matematiikka paoj 1.pintaweb.net/peruslaskuesitys.pdf · 2015-11-03 · sisÄltÖ 1....

MATEMATIIKKA

Matematiikkaa

pintakäsittelijöille

Peruslaskutoimitukset

Isto Jokinen 2015

SISÄLTÖ

1. Laskujärjestys 1

2. Murtoluvuilla laskeminen

3. Suureet ja mittayksiköt

4. Potenssi

5. Juuri

6. Tekijäyhtälöiden ratkaiseminen

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

LASKUJÄRJESTYS

Laskujärjestys on seuraava:

1. Sulkeiden sisällä olevat lasketaan ensin

2. Jos sulkeita on useita sisäkkäin, lasketaan

sisimmäisistä ulospäin

3. Kerto- ja jakolaskut

4. Yhteen ja vähennyslaskut

5. Vasemmalta oikealle jos peräkkäin yhteen-

vähennys tai kerto-jakolaskuja.

Esimerkki 1.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

152583255832

LASKUJÄRJESTYS

Esimerkki 2.

Esimerkki 3.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

47153253325)58(32

13111013

1]64[13

1]234[13

1]2)36(4[13

MURTOLUKUJEN KERTOLASKU

Murtolukujen kertolaskussa osittajat ja

nimittäjät kerrotaan keskenään.

Esimerkki 4.

Jos murtoluku kerrotaan kokonaisluvulla

kerrotaan vain soittaja.

Esimerkki 5.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

15

14

5

2

3

7

3

19

3

284

3

7

MURTOLUKUJEN JAKOLASKU

Jos murtoluku jaetaan kokonaisluvulla jaetaan

vain osoittaja.

Esimerkki 6.

Jos murtoluku jaetaan toisella murtoluvulla

vaihdetaan jakajan osoittaja nimittäjä

keskenään. Tämän jälkeen jaettava murtoluku

kerrotaan saadulla jakajalla.

Esimerkki 7.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

5

22

5

4

4

5

24

30

3

5

8

6

5

3

8

6

MURTOLUKUJEN YHTEENLASKU

Murtolukujen yhteenlaskussa on nimittäjiksi

saatava sama luku laventamalla.

Esimerkki 8.

Jos yhteenlaskettavia termejä on useita tehdään

lavennus muiden termien nimittäjien tulolla.

Esimerkki 9.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

15

19

15

10

15

9

3

2

5

3 )5)3

12

23

24

46

24

18

24

16

24

12

4

3

3

2

2

1 2()32)42)43

MURTOLUKUJEN VÄHENNYSLASKU

Murtolukujen vähennyslaskuissa on nimittäjät

lavennettava ensin samannimisiksi kuten

yhteenlaskussa.

Esimerkki 10.

Jos vähennyslaskussa on useampi tekijä

lavennetaan luvut muiden tekijöiden tulolla.

Esimerkki 11.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

28

13

28

8

28

21

7

2

4

3 )4)7

12

19

24

38

24

18

24

16

24

72

4

3

3

2

2

6 )32)42)43

ERI LASKUTOIMITUKSIA SEKAISIN

Jos murtolukulaskuissa on kerto-, jako-, yhteen-

ja vähennyslaskuja sekaisin on laskujärjestys

kuten yleensäkin:

1. Ensin kerto- ja jakolaskut

2. Sitten yhteen- ja vähennyslaskut

Esimerkki 12.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

15

31

15

24

15

7

5

8

15

7

5

8

3

1

5

7 )3

SEKALUKUJEN KERTO-, JAKO-, YHTEEN- JA

VÄHENNYSLASKU

Sekaluvut pitää ennen laskemista muuttaa

murtoluvuiksi. Tämän jälkeen lasketaan

murtolukuina kuten edellä.

