mat1lekcija1

8/8/2019 Mat1Lekcija1

1/5

1

M A T E M A T I K A 1

L E K C I J A 1

2-L1 VEKTORSKA ALGEBRA

Definicija vektora

Orijentisana du z svaka duz za cije krajeve je odreen redosled. Ek-vivalentne orijentisane du zi one koje imaju isti pravac, isti smer, istiintenzitet. Vektor svaka klasa ekvivalencije orijentisanih duzi, kao i skupsvih tacaka (nula vektor). Ove klase ekvivalencije predstavljamo njihovimelementima; tako, obicno govorimo da su vektori orijentisane duzi ili tacke, ada su dva takva vektora jednaka ako su to dve ekvivalentne orijentisane duziili dve tacke.

Teorema o jednakim vektorima: VektoriAB i

A1B1 su jednaki ako i samo

ako su

AA1

i

BB1

jednaki. Dokaz na vezbama (AG).Sabiranje vektora

Zbir dva vektoraa =AB i

b =

BC vektor

AC. Oznaka a +

b .

Korektnost definicije zbira na vezbama (AG).Svojstva sabiranja vektora:

10a +

b

+c = a +b +c

(asocijativnost);

20 a +0 =

0 +a = a (egzistencija neutralnog elementa);

30 a + (a ) = a +a =0 (egzistencija suprotnog elementa);

4

0

b +

a =

a +

b (komutativnost);tj. V (skup svih vektora) cini jednu komutativnu (Abelovu) grupu u odnosuna operaciju sabiranje vektora.

Razlika dva vektora a b := a +

b

.

Pravila: trougla, paralelograma, poligona, paralelopipeda na vezbama(AG).


2/5

2

Nejednakost trougla

|a |

b

a +

b |a | +

b

.

Mnozenje vektora skalarom

Proizvod skalara h i vektoraa ako h 6= 0 i a 6= 0, onda ha vektor zakoji je |ha | = |h| |a |, pravac kao kod a , a smer isti kao kod a , odnosnosuprotan, ako je h > 0, odnosno h < 0; ako h = 0 ili a = 0 onda ha := 0.

Svojstva mno zenja vektora skalarom:10 k (ha ) = (kh)a ;20 (h + k)a = ha +ka (distributivnost u odnosu na sabiranje skalara);

30 ha +b

= ha + hb (distributivnost u odnosu na sabiranje vek-

tora).Kolinearni vektori oni koji imaju isti pravac ili je neki od njih nula-

vektor.Podela du zi u datom odnosu: date tacke O, A, B i broj > 0. Ako je

S tacka koja deli duz AB u odnosu : 1, tada jeOS = 1

1+

OA +

OB

.

Dokaz na vezbama (AG).

Ortogonalno projektovanje vektora

Ugao izmeu dva vektoraa =OA 6= 0 i

b =

OB 6= 0

a ,b

:=

(AOB) (konveksan).a

b ako

a ,b

= 2

ili a = 0 ilib = 0.

Korektnost definicije ugla na vezbama (AG).

Projekcija vektora a =AB na ravan (na pravu s ) vektor

a0 =

A0B0, gde je A0 (B0) projekcija tacke A (B) . Oznaka

a0 = Pr

a (Prsa ).

Korektnost definicije projekcije vektora na ravan (na pravu) na vezbama(AG).

Projekcija vektora

a na osu

s (na vektor

b 6= 0) algebarska vred-nost vektora

a0 = Prs

a na osi s (isto, za bilo koju osu s ciji jedinicni

vektor je 1|b|

b ). Oznaka Prs

a (Prba ).

Svojstva projektovanja vektora:10 Pr (ha ) = h Pra ;20 Pr (a1 +

a2 ) = Pra1 + Pr

a2 .


3/5

3

Dokaz samostalno.

Skalarno mnozenje vektora

Skalarni proizvod dva vektora a ib , a

b , jednak je |a |

b

cosa ,b

ako je a 6= 0 ib 6= 0, a a

b := 0 ako je a = 0 ili

b = 0.

Veza skalarnog proizvoda i projekcije vektora na vektor a b =

b

Prba (

b 6= 0). Dokaz na vezbama (AG).

