matematicas ciclo 3

OBRA SOCIAL “EL CARMEN”NIT. 814000317-2

Liceo José Félix Jiménez

Módulo de Trabajo Matemáticas – Ciclo III

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OBRA SOCIAL EL CARMEN“Evangelización y promoción humana”


Programa de educación semipresencial para jóvenes y adultos

PROMOCIÓN HUMANA TEXTO PARA FINES PEDAGOGICOS

Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano

http://www.proverbia.net/citasautor.asp?autor=391




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NÚMEROS ENTEROSCon los números naturales podemos contar todo cuanto nos rodea: un desfile de 32 carrozas o una familia de 11 integrantes, pero no manejamos el número 0, ni podemos representar situaciones como estas:

Estamos a 5 grados bajo cero: - 5 ºC. El garaje está en el segundo sótano del edificio: - 2. La mina está a 80 metros de profundidad: - 80 m.

En estos casos estamos usando números enteros negativos, números que están precedidos del signo menos (-).

CONOCIENDO LA HISTORIALos números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.

Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en Oriente, a Occidente llega hasta el siglo XVI. En Oriente se manipulaban números positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores.

Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. Corresponde a los Indios la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente. Además, el cero (0) también es atribuido a esta cultura, hacia el año 650 d. c.

Tener en cuenta que los griegos utilizaban magnitudes negativas en sus teoremas del álgebra geométrica, pero este siempre referido a las propiedades de la operación de restar, tales como, por ejemplo, (a–b) . (c–d)= ac + bd – ad – bc; dejándolos como restas indicadas. Sin embargo fueron los indios los encargados en mostrar reglas numéricas para ello, esto en positivos y negativos. Es así que Brahmagupta, matemático indio, contribuye al álgebra con presentación de soluciones negativas para ecuaciones cuadráticas. La primera vez que aparece sistematizado los números negativos y el cero es en la obra de Brahmagupta.

Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente. Jhon Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinitoum (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”.

Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de “demostrar” que (-1).(-1) = +1; argumentaba que el producto tiene


Reflexión “Muchos fracasos de la vida son de hombres que no supieron darse cuenta de lo

cerca que estaban del éxito cuando se rindieron”. Thomas Alva Edison

Pregunta problematizadora¿Cómo representamos matemáticamente las deudas?

Hipótesis Personal____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




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que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendrá que ser: (-1).(-1) = +1.

El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos. Los números naturales junto con los negativos formarán luego el conjunto de los números enteros. Observemos el siguiente gráfico:

Donde: Los enteros positivos (hacia la derecha), se denota con +

Los enteros negativos (hacia la izquierda), se denota con - El cero no tiene signo, eso quiero decir que es neutro.

La distancia del cero a un número entero positivo +a, será la misma que la de un negativo –a; ambos entonces de igual magnitud. Así esto es denominado como valor absoluto. El cero es aquel número entero que no posee ningún signo respectivo, vale decir no es positivo ni negativo; más aún es el nexo entre estos dos.

Entonces los números enteros se representan por Z y está formado por los números naturales y sus “opuestos” (los números negativos). Esto es:

Tomado de: Carlos Torres Ninaguanca.

Como ya sabemos los números enteros se clasifican de la siguiente manera:

Número entero positivo: Es todo aquel número mayor que 0. Se utiliza para representar valores de números mayores que 0.

Ejemplo: 3, +6, 8,...

Número entero negativo: Es todo aquel número menor que 0. Se utiliza para representar valores de números menores que 0. Se recomienda colocar los numeros negativos entre paréntesis. Ej.: (-1), (-9), (-

5),...

Actividad: Interpreta las siguientes situaciones, escribiendo en cada caso, el número entero:

Valor Absoluto


Situación Número entero

Avancé 4 metros.El ascensor está en el 3° piso.Debo $2.000El submarino está a 40 metros de profundidad.La temperatura en la Antártica es de 3 grados bajo cero.El ascensor está en el primer subterráneo.Ahorré $10.000Giré de mi libreta de ahorros $8.000Retrocedí 2 pasos.




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En los números enteros, es el número de unidades que dista del cero sin tener en cuenta el signo. Se simboliza con |a| y dentro de él escribo el número entero que quiero encontrar su valor absoluto.Ejemplos:

|-5| se lee el valor absoluto de -5, es igual a 5|0| se lee el valor absoluto de 0, es igual a 0|-1000| se lee el valor absoluto de -1000, es igual a 1000

PARA TENER EN CUENTA: Consultar sobre el valor relativo de un número. Determinar el valor absoluto y relativo de las siguientes cantidades:

| - 45 | = | 16 | = | 0 | = | + 33 | = | - 2 | = | + 42 | = | - 37 | =

El conjunto de los números enteros posee las siguientes características: No tiene primer elemento. Es infinito, o sea, no tiene último elemento. Entre dos números consecutivos, no existe otro. El conjunto es DISCRETO. Está ordenado por la relación “menor” o “menor o igual”. Se aplica la propiedad de tricotomía. (Entre dos números, se puede comparar

con una sola de las siguientes relaciones: “mayor”, “menor” o “igual”).

Representación de los Números Enteros sobre una recta

Los números enteros son:

Los enteros positivos (o números naturales): +1, +2, +3, +4, +5... El 0, que no es ni positivo ni negativo. Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5...

Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

El cero en mitad de la recta, los enteros negativos a la izquierda del cero y los enteros positivos a su derecha.

Generalmente, no se escribe el signo (+) que precede a los enteros positivos. Cualquier número que no esté antecedido por un signo negativo (-) debe comprenderse como positivo.

Ejemplo:

65 es un número entero positivo o natural y si escribo +65 también diré que es un número entero positivo o número natural.

Practica : Dibuje una recta numérica y ubique en ella, los siguientes números entero. Encierra con un círculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los negativos:

–4 7 +2 0 –5





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Orden de los Números EnterosEn los números naturales (N), los números están escritos de manera ascendente de menor a mayor, y decimos que 25 es mayor que 15 o que 8 es menor que 12, de forma simbólica: 25>15 o que 8<12

Entonces, de igual manera, los números enteros, que estamos estudiando, poseen un orden estipulado para determinar este tipo de relaciones. Por tanto, es indispensable conocer como estos números se ubican en la recta numérica y la interpretación respectiva.

Utilizando la recta numérica, se dice que un número entero es mayor que otro (lo que se indica con el símbolo >) si está situado más a la derecha sobre la recta numérica.

Por ejemplo, 5 > 3; 5 > -1; -1 > -3:

De la misma forma, un número entero es menor que otro (símbolo <) si está situado a la izquierda sobre la recta numérica.

Por ejemplo, 2 < 4; -7 < -1; -3 < 0:

Observa como se está ordenando los números enteros: - 3, 4, -5, 0, 5, -1, 3 y 1. Primero los representamos sobre la recta numérica:

Si los escribimos de menor a mayor, resulta:– 5 < -3 < -1 < 0 < 1 < 3

Utilizando la recta numérica, decimos que un entero es menor que otro, si el punto que representa el primero está situado a la izquierda del punto que representa al segundo.

Observaciones:

1. Todo número a la derecha de cero es mayor que él Ejemplos:

a) 9 es mayor que cerob) 1234 es mayor que cero

2. Todo número a la izquierda de cero es menor Ejemplos:

a) -3 es menor que cerob) -456 es menor que cero

3. Todo número positivo es mayor que todo número negativoEjemplos:

a) 23 es mayor que -23b) 2 es mayor que -1

Actividades de Aplicación1. Complete con los símbolos > ó <1) -3 _____ 4 2) -8_____ -16 3) 0 _____ -7 4) 11 _____ 15

5) –11 ____ -6 6) –17 ____ 1 7) –18 _____ 0 8) 5 ______ 21





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9) –4 _____ -9 10) –25 ___ -32 11) –16 ____ -20 12) 14 _____ -4

13) –21____ -5 14) –1 ____ 7 15) –13 ____ -6 16) –8 _____ 5

17) –14 ____ -3 18) 7 _____ -7 19) 2 ______ -12 20) 4 _____ -11

2. Ordene de mayor a menor los elementos de los siguientes conjuntos:1. { -3, -8, -2, -6, -1 }2. { 2, 7, 4, 9, 8 }3. { -6, 0, -4, 2, -5, -8 }4. { 3, -7, 0, 4, -6, -1, 2 }5. { 0, -8, -4, 6, -7, 3 }6. { -7, 5, -8, 2, 0, -3 }7. { 4, -6, -1, 5, 1,0,-9 }8. { -3, 4, 7, 1, -9, -5, 0 }9. { -4, -1, -9, -3, -8, 0, 2 }10. { 6, -3, 7, -2, -9, 4, -5, -1 }3. Con la interpretación en la recta numérica de los números enteros, expresar las siguientes afirmaciones:a. 80 metros de alturab. Una deuda de 250000 pesos colombianosc. Una ganancia de 1000000 pesos colombianosd. 10 segundos antes del lanzamiento de un proyectile. Un submarino se encuentra en el mar a una profundidad de 50 metrosf. Pedro gana 60 puntos en un juego de cartasg. Martha se encuentra a 25 kilómetros al oeste de la ciudadh. 3 grados bajo ceroi. 25 metros de profundidadj. 12 metros a la derecha

Operaciones Básicas con Números Enteros

Adición con números enteros

1. Adición de 2 o más números enteros positivos: Se suman sus valores absolutos y se deja el resultado con el signo de los sumandos. Entendiéndolo de otra forma, en este caso se opera normalmente como una suma en los numeros naturales.

Ejemplos:

38 + 16 = ? Sabemos que |38|= 38 y que |16|= 16, y que el signo de los sumandos es positivo (+). Luego, 38 + 16 = 54

10 + 24 + 10 = ? Sabemos que |10|= 10, |24|= 24 y que |105|= 105 y que el signo de los sumandos es positivo (+). Luego, 10 + 24 + 105 = 139

2. Adición de 2 o más números enteros negativos: Se suman sus valores absolutos y se deja el resultado con el signo de los sumandos. En este caso se suman las cantidades pero se conserva el signo negativo.

Ejemplos:

(-18) + (-15)= ? Sabemos que |-18|= 18 y que |-15|= 15, y que el signo de los sumandos es negativo (-). Luego, (-18) + (-15) = -33

(-5) + (-20) + (-17) = ? Sabemos que |-5|= 5, |-20|=20 y que |-17|=17, y que el signo de los sumandos es negativo (-). Luego, (-5) + (-20) + (-17) = - 42

3. Adición de 2 o más números enteros de distinto signo: Se restan sus valores absolutos, (al mayor se le resta el menor), y se deja el resultado con el signo que posee el número mayor. Siempre que nos encontremos con un positivo y otro negativo se resta y se conserva el signo del mayor.





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Ejemplos:

(-17)+8 = ? Sabemos que |-17| = 17 y que |8| = 8, y como 17 – 8 = 9 y el signo del número mayor es negativo. Entonces, (-17) + 8 = - 9

(-10) + (- 5) + (9) = ? Sabemos que |-10|= 10, |-5|= 5 y que |9|= 9, y que el signo de la suma de los dos números enteros negativos es mayor que el positivo. Luego, (-10)+(-5) + 9 = - 6

Actividad: Complete la siguiente tabla de adición de números enteros:

+ -9 7 3 0 -11 -7 -19 -1 1

-4

-6

8

5

Sustracción con números enteros

Siempre que se restan números enteros hay que convertir la resta en una suma. Para ello, se cambia el signo del segundo término. Después, se resuelve la operación como una suma de números enteros.

También podemos aplicar y es de mucha utilidad el inverso aditivo de un número, de tal manera que sumamos el primer término con el inverso aditivo del segundo término. Decimos que el opuesto o inverso aditivo de 10 es -10 y que el opuesto o inverso aditivo de -12 es 12, etc.

