matematik felsefesi İçin yeterlik Ölçütleri ……………………

11

Matematik Felsefesi İçin Yeterlik ÖlçütleriMatematik Felsefesi İçin Yeterlik Ölçütleri……………………..……………………..

Yetkin bir matematik felsefesi için ölçütler ne olmalıdır? Yetkin bir matematik felsefesi için ölçütler ne olmalıdır? Matematik felsefesinin merkezinde matematiğin doğasını anlama ve Matematik felsefesinin merkezinde matematiğin doğasını anlama ve

açıklama olmalıdır. Bunu yaparken bilgi kuramı (epistemoloji) ve açıklama olmalıdır. Bunu yaparken bilgi kuramı (epistemoloji) ve varlıkbilimi (ontoloji) gibi dâhili meselelerin yanında matematik tarihi, varlıkbilimi (ontoloji) gibi dâhili meselelerin yanında matematik tarihi, matematiğin doğuşu ve uygulaması gibi harici meseleleri de dikkate matematiğin doğuşu ve uygulaması gibi harici meseleleri de dikkate almalıdır. almalıdır.

Bu kabuller başlangıçta matematik felsefesi için ölçüt niteliğinde olmuştur. Bu kabuller başlangıçta matematik felsefesi için ölçüt niteliğinde olmuştur. Bu ölçütleri daha yakından ele alalım:Bu ölçütleri daha yakından ele alalım:• Matematik bilgisiMatematik bilgisi: onun doğası, doğruluğu ve doğuşu.: onun doğası, doğruluğu ve doğuşu.• Matematik nesneleriMatematik nesneleri: nesnelerin doğası ve kökenleri.: nesnelerin doğası ve kökenleri.• Matematik uygulamaları:Matematik uygulamaları: matematik bilgisinin fen bilimlerinde, teknolojide ve matematik bilgisinin fen bilimlerinde, teknolojide ve

diğer alanlardaki kullanımı.diğer alanlardaki kullanımı.• Matematik yapmaMatematik yapma: matematikçilerin geçmişte ve günümüzdeki etkinlikleri.: matematikçilerin geçmişte ve günümüzdeki etkinlikleri.

Saydığımız bu noktaların yetkin bir matematik felsefesi için ölçütler olarak Saydığımız bu noktaların yetkin bir matematik felsefesi için ölçütler olarak kabul edilmesini öneren Ernest (1991) bunun yapılması halinde matematik kabul edilmesini öneren Ernest (1991) bunun yapılması halinde matematik felsefesinin işlevinin yeniden tanımlanmış olacağını söylemektedir. felsefesinin işlevinin yeniden tanımlanmış olacağını söylemektedir.

Bu ölçütler felsefi okulların matematik felsefesi olarak yeterliklerini Bu ölçütler felsefi okulların matematik felsefesi olarak yeterliklerini irdelememizi kolaylaştıracaktır.irdelememizi kolaylaştıracaktır.

22

Ölçütler Işığında Felsefi Okulların EleştirisiÖlçütler Işığında Felsefi Okulların Eleştirisi……….……….

Mantıkçıları, formalistleri ve sezgicileri mutlakçılar olarak tanımıştık ve Mantıkçıları, formalistleri ve sezgicileri mutlakçılar olarak tanımıştık ve programlarının neden başarısız olduklarını da kısaca belirtmiştik. programlarının neden başarısız olduklarını da kısaca belirtmiştik.

Mutlakçı görüş, matematiği özellikle de Euclid geometrisini kesinliğin Mutlakçı görüş, matematiği özellikle de Euclid geometrisini kesinliğin mükemmel örneği olarak görmektedir. Matematiğin kesinliğe ulaşırken mükemmel örneği olarak görmektedir. Matematiğin kesinliğe ulaşırken kullandığı yöntemlerin yanlışlanamazlığına inandılar. kullandığı yöntemlerin yanlışlanamazlığına inandılar.

Eflatunculuğu benimsedikleri için mutlakçılara göre, matematikteki doğrular Eflatunculuğu benimsedikleri için mutlakçılara göre, matematikteki doğrular geliştirilemez, oluşturulamaz onlar keşfedilirler. Yeni bir doğrunun geliştirilemez, oluşturulamaz onlar keşfedilirler. Yeni bir doğrunun keşfedilmesiyle önceki doğrular değişmeden kalır. keşfedilmesiyle önceki doğrular değişmeden kalır.

