matematika 12...matematika 12 nana jafarize maia wilosani nani wulaia nino gulua giorgi zagania...
TRANSCRIPT
maTematika 12
nana jafariZe
maia wilosani
nani wulaia
nino gulua
giorgi Zagania
maswavleblis wigni
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 1 03.07.2012 13:05:10
nana jafariZemaia wilosaninani wulaianino guluagiorgi Zagania
maTematika 12maswavleblis wigni
ydis dizaini: marTa TabukaSvili, naTia kvaracxeliadakabadoneba: maia feiqriSvili
ยฉ bakur sulakauris gamomcemloba, 2012
pirveli gamocema, 2012
bakur sulakauris gamomcemlobamisamarTi: daviT aRmaSeneblis 150, Tbilisi 0112 tel.: 291 09 54, 291 11 65elfosta: [email protected]
www.sulakauri.ge
ISBN 978-9941-15-640-3
N. JafaridzeM. TsilosaniN. TsulaiaN. GuluaG. Dzagania
MaTh 12Teacherโs Book
ยฉ Bakur Sulakauri Publishing, 2012Tbilisi, Georgia
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 2 03.07.2012 13:05:10
s a r C e v i
Sesavali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
erovnuli saswavlo gegma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
แฌแแแก แแแแแก แแแกแแฆแฌแแแ แจแแแแแแแ แแ แแแแ แแแแแแแขแแ แแแ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Sinaarsisa da miznebis ruka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
แแแกแฌแแแแแก แจแแคแแกแแแแก แกแแกแขแแแ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
gTavazobT ramdenime gakveTilis sanimuSo scenars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
1. mravalkuTxedis orTogonaluri gegmilis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. prizmis zedapiris farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. piramidis zedapiris farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. marTkuTxa paralelepipedis moculoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5. kavalieris principi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. piramidis moculoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7. cilindris zedapiris farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8. konusis gverdiTi zedapiris farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9. birTvis zedapiris moculoba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1. albaTobis Teoriis elementebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2. bernulis formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. statistikis elementebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. kovariaciisa da korelaciis koeficientebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1. racionaluri ricxvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2. iracionaluri ricxvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. proporcia. procenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4. simravle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5. grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6. kenigsbergis xidebis amocana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7. funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8. gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9. gantolebaTa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10. amocanebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11. utolobebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
12. wrfivi daprogramebis amocanebis grafikuli amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
13. mimdevroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 3 03.07.2012 13:05:10
IV Tavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1. sawyisi geometriuli cnebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2. samkuTxedebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3. wertilTa geometriuli adgili wrewiri. agebis amocanebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4. mravalkuTxedebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5. mravalkuTxedis farTobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6. wesieri mravalkuTxedebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7. veqtori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 4 03.07.2012 13:05:10
5
Sesavali
XII klasSi maTematikis sagnis swavlebis ZiriTadi mizania mozardSi kvlevis Cvevis, agreTve analitikuri, logikuri, sistemuri da simboluri azrovnebis gamomuSaveba. maTematikis swavlam moswavles unda SesZinos is unar-Cvevebi, romelic mas daexmareba cxovrebiseuli, praqtikuli problemebis gadaWraSi.
erovnuli saswavlo gegmis daniSnulebaa daexmaros saskolo ganaTlebis procesis monawileebs am procesis dagegmvasa da warmarTvaSi.
erovnul saswavlo gegmaSi aRwerilia is savaldebulo moTxovnebi, romelsac unda akmayofilebdes yvela moswavle saswavlo wlis dasrulebis mere. es moTxovnebi TiToeuli mimarTulebisaTvis Sedegebisa da maTi indikatorebis enazea Camoyalibebuli.
Sedegi aris debuleba imis Sesaxeb, Tu ra unda SesZlos moswavlem swavlis mocemuli safexuris dasrulebis Semdeg.
indikatori aris debuleba im codnisa da unar-Cvevebis demonstrirebis Sesaxeb, romelic Camoyalibebulia Sesabamis SedegSi. indikatoris ZiriTadi daniSnulebaa imis warmoCena, miRweulia Tu ara Sedegi. indikatori orientirebulia unar-Cvevebze da Camoyalibebulia aqtivobis enaze.
XII klasis warmodgenili saxelmZRvanelos daniSnulebaa xeli Seuwyos erovnuli saswavlo gegmiT gaTvaliswinebuli unar-Cvevebis gamomuSavebas.
saxelmZRvanelo faravs standartis yvela Sedegs.masalis miwodebis ZiriTadi meToduri orientiria problemuri Txroba. moswavle
aris gakveTilis axsnis aqtiuri monawile.gagacnobT wignis struqturas.TiTqmis yvela paragrafi iwyeba situaciuri amocaniT, maprovocirebeli SekiTxviT
an iseTi amocaniT, romelic moswavlisagan kvlevas moiTxovs da romelic iZleva varaudis gamoTqmis saSualebas. gakveTilis etapebi gamoyofilia aqtivobebiT, riTac xdeba axali masalis aTvisebis Semowmeba da gaRrmaveba. varskvlaviT moniSnulia amocanebi maRali SefasebisaTvis.
maswavleblis sarekomendacio wignSi mocemulia ramodenime gakveTilis scenari, aqtivobebis mizani, daniSnuleba, savaraudo da swori pasuxebi, sakontrolos nimuSebi. mocemulia Sefasebis ZiriTadi mdgenelebi, damxmare literatura maswavleblisaTvis.
agreTve gTavazobT savaraudo saaTobriv ganawilebas. sarezervo saaTebi gvaZlevs saSualebas, rom zogierT gakveTils maswavlebelma meti dro dauTmos, gamoiyenos Tavis Sexedulebisamebr.
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 5 03.07.2012 13:05:10
6
erovnuli saswavlo gegma
แฌแแแก แแแแแก แแแกแแฆแฌแแแ แจแแแแแแแ แแแแแ แแฃแแแแแแแก แแแฎแแแแแ:
แ แแชแฎแแแแ แแ แแแฅแแแแแแแแ
แแแแแแแแแแแ แแแแแ แแ แแแแแแ แ
แแแแแแขแ แแ แแ แกแแแ แชแแก แแฆแฅแแ
แแแแแชแแแแ แแแแแแแ, แแแแแแแแ แแ แกแขแแขแแกแขแแแ
XII .1 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแ แแฅแขแแแฃแแ แกแแฅแแแแแแแแแแ แแแแแแแแ แ แแ แแแแแแแแแก แแแแแฌแงแแแขแ .XII .2 .แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแกแฏแแแแแ-แแแแขแแแชแแแแก แแ แแชแแกแแกแ แแ แแแกแ แจแแแแแแก แแแแแแแ .
XII .3 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แคแฃแแฅแชแแแก แแ แคแฃแแฅแชแแแแ แแฏแแฎแแก แแแแกแแแแแแก แแแแแแ แแ แแแแแแแ แแ แแ แแแแกแแแแแแก แแแขแแ แแ แแขแแ แแแ แแแแขแแฅแกแขแแแ แแแแแ แแแแแจแ .XII .4 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแกแแ แแขแฃแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแแแก แแแแแงแแแแแ แแแแแแแ แแแแกแแก แแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก .
XII .5 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แคแแแฃแ แแแแก แแ แแแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแก แแแแแ/แจแแคแแกแแแ แแ แแแแ แแแแแงแแแแแ แแ แแฅแขแแแฃแแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก .XII .6 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแแ แแแฅแแแแแแก แแแฎแแกแแแแแแ แแ แแแแ แแแแแงแแแแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก .
XII .7 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแชแแแแ แฌแแ แแแแแแแ แแแกแแฃแแ แแแแชแแแแก แแแแกแแฎแกแแแแแ แฎแแแกแแงแ แแแ แคแแ แแแ แแ แแแแ แแแขแแ แแ แแขแแชแแ .XII .8 . แแแกแฌแแแแ แแฆแฌแแ แก แจแแแแฎแแแแแแแแแก แแแแแแฃแ แ แแแแแแแแแก แกแแจแฃแแแแแแ .XII .9 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแชแแแแ แแแแแแแ แแ แแแกแแแแแแแก แฉแแแแงแแแแแแแ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 6 03.07.2012 13:05:10
7
แฌแแแก แแแแแก แแแกแแฆแฌแแแ แจแแแแแแแ แแ แแแแ แแแแแแแขแแ แแแ
แแแแแ แแฃแแแแ: แ แแชแฎแแแแ แแ แแแฅแแแแแแแแ
XII .1 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแ แแฅแขแแแฃแแ แกแแฅแแแแแแแแแแ แแแแแแแแ แ แแ แแแแแแแแแก แแแแแฌแงแแแขแ .แจแแแแแ แแแแแกแแฉแแแแ, แแฃ แแแกแฌแแแแ: โข แแกแฏแแแแแก แ แแชแฎแแแแแแ แแแแแแจแแ แแแฃแแ แแแแแ แแแแแแแก แแแแจแแแแแแแแแ แแ แแฅแขแแแฃแแ
แกแแฅแแแแแแแแแแ แแ แแแชแแแแ แแแแก แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแ แแแแแแแ แแแแแแแแ แ แกแฎแแแแแกแฎแแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก;
โข แแงแแแแแก แแแฉแแแแแแแแแแ แแ แแแแแ แแแแฃแแ แคแฃแแฅแชแแแแแก แแแแกแแแแแก แแ แแฅแขแแแฃแแ แกแแฅแแแแแแแแแแ แแ แแแชแแแแ แแแแก แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแ แแแแแแแ แแแแแแแแ แ แแแแแแแแแแแแ แแแแแแจแแ แแแฃแแ แแแแชแแแแแแก แแแแฎแกแแแกแแก (แแแแแแแแแ แฃแฌแงแแแขแแ แแแ แแชแฎแฃแแ แกแแแ แแชแแแขแ แแแแแแแแแ, แแแขแ แแแแ แแแแแแแแแกแ แแ แคแแแแแแจแ, แแแคแแ แแแชแแแก แแแชแฃแแแแ, แ แแแแแแฅแขแแฃแแ แแแจแแ แแ แแแแแ แแฆแแแแก แแแแแแแแ);
โข แกแแแแแแก แชแแแแแแแแก แแ แแคแแแฃแแ แแแแแกแแฎแแแกแแก แแ แฉแแแก แแ แแงแแแแแก แจแแกแแคแแ แแก แกแแแแแก (แแแแแแแแแ, แแแแแ แแแแฃแ แกแแแแแก) .
XII .2 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแกแฏแแแแแ-แแแแขแแแชแแแแก แแ แแชแแกแแกแ แแ แแแกแ แจแแแแแแก แแแแแแแ .แจแแแแแ แแแแแกแแฉแแแแ, แแฃ แแแกแฌแแแแ: โข แแฎแแแแก แ แแชแฎแแแแแก แจแแกแแฎแแ แแแแฃแแแแแก แแ แ แแแแแแแแ แแแ แแกแฏแแแแแแก แแแแฃแจแแก แแ แแแกแ
แจแแแแแแก แแแแแแแก แแ แแ แแ แ แแแแแแแแ แแแ แแแแก, แจแแแฆแฃแแแแก แแ แแแจแแแแแก แจแแกแฃแกแขแแแ-แแแฎแกแแแ;
โข แแกแแแฃแแแแก แ แแชแฎแแแแแก แแแแกแแแแแแก แแ แ แแชแฎแแแ แแแแแแแแแแแ แแแแแแก แจแแกแแฎแแ แแแแแแแแแแแแ, แแแแแแแแแ แแแฆแแแฃแ แแแกแแแแแแก แแ แแแแฃแแแแแแก (แแแ แจแแ แแก แแแแแแแขแแแฃแ แ แแแแฃแฅแชแแแก แแแแแงแแแแแแ);
โข แ แแแแแแแแแแแแ แแ แกแแแแแแแแแแ แแแแแแจแแ แแแฃแแ แแกแฏแแแแแแก แแแแฃแจแแ แแฎแแแแก แแกแฏแแแแแแก แฎแแแแก แแ แแแกแแแแแแ แแแฌแแแแก แแ แแขแแแฃแ แแแแแแแก .
แแแแแ แแฃแแแแ: แแแแแแแแแแแ แแแแแ แแ แแแแแแ แ
XII .3 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แคแฃแแฅแชแแแก แแ แคแฃแแฅแชแแแแ แแฏแแฎแแก แแแแกแแแแแแก แแแแแแ แแ แแแแแแแ แแ แแ แแแแกแแแแแแก แแแขแแ แแ แแขแแ แแแ แแแแขแแฅแกแขแแแ แแแแแ แแแแแจแ .
แจแแแแแ แแแแแกแแฉแแแแ, แแฃ แแแกแฌแแแแ: โข แแฆแฌแแ แก แแ แแแแ แแแก แจแแกแฌแแแแแ แคแฃแแฅแชแแแแ แแฏแแฎแแแก แแกแแแ แแแแกแแแแแแก แแแฎแแแแแ,
แ แแแแ แแชแแ: แแแแกแแแฆแแ แแก แแ แ แแ แแแแจแแแแแแแแแ แกแแแ แแแแ, แคแแกแแแแแกแ แแ แแฅแกแขแ แแแฃแแแก แฌแแ แขแแแแ แจแแกแแซแแ แ แแแแแแแแ, แแแจแแแแฃแแแแแแแแกแ แแ แแ แแแแแแ/แแแแแแแแแแก แจแฃแแแแแแแ, แแแ แแแแฃแแแแ, แแกแแแแขแแขแฃแ แ แฅแชแแแ, แแ แแคแแแแก แแแแแแขแ แแฃแแ แแแแกแแแแแ; แแฎแแแแก แแ แแแแกแแแแแแก แแแขแแ แแ แแขแแ แแแแก แแแแขแแฅแกแขแแแ แแแแแ แแแแแจแ;
โข แแงแแแแแก แจแแกแแคแแ แแก แแ แแคแแแฃแ, แแแแแแ แฃแ แแแแแแแแก แแ แขแแฅแแแแแแแแแก แคแฃแแฅแชแแแก แแแแกแแแแแแก (แแแแกแแแฆแแ แแก แแ แ แแ แแแแจแแแแแแแแแ แกแแแ แแแแ, แคแแกแแแแ แแ แแฅแกแขแ แแแฃแแแก แฌแแ แขแแแแแ, แแแจแแแแฃแแแแแแแแกแ แแ แแ แแแแแแ/แแแแแแแแแแก แจแฃแแแแแแแ, แแฃแฌแแแ/แแแแขแแแ, แแแ แแแแฃแแแแ, แแกแแแแขแแขแฃแ แ แฅแชแแแ, แแ แแคแแแแก แแแแแแขแ แแฃแแ แแแแกแแแแแ)
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 7 03.07.2012 13:05:10
8
แแแกแแแแแแแ . แแฎแแแแก แแ แแแแกแแแแแแก แแแขแแ แแ แแขแแ แแแแก แแแแขแแฅแกแขแแแ แแแแแ แแแแแจแ;โข แแฆแฌแแ แก แแฃ แ แ แแแแแแแแก แแฎแแแแก แคแฃแแฅแชแแแก แแแ แแแแขแ แแแแก แชแแแแแแแ แคแฃแแฅแชแแแก
แแแแกแแแแแแ; แแฎแแแแก แแ แแแแแแแแก แแแขแแ แแ แแขแแ แแแแก แแแแขแแฅแกแขแแแ แแแแแ แแแแแจแ .โข แแงแแแแแก แจแแกแฌแแแแแ แคแฃแแฅแชแแแแก แแ แแแ แแแแกแแแแแก แแแแแแแ แแแแกแแก แแ แแ แแแแแแแก
แแแแแญแ แแกแแก .
XII .4 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแกแแ แแขแฃแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแแแก แแแแแงแแแแแ แแแแแแแ แแแแกแแก แแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก .
แจแแแแแ แแแแแกแแฉแแแแ, แแฃ แแแกแฌแแแแ: โข แแงแแแแแก แแขแแ แแชแแแก, แ แแแฃแ แกแแแก แแ แแแแแแแขแแแฃแ แแแแฃแฅแชแแแก แแแแแแแ แแแแกแแก,
แแแแฃแแแแแแแก แแแกแแแฃแแแแแกแแก, แคแแ แแฃแแแแแก แแแแแงแแแแแกแแก, แแแแแแแแขแแ แฃแแ แแแแชแแแแแแก แแแแฎแกแแแกแแก;
โข แแงแแแแแก แแ แแคแแแก, แฎแแกแแแ แแแแแ แแแแแก แแ แแแ แแแแกแแแแแก แแแแแแแ แแแแกแแก แแ แแแแชแแแแแแก แแแแฎแกแแแกแแก .
แแแแแ แแฃแแแแ: แแแแแแขแ แแ แแ แกแแแ แชแแก แแฆแฅแแ
XII .5 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แคแแแฃแ แแแแก แแ แแแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแก แแแแแ/แจแแคแแกแแแ แแ แแแแ แแแแแงแแแแแ แแ แแฅแขแแแฃแแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก .
แจแแแแแ แแแแแกแแฉแแแแ, แแฃ แแแกแฌแแแแ: โข แแแฃแแแแก แกแแแ แชแฃแแ แคแแแฃแ แแก แแแชแฃแแแแแก;โข แแงแแแแแก แกแแแ แชแฃแแ แคแแแฃแ แแก แแแแแแก แจแแ แแก แคแฃแแฅแชแแฃแ แแแแแแแแแแฃแแแแแก
แแแขแแแแแแชแแแก แแแแแแ แแ แแ แแแแแแแก แแแแแกแแญแ แแแแ (แแแ แจแแ แแก แ แแแแฃแ แ แแแแแ แแแแก แจแแกแแแแแแก แแแแชแแแแแจแ; แแแแแแแแแ แชแแแแแแ แฃแแ แคแแ แแแก แฆแแ แแแแกแแ แแแก แงแฃแแแก แแแแแแแแแแแ แแฎแแ แฏแแแ S แกแ2 แแแกแแแ . แ แแแแ แ แฃแแแ แแงแแก แงแฃแแแก แฌแ แคแแแ แแแแแแ, แ แแ แแแกแ แแแชแฃแแแแ แฃแแแแแกแ แแงแแก?);
โข แแงแแแแแก แแแฅแขแแ แแแก แแแแแแขแ แแฃแแ แแแแฃแแแแแแแก แแแกแแแขแแแชแแแแแ แแ แแแแแแแก แแแกแแแแแแแ;
โข แแงแแแแแก แคแแแฃแ แแก แแแแแแก แแ แแแ แจแแ แแก แแแแจแแ แแแก แแแแแแขแ แแฃแแ แแแแแแแแแก แแแกแแแแแแแ .
XII .6 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแแ แแแฅแแแแแแก แแแฎแแกแแแแแแ แแ แแแแ แแแแแงแแแแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก .
แจแแแแแ แแแแแกแแฉแแแแ, แแฃ แแแกแฌแแแแ:โข แคแแแฃแ แแก แแแแแแขแ แแฃแ แแแ แแแฅแแแแก แกแแแ แขแงแแแ แแแแแกแแฎแแแก แแแแแ แขแแก แแแแ แแแแแขแแแแก
แกแแจแฃแแแแแแ;โข แแกแแฎแแแแแก แแแแ แแแแแขแแแจแ แแแชแแแฃแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแแ แแแฅแแแแก แจแแกแแซแแ แขแแแก
(แแแ แแแแแฃแ แ แแแแแขแแแ, แกแแแแแแก แแแแแ แ แชแแแขแ แฃแแ แกแแแแขแ แแ, แกแแแแแ แแแแแขแ แฆแแ แซแแแแก แแแแแ แ แฆแแ แซแฃแแ แกแแแแขแ แแ) .
แแแแแ แแฃแแแแ: แแแแแชแแแแ แแแแแแแ, แแแแแแแแ แแ แกแขแแขแแกแขแแแ
XII .7 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแชแแแแ แฌแแ แแแแแแแ แแแกแแฃแแ แแแแชแแแแก แแแแกแแฎแกแแแแแ แฎแแแกแแงแ แแแ แคแแ แแแ แแ แแแแ แแแขแแ แแ แแขแแชแแ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 8 03.07.2012 13:05:10
9
แจแแแแแ แแแแแกแแฉแแแแ, แแฃ แแแกแฌแแแแ: โข แแ แฉแแแก แแแแแชแแแแ แฌแแ แแแแแแแแก แจแแกแแคแแ แแก แแ แแคแแแฃแ แคแแ แแแแก, แแกแแแฃแแแแก แแแแแก
แแ แฉแแแแแก, แแแแแก แแ แแแแแแ แขแแแก แชแฎแ แแแแแก/แแแแแ แแแแแก;โข แแแฌแงแแแแแแฃแแ แแแแแชแแแแแแกแแแแก แฅแแแแก แแแคแแแขแฃแแแแแก แแแแแ แแแแก, แแแแกแแแ แแแแ
แแฆแฌแแ แก แแแก แคแแ แแแก (แ แแแแแแแ แฌแแ แแก แแแแแแแแแ แฌแ แคแแก, แแแ แแแแแแก, แแแแแแแจแ แแแแชแแแขแ แแชแแ), แแแแแก แกแแฃแแแแแกแ แแแกแแแแแแแแก แฌแ แคแแก;
โข แแแแแแก แกแแฎแจแแ แแแ แแแแแฌแแแแแแก, แฌแแ แแแแแแแแก แแแก แแ แแคแแแฃแแแ แแ แแฆแฌแแ แก แแแก แคแแ แแแก (แแแแแแแแแ, แกแแแแขแ แแฃแแแแ/แแกแแแแขแ แแฃแแแแ, แแแฅแกแแแฃแแแก/แแแแแแฃแแแก แฌแแ แขแแแแแ) .
XII .8 . แแแกแฌแแแแ แแฆแฌแแ แก แจแแแแฎแแแแแแแแแก แแแแแแฃแ แ แแแแแแแแแก แกแแจแฃแแแแแแ .แจแแแแแ แแแแแกแแฉแแแแ, แแฃ แแแกแฌแแแแ: โข แแแแแกแฎแแแแแแก แแแแแฃแแแแแแแ แแ แแแแแแแแแแฃแ แฎแแแแแแแแแแก, แแกแแฎแแแแแก แแแ
แแแแแแแแแแก แแ แแแแแแก แฎแแแแแแแแแแ แแแ แแแแ แแแแแแแแแแก;โข แแแแแแก แ แแฃแ แฎแแแแแแแแแก แแแแแแแแแก แฏแแแแกแ แแ แแแแ แแแแแก แคแแ แแฃแแแแแก
แแแแแงแแแแแแ;โข แแขแแ แแแก แแฅแกแแแ แแแแแขแก แแ แแแแแฏแแ แแแ แแแแ แฃแแแแแ แแ แแ แแฅแกแแแ แแแแแขแแก แกแแจแฃแแแแแแ
แแแแแแก แฃแ แแแก แจแแแแแแแแแแแก _ แแคแแกแแแก แแแแกแฎแแแแแแฃแแ แคแแ แแก แแฃแ แแฃแแแแแก แ แแแแแแแแแแ แจแแคแแ แแแแแก;
โข แแงแแแแแก แกแแแฃแแแชแแแแก แจแแ แฉแแแแก แกแขแแขแแกแขแแแแแแก (แแแแแแแ, แกแแจแฃแแแ แแแแจแแแแแแแ, แกแแจแฃแแแ แแแแแ แแขแฃแแ แแแแแฎแ แ) แแแ แแแแแแฃแ แแแแก แแแแแกแแแแแแแแ แแ แจแแ แฉแแแแก แแแแแฌแแแแแแแ แแกแแแแแแ .
XII .9 . แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแชแแแแ แแแแแแแ แแ แแแกแแแแแแแก แฉแแแแงแแแแแแแ .แจแแแแแ แแแแแกแแฉแแแแ, แแฃ แแแกแฌแแแแ: โข แแ แฉแแแก แแแชแแแฃแแ แจแแ แฉแแแแกแแแแก แแกแแ แ แแชแฎแแแ แแแฎแแกแแแแแแแแแก, แ แแแแแแแช
แฎแแแกแแงแ แแแแ แแแแชแแแแก แแแแกแแฎแกแแแแแ แแ แแกแแแฃแแแแก แแแแแก แแ แฉแแแแแก, แแแแแแก แแ แแแแแแแกแฌแแแแแก แแ แฉแแฃแ แแแฎแแกแแแแแแแแแก แแแแแฌแงแแแขแแแแแแก แแแฆแแแแกแแก;
โข แแฎแแแแก แแแแแชแแแแ แแแขแแ แแแแแชแแแก/แแฅแกแขแ แแแแแแชแแแก แกแแฃแแแแแกแ แแแกแแแแแแแแก แฌแ แคแแก แกแแจแฃแแแแแแ;
โข แแแแแชแแแแก แฉแแแแชแแแแแแก แจแแ แฉแแแแกแ แแ แแแแแแแแฎแแแก แแแแฃแจแจแ, แแกแฏแแแแแก แแฃ แ แแแแ แแแแแแแแแแก แแฎแแแแก แจแแ แฉแแแแแ แแแแแแ แแ แจแแ แฉแแแแก แแแชแฃแแแแ แแแกแแแแแแ แกแแแแแแแแแ;
โข แแแแแแก แแแ แแแแชแแแก แแแแคแแชแแแแขแก แแ แแกแฏแแแแแก แแแฌแงแแแแแแฃแ แแแแแชแแแแแก แจแแ แแก แฌแ แคแแแ แแแแจแแ แแก แจแแกแแฎแแ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 9 03.07.2012 13:05:10
10
Sinaarsisa da miznebis ruka
Sinaarsi Temis kavSiri miznebTan da SedegebTan
sava
rau
do
xa
ngr
Zliv
oba
1 2 3
I TavimravalkuTxedis orTogonal-uri gegmilis farTobi.prizmis zedapiris farTobi.piramidis zedapiris farTobi.marTkuTxa paralelepipedis moculoba.kavalieris principi.piramidis moculoba.cilindris zedapiris far-Tobi.konusis gverdiTi zedapiris farTobi.birTvis zedapiris moculoba.
แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแชแแแแ แฌแแ แแแแแแแ แแแกแแฃแแ แแแแชแแแแก แแแแกแแฎแกแแแแแ แฎแแแกแแงแ แแแ แคแแ แแแ แแ แแแแ แแแขแแ แแ แแขแแชแแ .แแแกแฌแแแแ แแฆแฌแแ แก แจแแแแฎแแแแแแแแแก แแแแแแฃแ แ แแแแแแแแแก แกแแจแฃแแแแแแ .แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแชแแแแ แแแแแแแ แแ แแแกแแแแแแแก แฉแแแแงแแแแแแแ .
36 sT
sakontrolo wera โ1 1 sT
II TavialbaTobis Teoriis element-ebi.bernulis formula.statistikis elementebi.kovariaciisa da korelaciis koeficientebi.
แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แคแแแฃแ แแแแก แแ แแแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแก แแแแแ/แจแแคแแกแแแ แแ แแแแ แแแแแงแแแแแ แแ แแฅแขแแแฃแแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก .แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแแ แแแฅแแแแแแก แแแฎแแกแแแแแแ แแ แแแแ แแแแแงแแแแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก .
20 sT
sakontrolo wera โ2 1 sT
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 10 03.07.2012 13:05:10
11
1 2 3
III Taviracionaluri ricxvi.iracionaluri ricxvi.proporcia. procenti.simravle.grafi.keningsbergis xidebis amocana.funqcia.gantoleba.gantolebaTa sistema.amocanebi.utolobebi.wrfivi daprogramebis amo-canebis grafikuli amoxsna.mimdevroba.
แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแ แแฅแขแแแฃแแ แกแแฅแแแแแแแแแแ แแแแแแแแ แ แแ แแแแแแแแแก แแแแแฌแงแแแขแ .แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแกแฏแแแแแ-แแแแขแแแชแแแแก แแ แแชแแกแแกแ แแ แแแกแ แจแแแแแแก แแแแแแแ .แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแชแแแแ แฌแแ แแแแแแแ แแแกแแฃแแ แแแแชแแแแก แแแแกแแฎแกแแแแแ แฎแแแกแแงแ แแแ แคแแ แแแ แแ แแแแ แแแขแแ แแ แแขแแชแแ .แแแกแฌแแแแ แแฆแฌแแ แก แจแแแแฎแแแแแแแแแก แแแแแแฃแ แ แแแแแแแแแก แกแแจแฃแแแแแแ .แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแชแแแแ แแแแแแแ แแ แแแกแแแแแแแก แฉแแแแงแแแแแแแ .
60 sT
sakontrolo wera โ3 1 sT
IV Tavisawyisi geometriuli cnebebi.samkuTxedebi.wertilTa geometriuli adgili wrewiri. agebis amocanebi.mravalkuTxedebi.mravalkuTxedis farTobi.wesieri mravalkuTxedebi.veqtori.
แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แคแฃแแฅแชแแแก แแ แคแฃแแฅแชแแแแ แแฏแแฎแแก แแแแกแแแแแแก แแแแแแ แแ แแแแแแแ แแ แแ แแแแกแแแแแแก แแแขแแ แแ แแขแแ แแแ แแแแขแแฅแกแขแแแ แแแแแ แแแแแจแ .แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแกแแ แแขแฃแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแแแก แแแแแงแแแแแ แแแแแแแ แแแแกแแก แแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก .แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แคแแแฃแ แแแแก แแ แแแแ แแแแแแแขแแแแก แแแแแแแก แแแแแ/แจแแคแแกแแแ แแ แแแแ แแแแแงแแแแแ แแ แแฅแขแแแฃแแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก .แแแกแฌแแแแแก แจแแฃแซแแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแแ แแแฅแแแแแแก แแแฎแแกแแแแแแ แแ แแแแ แแแแแงแแแแแ แแแแแแขแ แแฃแแ แแ แแแแแแแแแก แแแแแญแ แแกแแก .
60 sT
sakontrolo wera โ4 1 sT
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 11 03.07.2012 13:05:10
12
แแแกแฌแแแแแก แจแแคแแกแแแแก แกแแกแขแแแ
แแแกแฌแแแแแก แจแแคแแกแแแแก แแแแแแ, แแ แแแชแแแแแ แแ แแแแแแแแแ
1 . แแแกแฌแแแแแก แจแแคแแกแแแแก แแแแแแแ แกแฌแแแแ-แกแฌแแแแแแแก แฎแแ แแกแฎแแก แแแ แแแ, แ แแช แแฃแแแกแฎแแแแก แกแฌแแแแแก แฎแแ แแกแฎแแก แแแฃแแฏแแแแกแแแแแ แแ แฃแแแแกแ แแ แแแแขแ แแแก .
2 . แแแกแฌแแแแแก แแแแแแแแฃแ แ แแแฆแฌแแแแก แจแแคแแกแแแ แฃแแแ แแงแแก แฎแจแแ แ แแ แแ แแแแแแฎแ แแแ; แแแ แฎแแแ แฃแแแ แจแแฃแฌแงแแก: แแแกแฌแแแแแแ แแ แแแแแแฎแ แแ แแแแแแแแ แแแแก, แแแแ แจแแกแแซแแแแแแแแแแก แแแแแแแแแแก, แกแฎแแแแแกแฎแแ แแแขแแแชแแแแแก แแฅแแแ แแแกแฌแแแแแแแแแแก แแแแแแแ แ แแแ แแแแแแก แจแแฅแแแแก .