Ejemplos: 5 - (-4)= ? Por ser 4 el opuesto de -4, nos queda 5 + 4. Luego, 5 – (-4)= 9 -5 – (-4) = ? Por ser 4 el opuesto de -4, nos queda (-5)+4. Luego, -5 + 4 = -1

Actividad: Complete la siguiente tabla de sustracción de números enteros:

- -1 -7 -2 -9 -6 8 5 10 6

5

6

-3

-2

Multiplicación con números enteros

La MULTIPLICACIÓN no difiere mucho de la multiplicación con números naturales…

1. Multiplicar los dos factores entre sí como si fueran dos números naturales cualesquiera.

2. Tener en cuenta la REGLA DE LOS SIGNOS que se presenta a continuación y según esta darle el signo correspondiente al producto.

factor

factor

producto

(+) (+) (+)(+) (-) (-)(-) (+) (-)(-) (-) (+)

En conclusión: Cuando se multiplican números del mismo signo, (sean positivos o negativos), el

resultado será un número positivo.





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Cuando se multiplican números de distinto signo, el resultado será un número negativo.

Ejemplo 1:

Multiplicar 7 x (-8)1. Hago la multiplicación 7 x 8, que es igual a 562. Miro la tabla y veo que (+) x (-) = (-), ahora sé que el producto irá con signo

negativo. Luego, 7 x (-8) = -56

Ejemplo 2:

(2) x (3) x (5) = 30

Ejemplo 3:

(-1) x (-2) x (-8) x (5) = -80

“Cuando hayan números negativos dentro de una operación, lo mejor es escribirlos entre paréntesis ()”

Actividad: Complete el siguiente cuadro de multiplicaciones de números enteros:

· -3 6 -9 -5 10 0 -1 12 -7

-10

-8

11

12

-9

-7

División con números enteros

1. Dividir el dividendo entre el divisor como si fueran dos números naturales cualesquiera.

2. Tener en cuenta la REGLA DE LOS SIGNOS que se presenta a continuación y según esta darle el signo correspondiente al cociente.

dividendo

divisor

cociente

(+) (+) (+)(+) (-) (-)(-) (+) (-)(-) (-) (+)

En conclusión: Cuando se dividen números del mismo signo, (sean positivos o negativos), el

resultado será un número positivo. Cuando se dividen números de distinto signo, el resultado será un número

negativo.

Ejemplos: (120) (3) = 40 (-150) (50) = - 3 (- 80) (- 40) = 2





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Actividad: Complete el cuadro con aquellas divisiones que tengan solución en Z.

/ 5 -12 -4 2 -15 3 -20 -10 -1

-60

-100

90

-120

-84

-36

Operaciones básicas con signos de agrupación

Para resolver este tipo de operaciones con números enteros se realizan desde las operaciones más internas hasta las que estén más externas, en otras palabras, de adentro hacia afuera. Utilizando los procedimientos que se estudiaron en las operaciones básicas.

Los signos de agrupación que se utilizan para realizar estas operaciones, son los siguientes:

Paréntesis: ( )Corchetes: [ ]Llaves: { }

Ejemplo: Resolver 3 – [3 + (2-1)] + [4 + 3- (2+1)]= 3 - [3+1] + [4 + 3-3]= 3 - 4 + 4= 3

Taller de Operaciones con los Números EnterosEfectúe las siguientes operaciones con numeros enteros, realizar los procesos en su cuaderno, y ubicar los resultados teniendo en cuenta los procedimientos que se estudiaron en las operaciones básicas:

235 + 456 + 204 – 501 – 345 + 123 – 205 = 451 – 235 – 567 + 123 – 768 + 345 = 635 – 1076 = -4321 - 2345 = 3243 + 6543 = -567 + 234 = (-432) + (-543) = -234 + 234 = [-345 - (234 - 456)] + 1034 = 0 - 678 = (-345) x (-13) = 256 x (-12) = (-12) x 0 = 23 x 45 = (-12) x 8 = (-288) ÷ 12 = 512 ÷ 16 = 1080 ÷ (-8) = 0 ÷ (-34) = (-120) ÷ 15 =

Resolución de Problemas





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Siendo la resolución de problemas el corazón de la actividad matemática, es importante llevar a la práctica lo estudiado.

Problemas para resolver1. Resolver los siguientes problemas, utilizando las operaciones básicas con

numeros enteros:a. Eduardo hace una compra por 67 euros; después recibe 72 euros; luego hace

otra compra por 16 euros y después recibe 2 euros. Expresar su estado económico.

b. Después de recibir 200 dólares realice tres gastos por 78, 81 y 93 dólares. Recibo entonces 41 y luego hago un nuevo gasto por 59. ¿Cuántos dólares tengo?

c. A las 6 a.m. el termómetro marca -3 grados Celsius. A las 10 a.m. la temperatura es 8 grados más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6 grados. Expresar la temperatura a las 9 p.m.

d. Antonio tiene en su cuenta corriente un saldo de 54.000 euros; entregó tres cheques por valor de 34.000, 13.000 y 9.000 euros, y después ingresó 21.000 euros. ¿Cuál es el saldo actual de su cuenta?

e. La temperatura medida en el aeropuerto a las siete de la mañana es de 5º sobre cero; de 7 a 9, la temperatura aumentó 3º, de 9 a 1 aumentó en 6º, de la 1 a las 3 no varío, de 3 a 6 subió 2º, de 6 a 9 descendió 4º y de 9 a 12 descendió 8º.¿Cuál es la temperatura a las 12 de la noche?

f. La temperatura de una ciudad a las 10 de la mañana es de 2º bajo cero, y a las 2 de la tarde es de 10º. ¿Cuál ha sido la variación de temperatura?

g. La temperatura de una ciudad, a las 3 de la tarde, fue de 24º. Sabiendo que la variación de temperatura hasta las 12 de la noche fue de 11º. ¿Cuál fue la temperatura a las 12 de la noche?

h. Una persona gasta en juegos de azar 200 euros la primera semana, 450 euros la segunda y 125 euros la tercera, ganando en premios 175 euros. ¿Cuál fue el balance final?

i. El dinero que llevaba en la cartera disminuyó en 750 euros. Si ahora llevo 45 euros, ¿Cuánto tenía inicialmente?

j. Un bloque de hielo se encuentra a 6º bajo cero. Si se calienta hasta conseguir una temperatura de 17º C, ¿en cuánto aumentó la temperatura?


Saber Construido________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Reflexión "Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo" Albert Einstein

Pregunta problematizadora¿Qué relación numérica encuentras entre 1/4 y 0,25?

Hipótesis Personal________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




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LOS NÚMEROS RACIONALES

CONOCIENDO LA HISTORIA

Los números racionales o fracciones aparecieron muy pronto en la historia de las matemáticas. Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un problema. Los antiguos necesitaban medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y todo otro tipo de medidas. Al enfrentarse a esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no era suficiente poder contar con los números naturales para hacerlo de manera exacta, ya que estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores que la misma pero que no eran números naturales, por lo que fue necesario ampliar el concepto de número natural. Así surgieron los números racionales.

Las fracciones aparecen ya en los primeros textos matemáticos de los que hay constancia, quizás uno de los más antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650 a.c. y que pasa por ser la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia.

En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulmanes introdujeron su sistema de numeración, conocido como indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio de los números racionales en la vieja Europa.

Sin embargo, no fue hasta el S. XIII cuando Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo el concepto de números quebrados o números “ruptus”, empleando además la raya para separar el numerador del denominador.

Tomado de: Flores. Gil (2008, p.7.). Historia y didáctica de los números racionales e irracionales.

De acuerdo con el texto anterior los números racionales surgen: Por la necesidad de medir, fraccionar y repartir; y forman parte del conjunto de

los números reales. Son aquellos que admiten fracción.

Expresan medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Los números enteros son racionales, se pueden expresar como cociente de ellos mismos.

Si en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra Q y se representa de la siguiente manera, en forma general:

Representación de los Números Racionales en la Recta NuméricaLos números racionales a diferencia de los números naturales y los números enteros, tienen la propiedad de ser un conjunto denso, es decir, que entre cada número racional existe, no solamente uno, dos ni tres números racionales, sino que existen infinitos números racionales.





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De acuerdo con la historia de las matemáticas, un aporte importante fue el hecho de encontrar una respuesta a ciertos tipos de problemas como la solución de la ecuación ax = b (donde a y b son números naturales). Este nuevo conjunto fue el que en la actualidad llamamos como el conjunto de los números racionales.

Existen diferentes maneras de representar los números racionales, una de ellas es a través de particiones o fracciones que se forman tomando como parte inicial una unidad y los trozos serían esas pequeñas partes dentro de ellas.

La representación de los números racionales en la recta numérica, sirve para interpretar de una manera gráfica, de manera organizada estos números. De acuerdo, a este hecho, se los representa así:

… -1 … 0 … 1…

Ejemplos: Representar gráficamente en la recta numérica los siguientes números racionales: 7/2, 9/4,-5/4, -7/2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Actividad : Represente en la recta numérica dada las fracciones que se indican en cada caso:

En nuestra vida cotidiana nos encontramos a menudo con cantidades enteras, por ejemplo: 1 litro de leche 3 pollos asados 2 quesos 5 horas

Pero qué hacer cuando las cantidades son fraccionadas, ¿cómo escribirlas? por ejemplo: Medio litro de leche Dos cuartos de pollo Tres octavo de queso Un cuarto de hora.

Para fortuna nuestra existen los llamados números fraccionarios que se ocupan de este tipo de situaciones:

1/2 de litro de leche 3/8 de queso

2/4 de pollo 1/4 de hora

PARA RESPONDER: ¿Qué cantidades fraccionarias maneja en su vida diaria? ¿Cómo las expresa matemáticamente?

Situaciones cotidianas de uso de números fraccionarios





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Si partimos una torta en ocho trozos iguales y comemos dos de ellos, se dice que hemos comido de la pizza “dos octavas partes”:

28

En un partido de baloncesto de la NBA, que está dividido en cuatro tiempos iguales de doce minutos, se han jugado ya tres tiempos; decimos que se llevan jugadas del partido “tres cuartas partes”:

34

En la vida diaria, se usan las fracciones con más frecuencia de lo que pensamos...

Actividad: Para cada una de las frases, escribe la fracción que las representa:

a) Tres de cada diez caramelos son de menta = __________b) En un curso de ciclo III hay 2 hombres por cada 3 mujeres = __________c) El 15 por ciento de una cantidad = __________d) En un jardín por cada 5 rosales hay 3 jazmines = __________e) En la biblioteca por cada 3 libros de lectura hay 4 de consulta = __________f) Cinco de cada diez Colombianos fuma = __________g) En Colombia por cada hombre hay 7 mujeres = __________h) La décima parte = __________

Términos de una fracción

Las fracciones constan de dos términos:

El numerador, indica las partes iguales que se toman de la unidad.El denominador, indica las partes iguales en que se divide la unidad.

Representación de fracciones

Se puede representar una fracción, mediante un círculo, un rectángulo o un cuadrado: dividimos la figura en tantas partes iguales como indique el denominador y sombreamos tantas partes como indique el numerador. Por ejemplo:

PractíqueseRepresenta mediante un dibujo cada una de las siguientes fracciones:

a) = b) = c) = d) = e)

=





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¿Cómo se leen las fracciones?

Para leer una fracción primero se nombra el numerador y después el denominador, de la siguiente forma:

1. El numerador se nombra tal cual.2. Si el denominador es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, se lee, respectivamente: medios,

tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos o décimos. Si es un número mayor que 10, se lee el número terminado en avos, por ejemplo:

11, onceavos; 12, doceavos; 90, noventavos (si el nombre del número del denominador termina en a, se elimina esta letra).

Observe algunos ejemplos:

Practique: Escriba 10 fracciones y al frente diga cómo se leen.

¿Cómo interpretamos una fracción?

Una fracción se puede interpretar de tres maneras, como parte de la unidad, como cociente o como operador:

Como parte de la unidad . Una fracción representa un valor (dado por el numerador) con respecto a un “total” (dado por el denominador) que llamamos “unidad” (no confundirlo con el número 1). Por ejemplo, si nos hemos comido 2/6 de una torta, eso supone que del total, que son las seis partes en que la hemos dividido, hemos tomado dos. Así pues, esta fracción representa “a dos de cada seis”.

