matematika 3. módszertani ajánlások, első félév

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné

MATEMATIKA 3.

MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK

ELSŐ FÉLÉV

Módszertani ajánlások

A számok 200-ig

Kompetenciák, fejlesztési feladatok:

gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,

szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, tér-

beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, problémaérzékenység, probléma-

megoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képes-

ség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 1{3. 1{3. 1{4.

Felelevenítjük, hogy mit tanultunk 2. osztályban a tízes számrendszerr®l, és kiterjesztjük

a 200-as számkörre. Mélyítjük, tudatosabbá tesszük az egyjegy¶, kétjegy¶ számokról

tanultakat, kialakítjuk a háromjegy¶ szám fogalmát. Cél, hogy a tanulók legyenek képe-

sek helyiérték szerint bontani és képezni a számokat 200-ig. Tudják a számokat szá-

megyenesen ábrázolni, nagyság szerint összehasonlítani, rendezni. Jó, ha ezen rutinok

kialakítását sokoldalú szemléltetéssel, modellezéssel segítjük el®: táblázatba rendezés,

kirakás játék pénzzel, számegyenes használata stb.

Fektessünk hangsúlyt a számok pontos, illetve közelít® helyének megkeresésére a

számegyenesen, igazodva a számegyenes beosztásához. Keressük meg a számok

egyes és tízes szomszédait.

Tk. 5/Emlékeztet®: Beszéljük meg a tízes számrendszer felépítését, azt, hogy matema-

tikaórán ezután is használunk egy- és kétforintost. Játék pénzzel rakjanak ki a tanulók

minél több számot a számfogalom szilárdítása érdekében.

Tk. 5/1. kidolgozott mintapélda: összefoglaljuk, amit a számfogalom alakítása kapcsán

a helyiérték szerinti bontásról eddig tanultunk, kiegészítve analóg példákkal, amelyek

el®segítik a 200-as számkörre való továbblépést.

Tk. 6/1. feladat: A pénzhasználat is segíti a számfogalom fejl®dését. A tantárgyak közötti

koncentrációban kapcsolódik a háztartásismerethez.

Megoldás: 60 80 15 10

6 40 150 10

120 20 200 100

12 200 20 100

Tk. 6/2. feladat: Fontosnak tartjuk, hogy egy szám többféle alakban jelenjen meg a

gyermek el®tt, illetve tudjon egy számot többféle alakban megjeleníteni.

Megoldás: a) 125 = 1 sz + 2 t + 5 e = 1 � 100 + 2 � 10 + 5 � 1 = 100 + 20 + 5

b) 119 = 1 sz + 1 t + 9 e = 1 � 100 + 1 � 10 + 9 � 1 = 100 + 10 + 9

c) 104 = 1 sz + 0 t + 4 e = 1 � 100 + 0 � 10 + 4 � 1 = 100 + 4

Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program

M¶szaki Könyvkiadó, Budapest 2008

1

d) 140 = 1 sz + 4 t + 4 e = 1 � 100 + 4 � 10 + 0 � 1 = 100 + 40

e) 44 = 4 t + 4 e = 4 � 10 + 4 � 1 = 40 + 4

Tk. 6/3. feladat: Hasonló feladatokkal gyakoroltathatjuk a pénzhasználatot.

Megoldás: a) 152 = 1 db 100 5 db 10 2 db 1

b) 115 = 1 db 100 1 db 10 5 db 1

c) 111 = 1 db 100 1 db 10 1 db 1

d) 109 = 1 db 100 0 db 10 9 db 1

e) 155 = 1 db 100 5 db 10 5 db 1

f) 149 = 1 db 100 4 db 10 9 db 1

Tk. 6/4. feladat: Számok összehasonlítása. Ha szükséges rakják is ki játék pénzzel a

tanulók az értékeket, s úgy végezzék el az összehasonlítást.

Megoldás: Anna = 130 Ft >27

Béla = 103 Ft

Cili = 92 Ft <9Dávid = 101 Ft

Eszter =156 Ft

Feri

Tk. 7/5. feladat: Hasonló feladatokat páros és csoportos munkában játszhatnak a tanu-

lók, így szituációs játékban gyakorolhatják a pénzhasználatot.

Megoldás: Andi:100 Bandi: 125 Cili: 200 Dani: 188

a) Mindegyik gyerek vehet egy kosár vadalmát.

b) Cili és Dani vehet egy kosár somot.

c) Andi: Vadalmát vehet.

Bandi: Vadalmát vehet.

Vadkörtét vehet.

Szedret vehet.

Cili: Vadalmát vehet.

Vadkörtét vehet.

Szedret vehet.

Somot vehet.

(Ha több kosár gyümölcsöt is vehet:)

Vadalmát és vadkörtét vehet.

Vadalmát és szedret vehet.

2 Scherlein{Hajdu{Köves{Novák: Matematika 3. Program


Dani: Vadalmát vehet.

Vadkörtét vehet.

Szedret vehet.

Somot vehet.

(Ha több kosár gyümölcsöt is vehet:)

Vadalmát és vadkörtét vehet.

d) Cili: Vadalmát és vadkörtét vehet.

Vadalmát és szedret vehet.

Dani: Vadalmát és vadkörtét vehet.

Tk. 7/6. feladat: Egyesével beosztott számegyenesen megjelölt számok felismertetésé-

vel, illetve adott számok helyének megkeresésével alakítjuk a számfogalom fejl®dését.

Megoldás: a) 40 > 38 > 23 > 17 > 6

b) 140 > 138 > 123 > 117 > 106

c) 99 > 87 > 72 > 59 > 51

d) 199 > 187 > 172 > 159 > 151

Tk. 7/7. feladat: A számegyenesen a számok helyének meg�gyelése segíti az egyes,

illetve tízes szomszédok meghatározását. Az ilyen feladatnál, ha a gyermek igényli, en-

gedjük a számegyenes használatát. Figyeltessük meg, hogy a 0, a 100, a 200 is lehet

egyes, illetve tízes szomszéd, valamint azt is, hogy mely számok lehetnek az el®bb em-

lítetteknek egyes, illetve tízes szomszédaik. A kerekítések el®készítéseként �gyeltessük

meg, hogy az 5-re végz®d® számok a számegyenesen ugyanolyan távol vannak mindkét

tízes szomszédjuktól.

Megoldás: 5 < 6 < 7 70 < 71 < 72

0 < 6 < 10 70 < 71 < 80

14 < 15 < 16 79 < 80 < 81

10 < 15 < 20 70 < 80 < 90

21 < 22 < 23 98 < 99 < 100

20 < 22 < 30 90 < 99 < 100

39 < 40 < 41 102 < 103 < 104

30 < 40 < 50 100 < 103 < 110

58 < 59 < 60 114 < 115 < 116

50 < 59 < 60 110 < 115 < 120

Tk. 8/8. feladat: a számok alakiértékér®l, helyiértékér®l, tényleges értékér®l tanultak al-

kalmazása.

Megoldás: a) 150 b) 109 c) 186 d) 100

e) 120 f) 200 g) 105 h) 100



3

Tk. 8/9. feladat: A számtáblázat segíti a feladatok megoldását. Amennyiben szükséges,

minden feladatnál újra és újra �gyeltessük meg.

Megoldás: a) 10 b) 90 c) 101 d) 21

e) 111 f) 55 g) 100

Tk. 8/10. feladat: Törekedjünk az összes megoldás megkerestetésére. A megoldás kap-

csán feleleveníthetjük az összeadás és a szorzás tulajdonságairól tanultakat. Például 16

megoldása az e) pontnak, akkor a 61 is, mert 1 � 6 = 6, illetve 6 � 1 = 6.

Megoldás: a) 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, 112, 122, 132, 142,

152, 162, 172, 182, 192

b) 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 120, 121, 122, 123,

124, 125, 126, 127, 128, 129

c) 200

d) 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150

e) 16, 23, 32, 61, 116, 123, 132, 161

Tk. 8/11. feladat: Törekedjünk az összes megoldás megkerestetésére.

Megoldás: a) 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

b) 21, 42, 63, 84

c) 12, 24, 36, 48

d) 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97

e) 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79

Gy. 5/1. feladat: A pénzhasználat is segíti a számfogalom fejl®dését. Fontosnak tartjuk,

hogy egy szám többféle alakban jelenjen meg a gyermek el®tt.

Megoldás: 120 120 105

105 25 25

25 105 120

150 125 150

125 150 125

Gy. 5/2. feladat: Fontosnak tartjuk, hogy egy szám többféle alakban jelenjen meg a

gyermek el®tt, illetve tudjon egy számot többféle alakban megjeleníteni.



6/3. feladat: A pénzhasználat is segíti a számfogalom fejl®dését. Fontosnak tartjuk, hogy

egy szám többféle alakban jelenjen meg a gyermek el®tt. A feladatok megoldása során

hívjuk fel a tanulók �gyelmét a számok helyesírására.

Megoldás: 142

10 10 1 1 1 1 142

100 124

10 10 10 10 140

100 10 10 1 1 1 1 1 százhuszonöt

152 százötvenkett®

6/4. feladat: A számok helyiérték szerinti bontását gyakoroltató feladatok. A bontott alak

meg�gyelése segíti a számok összehasonlítását.

Megoldás: sz t e M¶velettel Számmal

1 3 8 100 + 30 + 8 138

1 8 3 100 + 80 + 3 183

1 0 6 100 + 6 106

1 7 0 100 + 70 170

1 6 7 100 + 60 + 7 167

9 5 90 + 5 95

1 5 9 100 + 50 + 9 159



Megoldás: a) 108 = 1 � 100 + 0 � 10 + 8 � 1 180 = 1 � 100 + 8 � 10 + 0 � 1

b) 158 = 1 � 100 + 5 � 10 + 8 � 1 185 = 1 � 100 + 8 � 10 + 5 � 1

c) 163 = 1 � 100 + 6 � 10 + 3 � 1 136 = 1 � 100 + 3 � 10 + 6 � 1

d) 63 = 6 � 10 + 3 � 1 36 = 3 � 10 + 6 � 1

e) 126 = 1 � 100 + 2 � 10 + 6 � 1 162 = 1 � 100 + 6 � 10 + 2 � 1



Megoldás: Bet¶vel sz t e Bontott alakban Szám

Százhetvennyolc 1 7 8 1 � 100 + 7 � 10 + 8 � 1 178

Hetvennyolc 7 8 7 � 10 + 8 � 1 78

Száznyolc 1 0 8 1 � 100 + 0 � 10 + 8 � 1 108

Száznyolcvanhét 1 8 7 1 � 100 + 8 � 10 + 7 � 1 187

Száznyolcvan 1 8 0 1 � 100 + 8 � 10 180

Nyolc 8 8 � 1 8

Hetven 7 0 7 � 10 + 0 � 1 70



5

7/7. feladat: A számok helyiérték szerinti bontását gyakoroltató feladatok. A bontott alak-

ról kell felírni a számokat.

Megoldás: a) 105 150 102 30 120 152

b) 146 164 146 140 160 46 146


segíthet a számok összehasonlításában.

Megoldás: 47 < 48 190 > 109

147 < 148 100 = 100

156 < 165 15 < 105

Gy. 7/9. feladat: Jobb csoportokban megkérdezhetjük, hogy az adott számhalmazon

mely számokra nem igaz az egyenl®tlenség.

Megoldás:

96 < a < 10290 100 110

� � � � �

106 > b > 9290 100 110

� � � � � � � � � � � � �

153 5 c 5 161150 160 170

� � � � � � � � �

200 = d = 185 180 190 200

� � � � � � � � � � � � � � � �

Gy. 8/10. feladat: Egyesével beosztott számegyenesen megjelölt számok felismerteté-

sével, illetve adott számok helyének megkeresésével alakítjuk a számfogalom fejl®dését.

Megoldás: 4 < 52 < 85 < 99 < 106 < 128 < 131 < 175 < 183 < < 197 < 200

Gy. 8/11. feladat: A számegyenesen a számok helyének meg�gyelése segíti az egyes,

illetve tízes szomszédok meghatározását. Az ilyen feladatnál, ha a gyermek igényli, en-

gedjük a számegyenes használatát. Figyeltessük meg, hogy a 0, a 100, a 200 is lehet

egyes, illetve tízes szomszéd, valamint azt is, hogy mely számok lehetnek az el®bb em-

lítetteknek egyes, illetve tízes szomszédaik.

Megoldás: 3 < 4 < 5 0< 4 < 10

51 < 52 < 53 50 < 52 < 60

84 < 85 < 86 80 < 85 < 90

98 < 99 < 100 90 < 99 < 100

105 < 106 < 107 100 < 106 < 110

127 < 128 < 129 120 < 128 < 130

130 < 131 < 132 130< 131 < 140

174 < 175 < 176 170 < 175 < 180

182 < 183 < 184 180< 183 < 190



196 < 197 < 198 190 < 197 < 200

199 < 200 < 201 190 < 200< 210

Gy. 9/12. feladat: A számokat kell meghatározni a kirakott pénz alapján, majd meg kell

keresni a számok helyét egyesével beosztott számegyenesen.

Megoldás: Anna: 114 Ft, Bea: 105 Ft, Cili: 120 Ft, Dóra: 132 Ft

Dórának van a legtöbb pénze.

Beának van a legkevesebb pénze.

Gy. 9/13. feladat: Egyesével beosztott számegyenesen megjelölt számok felismerteté-

sével, illetve adott számok helyének megkeresésével alakítjuk a számfogalom fejl®dését.

Megoldás:

a)

100 130

106; 109; 115; 118; 122; 127

b) 100 + 30 + 2; 100 + 40 + 3; 100 + 50 + 9;

130 160

100 + 30 + 7; 100 + 50 + 6

c) 1 százas + 6 tízes + 2 egyes; 1 százas + 75 egyes;

160 190

16 tízes + 8 egyes; 1 százas + 8 tízes + 7 egyes

d) Százötvenhat; százhetven; százhetvennégy;

150 180

százötvenöt; százhetvenegy

Gy. 9/14. feladat: Az egyjegy¶, kétjegy¶, háromjegy¶ szám fogalmának szilárdítására

szánt feladatsor.

Megoldás:

a) A legkisebb kétjegy¶ szám ! 10 >19 A legnagyobb egyjegy¶ szám.

b) A legnagyobb kétjegy¶ szám ! 99>89

10 A legkisebb kétjegy¶ szám.

c) A legkisebb háromjegy¶ szám ! 100>90

10 A legkisebb kétjegy¶ szám.



7

Hosszúságmérés


rendszerezés, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szöveg-

értés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, deduktív kö-

vetkeztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, fela-

dattartás, �gyelem, énkép, önismeret, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség,

összefüggéslátás, pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.

Óra: 4{5. 4{5. 5{8.

A hosszúságmérésr®l tanultak felidézését konkrét mérésekhez, meg�gyelésekhez kap-

csoljuk.

A hosszúságok összehasonlítása, megmérése, kimérése, összemérése történhet alkal-

milag választott egységgel vagy a szabványmértékegységek közül centiméterrel, deci-

méterrel, méterrel. Minél többet mérnek a gyermekek, annál több tapasztalatuk lesz a

mértékegységek közti kapcsolatról, illetve a mér®szám és a mértékegység közötti kap-

csolatról.

A matematika, a környezetismeret és a technika tananyaga és követelményrendszere

átfedéseket tartalmaz. Sokkal hatékonyabban fejleszthetjük a tanulók ismereteit és ké-

pességeit, ha ennek az anyagrésznek a tárgyalását tanmenetileg is összehangoljuk a

három tantárgyban.

Fontosnak tartjuk, hogy a méréseket minden esetben el®zze meg a hosszúságok becs-

lése, majd a mérést kövesse a becsült érték és a ténylegesen mért eredmény összeha-

sonlítása (ezzel is fejlesztve a gyermekek térbeli tájékozódását). A tanterv statisztikából,

illetve környezetismeretb®l el®írt követelményeit �gyelembevéve az adatokat föltétlenül

dolgozzuk fel statisztikai szempontból is. Például:

Rendezzük nagyság szerint az adatokat, állapítsuk meg a legnagyobb, a legkisebb, il-

letve a középs® értékeket (számtani közép, módusz, medián). Külön színnel ábrázoljuk

és hasonlítsuk össze a lányok és a �úk adatait. Vizsgáljuk meg, hogy melyik érték hány-

szor fordul el® (ezt is ábrázolhatjuk oszlopdiagramon). Mérjük meg év elején, majd év

végén ugyanazokat a dolgokat, például a tanulók testméreteit (testmagasság, fejkörmé-

ret, lábfej hossza stb.). A mérési adatokat ábrázoljuk közös diagramban. Vizsgáljuk a

változásokat.

Tk. 9/1. Emlékeztet®: A hosszúság-mértékegységekr®l tanultakat idézzük fel. Meg�gyel-

tetjük az 1 méter, az 1 deciméter és az 1 centiméter közötti kapcsolatot.

Tk. 9/1. feladat: Mélyítjük a mértékegységekr®l tanultakat becslésekkel, mérési adatok

összehasonlításával.

Megoldás: 1 m < P < 2 m 1 dm < K < 2 dm

2 cm < R < 3 cm 4 m < A < 5 m

10 cm < K < 20 cm 10 m < H < 20 m

Tk. 10/2. feladat: A tankönyvi feladatokat inkább mintapéldáknak tekintsük, és az osztály

tanulóinak adatait rendeztessük különböz® szempontok szerint, ábrázoltassuk gra�ko-



non, végeztessünk statisztikai vizsgálatokat. A feladatok feldolgozásával nagyon össze-

tett nevelési és oktatási célokat érhetünk el: számfogalom elmélyítése, a függvényfo-

galom el®készítése, tapasztalatszerzés elemi statisztikai vizsgálatokról, a matematika

gyakorlati hasznosságának tudatosítása. Kapcsolat a technikával és a környezetisme-

rettel (háztartási ismeretek, egészségtan stb.). Ezért kell® id®t biztosítsunk a feladatok

megoldására.

Megoldás:

Magasságok (cm):

A.K. B.M. B.L. E.E. F.S. H.S. N.L. P.A. P.T. T.P. V.Z. W.A. Z.X.

126, 130, 140, 128, 120, 148, 130, 132, 129, 138, 128, 142, 125

Megoldás: a) 13 b) B.M. és N.L.

c) F.S. d) 5

e) H.S. f) 6

Tk. 11/3. feladat: A tanulók mérjék meg páros, illetve csoportmunkában egymás fejkör-

méretét, s az adatokat hasonlítsák össze a tankönyvben lev® adatokkal.

Megoldás: Mennyi az osztály létszáma? 23 f®

Melyik a leggyakoribb fejkörméret? 50 cm

Melyik a legkisebb fejkörméret az osztályban? 47 cm

Melyik a legnagyobb fejkörméret az osztályban? 53 cm

Hány gyereknek van 48 cm-es fejkörmérete? 4

Hány gyereknek van 50 cm-nél nagyobb fejkörmérete? 7

Tk. 11/4. feladat: Tasziló összegy¶jtött néhány típushibát. Ezek kijavítása mélyíti a mér-

tékegységekr®l tanultakat.

Megoldás: a) 135 dm helyett 135 cm;

b) 5 m helyett 5 cm;

c) 7 cm helyett 7 dm.

d) 8 cm helyett 8 dm.

Tk. 11/5. feladat: Mértékváltások gyakorlása. A folyamatos ismétlések kapcsán sok

ezekhez hasonló feladatot adjunk az ismeretek mélyítésére.

Megoldás: 9 dm < 105 cm < 1 m 2 dm < 127 cm < 15 dm

25 dm < 5 m 2 dm < 6 m < 105 dm

200 cm = 20 dm < 3 m < 49 dm < 9 m

Gy. 10/1. feladat: Mennyiségek ki- és megmérése kapcsán gyakoroltatjuk a vonalzó

használatát. Követeljük meg, hogy a tanulók soha se feledkezzenek meg a becslésr®l,

és törekedjenek a pontos munkavégzésre.

Megoldás: a b c d e f

Mérés (cm) 3 8 4 2 7 3



9

Az a oldalnál hosszabb: b , c , e

Az a oldalnál nem hosszabb: f , d

A b oldal felénél rövidebb: a , d , f

A d oldal kétszeresénél hosszabb: b , e

Gy. 10/2. feladat: Mennyiségek ki- és megmérése kapcsán gyakoroltatjuk a vonalzó

használatát.

Megoldás: 1 dm = 10 cm 1 dm 2 cm = 12 cm

Gy. 11/3. feladat: Konkrét becslések, mérések végrehajtása, az adatok táblázatba ren-

dezése, összehasonlítása.

Gy. 11/4. feladat: Konkrét becslések, mérések végrehajtása, az adatok táblázatba ren-

dezése, összehasonlítása.

Gy. 12/5. feladat: Mértékváltások gyakorlása.

Megoldás: a) 20 dm 42 dm 7 m 5 dm

60 dm 86 dm 2 m 3 dm

b) 50 cm 35 cm 9 dm 1 cm

90 cm 79 cm 5 dm 4 cm

c) 100 cm 115 cm 1 m 28 cm

200 cm 107 cm 1 m 82 cm

Gy. 12/6. feladat: A tankönyvi feladatokat inkább mintapéldáknak tekintsük, és az osz-

tály tanulóinak adatait rendeztessük különböz® szempontok szerint, ábrázoltassuk gra�-

konon, végeztessünk statisztikai vizsgálatokat.

Gy. 13/7. feladat: A tankönyvi feladatokat inkább mintapéldáknak tekintsük, és az osz-




Megoldás: a) 10 cm f) 12 cm

b) 60 cm g) 74 cm

c) 130 cm h) 128 cm

d) 200 cm i) 183 cm

e) 120 cm j) 109 cm


Megoldás: a) 5 dm e) 5 dm 6 cm

b) 10 dm f) 14 dm 0 cm

c) 19 dm g) 10 dm 9 cm

d) 15 dm h) 19 dm 4 cm




Megoldás: a) 10 dm = 100 cm f) 123 cm

b) 14 dm = 140 cm g) 138 cm

c) 11 dm = 110 cm h) 190 cm

d) 19 dm = 190 cm i) 106 cm

e) 12 dm = 120 cm j) 158 cm

Gy. 14/11. feladat: Mértékváltások gyakorlása m¶veletvégzéshez kapcsolva.

Megoldás: a) 9 dm d) 18 dm

b) 5 dm e) 18 dm

c) 1 dm f) 16 dm

Gy. 14/12. feladat: A vonalzóhasználat gyakorlása. Figyeljük a pontos mérésre.

Megoldás: 4 cm hosszú a papírcsík.

a) 12 cm b) 7 cm c) 2 cm

�rtartalommérés





dattartás, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,

pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.

Óra: 6. 7. 9.

Az ¶rtartalommérésr®l a 2. osztályban tanultak áttekintése, felidézése. Becsültessük és

méressük meg, majd hasonlíttassuk össze néhány mindennapi életben használt edény

¶rtartalmát. Méressünk ki adott ¶rtartalmú vizet (homokot vagy f¶részport). Figyeltes-

sük meg az 1 liter, az 1 deciliter és az 1 centiliter közötti kapcsolatot. Beszéljük meg,

hogy a �deci" szót �tized", a �centi" szót �század" értelemben használjuk (ezek latin ere-

det¶ szavak). Ismételjük át a tized, század fogalmakat. Jól gyakoroltassuk be a tanult

mértékegységek átváltását a tanult számkörben. Ebben a témakörben is fontos feladat

a diagramok, gra�konok értelmezése, vizsgálata, készítése, a mérési adatok statiszti-

kai feldolgozása, valamint a mérésekkel kapcsolatos ismeretek alkalmazása szám- és

szöveges feladatokban, kapcsolódva a környezetismerethez és a technikához.

Tk. 12/1. Emlékeztet®: Az ¶rtartalom-mértékegységekr®l tanultakat idézzük fel. Meg�-

gyeltetjük az 1 liter, az 1 deciliter és az 1 centiliter közötti kapcsolatot.





11

Megoldás: 1 l < K < 2 l 80 l < H < 100 l 1 cl < E < 2 cl

1 dl < P < 2 dl 80 cl < Ü < 100 cl 100 dl < V < 200 dl



Megoldás: 3 liter helyett 3 dl.

12 cl helyett 12 l.

200 dl helyett 200 l.

Tk. 13/3. feladat: Becslési és mérési eredmények összehasonlításával mélyítjük az ¶r-

tartalom mértékegységeir®l tanultakat. Figyeltessük meg a mér®szám és a mértékegy-

ség közötti kapcsolatot. Ha ugyanazzal az egységgel nagyobb (kisebb) mennyiséget mé-

rünk, a mér®szám nagyobb (kisebb) lesz. Ha ugyanazt a mennyiséget nagyobb (kisebb)

mér®egységgel mérjük, a mér®szám kisebb (nagyobb) lesz.

Tk. 13/4. feladat: A tanulók a nyilak behúzása el®tt váltsák át a mértékegységeket. Be-

széljük meg, hogy a �nem több" jelentése: �kevesebb vagy ugyanannyi", ezért minden

adatból saját magába visszatér® nyilat is kell rajzolnunk.

Megoldás:

1 l 3 dl 13 dl 13 dl1 l 3 dl

103 cl 1 l 33 cl 1 l 33 cl103 cl

Tk. 13/5. feladat: Mérési adatokból gra�kon készítése, illetve adatok leolvasása a gra�-

konról. Statisztikai adatok elemzése.

Megoldás: a) 8 db 5 dl-es, 12 db 2 dl-es és 4 db 1 l-es üveg van.

b) 5 � 8 dl = 40 dl

12 � 2 dl = 24 dl

4 � 1 l = 4 l = 40 dl

c) 8 + 12 + 4 = 24 24 üveg paradicsom van.

d) 40 + 24 + 40 = 104 dl 104 dl paradicsom van.




Megoldás: a) 10 dl b) 10 cl c) 100 cl

80 dl 70 cl 200 cl

180 dl 120 cl 50 cl

d) 60 dl e) 4 l f) 5 dl

130 dl 12 l 16 dl

200 dl 16 l 18 dl


Megoldás: a) 4 l 5 dl b) 9 dl 2 cl c) 1 l 50 cl

3 l 0 dl 5 dl 0 cl 1 l 25 cl

15 l 8 dl 11 dl 1 cl 2 l 0 cl

d) 12 dl e) 143 cl f) 175 cl

59 dl 120 cl 118 cl

25 dl 105 cl 90 cl


Megoldás: a) 156 cl d) 1 l 7 dl 6 cl

b) 174 cl e) 1 l 8 dl 4 cl

c) 106 cl f) 1 l 0 dl 9 cl

Gy. 15/4. feladat: Mértékváltások gyakorlása táblázat kitöltésével.

Megoldás:

Pohár (cl) 4 40 50 5 50 15 15 30 100 10 0 150

Üveg (dl) 1 2 7 10 10 10 5 17 8 19 5 3

Kancsó (cl) 14 60 120 105 150 115 65 200 180 200 50 180

Gy. 15/5. feladat: Mértékváltások gyakorlása táblázat kitöltésével.

Megoldás:

Kancsóban volt(dl) 20 10 15 5 15 15 8 18 10 16 10

Kiöntöttbel®le (cl) 20 70 10 10 150 100 70 70 100 100 30

Maradt (dl) 18 3 14 4 0 5 1 11 0 6 7



13

Tömegmérés





dattartás, �gyelem, énkép, önismeret, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség,

összefüggéslátás, pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.

Óra: 7. 8. 10{11.

A tömegmérésr®l tanultak ismétlését is célszer¶ összehangolni a környezetismeretben

ebben a témakörben tanultakkal. �Igy ezt az anyagrészt környezetismeret-órával össze-

vonva két órában igen hatékonyan dolgozhatjuk fel.

A tanulók tanulják meg a fürd®szobamérleg használatát saját tömegük mérésére, illetve a

konyhamérleg használatát tárgyak megmérésére, kimérésére. (A �deka" és a �kilo" görög

eredet¶ szavak jelentését csak kés®bb tudjuk megbeszélni.)

Jól gyakoroltassuk be a tanult mértékegységek átváltását a tanult számkörben. Ebben a

témakörben is fontos feladat a diagramok, gra�konok értelmezése, vizsgálata, készítése,

a mérési adatok statisztikai feldolgozása, valamint a mérésekkel kapcsolatos ismeretek

alkalmazása szám- és szöveges feladatokban, kapcsolódva a környezetismerethez és a

technikához.

Tk. 14/1. Emlékeztet®: A tömeg-mértékegységekr®l tanultakat idézzük fel. Meg�gyel-

tetjük az 1 kilogramm és az 1 dekagramm közötti kapcsolatot. A �század" fogalmát a

�részekre osztás" fogalmára támaszkodva részletesen el kell magyaráznunk. A felada-

tok megoldását el®zze meg a gyermek környezetében lév® tárgyak tömegének becslése,

mérése, összehasonlítása.



Megoldás: 90 dkg < N, K < 110 dkg 100 dkg < N, K < 200 dkg

50 kg < F < 100 kg 5 dkg < T < 10 dkg

20 kg < Gy < 30 kg 10 dkg < A < 20 dkg



Megoldás: 12 dkg helyett 12 kg.

100 dkg helyett 10 kg.

5 kg helyett 5 dkg.

Tk. 15/3. feladat: A tankönyvi részben lév® feladat a tömegméréssel kapcsolatos statisz-

tikai elemzésekre mutat példát, míg a gyakorlóban lév® feladatok megoldása feltételezi

a tényleges vizsgálat elvégzését:



mérés, adatgy¶jtés, az adatok lejegyzése;

a mért adatok nagyság szerinti rendezése;

az adatok ábrázolása gra�konon, a �úk és lányok adatainak megkülönböztetése.

További vizsgálatok lehetnek:

a sorban középs® érték (medián) meghatározása;

a legnagyobb és a legkisebb érték közti különbség (terjedelem) meghatározása;

a lányok és a �úk adatainak összehasonlítása.

Érdekes lehet a mérések év végi megismétlése és a két adatsor összehasonlítása.

Megoldás: Mért tömegek: 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4

5 6 8 9 9 0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 6 6 7 8 8 0 6

Megoldás: a) 34 kg d) 34 kg

b) 30 kg e) 46 kg minusz 25 kg = 21 kg

c) 36 kg

Tk. 15/4. feladat: A tankönyvi feladatokat inkább mintapéldáknak tekintsük, és az osz-



Megoldás: a 4 lány, 1 �ú, összesen 5 gyerek

b 4 lány, 6 �ú, összesen 10 gyerek

c 4 lány, 2 �ú, összesen 6 gyerek

d 0 lány, 1 �ú, összesen 1 gyerek

e 0 lány, 1 �ú, összesen 1 gyerek


Megoldás: a) 100 dkg b) 2 kg 0 dkg

140 dkg 1 kg 65 dkg

104 dkg 1 kg 9 dkg

Gy. 16/2. feladat: A feladatok megoldása feltételezi a tényleges vizsgálat elvégzését:

mérés, adatgy¶jtés, az adatok lejegyzése; a mért adatok nagyság szerinti rendezése.

Gy. 16/3. feladat: A feladatok megoldása feltételezi a tényleges vizsgálat elvégzését:

az adatok ábrázolása gra�konon, a �úk és lányok adatainak megkülönböztetése. Tanév

elején és tanév végén is végezzük el a méréseket, és vessük össze az eredményeket.

Gy. 17/4. feladat: A különböz® mennyiségek és mér®eszközeik párosítása. átismételjük,

mit mivel mérünk. Elevenítsük fel a mérésr®l, mér®eszközökr®l, mennyiségekr®l (mérték-

egység és mér®szám), különböz® mennyiségek mértékegységeir®l tanultakat.

Megoldás: 3 kg 48 dkg mérleg

2 dl 4 cl mér®edény

5 m 3 dm 4 cm méterrúd

5 óra 15 perc óra



15

Gy. 17/5. feladat: A különböz® mennyiségek és mér®eszközeik párosítása. átismételjük,

mit mivel mérünk. Elevenítsük fel a mérésr®l, mér®eszközökr®l, mennyiségekr®l (mérték-

egység és mér®szám), különböz® mennyiségek mértékegységeir®l tanultakat.

Megoldás: ¶rtartalom: liter, deciliter

Id®tartam: perc, nap

Hosszúság: méter, deciméter

Tömeg: kilogramm, dekagramm

Gy. 17/6. feladat: Hasonló feladatokkal, konkrét mérésekkel egyre pontosabbá válhat a

tanulók becslése.

Megoldás: Pohár tej: 2 dl (lehet ekkora az ¶rtartalma),

20 dkg (ennyi lehet a tömege),

5 perc (ennyi id® alatt tudom meginni).

Szelet kenyér: 3 dkg (lehet ekkora a tömege),

5 perc (ennyi id® alatt tudom megenni),

1 cm (ilyen vastag lehet).

Gy. 17/7. feladat: A tanulók számára érdekes és tanulságos lehet, ha ezeket az adatokat

év végén is megmérjük, és az eredményeket összehasonlítjuk. (Kapcsolat a környezet-

ismeret követelményeivel.) Testnevelésórán egyéb adatokat is megmérhetünk.

Kerek tízesek összeadása, kivonása 200-ig


Gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése,


beli viszonyok meg�gyelése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problé-

maérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®ké-

pesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló mun-

kavégzés.

Óra: 8{9. 9{10. 12{15.

Ismételjük át és egészítsük ki a térgeometriai ismeretek közül a testekr®l, a téglatestr®l

és a kockáról tanultakat. A különböz® testek, köztük a téglatest és speciálisan a kocka

lapjainak vizsgálatával el®készítjük a testháló fogalmának kialakítását. Figyeltessük meg,

hogy a kocka speciális téglatest.

Elevenítsük fel, majd b®vítsük ki a síkgeometriai ismeretek közül a síkidom, a négy-

szög fogalmát, a téglalap és a négyzet fogalmát. Vizsgáltassuk meg a síkidomok tulaj-

donságait, ismertessük fel a téglalap és speciálisan a négyzet tengelyes szimmetriáját.

Rajzoltassuk meg a tükörtengelyeiket. Ismételten tudatosítsuk, hogy a négyzet speciális

téglalap.



Figyeljünk arra, hogy a tanulók helyesen használják az elnevezéseket. (Tanítsuk meg

az egyenes és a szakasz fogalma közti különbséget. A téglalapnak oldalai és csúcsai

vannak, a téglatestnek élei, lapjai és csúcsai.)

A hasábok, f®leg a téglatest, kocka tulajdonságait) vizsgálva kerestessünk párhuzamos,

metsz®, mer®legesen metsz® és kitér® éleket; párhuzamos, metsz®, mer®leges lapokat.

Tk. 16/1. kidolgozott mintapélda: Az összeadásnál az analóg számítások szemlélteti

a feladat.

Tk. 16/1. feladat: Az összeadásnál az analóg számítások gyakoroltatására pénzhasz-

nálattal. Ha szükséges több hasonló feladatot adjunk a tanulóknak.

Megoldás: 4 + 3 = 7 14 + 3 = 17 7 + 5 = 12

40 + 30 = 70 140 + 30 = 170 70 + 50 = 120

Tk. 16/2. feladat: Az összeadásnál az analóg számítások gyakoroltatására számegye-

nesen történ® lépegetéssel.

Megoldás: 10 + 5 = 15 100 + 50 = 150

6 + 8 = 14 60 + 80 = 140

Tk. 17/2. kidolgozott mintapélda: A kivonásnál az analóg számítások szemlélteti a fel-

adat.

Tk. 17/3. feladat: A kivonásnál az analóg számítások gyakoroltatására pénzhasználattal.

Ha szükséges több hasonló feladatot adjunk a tanulóknak.

Megoldás: 6 { 2 = 4 16 { 2 = 14 12 { 6 = 6

60 { 20 = 40 160 { 20 = 140 120 { 60 = 60

Tk. 17/4. feladat: A kivonásnál az analóg számítások gyakoroltatására számegyenesen

történ® lépegetéssel.

Megoldás: 20 { 7 = 13 200 { 70 = 130

16 { 9 = 7 160 { 90 = 70

Tk. 18/5. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére. Figyeltessük meg

az összeg változásait.

Megoldás: a) 7 70 b) 9 90

17 170 19 190

17 170 19 190

Tk. 18/6. feladat: A szöveggel adott függvény megoldása során �gyeltessük meg az

összeadás és a kivonás közti kapcsolatot. A szöveg alapján mondassuk el, majd írassuk

le a �matematika nyelvén" a szabály többféle alakját. Beszéljük meg, hogy mit jelent a

bet¶szimbólum. Például a �P" nem a persely rövidítése, hanem a perselyben lév® pénzé.

Figyeljük meg, mennyire képesek a tanulók követni a szabályt.



17

Megoldás: A szabály: P + T = Ö; T + P = Ö; Ö { P = T; Ö { T = P.

Persely (Ft) 80 180 30 30 120 50 60 30 80

Pénztárca (Ft) 20 20 70 170 40 130 40 130 110

Összesen (Ft) 100 200 100 200 160 180 100 160 190

Tk. 18/7. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére. Figyeltessük meg

a különbség változásait.

Megoldás: a) 2 20 b) 2 20

12 120 12 120

2 20 2 20

Tk. 18/8. feladat: A szöveggel adott függvény megoldása során �gyeltessük meg az

összeadás és a kivonás közti kapcsolatot.

Megoldás: Szabály: P + T = Ö; T + P = Ö; Ö { P = T; Ö { T = P.

Volt (Ft) 100 200 90 190 150 150 180 150 150

Sütemény(Ft) 50 50 60 160 40 140 110 110 140

Maradt (Ft) 50 150 30 30 110 10 70 40 10

Tk. 18/9. feladat: Kreatív gondolkodást fejleszt®, optimumszint¶ feladat. Kerestessünk

többféle megoldást! Figyeltessük meg (szemléltetéssel), hogy ha az ábrákat elforgatjuk,

tükrözzük, akkor csak látszólag kapunk más megoldást.

Megoldás:

90 40 70

60 80

50

200

30 70 100

80 40

90 50 60

200

70 30 100

80 40

50 90 60

200

Gy. 18/1. feladat: A pénzhasználat szemléletessé teszi a m¶veletvégzést. Az eszközö-

ket csak addig használjuk, amíg a gyermek igényli. A képr®l két összeadás írását várjuk

el a tanulóktól.

Megoldás: a) 70 + 60 = 130 b) 120 + 50 = 170

60 + 70 = 130 50 + 120 = 170

Gy. 18/2. feladat: A pénzhasználat szemléletessé teszi a m¶veletvégzést. A képr®l két

kivonás írását várjuk el a tanulóktól.

Megoldás: a) 160 { 40 = 120 160 { 120 = 40



b) 150 { 110 = 40 150 { 40 = 110

c) 140 { 60 = 80 140 { 80 = 60

Gy. 18/3. feladat: A pénzhasználat szemléletessé teszi a m¶veletvégzést. A képr®l leg-

alább két összeadás és két kivonás írását várjuk el a tanulóktól.

Megoldás: a) 140 + 30 = 170 b) 130 + 50 = 180

30 + 140 = 170 50 + 130 = 180

170 { 140 = 30 180 { 130 = 50

170 { 30 = 140 180 { 50 = 130

140 >110

30 180 >130

50

140 { 110 = 30 180 { 130 = 50

30 <110

140 50 <130

180

30 + 110 = 140 50 + 130 = 180

Gy. 19/4. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére. Figyeltessük meg


Megoldás: a) 9 90 190

b) 10 100 200

c) 7 70 170

d) 10 100 200

e) 9 90 190




b) 15 96 150

c) 14 140 68

d) 16 79 160

e) 12 84 120



Megoldás: a) 18 180

b) 20 128

c) 16 79

d) 15 150

Gy. 19/7. feladat: Szöveges feladatok az összeadás, kivonás köréb®l. A megoldás lé-

péseit jelzi a könyv. Az egy m¶velettel megoldható (nehezítést nem tartalmazó) egy-

szer¶ szöveges feladatok megoldása minimumkövetelmény. Természetesen év elején



19

még nem mindegyik tanuló képes önállóan megbirkózni ezekkel a szöveges feladatok-

kal. Ezért eleinte a megoldások során újra és újra tudatosítsuk a szöveges feladatok

megoldásának a menetét.

Megoldás: a) Adatok: A = 40 Ft, A <

80 Ft-talJ, J = ?

Terv: J = A + 80

Számolás: J = 40 + 80 J = 120 Ft

Válasz: 120 Ft-ja van Julinak.

Megoldás: a) Adatok: B = 50 Ft, K = 70 Ft, ö = ?

Terv: ö = B + K

Számolás: ö = 50 + 70 ö = 120 Ft

Válasz: 120 Ft-juk van együtt.




b) 13 130 175

c) 5 50 113

d) 6 60 141



Megoldás: a) 3 30 5 50

b) 8 80 9 90

c) 5 50 8 80

d) 1 10 8 80

Gy. 20/10. feladat: Analóg számítások a számolási rutin fejlesztésére.

Megoldás: a) 140 150 130 140

b) 90 100 80 90

c) 130 130 50 130

d) 170 170 90 110

e) 170 70 90 190


Megoldás: a) 6 60

b) 2 20

c) 4 40





20 10 90

18 30 50

b) 15 50 200

12 80 200

13 40 170


péseit jelzi a könyv.

Megoldás: a) Adatok: v = 140 Ft, t = 70 Ft, m = ?

Terv: m = v { t

Számolás: m = 140 { 70 = 70

Ellen®rzés: 70 + 70 = 140

Válasz: 70 Ft-ja maradt Nórának.

Megoldás: b) Adatok: B = 150 Ft, B >

80 Ft-talé, é = ?

Terv: é = B { 80

Számolás: é = 150 { 80 é = 70 Ft

Ellen®rzés: 70 + 80 = 150

Válasz: 70 Ft-ja van Édának.

Megoldás: a) Adatok: D = 70 Ft, D <

40 Ft-talG, G = ?

Terv: G = D + 40

Számolás: G = 70 + 40 G = 110Ft

Ellen®rzés: 110 { 40 = 70

Válasz: 110 Ft-ja van Gabinak.

Gy. 21/14. feladat: A szöveggel adott függvény megoldása során �gyeltessük meg az

összeadás és a kivonás közti kapcsolatot. A szöveg alapján mondassuk el, majd írassuk

le a �matematika nyelvén" a szabály többféle alakját.

Megoldás: a) Szabály: D + E = 150, E +D = 150, 150 { D = E, 150 { E = D

D (Ft) 120 130 50 0 10 40 60 70 1

E (Ft) 30 20 100 150 140 110 90 80 149



21

b) B >

60C, B { 60 = C, C <

60B, c + 60 = B,

C + 60 = B, B { C = 60

B (Ft) 100 180 140 60 120 160 130 190 200 65

C (Ft) 40 120 80 0 60 100 70 130 140 5


péseit itt is várjuk el a tanulóktól.

Megoldás: a) Adatok: e = 80 cm, m = 120 cm, ö = ?

Terv: ö = e + m

Számolás: ö = 80 + 120 ö = 200 cm = 2 m

Válasz: 200 cm hosszú csövet kaptunk.

b) Adatok: v = 200 cm, l = 50 cm, m = ?

Terv: m = v { l

Számolás: m = 200 { 50 vagy m = 150 cm

Ellen®rzés: 150 + 50 = 200

Válasz: 150 cm hosszú léc maradt.

c) Adatok: t = 150 m, e = 60 m, h = ?

Terv: h = t { e

Számolás: h = 150 { 60 h = 90 m

Ellen®rzés: 90 + 60 = 150

Válasz: 90 m járdát kell még elkészíteni.

d) Adatok: ö = 120 dkg, k = 80 dkg, r = ?

