Argumentos y Reglas de inferencia* Qu es una implicacin lgica? * Qu es un argumento? * Qu es un argumento vlido? * Cmo usar las reglas de inferencia para establecer y demostrar la validez de un argumento?

RecuerdaEquivalencia significa igualdad sustituible por

Las leyes lgicas nos muestran algunas proposiciones equivalentes a otras. Eso equivale a conocer atajos proposicionales. Puedes dar un ejemplo de dos proposiciones compuestas que sean lgicamente equivalentes? . Pasemos a un concepto nuevoProf. Nio

Qu es una implicacin lgica?Sean r y s dos proposiciones compuestas. Decimos que r implica lgicamente a s cuando r s es una tautologa y lo denotamos por r s. Esto significa que s es verdadera siempre que r sea verdadera. Ejemplo: Comprueba que [(p q) p] q. En este caso, r es [(p q) p] y s es qPinsalo unos minutos ...!Prof. Nio

Qu es una implicacin lgica?Para comprobar [(p q) p] q usamos la definicin. p V V F F q V F V F p q [(pq) p] V V F F V F V F [(p q) p] q. V V V V Modus

Esta es una implicacin lgica llamada: Ponens o Modo Positivo.

Est relacionada con un modo de razonamiento: Si tengo dinero, voy al cine. Y tengo dinero. Por lo Prof. Nio tanto, voy al cine!

... implicacin lgicaObserva que: Una implicacin lgica NO es lo mismo que una equivalencia lgica. En una equivalencia lgica podemos sustituir una proposicin por otra. En la implicacin lgica no podemos sustituir una proposicin por otra. Puedes dar una razn? Que r s sea una tautologa equivale a decir que s es cierta cada vez que r sea cierta.

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... implicacin lgicaEjercicio 1:Decide si es o no es cierto que : a) [ q (p q) ]) e)

p

[ q (p q) ] [ (p q) p ] unos

p q

Toma

minutos para decidir ...

a) No es cierto; es falsa si p y q son falsas. b) Es cierto; a esta implicacin se le llama Modus Tollens. c) Es cierto; a esta implicacin se le llama Silogismo disyuntivo.Prof. Nio

Qu es un argumento?Un argumento es una proposicin compuesta del tipo Si (p1 p2 p3 ..... pk) Premisas entonces q

Conclusin

Ejemplo Si Juan se gana la beca, viaja a Pars. Y Juan se gan la beca. Por lo tanto, viajar a Pars.Este argumento tiene dos premisas. Las premisas son: Si Juan gana la beca entonces viaja a Pars y Juan se gan la beca. La conclusin es: Juan viaja a Pars. Prof. Nio

Qu es un argumento?Si Juan se gana la beca, viaja a Pars. Y Juan se gan la beca. Por lo tanto, viajar a Pars. Este argumento puede representarse como una tabla o como una implicacin. Sean las proposiciones: p: Juan gana la beca q: Juan viaja a Pars.

Tabla:

p q p q

Implicacin: [(p q) p] q

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ArgumentoEjercicio Fue Elisa o fue Carlos quien cometi el fraude. Pero Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue cometido. Si ella estuvo fuera de la ciudad, no pudo cometer el crimen. Eso nos conduce, lgicamente, a Carlos. l es el culpable. a) Cules son lasProposiciones en este argumento? premisas simples p Elisa cometi el fraude. b) :Cul es la conclusin?q : Carlos cometi el fraude. r : Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue cometido. Hay varias premisas y la conclusin es una proposicin simple.

Premisa 1: p q Conclusin: q

Premisa 2: r

Premisa 3: r p

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ArgumentoEjemplo: Expresa simblicamente Si el hijo de Leonidas est vivo, ste se casar con Ivette. Pero el hijo de Leonidas muri, por lo tanto, l no podr casarse con Ivette.Proposiciones simples: p: El hijo de Leonidas est vivo q: El hijo de Leonidas se casa con Ivette

Tabla:

p q p q

Implicacin: {(p q) p} q Es sta una implicacin lgica?

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Argumento vlidoSe dice que: Un argumento es vlido si cada vez que las premisas son verdaderas, la conclusin es verdadera. Es decir, si las premisas son ciertas, est garantizada la veracidad de la conclusin. De modo que un argumento es vlido si la implicacin: (Premisas) (Conclusin) es una implicacin lgica. Un argumento es vlido debido a su forma, no a su contenido. Prof. Nio

Argumento vlido[(p q) p] q Este ES un argumento vlido Este NO ES un argumento vlido. Para comprobar la segunda afirmacin, supn que las premisas son verdaderas y verifica que no puedes asegurar que la conclusin es verdaderaProf. Nio

[(p q) p] q

Argumento vlidoUn argumento puede ser vlido (debido a su forma) aunque el contenido de la conclusin pueda ser falso. Ejemplo Si Ud. invierte en la Bolsa, se har rico. Si Ud. se hace rico, ser feliz ___________________________ Si Ud. invierte en la Bolsa, ser feliz. Comprueba que este es un argumento vlido.