Esimerkki 13. Sekalukuja murtolukuina

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

12

43

12

7)123(

12

73

4

49

4

1)412(

4

112

OSOITTAJASSA JA NIMITTÄJÄSSÄ

LASKUTOIMITUKSIA

Osoittajassa ja nimittäjässä olevat

laskutoimitukset lasketaan ensin. Tämän jälkeen

tehdään jakolasku.

Esimerkki 14.

Esimerkki 15.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

510

50

25

2921

2)712(

2973

510

50

25

2921

4

8)712(

3

8773

TEKIJÖINÄ MUUTTUJIA

KERTOLASKUT

Esimerkki 16.

Esimerkki 17.

Esimerkki 18.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

abccba 120546

b

ac

b

ac

b

ca2

10

20

10

54

q

z

yxq

xyz

xq

yz

y

x9

20

180

4

15

5

12


JAKOLASKUT

Esimerkki 19.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

y

b

ay

b

b

a

ay

b

b

a

b

ay

b

a

y

x

y

x

y

x

y

x

4

36

8

12

72

256

32

72

12:

256

32

3

2

75

25

5

1

15

255:

35

25


YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUT

Esimerkki 20.

Esimerkki 21.

Esimerkki 22.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

12

31

12

15

12

16

4

5

3

4 )3)4

yz

xzx

yz

xz

yz

x

y

x

yz

x z

12

2420

12

24

12

20

4

8

3

5 )3)4

y

x

yz

xz

yz

xz

yz

xz

y

x

yz

xz z

6

7

12

14

12

6

12

20

4

2

3

5 )3)4

SUUREET JA MITTAYKSIKÖT

Suure = lukuarvo × yksikkö

Esimerkiksi 18 kg:ssa 18 on lukuarvo ja kg

yksikkö.

Kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä ( SI-

järjestelmässä ) on seitsemän perussuuretta ja

perusyksikköä. Kaikki muut suureet ja yksiköt

on johdannaisyksikköjä jotka perustuvat

perussuureisiin ja perusyksiköihin.

Suureilla on myös tunnukset. Esimerkiksi

massan tunnus on m ja ajan tunnus t.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11


Perussuureet

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

Suure Tunnus Yksikkö

Pituus l m

Massa m kg

Aika t s

Lämpötila T K

Ainemäärä n mol

Sähkövirta I A

Valovoima Cd


Johdannaissuureet

Johdannaissuureita on hyvin paljon. Esimerkiksi

nopeus ( m/s ) on matka jaettuna ajalla.

Kiihtyvyys ( m/s2 ) on nopeus jaettuna ajalla.

Voima taas on massa kertaa kiihtyvyys ( kgm/s2 )

ja työ voima kerrottuna matkalla (kgm/s2 × m )

Molekyylimassa on massa jaettuna ainemäärällä

kg/mol. Konsentraatio on ainemäärä jaettuna

tilavuudella ( mol/dm3 ), jossa taas yksikkö dm3

taas on pituuden yksikkö dm3 on pituuden

yksikkö dm korotettuna kolmanteen potenssiin.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

KERRANNAISYKSIKÖT

Kun jonkin suureen lukuarvo on hyvin suuri tai pieni, käytetään kerrannaisyksikköjä. Tällöin suureen suuruus on helpompi hahmottaa. Esimerkiksi matkan ilmoittaminen metreinä ei olisi selkeää, kun se olisi 420000 m. Selkeämpää on ilmoittaa matka kilometreinä, jolloin se on 420 km. Maalikerroksen paksuus taas on hyvä ilmoittaa mikrometreinä (µm) eikä metreinä. Esim. 180 µm on sopivampi kuin 0,000180 m.

Kerrannaisyksiköitä tulisi käyttää niin, että suureen lukuarvo on välillä 1-999.

Esimerkiksi 50 mg on sopivampi tapa ilmoittaa massa kuin 0,05 g tai 0,00005 kg.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

KERRANNAISYKSIKÖT

Yleisimmin käytettävät kerrannaisyksiköt:

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

Nimi Lyhenne Kerroin

Tera T 1012

Giga G 109

Mega M 106

Kilo k 103

- - 1

Milli m 10 -3

Mikro µ 10 -6

Nano n 10 -9

Piko p 10 -12

POTENSSI

Potenssilaskuissa kantaluku kerrotaan itsellään

eksponentin mukaan.