Terv: r = ö { k r + k = ö

Számolás: r = 120 { 80 r = 40 dkg

Ellen®rzés: 40 + 80 = 120

Válasz: 40 dkg a rozscipó tömege.

e) Adatok: ö = 90 cm, ö <4 dm = 40 cm-rel

J, J = ?

Terv: J = ö + 40

Számolás: J = 90 + 40 J = 130 cm

Ellen®rzés: 90 < 130 40 cm-rel

Válasz: 130 cm magas Jutka.

f) Adatok: a = 70 cm, r = 6 � 5 cm, e = ?

Terv: e = a + r

Számolás: e = 70 + 6 � 5 e = 100 cm = 1 m

Válasz: 1 m-re van a padlótól az ötforintos



Gy. 21/16. feladat: Beszéljük meg, hogy a mennyiségekkel kapcsolatos szöveges fela-

datok adatainak lejegyzésekor ügyelni kell a mértékegységek egyeztetésére. Az adatok

lejegyzése lehet egy megfelel® ábra, vagy táblázat is. A számításokat a mér®számok-

kal végezzük. Itt nem célszer¶ jelölni a mértékegységeket. A szöveges válaszban az

eredmény tükrében újra kell értelmezni a szöveget, ekkor a mér®szám �visszanyeri" a

dimenzióját. Megint fontos, hogy a mennyiség tartalmazza a mértékegységet is.

Megoldás: a) Adatok: Rajzon: 2 m = 20 dm, 5 dm,

Terv: m = v { l

Számolás: m = 20 { 5 m = 15 dm

Válasz: 15 dm hosszú szalag marad.

b) Adatok: Rajzon: 15 m, 40 dm = 4 m,

Terv: t = e +m

Számolás: t = 15 + 4t = 19 m

Válasz: 19 m-re van a két juharfa egymástól.

Kerek tízesek hozzáadása, elvétele


számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szövegér-

telmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gye-

lése, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, problé-

mamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®ké-

pesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettu-

datosságra nevelés.

Óra: 10{11. 11{12. 16{27.

Az összeadás és a kivonás gyakorlása a 200-as számkörben. Kerek tízesek hozzáadása

egy számhoz, kivonása egy számból. Analóg számítások végzése: a 100-as számkör-

ben, illetve a kerek tízesekkel végzett m¶veletek során elsajátított számolási eljárásokat

és az összeg, különbség változásairól tanultakat alkalmazva léphetünk tovább. A tanul-

tak alkalmazása összetett szám- és szöveges feladatok megoldásában sorozatok foly-

tatásában, táblázatok kiegészítésében. A szöveges feladatok alkalmasak a különböz®

mennyiségekr®l és mértékegységekr®l tanultak folyamatos ismétlésére.

Tk. 21/1. kidolgozott mintapélda: Figyeljük meg az analógiákat. Ezek alkalmazása biz-

tosabbá teszi a m¶veletvégzést. Kés®bb a számkör b®vítésénél építhetünk az itt szerzett

tapasztalatokra.

Tk. 21/1. feladat: Az összeadásnál az analóg számítások gyakoroltatására pénzhasz-

nálattal. Ha szükséges több hasonló feladatot adjunk a tanulóknak.



23

Megoldás: 70 + 26 = 96 60 + 19 = 79 30 + 53 = 83

170 + 26 = 196 160 + 19 = 179 30 + 153 = 183

Tk. 21/2. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó tagok pótlá-

sával.

Megoldás: 26 60 12 40

126 60 112 40

10 21 40 43

110 21 140 43

Tk. 22/3. feladat: A kivonásnál az analóg számítások gyakoroltatására pénzhasználattal.

Ha szükséges több hasonló feladatot adjunk a tanulóknak.

Megoldás: 36 { 20 = 16 74 { 10 = 64 63 { 23 = 40

136 { 20 = 116 174 { 110 = 64 163 { 23 = 140

Tk. 22/4. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó kisebbítend®,

illetve kivonandó pótlásával.

Megoldás: 40 39 46 35

40 139 146 135

26 70 82 75

26 170 182 175

Tk. 22/5. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor sorozatok folytatásával.

Megoldás: A sorozat mindig 20-szal növekszik.

27, 47, 67, 87, 107, 127, 147.

A sorozat mindig 30-cal csökken.

196, 166, 136, 106, 76, 46

Tk. 22/6. feladat: Ismét beszéljük meg a szöveges feladat megoldásmenetét.

Megoldás: a) Adatok: A = 58, A <

30-calB, B = ?

Terv: B = A + 30

Számolás: B = 58 + 30 B = 88

Válasz: 88 képeslapja van Beának.

b) Adatok: C = 58, C >

30-calD, D = ?

Terv: D = C { 30

Számolás: D = 58 { 30 D = 28

Válasz: 28 szalvétája van Dórának.



Tk. 22/7. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor táblázat kitöltésével.

Fogalmaztassuk meg a szabályt többféle alakban.

Megoldás: Szabály: I + J = 156, J + I = 156, 156 { I = J, 156 { J = I

I (dkg) 110 66 70 150 1 16 126 151 46 100

J (dkg) 46 90 86 6 155 140 30 5 110 56

Gy. 23/1. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt az összeadás gyakorlására. Fi-

gyeltessük meg az összeg változásait.

Megoldás: a) 80 180 180

85 185 185

b) 60 160 160

66 166 166

c) 130 150 130

133 154 138

Gy. 23/2. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt a kivonás gyakorlására. Figyeltes-

sük meg a különbség változásait.


55 155 55

b) 30 130 30

33 133 33

c) 80 60 60

86 68 69

Gy. 23/3. feladat: Hasonlítsuk össze az összegeket. Figyeljük meg a változásokat.

Megoldás: a) 130 < 135 140 < 143

b) 114 = 114 186 = 186

Gy. 23/4. feladat: Hasonlítsuk össze a különbségeket. Figyeljük meg a változásokat.

Megoldás: a) 30 < 34 130 < 134

b) 70 < 76 30 < 34

c) 50 > 41 14 = 14

Gy. 24/5. feladat: Egyenes, illetve fordított szövegezés¶, egy m¶velettel megoldható

egyszer¶ szöveges feladatok. Egy-egy összetartozó feladatsort célszer¶ egy órán föl-

dolgoztatni. A feladatok megoldása során ne elégedjünk meg csupán az eredménnyel,

hanem kérjük számon a feladatmegoldás lépéseit.



25

Megoldás: a) Adatok: C = 65 Ft, D <

50 Ft-talC, D = ?

Terv: D = C { 50

Számolás: D = 65 { 50 D = 15 Ft

Ellen®rzés: 15 + 50 = 65

Válasz: 15 Ft-ja van Dórának.

b) Adatok: E = 87 Ft, E <

30 Ft-talF, F + ?

Terv: F = E + 30

Számolás: F = 87 + 30 F = 117 Ft

Válasz: 117 Ft-ja van Ferinek.

c) Adatok: G = 87 Ft, G >

30 Ft-talH, H = ?

Terv: H = G { 30

Számolás: H = 87 { 30 H = 57 Ft

Ellen®rzés: 57 + 30 = 87

Válasz: 57 Ft-ja van Gábor húgának.

d) Adatok: I = 90 Ft, J = 156 Ft, k = ?

Terv: k = J { I

Számolás: k = 156 { 90 k = 66 Ft I <

66 FtJ

Ellen®rzés: 66 + 90 = 156

Válasz: Jutkának 66 Ft-tal több pénze van.

e) Adatok: E = 150 Ft, L = 90 Ft, K = ?

Terv: K = E { L

Számolás: K = 150 { 90 K = 60 Ft

Ellen®rzés: 60 + 90 = 150

Válasz: 60 Ft-ja van Karcsinak.

Gy. 24/6. feladat: Összetett szöveges feladatok, amelyek megoldása során alkalmazzuk

a m¶veleti sorrendr®l tanultakat. Szoktassuk rá a tanulókat, hogy az adatok kigy¶jtésénél

hajtsák végre a szükséges mértékváltásokat.

Megoldás: a) Adatok: v = 118 Ft, r = 30 Ft, k = 50 Ft, m = ?

Terv: m = v { r { k

Számolás: m = 118 { 30 { 50 m = 38 Ft

Ellen®rzés: 38 + 30 + 50 = 118 Ft

Válasz: 38 Ft-ja maradt Marikának.

b) Adatok: v = 118 Ft, e = 30 Ft, k = 50 Ft, l = ?

Terv: l = v { e + k



Számolás: l = 118 { 30 + 50 l = 138 Ft

Válasz: 138 Ft-ja lett Norbinak.

c) Adatok: v = 118 Ft, k = 30 Ft, e = 50 Ft, m = ?

Terv: m = v + k { e

Számolás: m = 118 + 30 { 50 m = 98 Ft

Válasz: 98 Ft-ja maradt Orsolyának.

d) Adatok: v = 118 Ft, k = 30 Ft + 50 Ft, l = ?

Terv: l = v + k

Számolás: l = 118 + 30 + 50 l = 198 Ft

Válasz: 198 Ft-ja lett ödönnek.

Gy. 24/7. feladat: Táblázattal adott számpárokhoz szabály keresése, szabály alapján a

táblázat kitöltése.

Megoldás: Szabály: a { 50 = b, b + 50 = a, 50 + b = a, a { b = 50

a 106 132 200 113 158 121 185 197 146 93

b 56 82 150 63 108 71 135 147 96 43

Egyjegy¶ számok hozzáadása, elvétele







kavégzés.

Óra: 12. 13. 18.

100-as számkörben kétjegy¶ számok és egyjegy¶ számok összege, különbsége tízesek

átlépésével is, majd ennek analógiájára a 100-nál nagyobb számok és egyjegy¶ számok

összege, különbsége tízesek átlépésével is. Külön gyakoroltassuk a 100 átlépését.

Figyeltessük meg az összeg és a különbség változásait.

Tk. 23/1. kidolgozott mintapélda: Figyeljük meg az analógiákat. Ezek alkalmazása biz-

tosabbá teszi a m¶veletvégzést. Kés®bb a számkör b®vítésénél építhetünk az itt szerzett

tapasztalatokra.

Tk. 23/1. feladat: Figyeltessük meg az analógiákat. Ha szükséges, szemléltessük a fel-

adatot játék pénzzel.



27

Megoldás: 46 + 4 = 50 68 + 7 = 75 146 + 4 = 150 168 + 7 = 175

4 + 46 = 50 7 + 68 = 75 4 + 146 = 150 7 + 168 = 175

50 { 4 = 46 75 { 7 = 68 150 { 4 = 146 175 { 7 = 168

50 { 46 = 4 75 { 68 = 7 150 { 146 = 4 175 { 168 = 7

46 >442 68 >

761 146 >

4142 168 >

7161

46 { 42 = 4 68 { 7 = 61 146 { 142 = 4 168 { 7 = 161

4 <42

46 7 <61

68 4 <142

146 7 <161

168

4 + 42 = 46 7 + 61 = 68 4 + 142 = 146 7 + 161 = 168

Tk. 23/2. feladat: Figyeltessük meg az analógiákat. Ha szükséges, szemléltessük a fel-

adatot számegyenesen lépegetéssel.

Megoldás: 56 + 8 = 64 73 { 8 = 65

156 + 8 = 164 173 { 8 = 165

97 + 8 = 105 103 { 8 = 95

Tk. 24/3. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó tagok pótlá-

sával.

Megoldás: 6 6 42 86

6 6 142 186

6 6 58 69

6 6 158 169

Tk. 24/4. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a hiányzó kivonandó,

illetve kisebbítend® pótlásával.


3 3 184 142

7 8 75 32

7 8 175 132

Tk. 24/5. feladat: Egyenlettel adott függvény értékeinek kiszámítása. �Irassuk fel a sza-

bályt többféle alakban.

Megoldás: Szabály: a + 6 = b, 6 + a = b, b { 6 = a, b { a = 6,

a <

6b, b >

6a

a 32 39 54 120 137 106 98 97 95 99

b 38 45 60 126 143 112 104 103 101 105

Tk. 24/6. feladat: Szöveges feladatok. A megoldás során törekedjünk az önálló munka-

végzésre, betartva a szöveges feladatok megoldásának tanult lépéseit.



Megoldás: a) Adatok: P = 1 m 34 cm = 134 cm, P <

8 cm-relR, r = ?

Terv: R = P + 8

Számolás: R = 134 + 8 R = 142 cm

Válasz: 142 cm = 1 m 4 dm 2 cm magas Réka.

b) Adatok: S = 13 dm 4 cm = 134 cm, S >

8 cm-relT, T = ?

Terv: T = S { 8

Számolás: T = 134 { 8 T = 126 cm

Ellen®rzés: 126 + 8 = 134

Válasz: 126 cm = 1 m 2 dm 6 cm magas Tibi.

c) Adatok: v = 15 dl = 150 cl, k = 5 cl, m = ?

Terv: m = v { k

Számolás: m = 150 { 5 m = 145 cl

Ellen®rzés: 145 + 5 = 150

Válasz: 145 cl = 1 l 4 dl 5 cl víz maradt az edényben.

d) Adatok: v = 1 l 50 cl = 150 cl, h = 5 dl = 50 cl, l = ?

v = 1 l 50 cl = 15 dl, h = 5 dl, l = ,

Terv: l = v + h

Számolás: l = 150 + 50 l = 200 cl

l = 15 + 5 l = 20 dl

Válasz: 200 cl = 20 dl = 2 l víz lett az edényben.

e) Adatok: n = 126 dkg, n <9 dkg

a, a = ?

Terv: a = n + 9

Számolás: a = 126 + 9 a = 135 dkg

Válasz: 135 dkg = 1 kg 35 dkg volt az alma.

f) Adatok: a = 126 kg, a >9 kg-mal

sz, sz = ?

Terv: sz = a { 9

Számolás: sz = 126 { 9 sz = 117 kg

Ellen®rzés: 117 + 9 = 126

Válasz: 117 kg sz®l®t vitt a keresked® a piacra.

g) Adatok: v = 1 m 45 cm = 145 cm, l = 5 dm = 50 cm, m = ?

Terv: m = v { l

Számolás: m = 145 { 50 m = 95 cm

Ellen®rzés: 95 + 50 = 145

Válasz: 95 cm = 9 dm 5 cm hosszú szalag marad.



29

Gy. 25/1. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor az összeadás gyakor-

lására.


173 180 182

b) 68 70 75

168 170 175

c) 98 100 102

99 100 103

Gy. 25/2. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor a kivonás gyakorlására.


160 162 159

b) 73 70 67

173 170 167

c) 103 100 99

102 100 98

Gy. 25/3. feladat: Hiányos összeadás és kivonás gyakorlására, az összeadás és a ki-

vonás közötti kapcsolat elmélyítésére szánt feladatok. A feladat megoldását a kapott

eredmény behelyettesítésével ellen®riztessük!


4 4 183

b) 5 5 175

3 3 193

Gy. 25/4. feladat: Sorozat folytatása adott szabály alapján.

Megoldás: a) 60, 110, 150, 200

b) 130, 100, 93, 63

c) + 80, + 7, + 80, + 7

d) { 50, + 8, { 50, + 8

Összeadás, kivonás a 200-as számkörben







kavégzés, énkép, önismeret, környezettudatosságra nevelés.



Óra: 13{16. 14{17. 19{22.

A szóbeli számolási eljárások tanulásának befejezéseként tetsz®leges kétjegy¶ számok

összegét, különbségét számoljuk ki a 200-as számkörben.

Többféle megoldási modellt mutatunk a számok összegének és különbségének kiszámí-

tására a tízesek és a 100 átlépésével is a 200-as számkörben.

A gyermekek többségénél hagyjuk, hogy saját maguk válasszák ki a számukra leg-

könnyebben követhet® modellt.

Lehetséges, hogy feladattípustól függ®en alkalmazzák a különböz® modelleket. Egy mo-

dellt csak azokkal a tanulókkal gyakoroltassunk, akiknek nehezen megy a számolás.

Tk. 25/1. kidolgozott mintapélda: Különböz® számolási modelleket mutatunk be, több-

féleképpen szemléltetve a m¶veletvégzést.

Tk. 25/1. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlására,

a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok. Figyeltessük meg, hogy

az összeg változásairól tanultak hogyan alkalmazhatók a számításokban.

Megoldás: a) 56 156 59 159

b) 65 165 95 195

c) 88 188 93 193


a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok.

Megoldás: a) 97 117 120 122

b) 77 117 120 122

c) 79 109 110 115

d) 90 92 160 162

Tk. 26/2. kidolgozott mintapélda: Különböz® számolási modelleket mutatunk be, több-

féleképpen szemléltetve a m¶veletvégzést. A többi feladatot hasonló módon szemléltet-

hetjük.


a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok. Figyeltessük meg, hogy

az összeg változásairól tanultak hogyan alkalmazhatók a számításokban.

Megoldás: a) 46 146 42 142

b) 42 142 36 136

c) 60 160 57 157


a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok.

Megoldás: a) 41 141 71 68

b) 48 148 92 88

c) 27 127 90 87



31

Tk. 26/5. feladat: Szabálykövetés, táblázat kitöltése. Mondassuk el a szabályt többféle

alakban!

Megoldás: Szabály: a + b = c, b + a = c, c { a = b, c { b = a

a 48 53 26 134 57 76 29 67 64

b 16 54 132 36 63 89 83 94 136

c 64 107 158 170 120 165 112 161 200

Tk. 27/6. feladat: Figyeltessük meg az összeg, illetve a különbség változásait.

Megoldás: a) 138 b) 58 c) 48

140 53 46

135 60 56

161 80 86

Tk. 27/7. feladat: Figyeltessük meg az összeg, illetve a különbség változásait.

Megoldás: a) a<56

124, a + 56 = 124, 124 { 56 = a, a = 68;

b) 124 <56

b, b { 56 = 124, 124 + 56 = b, b = 180;

c) c = 124 + 56, c = 180;

d) d = 124 { 56, d = 68;

e) e>56

124, e { 56 = 124, 124 + 56 = e, e = 180;

f) f<56

124, f + 56 = 124, 124 { 56 = f, f = 68.

Tk. 27/8. feladat: Egyszer¶ szöveges feladatok. Hívjuk fel a gyermekek �gyelmét, hogy

ügyeljenek a mértékegységekre.

Megoldás: a) Adatok: p = 75 cm, k = 49 cm, ö = ?

Terv: ö = p + k

Számolás: ö = 75 + 49 ö = 124 cm

Válasz: 124 cm = 1 m 2 dm 4 cm hosszú szalagja lett Karcsinak.

b) Adatok: L = 75 cm, L >

49 cm-relb, b = ?

Terv: b = L { 49

Számolás: b = 75 { 49 b = 26 cm

Ellen®rzés: 26 + 49 = 75

Válasz: 26 cm = 2 dm 6 cm hosszú szalagja van.

c) Adatok: ö = 75 cm, p = 49 cm, k = ?

Terv: k = ö { p

Számolás: k = 75 { 49 k = 26 cm



Ellen®rzés: 26 + 49 = 75

Válasz: 26 cm = 2 dm 6 cm hosszú a kék papírcsík.

d) Adatok: N = 75 cm, N <

49 cm-relO, O = ?

Terv: O = N + 49

Számolás: O = 75 + 49 O = 124 cm

Válasz: 124 cm = 1 m 2 dm 4 cm hosszú utat épített Ottó.

e) Adatok: h = 75 dm, sz = 49 dm, k = ?

Terv: k = h { sz

Számolás: k = 75 { 49 k = 26 dm

Ellen®rzés: 26 + 49 = 75

Válasz: 26 dm = 2 m 6 dm-rel hosszabb a tanterem hossza a

szélességénél.

Tk. 27/9. feladat: összetett feladat a tanultak gyakorlására.

Megoldás: Az összefüggéseket többféleképpen is leírhatjuk. Például:

1 F = G + 15, H = F + 18;

2 F = G + 15, F = H { 18;

3 G = F { 15, F = H { 18;

4 G<15

F<18

H stb.

a) F = 127 cm, G = 112 cm, H = 145 cm;

b) F = 109 cm, G = 94 cm, H = 127 cm;

c) F = 142 cm, G = 127 cm, H = 160 cm.

Tk. 27/10. feladat: Egyszer¶ szöveges feladatok megoldása. szövegértés, szövegesfel-

adat-megoldási képesség, környezettudatosságra nevelés.

Megoldás: a) Adatok: e = 56 év, e <

48 évvelm, m = ?

Terv: m = e + 48

Számolás: m = 56 + 48 m = 104 év

Válasz: 104 éves a másik tekn®s.

b) Adatok: h = 185 kg, n = 128 kg, k = ?

Terv: k = h { n

Számolás: k = 185 { 128 k = 57 kg

Ellen®rzés: 57 + 128 = 185

Válasz: 57 kg-mal nehezebb a hím oroszlánfóka a n®sténynél.



33

c) Adatok: e = 85 cm, e <

107 cm-relzs, zs = ,

Terv: zs = e + 107

Számolás: zs = 85 + 107 zs = 192 cm

Ellen®rzés: 192 cm

Válasz: 71 m 9 dm 2 cm magas egy újszülött zsiráf.

Adatok: e = 102 kg, e >47 kg-mal

zs, zs = ?

Terv: zs = e { 47

Számolás: zs = 102 { 47 zs = 55 kg

Ellen®rzés: 55 + 47 = 102

Válasz: 55 kg tömeg¶ egy újszülött zsiráf.

d) Adatok: v = 175l, i = 138 l, m = ?

Terv: m = v { i

Számolás: m = 175 { 138 m = 37 l

Ellen®rzés: 37 + 138 = 175

Válasz: 37 l víz maradt a töml®ben.

e) Adatok: a = 1 m 2 dm = 120 cm, a <

48 cm-relk, k = ,

Terv: k = a + 48

Számolás: k = 120 + 48 k = 168 cm

Ellen®rzés:

Válasz: 168 cm = 1 m 6 dm 8 cm hosszúak a nagy kudu szarvai.

f) Adatok: h = 1 m 3 dm = 130 cm, f = 42 cm, t = ?

Terv: t = h { f

Számolás: t = 130 { 42 t = 88 cm

Ellen®rzés: 88 + 42 = 130

Válasz: 88 cm = 8 dm 8 cm hosszú a vidra teste a farka nélkül.

Gy. 26/1. feladat: Különböz® számolási tervek tudatosítására, a tanultak begyakorlásá-

ra, a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok. Figyeltessük meg,

hogy az összeg és a különbség változásairól tanultak hogyan alkalmazhatók a számítá-

sokban.


192 200

192 200

b) 28 52

128 152

28 52






sokban.

Megoldás: a) 85 185 185

b) 85 185 185

c) 81 181 181

d) 26 126 26

e) 45 145 45

f) 35 135 35

Gy. 26/3. feladat: Az összeadásról, kivonásról tanultak alkalmazása néhány elemével

adott számsorozat hiányzó elemeinek meghatározására.

Megoldás: a) 100, 94, 88, 82, 76, 70, 64, 58, 52

b) 10, 30, 50, 70, 90, 110, 130, 150, 170

c) 22, 39, 56, 73, 90, 107, 124, 141, 158

Gy. 27/4. feladat: Figyeljük meg mikor egyezik meg két összeg, illetve különbség ered-

ménye.

Megoldás: a) 134 134 144 134

134 144 134 144

b) 29 29 29 29

29 29 27 29




sokban.

Megoldás: a)9 8

+ 5 0 + 9

4 8+ 59

1 0 7

5 7

+ 9 + 5 0

+ 6 0 {

4 8+ 59

{ 1 + 6 0

1 0 8

1

1 0 7

4 7



35

b)

+ 6 0 + 8

7 5+ 8

8 ++

1 3 5

8

1 4 3

8 0

8 3

+ 7 0 {

7 5+ 68

+{

1 4 5

2

1 4 3

2 7 0

7 3

c)

{ 6 0 {

1 3 6{ 69

{ 9 {

7 6

9

6 7

6 0

1 2 7

{ 7 0 +

1 3 6{ 69

+ 1 {

6 6

1

6 7

7 0

1 3 7

d)

{ 8 0 {

1 1 2{ 87

{ 7 {

3 2

7

2 5

8 0

1 0 5

{ 9 0 +

1 1 2{ 87

+ {

2 2

2

2 5

3 9 0

1 1 5

Gy. 28/6. feladat: A fejszámolási tervek közös vonása, hogy egy m¶veletet több m¶ve-

lettel helyettesítünk. Ezt többféleképpen valósíthatjuk meg.

37+ 100 { 3

1 1

+

3 3

9

7 4

7

37+ 90 + 7

1 1

+

2 3

9

7 4

7

125{ 90 { 6

{

3 2

9

5 9

6

125{ 100 + 4

{

2 2

9

5 9

6


ra, a számolási rutin fejlesztésére szolgáló egyszer¶ számfeladatok.

Megoldás: a) 74 174 174

b) 72 172 172

c) 82 182 182



d) 81 181 181

e) 84 184 184

f) 85 185 185




b) 46 146 46

c) 48 148 48

d) 36 136 36

e) 35 135 35

f) 19 119 19




b) 17 17 156

c) 38 38 147

d) 38 38 196

e) 34 34 181

f) 37 37 175

Gy. 29/10. feladat: Egy-egy feladatsort egy órán dolgoztassunk fel a szövegértés fej-

lesztése érdekében. Az adatok kigy¶jtése során �gyeltessük meg, melyek a szükséges,

illetve felesleges adatok, melyekb®l hiányoznak adatok.

Megoldás: a) Adatok: l = 47, f = 58, ö = ?

Terv: ö = l + F

Számolás: ö = 47 + 58 ö = 105

Válasz: 105 harmadik osztályos tanuló van.

b) Tisztázzuk a legalább (amelynél kevesebb nem lehet) és a legfeljebb

(amelynél több nem lehet) fogalmakat.

U

S

É

5343

t = 47 + 58 t = 105

Legalább 96 tanuló járhat összesen

sportkörre vagy énekkarra; ha min-

den énekkaros egyben sportkörre is

jár, akkor 43 tanuló csak sportkörös,

és 53 tanuló sportkörös és énekka-

ros.



37

U

S

É

5343

t = 47 + 58 + 52 t = 148

Legfeljebb 148 tanuló járhat össze-

sen sportkörre vagy énekkarra; ha

1 tanuló van, aki énekkaros és egy-

ben sportkörre is jár, akkor 95 tanuló

csak sportkörös, és 52 tanuló csak

énekkaros.

c) Adatok: t = 102, f = 48, l = ?

Terv: l = t { f

Számolás: l = 102 { 48 l = 54

Ellen®rzés: 54 + 48 = 102

Válasz: 54 negyedik osztályos lány van.

d) Az adatokból nem derül ki, hogy a hiányzó tanulók közül mennyi a �ú

és mennyi a lány. Legalább 159, legfeljebb 187 �ú lehetett jelen attól

függ®en, hány �ú volt a hiányzók között.

159 5 f 5 187

e) Adatok: t = 143, h = 56, f = ?

Felesleges adat: közülük 26 lány.

Terv: f = t { 56

Számolás: f = 143 { 56 f = 87

Ellen®rzés: 87 + 56 = 143

Válasz: 87-en vettek részt fejtör® játékokban.

Gy. 29/11. feladat: Ezt a feladatsort egy órán dolgoztassunk fel a szövegértés fejleszté-

se érdekében. Az adatok kigy¶jtése során �gyeltessük meg, melyek a szükséges, illetve

felesleges adatok, melyekb®l hiányoznak adatok.

Megoldás: a) Adatok: f = 45, l = 56, gy = ?

Felesleges adat: h = 14, n = 21

Terv: gy = f + l

Számolás: gy = 45 + 56 gy = 101

Válasz: 101 gyerek játszik az udvaron.

b) Adatok: l = 56, f = 45, k = ?

Felesleges adat: h = 14, n = 21

Terv: k = l { f

Számolás: k = 56 { 45 k = 11

Ellen®rzés: 11 + 45 = 56

Válasz: 11-gyel több lány játszik az udvaron.

c) Adatok: l = 56, f = 45, h = 14, m = ?

Felesleges adat: n = 21



Terv: m = l + f { h

Számolás: m = 56 + 45 { 14 m = 87

Válasz: 87 tanuló maradna az udvaron.

d) Adatok: Az adatokból nem derül ki, hogy a negyedik osztályosok

között hány lány van. Legalább 35, legfeljebb 56 lány ma-

radhat az udvaron.

56 { 21 5 l 5 56 { 0

35 5 f 5 56

e) Adatok: l = 56, f = 45, h = 14, n = 21, t = ?

Terv: t = l + f { h { n

Számolás: t = 56 + 45 { 14 { 21 t = 66

Ellen®rzés: 66 + 21 + 14 = 56 + 45

Válasz: 66 fels® tanuló játszik az udvaron.

Gy. 29/12. feladat: Beszéljük meg, hogy a rajzkészítés segíthet a feladat megoldásában.

Megoldás: Adatok: p + k = 120 cm, p >

20 cm-relk, p = ?, k = ?

z 20

z

Terv: x + x + 20 = 120

Számolás: x = 50 cm k = 50 cm

Ellen®rzés: p = 50 + 20 p = 70 cm

Válasz: 50 cm hosszú a kék, 70 cm hosszú a piros szalag.

Óra: 17. 18. 23.

1/I. tájékozódó felmérés

A Felmér® feladatsorok cím¶ kiadvány feladatsora.

Szorzás és osztás



szövegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kom-

binativitás, induktív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység,

problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�-

gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.



39

Óra: 18{19. 19{20. 24{25.

Felelevenítjük a szorzás és az osztás többféle értelmezését, de most sem jelöljük külön

jellel a bennfoglalást és a részekre osztást. Meg�gyeltetjük és tudatosítjuk az összeadás

és a szorzás, az osztás és a szorzás közti kapcsolatot, illetve a szorzás tényez®inek

felcserélhet®ségét.

Az 5-ös és a 10-es szorzótábla ismétlése, ezek kapcsolatának vizsgálata. Soralkotások

ötösével és tízesével növekv®, illetve csökken® sorrendben a számegyenes bejárásával.

Az analógiák felismerésével a tanulók tapasztalatot szereznek kétjegy¶ számok 10-zel

való szorzásáról is. Az így szerzett tapasztalatok egyrészt megalapozzák a számok ábrá-

zolását ötösével, tízesével beosztott számegyenesen, másrészt a tanulók ismerkednek

az 5-tel és a 10-zel osztható számokkal, tehát a szorzótábla ismétlését összeköthetjük

a számfogalom elmélyítésével.

Ha biztos számolási rutint akarunk kialakítani a gyengébben haladó tanulók esetében is,

akkor kell® id®t kell biztosítanunk a szóbeli m¶veletek gyakorlására. Ezt úgy oldhatjuk

meg, hogy az összeadással, kivonással és a szorzással, osztással kapcsolatos anyag-

részeket egymással párhuzamosan dolgozzuk fel, és folyamatosan gyakoroltatjuk mind

a négy m¶veletet. Ezért ezeken az órákon is adunk fel feladatokat összeadására, kivo-

nására a 200-as számkörben.

A szöveges feladatok között a fogalomalkotás és a gyakorlati alkalmazás szempontjá-

ból egyaránt fontos szerepet játszanak az egyenes arányossági következtetések (egyr®l

többre, többr®l egyre).

Tk. 29/1. kidolgozott mintapélda: A mintapéldában a szorzást ismételt összeadásként

értelmezzük. Bemutatjuk, hogy egy képet többféleképpen értelmezhetünk, ennek követ-

keztében többféle egyenletet írhatunk róla. Ez a meg�gyelés vezet el annak a felismer-

tetéséhez, hogy a szorzás tényez®i felcserélhet®k (a szorzás kommutatív). Ezért nem

különböztetjük meg a szorzót a szorzandótól, hanem mint a kés®bbi matematikai tanul-

mányaikban is megszokott, tényez®kr®l beszélünk.

Tk. 29/Elnevezések: Beszéljük meg a szorzásban az elnevezéseket.

Tk. 29/Figyeld meg!: Figyeljük meg, hogy a szorzásban a tényez®k felcserélhet®k (a

szorzás kommutatív).

Tk. 29/1. feladat: Az összeadás és a szorzás közötti kapcsolatot, illetve a szorzás té-

nyez®inek felcserélhet®ségét szemlélteti a feladatok.

Megoldás: 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50; 5 � 10 = 50;

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 50; 10 � 5 = 50.

Tk. 30/2. feladat: A feladatok segítik a számegyenesen való tájékozódást. A lépegetés-

sel szemléletessé tehetjük az összeadás és a szorzás kapcsolatát. Figyeltessük meg a

10-es és az 5-ös szorzótábla közti összefüggéseket!

Megoldás: a) Béka: 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60

Veréb: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60



b) Béka: 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160

Veréb: 100, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, �.

c) Béka: 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120

Veréb: 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, �.

Tk. 30/3. feladat: A feladatok segítik a számegyenesen való tájékozódást. Figyeljük meg

a 10-zel való szorzást.

Megoldás: a) 4 � 10 = 40 b) 7 � 10 = 70 c) 10 � 10 = 100

d) 12 � 10 = 120 e) 15 � 10 = 150 f) 20 � 10 = 200

Tk. 30/4. feladat: A feladatok segítik a számegyenesen való tájékozódást. Figyeljük meg

az 5-tel való szorzást.

Megoldás: a) 4 � 5 = 20 b) 7 � 5 = 35 c) 10 � 5 = 50

d) 12 � 5 = 60 e) 15 � 5 = 75 f) 20 � 5 = 100

Tk. 30/5. feladat: Az analógiákat meg�gyeltetve a kerek tízesek szorzását is értelmez-

hetjük a 200-as számkörben.

Megoldás: a) 5 + 5 + 5 = 15 3 � 5 = 15

50 + 50 + 50 = 150 3 � 50 = 150

Természetesen az 5 � 3 = 15, illetve az 50 � 3 = 150 is megoldása a

feladatnak. Ennek a nyelvi megfogalmazása lehet például: 50 Ft-ot há-

romszor tettem a borítékba.

b) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 6 � 1 = 6

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 6 � 10 = 60

c) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 5 � 2 = 10

20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100 5 � 20 = 100

Tk. 31/2. kidolgozott mintapélda: Az osztást mint a szorzás inverz m¶veletét értelmez-

zük. Tudatosítsuk az osztásban szerepl® elnevezéseket. Vetessük észre, hogy egy-egy

képr®l többféle osztás olvasható le. A részekre osztást és a bennfoglalást csupán a szö-

veges feladatok értelmezése során és a szöveges válaszban különböztetjük meg, de

nem használunk különböz® jelet, mert mindkét esetben az elvont matematikai modell az

�osztás". A m¶veletek közti összefüggések alapján meg�gyeltethetjük, hogy az osztás

ellen®rizhet® szorzással vagy egy másik osztással.

Tk. 31/Elnevezések: Beszéljük meg az osztásban az elnevezéseket.

Tk. 31/Figyeld meg!: Figyeljük meg, hogy a szorzásban a tényez®k felcserélhet®k (a

szorzás kommutatív).

Tk. 31/6. feladat: Az osztás értelmezését el®készít® feladatok. A fogalom kialakítása

szempontjából fontos, hogy az osztás mindkét értelmezésére adjunk szöveges feladato-

kat, és a tanulóktól várjuk el a pontos szöveges választ. (A bennfoglalás eredménye egy



41

arányszám, a részekre osztásé egy mennyiség.) Mindkét esetben az elvont matematikai

modell az osztás, ezért ne jelöltessük két különböz® jellel az osztás kétféle értelmezését.

Megoldás: a) 20 : 2 = 10 10 � 2 = 20

10 db kétforintosra váltható.

b) 20 : 5 = 4 4 � 5 = 20

4 db ötforintosra váltható.

c) 20 : 10 = 2 2 � 10 = 20

2 db tízforintosra váltható.

Tk. 32/7. feladat: Az osztás értelmezését el®készít® feladatok. A fogalom kialakítása

szempontjából fontos, hogy az osztás mindkét értelmezésére adjunk szöveges feladato-

kat, és a tanulóktól várjuk el a pontos szöveges választ. (A bennfoglalás eredménye egy

arányszám, a részekre osztásé egy mennyiség.) Mindkét esetben az elvont matematikai

modell az osztás, ezért ne jelöltessük két különböz® jellel az osztás kétféle értelmezését.

Megoldás: a) 20 : 2 = 10 2 � 10 = 20

10 golyót kapna egy gyerek.

b) 20 : 5 = 4 5 � 4 = 20


c) 20 : 10 = 2 10 � 2 = 20


d) 20 : 20 = 1 20 � 1 = 20


e) 20 : 4 = 5 4 � 5 = 20


f) 20 : 1 = 20 1 � 20 = 20


Tk. 32/8. feladat: Az összeadás és szorzás, illetve a szorzás és az osztás közti kapcso-

latot �gyeltethetjük meg ezzel a feladattal.

Megoldás: a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 5 + 5 + 5 = 15

5 � 3 = 15 3 � 5 = 15

15 : 3 = 5 15 : 5 = 3

b) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20 10 + 10 = 20

10 � 2 = 20 2 � 10 = 20

20 : 2 = 10 20 : 10 = 2

f) 2 + 2 = 4 2 � 2 = 4 4 : 2 = 2

d) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 65

13 + 13 + 13 + 13 + 13 = 65

13 � 5 = 65 5 � 13 = 65

65 : 13 = 5 65 : 5 = 13



Tk. 32/9. feladat: A bennfoglalás (mint ismételt kivonás) szemléltetése számegyenesen

való lépegetéssel. A tanulók tapasztalatot szereznek a 10-zel, illetve az 5-tel osztható

számokról. A feladatokkal el®készíthetjük a tízesével, illetve ötösével beosztott száme-

gyenesen való tájékozódást.

Megoldás: a) 40 : 10 = 4 b) 100 : 10 = 10 c) 170 : 10 = 17

4 � 10 = 40 10 � 10 = 100 17 � 10 = 170

Tk. 32/10. feladat: A bennfoglalás (mint ismételt kivonás) szemléltetése számegyene-

sen való lépegetéssel. A tanulók tapasztalatot szereznek a 10-zel, illetve az 5-tel osztható

számokról. A feladatokkal el®készíthetjük a tízesével, illetve ötösével beosztott száme-

gyenesen való tájékozódást.

Megoldás: a) 35 : 5 = 7 b) 65 : 5 = 13 c) 100 : 5 = 20

7 � 5 = 35 13 � 5 = 65 20 � 5 = 100

Gy. 30/1. feladat: A táblázat alapján ismételjük át a szorzótáblákat.

Gy. 30/2. feladat: Figyeljük meg az el®z® feladat táblázatában hol találhatók meg az

egyes szorzatok.

Megoldás: Az egyes szorzótáblákhoz tartozó sorok és oszlopok számai megegyeznek.

Gy. 30/3. feladat: Figyeltessük meg a szorzás és az osztás közti kapcsolatot, valamint

a szorzás kommutativitását.

a) b)

7 � 5 = 3 5

5 � 7 = 3 5

3 5 : 5 = 7

3 5 : 7 = 5

1 0 � 2 = 2 0 2 0 : 2 = 1 0

2 � 1 0 = 2 0 2 0 : 1 0 = 2

c)0 30

6 � 5 = 3 0 3 0 : 5 = 6

5 � 6 = 3 0 3 0 : 6 = 5

Gy. 31/4. feladat: Ha szükséges, akkor az 1. feladatban szerepl® táblázatból is keres-

hetnek szorzásokat a tanulók.

Megoldás: 12 = 2 � 6 = 6 � 2 = 3 � 4 = 4 � 3 = 12 � 1 = 1 � 12

36 = 6 � 6 = 4 � 9 = 9 � 4 = 3 � 12 = 12 � 3 = 2 � 18 = 18 � 2 = 1 � 36 = 36 � 1

18 = 2 � 9 = 9 � 2 = 3 � 6 = 6 � 3 = 1 � 18 = 18 � 1

40 = 4 � 10 = 10 � 4 = 5 � 8 = 8 � 5 = 2 � 20 = 20 � 2 = 1 � 40 = 40 � 1

24 = 3 � 8 = 8 � 3 = 4 � 6 = 6 � 4 = 2 � 12 = 12 � 2 = 1 � 24 = 24 � 1



43

Gy. 31/5. feladat: Figyeljük meg az adott szorzótáblákhoz tartozó számokat.

Megoldás: a) A 2-höz tartozó sor, oszlop kétszerese az 1-nek.

b) A 10-hez tartozó sor, oszlop kétszerese az 5-nek.

c) A 2-höz tartozó sor, oszlop fele a 4-nek.

d) A 2-höz tartozó sor, oszlop harmadrésze a 6-nak.

e) A 2-höz tartozó sor, oszlop negyedrésze a 8-nak.


Megoldás: a) 3-as szorzótáblához tartozó sort kapjuk.

b) 10-es szorzótáblához tartozó sort kapjuk.

c) 6-os szorzótáblához tartozó sort kapjuk.

d) 8-as szorzótáblához tartozó sort kapjuk.


Megoldás: a) 4-es szorzótáblához tartozó sort kapjuk.

b) 3-as szorzótáblához tartozó sort kapjuk.

c) 8-as szorzótáblához tartozó sort kapjuk.

d) 9-es szorzótáblához tartozó sort kapjuk.

Az 5-ös és a 10-es szorzótábla






gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés, kör-

nyezettudatosságra nevelés, hon- és népismeret.

Óra: 20. 21{22. 26{27.

A szorzótábla ismétlését, a 2. osztályban tanultak felelevenítését segít® feladatok. Fi-

gyeltessük meg a szorzótábla sorai közti kapcsolatokat. Tudatosíthatjuk, hogy a hiányzó

tényez® megkeresésekor a szorzás fordított m¶veletét, az osztást hajtjuk végre.

Tk. 33/1. feladat: Figyeljük meg az 5-ös és a 10-es szorzótábla kapcsolatát. Ha szük-

séges játék pénzzel rakjuk ki a feladatot.

Tk. 33/2. feladat: Ha szükséges játék pénzzel rakjuk ki a feladatot.

Megoldás: a) 10 30 50 70 100

b) 110 130 150 170 200



Tk. 33/3. feladat: Az 5-ös és a 10-es szorzótábla gyakorlására szánt feladat a hiányzó

tényez® pótlásával.

Megoldás: a) 10 10 10 0 15

b) 5 5 5 0 15

Tk. 33/4. feladat: A 10-zel való maradékos osztás gyakorlása. A pénzhasználat segít a

feladatok megoldásában.

Megoldás: a) 2 10 0 1 4 10 0 1 10 10 0 1 16 10 0 1 20 10 0 1

b) 2 10 7 1 4 10 6 1 10 10 5 1 16 10 8 1 20 10 9 1

Tk. 33/5. feladat: Ha szükséges játék pénzzel rakjuk ki a feladatot.

Megoldás: a) 5 15 25 35 50

b) 55 65 75 85 100

Tk. 33/6. feladat: Az 5-tel való osztás gyakorlása. A pénzhasználat segít a feladatok

megoldásában.

Megoldás: a) 2 6 10 14 20

b) 5 8 9 11 21

Tk. 33/7. feladat: Az 5-ös, illetve 10-es szorzótábla számai közé tartozó számokat kell

kikeresni a számhalmazból. Figyeltessük meg, mely számok oszthatók maradék nélkül

10-zel, illetve 5-tel.

Megoldás: 0 5 6 10 40 48 100 105 110 140 146

Tk. 34/8. feladat: Egy órán dolgozzuk fel ezeket a szöveges feladatokat! Törekedjünk

az önálló szövegértelmezésre, megoldási modell keresésére. Kérjük a megoldás során

a szöveges feladat megoldásának lépéseit!

