mathimatika b gymnasiou - publicmedia.public.gr/books-pdf/9789604498093-0517379.pdf ·...

Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή

Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό:

♦ Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος.

♦ Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές βάσειςσταΜαθηµατικά,κάτιπουθασεκάνεινατακατανοήσειςβα- θύτερα,ναβελτιώσειςτηνεπίδοσήσουαλλάκαινατααγαπήσειςπε- ρισσότερο.

Τοβιβλίοακολουθεί,γιαδιδακτικούςλόγους,πιστάτηδοµήτουσχολι-κούβιβλίου.Κάθεενότηταπεριέχει:

♦ τηθεωρίασεµορφήερωτήσεων-απαντήσεων,µεσχόλιακαιπαρατη- ρήσεις,

♦ υποδειγµατικάλυµένεςασκήσειςπουσυνοδεύονταισυχνάαπόχρήσι- µεςµεθόδους,

♦ προτεινόµενεςασκήσειςκαιερωτήσειςκατανόησηςµεσκοπότηναυτε- νέργειακαιτηναπόκτησηαυτοπεποίθησης.

Στοτέλοςτουβιβλίουπεριέχονταιυποδείξειςήαπαντήσειςσεόλεςτιςπροτεινόµενεςασκήσεις,καθώςκαιοιλύσειςόλωντωνασκήσεωντουσχολικούβιβλίου,κάτιπουκαθιστάτοβιβλίοιδιαίτεραφιλικόαλλάκαιεξαιρετικάχρήσιµο.

Θέλουµεναευχαριστήσουµετηνειδικήσυνεργάτηµας,µαθηµατικό,ΙωάνναΣτεργίουγιατιςπολύτιµεςπαρεµβάσειςτηςστοπεριεχόµενοτουβιβλίουκαιτονσυνάδελφο∆ηµήτρηΤσάκοπουείχετηνεπιµέλειατηςέκδοσης.

Οισυγγραφείς

Περιεχόµενα

Α΄Μέρος:Άλγεβρα

Ενότητα1: Ηέννοιατηςµεταβλητής-Αλγεβρικέςπαραστάσεις .....................................11

Ενότητα2: Εξισώσειςα΄βαθµού .......................................................................................23

1οΚριτήριοΑξιολόγησης ....................................................................................................40

Ενότητα3: Επίλυσητύπων.................................................................................................41

Ενότητα4: Επίλυσηπροβληµάτωνµετηχρήσηεξισώσεων.............................................46


Ενότητα5: Ανισώσειςα΄βαθµού.......................................................................................58


Ενότητα6: Τετραγωνικήρίζαθετικούαριθµού.................................................................72


Ενότητα7: Άρρητοιαριθµοί-Πραγµατικοίαριθµοί ........................................................85

Ενότητα8: Προβλήµατα ....................................................................................................93

Ενότητα9: Ηέννοιατηςσυνάρτησης ................................................................................99

Ενότητα10: Καρτεσιανέςσυντεταγµένες-Γραφικήπαράστασησυνάρτησης.................108

Ενότητα11: Ησυνάρτησηy=αx......................................................................................123

Ενότητα12: Ησυνάρτησηy=αx+β ...............................................................................132

Ενότητα13: Ησυνάρτησηy=α

x-Ηυπερβολή .............................................................145

5οΚριτήριοΑξιολόγησης ..................................................................................................154


Ενότητα14: ΒασικέςέννοιεςτηςΣτατιστικής:Πληθυσµός-∆είγµα ...............................158

Ενότητα15: Γραφικέςπαραστάσεις...................................................................................163

Ενότητα16: Κατανοµήσυχνοτήτωνκαισχετικώνσυχνοτήτων........................................171

Ενότητα17: Οµαδοποίησηπαρατηρήσεων .......................................................................178

Ενότητα18: Μέσητιµή-∆ιάµεσος ...................................................................................184

Β΄Μέρος:Γεωµετρία

Ενότητα19: Εµβαδόνεπίπεδηςεπιφάνειας .......................................................................195

Ενότητα20: Μονάδεςµέτρησηςεπιφανειών .....................................................................199


Ενότητα21: Εµβαδάεπίπεδωνσχηµάτων .........................................................................207


Ενότητα22: Πυθαγόρειοθεώρηµα ....................................................................................222


10οΚριτήριοΑξιολόγησης ................................................................................................236

Ενότητα23: Εφαπτοµένηοξείαςγωνίας............................................................................237

Ενότητα24: Ηµίτονοκαισυνηµίτονοοξείαςγωνίας ........................................................247

Ενότητα25: Μεταβολέςηµιτόνου,συνηµιτόνουκαιεφαπτοµένης ..................................258

Ενότητα26: Οιτριγωνοµετρικοίαριθµοίτωνγωνιών30°,45°και60° ...........................267


Ενότητα27: Ηέννοιατουδιανύσµατος.............................................................................279

Ενότητα28: Άθροισµακαιδιαφοράδιανυσµάτων............................................................288

Ενότητα29: Ανάλυσηδιανύσµατοςσεδύοκάθετεςσυνιστώσες......................................299

Ενότητα30: Εγγεγραµµένεςγωνίες ...................................................................................306

Ενότητα31: Κανονικάπολύγωνα ......................................................................................319

Ενότητα32: Μήκοςκύκλου ...............................................................................................333

Ενότητα33: Μήκοςτόξου..................................................................................................342

Ενότητα34: Εµβαδόνκυκλικούδίσκου.............................................................................350

Ενότητα35: Εµβαδόνκυκλικούτοµέα ..............................................................................358


Ενότητα36: Ευθείεςκαιεπίπεδαστοχώρο .......................................................................371

Ενότητα37: Στοιχείακαιεµβαδόνπρίσµατοςκαικυλίνδρου ...........................................384