3 . แแแกแฌแแแแ แฃแแแ แจแแคแแกแแแก แกแฎแแแแแกแฎแแ แคแแ แแแแแ (แแกแกแ, แแ แแแฅแขแแก แแแแแแแแแ, แแแแแ แ แแแแแกแแแ, แแฅแกแแแ แแแแแขแแก แฉแแขแแ แแแ, แชแแแก แฉแแขแแ แแแ, แฌแแ แแแแแแแ, แฌแแ แแแ, แคแแ แฌแแ แฃแแ แแ แกแฎแแ แขแแแแก แแแแฃแจแแแแ แ, แแ แแฃแแแแขแแ แแแฃแแ แแกแฏแแแแแ แแ แกแฎแ .) .
แแแแแกแแแฆแแ แแแ แแ แแแแแแแแแแ แแแแแ แจแแคแแกแแแ1. แกแแแแแจแ แแแแแแงแแแแแ แแ แ แขแแแแก แจแแคแแกแแแ: แแแแแกแแแฆแแ แแแ แแ แแแแแแแแแแ แแแแแ . 2. แแแแแกแแแฆแแ แแแ แจแแคแแกแแแ แแแแแขแ แแแแแก แกแฌแแแแแก แฎแแ แแกแฎแก, แแแแแแก แแแกแฌแแแแแก แแแฆแฌแแแแก
แแแแแก แแ แแแแฃแแ แกแแกแฌแแแแ แแแแแแ แแแแกแแแฆแแ แฃแ แแแแแแแแแ แแแแแ แแแแแจแ . แแแแแกแแแฆแแ แแ แจแแคแแกแแแแจแ แแฌแแ แแแ แฅแฃแแ .
3. แแแแแแแแแแ แแแแแ แจแแคแแกแแแ แแแแแขแ แแแแแก แแแแแแฃแแ แแแกแฌแแแแแก แแแแแแแแ แแแแก แแแแแแแแแก แแ แฎแแแก แฃแฌแงแแแก แกแฌแแแแแก แฎแแ แแกแฎแแก แแแฃแแฏแแแแกแแแแก . แแแแแแแแแแ แแแแแ แจแแคแแกแแแแกแแก แแแแแแงแแแแแ แแกแแแ แกแแจแฃแแแแแแแ, แ แแแแ แแชแแ แกแแขแงแแแแ แ แแแแแแขแแ แ, แ แฉแแแ-แแแ แแแแแ, แแแแแแ แแแแแก แคแฃแ แชแแแ, แแแแแจแแคแแกแแแแกแ แแ แฃแ แแแแ แแจแแคแแกแแแแก แกแฅแแแ แแ แกแฎแ .
4. แแแแแแแแแแ แแแแแ แแ แแแแแกแแแฆแแ แแแ แจแแคแแกแแแแแแก แแฆแฌแแ แแแแแ
แแแแแแแแแแ แแแแแ แแแแแกแแแฆแแ แแแ
แแแแแแ แกแฌแแแแแก แฎแแ แแกแฎแแก แแแฃแแฏแแแแกแแแ;
แแแกแฌแแแแแก แแแแแแแแ แแแแก แฎแแแจแแฌแงแแแ
แกแฌแแแแแก แฎแแ แแกแฎแแก แแแแแแขแ แแแแแ;แแแกแฌแแแแแก แแแฆแฌแแแแก แแแแแก แแแแแแแ แแ แแแแฃแแ แกแแกแฌแแแแ แแแแแแ แแแแกแแแฆแแ แฃแ แแแแแแแแแ แแแแแ แแแแแจแ;แแแแแแแแฃแ แ แแแกแฌแ แแแแก แแแแแก แแแแกแแแฆแแ แ
แจแแคแแกแแแแก แกแแแแแ แกแฌแแแแแก แแ แแชแแกแ แกแฌแแแแแก แจแแแแแ
แจแแคแแกแแแแก แจแแแแแแ แแแฆแแแฃแแ แแแแแฌแงแแแขแแแแแ
แฌแแแกแแแแก แฎแแแจแแกแแฌแงแแแแ แแแแกแฎแแแแแแฃแแ แแฅแขแแแแแแก แจแแ แฉแแแ, แกแฌแแแแแแแก แกแขแ แแขแแแแแก แจแแชแแแ, แ แฉแแแ-แแแ แแแแแแก แแแชแแแ แแ แกแฎแ.
แแแแแแแแ แแขแแแแ (แแแแกแจแ/แกแแคแแฎแฃแ แแ) แแแจแแแแ/แแ แแแจแแแแ
แฌแแ แแแ แขแแแแก แแ แแขแแ แแฃแแแแแก แแแแกแแแฆแแ แ
แแแแแ แแขแฃแแ แแแกแฌแแแแแก แฌแแแกแแแแก แกแแคแฃแซแแแแแ (แกแแแฃแแแ แแแฆแฌแแแแแแแ แแแแแ แแแแแ - แ แ แแแแแก แคแแแแแ, แ แ แแแแแก แคแแแแก)
แแแแก แกแแคแฃแซแแแแแ, แแฃ แ แแแแแแแ แแแแฆแฌแแ แกแขแแแแแ แขแแ แแแแกแแแฆแแ แฃแ แจแแแแแแแก (แงแแแแแกแแแแแก แกแแแ แแ, แกแขแแแแแ แขแแ แแแแแแแแ แแแ แแแกแแแ แแแแแ แแแแแจแ)
แจแแคแแกแแแแก แกแแจแฃแแแแแแแ
แแแแ/แฃแ แแแแ แแจแแคแแกแแแแก แ แฃแแ แแแ; แแแแฎแแแ แ;แกแแขแงแแแแ แ (แแแแแ แ/แฌแแ แแแแแแแ) แแแแแแขแแ แ;แฃแแแ แแก แแแแแแแแ แแแแก แแแแแก แแฆแฌแแ แ.
แฅแฃแแ
แแแกแฌแแแแแแ แแแแแแแแฃแ แ แแแฆแฌแแแแแ แคแแกแแแแ แแแฅแฃแแแแแ แกแแกแขแแแแ
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 12 03.07.2012 13:05:10
13
แฅแฃแแแแ แจแแคแแกแแแแก แแแแแแแ10
แแแฆแแแ98
แกแแจแฃแแแแแ แแแฆแแแ76
แกแแจแฃแแแ54
แกแแจแฃแแแแแ แแแแแแ32
แแแแแแ1
แกแแแแแก แกแแแแกแขแ แฃแแ แฅแฃแแแก แจแแแแแแแแแแ แแแแแแแแแขแแแ
1. แกแแแแกแขแ แแก แแแแซแแแแ แแแกแฌแแแแแแแ แคแแกแแแแแแ แจแแแแแแ แกแแแ แแแแแแแแแขแแก แแแฎแแแแแ: แ) แกแแจแแแแ แแแแแแแแ; แ) แกแแแแแกแ แแแแแแแแ; แ) แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแ.
2. แจแแคแแกแแแแก แกแแแแแ แแแแแแแแแขแก แแ แแแแแ แ แฌแแแ แแฅแแก.
3. แกแแจแแแแ แแ แกแแแแแกแ แแแแแแแแแแ แแแแแแแแแขแแแจแ แแแแแแงแแแแแ แ แแแแ แช แแแแแกแแแฆแแ แแแ, แแกแแแ แแแแแแแแแแ แแแแแ แจแแคแแกแแแ .
4. แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแแก แแแแแแแแแขแจแ แแฃแชแแแแแแแแ แแแแแกแแแฆแแ แแแ แจแแคแแกแแแแก แแแแแงแแแแแ .
5. แแ แแแแฃแแ แกแแกแฌแแแแ แแแแแ แแแแแแฃแแ แกแแแแแกแแแแแก แแแแกแแแฆแแ แแแก แกแแแแกแขแ แแก แแแแแแแแแแแจแ แฉแแกแแขแแ แแแแแ แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแแแแก แกแแแแแแแแฃแแ แแแแแแแแฃแ แ แแแแแแแแแก . แแ แแแแแแแแแขแแ แจแแคแแกแแแแกแแก:
แ) แกแขแแแแแ แขแแก แแแแฎแแแแแแ แแแกแแแแแงแแคแแแแแแแ, แแฃแชแแแแแแแแ แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแแก แแ แแแแแแแแ แ แคแแ แแแก แแแแแงแแแแแ (แแฎแแฃแแแแ, แแแฎแกแแแแแ, แ แแคแแ แแขแ, แแ แแแฅแขแ, แกแแแแแ-แแแกแแแแแ แกแแแฃแจแแ, แแแแแ แแขแแ แแฃแแ แแแแแแ, แกแแฎแแแแ แแ แแแแแงแแแแแแแ แฎแแแแแแแแแก แแแแฃแจแ แแ แกแฎแ .);
แ) แแแกแฌแแแแ แแแแแแแฃแแแ แจแแแกแ แฃแแแก แแแแกแจแ แฉแแขแแ แแแฃแแ แงแแแแ แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแ (แแ แแแแฃแแ แกแแกแฌแแแแ แแแแแแ แแแแแแแแแ แกแแแแแแแแฃแแ แแแแแแฃแแ แแ แกแแแแแก แแแแ แแแแแขแแแแ แแแแแแแแแ, แแ แฃแแแแแกแแแแแแก แแ แกแแแแแแก แจแแแแฎแแแแแจแ);
แ) แแฃ แแแกแฌแแแแ แแ แจแแแกแ แฃแแแแก แ แแแแแแแ แจแแแแฏแแแแแแ แกแแแฃแจแแแก แแแชแแแแแก แแแแ, แกแแแแ แแแแแแแฃแแแ, แแแกแชแแก แแแก แแแชแแแแแแ แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแแแแก แแฆแแแแแแก แกแแจแฃแแแแแ . แจแแแแฏแแแแแแแ แแฆแแแแแแแ แกแแแฃแจแแแก แแแแแแ แแ แแแกแ แฉแแขแแ แแแแก แคแแ แแ แแแแแกแแแฆแแ แแแ แกแแกแแแแ แกแแกแฌแแแแ แแแแแแ .
แแแแแกแแแฆแแ แแแ แจแแคแแกแแแแก แฅแฃแแแแ แกแแฎแแแแแแแแแแแแกแแแแแแแแแแแแแแ แกแแกแขแแแแจแ แแแแแแงแแแแแ แแแแแกแแแฆแแ แแแ แจแแคแแกแแแแก แจแแแแแแ แกแแฎแแแแแแ:แ) แกแแแแแก แแแแแแแแ แ แแ แจแแแแฏแแแแแแแ แฅแฃแแแแ โ แกแแจแแแแ, แกแแแแแกแ แแ แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแแขแแก แฅแฃแแแแ, แ แแแแแแกแแช แแแกแฌแแแแ แแฆแแแก แกแแแแกแขแ แแก แแแแแแแแแแแจแ;แ) แกแแแแแก แกแแแแกแขแ แฃแแ แฅแฃแแ โ แกแแแแแจแ แแแฆแแแฃแแ แจแแคแแกแแแ แแแแแแฃแ แกแแแแกแขแ แจแ (แกแแแแกแขแ แฃแแ แแแแแชแแแก แฉแแแแ แแแแก แจแแแแฎแแแแแจแ, แแแแแแแแแแแ แแแกแ แแแแแแแแกแฌแแแแแแ);
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 13 03.07.2012 13:05:10
14
แ) แกแแแแแก แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแ โ แกแแแแกแขแ แฃแแ แฅแฃแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แ แจแแคแแกแแแ แกแแแแแจแ . แฌแแแฃแ แฅแฃแแแจแ แจแแแซแแแแ แฌแแแฃแ แ แแแแแชแแแก แฅแฃแแแช แแแกแแฎแแก, แแฃ แแกแแแ แแแแแชแแ แแแแแแแแกแฌแแแแแฃแแแ แกแแกแแแแ แกแแกแฌแแแแ แแแแแแ แแ แกแแแแแก แแแแ แแแแกแแแฆแแ แฃแแแ, แ แแ แแแก แแแแแแแ แแฅแแแแ แกแแแแแก แฌแแแฃแ แฅแฃแแแแ;แ) แกแแแ แแ แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแ โ แกแแแแแแแก แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแแแแแแ แแแแแแแแแแ แ แจแแคแแกแแแ;แ) แกแแคแแฎแฃแ แแก แกแแแ แแ แฅแฃแแ โ แแแแแแ แแแแแแแแแแก แ แแแแแแแ แกแแคแแฎแฃแ แแก (แแแฌแงแแแแแ, แกแแแแแ, แกแแจแฃแแแ) แกแแแ แแ แจแแคแแกแแแ.
แฅแฃแแแแแก แแแแแแแแแ แแจแแแแก แฌแแกแ1. แกแแแแแก แกแแแแกแขแ แฃแแ แฅแฃแแแก แแแแแแแแแ แแจแแแแก แฌแแกแ:แ) แแแกแฌแแแแแก แแแแ แกแแแแกแขแ แแก แแแแแแแแแแแจแ แกแแแแแ แแแแแแแแแขแจแ (แกแแจแแแแ, แกแแแแแกแ แแ แจแแแแฏแแแแแแแ) แแแฆแแแฃแแ แฅแฃแแแแแก แฏแแแ แฃแแแ แแแแงแแก แแแฆแแแฃแแ แฅแฃแแแแแก แ แแแแแแแแแแ; แ) แแแฆแแแฃแแ แฅแฃแแ แฃแแแ แแแแ แแแแแแแก แแแแแแก แกแแแฃแกแขแแ (แแแ., 6 .15 แแ แแแแแแแแ 6-แแแ, 7 .49 แแ แแแแแแแแ 7-แแแ, 8 .5 แแ แแแแแแแแ 9-แแแ);แ) แแ แจแแแแฎแแแแแจแ, แแฃ แแแกแฌแแแแแก แแ แ แแฅแแก แจแแกแ แฃแแแแฃแแ แงแแแแ แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแ, แแแกแ แกแแแแกแขแ แฃแแ แฅแฃแแแก แแแแแกแแแแแแ แแจแแแแแ แกแแแแแ แแแแแแแแแขแจแ แแแฆแแแฃแแ แฅแฃแแแแแก แฏแแแ แฃแแแ แแแแงแแก แแแฆแแแฃแแ แฅแฃแแแแแกแ แแ แจแแฃแกแ แฃแแแแแแ แจแแแแฏแแแแแแแ แแแแแแแแแแแก แ แแแแแแแแแก แฏแแแแ.2. แกแแแแแก แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแแก แแแแแแแแแ แแจแแแแก แฌแแกแ:แ) แกแแแแแก แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแแก แแแแแกแแแแแแ แแจแแแแแ แกแแแแแก แกแแแแกแขแ แฃแแ แฅแฃแแแแแก แฏแแแ แฃแแแ แแแแงแแก แแ แแ; แ) แกแแแแแก แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแ แแ แแแแแแแแ แแแแแแก แกแแแฃแกแขแแ (แแแ., 7.25 แแ แแแแแแแแ 7-แแแ, 4 .49 แแ แแแแแแแแ 4-แแแ, 9 .5 แแ แแแแแแแแ 10-แแแ); แ) แแฃ แกแแกแแแแ แกแแกแฌแแแแ แแแแแ แแแแแแแกแฌแแแแแก แฌแแแฃแ แ แแแแแชแแแก แฉแแขแแ แแแแก แแ แแแแกแแแฆแแ แฃแแแ, แ แแ แแ แแแแแชแแแก แฅแฃแแแช แแแกแแฎแแแ แฌแแแฃแ แฅแฃแแแแ, แแแจแแ แกแแแแแก แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแ แกแแแ (แแ แ - แกแแแแแก แกแแแแกแขแ แฃแแ แแ แแ แแ - แแแแแชแแแก) แฅแฃแแแก แกแแจแฃแแแ แแ แแแแแขแแแฃแแแ (แแแแ แแแแแแแฃแแ แแแแแแก แกแแแฃแกแขแแ) . 3. แกแแแ แแ แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแแก แแแแแแแแแ แแจแแแแก แฌแแกแ: แ) แกแแแ แแ แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแแก แแแแแกแแแแแแ แแจแแแแแ แฃแแแ แจแแแแ แแแแก แแ แแแแฃแแ แกแแกแฌแแแแ แแแแแแ แแแแแ แแขแฃแแ แแแแกแแกแแแแก แแแแแแแแกแฌแแแแแฃแแ แงแแแแ แกแแแแแแแแฃแแ แกแแแแแก แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแ (แกแแจแฃแแแ แกแแคแแฎแฃแ แแ, แแแ แแแแ, แกแแกแแแแ แกแแกแฌแแแแ แแแแแแ แแแแกแแแฆแแ แฃแแ แแ แฉแแแแแ แกแแแแแแแก แฅแฃแแแแ แกแแแแแแแแฃแแ แกแแแแแแแก แฌแแแฃแ แฅแฃแแแแแแ แแ แแแ) แแ แฏแแแ แแแแงแแก แฅแฃแแแแแก แ แแแแแแแแแแ;แ) แกแแแ แแ แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแ แแ แแแแแแแแ แแแแแแแแก แกแแแฃแกแขแแ (แแแ., 7 .14 แแ แแแแแแแแ 7 .1-แแแ, 8 .15 แแ แแแแแแแแ 8 .2-แแแ) . 4. แกแแคแแฎแฃแ แแก แกแแแ แแ แฅแฃแแแก แแแแแแแแแ แแจแแแแก แฌแแกแ: แ) แกแแคแแฎแฃแ แแก แกแแแ แแ แฅแฃแแ แแแแแแแแแแแ แแแแแ แแ แแแชแแแแ, แ แแแแแแแช แแแแแแแ แกแแแ แแ แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแ: แฏแแแแแแ แกแแคแแฎแฃแ แแก แแแแซแแแแ แแแกแฌแแแแ แงแแแแ แกแแแแแก แฌแแแฃแ แ แฅแฃแแ (แแแ . แแแแแแแขแแแ แแ-10 แแแแกแ, แแแแแแแขแแแ แแ-11 แแแแกแ, แแแแแแแขแแแ แแ-12 แแแแกแ, แฅแแ แแฃแแ แแ-10 แแแแกแ, แฅแแ แแฃแแ แแ-11 แแแแกแ, แฅแแ แแฃแแ แแ-12 แแแแกแ แแ แ.แจ .) แแ แฏแแแ แแงแแคแ แฅแฃแแแแแก แกแแแ แแ แ แแแแแแแแแแ;แ) แกแแคแแฎแฃแ แแก แกแแแ แแ แฅแฃแแ แแ แแแแแแแแ แแแแแแแแก แกแแแฃแกแขแแ (แแแ ., 6 .43 แแ แแแแแแแแ 6 .4-แแแ, 7 .58 แแ แแแแแแแแ 7 .6-แแแ) .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 14 03.07.2012 13:05:10
15
gTavazobT ramdenime gakveTilis sanimuSo scenars
แแแแ Iยง3 . แแแ แแแแแแก แแแแ แแแแ แแแแแแแ แแก แคแแ แแแแ
แ แแแแฃแแ: แแแกแฌแแแแแแแ แแแแชแแแแแแ แแแ แแแแแแก แแแแ แแแแ แแแแแแแ แแก แคแแ แแแแแก แแแแแกแแแแแแ แคแแ แแฃแแแก .
แแฅแขแแแแแแก แแแแแแ: แแแ แแแแแแก แแแแ แแแแ แแแแแแแ แแก แคแแ แแแแแก แแแแแแแแแก แฌแแกแแก, แคแแ แแฃแแแก แจแแกแฌแแแแ แแ แแ แฌแแกแแก แแแแแงแแแแแแก แฃแแแ โแฉแแแแแก แจแแแฃแจแแแแแ .
แกแแแแ แแฃแแ แฎแแแแ แซแแแแแแ โ 2 แแแแแแแแแ .
แแฅแขแแแแแแก แแฆแฌแแ แ:1) แแแแแแแแแ แแฌแงแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแแแแแแ . แจแแแแแแ, แแแกแฌแแแแแแแแ แแแแแแแก
แแแกแฌแแแแแแแก แแคแแฅแ แแ แแแ แแแ แแคแแก แแแกแแฌแงแแกแจแ แแแชแแแฃแ แแแแชแแแแแ . แแแแฎแแโแแแกแฃแฎแแก แ แแแแแจแ แแแแแฎแแแแแ แฌแแแแจแ แแแชแแแฃแแ แแแกแฌแแแแแแแแกแแแแแก แแแแแฃแแแแแแ แแแแแแแแฃแแแฃแ แ แจแแแแแฎแแแแ (10 แฌแ) .
2) แแแกแฌแแแแแแแแ, แแแแกแแแ แแฅแขแแฃแ แ แแแแแแจแ แแแแแแแก แ แแแแแจแ แแแขแแแชแแแก แแแ แแแแแแก แแแแ แแแแ แแแแแแแ แแก แแแแแกแแแแแแ แคแแ แแฃแแแก (10 แฌแ) .
3) แจแแแแแ แแ แฉแแแ แแแ แแแ แแคแจแ แแแแฎแแแฃแแ แแแแชแแแ . แแแกแฌแแแแแแแแแ แฎแแแ แฃแแแ แแแฃแกแแแก แแแแก, แ แแ แแ แแแแชแแแแก แจแแแแแแก แแแแแงแแแแแ แจแแแซแแแแ
แกแฎแแ แแแแแแแแแแแก แจแแกแ แฃแแแแแก แแ แแก (10 แฌแ) .4) แแฅแขแแแแแแก แแแคแแ แแแแแ โแแแฆแ แแแแแแแก แแแแแแ แกแแกแฃแ แแแแแ แฎแแแ แแแแกแแแก แแแแก, แ แแ
แแแ แแแ แแคแจแ แแแชแแแฃแแ แฌแแแแแแแแแแแแก แขแแแคแแกแ แฌแแแแแแแแแแแแ: แ) โแแแ แแแแแแก แคแฃแซแแกแแแ แแแแแแ แ แแ แฌแแฎแแแแ แคแฃแซแแแแ แขแแแแโ; แ) โแแแ แแแแแแก แฌแแแ แ แแแแแแแแแแ แฉแแฎแแแฃแแ แฌแ แแฌแแ แแก แชแแแขแ แจแโ; แ) โแแแ แแแแแแก แแแแ แแแแ แฌแแฎแแแแแแแก, แแแ แแแแแแก แฌแแแ แแแแ แแแแแแแฃแแ แกแแแแฆแแแแแ แขแแแแ
(แกแแแแฆแแแก แคแฃแซแ แแแ แแแแแแก แฌแแแแแ แแแแแแ แแแแก) .
แ .แ . แแแแแแฃแ แแ แจแแแแฎแแแแแจแ cos
SS
gv
fuZis
{= แกแแแแช ฯ แคแฃแซแแกแแแ แแแแแแ แ แแ แฌแแฎแแแแ แแฃแแฎแแ
(10 แฌแ) .5) แแแกแฌแแแแแแแแ แแฏแแแแแก แแแแแแแแแก แแ แแซแแแแก แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก (5 แฌแ) . แแแแ แ แแแแแแแแแ แแแแแแ แแแ แแแ แแคแจแ แแแชแแแฃแแ แแแ แฉแแแแแ แแแแชแแแแแแก แแแแฎแกแแแก,
แจแแกแฌแแแแแแ แแแกแแแแก แแแแแขแแแชแแแแก .
แแแแ IIยง2 . แแแ แแฃแแแก แคแแ แแฃแแ
แ แแแแฃแแ: แแแกแฌแแแแแแแ แแแแชแแแแแแ แแแ แแฃแแแก แคแแ แแฃแแแก .
แแฅแขแแแแแแก แแแแแแ:แแแกแฌแแแแแแแ แแแแชแแแแแแ แแแ แแฃแแแก แคแแ แแฃแแแก, แแแแแแแฃแจแแแแแแ แแ แคแแ แแฃแแแก แแแแแงแแแแแแก แฃแแแ โแฉแแแแแก .แจแแซแแแแแ แแ แกแแขแฃแแชแแแก (แแ แแแแแแแก) แแแแชแแแแแก, แ แแแแแก แแแแแกแแฌแงแแแขแแ แกแแญแแ แแ แแแ แแฃแแแก แคแแ แแฃแแแก แแแแแงแแแแแ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 15 03.07.2012 13:05:11
16
แแแแแแแแแแ n แแแแแแแ แแแแ แแแแแฃแแแแแแแ a แชแแแจแ แฎแแแแแแแแแก k-แฏแแ แแแแฎแแ แชแแแแแแแก แแแแแแแแแก .
แกแแแแ แแฃแแ แฎแแแแ แซแแแแแแ โ 2 แกแ .
แแฅแขแแแแแแก แแฆแฌแแ แ:1) แแแแแแแแแ แแฌแงแแแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแแแแแแ, แ แแก แจแแแแแแแช แแแแแฎแแแแแแ แแแ แแแ แแคแแก
แแแกแแฌแงแแกแจแ แแแกแแฃแ แแ แแแแแแแก, แแแแแแฃแแ แจแแแแฎแแแแแกแแแแก แแแแแแแแ แจแแกแแซแแ แแแ แแแแขแแแก (10 แฌแ) .
2) แจแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแแ แกแแแแแแแแก แแ แแ แแแแแแแก แแแแแญแ แแก แกแฎแแ, แแแแกแฎแแแแแแฃแ แฎแแแแแก: a แฎแแแแแแแแแก แกแแฌแแแแแฆแแแแแ a แฎแแแแแแแแแกแแแแก แแแแแแแแแ P(a) แแแแแแแแ แแ แจแแแแแ แแแแแแ a แฎแแแแแแแแแก P(a)=1โP(a) แแแแแแแแ (10 แฌแ) .
3) แแฎแแแแแแ แแแ แแแ แแคแจแ แแแชแแแฃแ แแแแชแแแแก แแ แแแกแฌแแแแแแแแแแก แแแแแฃแแแแแ แแแแแแแแฃแแแฃแ แจแแแแแฎแแแแก, แ แแกแแช แกแแแแแแแ แแแแงแแแแ แ แแแ แแฃแแแก แแแแขแแแแแแแแ .
แกแแกแฃแ แแแแแ แแแกแฌแแแแแแแแแ แฎแแแ แแแฃแกแแแก แแแแก, แ แแ n แแแแแฃแแแแแแแ แชแแแจแ a แฎแแแแแแแแแก kโแฏแแ แแแแฎแแ แชแแแแแแแก แแแแแแแแ แแแแแแ, แ แแช แแแแแ แฎแแแแแแแแแก (nโk)โแฏแแ แแ แแแแฎแแ แชแแแแแแแก แแแแแแแแ (10 แฌแ) .
4) แแฅแขแแแแแแก แแแคแแ แแแแแโแแแฆแ แแแแแแแก แแแแแแ แแแกแฌแแแแแแแแ, แแแกแฌแแแแแแแแแ แแฅแขแแฃแ แ แแแแแแจแ แแแแแแแก แ แแแแแจแ แแฎแแแแแก แฌแแแแจแ แแแ แฉแแฃแ 2 แแแแชแแแแก ( 10 แฌแ) .
5) แแแกแฌแแแแแแแแ แแฏแแแแแก แแแแแแแแแก แแ แแแกแฌแแแแแแแก แแซแแแแก แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก (5 แฌแ) . แแแแ แ แแแแแแแแแ แแแแแแ แแแ แแแ แแคแจแ, แกแแจแแแแ แแแแแแแแแกแแแแก แแแแแฃแแแแแ แแแ แฉแแแแ
แแแแชแแแแแก . แแแ แแฃแแแก แแแแขแแแแแแก แแแแแงแแแแแแก แฃแแแ โแฉแแแแแก แแแแแแฃแจแแแแแแก .
แแแแ IIIยง12 . แฌแ แคแแแ แแแแ แแแ แแแแ แแแแก แแแแชแแแแแแก แแ แแคแแแฃแแ แแแแฎแกแแ
แจแแแซแแแแ แฉแแขแแ แแแก แฆแแ แแแแแแแแแแ แแแแฃแแ: แแแกแฌแแแแ แแชแแแแ แฌแ แคแแแ แแแแ แแแ แแแแแแก แแแแชแแแแแก .
แแฅแขแแแแแแก แแแแแแ:แฌแ แคแแแ แคแฃแแฅแชแแแแแก, แแแแ แแแแกแแแแแแก, แฌแ แคแแแ แฃแขแแแแแแแแก แแแแแงแแแแแ แ แแแแฃแ แ แแ แแชแแกแแแแก แแแแแแแ แแแแกแแก .แคแฃแแฅแชแแแก แแแฅแกแแแฃแแแก, แแแแแแฃแแแก แแแขแแ แแ แแขแแชแแ แแ แ แแแแฃแ แ แแ แแชแแกแแก แแแแขแแฅแกแขแจแ, แ แแแแแแช แแ แคแฃแแฅแชแแแ แแฆแแฌแแ แแแ .แแแขแแแแแแชแแแก แแ แแแแแแแแแก แแแแแกแแฌแงแแแขแแ แฌแ แคแแแ แแแแ แแแ แแแแแแก แแแแแแแแแก แแแแแงแแแแแแก แฃแแแ โแฉแแแแแแแก แแแแแแแแ แแแ .(แแแแแแแแแ, แจแแแฆแฃแแฃแแ แ แแกแฃแ แกแแแแก แแคแแฅแขแฃแ แแ แแแแแงแแแแแแก แแแแชแแแแจแ) .แฌแแแ แชแแแแ:แแแกแฌแแแแแแแก แจแแฃแซแแแแ:แฌแ แคแแแแ แแแแแแแแแแฃแ แกแแแแแแแแก แจแแ แแก แแแแแ แแแแแก แแแแแแ แฃแแแ แฉแแฌแแ แ;แฌแ แคแแแ, แแ แฃแชแแแแแแ แฃแขแแแแแแแ แกแแกแขแแแแก แแแแแแฎแกแแแแแก แแแแแ แกแแแแแ แแแแแขแ แกแแแ แขแงแแแ .
แแแแแแแแแแก I แคแแแ (แแ แแแแชแแ แแแ) .1 . แแแแแแแแแแ แจแแแแแฅแแก แกแแ แแแแแแ แ แแแแ, แ แแแแแแช แแฃแแแกแฎแแแแก แแ แ แจแแแแฎแแแแแจแ แกแแฌแแ แแแก แแแแแแแก, แแแแ แแก แแฎแ แแ, แกแแฃแแแ แแ แกแแฃแแแแแกแ แจแแแแซแแแแ;2 . แแชแแ แ แแแกแแฃแกแแ แ แแแแแแแกแแแ แแแแแแจแแ แแแแ .3 . แแแกแฌแแแแแแแก แแแแแฃแแแ แขแแ, แ แแ แแแแแแแแแแก แแแแแแแ, แแแแแชแแแ แฌแ แคแแแ แแแแ แแแ แแแแแแก แแแแชแแแแแก แแ แแแแ แแแแแฌแงแแแขแแก แแแแแแ แฃแ แแ แแแแแแขแ แแฃแ แแแแแก .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 16 03.07.2012 13:05:11
17
แแแแแแแแแแก II แคแแแ:1 . แแแงแแแแแแแ แกแแงแแคแแชแฎแแแ แแแ แแแแชแแแแก .2 . แแแกแฌแแแแแแแ แฌแงแแแแแแจแ แแ แแชแแ แ แฏแแฃแคแแแจแ, แจแแแชแแแแแแ แแแแชแแแแก แแแแแแแขแแแฃแ แแแแแแแ แแแแก .แแแกแฌแแแแแแแ, แแแแแแแ แแแแฃแจแแแแ แก แจแแแแแ แแแแ แแแกแฌแแแแแแแแก แแแแ แแแแแแแแแฃแ แกแแแ แแแแแขแแชแแ แแแแฃแจแแแแ แก .แแฆแแแแจแแแแ, แ แแ แแแแฎแแแฃแแ แแแแชแแแ แฌแ แคแแแ แแแแ แแแ แแแแแแก แแแแชแแแแ .แแแแแแ แแแแแชแแแแ แแกแขแแ แแแก (แแแแแแแงแแแแแ แแ แแแแแขแแชแแแก) .แฌแงแแแแแแจแ แกแแแฃแจแแแ แแแแชแแแ แแแแแแแแแก: แกแแแแแ แแแแแขแ แกแแแ แขแงแแแ แแแจแขแ แแฎแแ แแแกแแจแแแ แแแแจแแแแแแแแแ แกแแแ แแแแ .แกแแแฃแจแแแก, แ แแแแแแแ แแแกแฌแแแแแกแแแ แแ แแแ แแแกแฌแแแแแแแแแช แจแแแกแ แฃแแแแก "GEOGEBRa"โแจแ .แแแแชแแแแก แแแแแฎแกแแแ แแแ แแแแ แแแแแแขแ แแฃแแแ .แแแแแชแแแแ แแแแ แแแแก .แฌแงแแแแแแ แแแแ แแแแก แแแแแงแแแแแแ แแแแแแ แฃแแแ แแแแแแแแ แแแแแแฎแกแแก .แแแแแฎแแแแ แจแแแแแแแแก แจแแแแ แแแแก .