Megoldás: a) Adatok: 1 cs 5 gy

8 cs ? gy

Terv: x = 8 � 5

Számolás: x = 40

Válasz: 40 gyerek fér 8 csónakba.

b) Adatok: 1 v 5 f

? v 25 f

Terv: x = 25 : 5

Számolás: x = 5

Ellen®rzés: 5 � 5 = 25

Válasz: 5 vitorlásba fér 25 feln®tt.



45

c) Adatok: B = 20, K >

tizedeB, K = ?

Terv: K = 10 � B

Számolás: K = 10 � 20 K = 200

Válasz: 200 képeslapja van Dórának.

Tk. 34/9. feladat: Az 5-tel való oszthatóság vizsgálata során szerzett tapasztalatok al-

kalmazására szánt feladat. A megoldás nem minimumszint¶ követelmény.

Megoldás: a) 15 : 0; 5

b) 1 5 : 0; 1; 2; 3; 4; 5

c) 16 : nincs megoldás

d) 10 : 0; 5

Tk. 34/10. feladat: A 10-es és az 5-ös szorzótáblához kapcsolva tanítjuk a 10-esével,

illetve 5-ösével beosztott számegyenesen a számok közelít® helyének megkeresését.

Megoldás: 12, 15, 20, 30, 38, 41, 46, 55, 56, 58

a d b e c f

Tk. 34/Emlékeztet®: Az emlékeztet®ben megmutatjuk, hogyan lehet a számok közelít®

helyét megkeresni. A feladatok ennek begyakorlására szolgálnak. A közelít® hely meg-

találása fontos lépés a számfogalom fejl®désében, ezért kell® �gyelmet fordítsunk rá!

Gy. 32/1. feladat: Figyeltessük meg az analógiákat.

Megoldás: a) 2 � 5 = 10 2 � 50 = 100

b) 3 � 5 = 15 3 � 50 = 150

c) 4 � 5 = 20 4 � 50 = 200

Gy. 32/2. feladat: Az 5-ös és 10-es szorzótáblák gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: 1 5 6 50

0 6 8 50

9 5 8 70

6 9 2 5

3 5 5 5

6 5 5 5

Gy. 32/3. feladat: Az 5-ös és 10-es szorzótáblák gyakorlására szánt feladatsor. A szám-

egyenesen történ® lépegetés segíti a feladat megoldását.

Megoldás: a) 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

b) 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100



Gy. 32/4. feladat: Egy órán dolgozzuk fel ezeket a szöveges feladatokat! Törekedjünk

az önálló szövegértelmezésre, megoldási modell keresésére. Kérjük a megoldás során

a szöveges feladat megoldásának lépéseit!

Megoldás: a) Adatok: 1 hét 5 mnap 8 hét ?

Terv: x = 8 � 5

Számolás: x = 40

Válasz: 40 munkanapból áll 8 hét.

b) Adatok: 1 bé = 20 Ft, bé >

10bo bo = ?

Terv: bo = bé : 10

Számolás: bo = 20 : 10 bo = 2 Ft

Ellen®rzés: 2 � 10 = 20

Válasz: 2 Ft-ba kerül egy boríték.

Gy. 33/5. feladat: Számok helyének megkeresése egyesével, majd ötösével beosztott

számegyenesen. A �közelít® hely" fogalmának tudatosítása.

Megoldás:

a)

0 10

7 11 20 24 29 37 43 48

0 10

b)

100 110

107 111 120 124 129 137 143 148

100 110

c)

70 80

75 82 94 100 107 111 115 120

70 80



47

Gy. 33/6. feladat: Számok helyének megkeresése egyesével, majd tízesével beosztott

számegyenesen. A �közelít® hely" fogalmának tudatosítása.

Megoldás:

a)

0 10

3 15 28 30 32 35 41 50

0 10

b)

100 110

103 115 128130

132135

141 150

100 110

c)

80 90

82 89 95 100 107 111113

118

80 90

Gy. 33/7. feladat: Számok halmazokba rendezése. Beszéljük meg a �kerek tízes" fogal-

mát.

Megoldás: Kerek tízesek Nem kerek tízesek

20, 100, 0,

180, 200

32, 5, 83,

146, 125

A 2-es szorzótábla









Óra: 21. 23. 28.

A 2-es szorzótábla ismétlése 20-ig, illetve analóg számítások kerek tízesekkel 200-ig a 2-

es szorzótábla közvetlen alkalmazásaként. A kett®vel való oszthatóság vizsgálata, a ma-

radékosztályok meg�gyelése, a korábban tanultak általánosítása. A fél fogalma el®készíti

a törtekhez kapcsolódó fogalomalkotást. Soralkotások: számlálás kettesével növekv®, il-

letve csökken® sorrendben. Számok ábrázolása kettesével beosztott számegyenesen.

Tk. 35/1. feladat: Figyeljük meg a 2-es szorzótáblát.

Tk. 35/2. feladat: A számegyenesen történ® lépegetéssel �bejárjuk" a számkört, meg�-

gyeltetjük, hogyan helyezkednek el a 2 többszörösei a számegyenesen.

Megoldás: a) 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, . . .

b) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, . . .

c) 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, . . .

d) 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, . . .

e) 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, . . .

f) 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, . . .

g) 160, 162, 164, 166, 168, 170, 172, 174, 176, . . .

h) 161, 163, 165, 167, 169, 171, 173, 175, 177, . . .

Tk. 35/3. feladat: A 2-es szorzótábláról tanultak felidézése, közvetlen alkalmazása. Ana-

lóg számítások: kerek tízesek 2-szerese, illetve a 20 többszörösei. Szemléltetés játék

pénzzel.

Megoldás: a) 6 � 2 = 12 6 � 20 = 120 b) 5 � 2 = 10 5 � 20 = 100

Tk. 35/4. feladat: A 2-es szorzótábláról tanultak felidézése, közvetlen alkalmazása.

Megoldás: a) 8 4 18 14 20

b) 80 40 180 140 200

c) 80 40 180 140 200

Tk. 35/5. feladat: A 2-es szorzótábláról tanultak alkalmazása a számfeladatok megoldá-

sában.


2 0 20 20

Tk. 35/6. feladat: Osztás 2-vel, 20-szal. Az osztás különböz® értelmezését bemutató

feladatsor (mint részekre osztás és mint bennfoglalás). Beszéljük meg a �valaminek a

fele" fogalom jelentését. újra �gyeltessük meg a szorzás és az osztás közötti kapcsola-

tot. Beszéljük meg, hogy az osztás egyik fordított m¶velete egy szorzás (ha az osztandó

ismeretlen), másik fordított m¶velete egy osztás (ha az osztó ismeretlen). Gy¶jtsenek

tapasztalatot a tanulók az osztandó és a hányados, illetve az osztó és a hányados vál-

tozásairól!

Megoldás: Igen Nem Igen



49

Tk. 36/7. feladat: Beszéljük meg a �valaminek a fele" fogalom jelentését. újra �gyeltes-

sük meg a szorzás és az osztás közötti kapcsolatot.

Megoldás: Ennyit kapnak 10 13 18 19 20 21 60 64

Ennyi jut egynek 5 6 9 9 10 10 30 32

Ennyi marad 0 1 0 1 0 1 0 0

Ennyit kapnak 100 101 106 130 138 189 200

Ennyi jut egynek 50 50 53 65 69 94 100

Ennyi marad 0 1 0 0 0 1 0

Tk. 36/8. feladat: Osztás 2-vel. újra �gyeltessük meg a szorzás és az osztás közötti

kapcsolatot. Beszéljük meg, hogy az osztás egyik fordított m¶velete egy szorzás (ha

az osztandó ismeretlen), másik fordított m¶velete egy osztás (ha az osztó ismeretlen).

Gy¶jtsenek tapasztalatot a tanulók az osztandó és a hányados, illetve az osztó és a

hányados változásairól!

Megoldás: a) 12 : 2 = 6 b) 16 : 2 = 8 c) 20 : 2 = 10

6 � 2 = 12 8 � 2 = 16 10 � 2 = 20

Tk. 36/9. feladat: Osztás 20-szal. újra �gyeltessük meg a szorzás és az osztás közötti

kapcsolatot. Beszéljük meg, hogy az osztás egyik fordított m¶velete egy szorzás (ha

az osztandó ismeretlen), másik fordított m¶velete egy osztás (ha az osztó ismeretlen).

Gy¶jtsenek tapasztalatot a tanulók az osztandó és a hányados, illetve az osztó és a

hányados változásairól!

Megoldás: a) 120 : 2 = 60 b) 160 : 2 = 80 c) 200 : 2 = 100

60 � 2 = 12 80 � 2 = 160 100 � 2 = 200

Tk. 36/10. feladat: Beszéljük meg a �valaminek a fele" fogalom jelentését. újra �gyel-

tessük meg a szorzás és az osztás közötti kapcsolatot. Beszéljük meg, hogy az osztás

egyik fordított m¶velete egy szorzás (ha az osztandó ismeretlen), másik fordított m¶ve-

lete egy osztás (ha az osztó ismeretlen). Gy¶jtsenek tapasztalatot a tanulók az osztandó

és a hányados, illetve az osztó és a hányados változásairól!

Megoldás: a) 6 : 2 = 3 b) 60 : 2 = 30

2 � 3 = 6 2 � 30 = 60

Gy. 34/1. feladat: újra �gyeltessük meg a szorzás és az osztás közötti kapcsolatot. Be-

széljük meg, hogy az osztás egyik fordított m¶velete egy szorzás (ha az osztandó isme-

retlen), másik fordított m¶velete egy osztás (ha az osztó ismeretlen). Gy¶jtsenek tapasz-

talatot a tanulók az osztandó és a hányados, illetve az osztó és a hányados változásairól!

Megoldás: a) 4 � 2 = 8 4 � 20 = 80

8 : 4 = 2 80 : 4 = 20

8 : 2 = 4 80 : 20 = 4



b) 6 � 2 = 12 6 � 20 = 120

12 : 6 = 2 120 : 6 = 20

12 : 2 = 6 120 : 20 = 6

Gy. 34/2. feladat: A számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.


200 200 100

200 200 100

b) 8 5 14

80 50 140

80 50 140



30 100 20

3 10 2

b) 8 2 4

80 20 40

8 2 4

Gy. 34/4. feladat: 2-vel növeked® sorozat képzése számegyenesen történ® lépegetés-

sel. Figyeljük meg a 2 többszöröseit.

Megoldás: 0, 2, 4 , 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68

130, 132, 134, 136, 138, 140, 142, 144, 146, 148

Gy. 35/5. feladat: Számolási rutin fejlesztésére szánt feladatsor.

Megoldás: 20 20 10

30 50 8

70 20 3

50 17 2

Gy. 35/6. feladat: A táblázat kitöltésével újabb tapasztalatokat szerezhetnek a tanulók

a 10-zel és az 5-tel, illetve a 2-vel és a 20-szal való osztás hányadosainak összehason-

lításában.

Megoldás: Ennyi pénz van 50 60 100 150 200 80 110 160

Ennyi 10 -osra vált. 5 6 10 15 20 8 11 16

Ennyi 5 -osra vált. 10 12 20 30 40 16 22 32



51

Ennyi pénz van 40 100 160 120 180 200 140 80

Ennyi 2 -osra vált. 20 50 80 60 90 100 70 40

Ennyi 20 -osra vált. 2 5 8 6 9 10 7 4

Gy. 35/7. feladat: Pénzhasználathoz kapcsolódó szöveges feladatok a 2-es, az 5-ös és

a 10-es szorzótábla és az analóg számításokkal kapcsolatosan tanultak alkalmazására.

Ha szükséges, egy-egy feladatnál használhatnak játék pénzt a tanulók.

Megoldás: a) Adatok: 1 bélyeg 10 Ft, ? 150 Ft

Terv: x = 150 : 10

Számolás: x = 15

Ellen®rzés: 15 � 10 = 150

Válasz: 15 bélyeget vehetett Peti 150 Ft-ért.

b) Adatok: 30 db 5 ?

Terv: x = 30 � 5

Számolás: x = 150 Ft

Válasz: 150 Ft-ja van Ritának.

c) Adatok: 120 db 1 ? 10

Terv: x = 120 � 1 : 10

Számolás: x = 12

Ellen®rzés: 12 � 10 = 120 � 1

Válasz: 12 db 10 -osra válthatja be a pénzét.

Adatok: 120 db 1 ? 5

Terv: x = 120 � 1 : 5

Számolás: x = 24

Ellen®rzés: 24 � 5 = 120 � 1

Válasz: 24 db 5 -osra válthatja be a pénzét

d) Adatok: 18 db 10 ? Ft

Terv: x = 18 � 10


Válasz: 180 Ft-ja lehet Tibornak.

e) Adatok: U: 20 db 10

V: 20 db 5 , k = ?

Terv: k = U { V

Számolás: k = 20 � 10 { 20 � 5 k = 100 Ft

Ellen®rzés: U = 20 � 10 = 200 V = 20 � 5 = 100

Válasz: 100 Ft-tal több pénze van Ulriknak.



f) Adatok: 8 db 20 ? 2

Terv: 8 db 20 ? 1 2

Számolás: x = 8 � 20 : 2 x = 80

Ellen®rzés: 8 � 20 = 80 � 2

Válasz: 80 db 2 -osra válthatná be Zita a pénzét.

g) Adatok: Zs: 2 db 50 N: 5 db 20 k = ?

Terv: k = Zs { N

Számolás: k = 2 � 50 { 5 � 20 k = 0 FT

Ellen®rzés: Zs = 2 � 50 = 100 N = 5 � 20 = 100

Válasz: Ugyanannyi pénzük van.

h) Adatok: ü = 40 Ft, ü >ötödrésze

p, ö = ?

Terv: ö = ü + p

Számolás: ö = 40 + 40 : 5 ö = 48 Ft

Válasz: 48 Ft-ba kerül az üdít® a pohárral.

Páros és páratlan számok


számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szövegértés, szöveg-

értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, induktív

következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás,

emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, össze-

függéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 22. 24. 29.

A 2-es szorzótáblához kapcsolódva a számegyenesen való lépegetések meg�gyelése

során a páros, illetve a páratlan szám fogalmának az általánosítására kerül sor. A tanu-

lókkal mondassuk el a feladatmegoldás során szerzett tapasztalataikat. (Ne szabályokat

tanítsunk!) Figyeltessük meg, hogy a kerek tízesek párosak (a 0 és a kerek százasok

is kerek tízesek), így elegend® csupán az egyesek helyén álló számot vizsgálni. Ha az

egyesek helyén álló szám páros, akkor maga a szám is páros, ellenkez® esetben párat-

lan.

Tk. 37/1. kidolgozott mintapélda: Az ábra szemlélteti, hogy a kerek százasok, kerek

tízesek párosak, így az egyesek helyén álló szám dönti el a szám paritását.

Tk. 37/1. feladat: A feladatok a meg�gyelt összefüggések meger®sítését szolgálják.

Megoldás: a) 8 katona igen. 18 katona igen. 118 katona igen.

b) 5 katona nem. 25 katona nem. 125 katona nem.



53

Tk. 37/2. feladat: A feladatok a meg�gyelt összefüggések meger®sítését szolgálják. Is-

mét �gyeljük meg, hogy a páros számok beválthatók csupa kétforintosra.

Megoldás: 5 10 20 35 45 50

55 60 70 85 95 100

Tk. 37/3. feladat: A feladatok a meg�gyelt összefüggések meger®sítését szolgálják. Is-

mét �gyeljük meg, hogy csak a páros számok válthatók be csupa kétforintosra.

Megoldás: a) Igen. Igen. Igen. Igen. Igen. Igen.

b) Nem. Nem. Nem. Nem. Nem. Nem.

Tk. 37/4. feladat: Halmazábra megfelel® részébe kell beírni a páros, illetve páratlan

számokat. Figyeljük meg, mennyire tudják felhasználni önállóan a tanulók a korábbi ta-

pasztalatokat.

Megoldás:Páros számok Páratlan számok

0, 4, 8, 10, 34,

100, 134, 198

1, 7, 21, 67,

121, 167

Tk. 37/5. feladat: A 2-vel való oszthatóság vizsgálata során szerzett tapasztalatok alkal-

mazására szánt feladat. A megoldás nem minimumszint¶ követelmény.

Megoldás: a) 15 : 0; 2; 4

b) 1 5 : nincs megoldás

c) 16 : 1; 2; 3; 4; 5

d) 10 : 0; 2; 4

Gy. 36/1. feladat: A számegyenesen kettesével lépegetve meg�gyeltetjük, hogy pá-

ros vagy páratlan számokra lépünk-e. Vizsgáljuk meg a páros (páratlan) számok egyes

szomszédait. Páros számok egyes szomszédai páratlanok, és fordítva.

Megoldás: a) Páros számok: 4, 26, 30, 38

Páratlan számok: 15, 33, 41, 49

b) Páros számok: 104, 126, 130, 138


c) Páros számok: 74, 96, 100, 108,


Gy. 36/2. feladat: Ismét �gyeltessük meg, ha az egyesek helyén álló szám páros, akkor

maga a szám is páros, ellenkez® esetben páratlan.



Megoldás: a) 100 + 40 + 5 = 145 b) 100 + 50 + 4 = 154

c) 100 + 70 = 170 d) 100 + 7 = 107

Gy. 36/3. feladat: Ismét halmazábra megfelel® részébe kell beírni a páros, illetve párat-

lan számokat. Figyeljük meg, mennyire tudják felhasználni önállóan a tanulók a korábbi

tapasztalatokat.

Megoldás:Páros számok Páratlan számok

24, 0, 100,

178, 126

7, 91, 99,

153, 105

A 4-es és a 8-as szorzótábla






függéslátás, pontosság, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív

és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés.

Óra: 23. 25{26. 30{31.

A négyesével, nyolcasával növekv® vagy csökken® sorozatok képzése, számok rende-

zése maradékosztályokba, a maradékok vizsgálata el®készíti a maradékos osztást. Is-

mertessük fel a negyed és a nyolcad fogalmát, illetve a fél, a negyed és a nyolcad közti

kapcsolatot. Analóg számítások: kerek tízesek szorzása, osztása.

Tk. 38/1. feladat: Figyeljük meg 2-es, a 4-es és 8-as szorzótábla közti kapcsolatot.

Tk. 38/2. feladat: Hasonlítsuk össze a 4-es és a 8-as szorzótábla számait.

Megoldás: 5 � 4 = 20 5 � 8 = 40 3 � 4 = 12 3 � 8 = 24

10 � 4 = 40 10 � 8 = 80 13 � 4 = 52 13 � 8 = 104

20 � 4 = 80 20 � 8 = 160 23 � 4 = 92 23 � 8 = 184

Tk. 38/3. feladat: A szorzótábla folyamatos gyakorlására, a számolási rutin fejlesztésére

szánt feladatok. A tanultak alkalmazása analóg számításokban a 200-as számkörben.

Megoldás: 4 6 40 4

3 6 60 3

8 9 20 9



55

Tk. 38/4. feladat: Figyeljük meg 2-es, a 4-es és 8-as szorzótábla, illetve a szorzás és

az osztás közti kapcsolatot.

Megoldás: a) 3 4 8 b) 2 4 8

30 40 20 20 10 15




4 40 72 160

4 2 64 180



Ismét �gyeltessük meg a szorzás és osztás közti kapcsolatot.

Megoldás: Tömeg (dkg) 32 8 16 40 64 72 80 96 16 160 200

Ennyi labdának 4 1 2 5 8 9 10 12 2 20 25

Tk. 39/7. feladat: Beszéljük meg, hogy az adatlejegyzésnél jelölnünk kell az összefüggé-

seket. Az ilyen típusú feladatokban a rajzkészítés, a számegyenesen történ® lépegetés

segíthet a feladat megoldásában. Figyeljük meg a hányados változásait.

Megoldás: a) Adatok: 1 ugrás 8 m

? ugrás 56 m

Terv: x = 56 : 8

Számolás: x = 7


Válasz: 7 ugrással ér a forráshoz a szarvas.

b) Adatok: 1 ugrás 4 m

? ugrás 56 m

Terv: x = 56 : 4

Számolás: x = 14

Ellen®rzés: 14 � 4 = 56

Válasz: 14 ugrással ér a forráshoz az ®z.

c) Adatok: 1 ugrás 4 m

8 ugrás ? m

Terv: x = 8 � 4

Számolás: x = 32 m

Ellen®rzés: 32 : 4 = 8

Válasz: 32 m-re kellene állnia az ®znek.



Tk. 39/8. feladat: Szöveges feladatok. A feladatok lehet®séget biztosítanak a szorzás,

illetve az osztás különböz® értelmezéseinek meg�gyeltetésére. A feladatok megoldása

során ösztönözzük a gyermekeket az önálló munkavégzésre.

Megoldás: a) Adatok: Sz = 6 dm 4 cm = 64 cm, Sz negyedrésze ?

x

6 dm 4 cm = 84 cm

x x x

Terv: x = 64 : 4

Számolás: x = 16 cm

Ellen®rzés: 4 � 16 = 64

Válasz: 16 cm a szalag negyedrésze.

b) Adatok: x negyedrésze 8

Terv: x : 4 = 8 x = 4 � 8

Számolás: x = 32

Ellen®rzés: 32 : 4 = 8

Válasz: 32 a szám.

c) Adatok: 2 gy 60 g

1 gy ? g

Terv: x = 60 : 2

Számolás: x = 30

Ellen®rzés: 2 � 30 = 60

Válasz: Felét kapta egy gyerek. 30 golyót kapott egy gyerek.

d) Adatok: k = 8, k nyolcadrésze B, B = ?

Terv: B = k : 8

Számolás: B = 8 : 8 B = 1


Válasz: 1 Budapestet ábrázoló képeslapja van.

e) Adatok: 1 cs 4 kg

? cs 96 kg

Terv: x = 96 : 4

Számolás: x = 24 24 � 4 = 96

Válasz: 24 db 4 kg-os csomag készíthet®.

Tk. 39/9. feladat: Az osztás mint részekre osztás meg�gyeltetése. A tört, illetve a törtrész

fogalmának el®készítése.

Megoldás: Fél Fél Nyolcad Negyed Negyed



57

Tk. 39/1. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg a szöveges feladat megoldásme-

netét.

Megoldás:

4

� 2 � 48

� 8

3 2 4

� 2 � 44

� 8

1 6

5

� 2 � 41 0

� 8

4 0 2

� 2 � 21 6

� 8

3 2

4

� 4 � 22 6

� 8

3 2 5

� 2 � 41 0

� 8

4 0

Gy. 37/1. feladat: Figyeltessük meg a 2-es, a 4-es és a 8-as szorzótábla közötti össze-

függéseket.


Megoldás: a) 28 48 24 64

36 24 0 16

32 72 56 40

b) 7 4 10 9

6 4 8 8

4 8 10 8

Gy. 37/3. feladat: A néggyel való osztás maradékainak ábrázolása gra�konon. Figyel-

tessük meg a maradékokat.

4 8 12 16 20

0

1

2

3

4

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

Gy. 37/4. feladat: Az osztás mint részekre osztás meg�gyeltetése. A tört, illetve a tört-

rész fogalmának el®készítése.

Megoldás: 40 fele 20 40 negyede 10 40 nyolcada 5 40 tizede 4



A 3-as, a 6-os és a 9-es szorzótábla







Óra: 24{25. 27{28. 32{33.

A 3-as, a 6-os és a 9-es szorzótábla ismétlése jó alkalmat biztosít a szorzótáblák közti

kapcsolatok vizsgálatára. Soralkotások: számlálás hármasával, hatosával, kilencesével.

Végeztessünk analóg számításokat kerek tízesek szorzására, osztására a 200-as szám-

körön belül.

Tk. 40/1. kidolgozott mintapélda: Színesrudak segítségével szemléltetjük az összea-

dás és a szorzás, illetve a kivonás és a szorzás közötti disztributív kapcsolatot. (A zá-

rójelek használatának el®készítése.) Gyengébb csoportokban, ha szükséges, más szá-

mokkal is rakassuk ki, �gyeltessük meg ezeket az összefüggéseket! Szánjunk kell® id®t

a szorzótáblák közti kapcsolat tudatosítására, mert ez biztosabb számolási rutint ered-

ményezhet!

Tk. 41/1. feladat: Ismételjük át a 3-as, 6-os, 9-es szorzótáblákat. Figyeltessük meg a

közti lev® kapcsolatokat.

Tk. 41/2. feladat: A táblázat kitöltése során meg�gyeltethetjük, alkalmaztathatjuk a 10-

es, 1-es és 9-es szorzótáblák közötti kapcsolatokat.

Megoldás: Ennyi almát v. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ad érte (Ft) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Visszakap (Ft) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kerül (Ft) 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

Tk. 41/3. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az

analógiákat.

Megoldás: 6 � 2 = 12 6 � 20 = 120 3 � 5 = 15

3 � 50 = 150 9 � 2 = 18 9 � 20 = 180


analógiákat.

Megoldás: 4 4 50 2

9 0 3 20



59


analógiákat.

Megoldás: 18 18 12 18 9

180 180 120 180 90

180 180 120 180 90

Tk. 42/2. kidolgozott mintapélda: Játék pénz segítségével az osztás különböz® értel-

mezésére mutatunk példát. Az osztás mint részekre osztás, mint bennfoglalás, mint a

szorzás inverz m¶velete. Az írásbeli osztás el®készítése szempontjából fontos a hánya-

dos változásainak meg�gyeltetése, és ennek alkalmazásával a kerek tízesek osztása a

200-as számkörben.

Tk. 42/3. kidolgozott mintapélda: Játék pénz segítségével az osztás különböz® értel-

mezésére mutatunk példát. Az osztás mint részekre osztás, mint bennfoglalás, mint a

szorzás inverz m¶velete. Az írásbeli osztás el®készítése szempontjából fontos a hánya-

dos változásainak meg�gyeltetése, és ennek alkalmazásával a kerek tízesek osztása a

200-as számkörben.

Tk. 42/6. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg a

szorzás és az osztás közti kapcsolatot.

Megoldás: 9 � 4 = 36 6 � 5 = 30 7 � 3 = 21

4 � 9 = 36 5 � 6 = 30 3 � 7 = 21

36 : 4 = 9 30 : 6 = 5 21 : 3 = 7

36 : 9 = 4 30 : 5 = 6 21 : 7 = 3


analógiákat.

Megoldás: 4 3 5 2 3 9

40 30 5 2 30 9

4 3 50 20 3 90


analógiákat.


30 9 200 160

3 90 200 160

Tk. 42/9. feladat: Szöveges feladatok a szorzás és az osztás gyakorlására. Fontos fela-

dat a szöveg értelmezése, a megfelel® matematikai modell elkészítése, a számolás, az

ellen®rzés és a szöveges válasz is.

Megoldás: a) Adatok: A = 9, A <

�3B, B = ?

Terv: B = 3�A



Számolás: B = 3�9 B = 27

Válasz: 27 kis autója van Bélának.

b) Adatok: C = 9, C >

�3D, D = ?

Terv: D = C : 3 D � 3 = C

Számolás: D = 9 : 3 D = 3


Válasz: 3 babája van Dórának.

c) Adatok: k = 30, k >

hatodrészet, t = ?

Terv: t = k : 6

Számolás: t = 30 : 6 t = 5


Válasz: 5 könyv szól a törpékr®l.

d) Adatok: D = 30 Ft, I >

hatodrészeD, I = ?

Terv: I = 6�D

Számolás: I = 6�30 I = 180 Ft

Ellen®rzés: 180 : 6 = 30

Válasz: 180 Ft-ja van Imrének.

e) Adatok: 1 sor 9 db

? sor 54 db

Terv: x = 54 : 9

Számolás: x = 6


Válasz: 6 sorba fér el 54 bélyeg.

Tk. 42/10. feladat: Szöveges feladatok a szorzás és az osztás gyakorlására. Fontos

feladat a szöveg értelmezése, a megfelel® matematikai modell elkészítése, a számolás,

az ellen®rzés és a szöveges válasz is.

Megoldás: a) Adatok: 1 lépés 6 dm

7 lépés ? dm

Terv: x = 7 � 6

Számolás: x = 42 dm = 4 m 2 dm

Válasz: 42 dm = 4 m 2 dm távolságra jut Pista.

b) Adatok: 9 lépés 6 m 3 dm = 63 dm

Terv: 1 lépés ? m

x = 63 : 9

Számolás: x = 7



61


Válasz: 7 dm hosszú Róza egy lépése.

c) Adatok: 1 sor 3 db

Terv: ? sor 27 db

x = 27 : 3

Számolás: x = 9


Válasz: 9 sor csempével fedték le az el®szobát.

Gy. 38/1. feladat: Ha bet¶szimbólumokat vezetünk be, akkor könnyebben leírhatjuk a

meg�gyelt összefüggéseket: Kapcsolatok a táblázat egyes sorai között például:

Megoldás:

V � 2 = L, V � 3 = S, L : 2 = V, S : 3 = V, S : 3 � 2 = L, L : 2 � 3 = S, V + L = S.

Rudak száma 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

V: Világoskék (cm) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33

L: Lila (cm) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66

S: Sötétkék (cm) 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99

Gy. 38/2. feladat: A táblázat kitöltése során meg�gyeltethetjük, alkalmaztathatjuk a 10-

es, 1-es és 9-es szorzótáblák közötti kapcsolatokat.

Megoldás: Dobozok száma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bonbon dobozzal 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Ebb®l a doboz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ebb®l a bonbon 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

Gy. 38/3. feladat: A táblázatok kitöltése során meg�gyeltethetjük, alkalmaztathatjuk a

szorzótáblák közötti kapcsolatokat.

Megoldás: üveg száma 3 6 7 5 10 8

Szódavíz 15 30 35 25 50 40

Szörp 3 6 7 5 10 8

üdít® 18 36 42 30 60 48

átváltás 1 l 8 dl 3 l 6 dl 4 l 2 dl 3 l 0 dl 6 l 0 dl 4 l 8 dl

Gy. 38/4. feladat: A számolási rutin fejlesztését segít® feladatok. Figyeltessük meg az

analógiákat.

Megoldás: 24 10 21 12

20 18 36 24



27 36 30 20

20 45 48 40


analógiákat.

Megoldás: 3 2 7 9

10 10 10 3

1 6 9 9

0 7 5 8


analógiákat.


180 180 120

180 180 120

b) 2 6 2

20 60 20

2 6 2


analógiákat.

Megoldás: N 12 15 0 21 30 27 24 36 90 63 60 66 69

U 4 5 0 7 10 9 8 12 30 21 20 22 23

Gy. 39/8. feladat: Szöveges feladatok a szorzás és az osztás gyakorlására.

Megoldás: a) 18 : 2 = 9 2 � 9 = 18 9 palacsinta jutott.

18 : 3 = 6 3 � 6 = 18 6 palacsinta jutott.



b) 30 : 2 = 15 2 � 15 = 30 30 fele 15.

30 : 3 = 10 3 � 10 = 30 30 harmada 10.

30 : 5 = 6 5 � 6 = 30 30 ötöde 6.

30 : 6 = 5 6 � 5 = 30 30 hatoda 6.

30 : 10 = 3 10 � 3 = 30 30 tizede 3.

c) 24 = 1 � 24 = 2 � 12 = 3 � 8 = 4 � 6 = 6 � 4 = 8 � 3 = 12 � 2 = 24 � 1

24 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

8-féleképpen állítható sorba 24 gyerek.



63

d) 36 : 3 = 12 12 � 3 = 36 12 doboz telik meg.

36 : 4 = 9 9 � 4 = 36 9 doboz telik meg.

36 : 6 = 6 6 � 6 = 36 6 doboz telik meg.

36 : 9 = 4 4 � 9 = 36 4 doboz telik meg.

A 7-es szorzótábla; a szorzótáblák gyakorlása







Óra: 26{27. 29{30. 34{35.

A szorzótáblák ismétlésének befejezéseként beszéljük meg a 0 és az 1 többszöröseinek,

illetve a számok 0-szorosának, 1-szeresének értelmezését is.

Tk. 44/1. feladat: 7-es szorzótábla ismétlését segít táblázat. Figyeltessük meg a szorzás

és az osztás közötti kapcsolatot. Használjuk a hetede, hétszerese kifejezéseket.

Megoldás: a) 5 � 7 = 35 8 � 7 = 56 4 � 7 = 28

b) 21 : 7 = 3 63 : 7 = 9 42 : 7 = 6 105 : 7 = 15


analógiákat.


63 140 7 10

7 7 2 0

7 8 7 Nullával nem lehet osztani!

Tk. 44/3. feladat: A 7-es szorzótábla és az id®mértékegységek közül a nap és a hét

közötti kapcsolat meg�gyeltetése, a naptár használata. A héttel való osztás és a hét

napjai közötti kapcsolat szemléltetése.

Megoldás: a) 7 : 7 = 1 b) 10 : 7 = 1 c) 14 : 7 = 20 3 0

Hétf® lesz Csütörtök lesz Hétf® lesz

d) 17 : 7 = 2 e) 35 : 7 = 5 f) 40 : 7 = 53 0 5

Csütörtök lesz Hétf® lesz Szombat lesz



Tk. 44/4. feladat: A 7-es szorzótábla és az id®mértékegységek közül a nap és a hét

közötti kapcsolat meg�gyeltetése, a naptár használata. A héttel való osztás és a hét

napjai közötti kapcsolat szemléltetése.

Megoldás: a) 1., 8., 15., 22., 29.

b) 2., 11., 18., 25.

c) 7., 14., 21., 28.

d) 6., 13., 20., 27.

Tk. 44/5. feladat: Szöveges feladatok a szorzás és az osztás gyakorlására. Fontos fela-



Megoldás: a) Adatok: 1 nap 2 Ft

5 hét = 5 � 7 nap ? Ft

Terv: x = 5 � 7 � 2


Válasz: 70 Ft-ja gy¶lt össze Anikónak.

b) Adatok: k: 1 nap 8 Ft

1 hét = 7 nap 7 � 8, m = 4 Ft, v = ?

Terv: v = k +m

Számolás: v = 7 � 8 + 4 v = 60 Ft

Válasz: 60 Ft-ja volt eredetileg Boldizsárnak.


analógiákat.


35 1 10 14

70 9 7 35

56 4 7 42

49 2 13 42

42 13 7 Nullával nem lehet osztani!

Gy. 40/2. feladat: A táblázatok kitöltésével �gyeljük meg a szorzótáblák közti kapcsola-

tot.

Megoldás:

a) Ennyi hét 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20

Ennyi munkanap 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 100

Ennyi pihen®nap 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 40

Ennyi nap 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 140



65

b) Ennyi dl szörp 7 35 49 63 14 28 42 21 70 140 91

Ennyi üvegbe fér 1 5 7 9 2 4 6 3 10 20 13


analógiákat.


20 10 4 56

12 35 25 24

90 45 18 48

15 10 40 20

16 6 40 40

b) 24 30 6 49

48 60 12 63

72 90 18 21

12 15 21 35

24 30 42 14

36 45 63 70


analógiákat.


3 10 5 3

7 3 0-val nem 2

lehet osztani

10 10 5 2

4 7 6 8

20 4 70 5

b) 9 7 5 0

6 7 2 4

6 7 4 7

5 3 8 5

15 2 8 2

4 6 5 8

c) 12 3 36 1

24 4 0 4

8 6 8 0

16 5 10 0-val nem

lehet osztani



72 7 56 43

36 1 81 8


analógiákat.


8 6 9 0

7 5 8 2

8 1 6 1

8 8 5 9

28 6 35 5

18 5 9 7

15 4 0 2

30 7 12 1

32 4 27 9



67

Gy. 42/6. feladat: Az állatoknak minden számot érinteniük kell, amelyre igaz az állítás.

Megoldás:

3 � 5

7 � 5

1 � 3 5 � 1 3 � 3 3 � 8 6 � 6

7 � 4

1 � 1

2 � 8

5 � 5

9 � 1

9 � 3

7 � 1

2 � 2

7 � 8

6 � 4 9 � 0

8 � 9

2 � 6 4 � 5

7 � 10

10�1010 � 5

10 � 9

8 � 5

8 � 6

5 � 9

6 � 10

6 � 9

7 � 6

7 � 7

9 � 9

4 � 10

9 � 7

8 � 8

9 � 11

Maradékos osztás








függéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 28. 31. 36{37.

A szorzótáblák ismétléséhez kapcsolódva foglalkozunk a maradékos osztás fogalmával,

elvégzésével. Ha szükséges, többféleképpen szemléltessük a maradékos osztást. Pél-

dául: játék pénzzel; számegyenesen való lépegetéssel; korongok, pálcikák, színesrúd

kirakásával.

A következ® órákon ismételten térjünk vissza a maradékos osztás folyamatos gyakorlá-

sára. A vizsgálatok szerint ez a leghatékonyabb módja a szorzótábla alkalmazásra képes

megtanításának, az írásbeli osztás el®készítésének. Figyeltessük meg az osztás mara-

dékait különböz® osztók esetén. (Ismerkedés a maradékosztályokkal.)

A tanulók ne feledkezzenek meg az ellen®rzésr®l!

Tk. 45/ 1. kidolgozott mintapélda: Szöveges feladat megoldása kapcsán mutatjuk be

a maradékos osztás elvégzését, írásmódját, ellen®rzését, a szöveges feladatra adott

választ.

Tk. 45/1. feladat: Maradékos osztás gyakorlására szánt feladatsor. Hívjuk fel a �gyelmet

az ellen®rzés fontosságára.

Megoldás: a) 14 : 3 = 4 28 : 9 = 3 47 : 5 = 92 1 2

4 � 3 + 2 = 14 3 � 9 + 1 = 28 9 � 5 + 2 = 47

26 : 3 = 8 19 : 2 = 9 33 : 5 = 62 1 3

8 � 3 + 2 = 26 9 � 2 + 1 = 19 6 � 5 + 3 = 33

b) 54 : 6 = 9 75 : 9 = 8 17 : 6 = 20 3 5

9 � 6 + 0 = 54 8 � 9 + 3 = 75 2 � 6 + 5 = 17

24 : 6 = 4 38 : 9 = 4 50 : 6 = 80 2 2

4 � 6 + 0 = 24 4 � 9 + 2 = 38 8 � 6 + 2 = 50

Tk. 45/2. feladat: Szöveges feladatok a maradékos osztás gyakorlására. Fontos fela-



Megoldás: a) Adatok: 37 db 1 ? 5

Terv: x = 37 : 5

Számolás: 37 : 5 = 72

Ellen®rzés: 7 � 5 + 2 � 1 = 37

Válasz: 7 darab ötforintosra váltható és marad 2 darab egyforintos.



69

b) Adatok: 1 lap 9 dm

? lap 7 és fél m = 75 dm

Terv: x = 75 : 9

Számolás: 75 : 9 = 83

Ellen®rzés: 8 � 9 + 3 = 75

Válasz: 8 lap fér el, 3 dm hosszú járda marad lefedetlen.

Tk. 45/3. feladat: A maradékos osztás gyakorlása táblázat kitöltésével.

Megoldás: Ennyi mogyoró 10 18 37 53 85 72 73 74 71 67 55

Ennyi jut 1-nek 1 2 4 6 10 9 9 9 8 8 6

Ennyi marad 2 2 5 5 5 0 1 2 7 3 7

Tk. 45/4. feladat: A maradékos osztásról tanultak elmélyítése problémahelyzetben.

Megoldás: a) a : 9 = 6 a = 6 � 9 + 3 a = 573

b) 47 : b = b: 3, 5, 9, 15, 45

2

Gy. 43/1. feladat: A maradékos osztás értelmezése, gyakorlása, ellen®rzése.

Megoldás: a) 34 : 9 = 3 3 � 9 + 7 = 34 7 alma marad ki.7


Megoldás:

15 Ft 19 Ft 20 Ft

1 5 : 2 = 7

1

1 9 : 2 = 9

1

2 0 : 2 = 1 0

0

7 � 2 + 1 = 1 5 9 � 2 + 1 = 1 9 1 0 � 2 = 2 0

Gy. 43/3. feladat: Szöveggel adott függvény táblázatának kitöltése. Az osztás maradé-

kának meg�gyelése.

Ennyi 1 -os van 46 75 100 107 140 63 121 159

Ennyi 10 -osra váltható 4 7 10 10 14 6 12 15

Ennyi 1 -os marad 6 5 0 7 0 3 1 9





Ennyi virág volt 21 28 32 61 96 20 120 151

Ennyi csokor lett 7 9 10 20 32 6 40 50

Ennyi szál maradt 0 1 2 1 0 2 0 1



Ennyi tojás volt 30 45 50 121 185 123 182

Ennyi doboz telt meg 5 7 8 20 30 20 30

Ennyi tojás maradt 0 3 2 1 5 3 2


Megoldás: a) 19 : 2 = 9 25 : 6 = 4 30 : 9 = 31 1 3

9 � 2 + 1 = 19 4 � 6 + 1 = 25 3 � 9 + 3 = 30

b) 34 : 5 = 6 47 : 9 = 5 34 : 6 = 54 2 4

6 � 5 + 4 = 34 5 � 9 + 2 = 47 5 � 6 + 4 = 34

c) 27 : 5 = 5 29 : 3 = 9 15 : 2 = 72 2 1

5 � 5 + 2 = 27 9 � 3 + 2 = 29 7 � 2 + 1 = 15

d) 60 : 9 = 6 53 : 6 = 8 49 : 5 = 96 5 4

6 � 9 + 6 = 60 8 � 6 + 5 = 53 9 � 5 + 4 = 49

Gy. 44/7. feladat: Szöveges feladatok a maradékos osztás gyakorlására.

Megoldás: a) Adatok: 1 tepsi 9 db

? tepsi 50 db

Terv: x = 50 : 9

Számolás: 50 : 9 = 55

Ellen®rzés: 5 � 9 + 5 = 50

Válasz: 5 tepsi sütemény készíthet®, és marad 5 tojás.

b) Adatok: 6 gyerek 40 szál

1 gyerek ?

Terv: x = 40 : 6

Számolás: 40 : 6 = 6

4



71

Ellen®rzés: 6 � 6 + 4 = 40

Válasz: 6 virág jut egy gyereknek, és 4 szál virág marad.

c) Adatok: 3 veréb 25 mag

1 veréb ? mag

Terv: x = 25 : 3

Számolás: 25 : 3 = 81

Ellen®rzés: 3 � 8 + 1 = 25

Válasz: 8 mag jutna egynek, és maradna 1 mag.

Nem oszthatják szét egyenl®en.

Gy. 44/8. feladat: Természetes számok maradékosztályokba rendezése.

Megoldás:

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5

Óra: 29. 32. 38.

1/I. tájékozódó felmérés


1/II. tájékozódó felmérés


A m¶veletek sorrendje



értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, kombinativitás, induk-

tív következtetések, deduktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegol-

dás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kreativitás, kezdeményez®képesség, metakogníció,

meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés,

környezettudatosságra nevelés.

Óra: 30. 33. 39{40.

A m¶veletek sorrendjével már 2. osztályban is foglalkoztunk. Az ott tanultakat elevenítjük

föl és alkalmazzuk szöveges feladatok és összetett számfeladatok megoldásánál, analóg

számításokhoz kapcsolódóan is.



Tk. 46/Emlékeztet®: Felidézzük a m¶veleti sorrendr®l tanultakat:

Ha csak egyenrangú m¶veletek szerepelnek a m¶veletsorban (összeadás, kivonás, illet-

ve szorzás, osztás), és nem szerepel zárójel, akkor balról jobbra haladhatunk a m¶ve-

letvégzésben.

Ha nem csak egyenrangú m¶veletek szerepelnek a m¶veletsorban, és nem szerepel

zárójel, akkor a szorzást, osztást végezzük el el®ször, majd az így kapott eredményekkel

az összeadást és a kivonást.