Como cociente . Una fracción representa el cociente entre dos números, el numerador y el denominador. Por ejemplo, la fracción 3/8 representa el cociente de tres entre ocho, es decir, el resultado de dividir 3 entre 8, que es 0,375.

Como operador . Una fracción actúa sobre cualquier número como si fuera un operador que actúa sobre el número multiplicándolo por el numerador, y dividiéndolo por el denominador. Por ejemplo, si queremos hallar las tres quintas partes de diez bombones, haríamos:

Mire el ejemplo siguiente:





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Actividad: Calcular:

a) Los de 20 metros b) Los de un trayecto de 497 km

c) Los del saco de 5 kilos de azúcar d) Los de un kilo de harina

e) La parte de 4 metros y medio de

tela

f) Los de 80 litros

Clases de fracciones

Hay dos clases o tipos de fracciones:

Las fracciones propias: son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador (su cociente es un número menor que la unidad); por ejemplo:

, es menor que 1

, es menor que 1

Las fracciones impropias: son aquellas en las que el numerador es igual o mayor que el denominador (su cociente es un número igual o mayor que la unidad); por ejemplo:

, es mayor que la unidad. , es mayor que la unidad.

Cualquier número natural se puede escribir en forma de fracción impropia, dividiéndolo entre la unidad; por ejemplo:

21

;151

;106

1...

Actividad : Escribir 5 fracciones propias y 5 fracciones impropias.

En el caso de las fracciones impropias, se puede colocarlas como número mixto.

Número Mixto: La fracción 5/3 se puede escribir como un número mixto, o sea un número con una parte entera y otra fraccionaria.

Esto resulta de efectuar la división 5÷3 donde me da 1 en el cociente (parte entera del número mixto) y 2 de residuo (numerador de la parte fraccionaria)

Ejemplo:





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Para transformarlo a número mixto se divide 3 entre 2 que da 1 como cociente y

sobra 1, es decir: = 1 ½

Actividad : Transformar a número mixto:

a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) =

Para transformar de número mixto a fracción: Se debe multiplicar el entero por el denominador y sumarle el numerador, es decir si queremos transformar. Ejemplo:

, debemos multiplicar 5 . 3 y sumarle 4, resultando

Actividad : Transformar a una fracción los siguientes números mixtos:

a) 2 ¾b) 7 ½

c) 5 d) 7 e) 2 f) 7 g) 8 ¼h)12 ¾

Los números racionales como razones o porcentajes

Una de las utilidades que presentan los números racionales, es aquella, en la cual podemos interpretar, un número racional como una comparación entre dos cantidades enteras. Por ejemplo, la comparación de números de votantes entre candidatos de una campaña electoral; comparar el número de personas que tienen trabajo entre las que no lo tienen: entre otros, se pueden citar varias aplicaciones y traducirlas como una razón entre dos cantidades.

Ejemplos:La maestra de educación física le pide a Santiago que corra los 2/5 de la pista que mide 100 metros, mientras que a Lisa le pide que corra los 4/10 de la misma pista. ¿Cuál de los dos corrió una mayor distancia?

Solución:

Calculando los 2/5 de 100 metros tenemos: Ésta es la distancia

recorrida por Santiago.

Por otra parte: . Ésta es la distancia recorrida por Lisa.

Luego, al compararlas, podemos apreciar que Santiago y Lisa recorrieron la misma

distancia, porque representan la misma fracción de la pista.

Si hablamos con respecto a qué porcentaje de la pista han recorrido tanto Santiago como Lisa, podemos afirmar que para Santiago como también para Lisa han recorrido el 40% del total de la pista de 100 metros.

Consultar ¿Qué son fracciones equivalentes? ¿Cómo se simplifican o se amplifican fracciones? ¿Cuándo una fracción es irreducible?

Operaciones con Números Fraccionarios





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Para efectuar operaciones con fracciones, o con números enteros y fracciones, se debe tener en cuenta los denominadores y seguir las siguientes reglas:

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar dos o más fracciones, nos fijamos primero en sus denominadores: si son iguales o distintos.

Suma y resta de fracciones homogéneas (con denominador igual).En este caso, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Por ejemplo:

Actividad: Realizar las siguientes sumas y restas de fracciones homogéneas; simplificar hasta que el resultado sea una fracción irreducible

a) + + = b) + + =

c) 2 + 4 + 1 = d) ½ + 1 ½ + 4 ½ =

e) - = f) - =

g) + + = h) + + =

i) + + = j) ½ + + ½ =

Suma y resta de fracciones heterogéneas (con denominador distinto).

Para sumar y restar fracciones heterogéneas, existen diversos métodos para operar de manera numérica, para nuestro estudio tomamos en cuenta tres de ellos, y son los siguientes:

a) Productos cruzados: Se multiplican el numerador de la primer fracción con el denominador de la segunda fracción y el resultado se suma o resta según sea el caso con el resultado del producto entre denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción; el denominador de la fracción resultante es el producto entre los dos denominadores de las fracciones respectivas.

Ejemplos:

Sumar las fracciones 7/9 y 3/5

Restar las fracciones 3/4 y 2/7





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b) Complificación de fracciones: El propósito de este método es convertir las fracciones dadas en fracciones homogéneas y a partir de ahí se operan.

Ejemplo: Sumar las fracciones 2/3 y 4/9

Entonces complificamos la primera fracción:

Ahora complificamos la segunda fracción:

Finalmente operamos las fracciones resultantes así:

c) A través del mínimo común múltiplo: Este método es eficiente cuando se suman y restan de tres fracciones en adelante.

Ejemplo: Sumar

Se encuentra el m.c.m. de los denominadores, en este caso es igual a 24. El m.c.m. se convierte en el denominador de la fracción resultante.

El m.c.m. se divide entre cada uno de los denominadores de la fracción respectiva:

24 ÷ 8 = 324 ÷ 6 = 424 ÷ 3 = 8

El resultado de éstos se multiplica con cada uno de los numeradores de la fracción respectiva:

3 × 3 = 94 × 5 = 208 × 2 = 16

Finalmente se operan los valores que resultaron del proceso anterior, en este caso como se trata de una suma el resultado sería:

Actividad : 1. Realizar las siguientes operaciones de suma y resta con fracciones heterogéneas

y simplificar el resultado

a) + = b) + = c) - = d) - = e) +

=

f) - = g) - = h) - = i) 6

5 + = j) -

=

k) + - = l) + - = m) 2 + 3 = n) + + = o) +

+ =





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2. Realizar la siguiente operación y simplificar el resultado

1/2 +3/5 + 4/10 – 8/20

Multiplicación y División de fracciones

El producto de dos o más fracciones es otra fracción, que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores. Por ejemplo:

Para multiplicar un número entero por una fracción, se considera que el número entero es una fracción de denominador igual a 1. Así, por ejemplo:

Actividad: Desarrolle las siguientes multiplicaciones y simplificar el resultado:

a) - • - = b) • - = c) • = d) • - = e) • •

=

El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando en cruz los términos de las dos fracciones. Es decir, se multiplica:

1º El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda (ese será el numerador de la fracción cociente).

2º El denominador de la primera por el numerador de la segunda (ese será el denominador de la fracción cociente resultante).

Ejemplo:

Para dividir un número entero por una fracción, se considera que el número entero es una fracción de denominador igual a 1. Por ejemplo:

Pídale a su docente que le explique: Para dividir fracciones también se puede utilizar la ley de extremos y medios (conocida como ley de la oreja) o invirtiendo la segunda fracción para trabajar como una multiplicación de fracciones.

Actividad : Realizar las siguientes divisiones de fraccionarios y simplificar el resultado:





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a) : = b) - : = c) : = d) : - = e) 24

: 2 =

Los números racionales como decimales

Los números decimales son parte fundamental dentro del estudio de los números racionales, porque ésta es otra forma de representación de estos números, además son útiles y aplicables en otras ciencias como la física, la biología, etc.; y también en nuestro quehacer diario y, en otros aspectos, como por ejemplo, al definir un ganador en una competencia atlética muy reñida, lo más provechoso es observar en los cronómetros, cuál de ellos tiene menor tiempo en recorrerla, aquí cualquier décima, centésima, milésima y demás puede definir el ganador.

Cuando dividimos una unidad en 10,100, 1000, 10000, etc., en partes iguales, podemos escribir decimales para representar las partes:

Un entero Una décima parte Una centésima parte 1,00 1/10 = 0,1 1/100 = 0,01

La siguiente tabla indica cómo se colocan los decimales en el sistema de posición que utilizamos. La coma decimal separa los números enteros (unidades, decenas, centenas, etc.) de los decimales (décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, etc.)

cen

ten

as

Decen

as

un

idad

es

Com

a d

ecim

al

décim

as

cen

tésim

as

milésim

as

die

zm

ilésim

as

3 , 8 73 6 , 1 2 9

5 7 3 , 0 4 5 90 , 0 7 1

4 6 , 1 2 68 3 , 2 2 5

6 , 4 3

La lectura de cada uno de ellos y la fracción decimal que los representa:

Decimal

LecturaFracció

n





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3,87 3 y 87 centésimas

36,129 36 y 129 milésimas

573,0459

573 y 459 diezmilésimas

0,071 71 milésimas

46, 126 46 y 126 milésimas

83,225 83 y 225 milésimas

6,43 6 y 43 centésimas

Con los números enteros podemos contar cantidades exactas: 2 kilogramos de carne, 1 metro de altura, -3 °C, etc., pero no podemos contar cantidades que representen partes de la unidad, como 2,5 kilogramos de fruta, 1,52 metros de altura o 18,3 ºC.

¿Qué es un número decimal?

Los números 2,5; 1,52 o 18,3 son números decimales, los cuales constan de dos partes:

La parte entera, que es la que va delante de la coma (a su izquierda). La parte decimal, que es la que va después de la coma (a su derecha).

Las unidades decimalesLas tres primeras unidades decimales son: décima, centésima y milésima.

Para bajar un escalón, hay que multiplicar por 10. Si en lugar de uno, bajamos dos escalones, multiplicamos por 100, y si bajamos tres, multiplicamos por 1.000.

1 U = 1 × 10 d = 10 d; 1 U = 1 × 100 c = 100 c; 1 U = 1 × 1.000 m = 1.000 m

1 d = 1 × 10 c = 10 c; 1 d = 1 × 100 m = 100 m 1 c = 1 × 10 m = 10 m

Para subir un escalón, hay que dividir entre 10. Si en vez de uno, subimos dos escalones, dividiremos entre 100, y si subimos tres, entre 1.000.

1 d = 1÷10 U = 0,1 U 1 c = 1÷10 d = 0,1 d; 1 c = 1÷100 U = 0,01 U 1 m = 1÷10 c = 0,1 c; 1 m = 1÷100 d = 0,01 d; 1 m = 1÷1.000 U = 0,001 U

ActividadElaborar una tabla donde muestre la descomposición de los siguientes números decimales: 0,678; 1,23; 34,9; 7,5; 37,654; 0,58; 23,007; 201,076; 49,1; 87,456

¿Cómo se leen los Números Decimales?





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Para leer un número decimal, se dice primero su parte entera, y a continuación su parte decimal terminada en la unidad que corresponda a su última cifra decimal. También se pueden leer sin especificar las unidades como vamos a ver en los ejemplos siguientes:

EJERCÍTESEDescomponga y lea los siguientes números decimales:A) 31,566 B) 512,8 C) 18,18 D) 96,239 E) 234,056

Suma de Números Decimales

Para sumar números decimales seguimos los mismos pasos que para sumar números naturales, añadiendo las cifras decimales.

Por ejemplo, vamos a realizar las siguientes sumas: a) 36,3 + 42,5 y b) 47,6 + 58,5.