Ενότητα38: Όγκοςπρίσµατοςκαικυλίνδρου ...................................................................397

Ενότητα39: Ηπυραµίδακαιταστοιχείατης ....................................................................409

Ενότητα40: Οκώνοςκαιταστοιχείατου .........................................................................422

Ενότητα41: Ησφαίρακαιταστοιχείατης ........................................................................432


ΣυµπληρωµατικέςασκήσειςστηνΆλγεβρα.....................................................................444

Γ΄Μέρος:Απαντήσεις

Απαντήσεις-ΛύσειςΠροτεινόµενωνΑσκήσεων..................................................................461

Απαντήσεις-ΛύσειςΑσκήσεωνΣχολικούΒιβλίου ..............................................................554

11

Α. Η έννοια της µεταβλητής - Παραστάσεις

Τι ονοµάζεται µεταβλητή και πώς συµβολίζεται;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μεταβλητή ονοµάζεται ένα γράµµα, το οποίο παριστάνει έναν οποιοδήποτε

αριθµό. Οι µεταβλητές συµβολίζονται µε γράµµατα της Ελληνικής ή Λατινικής

αλφαβήτου, για παράδειγµα µε α, β, γ, δ, x, y, z, t, κ.λπ.

Σχόλιο

♦ Τις µεταβλητές τις χρησιµοποιούµε για να διατυπώσουµε µε µαθηµατικό

τρόπο διάφορες προτάσεις ή ιδιότητες των αριθµών.

α) Τι λέγεται αριθµητική παράσταση;

β) Τι λέγεται αλγεβρική παράσταση;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) Αριθµητική παράσταση λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθ-

µούς. Τον αριθµό που θα βρούµε, αν εκτελέσουµε όλες τις πράξεις σε µια αριθ-

µητική παράσταση, τον λέµε τιµή της παράστασης.

12 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ–ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Για παράδειγµα, η παράσταση Α = 8 − (−2)(+3) − (−3)2 : (−9) είναι αριθµητική

και η τιµή της είναι ίση µε:

Α = 8 − (−2)(+3) − (−3)2 : (−9) = 8 − (−6) − (+9) : (−9) =

= 8 + 6 − (−1) = 14 + 1 = 15

β) Αλγεβρική λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθµούς και

µεταβλητές. Για παράδειγµα, η παράσταση Α = α2 + β2 − α + β + 1 είναι

αλγεβρική.

♦ Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές της µε

αριθµούς, τότε η τιµή της αριθµητικής παράστασης που προκύπτει λέγεται

τιµή της αλγεβρικής παράστασης. Για παράδειγµα, η τιµή της παράστασης

Α = α2 + β2 − α + β + 1 για α = 2 και β = −3 είναι:

Α = 22 + (−3)2 − 2 + (−3) + 1 = 4 + 9 − 2 − 3 + 1 = 9

♦ Οι προσθετέοι της αλγεβρικής παράστασης λέγονται όροι της παράστα-

σης. Για παράδειγµα, στην παράσταση Α = α2 + β2 − α + β + 1 οι όροι είναι

οι α2, β2, −α, β, 1.

Εφαρµογή1.1

Ναεκφραστούνοιπαρακάτωπροτάσειςµετηβοήθειαµεταβλητών:

α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατάπέντε.

β) Τοάθροισµακαιηδιαφοράδύοαριθµών.

γ) Τοδιπλάσιοτηςδιαφοράςδύοαριθµών.

δ) Τοκόστοςγιανααγοράσουµεδύοκιλάµήλακαιτρίακιλάροδάκινα.

ΛΥΣΗ

α) Ανσυµβολίσουµεµεxτοναριθµό,τότετοτριπλάσιότουείναι3x.Εποµένως,το

τριπλάσιοτουαριθµού,αυξηµένοκατά5,εκφράζεταιµετηνπαράσταση3x+5.

β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνεκφράζεταιµετηνπαράστασηα+βκαιηδιαφοράτους

µεα−β,όπουακαιβείναιοιαριθµοίαυτοί.

γ) Ανα,βείναιοιδύοαριθµοί,τότεηδιαφοράτουςείναιηπαράστασηα−β.Άρατο

διπλάσιοτηςδιαφοράςτουςεκφράζεταιµετηνπαράσταση2(α−β).

δ) Αντοένακιλόµήλακοστίζειx€καιτοένακιλόροδάκινακοστίζειy€,τότεη

αξίαδύοκιλώνµήλακαιτριώνκιλώνροδάκιναεκφράζεταιµετηνπαράσταση2x+3y.

13

Εφαρµογή1.2

∆ίνεταιηπαράστασηΑ=α3−3α2β+3αβ2−β3+10.

α) ΠοιεςείναιοιµεταβλητέςτηςπαράστασηςΑ;

β) ΠοιοιείναιοιόροιτηςπαράστασηςΑ;

γ) ΠοιαείναιητιµήτηςπαράστασηςΑ,γιαα=−2καιβ=−1;

ΛΥΣΗ

α) ΟιµεταβλητέςτηςπαράστασηςΑείναιοιακαιβ.

β) ΟιόροιτηςπαράστασηςΑείναιοια3,−3α2β,3αβ2,−β3,10.