A szorzást és az osztást ebben az esetben ne tegyük zárójelbe. Tanuláslélektani meg-

fontolásból jobb, ha a zárójelet csak a szükséges esetekben tesszük ki. Ugyanis ha

feleslegesen használjuk a zárójelet, akkor kialakulhat az a rossz szokás, hogy csak a

zárójelek esetén �gyel a tanuló a m¶veletek helyes sorrendjére, és nem rögzülnek a fent

részletezett szabályok.

A zárójelek használatát kés®bb, a m¶veleti sorrendr®l tanultak begyakorlása után érde-

mes felelevenítenünk és begyakoroltatnunk.

Tk. 46/1. kidolgozott mintapélda: Figyeltessük meg a m¶veleti sorrendr®l tanultakat a

szöveges feladat megoldása során.

Tk. 46/1. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrend gyakorlására. A számolás

el®tt a tanulók tervezzék meg és írják be a kis körökbe a m¶veletek sorrendjét.

Megoldás: a) 40

1:

+ 90| {z }

130

2:

{ 20 = 110 90

1:

+ 20| {z }

110

2:

+ 70 = 180

137

1:

{ 60| {z }

77

2:

+ 9 = 86 180

1:

{ 60| {z }

120

2:

{ 50 = 70

b) 6

1:

� 10| {z }

60

2:

� 2 = 120 180

1:

: 10| {z }

18

2:

: 2 = 9

72

1:

: 9| {z }

8

2:

� 15 = 120 16

1:

: 2| {z }

8

2:

� 5

| {z }

40

3:

: 10 = 4

c) 20

2:

+ 6

1:

� 10| {z }

60

= 80 80

2:

+ 40

1:

: 5| {z }

8

= 88

75

2:

+ 5| {z }

�

8:

1 40 = 115 9

1:

� 10| {z }

90

3:

{ 45

2:

: 5| {z }

9

= 81

Tk. 47/2. feladat: Összetett szöveges feladatok. Figyeltessük meg m¶veletek sorrendjét.

Mutassuk meg, hogy a modell készítése hogyan segíti a feladatmegoldást.



73

Megoldás: a) Adatok: 125 mK B

8 mm | {z }

?

1 ugrás 8 m

5 ugrás 5 � 8 m

Terv: x = 125 { 5 � 8|{z}

40


Ellen®rzés: 85 + 5 � 8 = 125

Válasz: 85 m-re lesz a kenguru a bokortól.

b) Adatok: 125 mK B

8 mm| {z }

?1 ugrás 12 m

5 ugrás 5 � 12 m

Terv: x = 125 + 5 � 12| {z }

60


Ellen®rzés: 185 { 5 � 12 = 125

Válasz: 185 m-re lesz a kenguru a bokortól.

c) Adatok: 85 mB E M

185 m| {z }

?Terv: x = 185 { 85


Ellen®rzés: 100 + 85 = 185

Válasz: 100 m-re van a két kenguru egymástól.

Tk. 47/3. feladat: A feladatsor feldolgozását egy órára javasoljuk. Segítségével felmér-

hetjük az ért® szövegolvasást. Figyeljük meg, hogy a szöveg alapján hogyan ismerik fel

az összefüggéseket, hogyan alkotják meg a matematikai modellt.

Ne feledkezzünk meg a szöveges feladat megoldási lépéseir®l!

Megoldás: a) Adatok: v = 70 Ft, k = 5 db 10 l = ?

Terv: l = v + k

Számolás: l = 70 + 5�10 l = 120 Ft

Válasz: 120 Ft-ja lesz Fanninak.

b) Adatok: v = 70 Ft, k = 5 Ft + 10 Ft, l = ?

Terv: l = v + k

Számolás: l = 70 + 5 + 10 l = 85 Ft

Válasz: 85 Ft-ja lesz Gábornak.



c) Adatok: v = 70 Ft, e = 5 db 10 , m = ?

Terv: m = v { e

Számolás: m = 70 { 5 � 10 m = 20 Ft

Ellen®rzés: 20 + 5 � 10 = 70

Válasz: 20 Ft-ja maradt Heninek.

d) Adatok: f = 10 db 10 , m = 70 Ft, v = ?

Terv: v = f +m

Számolás: v = 10 � 5 + 70 v = 120 Ft

Ellen®rzés: 120 { 10 � 5 = 70

Válasz: 120 Ft-ja volt Ildikónak.

e) Adatok: p = 70 Ft, p >

tizedeny, 5 ny

Terv: ny = 70 : 10 � 5

Számolás: ny = 35 Ft

Ellen®rzés: 70 : 10 = 35 : 5

Válasz: 35 Ft-ot �zet Jutka az 5 nyalókáért.

Tk. 47/4. feladat: Figyeljük meg, hogy a szöveg alapján hogyan ismerik fel az összefüg-

géseket, hogyan alkotják meg a matematikai modellt. Ne feledkezzünk meg a szöveges

feladat megoldási lépéseir®l!

Megoldás: a) Adatok: v = 178 l, k = 15 � 6 l, m = ?

Terv: m = v { k

Számolás: m = 178 { 15 � 6| {z }

6

m = 88 l

Ellen®rzés: 80 + 88 = 178

Válasz: 88 l víz marad a hordóban.

b) Adatok: v = 1 m 65 cm = 165 cm, l = 7 � 1 dm = 10 cm, m = ?

Terv: m = v { l

Számolás: m = 165 { 7 � 10| {z }

70

, m = 95 cm

Ellen®rzés: 95 + 7 � 10 = 165

Válasz: 95 cm = 9 dm 5 cm hosszú szalag marad.

c) Adatok: v = 8 � 10 dkg, é = 8 � 5 dkg, ö = ?

Terv: ö = v + é

Számolás: ö = 8 � 10| {z }

80

+8 � 5|{z}

40

ö = 120 dkg

Válasz: 120 dkg = 1 kg 20 dkg az össztömeg.

d) Adatok: k = 75 dkg, é = 8 � 5, ö = ?

Terv: ö = k + é



75

Számolás: ö = 75 + 8 � 5|{z}

40

ö = 115 dkg

Válasz: 115 dkg = 1 kg 15 dkg nehéz volt összesen.

Gy. 45/1. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrend gyakorlására. A számolás

el®tt a tanulók tervezzék meg és írják be a kis körökbe a m¶veletek sorrendjét.

Megoldás:

a) 5

1:

� 30| {z }

150

2:

+ 40 = 190 3

1:

� 50| {z }

150

2:

{ 40 = 190 8

1:

� 20| {z }

160

2:

{ 20 = 140

2

1:

� 80| {z }

160

2:

+ 20 = 180 6

1:

� 20| {z }

120

2:

+ 15 = 135 60

1:

� 2| {z }

120

2:

{ 15 = 105

5

1:

� 40| {z }

200

2:

{ 30 = 170 4

1:

� 50| {z }

200

2:

{ 60 = 140 3

1:

� 60| {z }

180

2:

{ 50 = 130

b) 70

2:

+ 4

1:

� 20| {z }

80

= 150 90

2:

+ 50

1:

� 1| {z }

50

= 140 180

2:

{ 5

1:

� 30| {z }

150

= 30

200

2:

{ 2

1:

� 60| {z }

120

= 80 20

2:

+ 2

1:

� 50| {z }

100

= 120 200

2:

{ 10

1:

� 5| {z }

50

= 150

30

2:

+ 90

1:

� 1| {z }

90

= 120 50

2:

+ 70

1:

� 2| {z }

140

= 190 190

2:

{ 20

1:

� 6| {z }

120

= 70

Gy. 45/2. feladat: Függvényre vezethet® szöveges feladat. A feladat megoldása a táblá-

zat kitöltése. Figyeljünk az összefüggések felismerésére és a szabálykövetésre. Beszél-

jük meg, hogyan jelölhetjük bet¶kkel az egyes mennyiségeket.

Megoldás: Ennyi pénz volt = V; ennyi 5 -os = Ö;

Ennyi pénz marad = M.

Szabály lehet: V { Ö � 5 = M.

Ennyi pénz volt V 42 95 100 148 167 180 156 113

Ennyi 5 -os Ö 4 8 10 20 6 30 30 20

Ennyi pénz marad M 22 55 50 48 137 30 6 13

Gy. 45/3. feladat: Figyeljük meg, hogy a szöveg alapján hogyan ismerik fel az összefüg-





Megoldás: Adatok: v = 120, e = 8 � 5, m = ?

Terv: m = v { e

Számolás: m = 120 { 8 � 5|{z}

40

m = 80

Ellen®rzés: 80 + 8 � 5 = 120

Válasz: 80 gyerek maradt a táborban.




Megoldás: Adatok: e = 50, v = 9 � 10, l = ?

Terv: l = e + v

Számolás: l = 50 + 9 � 10| {z }

90

l = 140

Válasz: 140 bélyege lett Bélának.

Gy. 46/5. feladat: Összetett számfeladatok a m¶veleti sorrend gyakorlására, a számolási

rutin fejlesztésére, a folyamatos ismétlésre.

Megoldás:

a) 7

1:

� 3| {z }

21

2:

+ 140 = 181 96

2:

+ 60

1:

: 3| {z }

20

= 116

9

1:

� 6| {z }

54

2:

+ 110 = 164 132

2:

{ 120

1:

: 6| {z }

20

= 112

6

1:

� 8| {z }

48

2:

+ 70 = 118 81

2:

+ 180

1:

: 9| {z }

20

= 101

a) 126

2:

{ 5

1:

� 6| {z }

30

= 96 90

1:

: 3| {z }

30

2:

+ 75 = 105

145

2:

{ 10

1:

� 9| {z }

90

= 55 180

1:

: 6| {z }

30

2:

+ 97 = 105

112

2:

{ 10

1:

� 3| {z }

30

= 82 200

1:

: 5| {z }

40

2:

{ 26 = 14



77




Megoldás: a) Adatok: 6 db 20 , 3 db 5 , ö = ?

Terv: ö = 6 � 20| {z }

120

+3 � 5|{z}

15

Számolás: ö = 135 Ft

Válasz: 135 Ft-ja van Dórának.




Megoldás: a) Adatok: v = 195 Ft, e = 9 db 20 , m = ?

Terv: m = v { e

Számolás: m = 195 { 9 � 20| {z }

180

m = 15 Ft

Ellen®rzés: 15 + 9 � 20 = 195

Válasz: 15 Ft-ja maradt édának.




Megoldás: a) Adatok: t = 10 m 5 dm = 105 dm, m = 15 � 7 dm, h = ?

Terv: h = t { m

Számolás: h = 105 { 15 � 7| {z }

1

05 h = 0 dm

Ellen®rzés: 0 + 15 � 7 = 105

Válasz: Odaért a tóhoz.

A zárójelek használata





problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kreativitás, kezdeményez®képes-

ség, metakogníció, tudatosság, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, ko-

operatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés.



Óra: 31{32. 34{35. 41{42.

Összetett számfeladatok, a m¶veleti sorrendr®l és a zárójelek használatáról tanultak fel-

elevenítése, gyakorlása. A tankönyvi mintapéldák segítséget nyújtanak az összetett szö-

veges feladatok önálló megoldásához. Figyeltessük meg a gyermekekkel a zárójelek

módosító szerepét. Mutassunk példákat arra, hogy mely esetekben változik és melyek-

ben nem változik az eredmény a zárójel hatására.

A zárójelek felbontását készítjük el®, amikor az összetett zárójeles számfeladatokat átí-

ratjuk zárójel nélkülivé, illetve szöveges feladatok számítási tervének felírását zárójellel

és anélkül is elvárjuk.

Folyamatosan gyakoroltassuk a szorzótáblákat, az összeadást és a kivonást.

Tk. 48/1. kidolgozott mintapélda: Fedeztessük fel az összeadás asszociatív tulajdonsá-gát: tetsz®legesen zárójelezhetjük azt a m¶veletsort, amely csak összeadást tartalmaz,

az eredmény nem változik.

Tk. 48/Figyeld meg!: A m¶veleti sorrendr®l, zárójelr®l tanultak megbeszélése.

Tk. 48/1. feladat: A szöveges feladatok megoldása során is fedeztessük fel az össze-

adás asszociatív tulajdonságát: tetsz®legesen zárójelezhetjük azt a m¶veletsort, amely

csak összeadást tartalmaz, az eredmény nem változik.

Megoldás: a) Adatok: v = 47 Ft, k = 30 Ft + 8 Ft, l = ?

Terv: l = v + k

Számolás: l = 47 + 30| {z }

77

+8 l = 47 + (30 + 8) l = 85 Ft

Válasz: 85 Ft-ja lett Istvánnak.

b) Adatok: v = 64, h: ö = 20, a = 9, l = ?

Terv: l = v + h

Számolás: l = (64 + 20| {z }

84

) + 9 vagy

l = 64 + (20 + 9| {z }

29

) vagy

l = 64 + 20| {z }

84

+9 l = 93

Válasz: 93 doboz gyümölcsital lett

c) Adatok: cs = 48 Ft, ü = 40 Ft, b = 20 Ft, ö = ?

Terv: ö = cs + ü + b

Számolás: ö = 48 + 40| {z }

88

+20 vagy ö = 48 + (40 + 20| {z }

60

) ö = 108 Ft

Válasz: 108 Ft-ot �zetett összesen Jutka.

d) Adatok: r = 15 Ft, m = 25 Ft, ü = 48 Ft, ö = ?

Terv: ö = r + m + ü



79

Számolás: ö = (15 + 25| {z }

40

) + 48 vagy ö = 15 + 25 + 48| {z }

73

ö = 88 Ft

Válasz: 88 Ft-ot �zetett összesen Dóra.

e) Adatok: v = 135 kg, e = 70 kg, r = 3 kg, m = ?

Terv: m = v { e { r vagy m = v { (e + r )

Számolás: m = 135 { 70| {z }

65

{ 3 m = 135 { (70 + 3)| {z }

73

m = 62 kg

Válasz: 62 kg burgonya maradt.

Tk. 49/2. kidolgozott mintapélda: A szöveges feladatok megoldásakor tapasztalatot

szerezhetnek a tanulók, hogyan kell összeget, illetve különbséget kivonni, illetve hogyan

hagyható el a zárójel, ha el®tte kivonásjel van.

Tk. 49/2. feladat: A szöveges feladatok megoldásakor tapasztalatot szerezhetnek a ta-

nulók, hogyan kell összeget, illetve különbséget kivonni, illetve hogyan hagyható el a

zárójel, ha el®tte kivonásjel van.

Megoldás: a) Adatok: v = 126, k = 40, gy = 10, m = ?

Terv: m = v { k { gy vagy m = v { (k + gy)

Számolás: m = 126 { 40| {z }

86

{ 10 m = 126 { (40 + 10)| {z }

50

m = 76

Válasz: 76-an maradtak a táborban.

b) Adatok: v = 126, j = 40, n = 10, m = ?

Terv: m = v { (j { n) vagy m = v { j + n

Számolás: m = 126 { (40 { 10)| {z }

30

m = 126 { 40| {z }

86

+10 m = 96


c) Adatok: v = 126, k = 40, m = ?

Felesleges adat: sz = 10

Terv: m = v { k

Számolás: m = 126 { 40 m = 86


Tk. 49/3. feladat: összeadást és kivonást tartalmazó összetett számfeladatok. A záróje-

lek felbontására gy¶jthetnek tapasztalatot a tanulók.

Megoldás: a) 80 + (30 + 7)| {z }

37

= 117 80 + 30| {z }

110

+7 = 117

b) 90 { (40 + 2)| {z }

42

= 48 90 + 40| {z }

50

{ 2 = 48

c) 150 { (100 + 20)| {z }

80

= 70 150 { 100| {z }

50

{ 20 = 70



d) 76 + (50 + 3)| {z }

53

= 129 76 + 50| {z }

126

+3 = 129

e) 156 { (30 + 4)| {z }

34

= 122 156 { 30| {z }

126

{ 4 = 122

f) 125 { (120 { 5)| {z }

115

= 10 125 { 120| {z }

5

+5 = 10

Tk. 50/3. kidolgozott mintapélda: összeadással, kivonással, szorzással, illetve osztás-

sal leírható összetett szöveges feladatok megoldása során mutatjuk be a zárójelek sze-

repét, a zárójelfelbontást, a feladat megoldási menetét.

Tk. 50/4. kidolgozott mintapélda: összeadással, kivonással, szorzással, illetve osztás-

sal leírható összetett szöveges feladatok megoldása során mutatjuk be a zárójelek sze-

repét, a zárójelfelbontást, a feladat megoldási menetét.

Tk. 50/4. feladat: összetett számfeladatok a m¶veleti sorrendr®l és a zárójelek haszná-

latáról tanultak gyakorlására. Figyeltessük meg, mikor változtat az eredményen a zárójel,

és mikor nem.

Megoldás: a) (20 + 8) � 7 = 20 � 7 + 8 � 7 = 196

b) (140 + 7) : 7 = 140 : 7 + 7 : 7 = 21

c) 6 � (30 + 2) = 6 � 30 + 6 � 2 = 192

d) (20 + 3) � 8 = 20 � 8 + 3 � 8 = 184

e) (160 + 8) : 8 = 160 : 8 + 8 � 8 = 21

f) 80 : (10 { 2) = 10 Nem bontható fel a zárójel

g) (50 { 7) � 3 = 50 � 3 { 7 � 3 = 129

h) (60 { 6) : 9 = 54 : 9 = 6

i) 48 : (2 + 4) = 8 Nem bontható fel a zárójel

j) (30 { 4) � 4 = 30 � 4 { 4 � 4 = 104

k) (200 { 8) : 4 = 200 : 4 { 8 : 4 = 48

l) 7 � (27 { 14) = 7 � 27 + 7 � 14 = 91

Tk. 51/5. feladat: A szöveges feladatok megoldásakor tapasztalatot szerezhetnek a ta-

nulók, hogyan kell összeget, illetve különbséget kivonni, illetve hogyan hagyható el a

zárójel, ha el®tte kivonásjel van.

Megoldás: a) Adatok: j = 16 � 8 dm, b = 16 � 2 dm, ö = ?

Terv: ö = j + b

Számolás: ö = 16 � 8| {z }

128

+16 � 2| {z }

32

vagy ö = 16 � (8 + 2)| {z }

10

ö = 160 dm

Válasz: 160 dm-re lesznek egymástól.



81

b) Adatok: 160 mT1 T2

1 perc 2 m 1 perc 8 mTerv:

Számolás: x = 160 : (2 + 8)| {z }

10

x = 16 perc

Válasz: 16 perc múlva találkoznak.

c) Adatok:

M

1 lépés 8 dm

B

1 lépés 2 dm

1. lépés

M1

B1

| {z }

?

Terv: 1 lépés = 8 { 2 a különbség

16 lépés k = ?

Számolás: k = 16 � 8| {z }

128

{ 16 � 2| {z }

32

vagy k = 16 � (8 { 2)| {z }

6

k = 96 dm

Válasz: 96 dm-re lesznek egymástól.

d) Adatok: 160 mP

1 perc 20 m

Terv: t = 160 m, m = 8 � 20 m, h = ?

Számolás: h = t { m

Ellen®rzés: h = 160 { 8 � 20| {z }

160

h = 0 m

Válasz: 0 m távolságra lesz a vízt®l.

e) Adatok: 160 mR

| {z }

80 m{t úszik

| {z }

?1 sz. cs. 2 m

t = 160 m, m = 80 m, 1 sz 2 m, ? sz

Terv: sz = (t { m) : 2

Számolás: sz = (160 { 80)| {z }

80

: 2 vagy sz = 160 : 2| {z }

80

{ 80 : 2| {z }

40

sz = 40

Válasz: 40 szárnycsapással ér oda.

f) Adatok: R

| {z }

16 m

| {z }

80 m

1 u 2 m



Terv: 1 ugrás 2 m

? ugrás 16 m + 80 m

Számolás: x = (16 + 80)| {z }

92

: 2 vagy x = 16 : 2| {z }

8

+80 : 2| {z }

40

x = 48

Válasz: 48 ugrással teszi meg a távolságot.

g) Adatok:

S

1 perc 20 m

T

1 perc 16 m

| {z }

80 m

1. perc után

S T

| {z }

?

Terv: A kérdés az, hogy 1 perc alatt hány métert hoz be

Süni a hátrányából

1 perc alatt 20 { 16 m-t

u perc alatt 80 m

Számolás: u = 80 : (20 { 16)| {z }

4

u = 20 perc

Válasz: 20 perc múlva éri utol.

Gy. 47/1. feladat: Figyeltessük meg, hogy ha a nyitó zárójel el®tt összeadásjel vagy

szorzásjel van, akkor a zárójelezés nem változtatja meg az eredményt.

Megoldás: a) 160

1.

: 4

2.

� 2 = 8 0 b) 97

1.

{ 54

2.

+ 8 = 7 1

160

2.

: (4

1.

� 2) = 2 0 97

1.

{ (54

1.

+ 28) = 1 5

(160

1.

: 4)

2.

� 2 = 8 0 (97

1.

{ 54)

2.

+ 28 = 7 1



Megoldás: a) 60

2.

+ 20

1.

� 2 = 1 0 0 b) 100

2.

{ 20

1.

: 5 = 9 6

(60

1.

+ 20)

2.

� 2 = 1 6 0 (100

1.

{ 20)

2.

: 5 = 1 6

60

1.

� 2

2.

+ 20 = 1 4 0 100

1.

: 5

2.

{ 20 = 0

60

1.

� 2

2.

+ 20

3.

� 2 = 1 6 0 100

1.

: 5

3.

{ 20

2.

: 5 = 1 6



83



Megoldás: a) 140 felének és 56-nak az összege; a = 140 : 2 + 56 a = 126

b) 140-nek és 56 felének a különbsége; b = 140 { 56 : 2 b = 112

c) 140 és 56 összegének a fele; c = (140 + 56) : 2 c = 98

d) 140 és 56 különbségének a fele; d = (140 { 56) : 2 d = 42

e) 140-nek és 56 kétszeresének a különbsége;

e = 140 { 56 � 2 e = 28

f) 140 és 56 különbségének a kétszerese? f = (140 { 56) � 2 f = 168

Gy. 47/4. feladat: Szabálykövetés. Figyeltessük meg, hogy ugyanazon számok esetén

más eredményre juthatunk, ha más a m¶veleti sorrend és a m¶veleti jel.

Megoldás:

a) 80� 2

1 6 0+ 20

1 8 0: 3

6 0{ 10

5 0

b) 80+ 20

1 0 0� 2

2 0 0: 10

2 0{ 3

1 7

c) 80{ 20

6 0� 3

1 8 0+ 10

1 9 0: 2

9 5

Gy. 48/5. feladat: Szabálykövetés. Figyeltessük meg, hogy ugyanazon számok esetén

más eredményre juthatunk, ha más a m¶veleti sorrend és a m¶veleti jel.

Megoldás: A B C D

1

2

3

4

A1 : 102 C1 : 124

A2 : 44 C2 : 20

A3 : 125 C3 : 7

A4 : 80 C4 : 104

B1 : 34 D1 : 60

B2 : 43 D2 : 55

B3 : 40 D3 : 15

B4 : 200 D4 : 70



Mer®legesség, párhuzamosság


rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, térlátás, induktív következtetések,

problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gye-

lem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-

tosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.

Óra: 33{34. 36{37. 43{44.

Sok és sokféle tevékenységre alapozva alakítsuk ki a metsz®, mer®legesen metsz®, pár-

huzamos és kitér® egyenespárok szemléletes fogalmát. Kerestessünk különböz® síkido-

mokon párhuzamos, metsz®, mer®legesen metsz® oldalpárokat. Ezeknek a vizsgálatok-

nak a során adjunk a tanulók kezébe síkidom-, illetve testmodelleket.

Kezdetben típushiba, hogy a tanulók összetévesztik a �mer®leges" és a �párhuzamos",

illetve a �mer®leges" és a �metsz®" fogalmakat, elnevezéseket. E fogalmak sokféle alkal-

mazásával és az elnevezések következetes használatával kiküszöbölhetjük ezt a hibát.

A fogalmak meger®sítése céljából a következ® fejezet feldolgozása során újra és újra

vizsgáljuk a különböz® síkidomok oldalainak, illetve a testek éleinek kölcsönös helyze-

tét.

A számolási rutin és a szövegértelmez® képesség fejlesztése érdekében folyamatosan

ismételjük és gyakoroltassuk a m¶veletekr®l, a m¶veletek sorrendjér®l eddig tanultakat.

3. osztályban a geometriát feldolgozó órákon is legalább 5-6 percet számoljanak a gyer-

mekek. Otthoni munkára is folyamatosan adjunk fel e témakörb®l feladatokat.

Tk. 52-53/Meg�gyelések: A �metsz®", illetve a �mer®legesen metsz®" egyenespár fo-

galmának kialakítása. A mer®leges egyenespárok kiválasztása, illetve el®állítása papír-

hajtogatással, rajzzal.

Fontos, hogy a mer®leges egyenespárokat �ferde" helyzetben is felismerjék és létre tud-

ják hozni a tanulók.

Tk. 53/1. feladat: A mer®leges egyenespárok kiválasztása, illetve el®állítása papírhajto-

gatással. A tanteremben található tárgyakon mer®leges egyenespárok keresése.

Megoldás: Tábla, asztal, pad, könyv, stb. vizsgálata, mer®leges egyenespárok keresé-

se.

Tk. 53/2. feladat: A mer®leges egyenespárok kiválasztása, illetve el®állítása pálcikákkal.

�Metsz®", a �mer®legesen metsz®", �mer®legesen nem metsz®" egyenespárok el®állítása

tevékenységgel.

Megoldás: a) b) c)



85

Tk. 53/3. feladat: A mer®leges egyenespárok rajzolásának gyakorlása papírhajtogatás-

sal készített eszköz segítségével.

Megoldás: Fontos, hogy a mer®leges egyenespárokat �ferde" helyzetben is felismerjék

és létre tudják hozni a tanulók.

Tk. 53/4. feladat: A �párhuzamos" egyenespár fogalmának kialakítása. Figyeltessük

meg, hogy a párhuzamos egyenesek között mindig ugyanakkora a távolság. Ez a tá-

volság 0 is lehet, ezért az egyenest önmagával párhuzamosnak tekintjük. Fontos, hogy

a párhuzamos egyenesekkel is sokféle helyzetben találkozzanak a tanulók.

Megoldás: 2 cm-re távolságra van a két sínpár egymástól.

Gy. 49/1. feladat: Mer®leges és párhuzamos egyenespárok keresése az adott bet¶kön.

Megoldás:

.

.

.

.

. . . .

.

. .

Gy. 49/2. feladat: A �párhuzamos" egyenespár fogalmának kialakítása. A párhuzamos

egyenespárok kiválasztása, illetve el®állítása papírhajtogatással, színezéssel, rajzzal.

Megoldás: a) Igen b) Igen c) Nem d) Nem e) igen

Két sínpár közötti talpfák hossza egyenl®.

Gy. 49/3. feladat: A �párhuzamos" egyenespár fogalmának kialakítása. A párhuzamos

egyenespárok kiválasztása, illetve el®állítása papírhajtogatással, színezéssel, rajzzal.

Megoldás:



Gy. 50/4. feladat: Mer®leges és párhuzamos egyenespárok keresése az adott síkido-

mokon.

Megoldás:

1.

.

.

2..

.

.3.

.

.

4..

.

.

.

5.

.

. 6.

. .

.

7.

Van párhuzamos oldalpárja. 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.

Van mer®leges oldalpárja. 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.

Van mer®leges oldalpárja és párhuzamos oldalpárja is. 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.

A fenti vizsgálatokon túl tükör segítségével kerestessük meg az egyes sokszögek tükör-

tengelyeit is. Ismertessük fel, hogy a 4. téglalap átlója nem tükörtengely, illetve, hogy a

7. paralelogrammának nincs tükörtengelye.

Gy. 50/5. feladat: Mer®leges és párhuzamos egyenespárok keresése az adott síkido-

mokon.

Megoldás:

a) . .

. .

.

.

.

.

. .

..

.

.

.

.

b) c). .

. .

. .

..

. .

. .

. .

. .

. .



87

Téglatest, kocka, téglalap, négyzet


rész-egész észlelése, térbeli viszonyok meg�gyelése, térlátás, induktív következtetések,

problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, feladattartás, �gye-

lem, kreativitás, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-

tosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések.

Óra: 35{36. 38{39. 45{46.

Ismételjük át és egészítsük ki a térgeometriai ismeretek közül a testekr®l, a téglatestr®l

és a kockáról tanultakat. A különböz® testek, köztük a téglatest és speciálisan a kocka

lapjainak vizsgálatával el®készítjük a testháló fogalmának kialakítását. Figyeltessük meg,

hogy a kocka speciális téglatest.

Elevenítsük fel, majd b®vítsük ki a síkgeometriai ismeretek közül a síkidom, a négy-

szög fogalmát, a téglalap és a négyzet fogalmát. Vizsgáltassuk meg a síkidomok tulaj-

donságait, ismertessük fel a téglalap és speciálisan a négyzet tengelyes szimmetriáját.

Rajzoltassuk meg a tükörtengelyeiket. Ismételten tudatosítsuk, hogy a négyzet speciális

téglalap.

Figyeljünk arra, hogy a tanulók helyesen használják az elnevezéseket. (Tanítsuk meg

az egyenes és a szakasz fogalma közti különbséget. A téglalapnak oldalai és csúcsai

vannak, a téglatestnek élei, lapjai és csúcsai.)

A hasábok, f®leg a téglatest, kocka tulajdonságait vizsgálva kerestessünk párhuzamos,

metsz®, mer®legesen metsz® és kitér® éleket; párhuzamos, metsz®, mer®leges lapokat.

Tk. 54/1. feladat: Összefoglaljuk a testekr®l, a téglatestr®l, speciálisan a kockáról tanul-

takat. Vizsgáljuk ezeknek a testeknek a lapjait. Adjunk a gyermekek kezébe különböz®

testmodelleket.

A téglalapot, speciálisan a négyzetet mint a téglatest lapjait értelmezzük.

Értelmezzük az �egyenes" és a �szakasz", valamint az �él", a �lap" és a � csúcs" fogalmát.

Megoldás: a) 1., 4., 5., 7., 8., 9. b) 2., 3., 6., 10.

c) 4., 5., 7., 8. d) 8.

Tk. 54/2. feladat: A téglalapot, speciálisan a négyzetet mint a téglatest lapjait értelmez-

zük.

Megoldás: a) 4., 5., 7., 8. b) 8.

Tk. 54/Figyeld meg!: Összefoglaljuk a testekr®l, a téglatestr®l, speciálisan a kockáról

tanultakat. Vizsgáljuk ezeknek a testeknek a lapjait.

Tk. 55/Elnevezések!: Értelmezzük az �egyenes" és a �szakasz", valamint az �él", a �lap"

és a �csúcs" fogalmát.

Tk. 55/1. kidolgozott mintapélda: Megvizsgáljuk a téglalapok oldalait. Keresünk mer®-

leges, illetve párhuzamos oldalpárokat, és ezek tulajdonságait összefoglaljuk.



Tk. 55/3. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illet-

ve a tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk téglalapok (négyzetek)

el®állításában hajtogatással, rajzzal, illetve a téglalap (négyzet) vizsgálatában.

Megoldás: A szomszédos oldalak mer®legesek egymásra.

A szemben lév® oldalak párhuzamosak egymással.

Tk. 56/4. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illetve a

tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk a téglatest (kocka) tulajdon-

ságainak vizsgálatában. Adjunk téglatesteket a tanulók kezébe, és konkrét cselekedte-

téssel �gyeljük meg a téglatest éleinek tulajdonságát.

Megoldás: a) Például:

b) Például:

c) Például:

Tk. 56/5. feladat: Fontos a térfogat fogalmának el®készítése, illetve a képi gondolkodás

rugalmasságának fejlesztése szempontjából, hogy a feladat második kérdésére minél

több megoldást kerestessünk.

Megoldás: 12 egységkockából 4 különböz® téglatest építhet®, amelyeknek az éle:

1, 1, 12 egység;

1, 2, 6 egység;

1, 3, 4 egység;

2, 2, 3 egység.



89

Tk. 56/6. feladat: Vizsgáljuk ezeknek a testeknek a lapjait, éleit, csúcsait. Adjunk a ta-

nulók kezébe ilyen testeket, s ezek meg�gyelése után válaszoljanak a kérdésekre.

Megoldás: l = 5 l = 5 l = 6 l = 6 l = 6

é = 8 é = 9 é = 12 é = 12 é = 12

cs = 5 cs = 6 cs = 8 cs = 8 cs = 8

Tk. 56/7. feladat: A �négyszög", a �téglalap" és a �négyzet" fogalmak közti kapcsolat

tudatosítása.

Megoldás: a) 1., 5., 6., 8., 11., 12.

b) 1., 8., 11.

c) 8., 11.

Tk. 57/8. feladat: A metsz®,q a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illet-

ve a tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk téglalapok (négyzetek)

el®állításában hajtogatással, illetve a téglalap (négyzet) tulajdonságainak vizsgálatában.

Megoldás: a) A szemben lév® oldalak egymással párhuzamosak.

b) A szomszédos oldalak egymásra mer®legesek.

Tk. 57/9. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illetve

a tengelyes tükrösségr®l tanultakat sokoldalúan alkalmazzuk téglalapok el®állításában

hajtogatással, illetve a téglalap tulajdonságainak vizsgálatában.

Megoldás: a) A hajtásélek és az oldalak párhuzamosak egymással.

b)

Tükörtengely. Tükörtengely.

Tk. 57/10. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illetve



Megoldás: a) A téglalapnál a hajtásélek metsz®k, de nem mer®legesek,

a speciális téglalapnál (négyzetnél) a hajtásélek mer®lege-

sek egymásra.

b)

Nem tükörtengely. Tükörtengely.



Gy. 51/1. feladat: Vizsgáljuk meg a téglatest lapjait, éleit, csúcsait!

Megoldás: Lapok száma: 6

Csúcsok száma: 8

Élek száma: 12

Gy. 51/2. feladat: A fogalomalkotás szempontjából nélkülözhetetlen, hogy a tanulók (kis-

csoportos munkában) ténylegesen építsenek minél több testet.

Megoldás:

6 2 0 0 1

0 4 2 3 0

0 0 2 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 2 4

Lapok száma 6 6 6 5 5

Csúcsok száma 8 8 8 6 5

Élek számal 12 12 12 9 8

Gy. 52/3. feladat: A metsz®, a kitér®, a mer®leges, a párhuzamos egyenesekr®l, illetve



Megoldás: a) 2., 3., 4., 5., 6.

b) 2., 4.

c) 1., 2., 4., 5., 6.






91

Megoldás:

a) b) c)




Megoldás:

30 mm

25 mm

30 mm

15 mm

14 mm

22 mm

Óra: 37. 40. 47{48.

1. felmérés


A számok 2000-ig


gazdasági nevelés, számlálás, számolás, rendszerezés, relációszókincs fejlesztése, szö-

vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, induk-

tív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése,

�gyelem, kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslá-

tás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.



Óra: 38{39. 41{44. 49{52.

A b®vítés logikai csomópontjai:

1 A szemléletre támaszkodva meg�gyeltetjük a számok képzését, elnevezését, írását

200-tól 2000-ig.

2 Tudatosítjuk a tízes számrendszerben a helyiértékes írásmódot, az alakiérték, helyi-

érték, tényleges érték fogalmát. Begyakoroltatjuk a számok helyiérték szerinti bon-

tását többféleképpen. Kiterjesztjük a �kisebb", �nagyobb", �nem kisebb", �nem na-

gyobb", �ugyanannyi" relációk értelmezését az új számkörre.

3 Kiterjesztjük a páros, páratlan szám, a kerek tízes, kerek százas, illetve a háromje-

gy¶ szám fogalmát az új számkörre. Kialakítjuk a négyjegy¶ szám fogalmát.

4 Kiterjesztjük a m¶veletek fogalmát és a tanult számolási eljárásokat az új szám-

körre. Ezzel összetett didaktikai feladatot oldunk meg: Továbbfejlesztjük a szóbeli

számolási rutint. Elmélyítjük a számfogalmat, ugyanis a kerek százasokkal, tízesek-

kel végzett m¶veletekkel mintegy �bejárjuk" az új számkört. Végül el®készítjük az

írásbeli m¶veletek tanítását.

5 Kiterjesztjük az új számkörre a római számírásról tanultakat.

6 Ábrázoljuk a számokat az egyesével, tízesével, százasával beosztott számvonalon.

7 Megbeszéljük a tízes szomszéd, a százas szomszéd és az ezres szomszéd, a pon-

tos érték, közelít® érték fogalmát, a kerekítés (százasra és tízesre) szabályait, al-

kalmazását közelít® számításokban.

8 A számfogalomról tanultakat alkalmazzuk játékos kombinatorikai és logikai feladatok

megoldásában.

9 A számkörb®vítésr®l tanultakat alkalmazzuk a mértékegységekr®l tanultak általáno-

sítására, kib®vítésére.

Mi indokolja ezt a megszokottnál b®vebb számkört?

A tapasztalatok szerint 3. osztályban ez nem okoz gondot a tanulóknak. Egyrészt

a 200-as számkörben végzett munka jól el®készítette ezt a b®vítést, másrészt a

mindennapi életben naponta találkoznak ekkora, illetve ennél nagyobb számokkal a

gyermekek.

Tudatosabbá válhat a tízes számrendszer és a helyiértékes írásmód fogalma, kia-

lakíthatjuk a négyjegy¶ szám fogalmát. A 2000-es számkör alapos megismerése

jobban el®készíti a 4. osztályban esedékes további számkörb®vítéseket. (4. osz-

tályban a program szerint el®ször a 20 000-es számkörben dolgozunk, majd ha

lehet®ségünk van rá, akkor 100 000-ig b®vítjük a számkört.)

A 200-as számkörben megtanult számolási eljárások analógiájára számolhatunk ke-

rek százasokkal, illetve kerek tízesekkel.

Az 1000-es számkör túlságosan sz¶k az írásbeli m¶veletek tanítására, ebben a

számkörben nagyobb lesz a �mozgásterünk" m¶veletek végrehajtásakor.

Tk. 58/Figyeld meg!: Nemcsak b®vítjük, hanem tudatosabb szintre is emeljük a koráb-

ban tanultakat. A 2000-nél nem nagyobb számok értelmezése sokféle szemléltetéssel. A

200-nál nem nagyobb számok értelmezésér®l, a helyiérték szerinti bontásról tanultakat



93

kell összefoglalnunk és kiterjesztenünk a 2000-es számkörre, miközben tudatosítjuk az

1000, illetve a �négyjegy¶ szám" fogalmát.

Tk. 59/1. kidolgozott mintapélda: Rakassuk ki a számokat játék pénzzel. Olvastassuk

le, hasonlíttassuk össze a kirakott számokat. Figyeltessük meg egy szám többféle alak-

ját (játék pénzzel kirakva, számjegyekkel leírva, szavakkal kifejezve, helyiérték szerinti

összegre bontva stb.).

A játék pénzzel vagy másféleképpen szemléltetett számok leírása többféle alakban a biz-

tos számfogalom alakítását segíti. Ha nehezen megy a számok írása, olvasása, össze-

hasonlítása, többször adjunk hasonló feladatot.

Tk. 59/2. kidolgozott mintapélda: Számok bontása helyiérték szerint, illetve bontott

alakban felírt számok írása számjegyekkel.

Az alaki-, helyi- és a tényleges érték fogalmát készítjük el®.

Tk. 59/1. feladat: Játék pénz segítségével analóg számítások a 2000-es számkörben.

A különböz® helyiértékek közti kapcsolatokat tudatosítjuk.

Meg�gyeltethetjük a mér®szám és a mértékegység közötti összefüggések analógiáját

is: Ugyanazt a mennyiséget kisebb egységgel mérjük, nagyobb mér®számot kapunk.

Ugyanazzal az egységgel nagyobb mennyiséget mérünk, nagyobb mér®számot kapunk.

A fordított, illetve az egyenes arányosság el®készítésére is alkalmas a feladat.

Megoldás: a) 40 400 200 2000

b) 70 700 140 1400

Tk. 60/2. feladat: Rakassuk ki a számokat játék pénzzel. Olvastassuk le, hasonlíttassuk

össze a kirakott számokat. Figyeltessük meg egy szám többféle alakját (játék pénzzel

kirakva, számjegyekkel leírva, szavakkal kifejezve, helyiérték szerinti összegre bontva

stb.).

Megoldás: a) 1145 = 1 E + 1 sz + 4 t + 5 e = 1000 + 100 + 40 + 5 =

= 1 � 1000 + 1 � 100 + 4 � 10 + 5 � 1 =

= ezerszáznegyvenöt

b) 1230 = 1 E + 2 sz + 3 t + 0 e = 1000 + 200 + 30 =

= 1 � 1000 + 2 � 100 + 3 � 10 + 0 � 1 =

= ezerkétszázharminc

c) 1071 = 1 E + 0 sz + 7 t + 1 e = 1000 + 70 + 1 =

= 1 � 1000 + 0 � 100 + 7 � 10 + 1 � 1 =

= ezerhetvenegy

d) 1009 = 1 E + 0 sz + 0 t + 9 e = 1000 + 9 =

= 1 � 1000 + 0 � 100 + 0 � 10 + 9 � 1 =

= ezerkilenc



Tk. 60/3. feladat: A pöttyökkel szemléltetett számok leírása a biztos számfogalom ala-

kítását segíti. Beszéljük meg a áros, páratlan szám fogalmát.

Megoldás: a) 1463 páratlan b) 1634 páros

Tk. 60/4. feladat: Játék pénz segítségével, az alaki-, helyi- és a tényleges érték fogal-

mának alkalmazásával �gyeltetjük meg a számok közötti nagyságviszonyokat.

Megoldás: 1400 > 1004 1013 < 1103 1024 < 1200

Tk. 60/5. feladat: Tasziló összegy¶jtötte azokat a típushibákat, melyeket a tanulók gyak-

ran elkövetnek. Ezek megbeszélése, kijavítása szilárdítja a számfogalmat.

Megoldás: 1602 6 � 10 helyett 6 � 100,

ezerhatszázhúsz helyett ezerhatszázkett®

1026 1000 + 200 + 6 helyett 1000 + 20 + 6

1260 1 E + 2 sz + 6 e helyett 1 E + 2 sz + 6 t

1 � 100+2 � 10+6 � 1 helyett 1 � 1000+2 � 100+6 � 10

Tk. 61/Elnevezések: Az eddigi tapasztalatokra építve bevezetjük az alakiérték, helyiér-

ték és tényleges érték fogalmát. A kés®bbiekben rendszeresen térjünk vissza a témára

a pontos fogalom kialakítása érdekében.

Tk. 61/3. kidolgozott mintapélda: Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmát

szilárdítjuk meg.

Tk. 61/6. feladat: Az alakiértékr®l, helyiértékr®l és tényleges értékr®l tanultak elmélyíté-

sét segít® feladatok.

Megoldás: a) 605 1053 508 1605 1503

5 50 500 5 500

b) 1609 870 1000 1050 301

9 8 1 5 3

egyes százas ezres tízes százas

c) 1090 761 309 1800 253

ezres százas százas ezres százas

1 7 3 1 2

Tk. 62/7. feladat: A pénzhasználatot gyakoroltató feladat. Hasonló feladatokat páros, il-

letve csoportos munkában is játszathatunk a tanulókkal a biztos számfogalom kialakítása

érdekében.

Megoldás: Ben®: 2000 Ft, Jen®: 1500 Ft, Dezs®: 950 Ft

a) Ben® veheti meg a kis hajót.

b) Labdát, repül®t veheti meg Dezs®.



95

c) Ben®: labda és autó,

labda és repül®

autó és repül®

Jen®: autó és repül®

labda és repül®

Dezs®: Nem tud két játékot megvenni.

d) Ben®: labda,

autó,

hajó,

repül®,

labda és autó,

labda és repül®,

autó és repül®.

