táto vysokoškolská učebnica · zložitejších výrokov (formúl), pozostávajúci z...

2

Táto vysokoškolská učebnica je určená predovšetkým študentom Farmaceutickej fakulty UK, ale môže poslúžiť

aj študentom iných prírodovedných odborov biologického, lekárskeho a chemického zamerania, ako aj

výskumným pracovníkom, ktorí využívajú matematiku pri svojej práci. Cieľom učebnice je vysvetliť

zrozumiteľným jazykom základné pojmy vyššej matematiky a oboznámiť študentov so základmi výrokovej

logiky, teórie množín, lineárnej algebry, matematickej analýzy, úvodom do diferenciálneho a integrálneho počtu

a ich praktickými aplikáciami.

Všetky práva vyhradené. Žiadna časť textu nesmie byť použitá na ďalšie šírenie akoukoľvek formou bez

predchádzajúceho súhlasu autora alebo nakladateľstva.

© Ing. Vladimír Frecer, DrSc., Katedra fyzikálnej chémie, Farmaceutická fakulta UK, 2014

Recenzenti: prof. Ing. Vladimír Kvasnička, DrSc.

prof. Dr. rer. nat. habil. RNDr. Marián Slodička, PhD.

prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc.

ISBN-978-80-223-3503-4

3

Obsah

1. Diskrétna matematika ........................................................................................................... 8 1.1. Výroková logika ............................................................................................................. 9

1.2. Pravdivostné hodnoty formúl .......................................................................................... 11

1.3. Pravidlá usudzovania ...................................................................................................... 13

1.4. Predikátová logika .......................................................................................................... 15

1.5. Metódy dôkazu ............................................................................................................... 18

1.6. Matematická indukcia ..................................................................................................... 21

2. Teória množín ......................................................................................................................... 25 2.1. Množiny .......................................................................................................................... 25

2.2. Enumerácia konečných množín ...................................................................................... 30

2.3. Karteziánsky súčin množín ............................................................................................. 31

2.4. Relácie ............................................................................................................................ 33

3. Reálne funkcie ........................................................................................................................ 37 3.1. Základné reálne funkcie .................................................................................................. 44

3.1.1. Polynóm .............................................................................................................. 44

3.1.2. Racionálna funkcia ............................................................................................. 49

3.1.3. Exponenciálna a logaritmická funkcia ................................................................ 53

3.1.4. Goniometrické a cyklometrické funkcie ............................................................. 56

4. Lineárna algebra ..................................................................................................................... 67 4.1. Vektory ........................................................................................................................... 67

4.2. Matice ............................................................................................................................. 74

4.2.1. Sústavy lineárnych rovníc .................................................................................. 74

4.2.2. Gaussova eliminačná metóda ............................................................................. 76

4.2.3. Matice ................................................................................................................. 78

4.2.4. Hodnosť matice .................................................................................................. 83

4.2.5. Sústavy lineárnych rovníc .................................................................................. 86

4.3. Determinanty .................................................................................................................. 89

4.3.1. Maticové rovnice ................................................................................................ 92

4.3.2. Cramerovo pravidlo ............................................................................................ 95

4.3.3. Vlastné hodnoty a vlastné vektory matíc ............................................................ 97

5. Postupnosti a číselné rady ..................................................................................................... 112 5.1. Nekonečná postupnosť .................................................................................................... 112

5.2. Limita postupnosti .......................................................................................................... 116

5.3. Nekonečný rad ................................................................................................................ 121

5.4. Mocninové rady .............................................................................................................. 124

6. Diferenciálny počet ................................................................................................................. 131 6.1. Limita funkcie ................................................................................................................. 131

6.2. Spojitosť funkcie ............................................................................................................. 141

4

6.3. Derivácia funkcie ............................................................................................................ 142

6.4. Derivácie vyšších rádov .................................................................................................. 150

6.5. L'Hospitalovo pravidlo ................................................................................................... 151

6.6. Diferenciál ...................................................................................................................... 153

6.7. Taylorov rad .................................................................................................................... 156

6.8. Derivácia a vlastnosti funkcií .......................................................................................... 160

6.8.1. Monotónnosť funkcie ........................................................................................ 162

6.8.2. Konvexnosť a konkávnosť funkcie, inflexný bod ............................................. 165

6.8.3. Lokálne extrémy ................................................................................................ 169

