matematika ii4. prednáška matematika ii, 1. sjf, km nevlastný integrál z neohraničenej funkcie...
TRANSCRIPT
-
MATEMATIKA II
Katedra aplikovanej matematiky a informatiky
SjF TU Košice
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
4. prednáška
Aplikácie určitéhointegrálu.
Nevlastný integrál.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Obsah prednášky
Geometrické aplikácie určitého integrálu.Fyzikálne aplikácie určitého integrálu.Nevlastný integrál.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Geometrické aplikácie určitého integrálu
Geometrické aplikácie určitého integrálu:
Obsah časti roviny.Objem rotačného telesa.Dĺžka rovinnej krivky.Obsah rotačnej plochy.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Elementárna oblasť
Nech sú funkcie f a g spojité na 〈a, b〉 a nech na (a, b) jeg(x) < f (x). Množinu bodov [x , y ] roviny, pre ktoré platí
a ≤ x ≤ b,g(x) ≤ y ≤ f (x)
nazývame elementárnou oblasťou určenou funkciami f , ga intervalom 〈a, b〉.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Obsah časti roviny
VetaNech M je elementárna oblasť určená funkciami f , g a intervalom〈a, b〉. Potom pre plošný obsah PM tejto oblasti platí
PM =
b∫a
[f (x)− g(x)] dx .
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Obsah časti roviny
Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkamiPríklad 1.
xy = 4, x + y = 5
Príklad 2.
y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14
Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Obsah časti roviny
Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkamiPríklad 1.
xy = 4, x + y = 5
Príklad 2.
y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14
Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Obsah časti roviny
Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkamiPríklad 1.
xy = 4, x + y = 5
Príklad 2.
y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14
Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Objem rotačného telesa
VetaNech M je elementárna oblasť určená funkciami f , g a intervalom〈a, b〉 a nech je g(x) ≥ 0 na 〈a, b〉. Potom pre objem VM telesa,ktoré vznikne rotáciou tejto oblasti okolo osi ox platí
VxM = π
b∫a
[f 2(x)− g2(x)
]dx ,
a pre objem VM telesa, ktoré vznikne rotáciou tejto oblasti okoloosi oy , ak a ≥ 0, platí
VyM = 2π
b∫a
x [f (x)− g(x)] dx .
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Objem rotačného telesa
Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblastiohraničenej danými krivkamiPríklad 1.
y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 2.
y = −x2 + 3x , y = 1+ x , x = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 3.y = x3, y =
√x
okolo osi ox a oy .
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Objem rotačného telesa
Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblastiohraničenej danými krivkamiPríklad 1.
y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 2.
y = −x2 + 3x , y = 1+ x , x = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 3.y = x3, y =
√x
okolo osi ox a oy .
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Objem rotačného telesa
Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblastiohraničenej danými krivkamiPríklad 1.
y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 2.
y = −x2 + 3x , y = 1+ x , x = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 3.y = x3, y =
√x
okolo osi ox a oy .
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Dĺžka rovinnej krivky
VetaNech je krivka K grafom funkcie y = f (x) pre x ∈ 〈a, b〉. Nechf ′(x) je spojitá na 〈a, b〉. Potom pre dĺžku lK krivky K platí
lK =
b∫a
√1+ [f ′(x)]2 dx .
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Dĺžka rovinnej krivky
Vypočítajme dĺžku krivkyPríklad 1.
y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y =
√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1
2
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Dĺžka rovinnej krivky
Vypočítajme dĺžku krivkyPríklad 1.
y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y =
√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1
2
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Dĺžka rovinnej krivky
Vypočítajme dĺžku krivkyPríklad 1.
y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y =
√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1
2
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Plošný obsah rotačnej plochy
VetaNech je krivka K grafom funkcie y = f (x) pre x ∈ 〈a, b〉. Nechf ′(x) je spojitá na 〈a, b〉. Potom pre obsah PK rotačnej plochy,ktorá vznikne rotáciou krivky K okolo osi ox platí
PK = 2π
b∫a
|f (x)|√
1+ [f ′(x)]2 dx .
