matemática ppt - números complexos

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Nmeros ComplexosQuantas vezes, ao calcularmos o valor de (b2 4ac) na resoluo da equao do 2 grau, nos deparamos com um valor negativo ( < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossvel a raiz no universo considerado (R). A partir da, vrios matemticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretao geomtrica num outro conjunto de nmeros, chamado de nmeros complexos, que representamos por C. Esquematicamen te, temos:R C

professor Dejahyr Lopes Junior

Nmeros

Complexos Chama-se conjunto dos nmeros complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja: z = (x,y) onde x pertence a R e y pertence a R. z=

x + y.i (forma algbrica) , em que i = -1 e z = (x,y) Afixoprofessor Dejahyr Lopes Junior

Exemplos:

y 3 A

A (5,3) = 5+3i (2,1) = 2+i (-1,3) = -1+3i ...

5

x

Dessa forma, todo o nmeros complexo z = (x,y) pode ser escrito na forma z = x + y.i, conhecido como forma algbrica, onde temos: x = Re(z), parte real de z y.i = Im(z), parte imaginria de zprofessor Dejahyr Lopes Junior

Igualdade

entre nmeros complexos Dois nmeros complexos so iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginria. Assim, se z1 = a+bi e z2 = c+di, temos que:

z1

= z2 a = c e b = dprofessor Dejahyr Lopes Junior

Adio

de nmeros complexos

Para somarmos dois nmeros complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginrias desses nmeros. Assim, se z1 = a+bi e z2 = c+di, temos que: z1

+ z2 = (a+c) + (b+d)iprofessor Dejahyr Lopes Junior

Subtrao

de nmeros complexos

Para subtrairmos dois nmeros complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginrias desses nmeros. Assim, se z1 = a+bi e z2 = c+di, temos que: z1

z2 = (a-c) + (b-d)iprofessor Dejahyr Lopes Junior

Multiplicao de nmeros complexos Para

multiplicarmos dois nmeros complexos basta efetuarmos a distributiva dos dois binmios, observando os valores das potncia de i. Assim, se z1 = a+bi e z2= c+di, temos que: .z2 = a.c + adi + bci + bdi2 z1 .z2 = a.c + bdi2 = adi + bci z1 .z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i Observar que : i2= -1professor Dejahyr Lopes Junior

z1

z1= 2 w1 = i.z1 = 2i z2 = 5 w2 = i.z2 = 5i z3 = 6 + 2i w3 = 2i.z3 = 12i + 4i2 = - 4 + 12i4 12

5 3 2 4

b.h 3.4 A= = =6 2 2

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Conjugado

complexo Dado z = a + bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z ) z = a - bi Exemplo: z= 3 - 5i z = 3 + 5i z = 7i z = - 7i z=3 z=3

de um nmero

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Diviso

de nmeros complexos Para dividirmos dois nmeros complexos basta multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que: z1 / z2 = [z1 .z2 ] / [z2 .z2 ] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]professor Dejahyr Lopes Junior

04.

7 + 4i 1 2i 7 14i + 4i + 8 z= . = 1 + 2i 1 2i 1+ 415 10i z= = 3 2i 5Gabarito: B

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05. FUVEST

2+i 2 + i 2i 2 4i + i 2i = . = = 2 2 + 2i + 2i 2i 4i2

( 2 + 2) + ( 4)i 2 + 2 4 = 2 + 2 i 2 +4 +4 +4

Se a parte imaginria zero, ento - 4=0 =4professor Dejahyr Lopes Junior

Potncias

de i

Se, por definio, temos que i = -1, ento: i0 = 1 i1 = i Soma = 0 i2 = -1 i3 = i2 .i = -1.i = -i i4 = i2 .i2 = -1.-1=1 i5 = i4 .1= 1.i = i i6 = i5 .i = i.i = i2 = -1 i7 = i6 .i = (-1).i = -i ......

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Observamos

que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, de modo que os valores se repetem de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r o resto da diviso de n por 4. Exemplo: i63 63 / 4 d resto 3, logo i63 = i3= -iprofessor Dejahyr Lopes Junior

02. Obtenha

a) i2007 + i2009 + i1006 + i1008 = i3 + i1+ i2 + i0 = -i+i1+1 =0 b)i n = i 5 + i 6 + i 7 + ...i 18 = i 5 + i 6 = i + ( 1) = 1 + i n =5 18

12 parcelas tm soma zero

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Mdulo

de um nmero complexo Dado z = a+bi, chama-se mdulo de z | z | = (a2 + b2 ), conhecido como Interpretao geomtrica Como dissemos anteriormente, a interpretao geomtrica dos nmeros complexos que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneiraprofessor Dejahyr Lopes Junior

Forma Geomtrica

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Da interpretao geomtrica, temos que:

z = .(cos + i. sen )

que conhecida como forma polar ou trigonomtrica de um nmero complexo.professor Dejahyr Lopes Junior

Possibilidades de se trabalhar com nmeros complexos:Forma algbrica

Afixo

Forma geomtrica

Forma trigonomtric a

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Operaes na forma trigonomtricaa) Multiplicao

b) Diviso

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Potenciao

Radiciao

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Exerccios Resolvidos

1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0 Temos que: z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0 logo, preciso que: 2x+1 - y =0 e y+2 = 0 Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

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2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginrio puro Efetuando a multiplicao, temos que: z = x + (x+2)i + 2i2 z= (x-2) + (x+2)i Para z ser imaginrio puro necessrio que (x-2)=0, logo x=2

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3 - Qual o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)? Efetuando a diviso, temos que: z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58 O conjugado de Z seria, ento z- = 11/58 - 13i/58

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4 - Os mdulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i so iguais, qual o valor de x? Ento, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2 Em decorrncia, x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36 20 = -4x + 40 4x = 20, logo x=5

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5 - Escreva na forma trigonomtrica o complexo z = (1+i) / i Efetuando-se a diviso, temos: z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i Para a forma trigonomtrica, temos que: r = (1 + 1)1/2 = 21/2 sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2 cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2 Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315 Lembrando que a forma trigonomtrica dada por: z = r(cos t + i sen t), temos que: z = 21/2 ( cos 315 + i sen 315 )

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