6.8.4. Asymptoty ......................................................................................................... 172

6.8.5. Vyšetrovanie priebehu funkcie .......................................................................... 175

6.9. Interpolácia .................................................................................................................... 178

7. Integrálny počet ...................................................................................................................... 195 7.1. Primitívna funkcia, neurčitý integrál .............................................................................. 195

7.2. Substitučná metóda ......................................................................................................... 200

7.3. Metóda per partes ........................................................................................................... 203

7.4. Integrály racionálnych funkcií ........................................................................................ 205

7.5. Určitý integrál ................................................................................................................. 211

7.5.1. Riemannova definícia ......................................................................................... 211

7.5.2. Newtonova definícia ........................................................................................... 213

7.5.3. Vlastnosti určitého integrálu ............................................................................... 214

7.5.4. Nevlastné integrály ............................................................................................. 218

7.5.5. Aplikácie určitého integrálu ............................................................................... 223

7.5.6. Približné metódy výpočtu určitých integrálov .................................................... 229

8. Diferenciálny počet funkcií dvoch premenných .................................................................. 241 8.1. Definičný obor a graf funkcie ......................................................................................... 241

8.2. Limita a spojitosť ............................................................................................................ 243

8.3. Parciálna derivácia .......................................................................................................... 245

8.4. Gradient funkcie .............................................................................................................. 248

8.5. Smerová derivácia ........................................................................................................... 250

8.6. Derivácie vyšších rádov .................................................................................................. 250

8.7. Totálny diferenciál a totálna derivácia funkcie ............................................................... 252

8.8. Kmeňová funkcia ............................................................................................................ 257

8.9. Extrémy funkcií dvoch premenných ............................................................................... 261

8.9.1. Lokálne extrémy ................................................................................................. 261

8.9.2. Absolútne extrémy .............................................................................................. 267

8.10. Optimalizácia, metóda Lagrangeových multiplikátorov ................................................. 270

8.11. Metóda najmenších štvorcov .......................................................................................... 274

8.12. Dvojný integrál ............................................................................................................... 276

9. Diferenciálne rovnice ............................................................................................................. 297 9.1. Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu .................................................................. 298

9.2. Rovnica so separovateľnými premennými ...................................................................... 301

9.3. Lineárne diferenciálne rovnice ....................................................................................... 304

9.4. Exaktné diferenciálne rovnice ......................................................................................... 308

5

9.5. Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc ....................................................... 311

9.6. Aplikácie diferenciálnych rovníc v prírodných vedách .................................................. 312

9.6.1. Kinetika jednoduchej chemickej reakcie ............................................................ 313

9.6.2. Kinetika rastu populácie buniek ......................................................................... 315

9.6.3. Kinetický model distribúcie liečiva .................................................................... 318

7

Predhovor

Táto učebnica je určená pre poslucháčov prvého ročníka magisterského štúdia farmácie, môže však

poslúžiť aj študentom iných fakúlt prírodovedného a technického zamerania, na ktorých sa prednášajú

základy vyššej matematiky. Cieľom učebnice je poskytnúť študentom farmácie ucelený text k pred-

náškam z matematiky, čomu zodpovedá výber a rozsah látky ako aj spôsob jej výkladu. Učebnica

vysvetľuje zrozumiteľnou formou základné pojmy, postupy a metódy vyššej matematiky s čo najmen-

ším matematickým aparátom, v rozsahu primeranom študijnému plánu, bez nároku na úplnosť a strikt-

nú presnosť. Autor si uvedomuje, že pre študentov biologických a medicínskych študijných odborov je

matematika skôr nástrojom na riešenie problémov a technických úloh, než samotným cieľom ich vzde-

lávania. Preto väčšina tvrdení v tejto učebnici nie je rigorózne sformulovaná ani dokázaná a ťažisko

výkladu sa presúva viac na riešenie príkladov a aplikácie matematických metód. Chýbajúce vety a dô-

kazy si môžu záujemcovia nájsť v matematickej literatúre uvedenej v zozname odporúčanej literatúry.

Prezentovaná látka poskytne študentom farmácie dostatočný matematický aparát potrebný na pocho-

penie nadväzujúcich povinných predmetov štúdia ako fyzika, matematická štatistika, fyzikálna ché-

mia, analytická chémia, biofyzika, farmaceutická chémia a technológia alebo molekulové základy vý-

voja liečiv.

