LOGARITMA

Oleh:Ai Miftahul Jannah (1210205006)

Amanda Dwi Aryanti Setiawan (1210205008)Ani Kurnia (1210205009)

Ariesta Restiana (1210205010)Intan (1210205046)

LOGARITMA

PENGERTIAN LOGARITMA

MENENTUKAN LOGARITMA SUATU BILANGAN

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

HOME

PENGERTIAN LOGARITMA

  

Definisi:

Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif

yang tidak sama dengan 1 (0 < g < 1 atau g > 1).

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝒙 jika dan hanya jika 𝒈𝒙 = 𝒂

g disebut bilangan pokok atau baris logaritma, dengan ketentuan 0 < g <

1 atau g > 1 (g > 0 dan g ≠ 1).

a disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan

ketentuan a > 0.

x disebut hasil logaritma, nilainya dapat positif , nol, atau negatif .

Sebagai akibat dari definisi logaritma di atas, maka dapat ditunjukkan

berlakunya sif at-sif at pokok logaritma sebagai berikut:

a. log𝑔𝑛𝑔 = 𝑛

b. log𝑔𝑔 = 1

c. log1 = 0𝑔 BACK TO HOME

MENENTUKAN LOGARITMA SUATU BILANGAN

Menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan

definisi log𝑎𝑔 = 𝑥�֞ 𝑔𝑥 = 𝑎, dapat dilakukan j ika bilangan a

dapat diubah menjadi bilangan berpangkat dengan bilangan

pokok g. Tetapi, untuk mengubah bilangan a menjadi bilangan

berpangkat dengan bilangan pokok g kadang-kadang tidak

mudah dilakukan. Sehingga diperlukan cara lain, salah satunya

dengan menggunakan tabel logaritma.

CONTOH:1. Dengan menggunakan tabel logaritma, carilah

nilai log4,6 dan log1,12.

2. Tentukan bilangan yang logaritmanya 0,0492.

Penyelesaian no 1: Menentukan Logaritma Bilangan Menggunakan Tabel LogaritmaPenyelesaian no 2: Menentukan Anti Logaritma Suatu Bilangan Menggunakan Tabel Logaritma

BACK TO HOME

1. J adi, log4,6 = 0,6628 dan log1,12 = 0,0492.

2. J adi, bilangan yang logaritmanya 0,0492 adalah log1,12.

Menentukan Logaritma Bilangan Menggunakan Tabel Logaritma

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0000

3010

4771

6021

6990

7782

8451

9031

9542

1 0000

0414

0792

1139

1461

1761

2041

2304

2553

2778

2 3010

3222

3424

3617

3802

3979

4150

4314

2553

4624

3 4771

4914

5051

5185

5315

5441

5563

5682

5798

5911

4 6021

6128

6232

6335

6435

6532

6628

6721

6812

6902

5 6990

7076

7160

7243

7324

7404

7482

7559

7634

7709

6 7782

7853

7924

7993

8062

8129

8195

8261

8325

8388

7 8451

8513

8573

8533

8692

8751

8808

8865

8921

8976

8 9031

9085

9138

9191

9243

9294

9345

9395

9445

9494

9 9542

9590

9638

9685

9731

9777

9823

9868

9912

9956

10 0000

0043

0086

0128

0170

0212

0253

0294

0334

0374

11 0414

0453

0492

0531

0569

0607

0645

0682

0719

0755

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0000

3010

4771

6021

6990

7782

8451

9031

9542

1 0000

0414

0792

1139

1461

1761

2041

2304

2553

2778

2 3010

3222

3424

3617

3802

3979

4150

4314

2553

4624

3 4771

4914

5051

5185

5315

5441

5563

5682

5798

5911

4 6021

6128

6232

6335

6435

6532

6628

6721

6812

6902

5 6990

7076

7160

7243

7324

7404

7482

7559

7634

7709

6 7782

7853

7924

7993

8062

8129

8195

8261

8325

8388

7 8451

8513

8573

8533

8692

8751

8808

8865

8921

8976

8 9031

9085

9138

9191

9243

9294

9345

9395

9445

9494

9 9542

9590

9638

9685

9731

9777

9823

9868

9912

9956

10 0000

0043

0086

0128

0170

0212

0253

0294

0334

0374

11 0414

0453

0492

0531

0569

0607

0645

0682

0719

0755

BACK

Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan Menggunakan Tabel Logaritma

