Logaritma &Deret(point 1)

Julian Adam Ridjal, SP., MP.PS Agribisnis Universitas Jember

Pangkat, Akar & Logaritma

Pangkat adalah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.Bentuk umum

a.a.a.a.a…. = an

Contoh : 7 X 7 X 7 X 7 = 74

Pangkat, Akar & Logaritma

• Akar dari suatu bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangka akarnya

• Bentuk umum:xa = m x =

m

Pangkat, akar & Logaritma

Logaritma dari suatu bilangan adalah pangkat yang harus dikenakan pada bilangan pokok Logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.

Contoh Logaritma

1. Hitunglah x untuk 3x+1 = 27log 27 = 1,4314 dan log 3 = 0,4771

2. Carilah x jika ( 0,32 + x)15 = 789log 789 = 2,8971dan log (0,32 + x)15 = 15 log (0,32 + x)

3. Selesaikan x untk log (3x + 298) = 33 merupakan log 103

DERETDERET

• Deret Hitung- Suku ke-n dari DH- Jumlah n suku

• Deret Ukur- Suku ke-n dari DU- Jumlah n suku

Dan penerapannya dalam dunia ekonomi 6

DEFINISIDEFINISI• Deret : Rangkaian bilangan yang tersusun

secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.

• Suku : Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk deret.

• Macam-macam deret : - Deret Hitung- Deret Ukur- Deret Harmoni

7

DERET HITUNGDERET HITUNG

Deret hitung : deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yang tak lain adalah selisih antara nilai dua suku yang berurutan.Contoh :5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5)90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda -10)

8

SUKU KE-N DARI DERET HITUNGSUKU KE-N DARI DERET HITUNG

5, 10, 15, 20, 25, 30S1, S2, S3, S4, S5, S6

S1 = 5 = aS2 = 10 = a + b = a + (2 - 1)bS3 = 15 = a + 2b = a + (3 - 1)bS4 = 20 = a + 3b = a + (4 - 1)bS5 = 25 = a + 4b = a + (5 - 1)bS6 = 30 = a + 5b = a + (6 - 1)b

Sn = a + (n - 1)b

Sn = a + (n - 1)ba = suku pertama / s1

b = pembeda

n = indeks suku

9

10

Jumlah n Jumlah n SukuSuku

• Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tidak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya.

654

6

13216

54

5

13215

4

4

13214

121 ...........

SSSSSSSJ

SSSSSSJ

SSSSSJ

SSSSJ

ii

ii

ii

n

inin

Berdasarkan rumus suku ke-n Sn = a + (n - 1)b, maka dapat diuraikan

J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6bJ5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 5a + 10bJ6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b)

+ (a + 5b) = 6a + 15b

11

12

bnn

naJ

babaJ

babaJ

babaJ

n )1(2

)16(2

66156

)15(2

55105

)14(2

4464

6

5

4

Sn

Masing-masing Ji dapat ditulis

bnan

Jn )1(22

atau

)(2

)1(2

nSan

bnaan

DERET UKURDERET UKUR

• Deret ukur : deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.

• Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda.Contoh :1)5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2)2)512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0,5)

13

SUKU KE-N DARI DERET UKURSUKU KE-N DARI DERET UKUR

suku indeks

pengganda

pertamasuku

160

80

40

20

10

5

1

1656

1545

1434

1323

122

1

n

p

a

apS

apapapppppS

apapappppS

apapapppS

apapappS

apapS

aS

n-n

14

JUMLAH N SUKUJUMLAH N SUKU

(2) .......

:maka , penggandabilangan dengan dikalikan jika

(1) .......

: maka rumusn berdasarka

...........

1432

1232

1

14321

nnn

nnn

n-n

n

inin

apapapapapappJ

p

apapapapapaJ

apS

SSSSSSJ

(2)persamaan dan (1)persamaan antaraselisih 15

1

)1(atau

1

)1(

)1()1(

p

paJ

p

paJ

papJ

apapJJ

n

n

n

n

nn

nnn

(2)persamaan dan (1)persamaan antaraselisih

1p 1p 16

MODEL PERKEMBANGAN USAHAMODEL PERKEMBANGAN USAHA

• Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, misalnya : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja dll. Memiliki pola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat diterapkan dalam menganalisis perkembangan vaiabel tersebut.

