matematika 2. módszertani ajánlások, második...

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné

MATEMATIKA 2.

MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK

MÁSODIK FÉLÉV

Hajdu program 2 HAJ2PRH 2008. szeptember 28. {18:20 (1. old.)

Év, évszak, hónap, hét

Kompetenciák, fejlesztési feladatok:

számlálás, számolás, rendszerezés, rész-egész észlelése, deduktív következtetések,

problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezde-

ményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és

önálló munkavégzés.

Óra: 75. 84. 93.

A gyermekek az id®tartam mindennapi életben használt mértékegységeivel, mér®esz-

közeivel az 1 osztályban és a mindennapi életben is már sokszor találkoztak. Ezek a

fogalmak nem teljesen újak a gyermekek számára, ezért itt csupán rendszerezésre, az

összefüggések tudatosítására kerül sor.

Az id®nek mint mennyiségnek a fogalma nagyobb absztrakciós képességet igényel, mint

az eddig tanult többi mennyiségé, ezért kialakulása hosszú folyamat eredménye.

Tk. 98/Figyeld meg!: Idézzük fel az id®mérésr®l környezetismeret-órán tanultakat. Be-

széljünk az évszakok jellemz®ir®l, soroljuk fel a hónapokat. Mondják el a tanulók, ki

melyik hónapban született, ez melyik évszakban van.

Gy. 97/1. feladat: Id®tartam mérésével, mértékegységeivel kapcsolatos feladat.

Megoldás: a) 1 év = 1 2 hónap 1 év = 4 évszak

1 fél év = 6 hónap 1 évszak = 3 hónap

b) 1 harmad év = 4 hónap 1 évszak = 1 negyed év

1 negyed év = 3 hónap 1 hónap = 1 harmad évszak


Megoldás: 1 év 6 hónap = 1 8 hónap 1 év { 3 hónap = 9 hónap

1 év 9 hónap = 2 1 hónap 2 év { 9 hónap = 1 5 hónap

2 év 6 hónap = 3 0 hónap 2 év { 11 hónap = 1 3 hónap


a) március 5-t®l ugyanazon év augusztus 5-ig 5 hónap

január 1-jét®l ugyanazon év december 1-jéig 1 1 hónap

március 5-t®l következ® év március 5-ig 1 2 hónap

b) március 5-t®l következ® év augusztus 5-ig 1 7 hónap

január 1-jét®l következ® év december 1-jéig 2 3 hónap

június 4-t®l következ® év január 4-ig 7 hónap

146 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program

M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008



Megoldás: A kezd® napot nem számláljuk, a befejez® napot igen.

A megoldások rendre: 36 nap, 47 nap, 13 nap, 47 nap, 60 nap.


Megoldás: Ha egy évben január 1-je szerda, akkor januárban még 8-a, 15-e, 22-e,

29-e esik szerdára. Másképpen fogalmazva: azokat a számokat keres-

sük 1-t®l 31-ig, amelyek héttel osztva 1-et adnak maradékul. Február

1-je szombati napra esik. Tegyünk fel még ehhez hasonló kérdéseket.

Például: Milyen napra esik február 10-e stb.?

Nap, napszak, óra, perc



problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezde-


önálló munkavégzés, egészséges életmód.

Óra: 76. 85. 94.

Két id®tartam összehasonlítását még feln®ttkorban is befolyásolhatja, hogy melyik van

el®bb, vagy milyen tevékenységet végzünk alatta. Mivel id®érzékünkre er®sen hatnak

a szubjektív tényez®k, ezért az id®tartam becslése a legnehezebbnek bizonyul, lénye-

gesen nagyobb lehet a relatív hiba (a tévedés és a mért mennyiség aránya). Az id®

mértékegységei közti váltószámok nem 10 hatványai, ezért az átváltásokkal kapcsola-

tos számítások nemcsak változatosabbak, hanem nehezebbek is. A leírtak miatt ne csak

ebben a néhány órában fektessünk hangsúlyt az id®tartamok becslésére, mérésére, a

mért és a becsült érték összehasonlítására. Újra és újra térjünk vissza alkalmazásukra

például szöveges feladatokban, függvényekben, soralkotásokban. Bár a gyermekek va-

lószín¶leg már a másodperc fogalmát is ismerik, 2. osztályban nem foglalkozunk ezzel

a mértékegységgel

(els®sorban a 100-as számkör korlátai miatt).

Tk. 99/Figyeld meg!: A tanulók meséljenek a saját napirendjükr®l, id®beosztásukról.

Gy. 98/1. feladat: Az id®tartam mérésével, mértékegységeivel kapcsolatos feladatok.

Megoldás: 1 nap = 2 4 óra 1 fél nap = 1 2 óra

2 nap = 4 8 óra 1 harmad nap = 8 óra

4 nap = 9 6 óra 1 negyed nap = 6 óra

Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 2. Program


147



Megoldás: 1 óra 20 perc 10 óra 40 perc 4 óra 10 perc

vagy

13 óra 20 perc 22 óra 40 perc 16 óra 10 perc


Beszéljük meg a kis- és a nagymutató állásának jelentését.

Megoldás:


Megoldás: a) 6 óra, b) 24 óra,

12 óra, 36 óra,

15 óra 12 óra


Az ¶rtartalom mérése



problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdemé-

nyez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, csoportos, páros,

egyéni munkavégzések, egészséges életmód.

Óra: 77{78. 86{87. 95{96.

Ismerkedjenek meg a gyermekek különböz® ¶rtartalmú edényekkel. F®képpen az 1 li-

tert, az 1 decilitert és az 1 centilitert kössük egy vagy több jól ismert �edény" ¶rtartalmá-

hoz, hogy határozott kép alakuljon ki bennük az ¶rtartalom szabványmértékegységeir®l.

A liter fogalmának szemléleti kialakítása viszonylag könnyebb, mert sokféle formában

találkoznak vele a mindennapi életben, míg a centilitert szinte egyáltalán nem használ-

ják.

Az ¶rtartalmak becslése, illetve összehasonlítása bonyolultabb m¶velet, mint a hosszú-

ságok becslése vagy összehasonlítása. Az edény térbeli kiterjedését kell �gyelembe

venni, és a látszat sokszor csal. Ha az összehasonlítandó két edény mérete nem tér el

nagyon egymástól, akkor víz vagy homok áttöltése nélkül nem oldható meg a feladat.

Ezért az ¶rtartalmak összehasonlításakor is célszer¶ minél többet mérni.




Az edények ¶rtartalmát el®ször egy-egy megfelel® egységhez viszonyítsuk. Mekkora az

1 l-hez, 1 dl-hez, 1 cl-hez képest. Így válhat képessé a gyermek annak megállapítására,

hogy a bemutatott edény ¶rtartalmát milyen egységgel érdemes megbecsülni, illetve

megmérni (ez a becslés els® lépése).

Szerezzenek a gyermekek tapasztalatot adott mennyiség¶ folyadék különböz®, nem

szabvány egységekkel történ® megmérésében és kimérésében is.

Tk. 100/Figyeld meg!: Ismerkedjenek meg a gyermekek különböz® ¶rtartalmú edé-

nyekkel. F®képpen az 1 litert, az 1 decilitert és az 1 centilitert kössük egy vagy több

jól ismert �edény" ¶rtartalmához, hogy határozott kép alakuljon ki bennük az ¶rtartalom

szabványmértékegységeir®l.

Tk. 101/1. feladat: Órai munkában ténylegesen mérjük meg a tányér, a pohár, a vödör,

különböz® méret¶ és alakú konyhai edények ¶rtartalmát. Beszéljük meg a tapasztaltakat.

Megoldás: Pohártól a tányérra,

a lábasra,

a vödörre,

a hordóra mutat nyíl.

Tányértól a lábasra,

a vödörre,


Lábastól a vödörre,


Vödört®l a hordóra mutat nyíl.

Tk. 101/2. feladat: Órai munkában ténylegesen mérjük meg a tányér, a pohár, a vödör,

különböz® méret¶ és alakú konyhai edények ¶rtartalmát. Beszéljük meg a tapasztaltakat.

Megoldás: Hordó: 100 l; tányér: 5 dl; pohár: 2 dl;

vödör: 10 l; kanál: 2 cl; kancsó: 2 l

Tk. 101/3. feladat: Figyeljük meg, hogy a mér®edény beosztása deciliter pontossággal

mutatja, mennyi folyadék van az edényben.

Megoldás: 5 dl 2 dl 8 dl 4 dl 9 dl

50 cl 20 cl 80 cl 40 cl 90 cl

Tk. 101/4. feladat: Szöveggel adott függvény a 3-as szorzótábla gyakorlására. A

gyermekek fogalmazzák meg a hozzárendelés szabályát.

Megoldás: Ennyi bögre 0 3 5 7 4 1 8 10 2 6 9

Ennyi tej (dl) 0 9 15 21 12 3 24 30 6 18 27



149


Gy. 99/1. feladat: A centiliter és a deciliter közti kapcsolat (átváltások) gyakorlása.

Megoldás: a) 10 cl 13 cl 1 dl 8 cl

20 cl 28 cl 6 dl 6 cl

50 cl 44 cl 7 dl 0 cl

b) 1 dl 1 dl 4 cl 2 dl 4 cl

3 dl 3 dl 8 cl 3 dl 3 cl

7 dl 4 dl 1 cl 5 dl 0 cl

Gy. 99/2. feladat: A liter és a deciliter közti kapcsolat (átváltások) gyakorlása.

Megoldás: a) 10 dl 12 dl 2 l 3 dl

30 dl 35 dl 4 l 8 dl

40 dl 54 dl 6 l 0 dl

b) 1 l 1 l 3 dl 2 l 6 dl

2 l 4 l 8 dl 6 l 2 dl

5 l 7 l 1 dl 7 l 0 dl

Gy. 99/3. feladat: Összetett feladatok a szorzásról, osztásról, összeadásról, kivonásról,

illetve az ¶rtartalommérés mértékegységeir®l tanultak alkalmazására.

Megoldás: a) Fél dl = 5 cl

3 � 5 cl = 15 cl = 1 dl 5 cl

4 � 5 cl = 20 cl = 2 dl 0 cl

9 � 5 cl = 45 cl = 4 dl 5 cl

8 � 5 cl = 40 cl = 4 dl 0 cl

b) 3 dl 5 cl = 35 cl 35 : 5 = 7 7 csésze

4 dl = 40 cl 40 : 5 = 8 8 csésze

2 és fél dl = 25 cl 25 : 5 = 5 5 csésze

Gy. 99/4. feladat: Az eddig tanult szorzótáblák alkalmazására szánt feladat.

Megoldás: Egy üvegbe ennyi fér 1 dl 2 dl 3 dl 4 dl 6 dl 8 dl 12 dl

Ennyi üveg kell 24 12 8 6 4 3 2

A tömeg mérése





egyéni munkavégzések.




Óra: 79{80. 88{89. 97{98.

A tanulók szerezzenek minél több tapasztalatot különböz® tárgyak tömegének összeha-

sonlításában, meghatározásában. Ehhez legalább 5-6 mérlegre van szükség, hogy kis

csoportos foglalkozás keretében minden gyermek végezhessen mérést.

A konkrét méréseket minden esetben el®zze meg becslés.

A testek tömegének összehasonlítását el®ször két kézzel, majd mérleg segítségével vé-

geztessük. Fontos, hogy a tanulók a szabványmértékegységekkel (1 kg, 1 dkg, 10 dkg)

is hasonlítsák össze a mérend® tárgyak tömegét. Minél többféle alakú, méret¶, anya-

gú testnek a tömegét méressük meg, illetve a legkülönböz®bb anyagokból méressünk

ki adott mennyiségeket. Konkrét mérési tapasztalatok sokasága nélkül a becslést sem

végezheti el megbízhatóan a gyermek.

A tanuló a következ® tapasztalatokat szerezheti a mérések során:

Ha azonos anyagból készültek a testek, akkor a kisebb (térfogatú) testnek a tömege is

kisebb.

Ugyanolyan méret¶ és alakú testek tömege lehet nagyon különböz®, ha különböz® az

anyaguk.

Ajánljuk, hogy fürd®szobamérleg segítségével az osztály tanulói önállóan mérjék meg

saját tömegüket. Ez a méréssorozat arra is alkalmas, hogy a gyermekek ismerkedjenek

a közelít® érték fogalmával. Fedeztessük fel, hogy a mérések nem pontosak. Most

azt az egész számot fogadjuk el mérési eredménynek, amelyik a valódi értékhez leg-

közelebb áll. A mérésekhez kapcsolódóan statisztikai vizsgálatokat is végeztethetünk,

lejegyeztethetjük, összegy¶jtethetjük, rendszereztethetjük az adatokat. Például a kapott

eredményekr®l táblázatot készíttethetünk:

15{19 kg 20{21 kg 22{23 kg 24{25 kg 26{28 kg

jjj jjjj jjjj j jjjj jjj

Bár a mindennapi életben a tömeg helyett a testek súlyáról beszélünk, a matematikaórán

kerüljük a �súly", �súlya" kifejezések használatát. Ugyanis, bár a test súlya (adott földrajzi

helyen) egyenesen arányos a tömegével, a súly más �zikai fogalom, mint a tömeg, más

a mértékegysége is.

Tk. 102/Figyeld meg!: A kilogrammal és a dekagrammal foglalkozunk a tömegmérték-

egységek közül. A tömeg szabványmértékegységét az ¶rtartalom szabványmértékegy-

sége segítségével értelmezhetjük. 1 l (hideg, 4 �C-os) tiszta víz tömege 1 kg. E

fogalmak kialakításakor is fontos, hogy jól ismert mennyiségek (például 1 zacskó cukor,

liszt, só stb.) tömegéhez köt®djék az 1 kg fogalma. Ugyanez vonatkozik az 1 dkg

fogalmának kialakítására is. (Lásd tankönyv 63. oldal.)

Hívjuk fel a gyermekek �gyelmét a kilogramm, dekagramm helyesírására.



151


Tk. 103/1. feladat: Beszéljük meg, hogy a kisebb tömeg¶ állattól mutat a nyíl a nagyobb

tömeg¶ állat felé.

Megoldás: Fecskét®l a tyúkhoz,

a kutyához,

a disznóhoz,

a lóhoz mutat nyíl.

Tyúktól a kutyához,

a disznóhoz,


Kutyától a disznóhoz,


Disznótól a lóhoz mutat a nyíl.

Tk. 103/2. feladat: Különböz® testek tömegének összehasonlítása, becslése, tényleges

megmérése el®zze meg ezeknek a feladatoknak a feldolgozását.

Megoldás: Szilva � 2 dkg, kakas � 3 kg, kislány � 20 kg.

Tk. 103/3. feladat: Különböz® testek tömegének összehasonlítása, becslése, tényleges

megmérése el®zze meg ezeknek a feladatoknak a feldolgozását.

Megoldás: Kis�ú � 25 kg, mókus � 25 dkg, liszt � 1 kg,

tojás � 6 dkg, vödör víz � 10 kg, pohár víz � 20 dkg.

Tk. 103/4. feladat: Ha el®tte többször mértek már a gyerekek ehhez hasonló mérlegen,

könnyebben meg tudják oldani a feladatot.

Megoldás: 50 + 5 = 55 dkg 3 � 20 = 60 dkg 50 { 20 = 30 dkg

Gy. 100/1. feladat: A legnagyobb tömeg¶ tárgytól minden t®le különböz®höz mutat nyíl,

és így tovább. Ugyanakkor ehhez a feladathoz kapcsolódva méréssel is ellen®riztethet-

jük a megoldás helyességét.

Megoldás: Hátizsáktól a 2 l-es üveghez,

a 1 l tejhez,

a kenyérhez,

a könyvhöz mutat a nyíl.

2 l-es üvegt®l az 1 l tejhez,

a kenyérhez,

a könyvhöz mutat a nyíl.

1 l tejt®l a könyvhöz mutat a nyíl.

Kenyért®l a könyvhöz mutat a nyíl.

Gy. 100/2. feladat: A megoldást el®zze meg különböz® gyümölcsök tömegének becs-

lése, mérése.




Megoldás:

10 dkg 1 és fél kg 20 dkg 1 és fél dkg 8 dkg

Gy. 100/3. feladat: Sok hasonló feladatot oldassunk meg tényleges méréssel. A méré-

sek el®tt végezzenek becslést a gyermekek.

A gyermekek dolgozhatnak páros vagy kis csoportos munkában. Szervezhetjük úgy a

munkát, hogy minden csoport ugyanazokat a méréseket végzi el. Más lehet®ség: a

különböz® csoportok mást-mást mérnek, s a mérések elvégzése után az osztály el®tt

beszámolnak a tapasztaltakról. Ez utóbbi esetben a gyermekek megbecsülhetik a töb-

bi csoport mérésének eredményét is, ezzel is fejleszthetjük a mások munkájára való

oda�gyelést.

Megoldás:

> < >

Gy. 100/4. feladat: A kilogramm és a dekagramm közötti kapcsolat tudatosítását és

a kerek tízesekkel való számolás gyakorlását szolgálja a feladat. Problémát jelenthet,

hogy a szövegben és a táblázatban különböz® mértékegység szerepel.

Megoldás: Ennyi epret szedett 10 dkg 40 dkg 30 dkg 95 dkg 100 dkg

Ennyit kell még szednie 90 dkg 60 dkg 70 dkg 5 dkg 0 dkg

Gy. 100/5. feladat: Az ¶rtartalom és a tömeg közti összefüggés felfedezésére szolgáló

feladat. A feladat megoldása el®tt végeztessünk konkrét méréseket a gyermekekkel.

Megoldás: 1 l víz tömege 1 kg = 100 dkg 1 dl víz tömege = 10 dkg

A mérésekr®l tanultak gyakorlása





egyéni munkavégzések, természettudatosságra nevelés, egészséges életmód.



153


Óra: 81{82. 90{91. 99{100.

Összefoglaljuk a hosszúság-, ¶rtartalom-, tömeg- és id®mérésr®l tanultakat. Figyeljük

meg a mér®szám és mértékegység közti kapcsolatot. Beszéljük meg a mértékegysé-

gekhez kapcsolódó szöveges feladatok megoldásmenetét.

Tk. 104/1 kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg a szöveges feladatok megoldásme-

netét. Figyeljük meg, hogy az adatok kigy¶jtésekor azonos mértékegységben fejezzük

ki a mennyiségeket, s jelöljük az összefüggéseket.

Tk. 104/1. feladat: Szöveges feladat megoldása az id® mértékegységeir®l tanultak

gyakorlására. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: Adatok: ö = 1 óra = 60 perc, gy = 20 perc, t = ?

Terv: t = ö { gy

Számolás: t = 60 { 20 ö = 40 perc

Ellen®rzés: 40 + 20 = 60

Válasz: 40 percig tornásztak.

Tk. 104/2. feladat: Figyeltessük meg az óra nagymutatója és az 5-ös szorzótábla közti

kapcsolatot.

Megoldás: 1 � 5 = 5 3 � 5 = 15 6 � 5 = 30 9 � 5 = 45

Tk. 104/3. feladat: Figyeltessük meg az óra nagymutatója és az 5-ös szorzótábla közti

kapcsolatot.

Megoldás: 10 : 5 = 2 20 : 5 = 4 35 : 5 = 7 40 : 5 = 8

A 2-es A 4-es A 7-es A 8-as

számon áll. számon áll. számon áll. számon áll.

Tk. 105/4. feladat: Szöveges feladat megoldása az ¶rtartalom mértékegységeir®l tanul-

tak gyakorlására. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: Adatok: v = 45 cl, e = 2 dl = 20 cl, m = ?

Terv: m = v { e

Számolás: m = 45 { 20 m = 25 cl

Ellen®rzés: 25 + 20 = 45

Válasz: 25 cl = 2 dl 5 cl tejföl maradt.

Tk. 105/5. feladat: Szöveges feladat megoldása az ¶rtartalom mértékegységeir®l tanul-

tak gyakorlására. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: Adatok: v = 8 l = 80 dl, i = 6 dl, m = ?

Terv: m = v { i

Számolás: m = 80 { 6 m = 74 dl

Ellen®rzés: 74 + 6 = 80

Válasz: 74 dl = 7 l 4 dl víz maradt a vödörben.




Tk. 105/6. feladat: Szöveges feladat megoldása a tömeg mértékegységeir®l tanultak

gyakorlására. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: Adatok: cs = 48 dkg, cs <�2 t, t = ?

Terv: t = 2 � cs

Számolás: t = 2 � 48 t = 96 dkg

Ellen®rzés: 48 <�2 96

Válasz: 96 dkg egy t®kés réce tömege.

Tk. 105/7. feladat: Sok hasonló feladatot oldassunk meg tényleges méréssel.

Megoldás: Alma � 16 dkg, citrom � 6 dkg, körte � 20 dkg,

körte + szilva � 22 dkg, alma + citrom � 22 dkg, körte + citrom � 26 dkg.

Gy. 101/1. feladat: A hét és nap közti kapcsolat gyakoroltatására szánt feladat.

Megoldás: 14 nap 21 nap 28 nap

35 nap 42 nap 70 nap

Gy. 101/2. feladat: Szöveges feladat megoldása a mértékegységeir®l tanultak gyakor-

lására. Szövegértés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: a) Adatok: 1 kancsó 6 dl

x kancsó 3 l 6 dl = 36 dl x = ?

Terv: x = 36 : 6

Számolás: x = 6

Ellen®rzés: 6 � 6 = 36

Válasz: 6 kancsó tölthet® meg.

b) Adatok: 4 rész 2 l 8 dl = 28 dl

1 rész x x = ?

Terv: x = 28 : 4

Számolás: x = 7 dl


Válasz: 7 dl víz jut egy-egy edénybe.

c) Adatok: K = fél kg = 50 dkg, H < K, H = ?

20 dkg-mal

Terv: H = K { 20

Számolás: H = 50 { 20 H = 30 dkg

Ellen®rzés: 30 + 20 = 50

Válasz: 30 dkg szalámit vásárolt édesanya hétf®n.



155


d) Adatok: Háromnegyed óra 3 perc = 48 perc

6 perc 1 m

48 perc x m x = ?

Terv: x = 48 : 6

Számolás: x = 8 m


Válasz: 8 m-t tesz meg.

Gy. 101/3. feladat: Szöveggel adott függvény a 3-as szorzótábla gyakorlására. A

gyermekek fogalmazzák meg a hozzárendelés szabályát.

Megoldás: Eprek száma 1 5 4 10 7 2 6 9 3 8

Eprek tömege 3 15 12 30 21 6 18 27 9 24

Kétjegy¶ számok összeadása és kivonása tízesek átlépése nélkül


gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,

szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, tér-

beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, prob-

lémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,

kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, koopera-

tív és önálló munkavégzés.

Óra: 83{87. 92{98. 101{107.

A tanulóknak erre az id®szakra már biztos számolási rutinnal kell rendelkezniük a ke-

rek tízesek összeadásában, kivonásában, valamint a kétjegy¶ számokhoz egyjegy¶ek

hozzáadásában, illetve a kétjegy¶ számokból egyjegy¶ számok kivonásában. Fel kell

ismerniük azokat az analóg számítási modelleket, amelyek segítenek ezeknek a m¶ve-

leteknek az elvégzésében. A begyakorlásra az elmúlt id®szakban folyamatosan biztosí-

tottunk feladatokat, így továbbléphetünk a kétjegy¶ számok összeadására, kivonására.

Tartsuk be a fokozatosság elvét. A kétjegy¶ számok összeadására és kivonására el®ször

olyan feladatokat adjunk, amelyek nem vezetnek a tízesek átlépésére. Ha a kétjegy¶

számok összeadása, kivonása a tízesek átlépése nélkül már biztosan megy a tanulók-

nak, akkor lépjünk csak tovább.

Adjunk többféle megoldási modellt, hogy minden tanuló kiválaszthassa a neki legmeg-

felel®bbet, akár többet is. Hosszú ideig mondassuk el a tanulókkal, hogyan számoltak.

Például: 32 + 13 =

A kétjegy¶ számhoz el®ször a tízeseket adjuk hozzá: 32 meg 10 az 42, utána az egye-

seket: 42 meg 3 az 45.

A kétjegy¶ számhoz el®ször az egyeseket adjuk hozzá: 32 meg 3 az 35, utána a

tízeseket: 35 meg 10 az 45.




Természetesen a gyermek bármilyen helyes gondolatmenetét el kell fogadnunk és meg

kell er®sítenünk. Egyik modellt se er®ltessük a gyermekre. Hagyjuk, hadd válassza ki

saját maga a számára legmegfelel®bbet.

A sokféle megoldás keresése fejleszti a gyermekek problémaérzékenységét és gondol-

kodásának rugalmasságát, amely a kreatív matematikai gondolkodás egyik legfontosabb

alappillére. Ugyanakkor a számok összeadása, kivonása során alkalmazható számolási

tervek végiggondolása fejleszti a fegyelmezett, algoritmikus gondolkodást, a matemati-

kai tevékenység másik igen fontos összetev®jét.

Azoknak a tanulóknak, akiknek önállóan nem sikerül megtalálni a megfelel® számolási

terveket, meg kell tanítanunk egy eljárást, ellenkez® esetben reménytelenül lemaradnak

a többiekt®l.

Ha kezdetben szükséges az eszközhasználat, akkor

játék pénzzel modellezhetjük az összeadást és a kivonást, illetve

számegyenesen (mér®szalagon) �gyeltessük meg a feladat megoldásának menetét.

A begyakorlás során fokozatosan hagyjuk el az eszközöket.

A szöveges feladatokat kezdetben részenként oldassuk meg:

1 A tanulók önállóan olvassák el a feladatot. Néhány tanuló mondja el a saját szavaival.

2 Az adatokat önállóan gy¶jtsék ki. Beszéljük meg, hogy mi adott, milyen kapcsolatok

vannak az adatok között, mi a kérdés.

3 A megoldási tervet önállóan készítsék el, ezt is ellen®rizzük.

4 A számolást önállóan végezzék el, majd az eredményt ellen®rizzük: Helyesen

számoltunk-e? Az eredmény megfelel-e a feladat szövegének?

5 Figyeljünk, hogy ne maradjon el a szöveges válasz.

Kés®bb fokozatosan el kell jutnunk az önálló feladatmegoldáshoz, ahol egy ellen®rzés

van, a szöveges válasz elkészítése után.

Tk. 106/1. kidolgozott mintapélda: A kétjegy¶ számok összeadására mutatunk meg-

oldási modellt. Beszéljük meg a számolás módját.

Tk. 106/1. feladat: Ha a számítás elvégzéséhez egyes tanulóknak szüksége van esz-

közre, játék pénzzel modelezzük a feladatot. Figyeltessük meg, hogy a tagok változásá-

val hogyan változik az összeg.

Megoldás: 14 + 20 = 34 21 + 30 = 51 46 + 10 = 56

14 + 23 = 37 21 + 34 = 55 46 + 12 = 58

14 + 2 = 16 23 + 3 = 26 35 + 2 = 37

14 + 32 = 46 23 + 23 = 46 35 + 22 = 57

Tk. 107/2. feladat: Ha a számítás elvégzéséhez egyes tanulóknak szüksége van esz-

közre, játék pénzzel modelezzük a feladatot. Figyeltessük meg, hogy a tagok változásá-

val hogyan változik az összeg.

Megoldás: 13 + 2 = 15 13 + 12 = 25

13 + 32 = 45 23 + 32 = 55

Tk. 107/3. feladat: A kétjegy¶ számok összeadásának algoritmusát számegyenessel,

grá�al szemléltetjük. Számolhatunk úgy, hogy el®ször a tízeseket adjuk hozzá a szám-



157


hoz, majd az egyeseket, illetve úgy is, hogy el®ször az egyeseket, majd a tízeseket

adjuk a számhoz.

Megoldás: 3 4

14

+ 5

3 9

+ 2 01 9

+20

+25

+5

8 4

64

+ 5

8 9

+ 2 06 9

+20

+25

+5

Tk. 107/4. feladat: Tasziló összegy¶jtötte azokat a típushibákat, melyeket a tanulók

gyakran elkövetnek. Beszéljük meg, mikor mi a hiba, hogyan lehet kijavítani.

Megoldás: 32 + 45 = 77 46 + 12 = 58 34 + 51 = 85

Tk. 108/5. feladat: Algoritmus a kétjegy¶ számok összeadására. El®ször a tízeseket

adjuk hozzá a számhoz, majd az egyeseket. A számolási algoritmust a színek teszik

szemléletessé.

Megoldás: 3 4 + 2 5 = 5 9z }| {

+ 2 0 + 5

1 6 + 3 1 = 4 7z }| {

+ 3 0 + 1

2 5 + 1 3 = 3 8z }| {

+ 1 0 + 3

2 2 + 1 8 = 4 0z }| {

+ 1 0 + 8

Tk. 108/6. feladat: Játék pénzzel hasonló feladatokat oldathatunk meg a tanulókkal.

Megoldás: Anna: 53 + 45 = 98 98 tallért �zetett Anna.

Bea: 14 + 32 = 46 46 tallért �zetett Bea.

Cili: 14 + 35 = 59

14 + 53 = 67

32 + 45 = 77

32 + 53 = 85 tallért �zethetett Cili.




Tk. 108/7. feladat: Képi gondolkodást fejleszt® feladat az összeadás gyakorlására.

Megoldás: 97

43 54

12 31 23

89

35 54

12 23 31

78

35 48

23 12 31

79

34 45

21 13 32

98

53 45

21 32 13

87

53 34

32 21 13

Tk. 109/2. kidolgozott mintapélda: A kétjegy¶ számok kivonására mutatunk megoldási

modellt. Beszéljük meg a számolás módját.

Tk. 109/8. feladat: Algoritmus a kétjegy¶ számok kivonására. El®ször a tízeseket, majd

az egyeseket vonjuk ki a kisebbítend®b®l. Ha szükséges, játék pénzzel modellezzük a

m¶veletet.

Megoldás: a) 25 { 10 = 15 45 { 20 = 25 54 { 50 = 4

25 { 13 = 12 45 { 24 = 21 54 { 52 = 2

b) 36 { 4 = 32 47 { 3 = 44 35 { 5 = 30

36 { 24 = 12 47 { 13 = 34 35 { 25 = 10

Tk. 110/9. feladat: Algoritmus a kétjegy¶ számok kivonására. El®ször a tízeseket, majd

az egyeseket vonjuk ki a kisebbítend®b®l. Ha szükséges, játék pénzzel modellezzük a

m¶veletet.

Megoldás: 25 { 3 = 22 25 { 13 = 12

45 { 13 = 32 45 { 23 = 22

Tk. 110/10. feladat: A kétjegy¶ számok kivonásának algoritmusát számegyenessel,

grá�al szemléltetjük. Számolhatunk úgy, hogy el®ször a tízeseket vonjuk ki a számból,

majd az egyeseket, illetve úgy is, hogy el®ször az egyeseket, majd a tízeseket vonjuk ki

a számból.

Megoldás: 3 4

39

{ 2 0

1 4

{ 51 9

{ 5

{ 25

{ 20

8 4

89

{ 2 0

6 4

{ 56 9

{ 5

{ 25

{ 20



159


Tk. 110/11. feladat: Tasziló összegy¶jtötte azokat a típushibákat, melyeket a tanulók

gyakran elkövetnek. Beszéljük meg, mikor mi a hiba, hogyan lehet kijavítani.

Megoldás: 65 { 13 = 52 46 { 32 = 14 74 { 51 = 23

Tk. 111/12. feladat: Algoritmus a kétjegy¶ számok kivonására. El®ször a tízeseket

vonjuk ki a kisebbítend®b®l, majd az egyeseket. A számolási algoritmust a színek teszik

szemléletessé.

Megoldás: 3 6 { 2 5 = 1 1z }| {

{ 2 0 { 5

3 8 { 1 6 = 2 2z }| {

{ 1 0 { 6

3 5 { 2 4 = 1 1z }| {

{ 2 0 { 4

2 5 { 1 5 = 1 0z }| {

{ 1 0 { 5

2 7 { 2 3 = 4z }| {

{ 2 0 { 3

2 6 { 1 4 = 1 2z }| {

{ 1 0 { 4

Tk. 111/13. feladat: Az összeadás tulajdonságairól, a tagok felcserélhet®ségér®l (kom-

mutativitás), csoportosíthatóságáról (asszociativitás), az összeadás és kivonás kapcso-

latáról már sok tapasztalatot szereztek. Ezek a tulajdonságok a most gyakorolt m¶veletek

körében is érvényben maradnak. Ezt a gyermekek képesek megsejteni, s a feladatokat

önállóan meg tudják oldani.