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Plošný obsah rotačnej plochy
Vypočítajme obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou danej krivkyokolo osi Ox :
Príklad 1.
y =x3
3, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5
Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotácioukrivky y2 = 9+ x medzi jej priesečníkmi s priamkou y = x + 9.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Plošný obsah rotačnej plochy
Vypočítajme obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou danej krivkyokolo osi Ox :
Príklad 1.
y =x3
3, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5
Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotácioukrivky y2 = 9+ x medzi jej priesečníkmi s priamkou y = x + 9.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Plošný obsah rotačnej plochy
Vypočítajme obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou danej krivkyokolo osi Ox :
Príklad 1.
y =x3
3, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5
Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotácioukrivky y2 = 9+ x medzi jej priesečníkmi s priamkou y = x + 9.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu:
Ťažisko hmotnej oblasti.Hmotnosť hmotnej oblasti.Statický moment hmotnej oblasti.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Ťažisko hmotnej oblastiMajme hmotnú rovinnú oblasť M, ktorej tvar je určenýelementárnou oblasťou a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f (x), pričom funkcief a g sú spojité na intervale 〈a, b〉. Nech plošná hustota oblasti Mje h = h(x).Statický moment hmotnej oblasti M vzhľadom k osi ox , resp.osi oy je
Sox =12
b∫a
h(x)[f 2(x)− g2(x)
]dx ,
resp.
Soy =
b∫a
h(x)x [f (x)− g(x)] dx .
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Pre hmotnosť m hmotnej oblasti M platí
m =
b∫a
h(x) [f (x)− g (x)] dx
a pre ťažisko T = [xT , yT ] tejto oblasti
xT =Soym, yT =
Soxm.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Pre hmotnosť m hmotnej oblasti M platí
m =
b∫a
h(x) [f (x)− g (x)] dx
a pre ťažisko T = [xT , yT ] tejto oblasti
xT =Soym, yT =
Soxm.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál
RozlišujemeNevlastný integrál na neohraničenom intervaleNevlastný integrál z neohraničenej funkcie
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale 〈a,∞)
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale
DefiníciaNech funkcia f je definovaná na intervale 〈a,∞) a nech pre každé
k > a existujek∫af (x) dx . Ak existuje limita
limk→∞
k∫a
f (x) dx , (1)
tak hovoríme, že existuje nevlastný integrál funkcie f naintervale 〈a,∞). V takom prípade definujeme
∞∫a
f (x) dx = limk→∞
k∫a
f (x) dx .
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale
DefiníciaAk limita
limk→∞
k∫a
f (x) dx
existuje a je vlastná, tak hovoríme, že nevlastný integrál funkcie fna intervale 〈a,∞) konverguje.
Ak limita
limk→∞
k∫a
f (x) dx
neexistuje alebo existuje ale je nevlastná, tak hovoríme, že nevlastnýintegrál funkcie f na intervale 〈a,∞) diverguje (neexistuje).
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale
Analogicky definujeme nevlastný integrál funkcie f na intervale(−∞, b〉:
b∫−∞
f (x) dx = limk→−∞
b∫k
f (x) dx .
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale (−∞, b〉
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale (−∞,∞)
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale
DefiníciaAk pre každé číslo c existujú nevlastné integrály
c∫−∞
f (x) dx ,∞∫c
f (x) dx , (2)
tak hovoríme, že existuje nevlastný integrál funkcie f na intervale(−∞,∞) a definujeme
∞∫−∞
f (x) dx =c∫
−∞
f (x) dx +∞∫c
f (x) dx .
Ak pre nejaké číslo c niektorý z nevlastných integrálov (2) diverguje(neexistuje), hovoríme, že nevlastný integrál funkcie f na intervale(−∞,∞) diverguje (neexistuje).