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Reglas de Inferencia

Son reglas que permiten establecer la veracidad de un argumento sin tener que realizar una gran tabla de verdad. Las reglas estn asociadas a formas de razonamiento. Las reglas de inferencia tienen asociadas implicaciones lgicas. Algunas de las ms usadas son: el Modus Ponens y el Modus Tollens que ya vimos. Otras son: Silogismo, Silogismo disyuntivo, Simplificacin, Amplificacin, Demostracin por casos.Prof. Nio

Reglas de InferenciaNombre de la Regla Simplificacin Amplificacin Modus Ponens Modus Tollens Silogismo hipottico Silogismo disyuntivoProf. Nio

Implicacin lgica(p q) p q p p (p q) [ p ( p q)] [( p q)

q ]

[(p q) (q r)] (p r)

[( p q) p)]

q

Con estas reglas podemos ir de un lado a otro, pero no podemos regresarnos una vez que usamos la garrocha.

Validez de argumentosEjemplo: Dado el argumento [(p q) (r s)] (r t) (t ) ] q a) Decida si es o no vlido. b) En caso de ser vlido, demustrelo. Si no es vlido, d un contraejemplo. a) Anlisis sobre la validez: Debemos suponer que todas las premisas son ciertas y trataremos de comprobar que la conclusin tambin lo es. Es conveniente empezar de la premisa ms sencilla.Prof. Nio

Validez de argumentosHay tres premisas: (p q) (r s) P1 (r t) P2 (t ) P3

Comencemos por P3: t es falsa. Por P2: r debe ser falsa. Al ver P1: si r es falsa, r s es falsa, de modo que el antecedente p q es falso. Pero (p q) (p q), por lo tanto, (p q) es verdadera. Esto ocurre, cuando tanto p como q son verdaderas. De modo que q es verdadera. Por lo tanto, el argumento es Prof. Nio vlido !!!

Demostracin de la validezb) Demostremos que es vlido.Los pasos de la demostracin estn sugeridos por la parte anterior. Partimos del antecedente y utilizando las leyes lgicas y las reglas de inferencia tratamos de tender los puentes para llegar a la conclusin. En cada lnea justificaremos el paso dado, mencionando el nombre de la ley o de la regla de inferencia que usamos

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Demostracin de la validez[(p q) (r s)] [(p q) Asociativa [(p q) [(p q) [(p q) (p q) p q p q qProf. Nio

(r t)

- Ley usada (t )

(r s)] [(r t) (t )] (r s)] r Modus Tollens (r s)] (r s) Amplificacin (r s)] ( r s) De Morgan Modus Tollens De Morgan Doble negacin Reduccin

Validez de argumentosEjemplo 2: Dado el argumento [(p q) (r s) ( p s)] a) Decida si es o no vlido. b) En caso de ser vlido, demustrelo. Si no es vlido, d un contraejemplo. a) Sobre la validez: Supongamos que todas las premisas son ciertas y trataremos de demostrar que la conclusin lo es. P1: (p q) es cierta. P2: (r s) es cierta. Prof. Nio P3: ( p s) es cierta. (q s)

Decidir sobre la validezP1: (p q) P2: (r s) P3: ( p s) C: q s es cierta. es cierta. es cierta.

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Por P3: p y s no pueden ser ambas falsas. Caso 1: Supongamos que s es cierta, pero no lo es p. Por P1: q puede ser verdadera o falsa. En cuyo caso, la conclusin es cierta. Caso 2: Supongamos que p es cierta, pero no lo es s. Por P1: q es cierta. En cuyo caso, (q s) es cierta. Caso 3: Supongamos que p y s son ambas ciertas. Entonces q es cierta. En cuyo caso, (q s) es cierta. Por lo tanto, el argumento es vlido !

Demostrar la validezb) Sobre la demostracin:Partiendo de las premisas, debemos arribar a la conclusin. Completa las reglas o leyes que faltan.

- Ley o Regla usada (p q) (r s) ( p s) (p q) (r s) ( p s) sustitucin 1 [(p q) (p s)] (r s) conm. y asoc. {[(p q) p] [(p q) s] } (r s) distribut. {q [(p q) s]} (r s) silog. disyuntivo {q (p s) (q s)} (r s) ________ [ q (p s) ] (r s) ________ Prof. Nio [ (q p) (q s) ] (r s) _________

Y si no es vlido?Se tiene el siguiente argumento, parecido al ejemplo 1 [(p q) (r s)] (r t) (t)] P1 P2 P3 Decidamos si es, no, vlido. Comencemos por P3: t es falsa. Por P2: r debe ser falsa. q

Al ver P1: como r es falsa, r s es falsa; de modo que p q es falsa, lo cual ocurre cuando p y q son falsas Prof. Nio

Cmo comprobar que no es vlido?En el argumento: [[(p q) (r s)] (r t) (t)] P1 P2 P3 q

La conclusin puede ser falsa an cuando las premisas son verdaderas !!! Esto indica que el argumento NO es vlido. De hecho, si p, r, s y q son V, F, V y V respectivamente, las premisas son ciertas y la conclusin es falsa. Este es el contraejemplo. contraejemploProf. Nio

EjercicioDecida si el argumento es vlido y si lo es, proporcione una demostracin. Denote a las proposiciones por p, q, r, s, ..

Si hay cierta probabilidad de lluvia o pierde su lazo rojo, Lucy no cortar la grama. Siempre que la temperatura supere los 80 F, no hay probabilidad de lluvia. Hoy la temperatura es de 85 F y Lucy est usando su lazo rojo. Por lo tanto, Lucy cortar la grama.

Prof. Nio

Tarea

Ejercicio 2 de la pgina 96 Ejercicio 5 de la pgina 96 Ejercicios 8, 10a, 10f de la pgina 97. Ejercicios 11 y 12 de la pgina 98.

Adelante y mentes a la obra!

Prof. Nio