Megoldás: 7 + 7 = 14 30 + 30 = 60 37 + 37 = 74

2 � 7 = 14 2 � 30 = 60 2 � 37 = 74

6 + 6 = 12 40 + 40 = 80 46 + 46 = 92

2 � 6 = 12 2 � 40 = 80 2 � 46 = 92

Tk. 111/14. feladat: Az összeadás kivonás gyakorlására szánt feladat.

Megoldás: 21 + 32 = 53 56 { 21 = 35

56 + 43 = 99 32 { 21 = 11

32 + 43 = 75 56 { 43 = 13

56 + 21 = 77 43 { 32 = 11

Tk. 112/15. feladat: A képi gondolkodás fejlesztésére, az összeadás gyakorlására szánt

feladat.

Megoldás: 21 + 55 = 76 76 m-t tesz meg a kismalac.

21 + 44 + 11 + 23 = 99 99 m-t is megtehet a malac.

11 + 23 = 34 34 m-t tesz meg a mókus.

44 + 55 = 99 99 m-t is megtehet a mókus.




55 + 44 = 99 99 m-t tesz meg a bocs.

55 + 21 + 34 = 110 110 m-t is megtehet a bocs.

21 + 34 = 55 55 m-t tesz meg a nyuszi.

11 + 44 = 55 55 m-t tehet meg a süni.

11 + 34 + 21 = 66 66 m-t tehet meg a süni.

23 + 55 = 78 78 m-t tehet meg a süni.

Tk. 112/16. feladat: Az el®z® feladathoz kapcsolódó feladat a kivonás gyakorlására.

Megoldás: 34 { 21 = 13

13 m-rel messzebb lakik a mókus a kismalactól, mint a kismalac a nyuszitól.

55 { 44 = 11

11 m-rel messzebb lakik a medvebocs a nyuszitól, mint a mókus a nyuszitól.

(34 + 11 + 23) { (11 + 44) = 68 { 55 = 13

13 m-rel messzebb lakik a kismalac a medvebocstól, mint a süni a nyuszitól.

Tk. 113/3. kidolgozott mintapélda: Az összeadás (valamennyivel több) és kivonás

(valamennyivel kevesebb) kapcsolatát szemléltet® feladat.

Tk. 113/17. feladat: Szöveges feladat megoldása a kivonás gyakorlására. Szövegértés,

szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: Adatok: k = 56 cm, k >23 cm-rel

® ® = ?

Terv: ® = k { 23

Számolás: ® = 56 { 23 ® = 33 cm

Ellen®rzés: 33 + 23 = 56

Válasz: 33 cm = 3 dm 3 cm a nagy ®rgébics testhossza.

Tk. 113/18. feladat: Szöveges feladat megoldása az összeadás gyakorlására. Szöveg-

értés, szövegesfeladat-megoldási készség fejlesztése.

Megoldás: Adatok: v = 45 cm, v <21 cm-rel

u u = ?

Terv: u = v + 21

Számolás: u = 45 + 21 ® = 66 cm

Ellen®rzés: 45 <21

66

Válasz: 66 cm = 6 dm 6 cm az uhu testhossza.

Tk. 114/19. feladat: Az összeadás kivonás gyakorlására szánt játékos feladat.

Megoldás: a = 57 á = 44 b = 67 c = 65 cs = 49 d = 40

e = 22 é = 39 f = 86 g = 12 gy = 17 h = 45

i = 3 í = 65 j = 6 k = 15 l = 84 ly = 5



161


m = 6 n = 86 ny = 77 o = 30 ó = 79 ö = 41

® = 21 p = 86 q = 21 r = 22 s = 23 sz = 88

t = 96 ty = 32 u = 88 ú = 79 ü = 23 ¶ = 88

v = 39 w = 68 x = 79 y = 32 z = 40

Gy. 102/1. feladat: Figyeltessük meg, hogy a tagok változásával hogyan változik az

összeg.

Megoldás: 3 + 14 = 17 13 + 14 = 27 13 + 24 = 37

Gy. 102/2. feladat: Gyakoroltatjuk a kétjegy¶ számok összeadását, a helyiérték átlépé-

se nélkül.




Megoldás: Részeredmény Végeredmény Részeredmény Végeredmény

a) 36 39 74 76

b) 51 56 37 38

c) 93 99 92 99

d) 33 38 34 39

e) 72 80 96 99

Gy. 102/3. feladat: Gyakoroltatjuk a kétjegy¶ számok összeadását, a helyiérték átlépé-

se nélkül.

Megoldás:

a)

13

+ 405 3

+ 65 9

+ 4 6

6

+ 28

+ 30

3 8

+ 3 2

b)

21

+ 605 3

+ 65 9

+ 6 7

65

+ 36 8

+ 208 8

+ 2 3

c)

42

+ 509 2

+ 49 6

+ 5 4

54

+ 55 9

+ 106 9

+ 1 5

Gy. 103/4. feladat: Figyeltessük meg, hogyan változik a különbség, ha a kisebbítend®t

és a kivonandót is ugyanannyival növeljük, illetve csak a kisebbítend®t növeljük.

Megoldás: 18 { 5 = 13 28 { 15 = 13 38 { 15 = 23

Gy. 103/5. feladat: Gyakoroltatjuk a kétjegy¶ számok kivonását, a helyiérték átlépése

nélkül.


a) 15 14 26 24

b) 29 26 24 23

c) 28 22 35 32

d) 26 21 17 13

e) 37 30 5 3

Gy. 103/6. feladat: Gyakoroltatjuk a kétjegy¶ számok kivonását, a helyiérték átlépése

nélkül.



163


Megoldás:

a)

28

{ 10

1 8

{ 7

1 1

{ 1 7

45

{ 24 3

{ 30

1 3

{ 3 2

b)

76

{ 40

3 6{ 4

3 2

{ 4 4

59

{ 35 6

{ 50

6

{ 5 3

c)

37

{ 201 7

{ 6

1 1

{ 2 6

84

{ 18 3

{ 60

2 3

{ 6 1

Gy. 104/7. feladat: Gyakoroltatjuk a kétjegy¶ számok összeadását, kivonását, a

helyiérték átlépése nélkül.

Megoldás: a) 50 80 30 40

90 90 20 60

70 50 10 10

b) 62 75 16 56

66 96 49 25

68 72 23 31

c) 37 39 50 92

57 76 42 81

29 66 31 71

d) 83 79 27 94

88 38 16 60

49 55 15 51



Megoldás: a) 70 58 97 87

70 67 55 68

90 85 77 67

b) 50 25 53 22

20 24 26 24

30 21 11 22

c) 48 68 49 88




37 67 58 79

78 58 69 84

d) 42 23 32 65

53 41 31 11

24 51 21 24

e) 87 77 33 22

99 97 21 22

87 97 21 22


helyiérték átlépése nélkül. Hiányzó tag, illetve kisebbítend®, kivonandó pótlása.

Megoldás: a) 21 32 52 33

52 24 42 83

17 22 62 33

b) 62 52 29 87

14 42 39 67

61 12 67 69

c) 31 42 52 49

52 35 64 78

21 26 42 86



Megoldás: a) 90 56 22 36

50 92 21 48

60 57 35 57

b) 10 23 17 12

40 25 19 54

60 38 18 62

c) 76 36 30 51

28 28 50 92

32 58 70 83

Gy. 105/11. feladat: A számolási rutin fejlesztése mellett �gyeltessük meg a tanulókkal:

1 Az összeg változásait: Ha valamelyik tagot növeljük, az összeg n®, ha csökkentjük,

az összeg csökken, ha a másik tag változatlan. Meg�gyelés tárgya lehet az is,

hogyan változtathatjuk a tagokat úgy, hogy az összeg ne változzék.

2 A különbség változásait:

A kisebbítend® változtatásával hogyan változik a különbség?



165


A kivonandó változtatásával hogyan változik a különbség?

Hogyan változtathatjuk meg a kisebbítend®t és a kivonandót, hogy a különbség ne

változzék?

a)

5 8z }| {

35 + 23 <

6 8z }| {

35 + 33

3 4z }| {

76 { 42 >

2 4z }| {

76 { 52

b)

6 8z }| {

26 + 42 =

6 8z }| {

42 + 26

5 1z }| {

85 { 34 >

4 1z }| {

75 { 34

c)

8 9z }| {

54 + 35 >

8 7z }| {

54 + 33

4 6z }| {

98 { 52 =

4 6z }| {

99 { 53

Gy. 106/12. feladat: A négy szöveges feladatot ugyanazon az órán dolgozzuk fel.

Követeljük meg a szöveges feladatok megoldási menetének betartását.

1 A szöveg elolvasása, értelmezése, a szükséges adatok kigy¶jtése.

2 Megoldási terv készítése, megoldás.

3 Szöveges válasz.

Megoldás: a) Adatok: p = 85, e = 32, m = ?

Terv: m = p { e

Számolás: m = 85 { 32 m = 53

Ellen®rzés: 53 + 32 = 85

Válasz: 53 buborékot kell még a víz alá vinnie.

b) Adatok: de = 13, du = 24, ö = ?

Terv: ö = de + du

Számolás: ö = 13 + 24 ö = 37

Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.

Válasz: 37 legyet fogott összesen Keresztespók.

c) Adatok: k = 16, k <21-gyel

f, f = ?

Terv: 21-gyel

Számolás: f = k + 21

Ellen®rzés: f = 16 + 21 f = 37

Válasz: 37 hangya cipelte a f¶szálat.

d) Adatok: v = 38, v >25-tel

k, k = ?

Terv: k = v { 25




Számolás: k = 38 { 25 k = 13

Ellen®rzés: 13 + 25 = 38

Válasz: 13 méhecske takarította a kaptár bejáratát.

Gy. 106/13. feladat: Kétjegy¶ számok összeadását, kivonását helyiérték-átlépés nélkül

gyakoroltató feladatsorok.

Megoldás:

34+ 20

5 4+ 3

5 7

+ 2 3 + 3 1

+ 308 7

+ 18 8

+ 109 8

+ 3 3 + 1 1

Gy. 107/14. feladat: Fontos, hogy a gyermekek a szöveg alapján felismerjék az össze-

függéseket, és ezek alapján szabályokat alkossanak, amelyekkel ki tudják tölteni a

táblázat hiányzó adatait. A hiányzó számok pótlására felhasználhatják az összeadásról,

illetve az összeadás és a kivonás kapcsolatáról korábban szerzett ismereteiket.

Megoldás: P 35 48 48 55 26 39 59 64 47 56 84 97

R 22 35 35 42 13 26 46 51 34 43 71 84

Gy. 107/15. feladat: Fontos, hogy a gyermekek a szöveg alapján felismerjék az össze-

függéseket, és ezek alapján szabályokat alkossanak, amelyekkel ki tudják tölteni a

táblázat hiányzó adatait. A hiányzó számok pótlására felhasználhatják az összeadásról,

illetve az összeadás és a kivonás kapcsolatáról korábban szerzett ismereteiket.

Megoldás: S 35 37 62 61 50 72 63 35 24 40 23 78

T 43 41 16 17 28 6 15 43 54 38 55 0

Gy. 107/16. feladat: Ebben a feladatokban észre kell venniük a tanulóknak, hogy az

egyenl®tlenségeknek több megoldásuk van. A feladatok lehet®séget adnak az indirekt

di�erenciálásra. A gyengébbek néhány megoldást találnak meg, míg az ügyesebbek

mindet.

Nem törekedtünk arra, hogy a táblázatokban ugyanannyi hely legyen, mint a helyes

megoldások száma. Ennek oka egyrészt az, hogy legyen hely a próbálgatásoknak,

másrészt nem kívántuk sugallni a helyes megoldások számát. A legjobbak saját maguk

jöjjenek rá, hogy megtalálták-e az összes megoldást.

A feladat megoldása el®tt célszer¶ kikötni, hogy a gyümölcslé egész forintba került.

Megoldás: Volt 57 57 57 57 57 57 57 57 57 57 57 57

Költött 26 25 24 23 22 21 20

Maradt 31 32 33 34 35 36 37



167


Gy. 107/17. feladat: Ebben a feladatban észre kell venniük a tanulóknak, hogy az



mindet.

Megoldás: Volt 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88

Kapott 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Lett 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Gy. 107/18. feladat: Ebben a feladatban észre kell venniük a tanulóknak, hogy az



mindet.

Megoldás: F 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24

L 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43

H 0 1 2 3 4 5 6 7

Összesen 67 68 69 70 71 72 73 74

Kétjegy¶ számok összeadása és kivonása tízesek átlépésével


gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,

szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, tér-

beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, prob-

lémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,

kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontos-

ság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés.

Óra: 88{95. 99{108. 108{117.

A tanulóknak erre az id®szakra már biztos számolási rutinnal kell rendelkezniük a kerek

tízesek összeadásában, kivonásában; a kétjegy¶ számokhoz egyjegy¶ hozzáadásában,

kivonásában helyiérték-átlépéssel; valamint kétjegy¶ számok összeadásában, kivoná-

sában helyiérték átlépése nélkül.

Továbblépve kétjegy¶ számokhoz kétjegy¶ számokat adunk, illetve veszünk el helyiérték

átlépésével. Itt is többféle modellt mutatunk be, ami nem jelenti azt, hogy csak ezek

alkalmazását várjuk. Természetesen a tanulók bármilyen helyes gondolatmenetét el kell

fogadnunk és meg kell er®sítenünk.

Tk. 115/1. kidolgozott mintapélda: Egy megoldási modellt mutatunk be játék pénzzel

az összeadásnál a tízesátlépés szemléltetésére.



Hajdu program 2 HAJ2PRI 2008. szeptember 28. {18:21 (1. old.)

Tk. 115/1. feladat: Ezzel a feladattal készítjük el® a kétjegy¶ számok összeadását

helyiérték-átlépéssel. Kétjegy¶ számok összeadása, az összeg kerek tízes, illetve

kétjegy¶ szám pótlása kerek tízesre. A megoldások során �gyeltessük meg a tagok és

az összeg változásai közötti összefüggéseket.

Az els® taghoz hozzáadjuk a második tag tízeseit, majd az egyeseit, illetve az els®

taghoz hozzáadjuk a második tag egyeseit, majd a tízeseit.

Megoldás: 24 + 36 = 60z }| {

+30 + 6

37 + 23 = 60z }| {

+20 + 3

Tk. 116/2. feladat: Ezzel a feladattal készítjük el® a kétjegy¶ számok összeadását




Kétjegy¶ számot kerek tízesre egészítünk ki. Figyeltessük meg a három összeadás

közötti analógiát.

Megoldás: 23 + 7 = 30 23 + 17 = 40 23 + 37 = 60

Tk. 116/3. feladat: A tanult algoritmusok begyakorlását segít® feladatsor, amelyben

megszilárdulhat, tudatosulhat a tanult eljárás.

Megoldás:

26+ 30

5 6+ 7

6 3

+ 3 7

+ 4 + 3

6 0

35+ 30

6 5+ 6

7 1

+ 3 6

+ 5 + 1

6 0

Tk. 116/4. feladat: A tanult algoritmusok begyakorlását segít® feladatsor, amelyben

megszilárdulhat, tudatosulhat a tanult eljárás.

Megoldás: 24 + 17 = 41z }| {

+10 + 7

17 + 24 = 41z }| {

+4 + 20

Tk. 116/5. feladat: Kerek tízesekb®l kétjegy¶ számok kivonása. Figyeltessük meg a

sorok, illetve az oszlopok közötti analógiákat.

Ha egy számból 10-zel kisebb számot vonunk ki, az eredmény 10-zel nagyobb lesz.

Ha 10-zel nagyobb számból vonjuk ki ugyanazt a számot, az eredmény 10-zel nagyobb

lesz.

Megoldás: 40 Ft 50 Ft 60 Ft 90 Ft 100 Ft

35 Ft 5 Ft 15 Ft 25 Ft 55 Ft 65 Ft

25 Ft 15 Ft 25 Ft 35 Ft 65 Ft 75 Ft



169


Tk. 117/6. feladat: Különböz® megoldási modellekkel ismerkednek meg a tanulók. Érde-

mes meg�gyeltetni, hogy mikor melyik módszert célszer¶ használni a lehet® leggyorsabb

számolás érdekében.

Ha szükségük van a tanulóknak eszközre, játék pénzzel modellezzék a feladat megol-

dását. Figyeltessük meg, hogy a tagok változásával hogyan változik az összeg.

Megoldás: 25 + 7 = 32 16 + 8 = 24

25 + 17 = 42 16 + 28 = 44

25 + 37 = 62 46 + 38 = 84




A helyiérték-átlépés algoritmusát számegyenesen, illetve gráfon szemléltetjük.

Megoldás: 5 4

46

+ 2 0

7 4

+ 86 6

+8

+28

+20




Megoldás:

14

14 + 19 = 33z }| {

+ 20 { 1 13

13 + 18 = 31z }| {

+ 20 { 2

Tk. 118/2. kidolgozott mintapélda: Ez a feladat készíti el® a kétjegy¶ számok kivonását

helyiérték átlépésével. Fontos a felismertetése annak, hogy azok a gondolatmenetek,

amelyeket a 20-as számkörben alkalmaztunk, kiterjeszthet®k a 100-as számkörre is.

Tk. 118/9. feladat: Ez a feladat a kétjegy¶ számok kivonását szemlélteti helyiérték

átlépésével. Fontos a felismertetése annak, hogy azok a gondolatmenetek, amelyeket

a 20-as számkörben alkalmaztunk, kiterjeszthet®k a 100-as számkörre is.

Megoldás: 50 { 27 = 2 3 40 { 12 = 2 8

z }| {

{ 20 { 7z }| {

{ 10 { 2

60 { 36 = 2 4 70 { 55 = 1 5

z }| {

{ 30 { 6z }| {

{ 50 { 5




Tk. 119/10. feladat: Ez a feladat a kétjegy¶ számok kivonását szemlélteti helyiérték

átlépésével. Fontos a felismertetése annak, hogy azok a gondolatmenetek, amelyeket

a 20-as számkörben alkalmaztunk, kiterjeszthet®k a 100-as számkörre is.

Megoldás: 60 { 8 = 52 60 { 18 = 42 60 { 38 = 22

Tk. 119/11. feladat: A tanult algoritmusok begyakorlását, megszilárdulását, tudato-

sítását szolgáló feladatsorok. Ha szükséges, az ábra, illetve a gráf értelmezéséhez

használjanak a tanulók játék pénzt.

Megoldás:

54{ 30

2 4{ 6

1 8

{ 3 6

{ 4 { 2

2 0

72{ 20

5 2{ 8

4 4

{ 2 8

{ 2 { 6

5 0

Tk. 119/12. feladat: A tanult algoritmusok begyakorlását, megszilárdulását, tudatosítá-

sát szolgáló feladatsorok.

Figyeltessük meg, hogy a kivonandó változásával hogyan változik a különbség.

Megoldás: 42 { 25 = 1 7 42 { 15 = 2 7 42 { 27 = 1 5z }| {

{ 20 { 5z }| {

{ 10 { 5z }| {

{ 20 { 7

42 { 25 = 1 7 42 { 15 = 2 7 42 { 27 = 1 5z }| {

{ 5 { 20z }| {

{ 5 { 10z }| {

{ 7 { 20

Tk. 119/13. feladat: Figyeltessük meg, hogy a kisebbítend®, illetve a kivonandó

változásával hogyan változik a különbség.

Megoldás: 45 Ft 50 Ft 65 Ft 95 Ft 100 Ft

100 Ft 55 Ft 50 Ft 35 Ft 5 Ft 0 Ft

Tk. 120/14. feladat: Különböz® megoldási modelleket mutatunk be. Figyeltessük meg,

mikor melyik algoritmust célszer¶ használni a lehet® leggyorsabb számolás érdekében.

Figyeltessük meg, hogy a kisebbítend® változtatásával hogyan változik a különbség.

Megoldás: 54 { 9 = 45 44 { 19 = 25

54 { 29 = 25 44 { 29 = 15



A helyiérték-átlépés algoritmusát számegyenesen, illetve gráfon szemléltetjük.



171


Megoldás: 5 4

74

{ 8

4 6

{ 2 06 6

{ 20

{ 28

{ 8



Adjunk több hasonló feladatot szituációs játékban a tanulóknak. Például: vásárlás.

Megoldás: 53 { 38 = 1 5 65 { 49 = 1 6z }| {

53 { 40 + 2z }| {

65 { 50 + 1

Tk. 121/17. feladat: Kérjük a szöveges feladatok megoldási menetének betartását.

Megoldás: Adatok: l = 26 cm, z = 3 dm 8 cm = 38 cm, ö = ?

Terv: ö = l + z

Számolás: ö = 26 + 38 ö = 64 cm

Válasz: 64 cm = 6 dm 4 cm hosszú rudat kapott Abigél.


Megoldás: Adatok: k = 6 dm 2 cm = 62 cm, l = 28 cm, m = ?

Terv: m = k { l

Számolás: m = 62 { 28 m = 34 cm

Ellen®rzés: 34 + 28 = 62

Válasz: 34 cm = 3 dm 4 cm hosszú a maradék rúd.


Megoldás: Adatok: p = 5 dm 3 cm = 53 cm, p >25 cm-rel

s s =?

Terv: s = p { 25

Számolás: s = 53 { 25 s = 28 cm

Ellen®rzés: 28 + 25 = 53

Válasz: 28 cm = 2 dm 8 cm hosszú a sárga rúd.

Tk. 122/20. feladat: A képi gondolkodás fejlesztésére, a m¶veletvégzés gyakorlására

szánt feladat.




Megoldás: 41 49 47

56 51 45

46 42 55

57 40 50

52 54 44

43 48 53


Megoldás: Adatok: M = 54 dkg, S = 37 dkg, Ö =?

Terv: Ö = M + S

Számolás: Ö = 54 + 37 Ö = 91 dkg

Válasz: 91 dkg szamócát szedtek összesen.

Tk. 123/22. feladat: Szöveges feladat megoldása mértékváltás gyakorlásával.

Megoldás: Adatok: M = 54 dkg, S = 37 dkg, Ö =?

Terv: Ö = M + S

Számolás: Ö = 54 + 37 Ö = 91 dkg

Válasz: 91 dkg szamócát szedtek összesen.


Megoldás: Adatok: t = 8 m 2 dm = 82 dm, m = 45 dm, h =?

Terv: h = t { m

Számolás: h = 82 { 45 h = 37 dm

Ellen®rzés: 37 + 45 = 82

Válasz: 37 dm = 3 m 7 dm távolságra van most a kuckójától a kis

nyuszi.



173



Megoldás: Adatok: á = 5 l 4 dl = 54 dl, á <17 dl-rel

m, m = ?

Terv: m = á + 17

Számolás: m = 54 + 17 m = 71 dl

Válasz: 71 dl = 7 l 1 dl málnaszörpöt készített Mackó mama.


Megoldás: Adatok: R = 3 m 8 dm = 38 dm, H = 45 dm, T = ?

Terv: T = R + H

Számolás: T = 38 + 45 T = 83 dm

Válasz: 83 dm = 8 m 3 dm távolságra kerültek egymástól.


Megoldás: Adatok: v = 58 dkg, v >25 dkg-mal

® ® = ?

Terv: ® = v { 25

Számolás: ® = 58 { 25 ® = 33 dkg

Ellen®rzés: 33 + 25 = 58

Válasz: 33 dkg makkot gy¶jtött a kis ®zgida.

Tk. 125/27. feladat: A képi gondolkodást, számolási rutin fejlesztését segít® feladat.

Megoldás: 94, 99, 95, 91


Megoldás:27 2 18 5 59 25 9 53

6 48 4 53 7 6 37 2

5 35 3 4 26 18 7 2

51 8 25 47 7 37 9 47

6 14 4 3 54 5 51 8

27 2 18 5 59 25 9 53

6 48 4 53 7 6 37 2

5 35 3 4 26 18 7 2

51 8 25 47 7 37 9 47

6 14 4 3 54 5 51 8




27 2 18 5 59 25 9 53

6 48 4 53 7 6 37 2

5 35 3 4 26 18 7 2

51 8 25 47 7 37 9 47

6 14 4 3 54 5 51 8


Megoldás: El®ször azoknak a színeknek az értékét határozhatjuk meg, ahol négy azo-

nos szám összege a középre írt szám.

z = 15; s = 18.

Innen már a többi számot könnyen meghatározhatjuk.

Megoldás:

16

16

16

18

18

18

18

18

18

20

15

15

15

1515

17

17

20

20


Megoldás: 4 találattal: 30 + 30 + 23 + 17

5 találattal: 23 + 23 + 21 + 17 + 16

6 találattal: 17 + 17 + 17 + 17 + 16 + 16

Tk. 125/31. feladat: Számok bontása két egyenl® tag összegére. Ismét �gyeltessük

meg az összeadás és a kivonás közti kapcsolatot.

Megoldás: A három feladat színezése független egymástól.

9 9 9 9

18 18 18

36 36

72

11 11 11 11

22 22 22

44 44

88

12 12 12 12

24 24 24

48 48

96

Gy. 108/1. feladat: Két kétjegy¶ szám összege kerek tízes. Meger®sítjük az összeadás

kommutativitásáról tanultakat.

Megoldás: a) 34 + 26 = 60 b) 27 + 43 = 70

26 + 34 = 60 43 + 27 = 70

c) 42 + 18 = 60 d) 25 + 15 = 40

18 + 42 = 60 15 + 25 = 40

e) 31 + 19 = 50

19 + 31 = 50



175


Gy. 108/2. feladat: Ezekkel a feladatokkal készítjük el® a kétjegy¶ számok összeadását




Megoldás:

a)

27

+ 33 0

+ 205 0

+ 2 3

19

+ 12 0

+ 55 0

+ 3 1

b)

34

+ 203 5

+ 66 0

+ 2 6

27

+ 33 0

+ 205 0

+ 2 3

Gy. 108/3. feladat: Ezekkel a feladatokkal készítjük el® a kétjegy¶ számok összeadását




Megoldás: a) 20 30 20 70

20 30 20 60

20 30 20 50

b) 5 25 21 41

8 38 24 54

3 23 28 88

Gy. 109/4. feladat: Figyeltessük meg az összeg változásait.

Megoldás: a) e = A + B; e = ?

e = 55 + 35 = 90 90 Ft-juk van együtt.

b) e = 55 + 10 + 35 = 65 + 35 = 100 100 Ft-juk van együtt.

c) e = 55 + 5 + 35 + 5 = 60 + 40 = 100 100 Ft-juk van együtt.

Gy. 109/5. feladat: A tanult algoritmusok begyakorlását segít® feladatsorok, amelyek-

ben megszilárdulhat, tudatosulhat a tanult eljárás.


a) 46 54 47 52

b) 48 57 33 41

c) 43 51 49 53

d) 39 48 38 46




Gy. 109/6. feladat: A tanult algoritmusok begyakorlását segít® feladatsorok, amelyek-

ben megszilárdulhat, tudatosulhat a tanult eljárás.

Megoldás: 81 83 83 45

81 83 83 45

Gy. 110/7. feladat: A minimumkövetelmények gyakorlását szolgáló feladatsor.

Megoldás: a) 50 70 70 43

55 76 77 53

58 77 79 63

b) 33 76 50 70

83 86 53 83

93 96 33 63

c) 70 36 66 67

43 35 55 57

93 65 95 95

d) 50 39 33 38

90 58 43 75

56 58 40 89

e) 57 90 63 35

60 84 34 22

70 46 44 42

f) 54 75 91 82

54 32 62 63

73 53 72 68

Gy. 110/8. feladat: Az eddig tanult szorzótáblák gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: a) 30 0 6 28

54 60 27 0

48 18 20 12

12 24 30 12

b) 3 9 10 3

3 4 2 4

5 0 1 10

1 1 4 9

8 10 4 2

Gy. 111/9. feladat: A tanult algoritmusok begyakorlását, megszilárdulását, tudatosítását

szolgáló feladatsorok.



177


Megoldás: a) 4 0 { 1 4 = 2 6 b) 6 0 { 2 8 = 3 2

2 6 + 1 4 = 4 0 3 2 + 2 8 = 6 0

c) 5 0 { 3 7 = 1 3 d) 5 0 { 1 5 = 3 5

1 3 + 3 7 = 5 0 3 5 + 1 5 = 5 0

e) 6 0 { 4 9 = 1 1 f) 4 0 { 2 3 = 1 7

1 1 + 4 9 = 6 0 1 7 + 2 3 = 4 0

Gy. 111/10. feladat: A tanult algoritmusok begyakorlását, megszilárdulását, tudatosítá-


Megoldás:

a) 40

{ 202 0

{ 51 5

{ 2 5

50

{ 34 7

{ 301 7

{ 3 3

b) 60

{ 402 0

{ 21 8

{ 4 2

30

{ 42 6

{ 101 6

{ 1 4

c) 60

{ 204 0

{ 93 1

{ 2 9

50

{ 74 3

{ 202 3

{ 2 7



Megoldás: a) 23 13 39 29

25 15 34 44

22 12 37 27

45 25 15 15

b) 48 28 18 38

46 46 36 16

Gy. 112/12. feladat: Figyeltessük meg, hogy a kivonandó, illetve a kisebbítend®

változásával hogyan változik a különbség.

Megoldás: a) k = C + D; k = ?

k = 60 { 43 = 17 Cilinek van több pénze 17 Ft-tal.

b) k = (60 + 10) { 43 = 70 { 43 = 27 Cilinek van több pénze 27 Ft-tal.

c) k = (43 + 20) { 60 = 63 { 60 = 3 Dezs®nek van több pénze 3 Ft-tal.






Megoldás: Rész- Vég- Rész- Vég-

eredmény eredmény eredmény eredmény

a) 36 27 52 44

b) 25 18 23 19

c) 27 19 22 17

d) 33 29 35 26



Megoldás: 28 56 58 37

8 56 58 37

Gy. 113/15. feladat: A számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.

Megoldás: a) 30 23 30 22

34 27 33 25

63 17 82 45

b) 40 33 62 22

42 35 58 28

73 5 87 47

c) 52 22 19 42

48 18 18 38

49 29 19 47

d) 20 82 67 70

50 72 43 27

50 56 45 26

e) 21 17 28 87

52 36 75 68

76 17 67 48

f) 49 37 36 19

26 34 16 48

39 25 38 17

Gy. 113/16. feladat: A számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor az összeadásnál a

hiányzó tag, a kivonásnál a hiányzó kisebbítend®, illetve kivonandó pótlásával.



179


Megoldás: a) 20 9 30 35

20 29 35 5

29 29 30 35

b) 20 29 60 60

20 9 64 64

9 29 64 64

c) 20 38 40 90

20 8 92 8

30 28 8 92

Gy. 114/17. feladat: A számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor az összeadásnál a

hiányzó tag, a kivonásnál a hiányzó kisebbítend®, illetve kivonandó pótlásával.

Megoldás: a) 20 9 30 35

20 29 35 5

29 29 30 35

b) 20 29 60 60

20 9 64 64

9 29 64 64

c) 20 38 40 90

20 8 92 8

30 28 8 92

Gy. 114/18. feladat: Figyeltessük meg az összeg, különbség változásit.

Megoldás: a) 61 <1 62 76 = 76 73 = 73

b) 57 1> 56 28 1> 27 57 <1 58

Gy. 114/19. feladat: Sorozat folytatása adott szabály alapján, illetve elemeivel adott

sorozat szabályának meghatározása.

Megoldás:

a) 20+ 30

5 0+ 6

5 6+ 30

8 6+ 6

9 2

b) 34

+ 2 0

54

+ 9

63

+ 2 0

83

+ 9

92

c) 70{ 20

5 0{ 8

4 2{ 20

2 2{ 8

1 4

d) 93

{ 3 0

63

{ 7

56

{ 3 0

26

{ 7

19




Gy. 115/20. feladat: Vetessük észre, hogy a szöveg helyes értelmezése, az infor-

mációk megfelel® lejegyzése mennyire fontos a helyes megoldási terv megtalálásához.

Törekedjünk az önálló munkavégzésre.

Megoldás: a) Adatok: E = 24, F = 35, ® = ?

Terv: ® = E + F

Számolás: ® = 24 + 35 ® = 59

Válasz: 59 bélyege van a két lánynak együtt.

b) Adatok: v = 80, e = 45, m = ?

Terv: m = v { e

Számolás: m = 80 { 45 m = 35

Ellen®rzés: 35 + 45 = 80

Válasz: 35 fej salátájuk maradt Piroskáéknak.

c) Adatok: p = 32, p >18-cal

s, s = ?