Jen®: labda,

autó,

repül®,

labda és repül®,

autó és repül®.

Dezs®: labda,

autó,

repül®.

Tk. 62/8. feladat: A feladatoknak több megoldásuk van. Ezek felkutatása fejleszti a tanu-

lók logikus gondolkodását és problémaérzékenységét, megszilárdítja a számfogalmukat.

Megoldás:

456 > a 56 a: 1; 2; 3. 2 b 8 < 258 b: 0; 1; 2; 3; 4.

596 < 6 c 6 c: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. 66 d < d 66 d: 7; 8; 9.

e 54 < 5 e 4 e: 1; 2; 3; 4. 4 f 3 > 493 Nincs megoldás.

Tk. 62/9. feladat: Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmának elmélyítését

segít® komoly kombinatorikai feladatok. A feltételeknek eleget tev® összes megoldás

megkeresését nem várjuk el minden tanulótól.

Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmának elmélyítését segít® komoly kom-

binatorikai feladatok. A feltételeknek eleget tev® összes megoldás megkeresését nem

várjuk el minden tanulótól.

a) Figyeltessük meg, hogy egy szám akkor kisebb 300-nál, ha a százasok helyén álló

számjegy kisebb 3-nál! A százasok helyén 0 nem állhat, mert 0-val nem kezd®dik

természetes szám. Tehát a százas helyiértéken lev® számjegy alakiértéke 1 vagy 2

lehet.

Általánosan: Összesen 6 helyre kell elosztani a 6 különböz® számkártyát.

1: 2: 3:| {z }

1: szám

j 4: 5: 6:| {z }

2: szám

hely, : : :| {z }

1: szám

j : : :| {z }

2: szám



Az els® helyre kétféleképpen választhatok, vagy 1-est, vagy 2-est. A negyedik helyre

már csak 1-féleképpen. 2 : :| {z }

1: szám

j 1 : :| {z }

2: szám

A második helyre a maradék 4 kártyából akármelyiket elhelyezhetem. Ez 4-féle

választási lehet®ség. A harmadik helyre a maradék 3 kártyából stb. választhatok.

2 � 4 � 3| {z }

1: szám

� 1 � 2 � 1| {z }

2: szám

= 48 eset.

Az 1. és a 2. szám sorrendje nem számít, így az összes eset száma 48 : 2 = 24.

103, 245; 103, 254; 104, 235; 104, 253; 105, 234;

105, 243; 130, 245; 130, 254; 134, 205; 134, 250;

135, 204; 135, 240; 140, 235; 140, 253; 143, 205;

143, 250; 145, 203; 145, 230; 150, 234; 150, 243;

153, 204; 153, 240; 154, 203; 154, 230.

b) Figyeltessük meg, hogy egy számmikor nagyobb 300-nál! A százas helyiértéken álló

számjegy alakiértéke 3, 4 vagy 5 lehet. Ha a százasok helyén 3 áll, a tízesek és az

egyesek helyén egyszerre nem állhat 0, de erre az esetre most nem kell �gyelnünk.

Az els® szám százas helyiértékén 3-féleképpen, a második szám százas helyiér-

tékén 2-féleképpen; az els® számban a tízesek helyére 4-, az egyesek helyére 3-;

illetve a második számban a tízesek helyére 2-, az egyesek helyére 1-féleképpen

választhatok számjegyet. 3 � 4 � 3| {z }

1: szám

� 2 � 2 � 1| {z }

2: szám

= 144 eset.


Meg�gyeltethetjük, hogyan változik a megoldáshalmaz, ha mind a két szám na-

gyobb 400-nál! A százas helyiértéken álló számjegy alakiértéke 4 vagy 5 lehet.

2 � 4 � 3| {z }

1: szám

� 1 � 2 � 1| {z }

2: szám

= 48 eset.


401, 523; 410, 523; 420, 513; 430, 512;

401, 532; 410, 532; 420, 531; 430, 521;

402, 513; 412, 503; 421, 503; 431, 502;

402, 531; 412, 530; 421, 530; 431, 520;

403, 512; 413, 502; 423, 501; 432, 501;

403, 521; 413, 520; 423, 510; 432, 510.

c) Figyeltessük meg, hogy egy szám mikor páros! Ha az egyes helyiértéken lev® szám-

jegy páros. Alakiértéke 0, 2 vagy 4 lehet.

Általánosan: Bontsuk 3 részre a feladatot.

1. rész: Számoljuk össze azokat az eseteket, amikor a 0 az els® számban az egye-

sek helyén áll. : : 0| {z }

1: szám

j : : :| {z }

2: szám

A második számban az egyesek helyére 2-féleképpen választhatok, vagy 2-est,

vagy 4-est. Így elhasználtam már két számkártyát. Maradt 4. Az els® számban a

százasok helyére 4-féleképpen, a tízesekére 3-féleképpen, a második számban a



97

százasok helyére 2-féleképpen, a tízesekére 1-féleképpen választhatok számkár-

tyát. 4 � 3 � :| {z }

1: szám

� 2 � 1 � 2| {z }

2: szám

= 48 eset lehetséges.

2. rész: Ugyanennyi esetet kapok, ha a 0-t a második számba teszem az egyes

helyiértékre.

3. rész: A 0-t nem teszem az egyes helyiértékre.

Az els® számban az egyesek helyére 2-féleképpen választhatok. A második szám-

ban az egyesek helyére már csak 1-féleképpen.

A százas helyiértékre nem kerülhet 0, így az els® számban a százas helyiértékre 3-,

a második számban 2-féleképpen, a tízesekére 2-, illetve 1-féleképpen választhatok

számkártyát. 3 � 2 � 2| {z }

1: szám

� 2 � 1 � 1| {z }

2: szám

= 24 eset.

Az 1. és a 2. szám sorrendje nem számít, így az összes eset száma:

(48 + 48 + 24) : 2 = 60

130, 452; 210, 354; 310, 254; 510, 342; 102, 354;

130, 542; 210, 534; 310, 524; 510, 432; 102, 534;

140, 352; 230, 154; 320, 154; 530, 142; 132, 504;

140, 532; 230, 514; 320, 514; 530, 412; 152, 304;

150, 342; 250, 134; 350, 124; 540, 132; 302, 154;

150, 432; 250, 314; 350, 214; 540, 312; 302, 514;

120, 354; 310, 452; 410, 352; 510, 234; 312, 504;

120, 534; 310, 542; 410, 532; 510, 324; 352, 104;

130, 254; 340, 152; 430, 152; 520, 134; 502, 134;

130, 524; 340, 512; 430, 512; 520, 314; 502, 314;

150, 234; 350, 142; 450, 132; 530, 124; 512, 304;

150, 324; 350, 412; 450, 312; 530, 214; 532, 104.

d) Összesen 70 lehet®ség. Ha az els® szám 103, a második 254, 452, 542, � lehet.

103; 254, 452, 542, 524; 245; 310;

105; 234, 324, 342, 432; 251; 304, 340, 430;

123; 450, 504, 540; 253; 410;

125; 304, 340, 430; 301; 452, 524, 542;

135; 204, 240, 402, 420; 305; 412;

143; 250, 502, 520; 315; 402, 420;

145; 230, 302, 320; 321; 450, 504, 540;

153; 204, 402; 325; 410;

201; 354, 534; 341; 502, 520;

203; 514; 351; 402, 420;

205; 314; 401; 532;

213; 450, 504, 540; 403; 512;

215; 304, 340, 430; 413; 502, 520;

231; 450, 504, 540; 421; 530;



235; 410; 423; 510;

241; 350, 530; 431; 502, 520.

243; 510;

Tk. 62/10. feladat: A jobb képesség¶ tanulóktól elvárhatjuk az összes megoldás megke-

resését. A megoldások megtalálásában segítséget jelent, ha felírjuk, milyen alakiérték¶

számokat szerepeltethetünk.

Megoldás:

a) 2 = 0 + 2 = 1 + 1 = 0 + 1 + 1. Tehát a számunkban szerepelhet 0 és 2, vagy 0 és 2

darab 1-es, vagy 2 darab 1-es.

A számok: 2, 20, 200, 2000, 11, 101, 110, 1001, 1010, 1100.

b) 3 = 0 + 3 = 1 + 2 = 1 + 2 + 0 = 1 + 1 + 1 = 0 + 1 + 1 + 1

A számok: 3, 30, 300, 12, 21, 102, 120, 201, 210, 1002, 1020, 1200, 111, 1011,

1101, 1110.

c) 4 = 0 + 4 = 1 + 3 = 1 + 3 + 0 = 2 + 2 = 2 + 2 + 0 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 + 0 = 1 + 1 + 1 + 1

A számok: 4, 40, 400, 13, 31, 103, 130, 301, 310, 1003, 1030, 1300, 22, 202, 220,

112, 121, 211, 1012, 1021, 1102, 1120, 1201, 1210, 1111.

Gy. 53/1. feladat: A játék pénzes szemléltetésre támaszkodva értelmezhetjük a kerek

százasokat 100-tól 1000-ig. Figyeltessük meg, hogyan helyezhet®k el a kerek százasok

a számvonalon.

Megoldás: 800 1000 800

1000 600 900

600 800 1000

700 900 600

500 700 500

900 500 700

300 100 200

100 300 400

400 200 100

200 400 300

Gy. 54/2. feladat: A játék pénzzel vagy másféleképpen szemléltetett számok leírása

többféle alakban a biztos számfogalom alakítását segíti. Ha nehezen megy a számok

írása, olvasása, összehasonlítása, többször adjunk hasonló feladatot.

Megoldás: E sz t e

5 2 3 Ötszázhuszonhárom 523

1 3 4 6 Ezerháromszáznegyvenhat 1346

1 6 4 0 Ezerhatszáznegyven 1640

1 0 5 4 Ezerötvennégy 1054

1 0 0 6 Ezerhat 1006



99

Gy. 54/3. feladat: Számok bontása helyiérték szerint, illetve bontott alakban felírt szá-

mok írása számjegyekkel.

Megoldás: E sz t e

568 5 � 100 + 6 � 10 + 8 � 1 5 6 8

1245 1 � 1000 + 2 � 100 + 4 � 10 + 5 � 1 1 2 4 5

1054 1 � 1000 + 0 � 100 + 5 � 10 + 4 � 1 1 0 5 4

1504 1 � 1000 + 5 � 100 + 0 � 10 + 4 � 1 1 5 0 4

1050 1 � 1000 + 0 � 100 + 5 � 10 + 0 � 1 1 0 5 0

1240 1 � 1000 + 2 � 100 + 4 � 10 + 0 � 1 1 2 4 0


mok írása számjegyekkel.

Megoldás: a) 564 b) 1520

365 1506

980 1073

Gy. 55/5. feladat: A kerek százasok értelmezése 2000-ig.

Megoldás: a) 1200 900 1500 1700

400 1000 1200 2000

Gy. 55/6. feladat: A 2000-nél nem nagyobb számok értelmezése játék pénzzel történ®

szemléltetéssel.

Megoldás: a) 452 b) 1402 c) 1035 d) 1350

Gy. 55/7. feladat: A 2000-nél nem nagyobb számok értelmezése helyiértékes bontással

történ® szemléltetéssel.

Megoldás: a) 1438 b) 1403 c) 1074 d) 1003

Gy. 55/8. feladat: A számok nagyság szerinti összehasonlítása, növekv®, illetve csök-

ken® sorozatba rendezése a helyiértékes írásmódról, a számok helyiérték szerinti bon-

tásáról tanultak alkalmazásával.

a) 1 E + 5 sz + 9 e = 1 5 0 9 > 1 0 5 9 = 1 E + 5 t + 9 e

b) 1 E + 4 sz + 6 t = 1 4 6 0 > 1 0 6 4 = 1 E + 6 t + 4 e

c) 1 E + 7 sz + 5 e = 1 7 0 5 = 1 7 0 5 = 1 E + 5 e + 7 sz

d) 1 E + 6 sz + 42 e = 1 6 4 2 = 1 6 4 2 = 1 E + 64 t + 2 e

Gy. 56/9. feladat: Játék pénz segítségével, az alaki-, helyi- és a tényleges érték fogal-

mának alkalmazásával �gyeltetjük meg a számok közötti nagyságviszonyokat.



Megoldás: a) 706 > 526 b) 525 < 552

c) 1451 < 1541 d) 1307 > 1037

Gy. 56/10. feladat: Bet¶kkel írt számok leírása számjegyekkel. Beszéljük meg a számok

helyesírását.

Megoldás: 78 95

178 950

1078 1905

1708 1095

Gy. 56/11. feladat: Bet¶kkel írt számok leírása számjegyekkel. Beszéljük meg a számok

helyesírását. Rendezzük a számokat növekv® sorrendbe.


601 1601

960 1009

139 < 601 < 960 < 1009< 1069 < 1601

b) 182 1082

920 1802

128 1208

128 < 182 < 920 < 1082 < 1208 < 1802


mok írása számjegyekkel. Az alaki-, helyi- és a tényleges érték fogalmát gyakoroltathat-

juk ezzel a feladattal.

Megoldás: a) Ezernyolcszázötvennégy = 1854 =

= 1000 + 800 + 50 + 4 = 1 E + 8 sz + 5 t + 4 e =

= 1 � 1000 + 8 � 100 + 5 � 10 + 4 � 1

b) Ezerkilencszázharminc = 1930 =

= 1000 + 900 + 30 = 1 E + 9 sz + 3 t + 0 e =

= 1 � 1000 + 9 � 100 + 3 � 10 + 0 � 1

c) Ezerhetvenhat = 1076 =

= 1000 + 70 + 6 = 1 E + 0 sz + 7 t + 6 e =

= 1 � 1000 + 0 � 100 + 7 � 10 + 6 � 1

d) Ezerhárom = 1003 =

= 1000 + 3 = 1 E + 0 sz + 0 t + 3 e =

= 1 � 1000 + 0 � 100 + 0 � 10 + 3 � 1

Gy. 57/13. feladat: Játék pénz segítségével analóg számítások a 2000-es számkörben.

A különböz® helyiértékek közti kapcsolatokat tudatosítjuk. Meg�gyeltethetjük a mér®-

szám és a mértékegység közötti összefüggések analógiáját is: Ugyanazt a mennyiséget



101

kisebb egységgel mérjük, nagyobb mér®számot kapunk. Ugyanazzal az egységgel na-

gyobb mennyiséget mérünk, nagyobb mér®számot kapunk. A fordított, illetve az egyenes

arányosság el®készítésére is alkalmas a feladat.


120 1000

1000 1300

1500 2000








18 100

90 120

180 200








9 10

14 15

18 20

Gy. 58/16. feladat: Az alakiértékr®l, helyiértékr®l és tényleges értékr®l tanultak elmélyí-

tését segít® feladatok.

Megoldás: 1756 1756

Alakiérték 1 7 5 6 1 5 6 7

Helyiérték E sz t e E sz t e

Tényleges 1000 700 50 6 1000 500 60 7

1904 1490

Alakiérték 1 9 0 4 1 4 9 0

Helyiérték E sz t e E sz t e

Tényleges 1000 900 0 4 1000 400 90 0



Gy. 58/17. feladat: Számok rendszerezése adott, illetve felismert szempont szerint.

Megoldás:A

P�aros sz�amok P�aratlan sz�amok

100; 74; 0; 1026;

2000; 1000305; 981; 1439; 1975

A

1000-n�el nagyobb sz�amok 1000-n�el kisebb sz�amok

1026; 1439; 1975;

2000; 1000100; 305; 74; 0; 981

Gy. 58/18. feladat: Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmáról tanultakat kellalkalmazni a feladat megoldása során. Kerestessük meg az összes megoldást.

Az alakiérték, helyiérték és tényleges érték fogalmáról tanultakat kell alkalmazni a feladatmegoldása során. Kerestessük meg az összes megoldást.

Megoldás: a) 1541, 1543, 1545, 1547, 1549.

c) 1960, 1970, 1980, 1990.

M¶veletek kerek számokkal



vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, induk-

tív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, kreativitás, emlékezet

fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás,

pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 40{41. 45{47. 53{55.

A 200-as számkörben tanultak kiterjesztése a 2000-es számkörre: analóg számítások

kerek százasokkal, majd tízesekkel. A kétjegy¶ számok szorzása 10-zel. A 20-nál nemnagyobb számok szorzása 100-zal. Azért célszer¶ már most foglalkozni ezekkel a szá-molási eljárásokkal, hogy mire az írásbeli m¶veletek eredményének becslésekor szük-ség lesz rájuk, akkorra már a tanulók kell® gyakorlatot szerezzenek a kerek számokkaltörtén® számításokban. Minden témakörben oldjunk meg kell® számú egyszer¶, illetveösszetett szöveges feladatot, vizsgáljunk szöveggel adott függvényeket.

Tk. 63/1. kidolgozott mintapélda: A mértékváltáshoz kapcsolva �gyeltessük meg azanalógiákat az egyesekkel, kerek tízesekkel, kerek százasokkal végzett összeadás so-rán.



103

Tk. 63/1. feladat: Összeadás egyesekkel a 20-as, kerek tízesekkel a 200-as, kerek szá-zasokkal a 2000-es számkörben. Ezek a feladatok számos lehet®séget nyújtanak azanalógiák meg�gyelésére.

Megoldás: a) 5 + 3 = 8 50 + 30 = 80 500 + 300 = 800

11 + 7 = 18 110 + 70 = 180 1100 + 700 = 1800

Tk. 63/2. feladat: Összeadás a 2000-es számkörben kerek tízesekkel, a korábban meg-ismert számolási modellek alkalmazásával. Ismételten �gyeltessük meg az összeg vál-tozásait kéttagú összeg esetén.

Ha az egyik tagot növeljük (csökkentjük), a másikat nem változtatjuk, az összeg is ugyan-annyival n® (csökken).

Ha az egyik tagot növeljük (csökkentjük), a másikat ugyanannyival csökkentjük (növel-jük), az összeg nem változik.

A tanulók alkalmazzák a számolások során a meg�gyelt összefüggéseket.

Megoldás: a) 280 b) 830 c) 720

380 730 720

580 760 600

Tk. 63/3. feladat: Az analóg számításokról, illetve az összeg változásairól tanultak tuda-tos alkalmazása.

Megoldás: a = 250 c = 480

b = 270 d = 440

Tk. 64/2. kidolgozott mintapélda: A mértékváltáshoz kapcsolva �gyeltessük meg azanalógiákat az egyesekkel, kerek tízesekkel, kerek százasokkal végzett kivonás során.

Tk. 64/4. feladat: Kivonás egyesekkel a 20-as, kerek tízesekkel a 200-as, kerek szá-zasokkal a 2000-es számkörben. Ezek a feladatok számos lehet®séget nyújtanak azanalógiák meg�gyelésére.

Megoldás: a) 5 { 3 = 2 50 { 30 = 20 500 { 300 = 200

b) 20 { 12 = 8 200 { 120 = 80 2000 { 1200 = 800

Tk. 64/5. feladat: Kivonás a 2000-es számkörben kerek tízesekkel, a korábban megis-mert számolási modellek alkalmazásával. Ismételten �gyeltessük meg a különbség vál-tozásait.

Ha a kisebbítend®t növeljük (csökkentjük), a kivonandót nem változtatjuk, a különbségis ugyanannyival n® (csökken).

Ha a kisebbítend®t nem változtatjuk, a kivonandót növeljük (csökkentjük), a különbségis ugyanannyival csökken (n®).

Ha a kisebbítend®t és a kivonandót is ugyanannyival növeljük (csökkentjük), a különbségnem változik.

A tanulók alkalmazzák a számolások során a meg�gyelt összefüggéseket.



Megoldás: a) 270 b) 350 c) 460

370 250 560

170 550 360

670 1350 460

Tk. 65/6. feladat: Az analóg számításokról, illetve a különbség változásairól tanultaktudatos alkalmazása.

Megoldás: a = 150 c = 610

b = 150 d = 640

Tk. 65/7. feladat: Az analóg számításokról, illetve az összeg és a különbség változása-iról tanultak tudatos alkalmazása.

Megoldás: 900 + 700 = 1600

a) 900 + 700 { 200 = 1600 { 200 = 1400

b) 900 + 200 + 700 = 1600 + 200 = 1800

c) 900 { 200 + 700 + 200 = 1600 { 200 + 200 = 1600

d) 900 + 200 + 700 + 200 = 1600 + 200 + 200 = 2000

e) 900 { 200 + 700 { 200 = 1600 { 200 { 200 = 1200

Tk. 65/8. feladat: Az analóg számításokról, illetve az összeg és a különbség változása-iról tanultak tudatos alkalmazása.

Megoldás: Sanyi Tamás1400 >

500900

a) 1400 >300

900 + 200

b) 1400 + 200 >700

900

c) 1400 { 200 >300

900

d) 1400 >700

900 { 200

e) 1400 + 200 >500

900 + 200

f) 1400 { 200 >500

900 { 200

Tk. 65/9. feladat: Figyeltessük meg, hogy az ábra hogyan segítheti a megoldást.

Megoldás:

a)K L1600 m

| {z }

700 m

| {z }

1600 m { 700 m

e = 1600 { 700 = 900, 900 m-t mentek együtt.



105

b) K L1600 m

| {z }

500 m

| {z }

1600 m { 500 m { 700 m

| {z }

700 m

m = 1600 { 500 { 700 = 400, 400 m-re voltak egymástól.

Tk. 65/10. feladat: Az analóg számításokról, illetve az összeg és a különbség változá-sairól tanultak tudatos alkalmazása.

Megoldás: a) Hamis 830 6= 810 b) Igaz 350 = 350

c) Hamis 810 6> 820 d) Igaz 350 > 340

Tk. 66/3. kidolgozott mintapélda: Játék pénz segítségével szemléltetjük a 10-zel, 100-zal való szorzást, illetve a kerek tízesek, százasok szorzását. Ha szükséges, több hason-ló feladatot adjunk a tanulóknak. A tanulók tapasztalatot szereznek a 10-zel, 100-zal valóoszthatóság felismerésére. Figyeltessük meg a szorzat, illetve a hányados változásait:

Ha az egyik tényez®t tízszeresére (százszorosára, ezerszeresére) növeljük, a másik té-nyez®t ugyanannyiad részére csökkentjük, akkor a szorzat értéke nem változik. (A pénzértékével kapcsolatosan is felismertethetjük a mér®szám és a mértékegység közötti for-dított arányosságot.)

Tk. 66/11. feladat: Az analóg számításokról, illetve szorzat változásairól tanultak tudatosalkalmazása.

Megoldás: a) 20 � 10 = 200 = 2 � 100 = 200

b) 300 � 1 = 300 = 30 � 10 = 300

c) 170 � 10 = 1700 = 17 � 100 = 1700

d) 1 � 1000 = 1000 = 1000 � 1 = 1000

Tk. 66/12. feladat: Figyeljük meg, mely értékek válthatók be csupa tízforintosra.

Megoldás: a) Igen b) Nem c) Igen c) Nem

13 db 48 db

e) Igen f) Igen g) Igen h) Igen

10 db 100 db 160 db 186 db

Tk. 66/13. feladat: Figyeljük meg, mely értékek válthatók be csupa százforintosra.

Megoldás: a) Igen b) Igen c) Nem c) Nem

2 db 6 db

e) Igen f) Igen g) Igen h) Nem

1 db 10 db 13 db

Tk. 67/4. kidolgozott mintapélda: Játék pénz segítségével szemléltetjük az analógszorzásokat. Ha szükséges, több hasonló feladatot adjunk a tanulóknak. Figyeltessükmeg a szorzat változásait:

Ha az egyik tényez®t tízszeresére (százszorosára, ezerszeresére) növeljük, akkor a szor-zat értéke is tízszeresére (százszorosára, ezerszeresére) n®.



Tk. 67/14. feladat: Játék pénz segítségével szemléltetjük az analóg szorzásokat.

Megoldás: a) 6 � 2 = 12 b) 3 � 5 = 15

6 � 20 = 120 3 � 50 = 150

6 � 200 = 1200 3 � 500 = 1500

Tk. 67/15. feladat: A 10-zel, 100-zal való szorzásról, osztásról, illetve a kerek tízesek,százasok szorzásáról; a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása szöveges feladatokmegoldásában.

Megoldás: a) Adatok: v = 500 db 1 , b = 30 db 10 , l = ?

Terv: l = v + b

Számolás: l = 500 � 1| {z }

500

+30 � 10| {z }

300

l = 800 Ft

Válasz: 800 Ft-ja lett Karcsinak.

a) Adatok: v = 5 db 100 , f = 300 Ft, m = ?

Terv: m = v { f

Számolás: m = 5 � 100| {z }

500

{ 300 m = 200 Ft

Válasz: 200 Ft-ja maradt Lacinak.

Tk. 67/16. feladat: A 10-zel, 100-zal való szorzás, osztás gyakorlása, mértékváltásokkalösszekapcsolva. A �tizedrész" és a �századrész" fogalmát el kell magyaráznunk.

Megoldás: a) 3 dm = 30 cm >27 cm-rel

3 cm

b) 60 dkg = 60 dkg

c) 50 dl = 500 cl

d) 700 cm = 70 dm

Tk. 67/17. feladat: Kreativitás, képi gondolkodás, metakogníció fejlesztésére szánt fela-dat.

Megoldás:

150 140 300 180 120 160 170

260 480 150 450 430 850 180

680 520 900 550 270 150 490

390 170 130 140 130 400 910

280 330 400 540 200 300 300

Gy. 59/1. feladat: Összeadás, kivonás egyesekkel a 20-as, kerek tízesekkel a 200-as,kerek százasokkal a 2000-es számkörben. Ezek a feladatok számos lehet®séget nyúj-tanak az analógiák meg�gyelésére.



107


15 150 1500

15 150 1500

13 130 1300

17 170 1700

18 180 1800

b) 2 20 200

6 60 600

6 60 600

9 90 900

7 70 700

12 120 1200

Gy. 59/2. feladat: Összeadás, kivonás kerek százasokkal a 2000-es számkörben.

Megoldás: a) 700 < 800 b) 1300 > 1200

c) 1200 = 1200 d) 1100 < 1300

e) 400 > 300 f) 600 < 800

g) 700 = 700 h) 700 > 500

Gy. 59/3. feladat: Sorozat folytatása adott szabály alapján. Számolás kerek százasok-kal.

Megoldás: 300 , 300 ,

5 0 0 8 0 0 1 1 0 0 1 4 0 0

3 0 0 6 0 0 9 0 0 1 2 0 0

Gy. 60/4. feladat: Összeadás, kivonás a 2000-es számkörben kerek tízesekkel, a ko-rábban megismert számolási modellek alkalmazásával.

Megoldás:

+ 2 0 +

3 6+ 28

+ 8 +

5 6

8

8 4

2 0

4 4

+ +

3 6 0+ 280

+ +

5 6 0

2 0 8 0

6 4 0

8 0 2 0 0

4 4 0



{ {

7 2{ 47

{ {

3 2

4 0 7

2 5

7 4 0

6 5

{ {

7 2 0{ 470

{ {

3 2 0

4 0 0 7 0

2 5 0

7 0 4 0 0

6 5 0

Gy. 60/5. feladat: Összeadás, kivonás a 2000-es számkörben kerek tízesekkel, a ko-rábban megismert számolási modellek alkalmazásával.


84 840

100 1000

119 1190

141 1410

b) 22 220

54 540

72 720

92 920

79 790

Gy. 60/6. feladat: Játék pénzzel kirakva és eljátszva a történetet egyszer¶bbé válik amegoldás.

Megoldás:

A feladat megoldásakor kétféle gondolatmenetre számíthatunk.

1. Ha Nórának 800 Ft-tal kevesebb pénze lenne, Nóra és Éda vagyona egyenl® lenne.Ekkor kett®jük vagyona is 800 Ft-tal kevesebb lenne. Az így kapott közös vagyon feleÉdáé, a másik fele és a �félretett" 800 Ft Nóráé.

100 100 100 100 100 100 100 100

100 100 100 100 100 100 100 100

| {z }

Éda vagyona

| {z }

Nóra vagyona

Egyenlettel:

É = (1600 { 800) : 2 = 400,

N = 1600 { 400 = 1200, vagy

N = 400 + 800 = 1200

2. Ha Édának 800 Ft-tal több pénze lenne, Nóra és Éda vagyona egyenl® lenne. Ekkorkett®jük vagyona is 800 Ft-tal több lenne. Az így kapott közös vagyon fele Nóráé, Édavagyona pedig 800 Ft-tal kevesebb, mint Nóráé.



109

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

| {z }

Nóra vagyona

| {z }

Éda vagyona

Egyenlettel:

N = (1600 + 800) : 2 = 1200,

É = 1200 { 800 = 400, vagy

É = 1600 { 1200 = 400

Gy. 61/7. feladat: Egy órán oldassuk meg a feladatsort! Figyeljük meg, hogy a tanulókmilyen szintre jutottak a szöveg értelmezésében, az összefüggések megtalálásában, amegoldási modell elkészítésében.

Megoldás: a) Adatok: E = 700 Ft, F = 500 Ft, Ö = ?

Terv: Ö = E + F

Számolás: Ö = 700 + 500 Ö = 1200 Ft

Válasz: 1200 Ft-juk van együtt.

b) Adatok: G = 700 Ft, G <500 Ft-tal

H, H = ?

Terv: H = G + 500

Számolás: H = 700 + 500 H = 1200 Ft

Válasz: 1200 Ft-ja van Hugónak.

Gy. 61/8. feladat: Szöveggel adott függvények. Fogalmaztassuk meg a szabályt többfélealakban. Vezessük rá a tanulókat a szabály tudatos követésére.

Megoldás: a) A + 800 = B, B { 800 = A, B { A = 800

A 100 200 300 600 500 1100 0 1200 700 800

B 900 1000 1100 1400 1300 1900 800 2000 1500 1600

b) Cs + D = 800, 800 { Cs = D, 800 { D = Cs

Cs 100 600 500 800 700 400 10 300 790 799

D 700 200 300 0 100 400 790 500 10 1



Gy. 61/9. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, összefüggéslátást fejleszt® feladat.

a) El®ször gy¶jtsük össze, mely három szám összege 1000. 300

320

380 280 340

3601000

280 + 340 + 380,

300 + 340 + 360,

300 + 320 + 380.

Két felbontásban szerepel a 300, 340, 380.

Ezek a számok kerülnek a háromszög csúcsaira.

b) Az eljárás itt is lehet ugyanaz, mint az el®bb. Gy¶jtsük össze, mely három számösszege 1000.

260 + 340 + 400, 280 + 320 + 400, 300 + 320 + 380,

260 + 360 + 380, 280 + 340 + 380, 300 + 340 + 360.

Mindegyik szám két felbontásban szerepel, így több megoldás is lehetséges.

1000

260 340 400

360 280

380 300 320

1000

340 260 400

360 280

300 380 320

300 360 340

260

400280320

380 1000

Gy. 62/10. feladat: Játék pénz segítségével szemléltetjük a 10-zel, 100-zal való szor-zást, illetve a kerek tízesek, százasok szorzását. Ha szükséges, több hasonló feladatotadjunk a tanulóknak. A tanulók tapasztalatot szereznek a 10-zel, 100-zal való osztható-ság felismerésére. Figyeltessük meg a szorzat, illetve a hányados változásait:

Megoldás:

a)

7 � 2 = 1 4 7 � 2 0 = 1 4 0 7 � 2 0 0 = 1 4 0 0

1 4 : 7 = 2 1 4 0 : 7 = 2 0 1 4 0 0 : 7 = 2 0 0

1 4 : 2 = 7 1 4 0 : 2 0 = 7 1 4 0 0 : 2 0 0 = 7

b)

3 � 5 = 1 5 3 � 5 0 = 1 5 0 3 � 5 0 0 = 1 5 0 0

1 5 : 3 = 5 1 5 0 : 3 = 5 0 1 5 0 0 : 3 = 5 0 0

1 5 : 5 = 3 1 5 0 : 5 0 = 3 1 5 0 0 : 5 0 0 = 3



111

Gy. 62/11. feladat: A 10-zel, 100-zal való szorzás gyakorlására szánt feladatok.

Megoldás: a) 7 70 7009 90 900

10 100 100017 170 170020 200 2000

b) 6 60 610 100 1016 160 1620 200 20

Gy. 62/12. feladat: A 10-zel, 100-zal való szorzásról, osztásról, illetve a kerek tízesek,százasok szorzásáról; a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalmazása szöveges feladatokmegoldásában.

Megoldás: a) Adatok: p = 50 db 10 , t = 3 db 100 k = ?

Terv: k = p { t

Számolás: k = 50 � 10| {z }

500

{ 3 � 100| {z }

300

k = 200

Válasz: 200 Ft-tal több pénz van a perselyben.

b) Adatok: p = 500 Ft, p >30 db 10

t, t = ?

Terv: t = p { 30 � 10

Számolás: t = 500 { 30 � 10| {z }

300

t = 200 Ft

Válasz: 200 Ft- van Nóra pénztárcájában.

c) Adatok: ö = 500 Ft, t = 30 db 10 , p = ?

Terv: p = ö { t

Számolás: p = 500 { 30 � 10| {z }

300

p = 200 Ft

Válasz: 200 Ft- van Ottó perselyében.

Gy. 63/13. feladat: A kerek tízesek, százasok szorzásának gyakorlása.

Megoldás: a) 18 180 1800

18 180 1800

20 200 2000

b) 2 20 200

3 30 300

4 40 400

2 20 200



c) 56 560 560

45 450 450

24 240 240

d) 8 80 8

3 30 3

6 60 6

10 100 10

Gy. 63/14. feladat: A kerek tízesek, százasok szorzásáról tanultak alkalmazása szöve-ges feladatok megoldásában.

Megoldás: a) Adatok: s = 250 cm, zs >fele

s, zs = ?

Terv: zs = 2 � s

Számolás: zs = 2 � 250 zs = 500 cm

Válasz: 500 cm = 5 m magas egy zsiráf.

b) Adatok: h = 1 m 60 cm = 160 cm, k = 8 cm, e = ?

Terv: e = h : k

Számolás: e = 160 : 8 e = 20

Válasz: 20-szorosa az énekes hattyú a királyka hosszának.

Gy. 64/15. feladat: M¶veletvégzés gyakorlása, a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalma-zása összetett számfeladatokban.

Megoldás: a)

1 5 0 0

2.

{ 3 0 0

1.� 4 =

| {z }

1 2 0 0

3 0 0

b)

(1 5 0 0

1.{ 3 0 0)

2.: 4 =

| {z }

1 2 0 0

3 0 0

c)

5 3 0

2.+ 7 0

1.� 3 =

| {z }

2 1 0

7 4 0

d)

(5 3 0

1.+ 7 0)

2.� 3 =

| {z }

8 0 0

1 8 0 0

e)

5 6 0

2.+ 4 0

1.: 5 =

| {z }

8

5 6 8



113

f)

(5 6 0

1.

+ 4 0)

2.: 5 =

| {z }

6 0 0

1 2 0

Gy. 64/16. feladat: M¶veletvégzés gyakorlása, a m¶veleti sorrendr®l tanultak alkalma-zása összetett szöveges feladatokban.

Megoldás: a) Adatok: Á = 930 m, Á : 3 <60 m-rel

L, l 7 ?

Terv: L = Á � 3 + 60

Számolás: L = 930 � 3| {z }

310

+60 L = 370 m

Válasz: 370 m hosszú a Lánchíd.

b) Adatok: k = 3 kg 10 dkg = 310 dkg, 1 f 3 dkg

50 f 50 � 3 dkg

Terv: e = k { 50 � 3

Számolás: e = 310 { 50 � 3| {z }

150

e = 160 dkg

Válasz: 160 dkg = 1 kg 60 dkg-mal nehezebb a kakas az 50 fecs-kénél.

Római számírás


számlálás, számolás, rendszerezés, deduktív következtetések, problémaérzékenység,



Óra: 42. 48. 56.

Összefoglaljuk a római számírás alapvet® szabályait, a korábban tanultakat kiterjesztjük

a 2000-es számkörben. Új számjegy a D = 500 és az M = 1000.

Tk. 68/Figyeld meg!: Figyeltessük meg az egyesek, a tízesek és a százasok írása kö-zötti összefüggést. Külön emeljük ki a 4, 40, 400, illetve a 9, 90, 900 számok írását.

Új számjegy a D = 500 és az M = 1000.

Külön emeljük ki a 4, 40, 400, illetve a 9, 90, 900 számok írását.

Tk. 68/1. feladat: A római számírás gyakorlására szánt feladatsor.

Megoldás: a) 100|{z}

C

+ (50 + 10)| {z }

LX

+ (1 + 1)| {z }

II

= CLXII



b) (500 + 100)| {z }

DC

+ (50 { 10)| {z }

XL

+ (1 + 1)| {z }

II

= DCXLII

c) 1000| {z }

M

+ (500 + 100)| {z }

DC

+ 1|{z}

I

= MDCI

d) (1000 { 100)| {z }

CM

+ (50 + 10)| {z }

LX

+ 5|{z}

V

= CMLXV

e) 1000| {z }

M

+ (100 + 100)| {z }

CC

+ (5 + 1)| {z }

VI

= MCCVI

f) (500 + 100 + 100)| {z }

DCC

+ (10 + 10 + 10)| {z }

XXX

= DCCXXX

Tk. 68/2. feladat: Arab számírással írt számok felírása római számírással, az eddig ta-nultak alkalmazásával.

Megoldás: a) 356 = CCCLVI, 204 = CCIV, 713 = DCCXIII,

825 = DCCCXXV, 1001 = MI, 968 = CMLXVIII.

b) 179 = CLXXIX, 407 = CDVII, 652 = DCLII,

936 = CMXXXVI, 1053 = MLIII, 1104 = MCIV.

Tk. 68/3. feladat: Római számírással írt számok felírása arab számírással, az eddigtanultak alkalmazásával.

Megoldás: a) CLXII = 162, CCCXLVII = 347, DVIII = 508,

CD = 400, MCCI = 1201, MCDVI = 1406.

b) CCXXXVIII = 238, CDXL = 440, DCCLXX = 770,

CMLVII = 957, MCMXLV = 1945.

c) CDXIII = 413, DCIX = 609, DCCCLXXXVIII = 888,

CMI = 901, MDCLXVI = 1666.

Gy. 65/1. feladat: Figyeljük meg az analógiát az egyjegy¶, kétjegy¶ és háromjegy¶ szá-mok írása között.

Megoldás: a) 3 = III 30 = XXX 300 = CCC

b) 5 = V 50 = L 500 = D

c) 4 = IV 40 = XL 400 = CD

d) 8 = VIII 80= LXXX 800 = DCCC

e) 10 = X 100 = C 1000 = M

f) 9 = IX 90 = XC 900 = CM

g) 13 = XIII 130 = CXXX 1300 = MCCC



115

h) 14 = XIV 140 = CXL 1400 = MCD

i) 16 = XVI 160 = CLX 1600 = MDC

Gy. 65/2. feladat: El®ször bontva írják le a tanulók a számokat, majd a bontott alakalapján római számírással.

Megoldás: a) 756 = (500 + 100 + 100)| {z }

DCC

+ 50|{z}

L

+ (5 + 1)| {z }

VI

= DCCLVI

b) 263 = (100 + 100)| {z }

CC

+ (50 + 10)| {z }

LX

+ (1 + 1 + 1)| {z }

III

= CCLXIII

c) 435 = (500 { 100)| {z }

CD

+ (10 + 10 + 10)| {z }

XXX

+ 5|{z}

V

= CDXXXV

d) 974 = (1000 { 100)| {z }

CM

+ (50 + 10 + 10)| {z }

LXX

+ (5 { 1)| {z }

IV

= CMLXXIV

e) 1301 = 1000| {z }

M

+ (100 + 100 + 100)| {z }

CCC

+ 1|{z}

I

= MCCCI

Gy. 65/3. feladat: Kreativitást, képi gondolkodást, ötletgazdagságot fejleszt® feladat.

Megoldás: a) XII { V = VII b) X + VI = XVI

XI { IV = VII X + IV = XIV

XII { VI = VI IX + V = XIV

IX + VI = XVI

Számok ábrázolása számvonalon



értelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, problémaérzékenység,



Óra: 43{44. 49{50. 57{58.

A számok közelít® helyének ábrázolása tízesével, százasával beosztott számegyenesen.

Fontosnak tartjuk, hogy többször, többféle módon járják be a tanulók a különböz® szám-vonalakat. A számok ábrázolása, elhelyezkedésük leolvasása lehet®séget nyújt a szá-mok összehasonlítására, a nagysági viszonyok eldöntésére, tulajdonságaik tudatosításá-ra. A számfogalom kiterjesztésér®l tanultak elmélyítése céljából a számok számegyene-sen való ábrázolása mellett térjünk ki a számok írásáról, olvasásáról, képzésér®l, bon-tásáról, összehasonlításáról, szomszédairól, tulajdonságairól tanultakra is { megfelel®indirekt di�erenciálással alkalmazkodva az egyes tanulók tudásszintjéhez.



Tk. 69/1. feladat: Lépegetés egyesével beosztott számvonalon, számok helyének meg-keresése. Soroltassuk fel a kerek tízeseket növekv®, illetve csökken® sorrendben, a ta-nulók kövessék ezt a felsorolást a számvonalon.

Beszéljük meg, melyik szám nagyobb, melyik kisebb. A számok nagyság szerinti össze-hasonlítása szemléletessé teszi a számok közötti viszonyt, segíti a számfogalom fejl®-dését.

Határoztassuk meg az egyes számok számszomszédait, páros, páratlan, illetve tízes,százas és ezres szomszédait.

Ha szükségesnek tartjuk, többször térjünk vissza ehhez a számvonalhoz.

Megoldás: h >995

g >700

e >491

d >462

c >158

b >62

a


Beszéljük meg, melyik szám nagyobb, melyik kisebb. A számok nagyság szerinti össze-hasonlítása szemléletessé teszi a számok közötti viszonyt, segíti a számfogalom fejl®-dését.

Határoztassuk meg az egyes számok számszomszédait, páros, páratlan, illetve tízes,százas és ezres szomszédait.

Megoldás: Különböz® színnel be is jelöltethetjük a számokat a számvonalon.

Tk. 70/1. kidolgozott mintapélda: A természetes számok halmazán értelmezett egyen-l®tlenségek igazsághalmazának ábrázolása számegyenesen.

Ha eddig nem tanítottuk a kisebb-egyenl®, nagyobb-egyenl® (5,=) nem kisebb, nemnagyobb, nem egyenl® (6>, 6<,6= ) fogalmakat, akkor ezzel a témával most részletesebbenkell foglalkoznunk, többször vissza kell térnünk rá.

Tk. 70/3. feladat: A természetes számok halmazán értelmezett egyenl®tlenségek igaz-sághalmazának ábrázolása számegyenesen.

Megoldás:

a) 20 < a < 3020 30

� � � � � � � � �

b) 220 < b 6> 230220 230

� � � � � � � � � �

c) 550 6> c < 560, és c páros550 560

� � � � �

d) 550 6> d < 560, és d páratlan550 560

� � � � �

e) e < 50, és az e kerek tízes0 50

� � � � �




117

Megoldás: a) 200, 205, 210, 215, 220, 225, 230, 235, 240, 245, 250

b) 600, 595, 590, 585, 580, 575, 570, 565, 560, 555, 550

c) 450, 460, 470, 480, 490, 500, 510, 520, 530, 540, 550

d) 730, 710, 690, 670, 650, 630, 610, 590, 570, 550, 530

Tk. 71/5. feladat: Különböz® beosztású számegyeneseken jelölt számok meghatáro-zása. Ezekkel a feladatokkal készítjük el® a számok közelít® helyének meghatározásátkülönböz® beosztású számegyeneseken.

Figyeltessük meg az analógiákat.

