PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información.PDF generated at: Sat, 08 Jan 2011 03:04:58 UTC

MatemáticaLos Números

ContenidosArtículosNúmeros Naturales (N) 1

Uno 1Número primo 3Número compuesto 22

Números Fraccionarios 24

Número fraccionario 24Fracción propia 26Fracción impropia 28

Números Enteros (Z) 30

Número entero 30Número natural 36Cero 42Número negativo 48

Números Irracionales 54

Número irracional 54Número algebraico 57Número trascendente 59

Números Racionales (Q) 62

Número racional 62

Números Imaginarios 68

Número imaginario 68

Números Reales (R) 70

Número real 70

Numeros Complejos (C) 77

Número complejo 77

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 86

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 88

Licencias de artículosLicencia 89

1

Números Naturales (N)

Uno

1

Cardinal Uno

Ordinal Primero (1.º)[1]

,primera (1.ª),primer (1.er),primo, -a

Sistemas de numeración

Romana I

Ática Ι

Jónica α

China 一

China tradicional 壹

Egipcia

Armenia Ա

Maya •

Cirílica А

De los Campos de Urnas /

India ௧

Sistema binario 1

Sistema octal 1

Sistema hexadecimal 1

Como parámetro de una función

Función φ de Euler 0

Función divisor 1

Función de Möbius 1

Función de Mertens 1

cero 1 dos

El uno (1) es el número entero que sigue al cero y precede al dos.

Uno 2

Propiedades matemáticas• El 1 se puede representar como el cociente de cualquier número distinto de cero entre sí mismo; o como el

producto de cualquier número distinto de cero por su inverso:

• El 1 es el elemento neutro del producto; es decir, cualquier número a multiplicado por 1 vuelve a dar a.• El 1 no se considera número primo por razones técnicas. Si lo fuera, entonces los números naturales no tendrían

una factorización única (salvo orden), sino que tendrían infinitos factores (por ejemplo, 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1× 1 × 2 × 3 = ...) y las definiciones de muchas propiedades matemáticas se verían afectadas, como por ejemplo,los números perfectos.

• El 1 es tanto el primer término como el segundo de la sucesión de Fibonacci. El siguiente término de la sucesiónes el 2.

• En informática, el 1 se asocia con la posición de "encendido" en lógica positiva y con la posición de "apagado" enlógica negativa, y es uno de los dos dígitos del sistema binario (el otro es el cero).

Características• Existen varios prefijos que significan uno, y participan en la construcción de una gran cantidad de palabras de uso

cotidiano: mono y uni, como en monóculo y único.• En muchas culturas el 1 se representa mediante un punto o un trazo (horizontal, vertical o más o menos sinuoso).

Por ejemplo, en la Números arábigos (1), en la romana (I), en la antigua numeración griega (I), en la numeraciónchina (一), en la árabe (١), en la hangzhou (〡), en la bengalí (১), en la tibetana (༡), en la egipcia (), en lacolombiana () y en la Cultura de los Campos de Urnas (/).

• En la simbología cristiana, el 1 simboliza la Unidad y el Principio Creador del que proceden todas las cosas.

Véase también• Año 1• 0,9 periódico• UNO (juego)

Referencias[1] "Ordinales" en el Diccionario Panhispánico de Dudas - Primera edición (octubre 2005) (http:/ / buscon. rae. es/ dpdI/

SrvltGUIBusDPD?lema=ordinales)

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Uno.Commons• Wikcionario tiene definiciones para uno.Wikcionario

Uno 3

Predecesor:2-1

Potencias de 220

Sucesor:21

Predecesor:10-1

Potencias de 10100

Sucesor:101

Predecesor:10-3

Escala numéricalarga100

Sucesor:103

koi:1 (ӧтік)

Número primoUn número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.Euclides demostró alrededor del año 300 a. C. que existen infinitos números primos. Se contraponen así a losnúmeros compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de él mismo y del 1. El número 1, porconvenio, no se considera ni primo ni compuesto.Los números primos del conjunto de los naturales menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.[1]

La propiedad de ser primo se denomina primalidad, y el término primo se puede emplear como adjetivo. A veces sehabla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único númeroprimo par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por .El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las matemáticas quecomprende el estudio de los números naturales. Los números primos están presentes en algunas conjeturascentenarias tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos esun tema recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primosparecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes biendefinidas.

Historia de los números primos

Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia

El hueso de Ishango.

Las muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de20.000 años (anterior por tanto a la aparición de la escritura) y que fuehallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt[2] pareceaislar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogosinterpretan este hecho como la prueba del conocimiento de losnúmeros primos. Con todo, existen muy pocos hallazgos que permitandiscernir los conocimientos que tenía realmente el hombre de aquellaépoca.[3]

Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en Mesopotamia a lolargo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de la época.Los cálculos requerían conocer los inversos de los naturales, que también se han hallado en tablillas.[4] En el sistema

sexagesimal que empleaban los babilonios para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60 (números regulares) se calculan fácilmente, por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por 150 (2·60+30) y

Número primo 4

correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babilonios necesitaba una sólidacomprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales.En las matemáticas egipcias, el cálculo de fracciones requería conocimientos sobre las operaciones, la división denaturales y la factorización. Los egipcios sólo operaban con las llamadas fracciones egipcias, suma de fraccionesunitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1, como , por lo que las fracciones de numeradordistinto de 1 se escribían como suma de inversos de naturales, a ser posible sin repetición en lugar de

.[5] Es por ello que, en cierta manera, tenían que conocer o intuir los números primos.[6]

Antigua GreciaLa primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. yse encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hayinfinitos de ellos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método paradeterminarlos que hoy en día se conoce como el algoritmo de Euclides. Los Elementos contienen asimismo elteorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo deMersenne.La criba de Eratóstenes, atribuida a Eratóstenes de Cirene, es un método sencillo que permite encontrar númerosprimos. Hoy en día, empero, los mayores números primos que se encuentran con la ayuda de ordenadores empleanotros algoritmos más rápidos y complejos.

Matemáticas modernas

Pierre de Fermat.

Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances enel estudio de los números primos hasta el siglo XVII. En1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración)el pequeño teorema de Fermat, posteriormente demostradopor Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes seconociera un caso especial de dicho teorema en China.

Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1eran primos (debido a lo cual se los conoce como númerosde Fermat) y verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir,216 + 1). Sin embargo, el siguiente número de Fermat232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641),como demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no seconoce ningún número de Fermat que sea primo aparte delos que ya conocía el propio Fermat.

El monje francés Marin Mersenne investigó los númerosprimos de la forma 2p − 1, con p primo. En su honor, se losconoce como números de Mersenne.

En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentran muchos resultados que conciernen los números primos.Demostró la divergencia de la serie , y en 1747 demostró que todos los números perfectospares son de la forma 2p-1(2p - 1), donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no existennúmeros perfectos impares, pero todavía es una cuestión abierta.

Número primo 5

A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que, cuando n tiende a infinito,el número de primos menores o iguales que n es asintótico a , donde ln(n) es el logaritmo natural de n. Lasideas que Bernhard Riemann plasmó en un trabajo de 1859 sobre la función zeta, describieron el camino queconduciría a la demostración del teorema de los números primos. Hadamard y De la Vallée-Poussin, cada uno porseparado, dieron forma a este esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por divisiones sucesivas, al menos no si el número esrelativamente grande.Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o no factorizando completamenteel número siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso se encuentra el test de Lucas-Lehmer,desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo caso se encuentra el test de Pépin para los números de Fermat(1877). El caso general de test de primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamentefactorizado se denomina test de Lucas.Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización parcial de p+1 o p-1.Ejemplos de de estos algoritmos son el test de Proth (desarrollado alrededor de 1878) y el test de Pocklington (1914).En estos algoritmos se requiere que el producto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raízcuadrada de p. Más recientemente, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron el test BLS de primalidadque sólo requiere que dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de p. El mejor método conocido de esta clase es eltest de Konyagin y Pomerance del año 1997 que requiere que dicho producto sea mayor que p3/10.[7] [8]

A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier número esprimo o no con complejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en números de miles de dígitos, aunqueson mucho más lentos que los métodos anteriores. Ejemplos de estos algoritmos son el test APRT-CL (desarrolladoen 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usanlos factores de pm-1, donde el exponente m depende del tamaño del número cuya primalidad se desea verificar, eltest de primalidad por curvas elípticas (desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A. O. L.Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permite después confirmar rápidamente siel número es primo o no. El desarrollo más reciente es el test de primalidad AKS (2002) que si bien su complejidades polinómica, para los números que puede manejar la tecnología actual es el más lento de los tres.Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada fuera de la matemáticapura.[9] [10] Esto cambió en los años 1970 con el desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los númerosprimos formaban la base de los primeros algoritmos tales como el algoritmo RSA.Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda de ordenadores. Labúsqueda de números primos cada vez mayores ha suscitado interés incluso fuera de la comunidad matemática. Enlos últimos años han ganado popularidad proyectos de computación distribuida tales como el GIMPS, mientras losmatemáticos siguen investigando las propiedades de los números primos.

Primalidad del número 1La cuestión acerca de si el número 1 debe o no considerarse primo está basada en la convención. Ambas posturastienen sus ventajas y sus inconvenientes. De hecho, hasta el siglo XIX, los matemáticos en su mayoría loconsideraban primo. Muchos trabajos matemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un númeroprimo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel. La lista de Derrick Norman Lehmer de números primos hasta el10.006.721, reimpreso hasta el año 1956[11] empezaba con el 1 como primer número primo.[12]

Actualmente, la comunidad matemática se inclina por no considerar a 1 en la lista de los números primos. Esta convención, por ejemplo, permite una formulación muy económica del teorema fundamental de la aritmética: «todo número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden».[13] [14] Además, los números primos tienen numerosas propiedades de las que carece el 1, tales como la relación del número con el

Número primo 6

valor correspondiente de la función φ de Euler o la función suma de divisores.[15]

Propiedades de los números primos

Teorema fundamental de la aritmética

Esta ilustración muestra que el 11 es un númeroprimo, pero el 12 no lo es.

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo númeronatural tiene una representación única como producto de factoresprimos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer variasveces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.

Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con losque se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puedeescribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquierotra factorización del 23.244 como producto de números primos seráidéntica excepto por el orden de los factores.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como númeroprimo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados enmatemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o másnúmeros. Así,• El mínimo común múltiplo de dos o más números es el número natural más pequeño que es múltiplo de todos

ellos. Para calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y nocomunes con su máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.

• El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número natural que divide a todos ellos. Es igual alproducto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de10 y 12 es 2.

• Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir,si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no seamúltiplo de él mismo.

Otras propiedades• En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en

cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que escoprima con la base.

• De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1.Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.

• Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisorde a o de b.

• Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisiblepor p.

• Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1

o un divisor de p − 1. Esto se puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. expresado en

base q (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q.• Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n.

Asimismo, un número natural n > 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible por n.

Número primo 7

• La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.• Teoremas de Sylow: Si G es un grupo y pn es la mayor potencia del número primo p que divide el orden de G,

entonces G tiene un subgrupo de orden pn.• Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces G

contiene un elemento de orden p.• La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los números

primos en el sistema decimal, es un número irracional.• El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da como una continuación

meromorfa de una función definida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:

En la región donde es convergente, este producto indexado por los números primos se puede calcular,obteniéndose diversos valores, algunos de ellos importantes en teoría de números. Los dos primeros son:

(Correspondiente a la serie armónica, relacionado con la infinitud de números

primos).

(Correspondiente al problema de Basilea).

En general es un número racional cuando n es un número entero positivo par.

• El anillo es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.• Si p > 1, el polinomio x p-1+x p-2+ ··· + 1 es irreducible sobre si y sólo si p es primo.• Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la primera especie Tn(x),

dividido entre x, es irreducible en . Además, Tn(x) ≡ xn si y sólo si n es primo.

Números primos y funciones aritméticasLas funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales,desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que sonaquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene

.Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función φ de Euler, que a cada n asocia el número de enterospositivos menores y coprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada n asocian respectivamente el número dedivisores de n y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en las potencias de números primos es

,,

.Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor quetoman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número natural n de factorización

se tiene que

con lo que se ha reconducido el problema de calcular f(n) al de calcular f sobre las potencias de los números primosque dividen n, valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, paraconocer el valor de la función φ sobre n=450=2·32·52 basta con calcular

Número primo 8

.

Características del conjunto de los números primos

Infinitud de los números primosVéase también: Infinitud de los números primos

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IXde su obra Elementos[16] Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjuntoarbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno,

. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de lalista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjuntooriginal. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p esalguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia , pero ningúnnúmero primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. Laconsecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecena él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.Si se toma como conjunto el de los n primeros números primos, entonces

, donde pn# es lo que se llama primorial de pn. Un número primode la forma pn# +1 se denomina número primo de Euclides en honor al matemático griego. También se puedeelaborar una demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado de números primosmenos uno, el lugar del producto de esos números primos más uno. En ese sentido, se denomina número primoprimorial a un número primo de la forma pn# ± 1.No todos los números de la forma pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la demostración anterior, todoslos factores primos deberán ser mayores que n. Por ejemplo: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos procedentes de áreas delas matemáticas tales como al álgebra conmutativa y la topología.[17] Algunas de estas demostraciones se basan en eluso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por loque se crea una biyección entre los términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, que deriva de la demostración euclídeade la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeñode uno más el producto de todos los términos anteriores. La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puestoque cada uno de sus términos es igual a uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de estaúltima sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo quese puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será unconjunto infinito cuyos términos son todos primos.

Número primo 9

Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos

Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto porEuler en el siglo XVIII. Establece que la serie es divergente. Uno de los teoremas deMertens concreta más, estableciendo que

[18]

donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valores deC y n0 no están especificados.[19]

Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:

En toda progresión aritmética an = a + n·q, donde los enteros positivos a, q ≥ 1 son primos entre sí, existen infinitos términos que sonprimos.

El postulado de Bertrand enuncia así:

Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n- 2.

Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1, entonces siempreexiste un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en una progresión geométrica de primer términoentero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la progresión y el siguiente, se tiene al menos un númeroprimo.

Frecuencia de los números primosVéase también: Teorema de los números primos

10 4 −0,3 2,2 2,500

102 25 3,3 5,1 4,000

103 168 23 10 5,952

104 1.229 143 17 8,137

105 9.592 906 38 10,425

106 78.498 6.116 130 12,740

107 664.579 44.158 339 15,047

108 5.761.455 332.774 754 17,357

109 50.847.534 2.592.592 1.701 19,667

1010 455.052.511 20.758.029 3.104 21,975

... ... ... ... ...

Número primo 10

Comparación entre las funciones π(n) (azul), n / ln n (verde) y Li(n) (rojo); sepuede ver que la aproximación de π(n) con Li(n) es mejor que la que hay con

Una vez demostrado la infinitud de losnúmeros primos, cabe preguntarse cómo sedistribuyen los primos entre los númerosnaturales, es decir, cuán frecuentes son ydónde se espera encontrar el n-ésimonúmero primo. Este estudio lo iniciaronGauss y Legendre de forma independiente afinales del siglo XVIII, para el cualintrodujeron la función enumerativa de losnúmeros primos π(n), y conjeturaron que suvalor fuese aproximadamente

.[20]

El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros resultados fueron obtenidos entre1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos la existencia de dosconstantes A y B tales que

para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del cociente de aquellas expresiones, éstedebía ser 1.Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896, independientemente el uno del otro, usandométodos similares, basados en el uso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida por BernhardRiemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 para encontrar una demostración que usara sólo métodoselementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración fue ideada por Selberg y Erdős. Actualmente,se conoce el teorema como teorema de los números primos.El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función logaritmo integral:

.

En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete aproximando de esta forma es

para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de los años.Por otra parte, en 1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente estimación,más precisa:[21]

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo número primo, queda bienaproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente mayor que este valor.

Número primo 11

Diferencia entre dos primos consecutivosLigado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalos entre dos primosconsecutivos. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dosnúmeros primos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del "triplete" formado por losnúmeros 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entretres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Losprimeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número naturaln, se denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y n. Losnúmeros

(n+1)!+2, (n+1)!+3,···,(n+1)!+n+1son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por tanto, es compuesto. La sucesión,que comprende n enteros consecutivos, no contiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valorescorresponden a:

6!+2=722=2·3616!+3=723=3·2416!+4=724=4·1816!+5=725=5·1456!+6=726=6·121

El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.[22] De todas formas, el menor número primo que dista del siguiente en n esgeneralmente mucho menor que el factorial, por ejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separadosde ocho unidades es (89, 97), mientras que 8! es igual a 40.320.La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos[23] ha sido profusamente estudiada en matemáticas, yalrededor de este concepto se han establecido muchas conjeturas que permanecen sin resolver.

Conclusión

La distribución de todos los números primoscomprendidos entre 1 y 76.800, de izquierda a

derecha y de arriba abajo. Cada pixel representaun número. Los píxeles negros representan

números primos; los blancos representan númerosno primos.