แแแแแแแแแแก III แคแแแ (แ แแคแแแฅแกแแ)แแแแฃแ แแแแแ แคแแ แแ แคแฃแ แชแแแแก แแแแแแขแ แแฃแแ แแแแก 1 แแแแแแแแ แแ 1 แฃแแ แงแแคแแแ แแฎแแ แแก แแแกแแคแแฅแกแแ แแแแแ แแ แแแแแ แแแแ T แแแแแ แแแแแ .แแแแแแแแแแ แจแแคแแกแแแแแก .แแแแชแแแ แแแแแแแแแ แแกแแแแก แแแแชแแแแก, แ แแคแแ แแขแแแแก แแแแแแแแแแก .1 . แฌแ แคแแแ แแแแ แแแ แแแแแ .2 . แแแแแแแก แแ แแแแ .
แ แแกแฃแ แกแแแแแแคแ, แชแแ แชแ, แแ แแแฅแขแแ แ, แแ แแแ แแแ GEOGEBRa, แแแแ แแคแแแ, แคแแ แแแ แคแฃแ แชแแแแ, แคแแ แแแขแ T แแแแแ แแแแ, PowerPointโแจแ แแแแแแแแแฃแแ แแ แแแแแขแแชแแ, แแแแแฎแแก แคแฃแ แชแแแแแ แแแแแแญแแแแ แแแแชแแแ แฌแงแแแแแแจแ แกแแแฃแจแแแ แแ แกแแจแแแแ แแแแแแแแแก แแแแชแแแแแ แแ แกแแแแแฎแแแ .
แแแแแแแแแแ แแแแแงแแแแแฃแแ แแแแแแแแ แแ แกแขแ แแขแแแแแแแแแฅแชแแ, แแแกแแฃแกแแ, แแ แแแแแขแแชแแ, แฌแงแแแแฃแ แ แแ แแแแแแแแฃแแแฃแ แ แแฃแจแแแแ, T แแแแแ แแแ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 17 03.07.2012 13:05:11
18
Tavi I1. mravalkuTxedis orTogonaluri gegmili
1. kveTaSi miiReba paralelogramo, romlis orTogonaluri gegmi-li ABCD paralelogramia.
45
40
cos cossinS S
S
458 10 30
2
kv
kv
ABCD $= =
=
c cc
2. mkveTi sibrtyis orTogonaluri gegmili ABCNM xuTkuTxedia.14 60 7cos cosS SkvABCMN $ a= = =c (sm2)
,S S S a a a a AB8 8
7ABCMN ABCD MDN
22
2 /= - = - =
S a 8ABCD2
= =
3. 9cos
SS
4 3
9 3 4kv
f
$$
a= = = (sm2)
4. MNK samkuTxedis gegmili
fuZeSi samkuTxedia .cos
N S S49
MNKAMN
a= =
8. a) vTqvaT kveTaSi miiReba samkuTxedi. 60AC BC MC AC BCM& & &= = + = c
60 6 6MB BCtg 3 >& = =ce.i. [ ]M BB1s . M mdebareobs BB1-is gagrZelebaze. e.i. kveTis sibrtye AKFC trapeciaa.
geg. A B C AKFC A KFC1 1 1 1 1=^ h trapecia. MBMB
BCFB1 1=
BCFB KFB ABC
SS
B CFB
6 3
6 3 6
3
3 1
A B C
KFB
11
1 1
12
1 1 1
1
&
&
+D D= - = -
= c m9 (4 2 )3.
.
S
S S S
3
3 1 3
6 3 3
KFB
A KFC A B C KFB
2
1
1
1 1 1 1
- = -
= - = -D
= c m
2 12 2cos
SS
60 3
6 3 33kv
A KFC1 1 $= =-
= -c
.
3
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 18 03.07.2012 13:05:15
19
10. b) ( ) . 3 1,6logf x A A A x21
3 21x x
2$ .= = =` `j j (dRis Semdeg).
11. a) {[12,3]}={12}=0 b) [{12,3}]=[0,3]=0.
12. a) , , , ,
2,36 3,36. [2,36;3,36)
x x x
x x
0 36 2 4 0 36 2 2 0 36 3<
<
, , ,
,
G
G !
- = - = -6 6 6@ @ @
b) 1) { , } ,x1 62 0 65,+ = , radgan { , , } ,x2 0 1 62 0 03 0 65, + = e.i. ,03, .x a a Nd=
2) radgan {1,62โ1,97}={โ0,35}=โ0,35โ(โ1)=0,65, e.i. , .x m m N97 0d=- .
13. a) [ ] { } [ ] ( [ ]) .y x x x x x x= + = + - =
b) y=[{x}]=0, radgan {x}โ[0,1).
2. prizmis zedapiris farTobi
2. S BD BB a 2BB D D 12
1 1 $= = 6 72S az2
= = a 122= .
dm sm sm12 1200 1680S 2 2BB D D2 2 2
1 1 .= =
5. dm
da
3 4320 1440
. ( ) ( )
98. 80 18
S aH aH
a H a H
a H a H
82 2880 82 4 41 720 4 49
gv2
2 2 2 2 2 2 2
&
$
= = =
+ = + = + = + =
+ = = =
6.
m
9;
(2 ) 1000 (7 2 )1000( )
KD CD
S AB BC
225 7 106
106 2$
= - = =
= + = +
9. ; .d H d Hdd20 15
34
1 2
2
1& &= = =
, .
.
d x d x a x AB a
S aH xH2
42
3 5
4 20gv
1 2 & /= = =
= =
aqedan e.i..
d H xH
xH S
20 8
25 20
25 50gv
1
$
= =
= = =
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 19 03.07.2012 13:05:18
20
12. da
.
14 6 8
aH aH a H
a H a H
6 288 48 1002 2& &
&
= = + =
+ = = =
13. ABKD -Si
Si
da
; . ( ) ( )
cos AK x AB x
KD BC AK x BK x BKD x x
135 5 13
18 12 36 18 122 2-
& &a
D
= = =
= + = = = + =
dan
36 (9 4)13
8
x x
BB D BB H
12
1 1
&
/D
= + =
- =
(3 ) (39 23 )8S AB AD H x x13
62 8
13
496gv
$= + = + = =
15. ( ) .B K D C B K DD C C1 1 1 1 1 1&= =
kuTxe B D1 -sa da gverdiT waxnags Soris aris
. . sinB DK B K DK S a a45 6023
f1 12
2
+ = = = =c c
DB1C1K-dan B KA a B K a23
23
1
2
1&= =
B D B K a226
1 1= = BB D1D -Si H B D BD a a a23
21
2 22
2= - = - = .
2 4 2S S S a aH a a3 3 2z f gv2 2 2
= + = + = +
17. a) I. ( )S 1 4 1 1 1 41
2
$= = + = W.
II. u.d. ( ) ( )A k A k 1& + vTqvaT u.d.( 1) ( 1)( 2)S k k S k kk k2
12
= + = + ++
r.d.g.
( )( ) ( ) ( )( )
( 1)[ 3 4] ( 1)( 2)
S S k k k k k k
k k k k k k
1 3 4 1 1 3 4k k12
2 2
= + + + = + + + + =
= + + + + = + +
+
18. a) ( ) ( ) ( ) (2 2 )(2 2 ) .2 2 2 221
161
167, ,2
41
23
34 2 0 25
23
34
21 2 0 5 2
+ - = + - = - =- - - - - - - -^^ ^h h h
19. b) 180a b c+ + = c
( )
( )
sin
cos
sin sin
sin
sin sin
cos cos
sin
cos
sin sin
sin
sin sin
cos cos
ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg ctg
$
a b b c a c b a c a c
b
ba ca c
a ca c
b
ba c
b
a ca c
+ + = + + =
=+
+ = + =
( ( )) ( )
sin sin
cos cos cos
sin sin
cos cos cos
sin sin
cos cos cos1
a cb a c
a cr a c a c
a ca c a c
=+
=- + +
=- +
= r.d.g.
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 20 03.07.2012 13:05:20
21
3. piramidis gverdiTi zedapiris farTobi:
6.Si .
.
SOK SKO SK
S ah
60 4
2 32gv
(+D - = =
= =
c
9.
Si
; 120
. , 6 .
DK SC BK SC BKD
BKD BK x BD 2
(= = +
/D
=
- =
c
.cosBD x x x x2 2 120 72 3 2 62 2 2 2= - = =c .
. ( )DKC SFCDKSF
KCFC KC DC DK1 122 2
(+D D = = - =
(1) 3 2 36 .h h S ah2 6 2 3
3 2 2gv( ( (= = = =
11. .cos
SS a a
S a a a
4213
23
23
43
43 3
gvf
z
2 2
2 22
$a= = =
= + =
12. .cos cos arccosQ SS
Q
S
Q(a a a= = =
13. .S S S S S
S 21 6 7 8 3 7 2 3 7 2 3 7 4 84
ABC ACS BSC ABS
ABC3$ $ $ $ $ $ $ $ $ $
= + + +
= = = =
davuSvaT
8 13 104; 8 15 120.S S
AK BC BK BC
ABS ASC
(
$ $
= =
= = = =
.AKBCS BK
S S
214
2 84 12 16 12 20
140 104 120 140 84 448z
ABC
SBC
2 2($
= = = = + =
= = + + + =
16. ( ) ( )SAB ABCD S(= -dan AB-ze daSvebuli marTobi iqneba fuZis marTobulic. aseve, radgan ( ) ( )SBC ABCD S= -dan BC -ze daSvebuli marTobic ( )ABCD -s marTobic iqneba, e.i.
( )SB ABCD= .30 .
0 .
BC DC SC DC SCB
AB AD SA AD SAB SB H6
( (
( (
= =
= =
+
+ /
=
=
c
c
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 21 03.07.2012 13:05:22
22
;H b tg b H a tg a b a60 3 303
33
(= = = =c c .
da3 . 32 8 24
)
( ) ( )
cos
a b a b b a
SC a b30 3
24 2 16 3 16 24
16 4 2 3 3 3 192 3 1
magram
$ $ $
$
= + = = =
= = = + =
= + + = +
c
20. ; , ,
, .
SO H SO H SO H SO H
SS
HH S
161 400 253
1 1 2 2 3 3
32
3 $
/ = = =
= = =` j
, 400 100.SS
HH S
4122
2
2 $= = =` j
, 400 .SS
HH S
169 2251
2
12 $= = =` j
18. . .S
SS P h S
94
21
gv
gvgv f g= = = =
ll l l l l. S P h
21
gv f=l
l l l l l
. . . ( )HH
hh
aa k 11 1 1= = = =
amitom; . . . .h kh a kaP
Pk
S
S
P h
P hk
94
f
f
gv
gv
f
f1 1
2= = = = = =
l l l l
aqedan(1) .kHH K
S
S
HH
32
32
gv
gv1 12
(= = = =l ` j ;
HH
321 = .
e.i. SO1:OO1=2:1.
22. davuSvaT10. .a OK AD SK AD(= ==
,OKAD
AO OD4 8
$= =
SOK SK532
524 8
2 2
(D = + =` `j j
radgan O rombSi Caxazuli wrewiris centria, amotom pirami-
dis gverdiTi waxnagebis, wverodan gavlebuli simaRleebi
tolia. e.i. 160S P h21
gv f= = . Sz=160+
216 12$ =256.
25. , , ,b b b b2 4 8 2nn
1 2 3= = = = geometriuli progresiaa.
, ,q S2 2 10 2 10nn6$ .= =
.logn 10 2026. =
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 22 03.07.2012 13:05:24
23
sT sT sT sT1 ; 1 ; 1 ; . . . ; 1 ;x x x xn1 2 3= = = =
saaTebis raodenobaa . . . n1 1 1 20n
+ + + = =1 2 3444 444 sT.
27. a) vTqvaT, SesaZlebelia da3, 9a a a7k n1 = = = , maSin dka a
1k 1=-- formulidan
1 1kd
nd
7 3 6- = - - = ; 1, 1 ; 2 ; 3 ; 6 , .k n N d
k k k kk N1 (d d- - = magram arcer-
Ti aseTi d -sTvis k N1 s- e.i. ar SeiZleba.
4. marTkuTxa paralelepipedis moculoba.
3. aqedan kuTxe da( ) ( )B C DD C C B D DD C C11 1 1 1 1 1= waxnagebs
Soris aris Si sin
cos
B DC B DC B C B D m
DC m m
30 302
3023
1 1 1 1 1 1 1
1
+ D= - = =
= =
c c
c
SiDC C CC DC DC m
21 1 1
2 2D - = - =
8V S H m 2
f
3
= = .
5. , ,ac bc ab a b c7 14 32 7 14 322 2 2( $ $= = = =
โV=abc = 7ยท8=56.
9.
Si
.
,
sin
BO AC B O AC
AB O AO a AB O
AB a
22
2
22
2
1
1 1
1
(= =
+ a
a
D - = =
=
sinABB BB a a a
22
71 12
22
(a
D = - = . V=a3 7 .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 23 03.07.2012 13:05:26
24
11. vTqvaT maT Soris maqsimaluri daSoreba iyo x saaTis Sem-
deg. am droSi A-dan gamosuli gaivlida S x40A = km, B-dan ga-
mosuli, ki S x16 2=B km. maT Soris manZili ki iqneboda
y = |SA โ SB โ 9|
y = |16x2 โ 40x + 9|
y = 16x2 โ 40x + 9-Tvis x = 54 .
ymax = 16 km (ix. grafiki)
13. a) (1 2) (3 4) . . . (999999 1000000)
( . . . ) 5000001 1 1500000
- + - + + - =
=- + + + =-1 2 3444 444
.
b) . . . , , .
. . . . .
a k k a k k k
S n S
7 5 0 165 7 5 165 23 23
5 12 166 24 2052
k k
n
24
24
$ G G G= + + =
= + + + = =1 2 34444 4444
14. ( )an mimdevroba aris ,
,yx
x N5 21 2 d=
--
funqcia, simetriis centriT (5.2; 2)y - umciresi iqneba.
(5),
2 7.y a0 21
5= =-
- =-
udidesi ki ( ),
2 .y a60 81
43
6= = - =-
15. aseTi ricxvi SesaZloa iyos: 124, 248, 421, 842.124-200=-76 _248-200=048 +421-200=221 _842-200=642 +e.i.es ricxvia 248 an 842.
AB
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 24 03.07.2012 13:05:27
25
ยง5. kavalieris principi
4. V(3)=SaBCยทh. V(4)=SMNKFยทh.
e.i. fuZeSi unda iyo Caxazuli udide-si farTobis marTkuTxedi.
;a
y
HH x
a
y
a
ax
ya x
2
3
2
3
3
3 2
&
&
=-
=-
=-
.
S xyx a x
x ax3
2 3
3
22
2= =
- +=- + .
S iqneba udidesi x0-ze xa
4
30 = ; S
a
8
30
2
= . narCenis moculoba iqneba
V1= 4
3
8
3a aH
aH
8
32 2 2
- =c m % %VV
100 501 $ = .
8. aKโฅBC. kveTis sibrtyea aa1K1K. Skv
=48. aK=aa1. aK2=48. aK=4 3 .
DADDaBC-Si aK= 3aa
28& = .
V=Sfยทh=192.
14. kveTaaDBCa1. a1KโฅBC โ aKโฅBC โโ AKA1=60ยฐ.
SDBCa1=21 BCยทa1K=16 (1).
DBCa-Si aK= a
2
3. Daa1K-Si a1K=a 3 .
aa1=aK tg60ยฐ= a23 .
(1) โ21 a2 3 =16 โS
a
4
3ABC
2
= = 8 da aa1=2 2 274 .
V=16 2 274 .
a
a
a
a1
B
B1
C
C1 B
yx
a Ca M
N K
F
a
a
a
a1
C
K
C1
K1
B
B1
a60ยฐ
a
a
a1
C
K
C1
K1
B
B1
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 25 03.07.2012 13:05:28
26
15. Daa1C-Si aC=dsinb; aa1=dcosb. DaBC-Si BC=aC cosa= d sinbcosa. aB=d sinbsina. SDaBC=
21 dsinbcosadsinbsina=
41 d2sin2bsin2a.
V=41 d3sin2bsin2acosb.
16.โ MOD=120ยฐ.OKโฅMD.
DOKD-Si KD=OKยทtg60ยฐ. KD=a 3 . R=2a.
MD = 2a 3 .
DMM1D-Si MM1=2a.
V=pr2h=8a2p.
18.โ KDM=a.MDยทh=Q. KDยทh=Q โ KD=MD.
โ KOD =180ยฐโ a.KD= cos cosR R R2 2 2 22 2 2
a a+ = + .
cosH
KD
Q
R
Q
2 22
a= =
+.
V=pR2
cosH
RQ
2 22
a
r=
+.
6. piramidis moculoba
2. aD = 2r. h + r = a. tgrH
H rtg&a a= = .
rtga+ r = a โ r = tga
Htg
atg
1 1&a a
a
+=
+.
V=31 aD2ยทh= r
34
2
ยทh.
V=34
( )tg
a tg
13
3
a
a
+.
O1
M1
OK
Ma D
B
4a
C
a D
O
h
ar
aB C
S
a
d
b
a
a
a
a1
C
K
C1
K1
B
B1
O1
M1
K1
O
M
K
a D
B C
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 26 03.07.2012 13:05:29
27
3. DKโฅSC โBKโฅSC. u.v. โ BKDโกa.
V=31 S
fh= H
364
3256
$ = โ h=4.
OD=4 2 SD=4 3 .
DOSC-Si OKโฅSC ((BKD)โฅSC).
OK=SC
H OC4
32$
= .
DOKD-Si tg 4 2
24
32
3a= = . a=120ยฐ.
7. KM-is Sua O1 wertilidan aRvmarToT O1Fโฅ(aBC).O1F||SO. amitom (FKM)โฅ(aBC).
aN= 345
aON
aH ONtg
a
2 6
3
6
3& & c= = = .
DaSO~ DaFO1.
O1F= a
8
3 . V1=a a a
31
16
3
8
3
128
2 3
$ = .
9. (Sa=SB=SC=SD; SOโฅaBCD) โ O Semoxazuli wrewiris centria.SKโฅDC. DSKC-Si KC=โcosaโDC=2โcosa.SFโฅaD. DaSF-Si aF=โcosbโaD=2โcosb.OC=โ .cos cos
2 2
a b+ h=โ .sin cos2 2
a b-
V=34 โ3cos cos sin cos
2 2 2 2
a b a b- .
10. ((aSB)โฅ(aBC); (BSC)โฅ(aBC)) โ SBโฅ(aBC). BCโฅCD โ SCโฅDC โ โ BCS=45ยฐ. analogiurad โ SaB=45ยฐ. e.i. aB=SB=9. V=
31 aB2ยทSB=243.
12. radgan gverdiTi waxnagebi Tanabrad arian daxrilebi fuZisadmi, amitom simaRlis fuZe Caxazuli wrewiris centria. OKโฅDC, OK=r โ SKโฅDC โโ OKS=60ยฐ.
DOKS-Si OS=rtg60ยฐ=r 3 .
ganvixiloT aBCD rombi. BN=2r, โ a=30ยฐ, aB=4r. SaBCD=8r2.
V=31 8r2ยทr 3 = 8 3r
3
3
.
a
B
S
NK
F
MOO1
C
a DO
h
FKb
aB C
S
a DO
h
N FK
30ยฐB C
S
a DO
h
8
aB C
K
S
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 27 03.07.2012 13:05:30
28
7. cilindris zedapiris farTobi
1. R=3,8 dm. 500l=500dm3. V=ฯR2h.
4. manZili CM da OO1 wrfeebs Soris: davagegmiloT orive wrfe OO1-is erT-erTis marTobul sibrtyeSi โ fuZeSi. OO1-is gegmilia O wertili, MC-si ki MD monakveTi. OKโฅMD. OK aris manZili CM da OO1-s Soris. OK=5.โKOD-Si KD=12, MD=24.โMCD-Si DC=MDtg60=24 3 .S
z=2ฯR2+ 2ฯRh =26ฯ(13+24 3 ).
V= ฯR2h=169 ฯยท24 3 =4056ฯ 3 .
6. โCDM-dan h=dsinฮฒ; MD=dcosฮฒ.
โODK-Si R=cos cos
cosDK d
2a ab
= .
Sgv
=2ฯRh=2ฯยทcos
cossin
cos
sindd
d
2
22
$ab
ba
r b= .
8. sinS d S21
ABB A
2
1 1a= = gv
11. I. brunavs b gverdis garSemo. V1=ฯR2h= ฯa2b. II. brunavs a gverdis garSemo. V2=ฯb2a.
VV
ba
2
1 = .
13. a) (x+y)(2xโ3y)>0.
I gza: x y
x y
0
2 3 0
>
>
+
-) an
x y
x y
0
2 3 0
<
<
+
-)
II gza: avagoT y+x=0, y=โx da 2xโ3y=0, y=32 x funqciaTa grafikebi.
M K
CO1
O R D
a
ฮฑ(
a1
B1B
O
ฮฑ(KM D
a
B
B1
Db
a
C
C1
M K
CO1
O R
d
a
D
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 28 03.07.2012 13:05:31
29
sibrtye gaiyo oTx nawilad. ganvixiloT a(0;2). Cavs-vaT utolobaSi (0+2)(0โ6)<0. sibrtyis im nawilSi, romelSic es wertilia moTavsebuli. davweroT niSani โโโ. momdevno SualedebSi niSnebi vcvaloT. โ+โ-iani Sualedebi davStrixoT โ am Sualedis yoveli wertilis koordinatebi akmayofilebs utolobas.
d) x2+xโ6<0 โ (x+3)(xโ2)<0 โ โ3<x<2.
14. a) ( )( , )
limn
n n
3 1
2 5 0 332
n2-
- -=
-$3
; b) lim lim2
5 31
4
543
0n
n
n
n
n
n
2
+=
+
=$ $3 3
` j
8. konusis gverdiTi zedapiris farTobi
1. โ aSC=90ยฐโ da aC=12 โ h=R=6sm โ 6 2, = .
Sz=ฯR,+ฯR2=36ฯ 2 +36ฯ=36ฯ( 2 +1).
3. 240Sr
360 360900
ASA
2
1 $$
$c c
cr
ar
= = =600ฯ(sm2)=Sgv
.
180
240r
18030
AA1
$ $,c c
cr
ar
= =+ =40ฯ(sm).
2ฯR=40ฯ โ R=20.
Sz=600ฯ+400ฯ=1000ฯ(sm2)=10ฯdm2.
h= e R 30 20 10 52 2 2 2+ - =
V= 400 031
1 53
4000 5$r r= (sm2)=
34
5 r (dm2).
6. SKโฅMC โ OKโฅMC โ โ OKS=ฮฒ.
โSOK-Si OK=hctgฮฒ, SK=sinhb
โMSK-Si MK=SKtgsin
htg
22ab
a
=
+ +
โ
โ
โ3 2
y
x
a C
S
Ob
a a1
S
240ยฐ30 sm
a CKM
S
O
h
a
32
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 29 03.07.2012 13:05:32
30
โOKC-Si R=sin sin
cos
sincosOK KC h ctg
h tgh
tgh
tg2 2
22 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
bb
a
b
ba
bb
a+ = + =
+= +
V=ฯยทsin
cos tgh
3
22
2 2
3
b
ba
+.
10. โSOM-Si h=sinda
โSOB-Si SB=cos sin cosH d
,a a a
= = .
R= sincosd
, aa
= .
Sz=ฯR2+ฯR
cos cos sin cos sinsind d d 1
2
2
2
2
2
2
$,a
r
a a
r
a
raa
= + =+ .
14. CO=25
15 20$ =12.
Vbr
=V1+V2= 31 ฯR2h1+ 3
1 ฯR2h2= 31 ฯR2(h1+h2)= 3
1 ฯยทOC2ยทaB= =
3144 25$ $r =1200ฯ
15. Vbr
=Vcil.
โ2Vkon
Vcil.
=VABB A11 =ฯR2h.
โCOa-Si Oa=CK=8tg30= R3
8= .
Vcil.
=364
163
16 64$
$r r= .
Vkon.
= R h31
31
364
82
$ $r r= , h=KB=8.
Vbr.
=Vcil.
โ2Vkon.
=3
16 649
16 649
32 649
2048$ $ $r r r r- = = .
23. f(x)=2x+5. g(x)=2x.
a) ( ( )) ( ) ( ) ( )f f x f x f t t x x
x t
2 5 2 5 2 2 5 5 4 15
2 5 /
= + = = + = + + = +
+) .
24. f(โ1)=f(3)=0
a) y=f(xโ2)-is nulebi iqneba โ1+2=1 da 3+2=5.
d) ( )y f x
x t
2 3
2 3 /
= -
-) f(t)=0 โ t
t
x
x
x
x
1
3
2 3 1
2 3 3
1
3& &
=-
=
- =-
- =
=
=o o= = .
O1
Oa1 a
C
B1
120ยฐ
B
K
a BR
dM
S
O
h
a
C1
C
2015
BaO
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 30 03.07.2012 13:05:33
31
9. birTvis zedapiri da moculoba
2. OO1=12sm. ฯr2=25ฯ โ r2=25. โOO1K-Si R2=OO1
2+r2=144+25. R=13. S
zed.=4ฯR2=676ฯ.
3. Vc=ฯr2h. r=20
323 . h=2r.
Vc=ฯr2ยท2r=2ฯr3=2ฯยท203ยท
32 .
Vb=4
22
R R3
203
203 3
&$ $r r= = .
6. S1=4ฯ a4
2
=ฯa2; S2=ฯb2; S3=ฯc2
S3=S1+S2.
8. a) โ x>0.
9. a) x(mโ1) = m2โ1.
1. { mโ 1x=m+1
; 2. { m=1xโR
.
a c
b
O
O1r
R
R
1
y=3x
y=-x+1
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 31 03.07.2012 13:05:33
32
Tavi II
1. albaTobis Teoriis elementebi
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. g) e.i. TeTri ar aris P(feradia)=1โ233
2320
= an asec: P(feradi)= P(w)+P(yv)+P(mwv)==237
234
239
2320
+ + = .
2. a) P(4 an 6)= P(4)+ P(6)โ P(12)=20050
20033
20016
20067
+ - = .
g) P(6 an 8)= P(6)+ P(8)โ P(24)=20033
20025
2008
41
+ - = .
3. E F 38+7+x+4โx+12+x=61+x. 38โ(16โx)=22+x 7โx 18โ(7โx+x+4โx)= 61+x = 65 โx=4. x =7+x 9โx 4โx 25โ(9โx+4โx+x)=12+x G
5. a) N(a B C)=N((a B) C)=N(a B)+N(C)โN((a B)โฉC)=N(a)+N(B)โN(aโฉB)+N(C)โโN((aโฉC) (BโฉC))=N(a)+N(B)+N(C)โN(aโฉB)โN(aโฉC)โN(BโฉC)+N(aโฉBโฉC) an asec:
N(a)โกa aโcโa+x cโx Cโ(cโx+bโx+x)= N(B)โกB x =Cโcโb+x N(C)โกC aโx bโx N(aโฉB)=a N(aโฉC)=c Bโ(aโx+x+bโx)=Bโaโb+x N(BโฉC)=b)
N(a B C)=A c a x C c b x B a b x a x b x c x x- - + + - - + + - - + + - + - + - + =a+C+Bโcโaโโb+x=N(a)+N(B)+N(C)โN(BโฉC)โN(aโฉB)โN(BโฉC)+N(aโฉBโฉC). r.d.g.
6. P(a)=3618 P(B)=
364
a) โaBโ โ โamoRebuli karti Savi tuziaโ. P(aB)=362 ; b) P(a B)=
3618
364
362
3620
+ - = .
7. P(s)=3010 .
P(C) im pirobiT, rom salomem ukve amoiRo bileTi (an momgebiani an aramomgebiani).
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 32 03.07.2012 13:05:34
33
Pa(l)=3010
299
3020
2910
3010
$ $+ = .
e.i. albaTobebi tolia โ mogebis Sansi erTnairi aris.
9. pirveli xarisxis detali iqneba 90%ยท10080 =72%.
P(Ix)=
10072 .
10. P(s;1)=21 ยท
61 =
121 (damoukidebeli xdomilobebia).
11. vipovoT imis albaToba, rom ar aris arc erTi kamera CarTuli.P(arc erTi)=0,43.P(erTi mainc)=1โ0,43=0,936.
14. bolo cifris arCevis ori variantia: 4 an 2. P=nm .
a) m=P4ยทC2
1 =4!2 an asec:
I II III IV V sul4 3 2 1 2 4!ยท2
P=!!
PP C
54 2
52
5
4 2
1
= =
b) m=A C 5 25
4
2
1 4
$ $= , n=A5
5 .
P=A
A C
5
5 252
5
5
5
4
2
1
5
4
$= =
an asec:
I II III IV V sulm 5 5 5 5 2 54ยท2n 5 5 5 5 5 55
15.
P=!9
24 an asec: P=nm . m=1. n=
! ! !! !
2 3 29
924
= .
radgan โaโ meordeba 3-jer, โgโ โ 2-jer da โdโ โ 2-jer P=9!24 .
16. a) a โufrosi Svili vaJiaโ. B. โumcrosi Svili vaJiaโ.
3010
3020
2910
299
salome
lizi
+
+ +
โ
g a d a g d e b a92
83
72
62
51
41
31
21
1
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 33 03.07.2012 13:05:36
34
u.v. Pa(B)=( )( )P AP AB
2141
21
= = .
radgan P(aB)=41 ฮฉ={vv; vq; qv; qq}
b) albaToba imisa, rom orive vaJia im pirobiT, rom Pa B(aโฉB).
pirobiTi albaTobis formuliT: Pa B(aโฉB)=( )
(( ) ( ))( )( )
P A BP A B A B
P A BP A B
4341
31
j
k k j
j
k= = = .
17. P=SS
31
ABC
AOB =
18. P=VV
S SOS OK
21
32
31
SABC
KABC
ABCD
ACD
$$
$= = = .
19. P=nm a) n=C36
4 ; m=C C4
1
32
3
$ .
P=C
C C
36
4
4
1
32
3
.