γ) ΓιαναβρούµετηντιµήτηςαλγεβρικήςπαράστασηςΑ,γιαα=−2καιβ=−1,θα

αντικαταστήσουµετιςµεταβλητέςα,βµετιςτιµέςτους−2και−1αντίστοιχα.Θέτου-

µελοιπόνα=−2καιβ=−1,οπότεπαίρνουµε:

Α=α3−3α2β+3αβ2−β3+10=(−2)3−3(−2)2(−1)+3(−2)(−1)2−(−1)3+10=

=−8−3(+4)(−1)+3(−2)⋅1−(−1)+10=−8−3(−4)−6+1+10=

=−8+12−6+1+10=12+1+10−8−6=23−14=9

Β. Επιµεριστική ιδιότητα - Αναγωγή όµοιων όρων

Να γραφεί η επιµεριστική ιδιότητα.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Η επιµεριστική ιδιότητα διατυπώνεται µε µεταβλητές ως εξής:

⋅ + = ⋅ + ⋅α (β γ) α β α γ

Επειδή το σύµβολο του πολλαπλασιασµού, δηλαδή η τελεία (⋅), µπορεί να παρα-

λειφθεί, η επιµεριστική ιδιότητα γράφεται και µε τη µορφή α(β + γ) = αβ + αγ

ή ακόµα και µε τη µορφή (α + β)γ = αγ + βγ. Επειδή η επιµεριστική ιδιότητα

ισχύει και ως προς την αφαίρεση, γενικότερα έχουµε:

+ = + − = −α(β γ) αβ αγ και α(β γ) αβ αγ

Αξίζει επίσης να τονίσουµε ότι κατά την επιµεριστική ιδιότητα το πρόσηµο

που βρίσκεται µπροστά από την παρένθεση παίζει σηµαντικό ρόλο:

♦ −α(β + γ) = −αβ − αγ, −α(β − γ) = −αβ + αγ

♦ α(β + γ − δ) = αβ + αγ − αδ, −α(β − γ − δ) = −αβ + αγ + αδ


Για παράδειγµα είναι −2(α − 3) = −2α + 6 και όχι −2α − 6, διότι (−2)(−3) = +6.

Αν έχουµε περισσότερες από δύο µεταβλητές, ισχύει ότι:

Σχόλιο

♦ Σε ορισµένες περιπτώσεις την επιµεριστική ιδιότητα την εφαρµόζουµε από

την αντίθετη κατεύθυνση, «βγάζοντας» έναν κοινό παράγοντα. Γράφουµε

δηλαδή ότι:

+ = + + = +καιαβ αγ α(β γ) αγ βγ (α β)γ

Για παράδειγµα είναι:

• 2x + 2y = 2(x + y), 3α − 3β = 3(α − β)

• −5κ + 5λ = −5(κ − λ), −3α − 6β = −3(α + 2β)

Βλέπουµε λοιπόν ότι αν ο κοινός παράγοντας είναι αρνητικός αριθµός, τό-

τε το πρόσηµο των όρων που µένουν στην παρένθεση αλλάζει:

−5κ + 5λ = −5(κ − λ)

Τι λέγεται αναγωγή όµοιων όρων;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Αναγωγή όµοιων όρων λέγεται η διαδικασία µε την οποία µια αλγεβρική παρά-

σταση γράφεται σε απλούστερη µορφή. Αυτό γίνεται µε τη βοήθεια της επι-

µεριστικής ιδιότητας.

Για παράδειγµα είναι:

♦ 3α + 5α = (3 + 5)α = 8α, 4α − 7α = (4 − 7)α = −3α

♦ 2α − 4α + 3α = (2 − 4 + 3)α = 1 ⋅ α = α,

6y + 3y − 10y = (6 + 3 − 10)y = −1y = −y

Τονίζουµε ότι µπορούµε να γράψουµε:

(1 ⋅ x = x και −1

⋅ x = −x) ή

(x = 1 ⋅ x και −x = −1

⋅ x)

ανάλογα µε την περίπτωση.

15

Εφαρµογή1.3

Νααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις:

α) 8α−3α+α β) 7x−8x−x

γ) 2(α−2β)−3(2α−β) δ) −3(x−2y)+2(3x−y)+1

ΛΥΣΗ

α) Επειδήα=1⋅α,είναι8α−3α+α=(8−3+1)α=6α.

β) Επειδή−x=−1⋅xείναι7x−8x−x=(7−8−1)x=−2x.

γ) Χρησιµοποιούµεπρώτατηνεπιµεριστικήιδιότηταα(β+γ)=αβ+αγ:

2(α 2β) 3(2α β) 2α 4β 6α 3β 2α 6α 4β 3β− − − = − − + = − − + =

=(2−6)α+(−4+3)β=−4α−β

δ) Μετονίδιοτρόποέχουµε:

−3(x−2y)+2(3x−y)+1=−3x+6y+6x−2y+1=(−3+6)x+(6−2)y+1=3x+4y+1

Εφαρµογή1.4

Ναυπολογιστείητιµήτωνπαραστάσεων:

α) Α=2(α−2)−3(β−1)−(−α−6β)+5,ανα+β=−1.

β) Β=3(α−2β)−2(3α−β)−(5−β),ανα+β=−2.

ΛΥΣΗ

α) ΠρώταθααπλοποιήσουµετηνπαράστασηΑµετηβοήθειατηςεπιµεριστικήςιδιό-τηταςκαικάνονταςτηναναγωγήτωνόµοιωνόρων:

Α=2(α−2)−3(β−1)−(−α−6β)+5=2α−4−3β+3+α+6β+5=

=2α+α−3β+6β−4+3+5=(2+1)α+(−3+6)β+4=3α+3β+4=

=3(α+β)+4=3(−1)+4=−3+4=1

Τονίζουµεότιµπορούµεαπευθείαςναγράψουµε:

2α+α=3ακαι−3β+6β=3βδιότι:

2+1=3και−3+6=3

β) Όπωςκαιστοερώτηµα(α),απλοποιούµεπρώτατηνπαράσταση:

Β=3(α−2β)−2(3α−β)−(5−β)=3α−6β−6α+2β−5+β=

=3α−6α−6β+2β+β−5=−3α−3β−5=−3(α+β)−5=

=−3(−2)−5=6−5=1


1.5 Ναχρησιµοποιηθούνµεταβλητέςγιαναεκφραστούνµεµιααλγεβρικήπα- ράστασηοιπαρακάτωφράσεις:

α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατά12.