Esnek olmayan bir yapı olarak matematiksel doğruların yığılarak Esnek olmayan bir yapı olarak matematiksel doğruların yığılarak çoğalmasıyla matematik büyür. çoğalmasıyla matematik büyür.

Ölçütler mutlakçıların matematik felsefesi olarak bazı eksikliklerinin olduğunu Ölçütler mutlakçıların matematik felsefesi olarak bazı eksikliklerinin olduğunu göstermektedir. göstermektedir.

Mutlakçılar matematiğin doğuşu ve kullanışlılığı gibi sosyal ve tarihsel Mutlakçılar matematiğin doğuşu ve kullanışlılığı gibi sosyal ve tarihsel faktörleri programlarının dışında tuttular. Mutlakçı programlar çok dar açıdan faktörleri programlarının dışında tuttular. Mutlakçı programlar çok dar açıdan baktıkları için matematiğin doğasının bütünüyle anlaşılmasına fazla katkıda baktıkları için matematiğin doğasının bütünüyle anlaşılmasına fazla katkıda bulunamadılar. bulunamadılar.

Böylece, mutlakçılar yalnız matematiğin temellerini kurmada başarısız Böylece, mutlakçılar yalnız matematiğin temellerini kurmada başarısız olmadılar aynı zamanda ölçütleri sağlamada da yetersiz kaldılar. olmadılar aynı zamanda ölçütleri sağlamada da yetersiz kaldılar.

33


Mutlakçı okulları aynı grupta eleştirmemize rağmen aralarında önemli Mutlakçı okulları aynı grupta eleştirmemize rağmen aralarında önemli farklar vardır. Confrey (1981) mutlakçıları farklar vardır. Confrey (1981) mutlakçıları formal ve gelişimciformal ve gelişimci mutlakçılar mutlakçılar olarak ayırmaktadır. İki görüşün temel ayrılığı birinin olarak ayırmaktadır. İki görüşün temel ayrılığı birinin matematiği statik bir yapı olarak diğerinin ise değişen bir yapı olarak matematiği statik bir yapı olarak diğerinin ise değişen bir yapı olarak

görmeleridir.görmeleridir. Bu ayrıma göre mantıkçılar ve formalistler formal Bu ayrıma göre mantıkçılar ve formalistler formal mutlakçıdır. Kendi aksiyomları üzerine kurulan formal bir matematiksel mutlakçıdır. Kendi aksiyomları üzerine kurulan formal bir matematiksel

kuram içindeki teoremlerin keşfini ve ispatını kabul ederlerkuram içindeki teoremlerin keşfini ve ispatını kabul ederler. . Buna karşın, Buna karşın, matematik kuramlarının inşasını, oluşturulmasını, değiştirilmesini insanın matematik kuramlarının inşasını, oluşturulmasını, değiştirilmesini insanın bu süreçteki rolünü ihmal ederler. bu süreçteki rolünü ihmal ederler.

Bu görüşlerin aksine, gelişmeci mutlakçı olarak sezgiciler icadı ve Bu görüşlerin aksine, gelişmeci mutlakçı olarak sezgiciler icadı ve

aksiyomatik kuramların değişimini kabul ederler.aksiyomatik kuramların değişimini kabul ederler. Sezgiciler matematiğin Sezgiciler matematiğin temellerini sezgisel ispatlarla kurmayı amaçlayan bir program takip temellerini sezgisel ispatlarla kurmayı amaçlayan bir program takip ettikleri için ispatların, matematiksel nesnelerin ve bilgilerin inşasında ettikleri için ispatların, matematiksel nesnelerin ve bilgilerin inşasında insanın matematiksel etkinliğini temel olarak görürler. insanın matematiksel etkinliğini temel olarak görürler.

Ölçütler açısından baktığımızda sezgicilerin matematik felsefesinin yeterlik Ölçütler açısından baktığımızda sezgicilerin matematik felsefesinin yeterlik ölçütlerini mantıkçılardan ve formalistlerden daha çok sağladığını ölçütlerini mantıkçılardan ve formalistlerden daha çok sağladığını söyleyebiliriz. Çünkü sezgiciler sınırlı da olsa matematikçilerin insan olarak söyleyebiliriz. Çünkü sezgiciler sınırlı da olsa matematikçilerin insan olarak etkinliklerine yer vermektedir (4. ölçüt).etkinliklerine yer vermektedir (4. ölçüt).