22. P=C
C C
6
3
4
2
2
1
.
23. luwi cifrebiT Sedgenili raodenoba: eqvsniSna ricxvebis raodenoba:
1 2 3 4 5 6 sul 1 2 3 4 5 6 sul4 5 5 5 5 5 55ยท4 9 10 10 10 10 10 105ยท9
P=nm . m=55ยท4. n=9ยท105.
P=10 9
5 4721
5
5
$
$= .
24. sami bavSvi CavTvaloT erTad. e.i. arsebobs maTi dalagebis P5 varianti. magram moce-muli sami rom gverdigverd aRmoCndes, aseve SesaZlebloba sul P3-ia. e.i. sul iqneba P3ยทP5.
P=!! ! !
nm
PP P
73 5
6 73
71
7
3 5
$= = = = .
25. a1: โCaabara Iโ. a2: โCaabara IIโ. a3: โCaabara IIIโ.
P=1โP( )A A A1 2 3$ $ =1โ0,1ยท0,2ยท0,3=0,994. ( , ,A A A1 2 3 damoukidebeli xdomilobeba).
27. P=SS2
ABCD
ABK3 . โaBK-Si aK=tgha
.
SโaBK=tgh
21
2
a. KD=a+
tgha
.
SaBCD=h atgha
+c m. P=( )tg h atg h
h tg
atg hh
2
a a
a
a+=
+.
a K M D
CB a
h
ฮฑ
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 34 03.07.2012 13:05:38
35
2. bernulis formula
amoxsnebi, miTiTebebi:
1. a) P5(0)=C p q21
321
5
0 0 55
= =` j ; d) P5(3)=! !!
C p q3 25
21
21
3210
165
5
3 3 23 2
= = =` `j j .
2. a) P10(2)=C61
65
23
65
10
22 8 9
$ =` ` `j j j .
4. radgan Tanabari siZlierisani arian, amitom mogebis albaToba P=21 .
P4(2)=! !!
C p q2 24
21
21
2
683
4
2 2 22 2
4= = =` `j j .
P6(3)=! !!
C p q3 36
21
6420
165
6
3 3 36
= = =` j .
pasuxi: 4 TamaSidan 2-is mogeba.
5. d) P8(5)=! !!
C p q5 38
364
3632
9
7 88
5 5 35 3
8
4
$$
= =` `j j .
9. P3(0)=1โ0,784=0,216.P3(0)= ,C p q q 0 2163
0 0 3 3
& = , q=0,6.P=1โq=0,4.
10. aC-ze moxvedris albaToba iyos p.
P=32 โ q=
31 .
( )! !!
6P C p q22 24
32
31
814
278
4 4
2 2 22 2
$= = = =` `j j .
11. ( )P Cax
aa x
25 5
2 2 3
=-` `j j .
14. a) 2a2=a1+a3;2lg(9x+3)=lg4+lg(9x+11) โ lg(9x+3)2=lg(4ยท9x+44) โ 92x+2ยท9xโ35=0 โ 9x = โ1ยฑ6.9x=5. x=lg95 x=lg3 5 .
15. a) a ,x A x
1100 2
1100 2
10 89
5730 1000 57301000
& .- = - =` ` `j j j .
1000 weliwadSi daiklebs 0,A Ax
A1100
111000
.- -`` j j .,
11%AA0 11
100$ = -iT.
16. a) y=a 110040 x
-` j .
y(1)=3000 a 3000152
- =` j โ a=5000.
b) a A1
52
2
x
- =` j 53
21x
=` j x=log, ,
,,
lg lg
lg
21
5 3
2
0 7 0 5
0 31 5
53
. .=- -
.
a C
x2x
B
a
x
B
6 7 84444 4444
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 35 03.07.2012 13:05:40
36
3. statistikis elementebi
9. x(0;y;0). aX=BX.(0โ2)2+(y+1)2+(0โ1)2=(0โ0)2+(yโ1)2+(0โ3)2
y y y y4 2 1 1 2 1 92 2
+ + + + = - + +
4y=4 โ y=1. e.i. X(0;1;0).
10. ganvixiloT ,i j da k veqtorebi, romlebic modebulia 0 wertilSi da (1;0;0);i j
); (0;1;0); ( ;0; )i j k 0 1 i j k 1= = = .
cos cosi a i a x a&a a= =
cos cosj a j a y a&b b= =
cos cosk a k a z a&c c= = . r.d.g.
11. a) miRebuli parabolas wvero iqneba (1;โ2) wertili, e.i. y=(xโ1)2โ2=x2โ2xโ1. b) mocemuli parabolas wveroa (1;โ9). miRebulis iqneba x0=1+1=2 da y0=โ9โ2=โ11.
(2;โ11) wertili. e.i. y=(xโ2)2โ11=x2โ4xโ7. g) x0=2; y0=9 (2;9). (2;9) โ (3;7). y=โ2(xโ3)2+7=โ2x2+12xโ11.
4. kovaraciisa da korelaciis koeficientebi
6. a) n=2k, maSin [k]+ k21
+8 B=2k=n.k+k=2k. W.
b) n=2k+1, miviRebT k21
+8 B+[k+1]=k+k+1=2k+1=n. r.d.g.
8. I. S1= โ1. (โ1)12
1 1+8 B= โ1. W.
II. a) vTqvaT, S2k=(โ1)2k k k2
2 12
2 1+=
+8 8B B=k, u.d. S2k+1=(โ1)2k+1 k2
2 2+8 B=โ(k+1).
S2k+1=S2kโ(2k+1)=kโ2kโ1=โ(k+1). r.d.g.
b) vTqvaT, S2k+1=(โ1)2k+1 k2
2 2+8 B=โ(k+1), u.d. S2k+2=(โ1)2k+2 k2
2 3+8 B=(k+1).
S2k+2=S2k+1+(2k+2)=โ(k+1)+2k+2=k+1. r.d.g.
9. a) Tu n=1, maSin 2>2+1 mcdaria.e.i. dasamtkicebeli utoloba ar aris marTebuli nโN-Tvis.b) Tu n=2, 22>2ยท2+1 mcdaria; Tu n=3, 23>2ยท3+1 WeSmaritia; Tu n=4, 24>2ยท4+1 WeSmaritia.davamtkicoT utolobis WeSmariteba nโฅ3-Tvis.I. rogorc vnaxeT, n=3-Tvis winadadeba marTebulia.II. vTqvaT 2k>2k+1, u.d. 2k+1>2(k+1)+1=2k+3. 2k>2k+1 |ยท2 miviRebT, 2k+1>2k+2k+2>2k+3. r.d.g.
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 36 03.07.2012 13:05:41
37
แแแแ IIIยง1 . แ แแชแแแแแแฃแ แ แ แแชแฎแแแแ
10 . แ) 5-แแ; แ) 5; แ) 0-แแ (แแ แแก 2ยท5); แ) 6ยท7+8=ยทยทยท0; แ) 8ยท4โ7=ยทยทยท5; แ) 6ยท7โ2=ยทยทยท0 .
13 . แ) แแแแงแแคแแแแ: 1, 2, 3, 6, 9, 18, แ .แ . 6 แแแแงแแคแ แแฅแแก
14 . แ) แแฃแฌแ; แ) แแแแขแ แแ แแฃแฌแ .
15 . แฃ .แก .แฏ . (6;8;12)=24 แกแ-แจแ .
16 . ยท ยท
ยท ยท
ยท
;90 2 3 5
180 2 3 5
135 3 5
2
2 2
3
=
=
=
แกแแแ แแ แแแแงแแคแแแแ: 1, 3, 5, 32, 15, 45 .
แ .แ . แกแแฉแฃแฅแ แแแ แจแแกแแซแแแ แแแฃแแแฌแแแแแก:
1) 3 แแแกแฌแแแแแก . แแแแแก 30 แจแแแแแแแ60 แแแแแแ แแแ45 แฉแฃแ แฉแฎแแแ
2) 5 แแแกแฌแแแแแก . แแแแแก 18 แจแแแแแแแ36 แแแแแแ แแแ27 แฉแฃแ แฉแฎแแแ
3) 9 แแแกแฌแแแแแก . 4) 15 แแแกแฌแแแแแก . 5) 45 แแแกแฌแแแแแก .
25 . แชแฎแแแแ, pโ 3; แแฃ p=3, แแแจแแ 3; 13; 17 แแแ แขแแแ แ แแชแฎแแแแแ . แแแแแแฎแแแแ p>3 . แแแจแแ p=6n+1 . 1) p=6n+1 p+10=6n+11, p+14=6n+15=3(2n+3) แแ แแ แแก แแแ แขแแแ, 2) p=6nโ1 p+10=6n+9=3(2n+3) แแ แแ แแก แแแ แขแแแ, แ .แ . p=3 .
26 . 237231+732132 (732 3 237 3) โ โ2(37231+732132) 3 . แ .แ . แจแแแแแแแแแ .
27 . แจแแกแแซแแ แแแจแแแ แฏแแแแ 1 + 2 + 3 + ยท ยท ยท + 2000 = 2000 20012
1 20001000$ $
+= .
28 . n3+3n2+2n=n(n+2)(n+1) แกแแแ แแแแแแแแ แ แแชแฎแแแแแ แแ แแ แแฃแชแแแแแแแ แแฃแฌแแ, แแ แแ แแ 3-แแก แฏแแ แแแ .
31 . a=7n+3; b=7k+6 . แ) (2aโ5b)-แก 7-แแ แแแงแแคแแก แแแจแแแ 2ยท3 โ 5ยท6 = โ24=โ28+4, แ .แ . r=4 .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 37 03.07.2012 13:05:41
38
33 . a แแแแงแแคแ แฃ .แก .แฏ . (18;30)=90 . a แแฃแชแแแแแแแ แแแแงแแคแ 90-แแก แงแแแแ แแแแงแแคแแ .
34 . 100!=1ยท 2ยท 3ยท . . . ยท100 . แแฃแแแ แแแแแแแแแฃแ แ แแชแฎแแก แแซแแแแ แแแแ แแแแ 2ยท5 . แชแฎแแแแ, แฃแแแ แแแแแแแแแแ 5-แแแแก แ แแแแแแแแ . 1-แแแ 100-แแก แฉแแแแแแ แแ แแก 5-แแก แฏแแ แแแ 20 แ แแชแฎแแ; แแแแ แแ 25, 50, 75, 100 แแแจแแแจแ แจแแแชแแแก แแ 5-แแแแก แแ แแแแฅแแแแ แแแแแ 4 แฎแฃแแแแแ, แ .แ . แกแฃแ แแแแฅแแแแ 24 แแฃแแ .
35 . แแฃ A=mn โA m แแ A n . แ .แ . Aแ แแชแฎแแแก แงแแแแ m แแแแงแแคแก แแแแฉแแแ แแแกแ แแแฌแงแแแแ n แ แแชแฎแแ โ แแกแแแ, แ แแ แจแแกแ แฃแแแแแ mn=A . แ .แ . แแฃ A แแ แแ แแก แกแ แฃแแ แแแแแ แแขแ, แแแกแ แแแแงแแคแแแแก แ แแแแแแแแ แแฃแฌแแ . แแฃ Aแกแ แฃแแ แแแแแ แแขแแ, แแแกแ แแแแงแแคแแแแก แ แแแแแแแแ แแแแขแแ . แแแแแแแแแ: 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 . โ36 . แ) 10!+49=1ยท2 ยท . . .ยท6ยท7ยท . . .ยท10+49 . I แจแแกแแแ แแแ แแงแแคแ 42-แแ . แ .แ . แแแจแแแ 7 .
39 . 12 11 18 1 12 18 10a n
a kn k n k k n
12 11
18 19 6 5+ + +
= +
= ++ = + = - - =o .
(9kโ6n) 3, แแแแ แแ 5 แแ แแงแแคแ 3-แแ . แ .แ . แแแแขแแแแแแก แแแแ แ แแชแฎแแแแจแ แแแแแแฎแกแแ แแ แแฅแแก . แแกแแแ a แ แแชแฎแแ แแ แแ แกแแแแแก,
40 . แ) x(x+3y)=12 . 12=1ยท12=2ยท6=3ยท4 .
1) 1
3 12
x
x y
=
+ =o) ; 2) x
x y
2
3 6
=
+ =o) ; 3) x
x y
3
3 4
=
+ =) .
แแแขแฃแ แแแฃแ แ แแชแฎแแแแจแ แแแแแแฎแกแแแ แแ แแฅแแก .
41 . แ) 3x+2y=7 yx2
3 7+ =
- + x k
y k
1 2
2 3
= +
= -) ;
แ) x2โxyโx+y=1โ (xโy)(xโ1)=1 . (2;1) (0;1)
แ) 3xy+2x+3y=0 โ x(3y+2)+(3y+2)โ2=0 โ (3y+2)(x+1)=2 .
แงแแแแ แจแแแแฎแแแแแก แแแแฎแแแแแก แจแแแแแ แแแกแฃแฎแแแแ: (0;0); (โ3;โ1) .
42 . แ) แแแ แแแแจแ แกแแแ แชแแคแ แแ, แแแแขแแ: 2008:3= . . .(1) . แ .แ . แกแแซแแแแแแ แชแแคแ แแ 3 .
45 . แ) (1+2โ3โ4)+(5+6โ7โ8)+ . . .+(97+98โ99โ100)= โ4ยท25=โ100 .
47 . แ) 7 11 11 1313637637 91091
117007
637$ $ $
= = = .
49 . แ) xy(x+y)+yz(yโz)โxz(x+z)=x2y+xy2+y2zโyz2โx2zโxz2=x2(yโz)+yz(yโz)+x(y2โz2)= = (yโz)(x2+yz+xy+xz)=(yโz)(x+y)(x+z) .
50 . x+y=6 โ x2+2xy+y2=36 โx2+y2=2(18โxy) . แ .แ .แ .
51 . 5xโ3y=0 โ 25x2โ30xy+9y2=0 . แ) 25x2+9y2+70xโ42yโ30xyโ1= (25x2+9y2โ30xy)+14(5xโ3y)โ1=โ1 .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 38 03.07.2012 13:05:42
39
53 . แ) ;xx
axb
axb
xax a b
13 5
1 1 1--
= +-
+-
=-
- +
3xโ5=axโa+b . 3
5
a
b a
a
b
3
2+
=
- =-
=
=-o) )
56 . แ) ( )
nn
n
n
n12 3
1
2 1 52
15
+-
=+
+ -= -
+
แ .แ . 5 (n+1) โ n + 1 = 1; โ1; 5; โ5, แ .แ . n = 0; โ2; 4; โ6 . n = 4 .
ยง2 . แแ แแชแแแแแแฃแ แ แ แแชแฎแแ
3 . แ) 2a a a
a
32 2
0
74 34
$
=) ; แ) a a a
a
32 2 2
0
134 34
#
- =- -) .
4 . แ) a a a
a 0
53 11
#
- =- -) .
5 . แ) 53 5 1 3 3 3 1 42 2
- + - = - + - =^ ^h h .
6 . แ) 15 8 4 15 02 3
43 48 49
2 3
415< <&
-- = + - = -
- .
7 . 0,7 0,49
0,5
3
30,(3)
3, ,
30 7 0 5< <&
=
=
N
P
OOOO
.
8 . แ) 5 (7 4 )
2 5 2
5
2 5 2
5 2 5 2
7 4 5
5 2 5 2
49 80
2 5 2 52
- +=
- -
- -=
-
- -=
-
- - +
^ ^^ ^ ^
h hh h h
.
16 . 3 23 2 5 2 6 5 2 6 5 2 6 5 2 6 14 24 4 4 4$ $ $+ - = + - = + - =^ h .
18 . 4 15 10 6 4 15 4 15 2 5 3
4 15 2 8 2 15 4 15 4 15 2 2
2 2
$ $
$ $ $ $
+ - - = + - =
= + - = + - =
^ ^ ^h h h .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 39 03.07.2012 13:05:43
40
ยง3 . แแ แแแแ แชแแ . แแ แแชแแแขแ
2 . แ) : : : : 20:22:5 20 , 22 , 5
; ; .
a b c a x b x c x
x x a b c
35
611
125
47 940 20 400 440 100&
= = = = =
= = = = =
4 . 522
1511
109
x
sT naw.
sT
"
"
N
P
OOO แแแแแแแแแแฃแแแแ แแแ แแแแแ แแ แแแแ แชแแฃแแแ .
x = 0,15 แแแฌ .
5 . 1 x
x2111
211
221naw. sT sT"
"
=p 1 y
y154
38
10naw. sT sT"
"
=p แแแแ แ แแกแ แฃแแแแก 0,5 แกแ-แแ แกแฌแ แแคแแ .
7 . แแแ แชแแแแฃแแก แฃแญแแ แแแก 53
43
209
$ = แแแฌ ., แ แแช 1080 แฐแ-แ . แกแฃแ แแฅแแแแ 1080ยท920 =2400 แฐแ .
9 . แฎแแแ แแงแแแ แแแแฎแแก 52
21
51
$ = แแแฌแแแแ . แแแ แฉแ 12 แแแ แ .
11 . . .a b b a53
35
35
e.i. nawilia&= =
14 . แ) 3 แแ/แกแ = 36003000
65
wmm m
wm= .
25 . แ) แแแซแแแ แแ 1,6 แแแ แแ, แ .แ . 25%-แแ . แ) แแแแแคแแแก 1,6 แแแ แแ, แ .แ . 8-แแก 20%-แแ .
28 . แฆแแ แแ 100% . แแแฎแแ 110%, แแแแแ แแแซแแแ แแ แแ แแแฎแแ 110%-แแก 115%=0
0% %
10
11 115
101265$
= .
แแแแแคแแ 10%-แแ . แ .แ . แแแฎแแ %10
1265 -แแก 90%= %1000
1265 90$ ,
แแฎแแ แฆแแ แก 120 1265 90,
1000136 62
$ $= แแแ แ .
30 . แแแฅแแแ, แแงแ แกแฃแ x แแแกแฌแแแแ แแ แแแแแฌแแแแแแ แแแแฆแ A แแแกแฌแแแแแ, แ .แ .
, ,xA
x10096 8
10097 2
< <
( 125 250)x A x x x125121
250243
da< < & h h , แ .แ . x=250 .
31 . 1 แกแ-แแก แจแแแแแ: 100
1000 111120 1110 120 990
$- = - = (แแแฅแขแแ แแ) .
แแแฅแขแแ แแแแ แ แแแแแแแแ แแชแแ แแแแ . แ .แ . แแ แ .
33 . แแแแฅแแก แ แแฃแแ แแ แแชแแแขแ: 1000 110010
100010
111331
3
3
3
$+ = =` j แแแ แ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 40 03.07.2012 13:05:44
41
35 . 1) 1000 1000100112
1110012
9746 6
$ .+ =` `j j แแแ แ .
2) แ แแแแแ แงแแแแแฌแแแฃแ แแ แแแแแแฅแแก แแแแแขแ แแ แแชแแแขแ, แแแแแจแ แแแแแ แแกแแ 1000 แแแ แ, แแแแขแแ แแแแแแแ แ แกแแแแแแแ แแแฆแแแก แแแแฎแแก แแแ แขแแแ แแ แแชแแแขแแ 1000 91
10015 6
1 00$
+ =` j แแแ แ . แ .แ . แแแ แแแแ แแแ แแแแขแ แกแฏแแแก .
41 . แแแแแฎแจแ 30% แฃแฌแงแแ แแแกแแ . แแแฅแแแ, แฃแแแ แแแแแแแแก x แแ แแแแแฎแ . แแแกแจแ 3x10
แแ แฃแฌแงแแ แแแกแแ, แ แแช แจแแแแ แฉแฃแแแแแ .
x x103
100600 84
1680&$
= = แแ .
49 . 800 แแ โ 45% 1200 แแ โ 20% p% = 800 45 1200
200020$ $+ .
________________ 2000 แแ โ p% p=30% .
51 . 1) x โ 40% 2) x โ 40% แแแแแฆแแแ:20
70
x y
x y
x y
x y
5
40 60 0 5
5
40 60 400
$+ +
+ +=
+ +
+ +=
Z
[
\
]]
]]
y โ 60% y โ 60%5 โ 0% 5 โ 80%x+y+5 โ 20% x+y+5 โ 70%
x y x y
x y x y
x
y
2 3 5
4 6 40 7 7 35
1
2
+ = + +
+ + = + +
=
=) )
54 . แแ แแ แแฃแ แแก แคแแกแ โ x; แ แแแแแแแแ โ y; แแแแแแแ แแแแฎแ โ xy แแแ แ .แแแฎแแ แแ แแ แแฃแ แแก แคแแกแ โ 1,25x; แแแแแแแ แแแแฎแ โ 0,8xy แแแ แ . แ แแแแแแแแ:
,
,
x
xyy
1 25
0 8
2516
= .
1625 -แฏแแ .
55 . แแแฅแแแ, x แแ แกแแแแกแแแ แแแแฆแแแ y แแ แแแแแแจแ แแแ แกแแแ .
แฃแฌแงแแ แแแกแ แแฅแแแแ x y x y103
109
3&= = .
แฃ .แ . 100% 100%200
%x
x y
y
y y
3
3
3$ $
-=
-= .
57 . แฅแแแแแ x, แแแแแแแชแแแ - 4x . แแ แฉแแแแแแจแ แแแแแฌแแแแแแ แแแแฆแ 2x แแแแแแแชแแ แแ 0,6x แฅแแแแ .
แกแฃแ x x x253
513
+ = แแแแแแแแแ, แ แแช แแฅแแแแ แกแแแ แแ แ แแแแแแแแแก 65% .
59 . แ) แแแฅแแแ, แแแแแแแแ แแแแแ แแงแ x แแแแแแแแ, แแฅแแแแ 0,25x แแแแแแแชแ แแ 0,75x แฅแแแ . แแแแแแ 30 แฅแแแ, แแแฎแแ x+30 แแแแแแแแ แแ 0,75x+30 แฅแแแ .
แแแแแฆแแ 0,25x
xx
30100 20 120&$
+= = ,
แแฎแแ แแฃแจแแแแก 120ยท0,75+30=120 แฅแแแ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 41 03.07.2012 13:05:46
42
ยง4 . แกแแแ แแแแ
2 . แแ แ .
3 . N(AรB)=mn .
4 . แ) AรAรA={(1;1;1), (1;1;2), (1;1;3), (1;2;1), (1;2;2), (1;2;3) . . . (3;3;3)} แกแฃแ 27 แแแแแแแขแ .
5 . (1;1), (1;2) . . . (1;6) (2;1), (2;2) . . . (2;6) . . . . . . . . . . . . . . . . . (6;1), (6;2) . . . (6;6)
6 . แกแฃแ 63=216 .
7 . แกแฃแ 12 แแแ . (a;m), (a;n), (a;k), (a;p) (b;m) . . . . . . . . . (b;p) (c;m) . . . . . . . . . (c;p)
8 . แ) แ) แ)
11 . N(E G)=105+90โ20=175 . แแ แช แแ แ แแแแก แแ แกแฌแแแแแแก 25 .
12 . 18+x+13+x+14+x+5โx+9โx+7โx+x=70 x=4
แแ: N(F E G) = N(F)+N(E)+N(G)โN(FโฉE)โN(EโฉG)โ โN(EโฉG)+N(EโฉFโฉG) .
70=32+25+30โ5โ9โ7+x x=4 .
2
1
1
AรB
y
x
1
1-1
-1
0
y
x
2
1
-2
0
y
x2
E105โ20
G90โ2020
F32โ(14โx)==18+x
30โ(16โx)=14+xG
E25โ(12โx)= =13+x
5โxx
9โx 7โx
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 42 03.07.2012 13:05:46
43
ยง5 . grafi
4 . a)ara, Svidi wveroa kenti.
b)ki, kent wiboTa raodenoba luwia.
5. 28278=
โ .
6 . 515 โ kentia, e.i. ara.
7 . Sesabamis grafSi 100 wveroa da TiToeuli maTganis xarisxi 4-ia. e.i. aris 20021004
=โ
wibo (gza).
8 . Ggrafs 30 wvero aqvs. 9 wveros xarisxi 3-ia. 11-is 4, 10-is ki 5. kenti wvero aris kenti, e.i. ara.
9 . ara, radgan grafs aqvs 19 wvero da TiToeuli kentia.
10 . Tu saxelmwifoSi n qalaqia, maSin gzaTa raodenoba iqneba 2
3n . miviRebT
Nnnโ=โ=
3200100
23
. e.i. ara.
11 . cxadia, radgan tbebidan gamosuli mdinareebis saerTo raodenoba toli unda iyos Cadinebuli mdinareebis saerTo raodenobisa.
12 . saxlebi ise SevaerToT komunikaciebiT ga-zis, wylisa da eleqtroenergiis wyarosTan, rogorc naxazzea. miviReT or saxls Soris sami wiri, romlebiTac sibrtye gaiyo sam nawilad. mesame saxli romelime am nawilSia. Tu saxli (1) nawilSia, maSin wylis rezer-vuaramde gayvanili milsadeni, gadakveTs erT-erT wirs, aseve sxva SemTxvevaSic.
13 . `geometria maTematikis dedofalia~.
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 43 03.07.2012 13:05:46
44
ยง6 . kenigsbergis xidebis amocana
1 . Sesabamisi grafi iqneba xe. e.i. iqneba 100 gza.
2 . ise, rom darCes xe, sul aris 2
2930 โ gza. unda darCes 30โ1=29.
e.i. gadaiketeba 406292
2930=-
โ .
3 . kenti wveroebia (3) da (7). e.i. aseTi gza iqneba 3-dan 7-mde an piriqiT
4. SeiZleba daviwyoT 3-dan vamTavrebT 15-Si an piriqiT: 3)15()3( == PP .
5. ara, radgan ori kenti wveroa.
6 . a) 3)()( == DPCP . e.i. unda daiwyos D-dan da damTavrdes C-Si, an piriqiT. b) daemateba D da C-s SemaerTebeli xidi. g) SeerTdeba a da B.
7 . SesaZlebelia, radgan kenti wvero oria: gare nawili da mar-cxena kunZuli.
8. a) grafis wveroebad avirCioT oTaxebi, xolo wiboebad kare-bebi. 3)1( =P , 3)5( =P . danarCeni wveroebi luwi wveroebia. e.i. Semovla daiwyeba 1-eli oTaxidan da damTavrdeba me-5 oTaxSi.
9 . Wadrakis dafis ujrebi gadavnomroT. ujrebi mi-viCnioT grafis wveroebad, xolo wiboebi iyos cxenis SesaZlo svlebi. miviRebT grafs. unda vipovoT cikli, romelic gaivlis yvela wveroSi, Tan ar aris aucilebeli Seicavdes yvela wibos. radgan 2)4()5()8()9( ==== PPPP , amitom unda darCes 9-1; 9-6; 8-3; 8-2; 5-11, 5-10; 4-7; 4-12 wiboebi. movaSoroT imdeni wibo, rom danarCen wveroTa xarisxebic gaxdes luwi. e.i.
movaSoroT 3-11; 7-1; 6-2; 12-10 miviRebT cikls, romelic 1-el naxazzea.
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 44 03.07.2012 13:05:46
45
ยง7 แคแฃแแฅแชแแ
5 . แกแแแแแแแแ แคแฃแแฅแชแแ แแฃแฌแแ, แแฃ f(-x)=f(x) แแ แแแแขแแ, แแฃ f(-x)= - f(x) โxโD(f) แ) y=x4+x2+5 xโR y(x)=x4+x2+5 y(-x)=(-x)4+(-x)2+5=x4+x2+5=y(x) แ .แ . แแฃแฌแแ แ) y=x3+x xโR y(x) =x3+x y(-x) = (-x)3+(-x)=-x3-x=-x3-x=-(x3+x)=-y(x) แ .แ . แแแแขแแ แ) y= 3x+1 xโR y(x)=3x+1 y(-x)=3(-x)+1=-3x+1 y(-x) y(x) แแแแขแแ แแฃแฌแ แแ แแ แแก y(-x)=-3x+1=-(3x-1) y(-x) -y(x) แ .แ . แแ แช แแแแขแแ .
6 . แกแแแแแแแแ แคแฃแแฅแชแแ แแแแแขแแแฃแ แแ, แแแฃ แแ แแแแแ แแ แแแแแแแแ แจแฃแแแแแจแ แแฃ ; x2>x1 แแแแแแแแแแ แแแแก แแ f(x2) > F(x1) แแ f(x2) <F(x1)
แ) y=2x2 แแแแแแแฃแ แ แฎแแ แฎแ: แแแฅแแแ x2>x1 y2=2x22 y1=2x1
2
แแแแแแฎแแแแ แกแฎแแแแแ y2-y1= 2x22 - 2x1
2=2(x2-x1)(x2+x1) (x2-x1) >0
แแฃ x1>0 แแ x2>0 x1+x2 >0 แแ y2>y1 แ .แ . (0; โ) แจแฃแแแแแจแ แแ แแแแแ;
แแฃ x2<0 แแ x1<0 x1+x2 <0 แแ y2<y1 แ .แ . (โโ;0) แจแฃแแแแแจแ แแแแแแแแ .
แฃแคแ แ แแแ แขแแแแ y=f(x) แคแฃแแฅแชแแแก แแแแแขแแแฃแ แแแแก แจแฃแแแแแแก แแแแแแแ, แแฃ แแแแแฃแแแ y=f(x) แคแฃแแฅแชแแแก แแ แแคแแแ .
7 . แแแแแแแ y=kx+b แฌแ แคแแแ แคแฃแแฅแชแแ แแ แแแแแ (โโ;+โ) แจแฃแแแแแแ, แ แแชแ k>0; y=a(x-1)-2x y=(aโ2)ยทxโa แ .แ . แแ แแแแแ (โโ;+โ) แจแฃแแแแแแ, แ แแชแ a-2>0 แแแฃ aโ(2;+โ). 8 . y=ax2+bx+c แแแ แแแแแแก แฌแแแ แแ (x0; y0),
แ แแชแ a>0, (โโ;x0] แแแแแแแแ, [x0;+โ) แแ แแแแแ .
แ แแชแ a<0 โ แแแ แแฅแแ, y=bx2โ2(b2-2)x+4 ( )x
bb
bb
22 2 2
10
2 2
=-
=-
=
แฃแแแ แจแแกแ แฃแแแแก แแแ แแแ
an1 2
b
bb
b
b b
02
1
0< <2-
= =- =* ) b=โ1
แฌแแ แแแแแแแแแแ แแ แแคแแแฃแแแ
9 . แ) แ แแแแแ f(x) แแแแขแแ, แแแแขแแ (-157)=-f(157) . แ แแแแแ T=5, f(-157)=-f(2+31ยท5)=-f(2)=-10
11 . แ) I แฎแแ แฎแ . y = ( )x 22
- D(y) = (โโ;+โ) y= |xโ2| . แฏแแ แแแแแแ y=xโ2 .
x1
4
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 45 03.07.2012 13:05:46
46
แแแแแฃแแแก แแก แแแฌแแแ, แ แแแแแแช แแแแแแ แแแแก Ox แฆแแ แซแแก แแแแแ แ แแแแ แแแฎแแแแ แกแแแ แขแงแแจแ แแแแขแแแแ แฃแชแแแแแแ, แฎแแแ แฅแแแแแ แแแแแแ แ แแแฌแแแ แแแแแแแขแแแแ Ox แฆแแ แซแแก แแแแแ แ แกแแแแขแ แแฃแแแ .
II แฎแแ แฎแ . y= |xโ2| D(y) = (โโ;+โ) .
แแแแแแฎแแแแ แแ แแแ แจแแแแฎแแแแ: 2, 2
( 2), 2y
x x
x x
roca
roca <
$=
-
- -) .