β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνπολλαπλασιασµένοεπί9.

γ) Ηπερίµετροςενόςορθογωνίου,πουτοµήκοςτουείναι2mµεγαλύτε- ροαπότοπλάτοςτου.

ΛΥΣΗ

α) Ανσυµβολίσουµεµεxτοναριθµό,τότε:

• Τοτριπλάσιοαυτούτουαριθµούείναι3x.

• Το3xαυξηµένοκατά12είναι3x+12.

β) Ανσυµβολίσουµεµεxτονέναναριθµόκαιµεyτονάλλοναριθµό,τότε:

• Τοάθροισµατωνδύοαριθµώνείναιx+y.

• Τοx+yπολλαπλασιασµένοµετο9είναι9(x+y).

γ) Ανσυµβολίσουµεµε ym το πλάτος του ορθογωνίου, τότε τοµήκος του είναι

(y+2)m(αφούτοµήκοςαυτούτουορθογωνίουείναι2mµεγαλύτεροαπότοπλά-τοςτου).Εποµένως,ηπερίµετρόςτουείναι:

Π=y+(y+2)+y+(y+2)=2y+2(y+2)=2y+2y+4=(4y+4)m

1.6 Ναχρησιµοποιηθείµιαµεταβλητήγιαναεκφραστούνµεµιααλγεβρική παράστασηοιπαρακάτωφράσεις:

α) Τοσυνολικόποσόπουθαπληρώσουµεγιανααγοράσουµε5κιλάπα- τάτες,ανγνωρίζουµετηντιµήτουενόςκιλού.

β) Τηντελικήτιµήενόςπροϊόντος,ανγνωρίζουµεότιαυτήείναιηανα- γραφόµενητιµήσυν19%ΦΠΑ.

ΛΥΣΗ

α) Ανσυµβολίσουµεµεxτηντιµήτουενόςκιλού,τότεητιµήτων5κιλώνείναι5x.

β) Ανσυµβολίσουµεµεyτηναναγραφόµενητιµή,τότεοΦΠΑπουαναλογείσεαυ-τήτηντιµήείναι:

17

=

19y 0,19y

100

Εποµένως,ητελικήτιµήτουπροϊόντοςείναιy+0,19y=(1+0,19)y=1,19y.

1.7 Nααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις:

α) 20x−4x+x β) −7α−8α−α

γ) 14y+12y+y δ) 14ω−12ω−ω+3ω

ε) −6x+3+4x−2 στ)β−2β+3β−4β

ΛΥΣΗ

Εφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητααγ+βγ=(α+β)γκαικάνουµεαναγωγήόµοιωνόρων.

α) 20x−4x+x=(20−4+1)x=17x.

β) −7α−8α−α=(−7−8−1)α=−16α.

γ) 14y+12y+y=(14+12+1)y=27y.

δ) 14ω−12ω−ω+3ω=(14−12−1+3)ω=4ω.

ε) −6x+3+4x−2=−6x+4x+3−2=(−6+4)x+(3−2)=−2x+1.

στ)β−2β+3β−4β=(1−2+3−4)β=−2β.

1.8 Νααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις:

α) 2x−4y+3x+3y β) 6ω−2ω+4α+3ω+α

γ) x+2y−3x−4y δ) −8x+ω+3ω+2x−x

ΛΥΣΗ

Παρατηρούµεότιοιαλγεβρικέςπαραστάσειςδενέχουνµίαµόνοµεταβλητή.Εφαρµό-ζουµετηνεπιµεριστικήιδιότηταστουςόρουςπουέχουντηνίδιαµεταβλητή.

=5x+(−1)y=5x−y.

=7ω+5α.

=−2x−2y.


=−7x+4ω.

1.9 NααπλοποιηθούνοιπαραστάσειςA,Bκαιστησυνέχειαναυπολογιστεί

ητιµήτους:

α) Α=3(x+2y)−2(2x+y),ότανx=1,y=−2.

β) Β=5(2α−3β)+3(4β−α),ότανα=−3,β=5.

ΛΥΣΗ

α) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΑ:

Α=3(x+2y)−2(2x+y)=3x+6y−4x−2y=3x−4x+6y−2y=

=(3−4)x+(6−2)y=(−1)x+4y=−x+4y

ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΑ,ότανx=1καιy=−2:

Α=−1+4(−2)=−1−8=−9

β) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΒ:

Β=5(2α−3β)+3(4β−α)=10α−15β+12β−3α=10α−3α−15β+12β=

=(10−3)α+(−15+12)β=7α+(−3)β=7α−3β

ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΒ,ότανα=−3καιβ=5:

Β=7(−3)−3⋅5=−21−15=−36

Βασικέςασκήσεις

1.10 Ναχρησιµοποιήσετεµεταβλητέςγιαναεκφράσετεµεµιαπαράστασητιςεπό-

µενεςφράσεις:

α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούελαττωµένοκατά10.

β) Τοδιπλάσιοτουαθροίσµατοςδύοαριθµών.

γ) Τοµισότηςδιαφοράςδύοαριθµών.

19

δ) Ηπερίµετροςενόςισοσκελούςτριγώνου.

ε) Τοεµβαδόνενόςορθογωνίουµεµήκος5.

στ)Ηδιαφοράτουαθροίσµατοςδύοαριθµώναπότο20.

1.11 Ναγράψετεµετηβοήθειαµεταβλητώντιςφράσεις:

α) Τοάθροισµαδύοδιαδοχικώνακέραιωναριθµών.

β) Ητιµήενόςπροϊόντοςµετάαπόέκπτωση20%.

γ) Οµέσοςόροςδύοαριθµώνείναι5.

δ) Τοκόστοςδύοίδιωντετραδίωνκαιτριώνίδιωνβιβλίων.