44


Eflatunculara göre matematik değişmez ve Eflatunculara göre matematik değişmez ve sabit bir bilimdir. Oysa, burada matematiğin sabit bir bilimdir. Oysa, burada matematiğin en önemli kısmının birikimli oluşu ve üst üte en önemli kısmının birikimli oluşu ve üst üte

inşa edilebilirliği görmezlikten gelinmektedir.inşa edilebilirliği görmezlikten gelinmektedir.

Matematiği statik bir yapı olarak görmek Matematiği statik bir yapı olarak görmek isteyen Eflatuncular bu gerçeği görmezlikten isteyen Eflatuncular bu gerçeği görmezlikten

gelirler. Harici olarak da, matematiğin gelirler. Harici olarak da, matematiğin gelişmesinde kültürel ve tarihi boyutları gelişmesinde kültürel ve tarihi boyutları

ihmal etmeleri Eflatuncuların elini yeterlik ihmal etmeleri Eflatuncuların elini yeterlik ölçütleri bağlamında zayıflatmaktadır. ölçütleri bağlamında zayıflatmaktadır.

55


LakatosLakatos,, matematiksel bilgiyi bireysel etkinlik olarak görür ve bu etkinliğin içinde matematiksel bilgiyi bireysel etkinlik olarak görür ve bu etkinliğin içinde fiziksel dünyanın gözlemi olduğu gibi soyut düşünme ve mantıksal çıkarım etkinlikleri fiziksel dünyanın gözlemi olduğu gibi soyut düşünme ve mantıksal çıkarım etkinlikleri de vardır. de vardır.

Eğer matematik insan etkinliği ise o zaman onun doğasında mükemmellik aramak Eğer matematik insan etkinliği ise o zaman onun doğasında mükemmellik aramak doğru değildir. Yani matematik bilginin ürünü, ispatlar ve bazı kavramlar, doğru değildir. Yani matematik bilginin ürünü, ispatlar ve bazı kavramlar, sorgulanmaya kapalı son şekli ile salt doğru ve mükemmel değildirler, onlar her sorgulanmaya kapalı son şekli ile salt doğru ve mükemmel değildirler, onlar her zaman tartışılmaya ve geliştirilmeye açıktır. zaman tartışılmaya ve geliştirilmeye açıktır.

Yar-deneyselcilere göre bireysel varsayımlar ve formüller karşılıklı sosyal etkileşim Yar-deneyselcilere göre bireysel varsayımlar ve formüller karşılıklı sosyal etkileşim içerisinde tartışılır ve doğruluk değerleri paylaşılır. Böylece, fikirlerin karşılıklı sosyal içerisinde tartışılır ve doğruluk değerleri paylaşılır. Böylece, fikirlerin karşılıklı sosyal değişimi matematikle ilgili teorilerin ayrıntılı bir şekilde açıklanmasını kolaylaştırır. değişimi matematikle ilgili teorilerin ayrıntılı bir şekilde açıklanmasını kolaylaştırır.

Lakatos, buradan şu sonuca varmak istiyor. Matematik bizden önce bir yerde Lakatos, buradan şu sonuca varmak istiyor. Matematik bizden önce bir yerde bekleyen mutlak hakikatin keşfi değil, matematik bir insan emeği ve etkinliğidir, o bekleyen mutlak hakikatin keşfi değil, matematik bir insan emeği ve etkinliğidir, o matematikçilerin inşasıdır. matematikçilerin inşasıdır.

Yarı deneyselciler, yukarıda açıklandığı gibi doğruluğu, kesinliği ve uygulaması ile Yarı deneyselciler, yukarıda açıklandığı gibi doğruluğu, kesinliği ve uygulaması ile ilgili tutumları yanında tarihsel süreç içerisinde insan emeğinin ve sosyal etkileşim ilgili tutumları yanında tarihsel süreç içerisinde insan emeğinin ve sosyal etkileşim sürecinin bir ürünü olarak matematiksel bilginin oluşumunu kabul ettikleri için sürecinin bir ürünü olarak matematiksel bilginin oluşumunu kabul ettikleri için matematik felsefesi yeterlik ölçütlerini sağlama bakımından diğer felsefi okullara matematik felsefesi yeterlik ölçütlerini sağlama bakımından diğer felsefi okullara göre daha üstün durumdadırgöre daha üstün durumdadır..