Así resulta: 36,3 + 42,5 = 78,8 47,6 + 58,5 = 106,1

Actividad : A practicar sumas con decimales:

a) 63,4 + 26,3b) 86,7 + 97,5c) 38,15 + 76,24d) 37,98 + 25,06

Resta de Números Decimales_

Para restar dos números decimales seguimos los mismos pasos que para restar dos números naturales, añadiendo las cifras decimales. Así, escribiremos el sustraendo debajo del minuendo, de manera que queden alineadas las cifras de las milésimas, las de las centésimas, las de las décimas, las de las unidades…, y efectuaremos la resta de las milésimas, centésimas, décimas, unidades…, pudiendo resultar una resta sin llevar o llevando una unidad de cualquier orden.

Ejemplo: Efectuamos la resta: 23,69 – 1,5

Como el sustraendo no tiene centésimas y el minuendo sí, para restar escribimos un cero en las centésimas del sustraendo.

Se inicia restando las cifras del primer orden que aparece en los términos de la resta, es decir las centésimas: (9 – 0 = 9)





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Ahora se resta la segunda pareja de cifras:

Se sigue con las cifras del orden inmediato anterior, y así hasta las del orden superior que aparezca (en este caso, decenas y centenas):

Al restar las unidades, hemos de escribir la coma a la derecha de la cifra que resulta de diferencia.

Al final, debemos escribir así los resultados:

23,69 – 1,5 = 22,19Actividad : ¿Cuál es la diferencia que resulta de restarle 24,897 a 34,675?

Multiplicación de Números Decimales

Para multiplicar un número decimal por un número natural, o por otro número decimal, se siguen los mismos pasos que para multiplicar dos números naturales, únicamente se debe tener en cuenta que el resultado será otro número decimal, cuya coma hemos de colocar en el lugar que le corresponda.

Para multiplicar un decimal por un natural, se elige como segundo factor el que menos cifras tiene, independientemente de que sea el decimal o el natural, y se opera como si fueran números naturales.

En el producto, se cuenta de derecha a izquierda tantas posiciones como cifras decimales tenga el número decimal, y ahí se escribe la coma.

Veamos un ejemplo; efectuamos la multiplicación 25,42 × 6:

Se cuenta el número de cifras decimales del primer factor: dos, y partiendo de la última cifra del producto hacia la izquierda, se cuenta dos cifras y se escribe delante de ellas la coma.

Para multiplicar un decimal por otro decimal, se sigue los mismos pasos que en el caso anterior. Y para situar la coma en el producto, se cuenta el número de cifras decimales de ambos factores, y se suman; a partir de la última cifra del resultado se cuenta hacia la izquierda ese número de posiciones, y se escribe delante la coma.





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Veamos un ejemplo; efectuamos la multiplicación 67,4 × 4,35:

Como el primer factor tiene 1 cifra decimal y el segundo 2, habrá que contar 1 + 2 = 3 posiciones a partir de la cifra más a la derecha del resultado.

Por tanto: 67,4 × 4,35 = 293,190

División de Números Decimales

En una división de números decimales puede suceder que solo el dividendo o el divisor sea un número decimal, o que ambos sean números decimales. Veamos algunos ejemplos.

El dividendo es un número decimal: en este caso, se efectúa la división de la parte entera del dividendo, hasta que, al bajar la primera cifra decimal, se escribe una coma en el cociente.

Por ejemplo, dividimos 12,5 entre 3:





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Al bajar la cifra de las décimas del dividendo (5), y dividir entre el divisor, se escribe la coma en el cociente.

En el caso de dividir, por ejemplo, 0,7 entre 5, como la primera cifra del dividendo que podemos dividir entre el divisor es la de las décimas (7), la primera cifra del cociente será también la de las décimas. Por eso tenemos que poner cero unidades y la coma (0,):

El divisor es un número decimal: en este caso, antes de empezar a dividir, se quita la coma del divisor y se añade en el dividendo tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Así quedan dos números naturales, que se dividen como ya conocemos.

Por ejemplo, para dividir 36 entre 1,2:

Se suprime la coma del divisor, y como éste tiene una cifra decimal, se le añade un cero al dividendo. A continuación se dividen los dos números naturales que resultan (360 entre 12). Observa que hemos puesto un cero en el cociente porque la cantidad que teníamos que dividir (0) era más pequeña que el divisor.

En el caso de que el divisor tuviera dos decimales, por ejemplo 12 entre 0,03:

Se suprime igualmente la coma del divisor y se le añade dos ceros al dividendo. A continuación dividimos los dos números naturales que resultan (1.200 entre 3)

El dividendo y el divisor son números decimales: en este caso, antes de empezar a dividir, se quita la coma del divisor y se mueve la coma del dividendo tantas posiciones hacia la derecha como cifras decimales tenga el divisor. Si el dividendo tiene menos cifras decimales que el divisor, habrá que completarlas con ceros.

Por ejemplo, dividir 0,85 entre 0,005. Se quita la coma del divisor, que tiene tres cifras decimales. Como el dividendo solo tiene dos, además de quitarle la coma, se añade un cero. Así resulta una división entre dos números naturales:

En el caso de que el dividendo tenga más cifras decimales que el divisor, por ejemplo 28,35 entre 6,3:





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Como el divisor tiene una cifra decimal, tras quitarle la coma, se mueve la coma del dividendo una posición. Como el dividendo tiene dos cifras decimales, queda solo con una. Se divide sabiendo que al bajar la cifra de las décimas hemos de colocar una coma en el cociente.

Actividades de Aplicación1. Todos los alumnos de un curso participaron en una mini-maratón.

Algunos de los tiempos obtenidos en una carrera son los siguientes:

Juan llegó en sexto lugar a la meta, Rodolfo, en octavo lugar, Javier, en el lugar decimoséptimo y Guillermo, en cuarto lugar.

Responda las siguientes preguntas:

1) ¿Cuál es la marca de Rodrigo si demoró 3 centésimas de segundo más que Enrique?2) ¿Cuál es la marca de Lucas si demoró 3 décimas de segundo más que José?3) ¿Cuál es la marca de Ignacio si demoró 2 décimas menos que Javier?4) ¿Quién llego primero a la meta, José o Hernán?5) ¿Quién llego primero a la meta, Javier o Esteban?6) ¿Quién llego primero a la meta, Lucas o Hernán?7) ¿En qué lugar llegó Nicolás?8) Ordene de mayor a menor los tiempos alcanzados por las personas nombradas.

2. Una cooperativa de lácteos piensa lanzar al mercado leche envasada en botellas de ¼ litro, ½ litro, 1 litro, 1 ½ litros y 2 litros.

El precio de venta de la bebida, según los envases es de:





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Para realizar la venta, la cooperativa exige al comprador que su pedido sea mínimo de 1500 litros de bebidas, y éste debe incluir la tercera parte del pedido en envases de 2 litros y la mitad del pedido en envases de 1 ½ litros.

Calcule lo que debe pagar una persona que compra 1500 litros de leche, si el resto del pedido:

1. Se le despacha en botellas de 1/4 litro.2. Se le despacha en botellas de litro.3. Si la mitad es en botellas de litro y la otra mitad en botellas de medio litro.4. ¿Es posible que el comprador lleve el resto del pedido en 150 botellas de 1 litro y lo que queda en botellas de 1 litros?5. Decida cuál de las opciones anteriores es la más conveniente para el comprador.

Sabías que…Todos los números que pueden representarse de la forma de un fraccionario se conocen como Números Racionales.

Por ejemplo el número 3 lo puedo escribir como:

62

;31

;93

;155

...

Porque 6 ÷ 2 = 3 y verás que las demás fracciones si las tomas como cocientes y haces la división también serán iguales a 3.

En SÍNTESIS todo número que pueda expresarse de la forma:

ab

Es un número racional. A los números que no puedan escribirse de esta forma se les conoce como Irracionales, es decir que no pueden representarse como el resultado de la división de un entero por otro.

¡ES HORA DE APLICAR LO QUE APRENDIO¡1. Resolver los siguientes ejercicios de operaciones con números fraccionarios y

simplificar el resultado:





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2. Deseamos preparar un pastel para la fiesta de cumpleaños de Tatiana, para ello utilizamos los siguientes ingredientes:

1/4 de harina4 Tazas y media de leche 1/8 de mantequilla15 huevos

a) ¿Qué ingredientes y en qué cantidades agregarías a la receta?b) ¿Qué ingredientes representan mayor cantidad?c) ¿Qué cantidad utilizarías de ingredientes para preparar tres pasteles?

3. Lucia toma diariamente 3/4 de litro de leche ¿cuánta leche tomara en ocho días?

4. Rodrigo trabaja durante tres años y aumenta su capital en 2/7 ¿Cuál era su capital sabiendo que hoy tiene $ 950.000?

5. Elabora una tabla donde se muestre la descomposición de los siguientes números decimales:

a) 0, 6 b) 0, 65 c) 2, 73 d) 1, 35 e) 2,874 f) 0, 27 g) 56,396 h) 12, 8 i) 19,568 j) 9, 56

6. Escriba y lea los siguientes números decimales:a) 2,56 c) 124,825 e) 0,6263b) 5,69 d) 0,4 f) 1,5

7. En un concurso de reinado de la simpatía se obtuvieron los siguientes puntajes.

Yuri ocupo el noveno lugar, Yeraldin el séptimo lugar, y Elizabeth el cuarto lugar.

CANDIDATAS PUNTAJE TOTALELIZABETH 82,75TATIANA 73,27

ESTEFANIA 92,3ROXANA 84,32

YERALDIN 75,6XIMENA 74,84

GABRIELA 83,27ALEIDA 80,28

YURI 74,22ZULEIDY 80,24

a) ¿Cuál fue el puntaje de Yeraldin si obtuvo 3 décimas más de puntaje que

Estefanía?b) ¿Quién fue la reina Estefanía o Elizabeth?c) ¿Cuál fue el puntaje de Yuri si obtuvo dos centésimas menos que Zuleidy?d) ¿En qué lugar quedo Aleida?e) ¿Quién fue la princesa Tatiana o Gabriela?f) ¿Quién fue la virreina Roxana o Ximena?g) Ordene de mayor a menor los puntajes obtenidos por cada participante.

8. Resolver los siguientes problemas, utilizando las operaciones con números fraccionarios.





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Un ciclista recorre el primer día 2/7 de la distancia, el segundo día 1/8 y el tercero 3/14. ¿Qué fracción de distancia lleva recorrido?

Un coche tiene que recorrer una distancia de 300 km en 3 horas. La primera hora recorre 3/9 de la distancia, la segunda 5/10 y la última 2/12. ¿Cuántos kilómetros recorrió cada hora?

Raúl se gasta 2/5 de su paga en el cine y 1/4 en la compra de una revista ¿Qué fracción de su dinero se ha gastado?

Carlos dedica 2/9 de su tiempo a estudiar, 1/8 a hacer deporte y 1/3 a dormir. ¿Cuál es la actividad a la que dedica menos tiempo?

En el ciclo III de la sede Tejar hay 21 estudiantes, de los cuales 1/3 son hombres. ¿Cuántas mujeres hay?

Además de las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división; en los conjuntos numéricos anteriormente estudiados

existen otras como la potenciación y la radicación.

Multiplicando varias veces el mismo número

En la planta baja de un colegio hay seis salones, y en cada salón las mesas están ordenadas en seis filas con seis mesas en cada fila. Si el colegio tiene seis pisos iguales, ¿cuántas mesas hay en total en el colegio?

La respuesta es 6 × 6 × 6 × 6 = 1.296 mesas.

Se puede expresar esta multiplicación de una forma más breve, que llamamos potencia:

6 × 6 × 6 × 6 = 64

¿Qué es una potencia?

Una potencia es la manera abreviada en la que escribimos una multiplicación en la que todos sus factores son iguales.

Se llama base al factor que se repite en la multiplicación y exponente al número de veces que se debe multiplicar por sí misma la base. Por ejemplo:


Reflexión “Quien más sabe más duda”. PAPA PIO II

Pregunta problematizadora¿Usted sabe qué es la radicación y cuál es su relación con la potenciación?