แ) ( ) [ ; )y x x D y1 1 0 12
3$= - - = +^ h แ .แ . แแแแฅแแก y x
x
1
1$
= -) .
13 . y=7xโ5 แแ แแคแแแแก แฌแแ แขแแแแก แแแแ แแแแแขแแแแก แฏแแแ แฃแแ แแก 19 . แแแฅแแแ, แแ แแคแแแแก แฌแแ แขแแแแ
M(a;b) แแแแฌแแ แแแ แแ แ แขแแแแแ a b
b a
19
7 5
+ =
= -)
14 . y=-3, y=x, y=2-x แแแแแแแ แกแแแแฃแแฎแแแแก แฌแแแ แแแแ y=-3 แแ y=x แฌแ แคแแแแแก แแแแแแแแแแก แฌแแ แขแแแ A(-3;-3)
y=-3 แแ y=2-x แแแแแแแแแแก แฌแแ แขแแแแ C(5;-3)
y=x แแ y=2-x แแแแแแแแแแก แฌแแ แขแแแแ B(1;1)
AC=5-(-3)=8 . AC แแแแ แแแก แกแแแแฆแแ h=4
S2
8 416
$= = .
17 . แแแฅแแแ, แแแชแแแฃแ แแแ แแแแก แแแแแงแแคแแแแแก y=kx+b แคแฃแแฅแชแแ, แ แแแแแ y=kx+b แแแ แแแแแฃแ แแ . y=5x+3 แฌแ แคแแก k=5, y= 5x+b แแแแแก (0;2) แฌแแ แขแแแแ,
แแแแขแแ 2=5ยท0+b, b=2 แแแกแฃแฎแ: y=5x+2
2
2
y
xO
1
y
xO
1
A C
B
y=xy=2-x
-3
-3
5
y=-3
y
x0 1
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 46 03.07.2012 13:05:47
47
18 . I แฎแแ แฎแ . แแแแแแ y=0,5x+2 แคแฃแแฅแชแแแก แแ แแคแแแ .
x 0 -4y 2 0
แฃแแแ แแแแแแแ AOB แแแ แแแฃแแฎแ แกแแแแฃแแฎแแแแก แฐแแแแขแแแฃแแแแ แแแจแแแแฃแแ แกแแแแฆแแ OD
2AB OD55
4 5= =
20 . I แฎแแ แฎแ . แคแฃแแฅแชแแ แแแแชแแแ y=kx+b แคแแ แแฃแแแ . แชแฎแแแแ b=6, แฎแแแ k tg
26
3a= = =
แแแกแฃแฎแ: 3x+6 .
II แฎแแ แฎแ . แ แแแแแ y=kx+b แคแแ แแฃแแแ แแแชแแแฃแแ แคแฃแแฅแชแแแก แแ แแคแแแ แแแแแก (-2;0) แแ (0; 6) แฌแแ แขแแแแแแ, แแแแขแแ แจแแแแแซแแแ แฉแแแฌแแ แแ แขแแแแแแแ:
( )k b
k b
b
k
0 2
6 0
6
3$
= - +
= +
=
=) )
25 . แแแแแฎแกแแแ แแ แแคแแแฃแแแ แแแแขแแแแแ x2 =2x+8 .แแแแแแ แ แแช แจแแแซแแแแ แแฃแกแขแแ y=x2 แแ y=2x+8 แคแฃแแฅแชแแแก แแ แแคแแแแแ .แแแแขแแแแแแก แแฅแแก แแแแแแ แแแแแแฎแกแแ, แ แแแแแ แฌแแ แขแแแจแแช แแแแแแแแแแแแ แแ แแคแแแแแ แแ แแแแแแแก แแ แแแแแแฃแแ แแแแแแฎแกแแ แแฅแแแแ แแแแแแแแแแก แฌแแ แขแแแแก แแsแชแแกแ .
26 . แแฃ แแแแแฎแกแแแแแ แคแฃแแฅแชแแแก แแ แแคแแแแก แแแ แแแฅแแแแก, แจแแแแแฉแแแแ . แแแฎแแแแ แแแชแแแฃแแ แคแฃแแฅแชแแแก
แแ แแคแแแ แแแแฆแแแ y=x2 แคแฃแแฅแชแแแก แแ แแคแแแแก x x
y y
3
1
"
"
-
+) แแแ แแแแแฃแ แ แแแแแขแแแแ
แ แแก แจแแแแแแแแช y=-x2 แแแ แแแแแแก แฌแแแ แ O(0; 0) แแแแแแแแ Oโ(-3; 1) แฌแแ แขแแแจแ . แ .แ . แแแฎแแแแ แแแชแแแฃแแ แคแฃแแฅแชแแแก แแ แแคแแแแก แคแแ แแฃแแแ y=(x+3)2+1 .
29 . แ) y=-2ยท(x-3)2+5I แฎแแ แฎแ . แคแฃแแฅแชแแแก แแ แแคแแแแก แแแ แแแฅแแแแก แฌแแกแแ y=-2(x-3)2+5 แคแฃแแฅแชแแแก แแ แแคแแแ แแแแฆแแแ
y=-2x2 .
x x
y y
3
5
"
"
+
+) แแแ แแแแแฃแ แ แแแแแขแแแแ, แ แแก แจแแแแแแแแช y=-2x2 แแแ แแแแแแก แฌแแแ แ O(0;0)
แแแแแแแก (3;5) แฌแแ แขแแแจแ . แแแแจแแแแแแแแแ แกแแแ แแแแ E(y)=(โโ;5]
A
-4D
O
B
2
y
x-4
2
-2O
y
x
6
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 47 03.07.2012 13:05:47
48
ยง8 . แแแแขแแแแแ
3 . แ) แแแแขแแก แแแแ แแแแ, แ แแแแแ x1 x1>0, แแแแขแแ x1>0 แแ x2 >0 แแ x1<0 แแ x2<0, แฎแแแ x1+ x1<0, แแแแขแแ x1<0 แแ x2<0 .
4 . แแแฅแแแ, x2โ7xโ3=0 แแแแขแแแแแแก แคแแกแแแแแ x1 แแ x2 . x1+x2=7 x1x2=โ3 . แจแแกแแแแแแ แแแแแ แแขแฃแแ แแแแขแแแแแ แแแซแแแ แแแงแแแแแแ แกแแฎแแ x2+px+q=0 แคแแกแแแแแ x1+1 แแ x2+1 โp=x1+1 + x2+1=(x1+x2)+2=7+2=9 . p=โ9 . q=(x1+1)(x2+1)= x1x1+(x1+x2)+1=โ3+7+1=5 q=5 แแแกแฃแฎแ: x2โ9x+5=0,
8 . (a+2)(aโ4)ยทx=(aโ4)(a+4)1) แแฃ (a+2)(aโ4)โ 0 แแแฃ aโ โ2 แแ aโ 4, แแแแขแแแแแแก แแฅแแก แแ แแแแแ แแ แแแแแแฎแกแแ
( )( )
( )( )x
a a
a a
aa
2 4
4 4
24
=+ -
- +=
++ .
2) แแฃ a=4, แแแแขแแแแแแก แแฅแแก แแแแแแฎแกแแแ แฃแกแแกแ แฃแแ แกแแแ แแแแ .3) แแฃ a=โ2, แแแแแแฎแกแแ แแ แแฅแแก .
10 . 2xโ3=7 x=5 . แ แแแแแ x=5, แแ แแก bx2+5xโ2b=0 แแแแขแแแแแแก แคแแกแแ, แฉแแแกแแแ, แแแแแฆแแแ: b=โ1
232 .
12 . แ) x2โ4bxโa2+4b2=0 D1=(2b)2+(a2โ4b2)=a2 . x1=2bโa, x2=2b+a .
20 . แ) แแแช .: x2โ6x+7=0 |x1โx2|= ( ) ( )x x x x x x4 6 4 7 2 22 1 21
2
1 2
2 2
$- = + - = - = .
27 . แ) |x1โx2|= x x2 5 5 2- = - . แแแแแแแ a a=- , แแแจแแ a=0,
แ .แ . 5 2 , 2 5 0, 2,5x x x x2 5- = - - = = .
แ) xโ3 x +2=0 . x =1 แแ x =2 . แ .แ . x=1 แแ x=2 .
28 . แ) (xโ1)(xโ2)(xโ3)(xโ4)=15 (x2โ5x+4)(x2โ5x+6)=15 x2โ5x+5โกy (yโ1)(y+1)=15 y = +4 .
30 . x x x x1 1 12 3 2 5
+ - - - =^ ^h h 1x x x x x x1 1 1
2 3 2 3 2 2
+ - - - - - =^ ^ ^h h h
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 48 03.07.2012 13:05:48
49
1x x 12 2
- - =^ hx=โ1 แแ x=1
32 . ( )( ) ( )( )x x x x1 5 2 3 0- + + - =
แ .แ .แก . ( 1)( 5) 0
( 2)( 3) 0
x x
x x
$
$
- +
+ -) , แแแแแฆแแแ: x1=โ5; x2=3 .
33 . x12 + x2
2 =(x1 + x2)
2โ2x1x2 = a2โ2a+4 . แแแแแ แแขแฃแแ แกแแแฌแแแ แ แฃแแชแแ แแก แแแแจแแแแแแแแก แแแแฆแแแก, แ แแชแ a=1 .
35 . แแแฃแขแแแแ แแ แแแแแแแก: (a+6)x2โ2=2ax+1 (a+6)x2โ2axโ3=0 D=0 (2a)2โ12(a+6)=0 a=โ3 a=6 .
38 . แ) ax4+(2aโ1)x2+1=0 . x2โกy. แแแจแแ ay2+(2aโ1)y2+1=0
แแแแกแแแแแก, แ แแ แแแชแแแฃแ แแแแขแแแแแแก แฐแฅแแแแแก แแ แ แแแแแแฎแกแแแ, แกแแญแแ แแay2+(2aโ1)y2+1=0 แแแแขแแแแแแก y-แแก แแแแแ แ แฐแฅแแแแแก:1) แแ แแ แแแแแแแแ แแ แแ แแ แฃแแ แงแแคแแแ แแแแแแฎแกแแ, แ .แ . y1y2<0 โ
aa
10 0< <+ .
2) แแ แแ แแแแแแแแ แแแแแแฎแกแแ y1=y2>0 D=0 (2a โ 1)2 โ 4a = 0
2a a
2 3
2
2 3! !
- +
ยง9 . แแแแขแแแแแแแ แกแแกแขแแแ
2 . แ) 2 3
5
1 12
x y
x y
x y
x y
y
x y
y
x
2 35
2 24
11
1 12
1
1+ +
+ =
+ =
+ =
- - =-
=
+ =
=
=
N
P
OOO
N
P
OOO
Z
[
\
]]
]
Z
[
\
]]
]
Z
[
\
]]
])
3 . แ) ( )( )x y x y
x y
2 0
2 1
+ - =
- =) แกแแกแขแแแแก แแแ แแแแ แแแแขแแแแแ แแแแจแแแแ แแ แแแแขแแแแแแ
2x+y=0 แแ xโy=0 แแแก .: (0,25;โ0,5) (1;1) .
4 . แ) x xy y
xy y
2 2
4
2 2
2
- - =
+ =) . แกแแกแขแแแแก แแ แแแ แแแแขแแแแแแก แแแ แชแฎแแแ แแฎแแ แแแแ แฌแแ แแแแแแแแแ
แแ แแแแแ แแแแ แแแแ แ แฎแแ แแกแฎแแก แแ แแแแแฌแแแ แก .
2 2
4
( ) 2 4 2 4
4
x xy y
xy y
x xy y
xy y
x xy y
xy y
2 2 5 3 0
4
2 2
2
2 2
2
2 2
2+ +#- - =
+ =
- - + + =-
+ =
- + + =
+ =o o) ) ) .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 49 03.07.2012 13:05:49
50
โ2x2+5xy+3y2=0 แแแแแฎแกแแแ x-แแก แแแแแ แ . แแแแแฆแแแ: xy
21 =- x2=3y .แแแแแฆแแ แแ แ แกแแกแขแแแ:
1) xy
xy y2
42
=-
+ =* แแ 2) x y
xy y
3
42
=
+ =) .
แแแก .: 3
; ; ; ; ( ; ); ( ; )2
3
2 2
3
2
3
2 23 1 3 1- - - -c cm m .
10 . แจแแแชแแแแแ y x-แแ ( )
x y a
ax x
x a
x a a
3 2 5
19 1 9
+ =
+ =
=
+ =* )
แแฃ a=โ1, แกแแกแขแแแแก แแแแแแฎแกแแแ แแ แแฅแแก .
แแฃ aโ โ1, 19
x a
xa
a aa
aa
19
8=
=+
=+
=* .
11 . x y a a
x y a a
2 3 2 6 2
3 2 3 4 3
2
2
+ = - +
+ = + +) แจแแแแ แแแแ:
5(x+y)=5a2โ2a+5 x+y=0,2(5a2โ2a+5) แแแแแกแแฎแฃแแแแ แฃแแชแแ แแก แแแแจแแแแแแแแก แแแแฆแแแก, แ แแชแ a 2 5
251
$=-
-= แแ แแก แแแแจแแแแแแแ
4,8-แแก แขแแแแ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 50 03.07.2012 13:05:50
51
51
แแแแชแแแแแแก แแแแฎแกแแ
12 . I แฎแแ แฎแ . แแแแแแแแ แแแแแ II-แจแ แแงแ x แ แแแฃแแ
I-แจแ แแฅแแแแแแ (x+24) แ แแแฃแแ
แแแฅแแแ, แแแแกแแแแแก, แ แแ แแ แแแ แจแแแแฎแแแแแจแ แ แแแฃแแแแแก แ แแแแแแแแ แแแแแแแแ แแแก, แกแแญแแ แแ I-แแแ II -แจแ แแแแแแแแ y แ แแแฃแแ, I-แจแ แแแฎแแแแ 2+24-y, II -แแ x+y
แแฌแแ แ แแแแขแแแแแแก x+24-y=x+y
x=12
II แฎแแ แฎแ . แแแแแแแแ แแแแแ I แจแแแแ แแจแ 24-แแ แแแขแ แ แแแฃแแแ แแแแ แ II-แจแ . แแแแกแแแแแก, แ แแ แแ แแแ แจแแแแ แแจแ แ แแแฃแแแแแก แ แแแแแแแแ แแแแแแแแ แแแก I แแแ II -แจแ แฃแแแ แแแแแแแแ 24/2=12 .
15 . แ แแแแแ 15 แแฆแแก แจแแแแแ แแแ แฉแแแแแ แฐแฅแแแแ 9 000 แแแฃแ แ, แฎแแแ 18 แแฆแแก แจแแแแแ 7 500 แแแฃแ แ . แแแแขแแ 3 แแฆแแจแ แแฎแแ แฏแแแ (9 000-7 500)=1 500 แแแฃแ แ .
1แแฆแแจแ แแ- 500 แแแฃแ แ .
แแจแแแแแแแก แแแแแ แแก แแแ แฉแแแแแ 7 500 แแแฃแ แ แแงแแคแ 7 500 :500=15 แแฆแแก .
20 . แแแกแแ แแแแแแ แแแแแ แแแแ
แญแแแ แแแ
40 255
30 แจแแจแ
แกแฃแ 40+5+25=70
22 . แ แแชแ แแแแซแแแ แแฃแแแแแแ, แกแแฉแฅแแ แ แแ แแ แ แแแ แแแแแ แแ แแแแ แชแแฃแแ แกแแแแแแแแแ .
60 x 4 3
35 . แแฃ แญแแฅแแก แแแฎแแแแ แ แแแกแแแ 20แฌแ-แจแ, 1แฌแ-แแ แแแ แ แแแแแกแแแแแ แแแฎแแแ แแก แแแฎแแแแ แ, แแแฃ แแแแแฎแแแ .
แแแกแฃแฎแ: แแแแแกแแแ 19แฌแ-แจแ
40 . แแฃ 6 แแแแแแแแแก แกแแจแฃแแแ แแกแแแ 22 แฌแแแแ, แแฅแแกแแแแก แแกแแแแ แฏแแแ แฃแแ แแก 6ยท22=132
แญแแแ แแแ แแ แจแแจแ
604 = ๐ฅ๐ฅ3; x= 45แแ/แกแ
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 51 03.07.2012 13:05:50
52
5
แแ แแ แแแแแแแแแก แฌแแกแแแแก แจแแแแแ, 5 แแแแแแแแแก แกแแจแฃแแแ แแกแแแแ 21 แฌแแแ . แฎแฃแแแแแก แแกแแแแ แฏแแแ แแ แฃแแ แแก 5ยท21=105
แ .แ . แแแแแก แแกแแแ 132-105=27
44 . แแแชแแแฃแแแ, แ แแ แกแฃแ 30 แชแแแ แแแแแแแ . แ แแแแแ แแ แแฃแฏแ แแแแ แแแแแแแแแก แ แแแแแแแแ แฃแแ แแก แแ แแแ แแฆแแแฃแแ 4-แฃแฏแ แแแแ แแ 3-แฃแฏแ แแแแ แแแแแแแแแก แ แแแแแแแแแก, แแแแขแแ 1-
แฃแฏแ แแแแ แแแแแแแแแก แ แแแแแแแแ แแฅแแแแ 30=15
4-แฃแฏแ แแแแ แแ 3-แฃแฏแ แแแแ แแ แแแ 15 .
แแแฆแแแจแแแ 4-แฃแฏแ แแแแ แแแแแแแแแก แ แแแแแแแแ x-แแ,
3-แฃแฏแ แแแแแแแก แ แแแแแแแแ แแฅแแแแ (15- x);
1-แฃแฏแ แแแแแแแก แ แแแแแแแแ แแ แแก 15
แแฌแแ แ แแแแขแแแแแแก:
4x+3ยท(15-x) + 15=65
45 . แ แแแแแ แแ แแแแกแฌแ แแแ แ แแแแแแแแ แแ แแก แแแแกแฌแ แแแ แ แแแแแแแแแก 20%, แแแแกแฌแ แแแ แ แแแแแแแแ 5-แฏแแ แแแขแแ แแ แแแแแกแฌแ แแแ แ แแแแแแแแแแ .
แแแฅแแแ, แแ แแแแแกแฌแ แแแ แ แแแแแแแแ แแงแ x, แแแแกแฌแ แแแ แ แแแแแแแแ แแฅแแแแแแ 5 x,
แกแฃแ แแแฎแแแแแแแแก แฌแแแ แแ แ แแแแแแแแ - 6 x
6 แแแแแแแแแก แแแกแแแแก แจแแแแแ แแ แแแแกแฌแ แแแ แ แแแแแแแแ แแแฎแแ x+6; แแแแกแฌแ แแแ แ แแแแแแแแ - 5x-6;
แแ แจแแแแฎแแแแแจแ, แแ แแแแกแฌแ แแแ แ แแแแแแแแ แแ แแก แแแแกแฌแ แแแ แ แแแแแแแแแก 25%, แแแฃ 4-แฏแแ แแแแแแแ .
แแฌแแ แ แแแแขแแแแแแก: 5 x-6=4ยท( x+6)
49 . แฌแแ แแแแแแแแแแ แแแแชแแแแก แจแแกแแแแแแกแ แแแฎแแแ . แ แแแแแ, II แฃแคแ แ แกแฌแ แแคแแ แแแซแ แแแแก I-แแ, II แฃแแแ แแฅแแแแ I-แแ .
C A BI
II
แแแแชแแแ แจแแแซแแแแ แแแแแฎแกแแแ แกแแแ แฎแแ แฎแแ:
แแแ แแแแก แแแแแฎแแแ,
BC=AB+12, BC-AB=AC=12
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 52 03.07.2012 13:05:51
53
5
I แฎแ แฎแ: แแแฅแแแ, II 1แแ แแแแแก xแฌแ-แจแ, แแแจแแ I 1แแ-แก แแแแแแแก + = 4๐ฅ๐ฅ 34 แฌแ-แจแ .
II- 1แฌแ-แจแ แแแแแแแก ๐ฅ๐ฅ แแ-แก, 1แกแ-แจแ 60๐ฅ๐ฅ แแ-แก, แ .แ . II-แแก แกแแฉแฅแแ แแ
60๐ฅ๐ฅ แแ-แกแ .
I- 1แฌแ-แจแ แแแแแแแก 44๐ฅ๐ฅ 3 แแ-แก, 1แกแ-แจแ
404๐ฅ๐ฅ 3 แแ-แก, แ .แ . I-แแก แกแแฉแฅแแ แแ 404๐ฅ๐ฅ 3 แแ-แกแ .
I - 3แกแ-แจแ แแแแแแแก 3ยท 404๐ฅ๐ฅ 3= 04๐ฅ๐ฅ 3แแ-แก
II - 3แกแ-แจแ แแแแแแแก 3ยท 60๐ฅ๐ฅ = 0๐ฅ๐ฅ แแ-แก
แแแแชแแแแก แแแ แแแแก แแแแแฎแแแ, แแฌแแ แ แแแแขแแแแแแก
0๐ฅ๐ฅ - 04๐ฅ๐ฅ 3=12
II แฎแ แฎแ: แแแฅแแแ, I-แแก แกแแฉแฅแแ แแ xแแ-แกแ, แ .แ . x แแ-แก แแแแแก 1แกแ-แจแ, แแแฃ 60 แฌแ-แจแ 1แแ-แก แแแแแแแก 60๐ฅ๐ฅ แฌแ, แแแจแแ II 1แแ-แก แแแแแแแก 60๐ฅ๐ฅ - 34 = 40 3๐ฅ๐ฅ4 แฌแ; 1แฌแ-แจแ แแแแแแแก 440 3๐ฅ๐ฅ แแ แกแ แจแ แแ 4040 ๐ฅ๐ฅ= 00 ๐ฅ๐ฅแแ .
แ .แ . II-แแก แกแแฉแฅแแ แแ 00 ๐ฅ๐ฅแแ .
แแ แแแ แจแแแ แแแแก แกแแฉแฅแแ แ แแแแแแกแแฎแแ แแ แแ แฃแชแแแแแ แแ แจแแแแแ แแแแแแ แซแแแแแ แ แแแแ แช I แฎแแ แฎแแ แแแแฎแกแแแก แแ แแก . III แฎแ แฎแ: แแฆแแแแจแแแ AB=xแแ, แแแจแแ AC=x+12 แแ
I - xแแ, แแแแแ แ 3แกแ-แจแ, แ .แ . แกแแฉแฅแแ แ แแฅแแแแ ๐ฅ๐ฅ3แแ/แกแ, 1แกแ-แจแ
๐ฅ๐ฅ3แแ . 1แแ-แก แแ 3๐ฅ๐ฅ แกแ=
0๐ฅ๐ฅ แฌแ
II (x+12)แแ แแแแแ แ 3แกแ-แจแ, แแแแแแแแฃแ แแ, แกแแฉแฅแแ แ แแฅแแแแ ๐ฅ๐ฅ 3 แแ/แกแ แแ 1แแ แแแแแแแก
3แกแ= 0
แฌแ
แ แแแแแ, II 1แแ-แก แแแแแก 34 แฌแ-แแ แฉแฅแแ แ I-แแ, แแฌแแ แ แแแแขแแแแแแก
0๐ฅ๐ฅ - 0๐ฅ๐ฅ = 34
54 . แแแฅแแแ, แแแ แแแแจแ แแแแแแฃแแ แแงแ x แแแ แฎแ . แจแแแแแแแแแ แแกแแแ แชแฎแ แแแ
แแแ แฎแแแแก แ แแแแแแแแ 1แแแ แฎแแ แแแกแฌ แ แแแ . แกแฃแ แแแกแฌ . แ แแแ . I x+3 7 7ยท(x+3) II x-2 8 8ยท(x-2)
แ แแแแแ แแ แแแ แจแแแแฎแแแแแจแ แแแกแฌแแแแแแ แ แแแแแแแแ แแ แแ แแ แแแแแแ,
7ยท(x+3) = 8ยท(x-2)
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 53 03.07.2012 13:05:51
54
5
57 . แจแแแแแจแแแ, แ แแ แแแแชแแแแจแ แแแซแ แแแ แฌแแ แขแแแ (แฉแแแแก แจแแแแฎแแแแแจแ แแแแแแ แ) แฉแแฃแแแแก แจแแแฎแแแแ แ แแแแแ แแฃแแแแแ แแแซแ แแ แแแ แแแแฃแแ แกแแแ แซแแก แแแขแแ แแแแแก . แแแฆแฌแแ แแ แแแฎแแแแ .
แฉแแแแแก แแ แแชแแกแแก แแแกแแกแ แฃแแ
แแแแแแ แแก แแแแ แแแแแแแ แแแแซแแแแ C , แฎแแแ แจแแแฎแแแแ แ แแแขแแ แแแแแก แแแแ แแแแแแแ แแแแแแ, แ แแช แแแขแแ แแแแแก B แแแแแก แแแแ แแแแแแแ แแแแซแแแ B .
แ แแแแแ แแแขแแ แแแแแ แแกแ แฃแแแแก แแแแแขแแแแ แแแซแ แแแแแก, แแแฃ แแแกแ แงแแแแ แฌแแ แขแแแ แแ แแแแแ แแแแซแแแแแก แแแแแก .
แแ แแแแก แแแแ แแแแแแแแ แแแแซแแแ C +B =BC= แแแขแแ แแแแแก แกแแแ แซแแก .
แแแแแแ แแก แกแแฉแฅแแ แ 40แแ/แกแ
แแ แ 3 แฌแ = 33 600 แกแ= 00 แกแ
แแแขแแ แแแแแก แกแแแ แซแ 75แ = 000 แแ= 340 แแ
แแแฅแแแ, แจแแแฎแแแแ แ แแแขแแ แแแแแก แกแแฉแฅแแ แแ x แแ/แกแ, แแฌแแ แ แแแแขแแแแแแก:
00 ยท x + 00 ยท40 = 340 ; x = 50แแ/แกแ
59 . แ แแชแ แแ แแฅแแแแแแก แแแ แแแแ แแแแแแแก 1 แแ แฃแแก, แแ แแ แแจแ แแ แแฅแแแแแแก แแแแ แแแแแแแแ แแแแซแแแ แฃแแ แแก แแแ แแแแก แฌแ แแฌแแ แแก แกแแแ แซแแก, แแแแขแแ แแ แ แแ แแแแแ แแแแซแแแแ แแแแแแแแแแแแแกแแก แแแ แแแแก แฌแ แแฌแแ แแก แกแแแ แซแ แแ แแ แฃแแแ แ แแแแแแแแ แฃแแฃแแ แแแแ แชแแฃแแ แกแแแแแแแแแ . แแแฅแแแ, แแแ แแแแก แฌแ แแฌแแ แแก แกแแแ แซแแ x แแ, แแแจแแ แฌแแแงแแแแ แแแ แแแแก แกแแแ แซแ แแฅแแแแ (x +32)แแ . แจแแแแแแแแแ แแกแแแ แชแฎแ แแแ:
แแแ แแแแก แฌแ แแฌ .แกแแแ แซแ แแ แฃแแแ แ แแชแฎแแ แแ แแฅแแแแแแก แแแแ แแแแแแแ แแแแซ แฌแแแงแแแแ x+32 240 240 ( x+32) แแแแแแแก x 560 560x
แแฌแแ แ แแแแขแแแแแแก: 240ยท( x+32) = 560x
แฉแแแแแก แแ แแชแแกแแก แแแกแแฌแงแแกแ A แแแแแแ แ, BC แแแขแแ แแแแแ
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 54 03.07.2012 13:05:51
55
55
62 . I แฎแแ แฎแ:
แ แแแแแ แแ แแกแ แแ แแแแแ แแ แแจแ I แแแญแแแแก 6 แแแแ แแก,แฎแแแ II- 5 แแแแ แแก . แแแแขแแ แแแแ แกแแแฃแจแแแก แจแแกแ แฃแแแแแก แกแแฉแฅแแ แแแแแก (1แกแ-แจแ แจแแกแ แฃแแแแฃแแ แกแแแฃแจแแ) แจแแคแแ แแแแ I : II=6 : 5
แ .แ . I 1แกแ-แจแ แแแญแแแแก 6x แแ . II- 5x แแ .
I 72 แแแแ แแก แแแแแญแแแแก 6๐ฅ๐ฅ แกแ; II - ๐ฅ๐ฅ แกแ;
แแแแชแแแแก แแแ แแแแก แแแฎแแแแแ, แแฌแแ แ แแแแขแแแแแแก: ๐ฅ๐ฅ - 6๐ฅ๐ฅ = 1,5
63 . แ แแชแ แกแฎแแฃแแแแ แแแซแ แแแแแ แฌแ แแฌแแ แแ แแ แแแแแแแแก แจแแกแแฎแแแแ แแ, I แจแแฎแแแแ แแแแ แแ แแแ แกแฎแแฃแแแก แแ แแแ แแแแแแแ แแแแซแแแ แฃแแ แแก แฌแ แแฌแแ แแก แกแแแ แซแแก .
แฎแแแ แ แแชแ แกแฎแแฃแแแแ แแแซแ แแแแแ แแ แแ แแ แแแแแ แแแแแ แแฃแแแแแ, I แจแแฎแแแแ แแแแ แแแแ แกแแฉแฅแแ แแก แแฅแแแ แกแฎแแฃแแ แจแแแแฌแแ แก1 แแ แฃแแแ แแแขแก, แแแฃ แแแแแแแก แฌแ แแฌแแ แแก แกแแแ แซแแ แแแข แแแแซแแแก .
แแแฅแแแ, แกแฌแ แแคแแ แแแซแ แแแ แกแฎแแฃแแแก แกแแฉแฅแแ แแ x แ/แฌแ, แฎแแแ แแแแแแแ แกแแฉแฅแแ แแ แแแซแ แแแ แกแฎแแฃแแแก y แ/แฌแ . แแแแแ แแฅแแฃแแแแแ แแแแแแแแแแ แ, แแฌแแ แ แแแแขแแแแแแแ แกแแกแขแแแแก:
20x-20y=100
4x+4y=100
65 . I แฎแแ แฎแ: แแแฅแแแ, I แแแแ แแแแก แแแแกแแแก x แกแ-แจแ, แแแจแแ 1แกแ-แจแ แแแแกแแแก ๐ฅ๐ฅ แแแฌแแแก .
แฎแแแ II แแแแก แแแกแแแก y แกแ-แจแ, 1แกแ-แจแ แแแแกแแแก แแแฌแแแก .
แแแแชแแแแก แแแ แแแแก แแแฎแแแแแ, แจแแแแแแแแแ แแแแขแแแแแแแ แกแแกแขแแแ:
6 ๐ฅ๐ฅ +6 =1
3 ๐ฅ๐ฅ +2 = 4000
69 . แแ แแแแชแแแแจแ แแแฎแแ แฎแแแฃแแแ แแแกแแ แแแแแแ แ แแฃแแ แแ แแชแแแขแแก แคแแ แแฃแแแ .
แแแแแแแ, แแฃ แกแแฌแงแแกแ แแแแฎแแ x แ, แงแแแแแฌแแแฃแ แ แแ แแแก (แแแแแแก) % แแ แแก P%, แแแจแแ n แฌแแแก
แจแแแแแ แแแคแแฅแกแแ แแแฃแแ แแแแฎแ แจแแกแแแแแแกแแ แแฅแแแแ b= )n แแ b= )n .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 55 03.07.2012 13:05:52
56
5
แฉแแแแก แแแแชแแแแจแ แฅแกแแแแแแก แกแแฌแงแแกแ แคแแกแ a=100แ . แงแแแแแฌแแแฃแ แ แแแแแแก แแ แแชแแแขแ P% n=2 แฌแแแก แจแแแแแ แแแคแแฅแกแแ แแแฃแแ แแแแฎแ b=81แ .