Megoldás: a) d = 4, e = 9, f = 11, g = 15, h = 20

b) d = 40, e = 90, f = 110, g = 150, h = 200

c) d = 400, e = 900, f = 1100, g = 1500, h = 2000


Figyeltessük meg az analógiákat.

Megoldás: a) d = 15, e = 30, f = 50, g = 80, h = 100

b) d = 415, e = 430, f = 450, g = 480, h = 500

c) d = 915, e = 930, f = 950, g = 980, h = 1000


Megoldás: a = 460, e = 510, b = 600, f = 605, g = 798, c = 850, d = 972,

h = 975, i = 1420, j = 1600, k = 1703

Tk. 71/8. feladat: A számok közelít® helyének megkeresése tízesével, százasával, ötö-sével, ötvenesével beosztott számegyenesen.

Például a tízesével beosztott számegyenesen a feladatot úgy végezhetjük el a legpon-tosabban, ha a két kerek tízes közötti szakaszt gondolatban tíz egyenl® részre osztjuk,és így határozzuk meg a keresett szám helyét.

Az ábrázolás során �gyeltessük meg a szám tízes, kés®bb százas szomszédait, és aztis, melyik szomszédhoz áll közelebb a szám (a számok kerekítésének el®készítése).

Megoldás: c = 5 d = 30 e = 54 f = 76

c = 50, d = 300, e = 540, f = 760

Gy. 66/1. feladat: A számok helyének megkeresése egyesével beosztott számegyene-sen.



Megoldás:

a) a = 83, b = 107, c = 95, d = 113, e = 118, f = 99

80 90 100 110 120

a bc d ef

b) a = 183, b = 207, c = 195, d = 213, e = 218, f = 199

180 190 200 210 220180

a bc d ef

c) a = 985, b = 1011, c = 992, d = 1008, e = 1018, f = 999

980 990 1000 1010 1020

a bc d ef

d) a = 1683, b = 1691, c = 1695, d = 1703, e = 1712, f = 1719

1680 1690 1700 1710 1720

a b c d e f

Gy. 66/2. feladat: A számok közelít® helyének megkeresése tízesével, százasával, ötö-sével, ötvenesével beosztott számegyenesen.

Például a tízesével beosztott számegyenesen a feladatot úgy végezhetjük el a legpon-tosabban, ha a két kerek tízes közötti szakaszt gondolatban tíz egyenl® részre osztjuk,és így határozzuk meg a keresett szám helyét.

Számok kerekítése



vegértés, szövegértelmezés, rész-egész észlelése, induktív következtetések, probléma-

érzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem, kezdeményez®képes-

ség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavég-

zés.

Óra: 45{46. 51{52. 59{60.

Korábban is foglalkoztunk már a számok szomszédaival. Most a kerekítés szabályaivalismerkedhetünk meg, melyek fontosak lesznek a kés®bbiekben a m¶veletek eredménye-inek becslésénél.



119

Tk. 72/1. kidolgozott mintapélda: A feladatok feldolgoztatásával el®készíthetjük a szá-

mok kerekítését:

megkerestetjük a számok közelebbi tízes, illetve százas szomszédját;

meg�gyeltetjük, hogy az 5-re végz®d® számok egyenl® távolságra vannak mindkét

tízes szomszédjuktól, az 50-re végz®d® számok egyenl® távolságra vannak mindkét

százas szomszédjuktól;

tudatosítjuk, hogy a 0 lehet tízes, százas, ezres szomszédja is egy számnak;

a kerek százasok is lehetnek tízes szomszédok, illetve kerek ezresek is lehetnek

tízes, százas szomszédok.

Tk. 72/1. feladat: A számegyenesen meg�gyeltethetjük, hogy mely számok vannak egy

adott tízeshez közelebb. Ehhez hasonló feladatok segíthetnek a tízes kerekítés fogalmá-

nak megszilárdításában. Beszéljük meg, hogy a 145 ugyanolyan távol van mindkét tízes

szomszédjától.

Megoldás: 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154

Tk. 73/2. feladat: A megoldásnál és a közös ellen®rzésnél használhatjuk a 69. oldalon

lév® számvonalat.

Megoldás: a) 56; 57; 58; 59; 60; 61; 62; 63; 64.

Beszéljük meg, hogy az 55 és a 65 egyenl® távol van a tízes szomszé-

daitól.a) 96; 97; 98; 99; 100; 101; 102; 103; 104.

b) 576; 577; 578; 579; 580; 581; 582; 583; 584.

c) 1496; 1497; 1498; 1499; 1500; 1501; 1502; 1503; 1504.

d) 0; 1; 2; 3; 4.

Tk. 73/3. feladat: A számok szomszédainak megkeresése után beszéljük meg a szám

tízes, százas kerekítését.

Megoldás: a) 541 < 542 < 553 544 < 545 < 546

540< 542 < 550 540 < 545 < 550

500< 542 < 600 500< 545 < 600

646 < 647 < 648 653 < 654 < 655

640 < 647 < 650 650< 654 < 660

600< 647 < 700 600 < 654 < 700

b) 902 < 903 < 904 951 < 952 < 953

900< 903 < 910 950< 952 < 960

900< 903 < 1000 900 < 952 < 1000

994 < 995 < 996 1004 < 1005 < 1006

990 < 995 < 1000 1000 < 1005 < 1010

900 < 995 < 1000 1000< 1005 < 1100



c) 2 < 3 < 4 8 < < 10

0< 3 < 10 0 < < 10

0< 3 < 100 0< < 100

44 < 45 < 46 52 < 53 < 54

40 < 45 < 50 50 < 53 < 60

0< 45 < 100 0 < 53 < 100

153 < 154 < 155

150< 154 < 160

100 < 154 < 200

Tk. 73/4. feladat: Figyeljük meg, hogy az 50-re végz®d® számok vannak egyenl® távol-

ságra mindkét százas szomszédjuktól.

Megoldás: a) 550, 650, 750

b) 950, 1050

b) 50, 150, 250

Tk. 73/5. feladat: A pontos érték, közelít® érték közötti különbség érzékeltetése a feladat

célja. Kérjünk a tanulóktól is hasonló példákat.

Megoldás: a) Körülbelüli érték.

b) Pontos érték.

c) Pontos érték.

d) Körülbelüli érték.

Tk. 74/Figyeld meg!: Megfogalmazzuk az eddigi tapasztalatok alapján a �pontos ér-

ték", �kerekített érték", illetve a �közelít® érték" fogalmakat. A kerekítésre ne mechanikus

szabályt fogalmaztassunk meg, hanem olyat, amely a matematikai tartalmat is tükrözi.

Beszéljük meg: az 5-re, 50-re végz®d® számokat azért kerekítjük felfelé, mert a mate-

matikusok ebben állapodtak meg (másképpen is megegyezhettek volna).

Tk. 75/6. feladat: Számok tízesre kerekítése.

Megoldás: a) 123 256 402 697

120 260 400 700

b) 21 103 844 900

20 100 840 900

c) 1208 1532 1848 1950

1210 1530 1850 1950

Tk. 75/7. feladat: Számok százasra kerekítése.

Megoldás: a) 158 316 879 501

200 300 900 500



121

b) 12 499 610 700

0 500 600 700

c) 1026 1175 1450 1649

1000 1200 1500 1600

Tk. 75/8. feladat: Célszer¶ el®ször az egyik feltételnek eleget tev® számhalmazt megha-

tározni. x jelentse azoknak a számoknak a halmazát, amelyek százasra kerekített értéke

500, x � 500; x: 450; 451; . . . 548; 549.

Megoldás: a) 450; 451; 452; 453; 454; 455; 456; 457; 458; 459.

b) 540; 541; 542; 543; 544; 545; 546; 547; 548; 549.

c) 495; 496; 497; 498; 499; 500; 501; 502; 503; 504.

Tk. 75/9. feladat: Célszer¶ el®ször az egyik feltételnek eleget tev® számhalmazt meg-

határozni.

Megoldás: a) 996; 998; 1000; 1002; 1004.

b) 1010; 1012; 1014; 1016; 1018.

c) Nincs ilyen szám. Ha az egyesek helyén 1 áll, a szám nem lehet páros.

d) 950; 960; 970; 980; 990 1000; 1010; 1020; 1030; 1040.

Tk. 75/10. feladat: Kreativitást, problémamegoldó-képesség fejlesztését segít® feladat.

Megoldás: a) c = 2; d = 2; e = 5; f = 6;

g: 5, 6, 7, 8, 9; h: 0, 1, 2, 3, 4.

b) i = 3; j = 4; k: 5, 6, 7, 8, 9;

l: 0, 1, 2, 3, 4; m: 0, 1, . . . 8, 9;

n: 0, 1, . . . 8, 9.

Tk. 75/11. feladat: Könnyebb eldönteni az állítások igaz vagy hamis voltát, ha megha-

tározzuk, mely számoknak 70 a tízesre kerekített értéke.

Megoldás: x � 70, x: 65; 66; 67; 68; 69; 70; 71; 72; 73; 74.

a) Igen, pl.: 66; 67.

b) Nem, mert a legkisebb és a legnagyobb szám különbsége kevesebb

10-nél. (74 { 65 = 9)

c) Igen, 65; 70.

d) Nem. (Csak egy kerek tízes van, a 70.)

Gy. 67/1. feladat: A számok egyes és tízes szomszédairól tanultak gyakorlására szánt

feladat.

Megoldás: a) 62 < 63 < 64 90 < 96 < 100

69 < 70 < 71 100< 102 < 110

86 < 87 < 88 110 < 115 < 120



Gy. 67/2. feladat: A számok tízes és százas szomszédairól tanultak gyakorlására szánt

feladat.

Megoldás: 840 < 847 < 850 800< 847 < 900

850< 854 < 860 800 < 854 < 900

900< 903 < 910 900< 903 < 1000

1000 < 1007 < 1010 1000< 1007 < 1100

1040 < 1048 < 1050 1000< 1048 < 1100

1090 < 1100< 1110 1000 < 1100< 1200

Gy. 67/3. feladat: A számok egyes, tízes és százas szomszédairól tanultak gyakorlására

szánt feladat.

Megoldás:

Szám Egyes szomszédok Tízes szomszédok Százas szomszédok

kisebb nagyobb kisebb nagyobb kisebb nagyobb

475 474 476 470 480 400 500

958 957 959 950 960 900 1000

1237 1236 1238 1230 1240 1200 1300

1862 1861 1863 1860 1870 1800 1900

Gy. 68/4. feladat: A számok tízes és százas szomszédairól tanultak gyakorlására szánt

feladat.

Megoldás: 1050 < 1056 < 1060 1000 < 1056 < 1100

1120< 1123 < 1130 1100< 1123 < 1200

1280 < 1285 < 1290 1200 < 1285 < 1300

1300< 1304 < 1310 1300< 1304 < 1400

1490 < 1496 < 1500 1400 < 1496 < 1500

1530< 1531 < 1540 1500< 1531 < 1600

Gy. 68/5. feladat: A számok tízes kerekítésér®l tanultak gyakorlására szánt feladat.

Megoldás: a) 140 570 1410

130 580 1400

140 580 1410

b) 990 1010 1750

1000 1010 1760

1000 1000 1750



123

Gy. 68/6. feladat: A számok százas kerekítésér®l tanultak gyakorlására szánt feladat.

Megoldás: a) 100 600 1400

100 600 1400

100 600 1400

b) 1000 1000 1800

1000 1000 1800

1000 1000 1800

Gy. 69/7. feladat: A számok egyes, tízes, százas szomszédairól tanultak gyakorlására

szánt feladat.

Megoldás:

Szám Egyes szomszédok Tízes szomszédok Százas szomszédok

kisebb nagyobb kisebb nagyobb kisebb nagyobb

3 2 4 0 10 0 100

47 46 48 40 50 0 100

963 962 964 960 970 900 1000

1004 1003 1005 1000 1010 1000 1100

1035 1034 1036 1030 1040 1000 1100

1050 1049 1051 1040 1060 1000 1100

Gy. 69/8. feladat: Adott számok jelölése a számegyenesen, a tízes számszomszédok

meg�gyelése, a számok tízesre kerekített értékének meghatározása.

Megoldás: a) 108 125 142 160 179 195

110 130 140 160 180 200

b) 511 528 545 563 580 597

510 530 550 560 580 600

Gy. 69/9. feladat: Adott számok jelölése a számegyenesen, a százas számszomszédok

meg�gyelése, a számok százasra kerekített értékének meghatározása.

Megoldás: a) 13 256 404 587 700 950

0 300 400 600 700 1000

b) 1053 1246 1450 1700 1899 1948

1100 1200 1500 1700 1900 1900

Gy. 70/10. feladat: Ismét �gyeltessük meg, hogy az 50-re végz®d® számok egyenl® tá-

volságra vannak mindkét százas szomszédjuktól. Beszéljük meg, hogy a ��." azt jelenti,

hogy folytatódik a felsorolás a három pont után adott számig.



A számegyenesen már nem tudjuk egyenként jelölni a számokat, ezért csak azt jelöljük,

hogy mely szakaszon helyezkednek el ezek a számok. Az üres karika azt jelenti, hogy

az a szám már nem tartozik a megoldáshoz.

Megoldás: af451 , 452 , . . . 548: 549g.

400 500 600

Gy. 70/11. feladat: Az alaki-, a helyi- és a tényleges értékr®l, a számszomszédokról, a

kerekítésr®l stb. tanultak gyakorlására szánt feladat.

Megoldás: a b c d e

f g

h i j

k l m

n o p

q r

s t

1 9 1 4 4 5

5 0 0 8 0 0

1 0 8 5 0

0 9 0 1 2

6 1 9 6 0

5 0 0 4 0 0

4 0 2 0 0 0

Hosszúságmérés; milliméter






pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, környezettudatosságra nevelés,

hon- és népismeret.

Óra: 47{48. 53{54. 61{62.

A hosszúságmérésr®l tanultak gyakorlása, tartalmi kib®vítése kedvez® alkalmat nyújt a

2000-es számkörr®l tanultak alkalmazására, folyamatos ismétlésére és gyakorlására.

Tk. 76/1. kidolgozott mintapélda: Bevezetjük a milliméter fogalmát. A tanult mértékegy-

ségeket (milliméter, centiméter, deciméter, méter) rendszerezzük. Tisztázzuk a �deci-",

�centi-", �milli-" latin eredet¶ el®tagok jelentését.

A fogalomalakítás szempontjából fontosnak tartjuk, hogy a tanulók sok mérést végez-

zenek teremben, terepen egyaránt. Különböz® távolságokat mérjenek meg, mérjenek

össze, illetve mérjenek ki. A mérést minden esetben el®zze meg a hosszúságok becs-

lése. A gyakorlatok során alkalmazzuk a kerekítésr®l tanultakat. Sok tapasztalatszerzés

után kerüljön csak sor az átváltásokra.



125

A milliméterskála használata, az átváltások mélyítik és biztosabbá teszik a számfogal-

mat.

Ennél a témánál lehet®ségünk nyílik a tantárgyak közötti koncentrációra (környezetisme-

rettel, technikával).

Tk. 77/1. feladat: Különböz® hosszúságok becslése, mérése.

Megoldás: Kulcs: 30 mm, Lyukasztó: 100 mm,

Csavar: 45 mm, Kapocs: 18 mm,

Kanál: 70 mm

Tk. 77/2. feladat: Ismerkedés a térképhasználattal. (Kapcsolat a környezetismerettel.)

Megoldás: Árpád híd 93 mm 930 m

Margit híd 61 mm 610 m

Lánchíd 38 mm 380 m

Erzsébet híd 39 mm 390 m

Szabadság híd 33 mm 330 m

Pet®� híd 51 mm 510 m

Tk. 77/3. feladat: Különböz® hosszúságok becslése.

Megoldás: a) 2 dm, b) 4 dm, c) 6 dm

5 dm 7 dm

Gy. 71/1. feladat: Több hasonló feladatot adjunk egyéni, páros, illetve csoportmunkában

a tanulóknak a konkrét mérések gyakorlására.

Megoldás: a) A tábla szélessége 20 dm,

magassága 1 m,

vastagsága 25 mm.

b) Egy öv hosszúsága 7 dm,

szélessége 3 cm,

vastagsága 1 mm.

c) Egy könyv hosszúsága 2 dm 35 mm,

szélessége 15 cm 5 mm,

vastagsága 15 mm.

Gy. 71/2. feladat: Több hasonló feladatot adjunk egyéni, páros, illetve csoportmunkában

a tanulóknak a konkrét mérések gyakorlására. Hasonlítsák össze a feladatban szerepl®

adatokat a saját adataikkal.

Megoldás: a) Magassága: 13 dm.

b) Araszának hossza: 160 mm.

c) Lépésének hossza: 46 cm.



Gy. 71/3. feladat: Távolságok becslése, kimérése, megmérése. Figyeltessük meg a mé-

rés és a becslés közötti eltéréseket.

Megoldás: 5 cm 5 mm

3 cm 35 mm



Megoldás:

Becslés Mérés

a 30 mm mm 33 mm mm

b 20 mm mm 16 mm mm

c 40 mm mm 38 mm mm

d 80 mm mm 76 mm mm



Megoldás: a = 4 cm fele 2 cm

b = 56 mm fele 28 mm

c = 30 mm fele 15 mm

Gy. 72/6. feladat: A kerület fogalmát készítjük el® a négyszögek oldalhosszúságának

megmérésével, félegyenesre való kimérésével.

Megoldás: a) a = 25 mm, b) a = 28 mm, c) a = 20 mm,

b = 32 mm, b = 38 mm, b = 45 mm,

c = 25 mm, c = 23 mm, c = 45 mm,

d = 32 mm, d = 22 mm, d = 20 mm,

K = 104 mm; K = 111 mm; K = 130 mm.

Gy. 72/7. feladat: Kell® tapasztalatszerzés után kerüljön csak sor a mértékváltások gya-

koroltatására, összehasonlítására, rendszerezésére.

Megoldás: a) 8 cm 5 mm b) 2 dm 5 cm 4 mm

14 cm 2 mm 5 dm 0 cm 8 mm

25 cm 0 mm 10 dm 9 cm 5 mm

50 cm 6 mm 10 dm 0 cm 1 mm

c) 550 mm d) 135 mm

720 mm 181 mm

310 mm 105 mm

190 mm 199 mm



127



Megoldás: a) 20 mm b) 200 mm

50 mm 2000 mm

110 mm 1200 mm

200 mm 2000 mm



Megoldás: a) 50 cm b) 0 m

4 dm 180 cm

910 mm 1980 mm

85 cm 151 cm

985 mm 1510 mm

750 mm 750 mm

100 mm 50 cm

Gy. 73/10. feladat: Kell® tapasztalatszerzés után kerüljön csak sor a mértékváltások

gyakoroltatására, összehasonlítására, rendszerezésére.

Megoldás: a) 3 cm 5 mm b) 2 dm 5 cm 2 mm



38 cm 2 mm 10 dm 4 cm 5 mm

Gy. 73/11. feladat: Kell® tapasztalatszerzés után kerüljön csak sor a mértékváltások

gyakoroltatására, összehasonlítására, rendszerezésére.

Megoldás: 12 cm = 120 mm 1 cm 2 mm = 12 mm

1 dm 2 cm = 120 mm 1 dm 2 mm = 102 mm

12 dm = 1200 mm 1 m 2 dm = 1200 mm

1 m 2 cm = 1020 mm 1 m 2 mm = 1002 mm

12 mm < 102 mm < 120 mm=120 mm < 1002 mm < 1020 mm <

< 1200 mm = 1200 mm

1 cm 2 mm < 1 dm 2 mm < 12 cm = 1 dm 2 cm < 1 m 2 mm <

< 1 m 2 cm < 12 dm = 1 m 2 dm

Gy. 74/12. feladat: A kerekítésr®l tanultak alkalmazása a hosszúságok közelít® megha-

tározásában.

Megoldás: 42 cm <3 mm

42 cm 3 mm<

7 mm43 cm, 423 mm � 420 mm = 42 cm;

30 cm <5 mm

30 cm 5 mm <5 mm

31 cm, 305 mm � 310 mm = 31 cm;



99 cm <7 mm

99 cm 7 mm <3 mm

100 cm, 997 mm � 1000 mm = 100 cm;

100 cm <4 mm

100 cm 4 mm <6 mm

101 cm, 1004 mm � 1000 mm = 100 cm.

Gy. 74/13. feladat: A kerekítésr®l tanultak alkalmazása a hosszúságok közelít® megha-

tározásában.

Megoldás: 3 dm <58 mm

3 dm 58 mm <42 mm

4 dm, 358 mm � 400 mm = 4 dm;

6 dm <12 mm

6 dm 12 mm <88 mm

7 dm, 612 mm � 600 mm = 6 dm;

9 dm <49 mm

9 dm 49 mm <51 mm

10 dm, 949 mm � 900 mm = 9 dm;

10 dm <54 mm

10 dm 54 mm <46 mm

11 dm, 1054 mm � 1100 mm = 11 dm.

Gy. 74/14. feladat: A vonalzó használatának gyakorlása. Törekedjünk a pontos mérésre.

Megoldás:� �

Gy. 74/15. feladat: Mértékváltások gyakorlása szöveges feladatokban.

Megoldás: a) Adatok: v = 1 m 5 cm = 105 cm = 1050 mm,

l = 1 dm 5 mm = 105 mm, m = ?

Terv: m = v { l

Számolás: m = 1050 { 105 m = 945 mm

Válasz: 945 mm = 9 dm 4 cm 5 mm hosszú cs® maradt.

b) Adatok: v = 15 dm = 1500 mm,

h = 1 dm 5 mm = 105 mm, l = ?

Terv: l = v + h

Számolás: l = 1500 + 105 l = 1605 mm

Válasz: 1605 mm = 1 m 6 dm 5 mm hosszú lett a papírcsík.



129

�rtartalommérés; milliliter






pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, környezettudatosságra nevelés,

egészséges életmód.

Óra: 49{50. 55{56. 63{64.

Az ¶rtartalommérésr®l tanultak áttekintése, kib®vítése, alkalmazása a 2000-es számkör-

ben. ¶rtartalmak becslése, összehasonlítása, megmérése, kimérése alkalmilag válasz-

tott egységekkel, illetve szabványmértékegységekkel, milliliterrel, centiliterrel, deciliterrel,

literrel. Új fogalom a milliliter, ezért itt is beszéljük meg, hogy a �milli" latin szót milyen

értelemben használjuk.

Az ¶rtartalom becslése a tapasztalat hiánya miatt sokkal nehezebb, mint a hosszúság

becslése, így erre nagy �gyelmet fordítsunk.

Mutassunk be különböz® alakú, közel azonos ¶rtartalmú edényeket. Becslés alapján ren-

deztessük ezeket ¶rtartalmuk szerint. A becslést ellen®riztessük méréssel. A mérésnél

hívjuk fel a �gyelmet arra, hogy a mér®edényt mindig pontosan töltsék meg, a folyadékot

ne lötyögtessék szét.

Tk. 78-79/Figyeld meg!: A tanult mértékegységek értelmezése, rendszerezése: Mutas-

sunk be 1 dm3 térfogatú, vagyis 1 l ¶rtartalmú, például kartonpapírból készült kockát,

1 dl ¶rtartalmú �tepsit" stb. Így a tanulók tapasztalatot szereznek (el®készítés szintjén)

az ¶rtartalommérés és a térfogatmérés egységei közti kapcsolatok felismeréséhez.

Tk. 79/1. feladat: Tasziló olyan hibákat gy¶jtött össze, amelyeket a tanulók a becslés,

illetve mérés során tévesztenek.

Megoldás: 100 cl = 1 l 80 dl = 8 l 120 l = 1200 dl 2 cl = 20 ml

Tk. 80/2. feladat: A centiliter és a milliliter fogalmát szemléletileg megalapozó feladat. A

fogalomalkotás szempontjából kedvez®, ha ezt a mér®edényt ténylegesen bemutatjuk.

Megoldás: 250 : 10 { 25

25 beosztás van az üvegen.

a) 5 � 10 = 50 ml b) 7 � 10 = 70 ml

c) 10 � 10 = 100 ml d) 20 � 10 = 200 ml

Tk. 80/3. feladat: A centiliter és a milliliter fogalmát szemléletileg megalapozó feladat. A

fogalomalkotás szempontjából kedvez®, ha ezt a mér®edényt ténylegesen bemutatjuk.

Megoldás: 1000 ml = 100 cl 7 10 dl = 1 l

1 l vizet lehet mérni az edénnyel.



Az edény felfelé kiszélesedik, ezért a beosztások különböz® távolságra

vannak egymástól.

a) 250 : 50 = 5 b) 1000 : 50 = 20

5 pohárral tölthet® meg. 20 pohárral tölthet® meg.

Tk. 80/4. feladat: A centiliter és a milliliter fogalmát szemléletileg megalapozó feladatok.

Megoldás: a) 1 dl = 100 ml, 15 cl = 150 ml

100 + 150 + 30 + v = 300 v = 20 ml

20 ml vizet önt a koktélba.

b) 15 cl = 150 ml, 1 dl = 100 ml

150 + 100 + 20 + v = 300 v = 30 ml

30 ml vizet önt a koktélba.

c) 1 dl = 100 ml, 10 cl = 100 ml

100 + 25 + 75 + 100 + v = 300 v = 0 ml

Nem önt vizet a koktélba.

Tk. 80/5. feladat: A centiliter és a milliliter fogalmát megalapozó feladat.

Megoldás: a) 300 : 30 � 2 = 20

20 ml = 2 cl nektárt gy¶jt össze a méh.

b) 1500 : 30 � 2 = 100

100 ml = 10 cl = 1 dl nektárt gy¶jt össze a méh.

c) 900 : 30 � 2 = 60

60 ml = 6 cl nektárt gy¶jt össze a méh.

d) 1800 : 30 � 2 = 120

120 ml = 12 cl = 1 dl 2 cl nektárt gy¶jt össze a méh.

Tk. 80/6. feladat: Mértékváltások gyakorlása szöveges feladatban.

Megoldás: a) Adatok: 1 óra 200 ml

10 óra ? ml

Terv: x = 10 � 200

Számolás: x = 2000 ml = 200 cl = 20 dl = 2 l

Válasz: 2000 ml mézharmat gy¶lik össze.

Gy. 75/1. feladat: A tanult mértékegységek átváltása a 2000-es számkör �gyelembevé-

telével.

Megoldás: a) 10 ml b) 20 ml

10 cl = 100 ml 200 ml

10 dl = 100 cl = 1000 ml 2000 ml



131


telével.

Megoldás: a) 30 ml b) 400 ml

70 ml 200 ml

120 ml 1500 ml

200 ml 2000 ml


telével.

Megoldás: a) 4 cl 5 ml b) 3 dl 5 cl 4 ml

14 cl 5 ml 7 dl 0 cl 9 ml

7 cl 6 ml 10 dl 5 cl 4 ml

17 cl 6 ml 10 dl 0 cl 9 ml


telével.

Megoldás: a) 54 ml b) 24 cl 5 ml

125 ml 35 cl 0 ml

1202 ml 50 cl 8 ml

c) 354 ml d) 6 dl 82 ml

528 ml 4 dl 50 ml

199 ml 7 dl 0 ml

e) 12 dl = 120 cl = 1200 ml

18 dl = 180 cl = 1800 ml

20 dl = 200 cl = 2000 ml

f) 134 cl 5 ml = 13 dl 4 cl 5 ml

156 cl 0 ml = 15 dl 6 cl 0 ml

180 cl 0 ml = 18 dl 0 cl 0 ml

Gy. 76/5. feladat: A mindennapi életben használt eszközök ¶rtartalmának becslése,

majd megmérése. Pontosabban mérhetjük meg a kanál ¶rtartalmát, ha például 10 kanál

folyadék ¶rtartalmát mérjük meg.

Megoldás: a) B: 15 cl b) B: 5 cl c) B: 20 cl

Gy. 76/6. feladat: A mindennapi életben használt eszközök ¶rtartalmának becslése,

majd megmérése. Pontosabban mérhetjük meg a kanál ¶rtartalmát, ha például 10 kanál

folyadék ¶rtartalmát mérjük meg.

Megoldás: a) B: 2 dl b) B: 5 dl c) B: 10 dl



Gy. 76/7. feladat: A mértékváltásról tanultak gyakorlása.

Megoldás: a) 70 dl 150 dl 8 dl 16 dl

b) 90 cl 500 cl 70 cl 580 cl

c) 40 ml 2000 ml 500 ml 1070 ml

Gy. 76/8. feladat: Mértékváltások gyakorlása szöveges feladatokban.

Megoldás: a) Adatok: v = 2 l = 2000 ml, k = 3 dl 5 ml = 305 ml, m = ?

Terv: m = v { k

Számolás: m = 2000 { 305 m = 1695 ml

Válasz: 1695 ml = 1 l 6 dl 9 cl 5 ml víz maradt az edényben.

b) Adatok: v = 3 dl 5 cl = 35 cl = 350 ml,

h = 36 cl 8 ml = 368 ml, l = ?

Terv: l = v + h

Számolás: l = 350 + 368 l = 718 ml

Válasz: 718 ml = 7 dl 1 cl 8 ml víz lett az edényben.

Gy. 76/9. feladat: A mértékváltásról tanultak gyakorlása.

Megoldás: a) 5 dl 5 cl b) 650 ml

3 dl 8 cl 760 ml

4 dl 2 cl 440 ml

Gy. 76/10. feladat: A centiliter és a milliliter fogalmát szemléletileg megalapozó feladat.

A fogalomalkotás szempontjából kedvez®, ha ezt a mér®edényt ténylegesen bemutatjuk.

Megoldás:

80 ml

fél dl

15 ml

100 ml

7 cl 5 ml

negyed dl

5 cl

Tömegmérés; gramm






pontosság, csoportos, páros, egyéni munkavégzések, környezettudatosságra nevelés.



133

Óra: 51. 57. 65.

A gramm fogalmát értelmezzük már meglév® tapasztalatokra és ismeretekre építve. A

háztartásban a gyermekek gyakran találkoznak hasonló tömeg¶ árukkal. Törekedjünk ar-

ra, hogy minél többször becsüljenek meg, hasonlítsanak össze 10{20 grammnyi mennyi-

ségeket.

A színesrúdkészlet fehér kockája 1 gramm tömeg¶ (ennek megfelel®en ahány centiméter

hosszú a rúd, annyi gramm a tömege). Apró tárgyakat hasonlítsanak össze vele.

Konyhai vagy játék mérlegen mérjenek meg (ki) azonos anyagból különböz® mennyisé-

geket, illetve különböz® s¶r¶ség¶ (fajsúlyú), azonos térfogatú anyagokat (vasreszelék,

homok, só, cukor, liszt stb.). Hasonlítsuk össze a mérési eredményeket, és �gyeltessük

meg a következ®ket:

Ugyanabból az anyagból kisebb ¶rtartalmú anyagnak arányosan kisebb, nagyobb

¶rtartalmú anyagnak arányosan nagyobb a tömege.

Különböz® anyagból készült (vas, fa, hungarocell stb.), de ugyanakkora méret¶ tár-

gyaknak, illetve azonos térfogatú különböz® anyagoknak más-más lehet a tömege.

Ha ugyanannak a testnek a tömegét megmérve különböz® színesrudakat alkalma-

zunk egységként, akkor a nagyobb egységhez arányosan kisebb, a kisebb egység-

hez arányosan nagyobb mér®szám tartozik (nem mondjuk meg, hogy fordított ará-

nyosságról van szó).

Csak a konkrét mérések után foglalkozzanak a tanulók a tanult mértékegységek átváltá-

sával a 2000-es számkör �gyelembevételével.

A mérési adatokat rendeztessük táblázatba, esetleg készíttessünk diagramot, gra�kont

a mérési adatok felhasználásával.

A téma feldolgozását hangoljuk össze a környezetismerettel is.

Tk. 81/Figyeld meg!: Összefoglaljuk, rendszerezzük a tömegmérésr®l eddig tanultakat.

Tk. 81/1. feladat: Mértékváltás gyakorlása.

Megoldás: a) 4 b) 10 c) 15 d) 100 e) 2 és fél

Tk. 81/2. feladat: A biztos mennyiségfogalom kialakulását segít® feladat.

Megoldás: 25 g 500 g 25 dkg 50 g 25 kg

f¶szer margarin margarin vaj gyerek

Tk. 82/3. feladat: Következtetés egységnyi mennyiségr®l többre.

Megoldás: a) l = 8 � 15 g l = 120 g = 12 dkg

120 g = 12 dkg a tömege 8 kanál lisztnek.

b) c = 7 � 25 g c = 175 g = 17 dkg 5 g

175 g = 17 dkg 5 g a tömege 7 kanál cukornak.

c) s = 4 � 30 g s = 120 g = 12 dkg

120 g = 12 dkg a tömege 4 kanál sónak.



d) e = 6 � 15 g + 6 � 25 g e = 240 g = 24 dkg

240 g = 24 dkg a tömege 6 kanál lisztnek és 6 kanál cukornak.

e) ö = 9 � 15 g + 30 g ö = 165 g = 16 dkg 5 g

165 g = 16 dkg 5 g a tömege 9 kanál lisztnek és 1 kanál sónak.


Megoldás: Adatok: c = 4 g, c <

2n, 30 nap ?

Terv: x = 30 � 2 � 4

Számolás: x = 240 g = 24 dkg

Válasz: 240 g élelmet fogyaszt el a cickány 30 nap alatt.

Rajzon: 30 mm Valóságban: 2 � 30 = 60

60 mm = 6 cm hosszú a cickány testhossza a farka nélkül.


Megoldás: Adatok: p = 40 g, g >

hatodap, k = ?

Terv: k = g { p

Számolás: k = 6 � 40 { 40 vagy k = 5 � 40

Válasz: k = 200 g = 20 dkg

20 dkg-mal nagyobb a gerle tömege.

Rajzon: 28 mm Valóságban: 5 � 28 = 140

140 mm = 14 cm = 1 dm 4 cm hosszú a búbos pacsirta.


Megoldás: Adatok: b = 1 kg 80 dkg = 180 dkg = 1800 g b >

300cs,cs = ?

Terv: cs = 1800 : 300

Számolás: cs = 6 g

Válasz: 6 g a csilpcsalpfüzike tömege.

Rajzon: 4 cm Valóságban: 18 � 4 = 72 cm

72 cm magas a bölömbika.

f = 720 : 6 f = 120 mm = 12 cm

120 mm = 12 cm hosszú a füzike.

Gy. 77/1. feladat: Alkalmazzuk a tömeg- és az ¶rtartalom-mértékegységek közötti kap-

csolatot. (4 oC-os vízr®l van szó.)

Megoldás: a) 1 ml víz tömege = 1 g

b) 1 cl víz tömege = 10 g = 1 dkg



135

c) 1 dl víz tömege = 100 g = 10 dkg

d) 1 l víz tömege = 1000 g = 100 dkg = 1 kg

Gy. 77/2. feladat: Következtetés egységnyi mennyiségr®l többre.

Megoldás: a) d = 6 � 150 d = 900 g = 90 dkg

90 dkg a tömege 6 pohár darának.

b) l = 9 � 130 l = 1170 g = 117 dkg

1170 g = 117 dkg a tömege 9 pohár lisztnek.

c) c = 4 � 270 g c = 1080 g = 108 dkg

1080 g = 108 dkg a tömege 4 pohár cukornak.

Gy. 77/3. feladat: Mértékváltás gyakorlása.

Megoldás: a) 7 dkg 5 g b) 1156 g

14 dkg 6 g 1082 g

125 dkg 6 g 1004 g

c) 36 g d) 1 kg 24 dkg 6 g

252 g 1 kg 7 dkg 5 g

1025 g 1 kg 90 dkg 2 g

Gy. 77/4. feladat: Következtetés egyr®l többre. A fehér kocka tömege 1 gramm.

A feladat megoldását, illetve ellen®rzését kapcsoljuk konkrét méréshez. Tudatosítsuk,

hogy a mért adat mindig közelít® érték.

Megoldás: a) 1 világoskék rúd tömege = 3 g

15 világoskék rúd tömege = 45 g = 4 dkg 5 g

b) 1 lila rúd tömege = 6 g

132 lila rúd tömege = 792 g = 79 dkg 2 g

c) 1 narancssárga rúd tömege = 10 g

200 narancssárga rúd tömege = 2000 g = 200 dkg 0 g = 2 kg

Az összeg becslése



vegértés, szövegértelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés,

induktív következtetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesz-

tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-

tosság, kooperatív és önálló munkavégzés.



Óra: 52. 58. 66.

Az írásbeli összeadás els® lépésében meg kell becsülnünk az összeget. Ezért most tisz-

tázzuk a becslés fogalmát. Megbeszéljük, hogy a kerekítésr®l és a kerek számok össze-

adásáról tanultakat hogyan alkalmazhatjuk háromjegy¶ számok összegének becslésére.

Minimumszinten elégedjünk meg a százasra kerekített értékekkel történ® számolással.

A biztosabban számoló tanulóktól elvárható, hogy képesek legyenek alkalmazni a másik

két modellt, a tízesre kerekített értékekkel történ® számolást, illetve az összeg �két érték

közé szorítását".

A becsült közelít® érték és a tényleges összeg összevetésekor a tanulóknak tudatosan

alkalmazniuk kell az összeg változásairól korábban meg�gyelteket.

Tk. 83/1. kidolgozott mintapélda: Beszéljük meg a m¶veletvégzés el®tt a becslés mód-

jait.

Tk. 83/1. feladat: Összeg becslése, a becsült érték és a tényleges érték összehasonlí-

tása az összeg változásainak �gyelembevételével.

Megoldás: a) 200 + 300 = 500

Becslés < Számolás, mert mindkét tagot lefelé kerekítettük.

b) 1400 + 500 = 1900

Becslés > Számolás, mert mindkét tagot felfelé kerekítettük.

c) 300 + 100 + 100 = 500

Becslés < Számolás, mert többet kerekítettük lefelé, mint felfelé.



Megoldás: a) 210 + 340 = 550

Becslés < Számolás, mert mindkét tagot lefelé kerekítettük.

b) 1370 + 520 = 1890

Becslés > Számolás, mert többet kerekítettük lefelé, mint felfelé.

c) 330 + 80 + 150 = 560

Becslés > Számolás, mert minden tagot felfelé kerekítettük.



Megoldás: a) 210 + 340 < ö < 220 + 350 550 < ö < 570

b) 1360 + 520 < ö < 1370 + 530 1880 < ö < 1900

c) 320 + 70 + 140 < ö < 330 + 80 + 150 530 < ö < 560





137

Megoldás: a) Becslés: 150 + 350 = 500 Ft

Pontos érték: 153 + 348 = 501 Ft

Becslés <1Számolás

501 Ft-ja lett Annának.

b) Becslés: 430 + 280 = 710 Ft


Becslés <5Számolás

715 Ft-juk van együtt.

c) Becslés: 360 + 110 = 470 Ft


Becslés >2Számolás

468 Ft-ja van Editnek.



Megoldás: a) Toll: 458 Ft, Festék: 312 Ft

Becslés: 500 + 300 = 800 Ft

b) Album: 573 Ft, Színes ceruza: 236 Ft

Becslés: 600 + 200 = 800 Ft

c) Album: 573 Ft Toll: 458 Ft

Becslés: 570 + 460 = 1030 Ft

d) Festék: 312 Ft, Színes ceruza: 236 Ft

Becslés: 310 + 240 = 550 Ft

e) Album és festék,

Album és színes ceruza

f) Toll és színes ceruza,

Toll és festék,

Festék és színes ceruza

Gy. 78/1. feladat: Összeg becslése százasra kerekített értékekkel számolva.

Megoldás: a) 1000 + 100 = 1100

b) 500 + 100 + 100 = 700



Gy. 78/2. feladat: Összeg becslése tízesre kerekített értékekkel számolva.

Megoldás: a) 230 + 980 = 1210

b) 200 + 200 = 400

c) 200 + 230 + 210 = 640

d) 200 + 980 + 300 = 1480

Gy. 78/3. feladat: Összeg becslése két érték közé szorítással.

Megoldás: 460 + 350 < x < 470 + 360 810 < x < 830

�Irásbeli összeadás





tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüg-

géslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés,

egészséges életmód.

Óra: 53{57. 59{64. 67{72.

Az írásbeli összeadás algoritmusa jól szemléltethet® játék pénzzel. A tankönyvi ábra sta-

tikus, ha például a táblán kirakva ténylegesen �eljátsszuk" két érték összeadását, akkor

ez a dinamikus szemléltetés lényegesen hatékonyabb lehet (ebben az esetben a tan-

könyvi ábra �emlékeztet®" szerepet játszik). Adjunk a gyerekek kezébe játék pénzt.

Az írásbeli összeadás tanulása során az �átváltás" okozhat gondot a tanulóknak, ezért

ezen a téren (több órán át) fokozatosan nehezítjük a feladatokat (nincs átváltás, egy

átváltás van, több átváltás van).

Kezdetben típushiba lehet, hogy a tanulók nem veszik �gyelembe a helyiértéket a szá-

mok egymás alá írásakor, ezért mindig adjunk olyan feladatokat, amelyekben a gyerme-

keknek kell egymás alá írniuk a számokat.

A m¶veletvégzés el®tt mindig becsültessük meg az eredményt (lásd az összeg becslé-

sénél leírtakat). A becslésnél ne írják egymás alá a számokat a tanulók, �fejben" szá-

moljanak. Tipikus, hogy az írásbeli m¶velet eredményét kerekíti a tanuló, és ezt írja be

becsült értékként. Ne fogadjuk el ezt a �megoldást".

Az eredményt ellen®riztessük az összeadás fordított sorrendben történ® elvégeztetésé-

vel, illetve a becsült érték és az összeg összehasonlíttatásával.

Az írásbeli m¶veletek elsajátíttatását, gyakoroltatását a tanítás minden fázisában kös-

sük össze egyszer¶ szöveges feladatok megoldatásával. Most válik teljessé a szöveges

feladatok megoldásának menete (hiszen korábban nem volt funkciója a becslésnek):



139

A szöveg értelmezése: esetleg rajz, táblázat készítése, az adatok lejegyzése stb.

Az adatokat úgy kell lejegyezni, hogy az adatok közti összefüggés is értelmezhet®

legyen.

A matematikai modell felírása.

Becslés kerekített értékekkel történ® számítással.

A számítás elvégzése.

Ellen®rzés: a becsült érték és a számított érték összehasonlítása, az összeg válto-

zásainak �gyelembevételével.

Szöveges válasz, az eredmény értelmezése a szöveg alapján.

Tk. 85/1. kidolgozott mintapélda: Két szám írásbeli összeadása átváltás nélkül. A m¶-

veletvégzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük

meg az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított érté-

keket.

Két szám írásbeli összeadása átváltás nélkül. A m¶veletvégzés el®tt (tízesre vagy szá-

zasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzésnél

hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.

Tk. 85/1. feladat: Tasziló ismét megmutatja a tanulóknak azokat a hibákat, amelyeket

gyakran elkövetnek. Beszéljük meg, és javítsuk ki az összeadást. Az írásbeli összeadás-

nál helyiérték szerint kell egymás alá írni a számokat.

Megoldás: Becslés: Becslés:

százasra kerekítve: 1400 százasra kerekítve: 1400

tízesre kerekítve: 1480 tízesre kerekítve: 1390

Számolás: 1235+ 243

1478

Számolás: 1342+ 53

1395

Tk. 86/2. feladat: Két szám írásbeli összeadása átváltás nélkül. A m¶veletvégzés el®tt

(tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg az eredményt.

Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.

