matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás mÛszaki kiadÓ,...

87
Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár Matematika 7. PROGRAM általános iskola 7. osztály nyolcosztályos gimnázium 3. osztály hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST

Upload: others

Post on 23-Jan-2021

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár

Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár

Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens

Novák Lászlóné tanár

Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó

Zankó Istvánné tanár

Matematika 7.

PROGRAM

általános iskola 7. osztálynyolcosztályos gimnázium 3. osztályhatosztályos gimnázium 1. osztály

Átdolgozott kiadás

MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST

Page 2: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Alkotó szerkesztô:DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens

Az 1. kiadást bírálta:ELÔD ISTVÁNNÉ ny. felelôs szerkesztô

DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár

© Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Novák Lászlóné, Dr. Sümegi Lászlóné, Zankó Istvánné, 1994, 2007

© Mûszaki Könyvkiadó Kft., 2007

ISBN 978-963-16-4221-6Azonosító szám: MK–4221-6

Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Kft.Felelôs kiadó: Bérczi Sándor ügyvezetô igazgató

Felelôs szerkesztô: Bosznai GáborMûszaki vezetô: Orgován Katalin

Borítóterv: Bogdán HajnalMûszaki szerkesztô: Trencséni Ágnes

Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Köves GabriellaTerjedelem: 7,87 (A/5) ív

A kiadvány tömege: 154 gramm5., átdolgozott kiadás

e-mail: [email protected]. hajdumatek.hu

Nyomta és kötötte: a Borsodi Nyomda Kft.Felelôs vezetô: Ducsai György ügyvezetô igazgató

Page 3: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Tartalom

�ltal�nos m�dszertani javaslatok � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Alaptanterv � Kerettanterv � program � helyi tanterv � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �A taneszk�z�kr�l � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A tananyag s a k�vetelmnyek rtelmezsr�l � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Halmazok� logika� kombinatorika � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Sz�mtan� algebra � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Rel�ci�k� f�ggvnyek� sorozatok � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Geometria� mrsek � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Val�sz�n�sg� statisztika � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�raterv� tanmenet � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��raterv � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Tanmenet � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Gondolkozz s sz�molj� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Hozz�rendels� f�ggvny � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Egybev�g�s�g� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Algebra � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� S�kidomok� testek� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �sszefoglal� feladatok� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

A tananyag feldolgoz�sa � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Gondolkozz s sz�molj� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

A tananyag�feldolgoz�s csom�pontjai � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Kapcsol�d�si lehet�sgek � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �A tananyag�feldolgoz�s �ttekintse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Hozz�rendels� f�ggvny � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��A tananyag�feldolgoz�s csom�pontjai � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Kapcsol�d�si lehet�sgek � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �A tananyag�feldolgoz�s �ttekintse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Egybev�g�s�g� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��A tananyag�feldolgoz�s csom�pontjai � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Kapcsol�d�si lehet�sgek � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��A tananyag�feldolgoz�s �ttekintse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Algebra � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A tananyag�feldolgoz�s csom�pontjai � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Kapcsol�d�si lehet�sgek � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �A tananyag�feldolgoz�s �ttekintse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� S�kidomok� testek� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A tananyag�feldolgoz�s csom�pontjai � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �Di�erenci�l�s � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��Kapcsol�d�si lehet�sgek � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��A tananyag�feldolgoz�s �ttekintse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� �sszefoglal� feladatok� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Page 4: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

�LTAL�NOS M�DSZERTANI JAVASLATOK

Alaptanterv � Kerettanterv � program � helyi tanterv

Oktat�si t�rv�ny�nk a m�dszertani szabads�g mellett biztos�tja a tanszabads�got is� At�rv�ny alapj�n a tananyag kialak�t�sa� a k�vetelm�nyek megfogalmaz�sa� az osz�

t�ly sz�nvonal�nak megfelel� t�rgyal�smd kidolgoz�sa a tan�rnak nemcsak joga�

hanem k�teless�ge is A tananyagot saj�t �rt�krend�nk alapj�n a helyi tanterv aj�nl�sait �gyelembe v�ve �gy kell megv�lasztanunk hogy megfeleljen az oszt�ly pillanatnyitud�sszintj�nek �s optim�lisan seg�tse el minden egyes tanul� fejl d�s�t�

A t�rv�ny szerint az iskola helyi tanterv�t a Nemzeti alaptantervet �a tov�bbiakban NAT�illetve a Kerettantervet �gyelembe v�ve kellett kidolgoznunk�

A NAT �s a Kerettanterv jelenlegi v�ltozata t�bb bels ellentmond�st tartalmaz sem pedag�giailag sem tartalmilag nem alkot egys�ges h�zagmentes rendszert� Els sorban aminimumk�vetelm�nyek kidolgoz�sa elnagyolt� A matematik�ban el �rt k�vetelm�nyek�s a matematikai alapoz�st is ig�nyl t�rstant�rgyak k�vetelm�nyrendszere t�bb helyennem illeszkedik egym�shoz� Ez�rt sem a NAT sem a Kerettanterv nem tekinthet �alaptantervnek� csup�n �tantervi alapnak�� A helyi tanterv �esetleg a tank�nyvszerz � deels sorban a szaktan�r feladata hogy kik�sz�b�lje a NATban illetve a Kerettantervbental�lhat� hi�nyoss�gokat �s tartalmilag pedag�giailag egys�ges rendszert dolgozzonki� V�geredm�nyben az oszt�ly k�pess�g�nek �gyelembev�tel�vel a helyi tanterv alapj�n a szaktan�r d�nti el hogy melyik tanul�csoportnak hogyan �p�ti fel a tananyagot�

A tananyag v�gs �ssze�ll�t�sakor gondoljuk v�gig a k�vetkez ket�

Ink�bb kevesebbet tan�tsunk de azt alaposan alkalmaz�sra k�pesen tan�tsuk meg�

Minden anyagr�szn�l gondoljunk a sz�veg�rtelmez k�pess�g fejleszt�s�re�

Helyezz�nk nagyobb hangs�lyt a tanultak mindennapi gyakorlati alkalmaz�s�ra� Foglalkozzunk a sz�zal�ksz�m�t�ssal kamatsz�m�t�ssal a statisztikai sz�m�t�sokkal �svizsg�latokkal a m�r�sekkel a �zik�ban �s a k�mi�ban tanult fogalmakkal �vektor sebess�g id �t diagram s�r�s�g kever�si feladatok�� A tanul�k legyenek ig�nyesek afeladatok megold�s�nak teljes �s pontos kidolgoz�s�ban�

Tanul�ink k�pesek legyenek �rtelmezni a fogalmakat k�vetni a t�rsak a tan�r �s atank�nyv gondolatmenet�t� L�ss�k meg a fogalmak k�zti �sszef�gg�seket�

A k�z�piskol�ba k�sz�l tanul�inknak fel kell k�sz�lni�k a k�z�piskol�ban elv�rt dedukt�v t�ls�ly� ismeretszerz�si folyamatra is� Tudniuk kell hogy mit jelent egy fogalmatde�ni�lni meg kell �rteni�k a de�n�ci�k matematikai tartalm�t l�tniuk kell a tapasztalatszerz�sen alapul� sejt�s illetve a bizony�tott t�tel k�zti k�l�nbs�get�

Page 5: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A taneszk�z�kr�l

Matematika � A �alapszint tank�nyv

Tartalmazza azt a tananyagot amelyet mindenkinek tan�tanunk kell �s amely a matematika illetve a t�rstant�rgyak tov�bbi tanul�s�hoz elengedhetetlen�L�tnunk kell hogy az �alapszint� a heti � matematika�r�ra reduk�lt �ratervhez igazodikamely nem biztos�tja azokat az alapokat �s nem fejleszti ki azokat a k�pess�geketamelyeket majd a k�z�piskola elv�r tanul�inkt�l�

Matematika � B �b�v�tett v�ltozat tank�nyv

Az alapszinten t�rgyalt tananyag mellett olyan kieg�sz�t anyagr�szeket feladatsorokat tartalmaz amelyek els sorban sz�nvonalukban �s nem a tananyag mennyis�g�benhaladj�k meg az alapszintet� Ezeknek az anyagr�szeknek a feldolgoz�sa felk�sz�thetia tanul�kat a k�z�piskolai matematikatanul�sra� A tank�nyvben nyomdatechnikai m�dszerrel �sz�rke s�v m�s feladatsz�moz�s� v�lasztjuk el a �kieg�sz�t � anyagr�szeketa �t�rzsanyagt�l�� A tank�nyv b v�tett v�ltozat�ban megadtuk az alapszint� tank�nyvmegfelel oldalsz�mait is� Ez�rt a k�t v�ltozat ak�r egy oszt�lyban is haszn�lhat��

Matematika � Gyakorl

A biztos eszk�ztud�s kialak�t�s�hoz tartalmaz feladatsorokat seg�theti a kor�bban tanultak feleleven�t�s�t a hi�nyoss�gok p�tl�s�t az �j fogalmak �s a tanultak begyakorl�s�t�

Matematika ��� Feladatgy�jtem�ny

Ez a feladatgy�jtem�ny a tehets�ggondoz�st �s az emelt szint� k�pz�st seg�theti�

Matematika � tank�nyv feladatainak megold�sa

A tanul�k �nellen rz�s�t seg�t kiadv�ny�

T�maz�r felm�r� feladatsorok� matematika � oszt�ly

A felm�r feladatsorok els dleges c�lja hogy seg�tse a szakmai munkak�z�ss�gekmunk�j�t a viszonylag egys�ges k�vetelm�nyrendszer kidolgoz�s�ban� A tanuli p�l�

d�nyok A �s B v�ltozatban tartalmazz�k a feladatsorokat �egyes feladatok k�l�n azalapszint vagy az emelt szint sz�m�ra k�sz�ltek�� A tan�ri p�ld�nyokban a feladatsorok mellett megtal�lhat�k a jav�t�si �tmutat�k �s az �rt�kel�si norm�k is�N�gy f�zetben k�sz�l az alapszint� C �s D illetve az emelt szint� E �s F v�ltozat �sk�l�n f�zetben ezek jav�t�si �tmutat�ja� Ezeket a v�ltozatokat csak az iskol�k rendelhetik meg a kereskedelmi forgalomban a tanul�k nem v�s�rolhatj�k meg� A C a D az E

�s az F v�ltozatokban a t�maz�r� feladatsorok mellett �gynevezett t�j�koz�d� felm�r feladatsorokat is kidolgoztunk� Ezekkel �els sorban diagnosztikus c�llal� a tov�bbhalad�shoz n�lk�l�zhetetlen eszk�ztud�st m�rhetj�k fel�

Page 6: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A tananyag �s a k�vetelm�nyek �rtelmez�s�r�l

Ebben a r�szben a NAT illetve a Kerettanterv fejezeteit k�vetve tekintj�k �t a tananyagot �s a k�vetelm�nyeket� A tananyag feldolgoz�sa c�m� fejezetben sz�ks�g eset�nkonkr�tabban is megfogalmazzuk hogy az adott anyagr�sz t�rgyal�sa sor�n mit kellel�rn�nk�

Halmazok� logika� kombinatorika

A tank�nyvben tanmenetjavaslatban a halmaz logika t�mak�r nem alkot �n�ll� fejezetet a Feladatgy�jtem�nyben azonban igen� Ennek oka hogy a Feladatgy�jtem�nyels dleges c�lja a jobb k�pess�g� tanul�k felk�sz�t�se a k�z�piskol�ra�

Ezen az �vfolyamon is igaz az hogy nem halmazelm�letet tan�tunk hanem hal�

mazszeml�letet fejleszt�nk� Tanul�ink ismerj�k az �alaphalmaz� �igazs�ghalmaz� fogalm�t� Legyenek k�pesek halmazokat tulajdons�ggal megadni �ll�t�shoz igazs�ghalmaztkeresni �adott alaphalmazok eset�n�� Legyenek k�pesek vizsg�lni adott �ismert� halmazok egym�shoz val� viszony�t� Tudj�k k�pezni a halmaz kieg�sz�t halmaz�t �komplementer�t� adott alaphalmaz eset�n alkalmazz�k helyesen a halmaz komplementere �saz �ll�t�s tagad�sa k�zti kapcsolatot� Adott szempontok szerint tudj�k k�pezni a v�gesvagy j�l ismert v�gtelen halmazok r�szhalmazait �kapcsolat a kombinatorik�val is�� Legyenek k�pesek k�t vagy h�rom halmaz k�z�s r�sz�t �s egyes�tettj�t k�pezni� Ismerj�ka metszet a logikai ��s� valamint az uni� �s a logikai �vagy� kapcsolat�t� Tudj�k eztalkot� m�don alkalmazni az �j fogalmak �sszef�gg�sek vizsg�lat�ban�

A matematikai logik�nak is csak n�h�ny elem�t t�rgyaljuk� A szeml�letfejleszt�s m�st�mak�r�k konkr�t feladatainak megold�s�val t�rt�nik� A tanul�k az �jonnan tanult ismeretekkel kapcsolatosan is fogalmazzanak meg igaz �s hamis �ll�t�sokat legyenekk�pesek �ll�t�sok igazs�g�t eld�nteni� �rts�k meg �s az �j anyagr�szek elsaj�t�t�s�ban alkot� m�don alkalmazz�k az ��s� �vagy� kifejez�seket� Tudj�k a �ha� akkor���pontosan akkor� ha�� t�pus� �ll�t�sok igazs�g�t eld�nteni� Haszn�lj�k �helyesen�ezeket a kifejez�seket� Az �jonnan tanult ismeretekkel kapcsolatban is �rts�k meg �sismert �konkr�t� halmazok eset�n helyesen haszn�lj�k a �minden� �van olyan� kifejez�seket� Tudj�k ezeket tagadni� Tudjanak �minden�� �s �van olyan�� t�pus� �ll�t�sokat�tfogalmazni igazolni vagy c�folni� Az els dleges c�l ilyenkor az �ppen t�rgyalt ismeret�sszef�gg�s meg�rt�se az eddigi ismeretekbe val� be�p�t�se a t�bbi t�mak�rrel val��sszesz�v�se�

A logik�val kapcsolatos feladatok sz�haszn�lata a mondatok szerkezete sokszor elt�ra mindennapi nyelvt l� P�ld�ul ha azt az �ll�t�st �kijelent mondatot� hogy �Lacinakvan k�t n v�re� egy t�rsas�gban halljuk akkor ezt nem �rezz�k pontatlan k�zl�snek��gy �rtj�k hogy Lacinak nem egy nem h�rom hanem pontosan k�t n v�re van�A matematik�ban ezt a �pontosant� �ltal�ban meg is kell fogalmaznunk� P�ld�ul� Apr�msz�mot az jellemzi hogy pontosan k�t oszt�ja van a term�szetes sz�mok k�r�ben�Az �sszetett sz�mokra is igaz hogy van k�t oszt�juk csakhogy ann�l t�bb is�

Page 7: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Legink�bb az ��s� �s a �vagy� k�t sz�k t�bbf�le jelent�s�re kell �gyeln�nk� Matematika�r�n is haszn�lhatjuk k�l�nb�z jelent�ssel ezeket a k�t sz�kat� P�ld�ul�

A ��n�l kisebb term�szetes sz�mok k�z�tt �t kett vel oszthat� �s n�gy h�rommal oszthat� sz�m van�

A ��n�l kisebb term�szetes sz�mok k�z�tt k�t olyan sz�m van �� �s �� amely kett vel�s h�rommal oszthat��

M�g az els mondatban az ��s� n�vel hat�s� addig a m�sodik mondatban �logikai �s�tulajdons�gokat kapcsol �ssze ilyenkor cs�kkent hat�s��

A sz�mtan algebra �s a geometria t�mak�r�k igen sok lehet s�get ny�jtanak a kom�

binatorikus szeml�let fejleszt�s�re �s a megfogalmazott k�vetelm�nyek el�r�s�re� Azerre alkalmas feladatok megold�sakor sor ker�l az �sszes eset megkeres�s�re valamilyen rend szerint� A rendez�si s�ma lehet fadiagram vagy t�bl�zat� A t�bl�zat sz�mp�rjai k�zti �sszef�gg�s meg�llap�t�sa nem k�vetelm�ny� Ugyanakkor a tehets�gesebbilletve a k�z�piskol�ba k�sz�l tanul�inkt�l elv�rhat� hogy k�pesek legyenek a kombinatorikai m�dszereket alkot� m�don alkalmazni a matematika k�l�nb�z t�mak�reiben�sz�melm�let soksz�gek vizsg�lata stb���

Ha heti � �r�ban reduk�lt program szerint tan�tunk akkor is adjunk fel feladatokat ezekb l a t�mak�r�kb l m�g akkor is ha minimumk�vetelm�ny nincsen bel le�

Sz�mtan� algebra

�� oszt�lyban e t�mak�rben z�mmel az el z �vekben tanultakat fejlesztj�k tov�bb �sszil�rd�tjuk meg� Ez�rt a tan�t�s m�dj�t a tov�bbl�p�s �norm�lalak algebrai kifejez�sazonoss�gok� m�rt�k�t �s m�lys�g�t er sen befoly�solja hogy

hatodik oszt�lyban mennyit milyen szinten saj�t�tottak el a tanul�k

egyegy oszt�lyon bel�l �esetleg k�pess�gcsoportok szerinti bont�sban� mennyirek�l�nb�zik a tud�suk k�pess�g�k igyekezet�k�

A tank�nyv a Gyakorl� �s a Feladatgy�jtem�ny egy�ttes haszn�lata lehet s�get biztos�tmind a hi�nyok p�tl�s�ra mind a jobbak a k�z�piskol�ba igyekv k fejleszt�s�re�

�v elej�n m�rj�k f�l hogy kell en biztose tanul�ink sz�mfogalma�

ismerike megb�zhat�an a t�zes sz�mrendszert k�peseke a sz�mokat a mindennapi�letben �m�s tant�rgyakban is� helyesen alkalmazni tudj�ke a sz�mokat k�l�nb�z alakban fel�rni� t�rt �esetleg vegyessz�m� tizedest�rt �sszeg k�l�nbs�g szorzat h�nyadosalak�

a k�l�nb�z alak� sz�mok k�z�l ki tudj�ke v�lasztani az egyenl ket tudj�ke asz�mokat nagys�g szerint rendezni meg tudj�ke adni racion�lis sz�mok hozz�vet leges hely�t a sz�megyenesen k�peseke ezt alkalmazni egyenl tlens�gek megold�s�nak keres�s�ben �s ellen rz�s�ben�

Fontos a racion�lis sz�mokkal kapcsolatos fogalomrendszer tudatos�t�sa� term�szetessz�m eg�sz sz�m t�rtsz�m� pozit�v negat�v sz�m nempozit�v nemnegat�v sz�mellentett abszol�t�rt�k reciprok�

Page 8: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Legk�s bb a kor�bbi anyagr�szek �tism�tl�se ut�n a tanul�k legyenek tiszt�ban a t�rtfogalm�val� a t�rt mint az egys�g t�rtr�sze mint k�t sz�m h�nyadosa �s mint k�t sz�mar�nya� Tudj�k adott mennyis�g t�rtr�sz�t �s adott t�rtr�szb l az egys�gnyi mennyis�get kisz�m�tani� Legyenek k�pesek a t�rtek egyszer�s�t�s�re b v�t�s�re�

A kor�bban tanultakat kieg�sz�tve tudatosabb� t�ve �legal�bb a k�z�piskol�ba k�sz�l tanul�k� saj�t�ts�k el a sz�melm�let elemeit tudj�k alkalmazni az oszt�r�l a t�bbsz�r�sr l a sz�mok t�rzst�nyez kre bont�s�r�l az oszthat�s�gi szab�lyokr�l a legnagyobb k�z�s oszt�r�l a legkisebb k�z�s t�bbsz�r�sr l tanultakat�

Biztos aritmetikai tud�s n�lk�l bizonytalan lesz a r��p�l� algebrai� f�ggv�nytani� geo�

metriai ismeretrendszer is Ez�rt a m�veletfogalom �s a m�veletv�gz�s fejleszt�s�re�� oszt�lyban is oda kell �gyeln�nk hiszen a kor�bban megszerzett �esetleg h�zagos�tud�st csak tervszer� gyakorl�ssal tudjuk megszil�rd�tani �s a tanul�k �letkor�nak megfelel begyakorlotts�gi szintre emelni� M�rj�k fel hogy tanul�ink

tudj�ke �rtelmezni �s elv�gezni a n�gy alapm�veletet b�rmilyen alak� racion�lissz�mok k�r�ben�

ismerike a m�veleti azonoss�gokat k�peseke azokat alkalmazni a sz�m�t�sok�sszer�s�t�s�ben konkr�t feladat megold�sakor a t�bbf�le kisz�m�t�si m�d k�z�l kitudj�ke v�lasztani az egyszer�bbet�

�rtike a pozit�v eg�sz kitev j� hatv�ny fogalm�t kisz�m�t�si m�dj�t�

t�bb m�veletet tartalmaz� kifejez�sben meg tudj�ke �llap�tani a helyes sorrendet�

�rtike az ar�ny fogalm�t k�peseke azt alkalmazni az egyenes �s a ford�tott ar�nyoss�g a sz�zal�ksz�m�t�s k�r�ben ki tudj�ke sz�m�tani a sz�zal�k�rt�ketaz alapot a sz�zal�kl�bat a m�sik kett ismeret�ben� tudnake ar�nyos oszt�ssalkapcsolatos feladatokat megoldani tudj�ke a tanultakat alkalmazni statisztikai sz�m�t�sokban�

A fentiek miatt is fontos a folyamatos ism�tl�s megtervez�se �h�zi feladatok megv�laszt�sa ellen rz�se� n�h�ny perces �ra eleji �bemeleg�t � j�t�kos feladatok a sz�belisz�mol�s gyakorl�s�ra� a kor�bban tanultak rendszeres alkalmaz�sa �sszesz�v�se az�j anyagr�szekkel� stb���

Szinte minden anyagr�szben lehet s�g ny�lik

a sz�mfogalom m�veletfogalom er s�t�s�rea m�veleti tulajdons�gok alkalmaz�s�raegyszer� kapcsolatok aritmetikai vagy algebrai lejegyz�s�reegyszer� algebrai kifejez�sek sz�m�rt�k�nek kisz�m�t�s�raaz ar�nyoss�gi k�vetkeztet�sekre sz�zal�ksz�m�t�sra�

Amelyik oszt�lyban a tanul�k sz�mfogalma �s sz�mol�si k�pess�ge megb�zhat� fokozatosan megtanthatjuk a zsebsz�mol�g�p haszn�lat�t a racion�lis sz�mk�rben� Asz�mol�g�p haszn�lat�n�l gondolnunk kell a pontos �rt�k �s a k�zel�t �rt�k k�zti k�l�nbs�gre�

A tanul�knak m�r a kor�bbi ismeretekre t�maszkodva tudniuk kell eg�sz �s tizedest�rtalakban adott sz�mokat adott nagys�grendre kerek�teni kerek�tett �rt�kekkel sz�molva�r�sban vagy zsebsz�mol�g�ppel v�gzett m�veletek eredm�ny�t megbecs�lni� Gyakranel fordul hogy a tanul�k a kerek�tett �rt�kkel val� sz�mol�s eredm�ny�nek �sszes

Page 9: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

sz�mjegy�t pontosnak tekintik� A k�zel�t sz�m�t�s szab�lyait nem tan�tjuk de arra�gyelmeztess�k ket hogy az eredm�ny pontoss�ga igazodjon a legkev�sb� pontosadathoz� P�ld�ul ha egy t�glalap oldalai ��� cm �s ��� cm akkor a ter�lete�

T � ��� � ��� cm� � ���� cm�

Azonban az adatok mindegyik�ben k�t �rt�kes jegy van ez�rt az eredm�nyt is k�t�rt�kes jegyre k�v�natos kerek�ten�nk� T � ��� cm�

Az el bbin�l pontosabb megold�st kapunk ha kisz�m�tjuk a lehets�ges maxim�lis hib�t�

A ter�let legal�bb� T � ���! � ���! cm� � ��"���! cm�

legfeljebb� T � ���! � ���! cm� � ������! cm�

A sz�m�t�sok alapj�n� T � ����!� ��� cm�

A hatv�nyokkal norm�lalakkal val� sz�mol�st a tank�nyv l�nyegesen hangs�lyozottabban t�rgyalja mint ahogyan az az alaptanterv alapj�n elv�rhat�� #gy konkr�t p�ld�kon�ha futja az id nkb l �s a tanul� erej�b l� hossz� t�von tudjuk el k�sz�teni a hatv�nyoz�s m�veleti azonoss�gait� A norm�lalakkal sz�mol�s l�nyegesen megk�nny�thetia gyakorlati jelleg� feladatok �m�rt�kegys�g�tv�lt�s k�miai �zikai feladatok� megold�s�t� Tudatoss� tehetj�k a zsebsz�mol�g�pen nagy �vagy kicsi� sz�mokkal v�gzettm�veleteket� Ezzel els sorban a k�z�piskol�ba k�sz�l ket illetve k�z�piskolai tagozaton tanul�kat k�sz�thetj�k f�l a k�s bbi tananyag meg�rt�s�re �s befogad�s�ra�

A reduk�lt program szerint a norm�lalakkal esetleg csak � oszt�lyban foglalkozzunk�

S�lyos hi�nyoss�gokat tapasztalunk a tanul�k besz�dk�szs�ge a matematikai gondolatok elmond�sa �s le�r�sa ter�let�n� Ez�rt min�l t�bb alkalmat biztos�tsunk a tanul�knak asz�beli szerepl�sre �de�n�ci�k �sszef�gg�sek �tletek megold�si tervek bizony�t�sok�n�ll� megfogalmaz�sa lejegyz�se�� A hib�kat k�vetkezetesen jav�ttassuk jav�tsuk�

A nemzetk�zi �s a hazai felm�r�sek egyar�nt azt mutatj�k hogy rendk�v�l gyenge atanul�k sz�veg�rtelmez� k�pess�ge� Ez�rt a sz�veges feladatok megold�sa sor�n �gyelj�nk arra hogy tanul�ink milyen szintre jutottak ezen a t�ren� Tudnake matematikaisz�veget �rtelmezni$ K�peseke a sz�veges feladatokban l�v probl�m�t meg�rteni az adatok k�z�l a sz�ks�geseket �s feleslegeseket megk�l�nb�ztetni az adatokatlejegyezni a k�zt�k l�v kapcsolatot meg�llap�tani ezt a matematika nyelv�n megfogalmazni a megold�st megtervezni az eredm�nyre becsl�st adni azt meghat�rozniellen rizni �s �rtelmezni a sz�veg alapj�n$

Az erre alkalmas feladatok megold�sa sor�n v�rjuk el a tanul�kt�l�

a feladat pontos �rtelmez�s�t az adatok lejegyz�s�t�

az �sszef�gg�sek megfogalmaz�s�t a matematika nyelv�n�

a megold�si terv elk�sz�t�s�t lejegyz�s�t�

az eredm�ny megfelel becsl�s�t�

a feladat megold�s�t a kivitelez�s pontoss�g�t�

az eredm�ny sz�veg alapj�n t�rt�n ellen rz�s�t �rt�kel�s�t�

a diszkusszi�t�

L�nyeg�ben �j anyag az algebrai kifejez�sek t�rgyal�sa b�r a sz�msz�m f�ggv�nyekhozz�rendel�si szab�ly�t kor�bban is kifejez�s seg�ts�g�vel adtuk meg ilyen form�

��

Page 10: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

ban jegyezt�k le a geometriai ��s �zikai� �sszef�gg�seket �s az egyenletek megold�sasor�n is algebrai kifejez�sekkel dolgoztunk� Ebben a t�mak�rben % a tan�r egy�ni �rt�krendj�t a heti �rasz�mot a csoport sz�nvonal�t �s a helyi tantervet �gyelembe v�ve% nagyon elt�r k�vetelm�nyeket fogalmazhatunk meg az egyes oszt�lyok sz�m�ra�

A reduk�lt program minimumszintj�n is el kell �rn�nk hogy a tanul�k k�pesek legyenek�rtelmezni az egyenletekben a line�ris f�ggv�nyekben �s a geometriai �sszef�gg�sekben el fordul� kifejez�seket tudj�k ezeket egyszer�bb alakra hozni �s biztosan kitudj�k sz�molni a helyettes�t�si �rt�k�ket� Ismerj�k az algebrai kifejez�sekkel kapcsolatban az �egy�tthat�� a �v�ltoz�� az �egynem�� a �k�l�nnem�� elnevez�seket ismerj�kfel az egynem� kifejez�seket�

Jobb k�pess�g�� k�z�piskol�ba k�sz�l� tanul�inknak term�szetesen meg kell haladniuk ezt a minim�lis eszk�ztud�st� Tudniuk kell alkalmazni a racion�lis sz�mokra tanultazonoss�gokat egyszer� algebrai kifejez�sek k�r�ben is� A tanult azonoss�gok�

az �sszeg tagjainak �s a szorzat t�nyez inek felcser�lhet s�ge �kommutativit�sa�t�rs�that�s�ga �asszociativit�sa��

�sszeg �s k�l�nbs�g szorz�sa �disztributivit�s� egytag� kifejez�ssel�

�sszeg �s k�l�nbs�g hozz�ad�sa kivon�sa�

A reduk�lt program szerint a szorzatt� alak�t�s nem k�vetelm�ny�

K�vetelm�ny a line�ris egyenletek egyenl tlens�gek megold�sa a m�rlegelv alkalmaz�s�val �n�gy�t l�p�sben is�� �� oszt�lyban egyszer�bb esetekben az egyenletek egyenl tlens�gek megold�s�ban �s a megold�s ellen rz�s�ben elv�rjuk a m�veleti azonoss�gok alkalmaz�s�t p�ld�ul z�r�jelek felbont�s�t t�rtek k�z�s nevez re hoz�s�t�

A reduk�lt program szerint a nehezebben halad� tanul�kkal csak k�th�rom l�p�sbenmegoldhat� egyszer� egyenleteket oldassunk meg�

A k�z�piskol�ba k�sz�l� tanul�k legyenek k�pesek a sz�veges feladatok megold�si terv�t egyenlettel egyenl tlens�ggel is fel�rni az eredm�nyre becsl�st adni a megold�stmegkeresni a sz�vegben megfogalmazott probl�ma t�kr�ben ellen rizni �rtelmezni�

A reduk�lt programban csak a legjobbakt�l v�rhat� el az egyenl tlens�gre vezet egyszer� sz�veges feladatok terv�nek fel�r�sa�

Rel�ci�k� f�ggv�nyek� sorozatok

A f�ggv�nyszeml�let fejleszt�se a kapcsolatok �s a v�ltoz�sok meg�gyel�se szab�lyok megfogalmaz�sa le�r�sa nemcsak ebben a t�mak�rben t�rt�nik hanem beh�l�zzaa t�bbit is� A halmazok logika ismeretrendszerhez hasonl�an �sszesz�vi az egyesmatematikai t�m�kat� Ebb l az is k�vetkezik hogy �� oszt�lyban alapszinten a f�ggv�nyekkel kapcsolatos biztos eszk�ztud�s igen fontos k�vetelm�ny fontosabb mint azegzakt fogalmak kialak�t�sa �s a de�n�ci�k megtan�t�sa�

Ford�tsunk gondot a tapasztalati f�ggv�nyek �br�zol�s�ra �rtelmez�s�re elemz�s�regra�konok t�bl�zatok k�sz�t�s�re olvas�s�ra� Jegyeztess�k le a sz�veggel megadottegyszer� f�ggv�nyeket k�plettel utas�t�ssal gra�kusan is� �Kapcsolat a geometri�val�zik�val k�mi�val�� Az itt szerzett ismereteket nemcsak a mindennapi �letben �s a

��

Page 11: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

t�rstant�rgyak tanul�sa sor�n hasznos�thatja a tanul� �b�r ez �nmag�ban is fontoss�teszi ezt a t�mak�rt� hanem az igen absztrakt fogalmak kialakul�s�hoz is biztos szeml�leti alapot szolg�ltathat� Szeml�letes szinten el k�sz�theti az elemi f�ggv�nyvizsg�lattan�t�s�t�

A tapasztalat alapj�n nagyobb gondot kell ford�tanunk a sz�veggel megadott f�ggv�nyekre az adatok lejegyz�s�re a v�ltoz�k kifejez�s�re ezzel seg�tve a sz�vegesfeladatok egyenlettel t�rt�n megold�s�t is�

Konkr�t p�ld�k elemz�s�vel k�sz�tj�k el a f�ggv�ny fogalm�t� K�plettel utas�t�ssal megadott hozz�rendel�sekhez t�bl�zatot k�sz�tenek a tanul�k fel�rj�k a t�bl�zattalmegadott hozz�rendel�sek szab�ly�t� Megvizsg�lj�k hogy az alaphalmaz elemei k�z�lmelyeknek nem lehet k�pe a hozz�rendel�sben� Megk�l�nb�ztetik az egy�rtelm� �s at�bb�rtelm� hozz�rendel�seket kiv�lasztj�k a f�ggv�nyeket� Azonban a f�ggv�nnyelkapcsolatos fogalomrendszer felm�r�sekor ilyen el k�sz�t�s ut�n sem t�rekedhet�nk ateljess�gre�

A t�mak�r gerince a line�ris f�ggv�ny Az �ltalunk javasolt t�rgyal�sm�d szerint �� oszt�lyban el k�sz�tj�k az egyenes ar�nyoss�g mint f�ggv�ny fogalm�t felismertetj�khogy az egyenes ar�nyoss�g gra�konja az orig�n �tmen egyenes� Szeml�letre t�maszkodva felfedeztetj�k a gra�kon meredeks�ge �s az ar�nyoss�gi t�nyez k�zti kapcsolatot� Ha ez az alapoz�s �id hi�ny miatt� �� oszt�lyban nem t�rt�nt meg akkor mostkell erre sort ker�ten�nk� �� oszt�lyban a tanul�k ismerj�k a line�ris f�ggv�ny fogalm�t�Tudj�k hogy az egyenes ar�nyoss�g �s a konstansf�ggv�ny speci�lis line�ris f�ggv�ny�K�plettel formul�val adott line�ris f�ggv�nyhez tudjanak t�bl�zatot k�sz�teni tudj�k aztgra�kusan �br�zolni �minimumszinten az �sszetartoz� �rt�kp�rok �ltal meghat�rozottpontok seg�ts�g�vel�� �rts�k �konkr�t p�ld�kkal kapcsolatosan� hogy x �� ax & b eset�n az a f�ggv�ny gra�konj�nak meredeks�g�t b az y tengellyel val� metsz�spontj�that�rozza meg� Gra�konnal megadott line�ris f�ggv�ny �sszetartoz� �rt�kp�rjait tudj�kt�bl�zatban fel�rni� Legyenek k�pesek a t�bl�zattal gra�konnal adott line�ris f�ggv�nyhozz�rendel�si szab�ly�t �k�plet�t� fel�rni�

A line�ris egyenletek gra�kus megold�s�t a Kerettanterv el �rja� Ha jut is r� id alap�

szinten csak � oszt�lyban k�vetelj�k meg ezt tanul�inkt�l�

Az alaptanterv szerint n�h�ny �rdekes sorozat megismer�s�vel vizsg�lat�val kell foglalkoznunk� A tanul�k legyenek k�pesek megkezdett sorozatokat folytatni adott illetvefelismert szab�ly szerint� Ismerj�k fel t�bbf�le szab�ly megfogalmaz�s�nak lehet s�g�t� A tanultakat legyenek k�pesek alkot� m�don alkalmazni sz�melm�leti geometriaivizsg�latokban�

A NATban el �rt k�vetelm�nyekhez k�pest a �� oszt�lyos tank�nyv �tfog�bban �s m�lyebben t�rgyalja ezt a t�mak�rt� Ez�rt alapszinten a gra�konnal t�bl�zattal sz�veggeladott f�ggv�nyek �rtelmez�s�t gyakoroltassuk� A fogalmak tudatos�t�s�val elegend �oszt�lyban foglalkoznunk� �A � oszt�lyos tank�nyv ism�t teljes eg�sz�ben �ttekintimajd kieg�sz�ti a f�ggv�nyekkel sorozatokkal kapcsolatos ismeretrendszert��

��

Page 12: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Geometria� m�r�sek

A �� oszt�ly geometria tananyag�ra jellemz hogy nagy r�sz�t az el z �vfolyamokon intenz�ven el�k�sztett�k N�h�ny akkor szerzett ismeretet a gyermek �letkor�nakmegfelel szinten szeml�letre t�maszkodva �igazoltunk� is �p�ld�ul a h�romsz�g bels sz�geinek �sszeg�t parkett�z�ssal�� Az el z �vekben tanultakat �gy gy�jthetj�k�ssze hogy feldolgoztatjuk a bevezet feladatsorokat is� Ezek a tanul�si m�dszerekreis utalnak �s olyan kapaszkod�knak tekinthet k amelyek abban is seg�thetnek hogy ak�l�nb�z tud�s �s szeml�letszint� tanul�kat eljuttassuk legal�bb a tov�bbhalad�shozsz�ks�ges szintre�

A k�vetelm�nyek megfogalmaz�s�ban is utalunk a tananyag �spir�lis� �p�tkez�s�re illetve a �� �s a �� oszt�lyos k�vetelm�nyrendszer k�z�tt megl�v nagy ��tfed�sre��

K�vetelm�ny hogy a tanul�k �rts�k �s helyesen haszn�lj�k az alapvet geometriaifogalmakat begyakorlottan hajts�k v�gre az elemi szerkeszt�seket tudj�k ezeketalkalmazni�

Ismerj�k a vektor szeml�letes fogalm�t tudj�k alkalmazni elmozdul�sok megrajzol�s�ban �s az eltol�s �rtelmez�s�ben�

Legyenek k�pesek egym�ssal p�rhuzamos vektorok �sszeg�nek �s k�l�nbs�g�nekmeghat�roz�s�ra konkr�t gyakorlati jelleg� feladatokban� �A nem p�rhuzamos vektorok �sszeg�nek �s k�l�nbs�g�nek megszerkeszt�s�t csak akkor v�rjuk el ha ahelyi tantervben �zik�b�l ez k�vetelm�ny��

Ismerj�k a soksz�gekkel kapcsolatos fogalomrendszert �s elnevez�seket� Tudj�kkisz�m�tani a soksz�g ker�let�t�

Biztosan tudj�k a sz�gr l sz�gm�r�sr l sz�gfajt�kr�l tanultakat� Tudjanak sz�getm�solni felezni nevezetes sz�geket szerkeszteni�'br�kon alakzatokon ismerj�k f�l a sz�gp�rokat� egy�ll�s� ford�tott �ll�s� sz�gek�speci�lisan cs�cssz�gek� t�rssz�gek �speci�lisan mell�ksz�gek��

Ismerj�k a k�rrel kapcsolatos fogalmakat elnevez�seket� Tudj�k meghat�rozni ak�r ker�let�t�

Ismerj�k a h�romsz�g fogalm�t tulajdons�gait �a h�romsz�gegyenl tlens�g a h�romsz�g bels �s k�ls sz�geinek �sszege kapcsolat a k�ls �s a bels sz�gekk�z�tt kapcsolat az oldalak �s sz�gek k�z�tt� tudj�k ezeket alkalmazni szerkeszt�si sz�m�t�sos �s bizony�t�si feladatokban�

Tudj�k a h�romsz�geket csoportos�tani oldalaik �s sz�geik szerint� Ismerj�k a h�romsz�g magass�g�nak fogalm�t� Ismerj�k a h�romsz�g egybev�g�s�g�nak alapeseteit�Tudjanak h�romsz�get szerkeszteni a tanult egybev�g�s�gi esetek alkalmaz�s�val�

Ismerj�k a n�gysz�g a trap�z a h�rtrap�z a paralelogramma a rombusz at�glalap a n�gyzet fogalm�t tulajdons�gait e fogalmak egym�shoz val� viszony�t� Tudj�k a felsorolt n�gysz�geket megszerkeszteni a h�romsz�gszerkeszt�sr ltanultak alkalmaz�s�val� Az egybev�g�s�gi transzform�ci�kr�l �s a sz�gp�rokr�ltanultakat tudj�k alkot� m�don alkalmazni a speci�lis n�gysz�gek tulajdons�gainakfelismer�s�ben szerkeszt�si sz�m�t�sos �s bizony�t�si feladatok megold�s�ban�

Page 13: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Az �sszetettebb szerkeszt�sek v�grehajt�sa nem v�rhat� el mindenkit l�

A tanul�k t�rszeml�let�nek fejleszt�se �rdek�ben minden �vben foglalkozzunk a t�relemekkel illetve a testekkel� Ennek a t�mak�rnek a feldolgoz�s�ra mindenk�ppen biztos�tsunk elegend id t� A k�vetelm�nyrendszer most is szerves tov�bbfejleszt�se azel z �vek k�vetelm�nyeinek�

A tanul�k ismerj�k fel a soksz�glapokkal hat�rolt testeket tudj�k �rtelmezni az ezzelkapcsolatos alapvet fogalmakat ��l lap cs�cs lap�tl� test�tl�� legyenek k�peseke testek tulajdons�gainak vizsg�lat�ra�

Tudj�k �rtelmezni megrajzolni a soksz�glapokkal hat�rolt testek fel�l el�l �soldaln�zet�t�

Ismerj�k f�l a has�bot illetve az egyenes k�rhengert� Ismerj�k a has�bbal �s ahengerrel kapcsolatos fogalomrendszert elnevez�seket az egyenes has�b �s azegyenes k�rhenger tulajdons�gait a speci�lis has�bokat �t�glatest kocka��

Tudj�k megszerkeszteni az egyenes has�b �s az egyenes k�rhenger h�l�zat�t�

Tov�bbra is fontosak azok a k�vetelm�nyek amelyek szoros kapcsolatban vannak a�mindennapok� geometri�j�val�

A tanul�k ismerj�k a hossz�s�g a t�meg az �rtartalom �s az id m�rt�kegys�geittudj�k a m�rt�kegys�geket �tv�ltani�

Ismerj�k a ter�let fogalm�t m�rt�kegys�geit tudj�k a m�rt�kegys�geket �tv�ltani�tudj�k kisz�m�tani a t�glalap a n�gyzet a deltoid a paralelogramma a h�romsz�ga trap�z �s a k�r ter�let�t� A tanultakat legyenek k�pesek alkalmazni tetsz legesn�gysz�g �tsz�g illetve a szab�lyos soksz�gek ter�let�nek kisz�m�t�s�ban �asz�ks�ges adatok szerkeszt�s�vel megm�r�s�vel��

Tudj�k kisz�m�tani az egyenes has�b �s az egyenes k�rhenger felsz�n�t�

Ismerj�k a t�rfogat fogalm�t m�rt�kegys�geit tudj�k a m�rt�kegys�geket �tv�ltani� Ismerj�k �s tudj�k alkalmazni a t�rfogat �s az �rm�r�s m�rt�kegys�gei k�ztikapcsolatot� Szerezzenek j�rtass�got az egyenes has�b �s az egyenes k�rhengert�rfogat�nak kisz�m�t�s�ban�

Fontos hogy a racion�lis sz�mokr�l a vel�k v�gzett m�veletekr l �s az algebrai kifejez�sekr l tanultakat biztosan alkalmazz�k a tanul�k a geometriai sz�m�t�sokbana ker�let ter�let felsz�n �s t�rfogatk�pletek �rtelmez�s�ben haszn�lat�ban�

A felm�r�sek szerint az elv�rt szint alatt marad a ter�let felsz�n t�rfogatsz�m�t�ssalkapcsolatos ismeretek elsaj�t�t�sa �s a t�rszeml�let fejletts�ge� Ez�rt ��s a gyakorlatialkalmaz�sra nevel�s miatt is� tartjuk fontosnak hogy behat�an a t�bbi geometriait�mak�rh�z kapcsol�dva foglalkozzunk ezekkel az anyagr�szekkel�

A geometriai transzform�ci�k fontos szerepet j�tszanak a szeml�let a k�pi gondolkod�sfejleszt�s�ben�

K�vetelm�nyek�

K�l�nb�z konkr�t geometriai transzform�ci�k k�z�l a tanul�k ismerj�k f�l az egybev�g�s�gi transzform�ci�kat a tengelyes �s a k�z�ppontos t�kr�z�st az eltol�st�s az elforgat�st �parkett�z�s vizsg�latok a der�ksz�g� koordin�tarendszerben��Tudj�k hogy az egybev�g�s�gi transzform�ci� t�vols�g �s sz�gtart��

Page 14: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Ismerj�k a tengelyes t�kr�z�s �s a k�z�ppontos t�kr�z�s fogalm�t �s tulajdons�gait�Tudj�k megszerkeszteni adott s�kidom tengelyes illetve k�z�ppontos t�k�rk�p�t�Ismerj�k a tengelyes szimmetria �s a k�z�ppontos szimmetria fogalm�t tulajdons�gait� Ismerj�k f�l a szimmetrikus alakzatokat�A tanultakat legyenek k�pesek alkalmazni egyszer� szerkeszt�sekben soksz�gektulajdons�gainak vizsg�lat�ban�

A tanul�i seg�dletek feladatanyaga b ven ad lehet s�get arra hogy a geometriai ismereteket a t�bbi t�mak�rrel �sszesz hess�k� A k�vetelm�nyekben ez a koncentr�ci�nem jelenik meg de n�lk�le a megfogalmazott k�vetelm�nyek kev�sb� teljes�thet k�Az �sszesz�v�s lehet s�ge a t�bbi t�mak�rrel k�lcs�n�s� P�ld�ul sokszor alkalmazhatjuk a der�ksz�g� koordin�tarendszert soksz�gek el �ll�t�s�ra vizsg�lat�ra ter�let�kmeghat�roz�s�ra geometriai transzform�ci�k v�grehajt�s�ra� Ugyanakkor ezekkel afeladatokkal el k�sz�thetj�k p�ld�ul a f�ggv�nytranszform�ci� tan�t�s�t�

Val�sz�n�s�g� statisztika

A tank�nyv els fejezet�ben a sz�mtan algebra ismeretek ism�tl�s�hez rendszerez�s�hez kapcsol�dva tal�lhat� k�t alfejezet ebb l a t�mak�rb l� A Matematika �� Gyakorl�

� fejezete �s a Matematika �% � Feladatgy�jtem�ny !��� Mi a val�sz�n�bb$ c�m�alfejezete is ennek a t�mak�rnek a feldolgoz�s�t t�mogatja�

Egyik legfontosabb oktat�sinevel�si feladatunk annak a k�pess�gnek a fejleszt�sehogy a tanul�k a matematika�r�n tanultakat a mindennapi �letben is tudj�k alkalmazni� Ez�rt ebben a t�mak�rben �rj�k el hogy tanul�ink aktu�lis statisztikai adatokattudjanak gy�jteni t�bl�zatba foglalni tudjanak vel�k gra�kont diagramot k�sz�teni� At�bl�zattal gra�konnal adott adatokat tudj�k elemezni �rtelmezni�

A statisztikai vizsg�latok �t�bl�zatok gra�konok diagramok elemz�se k�sz�t�se� af�ggv�nyek t�mak�rh�z is kapcsol�dik� Ez�rt a gra�konok t�rgyal�sa sor�n is t�rj�nkvissza ehhez az anyagr�szhez �s aktu�lis statisztikai adatgy�jt�ssel vizsg�latokkaleg�sz�ts�k ki az ott tal�lhat� feladatokat�

A NAT illetve a Kerettanterv szerint a matematikai szeml�let alak�t�s�nak egyik fontoster�lete a val�sz�n�s�gsz�m�t�s ez�rt ez a t�mak�r a kor�bbiakhoz k�pest nagyobbhangs�lyt kap a tank�nyvben� A t�mak�r feldolgoz�sa sor�n �rj�k el hogy a tanul�ktudjanak egyszer� val�sz�n�s�gi k�s�rleteket v�grehajtani az esem�nyeket lejegyezniazok val�sz�n�s�g�re �a nagy sz�mok t�rv�ny�nek megsejt�s�vel� becsl�st adni� Ismerj�k a relat�v gyakoris�g fogalm�t tudj�k kisz�m�tani a meg�gyelt esem�ny relat�vgyakoris�g�t�

Legyenek k�pesek egyszer� esetekben az esem�ny val�sz�n�s�g�t meghat�rozni azta relat�v gyakoris�ggal �sszehasonl�tani�

��

Page 15: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

�RATERV� TANMENET

�raterv

A matematika heti �rasz�m�t az iskol�k a helyi tanterv�kben r�gz�tik� Az egyestant�rgyakra jut� �rasz�mot az oktat�si t�rv�ny �s a NAT nem �rja el� k�telez� jelleggel�A Kerettanterv minim�lis �rasz�mk�nt heti �vi ��� matematika�r�t �r el�� Ett�l az�rasz�mt�l az iskola helyi tanterve csak �felfel� t�rhet el�

A fentiek alapj�n az iskol�k egy r�sz�ben a �� oszt�lyban heti �vi ��� matematika��ra van� A sz�mukra javasolt �rasz�mokat �az �ratervben �s a tanmenetben is� �reskeretbe �rtuk� P�ld�ul� ������ �ra Megjegyezz�k hogy ha ezekben az iskol�kban akor�bbi �vekben is reduk�lt �rasz�mban tan�tott�k a matematik�t akkor �� oszt�lybanmeg kell el�gedn�nk a reduk�lt tananyagot vagyis a kerettantervi minimumot tartalma�z� alapszint� tank�nyv feldolgoz�s�val� Amennyiben a helyi tanterv�nk nem biztos�tkieg�sz�t� �r�t a matematikaoktat�s sz�m�ra akkor nem tan�thatunk annyit �s olyansz�nvonalon mint azok az iskol�k amelyeknek ��kal magasabb az �rakeret�k minta mi�nk� Csak az lehet a c�lunk hogy a tov�bbl�p�shez n�lk�l�zhetetlen ismereteketm�veleti elj�r�sokat begyakoroltassuk �s az elv�rt alapkszsgeket kialak�tsuk�

Ennek a koroszt�lynak az elm�lt ��� �vben Magyarorsz�gon �s Eur�pa fejlett orsz�gai�ban �ltal�ban heti � esetleg � matematika�r�t biztos�tottak �s biztos�tanak a tantervek�Ez �����ig n�lunk �vi �� illetve ��� matematika�r�t jelentett ami az �tnapos tan�t�sih�t bevezet�se ut�n heti � �vi ��� matematika�r�ra m�dosult�

Matematik�b�l az orsz�gos kompetenciamrsek feladatsorai kiszles�tettk� amatematikatan�t�ssal kapcsolatos k�vetelmnyrendszert� ha tartalmilag nem is b��v�tett�k azt� Rugalmas j�l begyakorolt szokatlan feladathelyzetekben gyakorlatiprobl�m�k megold�s�ra is alkalmazhat� ismereteket �s k�szs�geket v�rnak el a tanu�l�kt�l� Ezeknek a k�vetelm�nyeknek sem tudunk eleget tenni heti h�rom �r�ban� �Akompetenciam�r�sre felk�sz�t� feladatokra a tanmenetben k�l�n felh�vjuk a �gyelmet��

A matematikai alapoz�st ig�nyl� t�rstant�rgyak m�r a fels� tagozaton k�s�bb a k�z�p�iskol�k matematika� �zika� k�miaoktat�sa felt�telezik azt a biztos alapoz�st amelycsak heti � �r�ban val�s�that� meg�

A biztos matematikai ismeretek �s k�pess�gek kulcsfontoss�g� szerepet j�tszanak a ta�nul�k tov�bbi tanulm�nyi sikereiben� Ez�rt a kieg�sz�t� �rakeretb�l legal�bb heti � �ra�j�r a matematikatanul�ssal kapcsolatos speci�lis feladatok megold�s�ra a tehets�g�gondoz�sra a versenyre val� felk�sz�t�sre a felz�rk�ztat�sra a kieg�sz�t� anyagr�szekmegtan�t�s�ra stb�

��

Page 16: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Az iskol�k t�bbs�g�ben �k�l�nb�z� lehet�s�geket kiakn�zva� a minim�lisan el��rt �r�tlegal�bb � �r�val kieg�sz�tik� Ezekben az iskol�kban javasoljuk a tank�nyv b v�tettv�ltozat�nak feldolgoz�s�t� Ugyanis a tank�nyv b�v�tett v�ltozat�nak �ssze�ll�t�sakor��� napos tan�t�si �vet �s �vi ��� matematika�r�t vett�nk �gyelembe� Az ilyen helyi tan�terv alapj�n dolgoz� oszt�lyok sz�m�ra javasolt �rasz�mokat sz�rk�re sz�nezett keretbe�rtuk� ������ �ra

�� Gondolkozz s sz�molj� ������ �ra ������ �ra

A term�szetes sz�mokr�l az eg�sz sz�mokr�l a t�rtekr�l �s a tizedest�rtekr�l tanul�tak ism�tl�se t�j�koz�d�s a sz�megyenesen a racion�lis sz�mok fogalma racion�lissz�mok nagys�g szerinti �sszehasonl�t�sa � Racion�lis sz�mok nemnegat�v eg�sz ki�tev�j� hatv�nyai a hatv�nyoz�s tulajdons�gainak vizsg�lata konkr�t sz�mfeladatokban� Egyn�l nagyobb sz�mok norm�lalakja � Oszt� t�bbsz�r�s oszthat�s�gi szab�lyok t�rzssz�mok �sszetett sz�mok pozit�v eg�sz sz�mok t�rzst�nyez�kre bont�sa legna�gyobb k�z�s oszt� legkisebb k�z�s t�bbsz�r�s

A �t�tel� �s �bizony�t�s� fogalma� A bizony�t�si ig�ny felkelt�se� Az oszthat�s�gi feladatokbanalkalmazzuk a halmazokr�l tanultakat�

M�veletek gyakorl�sa a racion�lis sz�mok halmaz�ban mennyis�gek t�rtr�sze m�veletisorrend z�r�jelek alkalmaz�sa � Ar�ny ar�nyos oszt�s � Sz�zal�ksz�m�t�s kama�tos kamat � Statisztikai sz�m�t�sok gra�konok diagramok �rtelmez�se k�sz�t�se �Val�sz�n�s�gi k�s�rletek �s sz�m�t�sok

Szveges feladatok megold�sa a sz�mokr�l� m�veletekr l� illetve a m�r�sekr l� a ter�let� �sa t�rfogatsz�m�t�sr�l kor�bban tanultak alkalmaz�sa gyakorlati jelleg� feladatokban� Fontosakaz olyan ��j t�pus�� szveges feladatok� amelyek t�bl�zatok� diagramok �rtelmez�s�hez�elemz�s�hez kapcsol�dnak� Ezekkel a �� oszt�lyos orsz�gos kompetenciam�r�sre k�sz�tj�kfel a tanul�kat�

Gyakorl�s � �� dolgozat

�� Hozz�rendels� f�ggvny ����� �ra ������ �ra

A rel�ci� hozz�rendel�s fogalma hozz�rendel�sek tulajdons�gainak vizsg�lata konk�r�t feladatokban � A f�ggv�ny fogalma f�ggv�nyek gra�konja f�ggv�nytulajdons�gokvizsg�lata a f�ggv�ny gra�konj�nak elemz�se alapj�n � Az egyenes ar�nyoss�g mintf�ggv�ny � A line�ris f�ggv�ny �rtelmez�se a line�ris f�ggv�ny gra�konj�nak vizsg��lata a gra�kon �br�zol�sa speci�lis line�ris f�ggv�nyek� az els�fok� f�ggv�ny azegyenes ar�nyoss�g illetve a konstans f�ggv�ny � A sorozat mint f�ggv�ny sorozathozszab�ly keres�se sorozat tetsz�leges tagj�nak kisz�m�t�sa adott szab�ly alapj�n � Aford�tott ar�nyoss�g fogalma gra�konja�

A f�ggv�nyekr l� sorozatokr�l tanultak alkalmaz�sa gyakorlati jelleg�� ��jszer�� feladatokban�A �� oszt�lyos kompetenciam�r�sre k�sz�tj�k fel a tanul�kat� ha az ar�ny� ar�nyos oszt�sfogalm�t t�rk�pek� n�zeti rajzok �rtelmez�s�re� m�szerek adatainak leolvas�s�ra stb� alkal�mazzuk� A mindennapi jelens�gek� trt�n�sek vizsg�lata gra�kon seg�ts�g�vel ugyancsak akompetenciam�r�s szempontj�b�l lehet fontos�

Gyakorl�s � �� dolgozat

��

Page 17: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

�� Egybev�g�s�g ����� �ra ������ �ra

A geometriai transzform�ci� fogalma geometriai transzform�ci�k vizsg�lata a kor�bban�az als� tagozatban is� tanultak feleleven�t�se j�t�kos feladatokban az egybev�g�s�gfogalma a k�l�nb�z� egybev�g�s�gi transzform�ci�k fogalm�nak szeml�leti megalapo�z�sa

A kompetenciam�r�sekben sok olyan feladattal tal�lkozunk� amelyek megold�s�ra �geomet�riai j�t�kokkal� �t�krkkel� pauszpap�rral v�gzett meg�gyel�sekkel� parkett�z�ssal� s�kidomokhajtogat�s�val stb�� k�sz�thetj�k fel a tanul�inkat�

Az elmozdul�s megad�sa ir�ny�tott szakasszal a vektor fogalma p�rhuzamos vektorokered�je

A �zik�ban tanult egyes fogalmak �er � elmozdul�s� sebess�g� �rtelmez�s�hez sz�ks�gesa vektor fogalma� ez�rt fontos� hogy �� oszt�lyban a matematik�ban is �rtelmezz�k ezta fogalmat� A vektor fogalma a matematika�r�n is j�l alkalmazhat� egyes �elmozdul�sokkalkapcsolatos� gyakorlati� illetve a t�rszeml�letet fejleszt probl�m�k megold�s�ban�

Az eltol�s fogalma tulajdons�gai soksz�g eltol�ssal kapott k�p�nek megszerkeszt�se� A tengelyes t�kr�z�s fogalma tulajdons�gai �ism�tl�s� soksz�g tengelyes t�k�rk��p�nek megszerkeszt�se tengelyesen szimmetrikus alakzatok � A k�z�ppontos t�kr�z�sfogalma tulajdons�gai soksz�g k�z�ppontos t�k�rk�p�nek megszerkeszt�se k�z�p�pontosan szimmetrikus alakzatok � Az elforgat�s fogalma tulajdons�gai � Sz�gp�rok

Kieg�sz�t� anyag� Az elfordul�s jellemz�se ir�ny�tott sz�ggel soksz�g elforgat�ssal ka�pott k�p�nek megszerkeszt�se forg�sszimmetrikus alakzatok

Gyakorl�s � �� dolgozat � Az els� f�l�v lez�r�sa

�� Algebra ����� �ra ������ �ra

A m�veleti tulajdons�gokr�l kor�bban tanultak felid�z�se tudatos�t�sa � Az algebraikifejez�s az egy�tthat� a v�ltoz� fogalma � Algebrai kifejez�sek helyettes�t�si �rt�kei�nek meghat�roz�sa � Egynem� �s k�l�nnem� algebrai kifejez�sek � Egynem� algebraikifejez�sek �sszevon�sa � Egytag� kifejez�s szorz�sa oszt�sa egytag� kifejez�ssel �T�bbtag� kifejez�s szorz�sa oszt�sa egytag� kifejez�ssel

Kieg�sz�t� anyag� T�bbtag� kifejez�s szorzatt� alak�t�sa kiemel�sselAz algebrai kifejez�sekr l tanultakat �gy gyakoroltassuk be� hogy az egyenletek� egyenl t�lens�gek �talak�t�sa� a megold�suk ellen rz�se� a szveges feladatban adott sszef�gg�sekmatematikai modellj�nek fel�r�sa� illetve a geometri�ban ��zik�ban� tanult k�pletek alkalma�z�sa ne jelentsen gondot�

Egyenlet egyenl�tlens�g azonoss�g azonos egyenl�tlens�g alaphalmaz megold�s�halmaz stb� fogalma � Az egyenletek megold�sa a k�t oldal egyenl� v�ltoztat�s�val�a m�rlegelv� � Az egyenl�tlens�gek megold�sa a k�t oldal egyenl� v�ltoztat�s�val �Sz�veges feladatok megold�sa egyenlettel egyenl�tlens�ggel

Kieg�sz�t� anyag� T�rtegy�tthat�s egyenletek �s egyenl�tlens�gek megold�sa � Egyen�letek egyenl�tlens�gek gra�kus megold�sa

Gyakorl�s � �� dolgozat

��

Page 18: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

�� S�kidomok� testek ����� �ra ������� �ra

A kor�bban tanult geometriai fogalmak feleleven�t�se � A h�romsz�gekr�l tanultak fele�leven�t�se kieg�sz�t�se rendszerez�se a h�romsz�gek egybev�g�s�g�nak alapeseteih�romsz�gek szerkeszt�se � A n�gysz�gekr�l tanultak kieg�sz�t�se rendszerez�se atrap�z paralelogramma sz�rmaztat�sa tulajdons�gai � A soksz�gek ter�lete a ter�letm�rt�kegys�gei a t�glalap paralelogramma deltoid trap�z h�romsz�g ter�lete

Kieg�sz�t� anyag� Paralelogramm�k szerkeszt�se � Tetsz�leges soksz�g ter�lete � Sza�b�lyos soksz�gek tulajdons�gainak vizsg�lata bels� sz�geik nagys�g�nak meghat�ro�z�sa ter�let�k kisz�m�t�sa

A k�rrel kapcsolatos fogalomrendszer feleleven�t�se rendszerez�se a k�r ker�lete ak�r �k�rgy�r� k�rcikk� ter�lete � Soksz�glapokkal hat�rolt testek � A has�b sz�rmazta�t�sa tulajdons�gai h�l�ja felsz�ne � T�rfogatm�r�s az egyenes has�b t�rfogata � Azegyenes k�rhenger sz�rmaztat�sa tulajdons�gai felsz�ne t�rfogata

Fontos feladat a k�pi gondolkod�s �s a t�rszeml�let fejleszt�se� Ez�rt flt�tlen�l adjuk a ta�nul�k kez�be a t�glatest� kocka �lv�zmodellj�t� k�sz�ts�k el �s vizsg�lj�k k�lnbz has�bokh�l�j�t� Konzervdoboz seg�ts�g�vel szeml�ltess�k a pal�st �kiter�thet s�g�t�� �p�ttess�nkp�ld�ul j�t�kkock�kb�l alakzatokat� rajzoltassuk meg n�zeti k�peiket� Tov�bbi fontos feladata ter�let� �s t�rfogatsz�m�t�sr�l tanultak gyakorlati alkalmaz�sa� Az ilyen jelleg� feladatokkala �� oszt�lyos kompetenciam�r�sre is felk�sz�tj�k a tanul�kat�

Gyakorl�s � �� dolgozat

�� �sszefoglal� �������� �ra �������� �ra

Sz�mok �r�sa olvas�sa norm�lalak � Oszt� t�bbsz�r�s oszthat�s�g � M�veletek aracion�lis sz�mk�rben � Gra�konok � Ar�ny ar�nyoss�gok sz�zal�ksz�m�t�s � Line��ris f�ggv�ny � Egyenletek egyenl�tlens�gek � M�r�sek m�rt�kegys�gek � Geometriaisz�m�t�sok � Egybev�g�s�g

Az �v v�gi �sszefoglal�skor gyakoroltassuk a Kislexikon t�rgymutat� illetve a tank�nyv�� �s �� oldal�n tal�lhat� t�bl�zatok haszn�lat�t�

�� dolgozat �sszegz� tan�vz�r� �rt�kel�s

A k�vetkez� oldalt�l tal�lhat� tanmenetjavaslatban csak �ttekint�st ny�jtunk a felhasz�n�lhat� feladatokr�l� Javasoljuk a konkr�t oszt�ly szintj�nek saj�t koncepci�nknak �sa helyi tanterv aj�nl�sainak megfelel� feladatok sorsz�m�nak be�r�s�t a tanmenetbe�C�lszer� k�l�n�k�l�n sz�mon tartani azokat a feladatokat amelyek

a minimumkvetelm�nyekhez kapcsol�dnaka tehets�ges tanul�ink fejleszt�s�t szolg�lhatj�kaz elk�pzel�seinknek megfelel koncentr�ci�t val�s�tj�k megm�s fejezet tananyag�hoz tartoznak� de a folyamatos ism�tl�s keret�ben itt foglalkozunkvel�k�

A tanmenetjavaslatban a feladatok sorsz�ma el�tt felt�ntetj�k a fejezet sorsz�m�t is�P�ld�ul az els� fejezet �� feladat�t ����� a b�v�tett r�sz �� feladat�t B����� jel�li�

��

Page 19: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Tanmenet

�� Gondolkozz �s sz�molj�

���� �ra ���� �ra Mit tanultunk a sz�mokr�l�

Racion�lis sz�mok� A racion�lis sz�mokkal kapcsolatos fogalomrendszer �ttekint�se azoszt�ly tud�sszintj�hez igazodva� A racion�lis sz�mok �r�sa olvas�sa nagys�g szerinti�sszehasonl�t�suk �br�zol�suk sz�megyenesen� Kerek�t�s pontoss�g�

Helyi�rt�kek rendszere a t�zes sz�mrendszerben� alaki�rt�k t�nyleges �rt�k� Term�sze�tes sz�mok �s tizedest�rt alakban adott sz�mok �br�zol�sa sz�megyenesen nagys�gszerinti �sszehasonl�t�suk� T�rtek tizedest�rt alakja�

Az el z �vfolyamokon tanultak ism�tl�se �s kiterjeszt�se nagyobb helyi�rt�kekre�Kijelent�sek logikai �rt�ke� Halmazm�veletek�M�rt�kegys�gek �tv�lt�sa�A hi�nyoss�gok p�tl�s�ra szervezz�nk korrepet�l�st�

Tk� ���������� Mgy� ���������� Fgy� �������������

��� �ra ���� �ra Hatv�nyoz�s

Hatv�ny hatv�nyok szorzatalakja szorzatok hatv�nyalakja�

Sz�mol�s �� �esetleg ��� hatv�nyaival�

Jobb k�pess�g csoportban� Azonos alap� hatv�nyok szorz�sa oszt�sa szorzat h��nyados hatv�nyoz�sa konkr�t sz�mfeladatokban�

Az SI�m�rt�kegys�gek el tagjainak rendszere �Tk� �� oldal� M�rt�kegys�gek �tv�lt�sa� T�r�fogatsz�m�t�s� Kombinatorika�

Tk� ���������� Mgy� ���������� ���������� Fgy� ��������� ������

�� �ra ���� �ra ��nl nagyobb sz�mok norm�lalakja

A helyi�rt�kek fel�r�sa �� hatv�nyainak seg�ts�g�vel� A norm�lalak �rtelmez�se�

Reduk�lt v�ltozatban csak ismerked�s szintj�n dolgozzuk fel ezt az anyagr�szt�Sz�mol�s �� hatv�nyaival� M�rt�kv�lt�s� Fizikai mennyis�gek�

Tk� ��������� Mgy� ��������� ���������� Fgy� ���������

���� �ra ����� �ra Oszt�� t�bbsz�r�s� oszthat�s�gi szab�lyok

A �� oszt�lyban tanult oszthat�s�gi szab�lyok feleleven�t�se �j oszthat�s�gi szab�lyok�a ��cal ����tel �mal �s ��cel val� oszthat�s�g� megismer�se�

Halmazok metszete� uni�ja� T�tel� bizony�t�s�

Tk� ��������� Mgy� ������������ ������������ Fgy� ���������� ����������

��

Page 20: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

����� �ra ������ �ra T�rzssz�mok� �sszetett sz�mok�Legnagyobb k�z�s oszt�� legkisebb k�z�st�bbsz�r�s

A t�rzssz�m �pr�msz�m� �sszetett sz�m fogalma� Sz�mok pr�mt�nyez�kre bont�sa�Eratoszthen�sz szit�ja� Halmazok metszete� uni�ja� T�tel� bizony�t�s�

Tk� ���������� Mgy� ������������ ����������� Fgy� ������� ���������� ���������

������ �ra ������ �ra Racion�lis sz�mok �sszevon�sa

Az �sszevon�s gyakorl�sa a negat�v t�rtek �s tizedest�rtek k�r�ben is� Sz�veges fela�datok�

Emelt szinten� A sz�melm�letben tanultak alkalmaz�sa t�rtek egyszer�s�t�s�ben �ssze�von�s�ban�

Sz�mok kerek�t�se� becsl�s� M�rt�kegys�gek �tv�lt�sa�Legnagyobb kzs oszt�� legkisebb kzs tbbszrs�

Tk� ���������� B�����B����� Mgy� ���������� Fgy� ������� ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����������

����� �ra ������ �ra Racion�lis sz�mok szorz�sa� oszt�sa

A szorz�s oszt�s gyakorl�sa a negat�v t�rtek �s tizedest�rtek k�r�ben is� Sz�vegesfeladatok� M�veleti tulajdons�gok� Mennyis�gek t�rtr�sze� t�rtr�szb�l eg�szr�sz kisz��m�t�sa� Mveletek sorrendje� z�r�jelek alkalmaz�sa�

M�rt�kv�lt�s� geometriai sz�m�t�sok �ter�let�� felsz�n� �s t�rfogatsz�m�t�s�� Szgm�r�s�Egyenes �s ford�tott ar�nyoss�g� Krdiagram� Hatv�nyoz�s�

Tk� ���������� Mgy� ������������ ���������� Fgy� ��������� ��������

Kompetenciam�r�s� Tk� ���������� ����� ���������

��� �ra ��� �ra Ar�ny� ar�nyos oszt�s

T�rt h�nyados ar�ny t�rtr�sz kapcsolata�Szveges feladatok�

Tk� ���������� Mgy� ������������ Fgy� ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����������

������ �ra ������ �ra Sz�zalksz�m�t�s

A �� oszt�lyban tanultak feleleven�t�se gyakorl�sa� Kamatos kamat�

M�veletek a racion�lis sz�mok kr�ben� Trtr�sz� Egyenes ar�nyoss�g�

Tk� ������������ Mgy� ������������ ������� Fgy� ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� ������������

��

Page 21: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

������ �ra ������ �ra Statisztikai sz�m�t�sok

Eloszl�sok sz�mtani �tlag a sz�r�d�s terjedelme t�bl�zatok diagramok gra�konokk�sz�t�se elemz�se�

M�veletek a racion�lis sz�mok kr�ben� Trtr�sz� Egyenes ar�nyoss�g� A sz�zal�ksz�m�t�sgyakorlati alkalmaz�sa�

Tk� ������������ Mgy� ���������� ����������

Mindegyik feladat megold�sa fontos a kompetenciam�r�s szempontj�b�l�

��� �ra ������ �ra Val�sz�n�sgi k�srletek

Gyakoris�g relat�v gyakoris�g� A nagy sz�mok t�rv�ny�nek �s a val�sz�n�s�g fogal�m�nak megsejt�se�

Trtr�sz� Kombinatorika� A sz�zal�ksz�m�t�s gyakorlati alkalmaz�sa�A val�sz�n�s�g�sz�m�t�ssal kapcsolatos fogalmak �esem�ny� konkr�t kimenetel� biztos ese�m�ny� lehetetlen esem�ny� lehets�ges� de nem biztos esem�ny� relat�v gyakoris�g� val��sz�n�s�g� kialak�t�s�hoz elengedhetetlen� hogy t�nylegesen v�geztess�nk el val�sz�n�s�gik�s�rleteket� j�t�kokat�

Tk� ������������ Mgy� ���������

Kompetenciam�r�s� Tk� ������ ������

������ �ra ������ �ra Gyakorl�s� az �� felmrs meg�rat�sa

Gyakorl�s rendszerez�s ism�tl�s a hi�nyok p�tl�s�nak megszervez�se�

Tk� B����B���� �����

Kompetenciam�r�s� Tk� B�����B����� B���� �����

�� Hozz�rendel�s� f�ggv�ny

������ �ra ������ �ra Hozz�rendelsek vizsg�lata�F�ggvnyek rtelmezse� vizsg�lata

Halmaz elem eleme rendezett elemp�rok rel�ci� alaphalmaz k�phalmaz� Amegfeleltet�sek megjelen�t�se ny�ldiagrammal t�bl�zattal gra konnal� A f�ggv�ny fo�galma� Sz�m�sz�m f�ggv�ny� !rtelmez�si tartom�ny f�ggetlen v�ltoz� f�ggv�ny�rt�k�rt�kk�szlet� F�ggv�nyek jel�l�si m�dja�

A fogalmak elm�ly�t�se �� oszt�lyban val�sulhat meg most fontos a jelens�gek folya�matok �rtelmez�se gra�konok seg�ts�g�vel�

Halmazok� logika� Kombinatorika� M�veletek racion�lis sz�mokkal� Sz�melm�leti fogalmakoszt�k sz�ma� Aktu�lis kiadv�nyokban szerepl gra�konok �rtelmez�se� elemz�se� Kapcsolata �zik�ban tanultakkal ��t� id � sebess�g kzti sszef�gg�s� halmaz�llapot�v�ltoz�sok��

Tk� ���������� Mgy� ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� �����

��

Page 22: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

������ �ra ������ �ra Egyenes ar�nyoss�g

Az egyenes ar�nyoss�g mint f�ggv�ny� Ar�ny ar�nyoss�g ar�nyos oszt�s� Az egyenesar�nyoss�g gra�konja�

�sszef�gg�sek �zikai mennyis�gek kztt� Sz�zal�ksz�m�t�ssal� oldatok kever�s�vel� moz�g�ssal kapcsolatos szveges feladatok� T�bl�zatok k�sz�t�se� elemz�se�

Tk� ��������� Mgy� ��������� ���������� Fgy� ��������� ���������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����� ����

����� �ra ������ �ra Line�ris f�ggvny

A line�ris f�ggv�ny �rtelmez�se konkr�t feladatokkal� Az egyenes ar�nyoss�g az els��fok� �s nulladfok� f�ggv�ny mint speci�lis line�ris f�ggv�nyek� Az y " ax # b k�pletteladott f�ggv�ny param�tereinek jelent�se� Line�ris f�ggv�ny gra�konj�nak megrajzol�sa�Pontok koordin�t�inak meghat�roz�sa a f�ggv�ny gra�konj�r�l�

M�veletek� m�veleti tulajdons�gok� H m�rs�klet�v�ltoz�sok� id ��t gra�konok�

Tk� ���������� Mgy� �������� Fgy� ���������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����� ����� �����

�� �ra ��� �ra A sorozat mint f�ggvny

A sorozat mint a pozit�v term�szetes sz�mok halmaz�n �rtelmezett f�ggv�ny� Soro�zat elemeinek megad�sa szab�ly alapj�n n�h�ny elem�vel adott sorozathoz szab�lyfel�r�sa� N�vekv� illetve cs�kken� sorozatok�

Sz�mol�s trtalakban� illetve tizedestrt alakban adott racion�lis sz�mokkal� Az algebraikifejez�sekr l tanultak el k�sz�t�se�

Tk� ��������� Mgy� ��������

��� �ra ������ �ra Ford�tott ar�nyoss�g

A ford�tott ar�nyoss�g mint f�ggv�ny� Ar�ny ar�nyoss�gi k�vetkeztet�sek� A ford�tottar�nyoss�g gra�konja� Az egyenes ar�nyoss�g a line�ris f�ggv�nykapcsolat illetve aford�tott ar�nyoss�g felismer�se megk�l�nb�ztet�se konkr�t feladatokban�

�sszef�gg�sek �zikai mennyis�gek kztt� mozg�ssal kapcsolatos szveges feladatok� Te�r�letsz�m�t�s�

Tk� ���������� Mgy� ����� Fgy� ����������

A kompetenciam�r�sre felk�sz�t�s szempontj�b�l mindegyik feladat feldolgoz�s�t java�soljuk�

���� �ra ������ �ra Gyakorl�s� a �� felmrs meg�rat�sa

Gyakorl�s rendszerez�s ism�tl�s a hi�nyok p�tl�s�nak megszervez�se�

Tk� B�����B����� ����

Kompetenciam�r�s� Tk� B����� B�����B����� ����

��

Page 23: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

� Egybev�gs�g

���� �ra ������ �ra Ismerkeds a pont�pont f�ggvnyekkel

A geometriai transzform�ci� mint f�ggv�ny� Pont hozz�rendel�se ponthoz adott szab�lyalapj�n� Az egybev�g�s�gi transzform�ci� fogalma� A k�l�nb�z� egybev�g�s�gi transz�form�ci�k� tengelyes t�kr�z�s� eltol�s� k�z�ppontos t�kr�z�s� elforgat�s felismer�se�

Vizsg�latok t�k�rrel pauszpap�rral parkett�z�sok� A mozg�ssal v�grehajthat� transz�form�ci�k kiv�laszt�sa�

Der�kszg� koordin�ta�rendszer� M�veletek eg�sz sz�mokkal�Alapvet geometriai fogalmak feleleven�t�se�A nagy�t�s�ny�jt�s �s a kicsiny�t�s�zsugor�t�s megk�lnbztet�se�

Tk� �������� Mgy� ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� ���������

������ �ra ������ �ra Az elmozdul�s megad�sa ir�ny�tott szakasszal�Eltol�s

A vektor fogalma jel�l�sei� Nullvektor�

Emelt szinten� K�t vektor �sszege �konkr�t szeml�letes feladatokhoz kapcsol�d�an��

Az eltol�s tulajdons�gai� Az eltol�s modellez�se �p�ld�ul �ttetsz� pap�r seg�ts�g�vel�v�grehajt�sa p�rhuzamos egyenesek szerkeszt�s�vel�

Mer leges� p�rhuzamos egyenesek el �ll�t�sa�

Tk� �������� B����B��� �������� Mgy� ���������� ��������� Fgy� ��������� �������

Kompetenciam�r�s� Tk� B���

����� �ra ������ �ra Tengelyes t�kr�zs� tengelyesen szimmetri�kus s�kidomok

�� oszt�lyos tananyag ism�tl�se rendszerez�se tudatosabb szintre emel�se�

A tengelyes t�kr�z�s mint a s�k t tengely k�r�li �����os elforgat�sa a tengelyes t�kr�z�sv�grehajt�sa tulajdons�gai� A k�r�lj�r�si ir�ny fogalma a k�r�lj�r�si ir�ny megfordul��s�nak meg�gyel�se �p�ld�ul az �ra j�r�s�nak meg�gyel�se t�k�rben��

A tengelyes szimmetria fogalma tengelyesen t�kr�s alakzatok el��ll�t�sa vizsg�lata�pap�rhajtogat�ssal alakzatok kiv�g�s�val t�k�rrel stb���

H�romszgekr l� n�gyszgekr l tanultak ism�tl�se� h�romszgek� n�gyszgek szerkeszt�se�ter�lete�

Tk� ������� Mgy� ���������� Fgy� ������ ������ ������� ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����

A kompetenciam�r�seken sok olyan feladat szerepel amelyek felt�telezik hogy a tanu�l�k t�nylegesen vizsg�l�dtak a fent eml�tett eszk�z�kkel�

Page 24: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

������ �ra ������ �ra K�zppontos t�kr�zs� k�zppontosan szim�metrikus s�kidomok

A k�z�ppontos t�kr�z�s fogalma tulajdons�gai� A s�k pont k�r�li elforgat�sa �����kal�k�s�rletek meg�gyel�sek pauszpap�rral�� A szerkeszt�s v�grehajt�sa� A tengelyest�kr�z�s �s a k�z�ppontos t�kr�z�s �sszehasonl�t�sa�

K�z�ppontosan szimmetrikus alakzatok�Der�kszg� koordin�ta�rendszer� Szerkeszt�sek� H�romszg szgsszege� Paralelogramma�t�glalap� n�gyzet� rombusz� szab�lyos sokszg tulajdons�gainak meg�gyel�se�Tengelyes t�krz�s� tengelyes szimmetria�Testek t�krz�se s�kra� tengelyre� pontra�

Tk� �������� Mgy� ��������� ���������� ���� Fgy� ������� ������� �������

Kompetenciam�r�s� Tk� ���� ����

��� �ra ��� �ra Sz�gp�rok

Az egy�ll�s� sz�gek� a cs�cssz�gek� a v�lt�sz�gek� a mell�ksz�gek� a t�rssz�gekfogalma felismer�se�

Eltol�s� kz�ppontos t�krz�s szgm�r�s� A paralelogramma� illetve a trap�z bels szgeikzti kapcsolat�

Tk� ������� Mgy� ���������� ����

��� �ra ������ �ra Az elfordul�s mrse�Forgat�s� forg�sszimmetrikus alakzatok

Alapszinten� Forgat�s v�grehajt�sa meg�gyel�s p�ld�ul pauszpap�rral�

Emelt szinten� Az elfordul�s jellemz�se ir�ny�tott sz�ggel� Forg�ssz�gek�

A s�k pont k�r�li elforgat�sa tetsz�leges ir�ny�tott sz�ggel �k�s�rletek meg�gyel�sekpauszpap�rral�� Az elforgat�s tulajdons�gai� A szerkeszt�s v�grehajt�sa� A k�z�ppontost�kr�z�s mint speci�lis elforgat�s� Forg�sszimmetrikus alakzatok�

Szgm�r�s� Szerkeszt�sek� Kz�ppontos t�krz�s� Paralelogramma� szab�lyos sokszgektulajdons�gainak meg�gyel�se�

Tk� B����B���� ��� B����B���� Mgy� ���������� ���������� Fgy� ���������

Kompetenciam�r�s� Tk� B���� ��� B����B����

������ �ra ������ �ra �sszefoglal�s� gyakorl�s

A � dolgozat el�k�sz�t�se� M�rt�kegys�gek geometriai transzform�ci�k�A racion�lis sz�mokr�l �s a f�ggv�nyekr l tanultak ism�tl�se� a hi�nyoss�gok p�tl�sa�

Tk� ��� B����B����

Kompetenciam�r�s� Tk� ��� B���� B����B����

Page 25: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

������ �ra ������ �ra �� dolgozat

Az els� f�l�vet z�r� dolgozat meg�rat�sa jav�t�sa� A t�pushib�k megbesz�l�se� Ahi�nyoss�gok p�tl�s�nak megszervez�se�

�� Algebra

�� �ra ��� �ra M�veleti tulajdons�gok

Mveleti tulajdons�gok� kommutativit�s asszociativit�s disztributivit�s�

Ism�tl�s� Hatv�nyok� Alap kitev�� Szorzat hatv�nyalakja hatv�ny szorzatalakja� Azonosalap� hatv�nyok szorz�sa oszt�sa hatv�ny hatv�nyoz�sa konkr�t feladatokban�

M�veletek a racion�lis sz�mkrben� M�veletek sorrendj�nek �sszer� megv�laszt�sa�

Tk� ��������� Mgy� ���������� Fgy� ���������� ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����

��� �ra ������ �ra Ismerkeds az algebrai kifejezsekkel

Algebrai eg�sz kifejez�sek v�ltoz� egy�tthat� hatv�ny alap kitev� el�jel m�veletijel �sszeg szorzat�

Fizikai� k�miai� geometriai k�pletek �rtelmez�se� Sz�m�sz�m f�ggv�nyek�

Tk� ����� Mgy� �������� Fgy� ������� ���������� ������� ������

������ �ra ������ �ra Algebrai kifejezsek helyettes�tsi rtknekmeghat�roz�sa

A helyettes�t�si �rt�k fogalma kisz�m�t�sa�M�veletek racion�lis sz�mokkal� Hatv�nyoz�s� M�veleti sorrend� Ter�let� ker�let� felsz�n�t�rfogat meghat�roz�sa ismert adatok helyettes�t�s�vel�Keressenek a tanul�k �zik�ban� k�mi�ban� geometri�ban tanult k�pleteket� �rtelmezz�kazokat� Adottt �rt�kekkel sz�m�ts�k ki a helyettes�t�si �rt�k�ket�Sz�m�sz�m f�ggv�nyek t�bl�zat�nak kitlt�se adott szab�ly alapj�n�

Tk� ���������� Mgy� ������� �������� Fgy� ���������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����������

��� �ra ��� �ra Egynem�� k�l�nnem� algebrai kifejezsek

Egynem� k�l�nnem algebrai kifejez�sek fogalma�Az algebrai eg�sz kifejez�sekkel kapcsolatos ismeretrendszer alkalmaz�sa�

Tk� ���������� Mgy� ��������

��

Page 26: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

������ �ra ������ �ra Egynem� algebrai kifejezsek �sszevon�sa

Algebrai eg�sz kifejez�sek �sszevon�s�nak �rtelmez�se gyakorl�sa� Sz�veges felada�tok adatai k�zti kapcsolatok fel�r�sa algebrai kifejez�ssel�

M�veletek a racion�lis sz�mok halmaz�n� Fizikai� k�miai� geometriai k�pletek �rtelmez�se�alkalmaz�sa� Sz�m�sz�m f�ggv�nyek�

Tk� ���������� Mgy� �������� Fgy� ���������

Kompetenciam�r�s� Tk� �����

��� �ra ��� �ra Egytag� kifejezs szorz�sa� oszt�sa egytag�kifejezssel

Szorzat szorz�sa� szorzat oszt�sa az egy�tthat�k szorz�sakor oszt�sakor a negat�vsz�mokra t�rtekre tanult szab�lyok alkalmaz�sa� Azonos alap� hatv�nyok szorzatah�nyadosa� Szorzat h�nyados hatv�nyoz�sa�

M�veletek a racion�lis sz�mok halmaz�n� M�veleti tulajdons�gok� Helyettes�t�si �rt�kekmeghat�roz�sa� K�lnbz alap�� azonos kitev j� hatv�nyok szorzata� h�nyadosa� Ter�let��felsz�n�� t�rfogatsz�m�t�s�

Tk� ���������� Mgy� ������� Fgy� �������� �������

Kompetenciam�r�s� Tk� �����

������ �ra ������ �ra T�bbtag� kifejezs szorz�sa egytag� kifeje�zssel

�sszeg� k�l�nbs�g szorz�sa� oszt�sa� Z�r�jel haszn�lata�Szorz�s� oszt�s a racion�lis sz�mkrben� M�veleti sorrend� Ter�let� felsz�n� t�rfogat�Szveges feladatok adatai� param�terei kzti sszef�gg�sek fel�r�sa tbbf�lek�ppen�

Tk� ���������� Mgy� ������� Fgy� �������� �������

Kompetenciam�r�s� Tk� ���������

������ �ra T�bbtag� kifejezsek szorzatt� alak�t�sa kie�melssel�Algebrai egszekkel vgzett m�veletek gya�korl�sa

A reduk�lt programban nem tananyag� Erre az anyagr�szre �� oszt�lyban visszat�r�nkez�rt id�hi�ny miatt alapszinten is elhagyhat��

Minimumszinten csup�n azt k�vetelj�k meg hogy a tanul� k�pes legyen egyszer�egyenletek mindk�t oldal�nak �talak�t�s�ra a megold�s ellen�rz�s�re illetve a geo�metriai ��zikai� �sszef�gg�sek �rtelmez�s�re alkalmaz�s�ra�

Egy�tthat�� v�ltoz�� hatv�ny� alap� kitev � hatv�nyok fel�r�sa szorzatalakban� m�vele�tek hatv�nyokkal� Egynem�� k�lnnem� kifejez�sek� �sszeg� szorzat szorz�sa tbbtag�kifejez�sek szorz�sa egy taggal� Ter�letsz�m�t�s�

Tk� B�����B����� B�����B����� Mgy� �������� Fgy� ���������

��

Page 27: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

�� �ra ��� �ra Egyenlet� egyenl tlensg� azonoss�g� azonosegyenl tlensg

Ism�tl�s� A �� oszt�lyban tanultak felid�z�se� Alaphalmaz igazs�ghalmaz�Szorz�s� oszt�s a racion�lis sz�mkrben� M�veleti sorrend� Halmaz� r�szhalmaz�

Tk� ���������� Mgy� ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����������

������ �ra ������ �ra Egyenletek megold�sa a mrlegelv alkalmaz��s�val

Ism�tl�s� Egyenletek megold�sa a k�t oldal egyenl� v�ltoztat�s�val� Az algebrai kifeje�z�sekkel v�gzett m�veletekr�l tanultak alkalmaz�sa egyenletek megold�s�ban�

M�veletek a racion�lis sz�mok halmaz�n� M�veleti sorrend� Egynem� kifejez�sek sszevo�n�sa� sszeg szorz�sa sz�mmal�

Tk� �������� Mgy� ���������� Fgy� ������� ������� ������� ������� ������

������ �ra ������ �ra Egyenl tlensgek megold�sa a kt oldal egyen�l v�ltoztat�s�val

A m�rlegelv alkalmaz�sa egyenl�tlens�gek megold�s�ban� A megold�shalmaz �br�zo�l�sa sz�megyenesen�

M�veletek a racion�lis sz�mok halmaz�n� M�veleti sorrend� Ellentett� negat�v sz�mok szor�z�sa� oszt�sa�

Tk� �������� Mgy� ���������� Fgy� ������� ������ ������� �������

������ �ra T�rtegy�tthat�s egyenletek s egyenl tlens�gek megold�sa

A m�rlegelv alkalmaz�sa t�rtegy�tthat�s egyenletek egyenl�tlens�gek megold�s�ban�M�veletek a racion�lis sz�mok halmaz�n� M�veleti sorrend� A trtek egyszer�s�t�s�r l� b �v�t�s�r l� kzs nevez re hoz�s�r�l� sszevon�s�r�l� szorz�s�r�l �s oszt�s�r�l tanultakalkalmaz�sa az egyenlet� egyenl tlens�g k�t oldal�nak �talak�t�s�ban�

Tk� B����B����� Mgy� ���������� Fgy� ��������� ����������

������ �ra ������ �ra Sz�veges feladatok megold�sa egyenlettel�egyenl tlensggel

Egyszer majd �sszetett sz�veges feladatok megold�sa egyenlettel egyenl�tlens�ggelilletve egyenlet n�lk�l � k�vetkeztet�ssel �okoskod�ssal �

M�veletek a racion�lis sz�mok halmaz�n� M�veleti sorrend� Geometriai� �zikai� k�miaisz�m�t�sok� Ar�nyoss�g� ar�ny� Sz�zal�ksz�m�t�s�

Tk� ��������� B����� Mgy� ��������� Fgy� ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� ���� a� d� e� ����� a� c�

��

Page 28: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

������ �ra Egyenletek� egyenl tlensgek gra�kus megol�d�sa

Line�ris egyenlettel egyenl�tlens�ggel megoldhat� sz�veges feladatok gra�kus megol�d�sa� Line�ris egyenletek megoldhat�s�g�nak vizsg�lata�

Line�ris f�ggv�ny gra�konja� Szveges feladatok a �zika� a k�mia t�rgyakb�l� valamint agyakorlati �letb l� Ker�let� ter�let�

Tk� B�����B���� Mgy� ������� Fgy� ������� ���������� �������

Kompetenciam�r�s� Tk� B���� B���� B���� b� d� g� B����

������ �ra ������ �ra Gyakorl�s� �� felmrs

A m�rlegelv alkalmaz�sa egyenletek egyenl�tlens�gek megold�s�ban� Sz�veges fela�datok megold�sa� A hi�nyoss�gok p�tl�sa�

Tk� B���B���� ���� Fgy� ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� B����� d� e� B��� b� ����

�� S kidomok� testek

����� �ra ������� �ra Alapfogalmak� alapttelek �olvasm�ny�S�kidomok� soksz�gek

S�kidomok soksz�gek konvex �s konk�v s�kidomok soksz�gek a soksz�gek �tl�inaksz�ma a soksz�gek ker�lete�

Kombinatorika� Der�kszg� koordin�ta�rendszer� Hossz�s�gm�r�s� T�rgeometriai vizsg�la�tok�

Tk� ���������� Mgy� ������� Fgy� ������� ������

Kompetenciam�r�s� Tk� �����

������ �ra �������� �ra H�romsz�gek

H�romsz�gek� Elnevez�sek jel�l�sek a h�romsz�g magass�ga� H�romsz�gek cso�portos�t�sa oldalai �s sz�gei szerint� H�romsz�g�egyenl�tlens�g� A bels� �s a k�ls�sz�gek k�zti kapcsolat� A bels� sz�gek �sszege�

Emelt szinten� A k�ls� sz�gek �sszege� Az oldalak �s a sz�gek k�zti kapcsolat�Egybev�g�s�gi transzform�ci�k� Szg� szgm�r�s� szgp�rok�Egyenlet� egyenl tlens�g� Ar�ny� ar�nyos oszt�s�Halmaz� r�szhalmaz� Oszt�lyoz�s� Kombinatorika�

Tk� ���������� B�����B����� Mgy� ������� Fgy� ������ ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����� ���������

��

Page 29: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

������ �ra �������� �ra A h�romsz�g szerkesztse

H�romsz�gek szerkeszt�se� Az egy�rtelm� szerkeszthet�s�g felt�telei� Speci�lis h��romsz�gek egy�rtelm� szerkeszthet�s�g�nek felt�telei� A h�romsz�gek egybev�g�s��g�nak alapesetei� A h�romsz�g magass�gvonalai�

Jobb csoportnak� Az alapeseteken t�lmen� szerkeszt�sek �s bizony�t�sok�Speci�lis szgek szerkeszt�se�

Tk� ���������� B�����B����� Mgy� ���������� Fgy� ���������

��� �ra ���� �ra Ngysz�gek

A n�gysz�gekr�l tanultak rendszerez�se� Oszt�lyoz�suk k�l�nb�z� szempontok szerint�tengelyesen szimmetrikus k�z�ppontosan szimmetrikus n�gysz�gek�� A n�gysz�gekbels� sz�geinek �sszege�

Tk� ��������� Mgy� ��������� Fgy� ��������� �������

��� �ra �������� �ra Trapz

Trap�z� A trap�z meghat�roz�sa elnevez�sek� Speci�lis trap�zok� h�rtrap�z paralelo�gramma der�ksz�g� trap�z�

Jobb csoportban� A trap�z szerkeszt�se�Halmaz� r�szhalmaz� Logika�Tengelyes �s kz�ppontos t�krz�s szimmetria�Szg� szgm�r�s� szgek szerkeszt�se� szgp�rok�H�romszgek szerkeszt�se�

Tk� �������� B����B���� Fgy� ������ �������

Kompetenciam�r�s� Tk� B����B�����

������ �ra �������� �ra Paralelogramma

A paralelogramma sz�rmaztat�sa meghat�roz�sa �t�bbf�lek�ppen� tulajdons�gai�Csoportos�t�suk k�l�nb�z� szempontok szerint� Speci�lis paralelogramm�k tulajdon�s�gainak vizsg�lata� A paralelogramm�k speci�lis paralelogramm�k �t�glalap n�gyzetrombusz� szerkeszt�se� Jobb csoportban� $sszetettebb szerkeszt�sek �s bizony�t�sok�

Mit �rt�nk de�n�ci�n� Halmaz� r�szhalmaz� Logika�Der�kszg� koordin�ta�rendszer�Tengelyes �s kz�ppontos t�krz�s�A h�romszgszerkeszt�s alapesetei�Szg� szgm�r�s� szgek szerkeszt�se� szgp�rok� A n�gyszg szgeinek sszege

Tk� ��������� B����B����� Mgy� ����� Fgy� ������� ����������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����������

��

Page 30: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

����� �ra �������� �ra A soksz�g ter�lete

A ter�letsz�m�t�sr�l tanultak ism�tl�se� A ter�let fogalma m�rt�kegys�gei a t�glalap�s a n�gyzet ter�lete�

A paralelogramma� deltoid �s a trap�z ter�lete� A h�romsz�g magass�gvonala ter�lete�

Jobb csoportban� Tetsz�leges soksz�g ter�let�nek meghat�roz�sa h�romsz�gekre bon�t�ssal� Szab�lyos soksz�gek tulajdons�gainak vizsg�lata bels� sz�geik nagys�ga te�r�let�k meghat�roz�sa konkr�t feladatokban�

M�veletek trtekkel� Ar�ny� ar�nyoss�g� Der�kszg� koordin�ta�rendszer� H�romszgekszerkeszt�se�

Tk� ���������� B����B����� Mgy� ���������� ��������� Fgy� ������� ����������������� ���������

Kompetenciam�r�s� Tk� ���� ����� ���� ����� b� ����� ����� c� B����� d�

������ �ra �������� �ra A k�r

K�rvonal� k�rlap a k�rrel kapcsolatos fogalomrendszer �sug�r �tm�r� szel� h�rk�r�v k�rszelet k�rcikk k�rgy�r�� k�z�pponti sz�g�

A k�r ker�lete� ter�lete�A ter�letsz�m�t�s folyamatos ism�tl�se� Szgek m�r�se�

Tk� ��������� Mgy� ��������� Fgy� ������� ���������� ���������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����� ����������

������ �ra �������� �ra Soksz�glapokkal hat�rolt testekA has�b

Soksz�glapokkal hat�rolt testek �p�t�se� tulajdons�gaik vizsg�lata�

Reduk�lt szinten nem foglalkozunk k�l�n a soksz�glapokkal hat�rolt testekkel� A t�gla�testr�l tanultak ism�tl�sekor tekintj�k �t a legfontosabb ismereteket�

Az egyenes has�b sz�rmaztat�sa� h�l�ja� felsz�ne� elnevez�sek�Halmazok� logika� Ter�letsz�m�t�s� sokszgek ter�lete� Testek n�zeti k�pei�

Tk� ���������� ����������� Mgy� ���� Fgy� ���������

Kompetenciam�r�s� Tk� ����� �����

������ �ra �������� �ra Az egyenes has�b trfogata

A t�rfogatsz�m�t�s ism�tl�se� A t�rfogat �s az �rtartalom m�rt�kegys�gei a t�glatest�s a kocka t�rfogata� Az egyenes has�b t�rfogata� Gyakorlati alkalmaz�sok�

Sz�mok norm�lalakja� Fizika� s�r�s�g� tmeg�

Tk� ������������ Mgy� ��������� Fgy� ���������

Kompetenciam�r�s� Tk� ������

��

Page 31: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

������ �ra �������� �ra Az egyenes k�rhenger

Az egyenes k�rhenger sz�rmaztat�sa� felsz�ne� t�rfogata� Gyakorlati alkalmaz�sok�A ter�let�� felsz�n� �s t�rfogatsz�m�t�s folyamatos ism�tl�se� Algebrai kifejez�s helyettes�t�si�rt�ke�

Tk� ����������� Mgy� ���������� Fgy� ������� ������

Kompetenciam�r�s� Tk� ������ i� ����� a� b�

������ �ra �������� �ra Gyakorl�s� az �� felmrs meg�rat�sa

Az esetleges hi�nyoss�gok p�tl�sa�

!rt�kel�s a t�pushib�k megbesz�l�se a felz�rk�ztat�s megszervez�se�

Tk� B�����B����� ������

Kompetenciam�r�s� Tk� B����� B�����B����� ������

�� �sszefoglal

������� �ra �������� �ra Sz�mtan� sz�melmlet� algebra

Sz�mok �r�sa a t�zes sz�mrendszerben� Hatv�nyoz�s� Norm�lalak� Oszt� t�bbsz��r�s oszthat�s�g� M�veletek a racion�lis sz�mk�rben� M�veleti sorrend z�r�jelekhaszn�lata� Egyszer� �s �sszetett sz�veges feladatok megold�sa�

Algebrai kifejez�sek� Egyenlet azonoss�g egyenl�tlens�g azonos egyenl�tlens�g�A m�rlegelv alkalmaz�sa egyenletek egyenl�tlens�gek megold�s�ban� Egyenlettelegyenl�tlens�ggel megoldhat� sz�veges feladatok�

Tk� ���������� B�����B�����

�������� �ra �������� �ra F�ggvnyek

Gra�konok� Ar�ny ar�nyos oszt�s� Egyenes �s ford�tott ar�nyoss�g� Sz�zal�ksz�m�t�s�Line�ris f�ggv�ny� Egyenletek gra�kus megold�sa�

Tk� ��������� B�����B�����

�������� �ra �������� �ra Geometria� mrs

Egybev�g�s�gi transzform�ci�k� S�kidomok h�romsz�gek n�gysz�gek� Szerkeszt��s�k� A soksz�gek �s a k�r ker�lete ter�lete� A has�bok �s a henger felsz�ne t�rfogata�

Tk� ��������� B����B����

�������� �ra �������� �ra �� dolgozat

A tan�vet z�r� dolgozat meg�rat�sa jav�t�sa�

��

Page 32: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A TANANYAG FELDOLGOZ�SA

�� Gondolkozz �s sz�molj�

Az aritmetika fogalomrendszer�nek ki�p�t�se az �ltal�nos iskola els� oszt�ly�ban a ter�m�szetes sz�mok tan�t�s�val kezd�dik� s hetedik oszt�lyban jutunk el a racion�lis sz�m�k�r fogalm�nak kialak�t�s�hoz A fogalom ki�pl�se azt a k�vetelm�nyt is mag�banfoglalja� hogy a tanul�k legyenek k�pesek a racion�lis sz�mok kl�nb�z� alakjaival�term�szetes sz�mok� eg�sz sz�mok� t�rtek� tizedest�rtek a n�gy alapm�veletet amaxim�lis begyakorlotts�g szintj�n elv�gezni A hossz� id�intervallum� a tanul�k elt�r�k�pess�ge� szorgalma� a szoci�lis h�tt�rben �s a szl�i ig�nyszintben mutatkoz� k�l�nbs�gek nagy val�sz�n�s�ggel azt eredm�nyezik� hogy � oszt�lyban �v elej�n nagy�sz�r�s� tapasztalhat� mind a tanul�k sz�mol�si rutinja� mind az egy�b matematikaitev�kenys�ge terlet�n

Kedvez�tlenl befoly�solhatja tanul�ink tud�sszintj�t az� ha az el�z� �vekben reduk�lt�rasz�mban tan�tottuk a matematik�t Ha a helyi tanterv alapj�n a kerettantervi mini�mumhoz igazodtunk� akkor � oszt�ly v�g�re m�r t�bb mint egy teljes �vet vesz�thettnkaz aritmetikai� illetve algebrai ismeretek feldolgoz�sa ter�n is Ez�rt tanul�ink t�bb�s�ge nem rendelkezhet azokkal az alapokkal� amelyek a hetedik oszt�lyos tananyagelsaj�t�t�s�hoz szks�gesek A reduk�lt �rasz�m miatt els�sorban a gyakorl�sra jutottkevesebb id� Ez�ltal els�sorban a gyeng�bb k�pess�g� tanul�k kerltek h�tr�nyba�hiszen nekik a gyakorl�sra l�nyegesen nagyobb szks�gk lett volna� mint jobb k�pes�s�g� t�rsaiknak

Az is elk�pzelhet�� hogy egyes anyagr�szekben � a kor�bban eml�tett okok� illetvea helyi tanterv aj�nl�sai miatt � eg�sz oszt�lyok elmaradtak att�l a szintt�l� amit �oszt�ly v�g�re felt�telez a program �L�sd Matematika � Program A tank�nyv �gy�pl fel� hogy seg�ts�g�vel p�tolni lehessen az esetleges hi�nyoss�gokat P�ld�ul azegyes fejezetek bevezet� r�sze �ttekinti azokat a kor�bban tanult ismereteket� amelyekn�lkl�zhetetlenek az �j anyag feldolgoz�sa sor�n Indokolt lehet egyes anyagr�szek�jb�li feldolgoz�sa is� ha � oszt�lyban� a tananyag zs�folts�ga miatt� kev�s id� jutottr�juk� �gy m�g az sem biztos� hogy a j� k�pess�g� tanul�k kor�bban szerzett ismere�tei el�gg� szil�rdak �s alkalmaz�sra k�pesek Ezekkel a fejezetekkel az oszt�ly vagyaz egyes tanul�k szintj�t�l fgg�en kl�nb�z� m�lys�gben �s r�szletess�ggel aj�nlatosism�t foglalkozni� �gyelembe v�ve azt is� hogy � oszt�lyban meddig jutottak el

Ebben a fejezetben ism�teljk� rendszerezzk� gyakoroljuk� magasabb absztrakci�sszintre emeljk �s l�nyegesen kib�v�tjk az el�z� hat �vben tanult aritmetika�� algebra�tananyagot Az �v eleji ism�tl�s a k�vetkez� funkci�kat t�ltheti be�

��

Page 33: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A tanul�k tud�s�ban� ismeretanyag�ban megl�v� hi�nyoss�gok felt�rk�pez�se� Afelt�r� munk�n t�l azt is c�lszer� megvizsg�lnunk� hogy mi okozta a hi�nyoss�gokatAz okok megkeres�se nagy seg�ts�g a probl�m�k kiksz�b�l�s�ben Ilyen okoklehetnek� felejt�s� helytelen anal�gia� megszok�s� szakszavak helytelen haszn�latastb

A hi�nyok p�tl�sa� A tantervben el��rtak ter�n mutatkoz� hi�nyoss�gokat felt�tlenp�tolni kell�

Gyakorl�s� A kor�bban tanult� de mostanra elhalv�nyult ismeretek feleleven�t�se� asz�mol�si rutin k�v�nt szintre hoz�sa� a probl�mamegold� k�pess�gek fejleszt�se

Az �jonnan tan�tand� anyagr�szek megalapoz�sa� el�k�sz�t�se �sz�melm�let�egyenletek� statisztika� fggv�nyek� kombinatorika� m�veleti tulajdons�gok stb

j ismeretek szerz�se� Ez vagy �gy val�s�that� meg� hogy a tanul�k megl�v�ismereteit m�s rendszerbe illesztjk� s ez�ltal j kapcsolatokat t�runk fel� vagy�gy� hogy a �r�gi� tananyagot b�v�tjk �jabb ismeretekkel �P�ld�ul� hatv�nyoz�s �norm�lalak

A tananyag rendszerez�se� Az intenz�v� viszonylag r�vid id� alatt t�rt�n� �tism�t�l�sn�l a l�nyeges jegyek kiemel�se� elm�ly�t�se� �j kapcsolatok felt�r�sa

E fejezet t�rgyal�sakor a tank�nyv feladatain �Tk� ����������� t�lmen�en megoldathat�juk a Matematika � Gyakorl� feladatai k�zl azokat� amelyeket az elm�lt tan�vben m�gnem oldottak meg a tanul�k� valamint a Matematika � Gyakorl� �Gy� �� �� � �s �fejezet�nek� illetve a Matematika ��� Feladatgy�jtem�ny �Fgy� ����� fejezet�nekfeladatait

A b� feladatanyag arra cs�b�that� hogy a tanmenetben el�ir�nyzottn�l sokkal t�bb id�tford�tsunk erre a fejezetre � a t�bbi anyagr�sz rov�s�ra Ez nem k�v�natos A sokfeladattal az volt a szerz�k c�lja� hogy lehet�s�get adjanak a di�erenci�l�sra� az otthonigyakorl�sra� a felz�rk�ztat�sra �s a folyamatos ism�tl�sre� illetve kl�nb�z� koncepci�j�helyi tantervek kidolgoz�s�ra

Az �v eleji ism�tl�skor meg nem oldott feladatok a k�s�bbiek sor�n � az �ppen aktu�listananyag tan�t�sakor � is megoldathat�k� el�k�sz�tve az �j ismeret elsaj�t�t�s�t

Heti � matematika�ra eset�n a fejezet feldolgoz�s�ra ����� �r�t javaslunk A reduk�ltprogramban� heti � matematika�ra mellett legfeljebb ����� �r�t sz�nhatunk ennek azanyagr�sznek a feldolgoz�s�ra A kor�bban le�rtak miatt azonban ett�l elt�rhetnk Ha�gy l�tjuk� hogy tanul�ink a k�v�nt ismeretekkel �s alapk�szs�gekkel rendelkeznek� ak�kor felesleges � s�t k�ros is lehet � a m�veletek unalmas gyakoroltat�sa Ilyenkor vagya Gyakorl� � fejezet�b�l vagy Feladatgy�jtem�nyb�l oldassunk meg �rdekes� nehe�zebb feladatokat� vagy egy�k�t �r�val ford�tsunk kevesebbet az anyagr�sz t�rgyal�s�raEzt az �rasz�mot p�ld�ul az �v h�tral�v� r�sz�ben egy�b anyagr�szek sz�nvonalasabbfeldolgoz�s�ra haszn�lhatjuk fel

Egyes oszt�lyokban a �� �ra is kev�s lehet az alapos ism�tl�sre Ilyenkor sem aj�nlatossokkal t�bbet ford�tani erre a fejezetre Ha �gy �rezzk� hogy tan�tv�nyaink nem rendel�keznek a tov�bbhalad�shoz szks�ges minim�lis tud�ssal sem� akkor korrepet�l�sokszervez�s�t javasoljuk

��

Page 34: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A tananyag�feldolgoz�s csom�pontjai

�� A racion�lis sz�mokkal kapcsolatos fogalomrendszerr�l tanultak �sszegz�se A raci�on�lis sz�mok �r�sa� olvas�sa� �sszehasonl�t�sa� sz�megyenesen val� �br�zol�sa ezeknek az ismereteknek maxim�lis begyakorl�sa

�� Kor�bban esetleg megkezdtk a hatv�nyfogalom kialak�t�s�t Most tov�bbfejlesztjkezt a fogalomrendszert Az azonos alap� hatv�nyok szorz�s�t� oszt�s�t� szorzat�h�nyados� hatv�ny hatv�nyoz�s�t is tan�tjuk A szab�lyokat konkr�t feladatokhozkapcsol�d�an felismertethetjk� de az �ltal�nos�t�st csak matematik�b�l tehets��gesebb tanul�inkt�l v�rhatjuk el Konkr�t esetekben� els�sorban �� hatv�nyaivalsz�molva� m�r alapszinten is gyakoroltassuk ezeknek az ismereteknek az alkalma�z�s�t

�� A sz�mok norm�lalakja �j anyagk�nt kerlt ebbe a fejezetbe A �� pozit�v eg�szkitev�j� hatv�nyainak alapos ismerete n�lkl�zhetetlen az anyagr�sz tan�t�s�hozReduk�lt �rasz�m mellett esetleg csak � oszt�lyban tudjuk feldolgozni ezt az anyag�r�szt

�� A sz�melm�let elemeir�l tanultak feleleven�t�se� kieg�sz�t�se a tanul�csoport k�pes�s�geinek megfelel� szinten �s m�lys�gben Fontos� hogy a k�z�piskol�ba k�szl��illetve a k�z�piskolai tagozatra j�r� tanul�k min�l alaposabb tud�sra tegyenek szertezen a t�ren

� A racion�lis sz�mokkal v�gzett m�veletek gyakorl�sa� a hi�nyoss�gok p�tl�sa Abecsl�s �s a kerek�tett �rt�kkel val� sz�mol�s tov�bbra is komoly gondot jelent atanul�knak !tism�tl�s�t f�lt�tlenl javasoljuk

Sok tanul�nak gondot okoz a negat�v sz�mokra �s a t�rtekre tanult m�veletv�gz�siszab�lyok egyttes alkalmaz�sa Ha � oszt�lyban heti � matematika�ra volt� akkormost kell az ilyen jelleg� feladatok megold�s�t begyakoroltatnunk

Jobb csoportban a legnagyobb k�z�s oszt� �s a legkisebb k�z�s t�bbsz�r�s alkal�maz�sa a t�rtekkel val� sz�mol�sban

A n�gy alapm�velet �s a hatv�nyoz�s helyes sorrendj�nek meg�llap�t�s�t is elv�rjukminden tanul�t�l "j ismeretet jelent a hatv�nyoz�s beilleszt�se a m�veletsorba

Az ar�nyos oszt�s fogalma l�nyeg�ben �j anyagk�nt kapcsol�dik ehhez a r�szhez

� A sz�zal�ksz�m�t�s szerepelt a � oszt�ly anyag�ban� de fontoss�g�ra val� tekin�tettel itt ism�t foglalkoznunk kell vele "j elemk�nt kapcsol�dik ehhez a r�szhez akamatsz�m�t�s

�� A tanultakat alkalmazzuk statisztikai sz�m�t�sokban �adatsorok rendez�se� megosz�l�s�nak meghat�roz�sa� oszlop�� szalag�� illetve k�rdiagramok k�sz�t�se A val��sz�n�s�gi k�s�rletek eredm�nyeinek �rtelmez�s�hez� a relat�v gyakoris�g� illetve aval�sz�n�s�g meghat�roz�s�hoz a t�rtr�sz fogalm�t kell alkalmaznunk

�� A tanultakat folyamatosan alkalmazzuk egyszer� sz�veges feladatok megold�s�banJ� alkalom ny�lik erre a geometriai sz�m�t�sok� illetve a sz�veggel adott fggv�nyektanul�sa sor�n

��

Page 35: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Kapcsol�d�si lehet�s�gek

Az �v eleji ism�tl�s gerinc�t az aritmetika� az algebra alkotja� de ezzel kapcsolatbanminden t�mak�rt ism�teltethetnk� gyakoroltathatunk

Halmazok logika kombinatorika

A halmazok� logika t�mak�rh�z tartoz� feladatokkal egyr�szt sz�nesebb�� �rdekesebb�tehetjk a �sz�raz� m�veletgyakorl�st� m�sr�szt a rendszerszeml�letre �halmaz� r�sz�halmaz� halmaz eleme �s a matematikai szakkifejez�sek helyes haszn�lat�ra ��s� vagy�legal�bb� legfeljebb� pontosan� minden� van olyan stb nevelhetjk tanul�inkat

A kombinatorika t�mak�rh�z kapcsol�d� feladatokkal els�sorban a matematika ir�nt �r�dekl�d� tanul�ink sz�m�ra tehetjk �rdekesebb� a hatv�nyoz�s �s a sz�melm�let tanu�l�s�t F�leg a rendez�si elveket kell tiszt�znunk

F�ggv�nyek sorozatok

A szab�llyal adott fggv�nyek t�bl�zat�nak kit�lt�se� n�h�ny �sszetartoz� �rt�kp�rraladott fggv�nyhez szab�ly keres�se� sorozatok vizsg�lata stb hat�kony eszk�z a sz��mol�si rutin fejleszt�s�re� ugyanakkor el�k�sz�ti az algebrai kifejez�sek tan�t�s�t is Asz�melm�leti probl�m�k t�rgyal�sa sor�n is adhatunk olyan feladatokat� amelyek kap�csol�dnak a fggv�nyek� sorozatok anyagr�szhez

M�rt�kv�lt�s m�rt�kegys�gek

A m�rt�kv�lt�s� a m�rt�kegys�gekkel val� sz�mol�s komoly probl�m�ja a matematika�tan�t�snak A biztos� alkalmaz�sk�pes tud�s el�r�se c�lj�b�l� az aktu�lis aritmetikaianyagr�szekhez kapcsol�dva� folyamatosan gyakoroltassuk ezeket az ismereteket