El modelado de la distribución de los números primos es un tema deinvestigación recurrente entre los teóricos de números. La primalidadde un número concreto es (hasta ahora) impredecible a pesar de queexisten leyes, como el teorema de los números primos y el postuladode Bertrand, que gobiernan su distribución a gran escala. LeonhardEuler comentó:

Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontraralgún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos motivospara creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará.[24]

En una conferencia de 1975, Don Zagier comentó:Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los queespero convencerles de forma tan incontestable que quedaránpermanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, apesar de su definición simple y del papel que desempeñan comoladrillos con los que se construyen los números naturales, los números

Número primo 12

Imagen con 2310 columnas que conservamúltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11 en las columnas

respectivas. Como cabe esperar, los númerosprimos caerán en columnas concretas si los

números están ordenados de izquierda a derecha yel ancho es un múltiplo de un número primo. Sin

embargo, los números primos también quedandistribuidos de manera ordenada en

construcciones espirales como la espiral de Ulam,ya que tienden a concentrarse en algunas

diagonales concretas y no en otras.

primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y noparecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puedepredecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún másasombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primosmuestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan sucomportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casimilitar.[25]

Encontrar números primos

Tests de primalidad

Véase también: Test de primalidad

La criba de Eratóstenes fue concebida por Eratóstenes de Cirene, un matemáticogriego del siglo III a. C. Es un algoritmo sencillo que permite encontrar todos los

números primos menores o iguales que un número dado.

La criba de Eratóstenes es una manerasencilla de hallar todos los números primosmenores o iguales que un número dado. Sebasa en confeccionar una lista de todos losnúmeros naturales desde el 2 hasta esenúmero y tachar repetidamente los múltiplosde los números primos ya descubiertos. Lacriba de Atkin, más moderna, tiene unamayor complejidad, pero si se optimizaapropiadamente también es más rápida.También existe una reciente criba deSundaram que genera únicamente númeroscompuestos, siendo los primos los númerosfaltantes.

En la práctica, lo que se desea es determinarsi un número dado es primo sin tener queconfeccionar una lista de números primos.Un método para determinar la primalidad deun número es la división por tentativa, queconsiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Sialguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dado nmenor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que elsiguiente número primo, 11, ya es mayor que √120. Es el test de primalidad más sencillo, y rápidamente pierde suutilidad a la hora de comprobar la primalidad de números grandes, ya que el número de factores posibles crecedemasiado rápido a medida que crece el número potencialmente primo.

En efecto, el número de números primos menores que n es aproximadamente

.

De esta forma, para determinar la primalidad de n, el mayor factor primo que se necesita no es mayor que √n,dejando el número de candidatos a factor primo en cerca de

.

Número primo 13

Esta expresión crece cada vez más lentamente en función de n, pero, como los n grandes son de interés, el número decandidatos también se hace grande: por ejemplo, para n = 1020 se tienen 450 millones de candidatos.Asimismo, existen otros muchos tests de primalidad determinísticos que se basan en propiedades que caracterizan alos números primos, pero su utilidad computacional depende mucho del test usado. Por ejemplo, se podría emplear elteorema de Wilson para calcular la primalidad de un número, pero tiene el inconveniente de requerir el cálculo de unfactorial, una operación computacionalmente prohibitiva cuando se manejan números grandes. Aquí entre en juegoel tiempo de ejecución del algoritmo empleado, que se expresa en la notación de Landau. Para poder determinar laprimalidad de números cada vez más grandes (de miles de cifras) se buscan aquellos algoritmos cuyo tiempo deejecución crezca lo más lentamente posible, a ser posible, que se pueda expresar como un polinomio. Si bien el testde primalidad AKS cumple con esta condición, para el rango de números que se usa en la práctica este algoritmo esextremadamente lento.Por otra parte, a menudo basta con tener una respuesta más rápida con una alta probabilidad (aunque no segura) deser cierta. Se puede comprobar rápidamente la primalidad de un número relativamente grande mediante tests deprimalidad probabilísticos. Estos tests suelen tomar un número aleatorio llamado "testigo" e introducirlo en unafórmula junto con el número potencialmente primo n. Después de varias iteraciones, se resuelve que n es"definitivamente compuesto" o bien "probablemente primo". Estos últimos números pueden ser primos o bienpseudoprimos (números compuestos que pasan el test de primalidad). Algunos de estos tests no son perfectos: puedehaber números compuestos que el test considere "probablemente primos" independientemente del testigo utilizado.Esos números reciben el nombre de pseudoprimos absolutos para ese test. Por ejemplo, los números de Carmichaelson números compuestos, pero el test de Fermat los evalúa como probablemente primos. Sin embargo, los testsprobabilísticos más utilizados, como el test de Miller-Rabin o el obsoleto test de Solovay-Strassen, superado por elanterior, no tienen este inconveniente, aun siendo igualmente tests probabilísticos.Algunos tests probabilísticos podrían pasar a ser determinísticos y algunos tests pueden mejorar su tiempo deejecución si se verifican algunas hipótesis matemáticas. Por ejemplo, si se verifica la hipótesis generalizada deRiemann, se puede emplear una versión determinística del test de Miller-Rabin, y el test de primalidad por curvaselípticas podría mejorar notablemente su tiempo de ejecución si se verificaran algunas hipótesis de teoría analítica denúmeros.

Algoritmos de factorizaciónUn algoritmo de factorización es un algoritmo que separa uno a uno los factores primos de un número. Losalgoritmos de factorización pueden funcionar también a modo de tests de primalidad, pero en general tienen untiempo de ejecución menos ventajoso. Por ejemplo, se puede modificar el algoritmo de división por tentativa deforma que no se detenga cuando se obtenga una división exacta, sino que siga realizando nuevas divisiones, y nosobre el número original, sino sobre el cociente obtenido. Después de la división por tentativa, los métodos másantiguos que se conocen son el método de Fermat, que se basa en las diferencias entre cuadrados y que esespecialmente eficaz cuando n es el producto de dos números primos próximos entre sí, y el método de Euler, que sebasa en la representación de n como suma de dos cuadrados de dos formas distintas.Más recientemente, se han elaborado algoritmos basados en una gran variedad de técnicas, como las fraccionescontinuas o las curvas elípticas, aunque algunos son mejoras de métodos anteriores (la criba cuadrática, por ejemplo,se basa en una mejora del método de Fermat y posee complejidad computacional subexponencial sobre el número decifras de n). Otros, como el método rho de Pollard, son probabilísticos, y no garantizan hallar los divisores de unnúmero compuesto.Hoy por hoy, el algoritmo determinístico más rápido de uso general es el general number field sieve, que también posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de n.[26] Se ha propuesto un algoritmo cuyo tiempo de ejecución es polinómico sobre el número de cifras de n (el algoritmo de Shor), pero requiere ser ejecutado en un ordenador cuántico, ya que su simulación en un ordenador normal requiere un tiempo exponencial.

Número primo 14

No se conocen algoritmos para factorizar en una computadora tradicional en tiempo polinómico y tampoco sedemostró que esto sea imposible.

Fórmulas que sólo generan números primosVéase también: Fórmula de los números primos

A lo largo de la historia, se han buscado numerosas fórmulas para generar los números primos. El nivel más alto deexigencia para una fórmula así sería que asociara a cada número natural n el n-ésimo número primo. De forma másindulgente, se puede pedir una función f que asocie a cada número natural n un número primo de tal forma que cadauno de los valores tomados sólo aparezca una vez.Además, se desea que la función se pueda calcular en la práctica.[27] Por ejemplo, el teorema de Wilson asegura quep es un número primo si y sólo si (p-1)!≡-1 (mod p). Otro ejemplo: la función f(n) = 2 + ( 2(n!) mod (n+1)) generatodos los números primos, sólo los números primos, y sólo el valor 2 se toma más de una vez. Sin embargo, ambasfórmulas se basan en el cálculo de un factorial, lo que las hace computacionalmente inviables.En la búsqueda de estas funciones, se han investigado notablemente las funciones polinómicas. Cabe subrayar queningún polinomio, aun en varias variables, toma sólo valores primos.[28] Por ejemplo, el polinomio en una variablef(n) = n² − n + 41 devuelve valores primos para n = 0,…, 40, 43, pero f(41) y f(42) son compuestos. Si el términoconstante vale cero, entonces el polinomio es múltiplo de n, por lo que el polinomio es compuesto para valorescompuestos de n. En caso contrario, si c es el término constante, entonces f(cn) es múltiplo de c, por lo que si elpolinomio no es constante, necesariamente deberá incluir valores compuestos.Sin embargo, hay polinomios en varias variables cuyos valores positivos (cuando las variables recorren los númerosnaturales) son precisamente los números primos. Un ejemplo es este polinomio descubierto por Jones, Sato, Wada yWiens en 1976:[28]

Al igual que ocurre con las fórmulas con factoriales, este polinomio no es práctico de calcular, ya que, aunque losvalores positivos que toma son todos primos, prácticamente no devuelve otra cosa que valores negativos cuando sehacen variar las variables a a z de 0 a infinito.Otro enfoque al problema de encontrar una función que sólo genere números primos viene dado a partir del teoremade Mills, que indica que existe una constante θ tal que

es siempre un número primo, donde es la función piso.[29] Todavía no se conoce ninguna fórmula para calcularla constante de Mills, y las aproximaciones que se emplean en la actualidad se basa en la sucesión de los asíllamados números primos de Mills (los números primos generados mediante esta fórmula), que no pueden serobtenidos rigurosamente, sino sólo de manera probabilística, suponiendo cierta la hipótesis de Riemann.

Número primo 15

Clases de números primosDe mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más rápidas de implementar,sobre todo si existe un algoritmo especializado que permita calcular rápidamente la primalidad de los valores quevan tomando. A partir de estas fórmulas se obtienen subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de losnúmeros primos, que suelen recibir un nombre colectivo.

Primos primoriales y primos factorialesVéanse también: Número primo primorial y número primo factorial

Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana de la infinitud de losnúmeros primos, son los de la forma p = n# ± 1 para algún número natural n, donde n# es igual al producto2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de todos los primos ≤ n. Asimismo, un número primo se dice primo factorial si es de la forman! ± 1. Los primeros primos factoriales son:

n! − 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …[30]

n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …[31]

Números primos de FermatVéase también: Número de Fermat

Construcción de un pentágono regular. 5 es unnúmero primo de Fermat.

Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonosregulares con regla y compás, son los números de la forma

, con n natural. Los únicos números primos de Fermatque se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propioFermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valoresde n entre 5 y 32 estos números son compuestos.[32]

Para determinar su primalidad, existe un test especializado cuyotiempo de ejecución es polinómico: el test de Pépin. Sin embargo, lospropios números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo se lo hapodido aplicar para valores de n pequeños. En 1999 se lo aplicó para n= 24. Para determinar el carácter de otros números de Fermat mayoresse utiliza el método de divisiones sucesivas y de esa manera a fecha dejunio de 2009 se conocen 241 números de Fermat compuestos, aunqueen la mayoría de los casos se desconozca su factorización completa.[32]

Números primos de MersenneVéase también: Número primo de Mersenne

Los números de Mersenne son los de forma Mp = 2p – 1, donde p es primo.[33] Los mayores números primosconocidos son generalmente de esta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz, el test de Lucas-Lehmer,para determinar si un número de Mersenne es primo o no.Actualmente, el mayor número primo que se conoce es M43.112.609 = 243.112.609 - 1, que tiene 12.978.189 cifras en elsistema decimal. Se trata cronológicamente del 45º número primo de Mersenne conocido y su descubrimiento seanunció el 23 de agosto de 2008 gracias al proyecto de computación distribuida «Great Internet Mersenne PrimeSearch» (GIMPS). Desde entonces, se han descubierto otros dos números primos de Mersenne, pero son menoresque el 45º.[34] [35]

Número primo 16

Otras clases de números primosExisten literalmente decenas de apellidos que se pueden añadir al concepto de número primo para referirse a unsubconjunto que cumple alguna propiedad concreta. Por ejemplo, los números primos pitagóricos son los que sepueden expresar en la forma 4n+1. Dicho de otra forma, se trata de los números primos cuyo resto al dividirlos entre4 es 1. Otro ejemplo es el de los números primos de Wieferich, que son aquellos números primos p tales que p2

divide a 2p-1 - 1.Algunas de estas propiedades se refieren a una relación concreta con otro número primo:• Números primos gemelos: p y p+2 lo son si son los dos primos.• Número primo de Sophie Germain: dado p primo, es de Sophie Germain si 2p + 1 también es primo. Una

sucesión de números p1,p2,p3,··· ,pn todos ellos primos, tales que pi+1=2pi+1 para todo i ∈ {1,2,···,n-1 }, sedenomina cadena (completa) de Cunningham de primera especie, y cumple por definición que cada uno de lostérminos, salvo el último, es un número primo de Sophie Germain. Se cree que para todo n natural existeninfinitas cadenas de Cunningham de longitud n,[36] aunque hasta la fecha nadie ha proporcionado prueba de quedicha afirmación sea cierta.

• Número primo de Wagstaff: p lo es si , donde q es otro número primo.[37] [38]

También se les da nombres especiales a algunas clases de primos que dependen de la base de numeración empleadao de la forma de escribir los dígitos, y no de una fórmula matemática. Es el caso de los números somirp (primos alrevés), que son aquellos números primos tales que el número obtenido al invertir el orden de sus cifras también esprimo. También es el caso de los números primos repunit, que son aquellos números primos que son concatenaciónde unos. Si, en lugar de considerarse el sistema de numeración decimal se considera el binario, se obtiene otroconjunto distinto de números primos repunit que, además, coincide con el de los números primos de Mersenne.Finalmente, los números primos triádicos son aquellos números que son primos, capicúas y simétricos respecto deuna recta horizontal.El que se le dé un nombre a una clase de números primos con una definición precisa no significa que se conozcaalgún número primo que sea de esa clase. Por ejemplo, no se conoce hasta el momento ningún número primo deWall-Sun-Sun, pero su relevancia radica en que en 1992, antes de la demostración de Wiles del último teorema deFermat, se descubrió que la falsedad del teorema para un número primo p dado implicaba que p era un número primode Wall-Sun-Sun. Esto hizo que, durante un tiempo, la búsqueda de números primos de esta clase fuera también labúsqueda de un contraejemplo del último teorema de Fermat.[39]

ConjeturasExisten numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son problemas bien antiguos, yuna de las más significativas es la hipótesis de Riemann, varias veces mencionada en este artículo como unaconjetura que, de ser cierta, permitiría conocer numerosos resultados relevantes en diversos campos de lasmatemáticas.

Hipótesis de RiemannVéase también: Hipótesis de Riemann

Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha, sigue sinresolverse, es necesario entender la función zeta de Riemann. Sea un número complejo con parte real mayor que1. Entonces,

La segunda igualdad es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética, y muestra que la función zetaestá íntimamente relacionada con los números primos.

Número primo 17

Existen dos tipos de ceros de la función zeta, es decir, valores s para los cuales ζ(s) = 0: los triviales, que son s=-2,s=-4, s=-6, etc. (los enteros pares negativos) y los no triviales, que son aquellos ceros que no se encuentran en el ejereal. Lo que indica la hipótesis de Riemann es que la parte real de todos los ceros no triviales es igual a 1/2.La veracidad de la hipótesis implica una profunda conexión con los números primos, en esencia, en el caso deverificarse, dice que los números primos están distribuidos de la forma más regular posible. Desde un punto de vista«físico», dice grosso modo que las irregularidades en la distribución de los números primos sólo proceden de ruidoaleatorio. Desde un punto de vista matemático, dice que la distribución asintótica de los números primos (según elteorema de los números primos, la proporción de primos menores que n es ) también es cierta para intervalos

mucho menores, con un error de aproximadamente la raíz cuadrada de n (para intervalos próximos a n). Estáampliamente extendido en la comunidad matemática que la hipótesis sea cierta. En concreto, la presunción mássimple es que los números primos no deberían tener irregularidades significativas en su distribución sin una buenarazón.[40]

Otras conjeturas

Infinitud de ciertos tipos de números primos

Muchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se conjetura que hayinfinitos números primos de Fibonacci[41] e infinitos primos de Mersenne, pero sólo un número finito de primos deFermat.[42] No se sabe si hay infinitos números primos de Euclides.

Distribución de los números primos

También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la distribución de los númerosprimos. Así, la conjetura de los números primos gemelos enuncia que hay infinitos números primos gemelos, queson pares de primos cuya diferencia es de 2. La conjetura de Polignac es una versión más general y más fuerte de laanterior, ya que enuncia que, para cada entero positivo n, hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en2n. A su vez, una versión más débil de la conjetura de Polignac dice que todo número par es la diferencia de dosnúmeros primos.Asimismo, se conjetura la infinidad de los primos de la forma n2 + 1. Según la conjetura de Brocard, entre loscuadrados de primos consecutivos mayores que 2 existen siempre al menos cuatro números primos. La conjetura deLegendre establece que, para cada n natural, existe un número primo entre n2 y (n+1)2. Finalmente, la conjetura de

Cramér, cuya veracidad implicaría la de Legendre, dice que .