Preberaná látka nadväzuje na stredoškolské vedomosti z matematiky. Očakávam, že poslucháči

prvého ročníka vysokej školy ovládajú počítanie so zlomkami a mocninami, vedia riešiť lineárne a

kvadratické rovnice a nerovnice, poznajú základy geometrie a sú schopní vypočítať obsah rovinných

útvarov a objem telies. Uvedomujem si rozdielnu úroveň a rozsah vyučovania matematiky na stred-

ných školách, preto je väčšina matematických pojmov použitých v tejto učebnici zrozumiteľne a po-

merne podrobne vysvetlená. Dôraz kladiem viac na porozumenie podstaty preberanej témy a na schop-

nosť aplikovať poznatky pri riešení úloh, ako na memorovanie a reprodukovanie poučiek, vzorcov

alebo dôkazov.

Učebnica je rozdelená do 9 kapitol a obsahuje úvod do diskrétnej matematiky, teórie množín, zák-

lady teórie reálnych funkcií, úvod do lineárnej algebry, postupností, diferenciálneho a integrálneho

počtu a základy riešenia diferenciálnych rovníc. Posledná časť je venovaná použitiu diferenciálnych

rovníc prvého rádu v prírodovedných a farmaceutických aplikáciách. Na konci každej kapitoly je uve-

dených niekoľko riešených príkladov, na ktorých si môžu študenti overiť, či dostatočne porozumeli

preberanej látke. Na získanie postačujúcej zručnosti a pohotovosti pri riešení príkladov je pre študen-

tov nevyhnutné siahnuť po zbierke príkladov a venovať počítaniu príkladov potrebný čas.

Rád by som poďakoval oponentom prof. Ing. Vladimírovi Kvasničkovi, DrSc. (Slovenská technic-

ká univerzita v Bratislave), prof. Dr. rer. nat. habil. RNDr. Marianovi Slodičkovi, PhD. (Univerzita

v Gente) a prof. RNDr. Pavlovi Zlatošovi, CSc. (Komenského univerzita v Bratislave) za cenné pri-

pomienky, ktorými prispeli k vylepšeniu tohto učebného textu. Obzvlášť by som chcel poďakovať

Mgr. Márii Klacsovej, PhD. (FaF UK) za podrobné prečítanie textu a pripomienky, ktoré pomohli od-

strániť viaceré chyby a nepresnosti.

Autor

9

1. Diskrétna matematika

1.1. Výroková logika

Metódy vedeckého bádania a korektného usudzovania sú založené na princípoch výrokovej

a predikátovej logiky a matematického dôkazu. Pri odvodzovaní záverov bádania a

formulovaní nových vedeckých poznatkov je preto vhodné dodržiavať formálne pravidlá

správneho usudzovania. Moderná logika, označovaná ako formálna logika alebo matematická

logika, je veda o správnom usudzovaní. Logika študuje všeobecné schémy usudzovania na

symbolickej úrovni, v ktorej sa ignoruje konkrétny obsah jednotlivých tvrdení (výrokov),

uvažuje sa len ich pravdivosť či nepravdivosť. Matematická logika umožňuje prostredníctvom

zákonov usudzovania vyvodzovať deduktívnym spôsobom z formalizovaných poznatkov

nové pravdivé poznatky.

Zopakujme si najprv základné vlastnosti výrokov a logických operácií s výrokmi. Výrok je

tvrdenie (oznamovacia veta), o ktorom vieme jednoznačne rozhodnúť, či je pravdivé alebo

nepravdivé (vieme určiť jeho pravdivostnú hodnotu). Príklady jednoduchých výrokov:

Zem je planéta.

Číslo 4 je prirodzené číslo.

Jedna plus jedna sú tri.

Číslo 3 je párne číslo a zároveň číslo 3 je nepárne číslo.

