UNITAT 1. LÍMITS DE FUNCIONS I CONTINUÏTAT

1. Límit d'una funció quan x tendeix a més infinit.La funció pot comportar-se de diverses maneres:

Límit finit. Definició

limx→+∞

f ( x )=l ↔ Podem aconseguir que f ( x ) estigui tan pròxim a l com vulguem donant-li

només a x valors prou grans.

Operacions amb límits finits

Límits infinits. Definicions

Alguns límits infinits

Operacions amb expressions infinites

Indeterminacions

2. Càlcul de límit quan x tendeix a més infinit.Quocient de polinomis

limx→∞

P(x )Q(x)

=∞∞INDETERMINACIÓ

Cas 1.

Si grau P(x )>¿grau Q(x )

limx→∞

P(x )Q(x)

=∞

Cas 2.

Si grau P ( x )<¿grau Q(x )

limx→∞

P(x )Q(x)

=0

Cas 3.

Si grau P ( x )=¿grau Q(x )

limx→∞

P(x )Q(x)

=ab

a és el coeficient del terme de major grau de P(x )

b és el coeficient del terme de major grau de Q(x )

limx→∞

6 x+52x−4

=62=3

Quocient d’altres expressions infinites

Diferència d’expressions infinites

Límit d’una potència

Límits relacionats amb el nombre e

Expressions del tipus (1)(+∞ ). Regla pràctica

3. Límit d'una funció quan x tendeix a menys infinit.Exemples

Càlcul de límits

Per calcular límits quan x→−∞, haurem de tenir en compte que:

limx→−∞

f (x )= limx→+∞

f (−x )

Exercici:

limx→∞

2−x−5 x2

3 x2+1

limx→∞

7 x−34 x2+2

limx→∞

√3 x2+5 x−9−¿√3 x2−x+1¿

limx→∞

√ x2+1−¿ x−2¿

limx→−∞

6 x4−5 x3+2x2−32x3−x2+2 x+7

limx→±∞

4 x4+x3−12 x2−3

limx→∞

x3−(x−2)3

x2−1

limx→±∞

12x2−36 x2+2x+7

limx→∞

√4 x 4+6 x2−¿2x2 ¿

limx→∞

3x2−5 x+2x+1

−6 x2−2

2 x−1

Resol els següents límits comprovant que són indeterminacions del tipus 1∞

limx→∞ (1+ 32 x )

5x

limx→∞ (1− 4

5x )2−3 x

limx→∞ ( 3 x+24 x+3 )

x2+31−x

limx→∞ ( 5 x+24+5 x )

3 x−1

limx→∞ ( 3x2+22 x+3 x2 )

x3

https://sites.google.com/site/matematiquespilarberenguer/1-batx-social/ud2-limits-de-funcions

http://cmapspublic2.ihmc.us/rid=1JHFGJ75R-HP6B4N-4WR/limits%20i%20continu%C3%AFtat.cmap

4. Límit d'una funció en un punt.

Límits laterals infinits

Límits laterals finits i Límit finit en un punt

5. Càlcul de límits d'una funció quan x tendeix a c.Casos immediats

Per calcular límit d’una funció en un punt és substituir el valor de la x pel número al que tendeix.

Indeterminacions del tipus (0)/(0)

Hem de descomposar els polinomis utilitzant preferentment la regla de Ruffini

Indeterminació k0

Hem de calcular els límits laterals

Es poden donar també altres indeterminacions com ara:

Indeterminacions del tipus (+∞ )−(+∞)

Indeterminacions del tipus (1)(+∞ )

Exercicis

1.

2. Resol aquests límits:

limx→2

2 x+3x−2

limx→−1

−x+5(x+1)2

limx→1

−6(x−1)3

6. Continuïtat en un punt.

f (x) és continua en x=a quan limx→a−¿ f ( x )= lim

x→a+¿ f ( x )=f (a)¿¿ ¿

¿

limx→a−¿ f (x)=¿ lim

x→ a+ ¿f (x) ≠ f (a)¿¿¿ ¿

¿

Exercicis:

1. Estudia la continuïtat de les següents funcions en el punt x=2

2. Estudia la continuïtat de la següent funció:

f ( x )=¿ {2 x+2 si x≤0¿ ¿¿¿3. Estudia la continuïtat de les següents funcions:

a) f ( x )= x+2x−3

b) f ( x )= x−x2

x2−1

4. Trobeu els punts de discontinuïtat de la funció f ( x )= x−2x2−7 x+10

i classifique-los.

5. Estudia la continuïtat de la següent funció:

f ( x )={ 1x si x≤1x si1<x<45 si x ≥4

6. Estudia la continuïtat de les funcions següents:

a)f ( x )={ 2 si x=1

x2−1x−1

si x≠1

b)

f ( x )={ 5 si x=3x2−2 x−3x−3

si x≠3

7.

8.

9. Troba els valors de a i b per tal que la funció següent sigui contínua:

2si13

21si2

1si32

xx

xabxx

xax

xf

10.Determina el valor de a i b perquè la funció següent sigui contínua:

f ( x )={ x−1 si x<2ax+1 si 2≤x<5x+b si x≥5

11. Determina el valor de a i b perquè es compleixi:

limx→2

x2+ax+bx2−4

=2

7. Teorema de Bolzano

Aquest teorema pot resultar molt intuïtiu ja que si tenim una funció contínua que en f(a) és negativa (per sota de l'eix de les x) i en f(b) és positiva (per sobre de l'eix de les x), o a l'inrevés, com la funció és contínua, han d'estar connectats els punts f(a) i f(b), de manera que la gràfica no tindrà més remei que creuar l'eix de les x, i per tant existirà un valor c en el seu interval de definició on f(c)=0.

Exercicis

1. Troba un interval d'amplitud menor que 2 en el qual l'equació següent tingui, almenys, una arrel real:

3x3 2x 7 0

2. Demostra que l'equació e3x 4x 2 0 té, almenys, una solució real en l'interval [0, 1].

3. Demostra que l'equació:

0123 27 xxx

té, almenys, una solució real. Determina un interval d'amplitud menor que 2 en el qual es trobi l'arrel.

4. Comprova que l’equació x3+4 x2−2x−8=0 té una solució en l’interval (1,2)

5. Digues si les següents equacions tenen alguna solució utilitzant el teorema de Bolzano.a) x2=1b) ex=3+ lnxc) x4+2 x=0

6. Utilitzant el teorema de Bolzano, raoneu que l'equació x3 + x = 5, té una arrel a l'interval (0,2).