Teoría aditiva de números

Otras conjeturas relacionan algunas propiedades aditivas de los números con los números primos. Así, la conjeturade Goldbach dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos, aunquetambién existe una versión más débil de la misma conjetura según la cual todo número impar mayor que 5 se puedeescribir como suma de tres números primos.

Los cuatro problemas de LandauEn 1912, Landau estableció en el Quinto Congreso Internacional de Matemáticos de Cambridge una lista de cuatrode los problemas ya mencionados sobre números primos, que se conocen como los problemas de Landau. Ningunode ellos está resuelto hasta la fecha. Se trata de la conjetura de Goldbach, la de los números primos gemelos, la deLegendre y la de los primos de la forma n2 + 1.[43]

Número primo 18

Generalización del concepto de número primoEl concepto de número primo es tan importante que se ha visto generalizado de varias maneras en diversas ramas delas matemáticas.

Elementos primos en un anillo

Representación de los primos gaussianos de norma menor o igual a500. Los primos gaussianos son, por definición, los enteros

gaussianos que son primos.

Se pueden definir los elementos primos y los elementosirreducibles en cualquier dominio de integridad.[44] Encualquier dominio de factorización única, como porejemplo, el anillo de los enteros, el conjunto deelementos primos equivale al conjunto de los elementosirreducibles, que en es {…, −11, −7, −5, −3, −2, 2,3, 5, 7, 11, …}.

Considérense por ejemplo los enteros gaussianos ,es decir, los números complejos de la forma a+bi con a,b ∈ . Este es un dominio de integración, y suselementos primos son los primos gaussianos. Cabedestacar que el 2 no es un primo gaussiano, porqueadmite factorización como producto de los primosgaussianos (1+i) y (1-i). Sin embargo, el elemento 3 síes primo en los enteros gaussianos. En general, losprimos racionales (es decir, los elementos primos delanillo ) de la forma 4k+3 son primos gaussianos,pero no lo son aquellos de la forma 4k+1.

Ideales primos

En teoría de anillos, un ideal I es un subconjunto de un anillo A tal que• si i, j ∈ I, entonces la suma i + j pertenece a I• y si x ∈ A, i ∈ I, entonces los productos a × i, i × a pertenecen a I.Un ideal primo se define entonces como un ideal que cumple también que:• para cualquier par de elementos a, b del anillo A tales que su producto a × b pertenece a I, entonces, al menos uno

de los dos elementos, a o b, está en I.• I no es el anillo A entero.Los ideales primos son una herramienta relevante en álgebra conmutativa, teoría algebraica de números y geometríaalgebraica. Los ideales primos del anillo de enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), …Un problema central en teoría algebraica de números es la manera en que se factorizan los ideales primos cuando seven sometidos a una extensión de cuerpos. En el ejemplo de los enteros gaussianos, (2) se ramifica en potencia de unprimo (ya que y generan el mismo ideal primo), los ideales primos de la forma son inertes(mantienen su primalidad) y los de la forma pasan a ser producto de dos ideales primos distintos.

Número primo 19

Primos en teoría de la valoraciónEn teoría algebraica de números surge otra generalización más. Dado un cuerpo , se consideran las valoracionessobre , determinadas funciones de en . Cada una de estas valoraciones genera una topología sobre , yse dice que dos valoraciones son equivalentes si generan la misma topología. Un primo de es una clase deequivalencia de valoraciones. Con esta definición, los primos del cuerpo de los números racionales quedanrepresentados por la función valor absoluto así como por las valoraciones p-ádicas sobre para cada númeroprimo p.

Nudos primos

Algunos nudos primos.

En teoría de nudos, un nudo primo es un nudo no trivial que no se puede descomponer en dos nudos más pequeños.De forma más precisa, se trata de un nudo que no se puede escribir como suma conexa de dos nudos no triviales.En 1949 Horst Schubert demostró un teorema de factorización análogo al teorema fundamental de la aritmética, queasegura que cada nudo se puede obtener de forma única como suma conexa de nudos primos.[45] Por este motivo, losnudos primos desempeñan un papel central en la teoría de nudos: una clasificación de los nudos ha sido desde finalesdel siglo XIX el tema central de la teoría.

Aplicaciones en la computaciónEl algoritmo RSA se basa en la obtención de la clave pública mediante la multiplicación de dos números grandes(mayores que 10100) que sean primos. La seguridad de este algoritmo radica en que no se conocen maneras rápidasde factorizar un número grande en sus factores primos utilizando computadoras tradicionales.

Números primos en el arte y la literaturaLos números primos han influido en numerosos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen se valióde ellos para crear música no métrica. En obras tales como La Nativité du Seigneur (1935) o Quatre études derythme (1949-50) emplea simultáneamente motivos cuya duración es un número primo para crear ritmosimpredecibles. Según Messiaen, esta forma de componer fue «inspirada por los movimientos de la naturaleza,movimientos de duraciones libres y desiguales».[46]

En su novela de ciencia ficción Contact, posteriormente adaptada al cine, Carl Sagan sugiere que los números primospodrían ser empleados para comunicarse con inteligencias extraterrestres, una idea que había desarrollado de manerainformal con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975.[47]

El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon, que describe en primera persona la vida de un jovenautista muy dotado en matemáticas y cálculo mental, utiliza únicamente los números primos para numerar loscapítulos.En la novela PopCo de Scarlett Thomas, la abuela de Alice Butler trabaja en la demostración de la hipótesis deRiemann. El libro ilustra una tabla de los mil primeros números primos.[48]

La soledad de los números primos, novela escrita por Paolo Giordano, ganó el premio Strega en 2008.También son muchas las películas que reflejan la fascinación popular hacia los misterios de los números primos y lacriptografía, por ejemplo, Cube, Sneakers, El amor tiene dos caras y Una mente maravillosa. Esta última se basa enla biografía del matemático y premio Nobel John Forbes Nash, escrita por Sylvia Nasar.[49]

Número primo 20

Véase también• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.• Criptografía• Matemática• Espiral de Ulam• Test de primalidad• Tabla de factores primos

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Número primo 21

Referencias[1] (sucesión A000040 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a000040) en OEIS)[2] Marcus du Sautoy, La symphonie des nombres premiers P.42 (en francés)[3] Préhistoire de la géométrie: le problème des sources (http:/ / www. reunion. iufm. fr/ recherche/ irem/ telecharger/ Keller/ Keller3. pdf),

artículo de Olivier Keller (en francés)[4] « Nacimiento de las matemáticas. (http:/ / almez. pntic. mec. es/ ~agos0000/ Nacimiento. html)». Consultado el 7 de Junio de 2009.[5] Arnaldez, Roger y otros (1988). Las antiguas ciencias del Oriente.. Barcelona: Ediciones Orbis S.A.. ISBN 84-402-0159-1.[6] Planetmath.org. « History of prime numbers. (http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ HistoryOfPrimeNumbers. html)». Consultado el 7 de

junio de 2009.[7] Crandall, Richard (2001). Prime numbers, a computational perspective. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94777-9.[8] Bernstein, Daniel. « Prime tests (http:/ / cr. yp. to/ primetests. html)». Consultado el 1 de julio de 2009.[9] Singh, Simon (1998). «Pag. 126». El enigma de Fermat. Editorial Planeta S.A. ISBN 978-84-08-02375-3..[10] Carles Pina i Estany (2005). « Curiosidades sobre números primos. (http:/ / pinux. info/ primos/ curiosidades. html)». Consultado el 5 de

junio de 2009.[11] Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. New York: Springer (1994): 36 (en inglés)[12] Richard K. Guy & John Horton Conway, The Book of Numbers. New York: Springer (1996): 129 - 130 (en inglés)[13] Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. pp. 118. ISBN 0-19-285361-9. «La exclusión

aparentemente arbitraria del 1 de la definición de número primo … no expresa ningún conocimiento profundo sobre los números: se tratasimplemente de un convenio útil, adoptado para que sólo haya una manera de factorizar cualquier número en sus factores primos»

[14] " Why is the number one not prime? (http:/ / primes. utm. edu/ notes/ faq/ one. html)" (en inglés), accedido el 31-05-2009.[15] " Arguments for and against the primality of 1 (http:/ / www. geocities. com/ primefan/ Prime1ProCon. html)" (en inglés), accedido el

31-05-2009.[16]  , Euclides (1991-1996). «Vol. II, libro IX, proposición 20.». Elementos. Obra completa, Madrid, Editorial Gredos. ISBN

978-84-249-1463-9.[17] DiAmOnD (2008). « Demostración topológica de la infinitud de los números primos. (http:/ / gaussianos. com/

demostracion-topologica-de-la-infinitud-de-los-numeros-primos/ )». Consultado el 5 de junio de 2009.[18] Véase, por ejemplo, An Introduction to the Theory of Numbers, p. 24. (en inglés)[19] En general, en la notación de Landau, indica que está dominada asintóticamente por , es decir,

. Para más información, lea notación de Landau.[20] Con esta expresión se quiere decir que el límite de la razón entre las dos expresiones tiende a 1 cuando n tiende a infinito.[21] von Koch, Helge (1901). « Sur la distribution des nombres premiers (http:/ / www. springerlink. com/ content/ 077g4j008x57p021/ )».

SpringerLink. Consultado el 6 de junio de 2009.[22] Nótese que esto no tiene por qué ser verdad en general, por ejemplo, si n es impar, se tiene que n!+(n+1) es divisible entre 2.[23] (sucesión A001223 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a001223) en OEIS)[24] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 163 (en inglés)[25] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 171[26] Eric W. Weisstein. « Number Field Sieve (http:/ / mathworld. wolfram. com/ NumberFieldSieve. html)» (en inglés). Consultado el 31 de

mayo de 2009.[27] Introducción del capítulo 3 del libro de Ribenboim The new book of prime number records.[28] Prime Glossary - Matijasevic's Polynomial (http:/ / primes. utm. edu/ glossary/ xpage/ MatijasevicPoly. html), accedido el 06-06-2009[29] W. H. Mills, A prime-representing function (1947) (en inglés)[30] (sucesión A002982 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a002982) en OEIS)[31] (sucesión A002981 (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Oeis:a002981) en OEIS)[32] Keller, Wilfrid (2009). « Fermat factoring status (http:/ / www. prothsearch. net/ fermat. html)». Consultado el 1 de junio de 2009.[33] DiAmOnD (2008). « Todo número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto (http:/ / gaussianos. com/

todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/ )». Consultado el 7 de junio de 2009.. Por contraposición, sededuce que, para buscar números primos de Mersenne, basta con buscar entre los números de Mersenne con exponente primo.

[34] DiAmOnD (2008). « ¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!! (http:/ / gaussianos. com/ ¡¡tenemos-dos-nuevos-primos-de-mersenne/)». Consultado el 5 de junio de 2009.

[35] GIMPS (2009). « 47th Known Mersenne Prime Found! (http:/ / mersenne. org/ )». Consultado el 13 de junio de 2009.[36] Nicholas Anderson, Andrew J. Havens, Brian Hydefrost, Sean Murphy y Steve Sarasin. « Prime Numbers and the Riemann Hypothesis

(http:/ / www. gang. umass. edu/ ~franz/ teaching/ group1. pdf)» pág. 6. Consultado el 7 de junio de 2009.[37] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!. « A000979. Wagstaff primes. (http:/ / www. research. att. com/ ~njas/ sequences/

A000979)». Consultado el 23 de abril de 2010.[38] Eric W. Weisstein. « Wagstaff Prime (http:/ / mathworld. wolfram. com/ WagstaffPrime. html)» (en inglés). Consultado el 23 de abril de

2010.[39] Caldwell, Chris (2005). « Wall-Sun-Sun prime (http:/ / primes. utm. edu/ glossary/ page. php?sort=WallSunSunPrime)». Consultado el 6 de

junio de 2009.

Número primo 22

[40] Bombieri, Enrico (2000). « The Riemann hypothesis (http:/ / www. claymath. org/ millennium/ Riemann_Hypothesis/ riemann. pdf)» (eninglés). Clay Mathematics Institute. Consultado el 6 de junio de 2009.

[41] Caldwell, Chris, The Top Twenty: Lucas Number (http:/ / primes. utm. edu/ top20/ page. php?id=48) en The Prime Pages. Consultado el 1 dejunio de 2009 (en inglés)

[42] Por ejemplo, véase Guy, Richard K. (1981), Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, problema A3, pp. 7–8.[43] Mathworld - Landau's Problems (http:/ / mathworld. wolfram. com/ LandausProblems. html) (en inglés)[44] « Números algebraicos (http:/ / www. iesmurgi. org/ matematicas/ materiales/ numeros/ node18. html)» (2004). Consultado el 7 de junio de

2009.[45] En Mathworld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ PrimeKnot. html). (en inglés)[46] Peter Hill (1994). Amadeus Press. ed. The Messiaen companion. ISBN ISBN 0-931340-95-0..[47] Carl Pomerance, Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence (http:/ / www. math. dartmouth. edu/ ~carlp/ PDF/

extraterrestrial. pdf), accedido el 31-05-2009[48] A Mathematician reviews PopCo (http:/ / math. cofc. edu/ kasman/ MATHFICT/ mfview. php?callnumber=mf476) (en inglés), accedido el

31-05-2009[49] Music of the Spheres (http:/ / www. musicoftheprimes. com/ films. htm), Selección de Marcus du Sautoy de películas que versan sobre los

números primos (en inglés), accedido el 31-05-2009

Enlaces externos• The Prime Pages (http:/ / www. utm. edu/ research/ primes)• Sobre el artículo de Manindra Agrawal et al. PRIMES IS IN P, en donde afirman: "We present a deterministic

polynomial-time algorithm that determines whether an input number n is prime or composite" mathmistakes(http:/ / members. cox. net/ mathmistakes/ primes. htm)

• Algoritmos eficientes para calcular números primos, por Steve Litt (http:/ / www. troubleshooters. com/ codecorn/primenumbers/ primenumbers. htm)

• ¿Es este número primo? (http:/ / www. mste. uiuc. edu/ html. f/ resource/ prime. html)

Número compuestoTodo número natural no primo, a excepción del 1, se denomina compuesto, es decir, tiene uno o más divisoresdistintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el termino divisible para referirse estos números.Los 20 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y 32.Una característica de los números compuestos es que pueden escribirse como producto de dos enteros positivosmenores que él. Así, el número 20 es compuesto porque puede expresarse como 4 x 5; y también el 87 ya que seexpresa como 3 x 29. Sin embargo, no es posible hacer lo mismo con el 17 ó el 23 porque son números primos. Cadanúmero compuesto se puede expresar como multiplicación de dos (o más) números primos específicos, cuyo procesose conoce como factorización.El número compuesto más pequeño es el 4 y no hay ninguno que sea mayor que todos los demás; hay infinitosnúmeros compuestos.La forma más sencilla de demostrar que un número n es compuesto, es encontrar un divisor d comprendido entre 1 yn (1 < d < n). Por ejemplo, 219 es compuesto porque tiene a 3 por divisor. Y también 371 porque tiene a 7 pordivisor. Sin embargo, este método deja de ser efectivo para números que son producto de primos grandes. Una buenaalternativa es utilizar entonces el pequeño teorema de Fermat, o mejor la generalización de este teorema debida almatemático suizo Leonhard Euler.Como los números primos y compuestos están entremezclados unos con otros es lógico preguntarse si existirán secuencias de números compuestos consecutivos de longitud arbitraria. La secuencia 32, 33, 34, 35 y 36 es un ejemplo de longitud 5, y 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 y 126 un ejemplo de longitud 13. La respuesta es que podemos conseguir una secuencia de números compuestos tan larga como se desee. Si deseamos una secuencia de longitud 20, basta tomar los números 21!+2, 21!+3, 21!+4, ... , 21!+21, ya que el primero

Número compuesto 23

es divisible por 2, el segundo por 3, etcétera.Un teorema de Fermat afirma que si p es primo de la forma 4n+1, entonces puede expresarse de forma única comosuma de dos cuadrados. Si un número de la forma 4n+1 puede expresarse como suma de dos cuadrados de dosformas diferentes al menos, entonces el número es compuesto. Euler halló un método de factorización a partir de estehecho. Por ejemplo, si 221 = 112 + 102 = 142 + 52, entonces, 142 - 112 = 102 - 52. Tomando mcd(14+11, 10+5) =mcd(25,15) = 5, y después 25/5 = 5 y 15/5 = 3, y por último 52 + 32 = 25 + 9 = 34, entonces mcd(221, 34) = 17 nosda el factor que buscamos. El 1 y el 0 son casos especiales y no se consideran ni primos ni compuestos.

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

24

Números Fraccionarios

Número fraccionario

Una fracción es un número que se obtiene dividiendo un número por otro. Suele escribirse en la forma ó ½ ó

. En una fracción tal como a/b el número a que es dividido se llama numerador y el número b que divide, divisor odenominador.Cuando una fracción se escribe en la forma 2 / 3 el numerador queda arriba y el denominador abajo.

Clasificación de fraccionesLas fracciones pueden clasificarse de la siguiente manera:

Fracción propia

En la que el numerador es menor que el denominador; por ejemplo, o ⅔.

Las fracciones propias son las que mejor responden a la denominación de fracción, ya que son parte de la unidad.También se llaman fracciones simples.