Esimerkki 23.

Potenssilaskujen laskusäännöt:

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

7776666666

644444

5

3

yxyx

yx

y

x

yxyx

aa

aa

a

aaa

)(

POTENSSI


Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

aa

b

a

b

a

baba

c

cc

ccc

1

)(

1

POTENSSI


Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

cc

a

b

b

a

aa

2

2 1

POTENSSI

Esimerkkejä 24.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

22515)35(

2259253535

729333333333

8222222

2

12822222222222

22

222

62323

325

2

5

74343

POTENSSI

Esimerkkejä 25.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

64

125

4

5

4

5

5

4

125

1

5

15

16

9

4

3

4

3

3

333

3

3

2

22

JUURI

Juurin on potenssin vastakkainen laskutoimitus

Esimerkkejä 26.

Neliöjuuri luvusta 25 on 5 koska 52 = 25.

Neliöjuuri luvusta 81 on 9, koska 92 = 81.

Kuutiojuuri luvusta 27 on 3, koska 33 = 27.

Neljäs juuri luvusta 256 on 4, koska 44 = 256.

Kahdeksas juuri luvusta 390625 on 5, koska 58 =

390625

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

TEKIJÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN

Tekijäyhtälöiden ratkaisua tarvitaan hyvin

paljon fysiikassa, kemiassa, teknisessä

laskennassa ja ongelmanratkaisutehtävissä.

Tämän vuoksi tekijäyhtälöiden ratkaisun

hallinta on hyvin tärkeää.

Esimerkki 27. Tekijäyhtälöitä:

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

M

mn

t

sv

nRTPV

IRU

t

vva

Fz

tIn

)( 01


Tekijän yhtälöstä pitää ratkaista se tekijä jota

kysytään tehtävässä.

Esimerkiksi jos kysytään vastusta ( R ), on

yhtälöstä ratkaistava se. Jos yhtälössä on

pelkkiä kerto- ja jakolaskuja voidaan termejä

siirtää yhtälön puolilta toisiin kun niiden paikat

vaihdetaan nimittäjästä osoittajaan ja

päinvastoin. Tämä vastaa puolittain kertomista

ja jakamista, mutta on yksinkertaisempaa tehdä.

Teknisessä laskennassa laskukaavat ovat

olemassa, mutta niistä joudutaan usein

ratkaisemaan kysytty tekijä.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11


Esimerkki 28. Termien siirtoa yhtälöiden

puolista toisille. Ratkaistaan R, I, P, V ja R.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

IR

U

RI

U

IRU

Tn

VPRR

Tn

VP

P

TRnV

V

TRnP

TRnVP


Esimerkki 29. Termien siirtoa kun

laskukaavasta halutaan ratkaista I.

Laskukaava on muotoa:

Kun I ratkaistaan on kaikki muut tekijät paitsi I

siirrettävä yhtälön toiselle puolelle. Saadaan:

Tämän jälkeen sijoitetaan luvut arvot m,z,F,M ja

t:n paikoille ja ratkaistaan tehtävä.

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

Fz

tI

M

m

tM

FzmII

tM

Fzm


Jos tekijäyhtälössä on yhteen- ja vähennyslaskua

on termit vähennettävä tai lisättävä puolittain.

Esimerkki 30. Kiihtyvyyden yhtälöstä

ratkaistaan loppunopeus v2

Cop

yrig

ht Isto

Jok

inen

20

11

. Kä

yttö

op

etu

kse

ssa te

kijä

n lu

va

lla.

21

12

12

vvta

vvta

t

vva

matematiikka paoj 1.pintaweb.net/peruslaskuesitys.pdf · 2015-11-03 · sisÄltÖ 1....

Documents