matematika 1 - uniba.sksophia.dtp.fmph.uniba.sk/~balek/matd.pdf · b. p. demidovič: sbornik zadač...
TRANSCRIPT
Matematika 1
V. Balek
UČEBNICE
J. B. Zel’dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov. kap. I - IV.
Alfa, Bratislava, 1973.
I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika pre štúdium tech-
nických vied, Alfa, Bratislava, 1961.
ZBIERKY ÚLOH
J. Eliaš, J. Horváth, J. Kazan: Zbierka úloh z vyššej matematiky,
2. čast’. Alfa, Bratislava, 1966.
B. P. Demidovič: Sbornik zadač i upražnenij po matematičeskomu
analizu. Nauka, Moskva, 1977.
1. Definícia derivácie
Č o j e t o m a t e m a t i c k á a n a l ý z a ?
predmet
derivácie ↔ dotyčnice
integrály ↔ plochy
APLIKÁCIE
- statika mostov
- obiehanie družice okolo Zeme
- obtekanie krídla lietadla vzduchom
- rozpínanie plynu v 4-taktnom motore
atd’. atd’.
PRÍKLAD: otáčanie mosta Košická
priehyb mosta = vypočítaný priehyb s presnost’ou 0,001 (!)
- kl’účové slovo: diferenciálne rovnice
- nielen AKO, ale aj PREČO
1
D r á h a a k o f u n k c i a č a s u
s = dráha (meraná v km)
t = čas (meraný v hod)
interval hodnôt t
hodnota s pre každé t (= s(t)). . . FUNKCIA (= s(t))
- interval t = definičný obor
spojitý
diskrétny
- t = nezávisle premenná alebo argument
- s = závisle premenná
- s(0), s(1), . . . = hodnoty funkcie v t = 0, 1, . . .
s(t) = priradenie s všetkým t z definičného oboru
- s(t) = predpis
- musí byt’ JEDNOZNAČNÝ (jedno t - jedno s)
- znázornenie: graf funkcie
2
t
s
zapcha
radar
MESTO B
MESTO A
3
P r i e m e r n á a o k a m ž i t á r ý c h l o s t’
dráha ∆s za čas ∆t . . . v =∆s
∆t
∆t = t2 − t1
∆s = s(t2) − s(t1). . . v =
s(t2) − s(t1)
t2 − t1
LIMITA:
limx→a
f(x) = hodnota, ku ktorej sa blíži f(x), ak sa x blíži k a
⇒ v = lim∆t→0
∆s
∆t
t1 = t
t2 = t + ∆t. . . v = lim
∆t→0
s(t + ∆t) − s(t)
∆t
- iba INTUITÍVNA definícia
- f(x) sa musí chovat’ "slušne" v okolí x = a
- "lim": vid’ "limes"
PRÍKLAD: lineárna funkcia
s = αt + β (↔ rovnomerný pohyb auta)
⇒ ∆s
∆t=
1
∆t[α(t + ∆t) + β − αt− β] = α
⇒ lim∆t→0
∆s
∆t= α
4
D e r i v á c i a
df
dx= lim
∆x→0
∆f
∆x
⇒ v =ds
dt
- iné označenie: f ′(x) alebo f ′
- derivácia je TIEŽ FUNKCIA
→ 2. derivácia, 3. derivácia, . . .
=d2f
dt2,d3f
dt3, . . . alebo f ′′, f ′′′, f
(IV ). . .
PRÍKLADY
s = t2 :∆s
∆t=
1
∆t
[(t + ∆t)2 − t2
]= 2t+ ∆t ⇒ ds
dt= 2t
s = 1/t :∆s
∆t=
1
∆t
[1
t + ∆t− 1
t
]
= − 1
t(t + ∆t)⇒ ds
dt= − 1
t2
f = αg + βh :∆f
∆x= α
∆g
∆x+ β
∆h
∆x⇒ df
dx= α
dg
dx+ β
dh
dx
most Košická: pružná tyč ↔ y(x)
y(IV ) = −k, y(0) = y′′(0) = y(1) = y′′(1) = 0
5
tvar tyče pri k = 1:
0 0,5 1
-0,01
x
y
priehyb tyče =5
384k
6
2. Funkcie a grafy
P o j e m f u n k c i e
f(x): každé x ∈ M . . . JEDINÉ y = f(x)
(f : M → N alebo R x 7→ y)
y
x
f f f
GRAF FUNKCIE:
bod ↔ súradnice (x, y) (kartézske)
x
y dany bod
pociatok
7
graf f(x) = množina bodov (x, f(x)) pre všetky x ∈ M
- zostrojenie: konečný krok v x + lomená čiara
- príklad: GRAFICKÉ RIEŠENIE ROVNICE
O p e r á c i e s f u n k c i a m i
a n e p r i a m o z a d a n é f u n k c i e
1. Inverzná funkcia
f(x) je prostá ⇔ pre každé x1 6= x2 platí f(x1) 6= f(x2)
finv(y) = hodnota x, pre ktorú f(x) = y
- príklad: y = x2 → y = ±√x (DVE funkcie f±(x))
x x
y y
0 1 2 0 2 4
2
4
1
2
8
2. Zložená funkcia
fzlož (x) = f(g(x)) = hodnota f(u) pri u = g(x)
(fzlož = f ◦ g)
- f(u) = vonkajšia funkcia, g(x) = vnútorná funkcia.
- príklad: y =√u, u = 2x− x2 → y =
√2x− x2
x
x
y
u1 0 1 2
1
12
3. Implicitná funkcia
y = f(x) ↔ F (x, y) = 0
9
- príklad: ELIPSA ↔ x2
a2+y2
b2= 1 → 2 funkcie f±(x)
4. Parametricky zadaná funkcia
y = f(x) ↔ x = X(t), y = Y (t)
- príklad 1: ELIPSA ↔ x = a cosχ, y = b sinχ
- príklad 2: ARCHIMEDOVA ŠPIRÁLA
polárne súradnice (r, φ): x = r cosφ, y = r sinφ
⇒ r = φ → ∞ vel’a funkcií f1(x), f2(x), . . .