66

MATEMATİĞİN KULLANDIĞI İSPAT ÇEŞİTLERİ……………………MATEMATİĞİN KULLANDIĞI İSPAT ÇEŞİTLERİ……………………

Matematikte farklı ispat yöntemleri vardır. Bütün ispatların amacı iddia Matematikte farklı ispat yöntemleri vardır. Bütün ispatların amacı iddia edilenin doğruluğunu ya da yanlışlığını kanıtlamaktır. Bu, her durumda ve her edilenin doğruluğunu ya da yanlışlığını kanıtlamaktır. Bu, her durumda ve her koşulda iddianın doğru olduğunun gösterilmesi şeklinde olur. Bir başka koşulda iddianın doğru olduğunun gösterilmesi şeklinde olur. Bir başka deyişle iddianın, örüntünün bütün şartlarda genellenebilirliği gösterildiğinde deyişle iddianın, örüntünün bütün şartlarda genellenebilirliği gösterildiğinde ispat tamamlanmış olur. ispat tamamlanmış olur.

Bunun için matematikçinin bütün durumları kontrol etmesi gerekir. Bunun için matematikçinin bütün durumları kontrol etmesi gerekir. Tümevarım, tümdengelim, olmayana ergiTümevarım, tümdengelim, olmayana ergi yöntemleri hep bu amaçla kullanılır. yöntemleri hep bu amaçla kullanılır. Bu yöntemlerin dışında da matematikçilerin kullandıkları genellemeler vardır. Bu yöntemlerin dışında da matematikçilerin kullandıkları genellemeler vardır.

Bazen bir kaç adım genellemeyi garanti altına aldığı gibi bazen belli sayıda Bazen bir kaç adım genellemeyi garanti altına aldığı gibi bazen belli sayıda sonlu adımlar genellemeyle ilgili soru işaretlerini ortadan kaldırmaya yetmez. sonlu adımlar genellemeyle ilgili soru işaretlerini ortadan kaldırmaya yetmez.

Genellikle matematiksel ispatlar üç aşamada tamamlanır:Genellikle matematiksel ispatlar üç aşamada tamamlanır: Birinci aşamada iddianın doğruluğu araştırılır. Buna doğrulama aşaması Birinci aşamada iddianın doğruluğu araştırılır. Buna doğrulama aşaması

diyebiliriz.diyebiliriz. İkinci aşamada ise iddianın niçin doğru olduğunun açıklaması yapılır. İkinci aşamada ise iddianın niçin doğru olduğunun açıklaması yapılır. Üçüncü aşamada ise genelleme koşulları kontrol edilerek soyutlama yapılır. Üçüncü aşamada ise genelleme koşulları kontrol edilerek soyutlama yapılır.

Bu aşamada ispat için yapılanlar matematiksel dil kullanılarak en kısa yoldan Bu aşamada ispat için yapılanlar matematiksel dil kullanılarak en kısa yoldan soyutlaştırılır. soyutlaştırılır.

77


““Aynı şeye eşit iki şey eşittirAynı şeye eşit iki şey eşittir” önermesi ” önermesi gibi matematikte doğruluğunu ispata gibi matematikte doğruluğunu ispata gerek kalmadan apaçık kabul ettiğimiz gerek kalmadan apaçık kabul ettiğimiz önermelere önermelere aksiyom,aksiyom,

““ikiz kenar üçgende taban açıları eşitikiz kenar üçgende taban açıları eşittir” tir” önermesi gibi doğruluğu ispatlanması önermesi gibi doğruluğu ispatlanması gereken önermelere de gereken önermelere de teorem teorem diyoruz. diyoruz.

Postulat Postulat ise doğrulukları ispatlanamayan ise doğrulukları ispatlanamayan ancak doğru olarak kabul edilen ancak doğru olarak kabul edilen önermelerdir. önermelerdir.