Fracción impropiaEn las que el numerador es mayor que el denominador; por ejemplo., 4/3, 8/7, 206/3, 4/1 etc. Si la fracción se escribecomo un número entero seguido de una fracción simple -por ejemplo 1 1/3 en vez de 4/3- se trata de una fracciónmixta.

Fracción decimalHablando con propiedad, un decimal es cualquier número escrito en notación decimal (esto es, en base diez). Noobstante, el término suele utilizarse para designar una fracción decimal, o fracción escrita utilizando el sistema denotación posicional decimal. Lo mismo que para formar grupos en los números enteros se utilizan decenas, cientos,miles, etc., para formarlos en las fracciones decimales se recurre a décimas, centésimas, milésimas, etc. Así, undecimal como 0,05 es igual a 5 centésimas (5/100) y así sucesivamente. Un número como 127,836 es una fraccióndecimal mixta que se representa:(1×100) + (2×10) + (7×1) + (8×1/10) + (3×1/100) + (6×1/1000).Ello equivale a escribir el número como suma de potencias decrecientes de diez (obsérvese que 100=1)(1×102) + (2×101) + (7×100) + (8×10-1) + (3×10-2)+(6×10-3).Un decimal puede tener un número finito de dígitos (por ejemplo, 5/8 es igual a 0,625); tales decimales se llamanexactos. También puede ocurrir que el decimal prosiga indefinidamente, esto es, que contenga un número infinito dedígitos; se los llama decimal no exacto.

Número fraccionario 25

Fracción ordinariaUna fracción ordinaria es el cociente entre dos números. El número que es dividido se llama numerador y el quedivide denominador . Si a y b son dos números, entonces la fracción que representa el cociente de a por b se escribea/b. El concepto de fracción puede ilustrarse (principalmente en casos simples como los de 1/2, 2/3 o 3/4) por mediode círculos y cuadrados.Como una fracción es una cantidad dividida por otra, su valor no cambia si el numerador y el denominador sonmultiplicados por un factor común. Si ambos se dividen por su MCD, la fracción ya no puede simplificarse mas.

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Fracción propia 26

Fracción propiaUna fracción propia es una fracción, distinta de cero, en la cual su numerador es menor que su denominador. Enconsecuencia, una fracción propia tiene un valor menor que la unidad.

Una fracción propia da cuenta de la idea de una porción o parte de un todo. Por ejemplo, en la expresión "trescuartos de la superficie de la Tierra son agua", o "sólo la mitad de los asistentes pudo participar del concurso". Deahí se da la relación a un porcentaje.El producto entre dos fracciones propias es siempre una fracción propia.

Ejemplos

Definiciones relacionadasUna fracción impropia es una fracción que no es propia y por tanto representa una cantidad igual o mayor que launidad. Si la fracción impropia está escrita en la forma:

Una fracción mixta es una forma especial de escritura de las fracciones impropias respecto de las fracciones propias.En efecto, como una fracción impropia:

es igual a un número entero más una fracción propia, podemos escribir:

donde c y d son el cociente entero y el resto de la división entre a y b, y se cumple por tanto:

Por ejemplo:

y

Las expresiones con fracciones mixtas se observan usualmente en recetarios, donde puede leerse: "tres y media

cucharadas de ..." con el significado cucharadas de ....

Las fracciones propias con numerador 1 se denominan fracciones unitarias, y se designan por un medio, un tercio,etcétera.

Fracción propia 27

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Fracción impropia 28

Fracción impropiaEn matemáticas, se considera que fracciones impropias son todas aquellas fracciones que pueden convertirse en lasuma de un número natural y una fracción propia. Por tanto, las fracciones impropias son siempre iguales o mayoresque la unidad,[1] y por consiguiente, en ellas el numerador es igual o mayor que el denominador.

Convertir una fracción impropia en la suma de un número natural y unafracción propiaPara calcular cuál es la suma de un número natural y una fracción propia cuyo resultado es una fracción impropiadada, hay que calcular el cociente entre su numerador y su denominador (dividendo y divisor respectivamente). Elcociente es el número natural, y el resto y el divisor son, respectivamente, numerador y denominador de la fracciónpropia.En otras palabras, dada la fracción impropia:

dividimos a entre b:

tendremos el cociente c con resto d. Podemos afirmar entonces que:

Fracción impropia 29

Notas[1] (http:/ / books. google. es/ books?id=svzuB4pZKjkC& pg=PA12& dq=Fracción+ impropia& hl=es& ei=qnyXTNzLFI3Aswac-plk& sa=X&

oi=book_result& ct=result& resnum=1& ved=0CCoQ6AEwAA#v=onepage& q=Fracción impropia& f=false)Matemáticas prácticas. Escritopor Claude Irwin Palmer. Página 12. ( books.google.es )

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

30

Números Enteros (Z)

Número enteroLos números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números enterosnegativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número seaentero, significa que no tiene parte decimal. Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos,como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros.

HistoriaLos números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo,aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidadde unidades no divisibles (por ejemplo, personas).No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticositalianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución deecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos dela India. [cita requerida]

Aplicación en contabilidadEncuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a lacantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que loque hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balancepositivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de3 sueldos.

Estructura de los números enterosLos enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden serconsiderados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Losnúmeros enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede serconsiderado como una fracción cuyo denominador es el número uno.Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, tambiénpueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativossobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:

Número entero 31

para la incógnita x.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, , donde es el orden usual sobre , es unconjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto delos números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»).

Construcción formal de los enteros a partir de los naturalesUn número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo

, de donde puede asociarse el número con el par ordenado de números naturales. Sinembargo, debido a que y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado al restar suscomponentes, no puede decirse simplemente que . Lo que puede hacerse, es incluir todos los paresordenados de números naturales, que dan como resultado al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto,o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados y puedan ser asociados al mismo número entero si:

(1) .El único problema es que la ecuación (1) no está definida en cuando . Pero esto se remedia fácilmente, alnotar que

equivale a

Ciertamente para cualesquiera , de tal manera que puede definirse una relación sobremediante:

si y solo si

La relación es una relación de equivalencia que produce en una partición en clases de equivalencia,cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:

Si admitimos el cero como número natural, podemos definir:

| info=para todo

Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces

| info=para todo

Luego el cero puede definirse como:

| info=para todo El escoger y (o y para cuando no se acepta ), para las definicionesanteriores es una decisión completamente arbitraria que toma en cuenta la sencillez de estos pares ordenados. Nóteseque, de cualquier forma,

| info=para todo

Se define pues el conjunto de los números enteros como el conjunto:

(2)

Número entero 32

de todas las clases de equivalencia producidas por la relación sobre el producto cartesiano . Esto es, es el conjunto cociente:

(3) .

Definición de adición y multiplicación sobre números enterosSe define la adición ( ) sobre como sigue:

| info=para todo teniendo previamente definida la adición sobre . La definición anterior no depende de los representantes

escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:

La multiplicación ( ) sobre se define como sigue:

| info=para todo teniendo previamente definida la multiplicación sobre . La definición anterior está correctamente definida debidoa que:

Propiedades de los números enteros

Propiedades de clausura

Si , existen tales que:

y, de esto,

De la clausura de la adición sobre , se sigue, por definición, que

Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad

• Para cualesquiera Lo mismo cumple la multiplicación sobre :

• Para cualesquiera

Propiedades asociativasLas propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones deestas operaciones. Estas propiedades son:

• Para cualesquiera y

• Para cualesquiera

Número entero 33

Propiedades conmutativas

Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera ,tenemos que• Para cualesquiera Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre . Esta propiedad la tiene también la multiplicación:

• Para cualesquiera

Propiedad distributiva

Sean los enteros , y . Tenemos

.

Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributiva

• Para cualesquiera

Existencia de elementos neutros

El cero, , , tiene la característica de que para todo entero ,

y como sean cuales sean los números naturales tenemos, de donde , por lo que el cero es un elemento neutro

para la adición sobre . En• para todo .términos más sencillos,Se define como sigue:

.Vemos que, para todo entero ,

y, puesto que , resulta que 1 es un elemento neutro para lamultiplicación sobre . Es decir,• para todo pt.a+b _ c

Número entero 34

Existencia de elemento opuesto• Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:

Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como , quecumple obviamente la propiedad anterior:

Unicidad del elemento opuesto

Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él elresultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y , entonces sucede que:

En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.

Propiedades cancelativas

Sean y . Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:

Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativa

• Para todo .Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse unmétodo distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto

, con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para lamultiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues , y con

. Tenemos que , y de la propiedad distributiva , o sea que , loque demuestra que .Se cumple pues la propiedad cancelativa siguiente:

• Para todo , con .

Propiedades de orden• Si a = b Entonces b = a

Propiedad reflexiva del orden

• a = a

Propiedad antisimétrica del orden

• Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.

Propiedad transitiva del orden

• Si a < b y b < c, entonces a < c.

Compatibilidad del orden con las operaciones

• Si a ≤ b entonces a+c ≤ b+c,

Número entero 35

para todo c ∈ .• y si c ≥ 0, con a ≤ b entonces a c ≤ b c

Propiedad o axioma de la buena ordenación• Sea S un subconjunto no vacío de ℤ, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.Este axioma indica que el conjunto S tiene un ínfimo y un supremo, lo que quiere decir es que S del conjunto decotas superiores y cotas inferiores tiene un elemento menor de las cotas superiores llamado supremo que a su vez esmayor que todos los elementos del conjunto S.

Referencias

Véase también• Número negativo

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Número natural 36

Número natural

Los números naturales pueden usarse para contar(una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).

Un número natural es cualquiera de los números que se usan paracontar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porquefueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

Definiciones

• La Real Academia Española los define como "Cada uno de loselementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..." [1]

• Es el conjunto de los números enteros no negativos.• Un número natural es un símbolo que indica una cantidad.

El conjunto de los números naturales se representa por y corresponde al siguiente conjunto numérico:[2]

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que aloperar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a .

El cero y la definición de los números naturalesExiste una controversia acerca de la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales. De ahí que noexista acuerdo en la literatura y coexistan definiciones contradictorias de los números naturales. De hecho, algunosmatemáticos (especialmente los de la Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural;otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.Históricamente, el cero no se consideraba número natural. Entre otros motivos porque no tenía una representaciónnatural: cero dedos, cero vacas, etc. podrían considerarse puros constructos mentales.Más recientemente, desde el punto de vista de los fundamentos lógicos de las matemáticas y de algunas aplicaciones,la situación adquirió una perspectiva nueva que hizo más natural la inclusión del cero dentro del conjunto de losnúmeros naturales. Por ejemplo, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, el cero se relaciona con el númerode elementos del conjunto vacío. Y en informática, con un estado de la memoria en que todos los bits se encuentranen estado off.De ahí que la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales sea cuestión de contexto y de convenio,observándose una tendencia creciente a considerarlo parte de él.[cita requerida]

Número natural 37

HistoriaAntes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos paracontar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos.Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en unavara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededordel año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales enformas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre deescritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes,en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto,mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue RichardDedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjuntode números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden,resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando laexistencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Fregeperdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró laexistencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso delaxioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto denúmeros naturales como ordinales según von Neumann.

Construcciones axiomáticasHistóricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre lasque destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.

Axiomas de PeanoLos axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la deconjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor.Los cinco axiomas de Peano son:1. El 1 es un número natural.2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural

cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A es precisamente el conjunto de todos losnúmeros naturales. Éste es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.

Definición en teoría de conjuntosEn teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. Laidea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que sequiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contengaprecisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada porVon Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple1. Para cada , 2. La relación es un orden total estricto en

Número natural 38

3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el orden Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores.Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contieneelementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.Se define entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cada número natural tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Porejemplo:

• Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)• 1 es el sucesor de 0, entonces • 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces • y en general

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es pornaturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión

es decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de .También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de susantecesores. Así si y sólo si .Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrolloaxiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica dedemostración conocida como inducción matemática.Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir quesi es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjuntoinductivo.Se define la suma por inducción mediante:

Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamadoMonoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse enun grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones

Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación

Número natural 39

biyectiva de A sobre B,es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica laspropiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente losllamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma yproducto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntosrepresentantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y unitario.

Operaciones con los números naturalesLas operaciones matemáticas son acciones de relación que permiten a los seres humanos acordar procesos culturalesde lectura simbólica de agrupación o construcción, de disgregación o deconstrucción, así como del número de raícesu origen de un determinado objeto geométrico o de propiedades dimensionales, que se pueden realizar con undeterminado conjunto numérico.Los conjuntos númericos son espacios en los cuales las operaciones pueden hacerse con elementos de dichosconjuntos y dar como resultado de la acción elementos que pueden estar dentro o fuera de ellos. Si el resultado de laoperación siempre da elementos del conjunto numérico, se dice que el espacio es cerrado para dicha operación(cumple con la propiedad de cierre o clausura), si el resultado algunas veces da elementos del conjunto y otras vecesno, se dice que el espacio es abierto para dicha operación (no es cerrado, no cumple con la propiedad de cierre o declausura).De allí que se puede decir que las operaciones en los números naturales son: la adición cuyo resultado es la suma(operación cerrada, constructora de linealidad), la sustracción cuyo resultado es diferencia o resta (operación abiertadeconstructora de la linealidad), la multiplicación cuyo resultado recibe el nombre de producto (operación cerrada,constructora de ortogonalidad (ángulo recto)), la división cuyo resultado es el cociente (operación abierta de doblenaturaleza deconstructora de la ortogonalidad (desarma al ángulo recto), o como razón de cambio), la potenciacióncuyo resultado es potencia (operación cerrada en los naturales, constructora de objetos geométricos "perfectos"),radicación cuyo resultado es raíz (operación abierta, deconstructora de objetos geométricamente perfectos) y lalogaritmación (operación abierta, que establece el posible número de raices de un objeto potencialmente perfecto, ode posibles propiedades dimensionales de los objetos geometricos).Es así como las operaciones quedan establecidas para su reconocimiento geométrico como constructoras,deconstructoras y de propiedades dimensionales de los objetos geométricos. A partir de esta concepción se puededecir que:La sustracción es la operación inversa a la adición de la misma manera que la división es la inversa de lamultiplicaciones, es decir,si a+b = c, entonces b = c - a; se observa como la adición o suma construye segmentos de rectas y la sustracción oresta deconstruye el segmento de recta.No siempre se puede realizar una resta entre números naturales, debido a que no siempre se cumple que el número alque se le resta el otro, es mayor.Se puede realizar, 20 - 5 = 15; siendo 20 el minuendo y 5 el sustraendo; pero no 5-20; la razón es que el resultado,-15, no está dentro del conjunto de los números naturales.La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas. Es decir:• El orden de los números no altera el resultado, a+b = b+a, pues la construcción de dicho segmento conserva su

longitud sin importar que cantidad coloque primero, y a×b = b×a siempre construirá la misma área rectangular,sin importar el orden en el cual se coloquen los factores(propiedad conmutativa).

• Para sumar (o multiplicar) tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una maneraespecífica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.

Al construir la multiplicación de números naturales áreas rectangulares, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades

Número natural 40

iguales y gracias esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, ya que:

Propiedades de los números naturalesLos números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólosi existe otro número natural que cumple . Este orden es compatible con todas las operacionesaritméticas puesto que si , y son números naturales y , entonces se cumple:

Otra forma de definir dicha relación es utilizando la construcción de por cardinales se tiene que si dadosdos representantes y de y respectivamente existe una aplicación inyectiva.Se demuestrafácilmente que esta relación es de orden y no depende de los representantes y elegidos.Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado: cualquiersubconjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo. De hecho, cualquier conjunto A es isomorfo al delos números naturales si no está vacío, está totalmente ordenado por y cumple:1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b2. Cualquier subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimoEn los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0 , podemosencontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que

    y     .Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo,son estudiadas por la teoría de números.

Uso de los números naturalesLos números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elementoen una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño deun conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal. En el mundo de lo finito, ambosconceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nosmovemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.

Número natural 41

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Referencias[1] Definición de la Real Academia Española (http:/ / buscon. rae. es/ draeI/ SrvltGUIBusUsual?TIPO_HTML=2& TIPO_BUS=3&

LEMA=número#número_natural. )[2] Hurtado, F. (2 de 1997) (en español). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A.. pp. 12. ISBN 978-84-8236-049-2.

Bibliografía• Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana.

ISBN 970-32-1392-8.

Cero 42

Cero

0

Cardinal Cero

Sistemas de numeración

Ática O

Jónica Ο (ómicron)

China 〇

China tradicional 零

Egipcia

Maya

De los Campos de Urnas un espacio

India 0

Sistema binario 0

Sistema octal 0

Sistema hexadecimal 0

menos uno 0 uno

El cero (0) es el signo numérico de valor nulo, que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifrasignificativa. Si está situado a la derecha de un número entero, decuplica su valor; colocado a la izquierda, no lomodifica.Es el elemento del conjunto de los números enteros ( ) que sigue al −1 y precede al 1. Algunos matemáticos loconsideran perteneciente al conjunto de los naturales ( ) ya que estos también se pueden definir como el conjuntoque nos permite contar el número de elementos que contienen los demás conjuntos, y el conjunto vacío tiene ceroelementos. El número cero se puede representar como cualquier número más su opuesto (o, equivalentemente,menos él mismo): .