E l e m e n t á r n e f u n k c i e
1. Mocninná funkcia
y = xp
- p =n
m: xp = m
√xn
- p > 0 iracionálne: xp = limP→p
xP , P =n
m
- p < 0 : xp =1
x|p|
2. Goniometrické funkcie
10
y = sinx, cos x, tg x, cotg x
- 1 rad =360◦
2π
- inverzné funkcie: arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x
3. Exponenciálna a logaritmická funkcia
y = ax, logax (a > 0)
y = ex, lnx ≡ logex
- e = Eulerovo číslo .= 2,71828
funkcie dané analyticky:
lin. kombinácia & súčin & skladanie
POLYNÓM:
y = anxn + an−1x
n−1 + . . .︸ ︷︷ ︸
n+1 členov
- lineárna funkcia: y = px + q ↔ priamka
p = tg uhla medzi priamkou a osou x≡ smernica priamky
- kvadratická funkcia: y = ax2 + bx + c ↔ parabola
11
3. Vlastnosti funkcií. Limita.
E š t e o e l e m e n t á r n y c h f u n k c i á c h
1. Mocninná funkcia
x
1y
3
2
1
2 310
23
1/31/2
-1/2-1-2
210 x
2
1
y
- p
> 0: y → 0, ak x→ 0 / y → ∞, ak x→ ∞< 0: y → ∞, ak x→ 0 / y → 0, ak x→ ∞
- p2 > p1: y2 < y1, ak 0 < x < 1 / y2 > y1, ak x > 1
- p = ± n
m, m nepárne: aj x < 0
NÁSOBENIE A UMOCŇOVANIE:
xpxq = xp+q, (xp)q = xpq
(vid’ xn = x.x . . .︸ ︷︷ ︸n členov
)
12
POLYNÓM: najviac n koreňov
x
y
x1 x2 x3 x4
2. Goniometrické funkcie
xx
yy
0
2
-1
1
-2
0
-1
1
π π ππππ/2 /2 /223
cos sin
tg
tg
cotg
- sú periodické s periódou 2π (sin, cos) a π (tg, cotg)
13
- hodnoty pre význačné uhly:
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
sinx 01
2
1√2
√3
21
cosx 1
√3
2
1√2
1
20
SÚČTOVÉ VZORCE:
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α + β) = cosα cos β − sinα sinβ
- dôkaz vzorca č. 1:
1
βα
α
βsin
βcos
αcos βsin
βcos αsin
14
3. Exponenciálna a logaritmická funkcia
0 1 2 3
-1
0
1
-1 0 1
1
2
3
y y
exp
ln
x
x
exey = ex+y ↔ ln(xy) = lnx + ln y
(ex)p = epx ↔ ln(xp) = p lnx
15
P o j e m l i m i t y
ACHILLES VS. KORYTNAČKA:
t
s
t1
t2
t1 =l
vA, t2 =
vkt1vA
, t3 =vkt2vA
, . . .
⇒ tcelk = (1 + q + q2 + . . .)t1, q =vkvA
112
14
⇒ 1 +1
2+
1
4+ . . . = 2
⇒ q =1
2: tcelk = 2t1 =
l
vA − vk
16
sn = 1 +1
2+
1
4+ . . .
︸ ︷︷ ︸n+1 členov
: ∆sn ≡ 2 − sn =1
2n.= 10−0,3n
⇒ n > 3 : ∆sn < 0, 1; n > 6 : ∆sn < 0, 01; . . .
⇒ n > dostatoč. vel’ké N : ∆sn < l’ub. malé ǫ
limn→∞
an = a ⇔ n > dostatoč. vel’ké N : |an − a| <
< l’ub. malé ǫ (∀ǫ > 0 ∃N ∀n > N : |an − a| < ǫ)
"postupnost’ A. a korytnačky": N = − log2 ǫ zaokrúhlené nahor
LIMITA FUNKCIE
limx→a
f(x) = b ⇔ |x− a| < dostatoč. malé δ: |f(x) − b| <
< l’ub. malé ǫ (∀ǫ > 0 ∃δ ∀|x− a| < δ : |f(x) − b| < ǫ)
- f(a) existuje & limx→a
f(x) = f(a): f(x) je spojitá v a
- funkcia ↔ f(x), g(x), . . .: lim ↔ lim f(x), lim g(x), . . .
- lim v +∞: x > dostatoč. vel’ké M ↔ |f(x) − b| <
< l’ub. malé ǫ; lim v −∞ a lim = ±∞: analog.
- |lim| < ∞: f(x) konverguje, lim = ±∞: f(x) diverguje
17
P r í k l a d y
1. limx→1
x2 − 1
x3 − 4x + 3= ?
čit. = (x− 1)(x + 1)
men. = (x− 1)(x2 + x− 3)⇒ zlomok =
x + 1
x2 + x− 3
⇒ limita =1 + 1
1 + 1 − 3= −2
INÝ POSTUP: zapíšeme x = 1 + ǫ a urobíme limitu ǫ→ 0
⇒ zlomok =1 + 2ǫ + . . .− 1
1 + 3ǫ + . . .− 4(1 + ǫ) + 3=
2ǫ + . . .
−ǫ + . . .=
= −2 + . . .
1 + . . .⇒ limita = −2
2. limx→1
x2 + 1
2x2 + x− 3= ?
zlomok =1 + . . . + 1
2(1 + 2ǫ + . . .) + 1 + ǫ− 3=
2 + . . .
3ǫ + . . .⇒ lim
x→1±(...)
(limita "pre x blížiace sa k 1 sprava a zl’ava") = ±∞
3. limx→∞
x2 + 1
2x2 + x− 3= ?
zlomok =1 + 1
x2
2 + 1x− 3
x2
(
=1 + . . .
2 + . . .
)
⇒ limita =1
2
18
VELIČINA RÁDU ǫn:
f(ǫ) = O(ǫn) ⇔ limǫ→0
f(ǫ)
ǫn= KONEČNÁ konštanta (6= 0)
ešte raz 1: x2 − 1 = 2ǫ +O(ǫ2), x3 − 4x + 3 = −ǫ +O(ǫ2)
⇒ x2 − 1
x3 − 4x + 3=
2 +O(ǫ)
−1 + O(ǫ)⇒ lim
x→1(. . .) = lim
ǫ→0(. . .) =
=2 + lim
ǫ→0O(ǫ)
−1 + limǫ→0
O(ǫ)= −2
19
4. Výpočet limít. Derivácia.
D v e d ô l e ž i t é l i m i t y
1. limx→0
sinx
x
x
xy
y1
1
x > 0 : y < x < y1 =y
√
1 − y2
⇒ x√1 + x2
< y < x ⇒ 1√1 + x2
<y
x< 1
limx→0
1√1 + x2
aj 1 = 1 ⇒ limx→0+
y
x= 1
(f(x) < g(x) ⇒ limx→a
f(x) ≤ limx→a
g(x) − dôkaz sporom)
x < 0 : rovnaký postup ⇒ limx→0−
y
x= 1
⇒ dôležitá limita č. 1: limx→0
sinx
x= 1
20
2. limn→∞
(
1 +1
n
)n
{(
1 +1
n
)n
, n = 1, 2, . . .