88


Bir aksiyomatik sistemi oluşturan dört esas öğe vardır:Bir aksiyomatik sistemi oluşturan dört esas öğe vardır: A1: Tanımlanmamış terim ve sembollerin koleksiyonu.A1: Tanımlanmamış terim ve sembollerin koleksiyonu. A2: Bu terim ve semboller kullanılarak tanımlanan formüller ve A2: Bu terim ve semboller kullanılarak tanımlanan formüller ve

kümeler.kümeler. A3: Bir dizi kabuller (aksiyomlar)A3: Bir dizi kabuller (aksiyomlar) A4: Bu kabullerden ortaya çıkan iddialar, varsayımlar.A4: Bu kabullerden ortaya çıkan iddialar, varsayımlar.

Bu dört öğeye bağlı olarak yeni bir aksiyomatik sistem kuralım.Bu dört öğeye bağlı olarak yeni bir aksiyomatik sistem kuralım. Tanımlanmamış terimler nokta, doğru, içerme ve üzerinde olma Tanımlanmamış terimler nokta, doğru, içerme ve üzerinde olma

olsun.olsun. A1: Sadece dört nokta vardır.A1: Sadece dört nokta vardır. A2: Her doğru en az iki nokta içerirA2: Her doğru en az iki nokta içerir A3: noktaları için A3: noktaları için A A ve ve B B noktalarını içeren yalnız bir tek doğru noktalarını içeren yalnız bir tek doğru

vardır.vardır. A4: Bu uzayda üç farklı noktayı içeren bir doğru yoktur.A4: Bu uzayda üç farklı noktayı içeren bir doğru yoktur.

AB

C

D

d3

d2

d1

d4 A

C

D

B

99


1010

Matematikle ilgili ispatlarda önemli olan atılan her adımın mantıklı olması Matematikle ilgili ispatlarda önemli olan atılan her adımın mantıklı olması ve matematiksel geçerliliği olmasıdır. İspat sırasında başlangıçtaki kabuller ve matematiksel geçerliliği olmasıdır. İspat sırasında başlangıçtaki kabuller

ve şartlar dikkate alınmaz ise kolayca yanlış genellemelere ulaşabiliriz. ve şartlar dikkate alınmaz ise kolayca yanlış genellemelere ulaşabiliriz. Aşağıdaki örnekleri inceleyelim:Aşağıdaki örnekleri inceleyelim:

a, b olmak üzere a=b olsun.a, b olmak üzere a=b olsun. 1.1. a a22 =a.b ..................(her iki taraf a ile çarpıldı) =a.b ..................(her iki taraf a ile çarpıldı) 2.2. a a22 –b –b22 =ab-b =ab-b22 .................(her iki taraftan b2 çıkarıldı) .................(her iki taraftan b2 çıkarıldı) 3.3. (a+b)(a-b)= b(a-b) .....(her iki taraf (a-b) ortak parantezine (a+b)(a-b)= b(a-b) .....(her iki taraf (a-b) ortak parantezine

alındı) alındı) 4.4. a+b=b ........................(her iki taraf (a-b) ile bölündü) a+b=b ........................(her iki taraf (a-b) ile bölündü) 5.5. b+b=b b+b=b 6.6. 2b = b 2b = b 7.7. 2=1 2=1

1111

Genelleme Koşulu……………………………………Genelleme Koşulu……………………………………

Matematiksel genellemelerde bazen belli sayıda adımlar Matematiksel genellemelerde bazen belli sayıda adımlar kontrol edilerek örüntünün veya iddianın genellenebilirliği kontrol edilerek örüntünün veya iddianın genellenebilirliği hakkında karar verilmeye çalışılır. hakkında karar verilmeye çalışılır.

Bazı durumlarda genellemeye ulaşmak için iki, üç adım yeterli Bazı durumlarda genellemeye ulaşmak için iki, üç adım yeterli olabilir. Bazı durumlarda ise sonlu sayıda adımların olabilir. Bazı durumlarda ise sonlu sayıda adımların denenmesi genellemeyle ilgili soru işaretlerini ortadan denenmesi genellemeyle ilgili soru işaretlerini ortadan kaldırmaz. Aşağıdaki örneklere bakalım.kaldırmaz. Aşağıdaki örneklere bakalım.

