, te , mın
δ{δ : |e(t)| ≤ ε para todo t en el intervalo [δ, ∞)}
9.4.6. Restricciones en la Respuesta al Escalon
Como vimos, los polos y ceros en el semiplano derecho del plano complejo imponen restriccionesalgebraicas en las funciones de sensibilidad del sistema, no importa cual sea el controlador usado.
Estas restricciones algebraicas se traducen en restricciones en el desempeno alcanzable de la res-puesta al escalon del sistema a lazo cerrado.
Teorema 1 (Condicion integral sobre el error al escalon).Supongamos que el sistema a lazo abierto H(s) tiene un polo en p, con Re p > 0. Entonces si el lazocerrado es estable ∫ ∞
0e−pte(t)dt = 0
Un resultado dual existe para plantas con ceros de fase no mınima.
Teorema 2 (Condicion integral sobre la respuesta al escalon). Supongamos que el sistema a lazoabierto H(s) tiene un cero en q, con Re q > 0. Entonces si el lazo cerrado es estable∫ ∞
0e−qt y(t)dt = 0.
Estos teoremas muestran que si la planta tiene ceros o polos en el semiplano derecho del planocomplejo, entonces el error y la salida a una entrada escalon deben satisfacer relaciones integralesindependientemente del controlador usado para estabilizar el sistema.
9.4.7. Interpretaciones: Compromisos de diseno
Corolario 1 (Polos inestables reales y sobrevalor). Si la planta tiene un polo inestable real en p > 0, surespuesta al escalon tiene forzosamente sobrevalor. Mas aun, si tc es el tiempo de crecimiento del sistema a lazocerrado, entonces
ysob ≥(ptc − 1)eptc + 1
ptc(9.5)
≥ ptc
2.
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones Estructurales- 15
Por el Corolario 1, si la planta tiene un polo inestable,
1. necesariamente hay sobrevalor en la respuesta al escalon,
2. el sobrevalor sera mayor cuanto mayor sea el tiempo de respuesta del lazo cerrado.
Los polos inestables demandan accion de control rapida para un mejor desempeno (menor sobreva-lor). A mayor magnitud de los polos inestables, mayor sera esta demanda.
Ejemplo 9.4. Supongamos que nuestra planta a lazo abierto tiene un polo en p = 2. Entonces la cota ensobrevalor en la respuesta al escalon del lazo cerrado (estable) es
ysob ≥ tc.
Si disenamos el controlador para obtener un tiempo de crecimiento tr = 1s, el sobrevalor sera mayor al 100 %!Para una respuesta razonable deberıamos elegir al menos tc ≤ 0,2s.
Corolario 2 (Ceros de fase no mınima y subvalor). Si la planta tiene un cero de fase no mınima real enq > 0, su respuesta al escalon tiene forzosamente subvalor. Mas aun, si te es el tiempo de establecimiento a unnivel ε del sistema a lazo cerrado, entonces
ysub ≥1−ε
eqte − 1.
La interpretacion del Corolario 2 es que si la planta tiene un cero real de fase no mınima,necesariamente hay subvalor en la respuesta al escalon,
el pico del subvalor sera mayor cuanto menor sea el tiempo de establecimiento del lazo cerrado.
Los ceros de fase no mınima demandaran accion de control lenta para un mejor desempeno (menorsubvalor). Cuanto menores (mas lentos) sean los ceros de fase no mınima, mayor sera esta demanda.
En resumen, para el diseno de los polos a lazo cerrado,
1. El polo dominante a lazo cerrado debe ser mayor (en magnitud) que cualquier polo inestable alazo abierto del sistema.
2. El polo dominante a lazo cerrado debe ser menor (en magnitud) que el menor cero de fase nomınima del sistema.
9.4.8. Ejemplo de control de un sistema inestable
La conduccion 1 de una bicicleta involucra un problema de control no trivial.
1Recogido por Karl Astrom en su seminario Using Bicycles to Illustrate Limitations in Control System Design en la Univer-sidad de Illinois Urbana-Champagne, Febrero 2001.
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Limitaciones Estructurales- 16
Ecuacion del angulo de inclinacion θ
a
b
αβ
V(t)
La linealizacion da la transferencia
Θ(s) =am`V0
bJ
(s + V0
a
)(
s2 − mg`J
)β(s)
que tiene un polo inestable.
9. Limitaciones fundamentales en control SISO Conclusiones- 17
La bicicleta con direccion trasera
Ecuacion del angulo de inclinacion θ en la bicicleta con direccion trasera
a
b
αβ
V(t)
La linealizacion da la transferencia
Θ(s) =am`V0
bJ
(−s + V0
a
)(
s2 − mg`J
)β(s)que tiene un polo inestable y un cero de fase no mınima.
9.5. Conclusiones
La bicicleta con traccion trasera es inherentemente mucho mas difıcil para andar! ¿Por que? Esun sistema con restricciones muy serias para el controlador: un polo inestable y un cero de fase nomınima.
Ver la pagina http://wannee.nl/hpv/abt/e-index.htm sobre bicicletas con direccion trasera,y la dificultad de construir una estable. . .