Geometriai sz�m�t�sok

A m�veletek gyakorl�sa mellett m�d ny�lik a geometriai ismeretek� f�leg a kerlet��terlet�� felsz�n�� t�rfogatsz�m�t�sr�l tanultak feleleven�t�s�re is Ezzel el�k�sz�thet�jk az #� geometriai fejezet anyagr�szeinek tan�t�s�t

Statisztika val�sz�n�s�g

A sz�zal�ksz�m�t�s gyakorlati alkalmaz�sak�nt foglalkozunk ezekkel az anyagr�szekkelF�leg az adatok t�bl�zatba rendez�s�t� illetve adathalmazok �rt�kel�s�t k�v�njuk meg atanul�kt�l A Matematika � Gyakorl� � fejezet�ben is tal�lunk megfelel� feladatsorokate t�mak�r gyakoroltat�s�hoz Az orsz�gos kompetenciam�r�s feladatainak tekint�lyesh�nyada foglalkozik a t�bl�zatok� diagramok �rtelmez�s�vel� �sszehasonl�t�s�val Ez�rta kor�bbihoz k�pest alaposabban gyakoroltassuk ezeknek a feladatoknak a megold�s�t�"j t�pus�ak� azok a sz�veges feladatok� amelyekben a sz�veg alapj�n kell �rtelmezni�kieg�sz�teni a diagramokat

��

Page 36: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A tananyag�feldolgoz�s �ttekint�se

Mit tanultunk a sz�mokr�l�

Feleleven�tjk a t�rtalakban� illetve tizedest�rt alakban adott racion�lis sz�mok nagy�s�g szerinti rendez�s�t� �br�zol�s�t sz�megyenesen� a �reciprok�� az �ellentett�� az�abszol�t�rt�k� fogalm�t� illetve a sz�mok kerek�t�s�r�l tanultakat

Ha a kor�bbi �vekben biztosan elsaj�t�tott�k ezeket az ismereteket a tanul�k� akkornem kell kl�n �r�t ford�tanunk ezeknek a feladatoknak a megold�s�ra Folyamatosism�tl�sk�nt� otthoni munk�ra t�maszkodva eleven�thetjk fel a kor�bban tanultakat Az�gy felszabadul� id�t a norm�lalak alapos begyakorl�s�ra ford�thatjuk

A Gyakorl� b�s�ges feladatanyagot ����������� biztos�t a hi�nyoss�gok p�tl�s�ra� ak�pess�g szerint di�erenci�lt egy�ni munka �s a hossz� t�v� folyamatos ism�tl�s meg�szervez�s�re

Bevezetjk a racion�lis sz�m fogalm�t� de nem foglalkozunk r�szletesen ezzel a foga�lomk�rrel

Az �rtelmez�sek megbesz�l�se j� alkalmat ad a �de�n�ci�� fogalm�nak tiszt�z�s�ra is

Hatv�nyoz�s

A � oszt�lyban az oszt�lyok egy r�sz�ben foglalkoztak ezzel a hatv�nyoz�ssal� de atanul�k t�bbs�g�nek �j anyagnak sz�m�t ez a t�mak�r

A hatv�nyoz�s azonoss�gait konkr�t kitev�k eset�ben a jobb k�pess�g� tanul�ink �n�l�l�an �felfedezhetik� �a kitev�k mindig term�szetes sz�mok A �� majd a � oszt�lybanvisszat�rnk a hatv�nyokkal v�gzett m�veletekhez� alapszinten ekkor is el�g megk��vetelnnk az �sszefgg�sek ismeret�t �s alkalmaz�s�t Ugyanakkor a �� hatv�nyaivalval� sz�mol�st alapszinten is gyakoroltatnunk kell� hogy majd a norm�lalakkal tudja�nak b�nni a tanul�k !tlagosn�l jobb csoportban viszont �rdemes begyakoroltatnunk afelismert azonoss�gok alkalmaz�s�t �Tk� ���������� Gy� �������� Fgy� ������������

A sz�mok norm�lalakja

A zsebsz�mol�g�pek elterjed�s�vel a kor�bbin�l fontosabb a norm�lalak biztos ismerete�s haszn�lata Ez�rt az ��n�l nagyobb sz�mok norm�lalakj�t alapszinten c�lszer� m�r� oszt�lyban is tan�tanunk� �gy � oszt�lyban alkalmaz�sk�pes tud�st �rhetnk el ezena t�ren Reduk�lt szinten� ha heti � matematika�ra van� akkor erre kev�s lehet�s�gnkvan

Mivel nagyon sok ismeret szint�zis�t felt�telezi ez a fogalom �hatv�nyok� m�veleti tu�lajdons�gok� helyi�rt�k� szorz�s� oszt�s �� hatv�nyaival � ez�rt m�g akkor is neh�z�ha a tanul�k minden szks�ges el�ismerettel rendelkeznek Fontos a norm�lalakkalval� sz�mol�s gyakorlati haszn�nak megmutat�sa �l�sd kidolgozott mintap�ld�k � �gyk�zzelfoghat�bb� v�lik a tanul�knak� mert a r�gi ismeretekhez tudj�k kapcsolni az �jat

��

Page 37: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A norm�lalakkal val� sz�mol�st � f�leg� ha a sz�mok k�z�tt nagys�grendi elt�r�s van �csak a jobb k�pess�g� tanul�knak c�lszer� tan�tani� ha a �� hatv�nyaival m�r biztosansz�molnak

Oszt� t�bbsz�r�s oszthat�s�gi szab�lyok

T�rzssz�mok �sszetett sz�mok

Legnagyobb k�z�s oszt� legkisebb k�z�s t�bbsz�r�s

A kor�bbi �vekben a tanul�k megismerkedhettek a sz�melm�let elemeivel� a legfon�tosabb fogalmakkal� n�h�ny oszthat�s�gi szab�llyal� esetleg a sz�mok pr�mt�nyez�sfelbont�s�val is Ugyanakkor l�tnunk kell� hogy a tanul�k t�bbs�g�n�l � id�hi�ny miatt� nem szil�rdulhattak meg ezek a fogalmak "gy foghatjuk fel� hogy az oszt�lyok t�bb�s�g�ben � oszt�lyban csak el�k�sz�tettk ezeket az ismereteket Ez�rt a � oszt�lyostank�nyv is �jra r�szletesen foglalkozik a sz�melm�lettel

Fontos� hogy a k�z�piskol�ba k�szl� tanul�ink az oszthat�s�gi szab�lyokat ne re�ceptszer�en saj�t�ts�k el� hanem konkr�t sz�mokhoz kapcsol�dva �fedezz�k fel� �s�bizony�ts�k� is azokat Ezzel kialak�thatjuk a bizony�t�si ig�nyt� fejleszthetjk tanul��ink probl�mamegold� k�pess�g�t� �s megtehetjk az els� l�p�seket a k�z�piskol�banelv�rt absztrakci�s szint el�r�se fel�

Ugyanakkor a t�telek �p�ld�ul az oszthat�s�gi szab�lyok� v�gtelen sok pr�msz�m van�a sz�melm�let alapt�tele �ltal�nos bizony�t�s�t � oszt�lyban sem javasoljuk� m�gk�z�piskolai tagozaton is korainak tartjuk

A sz�mok pr�mt�nyez�kre bont�s�t f�k�ppen a k�z�piskol�ba k�szl� tanul�inkkal gya�koroltassuk be Tudj�k ezt alkalmazni a legnagyobb k�z�s oszt� �s a legkisebb k�z�st�bbsz�r�s megad�s�ra is A k�vetkez�kben p�ld�t mutatunk arra� hogy hogyan le�het egyszer�en meghat�rozni t�bb sz�m legnagyobb k�z�s oszt�j�t �s legkisebb k�z�st�bbsz�r�s�t

�#�� ���� �#�� �

��#� ���� ��#� �

���# ���� ���# �

��# ��� ��# #

��# ��� �# #

�# �� �# �

� �� � �

� � � �

� � � �

� � # #

# � � #

� � �

��#�� ���� �#�� $ �� � � � #� %�#�� ���� �#��& $ �� � �� � #�

��

Page 38: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

'gy egy�rtelm�en l�tszik� melyek a k�z�s pr�mt�nyez�k� s hogy p�ld�ul mi�rt kell alegkisebb hatv�nyuk szorzat�t venni a legnagyobb k�z�s oszt� meghat�roz�sakor

Az �sszevon�s gyakorl�sa a racion�lis sz�mk�rben�

K�z�s oszt� �s k�z�s t�bbsz�r�s alkalmaz�sa�

A szorz�s �s az oszt�s gyakorl�sa a racion�lis sz�mk�rben

E fejezettel egyr�szt a m�veletek gyakorl�sa� m�sr�szt az algebrai kifejez�sek �s azegyenletek tan�t�s�nak az el�k�sz�t�se a c�lunk K�nnyebb lesz az � fejezetben akifejez�sek �sszevon�sa� szorzatt� alak�t�sa� illetve a z�r�jelbont�s� ha itt konkr�tsz�mokkal alaposan begyakorolhatjuk azt

A racion�lis sz�mok b�rmely alakj�val val� m�veletv�gz�s �a n�gy alapm�velet mini�mumk�vetelm�ny � oszt�lyban� de a tanul�k el�k�pzetts�ge nagy sz�r�d�st mutathatVal�sz�n�� hogy az �tlagos oszt�lyokban nagyon sok tanul� nem rendelkezik a szks��ges sz�mol�si ismeretekkel� rutinnal� k�pess�gekkel A felm�r�sek azt is megmutatt�k�hogy tanul�inknak mintegy ��(�a m�g a � oszt�ly v�g�n is funkcion�lis analfab�ta�vagyis a legegyszer�bb sz�vegek inform�ci�tartalm�t sem k�pes felfogni Ez�rt a m�ve�letek gyakorl�s�val p�rhuzamosan � oszt�lyban is sokat kell foglalkoznunk az egyszer�sz�veges feladatok megold�s�val

A magyar tanul�k sz�veg�rtelmez� k�pess�ge nemzetk�zi viszonylatban is nagyongyeng�nek bizonyult Ez�rt az orsz�gos kompetenciam�r�seken a feladatok mintegyharmada sz�veges feladat Szokatlan lehet a tanul�k sz�m�ra a feleletv�laszt�sos fel�adat� ez�rt minden fejezetben el�fordulnak ilyen feladatok �Tk� ����� ������ Az ut�bbiaz�rt is �szokatlan� �s ��jszer��� mert nem tanult ismeretet� hanem a sz�vegben tal�l�hat� inform�ci�t kell alkalmazni gyakorlati jelleg� feladatban

Emelt szinten is meg kell gy�z�dnnk arr�l� hogy a tanul�k m�r a kor�bbi �vekbeneljutottak�e a megfelel� szintre Ha igen� akkor a m�veletek gyakorl�s�ra legfeljebb ����r�t kell biztos�tanunk "j ismeretk�nt jelenhet meg a sz�melm�letben �s a hatv�nyo�z�sr�l tanultak alkalmaz�sa a t�rtek egyszer�s�t�se� illetve �sszevon�sa sor�n �L�sd atank�nyv b�v�tett v�ltozat�t Ezzel komplex m�don gyakoroltathatjuk �s a tudatos�t�smagasabb szintj�n ��sszesz�hetjk� a kor�bban tanultakat

A sz�mol�si k�pess�gek tov�bbi fejleszt�s�t a tanul�k �n�ll� otthoni munk�j�ra t�masz�kodva �esetleg t�bb h�ten �t is tart� folyamatos ism�tl�s keret�ben c�lszer� megolda�nunk �gy� hogy egy�egy alkalommal ne terheljk meg t�ls�gosan a tanul�kat Az �gyfelszabadult �rasz�mot �mint kor�bban m�r le�rtuk a hatv�nyoz�s� a norm�lalak �s asz�melm�let alaposabb megtan�t�s�ra ford�thatjuk

Mennyis�gek t�rtr�sze

"j fogalmakat nem tartalmaz ez a fejezet� de � f�leg a sz�veges feladatokban � sokolyan ismeretet eleven�t fel� amely a sz�zal�ksz�m�t�s� az egyenletek� a fggv�nyekt�mak�r�nek tanul�sa sor�n n�lkl�zhetetlen Ez�rt a � oszt�lyban tanultak gyakorl�samellett e fejezetek tan�t�s�t is el�k�sz�thetjk az ism�tl�s sor�n

Ehhez az anyagr�szhez kapcsol�dva adjunk feladatot k�rdiagramok� illetve szalagdiag�ramok �Tk� ����� Gy� ����� �rtelmez�s�re� k�sz�t�s�re is

��

Page 39: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Z�r�jelek haszn�lata� A m�veletek sorrendje

A hatv�nyoz�s beilleszt�se a m�veletsorba �s a kl�nb�z� el�jel� sz�mok szorz�s�nak�oszt�s�nak kapcsolata jelent �jat az eddigiekhez k�pest

A z�r�jelek haszn�lata� a m�veletek helyes sorrendj�nek meg�llap�t�sa minimumk��vetelm�ny Az ezzel kapcsolatos ismeretek hi�ny�ban elk�pzelhetetlen az egyenletek�egyenl�tlens�gek megold�sa� az algebrai kifejez�sek �talak�t�sa� helyettes�t�si �rt��kk kisz�m�t�sa Ez�rt alap� �s emelt szinten egyar�nt kl�n�s gondot kell ford�tanunkezeknek az ismereteknek a feleleven�t�s�re� begyakorl�s�ra

A tank�nyvben� a Matematika � Gyakorl�ban �s a Feladatgy�jtem�nyben tal�lhat�b� feladatanyag lehet�v� teszi� hogy a tanul�k pillanatnyi tud�sszintj�nek megfelel�neh�zs�g� feladatokat oldassunk meg

A b� feladatanyag lehet�v� teszi a felz�rk�ztat�st� illetve az otthoni di�erenci�lt egy�nimunk�ban megval�sul� folyamatos ism�tl�s megszervez�s�t is

Kl�n felh�vjuk a �gyelmet a kor�bban tanult geometriai ismeretek� a hossz�s�g���rtartalom� �s id�m�r�s� illetve a kerlet�� a terlet�� a felsz�n� �s a t�rfogatsz�m��t�s alkalmaz�s�ra �Tk� ���������� Ezeknek a mindennapi gyakorlathoz kapcsol�d��sszetett feleletv�laszt�sos feladatoknak a feldolgoz�sa felk�sz�theti a tanul�kat a �oszt�lyos kompetenciam�r�s hasonl� t�pus� feladatainak �rtelmez�s�re

Ar�ny ar�nyos oszt�s

Az ar�ny � oszt�lyban a sz�zal�kl�b tan�t�sakor kerlt el�t�rbe� de a tan�t�s�ra ford�tottid� kev�s volt arra� hogy a tanul�k marad�ktalanul elsaj�t�ts�k azt 'gy szks�gesnek�rezzk� hogy � oszt�lyban � az ar�nyos oszt�ssal mint �j anyaggal kapcsolva � ism�ttan�tsuk

Az ar�nyos oszt�sn�l t�rekednnk kell arra� hogy a tanul�k tudj�k indokolni� mi�rt osztjuka mennyis�get az ar�nysz�mok �sszeg�velP�ld�ul� �� Ft�ot � � � � � arnyban sztosztani annyit jelent� hogy az egszet � azaz a �� Ft�ot � annyiegyenl rszre kell osztani� hogy az els � rszt� a msodik � rszt� a harmadik � rszt kaphasson bel le�

Ez pedig � egyenl rszre val� osztst jelent� A t�rtrszek rendre����

���

��� Ezek �sszege val�ban kiadja

az egszet� a���et� A �� Ft

��

rsze �� Ft� �gy �� Ft�ot� �� Ft�ot� �� Ft�ot kapnak az egyes szemlyek�

A kompetenciam�r�sben az ar�ny gyakorlati alkalmaz�sak�nt t�bb feladat foglalkozik azalaprajzok� t�rk�pek� n�zeti rajzok m�retar�ny�nak az �rtelmez�s�vel �Tk� �����������

Sz�zal�ksz�m�t�s�

Kamatos kamat

M�r � oszt�lyban foglalkoztunk a sz�zal�ksz�m�t�ssal� ennek ellen�re sok hi�nyoss��got �szlelnk tanul�inkn�l ezen a t�ren Ez�rt alapszinten sok oszt�lyban indokolt lehet�hogy ��� �r�val t�bbet ford�tsunk erre az anyagr�szre� mint amennyit a tanmenetjavas�lat el��r� illetve otthoni munk�ban ism�telten adjunk fel e t�mak�rh�z tartoz�� gyakorlatijelleg� �a mindennapi �lettel� a k�mi�val stb kapcsolatos feladatokat Tanul�inkt�lk�veteljk meg a sz�m�t�sok menet�nek indokl�s�t

��

Page 40: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Fontos� hogy ne k�pleteket magoltassunk be� hanem a gondolkod�si tervet� vagyis ak�vetkeztet�si s�m�t ismerj�k fel a tanul�k Ugyanakkor �jobb k�pess�g� oszt�lyban ak�vetkeztet�si s�ma tudatos�t�sa �s alkalmaz�sa mellett tov�bb is l�phetnk A sz�za�l�k�rt�ket mint az eg�szr�szb�l a t�rtr�szt� az alapot mint a t�rtr�szb�l az eg�szr�szthat�rozzuk meg A sz�zal�kl�b kisz�m�t�sa a sz�zal�k�rt�k �s az alap ar�ny�nak ki�sz�m�t�s�hoz kapcsol�dik

A sz�zal�ksz�m�t�s fontos gyakorlati alkalmaz�sak�nt foglalkozzunk a kamatsz�m�t�selemeivel A tank�nyv feladatai mellett dolgoztassuk fel a gyakorl� megfelel� feladataitis �Gy� ����������� ����� ����������

Statisztikai sz�m�t�sok

K�vetelm�ny� hogy tanul�ink tudjanak statisztikai adatokat gy�jteni� rendszerezni� kate�goriz�lni� t�bl�zatba foglalni Tudjanak ezekb�l az adatokb�l gra�kont� oszlop�� k�r� �sszalagdiagramot k�sz�teni Tudj�k meghat�rozni az adatok sz�mtani �tlag�t� sz�r�d��s�nak terjedelm�t

B�r ehhez a munk�hoz a tank�nyv �s a gyakorl� b�s�ges feladatanyagot szolg�ltat�Gy� ���������� �������� � mindenk�ppen gy�jtsenek tanul�ink friss statisztikai ada�tokat� elemz�seket

A kompetenciam�r�sben hangs�lyozottan jelenik meg ez a t�mak�r mint a sz�zal�ksz��m�t�s egyik gyakorlati alkalmaz�sa A Tk� ��� feladata az oszlopdiagram szerkeszt��s�nek egyik tipikus hib�j�ra h�vja fel a �gyelmet� ha nem ��val kezd�dik a fgg�legestengely beoszt�sa� akkor a diagram f�lrevezet�en szeml�lteti az adatok egym�shoz vi�szony�tott ar�ny�t A Tk� ���� feladat az k�rdiagram elemz�se mellett a k�rdiagram �saz oszlopdiagram egym�ssal val� kapcsolat�val foglalkozik

Val�sz�n�s�gi k�s�rletek

K�vetelm�ny� hogy tanul�ink tudjanak val�sz�n�s�gi k�s�rleteket v�grehajtani� esem��nyeket lejegyezni� azok val�sz�n�s�g�re becsl�st adni Ismerj�k a gyakoris�g �s a rela�t�v gyakoris�g fogalm�t Tudj�k kisz�m�tani a meg�gyelt esem�ny relat�v gyakoris�g�tLegyenek k�pesek a legegyszer�bb esetekben az esem�ny val�sz�n�s�g�t kisz�m�tani�azt a relat�v gyakoris�ggal �sszehasonl�tani

A tank�nyv � p�ld�j�ban az esem�nyek val�sz�n�s�g�t nem hat�rozhatjuk meg a kom�binatorika alkalmaz�s�val K�s�rleti �ton �a nagy sz�mok t�rv�ny�t alkalmazva tudjukazt megbecslni A mindennapi �let val�sz�n�s�ggel kapcsolatos probl�m�i �ltal�banilyenek Ez�rt az ilyen jelleg� k�s�rletek t�nyleges v�grehajt�sa nemcsak a fogalmaktudatos�t�s�t szolg�lja� hanem k�pess� teszik tanul�inkat a tanultak gyakorlati alkalma�z�s�ra is

Gyakorl�� �s fejt�r� feladatok� Tud�spr�ba

A tank�nyv b�v�tett v�ltozata tov�bbi feladatsorokat biztos�t a tanul�k tud�s�nak elm��ly�t�s�re A kompetenciam�r�sre felk�sz�theti a tanul�kat a Tk� B����� feladat �s atud�spr�ba feladatsora

Page 41: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

�� Hozz�rendel�s� f�ggv�ny

Matematikatan�t�sunk egyik legfontosabb t�mak�re a rel�ci�k� �s ezen bel�l a f�ggv�nyek A t�ma fontoss�g�t mutatja egyr�szt a matematika tant�rgyban elfoglalt helye�kapcsolata a matematika egy�b t�mak�reivel� m�sr�szt a tananyag tan�t�s�val kapcsolatos nevel�si� k�pz�si c�lok megval�s�t�s�nak lehet�s�ge N�h�ny lehet�s�g�

Az egybev�g�s�gi transzform�ci� a s�k pontjainak a s�k pontjaira val� egyegy�rtelm lek�pez�se

Az S halmazon �rtelmezett biner m�velet az S nem �res halmaz S�S Descartesszorzat�nak Sbe val� lek�pez�se

Valamely H halmazon �rtelmezett algebrai kifejez�s eset�n a H elemeihez bizonyos elemeket rendel�nk hozz� egy �Ht�l nem felt�tlen k�l�nb�z�� halmazb�l

A soksz�gekhez egy�rtelm en hozz�rendelhetj�k a ker�let�k vagy a ter�let�k m�r�sz�m�t

A kombinatorik�ban v�ges sok elemhez hozz�rendelhetj�k az elemek �sszes lehets�ges sorrendjeinek sz�m�t

A nevel�si� a k�pz�si c�lok k�z�l a k�vetkez�ket emelj�k ki

Kombinat�v l�t�sm�d fejleszt�se� Halmazok elemei k�zti kapcsolatok felt�r�s�banminden lehets�ges esetet sz�mba vett�nke� �s mindegyiket csak egyszer� Ezrendszeress�gre nevel� el�seg�ti a rendez�si k�pess�g kialakul�s�t

A kreat�v szem�lyis�gtulajdons�gok k�z�l a rugalmass�got �s az �tletgazdags�gotfejlesztik azok a feladatok� amelyekben n�h�ny �sszetartoz� elemp�rhoz kell keresni a lek�pez�s szab�ly�t Min�l t�bb� lehet�leg min�s�gileg k�l�nb�z� szab�lytkerestet�nk a tanul�kkal� ann�l ink�bb fejlesztj�k az eml�tett tulajdons�gokat

A k�pi dominanci�j� gondolkod�sb�l a fogalmi gondolkod�sba val� �tmenetet a gra�kus �br�zol�s nagym�rt�kben seg�ti

A f�ggv�ny fogalma nagyon elvont� �gy csak lass� �rlel�si folyamatban� soksok gyakorlati p�lda megold�s�val� a fogalmak egym�sra �p�l� rendszer�nek alapos megtervez�s�vel alak�that� ki Ez a kialak�t�s als� tagozatban meg�gyel�ssel� tapasztalatgy jt�sselkezd�dik A tanul�k adott sz�mp�rokhoz� azoknak bizonyos tulajdons�gait meg�gyelvekapcsolatokat� szab�lyokat ismernek fel� s az egyszer bbeket meg is fogalmazz�k K�s�bb � tan�ri ir�ny�t�ssal � a f�ggv�nyre jellemz� n�h�ny fogalmi jegyet is tiszt�znak�

Ilyen fogalmak� halmaz� elem� �sszetartoz� �rt�kp�r� kapcsolat� szab�ly stb Ahogy n�a tanul�k ismeretanyaga �egyre t�bb m velettel� geometriai alakzattal� k�plettel� oszthat�s�gi szab�llyal stb ismerkednek meg�� �gy val�s�that� meg a f�ggv�nyfogalomtartalmi bv�t�se amely mag�ban foglalja az �jabb fogalmak kialak�t�s�t ��rtelmez�sitartom�ny� k�pelem� �rt�kk�szlet� koordin�ta� gra�kon stb�� a l�nyeges jellemz jegyek

kiemel�s�t �egy�rtelm � t�bb�rtelm stb� �s a fogalomra nem jellemz� tartalmi jegyekkisz r�s�t� az els�dleges fogalmak k�zti kapcsolatok felt�r�s�t� s ez�ltal a magasabb

rend� fogalmak kialak�t�s�t� �Magasabb rend fogalomnak m�s fogalmakb�l absztrah�ltfogalmakat nevez�nk� Ilyen magasabb rend fogalom maga a f�ggv�ny is� amelynekkialakul�s�hoz a k�vetkez�kben felsorolt fogalmak megl�te sz�ks�ges�

��

Page 42: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Halmaz� elem� eleme� r�szhalmaz

Elemp�r� rendezett elemp�rok halmaza �Descartesszorzat�

Eredeti elem� k�pelem� alaphalmaz� k�phalmaz

Egy�rtelm � t�bb�rtelm megfeleltet�s A megfeleltet�s szab�lya �A megfeleltet�seket �s ezek fajt�it alapfogalomk�nt kezelj�k� nem de�ni�ljuk� p�ld�kon kereszt�lmutatjuk be�

Az eddigi fogalmakat intuit�v szinten� p�ld�kon kereszt�l t�rgyaljuk� ker�lj�k az �ltal�nos�t�sokat

Koordin�t�k� jelz�sz�mok� koordin�tarendszer Gra�konok

Sz�msz�m f�ggv�nyek� �rtelmez�si tartom�ny� �rt�kk�szlet� f�ggetlen v�ltoz��f�ggv�ny�rt�k

Speci�lis sz�msz�m f�ggv�nyek �egyenes ar�nyoss�g� line�ris f�ggv�ny� ford�tottar�nyoss�g� az y � jxj f�ggv�ny�

Elemi f�ggv�nyvizsg�lat� n�veked�s� fogy�s� sz�ls��rt�k� korl�toss�g� folytonoss�g �Ezt csak konkr�t feladatokban� a gra�konr�l leolvasva v�rhatjuk el�

� oszt�lyban� emelt szinten� a f�ggv�nytranszform�ci�k� esetleg az sszetett

f�ggv�ny �s az inverz f�ggv�ny fogalma �Alapszinten � oszt�lyban sem tananyag�

� oszt�lyban� a sorozat mint a pozit�v eg�sz sz�mokon �rtelmezett f�ggv�ny

A felsorol�sb�l l�that�� hogy a f�ggv�ny fogalm�t nem akkor tekintj�k kialakultnak� amikor a tanul�k el tudj�k mondani szabatosan� hogy mit �rt�nk f�ggv�nyen� hanem akkor�ha azt be tudj�k illeszteni ismereteik kor�bbi rendszer�be� tudj�k alkalmazni m�s t�mak�r�kn�l� s a speci�lis f�ggv�nyek� illetve elemi f�ggv�nyek vizsg�lat�t ismerik Ebb�laz is k�vetkezik� hogy � oszt�lyban nem v�rhatunk el a tanul�kt�l �k�sz� f�ggv�nyfogal�

mat� Itt a f�ggv�ny mint a megfeleltet�sek egy fajt�ja szerepel Alaposabban t�rgyaljuka line�ris f�ggv�nyt� az egyenes ar�nyoss�got �s a ford�tott ar�nyoss�got�

A tank�nyvben a f�ggv�nyek jel l�s�re h�romf�le formul�t alkalmazunk Mindh�rom jel�l�si m�d elfogadott Azt �rdemes haszn�lni� amelyik legjobban szolg�lja c�ljainkat Azx �� �x � � jel�l�s fejezi ki legjobban a f�ggv�ny l�nyeg�t �az �rtelmez�si tartom�nyvalamely x elem�hez az �rt�kk�szlet �x � � kifejez�ssel meghat�rozott �rt�k�t rendelj�k hozz�� Az y � �x � � �s az f�x� � �x � � jel�l�si m�d a helyettes�t�si �rt�kekmeghat�roz�s�n�l �s a gra�kus �br�zol�sn�l haszn�lhat� eredm�nyesebben� mint azels� formula

A sz�m�sz�m f�ggv�nyek �br�zol�sa illetve a gra�konok elemz�se nagy gyakorlati haszonnal b�r� ismeret A gra�kon a val�s�gban lej�tsz�d� folyamatot vet�ti el�nk de

nem azonos mag�val a f�ggv�nnyel� A gra�kus �br�zol�ssal akkor �rhetj�k el c�ljainkat� ha az �br�zol�s ut�n bizonyos elemz�seket is elv�gz�nk� � oszt�lyban konkr�tmennyis�gek k�zti kapcsolatokat vizsg�lunk� s az egyes mennyis�gek �sszetartoz� �rt�kp�rjainak �br�zol�sa ut�n k�vetkeztethet�nk n�veked�sre� fogy�sra� sz�ls��rt�kreEzeket a jellemzket a gra�kon geometriai tulajdons�gaib�l olvashatjuk le�

Bizonyos fok� absztrakci� �s �ltal�nos�t�s is megval�s�that�� amikor magukt�l a mennyis�gekt�l eltekint�nk� s csak a kapcsolatra koncentr�lunk

��

Page 43: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

P�ld�ul az y � �x egyenlet kifejezheti egy �kmh

sebess�ggel halad� ember �ltal

x �ra alatt megtett utat �pp�gy� mint a � Ft egys�g�r� term�k x kgj�nak az �r�tTeh�t egy formul�val t�bbf�le folyamat vagy t�rgyak k�z�tt l�v� �sszef�gg�s le�rhat�

A koordin�tatengelyek elnevez�s�n�l ne haszn�ljuk az inform�ci�t nem ad� �v�zszintes� �s �f�gg�leges� elnevez�seket � oszt�lyban m�r bevezethetj�k az abszcissza �saz ordin�ta szavakat Az abszcissza �s az ordin�ta� illetve a f�ggetlen v�ltoz� �s af�ggv�ny�rt�k elnevez�sek haszn�lata az�rt is k�vetend�� mert k�s�bb� az egyenletekgra�kus megold�s�n�l az �rtelmez�si tartom�nyok azon elemeit �abszcissz�it� keress�k�amelyek eset�n a f�ggv�ny�rt�kek �ordin�t�k� egyenl�k �illetve egyenl�tlens�gekn�l kisebbek vagy nagyobbak� A gyakorlati jelleg feladatokban a megfelel� mennyis�geknev�t ��t� id�� h�m�rs�klet� t�meg stb� c�lszer felt�ntetni a tengelyek mellett

A gra�kon a folytonoss�g fogalm�nak el�k�sz�t�s�hez is seg�ts�get adhat �ltal�nosiskol�ban ez �gy jelentkezik� hogy �sszek�thet�ke folytonos vonallal a koordin�t�knakmegfelel� pontok Gyakorlati p�ld�kn�l a sz�veg �rtelmez�s�b�l k�vetkeztethet�nk afolytonoss�gra �P�ld�ul az emberek sz�ma � v�gzett munka kapcsolat gra�konja nemlesz folytonos vonal�

Folytonoss�g szempontj�b�l meg kell k�l�nb�ztetni a diszkr�t pontokb�l �ll� gra�kont�p�ld�ul� teheraut�k sz�ma � elsz�ll�tott anyagmennyis�g� az olyan gra�kont�l� amelyik az �rtelmez�si tartom�ny�n folytonos� de a sz�megyenes minden pontj�t tekintve

nem folytonos �p�ld�ul� y ��xf�ggv�ny gra�konja� Ennek t�rgyal�s�t csak a jobb

k�pess�g tanul�knak aj�nljuk� ker�lve az �ltal�nos�t�st Itt jegyezz�k meg� hogy ha az�rtelmez�si tartom�ny a racion�lis sz�mok halmaza � hiszen csak � oszt�lyban jutunkel a val�s sz�mok fogalm�hoz �� akkor is folytonos vonallal rajzoltuk meg a gra�kontEnnek oka� hogy a racion�lis sz�mok �tetsz�leges� s r n helyezkednek el a sz�megyenesen� azaz m�shogy nem is tudn�nk �br�zolni Eddigi tapasztalataink szerint ez nemjelent probl�m�t a � oszt�lyos tanul�knak

A k�vetkez�kben n�h�ny olyan gyakran el�fordul� hib�ra h�vjuk fel a �gyelmet� amelyeka f�ggv�nyfogalom kialak�t�s�t g�tolj�k

A tanul�k sokszor azonos�tj�k a f�ggv�nyt a gra�konj�val

A de�n�ci�kban nincs meg a fogalomra jellemz� �sszes ism�rv �P�ld�ul� Az egyikhalmaz elemeihez hozz�rendelj�k a m�sik halmaz elemeit�

A fogalom de�n�ci�ja �sz k� �A f�ggv�ny olyan egyegy�rtelm megfeleltet�s �

A gra�konok gyakorlati haszn�t nem hangs�lyozzuk el�gg� �P�ld�ul� Csak a gra�kon �br�zol�s�ig jutunk el� az elemz�sig m�r nem�

Nem tudj�k a tanul�k egy�b ismereteikhez kapcsolni a f�ggv�ny fogalm�t �P�ld�ul�Nem l�tnak kapcsolatot a geometriai k�pletek �s a f�ggv�nyek k�z�tt� Ez azt isjelenti� hogy nincs meg az ismeretek rendszere� csak elszigetelt� �nmagukbanfunkcion�l� ismeretekkel rendelkeznek a tanul�k

A speci�lis f�ggv�nyeket �egyenes ar�nyoss�g� ford�tott ar�nyoss�g� nem illesztikbe a f�ggv�nyek rendszer�be

A megfelel� p�ld�k v�logat�sa� az alapos elemz�s cs�kkentheti e hib�k el�fordul�s�t

��

Page 44: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A tananyag�feldolgoz�s csom�pontjai

E fejezethez a tank�nyv feladatain k�v�l a Matematika � Gyakorl� ���������� �s aMatematika ��� Feladatgy jtem�ny �������������� feladatai tartoznak

�� Halmaz elem eleme alapfogalmak nemcsak a f�ggv�nyfogalomhoz� hanem amatematika minden fogalomrendszer�hez n�lk�l�zhetetlenek

�� A �hozz�rendel�st� az �ltal�nos iskol�ban szint�n alapfogalomnak tekintj�k� de a tank�nyv p�ld�i el�k�sz�tik� hogy ezt a fogalmat az alaphalmaz �s a k�phalmaz elemeib�l k�pezhet� rendezett elemp�roknak �vagyis a k�t halmaz Descartesszorzat�nak�r�szhalmazak�nt �rtelmezz�k A p�ld�khoz kapcsol�dva megismerik a tanul�k ahozz�rendel�s a k�pelem a k�phalmaz az egy�rtelm� �s t bb�rtelm� hoz�

z�rendel�s fogalm�t A hozz�rendel�sek megad�si m�djair�l kor�bban tanultakatmeger�s�tj�k� illetve b�v�tj�k

�� A hozz�rendel�sek vizsg�lata sor�n szerzett tapasztalatokra t�maszkodva �rtelmezz�k a f�ggv�nyt� �s a f�ggv�ny fogalomrendszer�hez tartoz� fogalmakat �f�ggetlenv�ltoz�� �rtelmez�si tartom�ny� f�ggv�ny�rt�k� �rt�kk�szlet� K�l�n kiemelj�k asz�m�sz�m f�ggv�ny fogalm�t Konkr�t p�ld�khoz kapcsol�dva tudatos�tjuk� hogya lek�pez�s szab�lya �nmag�ban nem �rtelmezi a f�ggv�nyt� ismern�nk kell az�rtelmez�si tartom�nyt �s a k�phalmazt is

�� A gra�kus �br�zol�st� a gra�konok� t�bl�zatok elemz�s�t kapcsoljuk a matematikaegy�b t�mak�reihez A gra�konok elemz�s�vel tapasztalati szinten el�k�sz�tj�k azelemi f�ggv�nyvizsg�latokat

Az orsz�gos kompetenciamrsben is sok olyan feladat van� amely folyamatok�jelens�gek gra�konj�nak elemz�s�vel foglalkozik Ilyen feladatok a Tk� ����� B�����B������ B������ ���� ����

� A speci�lis f�ggv�nyek kor�bban tanult ismeretanyag�t b�v�tj�k� megmutatjuk akapcsolatot a line�ris f�ggv�ny �s az egyenes ar�nyoss�g k�z�tt� tiszt�zzuk azy � ax � b formul�ban az a �s a b szerep�tEllenp�ldak�nt foglalkozhatunk az y � jxj f�ggv�nnyel� �br�zoltathatjuk a gra�konj�t�ezzel m�r kor�bban is tal�lkoztak a tanul�k�

�� A � oszt�lyban tanultakat felid�zve �s elm�ly�tve foglalkozunk a ford�tott ar�nyos

s�ggal Konkr�t p�ld�khoz kapcsol�dva �br�zoltatjuk az y �c

xf�ggv�ny gra�konj�t

is

�� Az ar�nyoss�gi k�vetkeztet�sekhez� illetve a line�ris f�ggv�nyhez� esetleg az egyenletek gra�kus megold�s�hoz tartoz� sz�veges feladatokkal di!erenci�ltan fejleszthetj�k tanul�ink sz�veg�rtelmez� �s probl�mamegold� k�pess�g�t Egy�ttal felk�sz�tj�k �ket a tanultaknak a mindennapi �letben� illetve a t�rstant�rgyakban val�alkalmaz�s�ra is

Az ar�nyoss�gi k�vetkeztet�sek gyakorlati alkalmaz�sa l�that� a Tk� B����� feladatban Ez a feladatt�pus mindig el�fordul a kompetenciamrsekben�

�� A sorozatokkal mint f�ggv�nyekkel most csak �rint�legesen foglalkozhatunk Id�hi�ny eset�n � oszt�lyra halaszthatjuk ennek a r�sznek a feldolgoz�s�t

��

Page 45: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Kapcsol�d�si lehet�s�gek

A fejezet bevezet� r�sz�ben m�r sz�ltunk a f�ggv�ny fogalomrendszer�nek �s a matematika egy�b t�mak�reinek a kapcsolat�r�l

Halmazok logika

A fogalmak �s a feladatok �rtelmez�s�hez n�lk�l�zhetetlenek a halmazelm�leti fogalmak Az �rtelmez�si tartom�ny �s az �rt�kk�szlet fogalm�nak megtan�t�s�hoz ��jra�tiszt�znunk kell a r�szhalmaz fogalm�t