Terv: s = p { 18

Számolás: s = 32 { 18 s = 14

Ellen®rzés: 14 + 18 = 32

Válasz: 14 sárga tulipánjuk nyílt ki Sáráéknak.

d) Adatok: G = 17, G <

13-malH, H = ?

Terv: H = G + 13

Számolás: H = 17 + 13 H = 30

Ellen®rzés: 17 <13

30

Válasz: 30 kis autója van Henriknek.

e) Adatok: T = 63, V = 48, K = ?

Terv: K = T { V

Számolás: K = 63 { 48 K = 15

Ellen®rzés: 15 + 48 = 63

Válasz: 15-tel több palántát ültetett Teri.

f) Adatok: L = 17, N = 18, Ö = ?

Felesleges adat: M = 15

Terv: Ö = L + N

Számolás: Ö = 17 + 18 Ö = 35

Válasz: 36 mesekönyvük van a lányoknak összesen.



181



Megoldás: a) 64 79 53 64

45 82 53 64

45 62 63 84

b) 28 29 39 44

18 27 37 39

38 14 27 9

c) 75 64 44 20

81 61 56 16

87 73 58 16


Megoldás: a) 40 32 26 20

40 52 56 70

30 65 15 6

b) 65 56 35 90

4 27 37 40

72 19 57 35

c) 43 36 28 70

48 46 74 50

11 19 59 3

d) 65 20 63 85

4 60 48 60

61 30 53 64

e) 3 7 2 3

71 48 77 73

23 24 22 48

f) 62 31 68 40

3 44 9 44

82 76 80 61

Gy. 117/23. feladat: Egyszer¶, egym¶veletes szöveges feladatok a méréssel kapcsola-

tos fogalmak és a mennyiségek közötti kapcsolatok gyakorlására.

Megoldás: a) Adatok: v = 3 l 6 dl = 36 dl, h = 18 dl, l = ?

Terv: l = v + h

Számolás: l = 36 + 18 l = 54 dl

Válasz: 54 dl = 5 l 4 dl víz lesz az edényben.




b) Adatok: o = 35 perc, v = 35 perc, ö = ?

Terv: ö = o + v

Számolás: ö = 35 + 35 ö = 2 � 35 ö = 70

Válasz: 70 perc = 1 óra 10 percet töltött közlekedéssel.

c) Adatok: e = 27 dkg, m = 45 dkg, ö = ?

Terv: ö = e + m

Számolás: ö = 27 + 45 ö = 72 dkg

Válasz: 72 dkg lisztet használt el édesanya.

d) Adatok: v = 7 dm 3 cm= 73 cm, m = 2 dm 8 cm = 28 cm, l = ?

Terv: l = v { m

Számolás: l = 73 { 28 l = 45 cm

Ellen®rzés: 45 + 28 = 73

Válasz: 45 cm = 4 dm 5 cm-t vágtak le a szalagból.

e) Adatok: h = 4 m 3 dm = 43 dm, sz = 2 m 7 dm = 27 dm, k = ?

Terv: k = h { sz

Számolás: k = 43 { 27 k = 16 dm

Ellen®rzés: 16 + 27 = 43

Válasz: 16 dm = 1 m 6 dm a különbség a szoba két oldala között.

Gy. 118/24. feladat: A szöveghez szabály alkotását, valamint a szabály alapján a

táblázat kitöltését kívánja meg a feladat. Figyeltessük meg, hogy a kivonás egyik fordított

m¶velete összeadás, a másik fordított m¶velete kivonás.

Megoldás: a) Szabály: S + T = 54, T + S = 54, 54 { S = T, 54 { T = S

S (kg) 20 30 21 26 32

T (kg) 34 24 33 28 22

b) Szabály: t 54> h, h<54 t, t { 54 = h, h + 54 = t, t { h = 54

t ( l ) 84 74 95 86 90

h ( l ) 30 20 41 32 36

c) Szabály: sz { 54 = m, sz { m = 54, m + 54 = sz, 54 + m = sz

sz (cm) 94 94 100 84 91

m (cm) 40 40 46 30 37

d) Szabály: A + B = 46, B + A = 46, 46 { A = B, 46 { B = A

A (Ft) 19 31 8 22 37 29 29

B (Ft) 27 15 38 24 9 17 17



183


e) Szabály: A > B, A { 46 = B, B < A, B + 46 = A

A (Ft) 49 61 68 70 95 63 80

B (Ft) 3 15 22 24 49 17 34

f) Szabály: k = m = 64, m + k = 64, 64 { k = m, 64 { m = k

Költött 18 52 36 30 25 29 49

Maradt 46 12 28 34 39 35 15

Gy. 118/25. feladat: A tanulók próbálgatással keressenek megoldásokat. 2. osztályban

nem tekintjük követelménynek ennél a feladatnál az összes megoldás megkeresését.

Megoldás: B 23 24 22 21 20 19 22 21 20 20 19 19

Cs 14 13 15 16 17 18 14 15 16 15 17 16

D 13 13 13 13 13 13 14 14 14 15 14 15

A feladatnak összesen 78 megoldása van. Nézzünk egy lehetséges eljárást az összes

megoldás megkeresésére. Mindegyik gyermeknek legalább 13 kis autója van. Ez össze-

sen 39 kis autó. A maradék 11 darabot kell szétosztani a három gyermek között, majd

a kapott számokat hozzáadni a 13-hoz.

B 11 10 10 9 9 9 8 8 8 8

Cs 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0

D 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3| {z }

1 eset

| {z }

2 eset

| {z }

3 eset

| {z }

4 eset

B 7 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 0 �

Cs

D| {z }

5 eset

| {z }

6 eset

| {z }

7 eset

| {z }

8 eset

| {z }

9 eset

| {z }

10 eset

| {z }

11 eset

| {z }

12 eset

Gy. 118/26. feladat: Az összeg és a különbség változásainak meg�gyeltetésére irányuló

feladatsor.

Megoldás: 38 + 47| {z }

85

6= 39 + 47| {z }

86

Hamis

27 + 54| {z }

81

6< 17 + 64| {z }

81

Hamis

72 { 36| {z }

36

> 72 { 46| {z }

26

Igaz




Gy. 119/27. feladat: Sorozat alkotása felismert szabály szerint. Figyeltessük meg, a

szabály hogyan változik, ha a sorozatban jobbról balra, illetve balról jobbra haladunk.

Ugyanaz a sorozat, ha jobbról indulunk, akkor növekv®, ha balról, akkor pedig csökken®.

Megoldás: a) A sorozat mindig 7 -tel n®.

13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97

b) A sorozat mindig 8 -cal csökken.

98, 90, 82, 74, 66, 58, 50, 42, 34, 26, 18, 10,

c) A sorozat mindig 1 3 -mal csökken.

87, 74, 61, 48, 35, 22

d) A sorozat felváltva 1 7 -tel csökken, illetve 2 -vel n®.

94, 96, 79, 81, 64, 66, 49, 51, 34, 36, 19, 21

Gy. 119/28. feladat: Számtani sorozat elemeinek meghatározása szabály alapján.

Megoldás: A) Napok H K Sz Cs P Sz

Pénz (Ft) 15 30 45 60 75 90

B) Napok V H K Sz Cs P

Pénz (Ft) 100 85 70 55 40 25

Gy. 119/29. feladat: Számtani sorozat elemeinek meghatározása szabály alapján.

Megoldás:

26 + 39 = 65 83 { 38 = 45 26 + 30 + 4 + 5 = 65

30 + 40 { 4 { 1 = 65 80 { 30 { 8 + 3 = 45 39 + 20 + 1 + 5 = 65

83 { 30 { 8 = 45 26 + 30 + 9 = 65 83 { 3 { 5 { 30 = 45

39 + 20 + 6 = 65 83 { 40 + 2 = 45 83 { 30 { 3 { 5 = 45

83 { 8 { 30 = 45 39 + 30 { 4 = 65 26 + 40 { 1 = 65

Gy. 120/30. feladat: Az a) kérdés kivételével egym¶veletes szöveges feladatok, melyek

tartalmaznak a kérdés szempontjából felesleges adatokat. Minden résznél beszéljük

meg, mely adatok szükségesek, melyek feleslegesek.

Megoldás: a) Adatok: Ja = 32 + 15, Ju = 24 + 29, ö = ?

Terv: ö = Ja + Ju

Számolás: ö = 32 + 15 + 24 + 29 ö = 100

Válasz: 100 szem gyümölcsöt talált a két gyerek.



185


b) Adatok: m = 32, sz = 15, ö = ?

Felesleges adat: Juliska: m = 24, sz = 29

Terv: ö = m + sz

Számolás: ö = 32 + 15 ö = 47

Válasz: 47 szem gyümölcsöt talált Jancsi.

c) Adatok: m = 24, sz = 29, ö = ?

Felesleges adat: Jancsi: m = 32, sz = 15

Terv: ö = m + sz

Számolás: ö = 24 + 29 ö = 53

Válasz: 53 szem gyümölcsöt talált Juliska.

d) Adatok: Ja = 15, Ju = 29, ö = ?

Felesleges adat: Szamócák száma: 32, 15

Terv: ö = Ja + Ju

Számolás: ö = 15 + 29 ö = 44

Válasz: 44 szem szamócát talált a két gyerek.

Gy. 120/31. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladat.

Megoldás: a) 40 69 60 51

42 70 63 81

41 72 64 83

b) 73 50 15 55

71 48 14 95

75 49 17 93

c) 82 39 74 27

92 69 84 37

94 66 95 19

Gy. 121/32. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, metakogníciót fejleszt® feladat.

Megoldás: a) b)

7 1 8 9 5

8 9 17 14

17 26 31

43 57

100

1 4 5 8 21

5 9 13 29

14 22 42

36 64

100





Megoldás:27 2 18 5 59 25 9 53

6 48 4 53 7 6 37 2

5 35 3 4 26 18 7 2

51 8 25 47 7 37 9 47

6 14 4 3 54 5 51 8


Megoldás:8 6 3

35 4 8 4

5 2 4

= 65

8 6 3

35 4 8 4

5 2 4

= 65

Gy. 121/35. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, metakogníciót fejleszt® feladat. A

2. osztályban még nem várhatjuk el, hogy a gyermekek megtalálják az összes megol-

dást.

Jobb csoportban hasonlítsuk össze a megtalált megoldásokat. Melyek azok, amelyek

egymás tükörképei, melyek azok, amelyeket elforgatással kaphatunk egymásból?

Megoldás:



187


A m¶veletek sorrendje


számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-

értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg-

�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység,

problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem, kezdeményez®-

képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló

munkavégzés.

Óra: 96{98. 109{112. 118{123.

Kezdetben olyan összetett feladatok megoldási menetét �gyeltetjük meg a tanulókkal,

amelyekben egyenrangú m¶veletek szerepelnek. Csak összeadás és kivonás, illetve

csak szorzás és osztás. Haladhatunk balról jobbra, vagy a m¶veleti tulajdonságokat

alkalmazva csoportosíthatjuk a számokat.

Tk. 126/1. kidolgozott mintapélda:: A m¶veletsorban csak egyenrangú m¶veletek

szerepelnek, összeadás és kivonás. Haladhatunk balról jobbra, vagy a m¶veleti tulaj-

donságokat alkalmazva csoportosíthatjuk a számokat.

Tk. 126/2. kidolgozott mintapélda:: A m¶veletsorban csak egyenrangú m¶veletek sze-

repelnek, szorzás és osztás. Haladhatunk balról jobbra, vagy a m¶veleti tulajdonságokat

alkalmazva csoportosíthatjuk a számokat.

Tk. 126/Figyeld meg!: Beszéljük meg, ha a m¶veletsorban csak egyenrangú m¶veletek

szerepelnek, összeadás és kivonás, illetve szorzás és osztás, akkor haladhatunk balról

jobbra, vagy a m¶veleti tulajdonságokat alkalmazva csoportosíthatjuk a számokat.

Tk. 126/1. feladat: Egyenrangú m¶veleteknél a m¶veleti sorrend tudatosítását, gyakor-

lását szolgáló feladatok. Meg�gyeltethetjük, hogy a m¶veleteket különböz® sorrendben

elvégezve mikor kapjuk ugyanazt az eredményt, és mikor nem.

Megoldás: Rész- Vég- Rész- Vég-

eredmény eredmény eredmény eredmény

32 47 5 10

72 47 60 10



189

Hajdu program 2 HAJ2PRJ 2008. szeptember 28. {18:21 (1. old.)

Tk. 127/3. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg a m¶veletek sorrendjét: Mivel a

szorzás magasabb rend¶ az összeadásnál és a kivonásnál, ezért ezt a m¶velet végez-

zük el el®bb. Ezért külön nem zárójeleztük a szorzást.

Tk. 127/4. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg a m¶veletek sorrendjét: Mivel az

osztás magasabb rend¶ az összeadásnál és a kivonásnál, ezért ezt a m¶velet végezzük

el el®bb. Ezért külön nem zárójeleztük az osztást.

Tk. 127/Figyeld meg!: Beszéljük meg, ha a m¶veletsorban vegyesen szerepel összea-

dás és kivonás, szorzás és osztás, akkor milyen sorrendben végezzük el a m¶veleteket.

Tk. 128/2. feladat: A m¶veletek sorrendjének tudatosítására szánt feladatsor. Figyeljük

meg, mennyire képesek egyre önállóbban alkalmazni a tanultakat a tanulók.

Megoldás:

60

2:

+ 20

1:

: 5| {z }

4

= 64 67

2:

{ 5

1:

� 6| {z }

30

= 37 8

1:

� 4| {z }

32

+50 = 82

100

2:

{ 6

1:

� 4| {z }

24

= 76 40

1:

: 5| {z }

8

{ 2 = 6 40

2:

{ 15

1:

: 3| {z }

5

= 35

Tk. 128/3. feladat: A m¶veletek sorrendjének tudatosítására szánt szöveges feladat.

Megoldás: Adatok: gy = 25, m = 7, t = 3, l = ?

Terv: l = gy { m + t

Számolás: l = 25 { 7 + 3 l = 21

Válasz: 21 málnája lett Süninek.


Megoldás: Adatok: t = 50, m = 40 : 5, v = ?

Terv: v = t { m

Számolás: v = 50 { 40 : 5 v = 50 { 8 v = 42

Válasz: 42 darab termése van még a kis mókusnak.


Megoldás: Adatok: r = 4 � 3, g = 2 � 5, ö = ?

Terv: ö = r + g

Számolás: ö = 4 � 3 + 2 � 5 ö = 12 + 10 ö = 22

Válasz: 22 virágból kötött csokrot Ági.




Tk. 129/6. feladat: A képi gondolkodás fejlesztését, a m¶veleti sorrendr®l tanultak

alkalmazását segít® feladat.

Megoldás: Rész- Vég- Rész- Vég- Rész- Vég-

eredmény eredmény eredmény eredmény eredmény eredmény

54 30

30 54

35 46

35 24

22 56

6 18 10 50 8 48

16 26 40 36 23 20

3 52 27 22 8 28

2 32 8 42 12 44

6 38 22 34 6 40



191


Gy. 122/1. feladat: Egyenrangú m¶veleteknél a m¶veleti sorrend tudatosítását, gyakor-

lását szolgáló feladatok.

Meg�gyeltethetjük, hogy a m¶veleteket különböz® sorrendben elvégezve mikor kapjuk

ugyanazt az eredményt, és mikor nem.

Megoldás:

a) 56 + 14| {z }

7 7

+ 20 = 9 0 8 � 4|{z}

3 3

� 2 = 6 4 55 { 25| {z }

3 3

{ 10 = 2 0

56 { 14| {z }

4 4

{ 20 = 2 2 8 : 4|{z}

: 2 = 0 1 55 + 25| {z }

8 8

+ 10 = 9 0

56 + 20| {z }

7 7

{ 14 = 6 2 8 � 2|{z}

1 1

: 4 = 4 55 { 10| {z }

4 4

+ 25 = 7 0

b) 27 + 43| {z }

7 7

+ 16 = 8 6 6 : 3|{z}

: 2 = 1 52 { 27| {z }

2 2

{ 12 = 1 3

27 { 16| {z }

1 1

+ 43 = 5 4 6 � 3|{z}

1 1

� 2 = 6 52 + 27| {z }

7 7

{ 12 = 6 7

27 + 16| {z }

4 4

{ 43 = 0 6 : 2|{z}

� 3 = 9 52 + 12| {z }

6 6

{ 27 = 3 7

c) 38 + 17| {z }

5 5

+ 12 = 6 7 8 � 3|{z}

2 2

� 2 = 4 8 27 + 14| {z }

4 4

+ 26 = 6 7

29 + 37| {z }

6 6

{ 17 = 4 9 15 � 2| {z }

3 3

: 3 = 1 0 56 { 26| {z }

3 3

{ 17 = 1 3

95 { 38| {z }

5 5

{ 15 = 4 2 60 : 6| {z }

1 1

: 2 = 0 5 37 + 23| {z }

{ 13 = 6 0

Gy. 122/2. feladat: Egyenrangú m¶veleteknél a m¶veleti sorrend tudatosítását, gyakor-

lását szolgáló feladatok.

Meg�gyeltethetjük, hogy a m¶veleteket különböz® sorrendben elvégezve mikor kapjuk

ugyanazt az eredményt, és mikor nem.

Megoldás: 65 3 54

68 65 7

12 54 65

7 54 12

Gy. 123/3. feladat: A szöveges feladatokat úgy válogattuk össze, hogy a szöveg

sugallja a m¶veletek sorrendjét.

Sok összetett feladatot adjunk a gyermekeknek, hogy kell® tapasztalatot szerezzenek

a megoldásban. Minden esetben indokoltassuk meg a megoldási tervet, a m¶veletek

sorrendjét.




Megoldás: a) Adatok: v = 80 Ft, e = 65 Ft, k = 35 Ft, l = ?

Terv: l = v { e + k

Számolás: l = 80 { 65 + 35 l = 15 + 35 l = 50 FT

Válasz: 50 Ft-ja lett Dórának.

b) Adatok: v = 35 Ft, k = 65 Ft, e = 85 Ft, l = ?

Terv: l = v + k { e

Számolás: l = 35 + 65 { 85 l = 100 { 85 l = 15 Ft

Válasz: 15 Ft-ja lett Ern®nek.

c) Adatok: v = 100 Ft, e = 65 Ft, k = 55 Ft, l = ?

Terv: l = v { e + k

Számolás: l = 100 { 65 + 55 l = 35 + 55 l = 90 Ft

Válasz: 90 Ft-ja lett Ferinek.

d) Adatok: 1-szerre 4 m, 1 nap 2-szer, 6 nap ö ö = ?

Terv: ö = 6 � 2 � 4 ö = 12 � 4

Számolás: ö = 48

Válasz: 48 makkot gy¶jt össze 6 nap alatt Mókus mama.

e) Adatok: 1 óra 4-szer, 1-szer 2 db, 6 óra ö ö = ?

Terv: ö = 6 � 4 � 2 ö = 24 � 2

Számolás: ö = 48

Válasz: 48 hernyót vitt haza 6 óra alatt Rigó mama.

Gy. 124/4. feladat: A m¶veletek sorrendjér®l tanultak alkalmazására, a számolási rutin

fejlesztésére.

Megoldás:

a)4 6 + 8 � 3 = 7 0

2: 1:

| {z }

24

9 � 4 + 4 5 = 8 1

1: 2:

| {z }

36

1 8 + 4 2 : 6 = 2 5

2: 1:

| {z }

7

3 5 : 5 + 2 = 9

1: 2:

| {z }

7

b)9 � 6 { 4 = 5 0

1: 2:

| {z }

54

7 2 { 4 2 : 6 = 6 5

2: 1:

| {z }

7

6 0 { 3 0 : 3 = 5 0

2: 1:

| {z }

10

2 8 { 4 � 2 = 2 0

2: 1:

| {z }

8



193


c)5 � 4 + 6 � 2 = 3 2

1: 3: 2:

| {z }

20| {z }

12

3 2 : 4 + 2 4 : 6 = 1 2

1: 3: 2:

| {z }

8| {z }

4

7 � 3 { 8 : 4 = 1 9

1: 3: 2:

| {z }

21| {z }

2

1 0 � 6 { 2 7 : 3 = 5 1

1: 3: 2:

| {z }

60| {z }

9

d)0 : 5 + 5 � 0 = 0

1: 3: 2:

| {z }

0| {z }

0

4 0 : 4 + 2 � 2 = 2 4

1: 3: 2:

| {z }

10| {z }

14

5 � 8 { 3 � 6 = 22

1: 3: 2:

| {z }

40| {z }

18

2 8 : 4 { 1 6 : 4 = 3

1: 3: 2:

| {z }

7| {z }

4

e)8 { 5 + 6 � 4 = 2 7

2: 3: 1:

| {z }

3| {z }

24

7 2 { 8 + 4 5 : 5 = 7 3

1: 3: 2:

| {z }

64| {z }

9

9 + 3 � 5 { 4 = 20

2: 1: 3:

| {z }

15| {z }

24

6 0 { 1 5 : 3 + 2 = 5 7

2: 1: 3:

| {z }

5| {z }

55

Gy. 125/5. feladat: A szöveges feladatokat úgy válogattuk össze, hogy a szöveg

sugallja a m¶veletek sorrendjét. Sok összetett feladatot adjunk a gyermekeknek, hogy

kell® tapasztalatot szerezzenek a megoldásban. Minden esetben indokoltassuk meg a

megoldási tervet, a m¶veletek sorrendjét.

Megoldás: a) Adatok: v = 25 Ft, t: 1 nap 10 Ft l = ?

1 hét = 7 nap 7 � 10 Ft

Terv: l = v + t

Számolás: l = 25 + 7 � 10 = 25 + 70 l = 95 Ft

Válasz: 95 Ft-ja lett Gerzsonnak.

b) Adatok: v = 75 Ft, e: 1 nap 5 Ft m = ?

6 nap 6 � 5 Ft

Terv: m = v { e

Számolás: m = 75 { 6 � 5 = 75 { 30 m = 45 Ft

Válasz: 45 Ft-ja maradt Hedvignek.




c) Adatok: 6 unoka 60 Ft

1 unoka 60 : 6 Ft + p = 15 Ft, ö = ?

Terv: ö = m + p

Számolás: ö = 60 : 6 + 15 = 10 + 15 ö = 25 Ft

Válasz: 25 Ft-ja lett egy-egy gyereknek.

d) Adatok: v = 5 l = 50 dl, k: 1 üveg 4 dl m = ?

6 üveg 6 � 4 dl,

Terv: m = v { k

Számolás: m = 50 { 6 � 4 = 50 { 24 m = 26 dl

Válasz: 26 dl = 2 l 6 dl szörp marad a kannában.

Gy. 125/6. feladat: A feladat megoldása el®tt értelmezzük a fele, 1 ötöde, ötödrésze, 1

hatoda, hatodrésze, összeg, különbség fogalmakat. Tisztázzuk a m¶veleti sorrendet.

Megoldás: a) 48 { 18 : 2 = 39

b) 35 + 35 : 5 = 42


fejlesztésére

Megoldás: a) 8

1:

� 5| {z }

40

3:

{ 3

2:

� 6| {z }

18

= 2 2 54

3:

{ 9

1:

� 2| {z }

18| {z }

36

4:

+ 5

2:

� 3| {z }

15

= 5 1

b) 54

1:

: 6| {z }

9

3:

+ 40

2:

: 5| {z }

8| {z }

17

4:

{ 3 = 1 4 32

1:

: 4| {z }

8

3:

+ 58

| {z }

66

4:

{ 6

2:

� 7| {z }

42

= 2 4

c) 62

3:

{ 7

1:

� 4| {z }

28| {z }

34

4:

{ 36

2:

: 6| {z }

6

= 2 8 36

3:

+ 16

1:

: 2| {z }

8| {z }

44

4:

{ 4

2:

� 6| {z }

24

= 2 0

d) 27

1:

: 3| {z }

9

3:

+ 35

| {z }

44

4:

{ 2

2:

� 7| {z }

14

= 3 0 5

1:

� 9| {z }

45

3:

{ 28

2:

: 4| {z }

7| {z }

38

4:

+ 16 = 5 4

e) 27

1:

: 3| {z }

9

2:

� 2

| {z }

18

4:

{ 15

3:

: 3| {z }

5

= 1 3 5

3:

+ 12

1:

: 6| {z }

2| {z }

7

4:

+ 4

2:

� 2| {z }

8

= 1 5



195



fejlesztésére

Megoldás: a)

48z }| {

6 � 8 =

48z }| {

6 � 5 + 6 � 3

8z }| {

16 : 2 =

8z }| {

10 : 2 + 6 : 2

b)

28z }| {

4 � 7 <

32z }| {

4 � 5 + 3 � 5

4z }| {

24 : 6 <

16z }| {

24 : 3 + 24 : 3

c)

40z }| {

8 � 5 =

40z }| {

10 � 5 { 2 � 5

4z }| {

32 : 4 >

4z }| {

35 : 5 { 3 : 1

Ha tanítottuk a 5, = relációt, akkor azokban az esetekben, ahol az = a

megoldás, ott a 5 és a = reláció is megoldás.

Azokban az esetekben, ahol a < a megoldás, ott a 5, 6=, megoldás is jó.

a) =, 5, =, 6>, 6< =, 5, =, 6>, 6<

b) <, 5, 6=, 6> <, 5, 6>

c) =, 5, =, 6>, 6<, >, =, 6<


fejlesztésére.

Megoldás:

24 28 30 27

9 10 16 18

4 3 5 8

19 0 7 13

15 22 1 2

14 23 20 11

21 12 6 17

31 26 29 25

6 � 6 { 9 � 4 = 0 60 : 6 + 20 : 5 = 1 4

6 � 5 { 6 � 2 = 1 8 14 : 2 { 6 : 6 = 6

5 � 4 { 8 : 2 = 1 6 48 : 6 { 30 : 5 = 2

4 � 3 { 9 : 3 = 9 7 � 6 { 7 � 5 = 7

7 � 2 { 8 : 4 = 1 2 2 � 5 + 54 : 6 = 1 9

5 � 2 { 3 � 2 = 4 10 : 2 + 24 : 4 = 1 1

3 � 6 { 4 � 2 = 1 0

Óra: 99. 113. 124.

4. tájékozódó felmérés

A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.

Óra: 100. 114. 125.

4. felmérés





A 7-es szorzótábla, osztás 7-tel



értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, térbeli

viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-

maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem,



Óra: 101{102. 115{116. 126{127.

A 7-es szorzótábla elsajátításánál tudatosítsuk a 2-es, 5-ös és a 7-es szorzótábla, illetve

a 3-as, 4-es és a 7-es szorzótábla közti kapcsolatot.

Folyamatosan gyakoroltassuk az összetett feladatok megoldását, a m¶veletek sorrend-

jér®l eddig tanultakat, ismételve a már tanult szorzótáblákat, tovább szilárdítva a fele{

kétszerese, harmada{háromszorosa, � fogalmakat.

Figyeltessük meg:

1 Hogyan változik a szorzat, ha az egyik tényez®t valahányszorosára növeljük, csök-

kentjük, a másikat pedig nem változtatjuk,

2 hogyan változik a hányados, ha az osztandót valahányszorosára növeljük, csökkent-

jük.

A nap és a hét mértékegységek átváltásakor is gyakoroltathatjuk a 7-es szorzótáblát.

Végezhetünk a szorzat paritását eldönt® vizsgálatokat:

1 Két páros szám szorzata páros, egy páros és egy páratlan szám szorzata páros, két

páratlan szám szorzata páratlan.

2 Több tényez® esetén az el®z® állításokból következtethetünk. Ha a tényez®k páratlan

számok, akkor a szorzat is páratlan. A tétel megfordítása is igaz. Ha a szorzat

páratlan szám, akkor a tényez®k is páratlanok.

Ha a tényez®k között szerepel páros szám, akkor a szorzat is páros. Az állítás

megfordítása is igaz. Ha a szorzat páros szám, akkor a tényez®k között szerepel

páros szám.

Tovább mélyítjük az összeadás és a szorzás, illetve a szorzás és az osztás közti kap-

csolatról tanultakat. Szerezzenek tapasztalatokat a tanulók valaminek a hetedrésze,

1 hetede, illetve a hétszerese fogalmakról.

Tk. 130/1. feladat: A számegyenesen való lépegetéssel szemléltetjük a 7-es szorzótáb-

lát.

Megoldás: Ennyit lépett 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ide érkezett 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70



197


Tk. 130/2. feladat: A számegyenesen való lépegetéssel szemléltetjük a 7-es szorzótáb-

lát.

Megoldás: 1 ugrással 0 1 3 2 5 6 10

7 ugrással 0 7 21 14 35 42 70

Tk. 130/3. feladat: Figyeltessük meg:

1 a szorzás és az osztás közötti kapcsolatot,

2 a tényez®k változásaival hogyan változik a szorzat,

3 az osztó változásával hogyan változik a hányados.

Megoldás: 3 � 7 = 21 6 � 7 = 42 9 � 7 = 63

14 : 7 = 2 28 : 7 = 4 56 : 7 = 8

2 � 7 = 14 4 � 7 = 28 8 � 7 = 56

Tk. 131/4. feladat: A nap és a hét mértékegységek átváltásakor is gyakoroltatjuk a

7-es szorzótáblát. Figyeltessük meg a 6-os és 1-es, valamint a 7-es szorzótáblák közti

kapcsolatot.

Megoldás: Hetek száma 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hétköznapok 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

Vasárnapok 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Napok száma 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

Tk. 131/5. feladat: A nap és a hét mértékegységek átváltásakor is gyakoroltatjuk a

7-es szorzótáblát. Figyeltessük meg a 2-es és 5-ös, valamint a 7-es szorzótáblák közti

kapcsolatot.

Megoldás: Napok száma 0 1 3 5 7 9 10 2 6 4 8

2 értéke 0 2 6 10 14 18 20 4 12 8 16

5 értéke 0 5 15 25 35 45 50 10 30 20 40

Összesen 0 7 21 35 49 63 70 14 42 28 56

Tk. 131/6. feladat: A nap és a hét mértékegységek átváltásakor is gyakoroltatjuk a 7-es

szorzótáblát.

Figyeltessük meg a 4-es és 3-as, valamint a 7-es szorzótáblák közti kapcsolatot.

Megoldás: Kosárkák 0 1 2 4 8 5 10 7 9 6 3

Szamócák 0 4 8 16 32 20 40 28 36 24 12

Eprek 0 3 6 12 24 15 30 21 27 18 9

Gyümölcsök 0 7 14 28 56 35 70 49 63 42 21




Tk. 132/7. feladat: A szorzótáblák tanulása során ismét a teljes szorzótáblát tüntetjük

fel úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük a 7-es szorzótáblát, illetve kékkel

jelöljük a korábban tanultakat.

A táblázat mellett lév® feladatokkal nemcsak a táblázat alkalmazását gyakorolja a gyer-

mek, hanem újra tudatosíthatja, hogy a szorzásban a tényez®k felcserélhet®ek.

Megoldás: 7 � 0 = 0 7 � 8 = 56

0 � 7 = 0 5 � 7 = 35

7 � 6 = 42 7 � 5 = 35

6 � 7 = 42 7 � 7 = 49

8 � 7 = 56 7 � 1 = 7

Tk. 132/8. feladat: A 7-es szorzótábla, a m¶veleti sorrendr®l tanultak gyakorlása.

Megoldás:

5

1:

� 2| {z }

10

3:

+ 2

2:

� 2| {z }

4

= 14 9

1:

� 7| {z }

63

3:

+ 1

2:

� 7| {z }

7

= 70 6

1:

� 3| {z }

18

3:

+ 6

2:

� 4| {z }

24

= 42

6

1:

� 7| {z }

42

3:

+ 1

2:

� 7| {z }

7

= 49 3

1:

� 2| {z }

6

3:

+ 4

2:

� 2| {z }

8

= 14 5

1:

� 7| {z }

35

3:

+ 2

2:

� 7| {z }

14

= 49

6

1:

� 2| {z }

12

3:

+ 6

2:

� 5| {z }

30

= 42 6

1:

� 6| {z }

36

3:

+ 6

2:

� 1| {z }

6

= 42 9

1:

� 7| {z }

63

3:

{ 2

2:

� 7| {z }

14

= 49

Tk. 132/9. feladat: A 7-es szorzótábla gyakorlására szánt feladat, amelyben a 7-es

szorzótábla számait kell biztosan ismernie a tanulóknak.

Megoldás: 18 26 36 47

Tk. 133/10. feladat: Az osztás (mint bennfoglalás) elvégzése tevékenységgel össze-

kapcsolva.