17

18

Model Bunga MajemukModel Bunga Majemuk

nn iPF

iPiiPiPF

iPiiPiPF

iPiPPF

)1( .)(......... )(......... :n tahun setelah

)1()1()1( : tahun 3setelah

)1()1()1( : tahun 2setelah

)1(. : tahun 1setelah

3223

22

1

nn iPF )1(

• Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang :1n-

n apS Bunga dibayar 1x setahun

19

• Bila bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, misal m kali, maka :

mnn m

iPF )1(

Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga “faktor bunga majemuk”majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari suatu jumlah sekarang.

m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

20

• Dengan manipulasi matematis, bisa diketahui nilai sekarang (present value) :

)/1(

1atau

)1(

1F

miPF

iP

mnn

Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor “faktor diskonto”diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.

MODEL PERTUMBUHAN MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUKPENDUDUKPt = P1 R t-1

Dimana R = 1 + rP1 = jumlah pada tahun pertama (basis)Pt = jumlah pada tahun ke-tr = persentase pertumbuhan per-tahunt = indeks waktu (tahun)

21

Contoh Deret dalam Ekonomi Pertanian

• Sn = a + ( n – 1) b

• Sebuah perusahaan “Mangga Jaya” yang mengolah buah mangga menjadi minuman jus dapat menghasilkan 3000 jus mangga pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 jus setiap bulan. Apabila perkembangan produksinya konstan, berapa jus mangga yang dihasilkan perusahaan pada bulan kelima ? Berapa total jus “Mangga Jaya” yang dihasilkan perusahaan sampai dengan bulan kelima ?

• Perusahaan “Sari Tiwul” memperoleh penerimaan dari hasil penjualan tepungnya sebesar Rp. 720 juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ketujuh. Jika perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaannya per tahun ? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya sebesar Rp. 460 juta ?

Model Bunga Majemuk

• Fn = P (1+ i )n

• Jarwo berniat membuka usaha warung pecel. Dia meminjam uang di BRI sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2 % per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan Jarwo pada saat pelunasan ? Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melinkan tiap semester, berapa jumlah yang harus Jarwo kembalikan ?

• Selain digunakan untuk perputaran modal usaha warung pecelnya, Jarwo juga menyisihkan keuntungannya untuk tabungan. Tabungannya akan menjadi sebesar Rp.532.400,- tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10 per tahun, berapa tabungan Jarwo tersebut pada saat sekarang ini ?

Model Pertumbuhan Penduduk• Malthus menyatakan bahwa penduduk

dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.• Pt = Pt Rt-1

• Semisal penduduk di Kecamatan Wuluhan Kabupaten Jember pada tahun 1991 sejumlah 1 juta jiwa, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk di Kecamatan Wuluhan tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5 %, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian ?

Deret Ukur

• Bila ada suatu deret ukur yang suku pertamanya a=1 dan pengalinya p=2, maka tentukan besarnya suku ke 5 dan jumlah 5 sukunya?

Bunga Majemuk

• Berapakah jumlah uang yang harus dikembalikan oleh seorang yang meminjam uang sebesar Rp. 2500,- pad tanggal 5 Juni 1992 dan dikembalikan pada tanggal 5 Februari 1993 dengan bunga sebesar 14 persen ?

Bunga Majemuk

• Setahun lagi Asbun akan menerima uang sebesar Rp. 10.000,-. Berapakah besar nilai sekarang dari uang tersebut jika tingkat bunga adalah 13 persen setahun ?

Bunga Majemuk

• Semisal ada uang sebanyak Rp. 1000,- dibungakan selama 6 tahun dengan bunga majemuk sebesar 5 % per tahun dan diambil setahun sekali, maka berapakah jumlah uang tersebut setelah 6 tahun ?