Kombinatorika

A felt�teleknek megfelel� �sszes megold�s megkeres�se

Aritmetika� sz�melmlet� algebra

A racion�lis sz�mokhoz hozz�rendelhetj�k az ellentettj�t� abszol�t�rt�k�t� n�la adottsz�mmal nagyobb �rt�ket� kerek�tett �rt�k�t stb� a term�szetes sz�mokhoz az oszt�it�oszt�i sz�m�t� egy adott sz�mmal val� oszt�s�nak marad�k�t stb �p�ld�ul Tk� ������Gy� ���������� feladat� A f�ggv�nyek� sorozatok szab�ly�nak meghat�roz�sa� illetvea szab�ly alkalmaz�sa �Tk� ������ ������ Gy� ���������� feladat� nemcsak a sz�mol�sij�rtass�gokat fejleszti� hanem el�k�sz�ti az algebrai anyag feldolgoz�s�t is �kifejez�sek�rtelmez�se� helyettes�t�si �rt�k�nek megad�sa�

Sz�zalksz�m�t�s

A sz�zal�ksz�m�t�sokban egyenes ar�nyoss�gi k�vetkeztet�seket hajtunk v�gre�Tk� B�����B������ Gy� �������

Mrs� geometria

A kor�bban tanult m�rt�kegys�gek �s ter�let� felsz�n� t�rfogatk�pletek folyamatosism�tl�se j�l illeszthet� a f�ggv�nnyel kapcsolatos ismeretek alkalmaz�s�nak gyakorl�s�hoz Tk� ������ ������ Gy� ����� ���� ����� ����� ����

Statisztika

A gra�konok� diagramok k�sz�t�se egyar�nt kapcsol�dik a f�ggv�nyek� illetve a statisztika t�mak�rh�z� ez�rt neh�zs�g n�lk�l megoldhat� a statisztik�ban tanult ismeretekfolyamatos ism�tl�se Gy� �����

Fizikai vizsg�latok

Id��t gra�konok elemz�se� az egyenletes mozg�s� a v�ltoz� mozg�s� a sebess�g� asebess�gv�ltoz�s fogalma� h�m�rs�kletv�ltoz�s� halmaz�llapotv�ltoz�sok� a t�rfogat�t�meg� s r s�g k�zti �sszef�gg�s stb �Tk� ����� ������ ������ ������ ������ ������

B������ B������ B������ Gy� ����������� ���������� ������ ����� feladat�

��

Page 46: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A tananyag�feldolgoz�s �ttekint�se

Hozz�rendelsek vizsg�lata

Ebben a bevezet� r�szben a kor�bban m�r tanult ismereteket eleven�tj�k fel� el�k�sz�tvea f�ggv�nyfogalom kialak�t�s�t �Halmaz� elem� eleme� r�szhalmaz� alaphalmaz�k�phalmaz� rel�ci�� �sszetartoz� elemp�rok� k�pelem�

A rendezett elemp�rok halmaz�val foglalkozik a tank�nyv� de csak konkr�t esetekben�megnevez�s �Descartesszorzat�� de�n�ci� n�lk�l A p�ld�k alapj�n felismerhetik a tanul�k� hogy a rel�ci� a rendezett elemp�rok halmaz�nak valamely nem �res r�szhalmaza

A rel�ci�k k�l�nb�z� megad�si m�djait �rdemes alaposan megvizsg�lni� hiszen ezeketaz ismereteket k�s�bb felhaszn�ljuk a kapcsolatok elemz�s�n�l �T�bl�zat� ny�ldiagram�Descartesdiagram� elemp�rok halmaza�

Az egy�rtelm�s�g t�bb�rtelm s�g vizsg�lata nagyon fontos� mert az egy�rtelm megfeleltet�sek k�z�l ker�lnek ki a f�ggv�nyek

A mintap�ld�k olyanok� hogy a fogalom minden jegy�t tartalmazz�k� s ezek feldolgoz�s�val� alapos elemz�s�vel el�rhetj�k azt� hogy a tanul�k � n�mi tan�ri seg�ts�ggel� denagy �n�ll�s�ggal � a f�ggv�ny minden l�nyeges ism�rv�t k�pesek legyenek felfedezni

A reduk�lt program szerint csak a tov�bbhalad�shoz n�lk�l�zhetetlen ismereteket tekintj�k �t� �s els�sorban a gra�konok vizsg�lat�val foglalkozunk

F�ggvnyek rtelmezse� vizsg�lata

� oszt�lyban� alapszinten nem tartjuk fontosnak� hogy t�m�r� pontos de�n�ci�t tudjanakadni a tanul�k� de azt igen� hogy egy megfeleltet�sr�l el tudj�k d�nteni� hogy f�ggv�nyevagy sem Ha a f�ggv�ny de�n�ci�j�t nem is v�rjuk el a tanul�kt�l� az elnevez�sek ��rtelmez�si tartom�ny� �rt�kk�szlet� egy�rtelm s�g� pontos haszn�lat�t igen A reduk�lt

programban erre a szintre tal�n � oszt�lyban juthatnak el a tanul�k

A heti � tan�r�ban a reduk�lt v�ltozat szerint dolgoz� oszt�lyokban csak a legjobbakt�lv�rhat� el� hogy k�pesek legyenek elsaj�t�tani ezeket a fogalmakat

A feladatokat �gy v�logassuk �ssze� hogy egyr�szt kapcsol�djanak a �zik�hoz� illetve amindennapi �lethez� m�sr�szt felsz�nre hozz�k a � oszt�lyban tanult ismereteket� ezzelmintegy el�k�sz�tve a k�vetkez� fejezet anyag�nak tan�t�s�t

Alapszinten c�lszer legal�bb k�t tov�bbi �r�ban foglalkozni a gra�konokkal� diagramokkal �Gy� ����������� ���������� feladat� F�lt�tlen�l ford�tsunk gondot a gra�konokvizsg�lat�ra is� hiszen ez k�pezi alapj�t a k�s�bbi f�ggv�nyvizsg�latnak

Emelt szinten m�r elv�rhatjuk� hogy a de�n�ci�kat is megtanulj�k �s �rtelmezni tudj�k atanul�k

Ezen a szinten jobban t�maszkodhatunk a tanul�k �n�ll� otthoni munk�j�ra� ez�rt nemsz�ks�ges � tan�t�si �r�ban foglalkoznunk ezzel a r�sszel Az �gy felszabadul� id�tmajd az egyenletek� egyenl�tlens�gek gra�kus megold�s�ra ford�thatjuk

��

Page 47: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Az egyenes ar�nyoss�g mint f�ggvny

Az �ltal�nos iskol�ban a fogalomkialak�t�s k�vethet� �tja� az egyszer t�l a bonyolult fel�� a speci�list�l az �ltal�nos fel�� a konkr�tt�l az absztrakt fel� Az egyenes ar�nyoss�gmint speci�lis line�ris f�ggv�ny el�k�sz�theti� megalapozhatja az �ltal�nosabb� absztraktabb� bonyolultabb fogalom tan�t�s�t A kidolgozott mintap�ld�k fel�p�t�se olyan�hogy t�bb� r�gebben tanult fogalmat� elnevez�st is feleleven�thet�nk vel�k �p�ld�ul� meredeks�g� pozit�v sz�g� negat�v sz�g� A sok gyakorl�feladat azt a c�lt szolg�lja� hogy atanul�k az orig�n �thalad� adott meredeks�g egyeneseket a maxim�lis begyakorlotts�gszintj�n tudj�k �br�zolni� �s a meredeks�g �rtelmez�se ne jelentsen probl�m�t nekik�Az y � ax f�ggv�ny eset�n az x tengelyen " egys�gnyi pozit�v ir�ny� halad�shoz azy tengely ment�n a egys�gnyi halad�s tartozik� Fontos kiemelni a meredeks�g �s az�sszetartoz� �rt�kp�rok ar�ny�nak egyenl�s�g�t is Ezt a gra�konon is mutassuk megAzt is aj�nlatos megmutatni� hogy ha a meredeks�g t�rtsz�m� akkor az el�z�ekt�l elt�r� m�don is �br�zolhat� a gra�kon � de v�geredm�nyben ugyanazt kapjuk �alapszint tank�nyv ����# oldal� b�v�tett tank�nyv �$��" oldal� �� p�lda�

A meredeks�g pozit�v vagy negat�v volta a f�ggv�ny n�veked�s�t vagy cs�kken�s�tmutatja �alapszint tank�nyv �# oldal� b�v�tett tank�nyv �" oldal� �� p�lda� Ha m � $�akkor az y � ax k�plet az y � $ k�pletbe megy �t� azaz az x tengely egyenlet�tkapjuk

A line�ris f�ggvny

Ebben a fejezetben �rtelmezz�k �s vizsg�ljuk az y � ax � b k�plettel adott sz�msz�m f�ggv�nyt Az els�fok� �s a line�ris f�ggv�nyt nem tekintj�k azonos �rtelm nekEz de�n�ci� k�rd�se Kapcsol�dva a k�z�piskol�k tank�nyveihez� az elsfok� �s a

nulladfok� �azaz konstans� f�ggv�nyt nevezz�k line�ris f�ggv�nynek� %gy a f�ggv�nytle�r� kifejez�sben az a� illetve a b param�ter $ is lehet

Miut�n az egyenes ar�nyoss�g fejezetn�l a meredeks�g jelent�s�t kell�en tiszt�ztuk�konkr�t p�ld�khoz kapcsolva� a f�ggv�nytranszform�ci� gondolat�t felhaszn�lva jutunkel az egyenes ar�nyoss�g fogalm�t�l a line�ris f�ggv�ny fogalm�ig A feladatok �sp�ld�k megold�sakor felismerik a tanul�k� hogy az y � ax �s az y � ax�b kifejez�sselle�rhat� f�ggv�nyek gra�konja egym�ssal p�rhuzamos egyenes� �s az ut�bbi gra�kon ab �rt�kn�l metszi az y tengelyt

Konkr�t p�ld�kkal azt is meg kell mutatnunk� hogy p�ld�ul az y � �x � � �s az y � �xeset�n mindk�t f�ggv�nyn�l " egys�gnyi abszcisszav�ltoz�shoz � egys�gnyi ordin�tav�ltoz�s tartozik� de m�g az y � �x f�ggv�nyn�l az �sszetartoz� �rt�kek ar�nya �� addigaz y � �x � � f�ggv�nyn�l ez az ar�ny v�ltoz� N�h�ny �rt�kp�r ennek igazol�s�ra�

x� � "� y� � #�y�x�� #� x� � �� y� � ��

y�x����� x� � �� y� � &�

y�x�� �

Teh�t az y � �x � � kapcsolat nem egyenes ar�nyoss�g

A b param�ter jelent�s�nek vizsg�lat�n�l �rdemes hangs�lyozni� hogy az egyenesar�nyoss�g gra�konja mindig az orig�n halad kereszt�l �ha az x � $ az �rtelmez�sitartom�nynak eleme� Ez�rt� ha az egyenes ar�nyoss�got y � ax � $ alakban �rjuk�akkor l�that�� hogy az egyenes ar�nyoss�g olyan line�ris f�ggv�ny� amelyn�l a b � $

��

Page 48: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

B�r a f�ggv�nyek gra�kus �br�zol�s�n�l m�g k z�piskolai tagozatban is megengedhet� az �rt�kt�bl�zat haszn�lata � s�t a helyettes�t�si �rt�kek kisz�m�t�sa a m veletekgyakorl�sa szempontj�b�l hasznos �s �gy aj�nlott is �� az y tengellyel val� metsz�spont� illetve a meredeks�g �rtelmez�se gyorsabb �br�zol�si m�dra ad lehet�s�get Hapontjainak felv�tel�vel �br�zoltatjuk az egyeneseket� akkor � a t�ved�sek kik�sz�b�l�semiatt � c�lszer h�rom pontot meghat�roztatni Kider�l a hiba� ha b�rmelyik pont nemilleszkedik a m�sik kett� �ltal meghat�rozott egyenesre

A sorozat mint f�ggvny

A tanul�k legyenek k�pesek megkezdett sorozatokat folytatni adott� illetve felismert szab�ly szerint Ismerj�k fel t�bbf�le szab�ly megfogalmaz�s�nak lehet�s�g�t A tanultakatlegyenek k�pesek alkot� m�don alkalmazni sz�melm�leti� geometriai vizsg�latokban

Ha egyk�t �r�ban foglalkozunk a sorozatokkal� akkor nem �rhetj�k el ezeket a c�lokatA matematika minden fejezet�hez kapcsol�dva kapjanak ilyen feladatokat a tanul�k

Most az az els�dleges c�l� hogy tudatos�tsuk a fogalmat

Ford�tott ar�nyoss�g

Ford�tott ar�nyoss�gi k�vetkeztet�sekkel m�r k�th�rom �ve tal�lkoztak a tanul�k Mosta fogalom tudatos�t�sa a c�l

Az y �"xf�ggv�nyn�l vizsg�ltassuk meg� hogy a $ mi�rt nem lehet eleme az �rtelme

z�si tartom�nynak �Utaljunk a kor�bban tanultakra� azaz a $val val� oszt�s �rtelmetlenvolt�ra� Azt is �gyeltess�k meg� hogy a gra�konon mindez hogyan jelentkezik

Mindenk�ppen dolgoztassunk fel t�bb olyan feladatsort� amelyben fel kell ismerni� hogyegyenes vagy ford�tott ar�nyoss�gr�l vane sz� �Tk� ������ ������ B�������

Gyakorl�� s fejt�r� feladatok

A feladatok egyr�szt a megl�v� ismeretek elm�ly�t�s�t szolg�lj�k� m�sr�szt felk�sz�tika tanul�kat a � dolgozatra� illetve a � oszt�lyos orsz�gos kompetenciam�r�sre

Javasoljuk� hogy sok� de felsz�nes feladatmegold�s helyett ink�bb kevesebb feladattalfoglalkozzunk� �s ezek mindegyik�re teljes megold�st adjunk

Tud�spr�ba

A Tk� ��� feladat n�gy r�szfeladata lefedi azokat a legfontosabb f�ggv�nytani ismereteket� amelyeket � oszt�lyban elv�rhatunk a tanul�kt�l

Az �� feladat azt m�ri fel� hogy a tanul� hogyan k�pes �rtelmezni a gra�konr�l leolvashat� �sszef�gg�seket Az elemz�s szeml�lethez k�t�d� elemi f�ggv�nyvizsg�latotis jelent

A �� feladatban gra�konj�val adott egyenes ar�nyoss�g� illetve line�ris f�ggv�ny szab�ly�t kell meghat�rozni

A �� �s �� �k�l�nb�z� neh�zs�g � r�szfeladatokban sz�veggel adott f�ggv�nyeket kell�rtelmezni�k a tanul�knak

��

Page 49: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

�� Egybev�g�s�g

Az el�z� �vfolyamokon� m�r als� tagozatban is� a k�s�rletez�sek �s a sokoldal� meggyel�sek sor�n igen sok �lm�nyt gy�jt�ttek a tanul�k a k l�nb�z� transzform�ci�kr�l�k�zt k az egybev�g�s�gi transzform�ci�kr�l is� Ezekre a meggyel�sekre t�maszkodhatunk most is� amikor j�t�kos feladatok megold�sa sor�n tudatos�tjuk a fogalmakat�

A geometriai transzform�ci�t speci�lis f ggv�nyk�nt� vagyis olyan egy�rtelm� lek�pe�

z�sk�nt �rtelmezz k� amelynek az �rtelmez�si tartom�nya �s a k�phalmaza is ponthalmaz� Ez meg�llapod�s k�rd�se� Vannak olyan szakk�nyvek� amelyek csak a ponthalmazok egy�egy�rtelm� lek�pez�s�t tekintik geometriai transzform�ci�nak� Mi indokoljaaz �ltalunk elfogadott �ltal�nosabb �rtelmez�st�

Jobban megfelel a tanul�k tud�sszintj�nek� Ugyanis �� oszt�lyban nem foglalkozunkaz �egyegy�rtelm�� lek�pez�ssel� Egyr�szt id�hi�ny miatt� m�sr�szt a k�lcs�n�senegy�rtelm�s�g vizsg�lata m�g magasabb �vfolyamokon is komoly gondot okoz alegt�bb tanul�nak�

�gy lehet�s�g ny�lik az �elfajul� esetek� vizsg�lat�ra is� Ezek �mint ellenp�ld�k� �ppenaz egyegy�rtelm� lek�pez�s fogalm�t is el�k�sz�thetik�

Ezt a den�ci�t tal�ljuk a legt�bb k�z�piskolai tank�nyvben is�

A �geometriai transzform�ci�� � mint pontnak ponthoz t�rt�n� egy�rtelm� hozz�rendel�se � fogalm�val �� oszt�lyban a tengelyes t kr�z�s r�szletes t�rgyal�sa sor�n tal�lkoztak a tanul�k� �� oszt�lyban tov�bbi egybev�g�s�gi transzform�ci�k ker lnek sorra�Az eltol�ssal �s a forgat�ssal csup�n az ismerked�s szintj�n ��� oszt�lyban visszat�r nk az egzakt fogalmak kialak�t�s�ra �s a tulajdons�gok vizsg�lat�ra� a szerkeszt�sekelv�gz�s�re�� A kz�ppontos tkrz�ssel r�szletesen foglalkozunk�

A t�ma feldolgoz�sa sor�n arra t�reksz nk� hogy az egyes transzform�ci�k tulajdons�gait vizsg�lva egyez�seket �s k l�nb�z�s�geket vetess nk �szre� fedeztess nk fel�ezzel fejlesztve a tanul�k geometriai szeml�let�t� Sz ks�ges teh�t� hogy az �jabbtranszform�ci�kkal val� ismerked�st megel�zze a tengelyes t kr�z�sr�l �s a tengelyesen szimmetrikus alakzatokr�l tanultak feleleven�t�se� r�gz�t�se�

A tan�ri bemutat�shoz j�l haszn�lhat� az �r�svet�t�� A j�l szerkesztett� r�gz�tett tengelyk�r l ��tfordul�� transzparenssel igen j�l szeml�ltethet� p�ld�ul az� hogy a tengelyest kr�z�s nem s�kmozg�s� Hat�kony az �r�svet�t�vel val� modellez�s a s�kmozg�sok�eltol�s� elforgat�s� bemutat�sa sor�n is� Az eltol�sn�l a k�t r�tegben egym�sra helyezett f�lia k�z l a fels� egy r�gz�tett �v�ly�ban� mozdulhat el� a forgat�sn�l pedig egym�anyag patent modellezi a �r�gz�tett pontot��

Fontosnak tartjuk a fogalmak szeml�leti megalapoz�s�t� A bevezet� fejezet mintap�ld�i�s feladatsorai ezt a c�lt szolg�lj�k� A kompetenciam�r�seknek ehhez az anyagr�szhez kapcsol�d� feladataival akkor boldogulhatnak a tanul�k� ha kell�en fejlett a k�piprobl�mamegold� gondolkod�suk� amelyhez n�lk l�zhetetlenek a t�nyleges k�s�rletezget�sek� meggyel�sek�

A vektorral nem csak az�rt foglalkozunk� mert sz ks�ges az eltol�s �rtelmez�s�hez�hanem az�rt is� mert a zik�ban is tal�lkoznak vele a tanul�k�

��

Page 50: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A tananyag�feldolgoz�s csom�pontjai

�� Az el�z� �vfolyamokban m�r konkr�t tapasztalatokat szereztek a tanul�k a transzform�ci�kr�l� Ezeket a tapasztalatokat ebben a tan�vben �sszegy�jtj k� rendszerezz k�s �jabbakkal b�v�tj k ki� A f ggv�nyfogalom tudatos�t�sa ut�n� az �ltal�nosabb�rtelmez�snek megfelel�en� a s�k pontjainak egy�rtelm� lek�pez�s�t mint pont�pontfggv�nyt nevezz k geometriai transzform�ci�nak�A fogalom kialak�t�s�hoz sz ks�ges� hogy ellenp�ld�kkal is tal�lkozz�k a tanul��Ez�rt tal�lkozz�k egyr�szt olyan megfeleltet�sekkel� amelyek nem egy�rtelm�ek�teh�t nem transzform�ci�k� m�sr�szt ker lj�n sor nem egybev�g�s�gi transzform�ci�k vizsg�lat�ra is�

�� J�t�kos feladatokon kereszt l foglalkozunk az egybev�g�s�gi transzform�ci�kkal� Atananyag spir�lis fel�p�t�s�nek ezen a szintj�n m�g nem lehet c�lunk a den�ci�kmegfogalmaz�s�nak� a tulajdons�gok felsorol�s�nak� illetve a szerkeszt�sek pontosv�grehajt�s�nak a sz�monk�r�se� Feladatunk a rugalmas k�pi gondolkod�s fejleszt�se� a geometriai szeml�let alak�t�sa�

�� Emelt szinten� jobb csoportban alapszinten is�

Ha kor�bban �rtelmezt k a vektor fogalm�t� akkor ennek felhaszn�l�s�val pontos�thatjuk az eltol�s fogalm�t is mint olyan ponttranszform�ci�t� amely s�kmozg�s�K�s�bb az eltol�shoz kapcsol�dva a p�rhuzamos sz�r szgp�rok k z l �rtelmezz k az egy�ll�s szgeket �s a t�rsszgeket�

�� oszt�lyban az eltol�st is �jra t�rgyalja a tank�nyv �gy� hogy el is m�ly�thetj k a�� oszt�lyban tanultakat�

�� Feleleven�tj k �s tudatosabb� tessz k �be�p�tj k a fogalomrendszerbe� a tengelyest kr�z�sr�l �s a tengelyesen szimmetrikus s�kidomokr�l tanultakat�

Emelt szinten

A tengelyes tkrz�s tulajdons�gait szerkeszt�si �s bizony�t�si feladatok megold�s�ban alkalmazzuk�

�� K l�n fejezetben vizsg�ljuk a kz�ppontos tkrz�st� Tudatos�tjuk� hogy a k�z�ppontos t kr�z�s speci�lis forgat�s�Ehhez kapcsol�dva �rtelmezz k a ford�tott �ll�s� sz�geket��rtelmezz k a k�z�ppontos szimmetri�t� A kor�bban megismert n�gysz�gek� szab�lyos soksz�gek k�z l el��ll�tjuk �s vizsg�ljuk a k�z�ppontosan szimmetrikusakat�

Emelt szint

A k�z�ppontos t kr�z�s �s szimmetria tulajdons�gainak alkalmaz�sak�nt szerkesz�t�si �s bizony�t�si feladatokat oldunk meg�

�� Vizsg�ljuk a forgat�st �s a forg�sszimmetrikus alakzatokat� Az alapszint� k�nyvbencsak a k�s�rletezget�s� meggyel�s szintj�n� A b�v�tett k�nyvben a negat�v� illetvepozit�v elfordul�s �rtelmez�se ut�n �rtelmezz k a forgat�st� vizsg�ljuk a tulajdons�gait� Esetleg foglalkozhatunk az elforgatott k�p megszerkeszt�s�vel is�

Az egybev�g�s�gi transzform�ci�k �sszefoglal�s�ra �s rendszerez�s�re� az elt�r� �saz azonos tulajdons�gok kiemel�s�re �� oszt�lyban is sor ker l�

��

Page 51: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Kapcsol�d�si lehet�s�gek

Halmaz� logika

A geometriai transzform�ci� �rtelmez�s�n�l� valamint az alakzatok vizsg�lat�n�l� rendszerez�s�n�l� az �sszef gg�sek megfogalmaz�s�n�l alkalmazzuk a halmazelm�leti �slogikai ismereteket �s eszk�z�ket�

Szmtan� algebra

Sz�mol�s racion�lis sz�mokkal� koordin�tarendszerben transzform�ci�val kapott alakzatok pontjainak� vektorok v�gpontjainak meghat�roz�sa� forgat�sok egym�s ut�ni elv�gz�sekor az elfordul�s m�rt�k�nek kisz�m�t�sa� stb� Tk� ������ ������ ������ ������

B���� B������ B������ Gy� ������ ������� Ter letsz�m�t�sok� t�rtr�sz kisz�m�t�sa�ar�ny Tk� ���� �������

Relci�k� f�ggv�nyek

Koordin�tarendszer� Tk� ������ ������ ������ ����� A geometriai transzform�ci� isf ggv�ny� A ponthoz pontot rendel�s szab�lyai az egyes feladatokn�l sz�vegesen� illetvematematikai �sszef gg�s form�j�ban tal�lhat�k�

A m�r�s� a geometria egy�b t�mak�rei

Alkalmazzuk a hossz�s�gm�r�sr�l �s a sz�gm�r�sr�l tanultakat�

Az egybev�g�s�gi transzform�ci�kkal val� ismerked�s sor�n a m�r megl�v� geometriaifogalmakra �s az ismert szerkeszt�si elj�r�sokra �p�t nk� Az egyes transzform�ci�ktulajdons�gait alkalmazva h�romsz�geket� n�gysz�geket szerkeszt nk�

A tananyag�feldolgoz�s �ttekint�se

Ismerked�s a pont�pont f�ggv�nyekkel

A Tk� ����� feladat �s az �� p�lda r�szfeladatai egym�ssal �sszef gg�k� c�lszer�mindegyiket megoldatni� majd a tapasztalatokat egy ttesen megbesz�lni �s r�gz�teni�A feladatok seg�ts�g�vel felfriss�tj k a tanul�k koordin�tageometri�val� f ggv�nyfogalommal� geometriai transzform�ci�val� tengelyes t kr�z�ssel kapcsolatos ismereteit�el�k�sz�tj k az eltol�snak �s a k�z�ppontos t kr�z�snek mint transzform�ci�nak a tan�t�s�t� P�ld�t mutatunk olyan transzform�ci�kra �torz�t�s� nagy�t�s�� amelyek nemsz�gtart�k� illetve nem t�vols�gtart�k�

Komplex m�don foglalkozik a k l�nb�z� egybev�g�s�gi transzform�ci�kkal a �� mintap�lda �s a fejezetben tal�lhat� t�bbi feladat is�

��

Page 52: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Ezeknek a feladatoknak a feldolgoz�s�val szeml�leti alapot ny�jthatunk az egybev�g�s�gi transzform�ci�k fogalm�nak megalapoz�s�hoz� s azon t�lmen�en a k�pi gondolkod�s fejleszt�s�hez�

A geometriai transzform�ci�t olyan f ggv�nyk�nt �rtelmezz k� amelynek az �rtelmez�sitartom�nya �s a k�phalmaza is ponthalmaz�

Az egybev�g�s�g t�vols�gtart� transzform�ci��

Az egybev�g�s�gi transzform�ci�k vizsg�latakor t�rekedj nk arra� hogy a tanul�k ismerj�k f�l

a tengelyes t kr�z�st� a t kr�z�s tengely�t�

az eltol�st� az eltol�st meghat�roz� vektort�

az elforgat�st� az elforgat�s k�z�ppontj�t� illetve az elfordul�s sz�g�t�

Az elmozduls megadsa irny�tott szakasszal� A vektor

A vektor fogalm�t els�sorban a zik�ban tanult vektormennyis�gek �rtelmez�se c�lj�b�lvezetj k be� Ugyanakkor majd az eltol�st � mint transzform�ci�t � is a vektor seg�ts�g�vel tudjuk jellemezni� A dedukt�v bevezet�si m�dot el akartuk ker lni� ez�rt gyakorlati�letb�l vett p�ld�kkal mutatunk r� a vektor term�szetes volt�ra�

Ebb�l a szempontb�l a tank�nyvi �br�k� valamint az �br�k �rtelmez�s�hez sz ks�gessz�veg feldolgoz�sa a legfontosabb� A feldolgoz�s sor�n v�lj�k nyilv�nval�v�� hogy avektor abban k l�nb�zik a szakaszt�l� hogy nemcsak hossza� hanem ir�nya is van�

Egym�ssal p�rhuzamos vektorok �sszead�s�val csak a b�v�tett v�ltozatban foglalkozunk� A mintap�lda megold�sa sor�n az els� meg�llap�t�sunk ne az legyen� hogy k�tvektor �sszege is vektor� hanem az� hogy kezd�pontb�l v�gpontba jutottunk� a �kezd��� illetve �v�g� jelz�k nemcsak hossz�s�got� hanem ir�nyt is jeleznek� teh�t vektorthat�roznak meg�

Nem k�v�ntuk az ismeretanyagot a s�kvektor� illetve a t�rvektor kifejez�sekkel b�v�teni� bonyol�tani� E kifejez�sek haszn�lata n�lk l is megoldhat�k mindazok a tank�nyvifeladatok� amelyek t�rvektorral kapcsolatosak �Tk� B���� B�������

Eltols

Az eltol�s t�rgyal�s�hoz �� oszt�lyban visszat�r nk� ez�rt most els�sorban az ismerked�s� tapasztalatszerz�s legyen a c�lunk� Id�hi�ny miatt most esetleg el is hagyhat�ennek az anyagr�sznek a feldolgoz�sa�

Az �ltal�nos iskolai tanul� eddigi tanulm�nyai sor�n minden egybev�g�s�gi transzform�ci�val megismerkedett� k�z l k a tengelyes t kr�z�ssel viszonylag r�szletesen�

M�r als� tagozatban� de f�leg a �� oszt�lyban a tengelyes t kr�z�s l�nyeges tulajdons�gait konkr�t feladatokat megoldva� sok esetben modellez�ssel� k�s�rletezget�sselfedezte fel a tanul�� fedeztette fel a tan�r� V�lem�ny nk szerint az eltol�s is olyantranszform�ci�� amelynek megismer�se sz�les kr� manipulat�v tev�kenys�get k�vetelmeg a tanul�t�l� �s csak a tapasztalatszerz�s tj�t bej�rva v�lik teljesen �rthet�v� azeltol�sra adott tank�nyvi meghat�roz�s�

��

Page 53: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Az eltol�s eset�ben ugyanis � a tengelyes t kr�z�shez viszony�tva � bonyolultabb avizsg�l�d�s� Egyegy alakzat �p�ld�ul ir�ny�tott szakasz� mozgat�sa eset�n azt kellvizsg�lni� hogy az elmozdul�s ir�nya �s nagys�ga mik�nt befoly�solja az alakzat m�ret�t�s mozg�s�nak ir�ny�t� E vizsg�l�d�s eredm�nye�

�� Ha a szakasz b�rmely k�t pontja �pl� a k�t v�gpontja� egyazon ir�nyban ugyanakkorautat tesz meg� akkor a szakasz hossza nem v�ltozik meg� ir�nya pedig az eredetiszakasz�val p�rhuzamos marad�

�� Ha a szakasz v�gpontjai egyazon ir�nyban mozognak� de ek�zben k l�nb�z� nagys�g� utat tesznek meg� akkor az �ltaluk meghat�rozott szakasz hossz�s�ga azeredeti szakasz�hoz viszony�tva megv�ltozhat� ir�nya pedig nem lesz felt�tlen lp�rhuzamos az eredeti szakasszal�Az nem fordulhat el�� hogy egyidej�leg mind a v�gpontok k�z�tti t�vols�g� mind az�ltaluk meghat�rozott ir�ny v�ltozatlan marad�

�� Ha a v�gpontok k l�nb�z� ir�nyban ugyanakkora vagy k l�nb�z� nagys�g� utattesznek meg� akkor az e pontok k�zti t�vols�g megv�ltozhat� �s az �ltaluk meghat�rozott ir�ny sem lesz felt�tlen l p�rhuzamos az eredeti szakasszal�Ez esetben sem fordulhat el� az� hogy egyidej�leg v�ltozatlan marad mind a pontokt�vols�ga� mind a pontok �ltal meghat�rozott ir�ny�

Mindezek a meg�llap�t�sok azt jelentik� hogy egy ir�ny�tott szakasz �s a k�pe akkor �scsak akkor egyenl�� ha a kezd� �s a v�gpontja azonos ir�nyban ugyanakkora t�vols�gramozdul el� �Felt�telezz k� hogy az ir�ny�tott szakasz �merev test�� a mozgat�s sor�nteh�t b�rmely k�t pontj�nak egym�st�l m�rt t�vols�ga nem v�ltozik��

Az ���� pontokban eml�tett tapasztalatok megszerz�s�re igen alkalmasak azok a feladatok� amelyekben n�gyzetr�cson vagy h�romsz�gr�cson vizsg�ljuk szakaszok transzform�ci�j�t �Tk� ����� b�� Gy� ���� ����� feladat�� A szakaszt esetleg sz�v�sz�ldarabbalmodellezhetj k� Mind a n�gyzetr�cs� mind a h�romsz�gr�cs leegyszer�s�ti az ir�nyok�hosszak meg�llap�t�s�t� �sszehasonl�t�s�t�

N�h�ny tov�bbi didaktikai jelleg� megjegyz�s�

H�vjuk fel a gyelmet a pontkoordin�t�k pontos leolvas�s�ra�

A t�ves adatok felismer�se �s korrig�l�sa az ismeretek b�v�t�s�t eredm�nyezi�

Ha sz ks�ges� tov�bbi olyan pontp�rokat is megadhatunk� amelyekkel az ���� pontban kifejtettek igazolhat�k�

A ter letsz�m�t�s gyakorl�sa c�lj�b�l kisz�m�ttathatjuk a vizsg�lt soksz�gek ter let�t�

Ezeknek a feladatoknak a feldolgoz�s�t az�rt is aj�nljuk� mert a tapasztalatszerz�smellett alkalmasak a koordin�tageometriai ismeretek alkalmaz�s�ra� b�v�t�s�re� akombinat�v k�pess�gek fejleszt�s�re�

A feladatok � funkci�juk szerint � h�rom csoportba oszthat�k�

a fogalom meg�rt�s�t el�seg�t� �Tk� ����� b�� Gy� ���� ����� feladat��

a szerkeszt�s technik�j�t el�seg�t�� gyakorl� �Tk� B������ B����� feladat��

a geometriai szeml�letet fejleszt� �Tk� ���� ������ B���� B������ B����� feladat��

��

Page 54: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Tengelyes t�kr�z�s� tengelyesen szimmetrikus s�kidomok

Ebben a r�szben � a koncentrikus b�v�t�s elv�nek megfelel�en � nemcsak a tengelyest kr�z�sr�l tanultakat ism�telj k �t� id�zz k fel� hanem a m�r ismertek alapj�n a fogalmakat tov�bb m�ly�tj k� az alkalmaz�sok k�r�t pedig tov�bb sz�les�tj k�

Az �ltal�nos iskolai matematikatanul�s egyik alapvet� von�sa a pr�b�lkoz�son� k�s�rletez�sen� meggyel�sen alapul� ismeretszerz�s� Emiatt fenn�ll annak a vesz�lye� hogyezt az indukt�v ismeretszerz�si folyamatot teljes �rt�k� bizony�t�snak tekintik a tanul�k�vagyis a sejt�st bizony�t�sk�nt kezelik� Ez�rt fontos a bizony�t�s ig�ny�nek kialak�t�sa�Ezt a c�lt szolg�lhatja p�ld�ul� ha a tank�nyvben felsorolt tulajdons�gok bizony�t�s�t isk�rj k a tehets�gesebb tanul�inkt�l�

K�z�ppontos t�kr�z�s

A Tk� ����� feladat feldolgoz�s�t hat�konyabb� tehetj k� ha k�zvetlen l el�tte t�nyle�

gesen � minden tanul�t bevonva � le is j�tszatjuk a t�rsasj�t�kot� �P�ld�ul a padt�rsakj�tszanak� vagy a tan�r j�tszik az oszt�llyal stb�� A tanul�k tapasztalat nyom�n jutnakel ahhoz a felismer�shez� hogy a rendszertelen� vakt�ban val� pr�b�lkoz�sn�l j�val�rt�kesebb a szint�n tapasztalat �tj�n szerzett �n�gyes csoportokba oszt�s�� de a biztos

nyer�s strat�gi�j�nak a k�z�ppontos t kr�z�s az alapja�

Az el�k�sz�t� feladatok �Tk� ������ ������ megold�sa ut�n a tanul�k el�tt ink�bb a transzform�ci� megval�s�t�s�nak technik�ja v�lik vil�goss�� mintsem az� hogy a k�z�ppontost kr�z�s speci�lis �����os� elforgat�s� Ez ut�bbit a fejezet elej�n olvashat� szeml�ltet�s tanulm�nyoz�sa sor�n veszik �szre � tan�ri ir�ny�t�s seg�ts�g�vel � a tanul�k� �s�gy k�z�s munka nyom�n juthatunk el fontos k�vetkeztet�sekhez�

A kz�ppontos t kr�z�s az elforgat�s speci�lis esete� a t kr�z�tt alakzat� teh�t azelforgatott alakzat minden tulajdons�g�val �p�ld�ul egybev�g�s�g� rendelkezik� L�tezikazonban olyan tulajdons�ga �p�ld�ul a megfelel� szakaszok p�rhuzamoss�ga�� amelyaz elforgatott alakzatokra �ltal�ban nem jellemz�� Teh�t az elforgat�sok halmaz�nakval�di r�szhalmaza a k�z�ppontos t kr�z�sek halmaza�

A szavakban val� megfogalmaz�sa m�dot ny�jt az igaz �ll�t�s nem minden esetben val�megford�that�s�g�nak bizony�t�s�ra is�

ha egy alakzat egy m�sik alakzat k�z�ppontos t k�rk�pe� akkor annak elforgatott k�pe�

ha egy alakzat egy m�sik alakzat elforgatott k�pe� akkor annak nem felt�tlenl a k�z�ppontos t k�rk�pe�

A fejezethez kapcsol�d� gyakorl�feladatok k�z l a Tk� ���� ����� feladat megold�sakor�a k�z�ppontos t kr�z�s v�grehajt�s�n t�lmen�en� a h�romsz�g szerkeszt�s�t is ism�telj k� tov�bb� el�k�sz�thetj k a h�romsz�g ter let�r�l �s a paralelogramm�kr�l k�s�bbtanuland�kat�

A �� p�lda feldolgoz�s�val el�k�sz�thetj k a k�z�ppontosan szimmetrikus alakzat fogalm�t� Konkr�t alakzatok �sszehasonl�t�s�val k l�nb�ztetj k meg a tengelyes �s ak�z�ppontos szimmetri�t �ez a tanul�k egy r�sz�nek k�s�bb is gondot fog okozni��

��

Page 55: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Sz�gprok

P�rhuzamos sz�r szgek

A p�rhuzamos sz�r� sz�gekre vonatkoz� meg�llap�t�sokat a tank�nyv kidolgozott p�ld�j�nak megold�sa nyom�n fogalmazzuk meg �term�szetesen lehets�ges m�s m�donval� feldolgoz�s is��

A �sz�gek sz�rai egyir�ny�ak�� a �sz�gek sz�rai ellent�tes ir�ny�ak� nem mag�t�l �rte�

t�d� fogalmak� ezeket valamilyen m�don meg kell hat�rozni� A tank�nyv csup�n rajzzalszeml�lteti� de nem deni�lja ezeket a fogalmakat ��ltal�ban a k�z�piskolai k�nyveksem�� Emelt szint� tanul�csoport eset�n felh�vhatjuk a tanul�k gyelm�t arra� hogy arajz alapj�n pr�b�ljanak helyes sz�beli meghat�roz�st adni�

Ez esetben a szokratikus tan�t�si elj�r�s c�lravezet� lehet�

Az a tapasztalat� hogy �eleinte� a pr�b�lkoz�sok k�zvetlen l vagy k�zvetve circulus vitiosushoz vezetnek� a tanul�k az egy ir�nyban� ellent�tes ir�nyban szavakat haszn�lj�k ameghat�roz�s k�zben� A tan�r seg�t� mondata �a s�kot bontsuk egyenessel k�t f�ls�kra�helyes meghat�roz�st eredm�nyezhet� P�ld�ul�

K�t � nem egy egyenesbe es� � p�rhuzamos f�legyenest egyir�ny nak nevez nk� haa kezd�pontjaikon �thalad� egyenes a k�t f�legyenest nem v�lasztja el� �Az elv�laszt�sazt jelenti� hogy a f�legyenesek nem egyazon f�ls�kban haladnak��

Az ellent�tes ir�ny� f�legyenesekre vonatkoz� meghat�roz�s ezek ut�n m�r k�nnyebben megalkothat��

A helyes meghat�roz�shoz val� eljut�s kollekt�v munka eredm�nye� C�lja nem csak azismeret megszerz�se� Az alkalmazott � szokratikus � m�dszer kialak�thatja a fogalmakpontos meghat�roz�s�nak ig�ny�t� fejlesztheti a matematikai intelligenci�t� biztos�tja akultur�lt vitak�szs�get� az igazs�g fokozatos megk�zel�t�s�t� s m�g j� n�h�ny oktat�si�s nevel�si c�l megval�s�t�s�t�

Ford�tott �ll�s szgek

A cs csszgek �s a v�lt�szgek fogalm�t� a vel k kapcsolatos egyenl�s�get a k�z�ppontos t kr�z�s alkalmaz�sak�nt vezethetj k be� A ford�tott �ll�s� sz�gek fogalm�nakkialak�t�sakor hangs�lyoznunk kell� hogy ha egy egyenest ����kal elforgatunk� akkoraz eredeti egyenes �s a k�pe p�rhuzamos egym�ssal� Ezt a szeml�letre t�maszkodvaelfogadjuk� Ebb�l k�zvetlen l k�vetkezik� hogy a f�legyenes k�z�ppontos t k�rk�peegy vele p�rhuzamos� de ellent�tes ir�ny� f�legyenes� A Tk� ����� �s ����� feladatokfeldolgoztat�s�val r�vil�g�thatunk a sz�gp�roknak a geometriai vizsg�latokban bet�lt�ttszerep�re�

Az elforduls m�r�se

j anyag a pozit�v �s negat�v elfordul�s �s a forg�sszg �rtelmez�se� Ennek tan�t�s�t csak jobb csoportban javasoljuk� az�rt hogy a forgat�s egzaktabb �rtelmez�se �svizsg�lata sor�n m�r ez ne okozzon gondot a tanul�knak�

Az ir�ny�tott sz�g fogalma j�l szeml�ltethet� a �Jobbra �t!�� �Balra �t!� paranccsal�

��

Page 56: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Forgats� forgsszimmetrikus alakzatok

Alapszinten a forgat�s nem k�vetelm�ny� Elegend�� ha pauszpap�rra rajzolt �bra seg�ts�g�vel meggyel�seket v�gz nk �l�sd a bevezet� szeml�ltet�st� illetve a Tk� �����

feladatot� Ez elegend� ahhoz� hogy teljes k�pet kapjanak a tanul�k az egybev�g�s�gitranszform�ci�k rendszer�r�l� Mindenk�ppen utaljunk vissza arra� hogy a k�z�ppontost kr�z�s speci�lis elforgat�s�

Emelt szinten� jobb k�pess�g� csoportban megmutathatjuk a forgat�ssal l�trej�v� k�pmegszerkeszt�s�nek m�dj�t� meggyeltethetj k a forgat�s mint egybev�g�s�gi transzform�ci� tulajdons�gait ���� �� p�lda��

Szab�lyos soksz�gek forgat�s�val� �p letd�szek� vir�gok� h�pelyhek� f�lbe v�gottgy m�lcs�k vizsg�lat�val gyeltethetj k meg a forg�sszimmetri�kat�

A Tk� B������ B����� feladatok megold�s�hoz fejlett k�pi szeml�letre van sz ks�g�felk�sz l�s a kompetenciam�r�sre��

Gyakorl�� �s fejt�r� feladatok

A gyakorl�feladatok olyanok� hogy megold�sukhoz az egybev�g�s�gi transzform�ci�kr�ltanultak eg�sz�t alkalmazni kell� Ez�rt e feladatokhoz kapcsol�dva j�l megval�s�that� atanultak �sszegz�se� rendszerez�se� �sszefoglal�sa� de ezeken t�lmen�en a geometriail�t�sm�d �s a k�pi probl�mamegold� k�pess�g fejleszt�se is�

Tudspr�ba

A tud�spr�b�k feldolgoztat�s�val el�k�sz�thetj k a dolgozatot� L�sd �� felm�r� dolgo�

zat feladatsor�t�

A tud�spr�ba �� �s �� feladat�val m�rhetj k� hogy a tanul�k k�peseke a tanultakatszokatlan feladathelyzetben alkalmazni�

��

Page 57: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

�� Algebra

Az algebrai kifejez�sekkel � teh�t nem csak konkr�t sz�mokkal � val� m�veletek elv�g�z�se mindig komoly gondot jelentett a tanul�knak� Ennek az az oka hogy ez a te�v�kenys�g nagyfok absztrakci�t felt�telez� Ha tanul�ink nem k�pesek e gondolkod�sim�veletre vagy nem el�gg� fejlettek e t�ren szinte megoldhatatlan probl�m�val tal�lj�kszemben magukat� Az absztrakci�ra val� k�pess�g nem alakul ki mag�t�l komoly tan�ritervez� munk�t ig�nyel� Hossz neh�z munka sor�n lesz csak k�pes a tanul� erre a �matematik�ban n�lk�l zhetetlen � tev�kenys�gre� Ez�rt is helyeselhet� az a t rekv�samely az algebra alapjainak lerak�s�t m�r als� tagozatban megkezdi �s a gyerekekhezk zel �ll� p�ld�k � konkr�tumok � sokas�g�n kereszt�l jut el �� oszt�lyban az algebraikifejez�sig azaz a gondolati absztrakci�ig�

A bet�jel l�s bevezet�se nem nc�l� Haszn�lata n�lk�l zhetetlen a f�ggv�nyek ageometriai sz�m�t�sok az egyenletek egyenl�tlens�gek a �zikai k�miai sz�m�t�sokstb� tan�t�s�n�l�

Als� tagozatban � kezdetben � a keretjel l�st �t�glalap n�gyzet h�romsz g k r stb��haszn�ljuk ezzel is �rz�keltetve azt hogy az egyes keretekbe t bb sz�m is �rhat�k�s�bb fokozatosan t�r�nk �t a v�ltoz�k bet�kkel val� jel l�s�re� Ez a fokozatoss�gt bb �vfolyamon kereszt�l �lland� tartalmi b�v�l�st felt�telezve val�sulhat meg� P�ld��ul a k vetkez� feladatsoron �rz�keltethet� a fokozatoss�g a konkr�tt�l az absztraktighalad�s folyamata�

a� �rd fel ��nek �s ��nak az sszeg�t��rd fel a�nak �s ��nak az sszeg�t��rd fel a�nak �s b�nek az sszeg�t�

b� Most �� �ves vagyok� H�ny �v mlva leszek �� �ves�Most a �ves vagyok� H�ny �v mlva leszek �� �ves�Most x �ves vagyok� H�ny �v mlva leszek y �ves�

c� Egy oszt�lyban �� pad van� Ha minden padba � tanul� �l akkor � hely �resenmarad� H�ny tanul� van az oszt�lyban�Egy oszt�lyban a sz�m pad van� Ha minden padba � tanul� �l akkor � tanul�naknem jut hely� H�ny tanul� van az oszt�lyban�Egy oszt�lyban a sz�m pad van� Ha minden padba x sz�m tanul� �l akkor y

hely �resen marad� H�ny tanul� van az oszt�lyban�

d� �rd fel �� Ft�nak a �����t��rd fel a Ft�nak a �����t��rd fel a Ft�nak a b���t�

E n�h�ny kiragadott p�lda is �rz�kelteti hogy nagyon sok t�mak rt tudunk �rinteniaz algebrai kifejez�sek tan�t�sa sor�n� Az is l�tszik hogy egy ilyen �neh�z� fogalommegfelel� konkr�t p�ld�kkal hogyan tehet� a tanul�k sz�m�ra �k�zzelfoghat�v��� Fontosa di erenci�l�si lehet�s�g az itt felsorolt p�ld�kn�l mert nagyon sok tanul� nehezen jutel a p�ldasorozatban l�that� ��� fokozatig�� Ezek a tanul�k sok�ig megmaradnak a�konkr�ts�g� szintj�n�

��

Page 58: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A rendszerszeml�let � a kor�bbi t�mak r kh z hasonl�an � itt is fontos a fogalomalko�t�shoz hiszen ez�ltal alaposabb tart�sabb alkalmazhat�bb transzfer�lhat�bb isme�reteket szerezhetnek a tanul�k� Ebb�l a szempontb�l vizsg�ljuk meg hogy az algebraikifejez�sek fogalm�nak kialak�t�s�hoz milyen egym�sra �p�l� egyszer� �s sszetettfogalmakat kell a tanul�knak elsaj�t�taniuk�

Halmaz elem eleme�

Alapm�veletek elnevez�sek � sszead�s kivon�s sszevon�s szorz�s oszt�s sszeg k�l nbs�g szorzat h�nyados��

A � az oszt�sban�

El�jel! m�veleti jel�

M�veleti tulajdons�gok! z�r�jelek haszn�lata! m�veleti sorrend�

"sszeg szorz�sa oszt�sa! szorzat szorz�sa oszt�sa�

Hatv�nyoz�s! hatv�ny alap kitev�! m�veletek hatv�nyokkal�

Kifejez�s v�ltoz� egy�tthat�! egynem� k�l nnem�! egytag t bbtag! algebraieg�sz �s t rtkifejez�s�

Helyettes�t�si �rt�k meghat�roz�sa�

#rtelmez�si tartom�ny�

Az egyszer� fogalmak k z�l t bbet �halmaz elem eleme m�veletek elnevez�sekel�jel stb�� m�r kor�bban megtan�tottunk de �� oszt�lyban � �v elej�n � ezek alaposism�tl�se sz�ks�ges hogy a fogalomalkot�sban tudjuk mihez kapcsolni az j ismere�teket� A t bbi � kor�bban felsorolt � fogalomr�l is szereztek m�r a tanul�k bizonyosalapismereteket amelyekre most �p�thet�nk�

Reduk�lt program

Heti h�rom �r�ban mintegy � �r�val kevesebb id� jut az algebrai kifejez�sek t�rgyal��s�ra mint azokban a csoportokban amelyek heti n�gy �r�ban tanulj�k a matematik�t�Ez�rt itt ebben a t�mak rben sem lehet teljess�gre t rekedni� Ink�bb az algebrai kifeje�z�sek eszk zjelleg�t kell hangslyoznunk� Ez azt jelenti hogy annyit �s olyan m�lys�g�ben kell megtan�tanunk e t�mak rb�l amennyi az egy�b tant�rgyakban ��zika k�miatechnika stb�� illetve a matematika m�s t�mak reiben �geometria egyenletek f�ggv��nyek stb�� n�lk�l zhetetlen�

Az algebrai kifejez�sek szorzatt� bont�s�val m�g el�k�sz�t�s ig�ny�vel sem foglalkoz�hatunk� Ezt a NAT illetve a Kerettanterv ennek a koroszt�lynak nem �rja el�� A tov�bbit�mak r kben is kevesebb id� jut a gyakorl�sra az sszetettebb feladatok megold��s�ra� Ezt a hi�nyt a k z�piskol�ba k�sz�l� tanul�inknak otthoni munk�val vagy k�l nfoglalkoz�sokon p�tolniuk kell�

Az �v v�gi ism�tl�sre l�nyeg�ben nem marad id�� Ez�rt a sz�mtan algebra illetve af�ggv�nyek t�mak rben tanultakat az algebrai kifejez�sek feldolgoz�s�val p�rhuzamo�san kell �ttekinten�nk �s a hi�nyoss�gokat di erenci�lt otthoni munk�val �vagy korre�pet�l�sok szervez�s�vel� p�toltatnunk kell� A tanmenetben apr� bet�vel szedve utalunkhogy mely ismereteket eleven�thetj�k fel �s ism�telhetj�k �t�

��

Page 59: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A tananyag�feldolgoz�s csom�pontjai

�� Feleleven�tj�k am�veletek fogalm�t� gyakoroltatjuk a n�gy alapm�veletet a racion�lissz�mok halmaz�ban� Tudatos�tjuk a m�veleti tulajdons�gokat�

�� Elm�ly�tj�k a hatv�nyoz�s fogalm�t �rtelmezz�k az alap a kitev� jelent�s�t tuda�tos�tjuk a m�veletek sorrendj�t� tov�bb� feleleven�tj�k a hatv�nyokkal v�gzett m�ve�

letekrl �s a sz�mok norm�lalakj�rl tanultakat�

�� #rtelmezz�k az algebrai kifejez�sekkel kapcsolatos fogalmakat elnevez�seket �al�gebrai kifejez�s egy�tthat� v�ltoz�! egynem� k�l nnem� algebrai kifejez�sek��Az algebrai kifejez�sek helyettes�t�si �rt�keinek kisz�m�t�s�n�l gyakoroltatjuk an�gy alapm�veletet �s a hatv�nyoz�st a racion�lis sz�mok k�l nb z� alakjaival�Ha tanul�ink �sz�ban �s �r�sban� megb�zhat�an sz�molnak akkor a helyettes�t�si�rt�k kisz�m�t�s�hoz haszn�ltathatunk sz�mol�g�pet� Ezzel nemcsak id�t szabad��tunk fel az �rdemi munk�ra hanem ��egyszer�� sz�mol�g�pek haszn�lata eset�n�tudatosabb� v�lik a m�veletek helyes sorrendje is� A sz�mol�g�ppel val� sz�mol�stmindig el�zze meg az eredm�ny becsl�se �kerek�tett �rt�kekkel �fejben� sz�molva��

Emelt szinten �rtelmezhetj�k az algebrai eg�sz �s t�rtkifejez�sek fogalm�t vizsg�l�hatjuk az algebrai t rtkifejez�sek �rtelmez�si tartom�ny�t�

�� #rtelmezz�k �s gyakoroltatjuk az egynem� kifejez�sek sszevon�s�t�

�� #rtelmezz�k �s gyakoroltatjuk az egytag majd t bbtag kifejez�sek szorz�s�t osz�t�s�t egytag kifejez�ssel�

Alapszinten �s a reduk�lt programban esetleg megel�gedhet�nk a t bbtag kifeje�z�sek sz�mmal val� szorz�s�val�

� T bbtag kifejez�s szorzatt� alak�t�sa kiemel�ssel� A reduk�lt programban nem fog�lalkozunk ezzel az anyagr�sszel�

� Az egyenletek� az egyenltlens�gek megold�sa sor�n alkalmazzuk az algebrai kife�jez�sekr�l tanultakat$ az egynem� kifejez�sek sszevon�s�t a kifejez�sek szorz�s�t�s szorzatt� alak�t�s�t s ezzel a m�veletv�gz�st is gyakoroltatjuk�

Jobb k�pess�g� csoportban k�l n foglalkozunk a t rtegy�tthat�s egyenletek egyen�l�tlens�gek megold�s�val� Az okozhat neh�zs�get hogy algebrai kifejez�sekre kella t rtekre tanult elj�r�sokat �k z s nevez�re hoz�st t rtek sszevon�s�t szorz�s�tegyszer�s�t�s�t stb�� alkalmazni�

�� Az egyszer� sz�veges feladatok megold�s�nak menet�t a kor�bbi �vfolyamokon isnagy r�szletess�ggel tan�tottuk� �� oszt�lyban gyakoroltatjuk elm�ly�tj�k a sz�veges

feladatok megold�s�nak algoritmus�t� K�l n sen �gyeln�nk kell a tervk�sz�t�sre� abecsl�sre �s az ellenrz�sre�

�� Jobb k�pess�g� csoportban megismerkedhet�nk az egyenletek egyenl�tlens�gekgra�kus megold�s�val� Vizsg�lhatjuk a line�ris egyenletek megoldhat�s�g�t� Ezalkalmat biztos�t a line�ris f�ggv�nyr�l tanultak integr�l�s�ra j ter�leten t rt�n�alkalmaz�s�ra�

��

Page 60: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Kapcsol�d�si lehet�s�gek

M veletek� m veleti tulajdons�gok

Ebben a fejezetben a racion�lis sz�mok minden tanult alakj�val � ha tan�tottuk akkora norm�lalakkal is � c�lszer� m�veleteket v�geztetni amihez a helyettes�t�si �rt�kekmeghat�roz�sa �s az egyenletek megold�s�nak az ellen�rz�se nyjt lehet�s�get�

A m�veleti tulajdons�gok a helyes m�veleti sorrend biztos �s alkalmaz�sra k�pes tu�d�sa n�lk�l nem lehet meghat�rozni a kifejez�sek helyettes�t�si �rt�k�t elv�gezni a ki�fejez�sek sszevon�s�t szorz�s�t szorzatra bont�s�t� Ez�rt a kifejez�sekkel v�gzettm�veletek sor�n jra �s jra tudatos�tanunk kell a m�veleti tulajdons�gokat a z�r�jelekhaszn�lat�r�l tanultakat �s a helyes m�veleti sorrendet�

Hatv�nyoz�s

A hatv�nyoz�sr�l tanultakat is alkalmaznunk kell az algebrai kifejez�sek �rtelmez�s�hezhelyettes�t�si �rt�k�k meghat�roz�s�hoz� A kifejez�sek szorz�s�ra oszt�s�ra szorzat�ra bont�s�ra �jobb csoportban� olyan feladatokat is feladhatunk amelyekben alkalmaznikell az egyenl� alap hatv�nyok szorz�s�r�l oszt�s�r�l tanultakat�

Geometria

A ter�let� ker�let� felsz�n� t�rfogatk�pleteket algebrai kifejez�sek form�j�ban fogalmaz�zuk meg ez�rt ezeknek a mennyis�geknek a kisz�m�t�sa l�nyeg�ben algebrai kifejez�shelyettes�t�si �rt�k�nek meghat�roz�sa� A t�glalap ter�let�nek sz�m�t�sa modellk�ntszolg�l az algebrai kifejez�sek szorz�s�nak illetve szorzatra bont�s�nak �rtelmez�s��hez� �Tk� ������ ������ ������ Gy� ����� ������ ������

Ar�ny� ar�nyoss�g� sz�zal�ksz�m�t�s

F�leg a sz veges feladatok megold�sa sor�n az adatok k zti kapcsolatok fel�r�sakorgyakoroltathatjuk ezeket az anyagr�szeket� �Tk� ����� ������ ������ Fgy� ��������

�����������

Egyenes ar�nyoss�g� line�ris f�ggv�ny

Egyenletek egyenl�tlens�gek gra�kus megold�sakor illetve a line�ris egyenletek meg�oldhat�s�g�nak vizsg�latakor k zvetlen�l alkalmazzuk a line�ris f�ggv�nyek �br�zol��s�r�l tanultakat�

Halmazok� logika

Egyenletek egyenl�tlens�gek �rtelmez�s�hez megold�s�hoz haszn�ljuk a halmazel�m�leti logikai fogalmakat �alaphalmaz igazs�ghalmaz nyitott mondat stb���

��

Page 61: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A tananyag�feldolgoz�s �ttekint�se

M veleti tulajdons�gok

Feleleven�tj�k az algebrai kifejez�sek tan�t�s�hoz elengedhetetlen alapismereteket�

A m�veletek sorrendje �s ennek a sorrendnek a z�r�jelez�ssel val� megv�ltoztat�sasok probl�m�t jelent a tanul�k z m�nek� Am�g minden tanul� biztos ismeretekkel nemrendelkezik e t�mak rben addig nem javasoljuk a tov�bbhalad�st hiszen e n�lk�llehetetlen az sszevon�s a kiemel�s v�grehajt�sa a helyettes�t�si �rt�kek kisz�m�t�saaz egyenletek megold�sa�

Hasonl�an fontos az el�jel �s a m�veleti jel fogalm�nak pontos kialak�t�sa� Az itt je�lentkez� gondot az el�jel kett�s funkci�j�b�l eredeztethetj�k� Egyr�szt a konkr�t negat�vsz�mokat �p�ld�ul$ � �! � �! � �� stb�� m�sr�szt egy elem addit�v inverz�nek k�pz�s�t�sz�mok ellentettj�t� jel lj�k vele� Tov�bbi probl�m�val tal�ljuk szemben magunkat haa ��� el�jel egy v�ltoz� el�tt �ll�

Ha megk�rdezz�k tanul�inkat hogy a �� a� �rt�ke pozit�v vagy negat�v nagy val��sz�n�s�ggel a tanul�k t bbs�ge negat�vot mond� P�ld�kkal �s a helyettes�t�si �rt�kekkisz�m�t�s�val kell megmutatnunk hogy a �� a� �ppgy lehet pozit�v mint negat�v vagy�� A probl�ma gy kere az hogy a v�ltoz� �mag�ban hordja� az el�jel�t is� �P�ld�ul$a % �! a % � �! a % ���

A hatv�nyok tan�t�sa sem j anyag� �� &� oszt�lyban �s �� oszt�lyban �v elej�n �rtel�mezt�k a hatv�nyokat megmutattuk mit �rt�nk alapon kitev�n� Ezekre az ismeretekret�maszkodva alak�tjuk tov�bb a hatv�nyfogalmat�

A pozit�v eg�sz kitev�j� hatv�nyok csak kiindul� alapj�t k�pezik a hatv�nyfogalomnakde az a de�n�ci� hogy an olyan n�t�nyez�s szorzat amelynek minden t�nyez�je anem vihet� �t a � a negat�v �s a t rtkitev�s hatv�nyok de�ni�l�s�ra� �� oszt�lybanemelt szinten �rtelmezhetj�k a �� nempozit�v eg�sz kitev�j� hatv�nyait� �Alapszintenerre �� oszt�lyban ker�lhet sor��

H�vjuk fel a �gyelmet arra hogy nem helyes az a de�n�ci� amely szerint b�rmely sz�m��dik hatv�nya � mert �� nincs �rtelmezve� Sok p�ld�val kell megmutatnunk hogyde�n�ci� szerint$

Minden ��t�l k�l nb z� sz�m ��dik hatv�nya ��A � b�rmely pozit�v hatv�nya ��

Ismerked�s az algebrai kifejez�sekkel

Az algebrai kifejez�s nagyon absztrakt �s sok ismeretet ig�nyl� fogalom� P�ld�ul a� �x� kifejez�s felt�telezi hogy az eljel� a m�veleti jel� az egy tthat� a v�ltoz� ahatv�nyalap� hatv�nykitev fogalm�t ismerik a tanul�k�

Az egy tthat fogalm�nak kialak�t�s�t m�r als� tagozatban el�k�sz�tj�k akkor amikorazonos tagok sszeg�t szorzat alakj�ban �ratjuk fel a gyerekekkel� P�ld�ul�

� ' � ' � % � � � �vagy � � ��

��

Page 62: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Fels� tagozatban ennek egyszer� �ltal�nos�t�sa jelenik meg amikor

x ' x ' x ' x helyett � � x�et �vagy x � ��et� �runk�

Ebb�l � k�l n indokl�s n�lk�l � jutunk el oda hogy nem csak a pozit�v eg�sz sz�mok

lehetnek egy�tthat�k$ ��a! ���b� M�g p�ld�ul a � � x! � � a� visszavezethet�k azonos

tagok sszeg�re addig a negat�v vagy t rtegy�tthat�s kifejez�sek nem�

B�s�gesen legyenek az �r�n olyan feladatok ahol p�rhuzamba �ll�tjuk a kitev� �s azegy�tthat� �rtelmez�s�t� �gy elker�lhetj�k a k vetkez� hib�kat vagy legal�bbis cs k�kenthetj�k gyakoris�gukat$

�� % & vagy x� % �x

Az egy�tthat� � sszegeredet�nek� illetve a hatv�ny �szorzateredet�nek� hangslyoz�sahat�konyabb� teszi ez ir�ny munk�nkat� P�ld�ul$

�� % � � � � � % � �% & % � � � % � ' � ' �

A hatv�nyok el�jel�nek meghat�roz�sa is sok probl�m�t jelent a tanul�knak� P�ld�ul$

�� x�� % � x� de �� x�� �% � x�

Z�r�jelez�ssel tehetj�k egy�rtelm�v� hogy hogyan kell sz�molnunk�

El�sz r a hatv�nyoz�st majd az ellentettk�pz�st �� ��gyel val� szorz�st� v�gezz�k el$

� �� % � �� � � � � � �� % � �&

A z�r�jelben l�v� kifejez�snek k�pezz�k a hatv�ny�t vagyis el�bb k�pezz�k a sz�mvagy kifejez�s ellentettj�t �s ezt hatv�nyozzuk�

�� ��� % �� �� � �� �� � �� �� � �� �� % �&

Ide k�v�nkozik m�g hogy ebben az egyszer� kifejez�sben$ x h�rom ��es van �elrejtve�$

x %� � x�

�Ezeknek az ��eseknek az algebrai kifejez�sek egyszer�s�t�s�n�l lesz nagy jelent�s��g�k�

A tanmenetben javasolt � �ra kev�s arra hogy az itt felsorolt ismereteket elsaj�t�ts�ka tanul�k gondot kell ford�tanunk arra hogy ezek a t�mak r minden fejezet�n�l �s�tk�s�bb egy�b fejezetekn�l is� megfelel� hangslyt kapjanak s folyamatos ism�tl�sk�ntt bbsz r visszat�rj�nk r�juk�

Algebrai kifejez�s helyettes�t�si �rt�k�nek meghat�roz�sa

A k�s�bbiek sor�n gyakori nagyon fontos anyagr�sz� Egyr�szt a sz�mol�si rutint fej�lesztj�k vele m�sr�szt a m�veletek sorrendj�t ism�teltethetj�k �t s nem utols�sorban ittalapozzuk meg azt hogy az egyenletek ellenrz�s�hez n�lk l�zhetetlen helyettes�t�si�rt�keket ki tudj�k sz�molni� Ez�rt a tanmenetben javasolt � �r�n tl a t�mak rre sz�ntminden �r�n szak�tsunk id�t ennek a gyakorl�s�ra�

Egynem � k�l�nnem algebrai kifejez�sek� Egynem kifejez�sek �sszevon�sa

Szorosan sszetartozik e k�t fejezet� Az egyenletek megold�s�hoz n�lk�l zhetetlen is�meretek tal�lhat�k benn�k� Javasoljuk hogy addig m�g tanul�ink ismerete hi�nyos vagy

��

Page 63: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

pontatlan ne haladjunk tov�bb hanem a tanmenetjavaslatt�l elt�r�en ��� �r�t m�gford�tsunk ezen anyagr�sz megtan�t�s�ra vagy korrepet�l�son p�toljuk a hi�nyoss�go�kat� A jobb k�pess�g� tanul�kt�l t bbt�nyez�s hatv�nyokat is tartalmaz� kifejez�sek sszevon�s�t is elv�rhatjuk m�g a gyeng�bbekn�l megel�gedhet�nk az olyan t�pusak�kal amelyek a line�ris egyenletek megold�s�hoz sz�ks�gesek�

Egytag� kifejez�s szorz�sa� oszt�sa egytag� kifejez�ssel

Az egytag�� t�bbtag� kifejez�s de�ni�l�sa neh�zkes� A pontos de bonyolult � s a tanu�l�k sz�m�ra nehezen elsaj�t�that� � de�n�ci� ad�sa helyett megfelel p�ld�kkal mutas�

suk meg� hogy mi a k l�nbs�g az egytag�� illetve a t�bbtag� algebrai kifejez�s k�z�tt�

Ugyanis nem mondhatjuk hogy az egytag algebrai kifejez�sben csak szorz�s vagycsak oszt�s szerepel �s sszead�s kivon�s nem mert ez �gy nem igaz� P�ld�ul$az ��x ' y� kifejez�s egytag �amelynek az egyik t�nyez�je k�ttag� de az ebb�l kap�hat� �x ' �y kifejez�s m�r nem egytag� A tank nyvben nem de�ni�ljuk ezeket afogalmakat� Megfelel� p�ld�k sokas�g�val alak�tsuk ki a tanul�kban azokat�

Az egytag kifejez�sek szorz�s�nak oszt�s�nak tan�t�s�n�l fontos e m�veletek algorit�

mus�nak elsaj�t�t�sa� Nevezetesen$ el�sz r szorozzuk �osztjuk� az egy�tthat�kat majdelv�gezz�k a v�ltoz�kkal a kijel lt m�veletet� Azt is fontos tiszt�znunk hogy csak azo�nos alap hatv�nyok szorzat�t tudjuk �egyszer�bben� fel�rni m�s esetben csak kijel lj�ka v�ltoz�k szorzat�t �h�nyados�t�� P�ld�ul$ �xy � �x� % & � x� � y�

Felh�vjuk a �gyelmet a di erenci�l�s sz�ks�gess�g�re �s lehet�s�geire� Alapszinten�

minimumk�vetelm�nyk�nt megel�gedhet�nk olyan kifejez�sek szorz�s�val oszt�s�valamelyeket az egyszer�bb egyenletek megold�s�n�l alkalmaznunk kell �p�ld�ul$ legfel�jebb els�fok egyt�nyez�s kifejez�s szorz�sa� m�g az emelt szinten tanul�k eset�n at bbt�nyez�s a hatv�nyoz�s azonoss�gainak ismeret�t is megk�v�n� kifejez�sek szor�z�s�t oszt�s�t is elv�rhatjuk�

Ennek az anyagr�sznek az ismerete n�lk�l zhetetlen a k�s�bbi fejezetek tan�t�s�hoz�p�ld�ul t bbtag kifejez�s szorz�sa egytagval� �gy javasoljuk hogy addig ne halad�junk tov�bb m�g a sz�ks�ges ismeretek birtok�ban nincsenek a tanul�k�

T�bbtag� kifejez�sek szorz�sa egytag� kifejez�ssel

Javasoljuk a ter�letmodellek felhaszn�l�s�t ezen anyagr�sz tan�t�sakor� �gy �rthet�bbmaradand�bb s a gyeng�bb tanul�k sz�m�ra is k vethet�bb a z�r�jelbont�s�

Az egyenletek megold�s�hoz n�lk�l zhetetlen ismeret fontos az alapos begyakorl�sa�Ha a tanmenetben javasolt k�t �ra kev�s erre akkor a fejezet v�g�re tervezett gyakor�l��r�kon tlmen�en a folyamatos ism�tl�s sor�n is sz�njunk id�t erre az anyagr�szre�

Minim�lis k vetelm�nyk�nt az els�fok sszeg szorz�sa sz�mmal v�rhat� el� Ez a m��velet n�lk�l zhetetlen az egyszer� line�ris egyenletek megold�s�hoz�

T bbtag kifejez�s szorz�sa t bbtag kifejez�ssel k z�piskolai tananyag� Emelt szintenesetleg �� oszt�lyban foglalkozhatunk vele�

Page 64: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

T�bbtag� kifejez�s szorzatt� alak�t�sa kiemel�ssel

Az el�z� fejezettel szinkronban tan�tand�� A z�r�jelbont�s �szab�ly�t� m�r megismert�ka tanul�k teh�t ha egy sszeget szorzatt� alak�ttatunk akkor r gt n ellen�riztetj�k azeredm�ny helyess�g�t� A ter�letmodell alkalmaz�s�t itt is javasoljuk�

Sz�ks�ges di erenci�lnunk$ A tank nyv a gyakorl� �s a feladatgy�jtem�ny feladatailehet�v� teszik hogy a k z�piskol�ba k�sz�l�k sz�m�ra a tanul�k szintj�nek megfelel�feladatokat v�logathassunk m�g a t bbiek sz�m�ra megel�gedhet�nk olyan feladatok�kal amelyek az egyszer�bb egyenletek megold�s�hoz sz�ks�gesek�

A reduk�lt programban nem foglalkozunk ezzel az anyagr�sszel�

Algebrai eg�sz kifejez�sekkel v�gzett m veletek gyakorl�sa

A b�v�tett tank nyvben szerepl� fejezet� A folyamatos ism�tl�shez biztos�t feladatokat�

Egyenlet� egyenl�tlens�g� azonoss�g� azonos egyenl�tlens�g

Az els� szakaszban a &� oszt�lyban tanultak ism�tl�se a fogalomrendszer tudatos�t�sa�s �ttekint�se a feladatunk�

Olyan nyitott mondatk�nt de�ni�ljuk az egyenletet amelyben algebrai kifejez�seket az

egyenls�g jel�vel kapcsolunk �ssze� Ez nem mond ellent a kor�bbi de�n�ci�nak de�gy matematikailag jobban kezelhet� hiszen az egyenletek megold�sa sor�n a k�t ol�dalon �ll� algebrai kifejez�seken azonos illetve ekvivalens �talak�t�sokat v�gz�nk� Amegold�si m�dok k z tt olyan elj�r�sok is el�fordulnak amelyek nem sorolhat�k a m�r�legelvvel a lebontogat�ssal a pr�b�lgat�ssal val� megold�s egyik�be sem hanemaz algebrai kifejez�sek �talak�t�sa tj�n oldjuk meg �p�ld�ul az x� � (x % � egyenletx�x � (� % � egyenlett� alak�that� ami ut�n a szorzat � volt�t vizsg�ljuk�� M�s esetbena gra�kus megold�st alkalmazzuk�

Egyenletek megold�sa a k�t oldal egyenl� v�ltoztat�s�val

A m�rlegelvet &� oszt�lyban k�t�h�rom l�p�sben megoldhat� egyenletek eset�ben alkal�mazt�k a tanul�k� A legt bb tanul� sz�m�ra neh�zs�get jelent a tanultak feleleven�t�se�Ez�rt egyenl� kar m�rleggel most is szeml�ltetn�nk kell az elv�gezhet� l�p�seket�

Ebben az �vben a k vetkez� ter�leteken l�p�nk tov�bb$

Az egyenletekben szerepl� kifejez�sekben illetve a megold�s l�p�seik�nt el�fordul�hat az ismeretlenek illetve a sz�mok sszevon�sa� Tudatos�tsuk hogy az egynem�kifejez�sek sszevon�s�r�l tanultakat alkalmazzuk�

A kifejez�sek sszevon�sa sor�n alkalmazzuk a z�r�jelbont�st�

Alkalmazzuk a t rtekkel v�gzett m�veletekr�l tanultakat�

Az algebrai kifejez�sekn�l tanult minden ismeret gyakoroltathat� itt s�t a megold�sokn�ln�lk�l zhetetlenek ezek az ismeretek� Az ellen�rz�st minden megold�s ut�n k vetelj�kmeg a tanul�kt�l�

��

Page 65: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Egyenl�tlens�gek megold�sa a k�t oldal egyenl� v�ltoztat�s�val

Egyenl�tlens�gek megold�sa m�rlegelvvel t bb mozzanatban k�l nb zik az egyenletekmegold�s�t�l�

Felismertetj�k �s tudatos�tjuk hogy ha az egyenl�tlens�g mindk�t oldal�t ugyan�azzal a negat�v sz�mmal szorozzuk vagy osztjuk akkor az egyenl�tlens�g ir�nyamegv�ltozik�

A megold�s ellen�rz�shez �ltal�ban t bb sz�mot kell behelyettes�teni a tanul�knakilletve alkalmazniuk kell a komponensek v�ltoztat�s�r�l tanultakat �l�sd �� p�ld�banaz ellen�rz�st��

A megold�s �rtelmez�s�hez c�lszer� szeml�ltetn�nk a megold�shalmazt a sz�me�gyenesen�

T�rtegy�tthat�s egyenletek �s egyenl�tlens�gek megold�sa

A b�v�tett tank nyvben szerepl� fejezet� Az el�z� k�t fejezetben is el�fordultak egyszer�t rtegy�tthat�s egyenletek egyenl�tlens�gek� Ennek a fejezetnek a feladatsorai az ottmeg�gyeltek tudatos�t�s�t begyakorl�s�t szolg�lj�k�

�� oszt�lyban mindenk�ppen k�t l�p�sben v�geztess�k el a t rtek k z s nevez�re ho�z�s�t �s a k�t oldal szorz�s�t a k z s nevez�vel �l�sd a kidolgozott mintap�ld�kat��

Kezdetben a k z s nevez�re hoz�skor z�r�jellel jel lj�k ki hogy mivel szorozzuk asz�ml�l�t �l�sd a mintap�ld�k megold�s�t�� Ezzel tudatos�tjuk a t rtvonal �z�r�jel funk�ci�j�t�� A z�r�jel alkalmaz�sa k�l n sen akkor fontos ha a t rtvonal el�tt kivon�sjel van��� �s �� p�lda��

Sz�veges feladatok megold�sa egyenlettel� egyenl�tlens�ggel

A sz veges feladatok gazdag v�laszt�k�ban az eddig tanult anyagr�szek majdnemmindegyike megtal�lhat�� �Geometriai sz�m�t�sok ar�ny sz�zal�k sz�melm�letsorozatok kombinatorika stb�� Ez egyr�szt lehet�s�get teremt a folyamatos ism�tl�srem�sr�szt meg tudjuk mutatni a matematikai fogalmak k zti sokr�t� kapcsolatrendszert�A sz veges feladatok m�dszeres megold�s�t mindenk�ppen javasoljuk m�g akkor isha id�ig�nyes mert ez�ltal a munka megtervez�s�re rendszeress�gre alaposs�gra nellen�rz�sre szoktatjuk a tanul�kat s fejlesztj�k bizony�t�si ig�ny�ket �s �t�l�k�pes�s�g�ket� Rajz t�bl�zat gra�kon k�sz�t�s�t is szorgalmazzuk mert ezzel tudjuk azelemz� �s adatok k zti kapcsolatfelt�r� munk�t megk nny�teni�

Az egyenlettel val� megold�s mellett buzd�tani kell a tanul�kat az egyenlet n�lk�li k �vetkeztet�ssel val� megold�sokra is�

Tudatos�tsuk hogy az ellen�rz�st mindig a sz veg alapj�n kell elv�gezni �s sz ve�ges v�laszban kell megfogalmazni a megold�st� Ezzel kisz�rhetj�k az egyenletmegol�d�s szempontj�b�l hib�tlan de a feladat tartalma szerint ellentmond�sos megold�sokat�p�ld�ul ha �� �ves a nagymama vagy a h�romsz g eset�n nem teljes�l a h�romsz g�egyenl�tlens�g��

��

Page 66: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Egyenletek� egyenl�tlens�gek gra�kus megold�sa

A tank nyv b�v�tett v�ltozat�ban szerepl� fejezet� Alapszinten f�k�ppen reduk�lt �ra�sz�m mellett csak �� oszt�lyban dolgozzuk fel ezt az anyagr�szt�

Ebben a fejezetben a f�ggv�nyekr�l eddig tanultak alkalmaz�s�ra ker�l sor� Meghat�roz�zuk az �rtelmez�si tartom�nynak azokat az elemeit amelyek eset�n a f�ggv�ny�rt�kekegyenl�k� A f�ggv�ny�rt�kek egyenl�s�ge azt jelenti hogy a gra�konoknak van k z spontja� Mivel azon abszcissz�t keress�k ahol az ordin�t�k megegyeznek c�lszer� ametsz�spontot �az y tengellyel p�rhuzamosan� levet�teni az x tengelyre�

Az egyenl�tlens�gek gra�kus megold�s�n�l azt javasoljuk hogy a metsz�spontokrahelyezett az y tengellyel p�rhuzamos vonalz��l x tengely menti pozit�v�negat�v ir�ny�ban val� elmozd�t�s�val mutassuk meg hogy adott x eset�n melyik gra�kon pontjaihelyezkednek el a m�sik felett�

Az egyenletek �s az egyenl�tlens�gek gra�kus megold�s�hoz megfelel� �r�eszk z ksz�ks�gesek de �ltal�ban �gy is csak k zel�t� megold�sokat tudunk adni� K zel�t�s�nkpontosabb lehet ha a tengelyeken az egys�geket c�lszer�en v�lasztjuk meg� A gra�kusmegold�s mellett algebrailag is megoldathatjuk az egyenletet� A k�t megold�st egyttalegym�s ellen�rz�s�re haszn�lhatjuk fel�

A tanul�kkal konkr�t feladatok megold�sa sor�n ismertess�k fel hogy ha az egyenletk�t oldal�n l�v� kifejez�s azonos akkor a k�t egyenes egybeesik az egyenletnek v�gte�len sok megold�sa van� Ha egyetlen k z s pontja sincs a k�t gra�konnak �p�rhuzamosegyenesek� akkor nincs megold�sa az egyenletnek�

Egyenletek� egyenl�tlens�gek megold�s�nak gyakorl�sa

A tank nyv b�v�tett v�ltozat�ban szerepl� fejezet�

Di erenci�l�sra gyakorl�sra ism�tl�sre szolg�l� feladatok� A feladatok nagy sz�manem teszi lehet�v� hogy minden feladatot megoldassunk� A tanul�k ig�ny�nek megfe�lel�en felz�rk�ztat�sra tehets�ggondoz�sra v�logassunk a feladatok k z�l�

Tud�spr�ba

A kor�bbi fejezetekhez hasonl�an itt is csak mint�ul szolg�l a feladatsor� Seg�ts�get ada t�maz�r� m�r�lap tervez�s�hez� V�ltoztat�s n�lk�li meg�rat�s�t nem javasoljuk mert�gy t�ves inform�ci�t kapunk a tanul�k tud�sszintj�r�l�

A tud�spr�ba feleletv�laszt�sos feladatainak a megoldat�s�val a �� oszt�lyos kompe�tenciam�r�sre is felk�sz�tj�k tanul�inkat�

Page 67: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

�� S�kidomok� testek

Ez a fejezet a kor�bbi �vfolyamokon tanult geometriai ismeretek� fogalmak� �sszef�g�g�sek �s szerkeszt�si elj�r�sok feleleven�t�se �s kibv�t�se mellett a paralelogramma�a h�romsz�g �s a k�r ter�let�nek� illetve az egyenes has�b �s az egyenes k�rhengerfelsz�n�nek �s t�rfogat�nak a kisz�m�t�s�val foglalkozik A t�mak�r jelleg�nek meg�felelen� a tananyag fel�p�t�se sor�n komplex m�don alkalmazhatjuk szinte az eg�szkor�bban tanult ismeretrendszert

A h�romsz�g� n�gysz�g oldalair�l �s sz�geirl a legfontosabb �sszef�gg�seket m�r� oszt�lyban t�rgyaltuk Ezeket most jra r�szletezz�k� kieg�sz�tj�k M�g � oszt�lybanelssorban a tapasztalatra� szeml�letre alapoztuk a meg�llap�t�sokat� addig most ak�z�ppontos t�kr�z�srl� eltol�sr�l� a p�rhuzamos sz�gp�rokr�l tanultakat alkalmazvaegyes �sszef�gg�seket bizony�tunk is A tananyag spir�lis fel�p�l�se ezt lehetv� �ssz�ks�gess� is teszi A spir�lis �p�tkez�s azt is biztos�tja� hogy optim�lisan igazodjunkegy�egy oszt�lyon bel�l a gyerekek tud�sszintj�hez� gondolkod�si k�pess�g�hez

A � oszt�lyos programban is hangs lyoztuk� hogy a t�rszeml�let �s a k�pi gondolkoz�sk�pess�g�nek fejleszt�s�t nem oldhatjuk meg csup�n � oszt�lyban �st abban az �let�korban tanul�ink mintegy fel�n�l m�r nagyon nehezen �rhetn�nk el nevel�si c�ljainkat�Ezt a koncepci�t k�vetve � oszt�lyban is javasoljuk a t�rgeometriai vizsg�latokat A s�k��s a t�rgeometria egy fejezetbe foglal�s�val j�l kiakn�zhatjuk a lehets�ges �ltal�nos��t�sokat �p�ld�ul sz�gtartom�ny � lapsz�gtartom�ny�� illetve a k�zenfekv anal�gi�kat�s�kidomok �tdarabol�sa � has�bok �tdarabol�sa� A t�rgeometriai feladatok megold�saalkalmat ad a kor�bban tanult s�kgeometriai ismeretek elm�ly�t�s�re� gyakorl�s�ra is

A t�rszeml�let fejleszt�se nem val�s�that� meg t�nyleges t�rbeli tev�kenys�g �testek�p�t�se �s sz�tbont�sa� �lv�zmodellek vizsg�lata� t�relemek modellez�se� n�lk�l A� oszt�lyban �s a k�z�piskol�ban neh�z helyzetbe ker�lnek tan�tv�nyaink� ha tapasz�talati szinten nem alapozzuk meg k�sbbi t�rgeometriai tanulm�nyaikat

A tananyag�feldolgoz�s m�lys�g�nek� form�j�nak �s a feladatok szintj�nek megv�lasz�t�s�val tekintettel lehet�nk p�ld�ul arra� hogy

milyen a gyerekek � oszt�lyb�l hozott tud�sa�

milyen a gondolkod�si� illetve a feladatmegold� k�pess�g�k szintje�

milyen az oszt�ly polariz�lts�ga� elrel�that�lag mekkora r�sz�k megy gimn�ziumba�szakk�z�piskol�ba� szakiskol�ba�

a tan�t�si �r�kon milyen munkaform�k alakultak ki az elz �vekben�

mennyire biztosak a t�bbi t�mak�r k�vetelm�nyeiben

Mindezek �gyelembev�tel�vel az adott tanul�csoport sz�m�ra optim�lisan megv�laszt�hatjuk a tananyag mennyis�g�t� a feldolgoz�s m�lys�g�t� �s kiv�laszthatjuk a megfelelm�dszert

Javasoljuk� hogy a sz�m�t�sokhoz a tanul�k haszn�lhass�k a zsebsz�mol�g�pet� �gyt�bb feladattal foglalkozhatunk� �s t�bb id� jut a geometriai �sszefgg�sek megl�ttat�s�ra�

��

Page 68: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A tananyag�feldolgoz�s csom�pontjai

�� A kor�bban tanult ismeretek �s szerkeszt�si elj�r�sok feleleven�t�se az oszt�ly fel�k�sz�lts�g�nek megfelel szinten Testek� soksz�gek �s a k�r �kor�bban tanult�tulajdons�gainak vizsg�lata� felid�z�se Soksz�gek� testek csoportos�t�sa k�l�nb��z szempontok szerint A soksz�g kerlete� A hossz s�g m�rt�kegys�gei

�� �sszegy�jtj�k� kieg�sz�tj�k� rendszerezz�k azokat a tapasztalatokat� ismereteket�amelyeket az elz �vekben ��s ebben az �vben� a gyerekek a h�romsz�gekrl�n�gysz�gekrl tanultak

A tulajdons�gok vizsg�lata sor�n sz�ks�gszer�en feleleven�tj�k a kor�bban tanultgeometriai fogalmakat �p�ld�ul a tengelyes� illetve a k�z�ppontos t�kr�z�st �s szim�metri�t�

Vizsg�ljuk a h�romsz�gek bels sz�geinek �sszeg�t� a bels �s a k�ls sz�gek k�ztikapcsolatot A h�romsz�g egybev�g�s�g�nak alapesetei alapj�n szerkeszt�seketv�gz�nk

�� �sszegy�jtj�k �s kieg�sz�tj�k azokat a tapasztalatokat� amelyeket az elz �vekbena n�gysz�gekrl tanultak a tanul�k �rtelmezz�k a trap�z� a h rtrap�z� a parale�logramma �s a rombusz fogalm�t� vizsg�ljuk a tulajdons�gaikat �s a k�zt�k levkapcsolatot

�� Az ismeretszerz�s� �bv�t�s� �kieg�sz�t�s m�dja �a reduk�lt �rasz�mban tanul�kkiv�tel�vel� most m�r nem csak tapasztalatszerz�sre �p�l Eljutunk a bizony�t�sigis� persze csak k�pess�g�knek �s az idkeretnek megfelel szinten K�l�nbs�gettesz�nk az alakzatok meghat�roz� tulajdons�gai �s egy�b jellemzi k�z�tt

A k�z�piskol�ba k�sz�l �s a m�r k�z�piskol�s tanul�inknak ezt a l�p�st f�lt�tlen�lmeg kell tenni�k Fokozatosan el kell jutniuk az �ltal�nos iskol�ban megszokott� aszeml�leten alapul� indukt�v ismeretszerz�s szintj�rl a k�z�piskol�kban elv�rt de�dukt�v t�rgyal�sm�dig �de�n�ci�� t�tel� bizony�t�s�

�� A szerkeszt�si feladatok megold�sa sor�n most is hangs lyozzuk azokat a l�p�se�ket� amelyek seg�tik a fegyelmezett gondolkod�s� a pontoss�g alakul�s�t Ezek�

�rtelmezd a feladatot�

Keress �sszefgg�seket�

Tervezd meg a szerkeszt�s l�p�seit�

V�gezd el a szerkeszt�st�Legy�nk ig�nyesek a szerkeszt�sek sz�ps�g�re� pontoss�g�ra� t�rekedj�nkarra� hogy a tanul�k is �r�m�ket lelj�k az �rthet� �ttekinthet� eszt�tikusmunk�ban

Ellen�rizd a megold�st�Tov�bbra is tudatosan fejlesztj�k a gyerekek kifejezk�pess�g�t �anyanyelv �sszaknyelv� a meghat�roz�sok� k�vetkeztet�sek� bizony�t�sok megfogalmaztat��s�val Megk�vetelj�k a terminol�gia �s a jel�l�sek helyes haszn�lat�t

Keress jabb �sszefgg�seket �s m�s megold�st� Vizsg�ld meg a megoldhat�s�g felt�teleit �s a megold�sok sz�m�t�K�rdezhetj�k p�ld�ul� Mi�rt van� illetve mi�rt nincs megold�s� Mi�rt van t�bb

��

Page 69: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

megold�s� Melyik felt�telt hogyan kellene v�ltoztatni� hogy v�ltozzon a megol�d�sok sz�ma�Az ilyen diszkusszi� szinte minden szerkeszt�si feladatnak fontos �s hasznosl�p�se lehet

�� A terlet fogalma� m�rt�kegys�gei� A t�glalap� a paralelogramma� a deltoid� a trap�z�s a h�romsz�g terlete� Tetszleges soksz�g ter�let�nek meghat�roz�sa a soksz�gh�romsz�gekre bont�s�val

�� A k�rrel kapcsolatos fogalomrendszer A k�r ker�lete� ter�lete

� Soksz�glapokkal hat�rolt testek �poli�derek� �p�t�se� tulajdons�gaik vizsg�lata� felsz�nsz�m�t�s�

� A has�b mint speci�lis poli�der sz�rmaztat�sa� tulajdons�gainak vizsg�lata� testh�l�ja�felsz�ne

K�l�nb�z has�bok h�l�j�nak elk�sz�t�se

��� A t�rfogatsz�m�t�sr�l tanultak ism�tl�seAz egyenes has�b t�rfogata� a tanultak gyakorlati alkalmaz�sa

��� Az egyenes k�rhenger sz�rmaztat�sa� tulajdons�gai� felsz�ne� t�rfogata A tanultakgyakorlati alkalmaz�sa

Di�erenci�l�s

A tananyag jelleg�bl az is k�vetkezik� hogy a k�l�nb�z sz�nvonalon �ll� oszt�lyok�tanul�k� sz�m�ra igen elt�r m�don v�laszthatjuk meg a feldolgoz�s m�dszer�t� �tem�t�s absztrakci�s szintj�t

A di�erenci�l�s nem a tananyag mennyis�g�ben �s tartalm�ban� hanem a feldolgoz�sm�lys�g�ben �s a feladatok �sszetetts�g�ben val�s�that� meg

Minimumszinten el�gedj�nk meg azzal� hogy az alapvet �sszef�gg�seket a tanul��n�ll�an alkalmazni tudja egyszer� feladatok megold�s�ban �A szakiskol�kban �l�tal�ban nem v�rnak t�bbet az �ltal�nos iskol�t�l�A k�z�piskol�ba k�szl�� illetve k�z�piskolai tagozatra j�r� tanul�inkt�l elv�rhatjuk�hogy az �sszef�gg�seket �n�ll�an felismerj�k� a de�n�ci�kat pontosan ��rtelmesen�s alkalmaz�sk�pesen� megtanulj�k� az egyszer� bizony�t�sok gondolatmenet�t el�saj�t�ts�k� a tanultakat �sszetett feladatokban is k�pesek legyenek alkalmazni

Az orsz�gos kompetenciam�r�seken �� oszt�lyban� ehhez a t�mak�rh�z kapcsol�d��an a t�rszeml�letet �s a k�pi probl�mamegold� k�pess�get vizsg�lj�k Testh�l�knak��lv�z modellek rajzainak� �p�tett testek vagy a mindennapi �letben elfordul� testek n��zeti rajzainak az �rtelmez�s�t� r�cssoksz�gek ter�let�nek meghat�roz�s�t v�rj�k el atanul�kt�l Ez�rt ezeket az elv�r�sokat is minimumk�vetelm�nyeknek kell tekinten�nk

��

Page 70: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Kapcsol�d�si lehet�s�gek

Halmazok� logika

A fogalmak tiszt�z�s�hoz� az �sszef�gg�sek felkutat�sa� az alakzatok vizsg�lata �srendszerez�se sor�n j�l alkalmazhatjuk a halmazokr�l� illetve logik�b�l tanultakat Ilyent�pus feladat p�ld�ul� �ll�t�sok igazs�g�nak eld�nt�se� tulajdons�ggal megadott halmazelemeinek kiv�laszt�sa Halmaz �s r�szhalmaz k�zti kapcsolat vizsg�lata

Kombinatorika

T�relemek k�zti kapcsolatok felt�r�sa Soksz�g �tl�i sz�m�nak meghat�roz�sa Meg�oldhat�s�g vizsg�lata� �sszes megold�s keres�se

Sz mtan� algebra

A geometriai sz�m�t�sok alkalmasak a sz�mtan� algebra t�mak�rh�z tartoz� teljes is�meretanyag gyakorl�s�ra� az ott tanultak gyakorlati alkalmaz�s�ra Gyakoroltathatjuka m�rt�kegys�gek �tv�lt�s�t� a norm�lalak haszn�lat�t� a tizedest�rtekkel� a t�rtek�kel v�gzett m�veleteket� a hatv�nyoz�st� a m�veletek sorrendj�rl� z�r�jelhaszn�latr�ltanultakat� a sz�zal�ksz�m�t�st Feleleven�thetj�k az ar�ny� az egyenes �s ford�tottar�nyoss�g fogalm�t Egyenlettel megoldhat� sz�veges feladatokat oldathatunk megP�ld�ul�

a h�romsz�gek� n�gysz�gek bels sz�geivel kapcsolatosan�

a ker�let�� ter�let�� felsz�n� �s t�rfogatsz�m�t�ssal kapcsolatosan

Az �ltal�nos �sszef�gg�sek megfogalmaz�sa� k�l�nb�z alakban val� fel�r�sa� a k�p�letek alkalmaz�sa az algebrai kifejez�sek �sszevon�s�r�l� szorz�s�r�l� szorzatra bon�t�s�r�l� a helyettes�t�si �rt�k kisz�m�t�s�r�l kor�bban tanultakat alkalmazzuk

Rel ci�k� f�ggv�nyek� sorozatok

Sok feladatban alkalmazzuk a der�ksz�g� koordin�ta�rendszert

Vizsg�ljuk� hogyan f�gg a soksz�g cs csainak sz�m�t�l az �tl�k sz�ma� az egy cs csb�lkiindul� �tl�k �ltal meghat�rozott h�romsz�gek sz�ma stb

Tetszleges oldalhossz s�g t�glalap ter�let�nek� illetve tetszleges �lhossz s�g t�g�latest t�rfogat�nak meghat�roz�sa sor�n egyenes ar�nyoss�gi k�vetkeztet�ssel igazol�juk az �ltal�nos �sszef�gg�st A m�rt�kegys�g �tv�lt�sakor felh�vhatjuk a �gyelmet am�rsz�m �s a m�rt�kegys�g k�zti ford�tott ar�nyoss�gra

A ker�let�� ter�let�� felsz�n�� t�rfogatk�pleteket is hozz�rendel�si szab�lyoknak te�kinthetj�k� amelyek a k�l�nb�z alakzatokhoz egy�rtelm�en hozz�rendelik a k�rd�sesmennyis�g �rt�k�t Vizsg�ltathatjuk� hogyan v�ltozik a k�plet sz�m�rt�ke� ha v�ltoznakaz adatok� Hogyan kell v�ltoztatni az adatokat� hogy a sz�m�rt�k ne v�ltozz�k�

��

Page 71: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Has�bok vizsg�lata sor�n �sszef�gg�st kerestethet�nk az alaplap �h�romsz�g� n�gy�sz�g� �tsz�g� � cs csainak sz�ma� valamint a has�b cs csainak� �leinek� lapjainaksz�ma k�z�tt

A tananyag�feldolgoz�s �ttekint�se

Alapfogalmak� alapt�telek

Jobb k�pess�g�� �rdekld tanul�kkal� besz�lget�s keret�ben javasoljuk a feldolgoz�st�ha jut r� id� Ne k�rj�k sz�mon ezeket a fogalmakat

Tudatos�tsuk� hogy � oszt�lyt�l kezdve egyre ink�bb t�rekedn�nk kell a fogalmak pon�tos �rtelmez�s�re� de�ni�l�s�ra �s a felismert �sszef�gg�sek bizony�t�s�ra

A besz�lget�sben arra is kit�rhet�nk� hogy mi a �de�n�ci�� �s mi a �t�tel�� mi k�zt�k ak�l�nbs�g Hogyan kell egy fogalmat de�ni�lni A k�sbbi fejezetek anyag�nak feldol�goz�sakor� a fogalmak feleleven�t�se sor�n p�ld�kat kereshet�nk helyes de�n�ci�kra�elemezhetj�k a hib�sakat

S�kidomok� soksz�gek

Ism�tl�sk�nt feleleven�tj�k a s�kidom�soksz�g fogalomk�rrel kapcsolatos fogalmakatVizsg�ljuk a konvex �s konk�v s�kidomokat �soksz�geket� Meghat�rozzuk a soksz��gek ker�let�t� �tl�iknak sz�m�t

A Tk� ����� feladat a kocka �lv�z modellj�hez kapcsol�d�an t�rgeometriai probl�m�katvet fel

H romsz�gek

A k�z�piskol�ba k�sz�l tanul�k sz�m�ra utalhatunk az � oszt�lyos matematikak�nyv�ben tal�lhat� �r�szletezbb� meghat�roz�sra� A h�romsz�g h�rom oldala z�r�d� t�r�tt�vonalat �h�romsz�gvonalat� alkot� �s a h�romsz�g a s�knak az a r�sze� amelyik ezen at�r�ttvonalon bel�l van

A h�romsz�g tulajdons�gainak vizsg�lata lehets�get ad�

az eddigi tapasztalatok� ismeretek rendszerez�s�re�

az ismeretek r�vid� szabatos megfogalmaz�s�ra�

a bizony�t�s mint �dedukt�v� ismeretszerz�si m�dszer megismer�s�re� alkalmaz�s��ra� a bizony�t�si ig�ny �s a logikus gondolkod�s fejleszt�s�re�

egy�b geometriai alapismeretek� alapszerkeszt�sek feleleven�t�s�re�

a halmazszeml�let� kombinatorikus szeml�let fejleszt�s�re

Ha a k�r�lm�nyek �oszt�lyl�tsz�m� �rasz�m� a tanul�k tud�sa� �rdekld�se� megenge�dik� a tananyag feldolgoz�s�t kombinatorikus probl�m�val kezdhetj�k P�ld�ul�

��

Page 72: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

H�ny egyenest hat�rozhat meg � pont� pont� ! pont stb� Ha azt is kik�tj�k�hogy ! vagy ann�l t�bb pont eset�ben egyik h�rom sem esik egy egyenesbe� akkora feladat a kombinatorika nyelv�n megfogalmazva �gy sz�l� Adott n sz�m elemblh�nyf�lek�ppen v�laszthat� ki kett� Megjegyezhetj�k� hogy alapt�telnek tekintj�k ak�vetkezt� k�t ponton �t pontosan egy egyenes h zhat�

A Tk� ����� feladatban is hasonl� kombinatorikus gondolat van Ha a lehet legt�bb met�sz�spont sz�m�t k�rj�k� akkor szint�n n elem m�sodoszt�ly kombin�ci�inak sz�m�tkeress�k A feladat bv�thet az egyenesek sz�m�nak n�vel�s�vel A legjobbak val��

sz�n�leg �szreveszik� hogy n egyenes maxim�lis metsz�spontj�nak a sz�ma�n�n � ��

A lehet legt�bb metsz�spont eset�ben keletkezik a legt�bb s�kr�sz Ha az egyeneseksz�ma n� akkor a s�kr�szek sz�ma �n " ���gyel t�bb a metsz�spontok sz�m�n�l�

n�n � ��

" n " � #n� � n " n

" � #

n�n " ��

" �

A kapott s�kr�szek sz�m�val kapcsolatban megk�rdezhetj�k� hogy k�z�l�k h�ny korl��tos� �s a korl�tosak milyen soksz�gek Ebbl a gondolatmenetbl is ad�dhat a h�rom�sz�g tank�nyvben le�rt meghat�roz�sa

A h�romsz�g magass�g�val ebben a tan�vben a ter�letsz�m�t�ssal kapcsolatban is fog�lalkoztunk Most csak feleleven�tj�k �rdemes itt is megeml�teni az oldal �s oldalegyenes�a magass�g �s a magass�gegyenes k�z�tti kapcsolatot� illetve k�l�nb�zs�get

A h�romsz�g tulajdons�gainak �sszegy�jt�se alkalmas a bizony�t�s mint ismeretszer�z�si m�dszer megismertet�s�re� alkalmaz�s�ra A bizony�t�s sor�n a meghat�roz�tulajdons�got� az ismert alapt�teleket �axi�m�kat� �s a m�r eddig bizony�tott t�teleketfelhaszn�lva jabb �sszef�gg�shez jutunk

A h�romsz�g�egyenltlens�g t�tele a h�romsz�g meghat�roz�s�val �s azzal az axi��m�val igazolhat�� hogy k�t pont t�vols�ga �a k�zt�k l�v legr�videbb t� a pontokat�sszek�t szakasz

A h�romsz�g sz�gei k�zti kapcsolatok k�z�l a tank�nyvben elsz�r a k�ls sz�g �sa nem mellette l�v k�t bels sz�g �sszeg�nek egyenls�g�t bizony�tjuk� majd ezt abizony�tott t�telt haszn�ljuk fel a bels sz�gek �sszeg�rl sz�l� t�tel bizony�t�s�ra Ak�t bizony�t�s sorrendje meg is ford�that� Elsz�r a bels sz�gek �sszeg�t bizony�tjuk��s ezt a t�telt haszn�ljuk fel a k�ls sz�g tulajdons�g�nak igazol�s�ra P�ld�ul�

T�tel

B�rmely h�romsz�g bels� sz�geinek �sszege ��$��

Bizony�t�s�

A B

α

α ’

β

β ’γCJel�lje az ABC h�romsz�g bels sz�geit �� �� �

A h�romsz�g C cs cs�n �t az AB oldallal p�rhu�zamost h zunk A � sz�g mellett k�t m�sik sz�gkeletkezett Ezek k�z�l az �� az ��nak� a �� a��nak v�lt�sz�ge� teh�t � # �� �s � # ��

Mivel �� " � " �� # ��$�� az elbbiek miatt� " � " � # ��$�

��

Page 73: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A B

CDEgy m�sik bizony�t�s lehet a k�vetkez�Tekints�k bizony�tottnak� hogy b�rmely t�glalap k�tegybev�g� der�ksz�g� h�romsz�gre bonthat�

ABC��# CDA��

ACB� # CAD��

CAD� " CAB� # %$��

ACB� " ACB� # %$�

A B

α

γ

β

δ

CEz�rt a der�ksz�g� h�romsz�g k�t hegyessz�g�nek�sszege %$�

Az ABC��ben a C cs csb�l merlegest h zunk azAB oldalra� k�t der�ksz�g� h�romsz�get kapunkA k�t der�ksz�g� h�romsz�g k�t�k�t hegyessz�g�nek�sszege �ppen az ABC� bels sz�geinek �sszeg��vel egyenl� ami az elzek alapj�n �%$�"%$� #� ��$�

A

B

αδ

γε

β ϕ

CHa elsz�r a h�romsz�g bels sz�geinek �sszeg�rlsz�l� t�telt bizony�tjuk� akkor ezzel a k�ls �s belssz�gek kapcsolat�nak az igazol�sa �gy t�rt�nhet�

� " � # ��$� �s � " � " � # ��$�� ez�rt � # � " �

A h�romsz�g oldalai �s sz�gei k�zti kapcsolattal a tan�k�nyv bv�tett v�ltozata foglalkozik

Sokszor kell hangs lyoznunk� hogy egy t�telt csak azzal a t�tellel bizony�thatunk� ame�lyet alapt�telnek fogadunk el� vagy amelyet m�r elzleg bizony�tottunk

A h romsz�g szerkeszt�se

A szerkeszt�si feladatok megold�sa sor�n vizsg�ljuk a k�vetkez k�rd�seket�

A megadott adatok f�ggetlenek�e egym�st�l�

Teljes�lnek�e azok az �sszef�gg�sek� amelyeket a h�romsz�g oldalair�l �s sz�geirltanultunk�

Ha teljes�lnek a felt�telek� akkor egy�rtelm�en megszerkeszthetk a h�romsz�gek�

Azokban a szerkeszt�ses feladatokban� amelyekben az adatok k�zti kapcsolatok ne�hezebben vehetk �szre� h�vjuk fel a tanul�k �gyelm�t a megold�s l�p�seire �bv�tetttank�nyv �� p�lda�

Az �egy�rtelm�en megszerkeszthet� kifejez�s jelent�se k�ti �ssze a h�romsz�gszer�keszt�s alapeseteit �s az egybev�g�s�g alapeseteit Az egybev�g�s�g alapeseteit sok�szor felhaszn�lhatjuk egy�b bizony�t�sok fel�p�t�s�ben is� ez�rt ezeket az ismereteketj�l gyakoroltassuk be

A der�ksz�g� �s egyenl sz�r h�romsz�gek szerkeszt�s�t a � oszt�lyban r�szletesent�rgyaltuk Most azt hangs lyozzuk� hogy ezek szerkeszt�se is ! adatb�l t�rt�nik� deaz adatok k�z�l egyet vagy kettt m�r ismer�nk

A szerkeszt�si feladatok megold�sa sok gyereknek m�g magasabb �vfolyamokon isgondot jelent Minimumszinten nem l�phet�nk t l a h�romsz�gszerkeszt�s alapese�

Page 74: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

tein Ez�rt javasoljuk� hogy ebben a t�mak�rben gondosan m�rlegelj�k a di�erenci�l�slehets�geit

N�gysz�gek

Sokf�lek�ppen oszt�lyozzuk a n�gysz�geket� felhaszn�lva az elzleg megismert tulaj�dons�gokat T�bb oldalr�l akarjuk megk�zel�teni azokat a tulajdons�gokat� amelyekkelegy�rtelm�en meghat�rozhat�k a speci�lis n�gysz�gek Nem minden tanul�t�l v�rhat�juk el a meghat�roz� �s nem meghat�roz� tulajdons�gok k�z�tti k�l�nbs�g felismer�s�tDe ha t�bbsz�r is tal�lkoznak az �sszehasonl�t�ssal� megk�nny�thetj�k a k�z�piskolaiismeretek befogad�s�t

Ha az oszt�ly szintje megengedi� akkor p�ld�ul a Tk� ����� feladat tov�bbfejleszt�s�vel alogikai ismereteket ers�thetj�k Az adott alaphalmazb�l a B� az C �s az F �ll�t�sokkalugyanazok a n�gysz�gek v�laszt�dnak ki De ezekkel az �ll�t�sokkal b�rmilyen m�sn�gysz�gek halmaz�b�l v�logatva ugyanaz lenne az igazs�ghalmaz Ez�rt ezek az�ll�t�sok egym�ssal helyettes�thetk

Felh�vjuk a �gyelmet a Gy� ����� feladatra Ebben �ttekintj�k �s elemezz�k� hogy egyesn�gysz�gek h�ny adatb�l szerkeszthetk meg

Trap�z

A tank�nyv bevezet ����� feladata lehets�get ad a paralelogramm�k� speci�lis para�lelogramm�k �s a szimmetri�k ism�tl�s�re

A trap�z meghat�roz�s�nak leggyakoribb m�dja tal�lhat� a tank�nyvben Erre �p�lnekaz elnevez�sek is Keress�nk egy�b meghat�roz� tulajdons�gokat a sz�gekkel kapcso�latban P�ld�ul�

A trap�z olyan n�gysz�g� amelyben van k�t szomsz�dos sz�g� amelyek �sszege��$�

Ebbl a meghat�roz�sb�l kiindulva bizony�that�� hogy a n�gysz�gnek van k�t p�rhuza�mos oldala

A B

CD

α β

γδ

Bizony�t�s�

� " � # ��$� A k�t sz�g egyik sz�ra k�z�s� teh�tt�rssz�gek� A t�rssz�gek sz�rai p�ronk�nt p�rhuza�mosak� ABkDC

A n�gysz�g bels sz�geinek �sszeg�bl vagy k�t oldalp�rhuzamoss�g�b�l ad�dik� hogy a m�sik k�t sz�g�sszege� � " � # ��$�

A rendszerszeml�let kialak�t�sa c�lj�b�l vetess�k �szre� hogy a h rtrap�z tengelyesenszimmetrikus trap�z �van cs csaira nem illeszked� szimmetriatengelye�� a paralelogram�ma k�z�ppontosan szimmetrikus trap�z A t�glalap rendelkezik mindk�t tulajdons�ggal�teh�t h rtrap�z is �s paralelogramma is

Figyeltess�k meg� hogy a �h rtrap�z� elnevez�s nem helyettes�thet az �egyenl sz�r trap�z� elnevez�ssel� mert ez a tulajdons�ga a paralelogramm�nak is megvan Nem

Page 75: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

helyettes�thet a &tengelyesen szimmetrikus trap�z� elnevez�ssel sem� mert a �nemn�gyzet� rombusz is tengelyesen szimmetrikus trap�z Ezekkel a k�rd�sekkel p�ld�ul aTk� ����� feladat feldolgoz�s�hoz kapcsol�dva foglalkozhatunk

A B

CD

α β

γδ

tA h rtrap�z tulajdons�gait � oszt�lyban t�rgyaltuk

A trap�zok halmaz�b�l a k�vetkez tulajdons�gokkalv�laszthat�k ki�

Az egyik alapj�n fekv k�t sz�ge egyenl

Az egyik alap felezmerleges�re tengelyesen szim�metrikus

'tl�i egyenlk

K�r�je k�r h zhat� �ez�rt h rtrap�z�

A B

CD

α β

γδ

t

O

A t�kr�ss�g miatt a sz�rak felezmerlegesei a t�k�r�tengelyen metszik egym�st Ez a metsz�spont minda n�gy cs cst�l egyenl t�vols�gra van �OA # OB #OC # OD� Ez�rt ha a trap�znak van az alapokat fe�lez t�k�rtengelye� akkor k�r h zhat� k�r�jeA h rtrap�z nem meghat�roz� tulajdons�ga� a sz�raiegyenlk

A trap�z szerkeszt�se

A tank�nyv bv�tett v�ltozat�ban szerepl fejezet

A h�romsz�g szerkeszthets�g�bl kiindulva �llap�tjuk meg a trap�z szerkeszt�s�hezsz�ks�ges adatok sz�m�t

A B

CD

E

1.

2.