Megoldás: 21 : 7 = 3 14 : 7 = 2 28 : 7 = 4

Tk. 133/11. feladat: Az osztás (mint részekre osztás) elvégzése tevékenységgel össze-

kapcsolva. Egy mennyiség hetedrészének bevezetése.

Megoldás: 21 hetedrésze 3 ; 21 : 7 = 3 , mert 7 � 3 = 21

3 szalag kerül egy-egy zsinórra.

Tk. 134/12. feladat: Figyeljük meg a szorzás és osztás közti kapcsolatot.

Megoldás: 7 db ára 14 35 28 42 56 21 70 49

1 db ára 2 5 4 6 8 3 10 7



199


Tk. 134/13. feladat: A 7-tel való osztás maradékait �gyeltetjük meg. Kérdezzük meg,

hogy lehet-e olyan maradék, amely nem szerepel a táblázat �Ennyi marad" sorában. Az

5-öt várjuk válaszként. Ha 7-et mondana valamelyik gyermek, beszéljük meg, hogy a 7

azért nem lehet maradék, mert benne 1-szer megvan a 7.

Megoldás: Ennyi pogácsa 18 8 22 27 28 29 41 52 60 65 68

Ennyi jut 1-nek 2 1 3 3 4 4 5 7 8 9 9

Ennyi marad 4 1 1 6 0 1 6 3 4 2 5

Tk. 134/14. feladat: A 7-es szorzótábla, a 7-tel való maradékos osztás gyakoroltatása.

Folyamatos ismétlésként a feladat megoldása el®tt ismételjük át az id® mértékegysége-

ir®l tanultakat.

Megoldás: 31 : 7 = 4 4 � 7 + 3 = 31 31 nap = 4 hét 3 nap.3

54 : 7 = 7 7 � 7 + 5 = 54 54 nap = 7 hét 5 nap.5

63 : 7 = 9 9 � 7 + 0 = 63 63 nap = 9 hét 0 nap.0

47 : 7 = 6 6 � 7 + 5 = 47 47 nap = 6 hét 5 nap.5

Tk. 135/15. feladat: Kreativitást fejleszt® feladatok, a 7-es szorzótábla gyakorlása

problémahelyzetben.

Megoldás:

Tk. 135/16. feladat: A 7-es szorzótáblát gyakoroltató játékos feladat.

Megoldás: 7 � 4 = 28 7 � 7 = 49 7 � 9 = 63

Tk. 135/17. feladat: Játékos feladat a 7-es szorzótáblához kapcsolódóan.

Megoldás: 21 feje 3 hétfej¶ sárkánynak van. 3 hétfej¶ sárkánynak 6 lába van.

21 : 7 = 3 3 � 2 = 6




Tk. 136/18. feladat: A 7-es szorzótáblához kapcsolódó szöveges feladat. Figyeljük meg,

mennyire képesek egyre önállóbban megoldani az ilyen típusú feladatokat a tanulók.

Vetessük észre, hogy a 0 valahányszorosa 0.

Megoldás: Adatok: 1 hal 0 láb

7 hal x láb x = ?

Terv: x = 7 � 0

Számolás: x = 0

Válasz: 0 lába van 7 halnak.



Megoldás: Adatok: 1 ugrás 7 dm

x ugrás 35 dm x = ?

Terv: x = 35 : 7

Számolás: x = 5


Válasz: 5 ugrással ér oda a béka.



Megoldás: Adatok: 7 perc 7 m

1 perc x m x = ?

Terv: x = 7 : 7

Számolás: x = 1


Válasz: 1 m-t tesz meg 1 perc alatt a tekn®s.



Megoldás: Adatok: m = 3, m <�7 k, k = ?

Terv: k = 7 � 3

Számolás: k = 21

Válasz: 21 kiskacsa fürdik a tóban.



201


Tk. 137/22. feladat: A számolási rutin fejlesztésére szánt játékos feladat.

Megoldás:

Megoldás: 35

56

7

70 0 28

14 63 42

49 21 6

Gy. 127/1. feladat: Egészíttessük ki, majd �gyeljük meg a 7-tel csökken® sorozatokat.

Egy-egy sorozat elemei 7-tel osztva ugyanazt a maradékot adják. Alkothatunk olyan so-

rozatot, amelynek elemei 7-tel osztva a meglév®kt®l különböz® maradékokat adnak. A

tanulók szerezzenek tapasztalatot arról, hogy ily módon 7 különböz® sorozatot alkothat-

nak, valamint minden szám elhelyezhet® valamelyik sorozatban.

Megoldás: A sorozat mindig 7-tel csökken.

70, 63, 56, 49, 42, 35, 28, 21, 14, 7, 0

67, 60, 53, 46, 39, 32, 25, 18, 11, 4, esetleg { 3

64, 57, 50, 43, 36, 29, 22, 15, 8, 1, esetleg { 6

68, 61, 54, 47, 40, 33, 26, 19, 12, 5, esetleg { 2

65, 58, 51, 44, 37, 30, 23, 16, 9, 2, esetleg { 5




Gy. 127/2. feladat: A 7-es szorzótábla gyakoroltatása, folyamatos ismétlésként a nap

és a hét kapcsolatáról tanultak elmélyítése a feladat célja. Jobb csoportban megkérdez-

hetjük, hogy a nap hányad része a hétnek.

Megoldás:

a) 1 hét 1 � 7 = 7 3 hét 3 � 7 = 2 1

4 hét 4 � 7 = 2 8 6 hét 6 � 7 = 4 2

8 hét 8 � 7 = 5 6 9 hét 9 � 7 = 6 3

b) 7 nap 7 : 7 = 1 14 nap 1 4 : 7 = 2

35 nap 3 5 : 7 = 5 49 nap 4 9 : 7 = 7

42 nap 4 2 : 7 = 6 70 nap 7 0 : 7 = 1 0

Gy. 127/3. feladat: A 7-es szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a

szorzásnál a tényez®k felcserélhet®k. A szorzótáblák közti kapcsolatok elemzésével

el®segíthetjük a 7-es szorzótábla tudatosítását.

Megoldás: a) 0 � 7 = 0 3 � 7 = 21 6 � 7 = 42 9 � 7 = 63

1 � 7 = 7 4 � 7 = 28 7 � 7 = 49 10 � 7 = 70

2 � 7 = 14 5 � 7 = 35 8 � 7 = 56

b) 3 � 7 = 21 7 � 4 = 28 7 � 7 = 49 7 � 7 = 49

7 � 6 = 42 10 � 7 = 70 0 � 7 = 0 7 � 10 = 70

8 � 7 = 56 7 � 9 = 63 6 � 7 = 42 4 � 7 = 28

Gy. 127/4. feladat: Figyeltessük meg a szorzás és osztás közti kapcsolatot.

Megoldás: Ennyi nap: n 1 10 5 2 4 6 7 3 9 0 8

Ennyit olvas: x 7 70 35 14 28 42 49 21 63 0 56

Gy. 128/5. feladat: Az osztás ( bennfoglalás) szemléltetése, a fogalom szilárdítása.

Megoldás: 21 : 7 = 3 35 : 7 = 5

3 � 7 = 21 5 � 7 = 35

Gy. 128/6. feladat: A 7-es bennfoglalótábla gyakorlása.

Megoldás: 0 : 7 = 0 mert 0 � 7 = 0 42 : 7 = 6 mert 6 � 7 = 42

7 : 7 = 1 mert 1 � 7 = 7 49 : 7 = 7 mert 7 � 7 = 49

14 : 7 = 2 mert 2 � 7 = 14 56 : 7 = 8 mert 8 � 7 = 56

21 : 7 = 3 mert 3 � 7 = 21 63 : 7 = 9 mert 9 � 7 = 63

28 : 7 = 4 mert 4 � 7 = 28 70 : 7 = 10 mert 10 � 7 = 70

35 : 7 = 5 mert 5 � 7 = 35



203


Gy. 128/7. feladat: A m¶veletek gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: a) 56 67 59 24

60 71 64 44

55 61 90 53

b) 62 80 53 45

30 32 40 28

36 8 35 56

c) 42 15 36 24

0 24 21 21

40 4 32 54

d) 0 5 10 4

6 6 7 8

7 8 7 9

5 7 6 7

Gy. 129/8. feladat: Egyre nagyobb önállóságot biztosítsunk a tanulóknak a feladatok

megoldásában. Minden feladatot ellen®rizzünk közösen. Indokoltassuk meg a megoldási

terveket. A hibás megoldásokat javítsák a tanulók.

Megoldás: a) Adatok: J = 5, J <7-tel

K, K = ?

Terv: K = J + 7

Számolás: K = 5 + 7 K = 12

Válasz: 12 gombát talált Karcsi.

b) Adatok: L = 5, L <7-szer

É, É = ?

Terv: É = 7 � 5

Számolás: É = 35

Válasz: 35 éves Lilla édesapja.

c) Adatok: A = 7, A <

5-szörÉ, É = ?

Terv: É = 5 � 7

Számolás: É = 35

Válasz: 35 éves Anna édesapja.

d) Adatok: 1 cs 7 v x = ?

x cs 49 v

Terv: x = 49 : 7

Számolás: x = 7





Válasz: 7 csokrot köthetünk 49 virágból.

e) Adatok: P = 35, L <5-ször

P, L = ?

Terv: L = P : 5

Számolás: L = 35 : 5 L = 7


Válasz: 7 bélyege van Lacinak.

f) Adatok: 1 nap 7 o. x = ?

x nap 70 o.

Terv: x = 70 : 7

Számolás: x = 10

Ellen®rzés: 10 � 7 = 70

Válasz: 10 nap alatt olvas el Béla 70 oldalt.

Gy. 130/9. feladat: Egyre nagyobb önállóságot biztosítsunk a tanulóknak a feladatok

megoldásában. Minden feladatot ellen®rizzünk közösen. Indokoltassuk meg a megoldási

terveket. A hibás megoldásokat javítsák a tanulók.

Megoldás: a) Adatok: m = 56, m >

hetedeá, á = ?

Terv: á = m : 7

Számolás: á = 56 : 7 á = 8


Válasz: 8 makkból készített állatokat Gabi.

b) Adatok: p = 8 Ft, s >hetede

p, s = ?

Terv: s = 7 � p

Számolás: s = 7 � 8 s = 56 Ft

Válasz: 56 Ft-ba kerül a sütemény.

c) Adatok: 1 z 3 kg x = ?

7 z x

Terv: x = 7 � 3

Számolás: x = 21 kg

Válasz: 21 kg narancs fér 7 zacskóba.

d) Adatok: 7 p 63 k

1 p x x = ?

Terv: x = 63 : 7

Számolás: x = 9



205



Válasz: 9 könyv kerül egy polcra.

Gy. 130/10. feladat: Gyakoroljuk a számok hetedrészének meghatározását.


7 : 7 = 1 mert 7 � 1 = 7 49 : 7 = 7 mert 7 � 7 = 49

14 : 7 = 2 mert 7 � 2 = 14 56 : 7 = 8 mert 7 � 8 = 56

21 : 7 = 3 mert 7 � 3 = 21 63 : 7 = 9 mert 7 � 9 = 63

28 : 7 = 4 mert 7 � 4 = 28 70 : 7 = 10 mert 7 � 10 = 70

35 : 7 = 5 mert 7 � 5 = 35

Gy. 131/11. feladat: A 7-es szorzótábla gyakorlása összetett feladatban, táblázat

kitöltésével.

Megoldás: Zsinór hossza (m) 20 30 30 45 50 50 52 56 56 70 50

Darabok száma 2 3 4 5 5 7 7 7 8 5 0

Ennyi marad (m) 6 9 2 10 15 1 3 7 0 35 50

Gy. 131/12. feladat: A 7-es szorzótábla gyakorlása az id®méréshez kapcsolva.

Megoldás: 3 hét + 2 nap = 2 3 nap 36 nap { 4 hét = 8 nap

9 hét { 5 nap = 5 8 nap 19 nap + 5 hét = 5 4 nap

5 hét { 5 nap = 3 0 nap 75 nap { 7 hét = 2 6 nap

Gy. 131/13. feladat: A 7-es szorzótábla gyakorlása az id®méréshez kapcsolva.

Megoldás: Ennyi nap 15 18 23 28 5 38 48 50 63 30 61 70

Ennyi hét 2 2 3 4 0 5 6 7 9 4 8 10

meg ennyi nap 1 4 2 0 5 3 6 1 0 2 5 0

Gy. 131/14. feladat: A maradékos osztásról és az id® mértékegységeinek kapcsolatáról

tanultak alkalmazása.

Megoldás: Hónap I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII.

Ennyi nap 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

Ennyi hét 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

meg ennyi nap 3 0 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3

Gy. 131/15. feladat: Gyakoroltassuk a maradékos osztást. �Ugyeljünk a maradék pontos

lejegyzésére. Minden esetben végezzék el a tanulók az osztás ellen®rzését.




Megoldás:

a)1 6 : 7 = 2

2

2 5 : 7 = 3

4

2 8 : 7 = 4

0

2 � 7 + 2 = 1 6 3 � 7 + 4 = 2 5 4 � 7 + 0 = 2 8

b)3 3 : 7 = 4

5

4 1 : 7 = 5

6

4 5 : 7 = 6

3

4 � 7 + 5 = 3 3 5 � 7 + 6 = 4 2 6 � 7 + 3 = 4 5

c)5 7 : 7 = 8

1

6 3 : 7 = 9

0

6 8 : 7 = 9

5

8 � 7 + 1 = 5 7 9 � 7 + 0 = 6 3 9 � 7 + 5 = 6 8

A 8-as szorzótábla, osztás 8-cal








Óra: 105{106. 119{120. 130{131.

A 8-as szorzótábla elsajátításánál sok lehet®ségünk nyílik a szorzótáblák közötti kapcso-

latok vizsgálatára. Figyeltessük meg a 4-es és a 8-as szorzótábla, illetve a 2-es és a

8-as szorzótábla közti kapcsolatot.

Fedeztessük fel, hogy a 8-cal osztható számok oszthatók 2-vel is és 4-gyel is. Figyeltes-

sük meg, hogyan változik a szorzat, ha az egyik tényez®t valahányszorosára növeljük,

csökkentjük, a másikat pedig nem változtatjuk.

Folyamatos ismétlés kapcsán vetessük észre a 3-as és az 5-ös, a 2-es és a 6-os, a 10-es

és a 2-es szorzótáblák és a 8-as szorzótábla közti kapcsolatot. Folyamatosan mélyítjük

az összeadás és a szorzás tulajdonságairól tanultakat (kommutativitás, asszociativitás),

valamint ezek kapcsolatát (disztributivitás).

Szerezzenek tapasztalatokat a tanulók valaminek a nyolcadrésze, 1 nyolcada, illetve a

nyolcszorosa fogalmakról.



207


Tk. 138/1. feladat: A 4-es és a 8-as szorzótábla párhuzamba állításával vezetjük be a

8-as szorzótábla tanítását.

Megoldás: Ennyi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

piros rúd (cm) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

bordó rúd (cm) 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

Tk. 138/2. feladat: Figyeltessük meg a 10-es, 2-es és a 8-as szorzótábla közti kapcso-

latot.

Megoldás: Ennyi csokit vesz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ennyi pénzt ad 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Ennyit kap vissza 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Ennyibe kerül a csoki 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

Tk. 138/3. feladat: Figyeltessük meg a 4-es és a 8-as szorzótábla közti kapcsolatot.

Megoldás: Ugrások sz. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ürge 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Nyúl 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

Tk. 139/4. feladat: A 8-as szorzótábláról tanultak elmélyítése. A megoldandó 4 feladat-

ból az els® hármat fölfoghatjuk a régebben tanult szorzótáblák ismétléseként.

Megoldás: 8 � 4 = 32 8 � 5 = 40 8 � 7 = 56 8 � 9 = 72

Tk. 139/5. feladat: A feladat megoldása el®tt építtessük fel 8 db egységnyi él¶ kockából

a nagy kockát.

Megoldás:

2 � 8 = 1 6 8 � 8 = 6 4 9 � 8 = 7 24 0 : 8 = 5

0

4 4 : 8 = 5

4

5 0 : 8 = 6

2

5 � 8 + 0 = 4 0 5 � 8 + 4 = 4 4 6 � 8 + 2 = 5 0

Tk. 139/6. feladat: Ismét �gyeltessük meg a szorzás és az osztás közötti kapcsolatot.

Megoldás: 1 ugrással 0 1 3 7 9 6 8 10

8 ugrással 0 8 24 56 72 48 64 80


fel úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük a 8-as szorzótáblát, illetve kékkel







Megoldás: 8 � 1 = 8 6 � 8 = 48

1 � 8 = 8 7 � 8 = 56

8 � 9 = 72 8 � 7 = 56

9 � 8 = 72 0 � 8 = 0

8 � 6 = 48 8 � 8 = 64

A 4-es szorzótábla kétszerese a 8-as szorzótábla.

A 3-as és 5-ös szorzótábla összege a 8-as szorzótábla.

Tk. 140/8. feladat: Szorzótáblák közti összefüggésr®l gy¶jthetnek tapasztalatokat a

tanulók.

Megoldás: a) 16 = 2 � 8 = 8 � 2 = 4 � 4 = 1 � 16 = 16 � 1

b) 24 = 3 � 8 = 8 � 3 = 4 � 6 = 6 � 4 = 2 � 12 = 12 � 2 = 1 � 24 = 24 � 1

Tk. 140/9. feladat: A szorzás és osztás közti kapcsolatot �gyeltethetjük meg. Beszéljük

meg a szélrózsa fogalmát, melyet környezetismeretb®l is tanulnak a gyermekek.

Megoldás: 8 � 5 = 40 8 � 7 = 56

8 � 4 = 32 8 � 9 = 72

16 : 8 = 2 64 : 8 = 8 24 : 8 = 3 48 : 8 = 6

Tk. 141/10. feladat: Az osztás (mint bennfoglalás) szemléltetése, elvégzése.

Megoldás: 16 : 8 = 2 32 : 8 = 4 24 : 8 = 3

2 � 8 = 16 4 � 8 = 32 3 � 8 = 24

Tk. 141/11. feladat: Az osztás (mint bennfoglalás) szemléltetése, elvégzése.

Megoldás: Ennyi epret visznek 8 24 40 32 48 16 56 80 72 64 0

Ennyi jut egy mókusnak 2 6 10 8 12 4 14 20 18 16 0

Ennyi jut egy sünnek 1 3 5 4 6 2 7 10 9 8 0

Tk. 141/12. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatának elmélyítése.

Megoldás: 3 � 8 = 24 24 : 3 = 8

8 � 3 = 24 24 : 8 = 3

Tk. 142/13. feladat: Az osztás (mint bennfoglalás) szemléltetése, elvégzése. Adjunk a

tanulók kezébe kockát, és �gyeljék meg a kocka lapjait.

Megoldás: Ennyi csúcsa van 8 16 32 0 80 24 40 48 56 64 72

Ennyi kockának 1 2 4 0 10 3 5 6 7 8 9

Tk. 142/14. feladat: Az osztás (mint részekre osztás) elvégzése eszközzel. Ismerkedés

a nyolcadrész fogalmával.



209


Megoldás: 32 nyolcadrésze 4 ; 32 : 8 = 4 , mert 8 � 4 = 32

4 gyöngy kerül egy-egy cérnaszálra.

Tk. 142/15. feladat: Maradékos osztás gyakorlása. Figyeltessük meg, hogy 8-cal

osztva milyen maradékokat kaphatunk. Kérdésekkel b®víthetjük a feladatot. Például:

Kaphatunk-e a feladatban keletkez® maradékoktól különböz®t? Hány narancsunk lehe-

tett, ha 1-et kaptunk maradékul? Hány különböz® maradékot kaphatunk?

Megoldás: Ennyi narancs van 21 23 24 56 48 63 64 70 72 76

Ennyi doboz telik meg 2 2 3 7 7 7 8 8 9 9

Ennyi narancs marad 5 7 0 0 2 7 0 6 0 4

Tk. 143/16. feladat: A maradékos osztást �gyeltethetjük meg. Az egyes sapkákhoz

tartozó számok 8-cal osztva ugyanazt a maradékot adják. Ha növekv® vagy csökken®

sorrendbe rendezzük a számokat, 8-cal növekv® vagy csökken® sorozatot kapunk.

Figyeltessük meg, hogy a 8-cal osztható számok oszthatók 2-vel és 4-gyel is. Nem

minden 2-vel, illetve 4-gyel osztható szám osztható 8-cal.

Megoldás: 5, 13, 27, 33, 39, 41 12, 20, 36

2, 10, 26, 30, 34, 42 8, 16, 24, 32, 40

Tk. 143/17. feladat: A kreativitást, képi gondolkodást fejleszt® feladat.

Megoldás:

Vetessük észre, hogy

z � z � z = 8, ezért z = 2.

Vetessük észre, hogy

z � s � s � s = 8,

ebb®l z = 1, s = 2,

z = 8, s = 1 következhet.

További próbálkozásból kiderül, hogy csak

az els® megoldás vezet eredményre.




Tk. 143/18. feladat: A kreativitást, képi gondolkodást fejleszt® feladat.

A bal oldali feladatban most is z � z � z = 8, ezért z = 2.

4 � 2 � 6 = 4 8 4 8 : 8 � 2 = 1 2

� � � : : � : :

2 � 2 � 2 = 8 6 : 2 � 2 = 6

� � : � � : � �

3 � 2 : 3 = 2 4 � 4 : 2 = 8

= = = = = = = =

2 4 : 8 � 4 = 1 2 3 2 : 4 � 2 = 1 6

Tk. 144/19. feladat: A 8-as szorzótáblához kapcsolódó szöveges feladat. Figyeljük meg,


Megoldás: Adatok: 1 mama 5 �óka, x = ?

5 mama x �óka

Terv: x = 5 � 8

Számolás: x = 40

Válasz: 40 kiskacsa van a tóban.



Megoldás: Adatok: 4 �óka 32 bogyó

1 �óka x bogyó x = ?

Terv: x = 32 : 4

Számolás: x = 8


Válasz: 8 bogyó jut egy �ókának.



Megoldás: Adatok: h = 72 cm, k <8-szor

h, k = ?

Terv: k = h : 8

Számolás: k = 72 : 8 k = 9 cm


Válasz: 8 cm hosszú a kis keszeg.





211


Megoldás: Adatok: 1 lépés 8 dm

x lépés 40 dm x = ?

Terv: x = 40 : 8

Számolás: x = 5


Válasz: 5 lépéssel ér oda gólya mama.

Tk. 145/23. feladat: A számolási rutin fejlesztésére szánt játékos feladat.

Megoldás:

Megoldás: a 48 á 20 b 72

c 20 cs 18 d 21

e 49 é 70 f 46

g 32 gy 16 h 35

i 18 í 12 j 56

k 16 l 50 ly 30

m 14 n 40 ny 63

o 18 ó 25 ö 14

® 64 p 26 q 54

r 15 s 42 sz 80

t 28 ty 36 u 36

Gy. 132/1. feladat: Egészíttessük ki, majd �gyeljük meg a 8-cal csökken® sorozatokat.

Egy-egy sorozat elemei 8-cal osztva ugyanazt a maradékot adják. Alkothatunk olyan

sorozatot, amelynek elemei 8-cal osztva a meglév®kt®l különböz® maradékokat adnak.

A tanulók szerezzenek tapasztalatot arról, hogy ily módon 8 különböz® sorozatot alkot-

hatnak, valamint minden szám elhelyezhet® valamelyik sorozatban.




Megoldás: A sorozat mindig 8-cal csökken.

80, 72, 64, 56, 48, 40, 32, 24, 16, 8, 0

84, 76, 68, 60, 52, 44, 36, 28, 20, 12, 4

83, 75, 67, 59, 51, 43, 35, 27, 19, 11, 3

Gy. 132/2. feladat: A szorzás és az osztás közötti kapcsolatról tanultak elmélyítése.

Megoldás: Pókok száma 1 5 2 6 9 4 7 0 8 3 10

Lábak száma 8 40 16 48 72 32 56 0 64 24 80

Gy. 132/3. feladat: A szorzás és az osztás közötti kapcsolatról tanultak elmélyítése.

Megoldás: Vázák száma 1 3 4 10 5 8 2 0 7 6 9

Piros virág 4 12 16 40 20 32 8 0 28 24 36

Kék virág 8 24 32 80 40 64 16 0 56 48 72

Gy. 132/4. feladat: Figyeltessük meg a 4-es és 8-as szorzótábla közti kapcsolatot.

Megoldás: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80

Gy. 132/5. feladat: A 8-as szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a


el®segíthetjük a 8-as szorzótábla tudatosítását.

Megoldás: a) 0 � 8 = 0 3 � 8 = 24 6 � 8 = 48 9 � 8 = 72

1 � 8 = 8 4 � 8 = 32 7 � 8 = 56 10 � 8 = 80

2 � 8 = 16 5 � 8 = 40 8 � 8 = 64 5 � 8 = 40

b) 4 � 8 = 32 5 � 8 = 40 2 � 8 = 16 8 � 8 = 64

6 � 8 = 48 8 � 3 = 24 8 � 0 = 0 1 � 8 = 8

8 � 9 = 72 7 � 8 = 56 1 � 8 = 8

Gy. 133/6. feladat: A szorzás és az osztás kapcsolatának elmélyítése.

Megoldás: 4 � 8 = 3 7 � 8 = 56

8 � 4 = 32 8 � 7 = 56

32 : 4 = 8 56 : 7 = 8

32 : 8 = 4 56 : 8 = 7



213


Gy. 133/7. feladat: A 8-as bennfoglalótábla gyakorlása.


8 : 8 = 1 mert 1 � 8 = 8 56 : 8 = 7 mert 7 � 8 = 56

16 : 8 = 2 mert 2 � 8 = 16 64 : 8 = 8 mert 8 � 8 = 64

24 : 8 = 3 mert 3 � 8 = 24 72 : 8 = 9 mert 9 � 8 = 72

32 : 8 = 4 mert 4 � 8 = 32 80 : 8 = 10 mert 10 � 8 = 80

40 : 8 = 5 mert 5 � 8 = 40



9 3 5 8

6 7 8 8

b) 48 27 35 36

8 40 64 42

56 42 72 0

c) 80 63 59 74

57 70 71 84

46 62 61 95

d) 30 15 40 27

70 63 86 37

37 25 54 19

e) 7 6 24 4

8 8 56 8

4 8 48 Sok megoldása van.

Gy. 134/9. feladat: Egym¶veletes, egyenes és fordított szövegezés¶ feladatok. A

megoldások kapcsán lehet®ség nyílik:

1 következtetésre (egyr®l többre, többr®l egyre);

2 a szorzás különböz® értelmezéseinek szemléltetésére;

3 az osztás különböz® értelmezéseinek szemléltetésére.

Az osztást mint bennfoglalást és mint részekre osztást, illetve mint a szorzás inverz

m¶veletét nem kívánjuk ilyen kategorikusan tudatosítani. Megelégszünk azzal, hogy a

gyermekek kigy¶jtik az adatokat, elkészítik a helyes megoldási tervet, megoldják az

egyenletet, megadják a szöveges választ.

Megoldás: a) Adatok: 1 nap 8 oldal

1 hét = 7 nap x oldal x = ?

Terv: x = 7 � 8




Számolás: x = 56

Válasz: 56 oldalt olvas el egy hét alatt Pisti.

b) Adatok: 1 üveg 8 dl

x üveg 4 l = 40 dl x = ?

Terv: x = 40 : 8

Számolás: x = 5


Válasz: 5 üveg telik meg.

c) Adatok: 1 sor 8 négyzet

8 sor x négyzet x = ?

Terv: x = 8 � 8

Számolás: x = 64

Válasz: 64 négyzet van a sakktáblán.

d) Adatok: 1 láda 8 kg, x = ?

x láda 72 kg

Terv: x = 72 : 8

Számolás: x = 9


Válasz: 9 ládában fér el 72 kg alma.

e) Adatok: b = 72, b >8-szor

m, m = ?

Terv: m = b : 8

Számolás: m = 72 : 8 m = 9


Válasz: 9 láda mandarint hoztak az üzletbe.

f) Adatok: T = 48 cm, B <

8-szorT, B = ?

Terv: B = T : 8

Számolás: B = 48 : 8 B = 6 cm


Válasz: 6 cm magas Babszem Jankó.

Gy. 135/10. feladat: Egym¶veletes, egyenes és fordított szövegezés¶ feladatok. A

megoldások kapcsán lehet®ség nyílik:

1 következtetésre (egyr®l többre, többr®l egyre);

2 a szorzás különböz® értelmezéseinek szemléltetésére;

3 az osztás különböz® értelmezéseinek szemléltetésére.

Az osztást mint bennfoglalást és mint részekre osztást, illetve mint a szorzás inverz

m¶veletét nem kívánjuk ilyen kategorikusan tudatosítani. Megelégszünk azzal, hogy a



215


gyermekek kigy¶jtik az adatokat, elkészítik a helyes megoldási tervet, megoldják az

egyenletet, megadják a szöveges választ.

Megoldás: a) Adatok: S = 48, S >

nyolcadaK, K = ?

Terv: K = S : 8

Számolás: K = 48 : 8 K = 6


Válasz: 6 szelet süteményt evett meg Kati.

b) Adatok: Zs = 9, Á >

nyolcadaZs, Á = ?

Terv: Á = 8 � Zs

Számolás: Á = 8 � 9 Á = 72

Ellen®rzés: 72 : 8 = 9

Válasz: 72 szalvétája van Áginak.

c) Adatok: 8 unoka 64 szem

1 unoka x szem x = ?

Terv: x = 64 : 8

Számolás: x = 8


Válasz: 8 mogyorót kapott egy gyerek.

d) Adatok: 3 gyerek 24 kártya

1 gyerek x kártya x = ?

Terv: x = 24 : 3

Számolás: x = 8


Válasz: 8 kártya jut egy gyereknek.

Gy. 135/11. feladat: Gyakoroljuk a számok nyolcadrészének meghatározását.


8 : 8 = 1 mert 8 � 1 = 8 56 : 8 = 7 mert 8 � 7 = 56

16 : 8 = 2 mert 8 � 2 = 16 64 : 8 = 8 mert 8 � 8 = 64

24 : 8 = 3 mert 8 � 3 = 24 72 : 8 = 9 mert 8 � 9 = 72

32 : 8 = 4 mert 8 � 4 = 32 80 : 8 = 10 mert 8 � 10 = 80

40 : 8 = 5 mert 8 � 5 = 40

Gy. 136/12. feladat: Figyeltessük meg a szorzótáblák közti kapcsolatokat.

Megoldás: 24 : 3 = 8 24 : 4 = 6 24 : 6 = 4 24 : 8 = 3

3 � 8 = 24 4 � 6 = 24 6 � 4 = 24 8 � 3 = 24




Gy. 136/13. feladat: Figyeltessük meg a 2-es, 4-es és a 8-as szorzótábla közti kapcso-

latot.

Megoldás:

a)

3

� 4 � 21 2 2 4

� 8

5

� 2 � 41 0 4 0

� 8

b)

32

: 4 : 28 4

: 8

16

: 2 : 48 2

: 8

Gy. 136/14. feladat: A szorzat változásainak meg�gyeltetése. Nem változik a szorzat,

ha a tényez®ket felcseréljük. (A szorzás kommutatív m¶velet.) Ha valamelyik tényez®t

növeljük (csökkentjük), a másikat nem változtatjuk, akkor a szorzat is n® (csökken).

A hányados változásainak meg�gyeltetése. Az osztandót növeljük (csökkentjük), az

osztót nem változtatjuk, akkor a hányados is n® (csökken).

Ha az osztandót nem változtatjuk, az osztót növeljük (csökkentjük), akkor a hányados

csökken (n®).

Megoldás: 24 = 24 4 <1 5 56 2> 54 6 3> 3

Gy. 136/15. feladat: A m¶veletek sorrendjér®l tanultak alkalmazása számfeladatokban.

Megoldás: a) 17

2:

+ 6

1:

� 8| {z }

48

= 65 49

2:

+ 16| {z }

65

3:

{ 56

1:

: 8| {z }

7

= 58

b) 60

2:

{ 4

1:

� 8| {z }

32

= 28 91

2:

{ 25| {z }

66

3:

+ 72

1:

: 8| {z }

9

= 75

Gy. 137/16. feladat: A maradékos osztás gyakorlása. Ne feledkezzünk meg az ellen®r-

zésr®l.