}
je rastúca & zhora ohraničená
D:(
1 +1
n
)n
= 1 + n1
n+n(n− 1)
2
1
n2+n(n− 1)(n− 2)
3!
1
n3+
+ . . . = 1 + 1 +1
2
(
1 − 1
n
)
+1
3!
(
1 − 1
n
)(
1 − 2
n
)
+ . . .
⇒(
1 +1
n + 1
)n+1
= 1 + 1 +1
2
(
1 − 1
n + 1
)
+1
3!×
×
(
1 − 1
n + 1
)(
1 − 2
n + 1
)
+ . . . + člen č. n + 2 >
(
1 +1
n
)n
&
(
1 +1
n
)n
< 1 + 1 +1
2+
1
3!+ . . . < 1 + 1 +
1
2+
1
4+
+ . . . < 3 (vid’ Achilles a korytnačka) �
DÔSLEDOK:{(
1 +1
n
)n
, n = 1, 2, . . .
}
má limitu
D: štandardný postup: zavedie sa suprémum = horná hranica,
kt. je < ∀ ostatné horné hranice & dokáže sa, že lim = sup;
21
rýchly postup: n ↑: jednotky ↑ na 2, desatiny ↑ na 7/10,
stotiny ↑ na 1/100 . . . ⇒ an ↑ na 2,71828. . . �
⇒ dôležitá limita č. 2: limn→∞
(
1 +1
n
)n
= e
(DEFINÍCIA e!)
R o z v o j e d o 1. r á d u
VELIČINA ZANEDBATEL’NÁ V RÁDE ǫn:
f(ǫ) = o(ǫn) ⇔ limǫ→0
f(ǫ)
ǫn= 0
1. (1 + x)p = 1 + px + o(x)
D. pre p =n
m: (1 + x)p = qn, q = (1 + x)
1m
⇒ (1 + x)p − 1 = qn − 1 = (q − 1)(1 + q + q2 + . . . + qn−1) =
= (qm − 1)︸ ︷︷ ︸
x
1 + q + q2 + . . . + qn−1
1 + q + q2 + . . . + qm−1⇒ lim
x→0
1
x× dtto =
n
m�
pr.: limx→1
√x− 1√
1 + 3x− 2= lim
ǫ→0
√1 + ǫ− 1
√
1 + 3(1 + ǫ) − 2=
= limǫ→0
1 + ǫ/2 + o(ǫ) − 1
2[1 + 3ǫ/8 + o(ǫ)] − 2= lim
ǫ→0
ǫ/2 + o(ǫ)
3ǫ/4 + o(ǫ)=
22
= limǫ→0
1/2 + o(1)
3/4 + o(1)=
1/2 + limǫ→0
o(1)
3/4 + limǫ→0
o(1)=
2
3
2. sinx = x + o(x), cosx = 1 − 1
2x2 + o(x2)
D: sinx vid’ dôležitá limita č. 1, cos x− 1 =cos2 x− 1
cos x + 1=
= − sin2 x
cosx + 1⇒ lim
x→0
1
x2× dtto = −1
2�
3. ex = 1 + x + o(x)
D: e = limx→∞
(
1 +1
x
)x
(spoj. verzia dôležitej limity č. 2,
plynie z monotón.(
1 +1
x
)x
) ⇒ ex =
[
limp→∞
(
1 +1
p
)p]x
=
= limp→∞
(
1 +1
p
)px
(limita zlož. funkcie) = limn→∞
(
1 +x
n
)n
(spoj. p → pn =n
x); 1 + x <
(
1 +x
n
)n
< 1 + x +x2
2 − x
(binom. veta) ⇒ 1 + x ≤ ex ≤ 1 + x +x2
2 − x(veta o
limite nerovnosti) ⇒ limx→0
ex − 1
x= 1 (ešte raz veta o limite
nerovnosti) �
23
D e f i n í c i a d e r i v á c i e
f ′(x) = lim∆x→0
∆f
∆x
(
= limx2→x1
f(x2) − f(x2)
x2 − x2
)
- derivácia = SMERNICA DOTYČNICE
x
y
x∆
y∆y∆0
secnica
dotycnica
∆x→ 0: ∆y → ∆y0, sečnica → dotyčnica
24
5. Vlastnosti derivácie. Priebeh funkcie.
D e r i v á c i e e l e m e n t á r n y c h f u n k c i í
1. xp: (x+∆x)p = xp(
1 +∆x
x
)p
= xp[
1 + p∆x
x+ o(∆x)
]
=
= xp + pxp−1∆x + o(∆x) ⇒ (xp)′ = pxp−1
2a. sinx: sin(x + ∆x) = sinx cos ∆x + cos x sin ∆x = sinx ×
× [1 + o(∆x)] + cosx[∆x + o(∆x)] = sinx + cos x ∆x + o(∆x)
⇒ (sinx)′ = cos x
2b. cos x: cos(x + ∆x) = cosx cos ∆x− sinx sin ∆x = cos x ×
× [1 + o(∆x)] − sinx[∆x + o(∆x)] = cosx− sinx ∆x + o(∆x)
⇒ (cosx)′ = − sinx
3. ex: ex+∆x = exe∆x = ex [1 + ∆x + o(∆x)] = ex + ex∆x+
+o(∆x) ⇒ (ex)′ = ex
2 pravidlá: (kf)′ = kf ′, [f(kx)]′ = kf ′(kx) ⇒ (kx)′ = k,
(kx2)′ = 2kx, . . .,
[sin(kx)]′ = k cos(kx)
[cos(kx)]′ = −k sin(kx), (ekx)′ = kekx
25
g
g
g sinα
α
φ l
g
1. Vol’ný pád
d2s
dt2= g ⇒ s =
1
2gt2 (Galileo)
D:d
dt
(1
2gt2)
= gt,d
dt(gt) = g �
NAKL. ROVINA: g → g sinα× 5
7
(5
7=
1
1 + 25
,2
5↔ rotácia gul’ôčky)
2. Malé kmity
d2φ
dt2= −ω2φ, ω =
√g
l
⇒ φ = φ0 cos(ωt), T = 2π
√
l
g
D:d
dtcos(ωt) = −ω sin(ωt),
d
dt[−ω sin(ωt)] = −ω2 cos(ωt) �
26
3. Rozpad jadier
dN
dt= −λN , λ = rozpad. konšt.