A trap�zt egy egyenessel egy paralelogramm�ra �segy h�romsz�gre bonthatjuk Az � jel� paralelogram�ma szerkeszt�s�hez h�rom adat sz�ks�ges� a jel�h�romsz�gh�z m�r csak egy jabb adat kell Ez az jabb adat a trap�z egyik sz�ra �a CB szakasz� vagya k�t alap k�l�nbs�ge �EB szakasz� Ez a felbont�sseg�t a trap�z n�gy oldalb�l t�rt�n megszerkeszt�s��ben

A paralelogramma sz rmaztat sa� tulajdons gai

A tank�nyvben a paralelogramm�t a szemk�zti oldalak p�rhuzamoss�g�val hat�rozzukmeg A Tk� ����� feladattal kapcsolatban m�r kor�bban is felismerhett�k a tanul�k� hogya szemk�zti oldalak egyenls�ge �s a k�z�ppontos szimmetria is alkalmas tulajdons�ga paralelogramm�knak a n�gysz�gek k�z�li kiv�laszt�s�ra A paralelogramm�t a k�ttulajdons�g k�z�l b�rmelyikkel meghat�rozhatjuk Ezeket a tulajdons�gokat alapszintena szeml�letre t�maszkodva �llap�tjuk meg

��

Page 76: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Emelt szinten tanul�k sz�m�ra megmutathatjuk� hogy b�rmelyik meghat�roz� tulajdons�ggal bizony�that� a t�bbi tulajdons�g Csak arra kell vigy�znunk� hogy a bizony�t�sn�lalkalmazott �ll�t�sokat alapt�telnek �axi�m�nak� fogadjuk el vagy m�r bizony�tott t�teleklegyenek P�ld�ul a felsorolt paralelogramma�tulajdons�gok k�z�l az elsbl k�vetkezika m�sodik

A paralelogramma szemk�zti oldalai p�rhuzamosak� ez�rt a szemk�zti oldalai egyenl�k�

Bizony�t�s

Bizony�tott �ll�t�snak� t�telnek fogadjuk el a k�vetkezket�

K�t h�romsz�g egybev�g�� ha egy oldalban �s a rajta fekv k�t sz�gben megegyezik

A B

CDHa k�t egyenl sz�g egy�egy sz�ra p�rhuza�mos� akkor a m�sik p�r sz�r is p�rhuzamosA k�t sz�g vagy egy�ll�s � vagy ford�tott �l�l�s �cs cssz�gek� v�lt�sz�gek�

H zzuk meg az ABCD paralelogrammaAC �tl�j�t(

� A kapott k�t h�romsz�gben az azonos k�r�vvel jel�lt sz�gek egyenlk� mert megfe�lel sz�raik p�rhuzamosak �v�lt�sz�gek� A k�t h�romsz�g az AC oldalban meg�egyezik

Az ABC �s CDA h�romsz�gek egybev�g�k Ebbl k�vetkezik� hogy a megfeleloldalak egyenlk� AB # DC �s BC # AD

Teh�t a paralelogramma szemk�zti oldalai egyenlk

A most bizony�tott �ll�t�s megford�that�

A paralelogramma szemk�zti oldalai egyenl�k� ez�rt a szemk�zti oldalak p�rhuzamosak�

A bizony�t�s l�p�seinek sorrendje �ppen ford�tottja az els bizony�t�s l�p�seinek

A B

CD� Ha a n�gysz�g szemk�zti oldalai egyen�

lk� akkor az ABC h�romsz�g egybe�v�g� a CDA h�romsz�ggel

Az egybev�g�s�g miatt az azonos k�r�v�vel jel�lt sz�gek egyenlk Egyik p�r sz��ruk egy egyenesbe esik� ez�rt v�lt�sz��gek� a m�sik p�r sz�ruk p�rhuzamos

Teh�t a paralelogramma szemk�zti oldalai p�rhuzamosak

Ha a paralelogramm�t a k�z�ppontos szimmetri�val hat�rozzuk meg� akkor a k�z�p�pontos szimmetria tulajdons�gait bizony�tottnak tekintve� a t�bbi � tulajdons�g egyetlenl�p�ssel igazolhat�

A t�glalapot gy hat�rozhatjuk meg� hogy egyenl sz�g� paralelogramma Az �egyenlsz�g�� tulajdons�ggal b�rmilyen n�gysz�gek halmaz�b�l is t�glalapok v�laszt�dnak ki

��

Page 77: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Emelt szinten ez a t�mak�r is alkalmas arra� hogy a k�z�piskol�ba k�sz�l� illetvek�z�piskolai tagozatra j�r� tanul�k ismerkedjenek a �sz�ks�ges�� az �el�gs�ges� �s a�sz�ks�ges �s el�gs�ges� felt�telek fogalm�val

Az egyenl sz�g� n�gysz�g biztos� hogy paralelogramma� hiszen a szomsz�dos sz�gek�sszege ��$�� t�rssz�gek� ez�rt a szemk�zti oldalak p�rhuzamosak )gy is mondhat�juk� hogy az �egyenl sz�g�� tulajdons�g el�gs�ges� de nem szks�ges felt�tele annak�hogy a n�gysz�g szemk�zti oldalai p�rhuzamosak legyenek� hiszen van nem egyenlsz�g� paralelogramma is A szemk�zti oldalak p�rhuzamoss�ga szks�ges� de nemel�gs�ges felt�tele annak� hogy a n�gysz�g egyenl sz�g� legyen

A t�glalap �tl�i felezik egym�st� mert paralelogramma� egyenlk� mivel egym�s t�k�rk��pei Ez�rt a t�glalap k�r� k�r h zhat� Minden der�ksz�g� paralelogramma k�rbe �rha�t� Minden k�rbe �rhat� paralelogramma der�ksz�g� A paralelogramm�k halmaz�ban ak�rbe �rhat�s�g szks�ges �s el�gs�ges felt�tele a der�ksz�g�s�g� a der�ksz�g�s�g�nek sz�ks�ges �s el�gs�ges felt�tele a k�rbe �rhat�s�g

A rombusz leggyakoribb meghat�roz�sa� egyenl oldal paralelogramma El�g len�ne csak azt mondani� hogy olyan paralelogramma� amelynek k�t szomsz�dos oldalaegyenl Az �egyenl oldal � tulajdons�ggal nemcsak a paralelogramm�k k�z�l� hanemb�rmilyen n�gysz�gek k�z�l is pontosan a rombuszok v�laszt�dnak ki

A paralelogramm�k k�z�li kiv�laszt�s a k�vetkez tulajdons�gokkal is t�rt�nhet�

'tl�i a paralelogramma sz�geit felezikSzimmetrikus az �tl�ira

A felsorolt tulajdons�gok b�rmelyik�vel bizony�tani lehet a t�bbit A t�glalaphoz hason�l�an vizsg�lhatjuk a rombusz k�t�k�t tulajdons�g�t abb�l a szempontb�l is� hogy azokk�z�l az egyik szks�ges vagy el�gs�ges� vagy szks�ges �s el�gs�ges felt�tele am�siknak

P�ld�ul�

Szks�ges� de nem el�gs�ges felt�tel�

Az �tl�k felezik egym�stA szemk�zti sz�gek egyenlk

El�gs�ges� de nem szks�ges felt�tel�

N�gy szimmetriatengelye van%$��os elforgat�ssal �nmag�val fed�sbe hozhat�

Szks�ges �s el�gs�ges felt�tel�

Mindk�t �tl�j�ra szimmetrikusAz �tl�k felezik a szemk�zti sz�geket

A rendszerszeml�let kialak�t�s�t szolg�lja egyr�szt a Tk� ����� halmazelm�leti esz�k�ztud�st alkalmaz� feladat� m�sr�szt �az elz feladathoz kapcsol�d�� Tk� ����������feladatsor Az ut�bbi feladatokhoz hasonl� t�pus feladatok elfordulnak az orsz�goskompetenciam�r�sekben is

��

Page 78: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A paralelogramma szerkeszt�se

Milyen m�lys�gben� mennyis�gben foglalkozunk a paralelogramma szerkeszt�s�vel�f�gg att�l is� hogy a tanul�k kellen begyakorolt�k�e a h�romsz�gszerkeszt�s alape�seteit� �s ismerik a paralelogramma�tulajdons�gok k�z�tti �sszef�gg�seket Ha mindk�telv�r�snak megfelelnek� akkor a paralelogramma szerkeszt�se nem j anyag� hanem azelzek alkalmaz�sa Ez az oka annak� hogy a tank�nyvben csak k�t p�ld�t mutatunkbe Bev�s�sk�nt egy�egy megszerkesztett paralelogramm�n elemezz�k a tulajdons�go�kat� a gyerekek szerezzenek j�rtass�got az �sszef�gg�sek le�r�s�ban� elmond�s�ban

Reduk�lt program

Az oszt�ly k�pess�geinek �gyelembev�tel�vel annyit �s olyan m�lys�gben tan�tunk megebbl az anyagr�szbl� amennyire id jut

Emelt szint

Egyr�szt t ll�p�nk a h�romsz�g tanult alapszerkeszt�seinek k�zvetlen alkalmaz�s�n�m�sr�szt nem konkr�t adatokkal adjuk meg a feladatot� �gy a tanul� az �ltala felvettadatokkal dolgozik Ez�rt nagyobb hangs lyt kap a diszkusszi� Vizsg�ljuk� hogy mi afelt�tele annak� hogy a felvett adatokkal a paralelogramma megszerkeszthet legyen

A feladatok z�m�ben ker�letet �s k�sbb ter�letet is sz�m�tunk A sz�m�t�sokkal kap�csolatos hib�k k�nnyebben kik�sz�b�lhetk� ha elzleg megszerkesztett�k az alakza�tot

A s�kidomok ter�lete

A kor�bbi �vekben foglalkoztunk a ter�let fogalm�val� m�rt�kegys�geivel� a t�glalap �sa n�gyzet ter�let�nek kisz�m�t�s�val Ezeket az ismereteket konkr�t feladatok megol�dat�s�val eleven�thetj�k fel �Tk� ����������� Az orsz�gos kompetenciam�r�seken egy�r�szt r�cssoksz�gek ter�let�nek meghat�roz�s�val vizsg�lj�k �Tk� ������� hogy a tanul�rendelkezik�e a ter�let szeml�letes fogalm�val� m�sr�szt azt n�zik� hogy tudja�e szokat�lan feladathelyzetben �Tk� ������� a gyakorlatban alkalmazni ezeket az ismereteket

A tank�nyv feladatait c�lszer� kieg�sz�teni t�nyleges m�r�si feladatokkal �udvar� szoba�asztallap ter�let�nek becsl�se� a sz�ks�ges adatok megm�r�se ut�n a sz�m�t�sok el�v�gz�se� A tanultak gyakorlati alkalmaz�s�hoz szervezhet�nk terepm�r�st Tanul�inkjelents r�sz�nek gondot okoz a ter�let m�rt�kegys�geinek �tv�lt�sa� a hi�nyoss�go�kat gondosan megtervezett folyamatos ism�tl�ssel p�toltassuk �p�ld�ul Gy� ��������feladatsor ilyen c�lt szolg�lhat�

A t�mak�rre sz�nt �r�k megtervez�s�n�l vegy�k azt is �gyelembe� hogy a ter�letsz�m��t�st a felsz�n� �s t�rfogatsz�m�t�ssal p�rhuzamosan is gyakoroltatjuk� st m�r kor�bbanis gyakoroltuk a racion�lis sz�mokkal v�gzett m�veletek� a f�ggv�nyek �s az algebraikifejez�sek alkalmaz�sak�nt K�sbb� � oszt�lyban� Pitagorasz t�tel�nek gyakorl�saad j� lehets�get a ter�letsz�m�t�sr�l tanultak ism�tl�s�re �s r�gz�t�s�re

A tank�nyvben �az eml�keztetben� felsorolt n�gy alapt�tel jelent�s�nek a tiszt�z�s�ra�s nem a sz� szerinti megtan�t�s�ra c�lszer� a hangs lyt fektetn�nk Az utols� �*� alap�t�tel nem minden tanul� sz�m�ra nyilv�nval� F�lt�tlen�l �rtess�k meg� hogy ezt azalapt�telt kimondva meg�llapodunk abban� hogy az �tdarabol�s sor�n nem v�ltozikmeg a soksz�g terlete�

��

Page 79: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A t�glalap terletk�plet�t minimumszinten n�gyzetlapokkal t�rt�n lefed�ssel id�ztess�kfel Az �tlagos vagy az �tlagosn�l jobb k�pess�g� tanul�kkal viszont gondoltassuk v�gig�hogy tetszleges � nem csak eg�sz m�rsz�m � oldal eset�n mi�rt �rv�nyes a tanultk�plet �l�sd Tk� ����� feladat� illetve a tank�nyv magyar�zata�

Tudatos�tsuk �csukl�san �sszeillesztett modellel mutassuk meg�� hogy a paralelogramma terlet�nek kisz�m�t�s�hoz k�t oldal ismerete nem elegend Az �tdarabol�sokatt�nylegesen v�geztess�k el �a felm�r�sek eredm�nyei azt mutatj�k� hogy egyszeri ma�gyar�zat alapj�n a tanul�k t�bbs�ge nem saj�t�tja el ezt az ismeretet� Az �br�n � atank�nyvben ismertetett t�bb l�p�sbl �ll� �tdarabol�s helyett � egy kev�sb� szokv��nyos megold�st mutatunk be

1.

2.

1.

2.

A paralelogramma ter�letsz�m�t�s�val p�rhuzamosan �esetleg di�erenci�lt egy�ni mun�k�ban� megoldathatunk egyszer� szerkeszt�si �s a kerletsz�m�t�ssal kapcsolatos fel�adatokat Ez ut�bbit az�rt is fontosnak tartjuk� mert a tanul�k mintegy egyharmadam�g � oszt�lyban is �keveri� a k�t fogalmat �A feladatok t�bbs�ge ez�rt k�ri a ker�letkisz�m�t�s�t is�

A deltoid terlet�nek meghat�roz�sa eltt ism�telj�k �t a deltoid kor�bban tanult de��n�ci�j�t� vizsg�ljuk a legfontosabb tulajdons�gait A deltoid ter�let�t legegyszer�bbent�glalapp� kieg�sz�t�ssel hat�rozhatjuk meg� de ha a tanul�k felismerik az �tdarabolha�t�s�got� akkor azt is fogadjuk el

Tudatos�tsuk� hogy a rombusz speci�lis paralelogramma �s speci�lis deltoid� �gy ater�let�t k�tf�lek�ppen is kisz�m�thatjuk �Gy� ������ ���������� feladat�

A tank�nyv a trap�z terlet�nek kisz�m�t�s�ra megmutatja a tanul�k sz�m�ra k�zenfek�vbb �tdarabol�st is Ennek elnye� hogy a trap�z k�z�pvonal�nak fogalm�t is tudato�s�thatjuk Ugyanakkor tudatos�tanunk kell� hogy az ilyen �tdarabol�s nem v�gezhet elminden esetben Ez�rt c�lszer� a k�z�ppontos t�kr�z�st alkalmazva paralelogrammater�let�re visszavezetni a sz�m�t�st

A h�romsz�g magass�g�val m�r kor�bban is foglalkoztunk �p�ld�ul a Tk� ���� fel�adahoz hasonl� feladatokban� Ennek ellen�re a tompasz�g� h�romsz�g magass��g�nak megrajzol�sa� megszerkeszt�se a tanul�k egy r�sz�nek gondot jelenthet �l�sdGy� ��������� feladat� H�vjuk fel a tanul�k �gyelm�t a tiszta� pontos szerkeszt�sre�ellenrizz�k a k�rz ��zemk�pess�g�t�

Jobb k�pess�g� csoporttal a k�z�ppontos szimmetri�t alkalmazva bizony�ttathatjuk�alapszinten �megmutatjuk�� hogy a paralelogramm�t az �tl�ja k�t egybev�g� h�rom�sz�gre bontja K�vetkez�sk�ppen a h�romsz�g ter�lete fele a h�romsz�get kieg�sz�tparalelogramma ter�let�nek Ennek elnye� hogy az elzleg tanult ismeret szil�rdabb�v�lhat

��

Page 80: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Ha a tanul�csoport �elb�rja� ��s �bef�r� a tan�vbe�� akkor most k�l�nb�z �tdarabol�sok�kal igazolhatjuk a h�romsz�g ter�let�re vonatkoz� �sszef�gg�st �ezek is kapcsolhat�kr�gebbi tapasztalatokhoz�� s majd a k�z�ppontos t�kr�z�s tanul�sakor visszat�rhet�nka tank�nyvben bemutatott gondolatmenetre

T # a �m

T #

a

�m

A h�romsz�grl tanultak alkalmaz�sak�nt �elssorban a tank�nyv bv�tett v�ltozat�ban�foglalkozunk tetsz�leges soksz�gek ter�let�nek meghat�roz�s�val� az adatokat m�r�s�sel hat�rozz�k meg a tanul�k �Tk� �� p�lda�

�rdemes tudatos�tanunk� hogy � oszt�lyban az adatokat �ltal�ban �a soksz�g meg�szerkeszt�se ut�n� m�r�ssel tudjuk csak meghat�rozni� � oszt�lyban �s k�z�piskol��ban olyan t�teleket is tanulunk� amelyek seg�ts�g�vel sz�m�t�ssal hat�rozhat�k meg asz�ks�ges adatok Ekkor a szerkeszt�s �s a m�r�s m�r nem lesz elfogadhat�

A soksz�gek �tdarabol�s�val kapcsolatosan elbesz�lgethet�nk Bolyai Farkas munk�s�s�g�r�l� �s megeml�thetj�k a nev�hez f�zd k�zismert t�telt�

Ha k�t soksz�g terlete egyenl�� akkor az egyik v�ges sz�m l�p�sben �tdarabolhat�a m�sikba�

Vagyis b�rmilyen soksz�gbl b�rmilyen alak � vele egyenl ter�let� soksz�gh�z eljut�hatunk gy� hogy v�ges sz�m r�szre sz�tv�gjuk� �s a darabokat valahogyan �sszeil�lesztj�k

A bv�tett tank�nyvben foglalkozunk konkr�t szab�lyos soksz�g tulajdons�gainak vizs�g�lat�val� meghat�rozzuk bels sz�geik nagys�g�t� illetve a ter�let�ket

��

Page 81: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

A k�r

Eleven�ts�k fel az alapvet elnevez�seket �s fogalmakat� k�rvonal� k�rlap� sug�r� �tm�r�� h r� szel�� k�r�v� k�rgy�r�� k�rszelet� k�rcikk�

A k�r ker�lete

A k�r ter�lete

A k�rvonal hossz�nak� illetve a k�rlap ter�let�nek becsl�se nemcsak matematikat�rt��neti szempontb�l �rdekes Betekint�st ny jt a matematikai anal�zis ��k�zel�t�s�� �hat�r��rt�k�� eszk�zt�r�ba is

A k�r ker�let�nek �s ter�let�nek kisz�m�t�s�t minden tanul�t�l elv�rhatjuk A k�r�vhossz�nak� a k�rgy�r�� a k�rcikk� a k�rszelet ter�let�nek kisz�m�t�s�t csak a jobbjegy�rt k�vetelhetj�k meg

Vetess�k �szre a tanul�inkkal� hogy adott k�rben� a k�rcikkhez tartoz� k�z�pponti sz�g�a k�r�v hossza �s a k�rcikk ter�lete egyenesen ar�nyos mennyis�gek

Gyeng�bb csoportban� illetve id�hi�ny eset�n elhagyhatjuk ez ut�bbi ismeretek t�rgya�l�s�t

Felh�vjuk a �gyelmet a Tk� ���� �s az ���� feladatokra� amelyek megold�sakor nemszokv�nyos m�don kell alkalmazni a tanultakat

Soksz�glapokkal hat rolt testek

Ennek �s a k�vetkez fejezetnek a t�rgyal�sa sor�n ism�telj�k �t az � �s a � osz�t�lyban tanultakat� t�rjuk fel �s p�toltassuk az esetleges hi�nyoss�gokat Folyamatosism�tl�sk�nt� k�pess�g �s tud�sszint szerint di�erenci�lva dolgoztassuk fel a Matema�tika � Gyakorl� ��������� feladatsor�t

Az olyan korl�tos t�rr�szt� amelyet v�ges sok soksz�glap hat�rol� poli�dernek nevezzk� Az elnevez�st �s a de�n�ci�t �ltal�nos iskol�ban� alapszinten nem tan�tjuk� deazt javasoljuk� hogy a has�b fogalm�t k�l�nb�z testek� ezek k�z�tt poli�derek �p�t�s�vel� vizsg�lat�val szeml�letileg alapozzuk meg �Tk� �������� feladat� A t�r�szeml�let fejleszt�se c�lj�b�l a testmodelleket h�zi feladatk�nt vagy csoportmunk�banmunkamegoszt�ssal a tanul�k k�sz�ts�k el A modellezk�szlet soksz�geibl �ntapad�ragaszt�val min�l t�bb testet �ll�tsanak �ssze �s vizsg�ljanak meg �A k�z�piskol�banm�r nem lesz m�d ilyen tapasztalatgy�jt�sre� pedig egyes szakm�kban felt�tel a j�t�rszeml�let�

A vizsg�latokban a k�vetkez�ket �sszegezhetjk�

�� Milyen fel�letdarabok hat�rolj�k a testet� csak soksz�glapok vagy m�s fel�letdarabokis� �A �g�rbe lap� elnevez�s haszn�lata szeml�letes� de vitathat�(� Kiter�thet�e atest fel�lete a s�kban�

Mutassunk vegyesen helyes �s hib�s h�l�zatokat( A tanul�k d�nts�k el� hogy me�lyikbl lehet poli�dert �ssze�ll�tani

Nagyon hasznos� ha a tanul�k �n�ll�an k�sz�tenek h�l�zatokat� �s azokat vizsg�lj�kEk�zben felvethet�nk olyan k�rd�seket� hogy mely �lek lesznek p�rhuzamosak�

��

Page 82: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

metszk� kit�rk� merlegesek� mely lapok lesznek p�rhuzamosak� merlegesek�melyek ker�lnek egym�s mell� stb

Megvizsg�lhatjuk azt is� hogy az egyes poli�dereket minim�lisan h�ny �l ment�n kell�felv�gni�� hogy s�kban kiter�thet h�l�t kapjunk

A modellek megv�laszt�s�val ne ers�ts�k azt az elk�pzel�st� hogy a geometri�ai vizsg�latok k�r�be csak olyan testek tartoznak� amelyeket meg tudunk nevezni�p�ld�ul� g�mb� has�b� kocka� henger� C�lszer� a testmodellek k�z� kavicsot�csdarabot stb is bev�logatnunk

�� R�gz�ts�k� hogy mit nevez�nk lapnak� �lnek� cs csnak� lap�tl�nak� test�tl�nak�H�ny �le� cs csa� lapja van a poli�dernek� Minden �lt k�t lap tartalmaz �k�z�ns�gespoli�der eset�n� Egy cs csban legal�bb h�ny �l tal�lkozik�

A k�z�piskol�ban a tanul�nak �s a tan�rnak egyar�nt gondot jelent� hogy a tanul�knem ismerik a szaknyelvet� nem tudj�k de�ni�lni a fogalmakat� ez�rt a de�n�ci� �saz elnevez�sek megtanul�s�t a k�z�piskol�ba k�szl� tanul�inkt�l k�vetelj�k megNem verbalizmusra� �magol�sra� gondolunk Ha a szaknyelvet k�vetkezetesen hasz�n�ljuk� haszn�lat�t a tanul�t�l is megk�vetelj�k� akkor az �direkt tanul�s� n�lk�l iselsaj�t�that�

�� A vizsg�latok aktu�lis c�lja a has�b �mint speci�lis poli�der� de�ni�l� tulajdons�gai�nak felismertet�se

�� Feleleven�tj�k �s tudatos�tjuk a felsz�n fogalm�t� pontosabban azt� hogy mit jelenta soksz�glapokkal hat�rolt testek felsz�ne Konkr�t esetekben� a sz�ks�ges adatokmegm�r�s�vel� hogyan sz�m�thatjuk ki a felsz�nt Tetszleges poli�der felsz�n�nekmeghat�roz�sa azzal az elnnyel j�r� hogy a tanul� nem k�pletek �bemagol�s�ra��s mechanikus alkalmaz�s�ra t�rekszik� hanem a konkr�t feladatban a terletsz�m�t�sr�l tanultakat alkalmazza� Akkor megnyugtat� a tanul� tud�sa� ha nem az�rttudja kisz�m�tani a felsz�nt� mert tudja a k�pletet� hanem az�rt tud �n�ll�an megfogalmazni �ltal�nos �sszefgg�seket� mert konkr�t esetekben ki tudja sz�m�tani asoksz�glapokkal hat�rolt testek felsz�n�t�

Tiszt�n kell l�tnunk� hogy a ter�let�� ker�let�� t�rfogat� �s felsz�nsz�m�t�s � oszt�lybanelssorban ��zikai� �s nem �geometriai� probl�ma N�h�ny kiv�teltl eltekintve nemsz�m�t�ssal adjuk meg a hi�nyz� adatokat� hanem m�r�ssel Ez�rt a hat�rok k�z�szor�t�ssal� az �rt�kes jegyek meghat�roz�s�val stb �gyelembe kell venn�nk a m�r�spontoss�g�t

P�ld�ul egy n�gyzet alak lemez egy oldal�t k�l�nb�z pontoss�ggal adhatjuk meg�

Ha a # $�* m� ez azt jelenti� hogy $�!� m � a � $�*� m

�gy a lemez ter�lete $�!�� m� �s $�*�� m� k�z� esik�

$�� ! m� � T � $� $! m�� T # �$���� $�$*� m�

Ha a # $�*$ m� ez azt jelenti� hogy $�!%� m � a � $�*$� m�

a ter�lete� $����! m� � T � $���*! m�� T # �$���$ � $�$$*� m�

Ha a # $�*$$ m� ez azt jelenti� hogy $�!%%� m � a � $�*$$� m�

a ter�lete� $���%� m� � T � $���$* m�� T # �$���$$ � $�$$$*� m�

��

Page 83: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Emelt szinten tanul� csoportban vagy di�erenci�lt egy�ni munk�ban �a megtan�t�s ig��nye n�lk�l� felismertethetj�k tanul�inkkal az egyszer� poli�der lapjainak �L�� �leinek ����s cs csainak sz�ma �C� k�zti Eulerf�le �sszef�gg�st� � # L"C � Ellenp�ld�val r��vil�g�thatunk arra� hogy ez az �sszef�gg�s nem vonatkozik a nemegyszer� poli�derekre�Az egyszer� poli�der b�rmely k�t cs csa �sszek�thet �lekbl �ll� t�r�ttvonallal�

Emelt szinten feldolgoztathatjuk a k�vetkez feladatsort�

� � darab egys�gkock�b�l fel�p�t�nk egy t�m�r kock�t Mekkora a kocka �le�

��� Az �gy fel�p�tett kocka minden cs cs�r�l elvesz�nk egy egys�gkock�t

� � Az �gy fel�p�tett kocka minden �l�nek k�zep�rl elvesz�nk egy egys�gkock�t

�!� Az �gy fel�p�tett kocka minden lapj�nak k�zep�rl elvesz�nk egy egys�gkock�t

a� Mennyi a keletkezett test t�rfogata �s felsz�ne�

b� H�ny cs csa �C�� �le ���� lapja �L� van a keletkezett testnek�

c� �rv�nyes�e az Eulerf�le �sszef�gg�s� � # L "C � �

d� Eljuthatunk�e a keletkezett test egy adott cs cs�b�l b�rmelyik cs csra az �lekment�n haladva�

Az Euler�t�telre az �ltal�nos iskol�sok sz�m�ra is igen szeml�letes bizony�t�st tal�lunk p�ld�ul Haj�s Gy�rgy

Bevezet�s a geometri�ba �Tank�nyvkiad� �� � c�m� k�nyv�nek ������ oldal�n� H�l�s szakk�ri t�ma�

A reduk�lt v�ltozatban ezzel a r�sszel nem foglalkozunk ebben a m�lys�gben A t�r�geometriai ismereteket a has�b sz�rmaztat�sakor feleleven�tj�k

A has b

A has b sz rmaztat sa� h l�ja� felsz�ne

A has�bot speci�lis poli�derk�nt �rtelmezz�k �gy a tanul� nem k�szen kapja a de�n��ci�t� hanem konkr�t has�bokat vizsg�lva felismeri a jellemz tulajdons�gokat �l�sd azelz fejezetben le�rtakat� Ez a sz�rmaztat�s v�lem��ny�nk szerint jobban megfelel az ��p�ts�k fel a matema�tik�t� alapelvnek Lehets�get ad a terminol�gia elsaj��t�t�s�ra �s a felsz�n fogalm�nak elm�ly�t�s�re A m�siklehets�ges megk�zel�t�st � oszt�lyban a henger fogal�m�nak �ltal�nos�t�s�hoz kapcsol�dva tekintj�k �t

Fontos� hogy a tanul�k a has�bot akkor is felismerj�k�ha nem az alaplapj�n �ll� p�ld�ul egy oldallapj�n fekvprizma� egy s�tortet� a vas ti t�lt�s is has�b Ehhezkez�kbe kell adni vagy vel�k kell elk�sz�ttetni a modelle�ket Tiszt�zzuk� hogy a t�glatest �s a kocka is egyeneshas�bH�vjuk fel a �gyelmet a de�n�ci� pontos megfogalmaz�s��ra P�ld�ul ezt a testet k�t egybev�g� soksz�g �s para�lelogramm�k hat�rolj�k� ennek ellen�re ez nem has�b

K�vetelj�k meg a tanul�kt�l az elnevez�sek pontos haszn�lat�t

Page 84: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Mindenk�ppen k�sz�ttess�k el n�h�ny has�b h�l�j�t A fogalom kialakul�s�hoz� a t�r�szeml�let fejld�s�hez elengedhetetlen a t�nyleges t�rbeli tev�kenys�g A felsz�nsz��m�t�s j� alkalmat biztos�t a ter�letsz�m�t�sr�l tanultak alkalmaz�s�ra

Az egyenes has b t�rfogata

A tov�bbl�p�shez tiszt�znunk kell� hogy a tanul�k �rtik�e a t�rfogat fogalm�t� elsaj�t�tot�t�k�e m�rt�kegys�geit� eml�keznek�e a t�rfogat� �s az �rtartalom�m�rt�kegys�gek k�zti�sszef�gg�sre� ki tudj�k�e sz�m�tani a t�glatest �s a kocka t�rfogat�t

Motiv�lhatja a tanul�kat� ha a tank�nyv feladatain t l� gyakorlati jelleg� feladatokat iskapnak �p�ld�ul lak�suk t�rfogat�nak a kisz�m�t�s�t� Felm�r�seink szerint a t�rfogat�sz�m�t�ssal �s �rm�r�ssel kapcsolatos elemi ismereteket legfeljebb a tanul�k egyhar�mada tudja megb�zhat�an

Az eml�keztett a t�rfogat fogalm�t pontos�t� alapt�telek megfogalmaz�s�val kezdi atank�nyv Ez �s az ezt k�vet gondolatmenet � a t�glatest t�rfogat�nak kisz�m�t�s�ra� elssorban a jobb k�pess�g� tanul�knak sz�l� de m�g tl�k sem c�lszer� ezek meg�tanul�s�t megk�vetelni Azt azonban lehetleg minden tanul�val l�ttassuk be� hogy atestek �tdarabol�s�val nem v�ltozik meg a t�rfogatuk�

A tetszleges egyenes has�b t�rfogat�nak kisz�m�t�s�ban a ter�letsz�m�t�sn�l elsaj��t�tott t anal�gj�t j�rjuk v�gig�

t�glatest t�rfogat�nak kisz�m�t�sa�paralelogramma alap has�b �tdarabol�sa t�glatestt��h�romsz�g alap has�b mint a paralelogramma alap has�b fele�soksz�g alap has�b darabol�sa h�romsz�g alap has�bokra

A t�rfogatsz�m�t�s gyakorl�sa sor�n jra �tism�teltethetj�k a ter�letsz�m�t�sr�l tanulta�kat A tank�nyv �s a Matematika � Gyakorl� elegend feladatot tartalmaz a folyamatosism�tl�shez is �Tk� ������������ Gy� ��������� feladat� A Tk� ������� Gy� �����

���� feladatsorral az j ismeretek gyakorl�s�t �sszekapcsolhatjuk a �zik�ban tanultismeretek feleleven�t�s�velMegeml�tj�k hogy a poli�derekre nem �rv�nyes Bolyai Farkas t�tel�nek t�rbeli anal�gja� Ha k�t poli�dernek

egyenl� a t�rfogata akkor nem biztos hogy az egyik �tdarabolhat� a m�sikba�

Az egyenes k�rhenger sz rmaztat sa�

Az egyenes k�rhenger felsz�ne

Az egyenes henger t�rfogata

A henger fogalm�nak kialak�t�s�t ne de�n�ci�val� hanem modellez�ssel� tapasztalat�gy�jt�ssel kezdj�k �Tk� �� p�lda� ������ feladat� Erre t�maszkodva jobb k�pess�g�tanul�ink �n�ll�an is megfogalmazhatj�k a de�n�ci�t

Az �� p�lda a k�rhenger mint forg�stest sz�rmaztat�s�t k�sz�ti el Kor�bban vizsg�ltukegy egyenestl adott t�vols�gra l�v pontok halmaz�t� �s v�gtelen hengerfel�lethezjutottunk Ez a tapasztalat is fontos a henger fogalm�nak kialak�t�s�hoz

A Tk� ������ a� feladatra t�maszkodva jabb szeml�letes �rtelmez�sre ny�lik alkalom

Page 85: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

Ha egy k�rlapot a s�kj�ra merlegesen eltolunk a t�rben� akkor az eredeti �s az eltoltk�rlap� valamint a hat�rol� k�rvonal �ltal �s rolt� fel�let egyenes k�rhengert z�r k�zre

A �� p�lda a hengerpal�st �kiter�t�s�t� szeml�lteti Itt eml�tj�k meg� hogy a hengerpal�stter�let�nek kisz�m�t�sa a p�ld�ban adott m�don igen szeml�letes� de matematikai �rte�lemben nem tekinthetj�k bizony�t�snak Ugyanis �ppen a �kiter�t�st� nem �rtelmezz�k�csak szeml�let�nkre t�maszkodva elfogadjuk

Az egyenes henger t�rfogat�nak kisz�m�t�s�n�l elfogadtatjuk� hogy ugyanaz az �ssze�f�gg�s �rv�nyes� mint a has�b eset�ben Az �sszef�gg�s egzakt bizony�t�s�hoz az�ltal�nos iskol�ban nem rendelkez�nk a megfelel ismeretekkel� de a bizony�t�s elv�tmegsejtethetj�k �l�sd az apr� bet�s megjegyz�st�

Fontos �nem csak a kompetenciam�r�s szempontj�b�l(�� hogy tanul�ink gyakorlati jelle�g� feladatokban �Tk� ������ ������� ������� is k�pesek legyenek alkalmazni a tanultakatEzekkel a feladatokkal a ter�let�� felsz�n�� t�rfogatsz�m�t�sr�l� illetve a m�rt�kegys��gek haszn�lat�r�l� a racion�lis sz�mokkal v�gzett m�veletekrl tanultakon t lmenenp�ld�ul a sz�zal�ksz�m�t�st is gyakoroltathatjuk

Fejt�r� feladatok

A tank�nyv bv�tett v�ltozat�ban szerepl fejezet

A Tk� B���� feladatsor a t�rszeml�letet fejleszt j�t�kos feladatokat tartalmaz

A Tk� B�����B����� gyakorlati jelleg� feladatok a �zik�ban tanult ismeretek �sebess�g�s�r�s�g� alkalmaz�s�ra is lehets�get biztos�tanak

A Tk� B�����B���� feladatsort �tartalmilag �s formailag is� a kompetenciam�r�sek et�mak�rh�z kapcsol�d� feladatainak mint�j�ra �p�tett�k fel

Tud spr�ba

Kompetenci�kat is m�r� fejleszt �rt�kel�st szolg�l� feladatsor

��

Page 86: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

�� �sszefoglal� feladatok

�gy szervezz�k meg az �sszefoglal�st� hogy legyen alkalmunk az alapvet� ismeretekfelm�r�s�re �s a hi�nyoss�gok p�tl�s�nak megszervez�s�re Cs�kkenthet� az �v v�giism�tl�s �raig�nye akkor� ha a sz�mtan� algebra t�mak�rh�z tartoz� ismereteket a fejezet t�rgyal�sa sor�n folyamatosan� intenz�ven gyakoroltattuk� illetve a geometri�hozkapcsol�d� ismereteket az � fejezet �sszefoglal�sakor �ttekintett�k

A hi�nyoss�gok p�tl�s�ra legal�bb most szervezz�nk korrepet�l�st

Megjegyezz�k� hogy a fejezet feladatai nem csak az �v v�gi �sszefoglal�s c�ljait szol�g�lhatj�k J�l alkalmazhat�k ezek a feladatsorok a t�maz�r� dolgozatok el�k�sz�t�sekor�s a folyamatos ism�tl�s sor�n is

A feladatokban piros sz�nnel szedt�k azokat a fogalmakat� amelyek megbesz�l�s�re felk�v�njuk h�vni a �gyelmet

Sz�mtan� sz�melm�let� algebra

A t�mak�r �sszefoglal�sakor � ha ez gondot okoz tanul�inknak � folyamatosan ism�tel�hetj�k a m�rt�kegys�gek �tv�lt�s�t

A t�mak�r ism�tl�s�t a tank�nyv a k�vetkez�k�ppen tagolja�

�� Sz�mok �r�sa a t�zes sz�mrendszerben� Norm�lalak

A sz�mok �r�s�nak gyakorl�s�t kapcsoljuk �ssze a racion�lis sz�mok fogalomrend�szer�nek ism�tl�s�vel

Tekints�k �t a helyi�rt�kek rendszer�t �nem a sz�monk�r�s ig�ny�vel�

��� � milli�� ���� � billi�� ���� � trilli��

���� � kvadrilli�� ���� � kvintilli�� ���� � szextilli�

Egyes kult�rk�r�kben m�st jelentenek ezek az elnevez�sek P�ld�ul az USA�ban��s Franciaorsz�gban��

��� � billion� ���� � trillion� ��� � quadrillion�

���� � quintillion� ���� � sextillion

A tudom�nyok az �ttekinthet�s�g �s az egy�rtelm�s�g kedv��rt a norm�lalakothaszn�lj�k az ismertetett elnevez�sek helyett

�� Oszt�� t�bbsz�r�s� oszthat�s�g

A Tk� ��� illetve B���� B���� feladatok megold�s�nak megbesz�l�sekor k�rj�ka fogalmak �rtelmez�s�t� fogalmaztassuk meg az oszthat�s�gi szab�lyokat

� Mveletek a racion�lis sz�mk�rben

A feladatok megold�s�hoz kapcsol�dva besz�lj�k meg a z�r�jelek haszn�lat�t� tu�datos�tsuk a helyes m�veleti sorrendet Indokoltassuk a feladatok megold�s�t

�� Algebrai kifejez�sek

A helyettes�t�si �rt�kek meghat�roz�sakor gyakoroltassuk a zsebsz�mol�g�p hasz�n�lat�t

��

Page 87: Matematika 7. · hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST. Alkotó szerkesztô: DR. ... hogy megfeleljen az osztly pillanatn yi tudsszintjnek

�� Egyenletek� egyenltlens�gek megold�sa

Tiszt�zzuk� hogy a tanul�k eml�keznek�e a megold�shalmaz� az azonoss�g� azonosegyenl�tlens�g fogalm�ra

H�vjuk fel a tanul�k �gyelm�t az ellen�rz�sre Ehhez most is aj�nlott zsebsz�mol��g�pet haszn�lni

F ggv�nyek

Ha kell� s�llyal t�rgyaltuk ezt a t�mak�rt� akkor most � �ra elegend� az �tism�tl�s�hez

�� Gra�konok

�� Line�ris f�ggv�ny

Besz�lj�k meg� hogy hogyan olvashat� le a kifejez�sekb�l a gra�kon meredeks�ge�s az y tengellyel val� metsz�spontja �Az x �� ax � b f�ggv�ny eset�n mi az a

�s a b jelent�se��

� Ar�ny� ar�nyos oszt�s� ar�nyoss�g

A t�mak�rh�z kapcsol�dva ism�telj�k �t a sz�zal�ksz�m�t�st is

Geometria� m�r�s

A geometriai tananyag �ttekint�s�t c�lszer� az � fejezet ism�tl�s�hez kapcsolni

�� Egybev�g�s�gi transzform�ci�k

A Tk� ����� feladattal nem csak a geometriai transzform�ci�kat ism�telhetj�k �t�hanem kombin�lva a Tk� ��������� feladatokkal� a k�vetkez� pontban le�rt t�mak�rtis

�� A h�romsz�gek csoportos�t�sa� megszerkeszt�se� ker�lete� ter�lete

A feladatok megold�s�hoz kapcsol�dva besz�lj�k meg a h�romsz�g bels� sz�geinek�sszeg�r�l� a bels� �s k�ls� sz�gek viszony�r�l� a h�romsz�g�egyenl�tlens�gr�ltanultakat

� N�gysz�gek� speci�lis n�gysz�gek� ker�let�k� ter�let�k

Id�ztess�k fel a speci�lis n�gysz�gek �rtelmez�s�t� tulajdons�gait� ter�let�k kisz��m�t�s�nak m�dj�t

Sz�ks�g eset�n gyakoroltassuk a ter�let�m�rt�kegys�gek �tv�lt�s�t

�� A k�r ker�lete� ter�lete

�� Az egyenes has�b fogalma� h�l�ja� felsz�ne� t�rfogata

Sz�ks�g eset�n gyakoroltassuk a ter�let�m�rt�kegys�gek �tv�lt�s�t

Alkalmazzuk a tanultakat a mindennapi �lettel kapcsolatos feladatokban

�� Az egyenes k�rhenger fogalma� h�l�ja� felsz�ne� t�rfogata

Alkalmazzuk a tanultakat a mindennapi �lettel kapcsolatos feladatokban

��