แจแแแแแแ แแแแขแแแแแ:
81 = 100 )2;
9=10 )
73 . แแแฅแแแ, I-แแ แแแแแแแกแฎแแก xแ แกแแแ แขแ . แฌแงแแแ แจแแแกแแแแก แจแแแแแ, แญแฃแ แญแแแจแ แกแฃแ แแ แแก
45แ, แกแแแ แขแ แแ (45- x)แ, แ .แ . 1แ แแแ แแแ แจแแแชแแแก 4 ๐ฅ๐ฅ4 แ แกแแแ แขแก .
แแแแ แแ แแแแแแแกแฎแแก xแ แแแ แแแ . แแแแแกแฎแแฃแ แแแ แแแจแ แกแแแ แขแแก แ แแแแแแแแ แแฅแแแแ ๐ฅ๐ฅ 4 ๐ฅ๐ฅ4 แ
แกแแแแแแแ แแแ แฉแแแแแ แกแแแ แขแแก แ แแแแแแแแ แแ แแก (45-x) -๐ฅ๐ฅ 4 ๐ฅ๐ฅ4 = 5
75 .
M
A
A1
B1 B
แแแฅแแแ, B แกแฎแแฃแแแก แกแแฉแฅแแ แแ x แ/แฌแ, แแแจแแ A แกแฎแแฃแแแก แกแแฉแฅแแ แ แแฅแแแแ 2x แ/แฌแ
A แกแฎแแฃแแแก แแแแ แแแแแแแแ แแแแซแแแ AA1=10 2x = 20x แ MA1=(270-20x)แ
B แกแฎแแฃแแแก แแแแ แแแแแแแ แแแแซแแแ BB1=10x แ MB1=125-10x
แแแ แแแฃแแฎแ A1B1M-แแแ แแแแแแแ แแก แแแแ แแแแ แแแแแฆแแแ แแแแขแแแแแแก:
(270-20x)2 + (125-10x)2 = 1302
76 . แแแฅแแแ, แแแแแกแแจแแแ แแแแกแจแ x แแแกแฌแแแแแ . แแแแแแฃแแ แแแกแฌแแแแ แแแชแแแแกแแแแก 1-แฏแแ
แฃแแแแจแแ แแแแ (x-1) แแแแฌแแแแแก . แแแแขแแ แงแแแแ แแแแแแจแแ แแแแแ แ แแแแแแแแ แแ แแก ๐ฅ๐ฅ ๐ฅ๐ฅ ;
แแแแแแฃแ แแแชแแแแจแ แคแแฅแกแแ แแแแ 2 แคแแขแแกแฃแ แแแ, แแแแขแแ แคแแขแแกแฃแ แแแแแแก แ แแแแแแแแ
2 ๐ฅ๐ฅ ๐ฅ๐ฅ = 1560
แกแแฌแงแแก แแแแแแแ แแแแแจแ แกแฎแแฃแแแแ แแแงแแคแแแแแ A แแ B แฌแแ แขแแแแแจแ, แกแแแแแแแ A1 แแ B1-แจแ .
แกแแฌแงแแกแ MA=270แ; MB=125แ แกแแแแแแ MA1 แแ MB1 A1B1=130
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 56 03.07.2012 13:05:52
57
5
78 . แจแแแแแแแแแ แแแฎแแแ:
A C B
8xkm
II9ykm
แแแแแแ แแฆแแฌแแ แแ แกแฎแแฃแแแก แแแซแ แแแแ แจแแฎแแแแ แแแแ แแ แจแแฎแแแแ แแก แจแแแแแ .
แจแแฎแแแแ แแแแ I -แแ แแแแแ แ AC แแ
II-แ BC แแ
BC=AC+12
I-แแก แแ แ < 6แกแ-แแ II-แแก แแ แแแ
แจแแฎแแแแ แแก แจแแแแแ I -แแ แแแแแ แ BC แแ 8 แกแ-แจแ
II-แ AC แแ 9แกแ-แจแ
แแแแแแฎแแแแ แแแแชแแแแก แแแแฎแกแแแก 2 แแแ: I) แแ แ แฃแชแแแแแก แจแแแแขแแแแ; II) แแ แแ แฃแชแแแแแก แจแแแแขแแแแ II) แแแฅแแแ, I แขแฃแ แแกแขแแก แกแแฉแฅแแ แแ xแแ/แกแ, II-แแก แแ yแแ/แกแ;
แแแกแแ แแแแแแ แแแแชแแแแก แแแแแ แฉแแแแฌแแ แแ แจแแฎแแแแ แแก แจแแแแแ . I-แแก แแแแแแแ แแแแซแแแ BC=8แแ; II-แแก AC=9y แแ; แ แแแแแ BC=AC+12
แแฌแแ แ แกแแกแขแแแแก I แแแแขแแแแแแก 8x=9y +12, แแฎแแ แแแกแแ แแแแแแ แแแแแ แฉแแแแฌแแ แแ
แจแแฎแแแแ แแแแ . I -แแก แแ แ AC-แแ แแ แแก ๐ฅ๐ฅ II-แแก BC-แแ ๐ฅ๐ฅ
แแแ แแแแก แแแฎแแแแแ แแฌแแ แ แกแแกแขแแแแก II แแแแขแแแแแแก ๐ฅ๐ฅ = ๐ฅ๐ฅ โ 6;
แฉแแแฌแแ แแ แกแแกแขแแแ = -
8 x = 9 y+129y 8x 6x y
II แฎแแ แฎแ: แแแฅแแแ, แจแแฎแแแแ แแก แจแแแแแ I -แแก แแแแแแแ แแแแซแแแ BC=x, แ แแแแแ แแก แแแแซแแแ
แแแแแ แ 8 แกแ-แจแ, I -แแก แกแแฉแฅแแ แ แแฅแแแแ ๐ฅ๐ฅ ;
II-แ แจแแฎแแแแ แแก แจแแแแแ แแแแแ แ AC=(x-12)แแ 9แกแ-แจแ, II-แก แกแแฉแฅแแ แ ๐ฅ๐ฅ แแ/แกแ .
แจแแแซแแแแ แแ แแแ แกแแฉแฅแแ แแก แแแแแกแแฎแแ แแ แแ แฃแชแแแแแ, แ แแก แจแแแแแแแช, แแแแชแแแแก แแแ แแแแก แแแแแแแแกแฌแแแแแแ, แแแแแแแ แจแแแแแแแแ แแ แฃแชแแแแแแ แแแแขแแแแแแก .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 57 03.07.2012 13:05:53
58
5
79 . แแฃ แแแแแกแแแแแ แขแแแ แแแก แกแแแแแ แฃแชแแแแแแ, แแแจแแ แแแแฅแแแแแแก แ แแแแแแแแ แแ แแแแแแแแแกแแแแก แกแแญแแ แ แแ แ แฃแแฃแแ แแแแ แชแแฃแแ แกแแแแแแแแแ . แแแฃ แแ แแ แ แกแแแแแแก แแแแ แแแแ แแฃแแแแแ แกแแแแแแ . แจแแแแแแแแแ แแกแแแ แฉแแแแฌแแ แ:
แแแแฅแแแแแแก แ แแแแแแแแ แแ แ
แ แแช แแงแ แแแแกแแแฆแแ แฃแแ x y
I แจแแแฎแแแแแ x-2 y+2 II แจแแแแฎแแแแ x+4 -2
แแแแแแฅแแฃแแแแแ แแแแแแแแแแ แ, แแฌแแ แ แกแแกแขแแแแก:
xy=(x-2)(y+2)
xy=(x+4)(y-2)
89 . แฌแแ แแแแแแแแแแ แแแฎแแแแ แแแแชแแแแจแ แแแชแแแฃแแ แแแ แแแ:
A C BC12
แแฆแแแแจแแแ AB=x แแ แแก แกแแฉแฅแแ แ
แแก แกแแฉแฅแแ แ แแแจแแ I แจแแฎแแแแ แแแแ I-แแ แแแแแ แ (x-20)แแ, II-แ - 20แแ
II แจแแฎแแแแ แแแแ I-แแ แแแแแ แ (2x-10)แแ, II-แ (x+10)แแ แ แแแแแ แจแแฎแแแแ แแแแ แแ แแแแแ แแ แแก แฎแแ แฏแแแแ, แแแแขแแ แแแแซแแแแแแก แจแแคแแ แแแแ แฃแแ แแก
แกแแฉแฅแแ แแแแแก แจแแคแแ แแแแแก = ) => = = k
แฉแแแแก แจแแแแฎแแแแแจแ: 0๐ฅ๐ฅ 0 = ๐ฅ๐ฅ 0๐ฅ๐ฅ 0 = k
I แแแญแแ แจแ แแแ แชแฎแแแก แแ แแชแแแขแฃแแ แจแแแชแแแแแแ แแ แแก ๐ฅ๐ฅ ยท100% = 0 ยท100% = 25%
C1 โ แแ แแก I แจแแฎแแแแ แแก แฌแแ แขแแแ
C2- II แจแแฎแแแแ แแก แฌแแ แขแแแ;
BC1=20, AC2=10
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 58 03.07.2012 13:05:53
59
ยง11 . แฃแขแแแแแแแ
5 . yx x
x
6
42
2
=- -
- แคแฃแแฅแชแแแก แแแ แ แแฅแแก, แ แแชแ x x
x
6
402
2
$- -
- ,
0x x
x
6
42
2
#- -
-
( )( )
( )( )0
x x
x x
3 2
2 2#
- +
- +, โ x
x
x32
0
2!
#--
-* xโ[2;3)
6 . แ) x
x x3 1
87
-+ - แแแแแกแแฎแฃแแแแแก แแแ แ แแ แแฅแแก แแแจแแ, แ แแชแ 3x-1โค0 แแ 7โx<0 .
xโ(โโ;31 ] (7;+ โ).
7 . แ) (2 ) (2 )
2 0, 5
x
x
5 5 13 5
5 13radgan amitom
<
< >
$ - - -
- -
^ h
แฃแแชแแ แแกแ แแแแแ แแแแแแฎแกแแแ x=2 .
10 . x2=a+7 แแ x2=3โ2a แ) แแ แแแแก แแฅแแก แคแแกแแแแ, แ แแชแ a
a
7 0
3 2 0
$
$
+
-) .
แ) แแแ แแแแก แแฅแแก แคแแกแแ แแ แแแแ แแก แแ แ, แ แแชแ a
a
7 0
3 2 0<
$+
-) .
แ)แแ แชแแ แแก แแ แ แแฅแแก แคแแกแแ, แ แแชแ a
a
7 0
3 2 0
<
<
+
-) .
12 . ( 0 0)x y
ax yx y
58
51
52
51
da> >- =
+ =
Z
[
\
]]
]
5 8 1
20 8 4
( )
5 8 1
x y
ax y
x a
x y
4 1 1+
- =
+ =
+ =
- =o o) )
แแฃ 4a+1=0, แกแแกแขแแแแก แแแแแแฎแกแแ แแ แแฅแแก;
แแฃ aโ โ0,25, แแแแแฆแแแ ( )
xa
ya
a4 1
1
2 4 11
=+
=+
-
Z
[
\
]]
] แแ แ แแแแแ x>0 แแ y>0, แแแแแฎแกแแแ แฃแขแแแแแแแ
แกแแกแขแแแ: ( )
a
aa
4 11
0
2 4 11
0
>
>
+
+-
Z
[
\
]]
], aโ(โ0,25;1) .
13 . แ) (a+5)ยทxโฅ0 1) แแฃ a+5>0, แแแจแแ xโฅ0, 2) แแฃ a+5<0, แแแจแแ xโค0, 2) แแฃ a+5=0, แแแจแแ xโR.
โ2 2 3
+โ+
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 59 03.07.2012 13:05:54
60
16. x
x a
13
>
#) แกแแกแขแแแแก แ แแ แฐแฅแแแแแก แแแแแแฎแกแแ, แฃแแแ แจแแกแ แฃแแแแก แแแ แแแ aโฅ13 . แแฃ a=13, แแแจแแ x=13; แแฃ a>13, แแแจแแ xโ(a;13]; 18 แแแแแ แ แแชแฎแแ แแแแฅแแแแ, แ แแชแ a=โ4 .
17 . แ) (5xโ1)2 โค 7
x x5 1 75
1 7
5
1 7+# # #-
- + .
18 . ( 1)axa
a a x axa
xa
10 0 1 0
1 1Tu> > > > < <
2 2 2
+ + +- - -` ^ `j h j .
19 . 5 4 0 ( ;1) (4; )x x
x b
x
x b
>
> >
2
+,3 3!- + - +o o) )
b-แก แแแฎแแแแแ แแแแแแฎแแแแ แจแแแแฎแแแแแแ1) b>4 xโ(b;+โ)2) b=4 xโ(4;+โ)3) b<1 xโ(b;1) (4;+โ) .
20 . ( )( )
( )( )( )
x x
x x x
2 5 7
3 5 80<2
2
- -
- - -
xโ(โโ;1,4) (1,4;2) (3;5).
22 . x x
x x a
1
32<2
2
+ +
+ +
แ แแแแแ x2+x+1>0
x x
x x a
1
32<2
2
+ +
+ + โ x2+3x+a<2x2+2x+2 โ x2โx+(2โa)>0 .
แแก แฃแขแแแแแ แ แแ แจแแกแ แฃแแแแก, x-แแก แงแแแแ แแแแจแแแแแแแแกแแแแแก, แแแ แแ แแ แแแกแ D=0 , แ .แ . 1โ4(2โa)=0 a=1,75 .
23 . x2โ2(aโ1)x+(a+5)=0
แ) แคแแกแแแแ แแแแแแแแ, แแฃ 0
0
0
( ) ( )
( )
D
x x
x x
a a
a
a
2 1 4 5 0
2 1 0
5 0
>
>
>
>
1 2
1 2
2
+
$ $
+
- - +
-
+
pZ
[
\
]]
]* .
แ) x1>0 แแ x2<0 . แแฅ แกแแแแแ แแกแแ แแฎแแแแ แแ แแ แแแ แแแแก แแแฌแแ แ: x1x2<0 (D>0 แแแขแแแแขแฃแ แแ แกแ แฃแแแแแ) .
1,4 2 5 83
+++โ โ โ
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 60 03.07.2012 13:05:55
61
24 . แ) 31 0
1 91 9x
x
xx x1 10>
>> >+ + +
$-
-
--o) ;
แ) ;x x x5 3 5 5 3 0 132
> + + 3$ !- - - +` j;
แ) 23 0
3 4( ; ]x
x
xx3 1 3<
<+ +
$!-
-
--o) ;
แ) x2 5 0<+ xโโ ;
แ) 0x3 12 #- x=4.
40 . แ) x2โ7x+a<0 x0=3,5 แแก แแแแแแฎแกแแแแแ: โ1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 .
( )
( )
[ 18; 8)
f
f
a
a
a
aa
2 0
1 0
4 14 0
1 7 0
18
8
< <
<
+ +
+
$ $
$!
-
-
+ +
+ +
-
-- -
o o) ))
แ) xโโ ,แ แแแแแ แแแแแแฎแกแแแแ แจแฃแแแแแแก แกแแแแขแ แแแก แชแแแขแ แแ x=1โZ.
41.Vแ=x Vแแ=y แแแขแแ แแก แแแซแ แแแแแก แแ แแ:
x yS
x yS
x y
xS
22 2+
+-
=-
แแแแ . ( ) ( )
0x y
xSxS
x x y
x x yS
x x y
y2 2 2 2 2 2>2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
-- =
-
- +=
-
แ .แ . แแแขแแชแแแแแกแขแแ แฃแคแ แ แกแฌแ แแคแแ แแแแแ แ .
43 . ; 2tS S S S24 16 48
5485
3# #= + = ,
S596
5144
# # แแแแแแฃแ 19,2 แแ แแ แแแฅแกแแแฃแ 28,8 แแ .
โ1 8
โ2 93,5
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 61 03.07.2012 13:05:56
62
ยง12 . แฌแ แคแแแ แแแแ แแแ แแแแแแก แแแแชแแแ
1 . y x
y x
x N
y N
10
2
<
$
!
!
- +Z
[
\
]]
]]
แฃแแแแแก (แฃแแชแแ แแก) แแแแจแแแแแแแแก
4xโ3y+2 แแแแแกแแฎแฃแแแแ แแแแฆแแแก
O(0;0); A(0;10) แแ ;B310
320` j แฌแแ แขแแแแ .
10
2;
y x
y x 310
320
+=- +
=`o j) .
แแฃ x=y=0, แแแจแแ 4xโ3y+2=2;
แแฃ x=0, y=10 แแแจแแ 4xโ3y+2=โ28;
แแฃ x= ,x y310
320
= = , แแแจแแ 4xโ3y+2=314
- .
แฃแแชแแ แแก แแแแจแแแแแแแแก แแฆแฌแแแก, แแฃ x=0 แแ y=10, แแ แแก แแแกแแแแแแแแ โ28, แฃแแแแแกแก แแ, แแฃ x=0 แแ y=0, แแ แแก แแแกแแแแแแแแ 2 .
3 . แแแฅแแแ A-แแแ N1 แแแแแแแแ แแแแแแแแแแก x แข, N2-แแ แแ โ y แข . แแแแแฆแแแ แแกแแ แชแฎแ แแแก:
A BN1 x 200โxN2 y 280โyN3 320โ(x+y) 380 โ (200 โ x + 280 โ y) = x + y โ 100
แแแแแแแแแแก แแแแแแแ แฆแแ แแแฃแแแแ M-แแ แแฆแแแแจแแแ:
M=2x+4y+6(320โxโy)+4(200โx)+5(280โy)+3(x+yโ100) .
M=โ5xโ4y+3820 .
แแแแกแแแ แฃแแแ แจแแกแ แฃแแแแก:200 0
280 0
320 0
100 0
0
0
100
x
y
x y
x y
x
y
x
y
y x
y x
x
y
200
280
320
0
0
+
$
$
$
$
$
$
#
#
#
$
$
$
-
-
- -
+ -
- +
+
Z
[
\
]]]]
]]]
Z
[
\
]]]]
]]]
M แฃแแชแแ แแกแก แแแแจแแแแแแแแก แ แแแแแแแ แฌแแแ แแแ แแแแฆแแแก, แแกแแแแ (200;120) . แแฅแแแแ แแแแแฎแแ แฏแแแ แแฅแแแแ 3820โ(1000+480)=2340 .
0 10
10
B
a
y= โx+10
100 320200
100
280y=280
y=โx+320
y=โx+100
(200;120)
(40;280)
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 62 03.07.2012 13:05:57
63
5
แแแ แ แแแแแ
15 (แ) an=12-0,2n
12-0,2n>7
0,2n<5
n<25
แ .แ . แแแชแแแฃแ แแแ แแแแก แแแแแงแแคแแแแแก แแแแแแแ แแแแก แแแ แแแแ 24 แฌแแแ แ
a1; a2; .a24 แฃแแแ แแแแแแแ S24
S24= 24 a1=12-0,2ยท1 a24=12-0,2ยท24
16(8) 12; 18; 156 แกแแแแแแแแ, แแ แแแแแขแแแฃแแ แแ แแแ แแกแแ แแฃ >0 แแ แแแแแ, แแฃ <0 แแแแแแแแ .
12 18 156 แแแฅแแแ, ak=12 ak+t=18 ak+m=156 k; ; m N, m> >0
แชแแแแแแแ แคแแ แแฃแแ = , แแแแขแแ = = , =6 = 44 =24 m=24
แ .แ . 12 18 156 แจแแแซแแแแ แแงแแก แแ แแ แแ แแแแแ แแ แแแแแขแแแฃแแ แแ แแแ แแกแแแก แฌแแแ แแแ, แแแแแแแ 12=ak 18=ak+t 156=ak+24t แแฃ แแแแฆแแแ แแ แ-แแ แ แแแ แซแ แจแแแแฎแแแแแก, k=1, =1; 12=a1 18=a2 156=a25 =6 19 . แแแแแแแแแก แจแแฃแแฆแฃแแแแแ, แจแแแซแแแแ แแแแฃแจแแแ b>a>c .
แแฃแชแแแแแแแแ: แแแฉแแแแแ, แ แแ แแฃ b, a แแ c แแ แแแ แแ แแแ แแกแแแก แฌแแแ แแแ, แแแจแแ แแแฅแแแ, b=ak a=ak+t c=ak+m แแ-16 แแแแชแแแแก แแแฎแแแแแ แแฌแแ แ
= = = = - แ .แ .แ .
แกแแแแแ แแกแแแ: แแฃ แกแ แฃแแแแแ แแแ แแแ , แแแจแแ แแแฉแแแแแ, แ แแ b; a; แแ c แแฅแแแแแแ
แแ แแแแแขแแแฃแแ แแ แแแ แแกแแแก แฌแแแ แแแ (แแ แ แแฃแชแแแแแแแ แแแแแแแแ)
แ แแแแแ , แแแแขแแ แจแแแแแซแแแ แแแแฌแแ แแ, แ แแ = (แแแแแแแแแก แจแแฃแแฆแฃแแแแแ
แจแแแแแซแแแ แแแแฃแแแกแฎแแแ, แ แแ 0m
) . - -=a b b c
m . แ .แ .แ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 63 03.07.2012 13:05:57
64
22 . แฌแแ แแแแแแแแแแ แแแฎแแแแ:
CA B
I II
A แฌแแ แขแแแแก แแแแก I แแแแ แฌแแ แขแแแ แแแแก II แแแแ C แจแแฎแแแแ แแก แแแแแแ แแแฅแแแ, แกแแขแแแแแ แแแแฅแแแแแ แจแแฎแแแแแแแ x แฌแ-แจแ . I แแแแฅแแแ แแแซแ แแแแก แแฃแแแแแ 5แ/แฌแ แกแแฉแฅแแ แแ . แแแแแแแ แแแแซแแแ 5x แ, AC=5x II แแแแแแฃแ แฌแฃแแจแ แแแแแแแ แแแแซแแแแแ แแแแแแแ แแ แแแแแขแแแฃแ แแ แแแ แแกแแแก a1=1,5 =0,5 n=x
II แแแแฅแแแแก แจแแฎแแแแ แแแแ แแแแแแแ แแแแซแแแ BC=Sx=0 x
แ แแแแแ แแแชแแ AC+BC=AB=90 แฉแแแฌแแ แ แแแแขแแแแแแก 23 .
A
B
D
C
O
a
a
a
aa
a
a
1
21-
2
4
3
2
แ .แ . ACD แขแแแคแแ แแแ CD แคแฃแซแแ, แแแแขแแ AD=AC=1
24 . (1+x+x2)+(2+5x+x2)+ +(10+37x+x2)=255 แแแแแแฌแแ แแ แแกแ (1+x)+(2+5x)+ +(10+37x)+10x2=255 แฃแแแ แจแแแแแฉแแแแ, แ แแ (1+x) (2+5x) (10+37x) แฅแแแแแ แแ แแแแแขแแแฃแ แแ แแแ แแกแแแก I แฌแแแ แแ a1=(1+x) =(2+5x)-(1+x)=4x+1 (แแแ แแแแช แ แแ แแแแแแแแแแแ a10=a1+9 แแแแแฆแแแ a10=x+1+9(4x+1)=10+37x) .
S10= ยท10= 0 3
ยท10=5(38x+11) แแแชแแแฃแแ แแแแขแแแแแ แแแแแแฌแแ แแแ แแกแ
5(38x+1)+10x2=255 35 . แแแแแแแ แแแ แ แแ แแงแแก แแแแแแขแ แแฃแแ แแ แแแ แแกแแ, แแฃแชแแแแแแแ แแ แกแแแแแ แแกแแ แ แแ แแแแแแแ แจแแกแ แฃแแแแก 1) bn2=bn-1ยทbn+1
แแ 2) แจแแคแแ แแแแ แแงแแก แแฃแแแแแ แกแแแแแ n-แแกแแแ แแแแแฃแแแแแแแแ แงแแแแ n N, n>1
แแแช: Sn=3ยท2nโ3
xn=Sn-Sn-1=(3ยท2n-3)-(3ยท2n-1-3)=3 2n-2 xnโ1= S n-1-Sn-2=3ยท2n-2 = 33 =2 แ .แ . (xn)
แแแแแแแ แแแ แแ แแก แแแแแแขแ แแฃแแ แแ แแแ แแกแแ แแแแจแแแแแแ q=2
36 . 34
แแแฅแแแ, แแแแแแขแ แแฃแแ แแ แแแ แแกแแแก แแแแจแแแแแแ q . แกแแกแขแแแ แแแแแแฌแแ แแแ
1 1 แกแแแแฃแแฎแแแแก แแแ แ แแฃแแฎแแ, แแแแขแแ 1 แแ แแแแแขแแแฃแแ แแ แแแ แแกแแแก แแแแกแแแแ a1+a4=a2+a3 => a1-a2+a4=a3 a1-a2+a4= <ADC a3= <ACD
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 64 03.07.2012 13:05:58
65
5
แแกแ 3 แฃแแแ แแแแแแแ S10=
แแแแงแแ แกแแกแขแแแแก II แแแแขแแแแแ I-แแ,
แแแแแฆแแแ; 3
41 . แฌแแ แแแแแแแแแแ แแแฎแแแ
A
O3o2
O1
KM
r
rr1
2
3
แ .แ . r1; r2; r3; .rn แแแแแแแ แแแแแแขแ แแฃแ แแ แแแ แแกแแแก แแแแจแแแแแแ =q=3, I แฌแแแ แ r1=R
r1 =r1ยทq9=39ยทR rn=r1ยทqn-1=3n-1ยทR 42 . แ แแแแแ x, y แแ z แฅแแแแแ แแ แแแแแขแแแฃแ แแ แแแ แแกแแแก, แกแ แฃแแแแแ แขแแแแแแแ: ๐ฅ๐ฅ
=> ๐ฅ๐ฅ = xz => (x-z)2=0 x=z ๐ฅ๐ฅ=q2=1 q=1 แแ q=-1
แแแแ แแ q=-1 แแ แจแแแซแแแแ, แ แแแแแ แ แแชแ q<0 x, y, z แฌแแแ แแแ แแฅแแแแแแ แแแจแแแแแแแชแแแ . แแแฅแแแ, แแฃ I แฌแแแ แ แแแแแแแแแ, II แแฅแแแแ แฃแแ แงแแคแแแ, III แแกแแ แแแแแแแแ แแ แ .แจ . แ แแช แจแแฃแซแแแแแแแ, แแแแขแแ แ แแ x, y แแ z แแ แแแแแขแแแฃแ แแ แแแ แแกแแแกแแช แแแแแแแ . แแ แแแแแขแแแฃแแ แแ แแแ แแกแแ แแ แแ แแ แแแแแ,แ แแชแ >0 แแ แแแแแแแ, แ แแชแ <0 แ .แ . q=1 x=y=z=a แกแแแแช a แแแแแกแแแแ แ แแแแแแแแ แ แแชแฎแแแ a R . 44 . I แฎแ แฎแ แแแฅแแแ, แแก แกแแแ แ แแชแฎแแแ a1 a2 a3
a1+ a2 + a3 =15 แแแแ แแ a1+ a3=2a2 3a2 =15 a2 =5 แแแฆแแแจแแแ แแ แแแแแขแแแฃแแ แแ แแแ แแกแแแก แแแแจแแแแแ -แแ . a1=5- a3=5+ แแแแชแแแแก แแแ แแแแก แแแฎแแแแแ, (5- +1)=6- (5+1)=6 (5+ +9)=14+ แแแแแแแ แแแแแแขแ แแฃแ แแ แแแ แแแกแแแก . แแแแแแขแ แแฃแแ แแ แแแ แแกแแแก แซแแ แแแแแ แแแแกแแแแแแ 62=(6- )(14+ ) 45 . แแแฅแแแ, แแแชแแแฃแแแ แ แแชแฎแแแแ a, b, c, . a b c แแแแแแก แแแแแแขแ แแฃแ แแ แแแ แแกแแแก, แแแแจแแแแแ แแฆแแแแจแแแ q-แแ . b=aq c=aq2
b; c; ; แแแแแแก แแ แแแแแขแแแฃแ แแ แแแ แแกแแแก 2c=b+ =2c-b=2aq2-aq แ .แ . แแก แแแฎแ แ แแชแฎแแแ a; aq; aq2; (2aq2-aq)
<A=60 <O1A =30 แแแ แแแฃแแฎแ AO1 -แแแ AO1=2r1, AO2M-แแแ AO2=2r2 AO2-AO1=O1O2 2r2-2r1=r1+r2 r2=3r1 แแฃแกแขแแ แแกแแแ, r3=2r2 แแ แ .แจ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 65 03.07.2012 13:05:58
66
แแแ แแแแก แแแแแฎแแแ แฉแแแฌแแ แแ แแแแขแแแแแแแ แกแแกแขแแแ
แแแแงแแ แกแแกแขแแแแก แแแแขแแแแแแแ แแ แแแแแแแแ . 46 . (แแแแแแแ) แแฃ แแแแแแแ แแแ แแแชแแแฃแแแ แคแแ แแฃแแแ an=kn+b, แกแแแแช b แแ k แแแแแกแแแแ แ แ แแชแฎแแแแแ, แแแจแแ แแก แแแแแแแ แแแ แแ แแก แแ แแแแแขแแแฃแแ
แแ แแแ แแกแแ =k an= = n+
แ .แ . แแก แแแแแแแ แแแ แแ แแก แแ แแแแแขแแแฃแแ แแ แแแ แแกแแ =
a1=1 a70=3 s70= ยท70
47 . 22-42+62-82+ . .+(4k-2)2-(4k)2
แแแแแแ แจแแกแแแฉแแแแแ, แ แแ แแแแแแแ แแแแจแ แกแฃแ แแ แแก 2k แฌแแแ แ . แแแแแฏแแฃแคแแ แแกแ: (22-42)+(62-82)+(102-122)+ .+ (4k-2)2-(4k)2 ยท ยท1 ยท 1 แคแ แฉแฎแแแแแจแ แกแฃแ แแ แแก k แฌแแแ แ, แ แแแแแแแช แแแแแแแ แแ แแแแแขแแแฃแ แแ แแแ แแกแแแก a1=6 =8 แฌแแแ แแ แ แแแแแแแแ n=k
Sn=6+14+22+ .,= Sn = Sk = ยท k= ยท k=2k(2k+1)
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 66 03.07.2012 13:05:58
67
แ แ
แกแ แแกแ แแแแ แ แ แชแแแแแแ
4 3 62โ = แแแกแฃแฎแ: 6
แแแกแฃแฎแ: 6
แแแกแฃแฎแ: แ) 8แกแ, แ) 16แกแ .