⇒ N = N0e−λt, t1/2 =
ln 2
λ
D:d
dte−λt = λe−λt �
V e t y o d e r i v á c i a c h
1. Derivácia lineárnej kombinácie: (αf + βg)′ = αf ′ + βg′
D: triviálny
2. Derivácia súčinu: (fg)′ = f ′g + fg′ (Leibnitz)
D: ∆(fg) = (f + ∆f)(g + ∆g) − fg = ∆fg + f∆g + ∆f∆g,
∆f aj ∆g = O(∆x) ⇒ ∆(fg) = ∆fg + f∆g +O(∆x2) �
dôsledok: (fgh . . .)′ = f ′gh . . . + fg′h . . . + fgh′ . . . + . . .
pr.: (xn)′ = (x . x . x . . .︸ ︷︷ ︸n členov
)′ = 1 . x . x . . . + x . 1 . x . . .+
+x . x . 1 . . . + . . . = nxn−1
27
3. Derivácia inverznej funkcie: y = finv(x): y′ =1
f ′(finv(x))
D:∆y
∆x=
1
∆x/∆y; podrobne:
∆finv∆x
=finv(x + ∆x) − finv(x)
∆x=
=∆u
f(u + ∆u) − f(u)
∣∣∣∣u=finv(x), u+∆u=finv(x+∆x)
⇒ f ′inv(x) =
=1
f ′(u)
∣∣∣∣u=finv(x)
�
pr. 1: y = arcsin x: x = sin y, x′ = cos y =
√
1 − sin2 y (y
je z intervalu(
−π2,π
2
)
) =√
1 − x2 ⇒ y′ =1√
1 − x2; y =
= arccos x: − dtto (y je z intervalu (0, π))
pr. 2: y = lnx: x = ey, x′ = ey = x ⇒ y′ =1
x
4. Derivácia zloženej funkcie: y = f(g(x)): y′ = f ′(g(x))g′(x)
D:∆y
∆x=
∆y
∆u
∆u
∆x; podrobne:
∆fzlož
∆x=f(g(x + ∆x)) − f(g(x))
∆x×
×g(x + ∆x) − g(x)
g(x + ∆x) − g(x),
∆f
∆g=f(u + ∆u) − f(u)
∆u
∣∣∣∣u=g(x), u+∆u=g(x+∆x)
⇒ f ′zlož(x) = f ′(u)|u=g(x) g′(x) �
28
pr.:[(
1 +1
x
)x]′=
{
exp[
x ln
(
1 +1
x
)]}′= exp(. . .)×
×
[
ln
(
1 +1
x
)
+ x .1
1 + 1/x.−1
x2
]
=
(
1 +1
x
)x−1
×
×
[(
1 +1
x
)
ln
(
1 +1
x
)
− 1
x
]
dôsledky:(
1
f
)′= − f ′
f 2,
(f
g
)′=f ′g − fg′
g2
pr.: (tg x)’ =(
sinx
cos x
)′=
cos x . cosx− sinx . (− sinx)
cos2 x=
=1
cos2 x, (cotg x)’ = − 1
sin2 x
5. Derivácia implicitnej funkcie: vyjadruje sa cez parc. derivácie
− nebudeme robit’
6. Derivácia parametricky zadanej funkcie: y′(x) =Y ′(t)
X ′(t)
∣∣∣∣X(t)=x
D:∆y
∆x=
∆y/∆t
∆x/∆t�
pr.: ELIPSA: y′ =b cosχ
−a sinχ= −b
2
a2
x
y
29
M o n o t ó n n o s t’. M i n i m á a m a x i m á.
y′(x)
> 0
< 0⇒ y(x)
rastie
klesá
y′ = rýchlost’ rastu / y′ < 0 : |y′| = rýchlost’ klesania
pr. 1:d(nálada)
d(vzdialenost’ od zubár. kresla)> 0
pr. 2.: y = x lnx + 1 − x, x > 1: y′ = lnx > 0 ⇒ y ↑,
y(1) = 0 ⇒ y > 0;[(
1 +1
x
)x]′∝ y
(
1 +1
x
)
⇒ dtto > 0
pri x > 0 ⇒(
1 +1
x
)x
↑ pri x > 0
y′(a) = 0 ⇒
y′ v a ↑ (y′′(a) > 0): y má MINIMUM v a
y′ v a ↓ (y′′(a) < 0): y má MAXIMUM v a
3. možnost’: INFLEX. BOD, spoločný názov: extrémy
x
y
x
y
x
yMIN MAX INFL.BOD
30
vh
1. Zvislý vrh nahor
y = vt− 1
2gt2 :
dy
dt= v − gt
⇒ tmax =v
g, h = y(tmax) =
v2
2g
2. Šikmý vrh
x
y
d
v
α
x = vxt
y = vyt−1
2gt2
⇒ tdopad =2vyg, d = x(tdopad) =
2vxvyg
vx = v cosα
vy = v sinα⇒ d ∝ 2 sinα cosα = sin(2α)