Örnek:Örnek: Çokgenlerin iç açıları toplamını veren (n-2).180 formülünün doğruluğu Çokgenlerin iç açıları toplamını veren (n-2).180 formülünün doğruluğu

üçgen, dörtgen ve beşgen için gösterilmesi ile genellenebilir mi? Bu üçgen, dörtgen ve beşgen için gösterilmesi ile genellenebilir mi? Bu formülün doğruluğunu sınamak için iki veya üç adım yeterli olabilir. formülün doğruluğunu sınamak için iki veya üç adım yeterli olabilir. Her çokgende iç açı ile dış açı bütünler açıdır. Çokgenlerin iç açıları Her çokgende iç açı ile dış açı bütünler açıdır. Çokgenlerin iç açıları toplamı farklı olsa da dış açıları toplamı eşittir. toplamı farklı olsa da dış açıları toplamı eşittir.

1212

Örnek:

1313


Çember üzerinde alınan noktaları birleştiren doğruların ayırdığı Çember üzerinde alınan noktaları birleştiren doğruların ayırdığı bölgelerin sayısına bakalım. Dördüncü adıma kadar nokta sayısı n bölgelerin sayısına bakalım. Dördüncü adıma kadar nokta sayısı n olmak üzere bölge sayısı 2n-1 olacak şekilde bir genelleme ortaya olmak üzere bölge sayısı 2n-1 olacak şekilde bir genelleme ortaya

çıkmaktadır. Genelleme yapabilmek için dört adımı yeterli sayabilir çıkmaktadır. Genelleme yapabilmek için dört adımı yeterli sayabilir miyiz? Nokta sayısı 6 olduğunda genellemenin bozulup miyiz? Nokta sayısı 6 olduğunda genellemenin bozulup

bozulmadığına bakmamız gerekiyor mu?bozulmadığına bakmamız gerekiyor mu?

1414


Çember üzerinde kesişen kirişlerin ayırdığı bölgelerin sayısı için bir Çember üzerinde kesişen kirişlerin ayırdığı bölgelerin sayısı için bir genelleme yapabilir miyiz? Burada Örnek 1.6.6’dakinin tersine dördüncü genelleme yapabilir miyiz? Burada Örnek 1.6.6’dakinin tersine dördüncü

adıma kadar basit olarak ifade edebileceğimiz genel bir örüntü adıma kadar basit olarak ifade edebileceğimiz genel bir örüntü gözleyemiyoruz. Bu, n tane kesişen kiriş için oluşacak bölgeyi kesin olarak gözleyemiyoruz. Bu, n tane kesişen kiriş için oluşacak bölgeyi kesin olarak

bulamayız, anlamına mı gelecektir. Bir genelleme yapamayacak mıyız? bulamayız, anlamına mı gelecektir. Bir genelleme yapamayacak mıyız?

P=nP=n22 -n+41 ifadesi Fermat tarafından asal sayılar için geliştirilmiştir. n’nin -n+41 ifadesi Fermat tarafından asal sayılar için geliştirilmiştir. n’nin aldığı değerlere göre P asal sayı çıkacaktır. n’ye 0’dan 40’a kadar değer aldığı değerlere göre P asal sayı çıkacaktır. n’ye 0’dan 40’a kadar değer

verildiğinde gerçekten hep asal sayı çıkmaktadır. Ancak, 40. adıma kadar verildiğinde gerçekten hep asal sayı çıkmaktadır. Ancak, 40. adıma kadar doğru olduğunu gördüğümüz bu ifadenin her zaman asal sayı vereceğini doğru olduğunu gördüğümüz bu ifadenin her zaman asal sayı vereceğini söyleyebilir miyiz? Adımların fazlalığı genellemeyi garanti altına alır mı?söyleyebilir miyiz? Adımların fazlalığı genellemeyi garanti altına alır mı?

1515

Bilinenlerden hareketle önermenin doğruluğunu gösterme…………..Bilinenlerden hareketle önermenin doğruluğunu gösterme…………..

1616


1717

Tümevarım Yöntemi……………………………………………….Tümevarım Yöntemi……………………………………………….