แแแกแฃแฎแ: แ) 7a8 ; แ) 5a
8 . แ
แ) AM1=M1 ; M2=M2B
M1M2= 4x = 2m3
แ) AB=m=10x => 2x= m5
M1 แแ M2 แแแแฃแ แ แแแแแแแแแแแแก แจแฃแแฌแแ แขแแแแแแ, แแแจแแ
M1M2=10x-2x=8x= 4m5
AB=m
A = = B=2x
6x=m => 2x= m3
แแฃ , แแ M แฌแแ แขแแแแแก แจแแ แแกแแ, M=10-6=4(แกแ) แแฃ M แแแแแแแแแก, M=10+6=16(แกแ)
แแแกแฃแฎแ: 4แกแ; 16แกแ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 67 03.07.2012 13:05:59
68
แแแแแแฎแแแแ แแ แ แจแแแแฎแแแแ: แ) NโBC; แ) Bโ NC แ)
x AN=NB y) =>
(BC=2y-2x MN=y-x) => BC=2MN แ)
AM=MB x AN=NC MN=y-x, แฎแแแ NB=2x-y => BC=y-(2x-y)=2y-2x=2MN, แ .แ .แแ . . <AOC=500-350=150 ; แแ
<AOC=350+500=850
A M1 C D E M2 B
=>
AB=36แกแ; AM1=M1C; CM3=M3D; DM4=M4E ; EM2=M2B
2x+2y+2z+2 =36 => x+y+z+ =18 (1)
x+2y+2z+ =30 (2)
แแฃ (2)-แก แแแแแแแแแแแ (1)-แก, แแแแแฆแแแ: y+z=12=M3M4
แแแกแฃแฎแ: 12แกแ
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 68 03.07.2012 13:05:59
69
แ) แ)
h h
1200 1200 k
? 1500
m k m
<(mk)=1500-1200=300 <(km)=3600-(1200+1500)=900
แ) แ)
x+300 x 3x 2x
1 5 1
15
5
1 5 1
แ) แ)
x+400 x0 5x 4x
2x+400=1800 9x=1800
2x=1400 x=200
x=700 4x=800; 5x=1000
x+400=1100
1
แแแกแฃแฎแ: 900
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 69 03.07.2012 13:05:59
70
. แแแกแฃแฎแ: 250; 1550
.
2
1 3
x
.
x0x 090 -x0 0
90-x00
BD A
C
.
2ยท(<1+<2+<3+<4+<5)=3600 =>
=> <1+<2+<3+<4+<5=1800
<ABD=2x+1800-2x=1800
แ .แ . B AD
1AB a CD aCD b AB b= โ โ == โ
แแแกแฃแฎแ 1a b=
<1+<2+<3=3x
แแแแขแแ 4x=3600
x=900
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 70 03.07.2012 13:05:59
71
1
แแแแแแแแฃแ แแ, แงแแแแ แฌแแ แขแแแ แแ แ แฌแ แคแแแแ .
แกแแ แ แแแ
4แกแ; 6แกแ; 5แกแ .
5 .
แแ แกแแแแฃแแแแแก แแแแ แแแแแ 10แกแ; 10แกแ แแ 8แกแ .
แ) x+8-3x=2 => 2x=6 => x=3(แกแ) แแ แกแแแแฃแแฎแแแแก แแแแ แแแแแ 6แกแ; 6แกแ แแ 8แกแ .
1
แกแ)
BM=MC x => AB=2x
แแแแฅแแก แแ แ แจแแแแฎแแแแ:
แ) PABM>PAMC
แ) PABM<PAMC
แจแแกแแแแแแกแแ, แแแแฅแแแแ แขแแแแแแแ:
แ) 3x-(x+8)=2 => 2x=10 => x=5(แกแ)
แแแฅแแแ, 3 แฌแแขแแแ แแ แ แฌแ แคแแแแ, แฎแแแ แแ-4 แแ แแแฃแแแแแก แแแก . แแแจแแ (1;4); (2;4); (3;4) แฌแแ แขแแแแ แฌแงแแแแแแแ แแแแแแแแ 3 แฌแ แคแ แแแแแขแแแแ แจแแแชแแแก แแฎแแ 3 แฌแแ แขแแแก . แแ แจแแแแฎแแแแแจแ แฌแแ แขแแแแ แ แแแแแแแแ แฃแแแ แแฆแแแแขแแแ 6-แก . แ .แ . แฌแแ แขแแแ 4-แแช แแแแแ แฌแ แคแแแแ, แ แแแแแแแช 1, 2 แแ 3 .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 71 03.07.2012 13:06:00
72
แแฆแแแฉแแแ, แ แแ D OBE แแ DOAE-แก แกแแแแแ แแแแ แแ แขแแแ แแฅแแ แแ แแแจแแกแแแแแ,
แกแแแแฃแแฎแแแแแแก แขแแแแแแก III แแแจแแแก แแแแแฎแแแ, แแกแแแ แขแแแแ, แกแแแแแแแช <BOE แแ <AOE แแฃแแแแแ แขแแแแ . แ . แ . แแ .
แแแแแแฎแแแแ DAM1M3 แแ DCM2M3 <A = <C, แ แแแแ แช แขแแแคแแ แแ ABC แกแแแแฃแแฎแแแแก แคแฃแซแแกแแแ แแแแแแ แ แแฃแแฎแแแแ .
AM1=CM2, แ แแแแ แช แขแแ AB แแ BC แคแแ แแแ แแแฎแแแ แแแ .แกแแแแฃแแฎแแแแแแก แขแแแแแแก I แแแจแแแก แแแแแฎแแแ, DAM1M3=DCM2M3 =>
M1M3=M2M3 , แแแฃ
DM1M2M3 แขแแแคแแ แแแ M1M2 แคแฃแซแแ .
DAOC=DBOD (D-แแแแก แขแแแแแแก I แแแจแแแก แแแแแฎแแแ) => AC=BD; <ACO=<BDO, แฎแแแ แ แแแแแ M แแ N แขแแแ AC แแ BD-แก แจแฃแแฌแแ แขแแแแแแ, MC=DN . แกแแแแฃแแฎแแแแก แขแแแแแแก I แแแจแแแก แแแแแฎแแแ, DMCO=D NOD => <MOC=<NOD แแ MO=NO . แ แแแแแ OC แแ OD แแแแแขแแแแแ แกแฎแแแแแแ แแ <MOC=<NOD => OM แแ ON-แแช แแแแแขแแแแแ แกแฎแแแแแแ, แแแแแช OM=ON แ .แ .แ .
แฎแแแ แ แแแแแ BC=AD, แแแแขแแ BO=DO แแ DABO =DCBO แกแแแแฃแแฎแแแแแแก แขแแแแแแก I แแแจแแแก แแแแแฎแแแ .
D D (แกแแแแฃแแฎแแแแแแก แขแแแแแแก I แแแจแแแก แแแแแฎแแแ) => <ODA = <OCB แแ <OAD = <OBC => <DBE = <CAE, (แ แแแแ แช แขแแ แแฃแแฎแแแ แแแกแแแฆแแ แ แแฃแแฎแแแแ) . แแกแแ แจแแแแฎแแแแแจแ DBDE =DACE แ .แ . BE=AE .
DBEC= DFED (แกแแแแฃแแฎแแแแแแก แขแแแแแแก I แแแจแแแก แแแแแฎแแแ) => <DFE= <CBE => AD BC, แ แแแแแ E || AD, แฎแแแ AD || BC => E || BC
22 .
<ADE แแแกแ แแแฎแแแแ แแ แแ แฃแแ แแก 660 . DAED-แก แแแกแแแ แแฃแแฎแ <AED=<EDF=660 .
แแแกแฃแฎแ: 480; 660; 660
แก แจแฃแแแแ แแแแแ, แแแแขแแ A = D, แแกแแแ AM=MD, แ .แ . < AD=< DA=<OAM=<ODM < AO แแ <OMD แแฃแแฎแแแแแก แขแแแแแ แแ แแฌแแแแก AB แแ MD-แก แแแ แแแแแฃแ แแแแก .
แ แแแแแ 780+1020=1800, แแแแขแแ
AE || DF => แจแแแแฏแแแ แแแแแแ แแแแแแ แ แแฃแแฎแแแแ <EAD=<AD =480
<ADF แแ แแก <AD -แแก แแแกแแแฆแแ แ, แแแแขแแ <ADF=1800-480=1320, แฎแแแ
b แฌแ แคแแก B แฌแแ แขแแแแ แแแแแแแแ a-แก แแแ แแแแแฃแ แ b1แฌแ แคแ . แแแ แแแแก แแแแแฎแแแ, แ แแแแแ แแก b-แก แแแแแแ แฌแ แคแแ, a-แช แฃแแแ แแแแแแแแแแก . แแก แแ แจแแฃแซแแแแแแแ, แ .แ . b แแแแฎแแแแ b-แก แแ b || a .
F
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 72 03.07.2012 13:06:00
73
DBEC= DFED (แกแแแแฃแแฎแแแแแแก แขแแแแแแก I แแแจแแแก แแแแแฎแแแ) => <DFE= <CBE => AD BC, แ แแแแแ E || AD, แฎแแแ AD || BC => E || BC
22 .
<ADE แแแกแ แแแฎแแแแ แแ แแ แฃแแ แแก 660 . DAED-แก แแแกแแแ แแฃแแฎแ <AED=<EDF=660 .
แแแกแฃแฎแ: 480; 660; 660
แก แจแฃแแแแ แแแแแ, แแแแขแแ A = D, แแกแแแ AM=MD, แ .แ . < AD=< DA=<OAM=<ODM < AO แแ <OMD แแฃแแฎแแแแแก แขแแแแแ แแ แแฌแแแแก AB แแ MD-แก แแแ แแแแแฃแ แแแแก .
แ แแแแแ 780+1020=1800, แแแแขแแ
AE || DF => แจแแแแฏแแแ แแแแแแ แแแแแแ แ แแฃแแฎแแแแ <EAD=<AD =480
<ADF แแ แแก <AD -แแก แแแกแแแฆแแ แ, แแแแขแแ <ADF=1800-480=1320, แฎแแแ
b แฌแ แคแแก B แฌแแ แขแแแแ แแแแแแแแ a-แก แแแ แแแแแฃแ แ b1แฌแ แคแ . แแแ แแแแก แแแแแฎแแแ, แ แแแแแ แแก b-แก แแแแแแ แฌแ แคแแ, a-แช แฃแแแ แแแแแแแแแแก . แแก แแ แจแแฃแซแแแแแแแ, แ .แ . b แแแแฎแแแแ b-แก แแ b || a .
F
DBEC= DFED (แกแแแแฃแแฎแแแแแแก แขแแแแแแก I แแแจแแแก แแแแแฎแแแ) => <DFE= <CBE => AD BC, แ แแแแแ E || AD, แฎแแแ AD || BC => E || BC
22 .
<ADE แแแกแ แแแฎแแแแ แแ แแ แฃแแ แแก 660 . DAED-แก แแแกแแแ แแฃแแฎแ <AED=<EDF=660 .
แแแกแฃแฎแ: 480; 660; 660
แก แจแฃแแแแ แแแแแ, แแแแขแแ A = D, แแกแแแ AM=MD, แ .แ . < AD=< DA=<OAM=<ODM < AO แแ <OMD แแฃแแฎแแแแแก แขแแแแแ แแ แแฌแแแแก AB แแ MD-แก แแแ แแแแแฃแ แแแแก .
แ แแแแแ 780+1020=1800, แแแแขแแ
AE || DF => แจแแแแฏแแแ แแแแแแ แแแแแแ แ แแฃแแฎแแแแ <EAD=<AD =480
<ADF แแ แแก <AD -แแก แแแกแแแฆแแ แ, แแแแขแแ <ADF=1800-480=1320, แฎแแแ
b แฌแ แคแแก B แฌแแ แขแแแแ แแแแแแแแ a-แก แแแ แแแแแฃแ แ b1แฌแ แคแ . แแแ แแแแก แแแแแฎแแแ, แ แแแแแ แแก b-แก แแแแแแ แฌแ แคแแ, a-แช แฃแแแ แแแแแแแแแแก . แแก แแ แจแแฃแซแแแแแแแ, แ .แ . b แแแแฎแแแแ b-แก แแ b || a .
F
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 73 03.07.2012 13:06:01
74
แ) 7-แแก แขแแแแ แจแแแซแแแแ แแงแแก แแฎแแแแ แคแแ แแ, แแแแขแแ แแแ แแแแขแ แ แแฅแแแแ 17 .
แ) 8แกแ-แแแแ แคแฃแซแ แแแ แแฅแแแแ . แคแแ แแ แ แแชแ แฃแแ แแก 8แกแ-แก, p=2ยท8+2=18(แกแ) .
แ) p=25แกแ
.แแแ แ แแฃแแฎแแแ แขแแแแแ แแแจแแแแก, แ แแ แกแแแแฃแแแแ แขแแแคแแ แแแ . แแฃ:
.แ แแแแแ แแแ แ แแฃแแฎแ แแแฎแแแแแ, แกแแแแฃแแฎแแแ แแแแแแแฃแแฎแแ, แ แแแแแแช แคแฃแซแแก แแแแแ แแแแแ แ แจแแแซแแแแ แแงแแก, แ .แ . แคแฃแซแ แแแขแแ แคแแ แแแ .
แแแกแฃแฎแ: 7แกแ; 7แกแ; 11แกแ
DABC แขแแแคแแ แแแ => <A=<C แฎแแแ DBDC-แจแ <BDC=<A+<ABD, แ แแแแ แช DABD-แก แแแ แ แแฃแแ, แแแแขแแ
<BDC <A= <C => BC BD
แ) แคแฃแซแแก แฉแแแแแแแ 16แกแ-แแก แขแแแแ, แคแแ แแ แแแแแแ 29แกแ-แแก แขแแแ .
แ) แคแแ แแก แฉแแแแแแแ 16แกแ-แแก แขแแแแ, แคแฃแซแ แแแแแแ 42แกแ . แแกแแแ แกแแแแฃแแแแ แแ แแ แแ แกแแแแแก .
แแแแฅแแก แขแแแแแ 3x+4=25 3x=21 x=7
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 74 03.07.2012 13:06:01
75
5
.
DAMC = DDMB => AC=BD=b
DABD-แจแ แกแแแแฃแแฎแแแแก แฃแขแแแแแแก แแแแแฎแแแ,
2ma<c+b => ma < b c2 , แ . แ . แแ .
BM+MN < AB+AN แแ MC < MN + NC => BM+MN+MC < AB+AN+MN+NC =>
=> BM+MC < AB+AC แ . แ . แ .
แแแแแแแแ: แแแแฌแแ แแ แแแแชแแแ 51-แจแ แแแแขแแแชแแแฃแแ แฃแขแแแแแ แจแแแ แฌแแ แขแแแแแแ แฌแแแ แแแแแแแ แแแแซแแแแแแก แแแแแกแแแแ แ แฌแงแแแแแกแแแแก .
55 .
แแแแแแ แซแแแแ M แฌแแ แขแแแแก แแฎแแ แแก ma-แก แขแแแ MD แแแแแแแแแแ .
BM แแแแแแ แซแแแแ AC-แก แแแแแแแแแแแแ N แฌแแ แขแแแจแ . แแแแแแแงแแแแ แกแแแแฃแแฎแแแแก แฃแขแแแแแ DABN- แกแ DMNC-แจแ .
180 ( B C)2
ยฐ - -(90 -<B)=
= B C2- , แ . แ . แ .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 75 03.07.2012 13:06:01
76
C
B
A
LM
H
C
A
B
Q
P
R
แ แ แ แแแแ แ แ แ แ แ แ แแแแก แแแแชแแแแแ
.
A
K
O
D
A
C
B
B1A1
M
แ) แแแแแแแแฃแ แแ <ACM= <BCM = 1110-900=210
. แ) AD=3,5 แกแ; CD= 5 แกแ
แ) AC=14,6 แกแ
DABC-แจแ <C=900 C แกแแแแฆแแแ, C - แแแกแแฅแขแ แแกแ, CM-แแแแแแแ . <A a => < CA= 900-a => < C =450-(900-a = a โ450 . <B = 900โa = <BCM, แ แแแแแ CM แแแแแแแ แฐแแแแขแแแฃแแแก แแแฎแแแ แแก แขแแแแ, แแแจแแ <MC = 450- (900-a = = a โ 450 แ .แ . <MC = < C แ . แ . แแ .
a => < a => <RP = 2a => <P R=1800-4a => <R B = 3a => < RB= 1800-6a => <BRC = <C = 4a = <B DABC-แจแ 4a + 4a a 1
a 1
a
โฅ แแแกแแฅแขแ แแกแแ, O=OD=r, แแแแขแแ AO=2r=10แกแ .
แ) <AMB = 1360 => <MAB + <MBA= 440 => <A + <B = 880 => <ACB = 920 => <ACM = <BCM = 460 (CM-แแช แแแกแแฅแขแ แแกแแ)
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 76 03.07.2012 13:06:01
77
C
B
A
LM
H
C
A
B
Q
P
R
แ แ แ แแแแ แ แ แ แ แ แ แแแแก แแแแชแแแแแ
.
A
K
O
D
A
C
B
B1A1
M
แ) แแแแแแแแฃแ แแ <ACM= <BCM = 1110-900=210
. แ) AD=3,5 แกแ; CD= 5 แกแ
แ) AC=14,6 แกแ
DABC-แจแ <C=900 C แกแแแแฆแแแ, C - แแแกแแฅแขแ แแกแ, CM-แแแแแแแ . <A a => < CA= 900-a => < C =450-(900-a = a โ450 . <B = 900โa = <BCM, แ แแแแแ CM แแแแแแแ แฐแแแแขแแแฃแแแก แแแฎแแแ แแก แขแแแแ, แแแจแแ <MC = 450- (900-a = = a โ 450 แ .แ . <MC = < C แ . แ . แแ .
a => < a => <RP = 2a => <P R=1800-4a => <R B = 3a => < RB= 1800-6a => <BRC = <C = 4a = <B DABC-แจแ 4a + 4a a 1
a 1
a
โฅ แแแกแแฅแขแ แแกแแ, O=OD=r, แแแแขแแ AO=2r=10แกแ .
แ) <AMB = 1360 => <MAB + <MBA= 440 => <A + <B = 880 => <ACB = 920 => <ACM = <BCM = 460 (CM-แแช แแแกแแฅแขแ แแกแแ)
B
A C
OM
K
B
A C
ME
x
x18-x
A
C
BM
D
1
A
C
B
MD K
แ แแแแแ O แแ OM แจแฃแแแแ แแแแแแแ, CO=AO=BO => O แจแแแแฎแแแฃแแ แฌแ แแฌแแ แแก แชแแแขแ แแ, => <A= 900 = <B + <C .
แ แแแแแ ME แจแฃแแแแ แแแแแ, BE=AE 1 PDaEC
1
แกแ)
แ แแแแแ AD=BD => D แฌแแ แขแแแ AB-แก แจแฃแแแแ แแแแแแ, AC=BC => C AB- แก แจแฃแแแแ แแแแแแ . แ แแแแแ AB-แก แจแฃแแแแ แแแแ แแ แแแแแ แแ แฌแ แคแแ, แกแฌแแ แแ แแแก แแแฃแแแแแก C แแ D แฌแแ แขแแแแแ แแ แแแ แแฅแแ, C แแ D-แแ แแแแแแแแ แแ แแแแแ แแ แฌแ แคแ AB -แก แจแฃแแแแ แแแแแ
แ) <M = 1500 => <MAB = <MBA =150 => < BA = <DAB = 750 => <C=1800-1500=300
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 77 03.07.2012 13:06:02
78
C
A B
M
1
A
c
BM3 3
3 3
4 4
แแแกแฃแฎแ: PDaBC=20แกแ .
. แแแแแขแแแแ a แแ b, แฐแแแแขแแแฃแแแ c . แ) a+b-26=2r=8 a+b=34 P=a+b+c= 34+26 = 60 (แกแ)
แ) <C=500 => <AMB=1300
แ) แ แแแแแ <M = 400 => <C แแแแแแแ .
แแแแฅแแก แแแฎแแแ <C = 1800-400=1400
แฉแแฎแแแฃแแ แฌแ แแฌแแ แแก แชแแแขแ แ CM แแแกแแฅแขแ แแกแ -แกแแแแฆแแ - แแแแแแแแแแ . แแแแกแแแ, แแฎแแแแ แแแแแแแแแแแ แจแแฎแแแแแแ แขแแแแ . แแแแขแแ PDaBC=(3+4)ยท2+2ยท3=20 (แกแ)
แ) 172=(12+r)2 + (5+r)2 => r=3 P= 15 + 8 +17 = 40 (แกแ)
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 78 03.07.2012 13:06:02
79
A
C
B
O
M
N
D
53
23
2
5
.
A
C
B
D
O
ML
K
1 แแฃ แ แแแแแ แแแแแแก แแฆแแแแจแแแแ ; 2 แแ 3 -แแ, แแแแแฆแแแ แขแแแแแแก: 6 =3600 => =600; 2 =1200; 3 =1800 แ .แ . แกแแแแฃแแฎแแแแก แแฃแแฎแแแแแ 300; 600 แแ 900 . แฃแแแแแกแ แแแแ แแ แแ แฐแแแแขแแแฃแแแ แแ แแแแแแขแ แแก แขแแแแ, แแแฃ 14แกแ-แแก .
A
B
D
OK
110020
l
1 แฏแแ แแแแแแขแแแชแแ แแแแชแแแ แแแจแแ, แ แแชแ แแ แ-แแ แแ แฅแแ แแ แแแแแแขแ แแ .
C
A B
DO
OM โฅAB; ONโฅ CD AB=CD=10 แกแ OM แแ ON-แแ แฅแแ แแแแ แจแฃแแแ แแงแแคแ, แแแแขแแ OM=ON=2แกแ
2R=10 แกแ แแแ แแแแแ แคแฃแซแแแแก แจแแ แแก แแแแซแแแ OM แแแแแแแแแแก แขแแแแ แแ แฃแแ แแก 5แกแ .
แ แแแแ B= 69040
<D= 69 40 68 1002 2ยฐ ยฐ= = 340 50
<A= - ยฐ= = ยฐBD KB 75 30 37 452 2
<OAB = <OBA แ แแแแ แช แขแแแคแแ แแ DAOB-แก แคแฃแซแแกแแแ แแแแแแ แ แแฃแแฎแแแแ . แฎแแแ แ แแแแแ AB || CD, <BAO = <AOC = <ABO = < BOD => แ แแแแ AC แฃแแ แแก BD แ แแแแก .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 79 03.07.2012 13:06:02
80
แจแแแแแ แฃแแแ แแแแแกแแแแ แ แแแ แแแแแฃแ แ แฅแแ แแแแแกแแแแก แ แแแแแแก แแแแแแแแแ แแแฌแแ-แแแฌแแ:
A B
MN
C D
แแฃ A แแ B แแแชแแแฃแแ แฌแแ แขแแแแแแ, แฌแ แแฌแแ แแก แชแแแขแ แ AB-แก แจแฃแแแแ แแแแแแ แแ
A-แกแแแ แแแจแแ แแแฃแแแ แ แแแแฃแกแแก แขแแแ แแแแซแแแแ . แ . แ . A -แแแ แแแชแแแฃแแ แ แแแแฃแกแแ แจแแแแฎแแแฃแแ แ แแแแแก แจแฃแแแแ แแแแแแ แแแแแแก แฌแแ แขแแแ แแกแแแแแ แฌแ แแฌแแ แแก O แชแแแขแ แแ . AO แแ แ แแแแฃแกแแ .
แ แ แ แฎแ แแแ แกแแ แฎแ แแแแก แแแแฎแกแแ
แกแแแแฃแแฎแแแจแ แแฃ แแแแแแแแแ แแแแแกแแแแ แจแฃแแฎแแแก, แแแญแ แแแ แกแแแแฃแแฎแแแ แแแ แฉแแแแ แแแฎแแฃแแฎแแแก แจแแแแกแแแก แแแ แแแแแแแ แแแแแแ .
A
B C
D
M
K
x x
y y
y y แแแกแฃแฎแ: AB=4แ; AD=8แ
A
B
CD
M
T
K
AC AN CN=
BD BM DM=
แแแแชแแแแก แแ แแฅแแก แแแแแแฎแกแแ, แ แแชแ R < AB2 ;
แแฅแแก แแแแแแฎแกแแ, แ แแชแ R = AB2 ;
แฎแแแ แ แแชแ R > AB2 , แแกแแแแแ แฌแ แแฌแแ แแก
แชแแแขแ แแ แแแแแแแแแ O-แก แกแแแแขแ แแฃแแแช AB-แก แแแแแ แ .
A
O
R
B
M-แแ แแแแแแแแ BD-แก แแแ แแแแแฃแ แ MT . TC=DT=AD => AD = 6 แกแ
AM=MD => DAMD แขแแแคแแ แแแ . แแแกแ M แกแแแแฆแแ แแแแแแแแชแแ แแ
แฃแแ แแก AD2 =y=x
แแแแขแแแแช 2(x +2x) = 24(แ) x=4 (แ) => 2y= 8(แ)
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 80 03.07.2012 13:06:02
81
1
A
B C
O
K
x
3x
1
A
C B
D
O
A
B
F
C
D
G
A1
B1 C1
D1
E T
A
B C
D
x x
2x
30 600 0
. แขแ แแแแชแแแก แจแฃแแฎแแแแก แแแแกแแแแก แแแแแฎแแแ, แแแแแแแแแแ แกแแแ แซแแแแ แฅแแแแแ แแ แแแแแขแแแฃแ แแ แแแ แแกแแแก . แแแแขแแ แแแแ แแแแแแ แแฅแแแแ: 13แกแ; 16แกแ; 19แกแ; 22แกแ; 25แกแ .
A 1
B
4C1 a
CTA
TaMa
N M
2
BT แแแแแแแแก แแแแแแแ แฃแแ แแก 1 1A C2 - A1B = 3-2=1 (แกแ) .
<CB =<BA =3x . 4x=900
AOB แขแแแคแแ แแแ => <OB =2x => <BO =900-2x=900-450=450
แแแแแแ แซแแแแ แแแกแ แขแแแ OB แแแแแแแแแแ . B แฌแแ แขแแแแ แแแแแแแแ แแฃแแฎแแก แแแแ แแแแแก แแแ แแแแแฃแ แ แฌแ แคแแแแ . แแแฆแแแฃแแ ACBD แแแฎแแฃแแฎแแแ แแแ แแแแแแแ แแแแ . แแแแขแแ CD แกแแซแแแแ แฌแ แคแแ .
แแแฎแแแแ แงแแแแ แแแแแจแแฃแแ แแฃแแฎแ 450-แแแแแ . EFTG แแแแแ แแขแแ . ET=FG
ET= ADโ (AB CD2 2 =3-1 =2(แกแ)
แแแกแฃแฎแ: 2 แกแ
AD=2CD=2x AC แแแกแแฅแขแ แแกแแ => DABC แขแแแคแแ แแแ แแแแ แแ, แ แแแแแ <BAD=600, AB=CD=x แแแแฅแแก แขแแแแแ: 5x=20 => x=4 => 2x=AD=8(แกแ) . แแแกแฃแฎแ: 8 แกแ
A1B=2แกแ; C1B=4แกแ . AM แแแแแแแแก แแแแแแแ a แฌแ แคแแแ แแ แแก A1Ma
A1Ma= A1B + BMa=2+2=4 แแแแแแแแฃแ แแ CN-แแก แแแแแแแ แฃแแ แแก 4+1=5 (แกแ)
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 81 03.07.2012 13:06:03
82
F
y
A
x
BCy
O
DE
450
y x
A
E
D
B C
M2
M1
M1M2=EM2-EM1= 17 13 42 2 2- = =2 (แแ) .
A C
B
22
1200
55 .
A
B
C
D
O
.
O
AO1
แก แจแฃแแแแ แแแแ AD-แก แแแแแก E แฌแแ แขแแแจแ แแ DCED แแแ แแแฃแแฎแแ = > CE=ED=AB x; แฎแแแ BC=AE=AF=y แแแแขแแ BF=AD=a
แแ แคแแ แแแแแก แแแแ แซแแแแแแแ แแแ แแ แแฃแแฎแแ แแแแแแแแแแ E
แฌแแ แขแแแจแ, แฎแแแ M1 โEM2 , แแแแกแแแ, EM1=BM1 ; EM2=AM2
<A=<C=300, แแแแขแแ แจแแแแฎแแแฃแ แฌแ แแฌแแ แจแ AB แฅแแ แแ แ แแแแฃแกแแก แขแแแแ . แ .แ . =4แกแ .
แ แแแแแ AC BD-แก แจแฃแแแแ แแแแแ, แแก แแแแแก แฌแ แแฌแแ แแก O แชแแแขแ แแ . แแแแขแแแแช <ABC = <ADC=900, แฎแแแ <BCD=1800-<BAD=1800-700=1100 .
1 แจแ OO1=Rโr O1A=r
<O1OA=300 => r= R3 .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 82 03.07.2012 13:06:03
83
B
A
D
C
500
520350
?
700
A
B
K
CMD
D
B
AMC
K
15 6 6
A
B
CD
O
5x
2x
.
A
B
C
D
My y
O
y
แ แแแแแ <B+<D=1800, แแแฎแแฃแแฎแแแแ แจแแแแแฎแแแแแ
แฌแ แแฌแแ แ แแ BC =700 CD =1040
AB =500 => แกแแซแแแแ แแฃแแฎแ
แฃแแ แแก AB CD
2 =770 .
แ 15แ แ
1 BK DM 6 2KC MC 21 7= = =
แ AD=27แ DC=15แ => AC=12แ AM=CM=6แ BK DM 21 7AK AM 6 2= = =
แแ , แแแแกแแแ AD 2AB 5= => AD = 2 แแ AB=5
แฎแแแ 2(2k+5k) = 56 => AC= 16 (แกแ); AB=BC=20(แกแ) .
แแแกแฃแฎแ: 16แกแ; 20แกแ; 20แกแ .
แ แแแแแ AO แแแกแแฅแขแ แแกแ แกแแแแฆแแแชแแ, DABM แขแแแคแแ แแแ แแ AB=AM=MC y แแแกแแฅแขแ แแกแแก แแแแกแแแแก แแแแแฎแแแ, DC=2BD, แฎแแแ BD+DC=15แกแ => 3BD=15 แกแ => BD=5แกแ => DC=10แกแ
แแแกแฃแฎแ: BD= 5แกแ; DC=10แกแ
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 83 03.07.2012 13:06:03
84
A
B
CM
N K
TD
A
M
C
N
B
r r
r
h
A B C
O3
16
16o2O1
xx
x9
9
A
B C
D
OT
a
b
A
B
COH
yyk
2k
2xxx
5 -แแแ AC-แแ แแแแฃแจแแแ แกแแแแฆแแ BD=16แกแ .
DNB DABC => 9x 16 5x48 16
-=
1 แกแ 1 แกแ . แแแกแฃแฎแ: 10แกแ; 18แกแ .
DMNC~ ABC => 2r h r
a h-= ;
2hr=ah-ar (2h+a)r = ah r=ah
2h a
1 แแ แ แฌแ แคแแแ แแแแแแ แแแแก AO1O3C แขแ แแแแชแแแ . O2B แคแฃแซแแแแแก แแแ แแแแแฃแ แแ แแ แแแแฅแแก แขแแแแแ:
x = (9 x) 16 (16 x) 9(9 x) (16 x)
โ โ =>
=> x=12 (แกแ) . แแแกแฃแฎแ: 12แกแ
D แแแ แแแฃแแฎแแ, a2 AT b
2
r2= a2
b2 => 2r2 = ab
=> = ab
แแ แแก < BC-แก แแแกแแฅแขแ แแกแ, แแแแขแแ B =k แแ BC=2k แแแแฅแแก แแแแแแแแแแฃแแแแแแ: y2=k2+x2
4k2=k2+9x2 => y=2x => <ABC=900, แฎแแแ <A=600 แแ <C=300 .
แแแกแฃแฎแ: 300; 600; 900 .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 84 03.07.2012 13:06:04
85
5
C M B
H
A
L
2
C
M
N
H
A
C D
BO
O
A S
L
M
B
AC:BC=3:4 => A : B=9:16 DA แแแ แแแฃแแฎแแ แแ แแกแแแแกแแ
DACB-แแก => AL 975 25=
แแแแแแแแฃแ แแ BM=64 .