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale
Vypočítajme nevlastný integrál.Príklad 1. ∫ ∞
2
ln xx
dx
Príklad 2. ∫ ∞1
e1x
x2dx
Príklad 3. ∫ ∞−∞
1x2 + 1
dx
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale
Vypočítajme nevlastný integrál.Príklad 1. ∫ ∞
2
ln xx
dx
Príklad 2. ∫ ∞1
e1x
x2dx
Príklad 3. ∫ ∞−∞
1x2 + 1
dx
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál na neohraničenom intervale
Vypočítajme nevlastný integrál.Príklad 1. ∫ ∞
2
ln xx
dx
Príklad 2. ∫ ∞1
e1x
x2dx
Príklad 3. ∫ ∞−∞
1x2 + 1
dx
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie
Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie
Definícia
Nech funkcia f je definovaná na intervale 〈a, b) a nech limx→b−
|f (x)| = ∞. Nech
pre každé t ∈ 〈a, b) existujet∫a
f (x) dx . Ak existuje limita
limt→b−
t∫a
f (x) dx , (3)
tak túto limitu nazveme nevlastný integrál funkcie f na intervale 〈a, b〉 adefinujeme
b∫a
f (x) dx = limt→b−
t∫a
f (x) dx .
Definícia
Ak limita (3) neexistuje alebo je nevlastná, hovoríme, že nevlastný integrálfunkcie f na intervale 〈a, b〉 neexistuje alebo diverguje.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie
Definícia
Nech funkcia f je definovaná na intervale 〈a, b) a nech limx→b−
|f (x)| = ∞. Nech
pre každé t ∈ 〈a, b) existujet∫a
f (x) dx . Ak existuje limita
limt→b−
t∫a
f (x) dx , (3)
tak túto limitu nazveme nevlastný integrál funkcie f na intervale 〈a, b〉 adefinujeme
b∫a
f (x) dx = limt→b−
t∫a
f (x) dx .
Definícia
Ak limita (3) neexistuje alebo je nevlastná, hovoríme, že nevlastný integrálfunkcie f na intervale 〈a, b〉 neexistuje alebo diverguje.
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie
Analogicky definujeme nevlastný integrál funkcie f definovanej naintervale (a, b〉:
b∫a
f (x) dx = limt→a+
b∫t
f (x) dx .
Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie
Teda:b∫
a
f (x) dx = limt→b−
t∫a
f (x) dx .
b∫a
f (x) dx = limt→a+
b∫t
f (x) dx .
Vypočítajme nevlastný integrál.Príklad 1. ∫ 2
1
x√x − 1
dx
Príklad 2. ∫ π2
0tg xdx
Príklad 3. ∫ e1
1x ln4 x
dx
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie
Teda:b∫
a
f (x) dx = limt→b−
t∫a
f (x) dx .
b∫a
f (x) dx = limt→a+
b∫t
f (x) dx .
Vypočítajme nevlastný integrál.Príklad 1. ∫ 2
1
x√x − 1
dx
Príklad 2. ∫ π2
0tg xdx
Príklad 3. ∫ e1
1x ln4 x
dx
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie
Teda:b∫
a
f (x) dx = limt→b−
t∫a
f (x) dx .
b∫a
f (x) dx = limt→a+
b∫t
f (x) dx .
Vypočítajme nevlastný integrál.Príklad 1. ∫ 2
1
x√x − 1
dx
Príklad 2. ∫ π2
0tg xdx
Príklad 3. ∫ e1
1x ln4 x
dx
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Nevlastný integrál z neohraničenej funkcie
Teda:b∫
a
f (x) dx = limt→b−
t∫a
f (x) dx .
b∫a
f (x) dx = limt→a+
b∫t
f (x) dx .
Vypočítajme nevlastný integrál.Príklad 1. ∫ 2
1
x√x − 1
dx
Príklad 2. ∫ π2
0tg xdx
Príklad 3. ∫ e1
1x ln4 x
dx
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM
-
Ďakujem za pozornosť
4. prednáška Matematika II, 1. SjF, KM