Megoldás: Becslés

százasra kerekítve: 800 700 900 300 1500 1300 1600

tízesre kerekítve: 830 690 950 290 1570 1380 1650

Számolás: 834 688 955 288 1567 1379 1649

Tk. 86/3. feladat: Tízesátlépés nélküli írásbeli összeadás gyakorlása és az összeg vál-

tozásainak meg�gyeltetése a feladat célja. A tanulók egy része a m¶veletek elvégzése

el®tt meg tudja mondani, mikor n®, mikor csökken az eredmény, és mennyivel.



Megoldás: 3 4 6

+ 2 1 3

5 5 9

3 4 6

+ 3 1 3

6 5 9

3 4 6

+ 1 1 3

4 5 9

+100

{ 200

{ 100

+100

{ 200

{ 100

Tk. 86/4. feladat: Tízesátlépés nélküli írásbeli összeadás gyakorlása és az összeg vál-



Megoldás: Becslés

százasra kerekítve: 600 700 700 700 700 500

tízesre kerekítve: 560 660 660 680 680 490

Számolás: 567 667 667 687 687 487<

100= <

20= >

100

Tk. 86/2. kidolgozott mintapélda: �Irásbeli összeadás tízesek, illetve százasok átlépésé-

vel. Ha a maradékkal kezdik a következ® helyiértéken az összeadást a tanulók, kevésbé

feledkeznek meg róla.

Csak akkor lépjünk át erre az anyagrészre, ha az átváltás nélküli összeadás algoritmusát

már elsajátították a tanulók. Két szám írásbeli összeadását legfeljebb egy helyiértéken

történ® átváltással, végeztessük.

Rendszeresen térjünk vissza az összeg változásainak meg�gyeltetésére.

Tk. 87/5. feladat: Két szám írásbeli összeadása legfeljebb egy helyiértéken történ® át-

váltással. A m¶veletvégzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva)

becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a

számított értékeket.

Megoldás: Becslés



Számolás: 740 796 757 595 981 753





141



Megoldás: 5 m 32 cm = 532 cm, 2 m 4 dm = 240 cm

6 m 3 cm = 603 cm, 2 m 1 dm 8 cm = 218 cm

Megoldás: Becslés Számolás:

százasra kerekítve: tízesre kerekítve:

532 + 240 700 770 772 cm

532 + 111 + 218 800 860 855 cm

603 + 218 800 820 815 cm

603 + 111 + 240 900 950 954 cm

Tk. 87/3. kidolgozott mintapélda: �Irásbeli összeadás tízesek, illetve százasok átlépésé-

vel. Ha a maradékkal kezdik a következ® helyiértéken az összeadást a tanulók, kevésbé

feledkeznek meg róla.

Csak akkor lépjünk át erre az anyagrészre, ha az átváltás nélküli összeadás algoritmusát

már elsajátították a tanulók. Két szám írásbeli összeadását több helyiértéken történ®

átváltással végeztessük.

Rendszeresen térjünk vissza az összeg változásainak meg�gyeltetésére.





Megoldás: Becslés



Számolás: 507 728 839 587 818 735

Tk. 88/8. feladat: Az írásbeli összeadás gyakorlása és az összeg változásainak meg-

�gyeltetése a feladat célja. A tanulók egy része a m¶veletek elvégzése el®tt meg tudja

mondani, mikor n®, mikor csökken az eredmény, és mennyivel.

Megoldás:4 5 3

+ 2 7 5

7 2 8

3 5 3

+ 3 7 5

7 2 8

5 5 3

+ 1 7 5

7 2 8

{ 100

+200

+100

{ 200

+0

+0



Tk. 88/4. kidolgozott mintapélda: A szöveges feladat megoldásának lépéseit mutatja

be a feladat az írásbeli összeadásra.

A szöveg értelmezése: esetleg rajz, táblázat készítése, az adatok lejegyzése stb.

Az adatokat úgy kell lejegyezni, hogy az adatok közti összefüggés is értelmezhet®

legyen.

A matematikai modell felírása.

Becslés kerekített értékekkel történ® számítással.

A számítás elvégzése.

Ellen®rzés: a becsült érték és a számított érték összehasonlítása, az összeg válto-

zásainak �gyelembevételével.

Szöveges válasz, az eredmény értelmezése a szöveg alapján.

Tk. 89/5. kidolgozott mintapélda: Több szám írásbeli összeadásának modelljét mutat-

juk be több helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel.

A m¶veletvégzés el®tt megbecsüljük az eredményt. Az eredményt ellen®rizhetjük az

összeadás fordított sorrendben történ® elvégzésével, illetve a becsült érték és az összeg


Tk. 90/9. feladat: �Irásbeli összeadása gyakorlására szánt feladatsor. A m¶veletvégzés

el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg az ered-

ményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.

Megoldás: a) Becslés



Számolás: 769 694 858 1434 765 1253

Tk. 90/10. feladat: Az átváltásokkal kapcsolatos típushibákat becslés segítségével fel-

ismertetjük, majd javíttatjuk a tanulókkal.

Megoldás: b) Becslés

százasra kerekítve: 600 0 1000 1400 200

tízesre kerekítve: 630 80 1090 1410 140

Számolás: 626 73 1084 1408 140

Tk. 90/11. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli összeadás, illetve a mértékváltások

gyakoroltatására. A szükséges adatok nem azonos mértékegységgel vannak megadva,

így az adatok kigy¶jtésénél át kell váltani a mértékegységeket.

Törekedjünk az önálló feladatmegoldásra. Kezdetben lépésenként ellen®rizzük a megol-

dást (adatok kigy¶jtése, terv, becslés, számolás, ellen®rzés, válasz), majd fokozatosan

jussunk el a szöveges válasz utáni ellen®rzéshez.

Megoldás: a) Adatok: B= 2 kg 84 dkg = 284 dkg,

D = 3 kg 2 dkg = 302 dkg, Ö = ?



143

Terv: Ö = B + D Ö = 284 + 302

Becslés: Százasra kerekítve: 600 dkg

Tízesre kerekítve: 580 dkg

Számolás: Ö = 586 dkg = 5 kg 86 dkg

Ellen®rzés: Az eredmény összhangban van a becsléssel.

Válasz: 586 dkg = 5 kg 86 dkg nehéz volt a két gyerek együtt.

b) Adatok: a = 612 kg, k = 203 kg, sz = 385 kg, ö = ?

Felesleges adat: k = 78 kg

Terv: ö = a + k + sz

ö = 612 + 203 + 385

Becslés: Százasra kerekítve: 1200 kg

Tízesre kerekítve: 1200 kg

Számolás: ö = 1200 kg


Válasz: 1200 kg gyümölcs volt a zöldségesnél.

c) Adatok: É = 2 m 35 cm = 235 cm,

J = 1 m 25 cm = 125 cm, Ö = ?

Terv: Ö = É + J

Ö = 235 + 125

Becslés: Százasra kerekítve: 300 cm

Tízesre kerekítve: 370 cm

Számolás: Ö = 360 cm = 3 m 60 cm


Válasz: 360 cm = 3 m 60 cm anyagot kell vásárolniuk.

d) Adatok: K = 2 dm 35 mm = 235 mm K <

1 dm 25 mm = 125 mmJ, J = ?

Terv: J = K + 125 J = 235 + 125

Becslés: Százasra kerekítve: 300 mm

Tízesre kerekítve: 370 mm

Számolás: Ö = 360 mm = 3 dm 6 cm


Válasz: 360 mm = 3 m 6 cm szalagot kötöttek Lilla hajába.

e) Adatok: ü = 1 l 34 cl = 134 cl,

k = 17 l 1 cl = 1701 cl, ö = ?

Terv: ö = ü + k ö = 134 + 1701

Becslés: Százasra kerekítve: 1800 cl

Tízesre kerekítve: 1830 cl

Számolás: ö = 1835 cl = 18 l 3 dl 5 cl




Válasz: 1835 cl = 18 l 3 dl 5 cl víz van a két edényben összesen.

f) Adatok: ü = 13 l 4 cl = 1304 cl, ü <1 l 71 cl = 171 cl -rel

k k = ?

Terv: k = ü + 171 k = 1304 + 171



Számolás: ö = 1475 cl = 14 l 7 dl 5 cl


Válasz: 1475 cl = 14 l 7 dl 5 cl víz van a kannában.

Tk. 91/12. feladat: Az összeg hiányzó tagjának, illetve hiányzó számjegyeinek meghatá-

rozása. A megoldás feltételezi az írásbeli összeadás alapos begyakorlását. A feladatok

megoldásával el®készítjük az írásbeli kivonás gyakorlását.

Megoldás: 324+ 708942

234+ 708942

471+ 348819

278+ 12361514

452+ 534986

156+ 8671023

Tk. 91/13. feladat: Az írásbeli összeadás gyakorlása becsléssel.



a) 300 + 0 + 100 = 400 330 + 20 + 110 = 460 459

b) 1300 + 0 + 200 = 1500 1260 + 40 + 230 = 1530 1528

c) 1300 + 0 + 0 = 1300 1330 + 10 + 40 = 1370 1370

d) 700+200+1000 = 1900 670+150+1030 = 1850 1859

e) 0 + 100 + 1400 = 1500 30+130+1420 = 1580 1578

f) 1200+200+300 = 1700 1230+190+280 = 1700 1706

Tk. 91/14. feladat: A kreativitást fejleszt® feladat. Minden próbálkozásnál beszéljük meg,

kinek sikerült a megoldás, kinek nem, és miért. A meglév® számokból más elrendezéssel

lehet-e a feltételnek megfelel® megoldást találni?

Megoldás: Figyeljük meg az egyes eseteket. Melyek lehetnek a nyer® stratégiák?

Tk. 91/15. feladat: Azt kell észrevenniük a tanulóknak, hogy a két legdrágább játékot

Ági meg tudja vásárolni, (még pénze is marad), de a három legolcsóbbat már nem.

Megoldás: a) 641+ 7161357

641+ 6241265

641+ 328969

641+ 4561097

716+ 6241340

716+ 3281044

716+ 4561172

624+ 328952

624+ 4561080

328+ 456784



145

641716

+ 6241981

641716

+ 3281685

641716

+ 4561813

641624

+ 3281593

641624

+ 4561721

641328

+ 4561425

716624

+ 3281668

716624

+ 4561796

624328

+ 4561408

b) 641 + 716| {z }

1357

< P < 624 + 328 + 456| {z }

1408

1358, 1359, 1360, . . . , 1405, 1406, 1407 Ft-ja lehet Toncsinak.

Tk. 92/16. feladat: Természetismerethez kapcsolódó szöveges feladatok, amelyeknek

adatai megfelelnek a valóságnak, szakkönyvekb®l vettük át.




Megoldás: a) Adatok: m = 236 cm, m <

374 cm-reld, d = ?

Terv: d = m + 374 d = 236 + 374



Számolás: d = 610 cm = 6 m 10 cm

Ellen®rzés: 236 <374 cm-rel

610

Válasz: 610 cm = 6 m 10 cm magasra tud ugrani egy del�n.

b) Adatok: m = 405 cm, m <

658 cm-relh h = ?

Terv: h = m + 658 h = 405 + 658



Számolás: h = 1063 cm = 10 m 63 cm

Ellen®rzés: 405 <658

1063

Válasz: 1063 cm = 10 m 63 cm hosszú az afrikai elefánt.

c) Adatok: f = 178 cm, f <

86 cm-rels, s = ?

Terv: s = f + 86 s = 178 + 86



Számolás: s = 264 cm = 2 m 64 cm




264

Válasz: 264 cm = 2 m 64 cm magas lehet egy strucc.

d) Adatok: K = 167 m, K <

213 m-relL, L = ?

Terv: L = K + 213 L = 167 + 213

Becslés: Százasra kerekítve: 400 m

Tízesre kerekítve: 380 m

Számolás: L = 380 m


380

Válasz: 380 m hosszú a budapesti Lánchíd.

e) Adatok: b = 468 kg, b <976 kg-mal

e, e = ?

Terv: e = b + 976 e = 1468 + 976



Számolás: e = 1444 kg


1444

Válasz: 1444 kg tömeg¶ volt az európai bölénybika.

Megoldás: b) Adatok: f = 29, g = 26, k = 32 + 32, l = 31 + 31, m = 25,

ö = ?

Terv: ö = f + g + k + l + m

ö = 29 + 26 + 32 + 32 + 31 + 31 + 25

Becslés: Százasra kerekítve: 0

Tízesre kerekítve: 210

Számolás: ö = 206


Válasz: 206 csontból épül fel az emberi csontváz.

Gy. 79/1. feladat: Két szám írásbeli összeadása átváltás nélkül. A m¶veletvégzés el®tt



Megoldás: a) Becslés Számolás: 578

százasra kerekítve: 300200500

tízesre kerekítve: 340240580

Becslés Számolás: 688



147

százasra kerekítve: 500200700

tízesre kerekítve: 450240690




Megoldás: Becslés a) b) c) d)

százasra kerekítve: 1400 1400 1000 1600

tízesre kerekítve: 1470 1390 1000 1590

Számolás: 1469 1397 999 1588

Gy. 80/3. feladat: A kell® begyakorlás érdekében leírjuk, hogyan becsülünk �fejben". A

tagok kerekített értékével végezzük el az összeadást.



a) 300 + 500 = 800 340 + 450 = 790 788

b) 400 + 600 = 1000 420 + 580 = 1000 998

c) 600 + 200 = 800 640 + 210 = 850 849

d) 500 + 200 = 700 510 + 160 = 670 669

e) 1400 + 500 = 1900 1350 + 550 = 1900 1898

f) 500 + 1000 = 1500 460 + 1020 = 1480 1484







Számolás: 969 1929 1977 1677

b) Becslés



Számolás: 898 988 1988 1978

Gy. 81/5. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli összeadás gyakoroltatására.






Megoldás: a) Adatok: k = 264 Ft, l = 525 Ft, ö = ?

Terv: ö = k + l ö = 264 + 525

Becslés: százasra kerekítve: 800 Ft

tízesre kerekítve: 790 Ft

Számolás: ö = 789 Ft

Ellen®rzés: A számolás összhangban van a becsléssel.

Válasz: 789 Ft-ot �zetett összesen András.

b) Adatok: B = 1247 Ft, B <

551 Ft-talF, F = ?

Terv: F = B + 551 F = 1247 + 551



Számolás: F = 1798 Ft


1798

Válasz: 1798 Ft-ja van Ferinek.

c) Adatok: N = 1042 Ft, N <

755 Ft-talÉ, É = ?

Terv: É = N + 755 É = 1042 + 755



Számolás: É = 1797 Ft


1797


d) Adatok: v = 605 Ft, k = 362 Ft, l = ?

Terv: l = v + k l = 605 + 362



Számolás: l = 967 Ft


Válasz: 967 Ft-ja lett Pálnak.

Gy. 81/6. feladat: Tízesátlépés nélküli írásbeli összeadás gyakorlása és az összeg vál-





149




Számolás: 1889 889 1989 1839<

1000<

1100>

150

b) Becslés



Számolás: 1879 1579 1879 1969>

300<

300<

90

Gy. 82/7. feladat: A kell® begyakorlás érdekében leírjuk, hogyan becsülünk �fejben". A

tagok kerekített értékével végezzük el az összeadást. �Irásbeli összeadás tízesek, illetve

százasok átlépésével. Ha a maradékkal kezdik a következ® helyiértéken az összeadást

a tanulók, kevésbé feledkeznek meg róla.



a) 700 + 700 = 1400 650 + 750 = 1400 1399

b) 500 + 1400 = 1900 460 + 1390 = 1850 1849

c) 1500 + 400 = 1900 1510 + 380 = 1890 1888

Gy. 82/8. feladat: Írásbeli összeadás tízesek, illetve százasok átlépésével. A m¶velet-

végzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg

az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.




Számolás: 1658 1158 1348 1537

b) Becslés



Számolás: 1783 1719 681 1168

Gy. 82/9. feladat: Írásbeli összeadás tízesek, illetve százasok átlépésével. A m¶velet-

végzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültessük meg

az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított értékeket.






Számolás: 1758 1454 883 909

b) Becslés



Számolás: 1168 1269 954 915

Gy. 83/10. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli összeadás, illetve a mértékváltások

gyakoroltatására. A szükséges adatok nem azonos mértékegységgel vannak megadva,

így az adatok kigy¶jtésénél át kell váltani a mértékegységeket. Törekedjünk az önálló

feladatmegoldásra. Kezdetben lépésenként ellen®rizzük a megoldást (adatok kigy¶jtése,

terv, becslés, számolás, ellen®rzés, válasz), majd fokozatosan jussunk el a szöveges

válasz utáni ellen®rzéshez.

Megoldás: a) Adatok: k = 468 kg, a = 1325 kg, ö = ?

Terv: ö = k + a ö = 468 + 1325

Becslés: százasra kerekítve: 1800 kg

tízesre kerekítve: 1800 kg



Válasz: 1793 kg gyümölcse termett összesen Andor bácsinak.

b) Adatok: P = 5 m 47 cm = 547 cm, P <

602 cm-relSz, Sz = ?

Terv: Sz = P + 602 Sz = 547 + 602

Becslés: százasra kerekítve: 1100 cm

tízesre kerekítve: 1150 cm

Számolás: Sz = 1149 cm


1149

Válasz: 1149 cm = 11 m 4 dm 9 cm vezetékre lenne szüksége

Pálnak.

c) Adatok: C = 5 kg 72 dkg = 572 dkg, C <4 kg 15 dkg = 415 dkg-mal

P, P = ?

Terv: P = C + 415 P = 572 + 415

Becslés: százasra kerekítve: 1000 dkg

tízesre kerekítve: 980 dkg

Számolás: P = 987 dkg



151


987

Válasz: 987 dkg = 9 kg 87 dkg dinnyét vásárolt Pista.

d) Adatok: L = 4 dm 6 cm 8 mm = 468 mm, M = 315 mm, V = ?

Terv: V = L +M V = 468 + 315

Becslés: százasra kerekítve: 800 mm

tízesre kerekítve: 790 mm

Számolás: V = 783 mm


Válasz: 783 mm = 7 dm 8 cm 3 mm hosszú volt eredetileg a szalag.

Gy. 83/11. feladat: Szabálykövetés.

Megoldás: a 648 863 1237 1543 1847 543 1345 734

b 342 204 548 285 51 1104 284 814

a + b 990 1067 1785 1828 1898 1647 1629 1548

Gy. 84/12. feladat: Szöveg, illetve ábra értelmezése alapján változtatjuk a tagokat, és

�gyeltetjük meg az összeg változásait.

Megoldás: a) 156+ 462618

{ 200

{ 200

356+ 462818

+ 100

+ 100

456+ 462918

b) 356+ 302658

{ 160

{ 160

356+ 462818

+ 78

+ 78

356+ 540896

c) 426+ 392818

+ 70

{ 70

+ 0

356+ 462818

{ 120

+ 120

{ 0

236+ 582818

Gy. 84/13. feladat: Több szám írásbeli összeadásának modelljét mutatjuk be több he-

lyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel. A m¶veletvégzés el®tt megbecsüljük az ered-

ményt. Az eredményt ellen®rizhetjük az összeadás fordított sorrendben történ® elvégzé-

sével, illetve a becsült érték és az összeg összehasonlításával.

Megoldás: Becslés a) b) c) d)



Számolás: 356 789 694 186



Becslés e) f) g) h)



Számolás: 802 1608 309 1007

Becslés i) j) k) l)



Számolás: 1035 887 1088 1900

Gy. 85/14. feladat: Írásbeli összeadás több helyiértéken történ® helyiérték-átlépésével.

A m¶veletvégzés el®tt (tízesre vagy százasra kerekített értékekkel számolva) becsültes-

sük meg az eredményt. Az ellen®rzésnél hasonlíttassuk össze a becsült és a számított

értékeket.




Számolás: 1338 1338 1338 1338

b) Becslés



Számolás: 1264 1273 1353 1757

c) Becslés



Számolás: 1834 934 1905 2000

d) Becslés



Számolás: 1346 1339 1425 1308

e) Becslés



Számolás: 1407 1407 1663 1902



153

f) Becslés



Számolás: 1524 999 1105 1634

Gy. 85/15. feladat: Szöveggel adott függvény az írásbeli összeadás gyakorlati alkal-

mazására. A szabályt többféle alakban fogalmaztassuk meg. A + B = C, B + A = C,

C { A = B, C { B = A.

Megoldás: A 134 258 647 376 247 1326 1650 1663

B 312 427 836 522 815 484 736 542

A + B 446 685 1483 898 1062 1810 914 1121

Gy. 86/16. feladat: Szöveges feladatok az írásbeli összeadás gyakoroltatására.




Megoldás: a) Adatok: p = 165, s = 128, ö = ?

Terv: ö = p + s ö = 165 + 128





Válasz: 293 tulipán nyílt ki.

b) Adatok: t = 756, n = 328, l = 474, ö = ?

Terv: ö = t + n + l ö = 756 + 328 + 474





Válasz: 1558 virághagymát ültettek el összesen.

c) Adatok: t = 728, t <

535g, g = ?

Terv: g = t + 535 g = 728 + 535



Számolás: g = 1263




1263

Válasz: 1263 gerberát adtak el.

d) Adatok: á = 476, á <152

sz, sz = ?

Terv: sz = á + 152 sz = 476 + 152



Számolás: sz = 628


628

Válasz: 628 százszorszéppalántát adtak el.

Adatok: á = 476, sz = 628, ö = ?

Terv: ö = á + sz ö = 476 + 628





Válasz: 1104 árvácska- és százszorszéppalántát szállítottak el

összesen.

e) Adatok: k = 576, k <

158sz, sz = ?

Terv: sz = k + 158 sz = 576 + 158



Számolás: sz = 734


734

Válasz: 734 szegf¶t gondoznak ebben az üvegházban.

Adatok: k = 576, sz = 734, ö = ?

Terv: ö = k + sz ö = 576 + 734





Válasz: 1310 szegf¶t és kardvirágot gondoznak összesen.

f) Adatok: k = 186, k <

115t, t <

175sz, t = ?, sz = ?, ö = ?

Terv: t = k + 115 t = 186 + 115



155



Számolás: t = 301


Válasz: 301 tulipánt szállítottak el ezen a napon.

Terv: sz = t + 175 sz = 301 + 175



Számolás: t = 476


Válasz: 476 szegf¶t szállítottak el ezen a napon.

Terv: ö = k + t + sz ö = 186 + 301 + 476





Válasz: 963 virágot szállítottak el összesen.

Gy. 86/17. feladat: Az adatok kigy¶jtésekor döntsék el a tanulók, melyek a szükséges

és melyek a felesleges adatok a kérdés megválaszolásához. Fogalmaztassunk meg más

kérdéseket is a tanulókkal az alaptörténethez.

Megoldás: a) Adatok: p = 256, s = 348, ö = ?

Felesleges adat: szegf¶: 195, 476,

rózsa: 658, 428

Terv: ö = p + s ö = 256 + 348





Válasz: 604 tulipán nyílt ki összesen.

b) Adatok: p = 195, s = 476, ö = ?

Felesleges adat: tulipán: 256, 348,

rózsa: 658, 428

Terv: ö = p + s ö = 195 + 476





Válasz: 671 szegf¶ nyílt ki összesen.



c) Adatok: p = 658, s = 428, ö = ?


tulipán: 256, 348

Terv: ö = p + s ö = 658 + 428





Válasz: 1086 rózsa nyílt ki összesen.

d) Adatok: t = 348, sz = 476, r = 428, ö = ?

Felesleges adat: tulipán: 256,

szegf¶: 195,

rózsa: 658

Terv: ö = t + sz + r ö = 348 + 476 + 428





Válasz: 1252 sárga virág nyílt ki összesen.

e) Adatok: t = 256, sz = 195, r = 658, ö = ?

Felesleges adat: tulipán: 348,

szegf¶: 476,

rózsa: 428

Terv: ö = t + sz + r ö = 256 + 195 + 658





Válasz: 1109 piros virág nyílt ki összesen.

f) Adatok: r = 658, t = 256, ö = ?


rózsa: 428

tulipán: 348

Terv: ö = r + t ö = 658 + 256






157


Válasz: 914 piros rózsa és piros tulipán nyílt ki összesen.

g) Adatok: r = 428, sz = 195, ö = ?

Felesleges adat: szegf¶: 476,

rózsa: 658

tulipán: 256, 348

Terv: ö = r + sz ö = 428 + 195





Válasz: 623 sárga rózsa és piros szegf¶ nyílt ki összesen.

h) Adatok: r = 658 + 428, t = 256 + 348, ö = ?


Terv: ö = r + t ö = 658 + 428 + 256 + 348





Válasz: 1690 rózsa és tulipán nyílt ki összesen.

Gy. 87/18. feladat: Az összeg hiányzó tagjának, illetve hiányzó számjegyeinek megha-

tározása. A megoldás feltételezi az írásbeli összeadás alapos begyakorlását. A feladatok


Megoldás: a) 342+ 247589

1234+ 3511999

656+ 12221878

403+ 540943

b) 546+ 8301376

714+ 3511065

437+ 8101247

310+ 7461056

c) 475+ 13511826

978+ 1171095

745+ 9931738

888+ 6191507

d) 527+ 12991826

648+ 281929

356+ 11641520

509+ 6931202

e) 805+ 4981303

1098+ 2061304

1147+ 911238

999+ 8891888



Gy. 87/19. feladat: Az összeg hiányzó tagjának, illetve hiányzó számjegyeinek megha-

tározása. A megoldás feltételezi az írásbeli összeadás alapos begyakorlását. A feladatok


Megoldás: a) 419+ 8561275

325+12431568

1303+ 3451648

55+ 9951050

b) 692+3561048

135+9131048

208+ 8481056

478+ 10431521

c) 518+ 5301048

539+ 8011340

506+ 10151521

938+ 6171555

d) 553+4601013

507+11881695

458+ 10851543

312+ 9461258

A d feladat második feladatának megoldása lehet még

517+1 0881605

527+ 10881615

537+ 10881625

547+ 10881635

557+ 10881645

567+1 0881655

577+ 10881665

587+ 11881675

597+ 10881685

Gy. 87/20. feladat: A kreativitást fejleszt® feladat, alkalmas az indirekt di�erenciálásra.

(Ki talál több megoldást?) A feladat megoldatása el®tt �gyeltessük meg, hogy két há-

romjegy¶ szám összege mindig kisebb 2000-nél, így az összeg ezres helyiértékére csak

1-es számjegy kerülhet. A többi számjegyet próbálgatással keressék meg a tanulók. Ter-

mészetesen az összes megoldás megtalálását nem várjuk el.

Megoldás:

4 3 7

+ 5 8 9

1 0 2 6

4 3 9

+ 5 8 7

1 0 2 6

4 8 7

+ 5 3 9

1 0 2 6

4 8 9

+ 5 3 7

1 0 2 6

4 7 3

+ 5 8 9

1 0 6 2

4 7 9

+ 5 8 3

1 0 6 2

4 8 3

+ 5 7 9

1 0 6 2

4 8 9

+ 5 7 3

1 0 6 2

2 4 6

+ 7 8 9

1 0 3 5

2 4 9

+ 7 8 6

1 0 3 5

2 8 6

+ 7 4 9

1 0 3 5

2 8 9

+ 7 4 6

1 0 3 5

2 6 4

+ 7 8 9

1 0 5 3

2 6 9

+ 7 8 4

1 0 5 3

2 8 4

+ 7 6 9

1 0 5 3

2 8 9

+ 7 6 4

1 0 5 3

3 4 7

+ 8 5 9

1 2 0 6

3 4 9

+ 8 5 7

1 2 0 6



159

3 5 7

+ 8 4 9

1 2 0 6

3 5 9

+ 8 4 7

1 2 0 6

7 4 3

+ 8 5 9

1 6 0 2

7 4 9

+ 8 5 3

1 6 0 2

7 5 3

+ 8 4 9

1 6 0 2

7 5 9

+ 8 4 3

1 6 0 2

4 2 6

+ 8 7 9

1 3 0 5

4 2 9

+ 8 7 6

1 3 0 5

4 7 6

+ 8 2 9

1 3 0 5

4 7 9

+ 8 2 6

1 3 0 5

6 2 4

+ 8 7 9

1 5 0 3

6 2 9

+ 8 7 4

1 5 0 3

6 7 4

+ 8 2 9

1 5 0 3

6 7 9

+ 8 2 4

1 5 0 3

3 2 4

+ 7 6 5

1 0 8 9

3 2 5

+ 7 6 4

1 0 8 9

3 6 4

+ 7 2 5

1 0 8 9

3 6 5

+ 7 2 4

1 0 8 9

4 3 7

+ 6 2 5

1 0 8 9

4 3 2

+ 6 5 7

1 0 8 9

4 5 2

+ 6 3 2

1 0 8 9

4 5 7

+ 6 3 2

1 0 8 9

3 4 2

+ 7 5 6

1 0 9 8

3 4 6

+ 7 5 2

1 0 9 8

3 5 2

+ 7 4 6

1 0 9 8

3 5 6

+ 7 4 2

1 0 9 8

4 7 5

+ 6 2 3

1 0 9 8

4 7 3

+ 6 2 5

1 0 9 8

4 2 5

+ 6 6 3

1 0 9 8

4 2 3

+ 6 7 5

1 0 9 8

Óra: 58. 65. 73.

2. tájékozódó felmérés


Óra: 59. 66. 74{75.

2. felmérés




A különbség becslése





tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-

tosság, kooperatív és önálló munkavégzés.

Óra: 60. 67. 76.

Az írásbeli kivonás el®készítéseként a háromjegy¶ számok különbségének becslésével

foglalkozunk.

Mélyítjük a közelít® számításokról és a mérésekr®l tanultakat, valamint gyakoroltatjuk

a kerek számok kivonását szöveges feladatok megoldásában is. Figyeltessük meg a

különbség változásait.

(Ugyancsak az írásbeli kivonás el®készítése végett oldassunk meg olyan feladatokat is,

amelyekben az összeg hiányzó tagját kell meghatározni.)

Tk. 93/1. kidolgozott mintapélda: A különbség becslésére két modellt mutatunk be.

Százasra vagy tízesre kerekített értékekkel számolva végeztetjük el a kivonást. A �két

érték közé szorítás" a kivonás esetén a tanulók többsége számára túlságosan nehéz len-

ne, ezért ezt a modellt legfeljebb csak megmutatjuk, de alkalmazását csak a legtehetsé-

gesebb tanulóktól várhatjuk el. Azzal a modellel foglalkozzunk részletesebben, amelyet

a helyi tanterv meghatároz, esetleg di�erenciáljunk a tanulók képességei szerint.

Tk. 93/1. feladat: A játék pénzzel való kirakás segíti a tanulókat a becslés, illetve a

kivonás elvégzésében.

Megoldás: a) Becslés: 200 { 100 = 100

Számolás: 245 { 55 = 190

Becslés < Számolás,

mert a kisebbítend®t lefelé, a kivonandót felfelé kerekítettük.

b) Becslés: 400 { 100 = 300

Számolás: 355 { 145 = 210

Becslés > Számolás,

mert a kisebbítend®t felfelé, a kivonandót lefelé kerekítettük.

c) Becslés: 500 { 300 = 200

Számolás: 465 { 250 = 215

Becslés < Számolás

Tk. 93/2. feladat: Gyakorlófeladatok a kivonás becslésére tízesre és százasra kerekített

értékekkel számolva. A különbség változásairól tanultak alkalmazásával hasonlíttassuk

össze a becsült és a valódi értéket.



161

Megoldás: Becslés Becslés


a) 700 { 500 = 200 670 { 470 = 200

700 { 400 = 300 680 { 440 = 240

b) 900 { 500 = 400 930 { 540 = 390

900 { 600 = 300 920 { 550 = 370

c) 1400 { 700 = 700 1360 { 650 = 710

1400 { 600 = 800 1370 { 650 = 720

Gy. 88/1. feladat: Különbség becslése százasra kerekített értékekkel számolva.

Megoldás: a) 1300 { 500 = 800

b) 2000 { 1400 = 600

c) 1600 { 1500 = 100

d) 1200 { 1200 = 0

Gy. 88/2. feladat: Különbség becslése tízesre kerekített értékekkel számolva.

Megoldás: a) 1350 { 510 = 840

b) 1950 { 1370 = 580

c) 1550 { 1540 = 10

d) 1250 { 1150 = 100

Gy. 88/3. feladat: A becslés gyakorlása szöveges feladatok megoldása során. Beszéljük

meg, hogy gyakran nem szükséges a pontos érték kiszámítása, elég a körülbelüli érték

meghatározása is.

Megoldás: a) Adatok: r = 1354 cm, l = 342 cm, m � ?

Terv: m = r { l

m = 1354 { 342

Becslés: 1350 { 340 = 1010

Válasz: m � 1010 cm

Körülbelül 1010 cm rúdja maradt Antalnak.

b) Adatok: t = 995 kg, a = 467 kg, m � ?

Terv: m = t { a

m = 995 { 467

Becslés: 1000 { 470 = 530

Válasz: m � 530 kg

Körülbelül 530 kg termett a többi gyümölcsb®l.



Írásbeli kivonás





tése, �gyelem, kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüg-

géslátás, pontosság, kooperatív és önálló munkavégzés, környezettudatosságra nevelés,

egészséges életmód, hon- és népismeret.

Óra: 61{66. 68{73. 77{82.

Az írásbeli kivonás tanításánál is tartsuk be a fokozatosság elvét:

Az írásbeli kivonás végrehajtása tízesátlépés nélkül. Itt szemléltethetjük a kivonást játék

pénzzel (a fogalomalkotás szemléleti megalapozása). Már ebben a szakaszban felismer-

tetjük, hogy az ellen®rzést a m¶veletek közti kapcsolatokat alkalmazva végezhetjük el.

Az írásbeli kivonás végrehajtása úgy, hogy egy helyen van átváltás. Ekkor már nem

célszer¶ játék pénzzel szemléltetni az eljárást. Ugyanis ez a szemléltetés nem igazodik

a kivonás algoritmusához, hiszen a kisebbítend®ben kellene a tízest átváltani.

Ha az el®z® lépést megértették és begyakorolták a tanulók, akkor adhatunk olyan fela-

datokat, amelyekben több helyiértéken van átváltás.

Az írásbeli kivonásra három különböz® algoritmus terjedt el. Csak egy algoritmus meg-

tanítását és alapos begyakoroltatását javasoljuk.

A kivonás tanításának minden fázisában adjunk szöveges feladatokat. Ha kell® gyakor-

latra tettek szert a tanulók, akkor alkalmazzuk az újonnan tanult eljárást függvények vizs-

gálatában, sorozatok képzésében is.

Tk. 94/1. kidolgozott mintapélda: Az itt bemutatott eljárás az írásbeli kivonást a �hiá-

nyos" írásbeli összeadás kiegészítésére vezeti vissza, amikor az összeg és az egyik tag

ismeretében a hiányzó tagot kell megadni.

A mintapéldákban szemléletes szöveges feladatokkal ismertetjük fel, hogyan írható fel

ez a hiányos összeadás kivonásként, illetve hogyan alkalmazhatjuk az összeadásról ta-

nultakat a kivonás végrehajtásában.

Ennek az algoritmusnak az el®nyei:

Az új algoritmus a jól begyakorolt írásbeli összeadás algoritmusának közvetlen al-

kalmazása.

Kevesebb gondolati lépésb®l áll, ezért gyorsabb, mint a másik két algoritmus. Kisebb

a hiba lehet®sége.

Jól ismert összefüggésre épül: a kivonás az összeadás fordított m¶velete. Ezért

minden tanuló megérti, hogy ugyanazzal az elvi meggondolással számolhatunk (vé-

gezhetjük el például a tízes átlépését), mint az összeadásnál.

Például az elterjedtebb, de sokkal nehézkesebb pótlásos algoritmusnál az átváltást a kisebbítend® és

a kivonandó ugyanolyan mérték¶ növelésével magyarázzuk, amely az átlagos vagy annál gyengébb

képesség¶ gyermekek számára már alig követhet®. Így az algoritmusból csak a mechanikus eljárást

tanulják meg, de nem tudják indokolni a lépéseket.



163

Hátránya ennek az algoritmusnak, hogy a szül®k (és a kollégák) többsége nem ezt gya-

korolta be, ami zavart okozhat, ha a szül® segít a gyermeknek.

A kivonás ellen®rzését háromféle módon tanítjuk. Összeadással, másik kivonással, illet-

ve a becsült érték és az eredmény összehasonlításával. Ügyeljünk arra, hogy az ellen-

®rzés ne legyen nehezebb, mint maga a számítás.

Tk. 95/2. kidolgozott mintapélda: A mintapéldákban szemléletes szöveges feladatokkal

ismertetjük fel, hogyan írható fel ez a hiányos összeadás kivonásként, illetve hogyan

alkalmazhatjuk az összeadásról tanultakat a kivonás végrehajtásában.

Tk. 96/1. feladat: Az írásbeli kivonás gyakorlása tízesátlépés nélkül. A m¶velet elvégzé-

se el®tt becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzést többféleképpen végeztessük el.

Beszéljük meg, mikor melyik a célszer¶bb ellen®rzés. Csak akkor menjünk tovább, ha a

számolás algoritmusát már elsajátították a tanulók.

Megoldás: Becslés

százasra kerekítve: 600 300 600 500 500 1100 900

tízesre kerekítve: 530 330 540 500 510 1110 920

Számolás: 531 331 540 501 512 1104 920

Tk. 96/2. feladat: Szöveges feladatok a kivonás különböz® értelmezésére. Figyeltessük

meg, hogy a fordított szövegezés¶ feladat jól mutatja az összeadás és a kivonás kap-

csolatát. Tartassuk be a szöveges feladat megoldásának tanult lépéseit. Egyre nagyobb

önállóságot kérjünk a tanulóktól.

Megoldás: 432 { 332 = 100 100 Ft-ja marad.

675 { 432 = 243 243 Ft hiányzik.

854 { 432 = 422 422 Ft hiányzik.

1572 { 432 = 1140 1140 Ft hiányzik.

1437 { 432 = 1005 1005 Ft hiányzik.

Tk. 96/3. feladat: Hiányos összeadás átírása kivonássá. Figyeltessük meg az összeadás

és a kivonás közötti inverz kapcsolatot.

Megoldás: 543+ 332875

456+ 514970

372+ 474846

1356+ 2501606

437+ 217654

792+ 173965

745+ 12361981

875{ 543332

970{ 456514

846{ 372474

1606{ 1356

250

654{ 217437

965{ 173792

1981{ 1236

745

Tk. 96/4. feladat: Írásbeli kivonás egy helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel. Ismét

beszéljük meg az ellen®rzés fontosságát.






Számolás: 516 423 505 216 512 1136

b) Becslés



Számolás: 253 261 332 43 515 1150

c) Becslés



Számolás: 432 663 410 255 650 104

d) Becslés



Számolás: 512 104 152 223 12 110

e) Becslés



Számolás: 1215 721 1035 998 454 85

Tk. 97/5. feladat: A típushibákra, illetve a becslés fontosságára hívjuk föl a tanulók �-

gyelmét. Részletesen beszéljük meg a tévedés okát, javíttassuk ki a hibákat.



1500 1510 1516

1600 1620 1623

200 260 258

700 610 618

300 350 351

500 520 520

900 940 938

Tk. 97/6. feladat: Ellen®rizhetjük, hogy a tanulók mennyire sajátították el a tanult szak-

kifejezéseket.

Megoldás: a) a = 816 { 154 a = 662

b) 952 { b = 248 b = 952 { 248 b = 704

c) c { 456 = 613 c = 1069



165

d) d = 819 { 327 c = 613 + 456 d = 492

e) 764 { e = 246 e = 764 { 246 e = 518

Tk. 97/7. feladat: Ellen®rizhetjük, hogy a tanulók mennyire sajátították el a tanult szak-

kifejezéseket.


Százasra Tízesre

kerekítve: kerekítve:

a) a = 672 { 357 300 310 315

b) b = 672 + 357 1100 1030 1029

c) c + 357 = 672 300 310 315

d) d = 672 { 357 300 310 315

e) e = 672 + 357 1100 1030 1029

f) f { 357 = 672 1100 1030 1029

Tk. 97/8. feladat: A kivonás gyakorlására szánt egyszer¶ szöveges feladatok. Figyeljük

meg, mennyire sajátították el a tanulók a szöveges feladatok megoldásának menetét.

Megoldás: a) Adatok: v = 634 Ft, m = 312 Ft, k = ?

Terv: k = v { m k = 634 { 312

Becslés: Százasra kerekítve: 300 Ft

Tízesre kerekítve: 320 Ft

Számolás: k = 322 Ft

Ellen®rzés: 322 + 312 = 634

Válasz: 322 Ft-ja maradt Palinak.

b) Adatok: k = 318 Ft, m = 235 Ft, v = ?

Terv: v = k +m v = 318 + 235



Számolás: v = 553 Ft

Ellen®rzés: 553 { 318 = 235

Válasz: 552 Ft-ja volt Robinak.

c) Adatok: gy = 652, l = 317, f = ?

Terv: f = gy { l f = 652 { 317



Számolás: f = 335

Ellen®rzés: 335 + 317 = 652

Válasz: 335 �ú jár ebbe az iskolába.



d) Adatok: v = 1235 Ft, k = 812 Ft, m = ?

Terv: m = v { k m = 1235 { 812



Számolás: m = 423 Ft

Ellen®rzés: 423 + 812 = 1235

Válasz: 423 Ft-ja maradt Andreának.

e) Adatok: E = 1304 Ft, E >

647 Ft-talA A = ?

Terv: A = E { 647 A = 1304 {{ 647



Számolás: A = 657 Ft

Ellen®rzés: 1304 >647

657

Válasz: 647 Ft-ja van Aladárnak.

f) Adatok: E = 945 Ft, B = 549 Ft, A = ?

Terv: A = E { B A = 945 { 549



Számolás: A = 396 Ft

Ellen®rzés: 396 + 549 = 945

Válasz: 396 Ft-ja van Andinak.

Tk. 98/9. feladat: A különbség változásainak meg�gyeltetése szemléletes szöveges, il-

letve rajzos feladatokban. A feladatok többsége indirekt di�erenciálásra alkalmas. Ha a

tanulók egy része nem ismeri fel az összefüggéseket, akkor is el tudják végezni a ki-

vonásokat, mások az összefüggések felismerése után az írásbeli m¶veletek elvégzése

nélkül megkapják az eredményeket.

Ha a kisebbítend® valamennyivel n® (csökken), a kivonandó nem változik, akkor a

különbség is ugyanannyival n® (csökken).

Ha a kisebbítend® nem változik, a kivonandó valamennyivel n® (csökken), akkor a

különbség is ugyanannyival csökken (n®).

Ha a kisebbítend® és a kivonandó ugyanannyival n® (csökken), akkor a különbség

nem változik.



167

Megoldás: 8 5 3

{ 6 2 5

2 2 8

9 5 3

{ 6 2 5

3 2 8

7 5 3

{ 6 2 5

1 2 8

+100

{ 200

{ 100

+200

Tk. 98/10. feladat: A különbség változásainak meg�gyeltetése szemléletes szöveges,

illetve rajzos feladatokban. A feladatok többsége indirekt di�erenciálásra alkalmas. Ha

a tanulók egy része nem ismeri fel az összefüggéseket, akkor is el tudják végezni a

kivonásokat, mások az összefüggések felismerése után az írásbeli m¶veletek elvégzése


Ha a kisebbítend® nem változik, a kivonandó valamennyivel n® (csökken), akkor a kü-

lönbség is ugyanannyival csökken (n®).

Megoldás: 7 1 8

{ 3 7 5

3 4 3

7 1 8

{ 4 7 5

2 4 3

7 1 8

{ 2 7 5

4 4 3

+100

{ 200

+100

{ 200






Ha a kisebbítend® és a kivonandó ugyanannyival n® (csökken), akkor a különbség nem

változik.