Historia

Los ceros «imperfectos»Varias antiguas grandes civilizaciones, como las del Antiguo Egipto, Babilonia, la Antigua Grecia o la CulturaMaya, poseen documentos de carácter matemático o astronómico mostrando símbolos indicativos del valor cero;pero por diversas peculiaridades de sus sistemas numéricos, no supieron obtener el verdadero beneficio de estecapital descubrimiento.[1]

En el Antiguo Egipto se utilizó el signo nfr para indicar el cero (Papiro Boulaq 18, datado ca. 1700 a. C.)El cero apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III  a. C., aunque su escritura en tablillas de arcilla seremonta al año 2000 a. C. Los babilonios escribían en arcilla sin cocer, sobre superficies planas o tablillas. Sunotación era cuneiforme. En tablillas datadas en el año 1700 a. C. se ven anotaciones numéricas en su particularforma. Los babilonios utilizaban un sistema de base 60. Con su sistema de notación no era posible distinguir elnúmero 23 del 203 o el 2003, aunque esta ambigüedad no pareció preocuparles.

Cero 43

Alrededor del 400 a. C., los babilonios comenzaron a colocar el signo de «dos cuñas» en los lugares donde en nuestrosistema escribiríamos un cero, que se leía «varios». Las dos cuñas no fueron la única forma de mostrar las posicionesdel cero; en una tablilla encontrada en Kish, antigua ciudad de Mesopotamia al este de Babilonia, utilizaron un signode «tres ganchos». Estas tablas están datadas en el 700 a. C. En otras tablillas usaron un solo «gancho» y, en algunoscasos, la deformación de este se asemeja a la forma del cero.

Jeroglífico maya para el cero, año 36 a. C. Es el primeruso documentado del cero utilizando notación

posicional.

El cero también surgió en Mesoamérica y fue ideado por lascivilizaciones mesoamericanas antes de la era cristiana, por laCivilización Maya y, probablemente, fue utilizado antes por laCivilización Olmeca. El primer uso documentado mostrando elnúmero cero corresponde al año 36 a. C., haciendo uso de lanumeración Maya.[2] A causa de la anomalía introducida en eltercer lugar de su notación posicional, les privó de posibilidadesoperativas.[3]

Claudio Ptolomeo en el Almagesto, escrito en 130 d. C., usaba elvalor de «vacío» o «0». Ptolomeo solía utilizar el símbolo entredígitos o al final del número. Podríamos pensar que el cero habría arraigado entonces, pero lo cierto es que Ptolomeono usaba el símbolo como número sino que lo consideraba un signo de anotación. Este uso no se difundió, pues muypocos se sumaron a él, y fue desvaneciéndose en la Historia.

Los romanos no utilizaron el cero. Sus números eran letras de su alfabeto; para representar cifras usaban: I, V, X, L,C, D, M, agrupándolas. Para números con valores iguales o superiores a 4000, dibujaban una línea horizontal sobreel «número», para indicar que el valor se multiplicaban por 1000.

El cero «moderno»La Civilización india es la cuna de la numeración moderna. La palabra «cero» proviene de la traducción de sunombre en sánscrito shunya (vacío) al árabe sifr (رفص), a través del italiano. La voz española «cifra» también tienesu origen en sifr.El primer testimonio del uso del «cero indio» está datado hacia el año 810. Abu Ja'far Mujammad ibn Musa, en suobra titulada «Tratado de la adición y la sustracción mediante el cálculo de los indios» explica el principio denumeración posicional decimal, señalando el origen indio de las cifras. La décima figura, que tiene formaredondeada, es el «cero».[4]

Las inscripciones talladas en roca más antiguas de dichos números indios son las de Gwalior, y están datados en875-876.[5]

Los árabes lo transmitieron por el Magreb y Al-Ándalus, pasando posteriormente al resto de Europa. Los primerosmanuscritos que muestran las cifras indias (llamadas entonces «árabes») provienen del norte de España y son delsiglo X: el Codex Vigilanus y el Codex Aemilianensis. El cero no figura en los textos, pues los cálculos se realizabancon ábaco, y su uso aparentemente no era necesario.Aunque se atribuyen los primeros usos del cero en Francia, o al controvertido papa Silvestre II, alrededor del año1000, la mayor parte de las referencias indican que el cero (llamado zefhirum) fue introducido en Europa por elmatemático italiano Fibonacci en el siglo XII, mostrando el álgebra árabe en su Liber abaci (Tratado del ábaco),aunque por la facilidad del nuevo sistema, las autoridades eclesiásticas lo tildaron de mágico o demoniaco.[6]

La iglesia y la casta de los calculadores profesionales –clérigos en su mayoría que utilizaban el ábaco– se opusieronfrontalmente, vetando la nueva álgebra, en algunos lugares hasta el siglo XV.[7]

Cero 44

El cero indioEl cero es un número antiintuitivo. Antes de los indios, otros pueblos llegaron a una idea de "cero imperfecto" ya que¿para qué numerar el vacío o la nada?"; cuando algo faltaba bastaba dejar un espacio vacío, representando unaausencia, pero no se consideraba que se pudieran hacer cálculos u operar matemáticamente con talesrepresentaciones de "nada" o de "vacío" (¿no es 1+0=1 y 1-0=1?). En la India sin embargo la "nada" permitió dejarun "espacio" para realizar operaciones matemáticas complejas con números enormes; quizás la noción del cero comonúmero surgió de los cálculos con piedras sobre la arena, por ejemplo al producirse una resta el "cálculo" (nombreque se le daba a la piedra de contabilidad) quitado al dejar un hueco o huella en la arena dio la noción de un númerocero en cuanto algo dejaba como resto una "nada".La cosmovisión india fue capital para que el cero cobrara un valor numérico, ya que antes habría sido un signo de lanada y por esto de una falta de número. Sin embargo, para los pensadores de la India la shunya (el vacío) en lugar deser una nada pasiva resultaba ser una nada esencial o "activa" como premisa para la existencia, en muchas escuelashinduístas y budistas shunya "es", por paradójico que resulte, algo básico y muy concreto en la existencia: no sepuede concebir el ser sin su negación. Es más, para muchas escuelas hinduistas y budistas shunya es lo real primeroy último, la esencia ante la existencia. La nada entendida de este modo tiene una especie de entidad y el cero es susímbolo, y de tales abstracciones, en principio metafísicas, el cero pasó a tener un inmenso valor pragmático.Además, los filósofos de la India solían concebir a los números no solo como signos de cosas concretas, sinotambién de abstracciones, lo que les permitió aceptar la noción de un signo numérico para algo que podía ser nada.Si para las operaciones más elementales como la suma o la resta el cero no poseía valor: 1+0=1; 1-0=1, llamó laatención que en la multiplicación el cero tuviera un efecto operativo al transformar en cero a cualquier número quese multiplicara por 0.

Operaciones matemáticas con el ceroEl cero se representa en matemáticas con el símbolo «0». Desde el siglo XX, y especialmente con el desarrollo de lainformática es frecuente que el 0 aparezca barrado, es decir, con una raya que lo cruza para evitar confundirlo con laletra «o»; por contrapartida, cuando la letra «o» se escribe en un texto matemático es pertinente acentuarla: «ó», paraevitar confundirla con el signo del número 0. En el conjunto de los enteros el 0 es un número par.[8]

Tradicionalmente está considerado uno de los cinco números más importantes de las matemáticas, junto con losnúmeros 1, , , .[9] Estos números quedan relacionados por la llamada identidad de Euler,

Cero en la sumaEn la suma, el cero es el elemento neutro; es decir, cualquier número sumado con 0 vuelve a dar . Ejemplo:

Cero en la multiplicaciónEn el producto, el cero es el elemento «absorbente»; cualquier número operado con 0 da 0. Ejemplo:

Cero en la divisiónEntre las controversias que existen sobre el cero, una de ellas es sobre la posibilidad de dividir por él; hasta llega adudarse sobre si el cero puede dividir a otro número. Acrecienta la confusión cuando se analiza la división por ceroen el contexto de los límites y en el contexto de los números enteros. El problema es que se utiliza la mismaspalabra, división, para referirse a distintas cosas (aunque en el fondo tengan el mismo origen). Es así como sonciertas las afirmaciones: «0:0 no está definido» , «0/0 es indeterminado» y «0|0» («cero divide a cero»), pero cada unaen su contexto. A continuación exponemos brevemente estos ejemplos.

Cero 45

Cero dividido por otro número

El 0 dividido por cualquier número, salvo el 0, es 0. Ejemplo: .Intuitivamente significa que, si se divide nada entre ocho personas, a cada una le corresponderá exactamente nada.

División por cero en los números reales

En los números reales (incluso en los complejos) la división por cero es una indeterminación; así, las expresioneso carecen de sentido.

Intuitivamente significa que no tiene sentido «repartir» 8 entre ninguna persona. Tampoco tiene sentido repartir nadaentre nadie. Pero esto es una idea intuitiva, y basta el sentido común para dar respuesta a estas cuestiones.Matemáticamente está claro que el cero es el único número real por el cual no se puede dividir. La razón es que 0 esel único real que no tiene inverso multiplicativo.Ejemplo:

(correcto)

(incorrecto porque no es un número real)

Cero en la división de límites

En el análisis matemático existen definiciones de distintos tipos de límites. Por ejemplo:

,

,

.

Sin embargo, si analizamos cada numerador y denominador por separado, el límite de todo ellos es cero. Es por esoque se dice que es indeterminado, pues pueden obtenerse resultados tan diferentes como infinito, uno o cero.

Cero en la división de números enteros

Si nos restringimos a los números enteros, , decimos que divide a si existe otro número (también entero)tal que .Por ejemplo: 3 es divisor de 15 pues .Vemos que la definición no requiere saber dividir, sólo saber multiplicar, y esto es muy conveniente pues entre losnúmeros enteros la división no siempre tiene sentido; por ejemplo, 2 dividido entre 3 no tiene ninguna solución en elconjunto de los números enteros.Así, 3 no divide a 10 porque no existe ningún número entero tal que .Análogamente, 0 no divide a 10 porque al multiplicar cero por cualquier otro número nunca obtendremos 10.Análogamente, tenemos que 0 es divisor de 0, pues . Aún más:todo número entero es divisor de cero pues También vemos que cero es divisor sólo del propio cero. Este hecho no se contradice con el hecho de que 0:0 no estápermitido pues véase que en el caso 0:0, el signo de división significa una operación. En cambio, en la divisiónentera no hay ninguna operación involucrada y todo se basa en la definición dada anteriormente.

Cero 46

Cero en la potenciaciónVéase también: Potenciación

• Si es distinto de 0, entonces • Si es mayor de 0, entonces Cuando se pretende calcular nos enfrentamos ante un aparente dilema. En general, los matemáticos están deacuerdo en que esa operación no está definida, a menos que en un contexto dado sea claramente conveniente elegirun resultado u otro. Algunas calculadoras científicas dan 1 como resultado.Como en el caso de la división, al poner esta operación en el contexto de los límites, es una indeterminación pueslos límites de potencias tales que los límites de base y exponente por separado son cero, pueden terminar dandocualquier cosa.En lógica formal se puede probar que , esto se hace observando que existe una única función de vacío en elvacío, la cual es la función vacía.[cita requerida]

Paridad y otras característicasTodos los números enteros pueden ser clasificados en pares e impares, definiendo los números de la forma comopares y los de la forma como impares, con . Como entonces podemos tomar conlo que resulta par.El cero no se incluía en el conjunto de los números naturales , por convenio. Y se representaba como , alconjunto de los números naturales cuando incluye al cero, por ello nos podemos encontrar con muchos libros dondelos autores no consideran al cero como número natural. De hecho, aún no hay consenso al respecto aunque muchosotros lo incluyan. Es apenas una cuestión de nomenclatura.A algunos matemáticos les resulta conveniente tratarlo como a los otros números naturales y a otros no, por eso ladiscrepancia. Desde un punto de vista histórico el cero aparece tan tarde que algunos no creen que sea justo llamarlonatural. Incluso a quienes afirman desde un punto de vista metafísico que el cero no existe, y así agregan másrazones para no llamarlo «natural».

Matemática avanzadaEn otra ramas de la matemática, especialmente en el álgebra, se llama «cero» y se simboliza también con «0» aelementos de otros conjuntos muy diferentes de los reales. Es el caso del vector nulo en el conjunto de los vectoresdel plano o del espacio. En general se le dice cero al elemento neutro de un grupo abeliano.

Sistemas digitalesEl 0 se asocia con la posición de "apagado" en lógica positiva y es uno de los dos dígitos del sistema binario.

Cero absolutoEl cero absoluto es, en el campo de la física, la temperatura más baja que teóricamente puede alcanzar la materia.Esta temperatura da lugar a la escala Kelvin, que establece como 0 K dicha temperatura. Su equivalencia en gradoscelsius es de –273,15 °C.

Cero 47

Véase también• Wuji• Nada• Decimal• Bhaskara II• Noción primitiva

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Cero 48

ReferenciasNotas[1] Ifrah:1998 p. 785.[2] Escritura maya, Los mayas, Bitágora (http:/ / www. educared. net/ aprende/ bitagora8/ page/ CP)[3] Ifrah:1998 p. 786.[4] Ifrah:1998 p. 828.[5] Ifrah:1998 p. 909.[6] Ifrah:1998 pp. 1357-1358.[7] Ifrah:1998 p. 1360.[8] « Even Number (http:/ / mathworld. wolfram. com/ EvenNumber. html)» (en inglés). Wolfram MathWorld. Consultado el 15-05-2009.[9] « About Pi (http:/ / mathforum. org/ dr. math/ faq/ faq. pi. html)» (en inglés). Math Forum. Consultado el 15-05-2009.

Bibliografía• Ifrah, Geoges (1998): Historia universal de las cifras. Espasa Calpe S.A. ISBN 84-239-9730-8

Enlaces externos• Historia del Cero (http:/ / ciencia. astroseti. org/ matematicas/ articulo. php?num=3472)• Zero (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Zero. html) en Wolfram MathWorld (en inglés)

Número negativo

Si la temperatura a la que el agua se congela es 0°C, las temperaturas más bajas han derepresentarse por números negativos.

Un número negativo es un númeroque es menor que cero y que los demásnúmeros naturales: 1, 2, 3, etc. Seutilizan para representar pérdidas,deudas, disminuciones odecrecimientos, entre otras cosas.

Se representan como los númerosnaturales, pero añadiendo un signomenos "-" delante de ellos: -1, -2, -3,etc. (estos números se leen "menosuno", "menos dos", "menos tres", etc.).También se añade un signo más "+" alos números naturales paradistinguirlos mejor: +1, +2, +3, etc.("más uno", "más dos", "más tres",etc.). A los números naturales con susigno se les llama números positivos.Análogamente a los números enterosnegativos, pueden definirse fraccionesnegativas, números racionales negativos y números reales negativos (aunque los números complejos no pueden serdividios en "negativos" y "positivos", ya que no admiten una relación de orden total compatible con las operacionessuma y multiplicación.)

Uno de los usos de los números negativos es representar pérdidas: si un hombre en un año gana 20 000 pesos perogasta 25 000, al final del año ha perdido 25 000-20 000 = 5000 pesos; pero también puede decirse que sus ahorroshan aumentado 20 000-25 000 = -5000 pesos.

Número negativo 49

También se utilizan para representar temperaturas y otras magnitudes por debajo del cero. Cuando la temperatura esde 0°C (cero grados Celsius) el agua se congela. Si el ambiente se calienta, la temperatura crece, pero si se enfría aúnmás, desciende por debajo de cero: por ejemplo, el metal líquido mercurio se congela a 39 grados bajo cero, o sea a-39°C (aproximadamente).

IntroducciónLos números negativos son necesarios para realizar operaciones como:

3-5 = ?Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situacionesque es útil usar el concepto de números negativos, como en el ejemplo de la introducción sobre ganancias y pérdidas:Ejemplo. Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 200 euros y al día siguiente pierde 100,diremos que el hombre ganó en total 200-100 = 100€. Sin embargo, si el primer día gana 50 y al siguiente pierde200, decimos que perdió en total 200-50 = 150€. La expresión que usamos cambia en cada caso: ganó en total operdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Podemos expresarestas dos posibilidades utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total200-100=+100€ y en el segundo ganó en total 50-200 = -150€. Entendemos así que una pérdida es una ganancianegativa.A continuación describiremos en detalle los números negativos y sus operaciones.

Números con signoLos números naturales 1, 2, 3,.. son los números ordinarios que se utilizan para contar. Si les añadimos un signomenos "-" delante, obtenemos los números negativos:

Un número negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos "-". Por ejemplo -1, -2, -3, etcétera. Se leen"menos 1", "menos 2", "menos 3",...

Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más "+" delante y se les llamanúmeros positivos.

Un número positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más "+".

El cero puede escribirse con signo más o menos indistintamente, porque sumar o restar cero es igual a no hacer nada,y por lo general se deja sin signo. Toda esta colección de números son los llamados "enteros".