1.12 Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις:

α) 3x+2x+5x β) 5α+3α+α

γ) 7x−3x−x δ) 6α+α−5α

ε) 4y−y+2y στ)−10β+3β+6β

1.13 Νακάνετεαναγωγήτωνόµοιωνόρων:

α) 5α−3β+2β−4α β) −2α−β+3α−2β

γ) 3x−4y−2x+3y δ) −5β+3γ+7β−4γ


α) α+α+α β) α⋅α⋅α

γ) 3α+3α+3α δ) 3α⋅3α

⋅3α

ε) −α−2α−3α στ)(−α)(−2α)(−3α)

1.15 Ανα=−1καιβ=−2,ναυπολογίσετετιςπαραστάσεις:

α) Α=α2β−βα3 β) Β=β3:α5−β(−3−2α)7

1.16 Ναβρείτετηντιµήτωνπαραστάσεων:

α) Α=3α−2β+3γ,ανα=2,β=−3,γ=−2

β) Β=2(α−β)−5(β+α),ανα=3,β=−3

1.17 Νααπλοποιήσετετιςπαρακάτωπαραστάσεις:

α) Α=2(3α−2β−1)−3(2α−3β−2)

β) Β=−3(x−2y+3)+2(3x−3y+5)



α) Α=−[−(−2α−β)−(α−β)]−(α−2β)

β) Β=−[−2(α−β)−(β−α)]−(α−β)

1.19 Ναυπολογίσετετηντιµήτωνπαραστάσεων:

α) Α=2(x−y)−3(2x−5y)−2,ανx=−5,y=−2

β) Β=−3(α−2β)+2(−2α+3β)+5,ανα=−3,β=−2

1.20 Ναβρείτετηντιµήτωνπαραστάσεων:

α) Α=3α−3β,ανα−β=10

β) Β=−2α−2β,ανα+β=5

γ)3 3

Γ x y,2 2

= +ανx+y=4

1.21 Ανα+β=−7καιx−y=−3,ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης:

Α=7−[−α−(β+3)]−[2+(y−x)]

1.22 Ανx−y=−5καια−β+γ=3,ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης:

Α=−x−α+y+β−γ

1.23 Ναεκφράσετεµετηβοήθειαµιαςµεταβλητήςτιςπαρακάτωπροτάσεις:

α) Τοάθροισµατριώνδιαδοχικώνάρτιων.

β) Τοάθροισµαδύοδιαδοχικώνπεριττώναυξηµένοκατά10.

γ) Έναςπεριττόςαριθµόςαυξηµένοςκατάτοδιπλάσιοτουεπόµενούτουαριθ- µού.

1.24 Ναεκφράσετεµεµιαισότητατιςπαρακάτωπροτάσεις:

α) Τοάθροισµατριώνδιαδοχικώνπεριττώναριθµών,απότουςοποίουςοµεσ-

σαίοςείναιο2x+1,είναιίσοµε15.

β) ΟΜιχάληςείναι4χρόνιαµεγαλύτεροςαπότονΓιώργοκαιτοµισότηςηλι-

κίαςτουΜιχάλη ισούταιµετο1

6τηςηλικίαςτουΓιώργουαυξηµένοκατά8

χρόνια.

1.25 Απόποιαγινόµεναπροέκυψανοιπαρακάτωαλγεβρικέςπαραστάσεις;

α) 2x+2y β) 3α−3β γ) −5x+5y

δ) −4α−4β ε) 2x+4y στ)−3α+6β

21

1.26 Ανα+β=3,νααποδείξετεότι:

α) 3α−(α−2β)=6 β) 2(α−β)−3(2α+β)+β=−12

1.27 Ναυπολογίσετετηντιµήτωνπαραστάσεων:

α) [ ] [ ] A 3 ( 4 3) 2 ( 7 4) ( 2 7)= − − − − − + + − − − + − − +

β) [ ] B 3 ( 5 4) (6 3 7) ( 2 7)= − − − + − + − + − − − +

1.28 Ναβρείτετηντιµήτωνπαρακάτωαριθµητικώνπαραστάσεων:

α) Α=(−2)(+3)−(−8):(−4)−(−3)2

β) Β=(−1)(−2)2−(−3)2:(−9)−(−5+3)(−2)

γ) Γ=(−3)(−2)−(−4+3)2008−(−1)3(−4)

δ) ∆=(−8+7)2009+(−25):(−5)2−3(−4+5)

1.29 ΑνΑ=−(−2α+β)−(α+2β)καιΒ=2(α−β)−3(α−2β),ναυπολογίσετετις

παραστάσεις:

α) Α−Β β) 2Β−3Α+5(α−3β)

1.30 Νααπλοποιήσετετιςπαρακάτωπαραστάσεις:

α) Α=2(−3x+2y)+3(2x−3y)−(x−2y)

β) Β=−3(α−2β)+2(−3α+β)−(2α−β)+11α

γ) Γ=−2(α−2β−γ)+3(2α−β−3γ)−(2α−β−3γ)−2(β−2γ)

δ) ∆=4(2α−β+2γ)−2(α−β+γ)−3(2α−β−γ)−9γ

1.31 Ανα−β−γ=−1,ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης:

Α=−3(α+β+γ)−4(β−α−γ)+2(3α−4γ)

1.32 Ναβρείτετηνπερίµετροτωνπαρακάτωσχηµάτων:


1.33 Ναβρείτετηνπλευράαενόςτετραγώνου,του οποίουτοεµβαδόν ισούταιµετοάθροισµα τωνεµβαδώντωνδιπλανώνορθογωνίων.

1.34 Αντοτρίγωνοέχειπερίµετρο10cm,ναβρείτετηνπερίµετροτουορθογωνίου.

1.35 Ναβρείτετοεµβαδόντουδιπλανούορθογω- νίου.