Megoldás:

a) 1 9 : 8 = 2

3

2 6 : 8 = 3

2

3 4 : 8 = 4

2

2 � 8 + 3 = 1 9 3 � 8 + 2 = 2 6 4 � 8 + 2 = 3 4

b) 4 0 : 8 = 5

0

4 9 : 8 = 6

1

5 5 : 8 = 6

7

5 � 8 + 0 = 4 0 6 � 8 + 1 = 4 9 6 � 8 + 7 = 5 5



217


c) 3 3 : 8 = 4

1

4 7 : 8 = 5

7

5 9 : 8 = 7

3

4 � 8 + 1 = 3 3 5 � 8 + 7 = 4 7 7 � 8 + 3 = 5 9

d) 6 4 : 8 = 8

0

7 0 : 8 = 8

6

7 8 : 8 = 9

6

8 � 8 + 0 = 6 4 8 � 8 + 6 = 7 0 9 � 8 + 6 = 7 8

e) 7 3 : 8 = 9

1

1 5 : 8 = 1

7

6 : 8 = 0

6

9 � 8 + 1 = 7 3 1 � 8 + 7 = 1 5 0 � 8 + 6 = 6

Gy. 137/17. feladat: A maradékos osztás gyakorlása táblázat kitöltésével.

Megoldás: Magok száma 8 18 20 24 25 36 50 69 75 80 0

Egy egérnek jut 1 2 2 3 3 4 6 8 9 10 0

Ennyi mag marad 0 2 4 0 1 4 2 5 3 0 0

Gy. 137/18. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást fejleszt® feladat.

Megoldás: A szorzat 24:

5 9 2 6 3 7 6 4

3 7 3 3 2 9 6 7

8 5 4 9 2 2 3 0

9 1 7 8 1 8 5 2

6 2 2 5 7 9 4 3

A szorzat 32:

2 7 6 4 8 3 9 2

2 8 5 3 7 5 7 2

6 1 0 9 4 2 6 2

4 2 7 8 2 4 0 2

5 2 2 9 9 5 1 2

A 9-es szorzótábla, osztás 9-cel








Óra: 109{112. 124{127. 136{139.

A 9-es szorzótábla elsajátítását tekinthetjük a szorzótáblák folyamatos ismétlésének. A

9 � 9 szorzat kivételével minden szorzatot megtanítottunk. Így sok lehet®ségünk nyílik a

szorzótáblák közötti kapcsolatok, a szorzás tulajdonságainak vizsgálatára. Több id®nk




marad összetett feladatok megoldására, melynek során fokozatosan mélyítjük a m¶ve-

leti sorrendr®l, az összeadás és a szorzás tulajdonságairól tanultakat, valamint ezek

kapcsolatát.

Figyeltessük meg a 3-as és a 9-es szorzótábla, illetve a 10-es és a 9-es szorzótábla

közti kapcsolatot.

Alkossunk sorozatot, melynek az els® eleme 9. A többi elemet úgy képezzük, hogy a

tízeseket 1-gyel növeljük, az egyeseket 1-gyel csökkentjük. Érdekes meg�gyelés, hogy

ez egy 9-cel növekv® sorozat, melynek elemei 9-cel osztva 0-t adnak maradékul.

Szerezzenek tapasztalatokat a tanulók valaminek a kilencedrésze, 1 kilencede, illetve a

kilencszerese fogalmakról.

Tk. 146/1. feladat: A 9-es és a 10-es szorzótábla közti kapcsolat szemléletes bemuta-

tása.

Megoldás: Ennyi polcon 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ennyi üveg van 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Ennyi üveg üres 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ennyi üveg van tele 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

Tk. 146/2. feladat:

A 3-as és a 9-es szorzótábla közti kapcsolat szemléltetése. Figyeltessük meg a szor-

zat változásait a konkrét feladatban (2 � 3 = 6; 2 � 9 = 18). Ha a szorzat valamelyik

tényez®jét háromszorosára növeljük (harmadrészére csökkentjük), akkor a szorzat is

háromszorosra n® (harmadrészére csökken).

Figyeltessük meg a hányados változásait is.

Megoldás: Ennyit ugrott 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A béka ide érkezett 3 6 9 12 15 18 21 24 27

A nyuszi ide érkezett 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Tk. 147/3. feladat: A 9-es szorzótábla gyakorlása feladathelyzetben.

Megoldás: 9 � 9 = 81 9 � 6 = 54 9 � 10 = 90 9 � 8 = 72

Tk. 147/4. feladat: Kockákból építsük meg a hasábokat. Ezzel fejlesztjük a tanulók képi

gondolkodását, szemléletessé tesszük a 9-es szorzótábla felépítését, illetve a szorzás

és az osztás közötti kapcsolatot.

Megoldás:

6 � 9 = 5 4

2 � 9 = 1 8 3 � 9 = 2 7 9 � 9 = 8 1

3 6 : 9 = 4

0

4 0 : 9 = 4

4

6 4 : 9 = 7

1

4 � 9 + 0 = 3 6 4 � 9 + 4 = 4 0 7 � 9 + 1 = 6 4



219


Tk. 147/5. feladat: Ismét �gyeltessük meg a szorzás és az osztás közötti kapcsolatot.

Megoldás: 1 ugrással 0 1 3 7 9 6 8 10

9 ugrással 0 9 27 63 81 54 72 90


fel úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük a 9-es szorzótáblát, illetve kékkel




Megoldás: 9 � 1 = 9 7 � 9 = 63

1 � 9 = 9 5 � 9 = 45

8 � 9 = 72 9 � 0 = 0

9 � 8 = 72 0 � 9 = 0

9 � 7 = 63 9 � 9 = 81


tanulók.

Megoldás: A 4-es és az 5-ös oszlop számainak összege a 9-es oszlop.

A 10-es és az 1-es oszlop számainak különbsége a 9-es oszlop.


tanulók.

Megoldás: a) 18 = 2 � 9 = 9 � 2 = 3 � 6 = 6 � 3 = 18 � 1 = 1 � 18

b) 36 = 4 � 9 = 8 � 4 = 6 � 6 = 2 � 18 = 18 � 2 = 3 � 12 = 12 � 3 = 36 � 1 = 1 � 36

Tk. 148/9. feladat: A 9-es szorzótábla gyakorlására szánt feladat.

Megoldás: 3 � 9 = 27 5 � 9 = 45 10 � 9 = 90

2 � 9 = 18 7 � 9 = 63 9 � 9 = 81

Tk. 149/10. feladat: Az osztás (mint bennfoglalás) értelmezése, elvégzése eszköz

segítségével.

Megoldás: 18 : 9 = 2 36 : 9 = 4

2 � 9 = 18 4 � 9 = 36

Tk. 149/11. feladat: Az osztás gyakorlására szánt feladat. Ne feledkezzünk meg az

ellen®rzésr®l.

Megoldás: 36 : 9 = 4 72 : 9 = 8 54 : 9 = 6

4 � 9 = 36 8 � 9 = 72 6 � 9 = 54

63 : 9 = 7 81 : 9 = 9 27 : 9 = 3

7 � 9 = 63 9 � 9 = 81 3 � 9 = 27




Tk. 149/12. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást fejleszt® feladat.

Megoldás:

3 6 : 6 � 9 = 5 4 3 � 3 � 3 = 2 7

: : � : � � � :

9 : 3 � 2 = 6 2 � 6 : 4 = 3

� � : � � : : :

3 � 2 : 3 = 2 9 � 2 : 6 = 3

= = = = = = = =

1 2 : 4 � 6 = 1 8 5 4 : 9 : 2 = 3

Tk. 150/13. feladat: Az osztás (mint részekre osztás) értelmezése, elvégzése eszköz

segítségével. Ismerkedés a kilencedrész fogalmával.

Megoldás: 36 kilencedrésze 4 ; 36 : 9 = 4, mert 9 � 4 = 36

4 málnabokor kerül egy sorba.

Tk. 150/14. feladat: A részekre osztás gyakorlására szánt feladat. A kilencedrész

fogalom elmélyítése.

Megoldás: 2 kis téglalapot kell kiszínezni. 18 : 9 = 2 9 � 2 = 18

1 kis téglalapot kell kiszínezni. 9 : 9 = 1 9 � 1 = 9

3 kis téglalapot kell kiszínezni. 27 : 9 = 3 9 � 3 = 27

Tk. 150/15. feladat: Kreativitást, összefüggéslátást fejleszt® feladat.

A két oszlopot egy feladatnak tekintjük. A fehér négyzeteknek kell értéket adni, és ennek

alapján kell kiszínezni azokat.

s = 3, z = 6, r = 9.

A feladat második sora:

3 � 3kétszerese

3 � 6 3 � 3háromszorosa

3 � 9

A 6 zöld, a 9 rózsaszín. A feladat megoldása minden tanulótól elvárható.

A feladat harmadik sora:

6 � 6fele

3 � 6 6 � 9harmadrésze

6 � 3

A 6 zöld, a 3 sárga.

A feladat negyedik sora:

3 � 3négyszerese

6 � 6 9 � 9kilencedrésze

3 � 3

A 6 zöld, a 9 rózsaszín.



221


A feladat ötödik sora komoly kombinatorikai feladat. Az összes megoldás megtalálása

nem várható el a másodikos tanulóktól. Próbálgatással jussanak eredményre. A külön-

böz® helyes eredményeket vitassuk meg.

A színezetlen négyzeteket jelöljük b-vel, c-vel, d-vel, a kék szín¶t k-val.

k � 9

egyszerese

b � 6 9 � ckilencedrésze

d � k

A k értéke 2 vagy 4 lehet, ha kikötjük, hogy egy négyzetbe csak egyjegy¶ számot

írhatunk, és két szín nem jelentheti ugyanazt a számot. Továbbá:

Ha k = 2, akkor b = 3. c 2 4 6 8

d 1 2 3 4

Ha k = 4, akkor b = 6. c 4 8

d 1 2

A színezés a számoknak megfelel®en történik.

Tk. 151/16. feladat: A 9-es szorzótábláról tanultak elmélyítése, a maradékos osztás

gyakorlása. Figyeltessük meg a 9-cel való osztás lehetséges maradékait. Beszéljük

meg, miért nem kaphatunk 9-et maradékul. Ügyeljünk arra, hogy az ellen®rzés sohase

maradjon el.

Megoldás: 39 : 9 = 4 36 : 9 = 4 40 : 9 = 43 0 4

Tk. 151/17. feladat: 9-es szorzótábláról tanultak elmélyítése méréshez kapcsolva.

Megoldás: Nyúltól saláta alma levél gomba virág répa

Rajzon 5 3 7 4 6 8

Valóságban 45 27 63 36 54 72



Megoldás: Adatok: Bo = 54 cm, Bo >9-szer

Bi, Bi = ?

Terv: Bi = 54 : 9

Számolás: Bi = 6 cm


Válasz: 6 cm-t tesz meg Biga 1 perc alatt.






Megoldás: Adatok: 1 perc 9 dm,

5 perc x dm x = ?

Terv: x = 5 � 9

Számolás: x = 45 dm

Válasz: 45 dm = 4 m 5 dm távolságra jut Fülöp.



Megoldás: Adatok: 1 perc 9 m x = ?

x perd 81 m

Terv: x = 81 : 9

Számolás: x = 9 perc


Válasz: 9 perc alatt ér haza Hangya Hanga.



Megoldás: Adatok: 9 perc 72 dm,

1 perc x dm x = ?

Terv: x = 72 : 9



Válasz: 8 dm-t tesz meg percenként Tücsök Tóni.

Tk. 153/22. feladat: A szorzótáblák gyakorlására szánt játékos feladat.

Megoldás: a 54 á 24 b 35

c 56 d 36 e 72

é 24 f 25 g 28

h 36 i 42 í 16

j 36 k 18 l 24

m 48 n 45 o 21

ó 27 ö 40 ® 16

p 81 q 32 r 18

s 49 t 90 u 63

ú 64 ü 70

Megoldás:



223


5 4

5 5 6

2 4

3 6

3 6

4 8

2 7

86

1

4

6

8

7

1

2

2

1

2

0

5

8

2

5

3

4

4

1

4

2

1

8

2

12

6

3 4 9

3

5

6

3

0

4

9

2

6 4

07

Gy. 138/1. feladat: 9-cel növekv®, illetve csökken® sorozatokat állítunk el®. Mint

az el®z® szorzótábláknál, itt is vizsgáljuk meg, melyik sorozat mennyit ad maradékul;

tudunk-e más maradékot adó hasonló sorozatot készíteni; hányat; stb.

Megoldás: a) 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90

3, 12, 21, 30, 39, 48, 57, 66, 75, 84, 93

7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 79, 88, 97

8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 89, 98

b) 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15, 6

91, 82, 73, 64, 55, 46, 37, 28, 19, 10, 1

95, 86, 77, 68, 59, 50, 41, 32, 23, 14, 5

94, 85, 76, 67, 58, 49, 40, 31, 22, 13, 4

Gy. 138/2. feladat: Figyeljük meg a 10-es, 1.es és 9-es szorzótáblák közti összefüggést.

Megoldás: Ennyi kosár 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ennyi tallér 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Visszakap 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kerül 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

Gy. 138/3. feladat: A 9-es szorzótábla gyakorlása. Ismét beszéljük meg, hogy a


el®segíthetjük a 9-es szorzótábla tudatosítását.

Megoldás: a) 0 � 9 = 0 3 � 9 = 27 6 � 9 = 54 9 � 9 = 81

1 � 9 = 9 4 � 9 = 36 7 � 9 = 63 10 � 9 = 90

2 � 9 = 18 5 � 9 = 45 8 � 9 = 72




b) 1 � 9 = 9 9 � 9 = 81 0 � 9 = 0 10 � 9 = 90

7 � 9 = 63 9 � 6 = 54 4 � 9 = 36 2 � 9 = 18

9 � 8 = 72 5 � 9 = 45 9 � 7 = 63 6 � 9 = 54

4 � 9 = 36 10 � 9 = 90 8 � 9 = 72 9 � 10 = 90

c) 5 � 9 = 45 9 � 3 = 27 9 � 9 = 81 9 � 8 = 72

1 � 9 = 9 9 � 4 = 36 9 � 6 = 54 9 � 0 = 0

Gy. 139/4. feladat: A szorzás és osztás kapcsolatának meg�gyelése számegyenesen

történ® lépegetéssel.

Megoldás: 18 : 2 = 9 18 : 3 = 6 18 : 6 = 3 18 : 9 = 2

9 � 2 = 18 6 � 3 = 18 3 � 6 = 18 2 � 9 = 18

Gy. 139/5. feladat: A 9-as bennfoglalótábla gyakorlása.


9 : 9 = 1 mert 1 � 9 = 9 63 : 9 = 7 mert 7 � 9 = 63

18 : 9 = 2 mert 2 � 9 = 18 72 : 9 = 8 mert 8 � 9 = 72

27 : 9 = 3 mert 3 � 9 = 27 81 : 9 = 9 mert 9 � 9 = 81

36 : 9 = 4 mert 4 � 9 = 36 90 : 9 = 10 mert 10 � 9 = 90

45 : 9 = 5 mert 5 � 9 = 45

Gy. 139/6. feladat: Az osztás (bennfoglalás) gyakorlása táblázat kitöltésével.

Megoldás: Utasok száma 0 9 90 27 72 18 81 63 36 45 54

Kisbuszok száma 0 1 10 3 8 2 9 7 4 5 6

Gy. 139/7. feladat: Az osztás (bennfoglalás) gyakorlása táblázat kitöltésével.

Megoldás: Szabály: S � 9 = P, 9 � s = P, P : 9 = S, P : S = 9

Sorok száma 1 5 9 2 0 8 3 6 4 10 7 11

Palánták 9 45 81 18 0 72 27 54 36 90 63 99

Gy. 140/8. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.

Megoldás: a) 48 81 15 54

27 56 90 20

35 48 18 30

8 72 40 0

b) 1 7 81 1

3 9 54 3

6 2 72 6

8 0 90 8



225


c) 6 9 7 2

6 8 10 9

10 5 3 2

0 5 1 7

d) 57 43 12 8

67 67 36 52

69 52 24 23

76 19 28 18

e) 47 46 22 55

91 27 21 64

83 23 5 66

58 30 28 49

Gy. 140/9. feladat: A m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása, a számolási rutin

fejlesztése összetett számfeladatok megoldásával.

Megoldás: a) 39

2:

+ 4

1:

� 6| {z }

24

= 63 4

1:

� 7| {z }

28

3:

+ 6

2:

� 8| {z }

48| {z }

76

4:

{ 19 = 57

73

2:

{ 54

1:

: 9| {z }

6

= 67 72

1:

: 8| {z }

9

3:

+ 7

2:

� 8| {z }

63| {z }

72

4:

{ 7 = 65

100

2:

� 9

1:

� 8| {z }

72

= 28 9

1:

� 7| {z }

63

3:

+ 28

2:

: 4| {z }

7

= 70

Gy. 141/10. feladat: Egy m¶velettel megoldható szöveges feladatok. A feladatok

megoldását egyre önállóbban végezzék a tanulók, fejlesztve ezzel az olvasásukat és a

szövegértésüket is.

Megoldás: a) Adatok: 1 függöny 9 m

x függöny 72 m x = ?

Terv: x = 72 : 9

Számolás: x = 8


Válasz: 8 függönyhöz kell 72 m szeg®szalag.

b) Adatok: 1 perc 9 cm,

x perc 9 dm = 90 cm x = ?

Terv: x = 90 : 9




Számolás: x = 10

Ellen®rzés: 10 � 9 = 90

Válasz: 10 perc alatt tesz meg 9 dm utat Hernyó Henrik.

c) Adatok: A = 63, B <

9-celA, B = ?

Terv: B = A { 9

Számolás: B = 63 { 9 B = 54

Ellen®rzés: 54 + 9 = 63

Válasz: 54 könyve van Beának.

d) Adatok: R = 63, É <

9-szerR, É = ?

Terv: É = R : 9

Számolás: É = 63 : 9 É = 7


Válasz: 7 képeslapja van Édának.

e) Adatok: l = 8, l <9-szer

f, f = ?

Terv: f = 9 � l

Számolás: f = 9 � 8 f = 72

Válasz: 72 �ú fogócskázott.

Terv: gy = l + f gy = ?

Számolás: gy = 8 + 72 gy = 80

Válasz: 80 gyerek fogócskázott.

Gy. 142/11. feladat: Egy m¶velettel megoldható szöveges feladatok. A feladatok

megoldását egyre önállóbban végezzék a tanulók, fejlesztve ezzel az olvasásukat és a

szövegértésüket is.

Megoldás: a) Fogadjuk el, ha a gyermekek következtetéssel oldják meg a feladatot.

Jancsi most 9 éves.

9 év múlva 2-szer olyan id®s lesz, mint most. 18 éves lesz.

18 év múlva 3-szor olyan id®s lesz, mint most. 27 éves lesz.

Adatok: m 9, m <

3-szorl, k = ?

m: 9 év

l: k év

Terv: k = 3 � 9 { 9 k = 2 � 9

Számolás: k = 18

Ellen®rzés: 9 + 18 = 27 3 9 = 27

Válasz: 18 év múlva lesz Jancsi 3-szor annyi id®s, mint most.



227


b) A szorzás és az összeadás közötti összefüggést elmélyít® feladat. Át-

fogalmazhatjuk úgy, hogy melyik az a szám (Kriszta mostani életkora),

amelyhez 9-et adva a szám kétszeresét kapom.

Adatok: m <

9-cell, m <

2-szerl, m = ?

m: m m 2 � m

l: m 9 év m + 9

Terv: l = m + 9 l = 2 � 9

Számolás: 18 = m + 9 m = 9 év

Ellen®rzés: 9 + 9 = 18, 2 � 9 = 18

Válasz: 9 éves most Kriszta.

c) Adatok: 1 üveg fél l = 5 dl

9 üveg x l x = ?

Terv: x = 9 � 5

Számolás: x = 45 dl

Válasz: 45 dl = 4 l 5 dl szörp volt a kannában.

d) Adatok: 63 szál 7 csokor,

x szál 1 csokor x = ?

Terv: x = 63 : 7

Számolás: x = 9


Válasz: 9 szál rózsa jut egy csokorba.

Gy. 142/12. feladat: Gyakoroljuk a számok kilencedrészének meghatározását.


9 : 9 = 1 mert 9 � 1 = 9 63 : 9 = 7 mert 9 � 7 = 63

18 : 9 = 2 mert 9 � 2 = 18 72 : 9 = 8 mert 9 � 8 = 72

27 : 9 = 3 mert 9 � 3 = 27 81 : 9 = 9 mert 9 � 9 = 81

36 : 9 = 4 mert 9 � 4 = 36 90 : 9 = 10 mert 9 � 10 = 90

45 : 9 = 5 mert 9 � 5 = 45

Gy. 143/13. feladat: A szorzás és osztás közti kapcsolatról tanultak alkalmazása. A

harmad, negyed, hatod, kilenced kifejezések helyes értelmezése.

Megoldás: 36 : 3 = 12 12 kis téglalapot kell kiszínezni.

3 � 12 = 36

36 : 4 = 9 9 kis téglalapot kell kiszínezni.

4 � 9 = 36


6 � 6 = 36





9 � 4 = 36

Gy. 143/14. feladat: A 9-es szorzótábláról tanultak elmélyítése, a maradékos osztás

gyakorlása. Figyeltessük meg a 9-cel való osztás lehetséges maradékait. Beszéljük

meg, miért nem kaphatunk 9-et maradékul. Ügyeljünk arra, hogy az ellen®rzés sohase

maradjon el.

Megoldás: a) 65 : 9 = 7 7 � 9 + 2 = 652

Ennyi forint van 10 18 29 40 66 92 50 82 54 80

Ennyi boríték vehet® 1 2 3 4 7 10 5 9 6 8

Ennyi forint marad 1 0 2 4 3 2 5 1 0 8

Gy. 143/15. feladat: A maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: a) 20 : 9 = 2 39 : 9 = 4 50 : 9 = 52 3 5

2 � 9 + 2 = 20 4 � 9 + 3 = 39 5 � 9 + 5 = 50

b) 68 : 9 = 7 57 : 9 = 6 78 : 9 = 85 3 6

7 � 9 + 5 = 68 6 � 9 + 3 = 57 8 � 9 + 6 = 78

c) 87 : 9 = 9 81 : 9 = 9 89 : 9 = 96 0 8

9 � 9 + 6 = 87 9 � 9 + 0 = 81 9 � 9 + 8 = 89

A szorzásról, osztásról tanultak kiegészítése, gyakorlása


számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöve-

gértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, térbeli




ság, kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 113{115. 128{131. 140{143.

A szorzótáblákról tanultak összefoglalásakor tudatosítsuk:

1 Az 1-gyel való szorzást.

Ha egy számot megszorzunk 1-gyel, akkor magát a számot kapjuk. a�1 = a, 1�a = a.

2 A 0-val való szorzást.

Ha bármely számot nullával szorzunk, akkor nullát kapunk eredményül. Kés®bbi



229


tanulmányok során úgy fogalmazunk, hogy egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha

valamelyik tényez®je 0.

3 Az 1-gyel való osztást.

Ha egy számot 1-gyel osztunk, akkor magát a számot kapjuk. a : 1 = a.

4 Ha 0-t osztunk egy 0-tól különböz® számmal, akkor 0-t kapunk. Például: ha 0 almát

két gyermek között egyenl®en elosztunk, akkor hány alma jut egy gyermeknek?

0 : 2 = 0.

5 A 0-val való osztást nem lehet értelmezni, 0-val nem lehet osztani.

Id®r®l id®re feladatok kapcsán térjünk vissza ezekre a kérdésekre, hogy tudatosuljanak

az ismeretek.

Tk. 154/1. feladat: 1 többszöröseinek meg�gyelése. Vetessük észre, hogy kéttényez®s

szorzat esetén, ha az egyik tényez® 1, a szorzat megegyezik a másik tényez®vel.

Megoldás: 1 + 1 = 2 1 + 1 + 1 = 3 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

2 � 1 = 2 3 � 1 = 3 5 � 1 = 5

Tk. 154/2. feladat: 1 többszöröseinek meg�gyelése. Vetessük észre, hogy kéttényez®s

szorzat esetén, ha az egyik tényez® 1, a szorzat megegyezik a másik tényez®vel.

Megoldás: 1 � 3 cm = 3 cm 1 � 5 cm = 5 cm

1 � 4 cm = 4 cm 1 � 1 cm = 1 cm

1 � 10 cm = 10 cm 1 � 2 cm = 2 cm


fel úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük az 1-es szorzótáblát, illetve kékkel




Megoldás: 1 � 1 = 1 7 � 1 = 7

1 � 0 = 0 5 � 1 = 5

0 � 1 = 1 1 � 5 = 5

9 � 1 = 9 6 � 1 = 6

1 � 7 = 7 1 � 6 = 6

Tk. 155/4. feladat: A 0 többszöröseinek meg�gyelése. Vetessük észre, ha a szorzásban

az egyik tényez® 0, akkor a szorzat is 0.

Megoldás: Ennyi csigának 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ennyi lába van 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tk. 155/5. feladat: A 0 többszöröseinek meg�gyelése. Vetessük észre, ha a szorzásban

az egyik tényez® 0, akkor a szorzat is 0.

Megoldás: 1 ugrással 0 1 2 4 5 6 8

0 ugrással 0 0 0 0 0 0 0





fel úgy, hogy sárga alapon piros színnel kiemeljük a 0-ás szorzótáblát, illetve kékkel




Megoldás: 0 � 0 = 0 7 � 0 = 0

1 � 0 = 0 0 � 7 = 0

0 � 1 = 0 0 � 3 = 0

0 � 5 = 0 6 � 0 = 0

5 � 0 = 0 0 � 6 = 0

Tk. 155/Figyeld meg!: A tapasztalatok összegzése a 0-s és 1-es szorzótáblákkal kap-

csolatban.

Tk. 156/7. feladat: Számolási rutin, képi gondolkodás fejlesztésére szánt játékos

feladat.

Megoldás:

0

20

58

66

82

80

62

86

70

100

68

90

74

46



231


Megoldás: 21 50 44 54

26 30 34 18

7 12 63 28

48 49 40 64

2 45 56 81

9 3 10 4

22 24 8 16

6 35 27 25

32 15 1 14

42 38 72 36

60 84 5 76

Tk. 157/1. kidolgozott mintapélda: Ha az osztandó 0, akkor a hányados mindig 0, ha

az osztó nem 0.

Megoldás: 0 : a = 0, a � 6= 0.

0 : 3 = 0 0 : 5 = 0 0 : 10 = 0

Tk. 157/2. kidolgozott mintapélda: Tudatosítjuk, hogy 0-val miért nem lehet osztani.

Tk. 157/8. feladat: Az 1-es és a 2-es szorzótábla közötti kapcsolat meg�gyeltetése. Ha

az osztó 1, akkor a hányados megegyezik az osztandóval, a : 1 = a.

Megoldás: 6 : 2 = 3 8 : 2 = 4 10 : 2 = 5

6 : 1 = 6 8 : 1 = 8 10 : 1 = 10

Tk. 158/9. feladat: Ha az osztó és az osztandó megegyezik, akkor a hányados 1,

a : a = 1.

Megoldás: 2 : 2 = 1

5 : 5 = 1

10 : 10 = 1

Tk. 158/10. feladat: Kreativitást, összefüggéslátást fejleszt® feladatok.

Megoldás:

1 1 2 2

1 2 4

2 8

16

2 1 2 2

2 2 4

4 8

32

1 2 2 1

2 4 2

8 8

64




Tk. 158/11. feladat: Kreativitást, összefüggéslátást fejleszt® feladatok.

Megoldás:

2 22 2

3

3 3

3

7

5

2

2 2

2

1

1

1

4

4

4

3

2

2

5

5 2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

3

3

3 3

3

7

7

4

1

3

3 3

3

3

4

2 2

Tk. 158/12. feladat: A szorzótáblákról tanultak alkalmazása játékos feladatban.

Megoldás: 53 54 18 47



233


Tk. 159/13. feladat: Számolási rutin, képi gondolkodás fejlesztése játékos feladatban.

Megoldás:6

8

9

10

5

0

3

4

7

2

1

12

20

30

42

100

Megoldás: 72 54 62 60

46 78 64 21

45 28 14 32

84 44 22 38

34 50 24 48

40 82 66 68

18 80 49 70

81 74 25 63

86 15 26 56

76 16 27 35

90 52 58 36




Gy. 144/1. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatsorok a szorzótáblákról

tanultak alkalmazására.

Diagnosztikus felmérést végezhetünk arról, hogy milyen mértékben sajátították el a ta-

nanyagot a gyermekek. �Igy megtervezhetjük a következ® id®szakban a gyakorlást.

Megoldás: a) 18 12 72 81

28 0 1 30

45 36 8 64

b) 60 16 16 70

0 42 0 56

7 0 4 20

c) 0 6 54 30

3 27 20 0

0 0 10 32

d) 35 5 36 48

21 10 14 9

50 34 0 2

e) 80 8 24 12

6 63 40 24

4 18 0 15

f) 25 20 40 0

49 90 9 30

0 16 46 100

g) 0 6 4 0

8 0 32 14

18 18 0 60

h) 90 70 21 45

7 15 35 56

10 10 24 24

i) 8 3 0 54

50 30 9 27

12 0 72 6

j) 20 2 80 16

12 63 28 0

0 40 48 40



235




Diagnosztikus felmérést végezhetünk arról, hogy milyen mértékben sajátították el a ta-

nanyagot a gyermekek. �Igy megtervezhetjük a következ® id®szakban a gyakorlást.


20 4 8 9

42 10 4 2

b) 0 6 2 6

36 10 0 1

30 6 4 10

c) 5 8 2 8

2 9 5 6

3 5 0 0

d) 1 7 8 9

7 6 7 3

8 9 5 2

e) 8 4 0 2

2 7 10 8

8 0 6 7

f) 1 2 7 1

0 5 3 0

2 4 7 1

g) 4 3 3 6

0 7 4 0

1 8 5 0

h) 3 4 6 9

1 0 0 3

0 3 0 4

Gy. 145/3. feladat: A szorzás és az összeadás, illetve a szorzás és az osztás kapcso-

latáról tanultak alkalmazása.

Megoldás: 6 + 6 + 6 = 18

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18

3 � 6 = 18 6 � 3 = 18

18 : 3 = 6 18 : 6 = 3






Diagnosztikus felmérést végezhetünk arról, hogy milyen mértékben sajátították el a tan-

anyagot a gyermekek. �Igy megtervezhetjük a következ® id®szakban a gyakorlást.


9 3 0 9

5 5 2 9

b) 7 10 10 7

10 1 4 4

9 5 2 6

c) 2 8 4 0

6 1 5 1

4 8 6 2

d) 9 0 1 2

7 1 0 5

0 10 0 10

e) 6 10 10 0

0 3 9 6

8 4 5 0

f) 1 5 0 10

6 6 6 1

3 10 3 9

g) 4 3 6 8

10 8 7 5

8 9 8 4

h) 10 4 4 5

7 8 6 7

8 9 1 3

i) 7 1 1 3

2 6 4 2

1 8 9 5

j) 2 6 3 8

9 4 8 2

10 6 7



237




Diagnosztikus felmérést végezhetünk arról, hogy milyen mértékben sajátították el a tan-

anyagot a gyermekek. �Igy megtervezhetjük a következ® id®szakban a gyakorlást.


7 4 63 36

10 4 16 28

b) 3 5 2 10

7 2 9 36

10 5 27 35

c) 3 1 25 4

7 6 48 42

6 10 81 64

d) 10 2 80 3

9 8 0 30

6 9 14 20

e) 8 10 0 12

6 9 32 35

8 1 40 0

f) 9 9 0 1

10 2 49 10

0 7 24 0

g) 2 4 12 0

5 3 6 16

5 6 0 0

h) 7 5 50 0

10 3 0 9

5 9 6 40

Gy. 147/6. feladat: A szorzás és az összeadás, illetve a szorzás és az osztás kapcso-

latáról tanultak alkalmazása.

Megoldás: A fels® ábrához tartozik: 6 � 3 = 1 8

6 + 6 + 6 = 1 8

18 : 6 = 3

Az alsó ábrához tartozik: 18 : 2 = 9

9 + 9 = 1 8

9 � 2 = 18




Gy. 148/7. feladat: Az osztásról tanultak alkalmazása.

Megoldás: a) 12 : 3 = 4 12 : 6 = 2

b) 12 : 2 = 6 12 : 4 = 3

Gy. 148/8. feladat: A szorzótáblák gyakorlása játékos feladattal.