Los números enteros son el conjunto de todos los números con signo (positivos y negativos) además del 0. Se les representa por la letra Z:

La recta numéricaLos números negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenadosse utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto mayor es el número tras el signo.A este número se le llama el valor absoluto:

Número negativo 50

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Serepresenta por dos barras verticales "| |".

Ejemplo. |+5| = 5 , |-2| = 2 , |0| = 0.Ahora puede entenderse como están ordenados los números negativos:

Para comparar dos números enteros distintos:

• Si tienen distintos signos, el que tiene el signo menos "-" es menor que el que tenga el signo más "+".• Si tienen el mismo signo:

• Si el signo común es más "+", el que tiene el menor valor absoluto es el menor.• Si el signo común es menos "-", el que tiene el mayor valor absoluto es el menor.

El cero es un caso especial: puede elegirse con signo "+" o "-" y el resultado no depende de ello. En resumen, el cero es menor que losnúmeros positivos y mayor que los números negativos.

Ejemplo.

1. Comparemos +4 y -5: tienen signo distinto, por lo que el que tiene el signo "-" es el menor. Por tanto: -5 < +4.2. Comparemos +3 y +1: tienen el mismo signo, y este es "+", por lo que el que tiene el menor valor absoluto es el

menor: +1 < +3.3. Comparemos -2 y -5: tienen el mismo signo, y este es "-", así que el que tiene el mayor valor absoluto es el

menor: -5 < -2.4. Comparemos 0 y +3. Sabemos que el resultado es 0<+3, porque 0 es menor que todos los números positivos, pero

podemos aplicar las reglas anteriores poniendole signo al cero y el resultado será idéntico:• Si escribimos el 0 como +0, ambos tienen el mismo signo, y el que tiene menor valor absoluto es el menor:

+0 < +3.• Si escribimos el 0 como -0, tienen signo distinto, y el que tiene el signo "-" es el menor: -0 < +3.

Operaciones con números negativosLos números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los númerosnaturales. Para realizar operaciones con números enteros, han de utilizarse paréntesis para facilitar la lectura de loscálculos y evitar errores. Por ejemplo, si queremos sumar los números -4 y +3, no escribiremos

-4++3 ,sino

(-4)+(+3)

Número negativo 51

Suma

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número serepresentan por el tamaño del círculo y su color. Se ve que:

-El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valorabsoluto.

-El valor absoluto del resultado crece si ambos sumandos son delmismo signo (se suman sus valores absolutos) y decrece si son

distintos (al mayor se le resta el menor).

En la suma de dos números enteros, determinamos porseparado el signo y el valor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, determinamos el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

• Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos delos sumandos.

• Si ambos sumandos tienen distinto signo:

• El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto. • El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

Ejemplo.

1. (+4)+(-2). Tienen distinto signo, y +4 es el que tiene mayor valor absoluto. El signo del resultado es entonces"+", y su valor absoluto es la diferencia 4-2 = 2. O sea: (+4)+(-2) = +2

2. (+1)+(+5). Tienen el mismo signo ("+"), así que el signo del resultado es "+" y el valor absoluto es la suma de losvalores absolutos 1+5 = 6. O sea: (+1)+(+5) = +6

3. (-6)+(+3). Tienen distinto signo, y es -6 el que tiene mayor valor absoluto, así que el signo del resultado es "-" yel valor absoluto es la diferencia 6-3 = 3. O sea: (-6)+(+3) = -3.

4. (-4)+(-7). Tienen el mismo signo ("-"), luego el signo del resultado es también "-" y su valor absoluto es la sumade ambos 4+7 = 11. O sea: (-4)+(-7) = -11.

Número negativo 52

Para realizar sumas de más de dos números enteros, debemos usar las propiedades de la suma, que son análogas a laspropiedades de la suma de números naturales:

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa. Para sumar tres números enteros en fila, pueden sumarse los dos primeros, y el resultado al tercero; o bien los dosúltimos, y el resultado al primero. El resultado final no depende de ello.

• Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera el resultado.

Ejemplo.1. Para sumar (-1)+(+7)+(-4), por la propiedad asociativa es indistinto empezar por los dos primeros o por los dosúltimos:

• Por el principio: (-1)+(+7) = +6 , (+6)+(-4) = +2• Por el final: (+7)+(-4) = +3 , (-1)+(+3) = +2

En resumen, [ (-1)+(+7) ]+(-4) y (-1)+[ (+7)+(-4) ] son el mismo número, y los corchetes no son necesarios:(-1)+(+7)+(-4) = +2.

2. Para sumar (-5)+(+2), por la propiedad conmutativa, el orden de los sumandos es indiferente:• -5 tiene el mayor valor absoluto y la diferencia de valores absolutos es 5-2 = 3: (-5)+(+2) = -3.• Si nos presentan (+2)+(-5), el razonamiento es el mismo: -5 tiene el mayor valor absoluto y la diferencia de

valores absolutos es 5-2 = 3: (+2)+(-5) = -3.En resumen, cuando se hace una suma, el orden de los sumandos no tiene relevancia: (-5)+(+2) = (+2)+(-5)

RestaLa resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora la tratamos como un caso particular de la suma.

La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.

Ejemplo.

1. (+10)-(-5) = (+10)+(+5) = +152. (-7)-(+6) = (-7)+(-6) = -133. (-4)-(-8) = (-4)+(+8) = +44. (+2)-(+9) = (+2)+(-9) = -7En una resta donde el sustraendo es a su vez una suma de varios sumandos, es necesario realizar la suma primero, obien cambiar el signo de cada sumando.Ejemplo. (+7)-[ (+10)+(-5) ]. Para realizar esta resta podemos:• Realizar la suma entre corchetes primero y después la resta: (+10)+(-5) = +5 , (+7)-(+5) = (+7)+(-5) = +2.• Cambiar el signo de los sumandos, y realizar las sumas en el orden que queramos: (+7)-[ (+10)+(-5)

] = (+7)+(-10)+(+5) = +2.

Cuando aparece un signo "-" delante de una expresión que encierra varios sumandos, este signo "-" puede convertirse en "+" cambiandotambién el signo de todos los sumandos dentro de la expresión.

Número negativo 53

MultiplicaciónLa multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valorabsoluto del resultado.

En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

• El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. • El signo es "+" si los signos de los factores son iguales, y "-" si son distintos.

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Regla de los signos

• (+)×(+)=(+) Más por más igual a más.• (+)×(-)=(-) Más por menos igual a menos.• (-)×(+)=(-) Menos por más igual a menos.• (-)×(-)=(+) Menos por menos igual a más.

Ejemplo.

1. (+4)×(-6). El signo de los factores es distinto, así que el signo del resultado es "-". El producto de los valoresabsolutos es 4×6 = 24. O sea: (+4)×(-6) = -24.

2. (+5)×(+3). El signo de los factores es idéntico, así que el signo del resultado es "+". El producto de los valoresabsolutos es 5×3 = 15. O sea: (+5)×(+3) = +15.

3. (-7)×(+8). El signo de los factores es distinto, luego el signo del resultado es "-". El producto de los valoresabsolutos es 7×8 = 56. O sea: (-7)×(+8) = -56.

4. (-9)×(-2). El signo de los factores es el mismo, así que el signo del resultado es "+". El producto de los valoresabsolutos es 9×2 = 18. O sea: (-9)×(-2) = +18.

Ver también• Simon Stevin, padre de los números negativos• Bhaskara II

Referencias• Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Negative numbers de la Wikipedia en inglés, bajo

licencia Creative Commons Compartir Igual 3.0 y GFDL.

54

Números Irracionales

Número irracionalEn matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que nopuede ser expresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente de cero y donde esta

fracción es irreducible.

NotaciónA veces [¿quién?] se denota por al conjunto de los Números Irracionales. Esta notación no es universal y muchosmatemáticos[¿quién?] la rechazan. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen ningunaestructura algebraica, como sí lo son los Naturales ( ), los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( )y los Complejos ( ), por un lado, y que la es tan apropiada para designar al conjunto de Números Irracionalescomo al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión.

ClasificaciónTras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podríaparecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de losnúmeros reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan losnúmeros racionales.Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dosenteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo,puede definirse al número irracional como decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en númerosdecimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el númeroracional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cualposee infinitas cifras decimales que no siguen un periodo.Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135 ... , es decir, los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimalesque hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tresprincipales son los siguientes:1. (Número "pi" 3,1415 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

Número irracional 55

2. e (Número "e" 2,7182 ...):

3. (Número "áureo" 1,6180 ...):

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito deradicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro medianteoperaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier ordenson irracionales algebraicos.Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:

, por lo que es un número irracional algebraico.2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienende las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. También surgen al escribirnúmeros decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como losdos siguientes:0,193650278443757 ...0,101001000100001 ...Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuaciónalgebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de losnúmeros naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de losirracionales.

Número irracional 56

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Número algebraico 57

Número algebraicoUn número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de laforma:

Donde:

, es el grado del polinomio., los coeficientes del polinomio son números enteros.

Ejemplos• Todos los números racionales son algebraicos porque toda fracción de la forma a / b es solución de

.

• Algunos números irracionales como : y también son algebraicas porque son soluciones de x2 - 2 = 0 y

8x3 - 3 = 0, respectivamente.• Otros irracionales no son algebraicos, como π (Lindemann, 1882) y e (Hermite, 1873). Son, en consecuencia,

trascendentes.[1]

• i es algebraico, siendo raíz de .

Clasificación de los complejos• Si un número real o complejo no es algebraico, se dice que es trascendente.• Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, y no es solución de una ecuación

polinómica de grado menor m < n, entonces se dice que es un número algebraico de grado n (n > 0).Los números racionales son números algebraicos de primer grado, pues para todo racional , siemprepodemos escribir una ecuación polinómica de grado uno con coeficientes enteros cuya solución esprecisamente .En cambio, los irracionales -aunque pueden ser números algebraicos- nunca pueden ser números algebraicos degrado 1.

Propiedades del conjunto de los números algebraicos1. La suma, diferencia, producto o cociente de dos números algebraicos vuelve a ser algebraico, y por lo tanto los

números algebraicos constituyen un cuerpo matemático.2. Como consecuencia de lo anterior, todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando

solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen númerosalgebraicos que no pueden escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de laTeoría de Galois.

3. Puede demostrarse que si los coeficientes ai son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuaciónvolverá a ser un número algebraico. En otras palabras, el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamentecerrado. De hecho, los números algebraicos son el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene losracionales (su clausura algebraica).

El conjunto de los números algebraicos, a veces denotdo como forma un cuerpo con las operaciones heredadas delos complejos . A diferencia de los números complejos los números algebraicos son un conjunto numerable[2] . ypor tanto su cardinal es alef 0). Esto es una consecuencia de que el conjunto de polinomios con coeficientes enteroses numerable.

Número algebraico 58

Enteros algebraicosUn número algebraico que satisface una ecuación polinómica de grado n con an = 1 se denomina entero algebraico.Algunos ejemplos de enteros algebraicos son: 3×21/2 + 5, 6i - 2. La suma, diferencia y producto de enterosalgebraicos vuelve a ser un entero algebraico, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo. Elnombre de entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicosson los propios enteros.

Extensiones algebraicasLas nociones de número algebraico y de entero algebraico pueden ser generalizadas a otros campos, no sólo aplicanal de los complejos; véase extensión algebraica.

En general, si tenemos dos cuerpos y de forma que el segundo es extensión del primero,diremos que es algebraico sobre si existe un polinomio del que es raíz ( ).

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Número algebraico 59

Referencias[1] Weisstein, Eric W. "Transcendental Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource (http:/ / mathworld. wolfram. com/

TranscendentalNumber. html).[2] Hecho conocido demostrado por Dedekind, tal como testimonia su correspondencia

Número trascendenteUn número trascendente (o trascendental) es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (nonulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de númeroalgebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedadfundamental de las matemáticas.

En general, si tenemos dos cuerpos y de forma que el segundo es extensión del primero,diremos que es trascendente sobre si no existe ningún polinomio del que es raíz (

).El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lotanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable, de lo que se deduce que hay muchos másnúmeros trascendentes que algebraicos. Sin embargo, existen muy pocos números trascendentes conocidos, ydemostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si laconstante de Euler ( ) lo es, siendo = , cuando .

La propiedad de normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

HistoriaLa existencia de los números trascendentes fue probada en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró ejemplos, entreellos la Constante de Liouville:

donde el enésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamenteconstruido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó unademostración de que π es trascendente. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormenteestableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguosproblemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadraturadel círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente. No ocurre lo mismo con los otros dos "problemasgriegos" más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben a la imposibilidad de construircon regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos: es significativo que estos otros dosproblemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método (permitiendo marcar la regla,acción que la geometría euclídea no toleraba) o con métodos similares a la regla y compás, como el origami, en tantoque la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de π, tampoco es resoluble con esos métodos.

Número trascendente 60

EjemplosUna lista de los números transcendentes más comunes:• e• π• o, de forma más general, donde es algebraico y b es algebraico pero irracional. El caso

general del séptimo problema de Hilbert, es decir, la determinación de si es trascendental cuando esalgebraico y b es irracional, queda demostrado parcialmente como cierto según el Teorema de Gelfond-Schneider.

• si a es positivo, racional y diferente de 1. Veasé Logaritmo natural

• y (véase función Gamma).

• Número de Champernowne: C10 = 0.123456789101112131415161718192021...• , Constante de Chaitin.

•

donde es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultante es0,1010001000000010000000000000001000...

• Número de Liouville

Número trascendente 61

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Enlaces externos• Prueba de que es trascendente (en inglés) [1]

• Prueba de que es trascendente (PDF) (en alemán) [2]

• Prueba de que es transcendente (PDF) (en alemán) [3]

Referencias[1] http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ EIsTranscendental. html[2] http:/ / www. mathematik. uni-muenchen. de/ ~fritsch/ euler. pdf[3] http:/ / www. mathematik. uni-muenchen. de/ ~fritsch/ pi. pdf

62

Números Racionales (Q)

Número racionalEn sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dosenteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte deun todo», y no al pensamiento o actitud racional.

Representación gráfica de las fracciones cuyodivisor es 4.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas lasfracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma comorepresentante canónico de dicho número racional a la fracciónirreducible, la de términos más sencillos.

Definimos un número racional como un decimal finito o infinitoperiódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es larepresentación decimal del número racional 3/4. El número decimalinfinito periódico 0,333... es la representación decimal del númeroracional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipoax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).

El conjunto de los números racionales se denota por , que significa«cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto denúmeros incluye a los números enteros y es un subconjunto de losnúmeros reales. Las fracciones equivalentes entre sí –númeroracional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación deuna relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.

Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de númerosracionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros,por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

HistoriaEn el Antiguo Egipto ya se calculaba utilizando aquéllas cuyos denominadores son enteros positivos, como:cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de fraccionesunitarias distintas, de ahí que las sumas de fracciones unitarias se conozcan como fracción egipcia. Además, sepuede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia.

El jeroglífico de una boca abierta () denotaba la barra de fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba eldenominador de la fracción.

Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron,sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, quesignificaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.En el siglo XIII Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal paraseparar numerador y denominador en las fracciones.

Número racional 63

Construcción de los números racionales• Consideremos las parejas de números enteros donde .

• denota a . A se le llama numerador y a se le llama denominador

• Al conjunto de estos números se le denota por . Es decir

Definición de suma y multiplicación en Q

• Se define la suma

• Se define la multiplicación

Relaciones de equivalencia y orden en Q

Fracción aparente que es equivalentea dos.

• Se define la equivalencia cuando

• Los racionales positivos son todos los tales que

• Los racionales negativos son todos los tales que

• Se define el orden cuando

Notación

• Los números de tipo son denotados por

• Las sumas de tipo son denotadas por

• denota a

• Todo número se denota simplemente por .

Número racional 64

Unicidad de un racionalUn número racional sólo puede provenir de una única fracción irreducible.

Propiedades de los números racionalesEl conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera forman un Cuerpo.

Propiedades de la suma y multiplicación

• La suma en Q es conmutativa, esto es:

• La suma en Q es asociativa, esto es:

• La multiplicación en Q es asociativa, esto es:

• La multiplicación se distribuye en la suma, esto es

Existencia de neutros e inversos

• Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales

y se le denota por .• Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los

racionales y se le denota por .• Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que

• Cada número racional: con excepción de tiene un inverso multiplicativo tal que

Equivalencias notables en Q

• si y

•

•

• , a y b ≠ 0

• , a y b ≠ 0.