23

Α. Ισότητες - Ιδιότητες

Ποια σχέση µπορεί να υπάρχει ανάµεσα σε δύο αριθµούς α και β;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Ανάµεσα σε δύο αριθµούς α και β ισχύει πάντα µόνο µία από τις σχέσεις:

= < >α β ή α β ή α β

Η σχέση α = β λέγεται ισότητα, ενώ καθεµία από τις σχέσεις α < β, α > β

λέγεται ανισότητα.

Το σύµβολο «<» διαβάζεται «µικρότερο» και το «>» διαβάζεται «µεγαλύ-

τερο».

Ποιες ιδιότητες συνδέουν τις πράξεις και τις ισότητες;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Σε µια ισότητα µπορούµε να κάνουµε µία τουλάχιστον από τις επόµενες ενέρ-

γειες και να πάρουµε πάλι ισότητα.

24 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα΄ΒΑΘΜΟΥ

Ιδιότητα 1η

Αν στα δύο µέλη µιας ισότητας προσθέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύ-

πτει και πάλι ισότητα. ∆ηλαδή:

Αν α = β, τότε α

+ γ = β

+ γ


Αν και από τα δύο µέλη µιας ισότητας αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε

προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ∆ηλαδή:


− γ = β

− γ


Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας πολλαπλασιαστούν µε τον ίδιο αριθµό,

τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ∆ηλαδή:


⋅ γ = β

⋅ γ


Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας διαιρεθούν µε τον ίδιο αριθµό, που δεν

είναι µηδέν, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ∆ηλαδή:

Αν α = β, τότε α β= ,

γ γ γ

≠ 0

Σχόλιο

Από τις παραπάνω ιδιότητες µπορούµε να συµπεραίνουµε επίσης ότι:

♦ Αν α + γ = β + γ, τότε α = β.

♦ Αν α − γ = β − γ, τότε α = β.

♦ Αν αβ = αγ και α ≠ 0, τότε β = γ.

♦ Αν = =

β γα αή ,

β γ α α τότε β = γ.

Οι παραπάνω ιδιότητες είναι γνωστές ως ιδιότητες της διαγραφής.

25

Εφαρµογή2.1

∆ίνονταιοιµεταβλητέςα,βκαιγ.Νααποδειχθείότι:

α)Ανα+β−3=γ+β−3,τότεα=γ.

β) Αν2α−3β+7=2α−3γ+7,τότεβ=γ.

γ) Αναβ−8=αγ−8καια≠0,τότεβ=γ.

ΛΥΣΗ

α)Κάνουµεδιαδοχικάτιςπαρακάτωενέργειες:

α+β−3=γ+β−3 Προσθέτουµεσταδύοµέλητο3

α+β−3+3=γ+β−3+3ή

α+β=γ+β Αφαιρούµεαπόταδύοµέλητοβ

α+β−β=γ+β−βήα=γ

β)Έχουµε:

2α−3β+7=2α−3γ+7 Αφαιρούµεσταδύοµέλητο7

2α−3β+7−7=2α−3γ+7−7ή

2α−3β=2α−3γ Αφαιρούµεσταδύοµέλητο2α

2α−3β−2α=2α−3γ−2αή

−3β=−3γ ∆ιαιρούµεκαιταδύοµέληµε−3

3β 3γ

3 3

− −

=

− −

ήβ=γ

γ) Έχουµεαβ−8=αγ−8.Προσθέτουµεκαισταδύοµέλητο8καιπαίρνουµε:

αβ−8+8=αγ−8+8ήαβ=αγ

Αφούα≠0,διαιρούµεκαιταδύοµέληµεακαιπαίρνουµε:

= =

αβ αγή β γ

α α

Β. Πώς λύνουµε εξισώσεις

Τι είναι εξίσωση;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Εξίσωση είναι µια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθµό x.


Σχόλια

♦ Ο άγνωστος µπορεί να συµβολίζεται και µε οποιοδήποτε άλλο γράµµα.

Για παράδειγµα οι 3x + 2 = 17 − 2x, 2y − 7 = 15 + y είναι εξισώσεις.

Η πρώτη έχει άγνωστο τον x και η δεύτερη έχει άγνωστο τον y.

♦ Κάθε εξίσωση έχει δύο µέλη.

Για παράδειγµα στην εξίσωση 3x + 2 = 17 − 2x, α΄ µέλος είναι η παρά-

σταση 3x + 2 και β΄ µέλος είναι η παράσταση 17 − 2x.

Τι λέγεται λύση ή ρίζα µιας εξίσωσης;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Λύση ή ρίζα µιας εξίσωσης λέγεται ο αριθµός που πρέπει να βάλουµε στη θέ-

ση του αγνώστου, ώστε η ισότητα που προκύπτει να αληθεύει.

Για παράδειγµα, στην εξίσωση 3x + 2 = 17 − 2x ο αριθµός x = 3 είναι λύση,

διότι:

3

⋅ 3 + 2 = 17 − 2

⋅ 3 ή 9 + 2 = 17 − 6 ή 11 = 11

Η διαδικασία µε την οποία διαπιστώνουµε ότι κάποιος αριθµός είναι λύση µιας

εξίσωσης λέγεται επαλήθευση.

Ποια γενική αρχή εφαρµόζουµε για τη λύση µιας εξίσωσης;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Όταν λύνουµε µια εξίσωση, χρησιµοποιούµε την εξής γενική αρχή:

Σε µια εξίσωση µπορούµε να µεταφέρουµε όρους από το ένα µέλος στο άλ-

λο, αλλάζοντας όµως το πρόσηµό τους.