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0000

3010

4771

6021

6990

7782

8451

9031

9542

1 0000

0414

0792

1139

1461

1761

2041

2304

2553

2778

2 3010

3222

3424

3617

3802

3979

4150

4314

2553

4624

3 4771

4914

5051

5185

5315

5441

5563

5682

5798

5911

4 6021

6128

6232

6335

6435

6532

6628

6721

6812

6902

5 6990

7076

7160

7243

7324

7404

7482

7559

7634

7709

6 7782

7853

7924

7993

8062

8129

8195

8261

8325

8388

7 8451

8513

8573

8533

8692

8751

8808

8865

8921

8976

8 9031

9085

9138

9191

9243

9294

9345

9395

9445

9494

9 9542

9590

9638

9685

9731

9777

9823

9868

9912

9956

10 0000

0043

0086

0128

0170

0212

0253

0294

0334

0374

11 0414

0453

0492

0531

0569

0607

0645

0682

0719

0755

BACK

SIFAT-SIFAT LOGARITMASifat 1: 𝐥𝐨𝐠(𝒂× 𝒃)𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 + 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

Sifat 2: 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 − 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

Sifat 3: 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈 = 𝒏× 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

Sifat 4: 1) 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑𝐥𝐨𝐠𝒈𝒑

2) 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝟏𝐥𝐨𝐠𝒈𝒂 Sifat 5: 1) 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 × 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒂 = 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

2) 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒈𝒏 = 𝒎𝒏 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

3) 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈𝒏 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

Sifat 6: 𝒈 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝒂

Bukti sifat 1: 𝐥𝐨𝐠(𝒂× 𝒃)𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 + 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

Ruas kiri:

Misalkan:𝒎= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 , maka 𝒈𝒎 = 𝒂 dan 𝒏 = 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈 , maka 𝒈𝒏 = 𝒃

Sehingga, 𝒈𝒎× 𝒈𝒏 = 𝒂× 𝒃

�֜ 𝐥𝐨𝐠(𝒂× 𝒃)𝒈

�֜ 𝐥𝐨𝐠(𝒈𝒎× 𝒈𝒏)𝒈 (dengan menggunakan sifat pangkat 𝒈𝒎× 𝒈𝒏 = 𝒈𝒎+𝒏), maka

�֜ 𝐥𝐨𝐠(𝒈𝒎+𝒏)𝒈 (berdasarkan sifat- sifat pokok logaritma 𝐥𝐨𝐠𝒈𝒏𝒈 = 𝒏), maka

�֜ 𝒎+ 𝒏 (karena, 𝒎= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 dan 𝒏 = 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈 ), maka

�֜ 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 + 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

Maka, ruas kiri = ruas kanan

J adi, 𝐥𝐨𝐠(𝒂× 𝒃)𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 + 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

Bukti sifat 2:

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 − 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

Ruas kiri:

Misalkan:𝒎= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 , maka 𝒈𝒎 = 𝒂 dan 𝒏= 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈 , maka 𝒈𝒏 = 𝒃

Sehingga, 𝒈𝒎𝒈𝒏 = 𝒂𝒃

�֜ 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃𝒈

�֜ 𝐥𝐨𝐠𝒈𝒎𝒈𝒏𝒈 (dengan menggunakan sifat perpangkatan 𝒈𝒎𝒈𝒏 = 𝒈𝒎−𝒏), maka

�֜ 𝐥𝐨𝐠𝒈𝒎−𝒏𝒈 (berdasarkan sifat- sifat pokok logaritma 𝐥𝐨𝐠𝒈𝒏𝒈 = 𝒏), maka

�֜ 𝒎− 𝒏 (karena 𝒎= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 dan 𝒏= 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈 ), maka

�֜ 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 − 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

Maka, ruas kiri = ruas kanan

J adi, 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 − 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

Bukti sifat 3: 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈 = 𝒏× 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

Ruas kiri:

Misalkan: 𝒎= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 , maka 𝒈𝒎 = 𝒂

J ika kedua ruas dipangkatkan dengan n, akan diperoleh:

ሺ𝒈𝒎ሻ𝒏 = 𝒈𝒎×𝒏 = 𝒂𝒏 atau

�֜ 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈

�֜ 𝐥𝐨𝐠𝒈𝒎×𝒏𝒈 (berdasarkan sifat- sifat pokok logaritma 𝐥𝐨𝐠𝒈𝒏𝒈 = 𝒏), maka

�֜ 𝒎× 𝒏 (karena 𝒎= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 ), maka

�֜ 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 × 𝒏

Maka, ruas kiri = ruas kanan

J adi, 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈 = 𝒏× 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

Bukti sifat 4 1):

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑𝐥𝐨𝐠𝒈𝒑

Ruas kiri:

Syarat: a > 0, g > 0, g ≠ 1, p > 0 dan p ≠ 1.