d′(α) ∝ 2 cos(2α) = 0, 0 < α <π
2⇒ αmax =
π
4
31
6. Diferenciál. L’Hospitalovo pravidlo. Taylorov rad.
D i f e r e n c i á l
∆x (prírastok x) → ∆y (prírastok y) = y(x + ∆x) − y(x)
df. 1: dx (diferenciál x) = ∆x
df. 2: dy (diferenciál y) = y′(x)dx
- ∆y = dy + o(∆x) ⇒ dy = lineárna čast’ prírastku y
- "inžinierska" df.: dy = INFINITEZIMÁLNY prírastok y
x
y
∆
y∆ dy
x= dx
y′ =dy
dx("dy podl’a dx" aj "dy lomeno dx")
32
L’ H o s p i t a l o v o p r a v i d l o
PRAVIDLO 1 (pre limitu typu 00):
f ′(x), g′(x) ex. v okolí a (⇒ f(x), g(x) sú spojité v okolí a)
& limx→a
f(x) aj limx→a
g(x) = 0 & limx→a
f ′(x)
g′(x)ex. (aj ∞-ná)
⇒ limx→a
f(x)
g(x)= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
D. ak f ′(a), g′(a) ex. a g′(a) 6= 0:
f(x) = f ′(a)∆x + o(∆x)
g(x) = g′(a)∆x + o(∆x)
⇒ f(x)
g(x)=f ′(a) + o(1)
g′(a) + o(1)⇒ lim
x→a
f(x)
g(x)=f ′(a)
g′(a)�
pr.: limx→1
x3 − 3x + 2
x4 − 4x + 3= lim
x→1
3x2 − 3
4x3 − 4= lim
x→1
6x
12x2=
1
2
PRAVIDLO 2 (pre limitu typu ∞∞):
f ′(x), g′(x) ex. v okolí a & f ′2(x) + g′2(x) je všade 6= 0
& limx→a
f(x) aj limx→a
g(x) = ∞ & limx→a
f ′(x)
g′(x)ex. (aj ∞-ná)
⇒ limx→a
f(x)
g(x)= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
33
D: F =1
f, G =
1
g⇒ lim
x→a
F
G= lim
x→a
F ′
G′ = limx→a
f ′/f 2
g′/g2=
= limx→a
f ′F 2
g′G2= lim
x→a
f ′
g′
(
limx→a
F
G
)2
⇒ limx→a
f
g= lim
x→a
G
F=
=
(
limx→a
F
G
)−1
= limx→a
f ′
g′�
- podmienka na f ′2 + g′2: kvôli osciláciam f , g
- obe pravidlá platia aj pre ∞-né a (D: u = 1/x)
EŠTE JEDNA DÔLEŽITÁ LIMITA:
limx→∞
xpe−x = 0 pre ∀p > 0
(ex rastie rýchlejšie než l’ub. mocnina x)
D: limx→∞
xe−x = limx→∞
x
ex= lim
x→∞1
ex(pravidlo 2) = 0, . . . �
pr.: limx→0
xx = limx→0
eln x.x = limu→−∞
eueu
= e0 = 1
T a y l o r o v r a d
Rolleova veta: f(x) je spoj. na 〈a, b〉 & f ′(x) ex. a je konečná
na (a, b) & f(a) = f(b): f ′(ξ) = 0 v aspoň jednom ξ ∈ (a, b)
34
(dôkaz sporom)
Lagrangeova veta: dtto s l’ub. f(a), f(b): f ′(ξ) =f(b) − f(a)
b− a
v aspoň jednom ξ ∈ (a, b)
D: f(x) = f0(x) + zlomok × (x− a) �
x
y
x
yROLLE LAGRANGE
⇒ f(x) = f(a) + f ′(ξ)(x− a), ξ = a + Θ(x− a), 0 < Θ < 1
Taylorova veta: f(x) je spojitá na 〈a, b〉 aj s f ′, f ′′, . . . f (n) &
f (n+1)(x) ex. a je konečná na (a, b):
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +1
2f ′(a)(x− a)2 + . . .+
+1
n!f (n)(a)(x− a)n +
1
(n + 1)!f (n+1)(ξ)(x− a)n+1
35
prvých n členov = T. polynóm, n + 1. člen = T. zvyšok
D pre n = 2: Q(t) = f(t) + f ′(t)(x− t) +(x− t)2
(x− a)2R(x), R(x) =
= T. zvyšok �
TAYLOROV RAD:
T. zvyšok → 0 pri n→ ∞:
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +1
2f ′(a)(x− a)2 + . . .
- polomer konvergencie: po prvé ∞ v komplex. rovine
- rozvoj okolo nuly = McLaurinov rad
- rozvoje elementárnych funkcií:
(1 + x)p = 1 + px +1
2p(p− 1)x2 + . . .
sinx = x− 1
3!x3 +
1
5!x5 + . . .
cosx = 1 − 1
2x2 +
1
4!x4 + . . .
ex = 1 + x +1
2x2 +
1
3!x3 + . . .
ln(1 + x) = x− 1
2x2 +
1
3x3 + . . .
36
7. Neurčitý integrál
P o j e m n e u r č i t é h o i n t e g r á l u
a
v
dv
dt= a : v = at? NIE
v = at + v0
a
s
ds
dt= at : s =
1
2at2? NIE
s =1
2at2 + s0
37
funkcia → iná funkcia + konštanta
a
t
v
v
t t
t
s
DEFINÍCIA NEURČ. INTEGRÁLU
- primitívna funkcia k f(x): F ′(x) = f(x), F (x) = špec. riešenie
- neurčitý integrál z f(x): NI ′(x) = f(x), NI(x) = VŠEOBECNÉ
riešenie ⇒ NI(x) = F (x) + C, C = neurčitá konštanta
(často: NI(x) = F (x), ALE správny je vzorec s C)
38
C
C4
C3
C2
C1
F(x) + C4
F(x) + C3
F(x) + C2
F(x) + C1
39
OZNAČENIE NEURČ. INTEGRÁLU:
neurčitý integrál z f(x) =∫
f(x)dx
-∫
= pretiahnuté S, S = suma (súčet)
- f(x) = F ′(x) ⇒ f(x)dx = dF ,∫
f(x)dx = F (x) + C
⇒∫
dF = F (x) + C ⇒∫
= operácia inverzná k d
- prečo "suma"? dF.= ∆F pri malom ∆x ⇒ F (x)
.= F (a)+
+ súčet dF na intervale (a, x);∫
dF = súčet INFINITEZI-
MÁL. dF bez udania a ⇒∫
dF = F (x) + C
x
F
∆F
dFdF
40
f(x)
∫
f(x)dx
xp, p 6= −1xp+1
p + 1
sinx − cosx
cosx sinx
ex ex
1
xln |x|
atd’.
-∫
z lin. komb. = lin. komb.,∫
zo súčinu − NEDÁ SA
(integrovanie nie je algoritnické)
41
I n t e g r a č n é m e t ó d y
1. Integrácia per partes:∫
uv′dx = uv −∫
u′vdx
D: uv′ = (uv)′ − u′v (Leibnitz) �
pr. 1:∫
lnxdx, pr. 2:∫
ex sinxdx
2. Substitúcia:∫
u(v)dv =
∫
u(v(x))v′(x)dx
D:∫
u(v)dv =
∫
dU, U = U(v(x)) ⇒ dU vid’ derivácia
zloženej funkcie �
pr. 1:∫
xdx
1 + x2, pr. 2:
∫
sin3 xdx, pr. 3: traktrix = krivka,
ktorej vzdialenost’ od p meraná po dotyčnici sa rovná a; úloha:
nájst’ traktrix s p = Oy a a = 1
(výpočet∫
dx
1 − x2= rozklad na parc. zlomky)
42
8. Určitý integrál
P o j e m u r č i t é h o i n t e g r á l u
v
s∆
t:∆
∆s.= v∆t, v = rýchlost’ na začiatku ∆t
∆s na (tA, tB) = ?