Για παράδειγµα στην εξίσωση 3x + 2 = 17 − 2x µπορούµε να φέρουµε τους

άγνωστους όρους στο α΄ µέλος και τους γνωστούς στο β΄ µέλος ως εξής:

3x + 2x = 17 − 2

Αφού το

−2x ήταν στο β΄ µέλος και ήρθε στο α΄, έγινε

+2x ενώ το

+2 που

ήταν στο α΄ µέλος και πήγε στο β΄ έγινε

−2. Οι όροι 3x και 17 παρέµειναν

στο µέλος που βρίσκονταν αρχικά, οπότε δεν άλλαξαν πρόσηµο.

27

Ποια βήµατα ακολουθούµε για τη λύση µιας εξίσωσης;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Στην πορεία λύσης µιας εξίσωσης ακολουθούµε µε τη σειρά τα εξής βήµατα:

1ο Βήµα

Απαλείφουµε, αν υπάρχουν, τους παρονοµαστές, πολλαπλασιάζοντας κάθε

όρο, και στα δύο µέλη, µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών αυτών.

2ο Βήµα

Εκτελούµε τις πράξεις, συνήθως µε τη βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας.

3ο Βήµα

Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους, µεταφέροντας στο ένα µέλος όλους

τους όρους που έχουν τον άγνωστο και στο άλλο µέλος αυτούς που είναι

γνωστοί.

4ο Βήµα

Κάνουµε αναγωγή όµοιων όρων.

5ο Βήµα

∆ιαιρούµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε το συντελεστή του αγνώστου.

6ο Βήµα

Απλοποιούµε τα κλάσµατα και βρίσκουµε τη λύση.

Σχόλιο

♦ Πολλές φορές, όταν λύνουµε µια εξίσωση, καταλήγουµε σε εξισώσεις της

µορφής:

0x = 5, 0x = −7, 0x = 0 κ.λπ.

Εξισώσεις, όπως για παράδειγµα οι 0x = 5, 0x = −7 λέγονται αδύνατες.

Η εξίσωση 0x = 0 λέγεται ταυτότητα.


Συνοψίζοντας, έχουµε τα ακόλουθα:

♦ Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = α, µε α ≠ 0 λέγεται αδύνατη.

♦ Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = 0 λέγεται ταυτότητα

(ή αόριστη).

Εφαρµογή2.2

Ναλυθούνοιεξισώσεις:

α) 5x−7=3x+13 β) 2x+5=5x+17

γ) 2(x−3)−3(x−2)=4(x−5) δ) −3(x−5)+7=9−2(x−1)

ΛΥΣΗ

Αφούδενυπάρχουνκλάσµαταδεναπαιτείταιπουθενάαπαλοιφήπαρονοµαστών.

Ακολουθούµελοιπόνταυπόλοιπαβήµαταπουπεριγράψαµεπροηγουµένως:

α) − = +5x 7 3x 13 Χωρίζουµεγνωστούςαπόαγνώστους

5x−3x=13+7 Αναγωγήόµοιωνόρων

2x=20 ∆ιαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου

= =

2x 20ή x 10

2 2

Ηλύσηλοιπόντηςεξίσωσηςείναιηx=10.

β) Εργαζόµαστεµετονίδιοτρόπο:

2x+5=5x+17 Χωρίζουµεγνωστούςαπόαγνώστους

2x−5x=17−5 Αναγωγήόµοιωνόρων

−3x=12 ∆ιαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου

−

= = −

− −

3x 12ή x 4

3 3

Ηλύσηλοιπόντηςεξίσωσηςαυτήςείναιηx=−4.

Σχόλιο

♦ Μπορούµε να βεβαιωθούµε ότι η λύση που βρήκαµε είναι σωστή, κάνοντας

επαλήθευση:

2x + 5 = 5x + 17 ή 2(−4) + 5 = 5(−4) + 17 ή

−8 + 5 = −20 + 17 ή −3 = −3

Αφού η τελευταία ισότητα είναι σωστή, η λύση x = −4 είναι η σωστή.

29

γ) Εδώπρέπειπρώταναεκτελέσουµετιςπράξεις,ώστενααπαλλαχτούµεαπότιςπα-

ρενθέσεις:

2(x−3)−3(x−2)=4(x−5)ή2x−6−3x+6=4x−20ή

2x−3x−4x=−20ή−5x=−20ή− −

= =

− −

5x 20ή x 4

5 5

δ) Εργαζόµαστεακριβώςµετονίδιοτρόπο:

−3(x−5)+7=9−2(x−1)ή−3x+15+7=9−2x+2ή

−3x+2x=9+2−15−7ή−x=−11ή− −

= =

− −

x 11ή x 11

1 1

Τονίζουµεότιαφού−x=−11,οxείναιοαντίθετοςτου−11,δηλαδήο11.Εποµένως

ηδιαίρεσηµετο−1µπορείκαιναπαραλειφθεί.

Εφαρµογή2.3

Ναλυθούνοιεξισώσεις:

α) 3(x−2)−5(1−2x)=2(4x−4)−5(2−x)

β) 3(x−1)−2(3−x)=4(x+2)−(17−x)

ΛΥΣΗ

α) Ακολουθούµεταβήµαταπουπεριγράψαµεστηθεωρία:

3(x−2)−5(1−2x)=2(4x−4)−5(2−x)ή

3x−6−5+10x=8x−8−10+5xή

3x+10x−8x−5x=−8−10+6+5ή

0x=−7

Ηεξίσωσηαυτήείναιαδύνατη.

β) Εκτελούµεαρχικάτιςπράξεις:

3(x−1)−2(3−x)=4(x+2)−(17−x)ή

3x−3−6+2x=4x+8−17+xή

3x+2x−4x−x=8−17+3+6ή

0x=0

Ηεξίσωσηαυτήείναιταυτότητα,δηλαδήαληθεύειγιαόλεςτιςτιµέςτουx.