Misalkan: y = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 maka 𝒈𝒚 = 𝒂 atau 𝒂 = 𝒈 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

J ika kedua ruas dilogaritmakan dengan bilangan pokok p, maka diperoleh:

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑 = 𝐥𝐨𝐠𝒈 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈𝒑

Berdasarkan sifat 3 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈 = 𝒏× 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 , maka 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑 = ൫ 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 ൯൫ 𝐥𝐨𝐠𝒈𝒑 ൯

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑𝐥𝐨𝐠𝒈𝒑

Maka, ruas kiri = ruas kanan

J adi, 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑𝐥𝐨𝐠𝒈𝒑

Bukti sifat 4 2):

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝟏𝐥𝐨𝐠𝒈𝒂

Berdasarkan sifat 1) 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑𝐥𝐨𝐠𝒈𝒑 , dengan mengambil p = a, maka

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒂𝐥𝐨𝐠𝒈𝒂 (berdasarkan sifat- sifat pokok logaritma 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒂 = 𝟏), maka

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝟏𝐥𝐨𝐠𝒈𝒂 (terbukti)

Bukti sifat 5 1): 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 × 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒂 = 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

Syarat: a, b dan g > 0, dan a =1, p = 1

Berdasarkan sifat 4 1) 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑𝐥𝐨𝐠𝒈𝒑 , dan 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒂 = 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒑

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 × 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒂 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑𝐥𝐨𝐠𝒈𝒑 × 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒑𝐥𝐨𝐠𝒂𝒑 = 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒑𝐥𝐨𝐠𝒈𝒑

Berdasarkan sifat 4 1) 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒑𝐥𝐨𝐠𝒈𝒑 = 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

J adi, 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 × 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒂 = 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒈

Bukti sifat 5 2): 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒈𝒏 = 𝒎𝒏 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

Ruas kiri: 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒈𝒏 (berdasarkan sifat 3 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈 = 𝒏× 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 ), maka 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒈𝒏 = 𝒎× 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈𝒏

Misalkan 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈𝒏 = 𝒑 sehingga 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒈𝒏 = 𝒎× 𝒑

J ika 𝒑= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈𝒏, maka ሺ𝒈𝒏ሻ𝒑 = 𝒈𝒏×𝒑 = 𝒂

�֜ 𝒈𝒏×𝒑 = 𝒂

𝒈ሺ𝒏×𝒑ሻ𝟏𝒏 = 𝒂𝟏𝒏 𝒈𝒑 = 𝒂𝟏𝒏 𝒑= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝟏𝒏𝒈

𝒑= 𝟏𝒏 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

sehingga dari persamaan 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒈𝒏 = 𝒎× 𝒑, diperoleh

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒈𝒏 = 𝒎× 𝟏𝒏 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒈𝒏 = 𝒎𝒏 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

J adi, 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒈𝒏 = 𝒎𝒏 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

Bukti sifat 5 3): 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈𝒏 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

Ruas kiri: 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈𝒏 (berdasarkan sifat 3 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈 = 𝒏× 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 ), maka 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈𝒏 = 𝒏× 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈𝒏

Misalkan 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈𝒏 = 𝒑 sehingga 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈𝒏 = 𝒏× 𝒑

J ika 𝒑= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈𝒏, maka ሺ𝒈𝒏ሻ𝒑 = 𝒈𝒏×𝒑 = 𝒂

�֜ 𝒈𝒏×𝒑 = 𝒂

𝒈ሺ𝒏×𝒑ሻ𝟏𝒏 = 𝒂𝟏𝒏 𝒈𝒑 = 𝒂𝟏𝒏 𝒑= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝟏𝒏𝒈

𝒑= 𝟏𝒏 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

sehingga dari persamaan 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈𝒏 = 𝒏× 𝒑, diperoleh

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈𝒏 = 𝒏× 𝟏𝒏 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈𝒏 = 𝒏𝒏 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

J adi, 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏𝒈𝒏 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

Bukti sifat 6:

𝒈 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝒂

J ika 𝒙= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 , maka 𝒈𝒙 = 𝒂

Oleh karena 𝒙= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 maka 𝒂 = 𝒈𝒙 = 𝒈 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈

J adi, 𝒈 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒈 = 𝒂

TERIMA KASIH...