krok 1: rozdelíme (tA, tB) na n podintervalov
tA tB
t0 t1 t2 t3 t4 tntn-1
(hraničné body: t0 = tA, t1 = tA + ∆t, t2 = tA + 2∆t, . . .,
tn = tB, kde ∆t =tB − tAn
)
krok 2: na ∀ podintervale použijeme vzorec ∆s.= v∆t
43
⇒ ∆spribliž =n∑
i=1
v(ti−1)∆t
(df.∑
:n∑
i=1
ai = a1 + a2 + . . . + an)
krok 3: urobíme limitu n→ ∞
⇒ ∆s = limn→∞
n∑
i=1
v(ti−1)∆t
pr.: ROVNOMERNE ZRÝCHLENÝ POHYB
v = at, a = konšt
tA tB t
v
44
∆spribliž =n∑
i=1
ati−1∆t =n∑
i=1
a[tA + (i− 1)∆t]∆t = a ×
×
[
ntA +n(n− 1)
2∆t
]
∆t = a
[
tA +1
2
(
1 − 1
n
)
(tB − tA)
]
×
× (tB − tA) ⇒ ∆s =1
2a(t2B − t2A)
- ∆s = S(vel’ký∆) − S(malý∆) = S(lichobežník)
tA tB t
v
atB
atA
- s(t) =1
2at2, vid’ neurč. integrál: ∆s = s(tB) − s(tA)
DEFINÍCIA URČ. INTEGRÁLU
- (1) delenie D: body x0 = a, x1, x2, . . ., xn = b, (2) výber
bodov ξ: body ξi ∈ 〈xi−1, xi)
45
- čiastočný súčet: σ(D, ξ) =n∑
i=1
f(ξi)∆xi, kde ∆xi = xi − xi−1
a b x
y
- určitý integrál: UI = lim‖D‖→0
σ(D, ξ), kde ‖D‖ (norma D) =
= max |∆xi| (ex. limity: vid’ horné a dolné súčty)
OZNAČENIE URČ. INTEGRÁLU:
určitý integrál z f(x) na intervale (a, b) =∫ b
a
f(x)dx
(TENTO∫
= naozaj suma!)
- otočenie intervalu:∫ a
b
= −∫ b
a
, skladanie intervalov:∫ b
a
=
46
=
∫ c
a
+
∫ b
c
- geom. význam: b > a : Snad − Spod, b < a : Spod − Snad
N e w t o n o v a - L e i b n i t z o v a v e t a∫ b
a
f(x)dx = F (b) − F (a)
D. pre spoj. funkciu f(x):
dané D, l’ub. i: ex. ξi také, že F (xi) − F (xi−1) = F ′(ξi)∆xi
(Lagrange) = f(ξi)∆xi (df. F (x)) ⇒ dané D: ex. ξ také, že
σ(D, ξ) =n∑
i=1
[F (xi)−F (xi−1)] = F (b)−F (a); limita σ(D, ξ) =
= limita σ(D, l’ub. reprezentant ξ) (vid’ limita f(x) pri x→ a
= limita f(x) na postupnosti x1, x2, . . ., ktorá → a)
⇒ limita σ(D, ξ) = F (b) − F (a) �
GEOMETRICKÝ VÝZNAM N. - L. VETY
I(x) =
∫ x
a
f(u)du: I(x) = F (x) − F (a)
⇒ I ′(x) = f(x) (df. F (x)) ⇒ ∆I = f(x)∆x + o(∆x) (súvis
medzi ∆ a d)
47
a x+ u
y
x x∆
VETA O STREDNEJ HODNOTE
f =1
b− a
∫ b
a
f(x)dx : ex. ξ ∈ (a, b) také, že f(ξ) = f
D: Lagrangeova veta pre F (x)
a b x
y
f
ξ
48
D o d a t o k: r o z k l a d n a p a r c. z l o m k y
P (x), Q(x) = polynómy:∫P (x)
Q(x)dx = ?
- krok 1: znížime stupeň P (x) (ak je vyšší než stupeň Q(x))
- krok 2: zapíšeme Q(x) ako súčin výrazov typu ln(x) a km(x),
kde l(x) = x + a a k(x) = x2 + px + q
- krok 3: prepíšemeP (x)
Q(x)na lin. kombináciu výrazov typu
1
l(x),
1
l2(x), . . .,
1
ln(x)a súčet výrazov typu
L1(x)
k(x),L2(x)
k2(x),
. . .,Lm(x)
km(x), kde L(x) = rx + s; tieto výrazy sa nazývajú
parciálne zlomky
- krok 4: parc. zlomky preintegrujeme
(krok 2: vid’ komplexné koreneQ(x), krok 3: vid’ POSTUPNÉ
znižovanie stupňa Q(x))
pr. 1:∫
4x− 1
x2 + x− 2dx = ?
rieš.: podint. funkcia =4x− 1
(x− 1)(x + 2)=
A
x− 1+
B
x + 2
⇒ 4x− 1 = A(x + 2) +B(x− 1)
49
⇒
A +B = 4
2A−B = −1⇒
A = 1
B = 3
⇒ int. =∫
dx
x− 1+ 3
∫dx
x + 2= ln |x + 1| + 3 ln |x− 2| + C
pr. 2:∫
dx
x4 + 1= ?
rieš.: podint. funkcia =1
(x2 +√
2x + 1)(x2 −√
2x + 1)=
=Ax +B
x2 +√
2x + 1+
Cx +D
x2 −√
2x + 1
⇒ 1 = (Ax +B)(x2 −√
2x + 1) + (Cx +D)(x2 +√
2x + 1)
⇒ A+C =√
2(−A+C)+B+D = A+C+√
2(−B+D) =
= 0, B +D = 1 ⇒ B = D =1
2, A = −C =
1
2√
2
⇒ int. =1
2√
2
(∫
x +√
2
x2 +√
2x + 1dx−
∫x−
√2
x2 −√
2x + 1dx
)
=
= počty, počty, počty =
=1
2√
2
[
1
2lnx2 +
√2x + 1
x2 −√
2x + 1+ arctg (
√2x + 1) + arctg (
√2x− 1)
]
+
+ C
50
9. Výpočet určitého integrálu. Plochy a objemy.
V ý p o č e t u r č i t é h o i n t e g r á l u
1. Integrácia per partes:∫ b
a
uv′dx = uv∣∣∣
b
a−∫ b
a
u′vdx,
kde f∣∣∣
b
a= f(b) − f(a)
2. Substitúcia:∫ b
a
f(x)dx =
∫ t(b)
t(a)
f(x(t))x′(t)dt,
kde t(x) = inv. funkcia k x(t)
pr.:∫ π/2
0
sin2(x)dx = ?
rieš.: x =π
2− t: dx = −dt, int. =
∫ 0
π/2
sin2(π
2− t)
(−dt) =
=
∫ π/2
0
cos2(t)dt =
∫ π/2
0
cos2(x)dx (x = nemá premenná!)