:

egyjegy¶

és

páratlan

:

kétjegy¶

és

páratlan

:

egyjegy¶

és

páros

:

kétjegy¶

és

páros

20

48

56

8

12

6

16

20

30

14

36

32

10

42

50

4

8

6

8

6

72

4

64

36

70

16

54

30

0

4

8

1

0

3

0

2

28

40

18

60

24

24

6

6

9

9

9

5

2

4

15

25

32

18

27

81

2

4

7

3

9

5

8

6

21

45

49

35

45

63

0

8

5

9

7

3

6

8

63

15

11

21

35

27


Megoldás: a) 17 : 6 = 2 23 : 5 = 4 35 : 4 = 85 3 3

2 � 6 + 5 = 17 4 � 5 + 3 = 23 8 � 4 + 3 = 35

b) 47 : 9 = 5 38 : 7 = 5 19 : 2 = 92 3 1

5 � 9 + 2 = 47 5 � 7 + 3 = 38 9 � 2 + 1 = 19

c) 65 : 8 = 8 25 : 3 = 8 87 : 9 = 91 1 6

8 � 8 + 1 = 65 8 � 3 + 1 = 25 9 � 9 + 6 = 81



239


d) 37 : 6 = 6 74 : 8 = 9 16 : 2 = 81 2 0

6 � 6 + 1 = 37 9 � 8 + 2 = 74 8 � 2 + 0 = 16

e) 43 : 5 = 8 62 : 7 = 8 39 : 9 = 43 6 3

8 � 5 + 3 = 43 8 � 7 + 6 = 62 4 � 9 + 3 = 39

f) 27 : 4 = 6 21 : 3 = 7 70 : 8 = 83 0 6

6 � 4 + 3 = 27 7 � 3 + 0 = 27 8 � 8 + 6 = 70

g) 17 : 2 = 8 58 : 7 = 8 42 : 8 = 51 2 2

8 � 2 + 1 = 17 8 � 7 + 2 = 58 5 � 8 + 2 = 42

h) 55 : 9 = 6 38 : 5 = 7 44 : 6 = 71 3 2

6 � 9 + 1 = 55 7 � 5 + 3 = 38 7 � 6 + 2 = 44

i) 19 : 2 = 9 58 : 9 = 6 12 : 3 = 41 4 0

9 � 2 + 1 = 19 6 � 9 + 4 = 58 4 � 3 + 0 = 12

j) 55 : 6 = 9 73 : 8 = 9 66 : 7 = 91 1 3

9 � 6 + 1 = 55 9 � 8 + 1 = 73 9 � 7 + 3 = 66


Megoldás: a) 19 : 6 = 3 20 : 8 = 2 25 : 7 = 31 4 4

3 � 6 + 1 = 1 2 � 8 + 4 = 20 3 � 7 + 4 = 25

b) 38 : 9 = 4 17 : 5 = 3 35 : 6 = 52 2 5

4 � 9 + 2 = 38 3 � 5 + 2 = 17 5 � 6 + 5 = 35

c) 13 : 2 = 6 28 : 3 = 9 72 : 9 = 81 1 0

6 � 2 + 1 = 13 9 � 3 + 1 = 28 8 � 9 + 0 = 72

d) 42 : 7 = 6 86 : 9 = 9 17 : 4 = 40 5 1

6 � 7 + 0 = 42 9 � 9 + 5 = 86 4 � 4 + 1 = 17

e) 34 : 5 = 6 53 : 9 = 5 39 : 7 = 54 8 4

6 � 5 + 4 = 34 5 � 9 + 8 = 53 5 � 7 + 4 = 39




f) 27 : 8 = 3 34 : 4 = 8 50 : 6 = 83 2 2

3 � 8 + 3 = 27 8 � 4 + 2 = 34 8 � 6 + 2 = 50

Gy. 150/11. feladat: Az összeadás és szorzás, szorzás és osztás közti kapcsolat

meg�gyeltetése.

Megoldás: a) 5 + 5 + 5 + 5 + 3 = 23

4 � 5 + 3 = 23

5 � 4 + 3 = 23

b) 6 + 6 + 6 + 2 = 20

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 = 20

6 � 3 + 2 = 20

3 � 6 + 2 = 20

Gy. 151/12. feladat: A m¶veletek sorrendjér®l tanultak alkalmazása számfeladatokban.

Megoldás: a) 6

1:

� 4| {z }

24

2:

: 3

| {z }

8

3:

� 8 = 64 6

1:

: 3| {z }

2

2:

� 4

| {z }

8

3:

: 8 = 1

b) 12

1:

: 3| {z }

4

2:

� 3

| {z }

12

3:

� 4 = 32 12

1:

: 4| {z }

3

2:

� 3

| {z }

9

3:

� 2 = 18

c) 7

1:

� 9| {z }

63

3:

+ 25

2:

: 5| {z }

5

= 68 63

1:

: 9| {z }

7

2:

+ 53 = 60

d) 24

1:

: 4| {z }

6

2:

� 2

| {z }

12

3:

+ 4 = 16 75

2:

{ 35

1:

: 5| {z }

7

= 68

e) 9

1:

� 8| {z }

72

3:

{ 6

2:

� 2| {z }

12

= 60 49

1:

: 7| {z }

7

3:

+ 5

2:

� 7| {z }

35

= 19

f) 7

1:

� 8| {z }

56

2:

+ 25

| {z }

81

3:

{ 19 = 62 67

2:

{ 13| {z }

54

3:

{ 5

1:

� 7| {z }

35

= 19



241


g) 2

1:

� 5| {z }

10

3:

+ 24

2:

: 4| {z }

6

= 16 28

1:

: 7| {z }

4

3:

+ 7

2:

� 2| {z }

8

= 12

h) 0

1:

: 8| {z }

0

3:

+ 8

2:

: 0| {z }

0

= 0 28

1:

: 4| {z }

7

3:

+ 7

2:

� 2| {z }

14

= 21

i) 54

1:

: 6| {z }

9

3:

{ 8

2:

: 2| {z }

4

= 5 54

2:

{ 6| {z }

48

3:

{ 2

1:

� 8| {z }

16

= 32

j) 6

2:

+ 8| {z }

14

3:

{ 12

1:

: 2| {z }

6

= 8 40

2:

{ 7| {z }

33

3:

{ 9

1:

: 3| {z }

3

= 30

Gy. 152/13. feladat: Szöveges feladatok a szövegért® képesség, számolási rutin

fejlesztésére, a szöveges feladat megoldási menetének gyakorlására.

Megoldás: a) Adatok: 1 perc 5 dm

8 perc x dm x = ?

Terv: x = 8 � 5


Válasz: 40 dm = 4 m utat tesz meg 8 perc alatt Bogár Andor.

b) Adatok: 1 perc 9 dm

x perc 7 m 2 dm = 72 dm x = ?

Terv: x = 72 : 9

Számolás: x = 8


Válasz: 8 perc alatt tesz meg 7 m 2 dm utat Hernyó Béni.

c) Adatok: t = 8 dm = 80 cm, m: 1 perc 7 cm, h = ?

6 perc 6 � 7 cm

Terv: h = t { m

Számolás: h = 80 { 6 � 7 h = 80 { 42 h = 38 dm

Ellen®rzés: 38 + 6 � 7 = 80

Válasz: 38 dm = 3 m 8 dm távolságra lesz Csiga Csaba a virágtól.

d) Adatok: e = 3 dm 4 cm = 34 cm, ö = ?

m: 1 perc 8 cm

6 perc h cm h = 6 � 8 cm

Terv: ö = e + h

Számolás: ö = 34 + 6 � 8 = 34 + 48 ö = 82 cm

Válasz: 82 cm = 8 dm 2 cm távolságra találta a magot Hangya Dani.




Gy. 153/14. feladat: Szöveggel adott függvények értelmezése.

Megoldás: a) Szabály: D >

3-szorH, D : 3 = H, H <

3-szorD,

H � 3 = D, D : H = 3, 3 � H = D

D (db) 15 24 0 12 30 27 18 9 21 3 6

H (db) 5 8 0 4 10 9 6 3 7 1 2

b) Szabály: I � 8 = P, 8 � I = P, P : 8 = I, P : I = 8

I (óra) 5 6 9 3 2 7 4 1 8 10 0

P (db) 40 48 72 24 16 56 32 8 64 80 0

c) Tyúkok száma 1 2 2 3 3 4 4 5 10 10

Napok száma 1 1 2 2 3 3 5 10 5 10

Tojások száma 1 2 4 6 9 12 20 50 50 100

d) 5 Ft-os száma (db) 8 6 4 2 0

csoki ára (Ft) 40 30 20 10 0

2 Ft-os száma (db) 0 5 10 15 20

csoki ára (Ft) 0 10 20 30 40

e) 5 virág- csokor (db) 6 5 4 3 2 1 0

ból szál (db) 30 25 20 15 10 5 0

3 virág- csokor (db) 0 1 3 5 6 8 10

ból szál (db) 0 3 9 15 18 24 30

Maradt (db) 0 2 1 0 2 1 0



243

Hajdu program 2 HAJ2PRK 2008. szeptember 28. {18:21 (1. old.)

Test, téglatest, kocka


rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, térlátás, induktív következteté-

sek, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás,

�gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság,

kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 116{117. 132{133. 144{145.

Ezt az anyagrészt els®sorban tapasztalatszerzés céljából dolgoztatjuk fel. A térgeometri-

ával kapcsolatos ismeretek megalapozása, a testek néhány tulajdonságának meg�gye-

lése mellett a képi gondolkodás és a térszemlélet fejlesztése a feladat.

A tankönyvben a testeknek csak a képe jelenik meg. Ez egyrészt nem minden esetben

egyértelm¶, másrészt nem elég a fejlesztési célok megközelítésére. Fontos, hogy a

gyermekek különböz® testmodelleket, dobozokat, épít®kockákat, a színesrúdkészlet

elemeit a kezükbe vegyék, s úgy vizsgálják a tulajdonságaikat, osztályozzák adott vagy

általuk választott szempontok szerint a testeket.

Az osztályozás szempontja lehet például a lapok száma, csak síklap határolja vagy sem,

csak téglalap határolja vagy sem, van háromszöglapja stb.

A �test", �lap", �síklap" kifejezést de�niálás nélkül használjuk. Majd 3. osztályban b®vül

a szókincs az �él", �csúcs" kifejezésekkel. (Ez nem jelenti azt, hogy most nem szabad

kiejteni ezeket a szavakat.)

A testekkel és a térrel kapcsolatos tapasztalatszerzésre nemcsak ebben a tanítási sza-

kaszban van lehet®ség, hanem folyamatosan máskor is. Felhasználhatjuk, kiegészíthet-

jük az egyéb m¶veltségi területeken (természetismeret, technika) szerzett ismereteket,

tapasztalatokat.

Tk. 160/Figyeld meg!: A térszemlélet csak tényleges térbeli tevékenységgel fejleszthe-

t®. Ezért adjunk a gyermekek kezébe testeket. Vizsgálják ezek tulajdonságait, lapjaik

alakját és számát, építsenek testeket.

A téglatesttel való ismerkedés szükséges a téglalap származtatásához. A megvizsgált

dobozok között sokféle téglatest legyen, kocka és négyzetes hasáb is. Fontos tisztázni,

melyek a téglatestek, és hogy a kocka is téglatest. A testek különböz® nézeteinek

vizsgálata a kés®bbiekben (a technikában és a matematikában is) komoly szerepet fog

játszani, most a fogalomalkotáson túl a térszemlélet fejlesztését is szolgálja.

A testek vizsgálatánál már itt �gyeljünk arra, hogy a gyermek tanulja meg a szaknyelv

helyes használatát, ne rögzüljön hibás ismeret. A téglatestnek lapjai és élei vannak, a

téglalapnak oldalai.

Tk. 161/1. feladat: A tankönyvben olyan épít®játékok rajza látható, amelyek a techniká-

ban használatos épít®dobozban vannak. �Igy a legtöbb iskolában a gyermekek kezébe

adhatók. Ezek az elemek alkalmasak arra is, hogy lapjaikat megszámlálják, körülrajzol-

ják a tanulók, éleiket megmérjék, stb.

Ha az iskolában nincsenek ilyen taneszközök, akkor gy¶jtsünk (gy¶jtessünk) különböz®




alakú dobozokat, készítsünk testmodelleket. Ezek nélkül nem képzelhet® el a térgeo-

metriai fogalmak kialakítása, a térszemlélet fejlesztése.

Megoldás:

Tk. 161/2. feladat: Ezek a példák is azt igazolják, hogy a testek rajza a síkon nem

egyértelm¶. Meg kell állapodnunk, hogy a rajz mit ábrázol.

Megoldás: Az A doboz lapjainak száma nem állapítható meg egyértelm¶en. Az alap-

lapját gondolhatjuk háromszögnek, négyszögnek, esetleg más sokszögnek,

ennek megfelel®en alakul a táblázat kitöltése.

A D testet hasábnak képzelve az alapja lehet négyzet, de lehet más para-

lelogramma is.

Téglatestek bet¶jele: B, C, D

A táblázat kitöltése lehet:

Test A B C D E F G

Lapok száma 5 6 6 6 5 8 3

Tk. 162/3. feladat: Építtessük fel a téglatesteket mind a négyféle rúdból (esetleg pá-

ros vagy csoportmunkában). Figyeltessük meg, hogy ugyanazon téglatest felépítésekor

hogyan változik a rudak száma, ha másfajta rúdból építjük föl. A megoldás lehet®séget

nyújt a szorzótáblák közti kapcsolatok és a szorzótényez®k felcserélhet®ségének meg-

�gyelésére, el®készíti a térfogat fogalmát. A tanulók megsejthetik a mértékegység és a

mér®szám közti fordított arányosságot is.

Megoldás: Fehér kiskocka: 4 � 3 � 2 = 24

Rózsaszín rúd: 4 � 3 � 1 = 12

Világoskék rúd: 4 � 1 � 2 = 8

Piros rúd: 1 � 3 � 2 = 6

Tk. 162/4. feladat: A téglatest narancssárga lapjával szemben a piros, a sötétbarna

lapjával szemben a kék, a zöld lapjával szemben a sárga lap van.

A szomszédos lapokat kétféleképpen színezhetjük attól függ®en, hogy fölülre vagy alulra

képzeljük a piros lapot.



245


barna

piros

kék

zöld

sárga

kék

piros

barna

sárga

zöld

Gy. 154/1. feladat:

Megoldás:

a)Hány kis kockából építhet® fel? 4 � 2 � 3 2 4

Hány piros rúdból építhet® fel? 1 � 2 � 1 6

Hány rózsaszín rúdból építhet® fel? 4 � 1 � 3 1 2

Hány világoskék rúdból építhet® fel? 4 � 2 � 1 8

felülr®l elölr®l oldalról

b)Hány kis kockából építhet® fel? 3 � 3 � 3 2 7

Hány világoskék rúdból építhet® fel? 1 � 3 � 3 9





c)Hány kis kockából építhet® fel? 4 � 4 � 3 4 8

Hány piros rúdból építhet® fel? 1 � 4 � 3 1 2

Hány rózsaszín rúdból építhet® fel? 2 � 4 � 3 2 4

Hány világoskék rúdból építhet® fel? 4 � 4 � 1 1 6


Gy. 154/2. feladat: Építsék is meg a tanulók a téglatesteket.

Megoldás: Mindhárom test 8 kis kockából áll.

Gy. 155/3. feladat: Adjunk különböz® testeket a tanulók kezébe, s ezek vizsgálata után

beszéljük meg a feladatot.

Megoldás:

A

B C DE

H

I

F

J

G

Téglatest: B, F, G, H, I, J

A téglatestek közül kocka: I

Csak síklapjai vannak: B, C, D, F, G, H, I, J

Csak téglalapok határolják: B, F, G, H, I, J

Ezek a testek éppen a téglatestek, ugyanis minden téglatestet csak téglalapok határol-

nak. Ez fordítva nem igaz. Építhetünk olyan testet, amelynek minden lapja téglalap,

mégsem téglatest:

Csak négyzetek határolják: I



247


A kockát csak négyzetek határolják, de néhány kis kockából felépíthetünk olyan testeket

(csöppnyi gyurma segítségével), amelyeknek minden lapja négyzet, mégsem kockák.

Gy. 155/4. feladat: Vegyenek a tanulók a kezükbe egy dobókockát, és ezt meg�gyelve

válaszoljanak a kérdésekre.

Megoldás: A dobókocka két-két szemközti lapján lév® pöttyök összege 7.

Azon a lapon, amelyiken ez a dobókocka fekszik, 4 pötty van.

Az 1 pöttyt®l balra lév® lapon 5 pötty van.

Gy. 155/5. feladat: Vizsgálják meg a tanulók a kezükbe fogott testeken a lapokat.

Megoldás:

Háromszög 0 4 0 2 0

Négyszög 6 1 6 3 6

Ezekt®l különböz® jó megoldások lehetnek például:

Háromszög 4 4 3 2 4

Négyszög 3 3 0 0 1




Gy. 155/6. feladat: Figyeljék meg, hogy a téglatest szemben lev® lapjai egybevágóak,

így 2-2 lap mérete és alakja megegyezik.

Megoldás:

Négyszög, téglalap, négyzet




�gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság,

kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 118{119. 134{135. 146{147.

A téglalap és a négyzet fogalmának felelevenítése, a két fogalom kapcsolata, tulaj-

donságaik vizsgálata. A feladatsorok alkalmasak a problémamegoldó képi gondolkodás

di�erenciált fejlesztésére.

Tk. 163/1. feladat: Figyeljük meg a négyszög oldalait.

Megoldás: 1. Négyzet: Mind a 4 oldala egyenl®.

2. Téglalap: Szemben lev® oldalai egyenl®k.

3. Rombusz: Mind a 4 oldala egyenl®.

4. Trapéz: Szárai egyenl®k.

5. Paralelogramma: Szemben lev® oldalai egyenl®k.



249


Tk. 163/2. feladat: Ismét beszéljük meg a négyszög, téglalap, négyzet fogalmakat.

Megoldás:

Tk. 163/3. feladat: Beszéljük meg, hogy a négyzet is téglalap.

Megoldás: Az els® ábrában 18 téglalapot és 3 négyzetet találhatunk.

A második ábrában 4 téglalapot és 4 négyzetet találhatunk.

A harmadik ábrában 10 téglalapot és 6 négyzetet találhatunk.

Tk. 164/4. feladat: A �szemközti oldal", a �szomszédos oldal", a �szemközti csúcs" és a

�szomszédos csúcs" fogalmát bevezet® feladatok.

További játékos feladatokkal rögzíthetjük ezeket a fogalmakat. Például egy tanuló az

asztallap egyik csúcsához áll, a másiknak a szemközti csúcshoz kell állnia.

Megoldás: Tekn®sbéka van a nyuszival szemközti oldalon.

Kakas és sündisznó van a nyuszival szomszédos oldalakon.












Megoldás: A kék csúccsal szemközti csúcs sárga.

A zöld csúccsal szomszédos csúcsok sárga és kék.

A piros csúccsal szemközti csúcs zöld.





Megoldás:

Tk. 165/8. feladat: Tengelyesen szimmetrikus ábrák el®állítása színezéssel. Vizsgál-

tassuk meg, hogy a kiszínezett ábrának hány tükörtengelye van.

Megoldás: 12 kis négyzetet kell kiszínezni.

Tk. 165/9. feladat: Tengelyesen szimmetrikus ábrák el®állítása színezéssel. Vizsgál-

tassuk meg, hogy a kiszínezett ábrának hány tükörtengelye van.

Megoldás: 8 kis négyzetet kell kiszínezni.

Tk. 165/Figyeld meg!: Az eddig szerzett tapasztalatok alapján összefoglaljuk a téglalap

tulajdonságait, vizsgáljuk tükrösségüket.

Tk. 166/10. feladat: A kerületfogalmat el®készít® feladatsor.

Megoldás: 3 + 2 + 3 + 2 = 10

2 � 3 + 2 � 2 = 10

(3 + 2) � 2 = 10


Megoldás: 5 cm + 2 cm + 5 cm + 2 cm = 14 cm

2 � 5 cm + 2 � 2 cm = 14 cm

2 � (5 cm + 2 cm) = 14 cm



251


Tk. 167/12. feladat: A kerületfogalmat, területfogalmat el®készít® feladatsor.

Megoldás: 28 28 28

25 49 33


Megoldás: Bordó vonal hossza: 4 � 1 = 4

Sárga vonal hossza: 4 �3 = 1 2

Kék vonal hossza: 4�

5 = 2 0

Zöld vonal hossza: 4�

7 = 2 8

Piros vonal hossza: 4�

9 = 3 6

4, 12, 20, 28, 36

Nyolccal növekv® sorozat.

Gy. 156/1. feladat: A feladatok megoldása feleleveníti és meger®síti a háromszög,

négyszög, ötszög és hatszög fogalmát. Ha áttetsz® papírra rajzolunk vagy papírlapból

kivágunk ilyen síkidomokat, akkor a tengelyes szimmetriát is vizsgáltathatjuk hajtogatás-

sal, tükör segítségével.

A különböz® megoldások keresése fejleszti a gondolkodás rugalmasságát, az ötletgaz-

dagságot, a kreativitást.

Megoldás:

Gy. 156/2. feladat: A feladatok megoldása feleleveníti és meger®síti a háromszög,

négyszög, ötszög és hatszög fogalmát. Ha áttetsz® papírra rajzolunk vagy papírlapból

kivágunk ilyen síkidomokat, akkor a tengelyes szimmetriát is vizsgáltathatjuk hajtogatás-

sal, tükör segítségével.

A különböz® megoldások keresése fejleszti a gondolkodás rugalmasságát, az ötletgaz-

dagságot, a kreativitást.

Megoldás:

Gy. 156/3. feladat: Négyszögek szimmetriatengelyeinek vizsgálata. A tanulók hajtogas-

sanak is hasonló négyszögeket, próbáljanak következtetéseket levonni, mely síkidomok

félbehajtásánál fedik egymást szemközti oldalak, a szomszédos oldalak!




Megoldás:

Gy. 156/4. feladat: Négyszögek szimmetriatengelyeinek vizsgálata. A tanulók hajtogas-

sanak is hasonló négyszögeket, próbáljanak következtetéseket levonni, mely síkidomok

félbehajtásánál fedik egymást a szemközti csúcsok, melyeknél a szomszédos csúcsok!

Megoldás:

Gy. 157/5. feladat: Vetessük észre, hogy a téglalap szemközti oldalai egyenl® hosszú-

ságúak. Azokat a téglalapokat, amelyeknek minden oldala egyenl® hosszú, négyzetnek

nevezzük.

Megoldás: A téglalap minden oldala egyenl® hosszúságú: 2, 4

Gy. 157/6. feladat: Feladathelyzetben �gyeltetjük meg a téglalapok, ezen belül a

négyzet tulajdonságait.

Megoldás: téglalap legyen négyzet legyen

Végtelen sok megoldása van 1 megoldása végtelen sok

mindkét esetben van megoldása van

Gy. 157/7. feladat: Feladathelyzetben �gyeltetjük meg a téglalapok, ezen belül a

négyzet tulajdonságait.

Megoldás:



253


Gy. 157/8. feladat: A legnagyobb téglalapon túl még 8 téglalap látható az ábrán.

Megoldás:

Gy. 158/9. feladat: A kerületfogalmat el®készít® feladatsor.

Megoldás:

14 22 28 32

1420

20

20 20 20

4

12

16

14

12


0

Megoldás: a) c

a

d b

a = 3 cm b = 2 cm

c = 3 cm d = 2 cm

A négy oldal együttes hossza:

1 0 cm = 1 dm 0 cm

c

b

d

a

b) a = 3 cm b = 3 cm

c = 3 cm d = 3 cm

A négy oldal együttes hossza:

1 2 cm = 1 dm 2 cm





Megoldás: A 10-et kell két szám összegére bontani.

1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6 5 + 5

A megoldások száma: 5

Gy. 159/12. feladat: A területfogalmat el®készít® feladatsor.

Megoldás:

12 24 40 48

1224

4

25 36 8

1

9

16

10

5

Gy. 159/13. feladat: A területfogalmat el®készít® feladatsor.

Megoldás:

1 � 24 = 24

2 � 12 = 24

3 � 8 = 246 � 4 = 24



255


Gy. 159/14. feladat: A területfogalmat el®készít® feladatsor, fejleszt a kreativitást, képi

gondolkodást.

Megoldás:

Testek építése




�gyelem, kezdeményez®képesség, kreativitás, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,

pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 120{121. 136{137. 148{149.

A gyermekek ténylegesen építsenek testeket például a színesrúdkészlet elemeib®l. Raj-

zolják le, hogy milyennek látják a felépített testeket elölr®l, felülr®l, oldalról.

Az építkezést (például az elemek számának korlátozásával) eleinte úgy irányítsuk, hogy

könny¶ legyen a nézeti rajzok megrajzolása, ellen®rzése. Kerüljön sor önálló építésre

és rajzra is. Ez lehet®vé teszi a mennyiségi és min®ségi di�erenciálást.

Tk. 168/1. feladat: A tanulók csoportmunkában ténylegesen építsék meg a testeket, s

ez alapján válaszoljanak a kérdésre.

Megoldás: 9 színes rúdból 12 színes rúdból 16 színes rúdból

27 kis kockából 48 kis kockából 32 kis kockából




Tk. 168/2. feladat: Ha csoportmunkában megépítik a tanulók a testeket, könnyebben

megoldható a feladat.

Tk. 168/3. feladat: A feladatnak négy megoldása van az alakzat helyzetét®l függ®en.

Megoldás:

K

F

F

K

R

R

R

R

R

R

F

F

K

K

R

R

R

F

F

K

K

K

K

R

R

R

K

F

F

K

K

K

K

K

K

K

F

F

R

R

R

K

K

K

F

F

K

R

R

R

R

K

K

R

F

K

R

F

K

K

K

R

K

F

R

K

F

R

Tk. 169/4. feladat: Testek nézeti ábrázolása meg�gyelés alapján.

Megoldás: Felülr®l Elölr®l Oldalrólp p

k

r

k

p

k

Tk. 169/5. feladat: Testek nézeti ábrázolása meg�gyelés alapján.

Megoldás: a) Felülr®l Elölr®l Oldalról

20 kis kockából és 10 rózsaszín rúdból építhet® fel az építmény.



257


b) Felülr®l Elölr®l Oldalról

20 kis kockából és 10 rózsaszín rúdból építhet® fel az építmény.

c) Felülr®l Elölr®l Oldalról

21 kis kockából és 7 világoskék rúdból építhet® fel az építmény.

Gy. 160/1. feladat: El®készíti a térfogat fogalmát, a mértékegység és mér®szám

közti fordított arányosság felismertetését. Meg�gyeltethetjük az osztó és a hányados

változásait is.

Megoldás: Piros rúd 5 Piros rúd 6 Piros rúd 9

Rózsaszín rúd 1 0 Rózsaszín rúd 1 2 Rózsaszín rúd 1 8

Fehér kocka 2 0 Fehér kocka 2 4 Fehér kocka 3 6

Gy. 160/2. feladat: A táblázat végének nyitottsága azt jelzi, hogy hétnél több (kö-

zel 50) megoldás van. Építsenek a tanulók, és csak a megépítettek alapján töltsék ki a

táblázatot. A többféle megoldás keresése fejleszti a gyermek problémaérzékenységét,

gondolkodásának rugalmasságát.

Megoldás:Fehér kocka 15 3 3 6 1 2 4

Rózsaszín rúd 0 6 2 0 1 4 0

Világoskék rúd 0 0 0 3 1 0 2

Piros rúd 0 0 2 0 1 0 0

Citromsárga rúd 0 0 0 0 1 1 1

Gy. 160/3. feladat: 10 világoskék rúdból, illetve 30 kis kockából építhet® fel a lépcs® és

ugyanannyi elemb®l a lépcs® tükörképe is.

Megoldás:




Zárójelek használata





problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem, kreativitás, kezde-



Óra: 122{124. 138{141. 150{153.

Ha a m¶veletek sorrendjér®l tanultakat biztosan tudják alkalmazni a tanulók, akkor tér-

hetünk át a zárójelek használatának értelmezésére, zárójeleket tartalmazó feladatok

megoldására.

Sok feladaton keresztül mutassuk meg, hogy a zárójel mikor változtat a m¶veletsor

eredményén, mikor nem.

Tk. 170/1. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg, hogy a zárójel módosíthatja a

m¶veletek sorrendjét.

Tk. 170/1. feladat: Figyeljük meg, hogy a zárójel mikor változtat a m¶veletsor eredmé-

nyén, mikor nem.

Megoldás:

a) 75

1:

{ 18| {z }

57

2:

+ 27 = 8 4 75

2:

{ (18

1:

+ 27)| {z }

45

= 3 0

b) 87

1:

{ 39| {z }

48

2:

{ 20 = 2 8 87

2:

{ (39

1:

{ 20)| {z }

19

= 6 8

c) 35

1:

+ 38| {z }

73

2:

{ 19 = 5 4 35

2:

+ (38

1:

{ 19)| {z }

19

= 5 4

Tk. 170/2. feladat: Tasziló ismét bemutat néhány típushibát. Ezek megbeszélése

segíthet a szilárdabb fogalomalkotásban.

Megoldás:

95

2:

{ (32

1:

{ 20)| {z }

12

= 8 3 85

2:

{ (20

1:

+ 35)| {z }

55

= 3 0

Tk. 171/3. feladat: Összetett szöveges feladat zárójelek alkalmazásával. A szemléletre

támaszkodva mutatjuk meg a zárójelek szerepét.

Megoldás: a) Adatok: p = 36, n = 28 - 15, ö = ?



259


Terv: ö = p + n

Számolás: ö = 36

2:

+ (28

1:

{ 15)| {z }

13

ö = 49

Válasz: 49 virágból kötött csokrot Ági.

b) Adatok: v = 95, e = 38 + 29, m = ?

Terv: m = v - e

Számolás: m = 95

2:

{ (38

1:

+ 29)| {z }

67

m = 28

Válasz: 28 poszméh maradt a dongóvárban.

a) Adatok: v = 95, e = 67 j = 38, l = ?

Terv: l = v - e + j

Számolás: l = 95

1:

{ 67| {z }

28

2:

+ 38 l = 66

Válasz: 66 poszméh volt ekkor a dongóvárban.

Tk. 171/4. feladat: Összetett szöveges feladat zárójelek alkalmazásával. A szemléletre

támaszkodva mutatjuk meg a zárójelek szerepét.

Megoldás: a) Adatok: El®ször töltsük ki a táblázatot.

Piros Sárga Összesen

Volt 36 28 64

Eladott 17 9 26

Maradt 19 19 38

Terv: A táblázatból kétféle megoldási tervet olvashatunk le:

Számolás: (1) m = (36

1:

+ 28)| {z }

64

3:

{ (17

2:

+ 9)| {z }

26

m = 38

(2) m = (36

1:

{ 17)| {z }

19

3:

+ (28

2:

{ 9)| {z }

19 m = 38

Válasz: 38 tulipánja maradt a virágárusnak.

Tk. 172/2. kidolgozott mintapélda: A feladat szövegezése segít a megoldás meneté-

nek megtervezésében. Figyeljük meg a zárójel szerepét.

Tk. 172/3. kidolgozott mintapélda: A feladat szövegezése segít a megoldás meneté-

nek megtervezésében. Figyeljük meg a zárójel szerepét.




Tk. 172/5. feladat: Figyeljük meg, hogy a zárójel mikor változtat a m¶veletsor eredmé-

nyén, mikor nem.

Megoldás:

a) 7

2:

� (10

1:

{ 2| {z }

8

= 5 6 (82

1:

{ 58)| {z }

24

2:

: 10 = 9

b) (7

1:

+ 3| {z }

10

2:

� 10 = 1 0 0 (62

1:

+ 28)| {z }

90

2:

: 10 = 9

c) 6

2:

� (54

1:

: 9| {z }

6

= 3 6 72

2:

: (2

1:

� 4)| {z }

8

= 9

Tk. 173/6. feladat: A zárójel használatáról tanultak elmélyítésére szánt feladatsor.

0

Megoldás:

a) 12

2:

{ 3

1:

� 2| {z }

6| {z }

6

3:

+ 1 = 7 b) 60

2:

{ 30

1:

: 6)| {z }

5| {z }

55

3:

+ 4 = 5 9

(12

1:

{ 3| {z }

9

2:

� 2

| {z }

18

3:

+ 1 = 1 9 (60

1:

{ 30)| {z }

30

2:

: 6

| {z }

5

3:

+ 4 = 9

12

3:

{ 3

2:

� (2

1:

+ 1| {z }

3| {z }

9

= 3 60

3:

{ 30

2:

: (6

1:

+ 4)| {z }

10| {z }

3

= 5 7

(12

1:

{ 3)| {z }

9

3:

� (2

2:

+ 1)| {z }

3

= 2 7 (60

1:

{ 30)| {z }

30

3:

: (6

2:

+ 4)| {z }

10

= 3

12

3:

{ (3

1:

� 2| {z }

6

2:

+ 1)

| {z }

7

= 5 60

3:

{ (30

1:

: 6)| {z }

5

2:

+ 4)

| {z }

9

= 5 1



261


Tk. 173/7. feladat: Összetett szöveges feladat zárójelek alkalmazásával.