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Que se leería “cinco elevado a dos” o “cinco al cuadrado”. Si el exponente fuera un 3, sería:

53 = 5 × 5 × 5 = 125

Y se leería “cinco elevado a tres” o “cinco al cubo”.

Elevar un número al cuadrado es lo mismo que multiplicar ese número por sí mismo.

Los cuadrados de los quince primeros números naturales son:

Número

Elevado al cuadrado

Número

Elevado al cuadrado1 12 = 1 × 1 = 1 9 92 = 1 × 1 = 812 22 = 2 × 2 = 4 10 102 = 10 × 10 = 1003 32 = 3 × 3 = 9 11 112 = 11 × 11 = 1214 42 = 4 × 4 = 16 12 122 = 12 × 12 = 1445 52 = 5 × 5 = 25 13 132 = 13 × 13 = 1696 62 = 6 × 6 = 36 14 142 = 14 × 14 = 1967 72 = 7 × 7 = 49 15 152 = 15 × 15 = 2258 82 = 8 × 8 = 64

Elevar cualquier número al cubo es lo mismo que multiplicar por sí mismo tres veces ese número. Los cubos de los diez primeros números naturales son:

Número

Elevado al cuboNúme

roElevado al cubo

1 13 = 1 × 1 × 1 = 1 6 63 = 6 × 6 × 6 = 2162 23 = 2 × 2 × 2 = 8 7 73 = 7 × 7 × 7 = 3433 33 = 3 × 3 × 3 = 27 8 83 = 8 × 8 × 8 = 5124 43 = 4 × 4 × 4 = 64 9 93 = 9 × 9 × 9 = 7295 53 = 5 × 5 × 5 = 125 10 103 = 10 × 10 × 10 = 1.000

Potencias con exponente mayor que 3, por ejemplo 4, 5, 6…, se leen: “a la cuarta”, “a la quinta”, “a la sexta”… Estos son algunos ejemplos:

Algunas potencias de números naturales

Potencia

Base

Exponente

Multiplicando…

72 7 2 7 × 7 = 49

43 4 34 × 4 × 4 = 64

La Raíz Cuadrada de Números Naturales

La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado da el primero.

La raíz cuadrada de 25 es 5 porque: 52 = 5 × 5 = 25

Se escribe así: 25





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Donde es el símbolo de la raíz, el radical, 25 es el radicando y 5 es la raíz cuadrada.

Raíz cuadrada exacta. ¿Hay alguna relación entre calcular la raíz cuadrada y elevar al cuadrado?

Observa:

Investigo¿Hay raíces distintas a la cuadrada? ¿Cómo se escriben? ¿Qué es el índice?

Actividad : 1. Complete la siguiente tabla (el primero es un ejemplo porque 53 = 5 x 5 x 5 =

125):

Base Exponente Potencia

5 3 125

3 243

2 8

7 2.4012. Ahora, complete la siguiente tabla:

Radicando Índice Raíz

125 3 5

243 5

8 2

2.401 4

3. Analice la gráfica y saque sus propias conclusiones:






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RazonesPara ir de la casa a la universidad Juan debe recorrer 9 kilómetros, mientras que Luis recorre únicamente 3 kilómetros.

Una forma de comparar estas dos magnitudes sería calculando su diferencia:

9 Km – 3 Km = 6 Km

Así podemos afirmar que Juan recorre 6 kilómetros más que Luis.

Y otra forma de compararlas puede ser DIVIDIENDOLAS, así:

Esto significa que Juan recorre 3 veces más de lo que recorre Luis.

Esto significa que Luís recorre la tercera parte de lo de Juan.

Estos cocientes utilizados para comparar cantidades o magnitudes se denominan RAZÓN.

Vamos a suponer que necesitamos encontrar la razón entre 7 y 4, se lo simboliza así:

74

y leemos: 7 es a 4

No hay que olvidar que una razón no es una fracción. Las partes de una razón son:

antecedenteconsecuente

Cabe decir que la anterior razón también se la puede escribir así: 7 : 4 y se la lee de la misma manera, es decir, 7 es a 4. Si se dice que 4 es a 7 esto cambiaría a:


Reflexión “Investigar es ver lo que todo el mundo ha visto, y pensar lo que nadie más ha

pensado.” Albert Szent-Györgi

Pregunta problematizadora¿Cómo represento matemáticamente un préstamo y qué operaciones y

procedimientos utilizo?





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4 : 7 o 47

Las razones son empleadas para la elaboración de ESCALAS, por ejemplo mira el plano de una casa que está hecho a una escala de 1 a 100 cm (1 : 100), lo que significa que 1 cm sobre el plano equivale a 100 cm = 1 m en la realidad.

Actividad:Describa ejemplos de la vida cotidiana donde se puedan observar las razones.

ProporcionesCuando Juan necesita ir la biblioteca debe transitar 6 Km, mientras que Luis únicamente 2 Km.

6Km2Km

3 ;2Km6Km

13

Las razones 6 : 2 y 9 : 3 a pesar de que tienen diferentes antecedentes y consecuentes son iguales porque su cociente es 3.Lo mismo ocurre con las razones 3 : 9 y 2 : 6. Así cuando tenemos una pareja de razones que son iguales estaremos hablando de una proporción:

93

62

Donde 9 y 2 son los extremos mientras que 3 y 6 son los medios.

La anterior proporción se lee así:

9 es a 3 como 6 es a 2

Una Propiedad Fundamental…

El producto de los extremos es siempre igual al de los medios, por ejemplo en el caso anterior:

9 2 6 318 18

EjercicioEscriba cinco pares de razones que sean proporciones.

Cálculo de términos desconocidos de una proporción

Siempre que conozcamos tres de los cuatro términos de una proporción es posible hallar el que falta, veamos con un ejemplo:

En una finca, por cada 7 gallinas hay 3 conejos. Si el total de gallinas es de 140, ¿Cuántos conejos hay?

1. Llamemos X al total de conejos y formemos la proporción.





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Primera RAZON: GallinasConejos

= 73

Segunda RAZON: TotalgallinasTotalconejos

=140

x

2. Apliquemos la propiedad fundamental de las proporciones:

73

=140X

7 X 140 3

X 140 37

X60

Esta es la proporción dada.

73

=140X

7 X 140 3

X 140 37

X60

Aplico la propiedad

El 7 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir

Haciendo el producto

Luego el cociente

Por lo tanto, en la finca hay 60 conejos.

Hazlo tú…En una vereda, por cada 8 mujeres hay 4 hombres. Si en total hay 120 mujeres, ¿cuántos hombres hay?

Magnitudes directamente relacionadas:

Son dos magnitudes que al aumentar (o disminuir) una de ellas, la otra también aumenta (o disminuye).

Ejemplo:

Galletas Costo

1 paquete $200

3 paquetes $500

Nótese que al aumentar el número de paquetes de galleta aumenta el costo del producto.

Observa la siguiente tabla:

Dulces Precio Cociente

1 50 50 ÷ 1 = 50

2 100 100 ÷ 2 = 50

3 150 150 ÷ 3 = 50

4 200 200 ÷ 4 = 50

Ahora mira esta otra, donde se relaciona el número de familias de una zona con el número de hijos que las conforman:

Nº de familias

Nº de hijos

Cociente

1 7 7 ÷ 1 = 1

2 6 6 ÷ 2 = 3





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3 3 3 ÷ 3 = 1

4 11 ÷ 4 =0,25

Las magnitudes directamente relacionadas en la primera tabla se dice que además son: DIRECTAMENTE PROPORCIONALES, mientras que las de la segunda tabla no lo son.

Según esto ¿Qué criterios cree usted que se deben tener en cuenta para ver que dos magnitudes sean directamente proporcionales?

Lee y contesta:

Una persona se gana la vida recogiendo envases vacíos de vidrio. El siguiente cuadro nos muestra el número de envases (E) que recoge en cada viaje (V) que realiza:

V 1 2 3 4 5 6 7

E 3 5 6 9 12 17 25

¿Están las magnitudes NÚMERO DE VIAJES y CANTIDAD DE ENVASES directamente relacionadas? ¿Son las magnitudes directamente proporcionales? ¿Por qué?

Lea, complete el cuadro y responda:

Una modista que hace una camisa en 3 horas. ¿En cuánto tiempo hará 2 camisas?

N: Número de camisasH: Tiempo en horas

N 1 2 3 4 5 6

H

1. ¿Estas magnitudes están directamente relacionadas? ¿Por qué?2. ¿Son directamente proporcionales? ¿Por qué?

Magnitudes Inversamente Relacionadas

Dos magnitudes están INVERSAMENTE RELACIONADAS cuando al aumentar (o disminuir) una de ellas, la otra disminuye (o aumenta).Ejemplo: José pidió un préstamo para construir el segundo piso de su casa. No sabe si contratar 2 obreros, 4 obreros u 8 obreros de la misma capacidad de trabajo. Por eso, para su comodidad hizo esta tabla:

Nº de obreros Días que tardan

1 120

2 60

4 30

8 15

¡Fíjase Bien! Al aumentar el número de obreros, disminuye el número de días para hacer la obra. Por lo tanto, podemos afirmar que las magnitudes OBREROS y DÍAS QUE TARDAN están INVERSAMENTE RELACIONADAS.

Las magnitudes inversamente relacionadas son INVERSAMENTE PROPORCIONALES si el producto de sus valores correspondientes es el mismo (constante).

Veamos la siguiente situaciónUn grupo de 20 estudiantes decide hacer un paseo y cuentan con el dinero suficiente para el hospedaje de 12 días. El número de estudiantes que iban al paseo fue reduciéndose con el tiempo, entonces se construyo esta tabla:

E: Nº de estudiantesD: Nº de días de hospedaje





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E D Producto

20 12 20 × 12 = 240

10 24 10 × 24 = 240

5 48 5 × 48 = 240

4 60 4 × 60 = 240

Cómo se puede apreciar las magnitudes son inversamente proporcionales porque cumplen la condición de tener el mismo producto.

ActividadSuponiendo que A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales, escriba los números que faltan en los espacios:

A 6 3 860

30

B24

515

120

40

Para saber más…En el caso de las magnitudes directamente proporcionales, el cociente que es común a ellas recibe el nombre de CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD. De manera igual se le llama al producto que es común a las magnitudes inversamente proporcionales.

La Regla de Tres Simple

La regla de tres simple es un procedimiento matemático útil para hallar una cantidad desconocida en problemas donde intervienen dos magnitudes proporcionales.

Si las magnitudes son directamente proporcionales, la regla de tres simple es DIRECTA y si las magnitudes son inversamente proporcionales, la regla de tres simple es INVERSA.

Resolvamos la siguiente situación…Con 80 litros de leche se hacen 4,5 kilogramos de mantequilla. ¿Cuántos litros de leche se necesitan para hacer 90 kilogramos de mantequilla?

Llamemos X a la cantidad desconocida y se plantea el problema así:

Si con 80 lt se hacen 4,5 kgentonces con X lt se harán 90 kg

¿Se necesitarán más litros (lt) de leche o menos de 80 litros (lt) para producir 90 kilogramos de mantequilla? ¿Estas magnitudes serán directa o inversamente proporcionales?

Por lo tanto, son necesarios 1.600 litros de leche para hacer los 90 kilogramos de mantequilla.





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PorcentajesHas visto frases como esta: “Todos los artículos rebajados el 20%”, o similares.¿Qué representa el símbolo %? ¿Cuánto debemos pagar por un artículo al que tenemos que aplicar un 20% de descuento?

Debes saber que…Se llama tanto por ciento o porcentaje a una fracción cuyo denominador es 100, que se puede expresar como un valor decimal, y que en forma abreviada representamos con el símbolo %.

Veamos algunos ejemplos:

Si lo que queremos es expresar en forma de fracción un tanto por ciento, se actúa al revés que en los ejemplos anteriores:

Veamos el significado del tanto por ciento con algunos ejemplos.