แแ แฃแแชแแ แแกแแ, แ แแชแ แแก แฐแแแแขแแแฃแแแแ แแแจแแแแฃแแ
แกแแแแฆแแแ . แ . แ . C = 6 8 2410 5โ = .
1 แแแ แแแ แแ แแแแฅแแก แขแแแแแ: AB2=842+132
=> AB=85 => R = 852 (แกแ) .
แแแกแฃแฎแ: R = 852
แแแ แแแแแแแฃแแแ แฃแแ)SB => M=MB=5แ OM=12 แ . OM -แแแ O 2=OM2+M 2 =>
O =13 (แ) .
แแแกแฃแฎแ: 13แ
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 85 03.07.2012 13:06:04
86
C
A
D
H
B
A C
D
BK
20x
20x
9x
C
B
HK
D A
CB=CD . AB-แแ แแแจแแแแฃแแ C แกแแแแฆแแ BD-แก แจแฃแแแ แงแแคแก . => B=49; A =576
BC2=B ยทAB => BC= 49 325โ = 175
AC2= A ยทAB => AC= 576 625โ = 600 .
แแแกแฃแฎแ: 175แกแ; 600แกแ .
แคแแ แแ แกแแแแฆแแแชแแ แแ แฃแแ แแก 2 210 (25 17)- - =6 NC=ND แแ แแฃ
AN x, แแแจแแ NC2=(6+x)2+172, แฎแแแ ND2=x2+252 , แแแแ แแแขแแแแแแ แแ
แแแแแแ, แ แแ x=25 => ND=25 2 =>
NM= 2 2ND MD- = 35(แแ) .
แแแกแฃแฎแ: 35 แแ
แแฃ แกแแแแฃแแแแแแก แแแแแแแแแกแแแ แแกแ, แ แแแแ แช แแแฎแแแแแ, B แแแกแแฅแขแ แแกแ แกแแแแฆแแแชแแ แแ แแแแแแแแช แแ แแแแแแ แแฃแแแ แแแ แแแแแฃแ แแ AC-แกแ => B ADC-แก
แจแฃแแฎแแแแ แแ แฃแแ แแก 9x2 DB C-แแแ 412=
( 29x2 +(20x)2 => x=2 แ . แ . AC=18; CD=80 .
แแแกแฃแฎแ: 18แแ; 80แแ
แแแ แแแฃแแฎแแแแ . CD= 12,
C =18 => =12 แแ D=18 แแแ แแแฃแแฎแ DB C- แแแ 2= B ยท C => B =8 แแแแแแแแฃแ แแ DA C-แแแ AD=27 แกแแแแแแแช AC=39 (แกแ); BC=26 (แกแ)
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 86 03.07.2012 13:06:04
87
แแแแแแแแ: แแแแ แแ แกแแจแฃแแแ แฌแ แแฌแแ แแก แแแ แ แแฎแแแ แขแแแแ แแแแ แแ แแแขแแ แ แฌแ แแฌแแ แแแแก แแแ แ แแฎแแแแกแ แแ แกแแจแฃแแแ แแ แแแขแแ แ แฌแ แแฌแแ แแก แแแ แ แแฎแแแแ แฏแแแแก .
แแแกแฃแฎแ: R=36
C
A
B
LK
300 450
1
A
M
B
T
C
K
D
แแก แแ แแแจแแแแก, แ แแ ABCD แขแแแคแแ แแ แขแ แแแแชแแแจแ AC แแแกแแฅแขแ แแกแแ, แฎแแแ <BAD=30 => <BAC = 150
แแแกแฃแฎแ: 150
B
O1 M O2
K C
D AO1-แแแ AB-แแ แแ O2-แแแ AC-แแ แแแจแแแแฃแแ แแแ แแแแแแ แแแแแแฃแ แแแแแแแก แจแแแ แงแแคแก แแ แ แแแแแแแช AB=AC, แแแแ แแแฎแแแ แแแแช แขแแแแ O1D=x, O2 =y . AM แแ แแก O1DCO2 แขแ แแแแชแแแก แจแฃแแฎแแแแช แแ DO1AO2-แแก แแแแแแแแช .
แแแแแแฃแ แแแแแแแก แแแแแแแแ แกแแแฃแกแแแแก แแแแ แแแแ DC B-แแแ แแ แแแแแฆแแแ, แ แแ
A = B= 3 12- c, = 3 .
DDMC แขแแแคแแ แแแ, แแแแขแแ M แกแแแแฆแแแชแแ แแ แแแแแแแแช => M =24 M-แแ แแแแแแแแ BC-แก แแแ แแแแแฃแ แ MT . DM T-แแแ T=18 => BM=CT=3 .
แแแกแฃแฎแ: 3แกแ
แ แแแแแ แแ M แแแแแแแแแแ แจแฃแแฌแแ แขแแแแแแ, แฎแแแ B C แแ BMC แแแแแแขแ แแ แแแงแ แแแแแแแ แแฃแแฎแแแแ แแแฃ แแแ แแ => AB=BC=DC=2R
แแแแฅแแแแ แขแแแแแแแ,
2 2x y 15
6 x 4 y=
- = - แ .แ . x = 17
2 15 . แแแกแฃแฎแ: 17
2 15
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 87 03.07.2012 13:06:04
88
88
แแ แแแแแแฃแแฎแแแแก แคแแ แแแแ
G
y
y
x x
S
CFDH
A
S
BE
M
M CB
P
A
s3s C1B1
3s
s
3sA1 sD1
s
3s
K D
N
F
O
K
y
x L A
B
B
M
A
s
s
ssND C
ADC ABC
MFC MGC
AHM AEM
S SS SS S
AB =BC =CD =DA แแกแแแ
BF= แกแ แกแ
BF KLFK LA
2 yx 3 แกแ
แแแกแฃแฎแ แกแ
แ แแแแแแแแแ แแ แแแแแแแแแแแแกแแแแช แแ แจแแกแแแแแแกแแ แแแแแแ แแแแแก แจแฃแแฌแแ แขแแแแแแ แคแแ แแแแก แงแแคแกแขแแ แแแฌแแแแ
แแแฎแ แ แแแแแ แแขแแก แแแฌแแแแแแก แคแแ แแแแแแ แแกแ แแแแแฌแแแแแแ แ แแแแ แช แแกแแแชแแแฃแแแ แแแฎ แแ แแแแแ แแขแแก แคแแ แแแแ แแแแแแแก แแกแขแแแ แฎแแแ แแแกแฃแฎแ
89
K
D
F
CB
MA N
แแ แขแ แแแแชแแแก แแแงแแคแก แขแแแแแ แกแแแแฃแแแแแ แแแแ แแแฌแงแแแแแแแ แแ แแแแฆแแแ แกแแแแขแแแแแแ แคแแแฃแ แ
A
D
M
C
FB
DAF แกแแแแฃแแฎแแแแก แแแแแแแ แกแแแแฃแแฎแแแแก แแ แแกแแแ แแแฎแแฃแแฎแแแแก แคแแ แแแแกแจแฃแแแ แงแแคแก แแแกแแแแแแแกแฌแแแแแแแแ แ แแ แ แแช แแ แแก แแแ แแแขแแ แแแแกแ แ แแ แแกแแแแแแแ แแแแแแแก แกแแแแฃแแฎแแแจแ
CD
A B
Ox
16-x12
CB
A D
O
แ แแฃ แแ แแแแฆแแแ แแ แฌแแ แขแแแแแก แแกแ แ แแแฎแแแ แแ แแ แฌแแ แขแแแแแ แแกแ แ แแ
แแแจแแ
ABCD แแแฎแแฃแแแแ แแแแงแแ แแ แขแแแแแแคแแแฃแ แแ แแแแแแแแ แแแแแแแแแแฌแแ แขแแแแ แแแแแแแแ แก แแแ แแแแแฃแ แ
แก แแแแ แซแแแแแแกแแแ แแแแแแแแแแแแแฌแแ แขแแแจแ
แแฃ แแ แก แแแแแแแแแแก แฌแแ แขแแแแ แแแก แแแฆแแแจแแแแ แแ
แแแ แแแฃแแฎแ แจแ 72
แกแ
AB=15 AD=40 AC=74 SABCD=4ยทSABO
ABO-แก แคแแ แแแแก แแแแแแแแแแฐแแ แแแแก แคแแ แแฃแแแ
3 3 แกแ
แแแกแฃแฎแ 3 แกแ
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 88 03.07.2012 13:06:05
89
89
K
D
F
CB
MA N
แแ แขแ แแแแชแแแก แแแงแแคแก แขแแแแแ แกแแแแฃแแแแแ แแแแ แแแฌแงแแแแแแแ แแ แแแแฆแแแ แกแแแแขแแแแแแ แคแแแฃแ แ
A
D
M
C
FB
DAF แกแแแแฃแแฎแแแแก แแแแแแแ แกแแแแฃแแฎแแแแก แแ แแกแแแ แแแฎแแฃแแฎแแแแก แคแแ แแแแกแจแฃแแแ แงแแคแก แแแกแแแแแแแกแฌแแแแแแแแ แ แแ แ แแช แแ แแก แแแ แแแขแแ แแแแกแ แ แแ แแกแแแแแแแ แแแแแแแก แกแแแแฃแแฎแแแจแ
CD
A B
Ox
16-x12
CB
A D
O
แ แแฃ แแ แแแแฆแแแ แแ แฌแแ แขแแแแแก แแกแ แ แแแฎแแแ แแ แแ แฌแแ แขแแแแแ แแกแ แ แแ
แแแจแแ
ABCD แแแฎแแฃแแแแ แแแแงแแ แแ แขแแแแแแคแแแฃแ แแ แแแแแแแแ แแแแแแแแแแฌแแ แขแแแแ แแแแแแแแ แก แแแ แแแแแฃแ แ
แก แแแแ แซแแแแแแกแแแ แแแแแแแแแแแแแฌแแ แขแแแจแ
แแฃ แแ แก แแแแแแแแแแก แฌแแ แขแแแแ แแแก แแแฆแแแจแแแแ แแ
แแแ แแแฃแแฎแ แจแ 72
แกแ
AB=15 AD=40 AC=74 SABCD=4ยทSABO
ABO-แก แคแแ แแแแก แแแแแแแแแแฐแแ แแแแก แคแแ แแฃแแแ
3 3 แกแ
แแแกแฃแฎแ 3 แกแ
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 89 03.07.2012 13:06:06
90
90
B D
A C
O
แแแชแแแฃแแ แแแแ แแแแแแ แแ แคแแ แแแแแ แแแแแแแ แแแชแแแฃแ แแแแ แแแ แจแแ แแก แแฃแแฎแแก
แกแแแฃแกแก 15sin 178cos 17 แจแแกแแแแแแกแแ แแแกแแแ แแแแ แแแก แกแแแ แซแ แฃแแ แแก แกแ แแ แกแ
B
A C แแแกแฃแฎแ แ แ แ
B
C
17
3026
A
25
D
O
แกแ แกแ แกแ แแฃแแแชแแแฃแ แแแแแแแแก แแแแแแ แซแแแแแ แแแกแแขแแแ แแแแแแแแแแ แกแคแแ แแแแก แแ แแแแแแแแแแ แฐแแ แแแแกแคแแ แแฃแแแ
แ แ แ
แ แ แ
แฐแแ แแแแก แคแแ แแฃแแแ แแแแแฆแแแ แ แแ
แกแ แกแ แกแ
แแแ 513
1213
แแแ 45
35
1665
แแแ แแแกแแแฃแกแแแแก แแแแ แแแแก แแแแแฎแแแ 1665
1621 แกแ ABC
ADC
BO S 8DO S 5
91
CB
A FD142sm
89sm
แแแแชแแแ แแก แแกแแแแกแแ แแแ แแแแ แคแแ แแแแแ แจแแแแแแ แแแแแฌแแแแแ
y3y
s
3s
s3s
y
3y
A
B C
D
K
M
L
N
D
C
AB
600
แกแ แกแ แกแ แกแแแฃ ยท แแแจแแ แขแ แแแแชแแ
แขแแแแแแแ แ แแแแแก แคแแ แแแแกแแชแแแแแแแแแ แฐแแ แแแแก แคแแ แแฃแแแ
แกแ
แแแกแฃแฎแ แกแ
แแแแ แแ แ แแแแแ แขแแแแแแแ แกแแซแแแแ แคแแ แแแแ แแ แแแแแแแแก แแแฎแฃแแแแแแแฌแแแ แแแแแแแก
AC= 0แ A ~ ACB
A =10 2 แ
แแแกแฃแฎแ 10 2 แ
~ 2
DCB2
DAC
S BCS AC
= 00= 1
3
K
A
BC
L
S
S
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 90 03.07.2012 13:06:06
91
90
B D
A C
O
แแแชแแแฃแแ แแแแ แแแแแแ แแ แคแแ แแแแแ แแแแแแแ แแแชแแแฃแ แแแแ แแแ แจแแ แแก แแฃแแฎแแก
แกแแแฃแกแก 15sin 178cos 17 แจแแกแแแแแแกแแ แแแกแแแ แแแแ แแแก แกแแแ แซแ แฃแแ แแก แกแ แแ แกแ
B
A C แแแกแฃแฎแ แ แ แ
B
C
17
3026
A
25
D
O
แกแ แกแ แกแ แแฃแแแชแแแฃแ แแแแแแแแก แแแแแแ แซแแแแแ แแแกแแขแแแ แแแแแแแแแแ แกแคแแ แแแแก แแ แแแแแแแแแแ แฐแแ แแแแกแคแแ แแฃแแแ
แ แ แ
แ แ แ
แฐแแ แแแแก แคแแ แแฃแแแ แแแแแฆแแแ แ แแ
แกแ แกแ แกแ
แแแ 513
1213
แแแ 45
35
1665
แแแ แแแกแแแฃแกแแแแก แแแแ แแแแก แแแแแฎแแแ 1665
1621 แกแ ABC
ADC
BO S 8DO S 5
91
CB
A FD142sm
89sm
แแแแชแแแ แแก แแกแแแแกแแ แแแ แแแแ แคแแ แแแแแ แจแแแแแแ แแแแแฌแแแแแ
y3y
s
3s
s3s
y
3y
A
B C
D
K
M
L
N
D
C
AB
600
แกแ แกแ แกแ แกแแแฃ ยท แแแจแแ แขแ แแแแชแแ
แขแแแแแแแ แ แแแแแก แคแแ แแแแกแแชแแแแแแแแแ แฐแแ แแแแก แคแแ แแฃแแแ
แกแ
แแแกแฃแฎแ แกแ
แแแแ แแ แ แแแแแ แขแแแแแแแ แกแแซแแแแ แคแแ แแแแ แแ แแแแแแแแก แแแฎแฃแแแแแแแฌแแแ แแแแแแแก
AC= 0แ A ~ ACB
A =10 2 แ
แแแกแฃแฎแ 10 2 แ
~ 2
DCB2
DAC
S BCS AC
= 00= 1
3
K
A
BC
L
S
S
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 91 03.07.2012 13:06:07
92
9
แกแแแแฃแแฎแแแแแ แฌแแ แแแแแแแแแแ แฌแ แแฌแแ แจแ แแฎแแแฃแแแแแ
B B1
A
A1
C
C1
k
O
B
K2y
2xx
y
L CA
B
L
A
C
K
D
O
แก แจแฃแแแแ แแแแแแแแแ แแแแ แกแแกแขแแแ
2 2
2 2x y 13
x (2x y) 2512
ยท 12 แกแ
แแแกแฃแฎแ แกแ
แกแแซแแแแแแ แคแแ แแแแ แฃแแ แแก
แแฎแแแฃแแ แแฃแแฎแ แแแแขแแแแช
2 แแแแ แแ แแแ
32a
3 32a
3 3
12 ยท ยท ยท 1
2 ยท 32
2 33
3
4 ยท 2 33 3 แแแกแฃแฎแ 3
แแแแแแแแแแก แฌแแ แขแแแแ แแแแแแแแแ แแงแแคแแแ แแแแจแแคแแ แแแแแ แแแแขแแ แแแ แแแแ แกแแกแขแแแ
2
2 2
x 4y 494x y 4
54 5
แกแแแ แชแแแแแแ แแแแ แแแ แแแแแแแแแแแ 11แกแ
แแแกแฃแฎแ 11แกแ
L
2
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 92 03.07.2012 13:06:07
93
9
A
B
K
C
D
N
ML
3x
x
k
2k 5l
l
y
y
A
K
CB
L
B
CA
120x y
2 2x y xy 1692(x y) 26 xy
2a b 1692a b 26
แ แ แฎแแแ p2 ยท 3
แแแแแแแแ แแแแแแแแแ NMD ADC1 1S S6 2
MND
ADC
S aS 12a
แแแแแแแแฃแ แแ
BKL
ABC
S bS 12b
1112 แกแ
ยท ยท แแ 16x
ยท แแ 16y
ABC1 16 16S 2 x y
ALK1S xy2
14
85
แแฃ แแ แแแ แแแแ แขแแแแแแแ
2 2x y xy 169x y 13 13 xy sin1202 2
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 93 03.07.2012 13:06:07
94
94
B
O
CA K D
O1
2
180-2a0
แฎแแ แฎแ ~ 1O D OCAD DC
2 OC1 2
แแแ 15 12 ยท 15
แแแกแฃแฎแ 15 แกแ
B 10 Cy
Ny
D
6
K
6
A10 F 2y-8
yO
Q
5 1
แกแ แ แแแแฃแกแแแแ แฌแ แแฌแแ แแก แชแแแขแ แ แกแจแฃแแแแ แแแแแกแ แแ แก แแแแ แซแแแแแแก แแแแแแแแแแก
แฌแแ แขแแแแ แแแแขแแ 14
154 ODC=แแแ DC OC
sin(180 2 ) sin2 OC
sin cos sin ABC12 ยท
12 ยท ยท ยท 15
4 15
แก แจแฃแแฌแแ แขแแแแ แฎแแแ แกแจแฃแแแแ แแแแแแ แแแแแช
61 แกแแจแฃแแฎแแแ
แฎแแแ แก แแแแแแแแคแฃแซแแแ แขแแแแ แแก
แจแ แแแแแแแ แแก แแแแ แแแแก แแแแแฎแแแ 132
ยท แกแ แแแกแฃแฎแ แกแ
95
แฌแแกแแแ แ แแ แแแแแแฃแแฎแแแแแ
แแฎแแแฃแแ แแแแแ แแขแแก แแแแ แแแ 2 3 แ แ 6
แ แ 2 ยท 2
แฌแแกแแแ แ แกแแแแฃแแฎแแแแก แคแแ แแแแ แแฆแแแแจแแแ แแแฎแแฃแแฎแแแแก แฎแแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแก
แแ2a 34
2a 3 34 3 3
A B
C
x xx
x
M
Ny
A4
A5 A6
A7
2
1
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
แกแแแฃแ แแแก แ แแก แฌแ แแฌแแ แแก แคแแ แแ แแ แฌแ แแฌแแ แแก แกแแแ แซแแ โ แกแแแแแแแช989500 แ แกแ
แแ แแก แแฎแแแฃแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแกแแแแ แแ
แแ แจแแแแฎแแแฃแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแก
แแแแ แแ 2R3
แฌแแกแแแ แ แ แแแแฃแแฎแแแแกแแฃแแฎแแ แแแแแแฎแแแแA5 A A7 แขแแแคแแ แแแขแ แแแแชแแ A5 A A7 แกแแแแแแแช แ แแแแแแฆแแ A A A7 แแแแแแแแฃแ แแ แแ แแแแแแ แ แแ
A A A แแแฎแแฃแแฎแแแแกแแแแแ แแแ แแฃแแฎแแแแแชแแแ แแแ แ แ แแก แแแฎแแฃแแแแแแแ แแแฃแแฎแแแแ แ แ แ
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 94 03.07.2012 13:06:08
95
95
แฌแแกแแแ แ แแ แแแแแแฃแแฎแแแแแ
แแฎแแแฃแแ แแแแแ แแขแแก แแแแ แแแ 2 3 แ แ 6
แ แ 2 ยท 2
แฌแแกแแแ แ แกแแแแฃแแฎแแแแก แคแแ แแแแ แแฆแแแแจแแแ แแแฎแแฃแแฎแแแแก แฎแแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแก
แแ2a 34
2a 3 34 3 3
A B
C
x xx
x
M
Ny
A4
A5 A6
A7
2
1
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
แกแแแฃแ แแแก แ แแก แฌแ แแฌแแ แแก แคแแ แแ แแ แฌแ แแฌแแ แแก แกแแแ แซแแ โ แกแแแแแแแช989500 แ แกแ
แแ แแก แแฎแแแฃแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแกแแแแ แแ
แแ แจแแแแฎแแแฃแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแก
แแแแ แแ 2R3
แฌแแกแแแ แ แ แแแแฃแแฎแแแแกแแฃแแฎแแ แแแแแแฎแแแแA5 A A7 แขแแแคแแ แแแขแ แแแแชแแ A5 A A7 แกแแแแแแแช แ แแแแแแฆแแ A A A7 แแแแแแแแฃแ แแ แแ แแแแแแ แ แแ
A A A แแแฎแแฃแแฎแแแแกแแแแแ แแแ แแฃแแฎแแแแแชแแแ แแแ แ แ แแก แแแฎแแฃแแแแแแแ แแแฃแแฎแแแแ แ แ แ
95
แฌแแกแแแ แ แแ แแแแแแฃแแฎแแแแแ
แแฎแแแฃแแ แแแแแ แแขแแก แแแแ แแแ 2 3 แ แ 6
แ แ 2 ยท 2
แฌแแกแแแ แ แกแแแแฃแแฎแแแแก แคแแ แแแแ แแฆแแแแจแแแ แแแฎแแฃแแฎแแแแก แฎแแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแก
แแ2a 34
2a 3 34 3 3
A B
C
x xx
x
M
Ny
A4
A5 A6
A7
2
1
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
แกแแแฃแ แแแก แ แแก แฌแ แแฌแแ แแก แคแแ แแ แแ แฌแ แแฌแแ แแก แกแแแ แซแแ โ แกแแแแแแแช989500 แ แกแ
แแ แแก แแฎแแแฃแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแกแแแแ แแ
แแ แจแแแแฎแแแฃแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแก
แแแแ แแ 2R3
แฌแแกแแแ แ แ แแแแฃแแฎแแแแกแแฃแแฎแแ แแแแแแฎแแแแA5 A A7 แขแแแคแแ แแแขแ แแแแชแแ A5 A A7 แกแแแแแแแช แ แแแแแแฆแแ A A A7 แแแแแแแแฃแ แแ แแ แแแแแแ แ แแ
A A A แแแฎแแฃแแฎแแแแกแแแแแ แแแ แแฃแแฎแแแแแชแแแ แแแ แ แ แแก แแแฎแแฃแแแแแแแ แแแฃแแฎแแแแ แ แ แ
95
แฌแแกแแแ แ แแ แแแแแแฃแแฎแแแแแ
แแฎแแแฃแแ แแแแแ แแขแแก แแแแ แแแ 2 3 แ แ 6
แ แ 2 ยท 2
แฌแแกแแแ แ แกแแแแฃแแฎแแแแก แคแแ แแแแ แแฆแแแแจแแแ แแแฎแแฃแแฎแแแแก แฎแแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแก
แแ2a 34
2a 3 34 3 3
A B
C
x xx
x
M
Ny
A4
A5 A6
A7
2
1
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
แกแแแฃแ แแแก แ แแก แฌแ แแฌแแ แแก แคแแ แแ แแ แฌแ แแฌแแ แแก แกแแแ แซแแ โ แกแแแแแแแช989500 แ แกแ
แแ แแก แแฎแแแฃแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแกแแแแ แแ
แแ แจแแแแฎแแแฃแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแก
แแแแ แแ 2R3
แฌแแกแแแ แ แ แแแแฃแแฎแแแแกแแฃแแฎแแ แแแแแแฎแแแแA5 A A7 แขแแแคแแ แแแขแ แแแแชแแ A5 A A7 แกแแแแแแแช แ แแแแแแฆแแ A A A7 แแแแแแแแฃแ แแ แแ แแแแแแ แ แแ
A A A แแแฎแแฃแแฎแแแแกแแแแแ แแแ แแฃแแฎแแแแแชแแแ แแแ แ แ แแก แแแฎแแฃแแแแแแแ แแแฃแแฎแแแแ แ แ แ
95
แฌแแกแแแ แ แแ แแแแแแฃแแฎแแแแแ
แแฎแแแฃแแ แแแแแ แแขแแก แแแแ แแแ 2 3 แ แ 6
แ แ 2 ยท 2
แฌแแกแแแ แ แกแแแแฃแแฎแแแแก แคแแ แแแแ แแฆแแแแจแแแ แแแฎแแฃแแฎแแแแก แฎแแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแก
แแ2a 34
2a 3 34 3 3
A B
C
x xx
x
M
Ny
A4
A5 A6
A7
2
1
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
แกแแแฃแ แแแก แ แแก แฌแ แแฌแแ แแก แคแแ แแ แแ แฌแ แแฌแแ แแก แกแแแ แซแแ โ แกแแแแแแแช989500 แ แกแ
แแ แแก แแฎแแแฃแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแกแแแแ แแ
แแ แจแแแแฎแแแฃแแ แ แแกแแฃแแฎแแแแก
แแแแ แแ 2R3
แฌแแกแแแ แ แ แแแแฃแแฎแแแแกแแฃแแฎแแ แแแแแแฎแแแแA5 A A7 แขแแแคแแ แแแขแ แแแแชแแ A5 A A7 แกแแแแแแแช แ แแแแแแฆแแ A A A7 แแแแแแแแฃแ แแ แแ แแแแแแ แ แแ
A A A แแแฎแแฃแแฎแแแแกแแแแแ แแแ แแฃแแฎแแแแแชแแแ แแแ แ แ แแก แแแฎแแฃแแแแแแแ แแแฃแแฎแแแแ แ แ แ
P4=32 2 .
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 95 03.07.2012 13:06:10
96
9
R R
l
380
A
B C
DK
1313
14
แแ แแ แแก แกแแแ แซแ แแฆแแแแจแแแ แแ
โ 38360 ยท แกแแแแแแแช 2160
19
แงแแแแแแ แแแแ แฌแ แแก แคแแ แแแแ แแงแแก แจแแแแแแแก แจแแแแแแแก แฎแแแแงแแแแแแ แแชแแ แแกแ แแ แ แแแแแแแกแคแแ แแแแแแแ แแ
แแแแแขแแแแ แแแแแฃแแ แฌแ แแแแแก แ แแแแฃแกแแแแ a2 แแ b
2 แฎแแแ แฐแแแแขแแแฃแแแแ
แแ c2 แแ แจแแกแแแแแแกแแ แแแ แแแฃแแฎแ แกแแแแฃแแฎแแแแก แแแแแขแแแ แแ
แฐแแแแขแแแฃแแแ แแ แแฆแแแแจแแแ แแแแแขแแแ แแแแแฃแแ แแแฎแแแแ แฌแ แแแแแกแคแแ แแแแแ แแแ แฐแแแแขแแแฃแแแแ แแแแแฃแแ แฌแ แแก แคแแ แแแแ แแ
2 2 2
1 21 a b 1 cS , S2 4 4 2 4 แชแฎแแแแ แ แ แ
แ แแแแแ แขแ แแแแชแแแแ แฌแ แแฌแแ แ แจแแแแแฎแแแแแ แ แ แขแ แแแแชแแแขแแแคแแ แแแ แจแแแแฎแแแฃแแ แฌแ แแฌแแ แแก แกแแแ แซแแ โ แ แแฃแแแ แแแแแแแ แแ แขแ แแแแชแแแแ แจแแแแฎแแแฃแแ แฌแ แแฌแแ แแกแ แแแแฃแกแ แชแฎแแแแ แแก แฌแ แแฌแแ แ แจแแแแฎแแแฃแแแแกแแแแฃแแฎแแแแแช แ แแแแแ แ แ แแแ
แแแแแฆแแแ แ แแ 513
แแแ แแ แแฌแแ แ ACsin แ แ 15 13
4
โ ยท15 134
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 96 03.07.2012 13:06:10
97
97
แแ แขแแ แแแ
b
B
MN
A
C
Da
B
A C
C1 A1
B1
O
B
K
A
N
C
M
D
L
แ a
b
b
แกแแแแแแแช a
b
แแ แ แแแแแ a
แแ bแแ แแแแแแแแแ แฃแแแ แขแแแแแแก
แแแจแแ แ แแแแ แแแแแแ แ แแชแ a
แแ bแก แแแแ แแแแแขแแแ แแ แแแ แแฃแแแ แแฃแแแก แขแแแแ แ แ
MN CN CM
1
1CM CD DM CD (โa CD)2
1CN (b CD)2
แแ แแแกแแแ 1 แจแ
1 1 1 1MN (b CD) CD a CD (a b)2 2 2 2
แ แ แ
1 1 11 1 1AA AB AC ; BB BA BC ; CC CA CB2 2 2
แ แ
1 1 11AA BB CC AB AC BA BC CA CB 02
แแ แแแ แแ แแแฎแแฃแแฎแแแแก แฌแแแ แแแแแ
1 1OA OK OL ; OC ON OM ;2 21 1OB OK ON ; OD OL OM2 2
แกแแแแแแแช
1OA OC OK OL ON OM ;21OB OD OK ON OL OM .2
แแแแแฆแแ OA OC OB OD.
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 97 03.07.2012 13:06:11
98
98
p q
R
A
B
C
a b 129. a b 7
a
A B
C
B1A1
a
b
d1
แขแแ แแแแ แซแแแแก R
แแ แขแแ แ
แ แแแแ แช แแแชแแ แฃแแ แแก p
q
แแแแขแแ
R
p
q
p
q
p
ยท q
ยท ยท ยท 12 R
a
แแ b
แแ แแแแแแแแแ แฃแแแ p
แแ qแแ แแแแแแแแ แฃแแ แแแจแแ p
q
a
b
a
b
แแ 12
แแแช แแแแแแแแแแแ แแฃแแฎแแก แแแกแแแฃแกแ
AB AC 18 3cos A 30 5AB AC
แแแแแแแแฃแ แแ แแแแแฆแแแ แ แแ
45
1 1CA a; CB b; a a; b b.
แชแฎแแแแ
1 1AA a 2b; BB b 2a
แกแแแแแแแช2 2
1 1AA BB 5a b 2a โ 2a
=
= 5 C 4 =0 C= 45
da2 2
1 1 2d a b; d (a b) 24,4 d (a b) 15
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 98 03.07.2012 13:06:11
99
99
AD 2;4
แแ BC 1;2
แแ แขแแ แแ แแแแ แแแแแขแแแแก แแ แแแแ แชแแฃแแแแแแแ
แแแแแแแแแแ แแแแก แ แแ AD
แแ BC
แแแแแแแแ แฃแแแ แแฃ แแแแแแแแแแ แแแ
แกแแแ แซแแแแก แแแแแฆแแแ แ แแ AD 20
แแ BC 5
แ แแแแแ แแแ แแแแแฃแ แแ แกแ แแ แแ แฃแแ แแก แก แ แ แขแ แแแแชแแแ
12 ยท แกแแแแช แแ แแก แแฃแแฎแ แแแแแแแแแแแก แจแแ แแก แแ แ แแแแแ AC
BD
13 213
313
mascavleblis cigni_XII_kl_cor.indd 99 03.07.2012 13:06:11