Número racional 65

Los números enteros en Q

• Si es un número entero entonces existe el número que equivale a y mantiene todas sus propiedades de

entero. Es decir, se define

Otras notaciones de números en Q

Fracciones mixtas

Cada número racional se puede expresar de forma única como donde

• A es un entero no negativo, es decir

• es un racional irreducible no negativo menor que uno. Se expresa como • es una unidad. Es decir La notación es muy sencilla, las reglas son

• denota a

• denota a

Por ejemplo

El conjunto de los números decimales en Q

• Un número decimal es un número racional de la forma

• denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir • Expresión Racional de un número decimal: el número en base con un punto a lugares del extremo

derecho, por ejemplo se denota como

Representación decimal de los números racionalesLos números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo puede ser de tres tipos:• Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:

• Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

• Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de restos posibles.Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en dos posiciones distintas. A partir deellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:

Número racional 66

Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera:• Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número

entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo:

• Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferenciaentre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifrastiene el periodo. Ejemplo:

• Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre y , donde es el número escritosin la coma, y es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. Eldenominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicashaya. Ejemplo: Sea el número entonces y , por lo que el

número buscado será .

Número racional 67

Referencias• Cárdenas; Raggi (1990). Álgebra Superior. México D.F. : Trillas. ISBN 968-24-3783-0.

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

68

Números Imaginarios

Número imaginario

Ilustración del plano complejo. Los númerosimaginarios se encuentran en el eje de

coordenadas vertical.

(se repite elpatrón

de la zona azul)

(se repite elpatrón

de la zona azul)

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por imaginario) y se propuso para ser despectivo, aunque son un concepto válido suponiendo un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran sobre el eje horizontal y los imaginarios

Número imaginario 69

sobre el eje vertical complejo. Cada número imaginario puede ser escrito como donde es un número real e es launidad imaginaria, con la propiedad:

En campos de ingeniería eléctrica, electrónica y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j paraevitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario,de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .

Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que es una especie de anfibio entre el ser y la nada.

Usos• La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz cuadrada de números negativos.• Igualmente la raíz cuadrada de un número imaginario es un número complejo, y la raíz de un número complejo en

general es otro número complejo.• Gracias a la fórmula de Pascal los logaritmos de números negativos también son expresables (de manera no

unívoca) mediante , así aunque cualquier número imaginario de la forma satisface que . Curisosamente .

• En física cuántica la unidad imaginaria se usa ampliamente y permite simplificar la descripción matemática de losestados cuánticos variables en el tiempo.

• En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa ampliamente para representar ciertasmagnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más ágil de dichas magnitudes.

70

Números Reales (R)

Número real

Diferentes clases de números reales.

En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen unaexpresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31,37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se puedenexpresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales noperiódicas, tales como: .

Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentesdel rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otrasmás complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemáticoformal.Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunquecarecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no seconsideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usabanexpresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definiciónprecisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos quehicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definicionesformales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[1] En una sección posterior sedescribirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones deCauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

HistoriaLos egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C.el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales.Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en Chinapoco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Eulerdescartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo seutilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definiciónrigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind

Número real 71

(vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los númerosreales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde laantigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann,Cauchy y Weierstrass.

Evolución del concepto de númeroSe sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemasprácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico denúmero. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían acocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y loexpresaron con la máxima «todo es número».En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primerasdos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudestengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en estaforma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, ola hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, untriángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :

Si es un número racional donde p/q está reducido a sus términos mínimos (sin factor común)entonces 2q²=p².La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m. Sustituyendoobtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2p².Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto esimposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).

Por tanto, la suposición misma de que es un número racional debe ser falsa.Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa deun triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante lasmagnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvoconsecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.[2]

Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referenciaa valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría deproporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritméticapuesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricosencontraron (en notación moderna) que si a/b es una aproximación a entonces p=a+2b y q=a+b son tales quep/q es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan unamejor aproximación.[3] Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidasmediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones,originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando losnúmeros reales con los puntos de una línea recta.Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahora conocemos como números complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando primacía a la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría analítica

Número real 72

este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse ennúmeros, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos.Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grande avances matemáticos, con nuevos y poderososmétodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto delímite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (porejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a laintuición geométrica) mediante la serie:

entre muchas otras expresiones similares.Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento conla medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático, que estudia conceptos comocontinuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de lasdemostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.

Tipos de números realesUn número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos quepueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que losirracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuyarepresentación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimalaperiódica:Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe unpolinomio que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales sonalgebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin

embargo, no todos los números algebraicos son racionales.Ejemplos

El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio

Un ejemplo de número trascendente es

Número real 73

Operaciones con números realesCon números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque

sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal

que 0·x=1.Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotasverticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores dela variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variableen que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficasen geometría analítica.

NotaciónLos números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha dela coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntosconsecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que seconsideran sin importancia.Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más concisoescribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones,con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del númeroreal. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los númerosreales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático,mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un númerono-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismosupone que todos los números reales son recursivos.Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunosprogramas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (porejemplo, " ") en vez de su respectiva aproximación decimal.Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, , la letra "R" en negrita) para representar el conjunto detodos los números reales.La notación matemática se refiere a un espacio de dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor

consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo delos números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.

Número real 74

Construcciones de los números reales

Construcción axiomáticaEl conjunto de números reales, denotado por es aquel conjunto en el que cada elemento cumple cada una de lassiguientes proposiciones:

1. Si , entonces (Cerradura en la suma)2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma)3. Si , entonces (Asociatividad en la suma)4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo)5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo)6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación)9. Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo)10. Para cada existe un elemento tal que (Inverso multiplicativo)11. Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la suma)12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)

•••

13. Si , y entonces (Transitividad)14. Si y , entonces (Monotonía en la suma)15. Si , y , entonces (Monotonía en la multiplicación)16. Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en (Axioma

del supremo)Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el quedistingue de otros cuerpos ordenados como .

Construcción por números decimalesConsideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que

, es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y unasecuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.Un número decimal se expresa entonces como donde es un número entero y cada es unelemento del conjunto . Además, consideramos que no existen las colas de 9.Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero positivo se le denota por y se lellama el conjunto de los números reales positivos.Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero negativo se le denota por y se lellama el conjunto de los números reales negativos.Al número decimal se le llama cero.

Al conjunto se le denota por y se le llama conjunto de números reales.Se define la relación de orden total de los números decimales como

1. para todo 2. siempre que y 3. para todo

Número real 75

4. Dados dos números reales cualesquiera y , en cualquierade los casos siguientes:•• y además existe tal que para todo y

Construcción por cortaduras de Dedekind

Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de . Sin embargo es claro quese puede aproximar con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de losnúmeros racionales en dos subconjuntos y de manera que en el conjunto se encuentran todos los númerosracionales y en todos los números racionales tales que .Una cortadura de dedekind es un par ordenado que hace precisamente esto. Conceptualmente, la cortaduraes el "espacio" que hay entre y . De esta manera es posible definir a como tal que

y .Es posible demostrar que queda unívocamente definido por , de esta manera la cortadura se reducesimplemente a .También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, deesta manera es el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de losnúmeros reales bajo la teoría de conjuntos.

Construcción por sucesiones de CauchyLas sucesiones de Cauchy retoman la idea de aproximar con números racionales un número real. Tómese porejemplo, la ecuación.

Es claro que esta sumatoria opera sólo con los números racionales de la forma , sin embargo el resultado

final es el número irracional . Cada vez que se añade un término, la expresión se aproxima más y más a .Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define que unasucesión de números racionales es una función se denota simplemente por .Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes.Más formalmente, se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales tales que para todo

existe un tal que para todo se cumple .De esta manera es posible definir al número real como la sucesión de números racionales:

Número real 76

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Referencias[1] Anglin, W. S. (1991). Mathematics: A concise history and philosophy. Springer. ISBN 3-540-94280-7.[2] Dantzig, Tobias (1955). The Bequest of the Greeks. London: Unwin Brothers LTD. 3982581.[3] Stillwell, John (1989). Mathematics and its History. Springer-Verlag. 19269766. ISBN 3-540-96981-0.

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número real. Commons

77

Numeros Complejos (C)

Número complejo

Ilustración del plano complejo. Los númerosreales se encuentran en el eje de coordenadashorizontal y los imaginarios en el eje vertical.

El término número complejo describe la suma de un número real y unnúmero imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria,que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan entodos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (ynotoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmenteen la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad pararepresentar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, seconsideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedadmás importante que caracteriza a los números complejos es el teoremafundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraicade grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los númeroscomplejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los númeroscomplejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica yelectromagnetismo entre otras de gran importancia.Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas másimportantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejosreciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

Número complejo 78

DefiniciónDefiniremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definenlas siguientes operaciones:• Suma

• Producto por escalar

• Multiplicación

• Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:• Resta

• División

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parteimaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, esdecir, aquel en el que .Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por elcarácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales Raparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Loscomplejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ningunamanera en un cuerpo ordenado.La multiplicación de números complejos es asociativa, conmutativa y distributiva:

Sean

I) II)

III) Sean con Por demostrar la propiedad asociativa (I)

Por otra parte

Entonces se cumple .

Número complejo 79

Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de granimportancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,

Representación binómicaUn número complejo se representa en forma binomial como:

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra acontinuación:

Plano de los números complejos o Diagrama de ArgandEl concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de númeroscomplejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarsesimplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de lostérminos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una funciónen el plano complejo.El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, queencuentra aplicación en muchas otras áreas de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia

Valor absoluto o módulo de un número complejoEl valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, porel teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde elorigen del plano a dicho punto.Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z= r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

para cualquier complejo z y w.

Número complejo 80

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con loscomplejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la divisiónde complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en losnúmeros complejos.

Conjugado de un número complejoDos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m+ 1 son conjugados.El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.Con este número se cumplen las propiedades:

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado encoordenadas rectangulares.

Representación trigonométrica (polar) y representación geométricaAlgunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b (coordenadas ortogonales) es menosconveniente que otra representación, usando coordenadas polares.Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b),denominado vector de posición.Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igualal módulo de z, expresado .

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado .

Número complejo 81

La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo :

donde k pertenece a ,

Módulo y argumentoEn esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.

Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b. Vemos que:

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

Sacamos factor común r:

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno delargumento respectivamente.Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con larepresentación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo yargumento, respectivamente.Según la Fórmula de Euler, vemos que:

No obstante, el ángulo no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:

Por esto, generalmente restringimos al intervalo [-π, π) y a éste restringido lo llamamos argumento principal

de z y escribimos φ = Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

División:

Potenciación:

Número complejo 82

Geometría y operaciones con complejosGeométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar doscomplejos z1 =a1 + ib1 y z2 = a2 + ib2, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntandodesde el origen al punto (a1, b1) y (a2,b2), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sincambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundovector así ubicado apuntará al complejo z1 + z2.Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z1 y z2, primero medimos el ángulo que forman en sentidocontrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultantecorresponde con el del vector que representa al complejo producto z1 · z2. La longitud de este vector producto vienedada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejofijo puede ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas delreloj. Asimismo el que (-1) · (-1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotacionesde 180º (i al cuadrado = -1), dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.

Soluciones de ecuaciones polinómicasUna raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos lospolinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente ncomplejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades.También se cumple que siz es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como TeoremaFundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto losmatemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora deresolver ecuaciones.

Variable compleja o análisis complejoAl estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad deusos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejoprovee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientrasque las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones devariable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar.Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada oanimaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.

Esbozo históricoLa primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticosgriegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de unapirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran lasraíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia,Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con lanecesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado porDescartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptadahasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunosaños después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en elSiglo XIX.

Número complejo 83

AplicacionesLos números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de lasseñales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r comola amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corrienteo un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función devariable compleja de la forma:f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da lafase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores puedenser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricosy físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad decorriente.El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios deHilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son muchomás simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales concoeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomiocaracterístico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma:

.Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculoscon números complejos en el plano.

Número complejo 84

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

• Plano de Argand• Conjunto de Mandelbrot• Conjunto de Julia

Número complejo 85

Enlaces externos• Historia [1]

• Números complejos en Excel [2]

Referencias[1] http:/ / thales. cica. es/ rd/ Recursos/ rd98/ Matematicas/ 09/ c11. html[2] http:/ / www. necesitomas. com/ index. php?q=node/ 70

Fuentes y contribuyentes del artículo 86

Fuentes y contribuyentes del artículoUno  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42666996  Contribuyentes: .Marfil., 4lex, Angus, Antur, Arhendt, Camilo, Ciberrojopower, Cobos123, Coldplayluver, DFTDER, DanielG., Diegusjaimes, Emijrp, Enchina, Fsd141, Homo logos, Humberto, JavierH2SO4, Jcimorra, Jorge c2010, Joseaperez, Josep Maria 13., Josep Maria 15., Jsanchezes, Karyu, Kokoo, KronT,L'abbaco spagnolo, Lagarto, Llull, Lopezpablo 87, Lourdes Cardenal, Magister Mathematicae, Matdrodes, Mia 19 7, Miguelin01, Moriel, Muro de Aguas, P.o.l.o., Pencho15, PetrohsW, Piolinfax,Quesada, Sabbut, Sannita, Sergiportero, Suisui, TXiKi, Tets, Tirithel, Unosonica, Vargenau, Will vm, Xuzty, 63 ediciones anónimas

Número primo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=43064951  Contribuyentes: 4lex, ALEJANDRO PRENSA MARTINEZ, Adrruiz, Airunp, Aleph0, Alpertron, Andreasmperu,Angelsaracho, Antur, Antón Francho, Arturo Reina, Ascatala, Ascánder, Asimal, AstroNomo, B25es, Baiji, Barcex, Barct, Beto29, BlackBeast, Brindys, Bryant1410, Bucho, C'est moi, CaStarCo,Carlos Alberto Carcagno, Carlosblh, Cgb, Charly genio, Cobalttempest, Comae, Comu nacho, Dangelin5, Daniel JG, Dark, Delphidius, Diegusjaimes, Diogeneselcinico42, Dnu72, Dorieo, Drini2,EL Willy, Eamezaga, Edmenb, Edslov, Eduardosalg, El nawe, Emijrp, Er Komandante, Ezarate, Farisori, Fernando101, Frutoseco, GermanX, Ggenellina, HUB, Heliocrono, Heriotza, Hpasten,Hugone, Humberto, Icvav, Ingenioso Hidalgo, Interscope, Interwiki, JMCC1, Jarisleif, Javierito92, Jjafjjaf, Jo-Con-El, JorgeGG, Joseantoniopeke, Joseaperez, Kn, KnightRider, Kronin, L'abbacospagnolo, Lagarto, Leon-sotelo, Macarse, Mafores, Magister Mathematicae, Maldoror, ManelC, Manwë, Mar del Sur, Marianorbc, Mario peral manzo, Matdrodes, MatiasBellone,Miguel.izquierdo.garcia, Moriel, Mrbrocoli, Muro de Aguas, Mushii, Ncc1701zzz, NeVic, Netito777, NicolasAlejandro, Nixón, Noluz, Nueva era, Pabloallo, Paintman, Paulienator, Pedro.patino,Petronas, Pieter, PoLuX124, Pyr0, Qwertyytrewqqwerty, RGLago, Raulshc, Roberpl, Rodri cyberdog, Rrecillas, S80236g, Sabbut, Sanbec, Schummy, Siddhartazen, Sive, Slimtrax, Snakeeater,Sofista, Strato79, Super braulio, Tamorlan, Tano4595, Thebossking13, Tirithel, Tomatejc, Toshi8956, Userwiki, Vitamine, Wilfredor, Yeza, Youandme, Youssefsan, ^ DeViL ^, Ñuño Martínez,448 ediciones anónimas

Número compuesto  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41601996  Contribuyentes: Alexav8, Dianai, Diegusjaimes, Dnu72, ElVaka, Faustito, GermanX, Jgomez53, JorgeGG,Joseaperez, LMLM, Lourdes Cardenal, Magister Mathematicae, Maleiva, Matdrodes, Maugemv, Mel 23, Muro de Aguas, NeVic, Palcianeda, Rodri cyberdog, SaGuMa, Sabbut, Tirithel, 50ediciones anónimas

Número fraccionario  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42168060  Contribuyentes: Angelsaracho, Biasoli, Camilo, Cobalttempest, Diegusjaimes, Dnu72, Ezarate, Farisori,Galandil, Gernishim, Ggenellina, Gornuk, Humberto, Isha, Jijil10, Jkbw, Magister Mathematicae, MarkO x, Msdus, Muro de Aguas, PoLuX124, Poco a poco, Pyr0, Rondador, RoyFocker,Sergio670, Siabef, Super braulio, Vivi andrés23, ZAPATO123, 55 ediciones anónimas

Fracción propia  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40389569  Contribuyentes: .Sergio, Abgenis, Ale flashero, Barteik, Dferg, Diegusjaimes, Dnu72, Dreitmen, Eduardosalg,Efegé, Farisori, Gato ocioso, Ggenellina, Góngora, HiTe, JRGL, Ludoviko, Manuelt15, Matdrodes, McMalamute, Morza, Muro de Aguas, Orejivangoghero, Ortisa, Pino, Retama, Tirithel,Vitamine, Wolvjuan, 99 ediciones anónimas

Fracción impropia  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41726388  Contribuyentes: Airunp, Andreasmperu, Arrua, BL, Baiji, Banfield, CF, Chuffo, Diegusjaimes, Dnu72,Dreitmen, Ggenellina, Greek, Gusgus, Hprmedina, Humberto, Muro de Aguas, Nicop, Orejivangoghero, Ortisa, SITOMON, Snakeyes, 45 ediciones anónimas