Svojstva skalarnog mno zenja vektora:

10 (ha ) b = h

a b ;

20 (a1 +a2 )b = a1 b +a2 b (distributivnost u odnosu na sabiranjevektora);

30b a = a

b (komutativnost).

Dokaz na vezbama (AG).a

b = 0 a

b .

a a = |a |2.

Vektorsko mnozenje vektora

Komplanarni vektori oni za koje postoji ravan kojoj su svi oni paralelni.

Orijentacija ureene trojke vektora: ureena trojkaa ,b ,c

nekompla-

narnih vektora a =OA,

b =

OB i c =

OC ima desnu (levu) orijentaciju

ako se orijentisanjem ugla AOB od kraka OA ka kraku OB dobija pozi-tivno (negativno) orijentisan ugao gledajuci s one strane ravni AOB sa kojeje tacka C.

Vektorski proizvod dva vektoraa ib je vektor c , takav da je:

(i) c = 0 ako je a = 0 ilib = 0;

(ii) |c | = |a |

b

sin

a ,b

ako je a 6= 0 ib 6= 0;

(iii)

c

a ,

c

b i

a ,

b ,

c

d.o., ako je |

c | 6= 0.a

b = 0 a k

b .

Geometrijska interpretacija intenziteta vektorskog proizvoda: Ako vektoria =

AB i

b =

AD nisu kolinearni, tada je

a

b

jednak povrini

Pa ,b

paralelograma ABCD konstruisanog nad a ib .


4/5

4

Svojstva vektorskog mno zenja vektora:

10 (ha ) b = h

a

b

;

20 (a1 +a2 )

b = a1

b + a2

b (distributivnost u odnosu na

sabiranje vektora);

30b a = a

b (antikomutativnost).

Dokaz na vezbama (AG).

Meovito mnozenje vektora

Meoviti proizvod tri vektoraa ,b i c je

a

b

c . Oznaka

ha ,b ,c

i.

Geometrijska interpretacija meovitog proizvoda: Ako su a ,b i c

nekomplanarni vektori, i Va ,b ,c

oznacava zapreminu paralelopipeda

konstruisanog nad a ,b i c , tada je

ha ,b ,c

i= V

a ,b ,c

( V

a ,b ,c

)

akoa ,b ,c

d.o. (l.o.). Dokaz na vezbama (AG).

ha ,b ,c

i= 0 a ,

b , c komplanarni. Dokaz na vezbama

(AG).Svojstva meovitog mno zenja vektora:10 i 20 kao kod skalarnog i vektorskog mnozenja;30 h

c ,a ,bi

=hb ,c ,a

i=ha ,b ,c

i=

= hb ,a ,c

i=

ha ,c ,

bi

= hc ,b ,a

i.

Koordinate vektora

Predstavljanje vektora pomo cu koordinata: i , j , k jedinicni uza-

jamno ortogonalni vektori takvi da

i ,j ,k

d.o.; tada se svaki vektora

moze, na jedinstven nacin , predstaviti u obliku

a = 1

i + 2j + 3

k , 1, 2, 3 R.


5/5

5

1, 2, 3 koordinate vektoraa (u odnosu na

i ,j ,k ). Dokaz na

vezbama (AG). Zapravo, 1 = Pria , 2 = Prj

a , 3 = Prk

a .

Sabiranje vektora i mno zenje vektora skalarom u koordinatama: Akoa =

(1,2,3) ib = (1,2, 3), i h R, onda

a +b = (1 + 1,2 + 2,3 + 3) i h

a = (h1, h2, h3) .

Skalarno mno zenje vektora u koordinatama:

a b = (1,2,3) (1, 2,3) = 11 + 22 + 33.

|a |2

= 21 + 2

2 + 2

3.

cosa ,b

= 11 + 22 + 33p

21 + 22 +

23

p21 +

22 +

23

.

Prba =

11 + 22 + 33p21 +

22 +

23

.

Vektorsko mno zenje vektora u koordinatama:

a b =

2 32 3

,

1 31 3

, 1 21 2

=

ij

k

1 2 31 2 3

,

ako a = (1,2,3) ib = (1,2, 3).

Meovito mno zenje vektora u koordinatama:

ha ,b ,c

i=

1 2 31 2 31 2 3

,

ako

a = (1,2,3),

b = (1, 2, 3),

c = (1, 2, 3).

mat1lekcija1

Documents