1. El 40% de los estudiantes de mi salón son hombres y el 60% son mujeres.

Esto significa que, si fuéramos 100 alumnos en clase, habría 40 hombres y 60 mujeres.

2. En la votación para elegir al representante del ciclo, Carlos ha obtenido el 32% de los votos, Carmen el 46% y Ana el 22%.

Significa que, si en clase hubiera 100 alumnos, 32 habrían votado a Carlos, 46 a Carmen y 22 a Ana.

Cálculo de Porcentajes

Para calcular un tanto por ciento o porcentaje de una determinada cantidad hemos de multiplicar esa cantidad por el tanto por ciento y dividir el resultado entre 100. Veamos algunos ejemplos.

1. En un partido de baloncesto el porcentaje de acierto en tiros de dos puntos de mi equipo ha sido del 40%. Si hemos lanzado de dos puntos en 30 ocasiones, ¿cuántas canastas hemos realizado? ¿Y cuántas veces hemos fallado?

Para saber las canastas de dos puntos que hemos logrado se tiene que hallar el 40% de 30:

Para calcular las que se ha fallado, lo podemos hacer de dos maneras. La forma más sencilla y rápida es restar del total de lanzamientos las que sí hemos acertado:

También podemos calcular el porcentaje de fallos y hallar lo que supone sobre el total de lanzamientos:





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Si el 40% son aciertos entonces el 60 % tiene que ser de fallos.Porque 60% + 40% = 100%. Y el 60% de 30 es:

¿Qué papel juega la regla de tres?

2. María le prestó $125.000 a su hermano Ricardo. Después de un año, él le devolvió el dinero con un interés del 10%. ¿A cuánto dinero equivale el interés que pagó Ricardo?

Solución: El interés que pagó Ricardo corresponde al 10% del dinero que le fue prestado. Esto puede resumirse en el siguiente esquema:

Procedimiento: Hay que calcular el 10% de $125.000.

Operación y resultado:

10100

125.000 10100

125.0001

10 125.000100 1

1'250.000100

12.500

Respuesta: Ricardo pagó $12.500 de interés.

Actividad: Resuelva los siguientes problemas indicando en cada caso:(a) El procedimiento.(b) La operación con su resultado.(c) La respuesta del problema.

Problema 1: Los fieles de algunas religiones pagan el diezmo, es decir, entregan el 10 % de sus ingresos a su iglesia. ¿Cuánto debe dar un fiel que gana el salario mínimo?Problema 2: El último reajuste del precio de los combustibles llega a un 7%. ¿Cuánto será el gasto de un taxista que consumía mensualmente para su vehículo $650.000 en gasolina a partir de la vigencia del incremento?

Interés Simple

Cuando una persona presta dinero a otra lo hace con el ánimo de recibir en compensación una cierta cantidad extra o excedente al que se llama interés. Para esto es necesario que manejemos algunos términos, como son:

El Capital: Es la suma prestada. Se simboliza con la letra C. El Interés: es la ganancia producida por el capital y se simboliza con la vocal i. El Rédito o Tasa de Interés: es el interés que producen $100 en un año y se

simboliza con la consonante r. El Tiempo: es la duración del préstamo. Se simboliza con t.

Para facilitar los cálculos se considera el año de 365 días y el mes de 30 días.

Ejemplo: Un rédito de 4 significa que un capital de $100, produce al cabo de un año, un interés de $4. Se dice indistintamente que el rédito es 4, o que el tanto por ciento a que ha sido colocado el capital es 4%.

El problema del interés simple…El problema básico en general es hallar el interés i que produce un capital C, prestado a una persona durante un tiempo t, a un rédito r es un problema de





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REGLA DE TRES COMPUESTA, es decir porque intervienen más de dos magnitudes, y se plantea así:

Descomponiéndola en dos reglas de tres simple y efectuando las pertinentes operaciones se llega a las siguientes fórmulas de interés simple que se usan de acuerdo al tiempo que se haya establecido el préstamo:

i = C t r

100

i = C t r1.200

i = C t r36.000

Cuando el tiempo está dado en años.

i = C t r

100

i = C t r1.200

i = C t r36.000

Cuando el tiempo está dado en meses.

i = C t r

100

i = C t r1.200

i = C t r36.000

Cuando el tiempo está dado en días.

Hallemos…El interés que gana un capital de $4’500.000 al 3% mensual en 4 años.Aplicamos la fórmula que viene con 100, porque el tiempo está dado en años.i C· t · r 100i 4´500.0 00 · 4 · 36 100i 45.000 · (4 · 36) i 45.000 · 144 i 6´480.000Interés Compuesto

Si los intereses que produce el capital se acumulan a cada cierto período de tiempo, el interés se llama compuesto. Su fórmula es:

A = C 100 r

100

T

A = C 1.200 r

1.200

T

A = C 100 r36.000

T

A = 4'500.000 (100 36%) 4

Cuando el tiempo está dado en años.

A = C 100 r

100

T

A = C 1.200 r

1.200

T

A = C 100 r36.000

T

A = 4'500.000 (100 36%) 4

Cuando el tiempo está dado en meses.

A = C 100 r

100

T

A = C 1.200 r

1.200

T

A = C 36.000 r

36.000

T

A = 4'500.000 (100 36%) 4

Cuando el tiempo está dado en días.

A: Capital final con interés.C: Capital inicia.r: La tasa de interés.T: El tiempo.

Ejemplo: Tomemos el caso anterior pero aplicando el interés compuesto.


Capital: C=4’500.000Crédito: r = 36%Tiempo: t = 4 años




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A = C 100 r

100

T

A = 4'500.000 100 36

100

4

A = 4'500.000 136100

4

A = 4'500.000 (1, 36) 4

A = 4'500.000 3, 421

A = 4'500.000 3, 421

A = 15' 394.600

Capital: C = 4’500.000rédito : r = 36%tiempo : t = 4 años

Los bancos y demás entidades financieras utilizan el interés compuesto para cobrar sus deudas, mientras que una persona prestamista informal cobra a interés simple.

Preguntas de desempeño

1. Si presta a un amigo tuyo $250.000 al 8% durante 7 meses. ¿Cuánto habrá ganado en total?

2. Si tiene un plan de vivienda financiado por el banco al 16% durante 15 años y el valor inicial de la casa es de 15’000.000 ¿Cuánto habrá pagado en total?

3. Averigüe a cerca de la deuda externa que mantiene Colombia y determine qué tipo de interés manejan el FMI y el Banco Mundial.

Los PoliedrosUna caja de zapatos, un dado y muchos otros objetos con superficies planas tienen forma poliédrica. Se llaman poliedros a los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos. Los poliedros se clasifican en prismas y en pirámides.


Reflexión “El corazón de las matemáticas son sus propios problemas”. Paul Halmos

Pregunta problematizadora¿Qué diferencias encuentro entre un cuerpo plano y un cuerpo redondo?

Hipótesis Personal______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________





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Los PrismasLos prismas tienen dos caras (sus bases) que son iguales y paralelas entre sí. Sus caras laterales son paralelogramos. Los elementos de un prisma son los siguientes:

Las bases: son la cara en la que se apoya el prisma y su opuesta.

Las caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma.

Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales. Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. Las diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del

prisma. Se pueden trazar las diagonales de una cara o entre dos caras.

Los prismas se nombran según sea el polígono de sus bases: prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal…

Las PirámidesSon poliedros que tienen una sola base, que es un polígono cualquiera, y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. Una tienda de campaña o las pirámides de Egipto son ejemplos de este tipo de poliedros.

Los elementos de una pirámide son los siguientes:

La base: es la cara en la que se apoya la pirámide.

Las caras laterales: son las caras que comparten uno de sus lados con la base. La suma de sus áreas es la superficie lateral de la pirámide.

Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales. Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. Las apotemas: son las alturas de las caras laterales de la pirámide.

Se nombran según sea el polígono de su base: pirámide triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal...

Al cortar una pirámide por una de sus aristas laterales y por las de su base, y extenderla sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo. El desarrollo de una pirámide recta está formado por la base y por tantos triángulos como lados tenga el polígono de la base.

Los Poliedros Regulares

Se dice que un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares iguales. En los poliedros regulares se cumple una curiosa relación:

Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2

Para comprobarla, fíjese en el número de caras, de vértices y de aristas de cada uno de los siguientes poliedros regulares:

Solo hay cinco poliedros regulares, que son: el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.





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El tetraedro tiene 4 caras, que son triángulos equiláteros. El cubo tiene 6 caras, que son cuadrados. El octaedro tiene 8 caras, que son triángulos equiláteros. El dodecaedro tiene 12 caras, que son pentágonos regulares. El icosaedro tiene 20 caras, que son triángulos equiláteros.

Actividad: Hagamos un dodecaedro….

Trate de dibujar este modelo de dodecaedro en cartulina, puede calcarlo o utilizar cualquier otra técnica. Luego recórtalo por sus bordes, dobla delicadamente por las esquinas y une sus lados utilizando pegante sobre la superficie de las cejillas en blanco. Cuando lo hayas terminado deberás ubicar sus partes e indicarlas.

Los Cilindros

Una lata de refresco, la punta de un lápiz y un balón son cuerpos geométricos que tienen parte de su superficie, o toda ella, curva. La lata es un cilindro, la punta del lápiz es un cono y el balón una esfera. A estos tres cuerpos, cilindro, cono y esfera, se les llama cuerpos redondos, pero vamos hacer énfasis en los cilindros.

Las columnas de un templo clásico, un rodillo de amasar o un rulo son también ejemplos de cilindros. El cilindro se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, que se mantiene fijo, como en una puerta giratoria. Los elementos del cilindro son:





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Las bases: son dos círculos iguales. El radio del cilindro: es el radio de las bases. El eje: es la recta imaginaria sobre la que se encuentra el lado alrededor del cual

el rectángulo gira para formar el cilindro. La generatriz: es el lado del rectángulo opuesto al eje de giro. La altura del cilindro: es la longitud de la generatriz. La superficie lateral: es la cara curva del cilindro.

Cortando el cilindro por su superficie lateral, en vertical, y por los bordes de sus bases, obtenemos su desarrollo:

Actividad: Elabore un cilindro, identifique sus partes y compárelo con el dodecaedro.

Rectas Paralelas y Perpendiculares


Reflexión "El corazón tiene razones que la razón desconoce” Blaise Pascal

Pregunta problematizadora¿Qué tantos usos geométricos tiene el compás y la escuadra?



http://es.wikiquote.org/wiki/Coraz%C3%83%C2%B3n




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Actividad 1. Con la ayuda de una regla trace una recta.

Coloque la escuadra de tal forma que el lado más pequeño colinde con la recta, mida 2 cm y señale con un punto.

Marque otro punto de la misma manera. Y luego trace una recta que pase por los dos puntos.

Si lo hizo bien ubique otro punto en cualquier parte de la segunda recta y luego mida la distancia desde la primera recta hasta ese punto con la escuadra y deberá medir 2 cm.

Señale muchos más puntos y mida sus distancias hasta la recta de más abajo, y se dará cuenta que siempre será de 2 cm.

¡Muy bien¡ Acaba de construir dos rectas que son paralelas entre sí, es decir que nunca se van a cortar en algún punto, lo mismo ocurre con las oblicuas.

RespondaAhora, ¿qué puede decir a cerca de las rectas paralelas? ¿Cuál o cuáles son sus características?

Investigue¿Se puede trazar rectas paralelas usando compás?





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Ahora aprendamos a trazar dos rectas perpendiculares…Trace una recta cualquiera y un punto exterior a ella.

Ahora señale un punto interior a la recta y con el compás trace una circunferencia, así:

Marque un punto donde se corte la circunferencia con la recta y trace otra circunferencia.

Señale los dos puntos de corte entre las circunferencias y por allí trace otra recta.

La recta última que acabó de trazar es perpendicular a la primera recta.

Cuando dos rectas son perpendiculares su ángulo de inclinación recto, es decir que mide 90º.