Megoldás: a) Adatok: Dobozok száma: (4 + 5),

1 dobozban: 8 betét ö = ?

Terv: ö = (4 + 5) � 8

Számolás: ö = (4

1:

+ 5)| {z }

9

2:

� 8 ö = 72

Válasz: 72 tollbetét van összesen.

b) Adatok: l = 36, 1 sz + 1 gy : (4 + 2) láb, x = ?

Terv: x = 36 : (4 + 2)

Számolás: x = 36

2:

: (4

1:

+ 2)| {z }

6

x = 6

Válasz: 6 szék és 6 gyerek van a teremben.

Tk. 174/8. feladat: Összetett szöveges feladat zárójelek alkalmazásával.

Megoldás: a) Adatok: 6 f 18 + 24,

1 f e e = ?

Terv: e = (18 + 24) : 6

Számolás: e = (18

1:

+ 24)| {z }

42

2:

: 6 e = 7

Válasz: 7 rovart kapott egy-egy �óka.

b) Adatok: m = 24 kg, m >

hatodak, ü = 18 kg, ö = ?

Terv: ö = k + ü ö = 24 : 6 + 18

Számolás: ö = 24

1:

: 6| {z }

4

2:

+ 18 ö = 22 kg

Válasz: 22 kg mézet vett ki a bödönb®l Mackó.

c) Adatok: 1 s 6 f,

(24 { 18) s x f, x = ?

Terv: x = (24 { 18) � 6

Számolás: x = (24

1:

{ 18)| {z }

6

�6 ö = 36

Válasz: 36 sárkányfej volt a gy¶lésen összesen.




d) Adatok: 24 - 18 törp 6 fa

1 törp x fa x = ?

Terv: x = 6 : (24 { 18)

Számolás: x = 6

2:

: (24

1:

{ 18)| {z }

6

x = 1

Válasz: 1 facsemetét ültetett egy-egy törp.

Tk. 175/9. feladat: Játékos feladatsor a zárójel használatáról tanultak elmélyítésére.

Megoldás:

Megoldás: a 19 m 12

á 35 n 52

b 48 o 80

c 18 ó 56

d 16 ö 56

e 50 ® 75

é 94 p 65

f 10 q 20

g 15 r 20

h 51 s 4

i 22 t 28

í 10 u 64

j 34 ú 38

k 10 ü 20

l 12 ¶ 9



263


Gy. 161/1. feladat: A zárójel használatáról tanultak elmélyítésére szánt feladatsor.

Megoldás: a) 82

1:

{ 26| {z }

56

2:

+ 38 = 9 4 b) 91

1:

{ 62| {z }

29

2:

{ 27 = 2

(82

1:

{ 26)| {z }

56

2:

+ 38 = 9 4 91

2:

{ (62

1:

{ 27)| {z }

35

= 5 6

82

2:

{ (26

1:

+ 38)| {z }

64

= 1 8 (91

1:

{ 62)| {z }

29

2:

{ 27 = 2

c) 38

1:

+ 47| {z }

85

2:

{ 29 = 5 6 d) 56

1:

+ 17| {z }

73

2:

+ 19 = 9 2

38

2:

+ (47

1:

{ 29| {z }

18

= 5 6 56

2:

+ (17

1:

+ 19| {z }

36

= 9 2

38

1:

+ 47| {z }

85

2:

{ 29 = 5 6 56

1:

+ 17| {z }

73

2:

+ 19 = 9 2

Gy. 161/2. feladat: Összetett szöveges feladat zárójelek alkalmazásával.

Megoldás: a) Adatok: Volt: 71 gyerek, Bement: 28 + 15, M = ?

Terv: M = V { B

Számolás: M = 71

2:

{ (28

1:

+ 15)| {z }

43

M = 28

Válasz: 28 gyerek maradt.

b) Adatok: Fiú: 71, Lány: 28 - 15, K = ?

Terv: K = F { L

Számolás: K = 71

2:

{ (28

1:

{ 15)| {z }

13

K = 58

Válasz: 58-cal több �ú maradt.




Gy. 162/3. feladat: Összetett számfeladatok. Tapasztalatszerzés szintjén vizsgáljuk

meg, hogy a zárójel hogyan módosítja a m¶veletsor eredményét.

Megoldás: a) 18

1:

: 6| {z }

3

2:

: 3 = 1 5

1:

� 6| {z }

30

2:

: 3 = 1 0

18

2:

: (6

1:

: 3)| {z }

2

= 9 5

2:

� (6

1:

: 3)| {z }

2

= 1 0

(18

1:

: 6)| {z }

3

2:

: 3 = 1 (5

1:

� 6)| {z }

30

2:

: 3 = 1 0

b) 24

1:

: 4| {z }

6

2:

� 2 = 1 2 6

1:

� 3| {z }

18

2:

� 2 = 3 6

24

2:

: (4

1:

� 2)| {z }

8

= 3 6

2:

� (3

1:

� 2)| {z }

6

= 3 6

(24

1:

: 4)| {z }

6

2:

� 2 = 1 2 (6

1:

� 3)| {z }

18

2:

� 2 = 3 6

Gy. 162/4. feladat: Összetett szöveges feladat zárójelek alkalmazásával.

Megoldás: a) Adatok: 12 tojás Fiú: 24 : 4, E = ?

Terv: E = T : F

Számolás: E = 12

2:

: (24

1:

: 4)| {z }

6

E = 2

Válasz: 2 hímes tojást kapott egy �ú.

b) Adatok: 1 k 24 Ft

12 : 6 e Ft e = ?

Terv: e = (12 : 6) � 24

Számolás: e = (12

1:

: 6)| {z }

2

�24 K = 48 Ft

Válasz: 48 Ft-ot kapott Mekegi.



265


Gy. 163/5. feladat: Összetett számfeladatok. A m¶veleti sorrendr®l tanultak elmélyítése.

Sok hasonló feladatot adjunk a tanulóknak.

Megoldás: 6

1.

� 7

2.

{ 3 = 3 9 35

1.

: 7

2.

{ 2 = 3 16

2.

+ (24

1.

: 4) = 2 2

6

2.

� (7

1.

{ 3) = 2 4 35

2.

: (7

1.

{ 2) = 7 16

2.

+ 24

1.

: 4 = 2 2

8

2.

� (2

1.

+ 5) = 5 6 48

1.

: 6

2.

+ 2 = 1 0 72

2.

{ 18

1.

: 9 = 7 0

8

1.

� 2

2.

+ 5 = 2 1 48

2.

: (6

1.

+ 2) = 6 72

2.

{ (18

1.

: 9) = 7 0

3

2.

+ 5

1.

� 9 = 4 8 (10

1.

+ 7)

2.

� 2 = 3 4 10

2.

+ 25

1.

: 5 = 1 5

(3

1.

+ 5)

2.

� 9 = 7 2 10

2.

+ 7

1.

� 2 = 2 4 (10

1.

+ 25)

2.

: 5 = 7

13

2.

{ 4

1.

� 3 = 1 36

2.

: (6

1.

+ 3) = 4 (20

1.

{ 1)

2.

� 2 = 3 8

(13

1.

{ 4)

2.

� 3 = 2 7 36

1.

: 6

2.

+ 3 = 9 20

2.

{ 1

1.

� 2 = 1 8

Gy. 163/6. feladat: Kreativitást, ötletgazdagságot fejleszt® feladat.

Megoldás: 6 � 9 > 6 � (4 2) lehet: +, {, �, :

24 : 4 > 24 : (4 2) lehet: +, �

15 { 6 > 15 { (6 2) lehet: +, �

Gy. 163/7. feladat: Összetett számfeladatok. A m¶veleti sorrendr®l tanultak elmélyítése.

Tapasztalatszerzés szintjén vizsgáljuk meg az összeg változásait.

Ha a kivonandót növelem (csökkentem), akkor a különbség csökken (n®).

Ha a kisebbítend®t növelem (csökkentem), akkor a különbség n® (csökken).

Megoldás: 91 { 50 = 4 1 91 { (50 + 2) = 3 9 91 { (50 { 2) = 4 3

12 : 6 = 2 12 : (6 : 2) = 4 12 : (6 � 2) = 1

Gy. 164/8. feladat: Összetett szöveges feladatok. A m¶veleti sorrendr®l és a zá-

rójelhasználatról tanultak alkalmazásával. Minden feladatmegoldás után ellen®rizzük a

megoldásokat. Adjunk lehet®séget a gyermekeknek, hogy elmondják a saját megoldási




tervüket. Hasonlítsuk össze a különböz® gondolatmeneteket. Beszéljük meg, melyiket

tartjuk a leggazdaságosabbnak.

A hibás megoldásokat is vitassuk meg. Jó, ha a társak javítják a hibás gondolatmenetet,

ezzel is fejlesztve a vitakészségüket, matematikai szóhasználatukat, egymásra való

oda�gyelésüket.

Megoldás: a) Adatok: 1 unoka (3 + 4) gyümölcs

6 unoka ö gyümölcs ö = ?

Terv: ö = 6 � (3 + 4)

Számolás: ö = 6

2:

� (3

1:

+ 4)| {z }

7

ö = 42

Válasz: 42 gyümölcsöt csomagolt a nagymama.

b) Adatok: d = 3, m: 1 kismókus 4 db ö = ?

6 kismókus 6 � 4

Terv: ö = d + m

Számolás: ö = 3

2:

+ 6

1:

� 4| {z }

24

ö = 27

Válasz: 27 gyümölcsöt vitt haza Mókus mama.

c) Adatok: (8 - 2) gyerek 48 kökény,

1 gyerek e kökény e = ?

Terv: e = 48 : (8 - 2)

Számolás: e = 48

2:

: (8

1:

{ 2)| {z }

6

e = 8

Válasz: 8 kökényt kapott egy gyerek.

d) Adatok: 2 gyerek (48 - 8) szamóca,

1 gyerek e szamóca e = ?

Terv: e = (48 - 8) : 2

Számolás: e = (48

1:

{ 8)| {z }

40

2:

: 2 e = 20

Válasz: 20 szamócát kapott egy gyerek.

e) Adatok: 8 gyerek 48 szamóca, o = 2, m = ?

Pisti 48 : 8 szamóca

Terv: m = 48 : 8 - 2



267


Számolás: m = 48

1:

: 8| {z }

6

2:

{ 2 m = 4

Válasz: 4 szamóca maradt Pistinek.

Gy. 165/9. feladat: Összetett számfeladatok zárójelek alkalmazásával.

Megoldás: Vízszintes Függ®leges

a) 55 + 17 { 14 = 5 8 a) 55 { 17 + 14 = 5 2

b) 55 + 17 + 14 = 8 6 b) 5 � 20 { 15 = 8 5

c) 5 � (20 { 15) = 2 5 c) 55 { 17 { 14 = 2 4

e) 32 : 4 � 8 = 6 4 d) 28 + 8 � 2 = 4 4

f) 28 + 8 { 2 = 3 4 e) 9 � 8 { 5 = 6 7

g) 9 � (8 { 5) = 2 7 f) 28 + 8 : 2 = 3 2

h) 28 { 8 � 2 = 1 2 g) 15 + 21 : 3 = 2 2

i) 80 { (46 { 2) = 3 6 h) 32 : 8 � 4 = 1 6

k) (11 { 8) � 4 = 1 2 i) 80 { 46 { 2 = 3 2

l) 11 + 8 � 4 = 4 3 j) 11 + 8 : 4 = 1 3

a b

c d

e f

g h

i j

k l

5 8 8 6

2 2 5 4

6 4 3 4

2 7 1 2

2 3 6 1

1 2 4 3

Gy. 165/10. feladat: Összetett számfeladatok zárójelek alkalmazásával.

Megoldás:36 { 9 � 3 = 9 24 : 6 � 2 = 8 36 : 9 + 3 = 7

12 { (8 + 4) = 0 24 { 6 + 2 = 16 24 : 6 � 2 = 2

24 { 6 + 2 = 20 36 : 9 + 3 = 16 36 { 9 � 3 = 81

8 � 2 + 6 = 22 6 � 7 { 5 = 37 (12 + 8) : 4 = 5

6 � 7 { 5 = 12 35 : 7 { 2 = 7 5 � 8 : 4 = 10

36 : (9 { 3) = 1 (12 + 8) : 4 = 14 24 { (6 + 2) = 16

36 : (9 { 3) = 6 8 � 2 + 6 = 64 35 : (7 { 2) = 7

35 : 7 { 2 = 3 12 { (8 + 4) = 8 24 : (6 : 2) = 8

(36 { 9) : 3 = 9 12 + 8 : 4 = 14 6 � (7 { 5) = 12




Óra: 125. 142. 154.

5. tájékozódó felmérés


Óra: 126. 143. 155.

5. felmérés


Többféleképpen számolhatunk





problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem, kezdeményez®ké-

pesség, kreativitás, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és


Óra: 127{129. 144{146. 156{159.

Az el®z® héten a szám- és szöveges feladatok megoldása során meg�gyeltettük: el-

tér®en zárójelezett feladatok eredménye mikor különbözik, mikor nem. Ezen a héten

tudatosan kerestetjük az összetett szöveges feladatok többféle megoldási tervét.

Tk. 176/1. feladat: Összetett szöveges feladat. Kétféle megoldási terv készítését segíti

el® a kétféle adatgy¶jtés. Beszéljük meg, hogy a feladatot meg tudjuk oldani mindkét

megoldási tervvel.

Megoldás: Volt: 80 Ft Volt: 80 Ft

Elköltött: (30 + 45) Ft-ot Ceruza: 30 Ft, süti: 45 Ft

80

2:

{ (30

1:

+ 45)| {z }

75

= 5 80

1:

{ 30| {z }

50

2:

{ 45 = 5

5 Ft-ja maradt. 5 Ft-ja maradt.

Tk. 176/2. feladat: Összetett szöveges feladat. Kétféle megoldási terv készítését segíti

el® a kétféle adatgy¶jtés. Beszéljük meg, hogy a feladatot meg tudjuk oldani mindkét

megoldási tervvel.

Megoldás: Volt: 70 Ft Volt: 70 Ft

Elköltött: (65 - 20) Ft-ot Költség: 65 Ft, Visszakapott: 20 Ft-ot



269


70

2:

{ (65

1:

{ 20)| {z }

45

= 25 70

1:

{ 65| {z }

5

2:

+ 20 = 25

25 Ft-ja maradt. 25 Ft-ja maradt.

Tk. 176/3. feladat: Összetett szöveges feladathoz ki kell választani a helyes megoldási

terveket. A szövegnek az els® oszlop els® és a második oszlop második egyenlete a

megoldása.

Megoldás: 45

2:

{ (25

1:

{ 8)| {z }

17

= 30 47

1:

{ 25| {z }

22

1:

+ 8 = 30

Tk. 177/1. kidolgozott mintapélda: Kétféle megoldási terv alapján mutatjuk be a szö-

veges feladat megoldásmenetét.

Tk. 177/4. feladat: Az ábra szemléletesen mutatja a többféle megoldási modellt. A

feladat el®készíti a kétjegy¶ számok szorzását is.

Megoldás: A 4 � 12-t számoltatja ki a feladat kétféleképpen.

1 4 � 10 + 4 � 2 = 40 + 8 = 48

2 4 � 2 � 6 = 8 � 6 = 48

3 4 � 6 � 2 = 24 � 2 = 24 + 24 = 48

Ha a szorzást mint ismételt összeadást értelmezzük, akkor adódik a 12 + 12 + 12 + 12

megoldás is.

Tk. 177/5. feladat: Ábrának megfelel® egyenlet kiválasztása. A kétjegy¶ számok szor-

zását készíti el®.

Megoldás: Fels® ábrához tartozik: 3 � 10 + 3 � 2 = 36

3 � (10 + 2) = 36

Alsó ábrához tartozik: 3 � (20 + 5) = 75

3 � 20 + 3 � 5 = 75

Egyik ábrához sem tartozik: 3 � 10 + 2 = 32

3 + 5 + 20 = 35

Tk. 178/6. feladat: Összetett szöveges feladat. Tapasztalatszerzés a szorzás és az

összeadás kapcsolatára (a szorzás disztributív az összeadásra nézve). a � (b + c) = a �

b + a � c, az összeget tagonként is szorozhatjuk.

Megoldás: 4

2:

� (3

1:

+ 2)| {z }

5

= 20 4

1:

� 3| {z }

12

3:

+ 4

2:

� 2| {z }

8

= 20

20 virág van.




Tk. 178/7. feladat: Tapasztalatszerzés az összeg, illetve a különbség szorzására.

Tájékozódás a számegyenesen.

Megoldás: 3

1:

� 4| {z }

12

3:

+ (3

2:

� 6)| {z }

18

= 30 3

2:

� (4

1:

+ 6)| {z }

10

= 30



Megoldás: 5

1:

� 7| {z }

35

3:

{ (5

2:

� 2)| {z }

10

= 25 5

2:

� (7

1:

{ 2)| {z }

5

= 25



Megoldás: 6

1:

� 10| {z }

60

3:

{ (6

2:

� 3)| {z }

18

= 42 6

2:

� (10

1:

{ 3)| {z }

7

= 42

Tk. 179/10. feladat: Egy feladat két megoldási tervét dolgoztatja ki a feladat.

Megoldás: Számolhatunk így:

Hány bogarat látott Panni? 12 : 6 = 2

Hány lepkét látott Panni? 18 : 6 = 3

Hány rovart látott Panni? 12 : 6 + 18 : 6 = 5

Számolhatunk így is:

Hány rovarlábat látott Panni? 12 + 18 = 30

Hány lába van egy rovarnak? 6

Hány rovart látott Panni? (12 + 18) : 6 = 5

Válasz: Panni 5 rovart látott.

Tk. 179/11. feladat: Szöveges feladathoz a megfelel® egyenletet kell kiválasztani.

21 : 3 { 9 : 3 = z, (21 { 9) : 3 = z, 21 { 9 = z � 3, 21 : 3 { z = 9 : 3

Megoldás: 21

1:

� 3| {z }

7

3:

{ 9

2:

: 3| {z }

3

= 4 (21

1:

{ 9| {z }

12

: 3 = 4

4 zacskó narancs maradt.

Gy. 166/1. feladat: Az ábra a pénzzel szemléletesen mutatja a számolás menetét.

Megoldás: 3 � 16 = 3 � (10 + 6 ) = 3 �1 0 + 3 �

6 = 4 8

Válasz: 48 Ft-ot �zettünk.



271


Gy. 166/2. feladat: Az ábra szemléletesen mutatja a számolás menetét.

Megoldás: 4 � 18 = 4 � (20 { 2 ) = 4 �2 0 { 4 �

2 = 7 2

Válasz: 72 Ft-ba került a négy bélyeg.


Megoldás: 14 � 5 = (7 + 7) �5 = 7

�5 + 7

�5 = 7 0

Válasz: 70 korongot rakott ki összesen.


Megoldás: Így számolhatunk: 4 � ( 1 0 + 9) = 4 �1 0 + 4 �

9 = 7 6

4 � (20 { 1 ) = 4 �2 0 { 4 �

1 = 7 6

(2 + 2 ) � 19 = 2� 19 + 2

� 19 = 7 6

Válasz: 76 Ft-ot �zettünk.


Megoldás: Így számolhatunk: (10 + 2 ) � 8 = 1 0� 8 + 2

� 8 = 9 6

(6 + 6 ) � 8 = 6� 8 + 6

� 8 = 9 6

12 � 2 � 2 � 2 = 9 6

Válasz: 96 bonbont tettek a dobozba.


Megoldás: 3 � 27 = 3 � (20 + 5 + 2) = 3 � 20 + 3 � 5 + 3 � 2 = 81

3 � 27 = 3 � (30 { 3) = 3 � 30 { 3 � 3 = 81

3 � 27 = 3 � (20 + 7) = 3 � 20 + 3 � 7 = 81

3 � 27 = 3 � 9 + 3 � 9 + 3 � 9 = 81

Gy. 168/7. feladat: A m¶veletek sorrendjér®l, az összeadás és a szorzás kapcsolatáról,

a szorzásról tanultak alkalmazása. Csupán néhány megoldást sorolunk fel.

Megoldás: 16 � 4 = p 16 + 16 + 16 + 16 = p

4 � 16 = p

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = p

4 �10 + 4 � 6 = p 4 � 8 + 4 � 8 = p

20 � 4 { 4 � 4 = p 4 � 4 � 4 = p 2 � 8 � 4 = p

Gy. 168/8. feladat: Többféle számolási modell keresése.

Megoldás: 6 � 12 = 6 � (10 + 2) = 6 � 10 + 6 � 2 = 72 vagy

6 � 12 = 6 � 4 + 6 � 8 = 72 vagy



Hajdu program 2 HAJ2PRL 2008. szeptember 28. {18:21 (1. old.)

6 � 12 = 6 � (6 + 6) = 6 � 6 + 6 � 6 = 72 vagy

6 � 12 = 2 � 12 + 2 � 12 + 2 � 12 = 72

Gy. 168/9. feladat: A m¶veleti sorrendr®l tanultak gyakorlása. Keressük meg, mely

m¶veletek eredménye egyezik meg.

Megoldás: 64 96 84

96 98 64

68 64 84

84 98 96

98 96 64

Kétjegy¶ számok szorzása








Óra: 130{132. 147{149. 160{163.

A kétjegy¶ számok szorzásáról az el®z® hetekben sok tapasztalatot szerezhettek a ta-

nulók. Most ezek elmélyítésére kerül sor.

Tk. 180/1. kidolgozott mintapélda: A kétjegy¶ számok szorzását szemléltetjük pénzzel.

Figyeljük meg a számolás menetét.

Tk. 180/2. kidolgozott mintapélda: Az ábra szemlélteti a számolás lehetséges menetét.

Figyeljük meg, hogyan számolhatunk.

Tk. 180/1. feladat: Az ábra segít a számolásban. A kétjegy¶ számok szorzását készítjük

el® a kerek tízesek szorzásával 100-ig.

Megoldás: 3 � 30 = 90 4 � 20 = 80 2 � 40 = 80

3 � 20 = 60 2 � 50 = 100 5 � 20 = 100

Tk. 181/2. feladat: Az ábra segít a számolásban.

Megoldás: 4 � 25 = 100 5 � 16 = 80 6 � 16 = 96

Tk. 181/3. feladat: Figyeltessük meg, milyen összefüggés van az egymás alatti felada-

tokban. Vetessük észre, hogy az els® két szorzat összege a harmadik szorzat.



273


Megoldás: 3 � 10 = 30 4 � 20 = 80 30 � 3 = 90 10 � 5 = 50

3 � 6 = 18 4 � 4 = 16 2 � 3 = 6 9 � 5 = 45

3 � 16 = 48 4 � 24 = 96 32 � 3 = 96 19 � 5 = 95

Tk. 181/4. feladat: Kétjegy¶ számok szorzásának gyakorlása. Figyeljük meg a kétféle

számolási modellt.

Megoldás: a) 76 b) 81

76 81

Tk. 181/5. feladat: A kétjegy¶ számok szorzásáról, a m¶veleti sorrendr®l tanultak

gyakorlása.

Megoldás: 54 54 38

99 54 99

90 54 54

54

Tk. 182/6. feladat: A kétjegy¶ számok szorzásáról tanultak elmélyítése összetett szö-

veges feladatok által. A szöveges feladatok megoldási menetének gyakoroltatása.

Megoldás: a) Adatok: P = 10 db 5 , R = 7 db 5 , Ö = ?

Terv:

Számolás:

Ö = 10

1:

� 5| {z }

50

3:

+ 7

2:

� 5| {z }

35

Ö = 85 Ft

vagy

Ö = (10

1:

+ 7)| {z }

17

2:

� 5 Ö = 85 Ft

Válasz: 85 Ft-juk van kett®jüknek együtt.

b) Adatok: 1 baba 25 cm

4 baba ö cm? ö = ?

Terv: ö = 4 � 25 = 4 � 20 + 4 � 5

Számolás: ö = 100 cm

Válasz: 100 cm = 1 m szalag kellett a négy baba masnijához.

c) Adatok: 1 üveg 12 dl

7 üveg ö dl ö = ?

Terv: ö = 7 � 12 = 7 � 10 + 7 � 2

Számolás: ö = 84 dl

Válasz: 84 dl = 8 l 4 dl szörp fér 7 üvegbe.

d) Adatok: 1 lánc (7 + 7) gy

5 lánc ö gy ö = ?




Terv: ö = 5 � (7 + 7) = 5 � 7 + 5 � 7

Számolás: ö = 70

Válasz: 70 gyöngyb®l készített 5 nyakláncot.

e) Adatok: 1 k = 16 dkg, 1 a = 12 dkg ö = 3 k + 3 aö = ?

Terv:

Számolás:

ö = 3

1:

� 16| {z }

48

3:

+ 3

2:

� 12| {z }

36

ö = 84 dkg

vagy

ö = 3

2:

� (16

1:

+ 12)| {z }

28

ö = 84 dkg

Válasz: 84 dkg együtt 3 körte és 3 alma.

Tk. 183/7. feladat: A kétjegy¶ számok szorzásáról tanultak gyakorlása játékos feladattal.

Megoldás: 48

32

50

28

44

60

39

65

80

36

84

99

77

56

42 66 24

30 45 72

88 96 70

55 64 86

90 26 52

75 91 34

82 78 40

94 22 68

58 62 76

46 38 54



275


Gy. 169/1. feladat: Figyeltessük meg, milyen összefüggés van az egymás alatti felada-

tokban. Vetessük észre, hogy az els® két szorzat összege a harmadik szorzat.

Megoldás: a) 5 � 10 = 50 8 � 10 = 80 6 � 10 = 60 7 � 10 = 70

5 � 7 = 35 8 � 2 = 16 6 � 5 = 30 7 � 4 = 28

5 � 17 = 85 8 � 12 = 96 6 � 15 = 90 7 � 14 = 98

b) 10 � 4 = 40 10 � 7 = 70 20 � 2 = 40 10 � 6 = 60

8 � 4 = 32 3 � 7 = 21 6 � 2 = 12 6 � 6 = 36

18 � 4 = 72 13 � 7 = 91 26 � 2 = 52 16 � 6 = 96

Gy. 169/2. feladat: A kétjegy¶ számok szorzásának gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: a) 33 66 36 72

44 77 48 84

55 88 60 96

b) 26 65 15 60

39 78 30 75

52 91 45 90

c) 28 70 16 64

42 84 32 80

56 98 48 96

d) 34 85 72 57

51 36 90 76

68 54 38 95

e) 40 0 84 88

60 42 44 46

80 63 66 69

f) 92 96 0 27

48 50 52 54

72 75 78 81

g) 0 29 93 68

56 87 96 74

84 58 99 76

h) 80 90 96 100

86 92 98 100

88 94 51 100




Gy. 170/3. feladat: Figyeljük meg, hány kis négyzetb®l áll az ábra.

Megoldás: A 16 � 5-öt íratjuk fel többféle alakban.

16 � 5 = (10 + 6) � 5 = 10 � 5 + 6 � 5 = 80

16 � 5 = (20 { 4) � 5 = 20 � 5 { 4 � 5 = 100 { 20 = 80

16 � 5 = (8 + 8) � 5 = 8 � 5 + 8 � 5 = 40 + 40 = 80

16 � 5 = 8 � 2 � 5 = 8 � 10 = 80

16 � 5 = 4 � 4 � 5 = 4 � 20 = 80 stb.

Gy. 170/4. feladat: Összetett számfeladatok eredményének összehasonlítása. Indokol-

tassuk meg a megoldásokat.

Megoldás: Ahová = jelet írtunk, írhatunk: 6>, 6<, 5, = jeleket is.

Ahová > jelet írtunk, írhatunk: 65, 6= jeleket is.

Ahová < jelet írtunk, írhatunk: 6=, 6= jeleket is.

13 � 7 = 10 � 7 + 3 � 7 21 � 4 > 20 � 4 + 1

8 � 12 = 8 � 6 + 8 � 6 18 � 3 = 9 � 3 + 9 � 3

16 � 5 > 10 � 5 + 6 7 � 12 = 7 � 10 + 7 � 2

6 � 13 > 5 � 13 + 1 19 � 5 = 20 � 5 { 5

2 � 24 = 4 � 12 27 � 3 = 30 � 3 { 3 � 3

Gy. 170/5. feladat: Meg�gyeltetjük, hogy a tényez®k változásaival hogyan változik a

szorzat.

Megoldás: 6 � 13+ 6

6 � 14 4 � 23+ 4

4 � 24

7 � 12+ 12

8 � 12 3 � 32{ 32

2 � 32

8 � 11{ 22

6 � 11 5 � 18{ 36

3 � 18

Gy. 170/6. feladat: Keressük meg, mely számok tehetik igazzá az egyenl®tlenséget.

Megoldás: 91z }| {

7 � 13 < f <

96z }| {

8 � 12 f: f92, 93, 94, 95g

78z }| {

6 � 13 5 g 5

84z }| {

7 � 12 g: f78, 79, 80, 81, 82, 83, 84g

92z }| {

4 � 23 < h 5

95z }| {

5 � 19 h: f93, 94, 95g

99z }| {

3 � 33 > j >

96z }| {

6 � 16 j: f97, 98g



277


Gy. 170/7. feladat: Hasonlítsuk össze a szorzatokat.

Megoldás: 5 2z }| {

4 � 13 >

4 2z }| {

3 � 14

8 0z }| {

5 � 16 <

9 0z }| {

6 � 15

8 4z }| {

7 � 12 >

3 4z }| {

17 � 2

7 2z }| {

3 � 24 <

9 2z }| {

4 � 23

Gy. 171/8. feladat: Kétjegy¶ számok szorzásának gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: a) 91 99 99 82

96 96 86 93

90 88 84 92

b) 48 90 76 72

96 68 95 85

51 88 98 77

Gy. 171/9. feladat: Kétjegy¶ számok szorzásának gyakorlása táblázat kitöltésével.

Megoldás: Ennyi nap 1 0 3 2 4 5 6 7 8

Ennyi forint 12 0 36 24 48 60 72 84 96

Gy. 171/10. feladat: M¶veleti sorrendr®l tanultak gyakorlása.

Megoldás:

9z }| {

36 : 4 +

15z}|{

5 � 3 { 1 = 2 3

42z }| {

14z }| {

9z }| {

(36 : 4 + 5) � 3 { 1 = 4 1

9z }| {

36 : 4 +

10z }| {

5 �

2z }| {

(3 { 1) = 1 9

4z }| {

36 :

9z }| {

(4 + 5) �

2z }| {

(3 { 1) = 8

12z }| {

4z }| {

36 :

9z }| {

(4 + 5) � 3 { 1 = 1 1 36 :

18z }| {

(4 +

15z}|{

5 � 3 { 1) = 2

Gy. 171/11. feladat: A kétjegy¶ számok szorzásáról tanultak elmélyítése összetett

szöveges feladatok által. A szöveges feladatok megoldási menetének gyakoroltatása.




Megoldás: a) Adatok: 1 saláta 2 tallér

13 saláta ö ö = ?

Felesleges adat: káposzta 3 tallér, 18 fej

Terv: ö = 13 � 2 = 10 � 2 + 3 � 2

Számolás: ö = 26 tallér

Válasz: 26 tallért kapott a salátákért.

b) Adatok: 1 káposzta 3 tallér

18 saláta ö*ö = ?

Felesleges adat: saláta 2 tallér, 13 fej

Terv: ö = 18 � 3 = 10 � 3 + 8 � 3

Számolás: ö = 54 tallér

Válasz: 54 tallért kapott a káposztákért.

Kétjegy¶ számok osztása








Óra: 133{135. 150{152. 164{167.

A kétjegy¶ számok osztásakor �gyeltessük meg, hogy az osztandó célszer¶ összeggé

alakításával a tagokat könnyebben tudjuk osztani az osztóval. Az így kapott hányadosok

összege lesz az eredeti osztás eredménye.

Tk. 184/1. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg, hogy az osztandó célszer¶ összeg-

gé alakításával a tagokat könnyebben tudjuk osztani az osztóval. Ezt szemlélteti az ábra

is. Ha szükséges több hasonló feladatot rakjunk ki játék pénzzel.