Número entero  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=43042099  Contribuyentes: 217-125-66-179.uc.nombres.ttd.es, Abgenis, Adriansm, Airunp, Airwolf, Alephcero,Andreasmperu, Angel GN, Ascánder, AstroNomo, Bachi 2805, Baiji, Beto29, BuenaGente, Camilo, Camiz10, Charly Toluca, Comae, David0811, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Doctor C, Dodo,Dreitmen, Eduardosalg, Eli22, Eligna, Eloy, Especiales, Esteban474, FAR, Faco, Farisori, Foundling, Fran89, FrancoGG, Furti, GermanX, Ggenellina, Gilaaa, Greek, Gustronico, Hawking,Hprmedina, Humbefa, Humberto, Ingenioso Hidalgo, JMCC1, Jarev, Jarisleif, Javierito92, Jjafjjaf, Jkbw, Jonathan11117, Joseaperez, Juan Marquez, Juancri, KanTagoff, Karlozshida, Karshan,Kelvin539, Kn, Kved, Laura Fiorucci, M S, Macar, Magister Mathematicae, Maleiva, Manwë, Matdrodes, Maveric149, Mel 23, MiguelAngel fotografo, MiguelAngelCaballero, Moriel, Msdus,Muro de Aguas, Mushii, Netito777, Nicop, Nixón, Otnirebal, Pabcar, Pan con queso, Pieter, Pimer, PoLuX124, Poco a poco, Raulshc, Raystorm, Rob Hooft, RoyFocker, Rubenerm, Sabbut,Sofiaa B, Super braulio, Tharasia, Tirithel, Tortillovsky, Txo, Valentin vendetta, Vitamine, Vivero, Wewe, Xqno, Xsm34, Yearofthedragon, Youssefsan, Zanaqo, conversion script, 540 edicionesanónimas

Número natural  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42731105  Contribuyentes: -jem-, 217-127-165-236.uc.nombres.ttd.es, 2fast4all, Airunp, Akhram, Akma72, Alephcero,Alexander-Venezuela, Alvaro qc, Amadís, Andreasmperu, Angelsaracho, Antur, Antón Francho, Arrt-932, Arturo Reina, Ascánder, AstroNomo, Ayleen, BL, Banfield, Barteik, Beto29, BetoCG,BlackBeast, Blitox, Carloszelayeta, Cgb, Chanchicto, Charly Toluca, Cinabrium, Cobalttempest, Criscam.11, Ctrl Z, Damián del Valle, Dangelin5, Daniel JG, Dark, David0811, DayL6,Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Domaniom, Dorieo, Drappy Dan, Dreitmen, Eduardosalg, Eferro, Eloy, Elsenyor, Ernesto Trento, Erudición, Faustito, Feministo, Fmariluis, Foundling, Fran89,Fsd141, GermanX, Ggenellina, Gizmo II, Gusgus, Gustronico, Góngora, HUB, House, Hugoses, Humberto, JMCC1, Jkbw, Jndvdrm, Jorge c2010, JorgeGG, Joseaperez, Jtico, Juan Marquez, Kn,Komputisto, Laura Fiorucci, Lourdes Cardenal, Luienrike, Lulu123, Macheledesma, Magister Mathematicae, Manwë, Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, Mel 23, MiguelMTN, Montgomery,Moriel, Mortadelo, Mortadelo2005, Msdus, Muro de Aguas, Nachosan, Netito777, NicolasGiorgetti, Nihilo, Ornitododo, Oscarthebig, Pan con queso, Platonides, PoLuX124, Poco a poco,Queninosta, Raulshc, RoyFocker, Rumpelstiltskin, Sabbut, Saloca, Sigmanexus6, Super braulio, Superzerocool, Taichi, Toad32767, Tonatihu, Tuncket, Valentin vendetta, Vatelys, Vitamine,Vivero, Vubo, WILLIAM ARANGO RESTREPO, Wesisnay, Wikipedico wikipedico, Xatufan, Yeza, Zorosandro, conversion script, dup-200-65-89-249.prodigy.net.mx, 504 ediciones anónimas

Cero  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42444369  Contribuyentes: AQUIMISMO, Adept, Agustin 337, Airunp, Alhen, Alvaro qc, Angel GN, Angelsaracho, AstroNomo,Ayleen, Azranath, Barrie, Brindys, Canislupusarctos, Carlos Alberto Carcagno, Carlos Ayabaca, Cw88, Danny10orama, Dante93, David0811, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Dorieo, Drini2,Egaida, Electronvolt, Envite, Er Komandante, Erfil, Escudero89, Estudiopuntog, Farisori, Franciscouzo, FrancoGG, Gaijin, Galaxy4, Galois76, GermanX, Ggenellina, Greek, Heliocrono, HiTe,Huhsunqu, Iaestevan, Ivanovick solano, JMCC1, JViejo, Jag2k4, JavierH2SO4, Javierito92, Jdvillalobos, Jjruiz, Jorge c2010, Josell2, Josep Maria 13., Josep Maria 15., Juan Marquez,JuanPaBJ16, Keka, Kokoo, Konigmike, LadyInGrey, Lagarto, Livajo, Llull, Lopezpablo 87, Mahey94, Mariobarbosa777, Matdrodes, MdR, Minterior, Moriel, Muro de Aguas, Napoleón333,Netito777, Nicoguaro, Oblongo, OrionNebula, Oscar Amor, P.o.l.o., Palcianeda, Pieter, Piolinfax, Planeador negro, PoLuX124, Queninosta, Quothalas, Raystorm, Resped, Ricard DelgadoGonzalo, Rjelves, Rmhermen, Roblespepe, Sabbut, Sannita, Sermarcre, Sertrevel, Sonnia, Tano4595, Tirithel, Tomatejc, Uhanu, Valadrem, Varusso, Veon, Veronascor, Vitamine, Xillegas, Zirou,ºRYueli'o, 230 ediciones anónimas

Número negativo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=43046208  Contribuyentes: Angel GN, Angelsaracho, Antón Francho, Barteik, Camilo, Chanchicto, Chfiguer, Davius,Diegusjaimes, Esintuitivo, Farisori, Ggenellina, Humberto, Joseaperez, Kokoo, Matdrodes, Msdus, Muro de Aguas, Pedro Nonualco, PoLuX124, Rafa sanz, SMP, Sabbut,Spirit-Black-Wikipedista, Tirithel, Wikisilki, 70 ediciones anónimas

Número irracional  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41922170  Contribuyentes: .Sergio, 3coma14, Adriansm, Angel.F, Aparejador, Axxgreazz, Banfield, BlackBeast, Ca in,Carabás, Charly genio, Cobalttempest, Diegusjaimes, Dnu72, Especiales, Gato ocioso, GermanX, Ggenellina, Gonis, Greek, HanniballL, HiTe, Hispa, Humberto, Ialad, Iulius1973, JMCC1, Jarke,Joseaperez, Julian Mendez, Kn, Lucien leGrey, Magister Mathematicae, Matdrodes, Mencey, Mocte13, Moriel, Mortadelo2005, Msdus, Muro de Aguas, Netito777, Nicoguaro, Otnirebal, PACO,PoLuX124, Poco a poco, Radical88, Ramjar, RamonExio, Raystorm, Rosarinagazo, Sabbut, Sanbec, Savh, Snakefang, Tano4595, Tirithel, Tomatejc, Tortillovsky, Varano, Vivero, Wewe, Willvm, Xenoforme, YoaR, Youssefsan, conversion script, 205 ediciones anónimas

Número algebraico  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41227474  Contribuyentes: Davius, Diegusjaimes, Digigalos, Dnu72, GermanX, Ggenellina, Humberto, Joseaperez, Jtico,Komputisto, Moriel, Muro de Aguas, Psobrino, Raulshc, Rosarinagazo, Sabbut, Scott MacLean, VictorMiguelGS, Wewe, YoaR, Yrithinnd, 39 ediciones anónimas

Número trascendente  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41023608  Contribuyentes: Canela2, Cdlfd, Comu nacho, Digigalos, Dnu72, Faustito, GermanX, Ggenellina, Govalant,Idleloop, Joseaperez, LittleAngryAlien, Miyeve 18, Moriel, Muro de Aguas, Nicoguaro, Quintanar, Qwertyytrewqqwerty, Ronald2308, Rosarinagazo, SMP, Sabbut, Serrano23, Vivero, Wewe,Wiles, 30 ediciones anónimas

Número racional  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42594818  Contribuyentes: 142857, 212.95.194.xxx, 333, Adriancho1995, Airunp, Aleator, Alvaro qc, Amadís, AndreEngels, Angel GN, Ariss, AstroNomo, Baiji, Banfield, BlackBeast, Boatbadly, C'est moi, Camilo, Carmin, Charly Toluca, Charly genio, Cinabrium, Cucharro, DIRQUENSHNOF, Darc-lord,Dark, David0811, Dermot, Diegusjaimes, Dnu72, Doctor C, Dorieo, Dove, Dovidena, Eduardosalg, Eligna, Er Komandante, Farisori, Fernando Estel, Foundling, GermanX, Ggenellina, Götz,HUB, Humbefa, Interwiki, Isha, Iulius1973, JAQG, JMCC1, Javierito92, Joseaperez, Jtico, Julian Mendez, Kn, Kved, Llull, Lopezpablo 87, Luis1970, M S, Magister Mathematicae, Maldoror,Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, McMalamute, MiguelMTN, Moriel, Mpeinadopa, Msdus, Muro de Aguas, Netito777, Nixón, Ortisa, Oscar ., Oyauguru, PoLuX124, Poxqo, Queninosta,Roberto Fiadone, RoyFocker, Sabbut, Sigmanexus6, Simonolea, Smoken Flames, Tano4595, Thorongil, ThunderFOX, Tirithel, Varano, Vitamine, Vivero, Xinese-v, Yeza, Youssefsan,conversion script, maipo.as.arizona.edu, 396 ediciones anónimas

Número imaginario  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42911778  Contribuyentes: .Sergio, Airunp, Allforrous, Biasoli, Bjankuloski06es, BlackBeast, Davius, Diegusjaimes,Dnu72, Electronvolt, Emmanuele, GTubio, Gengiskanhg, GermanX, Guervos, Guevonaso, Gusgus, Götz, Interwiki, J.delanoy, Mafores, Marsal20, Moriel, Msdus, Muro de Aguas, Nicanor G,Nicoguaro, PACO, Pati, Poco a poco, R2D2!, Randyc, Ricardogpn, Rosarinagazo, SMP, Super braulio, TML, Tano4595, Tortillovsky, Wikiwert, XalD, Youssefsan, 58 ediciones anónimas

Fuentes y contribuyentes del artículo 87

Número real  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42622705  Contribuyentes: 3coma14, Akael, Alvaro qc, Andre Engels, Andreasmperu, Antur, Aparejador, AstroNomo, Balderai,Banfield, Bucephala, BuenaGente, C'est moi, CASF, Camiloalcubo2, Carloszelayeta, Charly Toluca, Charly genio, Chfiguer, Daniel JG, Dark Bane, Dat, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Dreitmen,Drini2, Eduardosalg, Elliniká, Erfil, Foundling, Gemini1980, GermanX, Ggenellina, Gonis, Greek, Guanxito, Hawking, Henry1103-2009, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Isha, JMCC1,Javierito92, Joseaperez, Juan Marquez, Kadellar, Kikegall, Klemen Kocjancic, Kn, KnightRider, Kved, Lauranrg, Lenincomp, Linkedark, MI GENERAL ZAPATA, Magister Mathematicae,Maldoror, Maleiva, Manwë, Martorell, Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, Miguel, Miss Manzana, Moriel, Msdus, Muro de Aguas, Mutari, Nachosan, Nicop, OMenda, Oscar ., Paintman,Parras, Peejayem, Petruss, PoLuX124, Poco a poco, Point-set topologist, Raulshc, Ravave, Rovnet, Rupert de hentzau, Sabbut, Santiperez, Sigmanexus6, Snakeyes, Soulreaper, Super braulio,Susleriel, Thctase, Tirithel, Txo, Vitamine, Vivero, Walter closser, Wewe, Yeah2323, Youssefsan, conversion script, 261 ediciones anónimas

Número complejo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=42807114  Contribuyentes: .Sergio, 213-96-167-20.uc.nombres.ttd.es, 3coma14, Aeoris, Agualin, Aibdescalzo, Airunp,Airwolf, Alexquendi, Antur, Arturo Reina, Ascánder, Atlante, Avm, Bachi 2805, Bernard77, CSTAR, Camilo, Carledu8, Carloszelayeta, Charly Toluca, Charly genio, Ciclopediatro, Cinabrium,CorzoC., Dat, Davius, Diegusjaimes, Digigalos, Dnu72, Doctor C, Dodo, Don Depresor, Dorieo, Drake 81, Farisori, Filipo, Flakinho, Fmariluis, Foundling, Frutoseco, Garber, GermanX,Geronime, Ggenellina, Gizmo II, Gonis, Greek, Gsrdzl, Gusgus, Götz, Hingelstein, Homo logos, Humbefa, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Isha, Ivivaj, JMCC1, Joker Miguel, JorgeGG, Jose32,Joseaperez, Jtico, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Julie, Kn, Kristobal, Kved, LCB, LPFR, Lalela, Laura Fiorucci, LimoWreck, MI GENERAL ZAPATA, Macarrones, Mafores, Manwë,Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, Micael 3a, Mister, Moriel, Mpeinadopa, Msdus, Muro de Aguas, Mushii, Netito777, OboeCrack, Oscar ., Pabloallo, Pacomegia, Pan con queso, Peejayem,Pertile, PoLuX124, Psambrana, Quark&Jaguar, Raulshc, Reignerok, Retama, Rodrigma, RoyFocker, Sabbut, Santiperez, Sobolev, Soteke, Super braulio, Tano4595, Toad32767, Togo,Vbenedetti, Vitamine, Vivero, Wikiwert, Xasel, Xenoforme, Zorosandro, conversion script, 366 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 88

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesImagen:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: User:3247, User:GruntArchivo:Wiktionary-logo-es.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wiktionary-logo-es.png  Licencia: logo  Contribuyentes: es:Usuario:PybaloArchivo:Ishango bone.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ishango_bone.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution 2.5  Contribuyentes: Albert1ls, BL2593,Ben2, JoJan, NarayanArchivo:Pierre de Fermat.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pierre_de_Fermat.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: -Archivo:Prime rectangles.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Prime_rectangles.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Fredrik JohanssonArchivo:PrimeNumberTheorem.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeNumberTheorem.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:FredStoberArchivo:PrimeNumbersSmall.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeNumbersSmall.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Original uploader wasJabberWok at en.wikipediaArchivo:Primenumbers2310inv.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Primenumbers2310inv.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Original uploader was Flimsy.twiddle at en.wikipediaArchivo:Animation Sieve of Eratosth-2.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Animation_Sieve_of_Eratosth-2.gif  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: 6Sixx, Brian0918, 3 ediciones anónimasArchivo:Pentagon construct.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pentagon_construct.gif  Licencia: desconocido  Contribuyentes: TokyoJunkie at the EnglishWikipediaArchivo:Gaussian primes.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Gaussian_primes.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:HackArchivo:TrefoilKnot-01.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:TrefoilKnot-01.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: AnyFile, Maksim, Marnanel,Schneelocke, 2 ediciones anónimasArchivo:PrimeKnot-4-1.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeKnot-4-1.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: AnonMoos, Guybrush Threepwood,Maksim, 1 ediciones anónimasArchivo:Knot-cinquefoil-sm.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Knot-cinquefoil-sm.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: AnonMoos,AnyFile, Maksim, Svgalbertian, 2 ediciones anónimasArchivo:PrimeKnot-5-2.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeKnot-5-2.png  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Guybrush Threepwood, Maksim, 1ediciones anónimasImagen:Nuvola apps edu mathematics-p.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg  Licencia: GNU Lesser General Public License Contribuyentes: user:FlamuraiArchivo:Three apples.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Three_apples.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:Oleg AlexandrovArchivo:Mayan00.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Mayan00.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: sarangArchivo:Cero maya.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cero_maya.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:Alvaro qcArchivo:20050501 1315 2558-Bimetall-Zeigerthermometer.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:20050501_1315_2558-Bimetall-Zeigerthermometer.jpg  Licencia:GNU Free Documentation License  Contribuyentes: User:1-1111Archivo:Integers-line.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Integers-line.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes:User:ChanchictoArchivo:AdditionRules-2.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:AdditionRules-2.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: User:Chanchicto,User:Ezra KatzArchivo:Fracciones.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Fracciones.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:GermanArchivo:Kbruch.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Kbruch.png  Licencia: GNU General Public License  Contribuyentes: DBGthekafuArchivo:Complex conjugate picture.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Complex_conjugate_picture.svg  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: User:Oleg AlexandrovArchivo:Números reales.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Números_reales.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Drini (PedroSánchez)Archivo:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: User:3247, User:GruntArchivo:Complejog1.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Complejog1.png  Licencia: desconocido  Contribuyentes: Original uploader was Toad32767 at es.wikipedia

Licencia 89

LicenciaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unportedhttp:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/