También vamos a aprender qué es la bisectriz de un ángulo y cómo la trazamos…Bisecar es cortar o dividir un ángulo en dos partes iguales. Y la bisectriz es la recta que se encarga de bisecar al ángulo.

Trace dos rectas oblicuas cualesquiera.





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Ahora con el compás y tomando como centro el vértice del ángulo trace una circunferencia y señale los puntos donde se corte con las dos rectas.

Ahora dibuje un segmento que una a los dos puntos de intersección de la circunferencia.

Mida el segmento con una regla y señale la mitad. Es decir encuentra el punto medio del segmento.

Por el vértice del ángulo y el punto medio trace una recta.

Esta recta que dibujó de último es la bisectriz de nuestro ángulo.





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InvestigueCon la ayuda de un transportador podría verificar que en verdad trazó la bisectriz. ¿Cómo podría hacerlo?

La CapacidadPara medir la cantidad de agua u otro líquido que cabe en un vaso, en una cantimplora o en cualquier recipiente, se utilizan las unidades de capacidad. Su unidad principal es el litro. Se simboliza con su inicial “l”, también lo representan con “lt”

Múltiplos del Litro

Para medir capacidades grandes, se usan unidades mayores que el litro, como el kilolitro, el hectolitro y el decalitro, que son sus múltiplos.


Reflexión “Las proposiciones matemáticas, en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad”

Albert Einstein

Pregunta problematizadora¿Cómo expreso las medidas de capacidad en unidades más pequeñas y más

grandes que el litro?






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Para bajar cada escalón hay que multiplicar por 10 la unidad que ocupa el escalón superior. En cambio para subirlo hay que dividir entre 10 la unidad del escalón inferior.

Para bajar de unidad1 kl 1 × 10 hl 10 hl1 hl 1 × 10 dal 10 dal1 dal 1 × 10 l 10 l

Para bajar de unidad1 hl 1 : 10 kl 0,1 kl1 dal 1 : 10 hl 0,1 hl1 l 1 : 10 dal 0,1 dal

Para bajar tres unidades (tres escalones de golpe) habrá que multiplicar por 1.000:1 kl = 1 × 1.000 l = 1.000 l

Para subir tres unidades (tres escalones de golpe) habrá que dividir entre 1.000:1 l = 1 ÷ 1.000 kl = 0,001 kl

Ahora observa cómo se hacen los cambios de unidades entre múltiplos del litro con el siguiente ejemplo.

Convierta a litros las medidas de capacidad siguientes: 180 cl.; 79dl; 6000ml.

Ahora es tu turno…Convierta a mililitros las medidas de capacidad siguientes: 0,5 dl; 94 l; 8,5 cl.

Suma y Resta de Medidas de Capacidad

Para poder sumar o restar medidas de capacidad, se necesita que estén expresadas en la misma unidad. Si las unidades fueran distintas, lo primero que se hace es transformarlas. Veámoslo con dos ejemplos:





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1. Vaciamos en una jarra el contenido de una lata de refresco que contiene 33 cl junto con el de una botella de gaseosa de 0,25 l de capacidad. ¿Qué cantidad de líquido tendremos en la jarra?

Como las dos unidades, centilitro y litro, son distintas, lo primero que se hace es convertirlas a una misma unidad, por ejemplo a litros:

33 cl = 33 ÷ 100 l = 0,33 lY como la otra capacidad ya está expresada en litros, ya se puede sumarlas:

0,33 + 0,25 = 0,58 l

Si se quiere también se pueden transformar en centilitros:

0,58 × 100 = 58 cl

En la jarra tendremos 0,58 l, o lo que es lo mismo, 58 cl de líquido mezcla del refresco y la gaseosa.

2. De una botella de leche llena, de 1,5 l de capacidad, echamos en un vaso hasta alcanzar un nivel que marca 25 cl. ¿Cuánta leche queda en la botella?

Como las dos unidades, litro y centilitro, son distintas, lo primero que hemos de hacer es convertirlas a una común, por ejemplo a litros:

25 cl = 25 ÷ 100 l = 0,25 l

Y como la capacidad de la botella ya viene expresada en litros, ahora restamos: 1,5 – 0,25 = 1,25 l

Quedan pues en la botella 1,25 l de leche.

Hagamos un experimento…Construyamos un cubo de 10 cm de arista y luego lo forramos y cubrimos con papel plástico, dejando descubierta la base superior.

Consigue un litro de agua y trata de vaciar todo el contenido dentro del cubo. ¿Qué sucede? ¿Qué puede afirmar?


Reflexión “Llegará el día en el que la Estadística será una condición tan necesaria para la

convivencia como la capacidad de leer y escribir”. Anónimo

Pregunta problematizadora¿Cómo puedo sistematizar y analizar cualquier información?





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Procesamiento de DatosPara manejar los resultados de una encuesta, de una votación o de cualquier estudio estadístico, lo primero que se debe hacer es organizar los resultados obtenidos, ordenándolos y clasificándolos, es decir, haciendo lo que se llama un recuento de los datos.

Trabajemos con 50 datos que nos muestran la estatura en centímetros de un grupo de niños de grado octavo de un colegio de Pasto.

128 150 148 165 170130 156 155 138 168140 138 160 171 172142 158 163 157 147129 140 132 131 148155 160 163 165 170143 170 164 168 145150 132 148 154 153142 144 152 157 148138 139 170 150 142

Lo primero que vamos a ser es organizarlos de menor a mayor.

128 140 148 155 165129 140 148 156 165130 142 148 157 168131 142 150 157 168132 142 150 158 170132 143 150 160 170138 144 152 160 170138 145 153 163 170138 147 154 163 171139 148 155 164 172

Pero como los datos son tan numerosos se hace necesario reducir la información para tratar de facilitar nuestro trabajo, y para ello se elabora una tabla donde se pueda sistematizar esta información.

Frecuencia Absoluta

Se llama frecuencia absoluta de un dato al número de veces que ha salido ese dato o resultado. La suma de las frecuencias absolutas de todos los datos obtenidos en la encuesta o estudio, ha de ser igual al número total de datos.

Basta con contar cual es la frecuencia con que se repite cada uno de los datos.

Dato

Frec.

Dato

Frec.

Dato

Frec.

128 1 144 1 157 2






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129 1 145 1 158 1130 1 147 1 160 2131 1 148 4 163 2Dato

Frec.

Dato

Frec.

Dato

Frec.

132 2 150 3 164 1138 3 152 1 165 2139 1 153 1 168 2140 2 154 1 170 4142 3 155 2 171 1143 1 156 1 172 1

Pero es posible reducirlo aún más, ya que los datos se pueden agrupar en intervalos, que son pequeños conjuntos. Por ejemplo un intervalo sería, el de los niños que miden entre 128 cm y 132 cm, y para la frecuencia se tendría que sumar las frecuencias absolutas de los datos comprendidos dentro del intervalo, que en el caso citado sería 1 + 1 + 1 +1 + 2 = 6

Para hacer estos intervalos es preciso, primero, hallar la diferencia entre el dato mayor y el dato menor, y luego se divida por el número de intervalos que se quieran hacer.

172 – 128 = 44

Como la diferencia es 44 lo más conveniente es dividirla exactamente, por eso la dividimos entre 11:

44 ÷ 11 = 4

El 11 nos indica el número de intervalos, que llamaremos Marcas de Clase y el 4 nos servirá para construirlos a partir del primer dato y sumando de 4 en 4, así:

Marcas de ClaseFrecuencia Absoluta

128 – 132 6132 – 136 0136 – 140 6140 – 144 5144 – 148 6148 – 152 4152 – 156 5156 – 160 5160 – 164 3164 – 168 4168 - 172 6

Total 50

Las frecuencias que se sumen en un intervalo no pueden volver a ser sumadas en otros.

Frecuencia Relativa

Se llama frecuencia relativa de un dato al cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos. La suma de todas las frecuencias relativas de los datos de un estudio tiene que ser igual a 1.

M. de clase

F. Absoluta

F. Relativa

128 – 132 6 0,12132 – 136 0 0,00136 – 140 6 0,12140 – 144 5 0,10144 – 148 6 0,12148 – 152 4 0,08152 – 156 5 0,10





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156 – 160 5 0,10160 – 164 3 0,06164 – 168 4 0,08168 – 172 6 0,12

Total 50 1

La frecuencia relativa muestra a las frecuencias absolutas en forma de porcentajes tomando a la totalidad de datos como el 100%, por eso también puede expresarse como porcentajes si se multiplica por 100. Veamos:

M. de clase

F. Absoluta

F. Relativa

128 – 132 6 12 %132 – 136 0 0%136 – 140 6 12 %140 – 144 5 10%144 – 148 6 12 %148 – 152 4 8%152 – 156 5 10%156 – 160 5 10%160 – 164 3 6%164 – 168 4 8%168 – 172 6 12 %

Total 50 100%

Al ya tener organizados los datos, es bueno graficarlos para facilitar su interpretación.

Diagrama de barras

En este tipo de diagrama compara la altura de las barras, que se levantan para cada uno de los datos. Para construir un diagrama de barras, se escriben los datos obtenidos sobre el eje horizontal de un sistema de coordenadas, y sobre el vertical los valores de las frecuencias absolutas de los datos.

A continuación dibujamos, sobre cada dato, una barra cuya altura sea la del valor que alcanza la frecuencia absoluta en el eje vertical. Si desea puede pintarlas de distintos colores para diferenciarlas.

0

1

2

3

4

5

6

7

1

Estaturas

Frecuencia

128 – 132

132 – 136

136 – 140

140 – 144

144 – 148

148 – 152

152 – 156

156 – 160

160 – 164

164 – 168

168 - 172

Nuestra gráfica por fin esta lista ahora interpretemos lo que nos muestra la gráfica. Así podemos decir que:

Hay pocos niños que midan entre 160 cm y 164 cm. También se puede apreciar que no hay niños entre 132 cm y 136 cm. La mayoría mide entre 128 cm y 132 cm, 136 cm y 140 cm, 144 cm y 148 cm, y entre 168 cm y 172 cm. ¿Qué otras observaciones puede hacer?





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Diagrama circular o del pastel

En este tipo de gráfico, se compara la amplitud de los sectores circulares, para cada uno de los datos, vamos a dibujar sobre un mismo círculo.

Para ello, dibujamos un círculo grande, y lo dividimos en tantas partes como participantes haya habido en la encuesta o votación: debemos dividir 360º entre el número total de votantes o encuestados.

A continuación, a cada uno de los datos se le asigna tantas partes como indique su frecuencia relativa (expresada esta en forma de fracción), y se escribe un rótulo para cada sector resultante, indicando a qué dato corresponde.

Frecuencia RelativaEn Porcentajes Como Fracción

12 %12100

10100

6100

8100

0% 0

12 %12100

10100

6100

8100

10%

12100

10100

6100

8100

12 %12100

10100

6100

8100

8%

12100

10100

6100

8100

10%

12100

10100

6100

8100

10%

12100

10100

6100

8100

6%

12100

10100

6100

8100

8%

12100

10100

6100

8100

El color que le corresponde al intervalo 132 – 136 no aparece en el diagrama y esto es obvio, puesto que en ese rango de estatura no hay ningún niño.

Haga sus propias observaciones…

La Media, La Mediana y La Moda

El conjunto de datos que obtenemos al hacer cualquier encuesta o votación, podemos representarlo gráficamente, mediante un diagrama de barras o un gráfico de sectores, o bien mediante tres valores que llamamos media, mediana y moda.

La media. Para hallar la media de un conjunto de datos, dividimos la suma de todos ellos entre el número de datos que hay.