Εφαρµογή2.4

Ναλυθούνοιπαρακάτωεξισώσεις:

α)−2x + 3 4 x

=5 3

β) − −x + 2 2x + 5

3 = 14 3

γ)− − − −

− −

3x 2 x 2 x 2 x 14=

2 3 4 6 δ)

− − − − ⋅

1 x + 2 1 x 2 1 x 4+ 2 4 =

2 3 4 2 3 4

ΛΥΣΗ

Όλεςοιεξισώσειςέχουνκλάσµατα,οπότεπρώτακάνουµεαπαλοιφήπαρονοµαστών.

α)+ −

=2x 3 4 x

5 3 ΠολλαπλασιάζουµεµετοΕΚΠ=15

2x 3 4 x

15 155 3

+ −⋅ = ⋅ ή Απαλείφουµετουςπαρονοµαστές

3(2x+3)=5(4−x)ή Εκτελούµετιςπράξειςκατάταγνωστά

6x+9=20−5xή

6x+5x=20−9ή

= = =

11x 1111x 11 ή ή x 1

11 11

Άλλοςτρόπος

Ότανέχουµεεξίσωσητηςµορφής =

A Γ,

B ∆δηλαδήµεδύοµόνοόρουςπουείναικλά-

σµατα,τότεπροτιµάµετηµέθοδοτουχιαστί:

Έχουµελοιπόν:

+ −= + = −

2x 3 4 xή 3(2x 3) 5(4 x)

5 3ή6x+9=20−5xή

6x+5x=20−9ή11x=11ήx=1

β) ΕδώείναιΕΚΠ=12,οπότεπολλαπλασιάζουµεόλουςτουςόρουςκαισταδύοµέ-ληµετο12:

+ +⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅x 2 2x 5

12 12 3 12 1 124 3

ή3(x+2)−36=12−4(2x+5)ή

3x+6−36=12−8x−20ή3x+8x=12−20−6+36ή

11x=22ή = =11x 22

ή x 211 11

31

γ) ΤοΕΚΠτωναριθµών2,3,4,6είναιτο12.Άρα:− − − −

⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

3x 2 x 2 x 2 x 1412 12 12 12

2 3 4 6ή

6(3x−2)−4(x−2)=3(x−2)−2(x−14)ή

18x−12−4x+8=3x−6−2x+28ή

18x−4x−3x+2x=−6+28+12−8ή

= = =

13x 2613x 26 ή ή x 2

13 13

δ) Οόρος+

+

1 x 22

2 3µαςεπιβάλλειναεκτελέσουµετονπολλαπλασιασµό.Τοίδιο

καιοόρος−

−

1 x 24 ,

4 2διότιδιαφορετικάηαπαλοιφήπαρονοµαστώνείναιαρκετά

δύσκολη.Μετηνεπιµεριστικήιδιότηταπαίρνουµελοιπόν:

+ − − + − − = ⋅

1 x 2 1 x 2 1 x 42 4

2 3 4 2 3 4ή

+ − −+ − + =

x 2 x 2 x 41 1

6 8 12ή ΠολλαπλασιάζουµεµετοΕΚΠ=24

+ − −⋅ + ⋅ = ⋅x 2 x 2 x 4

24 24 246 8 12

ή

4(x+2)+3(x−2)=2(x−4)ή4x+8+3x−6=2x−8ή4x+3x−2x=−8−8+6ή

−

= − = = −

5x 105x 10 ή ή x 2

5 5

ΣΥΝΗΘΙΣΜΕΝΑΛΑΘΗ

Σωστήπράξη Λάθοςπράξη

5 2(x 3) 5 2x 6

11 2x

− − = − + =

= −

5 2(x 3) 5 2x 6

1 2x

↓

− − = − =

= − −

−

3 6−

1 x 2

6

−⋅ 3 1(x 2)

3 x 2 5 x

= − − =

= − + = −

3 6−

1 x 2

6

−

⋅ 3 x 2

1 x

↓

= − =

= −

−


Σωστήπράξη Λάθοςπράξη

1 6−

3 x 5

2

−⋅ 1 3(x 5)

1 3x 15 16 3x

= − − =

= − + = −

1 6−

3 x 5

2

−

⋅ 1 3 x 5

1 5 3x 4 3x

↓

= − − =

= − − = − −

⋅

Απόταπαραπάνωσυµπεραίνουµεότι:

♦ Ότανεφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητακαιοαριθµόςµετονοποίοπολ- λαπλασιάζουµεέχειµπροστάπλην,τότετοπρόσηµοτωνγινοµένωναλλάζει:

−α(β+γ)=−αβ−αγ,−α(β−γ)=−αβ+αγ

♦ Αν,κατάτηναπαλοιφήπαρονοµαστών,τοΕΚΠκαιοπαρονοµαστήςκάποιου κλάσµατοςείναιίσοι(άραδιαγραφόµενοιδίνουν1),οαριθµητήςτουκλάσµα- τοςπρέπειναµπεισεπαρένθεση.

Γ. Η εξίσωση αx = β

Για τη λύση της εξίσωσης αx = β µπορούµε να διακρίνουµε τις παρακάτω πε-

ριπτώσεις:

1η περίπτωση

Αν α ≠ 0, τότε διαιρούµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε α, οπότε:

αx = β ή

=

βαx

α α ή

=

βx

α

2η περίπτωση

Αν α = 0, τότε προφανώς, δεν µπορούµε να διαιρέσουµε µε α. ∆ιακρίνουµε,

λοιπόν, περιπτώσεις για το β.

♦ Αν β ≠ 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, διότι δεν υπάρχει αριθµός που να

πολλαπλασιάζεται µε το µηδέν (α = 0) και να δίνει αποτέλεσµα κάποιον µη

µηδενικό αριθµό (β ≠ 0).

mathimatika b gymnasiou - publicmedia.public.gr/books-pdf/9789604498093-0517379.pdf ·...

Documents