Megoldás: 1 0 5 8

{ 6 4 7

4 1 1

1 1 5 8

{ 7 4 7

4 1 1

9 5 8

{ 5 4 7

4 1 1

+100

{ 200

+100

{ 200

+0

{ 0

Tk. 98/12. feladat: Az adott feltételeknek megfelel®en a hiányzó kisebbítend®, illetve

kivonandó pótlása.

Megoldás: a) 845{ 672173

945{ 672273

b) 1076{ 491

585

976{ 591385<

100>

200






Ha a kisebbítend® valamennyivel n® (csökken), a kivonandó nem változik, akkor a

különbség is ugyanannyival n® (csökken).

Ha a kisebbítend® nem változik, a kivonandó valamennyivel n® (csökken), akkor a

különbség is ugyanannyival csökken (n®).

Ha a kisebbítend® és a kivonandó ugyanannyival n® (csökken), akkor a különbség

nem változik.

Az osztály, illetve a tanulók képességei szerint válogassunk a feladatok közül.

Megoldás: k = 815 { 573 k = 242 Ft

a) k = (815 + 100) { 573 k = 342 Ft

b) k = 815 { (573 + 120) k = 122 Ft

c) k = (815 { 200) { 573 k = 42 Ft

d) k = 815 { (573 { 150) k = 392 Ft

e) k = (815 + 100) { (573 + 100) k = 242 Ft

f) k = (815 { 200) { (573 { 200) k = 242 Ft

g) k = (815 + 50) { (573 { 50) k = 342 Ft

h) k = (815 { 50) { (573 + 50) k = 142 Ft

Tk. 99/3. kidolgozott mintapélda: Sorozatok hiányzó elemeinek meghatározása az

írásbeli összeadás és kivonás alkalmazásával. Figyeltessük meg az analógiákat.



169

Tk. 99/14. feladat: Sorozatok hiányzó elemeinek meghatározása az írásbeli összeadás

és kivonás alkalmazásával. Figyeltessük meg az analógiákat.

Megoldás: a) A növekv® sorozatban a szomszédos elemek különbsége mindig 150.

185; 335; 485; 635; 785; 935; 1085; 1235; 1385.

205; 355; 505; 655; 805; 955; 1105; 1255; 1405.

b) A csökken® sorozatban a szomszédos elemek különbsége mindig 120.

1374; 1254; 1134; 1014; 894; 774; 654; 534; 414.

1574; 1454; 1334; 1214; 1094; 974; 854; 734; 614.

1174; 1054; 934; 814; 694; 574; 454; 334; 214.

Tk. 100/15. feladat: A hiányzó kivonandó vagy kisebbítend®, illetve hiányzó számjegyek

meghatározása kijelölt kivonásban.

Megoldás: a) Különbség 342.

Hiányzó kisebbítend®k: 956, 986, 886, 896

b) Különbség: 405

Hiányzó kivonandók: 1448, 1248, 1208, 998



Megoldás: a) Különbség: 611 Hiányzó kivonandó: 145

b) Különbség: 334 Hiányzó kisebbítend®: 717

c) Különbség: 203 Hiányzó kivonandó: 578

d) Különbség: 752 Hiányzó kisebbítend®: 1298



Megoldás: 799{ 283516

1067{ 635

432

602{ 123479

1054{ 638

416

807{ 534273

1516{ 1441372

Tk. 100/18. feladat: Az írásbeli kivonás (ellen®rzéskor az összeadás), valamint a

hosszúság, az ¶rtartalom és a tömeg mértékegységeir®l tanultak alkalmazása egyszer¶

szöveges feladatok értelmezésében és megoldásában.

Ügyeljünk arra, hogy a tanulók tartsák be a szöveges feladat megoldásának tanult lépé-

seit. Az adatok kigy¶jtésekor a köztük lév® összefüggéseket is jegyezzék le, és azonos

mértékegységekkel fejezzék ki a mennyiségeket. A szöveges válaszban is ügyeljenek a

megfelel® mértékegység használatára és az esetleges átváltásra.

Megoldás: a) Adatok: v = 3 m 42 cm = 342 cm,

l = 1 m 27 cm = 127 cm, m = ?

Terv: m = v { l m = 342 { 127





Számolás: m = 215 cm

Ellen®rzés: 215 + 127 = 342

Válasz: 215 cm = 2 m 1 dm 5 cm hosszú csipke maradt.

b) Adatok: K = 3 dm 24 mm = 324 mm,

L = 17 cm 2 mm = 172 mm, E = ?

Terv: E = K { L E = 324 { 172



Számolás: E = 152 mm

Ellen®rzés: 172 + 152 = 324

Válasz: 152 mm = 1 dm 5 cm 2 mm-rel alacsonyabb Laci tornya.

c) Adatok: k = 6 l 86 cl = 686 cl, k >15 dl 8 cl = 158 cl

sz sz = ?

Terv: sz = k { 158 sz = 686 { 158



Számolás: sz = 528 cl

Ellen®rzés: 528 + 158 = 686

Válasz: 528 cl = 5 l 2 dl 8 cl tápoldatot öntöztek a szobanövények-

re.

d) Adatok: v = 18 cl 5 ml = 185 ml

m = 1 dl 18 ml = 118 ml, i = ?

Terv: i = v { m i = 185 { 118

Becslés: Százasra kerekítve: 100 ml

Tízesre kerekítve: 70 ml

Számolás: i = 67 ml

Ellen®rzés: 67 + 118 = 185

Válasz: 67 ml = 6 cl 7 ml tejet ivott meg a kisbaba.

e) Adatok: v = 10 és fél kg = 1050 dkg,

f = 2 kg 25 dkg = 225 dkg, m = ?

Terv: m = v { f m = 1050 { 225



Számolás: m = 825 dkg

Ellen®rzés: 825 + 225 = 1050

Válasz: 825 dkg = 8 kg 25 dkg krumpli maradt a kamrában.



171

f) Adatok: v = 1 és fél kg = 150 dkg,

m = 73 dkg, e = ?

Terv: e = v { m e = 150 { 73



Számolás: e = 77 dkg

Ellen®rzés: 77 + 73 = 150

Válasz: 77 dkg lisztet használtak el a zacskóból.

Tk. 101/19. feladat: Az írásbeli kivonás (ellen®rzéskor az összeadás), valamint a

hosszúság, az ¶rtartalom és a tömeg mértékegységeir®l tanultak alkalmazása egyszer¶

szöveges feladatok értelmezésében és megoldásában.


seit.

Az adatok kigy¶jtésekor a köztük lév® összefüggéseket is jegyezzék le, és azonos mér-

tékegységekkel fejezzék ki a mennyiségeket.

A szöveges válaszban is ügyeljenek a megfelel® mértékegység használatára és az eset-

leges átváltásra.

Megoldás: a) Adatok: K = 1014 m, Sz = 78 m, E = ?

Terv: E = K { Sz E = 1014 { 78



Számolás: E = 936 m

Ellen®rzés: 936 + 78 = 1014

Válasz: 936 m-rel magasabb hazánk legmagasabb pontja a lega-

lacsonyabb pontjánál.

b) Adatok: gy = 262 km, gy >48 km-rel

r r = ?

Terv: r = gy { 48 r = 262 { 48

Becslés: Százasra kerekítve: 300 km

Tízesre kerekítve: 210 km

Számolás: r = 214 km

Ellen®rzés: 214 + 48 = 262

Válasz: 214 km hosszú a legrövidebb út.

c) Adatok: K = 611 km, É = 488 km, E = ?

Terv: E = K { É E = 611 { 488

Becslés: Százasra kerekítve: 100 km

Tízesre kerekítve: 120 km

Számolás: E = 123 km



Ellen®rzés: 123 + 488 = 611

Válasz: 123 km-rel tettek meg hosszabb utat Katiék, mint Éváék.

d) Adatok: M = 613 m, M >

263 m-relA, A = ?

Terv: A = M { 263 A = 613 { 263



Számolás: A = 350 m

Ellen®rzés: 350 + 263 = 613

Válasz: 350 m hosszú a budai várhegy alatt épült alagút.

e) Adatok: L = 315 m, L >

219 m-relK, K = ?

Terv: K = L { 219 K = 315 { 219



Számolás: K = 96 m

Ellen®rzés: 96 + 219 = 315

Válasz: 96 m magas az Országház kupolacsarnoka.

Gy. 89/1. feladat: Gyakorlófeladatok a kivonás becslésére tízesre és százasra kerekített

értékekkel számolva. A különbség változásairól tanultak alkalmazásával hasonlíttassuk

össze a becsült és a valódi értéket.

Megoldás: a) Becslés Számolás: 342{ 231111

százasra kerekítve: 300, 200, 100

tízesre kerekítve: 340, 230, 110 Ellen®rzés: 111+ 231342

b) Becslés Számolás: 545{ 342203

százasra kerekítve: 500, 200, 200

tízesre kerekítve: 550, 340, 210 Ellen®rzés: 203+ 342545

Gy. 89/2. feladat: Az írásbeli kivonás gyakorlása tízesátlépés nélkül. A m¶velet elvég-

zése el®tt becsültessük meg az eredményt. Az ellen®rzést többféleképpen végeztessük

el. Beszéljük meg, mikor melyik a célszer¶bb ellen®rzés.



173

Megoldás: Becslés Becslés Számolás:


a) 1300 1200 1221

b) 700 720 715






a) 1600 { 400 = 1200 1570 { 430 = 1140 1142

b) 900 { 500 = 400 950 { 500 = 450 445

c) 1500 { 1300 = 200 1470 { 1260 = 210 213






a) 1100 1120 1116

b) 400 340 333

c) 900 920 913

d) 0 40 41

e) 1300 1260 1252

Gy. 91/5. feladat: Szöveges feladatok a kivonás különböz® értelmezésére. Figyeltessük




Megoldás: a) Adatok: v = 1465 Ft, k = 342 Ft, m = ?

Terv: m = v { k m = 1465 { 342




Ellen®rzés: 1123 + 342 = 1465

Válasz: 1123 Ft-ja maradt Albertnek.

b) Adatok: B = 1726 Ft, B >

412 Ft-talJ J = ?

Terv: J = B { 412 J = 1726 { 412





Számolás: J = 1314 Ft

Ellen®rzés: 1314 + 412 = 1726

Válasz: 1314 Ft-ja van Jutkának.

c) Adatok: N = 1854 Ft, N >

613 Ft-talÉ É = ?

Terv: É = N { 613 É = 1854 { 613



Számolás: É = 1241 Ft

Ellen®rzés: 1241 + 613 = 1854


Gy. 91/6. feladat: Szöveges feladatok a kivonás különböz® értelmezésére. Figyeltessük




Megoldás: a) Adatok: ö = 857, a = 614, k = ?

Terv: k = ö { a k = 857 { 614



Számolás: k = 243

Ellen®rzés: 243 + 614 = 857

Válasz: 243 körtefa volt a gyümölcsösben.

b) Adatok: B = 857, B >641-gyel

C C = ?

Terv: C = B { 641 C = 857 { 641



Számolás: C = 216

Ellen®rzés: 216 + 641 = 857

Válasz: 216 matricája volt Cilinek.

c) Adatok: n = 5 hl 78 l = 578 l, k = 256 l,e = ?

Terv: e = n { k e = 578 { 256



Számolás: e = 322 l

Ellen®rzés: 322 + 256 = 578

Válasz: 322 l vízzel volt több a nagyobb hordóban.



175

d) Adatok: a = 5 kg 78 dkg = 578 dkg, a >2 kg 65 dkg = 265 dkg-mal

sz, sz = ?

Terv: sz = a { 265 sz = 578 { 265



Számolás: sz = 313 dkg

Ellen®rzés: 313 + 265 = 578

Válasz: 313 dkg = 3 kg 13 dkg szilvát vásárolt édesanya.

Gy. 92/7. feladat: Írásbeli kivonás egy helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel.



a) 1200 { 700 = 500 1250 { 720 = 530 523

b) 800 { 400 = 400 750 { 430 = 320 325

c) 1800 { 1300 = 500 1850 { 1250 = 600 593

Gy. 92/8. feladat: Írásbeli kivonás egy helyiértéken történ® helyiérték-átlépéssel.



a) 200 300 296

b) 800 810 813

c) 300 370 373

d) 200 220 220

e) 600 650 651

Gy. 93/9. feladat: Szöveggel adott függvények a kivonás és az összeadás gyakorlására.

A szabályt többféle alakban is fogalmaztassuk meg. Figyeljük meg, mennyire ismerik föl

a tanulók az összeadás és a kivonás közötti összefüggéseket.

Megoldás:

a) Szabály: G +H = 1542 , H +G = 1542 , 1542 { G = H , 1542 { H = G.

G (Ft) 521 1126 920 707 679 774

H (Ft) 1021 416 622 835 863 768

b) Szabály: M + 328 = I , 328 +M = I , I { 328 = M , I { M = 328.

I (Ft) 658 603 913 1354 1026 1241

M (Ft) 330 275 585 1026 698 913

c) A feladat megoldása során észre kell vennünk, hogy 646 Ft, 647 Ft, 648 Ft, 649 Ft

maradhatott. Ha ezeket az értékeket beírjuk a táblázatba, kiszámítható a könyv ára.

Egyenl®tlenséget is írhatunk.



Szabály: 645 < 1245 { K < 650 vagy 1245 { K = M , 645 < M < 650

K (Ft) 599 598 597 596

M (Ft) 646 647 648 649

A táblázatban több rovat szerepel, mint ahány megoldás van. Ezzel egyrészt helyet

kívántunk biztosítani a próbálkozásoknak, másrészt nem akartuk sugallni a helyes

megoldások számát.

Gy. 93/10. feladat: Szöveggel adott függvények a kivonás és az összeadás gyakorlásá-

ra. A szabályt többféle alakban is fogalmaztassuk meg. Figyeljük meg, mennyire ismerik

föl a tanulók az összeadás és a kivonás közötti összefüggéseket.

Megoldás:

a) Az összefüggéseket többféle alakban is leírhatjuk.

K<

126 FtJ

<126 Ft

L; K + 126 = J, J + 126 = L;

J { 126 = K, L { 126 = J; J { K = 126, L { J = 126.

K (Ft) 541 415 289 1014 888 762

J (Ft) 667 541 415 1140 1014 888

L (Ft) 793 667 541 1266 1140 1014

b) Ottónak és Robinak együtt 1024 Ft-ja van. Hármójuknak sem lehet ennél kevesebb

pénzük. Hármójuk vagyona 1024 Ft, 1025 Ft, 1026 Ft, 1027 Ft, 1028 Ft, 1029 Ft

lehet. Innen könnyen kiszámítható Peti vagyona.

O +R = 1024 Ft,

1024 Ft 5 O + R + P < 1030 Ft,

1024 Ft { 1024 Ft 5 P < 1030 Ft { 1024 Ft.

O (Ft) 528 528 528 528 528 528

R (Ft) 496 496 496 496 496 496

P (Ft) 0 1 2 3 4 5

O +R + P 1024 1025 1026 1027 1028 1029

Gy. 94/11. feladat: Írásbeli kivonás több helyiértéken történ® átlépéssel.



a) 1600 { 800 = 800 1560 {{ 830 = 730 738

b) 1200 { 600 = 600 1240 {{ 640 = 600 603

c) 1600 { 800 = 800 1630 {{ 810 = 820 818



177

Gy. 94/12. feladat: Írásbeli kivonás több helyiértéken történ® átlépéssel.



a) 400 410 408

b) 700 670 669

c) 300 340 339

d) 700 700 698

e) 500 560 554

Gy. 95/13. feladat: Az írásbeli kivonás (ellen®rzéskor az összeadás), valamint a hosszú-

ság, az ¶rtartalom és a tömeg mértékegységeir®l tanultak alkalmazása egyszer¶ szöve-

ges feladatok értelmezésében és megoldásában.


seit. Az adatok kigy¶jtésekor a köztük lév® összefüggéseket is jegyezzék le, és azonos

mértékegységekkel fejezzék ki a mennyiségeket. A szöveges válaszban is ügyeljenek a

megfelel® mértékegység használatára és az esetleges átváltásra.

Megoldás: a) Adatok: b = 10 kg 25 dkg = 1025 dkg,

e = 5 kg 70 dkg = 570 dkg, m = ?

Terv: m = v { e m = 1025 { 570




Ellen®rzés: 455 + 570 = 1025

Válasz: 455 dkg = 4 kg 55 dkg burgonya maradt.

b) Adatok: a = 12 m 50 cm = 1250 cm,

l = 32 dm 5 cm = 325 cm, m = ?

Terv: m = a { l m = 1250 { 325



Számolás: m = 925 cm

Ellen®rzés: 925 + 325 = 1250

Válasz: 925 cm = 9 m 2dm 5 cm hosszú anyag maradt.

c) Adatok: k = 12 dm 5 cm 5 mm = 1255 mm,

k >

6 dm 78 mm = 678 mm-relp p = ?

Terv: p = k { 678 p = 1255 { 678



Számolás: p = 577 mm



Ellen®rzés: 577 + 678 = 1255

Válasz: 577 mm = 5 dm 7 cm 7 mm hosszú a piros szalag.

d) Adatok: v = 7 l fél dl = 705 cl,

k = 2 l 18 cl = 218 cl, m = ?

Terv: m = v { k m = 705 { 218



Számolás: m = 487 cl

Ellen®rzés: 487 + 218 = 705

Válasz: 487 cl = 4 l 8 dl 7 cl tej maradt a kannában.

e) Adatok: o = l l 25 cl 5 ml = 1255 ml,

sz = 5 dl 72 ml = 572 ml, v = ?

Terv: v = o { sz v = 1255 { 572

Becslés: Százasra kerekítve: 700 ml

Tízesre kerekítve: 690 ml

Számolás: v = 683 ml

Ellen®rzés: 683 + 572 = 1255

Válasz: 683 ml = 6 dl 8 cl 3 ml az oldatban a víz.

Gy. 96/14. feladat: Egyszer¶ szöveges feladatok az írásbeli kivonás és összeadás al-

kalmazásának gyakorlására. A változatos szövegezés a kivonás értelmezésének elmé-

lyítését és a szövegértelmez® képesség fejlesztését szolgálja. Szoktassuk rá a tanuló-

kat a szöveg �gyelmes elolvasására. Figyeltessük meg, hogy ugyanaz a szó (�maradt",

�kevesebb") más-más m¶velettel írható le a szöveg értelmének megfelel®en. Az adatok

kigy¶jtésekor az adatok közti összefüggéseket is jegyezzék le a tanulók.

Megoldás: a) Adatok: v = 354 Ft, sz = 1562 Ft, m = ?

Terv: m = sz { v v +m = sz m = 1562 { 354




Ellen®rzés: 1208 + 354 = 1562

Válasz: 1208 Ft-ot kell még gy¶jtenie Annának.

b) Adatok: v = 1354 Ft, m = 562 Ft, k = ?

Terv: k = v { m v { k = m k = 1354 {{ 562



Számolás: k = 792 Ft

Ellen®rzés: 792 + 562 = 1354

Válasz: 792 Ft-ot költött Barna.



179

c) Adatok: m = 1354 Ft, k = 568 Ft, v = ?

Terv: v = m + k v = 1354 + 568



Számolás: v = 1922 Ft

Ellen®rzés: 1922 { 568 = 1354

Válasz: 1922 Ft-ja volt Cilinek.

d) Adatok: D = 1354 Ft, D <

568 Ft-talE E = ?

Terv: E = D + 568 E = 1354 + 568



Számolás: E = 1922 Ft


1922

Válasz: 1922 Ft-ja van Elemérnek.

e) Adatok: F = 1562 Ft, F >

358 Ft-talG G = ?,

Terv: G = F { 358 G = 1562 { 358



Számolás: G = 1204 Ft

Ellen®rzés: 1562 >358

1204

Válasz: 1204 Ft-ja van Gézának.

Gy. 96/15. feladat: A hiányzó kivonandó vagy kisebbítend®, illetve hiányzó számjegyek


Megoldás: a) 956+ 342614

1042{ 945

97

838{ 526312

856{ 234622

b) 1155{ 642

513

743{ 591152

805{ 36769

697{ 479218

c) 751{ 599152

1101{ 769

332

1816{ 1167

649

1326{ 2181108

d) 783{ 175608

735{ 439296

1006{ 958

48

1723{ 771

952



e) 1519{ 754

765

1109{ 495

614

738{ 519219

1221{ 496

725

Gy. 96/16. feladat: A megoldás során alkalom nyílik tapasztalati úton a zárójelfelbontás

gyakorlására.

Megoldás: m = 1548 - 786 = 762

762 Ft-ja marad Zsuzsinak.

a) m = 1548 { (786 + 150) = 612, illetve m = 1548 { 786 { 150 = 612.


b) m = 1548 { (786 { 150) = 912, illetve m = 1548 { 786 + 150 = 912.


Gy. 97/17. feladat: A különbség változásainak meg�gyeltetése szemléletes szöveges,

illetve rajzos feladatokban.

Megoldás:

a) 5 5 2

{ 2 7 8

2 7 4

{ 2 0 0

{ 2 0 0

7 5 2

{ 2 7 8

4 7 4

+ 1 0 0

+ 1 0 0

8 5 2

{ 2 7 8

5 7 4

b) 7 5 2

{ 7 8

6 7 4

{ 2 0 0

+ 2 0 0

7 5 2

{ 2 7 8

4 7 4

+ 1 0 0

{ 1 0 0

7 5 2

{ 3 7 8

3 7 4

c) 9 0 2

{ 4 2 8

4 7 4

+ 1 5 0

+ 1 5 0

+ 0

7 5 2

{ 2 7 8

4 7 4

{ 2 5 0

{ 2 5 0

{ 0

5 0 2

{ 2 8

4 7 4

d) 9 3 7

{ 9 3

8 4 4

+ 1 8 5

{ 1 8 5

+ 3 7 0

7 5 2

{ 2 7 8

4 7 4

{ 1 5 8

+ 1 5 8

{ 3 1 6

5 9 4

{ 4 3 6

1 5 8

Óra: 67. 74. 83.

3. tájékozódó felmérés




181

Összetett feladatok;

írásbeli összeadás, kivonás alkalmazása



értelmezés, szövegesfeladat-megoldás, rész-egész észlelése, becslés, induktív követ-

keztetések, problémaérzékenység, problémamegoldás, emlékezet fejlesztése, �gyelem,

kezdeményez®képesség, metakogníció, meg�gyel®képesség, összefüggéslátás, pon-

tosság, kooperatív és önálló munkavégzés, egészséges életmód.

Óra: 68{70. 75{58. 84{87.

Összetett szám- és szöveges feladatok megoldása, a m¶veletek helyes sorrendjének és

a zárójelek használatának ismeretében. Az összeadást, a kivonást írásban, a szorzást és

az osztást fejben végezzék a tanulók. Részletesen foglalkozzunk az összetett feladatok

becslésével.

Tk. 102/1. kidolgozott mintapélda: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶ve-

letsor csak összeadást és kivonást tartalmaz.

A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést.

Az ellen®rzést a becsült és a számított érték összehasonlításával végezzék a tanulók.

Tk. 102/1. feladat: A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést.


Megoldás: Becslés

százasra kerekítve: 1200 1200 1200

tízesre kerekítve: 1140 1140 1140

Részeredmény 1330 667 1330

Végeredmény 1143 1143 1143

Becslés

százasra kerekítve: 1200 200 1200

tízesre kerekítve: 1140 180 1140



Tk. 103/2. kidolgozott mintapélda: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶ve-

letsor összeadást, kivonást, szorzást, osztást tartalmaz. Idézzük fel a m¶veleti sorrendr®l

tanultakat.



Tk. 103/2. feladat: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶veletsor az összeadás

és a kivonás mellett szorzást vagy osztást is tartalmaz. Beszéljük meg a zárójel sorrend-

módosító szerepét. A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést.



A szorzást és az osztást �fejben", az összeadást és a kivonást írásban végezzék el a

tanulók. Ellen®rzésként a becsült és a számított értéket hasonlítsák össze.

Megoldás: a) b) c)





d) e) f)





g) h) i)





Tk. 104/3. feladat: Méréshez kapcsolódó összetett szöveges feladat.

Megoldás: a) A = 85 m + 33 m + 33 m = 151 m

B = 70 m + 28 m + 85 m = 183 m

C = 19 m + 22 m + 86 m = 127 m

b) b = (151 + 183) { 127 = 334 { 127 b = 207 m

207 m-rel tett meg többet a két testvér együtt, mint Cili.

c) c = (151 + 127) { 183 = 278 { 183 c = 95 m

95 m-rel tett meg többet a két lány együtt, mint Béla.

d) ö = 151 + 183 + 127 ö = 461 m

461 m-t tett meg összesen a három gyerek együtt.

Tk. 104/4. feladat: Kreativitást, ötletgazdagságot fejleszt® szöveges feladat. Beszéljük

meg, hogy a rajzkészítés segíthet a feladat megoldásában.

a)

P R S| {z }

628 m

| {z }

274 m

PS = 902 m

P RS| {z }

274 m

PS = 354 m

| {z }

628 m



183

I B E F| {z }

1260 m

| {z }

216 m| {z }

347 ma) EF = 131 m b) IF = 1607 m

I F B E| {z }

1260 m

| {z }

216 m

347 mz }| {

a) EF = 563 m b) IF = 913 m

I B FE| {z }

1260 m

| {z }

347 m

216 mz }| {

a) EF = 563 m b) IF = 1607 m

I BF E

| {z }

216 m| {z }

347 m| {z }

1260 ma) EF = 131 m b) IF = 913 m

Tk. 104/5. feladat: A tanulók válasszák ki a kérdés megválaszolásához szükséges, illet-

ve a felesleges adatokat.

Megoldás: a) Adatok: Szükséges adatok:

n = 526; f = 947; b = 263; a = 148 ö = ?

Terv: ö = n + f + b + a ö = 526 + 947 + 263 + 148





Válasz: 1884-en síztek összesen.

b) Adatok: Szükséges adatok:

n = 526; f = 947, e = ?

Terv: e = n + f e = 526 + 947





Válasz: 1473 feln®tt síz® volt.



c) Adatok: Szükséges adatok:

n = 526; f = 947; k = 263; l = 148, e = ?

Terv: e = (n + f) { (k + l) e = (526 + 947) { (263 + 148)



Számolás: e = 1062


Válasz: 1062-vel több feln®tt sízett, mint gyermek.

d) Adatok: Szükséges adatok:

n = 526; f = 947; k = 263; l = 148, e = ?

Terv: e = f { (n + k + l) e = 947 { (526 + 263 + 148)



Számolás: e = 10


Válasz: 10-zel több fér� sízett, mint gyermek és n® együtt.

Gy. 98/1. feladat: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶veletsor csupán össze-

adást és kivonást tartalmaz, illetve hogyan módosítja a m¶veletvégzés sorrendjét a zá-

rójel. A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést.


Megoldás: Becslés: Részeredmény Végeredmény

a) 700 + 400 { 200 = 900

680 + 350 { 220 = 810 1032 815

b) 1500 { 600 { 300 = 600

1540 { 620 { 280 = 640 922 644

c) 1500 { (600 { 300) = 1200

1540 { (620 { 280) = 1230 343 1200

d) 1300 { 600 + 600 = 1300

1260 { 630 + 590 = 1220 636 1230

e) 1300 { (600 + 600) = 100

1260 { (630 + 590) = 40 1222 42



rójel.





185

Megoldás: Rész- Vég- Rész- Vég-

eredmény eredmény eredmény eredmény

a) 974 817 = 974 817

b) 1095 739 >100

1095 639

c) 114 441 >100

214 541

d) 227 49 = 327 49



rójel.




a) a = 672 + 476 + 189 1148 1337

b) b = 672 { 476 + 189 196 385

c) c = 672 + 476 { 189 1148 959

d) d = 672 { 476 { 189 196 7

e) e = 672 + 476 { 189 1148 959

f) f = 672 { 476 { 189 196 7

g) g = 672 + 476 + 189 1148 1337

h) h = 672 { 476 + 189 196 385

Gy. 99/4. feladat: A szaknyelv helyes használatára nevel® és a szövegért® képességet

fejleszt® feladatsorok. A tanulók szokják meg, hogy �gyelmesen olvassák el a szöveget

(nagyon �gyeljenek oda a köt®szókra és a végz®désekre). Az adatkigy¶jtésnél föltétlenül

jegyezzék le, hogy melyik érték kevesebb (több), mennyivel.

Figyeltessük meg, hogy a matematikai modell leírásakor kell-e zárójelet használni. A

számításokban a szorzást vagy az osztást (analóg számításként) fejben, az összeadást

vagy a kivonást írásban hajtsák végre. Az eredményt a szöveg alapján ellen®rizzék.

Megoldás: a) a = (876 + 528) + (876 { 528) a = 1752

b) b = (876 + 528) { (876 { 528) b = 1056

Gy. 99/5. feladat: A megoldáshoz ismerni kell a kivonásban használt elnevezéseket. A

megoldáshalmazt a természetes számok halmazán értelmezzük.

Megoldás: a) 100 5 kivonandó < 110, azaz a

kivonandó: 100; 101; 102; 103; 104; 105; 106; 107; 108; 109 lehet.

1001 { 109 5 a 5 1001 { 100, vagy 1001 { 110 < a 5 1001 { 100.

a = 892; 893; . . . 900; 901



b) 96 < kivonandó < 100, azaz a kivonandó: 97; 98; 99 lehet.

1001 { 99 5 b 5 1001 { 97, vagy 1001 { 96 > b > 1001 { 100.

c) 995 < kivonandó < 1000, azaz a

kivonandó: 996; 997; 998; 999 lehet.

1001 { 999 5 c 5 1001 { 996, vagy 1001 { 995 > c > 1001 { 1000.

Gy. 99/6. feladat: Szöveges feladatok az összeadás és a kivonás gyakorlására.

Megoldás: a) Adatok: t = 618, n = 356, o = ?

Terv: o = t { n o + n = t o = 618 { 356



Számolás: o = 262

Ellen®rzés: 262 + 356 = 618

Válasz: 262 tanuló töltötte otthon a téli szünetet.

b) Adatok: f = 578, f >142-vel

a, a = ?

Terv: a = f { 142 a = 578 { 142



Számolás: a = 436

Ellen®rzés: 436 + 142 = 578

Válasz: 438 alsó tagozatos tanuló van.

Adatok: f = 578, a = 436, ö = ?

Terv: ö = f + a ö = 578 + 436





Válasz: 1014 tanuló jár összesen ebbe az iskolába.

c) Adatok: f = 456, l = 397, s = 185, ö = ?, n = ?

Terv: ö = f + l ö = 456 + 397





Válasz: 853 tanuló jár ebbe az iskolába.



187

Terv: n = ö { s n = 853 { 185



Számolás: n = 668

Ellen®rzés: 668 + 185 = 853

Válasz: 668 tanuló nem sportköri tag.

d) Adatok: u = 287, u <184-gyel

é, é = ?

Terv: é = u + 184 é = 287 + 184



Számolás: é = 471


471

Válasz: 471-en maradtak bent az épületben.

Adatok: u = 287, é = 471, ö = ?

Terv: ö = u + é ö = 287 + 471





Válasz: 758 tanuló volt jelen az iskolában.

e) Adatok: v = 10 kg = 1000 dkg,

b = 5 kg 75 dkg = 575 dkg,

p = 2 kg 30 dkg = 230 dkg, m = ?

Terv: m = v { b { p m = v { (b + p) m = 1000 { 575 { 230




Ellen®rzés: 195 + 575 + 230 = 1000

Válasz: 195 dkg = 1 kg 95 dkg liszt marad.

Gy. 99/7. feladat: Az írásbeli kivonás (ellen®rzéskor az összeadás), valamint a hosszú-

ság mértékegységeir®l tanultak alkalmazása egyszer¶ szöveges feladatok értelmezésé-

ben és megoldásában.

Megoldás: a) Adatok: ö = 1 km 560 m = 1560 m, a = 358 m

B =?

Terv: B = ö { a B = 1560 { 358





Számolás: B = 1202 m

Ellen®rzés: 1202 + 358 = 1560

Válasz: 1202 m = 1 km 202 m-re lakik Balázs az iskolától.

b) Adatok: ö = 1 km 560 m = 1560 m, a = 358 m, b = 416 m,

C = ?

Terv: C = ö { a { b vagy C = ö { (a + B )

C = 1560 { 358 { 416



Számolás: C = 786 m

Ellen®rzés: 786 + 358 + 416 = 1560

Válasz: 786 m-re lakik Cili az iskolától.

Gy. 100/8. feladat: Kreativitást, ötletgazdagságot fejleszt® feladat.

Megoldás:

I B E F| {z }

1260 m

| {z }

216 m| {z }

347 m

a) EF = 131 m b) IF = 1607 m

I F B E| {z }

1260 m

| {z }

216 m

347 mz }| {

a) EF = 563 m b) IF = 913 m

I B FE| {z }

1260 m

| {z }

347 m

216 mz }| {

a) EF = 563 m b) IF = 1607 m

I BF E

| {z }

216 m| {z }

347 m| {z }

1260 m

a) EF = 131 m b) IF = 913 m



189

Gy. 100/9. feladat: Szöveges feladat az írásbeli kivonás gyakorlására. Gyakoroltathatjuk

a zárójelfelbontásról tanultakat is.

Megoldás: a) 1205 { 658 = 547; 547 Ft-ja marad Tibornak.

b) 1205 { 214 = 991; 991 Ft-ja marad Tibornak.

c) 1205 { 156 = 1049; 1049 Ft-ja marad Tibornak.

d) 1205 { 128 = 1077; 1077 Ft-ja marad Tibornak.

e) 1205 { (658 + 128) = 419;

1205 { 658 { 128 = 419; 419 Ft-ja marad Tibornak.

f) 1205 { (156 + 214) = 835;

1205 { 156 { 214 = 835; 835 Ft-ja marad Tibornak.

g) 1205 { (214 + 156 + 128) = 707;

1205 { 214 { 156 { 128 = 707; 707 Ft-ja marad Tibornak.

h) 1205 { (658 + 214 + 156 + 128) = 49;

1205 { 658 { 214 { 156 { 128 = 49. 49 Ft-ja marad Tibornak.

Gy. 100/10. feladat: Tisztázzuk, hogy 40 dkg egy doboz kakaó tömege

Megoldás: Ennyi doboz kakaó 4 10 15 7 12

Ennyi a tömege 160 dkg 4 kg 6 kg 280 dkg 840 dkg

Gy. 100/11. feladat: A m¶veletekr®l, mértékegységekr®l tanultak gyakorlására szánt fel-

adatsor.

Megoldás: Ennyi volt 5 kg 10 kg 2 kg 1 kg

Ennyi elfogyott 1 kg 40 dkg 4 kg 80 dkg 15 dkg 0 dkg

Ennyi maradt 3 kg 60 dkg 5 kg 20 dkg 185 dkg 100 dkg

Gy. 101/12. feladat: Elevenítsük fel, hogyan számolhatunk, ha a m¶veletsor az össze-

adáson és kivonáson kívül szorzást és osztást is tartalmaz. A szorzást, osztást �fejben",

az összeadást, kivonást írásban végezzék el a tanulók.

A számolás elvégzése el®tt minden esetben végeztessünk becslést. Az ellen®rzést a

becsült és a számított érték összehasonlításával végezzék a tanulók.


a) 1000 + 700 = 1700

1090 + 720 = 1810 720 1814

1000 { 400 = 600

990 { 420 = 570 420 1406

b) 1500 { 500 = 1000

1530 { 450 = 1080 450 1078

1000 { 300 = 700

1020 { 280 = 740 280 741



Gy. 101/13. feladat: Összetett számfeladat a m¶veleti sorrend és a zárójelhasználat

tudatosítására, gyakorlására.



a) 500 540 6

1.

� 300

2.

{ 1258 = 542;

b) 300 270 4

1.

� 500

2.

{ 1729 = 271;

c) 400 420 7

1.

� 200

2.

{ 976 = 424;

d) 1200 1180 817

2.

+ 4

1.

� 90 = 1177;

e) 1600 1640 1396

2.

+ 3

1.

� 80 = 1636;

f) 1600 1520 7

1.

� 80

2.

+ 958 = 1518;

g) 700 700 1506

2.

{ 9

1.

� 90 = 696;

h) 1000 1000 1625

2.

{ 7

1.

� 90 = 995;

i) 600 660 912

2.

{ 5

1.

� 50 = 662;

j) 1300 1220 8

1.

� 70

2.

+ 658 = 1218;

k) 1000 1020 595

2.

+ 6

1.

� 70 = 1015;

l) 1900 1920 2

1.

� 600

2.

+ 718 = 1918.





a) 500 460 640

1.

: 8

2.

+ 379 = 459;

b) 700 660 587

2.

+ 420

1.

: 6 = 657;

c) 1200 1360 1276

2.

+ 560

1.

: 7 = 1356;



191

d) 800 850 913

2.

{ 480

1.

: 8 = 853;

e) 900 940 1032

2.

{ 270

1.

: 3 = 942;

f) 700 700 1001

2.

{ 900

1.

: 3 = 701;

g) 1800 1800 9

2.

� (176

1.

+ 24) = 1800;

h) 100 80 (1052

1.

{ 492)

2.

: 7 = 80;

i) 300 300 1200

2.

: (9

1.

{ 5) = 300.



Megoldás: a) a = (998 { 648) : 50 = 350 : 50 a = 7

b) b = (1234 { 604) : 90 = 630 : 90 b = 7

c) c = (867 { 567) � 3 = 300 � 3 c = 900

Gy. 102/16. feladat: Di�erenciálásra javasolt, fokozatosan nehezed® feladatsorok. A két

vagy több m¶velettel megoldható összetett szöveges feladatok önálló megoldását még

nem várhatjuk el mindenkit®l, de már ebben az évben oldassunk meg sok ilyen feladatot.

Megoldás: a) Adatok: a = 865 kg, n: 1 láda 30 kg, ö = ?

8 láda 8 � 30 kg

Terv: ö = a + n ö = 865 + 8 � 30





Válasz: 1105 kg gyümölcs van a zöldségüzletben.

b) Adatok: gy = 865 kg, k: 1 láda 30 kg a = ?

8 láda 8 � 30 kg

Terv: a = gy { k a = 865 { 8 � 30



Számolás: a = 625 kg

Ellen®rzés: 625 + 8 � 30 = 865

Válasz: 625 kg alma van a zöldségüzletben.



c) Adatok: v = 865 kg, e = 425 kg, m: 1 zacskó 4 kg

? zacskó

Terv: z = (v { e) : 4 z = (865 { 425) : 4



Számolás: z = 110

Ellen®rzés: 865 { 425 = 110 � 4

Válasz: 110 zacskóra volt szükség.

d) Adatok: v = 865 kg, h = 335 kg, 1 zsák 30 kg ? zsák

Terv: zs = (v + h) : 30 zs = (865 + 335) : 30



Számolás: zs = 40

Ellen®rzés: 865 + 335 = 40 � 30

Válasz: 40 zsákra volt szükség.

Gy. 103/17. feladat: A szaknyelv helyes használatára nevel® és a szövegért® képessé-

get fejleszt® feladatsorok. A tanulók szokják meg, hogy �gyelmesen olvassák el a szö-

veget (nagyon �gyeljenek oda a köt®szókra és a végz®désekre).

Megoldás: a) a = 320 � 4 { 76 = 1280 { 76 a = 1204

b) b = 320 � 4 + 76 = 1280 + 76 b = 1356

c) c = 320 : 4 { 76 = 80 { 76 c = 4

d) d = 320 : 4 + 76 = 80 + 76 d = 156

e) e = 320 � 4 + 76 = 1280 + 76 e = 1356

f) f = 320 : 4 { 76 = 80 { 76 f = 4

Gy. 103/18. feladat: A szaknyelv helyes használatára nevel® és a szövegért® képessé-

get fejleszt® feladatsorok. A tanulók szokják meg, hogy �gyelmesen olvassák el a szö-

veget (nagyon �gyeljenek oda a köt®szókra és a végz®désekre).

Megoldás: a) a = (238 + 162) � 3 = 400 � 3 a = 1200

b) b = (238 { 162) � 10 = 76 � 10 b = 760

c) c = (238 { 162) : 2 = 76 : 2 c = 38

Gy. 103/19. feladat: Di�erenciálásra javasolt, fokozatosan nehezed® feladatsorok.

A két vagy több m¶velettel megoldható összetett szöveges feladatok önálló megoldását

még nem várhatjuk el mindenkit®l, de már ebben az évben oldassunk meg sok ilyen

feladatot.

Megoldás: a) Adatok: 196 db 1 , 55 db 2 , 23 db 10 , ö = ?

Terv: ö = 196 � 1 + 55 � 2 + 23 � 10



193



Számolás: ö = 196 + 110 + 230 ö = 536 Ft


Válasz: 536 Ft-ja van Andrásnak.

b) Adatok: v = 1567 Ft, k: 20 � 45 Ft m = ?

Terv: m = v { k m = 1567 { 20 � 45



Számolás: m = 1567 { 900 m = 667 Ft


Válasz: 667 Ft-ja maradt Biankának.

c) Adatok: v: 198 db 1 , 25 db 5 , 40 db 2 , k = 896 Ft, l = ?

Terv: l = v + k l = 198 � 1 + 25 � 5 + 40 � 2 + 896


Tízesre kerekítve: 1330 FT

Számolás: l = 198 + 125 + 80 + 896 l = 1299 Ft


Válasz: 1299 Ft-ja lesz Cilinek.

d) Adatok: v = 568 db 10 , 35 db 10 , 8 db 50 , e = 10 � 60,

m = ?

Terv: m = v { e m = 568 � 1 + 35 � 10 + 8 � 50 { 10 � 60



Számolás: m = 568 + 350 + 400 { 600 m = 718 Ft


Válasz: 718 Ft-ja maradt Dórának a vásárlás után.

Gy. 103/20. feladat: Di�erenciálásra javasolt, fokozatosan nehezed® feladatsorok.

A két vagy több m¶velettel megoldható összetett szöveges feladatok önálló megoldását

még nem várhatjuk el mindenkit®l, de már ebben az évben oldassunk meg sok hasonló

feladatot.

Megoldás: a) Adatok: v = 675 Ft, l = 855 Ft, k = ? db 20

Terv: k = (l { v) : 20

k = (855 { 675) : 20 855 = 675 + k � 20



Számolás: k = 180 : 20 k = 9



Ellen®rzés: 675 + 9 � 20 = 855

Válasz: 9 db 20 -ost kapott Ani.

b) Adatok: v = 1213 Ft, m = 893 Ft, e: ? db 40 Ft

Terv: e = (v { m) : 40 v { e � 40 = m

e = (1213 { 893) : 40



Számolás: e = 320 : 40 e = 8

Ellen®rzés: 1213 { 8 � 40 = 893

Válasz: 8 darab matricát vásárolhatott Béla.

c) Adatok: v = 584 Ft, l = 1584 Ft, b = 20 � x, x = ?

Terv: x = (l { v) : 20 v + 20 � x = l x = (1584 { 584) : 20



Számolás: x = 1000 : 20 x = 50

Ellen®rzés: 584 + 20 � 50 = 1584

Válasz: 50 Ft-ot tett naponta a perselyébe Cili.

Gy. 104/21. feladat: Kreativitás, képi gondolkodás fejlesztését segít® feladat.

Megoldás:

1010 { 935 630 : 7 67 + 29 + 9 3 � 40 912 { 777

300 : 2 87 + 9 + 69 9 � 20 1043 { 848 840 : 4

643 { 418 8 � 30 1732 { 1477 3 � 90 1612 { 1327

1500 : 5 242 + 67 + 6 990 : 3 254 + 8 + 83 40 � 9

Óra: 71. 79. 88{89.

3. felmérés




195

matematika 3. módszertani ajánlások, első félév

Documents