Tk. 184/1. feladat: Kétjegy¶ számok osztásának gyakorlására szánt feladatsor, amelyet

az ábra jól szemléltet.

Megoldás: 34 : 2 = 17 46 : 2 = 23 56 : 2 = 28

2 � 17 = 34 2 � 23 = 46 2 � 28 = 56






279





Tk. 185/2. feladat: Kétjegy¶ számok osztásának gyakorlására szánt feladatsor, amelyet


Megoldás: 72 : 8 = 9 9 � 8 = 72

72 : 4 = 18 18 � 4 = 72

72 : 2 = 36 36 � 2 = 72

Gy. 172/1. feladat: Kétjegy¶ számok osztásának gyakorlására szánt feladatsor, amelyet


Megoldás: 28 : 2 = 14 30 : 2 = 15 32 : 2 = 16

2 � 14 = 28 2 � 15 = 30 2 � 16 = 32

14 salátát, 15 salátát, 16 salátát kell kiszínezni.

Gy. 172/2. feladat: A kétjegy¶ számok osztásáról tanultak elmélyítése szöveges feladat

megoldásával. A szöveges feladatok megoldási menetének gyakoroltatása.

Megoldás: Adatok: gy = 28, gy >fele

a, a = ?

Terv: a = gy : 2

Számolás: a = 28 : 2 = 20 : 2 + 8 : 2 a = 14

Ellen®rzés: 2 � 14 = 28

Válasz: 14 almafa van.



Megoldás: Adatok: 2 unoka 36 eper

1 unoka e e = ?

Terv: e = 36 : 2 = 20 : 2 + 16 : 2

Számolás: e = 18

Ellen®rzés: 2 � 18 = 36

Válasz: 18 epret kap egy gyerek.

Gy. 172/4. feladat: Az osztás gyakorlása méréshez kapcsolva.

Megoldás: 4 cm fele = 2 cm 1 8 cm fele = 5 cm

1 4 cm fele = 7 cm

Gy. 172/5. feladat: Ismét beszéljük meg a �kétszerese", �fele" fogalmakat.

Megoldás: 1 3k�etszerese

fele2 6 1 5

k�etszerese

fele3 0




1 4k�etszerese

fele2 8 1 8

k�etszerese

fele3 6

Gy. 173/6. feladat: Az osztásról tanultak alkalmazása.

Megoldás: 84 : 3 = 2 8 20 20 20 20 1 1 1 1

Így számolhatunk:

(60 + 2 4 ) : 3 = 6 0 : 3 + 2 4 : 3 = 2 8

(90 { 6 ) : 3 = 9 0 : 3 { 6 : 3 = 2 8

Válasz: Apa 28 Ft-ot adjon egy gyereknek.

Gy. 173/7. feladat: Ebben a feladatban is meg�gyeltethetjük, hogy egy szöveges

feladathoz több megoldási terv is készíthet®, melyeket ha kiszámolunk, az eredmény

megegyezik. Beszéljük meg, melyik megoldási tervet tartjuk gazdaságosnak, és miért.

Mindig azt, amelyikkel a lehet® legkönnyebben tudunk számolni. (Ez szubjektív tényez®.

Gyermekenként különböz® lehet.)

Megoldás: 72 : 4 =

Így számolhatunk:

(40 + 3 2 ) : 4 = 4 0 : 4 + 3 2 : 4 = 1 8

(80 { 8 ) : 4 = 8 0 : 4 { 8 : 4 = 1 8

(36 + 3 6 ) : 4 = 3 6 : 4 + 3 6 : 4 = 1 8

Válasz: 18 zacskó szükséges.

Gy. 173/8. feladat: Ebben a feladatban is meg�gyeltethetjük, hogy egy szöveges

feladathoz több megoldási terv is készíthet®, melyeket ha kiszámolunk, az eredmény

megegyezik.

Megoldás: 84 : 7 = (42 + 4 2 ) : 7 = 4 2 : 7 + 4 2 : 7 = 1 2

84 : 7 = ( 7 0 + 1 4 ) : 7 = 7 0 : 7 + 1 4 : 7 = 1 2

Ellen®rzés: 12 � 7 = 84

Válasz: 12 fej salátát ültettek egy sorba.



Megoldás: Adatok: 5 unoka 85 Ft,

1 unoka e Ft e = ?

Terv: e = 85 : 5 = 50 : 5 + 35 : 5

Számolás: e = 17



281


Ellen®rzés: 5 � 17 = 85

Válasz: 17 Ft jutott egy gyereknek.

Gy. 174/10. feladat: A kétjegy¶ számok osztásáról tanultak elmélyítése szöveges fela-

dat megoldásával. A szöveges feladatok megoldási menetének gyakoroltatása.

Megoldás: Adatok: 1 zacskó 3 kg,

x zacskó 48 kg x = ?

Terv: x = 48 : 3 = 30 : 3 + 18 : 3

Számolás: x = 16

Ellen®rzés: 16 � 3 = 48

Válasz: 17 zacskó tölthet® meg.



Megoldás: Adatok: 1 üveg fél l = 5 dl,

x üveg 9 l 5 dl = 95 dl x = ?

Terv: x = 95 : 5 = 50 : 5 + 45 : 5

Számolás: x = 19

Ellen®rzés: 19 � 5 = 95

Válasz: 19 üveg tölthet® meg.



Megoldás: Adatok: gy = 49 + 43, gy >negyede

l, l = ?

Terv: x = 95 : 5 = 50 : 5 + 45 : 5

Számolás: x = 19

Ellen®rzés: 19 � 5 = 95

Válasz: 19 üveg tölthet® meg.

Gy. 174/13. feladat: Ismét beszéljük meg a �háromszorosa", �harmadrésze" fogalmak

jelentését.

Megoldás: 3 � 33 = 99 33 : 3 = 11

Gy. 175/14. feladat: Kétjegy¶ számok osztásának gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: a) 69 : 3 = 60 : 3 + 9 : 3 = 23 23 � 3 = 69

b) 75 : 5 = 50 : 5 + 25 : 5 = 15 15 � 5 = 75

c) 96 : 4 = 80 : 4 + 16 : 4 = 24 24 � 4 = 96

d) 84 : 6 = 60 : 6 + 24 : 6 = 14 14 � 6 = 84

e) 91 : 7 = 70 : 7 + 21 : 7 = 13 13 � 7 = 91

f) 96 : 8 = 80 : 8 + 16 : 8 = 12 12 � 8 = 96




Gy. 175/15. feladat: Kétjegy¶ számok osztásának gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 15 12 11 11

20 13 16 12

26 20 19 16

11 24 20 11

12 11 14 13

Gy. 175/16. feladat: Kétjegy¶ számok osztásának gyakorlására szánt feladatsor. Ha-

sonlítsák össze a tanulók az eredményeket.

Megoldás: a) 52 : 4 = 40 : 4 + 12 : 4 96 : 3 < 90 : 3 + 3

b) 65 : 5 > 70 : 5 { 5 78 : 6 < 60 : 6 + 18

c) 81 : 3 = 90 : 3 { 9 : 3 84 : 7 = 70 : 7 + 14 : 7

d) 90 : 5 > 90 : 5 { 1 96 : 8 = 48 : 8 + 48 : 8

Év végi gyakorlás







munkavégzés.

Óra: 136{137. 153{154. 168{170.

Úgy tervezzük meg az év végi ismétlést, hogy az esetleges hiányosságokat minden

tanuló pótolhassa. Ezt úgy oldhatjuk meg leghatékonyabban, ha a gyermekek egyéni

képességeit �gyelembe véve szervezzük meg az órai és az otthoni munkát egyaránt.

Tk. 191/1. feladat: A számfogalomról tanultak gyakorlása játékos feladattal.

Megoldás: 69 57 54

36 39 63

51 45 48

66 42 60



283


Gy. 180/1. feladat: A számegyenesen lépegetve, a számok helyének megkeresésével

bejárjuk a 100-as számkört.

Megoldás:

546976

8798

322513

010

2030

4050

6070

8090

100



Megoldás: 44 > 39 > 30 > 28 > 13 > 7

94 > 89 > 80 > 78 > 63 > 57



Megoldás: Kék ponttal jelölt számok: 47, 49, 51, 53

Piros ponttal jelölt számok: 36, 38, 40, 42, 44



Megoldás: hatvanegy 7 tízes 5 egyes 80 + 9 10 tízes

50 100

Gy. 181/5. feladat: Idézzük fel az alakiértékr®l, helyiértékr®l, tényleges értékr®l tanulta-

kat. A számokat tízesek és egyesek összegére bontjuk.




Megoldás: 35 34 53

53 70 34

70 53 35

35 70

70 35

47 53

Gy. 181/6. feladat: Idézzük fel az alakiértékr®l, helyiértékr®l, tényleges értékr®l tanulta-

kat. A számokat tízesek és egyesek összegére bontjuk.

Megoldás:

Tízesek 10 8 5 9 6 9 4 5

Egyesek 1 5 8 3 7 0 5 4

M¶velettel 80 + 5 50 + 8 90 + 3 60 + 7 90 + 3 40 + 5 50 + 4

Számmal 85 58 93 67 90 45 54

Gy. 181/7. feladat: Idézzük fel a kétjegy¶ számok tulajdonságairól tanultakat.

Megoldás: a) 0 < 16 < 54 < 88 < 100

b) 99 > 88 > 73 > 61 > 54 > 31 > 16

Gy. 181/8. feladat: Idézzük fel a kétjegy¶ számok szomszédairól tanultakat.

Megoldás: egyes szomszédok páros szomszédok tízes szomszédok

4 5 6 4 5 6 0 5 1 0

4 7 48 4 9 4 6 48 5 0 4 0 48 5 0

7 2 73 7 4 7 2 73 7 4 7 0 73 8 0

7 9 80 8 1 7 8 80 8 2 7 0 80 9 0

Gy. 182/9. feladat: Idézzük fel a kétjegy¶ számok összeadásáról tanultakat. A számolási

rutin fejlesztésére, felmérésére szolgáló feladatsorok.

Megoldás: a) 46 24 50 80

37 32 40 90

39 30 57 65

b) 49 80 34 52

29 37 55 77

56 61 84 90

c) 72 40 50 76

83 50 80 85

69 67 89 93



285


Gy. 182/10. feladat: Idézzük fel a kétjegy¶ számok kivonásáról tanultakat. A számolási


Megoldás: a) 50 41 37 40

70 31 37 50

8 41 68 35

b) 72 3 24 40

34 73 12 39

31 42 22 3

c) 26 14 73 47

33 22 41 37

60 25 11 68

Gy. 182/11. feladat: Idézzük fel a kétjegy¶ számok összeadásáról, kivonásáról tanulta-

kat. A számolási rutin fejlesztésére, felmérésére szolgáló feladatsorok.

Megoldás: a) 20 30 30 6

3 40 4 8

30 40 53 38

b) 6 20 12 2

33 40 12 18

17 45 6 61

c) 14 2 35 27

37 7 17 24

27 63 18 68

Gy. 183/12. feladat: Idézzük fel a kétjegy¶ számok összeadásáról, kivonásáról tanulta-

kat. A számolási rutin fejlesztésére, felmérésére szolgáló feladatsorok.

Megoldás: a) 10 60 36 86

5 40 38 80

23 30 55 95

b) 6 30 40 38

51 20 38 85

42 20 40 89

c) 37 3 33 64

38 5 63 65

48 56 66 72

Tk. 185/18. feladat: A m¶veletfogalom elmélyítését segít®, a szövegértelmez® képessé-

get fejleszt® feladatsorok. Egy-egy feladatsort egyszerre dolgoztassunk fel. Figyeltessük

meg a szövegben elrejtett apró különbségekb®l ered® különböz® megoldási modelleket.




Megoldás: a) Adatok: m = 18, e = 35, ö = ?

Terv: ö = m + e

Számolás: ö = 18 + 35 ö = 53

Válasz: 53 könyve van Katinak.

Adatok: m = 18, e = 35, k = ?

Terv: k = m { e

Számolás: k = 35 { 18 k = 17

Ellen®rzés: 17 + 18 = 35

Válasz: 17-tel kevesebb mesekönyve van Katinak.

b) Adatok: k = 35, r = 18, m = ?

Terv: m = k { r

Számolás: m = 35 { 18 m = 17

Ellen®rzés: 17 + 18 = 35

Válasz: 17 mesekönyve van Pistának.

c) Adatok: A = 35, A >

18-calB, B = ?

Terv: B = A { 18

Számolás: B = 35 { 18 B = 17

Ellen®rzés: 17 + 18 = 35

Válasz: 17 képeslapja van Beának.

d) Adatok: Cs = 35, D >

18-calCs, D = ?

Terv: D = Cs + 18

Számolás: D = 35 + 18 D = 53

Válasz: 53 bélyeget gy¶jtött Dávid.

Adatok: Cs = 35, D = 53, Ö = ?

Terv: Ö = Cs + D

Számolás: Ö = 35 + 53 Ö = 88

Válasz: 88 bélyeget gy¶jtött a két �ú összesen.

Gy. 190/27. feladat: A mérésr®l, mértékegységekr®l tanultak felidézése.

Megoldás: a) 10 cm 10 dm

50 cm 90 dm

8 dm 4 m

16 cm 24 dm

37 cm 59 dm

7 dm 8 cm 9 m 5 dm



287


b) 10 l 10 dl

60 cl 40 dl

8 dl 9l

14 cl 25 dl

82 cl 52 dl

7 dl 5 cl 2 l 7 dl

c) 100 dkg 1 kg

60 dkg 70 dkg

42 dkg 97 dkg

d) 60 perc 24 óra

75 perc 48 óra

1 óra 30 perc 2 nap 2 óra

12 hónap 7 nap


Megoldás:

a) 1 dm = 10 cm 3 m > 28 dm 4 dm > 36 cm 58 cm > 5 dm

b) 4 dl < 41 cl 6 l = 60 dl 1 cl < 10 dl 4 dl < 4 l

c) 1 kg > 10 dkg 1 óra > 10 perc 1 nap < 100 óra 1 hét < 9 nap


Megoldás: a) b) c) d)

2 óra 20 perc 4 óra 0 perc 7 óra 40 perc 9 óra 5 erc


Megoldás: a) 35 dm

b) 26 dm

c) 12 dm

d) 5

e) 12 l esetleg 12 dl

f) 100 dkg, illetve 1 kg

g) 10

h) 15

i) 8





Megoldás: a) cm e) dm

b) dm f) m

c) m g) cm

d) cm h) cm


Megoldás: a) dl e) cl

b) l f) cl

c) l g) dl

d) dl h) cl

Óra: 138. 155. 171.

6/I. tájékozódó felmérés


Óra: 139. 156. 172.

6/I. felmérés


Év végi gyakorlás







munkavégzés.



289


Óra: 140{141. 157{158. 173{175.

Tk. 192/2. feladat: A m¶veletfogalomról tanultak gyakorlása játékos feladattal.

Megoldás: 45

10

13

23

26

41

35

42

51

53

63

69

39

61

31

34

58

32

67

70

25 33 7 47

3 2 55 66

15 54 19 9

27 4 12 46

64 11 29 8

38 56 60 71

36 43 48 18

44 22 40 14

6 49 17 37

16 20 68 50

Gy. 183/13. feladat: Idézzük fel a kétjegy¶ számok szorzásáról tanultakat. A számolási


Megoldás: a) 60 80 5 21

20 25 12 30

27 0 49 72




b) 4 20 0 12

10 63 8 14

0 32 54 48

c) 81 56 49 16

32 25 27 0

12 45 24 30

Gy. 183/14. feladat: Idézzük fel a kétjegy¶ számok osztásáról tanultakat. A számolási



7 3 6 7

3 9 3 5

b) 9 10 10 7

8 1 9 2

10 0 3 0

c) 4 5 10 8

10 8 9 4

9 6 1 10

Gy. 184/15. feladat: Idézzük fel a kétjegy¶ számok szorzásáról, osztásáról tanultakat.

A számolási rutin fejlesztésére, felmérésére szolgáló feladatsorok.


10 5 3 7

7 1 3 8

b) 3 7 8 9

3 0 9 8

10 2 7 10

c) 5 6 6 7

7 4 7 6

6 Sok 7 6

megoldása van 7 6

Gy. 184/16. feladat: Idézzük fel a kétjegy¶ számok szorzásáról, osztásáról tanultakat.

A számolási rutin fejlesztésére, felmérésére szolgáló feladatsorok.


5 0 3 35

9 56 6 14



291


b) 8 54 5 54

9 72 5 72

1 0 4 12

c) 8 0 9 28

7 35 3 36

6 1 5 9

Gy. 184/17. feladat: A 2-vel, 3-mal és a 6-tal való oszthatóság vizsgálata tapasztalati

úton. Figyeltessük meg, hogy 6-tal pontosan azok a számok oszthatók, amelyek oszt-

hatók 2-vel is és 3-mal is, illetve ha egy szám osztható 2-vel és 3-mal, akkor osztható

6-tal is.

Megoldás: a) csak kék csillaggal: 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28

b) csak zöld pöttyel: 3, 9, 15, 21, 27

c) kék csillaggal és zöld pöttyel is: 0, 6, 12, 18, 24, 30

Tk. 186/19. feladat: A m¶veletfogalom elmélyítését segít®, a szövegértelmez® képessé-

get fejleszt® feladatsorok. Egy-egy feladatsort egyszerre dolgoztassunk fel. Figyeltessük

meg a szövegben elrejtett apró különbségekb®l ered® különböz® megoldási modelleket.

Megoldás: a) Adatok: t = 6, t <3-szor

l, l = ?

Terv: l = 3 � t

Számolás: l =3 � 6 l = 18

Válasz: 18 palacsintát töltött meg lekvárral édesanya.

b) Adatok: p = 6, k <3-szor

p, k = ?

Terv: k = p : 3

Számolás: k = 6 : 3 k = 2


Válasz: 2 kék autója van Misinek.

c) Adatok: b = 6, m <

3-malb, m = ?

Terv: m = b { 3

Számolás: m = 6 { 3 m = 3

Ellen®rzés: 3 + 3 = 6

Válasz: 3 macija van Nórának.

d) Adatok: 6 gyerek 3 sor

x gyerek 1 sor x = ?

Terv: x = 6 : 3

Számolás: x = 2





Válasz: 2 gyerek áll egy sorban.

e) Adatok: p = 8, gy >negyede

p, gy = ?

Terv: gy = 4 � p

Számolás: gy = 4 � 8 gy = 32

Ellen®rzés: 32 : 4 = 8

Válasz: 32 gyöngye van Évának.

f) Adatok: 4 sajt 8 kg

1 sajt x kg x = ?

Terv: x = 8: 4

Számolás: x = 2


Válasz: 2 kg a tömege egy sajtnak.

Gy. 187/20. feladat: A matematikai szaknyelv ismerete fontos a feladatok megértésé-

ben.

Megoldás: a) a >3-mal

18 a = 18 + 3 a = 21

b) b >3-mal

18 b + 3 = 18 b = 15

c) c = 18 : 3 c = 6

d) d = 18 � 3 d = 54

Gy. 187/21. feladat: A matematikai szaknyelv ismerete fontos a feladatok megértésé-

ben.

Megoldás: a) a >4-gyel

24 a = 24 + 4 a = 28

b) b : 4 = 24 b = 4 � 24 b = 96

c) c <4-gyel

24 c = 24 { 4 c 20

d) d � 4 = 24 d = 24 : 4 d = 6

Gy. 187/22. feladat: Szöveggel adott függvény meghatározása. Táblázat kitöltése.

Megoldás: Szabály: á = 2 � f, á = f � 2, á : f = 2, f = á : 2

á (dkg) 48 50 62 36 54 58 76 94 74 88 100 80

f (dkg) 24 25 31 18 27 29 38 47 37 44 50 40

Gy. 187/23. feladat: A m¶veletfogalom elmélyítését segít®, a szövegértelmez® képes-

séget fejleszt® feladatsor.



293


Megoldás: Adatok: P = 10 Ft, R <�5 P <�5 S

a) Terv és számolás: R = P : 5 = 10 : 5 = 2; R = 2

Válasz: 2 Ft-ja van Rékának.

b) Terv és számolás: S = P � 5 = 10 � 5 = 50; S = 50

Válasz: 50 Ft-ja van Sanyinak.

c) Terv és számolás: ö = S + P + R = 2 + 10 + 50 = 62; ö = 62

Válasz: 62 Ft-ja van a 3 gyereknek együtt.



Megoldás: Adatok: k = 32, a <9 k <9 f; a = ? f = ? ö = ?

a) Terv: f = k + 9

Számolás: f = 32 + 9; f = 41

Válasz: 41 könyv van a legfels® polcon.

b) Terv: a = k { 9

Számolás: a = 32 { 9; a = 23

Válasz: 23 könyv van a legalsó polcon.

c) Terv: ö = a + k + f

Számolás: ö = 23 +32 + 41; ö = 96

Válasz: 96 könyv van a három polcon összesen.

Gy. 188/25. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazá-

sára, a számolási rutin fejlesztésére.

Megoldás: Rész- Vég- Rész- Vég- Rész- Vég-eredmény eredmény eredmény

a) 83 99 83 99 51 99

83 67 19 67 83 67

b) 27 8 27 8 29 46

27 46 67 8 27 46

c) 32 64 32 64 8 64

32 16 2 16 32 16

d) 6 3 2 12 6 3

6 12 8 3 6 12

e) 3 51 66 11 8 26

3 45 30 5 3 45

f) 21 35 21 63 42 49

4 56 42 35 98 95




g) 4 1 6 6 12 3

3 33 27 9 3 33

h) 30 10 25 50 80 65



Megoldás: a) Adatok: p = 35, p >17-tel

s, s = ?

Terv: s = p { 17

Számolás: s = 35 { 17 s = 18

Válasz: 18 sárga tulipánt ültettek Andorék.

b) Adatok: f = 100 Ft, e : r = 35 Ft, r <20 Ft-tal

c, v = ?

Terv: v = f { e v = f { (r + c)

Számolás: v = 100 { (35 + 35 { 20) v = 10 Ft

Válasz: 10 Ft-ot kapott vissza Bea.

c) Adatok: l = 3 kg, a = 45 kg, a >16 kg-mal

sz, ö = ?

Terv: ö = l + a + l + sz

Számolás: ö = 3 kg + 45 kg + 3 kg + (45 { 16) ö = 80 kg

Válasz: 80 kg-ot mutat a mérleg.

d) Adatok: B = 12, B <

4-szerA, Ö = ?

Terv: Ö = A + B

Számolás: Ö = 12 + 4 � 12 Ö = 5 � 12 Ö = 60

Válasz: 60 gesztenyét gy¶jtött a két gyerek együtt.

e) Adatok: b = 12, b >4-szer

sz, ö = ?

Terv: ö = b + sz

Számolás: ö = 12 + 12 : 4 ö = 14

Válasz: 15 üveg lekvárt f®zött be édesanya.

Gy. 192/33. feladat: A hiányzó m¶veleti jelek pótlása.

Megoldás: + 4 + 6

5 = 10 {

3 { 2

+ 4 + 6

5 = 20 +

3 + 2

+ 4 � 6

5 = 30 {

3 + 2

� 4 { 6

5 = 20 :

3 + 2



295


Gy. 192/34. feladat: A m¶veletekr®l tanultak gyakorlása játékos feladatban.

Megoldás: 98 = 17 + 21 + 30 + 30

98 = 17 + 17 + 17 + 17 + 30 = 98

98 = 16 + 16 + 16 + 16 + 17 + 17

Gy. 192/35. feladat: A m¶veletekr®l tanultak gyakorlása játékos feladatban.

Megoldás:6

39

8

7

19

12

35

5

49

13

14

15

12

13

10

6

20

39

7

45

6

19

12

25

9

32

20

17

Gy. 192/36. feladat: Kreativitást, ötletgazdagságot fejleszt® feladat.

Megoldás: a) A feladatnak több megoldása lehet, itt csak egy megoldást közlünk.

26 21 28 25

27

23

24

22

29

b) Beszéljük meg, hogy elég a bels® körbe kiválasztani a feltételeknek

megfelel® számokat, s a megmaradt számok kerülnek a küls® körbe.

A feladatnak több megoldása lehet, itt egy megoldást közlünk.

87

15

1617

18

10

9

11 12

1413

Óra: 142. 159. 176.

6/II. tájékozódó felmérés


Óra: 143. 160. 177.

6/II. felmérés A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.




Biztos, lehetséges, lehetetlen


számlálás, számolás, rendszerezés, kombinativitás, relációszókincs fejlesztése, szö-

vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése,

induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, probléma-

megoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem, kreativitás, kezdeményez®ké-

pesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, csoportos, páros, egyéni

tapasztalatszerzés.

Óra: 144{145. 161{162. 178{179.

A valószín¶ségszámítás fogalmainak el®készítése tapasztalati úton.

Tk. 186/1. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg, mely események bekövetkezése

biztos, lehetséges (de nem biztos), lehetetlen.

Tk. 187/1. feladat: Figyeltessük meg, mely események bekövetkezése biztos, lehetsé-

ges (de nem biztos), lehetetlen.

Megoldás: N: lehet

E: lehet

K: lehetetlen

H: lehet

Tk. 187/2. feladat: Figyeltessük meg, mely események bekövetkezése biztos, lehetsé-


Megoldás: Beszéljük meg, melyik esemény bekövetkezésének van nagyobb valószí-

n¶sége, melyiknek a legkisebb a valószín¶sége.

Gy. 176/1. feladat: Figyeltessük meg, mely események bekövetkezése biztos, lehetsé-


Megoldás: A C esemény a biztos esemény, mert a két legnagyobb dobott szám szor-

zata 6 � 6 = 36, s ez kisebb 37-nél. �Igy a többi lehetséges kéttényez®s

szorzat értéke is biztosan kevesebb 37-nél.

Gy. 176/2. feladat: Figyeltessük meg, mely események bekövetkezése biztos, lehetsé-


Megoldás: A C esemény a biztos esemény, mert a két legnagyobb dobott szám össze-

ge 6 + 6 = 12, s ez kevesebb 20-nál. A többi kéttagú összeg is biztosan

kevesebb 20-nál.

A D a lehetetlen esemény, mert két dobókockával dobott két legnagyobb

szám összege 6 + 6 = 12, s ez kisebb 20-nál, így a többi kéttagú összeg is

kisebb lesz 20-nál.



297


Hányféleképpen?


számlálás, számolás, rendszerezés, kombinativitás, relációszókincs fejlesztése, szö-

vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése,

induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, problé-

mamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gyelem, kreativitás, kezdemé-

nyez®képesség, valószín¶ségi következtetés, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,

pontosság, csoportos, páros, egyéni tapasztalatszerzés.

Óra: 146. 163. 180{181.

Az összes megoldás megkeresését tervszer¶ próbálgatással várhatjuk csak el a tanu-

lóktól.

Tk. 188/1. kidolgozott mintapélda: Figyeljük meg, mely módszerrel található meg

tervszer¶en a feladat összes megoldása.

Tk. 188/2. kidolgozott mintapélda: Figyeljük meg, mely módszerrel található meg

tervszer¶en a feladat összes megoldása.

Tk. 188/1. feladat: Tervszer¶ próbálgatással kerestessük meg az összes megoldást.

Figyeljünk arra, hogy a forgó elfordulhat.

Megoldás:

A következ® 4 esetet nem tekinthetjük különböz®nek, mert ezek ugyanan-

nak a forgónak a 90�-os elforgatottjai.

Tk. 188/2. feladat: Beszéljük meg, hogy mindhárom alkalommal mindkét termésb®l

választhat.

Megoldás: Reggel: d d d m d m m m

Délben: d d m d m d m m

Este: d m d d m m d m

A lehet®ségek száma: 2 � 2 � 2 = 8

Gy. 177/1. feladat: Az els® helyre három, a másodikra kett®, a harmadikra egy lány

közül választhatunk.

Így a lehet®ségek száma: 3 � 2 � 1 = 6




Megoldás: H G E

H E G

E H G

E G H

G E H

G H E

Gy. 177/2. feladat: Kerestessük meg az összes esetet.

Megoldás: a) 1 2 3 : 12, 13, 21, 23, 31 , 32

b) 1 1 2 2 3 3 : 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33

c) 1 2 0 : 10, 12, 20, 21

Beszéljük meg, hogy a harmadik esetben azért van kevesebb megoldás,

mint az els®ben, mert 0-val nem kezd®dik kétjegy¶ szám.

Gy. 177/3. feladat: Négy elemb®l kell hármat kiválasztani úgy, hogy számít a sorrend,

és az elemek nem ismétl®dhetnek.

Az els® helyre 4-, a második helyre 3-, a harmadik helyre 2-féleképpen választhatunk

színt. V = 4 � 3 � 2 = 24 eset van.

Megoldás: p, f, k, f, p, k, k, p, f, z, p, k,

p, f, z, f, p, z, k, p, z, z, p, f,

p, k, f, f, k, z, k, f, z, z, k, f,

p, k, z, f, k, p, k, f, p, z, k, p,

p, z, f, f, z, p, k, z, p, z, f, p,

p, z, k, f, z, k, k, z, f, z, f, k.

Gy. 177/4. feladat: Beszéljük meg: Mindenki 3 másik gyerekkel játszik. Ez 4�3 lehet®ség,

de így mindent kétszer számoltunk, mert például ha Andor játszik Bélával, az ugyanaz

a játszana, mintha Béla játszana Andorral. Így a lehet®ségek száma: 4 � 3 : 2 = 6

Megoldás: Táblázattal: A A A B B Cs

B Cs D Cs D D

Az elemek felsorolásával: A { B

A { Cs B { Cs

A { D B { D Cs { D

Grá�al: A B

C D



299


Kitekintés 200-ig

Óra: 147. 164{165. 182{183.

Erre a témakörre csak abban az esetben kerüljön sor, ha a tanulók biztos szám- és m¶-

veletfogalommal rendelkeznek a 100-as számkörben. Ha most kihagyjuk ezt a fejezetet,

akkor 3. osztályban néhány órával többet kell fordítanunk a számkör b®vítésére.

Tk. 189/Figyeld meg!: Figyeljük meg a kerek tízeseket 100-tól 200-ig.

Tk. 189/1. feladat: Kerek tízesek összehasonlítása, m¶velet kerek tízesekkel.

Megoldás: Nyuszinak: 140 Ft-ja van.

Mókusnak: 180 Ft-ja van.

Süninek: 100 Ft-ja van.

Kismalacnak: 200 Ft-ja van.

a) Igen. 100 + 30 = 130 130 < 140

b) Nem. 100 + 80 = 180 180 > 140

c) Igen. 100 + 80 = 180 180 = 180

d) Igen. 150 < 180

e) Nem. 150 > 100

f) Igen. 80 < 100

g) Igen. 100 + 80 = 180 180 < 200

h) Igen. 150 + 30 = 180 180 < 200

Tk. 190/2. feladat: Figyeljük meg az analógiát a 0 és 100, illetve a 100 és 200 közötti

kerek tízesek között.

Megoldás: 20 40 50 60 100

120 140 150 160 200

Tk. 190/3. feladat: Gra�kon adatainak leolvasása és párosítása a megfelel® állattal a

feladat.

Megoldás: F E C G D A B

Gy. 178/1. feladat: Kerek tízesek 200-ig. �gyeljük meg, melyek tartoznak egybe.

Megoldás: 190 200

180 170

200 180

150 190

170 150

40 40




120 130

90 60

130 120

60 90

Gy. 179/2. feladat: Háromjegy¶ számok helyiérték szerinti bontása.

Megoldás: 120 = 1 százas + 2 tízes + 0 egyes

157 = 1 százas + 5 tízes + 7 egyes




Gy. 179/3. feladat: Háromjegy¶ számok helyiérték szerinti bontása.

Megoldás: 123 145 1102 140 142

Gy. 179/4. feladat: Kerek tízesek helyének megkeresése a számegyenesen.

Megoldás: 110 120 130 140 150 160 170 190

Gy. 179/5. feladat: Beszéljük meg, hogy a kerek tízesek �zethet®k ki csupa tízforintos-

sal.

Megoldás: 170 Ft, 190 Ft, 70 Ft, 200 Ft

Játékos feladatok

Óra: 148. 166. 184{185.

Hasonló játékokkal gyakoroltathatjuk a szám- és m¶veletfogalomról tanultakat páros,

csoportos tevékenységgel.

Tk. 193. oldal: A számfogalomról tanultak gyakorlása a 100-as számkörben. Figyeljük

meg, mi lehet a nyer® stratégia.

Tk. 194. oldal:: M¶veletfogalom gyakorlása az egyenletekbe történ® behelyettesítéssel.



301

matematika 2. módszertani ajánlások, második...

Documents