Matematiksel ispatlarda kullanılan bir yöntem de tümevarım yöntemidir. Bu Matematiksel ispatlarda kullanılan bir yöntem de tümevarım yöntemidir. Bu yöntemi, iddianın n=0 veya n=1 için doğru olduğunu göstererek n=k için yöntemi, iddianın n=0 veya n=1 için doğru olduğunu göstererek n=k için doğruluğunu kabul edip k+1 için doğruluğunu göstermek olarak doğruluğunu kabul edip k+1 için doğruluğunu göstermek olarak özetleyebiliriz.özetleyebiliriz.

1818


1919

Tümden Gelim Yöntemi………………………………………..Tümden Gelim Yöntemi………………………………………..

2121

Özel Durumlardan yeni genellemeler çıkarmak………………...Özel Durumlardan yeni genellemeler çıkarmak………………...

2222

Özel Durumlardan yeni genellemeler çıkarmak………………...Özel Durumlardan yeni genellemeler çıkarmak………………...

3030

MATEMATİĞİN KULLANDIĞI SORU TİPLERİ…………………..MATEMATİĞİN KULLANDIĞI SORU TİPLERİ…………………..

Matematikte alıştırma, problem, uygulama ve araştırma gibi çeşitli Matematikte alıştırma, problem, uygulama ve araştırma gibi çeşitli soru türleri kullanır.soru türleri kullanır.

3131

Problem türünden sorular……………..Problem türünden sorular…………….. Bu tür sorularda daha önceden öğrenilen bilgilerin kullanılması istenir, ancak çözüm yolu Bu tür sorularda daha önceden öğrenilen bilgilerin kullanılması istenir, ancak çözüm yolu belli değildir. Sonuca giden yolun bulunması problemi çözenden istenir. Bu tür sorular için belli değildir. Sonuca giden yolun bulunması problemi çözenden istenir. Bu tür sorular için fare-labirent içindedir ve izleyeceği yolu bulmak için çeşitli yönleri dener denilebilir.fare-labirent içindedir ve izleyeceği yolu bulmak için çeşitli yönleri dener denilebilir.

3333

Uygulama türünden sorular………………………Uygulama türünden sorular………………………

Bu tür sorular günlük hayattan uygulamalarda, pratiklerden seçilen farklı Bu tür sorular günlük hayattan uygulamalarda, pratiklerden seçilen farklı çözüm yolları ve sonuçları olan sorulardır. Bu tür soruların çözümünde çözüm yolları ve sonuçları olan sorulardır. Bu tür soruların çözümünde önceden öğrenilenlerin kullanılması istenir. Ancak, tek bir çözüm olmadığı için önceden öğrenilenlerin kullanılması istenir. Ancak, tek bir çözüm olmadığı için bilgi, beceri ve deneyimler kullanılarak orijinal çözümlerin, yaklaşımların bilgi, beceri ve deneyimler kullanılarak orijinal çözümlerin, yaklaşımların üretilmesi beklenilir.üretilmesi beklenilir.

Örnek 1.7.5: Örnek 1.7.5: 240 cm, 180 cm boyutlarındaki kontrplaktan maksimim 240 cm, 180 cm boyutlarındaki kontrplaktan maksimim büyüklükte köpek kulübesi yapma uygulama türünden bir sorudur. Çözüm büyüklükte köpek kulübesi yapma uygulama türünden bir sorudur. Çözüm sırasında herkes farklı boyutlarda farklı parçacıklar tasarlayarak farklı sırasında herkes farklı boyutlarda farklı parçacıklar tasarlayarak farklı kulübeler elde edecektir.kulübeler elde edecektir.