⇒ int. =1
2
∫ π/2
0
sin2(x)dx +1
2
∫ π/2
0
cos2(x)dx =1
2×
×
∫ π/2
0
[sin2(x) + cos2(x)]dx =1
2
∫ π/2
0
dx =π
4
51
x
y
0
1cos sin
π/2
2 2
N e v l a s t n ý i n t e g r á l
1. Integrál divergujúcej funkcie:
a < b & f(x) → ±∞ pri x→ a+:∫ b
a
f(x)dx =
= limx→a+
∫ b
x
f(u)du; f(x) → ±∞ pri x→ b−: analog.
pr.:∫ 1
0
ln(x)dx = −1
2. Integrál na nekonečnom intervale:∫ ∞
a
f(x)dx = limx→∞
∫ x
a
f(u)du,∫ b
−∞f(x)dx analog.
pr.:∫ ∞
0
xe−xdx = 1
52
MOCNINNÉ ASYMPTOTIKY:
f(x) ∼ x−p pri x→ ∞, p > 1: int. f(x) cez 〈a,∞) je konečný;
f(x) ∼ x−p pri x→ 0, 0 < p < 1: int. f(x) cez 〈0, a〉 je konečný
P l o c h y a o b j e m y
plocha kruhu - výpočet 1 (cez mnohouholníky):
α α2
sin
α2
cos
α α2
tg
1
S∓ = n ×
sin(α/2) cos(α/2)
tg (α/2), kde α =
2π
n: S∓ → π
n 4 10 100 1000 10000
S− 2 2.93893 3.13953 3.14157 3.14159
S+ 4 3.24920 3.14263 3.14160 3.14159
53
plocha kruhu - výpočet 2 (cez obdĺžniky):
x
y
1
0 1
S = 4
∫ 1
0
√
1 − x2dx = 4
∫ π/2
0
sin2(φ)dφ = π
pr.:
y1 = 2x2
y2 = 3x2 − 4x + 3: S medzi y1 a y2 =
4
3
54
ROTAČNÉ TELESÁ:
r
z
dz
a b
dr
α
β
S =
∫ β
α
2πr√r′2 + 1 dz, V =
∫ β
α
πr2dz, . . .
pr. 1: S gule = 4πR2, V gule =4π
3R3
pr. 2: I =
∫
r2ρdV , ρ =M
V: I gule =
2
5MR2
55
10. Diferenciálne rovnice
Č o s ú d i f e r e n c i á l n e r o v n i c e ?
algebr. rovnica: neznáma = číslo / dif. rovnica: neznáma =
= FUNKCIA / dif. rovnica n-tého rádu = rovnica, kt. obsahuje
derivácie hl’adanej funkcie po n-tú:
F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0
pr.: prehnutie mosta Košická, vol’ný pád, harm. kmity . . .
RIEŠENIE:
y = y(x,C1, . . . , Cn)
(môžu ex. aj singulárne rieš., ale o tých nebude reč)
pr. 1: y′ = f(x) → y = F (x) + C, C l’ub.
pr. 2: y′′ = −y → y = a cos(x + ψ), a ≥ 0, 0 ≤ ψ < 2π
- určenie C1, . . . , Cn: začiatočné / okrajové podmienky; pr.:
y′′ = −y, y(0) = 0, y′(0) = 1 → y = sinx
- prepis na n rovníc 1. rádu: y1 = y, y2 = y′, . . . yn = y(n−1)
56
⇒ y′1 = y2, y′2 = y3, . . . , y′n = f(x, y1, y2, . . . , yn)
zač. podmienky: y1(a) = α1, y2(a) = α2, . . . yn(a) = αn
približné riešenie: x0 = a, x1 = a + h, . . . → y1(xi+1) =
= y1(xi)+y2(xi)h, y2(xi+1) = y2(xi)+y3(xi)h, . . . , yn(xi+1) =
= yn(xi) + f(xi, y1(xi), . . . , yn(xi))h
- systém rovníc l’ub. rádu: TIEŽ systém rovníc 1. rádu
pr.:
x = −x/r3, x(0) = r, x(0) = 0
y = −y/r3, y(0) = 0, y(0) = v, kde bodka =
d
dt, r =
=√
x2 + y2 → v < vII =√
2/r: ELIPSA (Newton)
x
y
v
r
57
LINEÁRNE ROVNICE:
an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + . . . + a0(x)y = b(x)
- homog. rovnica (b = 0): y = C1u1(x)+ . . .+Cnun(x) ("princíp
superpozície"); pr.: y′′ = −y → y = C1 cos x + C2 sinx
- nehomog. rovnica (b 6= 0): y = ypart + predch. rieš., ypart =
= partikulárne rieš.; pr.: y′′ = −y + k → y = k +C1 cos x+
+ C2 sinx
R o v n i c e p r v é h o r á d u
1. Separácia premenných:
P (x) +Q(y)y′ = 0 ⇒ Q(y)dy = −P (x)dx ⇒∫
Q(y)dy =
= −∫
P (x)dx (rozpísaný dôkaz: u(x) = riešenie ⇒ P (x)+
+Q(u(x))u′(x) = 0 ⇒∫
(. . .)dx = 0; subst. y = u(x) v 2.
integrále ⇒ vzt’ah uvedený vyššie)
pr. 1: 2yy′ = 4x3; pr. 2: xyy′ + (x2 + 1)(y2 − 1) = 0
58
2. Substitúcia:
P (y/x) +Q(y/x)y′ = 0 (homogénna rovnica) ⇒ y =
= xu(x): P (u) +Q(u)(u + xu′) = 0 − separuje sa
pr. 1: y2 + (x2 − xy)y′ = 0; pr. 2: parabolické zrkadlo
3. Variácia konštanty (lin. nehomog. rovnica):
y′ + p(x)y = q(x): (1) y′ + p(x)y = 0 → y = Cf(x),
(2) C → c(x)
pr.: y′ − cotg x y = ex sinx
R o v n i c e d r u h é h o r á d u
1. Vylúčenie x:
F (y, y′, y′′) = 0 ⇒ y′ = z(y): F (y, z, zz′) = 0
pr.: y′′ +2
1 − yy′2 = 0
2. Variácia konštánt (lin. nehomog. rovnica):
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x), rieš. homog. rovnice = u, v: y =