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Pero como nuestros datos están agrupados es necesario calcular el punto medio de cada intervalo, y esto se hace restando el límite superior menos el inferior y luego dividiendo entre dos. Por ejemplo, para el intervalo 156 – 160:

Calculando los puntos medios se obtiene:

Marcas de clasePunto Medio

(Pm)128 – 132 130132 – 136 134136 – 140 138140 – 144 142144 – 148 146148 – 152 150152 – 156 154156 – 160 158160 – 164 162164 – 168 166168 – 172 170

Luego se multiplica cada punto medio por su respectiva frecuencia absoluta:

M. de C. Pm Fa Pm×Fa128 – 132 130 6 780132 – 136 134 0 0136 – 140 138 6 828140 – 144 142 5 710144 – 148 146 6 876148 – 152 150 4 600152 – 156 154 5 770156 – 160 158 5 790160 – 164 162 3 486164 – 168 166 4 664168 – 172 170 6 1020

Suma 7524

Ahora debemos dividir 7.524 entre el número total de datos:7.524 ÷ 50 = 150,48

Este número debe entenderse como una estatura a la cuál tienden a medir los niños del grupo.

La mediana. La mediana de un conjunto de datos ordenados es el valor que ocupa la posición central de ellos. Si el número de datos es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición central. Si el número de datos es par, la mediana es igual a la media de los dos datos centrales.

Primero se divide 50 ÷ 2 = 25. Como el número total de datos es par, entonces tomamos los datos que se encuentren en la posición 25ª y 26ª, y calculamos su media. Aquí se debe revisar los datos que tenemos ordenados no agrupados en intervalos.

150 1502

3002

150

Entonces la mediana es 150 cm y debe darse la misma interpretación que se le dio a la media.

La moda. Llamamos moda de un conjunto de datos al valor que más se repite; o dicho de otra forma, el que tiene la mayor frecuencia absoluta de entre ellos.


160 1562

3162

158




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Al revisar los datos antes de agruparlos en intervalos, nos podemos dar cuenta que hay dos datos que más se repiten: 170 y 148.

Por eso es conveniente que hallemos su media:

Aquí debemos entender que el 159 cm es una estatura a la cual los estudiantes se aproximan.

Por esta forma de interpretación, a la media, mediana y moda se les llama MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. De las tres la menos confiable es la moda.

Actividad. Con ayuda de su profesor elabore unas encuestas donde pueda recolectar datos para darles tratamiento estadístico descriptivo, es decir, ordenando y organizando datos, haciendo tablas de frecuencia, graficando, calculando las medidas de tendencia central e interpretando.

SITUACIÓN PROBLEMAEl gráfico muestra el consumo de agua de un edificio en litros por hora para sus cinco pisos.

Acción Interpretativa1. ¿Cómo describe la información presentada?2. Si el valor del litro de agua es de $2,4. ¿Cuál es el valor del consumo en el piso 1?

Acción Argumentativa3. Para calcular el consumo que tiene el edificio ¿qué datos necesita? Y ¿qué operaciones se deben realizar?

Acción Propositiva4. Como administrador del edificio, ¿qué sugiere usted para fomentar el ahorro en el pago de servicios?5. ¿Qué proceso agregaría para entender mejor los datos consignados en la gráfica?


Saber Construido____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




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ConjuntosUna colección de objetos o de cualquier cosa se denomina en matemáticas un conjunto y se representa por una letra mayúscula. A los componentes se les llama elementos. Por ejemplo en un conjunto musical sus elementos son los músicos que lo conforman. Veamos otro ejemplo:

Ejemplo: Las vocales son un conjunto y se lo puede representar matemáticamente de la siguiente forma:

V = {a, e, i, o, u}

A esta forma de expresar un conjunto le llamamos determinación por extensión. Existe otra forma que se llama determinación por comprensión, así el anterior conjunto quedaría expresado de la siguiente forma:

V = {vocales}

Complete la tabla…

Este conjunto… …está determinado por

S = {2, 4, 6, 8}

F = {mesa, silla}

R = {frutas ácidas}

W = {I, II, III, IV}

Actividad : Escribe cinco conjuntos donde pueda agrupar elementos de la vida diaria y determínelos por comprensión y extensión.

Subconjuntos. Hay conjuntos que pertenecen a otros conjuntos más grandes, por ejemplo: el Departamento de Nariño es un conjunto de municipios, corregimientos y veredas, y a su vez está contenido dentro de otro conjunto más grande que es Colombia. En estos casos al conjunto que está contenido dentro del más grande se le llama subconjunto.

Escriba otros subconjuntos que conozcas.

Veamos:

A = {todas las letras del abecedario}y

V = {las vocales}


Reflexión“La geometría es una ciencia del conocimiento del ser, pero no de lo que está

sujeto a la generación y a la muerte. La geometría es una ciencia de lo que siempre es”

Pregunta problematizadora¿Cómo puedo representar y clasificar los elementos de mi entorno?





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Como V es un subconjunto de A entonces decimos que V está contenido en A y lo escribimos así:

V A

Actividad. Indique en qué conjuntos están contenidos los subconjuntos que escribió anteriormente.

Conjunto Universal. Es un conjunto que contiene a todos los subconjuntos y se representa por la letra U. Por ejemplo Suramérica es un conjunto universal cuyos subconjuntos son todos los países del hemisferio sur.

U = {países suramericanos}

Actividad. Escriba cinco conjuntos universales con sus respectivos subconjuntos.

Conjunto Vacío. Un conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vacío y se representa con Φ ó dos llaves que no contienen nada entre ellas { }.

¿Cuál es el conjunto de estudiantes de sexo masculino en una institución educativa femenina? Obviamente, un colegio femenino solo es de mujeres y por tanto este conjunto sería vacío:

H = {hombres que estudian en esta institución}H = Φ

Actividad. Escriba cinco ejemplos de conjuntos vacíos.

Representación Gráfica de los Conjuntos

Los conjuntos se representan gráficamente mediante figuras cerradas que incluyen dentro de ellas a los elementos que contienen. A estos gráficos se les llama diagramas de Venn.

Siempre que se represente gráficamente un conjunto debe indicarse cuál es su conjunto Universal. Ejemplo:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i,}A = {a, b, c, d}B = {e, f, g}

Nótese que en la gráfica los elementos h, i están afuera de los conjuntos A y B porque estos no los contienen, pero sí se encuentran dentro del conjunto universal U.

Cuando se tienen varios conjuntos que poseen algunos elementos comunes, se puede interponer las gráficas unas tras otras para abarcar estas zonas. Por ejemplo:

U = {0, 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9}A = {1, 3, 5, 7, 9}B = {0, 3, 6, 9}





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De esta manera se da origen a las operaciones de conjuntos, de las cuales nos ocuparemos de dos en particular: la unión y la intersección.

La Unión. Es la agrupación de todos los elementos, tanto comunes como no comunes entre dos o más conjuntos, usando el conectivo U.

Se escribe Se leeA U B “A unido con B”

Encontremos la unión entre los conjuntos:

A = {Pasto, Tunja, Cali}B = {Medellín, Cali, Bogotá}

Su unión será: A U B = {Pasto, Tunja, Cali, Medellín, Bogotá}Nótese que el elemento común se escribe una sola vez.

La Intersección. Es la agrupación de los elementos que únicamente son comunes a los conjuntos, usándole conectivo ∩.

Se escribe Se leeA ∩ B “A interceptado con B”

Por ejemplo: A = {perro, gato, ratón, tigre, caballo}B = {ratón, gato, gallina, cuy}

La intersección entre estos dos conjuntos será:

A ∩ B = {ratón, gato}

Otra forma de leer los conectivos es:





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Escribir LeerA U B “A o B”

A ∩ B “A y B”

Actividad. Escriba tres ejemplos de intersección y tres de unión, y represéntelos también mediante diagramas de Venn.

Vamos a trabajar… Si tiene como conjunto Universo o universal los países de la siguiente tabla:

Producción mundial de café

PaísContinent

eTonelad

asBrasil América 600.000Colombia América 408.000Costa de Marfil África 204.000Uganda África 179.000Angola África 177.000México América 108.000Indonesia Asia 111.000El Salvador América 104.000

Dado los conjuntos expresados por comprensión:

M = {países asiáticos}N = países europeos}P = {países que producen más de 200 mil Ton.}Q = {producen menos de 200 mil Ton.}

Determínelos por extensión. Encuentre:

M U Q; N U M, Q ∩ P N ∩ P

Y determínelos por comprensión y extensión.

El anterior gráfico muestra un mapa del sur-occidente de Colombia con sus respectivas fronteras. Además puede notar que le atraviesan unas líneas





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horizontales y verticales más gruesas, de manera que se pueden visualizar filas y columnas, las cuales llevan letras en el caso de las columnas y números en el de las filas.

Parejas ordenadas. Con el gráfico es posible ubicar las coordenadas de algunos lugares muy fácilmente, por ejemplo, la ciudad de Florencia se encuentra entre la fila 4 y la columna h. De manera matemática esto lo podríamos escribir así: F (h, 4)Y se le llama pareja ordenada.

Actividad. Ubique los siguientes puntos: San Juan de Pasto, Neiva y Cali. Luego escriba matemáticamente sus coordenadas.

Producto cartesiano. Digamos que A sea el conjunto de algunos departamentos y B a sus respectivas capitales.

A = {Sucre, Bolívar, Casanare, Vaupés}B = {Sincelejo, Cartagena, Yopal, Mitú}

Para ahorrar tiempo y espacio escriba únicamente las iniciales en minúscula de todos los elementos:

A = {s, b, c, v}B = {s, c, y, m}

Ahora formemos parejas ordenadas teniendo en cuenta el departamento y su capital.

(s , s) (b, c) (c , y) (v, m)

Lo que hemos hecho es cruzar dos conjuntos:A x B

Siempre que cruzamos dos conjuntos tienen que hacerse las parejas ordenadas correspondientes.

Ahora que tal si hallamos N x N. El problema sería que el conjunto de los Números Naturales es infinito y entonces las posibles combinaciones de parejas serían también infinitas, por eso solo se indican algunas parejas:

N x N = {(1 , 1); (1 , 5); (3 , 11); (1.003 , 57)…}

Elaboremos un plano cartesiano para ubicar algunas parejas ordenadas de N x N:

1. Trazar dos semirrectas del mismo tamaño con un vértice común y que sean perpendiculares entre sí.

2. Se señalan cinco puntos en cada una de las semirrectas y que estén a la misma distancia unas de otras.





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3. Llamemos al eje horizontal “X” y al vertical “Y”.

4. Ubiquemos el punto: (3, 5)

Pregunta. ¿Qué se hizo en el último paso? Descríbalo con sus propias palabras.

Debes saber que…A la coordenada horizontal de una pareja ordenada se le llama abscisa y la vertical ordenada. Por ejemplo en la pareja ordenada: (7,15) la abscisa es 7 y la ordenada 15.

Actividad. Dibuje un plano cartesiano en su cuaderno y ubique las siguientes parejas ordenadas:

(1 , 3) (2 , 5) (5 , 1)

(3 , 3) (4 , 2) (3 , 2)

(1 , 4) (4 , 1) (2 , 4)

Preguntas ¿Qué otras parejas puede ubique en este plano y cuáles no? ¿Qué haría si tiene que ubique la pareja: (6 , 8)? ¿Dónde ubicaría (0 , 3) o (5 , 0)?

ConclusiónTodo esto que hemos hecho se llama producto cartesiano.

Actividad. Identifique algunas parejas ordenadas que puedan resultar de hacer los siguientes cruces:

Z x Z y N x Z -

Z- representa a los números enteros negativos.

Luego grafícalos utilizando el siguiente un plano parecido al siguiente:





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Si es necesario puedes ampliar sus ejes a conveniencia dependiendo de las parejas.

Actividad:1. Ubicar los siguientes puntos A, B, C en un plano cartesiano y averiguar las

coordenadas del punto D para que ABCD sea un rectángulo:

A (13), B (15), C (5 , 5)

2. Representar los siguientes puntos en un plano cartesiano y agregar dos punto más de modo tal que queden alineados con los otros tres:

a) P (2 , 3), Q (2 , 5), T (2 , 0)b) R (5 , 5), S (2 , 2), G (0 , 0)c) M (1 , 3), N (3 , 3), H (0 , 3)d) A (1 , 2), B (5 , 6), C (4 , 5)


Saber Construido____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

matematicas ciclo 3

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