Örnek 1.7.6: Örnek 1.7.6: Türkiye’de 2000 yılında yapılan nüfus sayımında nüfusun 70 Türkiye’de 2000 yılında yapılan nüfus sayımında nüfusun 70 milyon olduğu açıklanmıştır. Türkiye’nin 1960 yılında nüfusu 40 milyon, 1925 milyon olduğu açıklanmıştır. Türkiye’nin 1960 yılında nüfusu 40 milyon, 1925 yılında 15 milyon olduğu göz önüne alınarak Devlet İstatistik Enstitüsü yılında 15 milyon olduğu göz önüne alınarak Devlet İstatistik Enstitüsü Türkiye’nin gelecekteki nüfusu ile ilgili 2023 yılında 85 milyon, 2050 yılında ise Türkiye’nin gelecekteki nüfusu ile ilgili 2023 yılında 85 milyon, 2050 yılında ise 100 milyon olması yönünde tahmin yaptığını düşünelim. Siz bu tahminlere 100 milyon olması yönünde tahmin yaptığını düşünelim. Siz bu tahminlere katılıyor musunuz? Önümüzdeki yıllarda ülkemizde yaşam koşullarının daha iyi katılıyor musunuz? Önümüzdeki yıllarda ülkemizde yaşam koşullarının daha iyi olacağı, bebek ölümlerinin azalacağı, ömrün uzayacağı göz önüne alındığında olacağı, bebek ölümlerinin azalacağı, ömrün uzayacağı göz önüne alındığında 2050 yılında nüfusun tahmin edilenden daha fazla olacağına inanılmaktadır. 2050 yılında nüfusun tahmin edilenden daha fazla olacağına inanılmaktadır. Türkiye’nin 2050 yılında nüfusunun 100-120 milyon olması için nüfus atış Türkiye’nin 2050 yılında nüfusunun 100-120 milyon olması için nüfus atış oranının nasıl olması gerekir? Bu amaçla yıllara göre artışı gösteren bir formül oranının nasıl olması gerekir? Bu amaçla yıllara göre artışı gösteren bir formül bulabilir misiniz? Bu konu ile ilgili çözümlemelerinizi yapıp sonuçları bulabilir misiniz? Bu konu ile ilgili çözümlemelerinizi yapıp sonuçları yorumlayın. Bu artış eğilimlerini grafiklerle gösterin ve 2075 ve 2100 yıllarında yorumlayın. Bu artış eğilimlerini grafiklerle gösterin ve 2075 ve 2100 yıllarında nüfusun ne kadar olacağını belirlemeye çalışın. Bu soruyu yanıtlamak için nüfusun ne kadar olacağını belirlemeye çalışın. Bu soruyu yanıtlamak için yaptığınız varsayımları belirtin. yaptığınız varsayımları belirtin.

Bu soruyu cevaplama yaklaşımı kişiden kişiye değişebilir, verilenlere göre Bu soruyu cevaplama yaklaşımı kişiden kişiye değişebilir, verilenlere göre farklı yorumlar yapılabilir.farklı yorumlar yapılabilir.

3434

Araştırma türünden sorular………………Araştırma türünden sorular……………… Bu tür sorularda çözüm yolu belli değildir. Ortaya ne çıkacağı da belli değildir. Bu tür sorularda çözüm yolu belli değildir. Ortaya ne çıkacağı da belli değildir.

Araştırma soruları açık uçlu sorulardır. Bu tür sorularda öğrenciden yeni ilişkiler, yeni Araştırma soruları açık uçlu sorulardır. Bu tür sorularda öğrenciden yeni ilişkiler, yeni örüntüler keşfetmeleri beklenir. Ayrıca, bu sorularda bazen bir modelleme yapma örüntüler keşfetmeleri beklenir. Ayrıca, bu sorularda bazen bir modelleme yapma gereği de ortaya çıkabilir. gereği de ortaya çıkabilir.

Örnek:Örnek:

Bütün tam sayılar ardışık sayıların toplamı şeklinde yazılabilir mi? Bu tür açık uçlu Bütün tam sayılar ardışık sayıların toplamı şeklinde yazılabilir mi? Bu tür açık uçlu sorularda ortaya ne çıkacağı nasıl bir sonuca varılacağı önceden bilinemez. Ayrıca sorularda ortaya ne çıkacağı nasıl bir sonuca varılacağı önceden bilinemez. Ayrıca farklı yöntemler geliştirilebilir. Basit bir sorgulamadan sonra tek sayıların ardışık iki farklı yöntemler geliştirilebilir. Basit bir sorgulamadan sonra tek sayıların ardışık iki

sayının toplamı olarak yazılabileceği bulunur. Ya çift sayılar?sayının toplamı olarak yazılabileceği bulunur. Ya çift sayılar?

3535

Araştırma türünden sorular………………..Araştırma türünden sorular………………..

matematik felsefesi İçin yeterlik Ölçütleri ……………………

Documents