= −u∫vr
Wdx + v
∫ur
Wdx, W (Wronskián) = uv′ − vu′
59
pr.: y′′ − 6x−2y = x lnx, u = x3, v = x−2
2. Metóda charakteristickej rovnice (lin. homog. rovnica s konšt.
koeficientami):
y′′+py′+qy = 0 → λ2+pλ+q = 0 (charakteristická rovnica):
(1) 2 korene: y = C1eλ1x + C2e
λ2x, (2) 1 koreň: y = (C1+
+ C2x)eλx, (3) žiadny koreň: y = [C1 sin(Qx) + C2 cos(Qx)]
× e−px/2, Q =√
q − p2/4
pr.: x + 2νx + ω2x = sin(ω0t) (vynútené kmity tlmeného
oscilátora)
60
11. Opakovanie - matka múdrosti
téma 1: LIMITY
limita
postupnosti: limn→∞
an
funkcie: limx→a
f(x), limx→±∞
f(x)
derivácia: f ′(x) = lim∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x; rad = súčet
{ai} = limita čiastočných súčtov {ai}:∞∑
i=1
ai = limn→∞
n∑
i=1
ai;
určitý integrál = limita čiastočných súčtov f(x) pri danom
D a ξ:∫ b
a
f(x)dx = lim‖D‖→0
n∑
i=1
f(ξi)∆xi (špec. výber D a
ξ:∫ b
a
f(x)dx = limn→∞
n∑
i=1
f(a + (n− 1)h)h − rad? NIE)
Definícia limity
limx→a
f(x) = b ⇔ |x− a| < dostatoč. malé δ: |f(x) − b| <
< l’ub. malé ǫ (∀ǫ > 0 ∃δ ∀|x− a| < δ : |f(x) − b| < ǫ)
(podobne limita v ∞-ne a ∞-ná limita)
dôsledok 1: limita af(x) + bg(x), f(x)g(x), f(g(x))
61
dôsledok 2: limx→0
sinx
x, lim
n→∞
(
1 +1
n
)n
Výpočet limít
metóda 1: ALGEBRAICKÉ ÚPRAVY
limx→0
cos x− cos(3x)
x2= lim
x→0
cosx− cos(3x)
x2
cos x + cos(3x)
cos x + cos(3x)=
=1
2limx→0
cos2 x− cos2(3x)
x2=
1
2limx→0
− sin2 x + sin2(3x)
x2=
1
2×
× (−1 + 32) = 4
metóda 2: ROZVOJE
limx→0
cos x− cos(3x)
x2= lim
x→0
1 − 12x
2 + . . .−[1 − 1
2(3x)2 + . . .]
x2=
= −1
2+
9
2= 4
metóda 3: L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
limx→0
cos x− cos(3x)
x2= lim
x→0
− sinx + 3 sin(3x)
2x=
= limx→0
− cosx + 9 cos(3x)
2=
−1 + 9
2= 4
(koef. v rozvoji = derivácie, vid’ Taylorov rad: metóda 2
⇔ metóda 3)
62
téma 2: DERIVÁCIE
pravidlo 1: (fg)′ = f ′g+fg′ (Leibnitz); pravidlo 2:(f
g
)′=
=fg′ − f ′g
g2; pravidlo 3: [f(g(x))]′ = f ′(g(x))g′(x) (pravidlo
2 = dôsl. pravidiel 1 a 3)
f(x) f ′(x)
xp pxp−1
sinx cos x
cos x − sinx
tgx1
cos2 x
cotgx − 1
sin2 x
arcsinx
arccosx± 1√
1 − x2
arctgx
arccotgx± 1
1 + x2
ex ex
lnx1
x
derivácia arkusov a logaritmu: vid’ f ′inv(x) =1
f ′(finv(x))
63
Priebeh funkcie
(1) df. obor + asymptotiky; (2) extrémy; (3) oblasti rastu a
klesania; (4) priebeh (schematicky)
y = 3√x2 − x3: (1) x je l’ub., x→ ±∞: y → ∓∞ (yasymp =
= −x +1
3); (2) y′ ∝ 2x− 3x2 = 0 ⇒ x = 0,
2
3; (3) x < 0:
y ↓, 0 < x <2
3: y ↑, x > 2
3: y ↓ ⇒ x = 0 ↔ min., x =
2
3↔
max.
x
y
(4):
2/3
dodatok: KONVERGENCIA T. RADU
ex = 1 + x +1
2x2 +
1
3!x3 + . . . konverguje pre ∀x
64
D: 1 + q + q2 + q3 + . . . konv. pre 0 < q < 1 &∣∣∣∣
an + 1
an
∣∣∣∣
=
=|x|n + 1
< 1 pre n > isté N �
téma 3: INTEGRÁLY
Neurčitý integrál
f(x)
∫
f(x)dx
xp, p 6= −1xp+1
p + 1
sinx − cosx
cos x sinx
ex ex
1
xln |x|
1√1 − x2
arcsinx
1
1 + x2arctgx
1√x2 ± 1
ln(x +√x2 ± 1)
1
1 − x2
1
2ln
1 + x
1 − x
metóda 1:∫
uv′dx = uv −∫
u′vdx (integrácia p.p.)
65
metóda 2:∫
f(x)dx =
∫
f(g(u))g′(u)du (substitúcia)
metóda 3 − iba pre rac. funkcie: rozklad na p. z.
dodatok: ROVNICA TRAKTRIXY
t. s param. 1 = krivka, ktorej vzdialenost’ od Ox meraná po
dotyčnici = 1; ú: nájst’ y(x)
geom. úlohy ⇒ x2(1 + y′2) = 1 ⇒ y = ±∫ √
1 − x2
xdx =
= ±1
2ln
∣∣∣∣∣
1 −√
1 − x2
1 +√
1 − x2
∣∣∣∣∣∓ arcsinx + C
Určitý integrál∫ b
a
f(x)dx = F (b) − F (a) (Newton - Leibnitz)
urč. integrál = plocha → rovinné plochy, povrchy, objemy . . .
téma 4: DIFERENCIÁLNE ROVNICE
rovnice 1. rádu: separácia premenných, variácia konštanty;
rovnice 2. rádu: variácia konštánt, charakteristická rovnica
dodatok: PARABOLICKÉ ZRKADLO
p. z. = zrkadlo, ktoré sústred’uje lúče v smere Ox do O; ú:
66
nájst’ y(x)
geom. úlohy ⇒ y
x= − 2y′
y′2 − 1⇒ y′ =
y
x−√
y2
x2+ 1
⇒ y +√
x2 + y2 = a, y =a2 − x2
2a
ešte jeden dodatok: VARIÁCIA KONŠTÁNT
y′′ +p(x)y′ + q(x)y = r(x), rieš. homog. rovnice = u(x), v(x):
y = αu + βv: y′ = α′u + αu′ + β′v + βv′
y′′ = α′′u + 2α′u′ + αu′′ + β′′v + 2β′v′ + βv′′
⇒ α′′u + α′(2u′ + pu) + β′′v + β′(2v′ + pv) = r
→
α′u + β′v = 0 (1) (postulujeme)
α′u′ + β′v′ = r (2) (dôsledok (1) a pôv. rovnice)
⇒ y = −u∫
vr
Wdx + v
∫ur
Wdx, W = uv′ − vu′
*****************************************************
SKÚŠKA:
U 4.1., U 18.1., Pi 21.1., U 25.1, U 1.2., Pi 11.2. − 9.00
KTFDF; písomka 1 hod. 30 min. + spoločné zhodnotenie
písomky (+ ústna skúška)
67