Zatiaľ čo prvé dva výroky sú pravdivé, tretí a štvrtý výrok sú nepravdivé. Výroky označujeme

symbolmi: a pravdivostnú hodnotu výrokov označujeme v klasickej matematickej

logike dvoma binárnymi hodnotami: (1) – pravdivý, (0) – nepravdivý. Pravdivostná hodnota

výroku sa označuje . Ak je výrok pravdivý, potom ; ak je výrok

nepravdivý, potom . Opytovacie vety alebo vágne oznamovacie vety typu:

„Čokoládová zmrzlina je dobrá“ nepovažujeme za výroky, keďže nedokážeme jednoznačne

určiť ich pravdivostnú hodnotu.1 Štvrtý výrok s je výrok zložený z dvoch jednoduchších

výrokov spojených spojkou „a zároveň“. Spojka a zároveň zodpovedá jednej z piatich

1 Výrokmi, ktoré nie sú jednoznačne pravdivé alebo nepravdivé, sa zaoberá tzv. fuzzy logika, ktorá priraďuje vágnym

výrokom pravdivostnú hodnotu z intervalu ⟨ ⟩. Napríklad, ak čokoládová zmrzlina chutí ľuďom z opýtaných, tak

pravdivostnú hodnotu výroku „Čokoládová zmrzlina je dobrá“ môže fuzzy logika určiť ako rovnajúcu sa hodnote (skôr

pravdivý).

10

základných logických spojok, pomocou ktorých môžeme z výrokov vytvárať zložené výroky

alebo zložitejšie logické výrazy (logické formuly):

konjunkcia výrokov, (čítame „ a zároveň “)

disjunkcia (alternatíva) výrokov, (čítame: „ alebo “)

implikácia výrokov, (čítame „ak , potom “) [1.1.]

ekvivalencia výrokov, (čítame „ práve vtedy, keď “)

negácia výroku, (čítame „nie je pravda, že “ alebo použijeme zápor)

Pravdivosť zložených výrokov závisí výlučne od pravdivostných hodnôt jednotlivých

výrokov a použitej logickej spojky a je určená pomocou pravdivostných tabuliek (tab. 1.1.),

autorstvo ktorých býva pripisované Ludwigovi Wittgensteinovi2.

Tab. 1.1. Pravdivostné hodnoty základných logických spojok

1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 1

Výroková logika má svoj formálny jazyk (syntax), ktorý používa na konštrukciu

zložitejších výrokov (formúl), pozostávajúci z jednoduchých a zložených výrokov, logických

spojok a zátvoriek.3 Výrokové formuly sa teda tvoria nad množinou

4 výrokov

(výrokových premenných) a výrokových konštánt , opakovaným

aplikovaním logických spojok na výrokové premenné a tiež na výrokové formuly ,

napr. a . Takto môže vzniknúť postupnosť stále

zložitejších výrokových formúl (reťazcov symbolov , , ...), vedúca k výslednej formule,

napr.:

.

2 Ludwig Josef Johann Wittgenstein (1889-1951) vplyvný filozof rakúskeho pôvodu. Pracoval v oblasti logiky, filozofie

matematiky, analytickej filozofie a filozofie jazyka. 3 V logike sa zvyčajne používa nasledujúca priorita logických spojok (v poradí klesajúcej priority):

4 Význam pojmu množina (súbor prvkov) si bližšie vysvetlíme v nasledujúcej kapitole.

11

1.2. Pravdivostné hodnoty formúl

V predchádzajúcej časti sme uviedli, že syntax formúl výrokovej logiky je jednoznačne

určená spôsobom ich konštrukcie. Nie všetky postupnosti symbolov, ktoré môžu vzniknúť

jednoduchým zreťazením výrokových premenných a logických spojok s použitím zátvoriek,

sú syntakticky správne a definujú formulu. Len formuly, ktoré majú správnu syntax môžu

správne vyjadriť význam (sémantiku) danej formuly. Vo výrokovej logike sémantika skúma

pravdivostnú hodnotu výrokových formúl v závislosti od hodnôt výrokových premenných.

Používa na to tabuľky pravdivostných hodnôt.

Príklad. Pre formulu je jej sémantika plne určená tabuľkou

pravdivostných hodnôt pre všetky kombinácie výrokov a (tab. 1.2).

Tab. 1.2. Výpočet pravdivostných hodnôt formuly:

1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1

0 0 0 1 1 1 1

Z tab. 1.2 vyplýva, že pravdivostná hodnota formuly je pravda ( ) pre všetky

vzájomné kombinácie pravdivostných hodnôt výrokových premenných a . Takéto

výrokové formuly majú vo výrokovej logike mimoriadne postavenie logických zákonov

a nazývame ich tautológie.

Uvažujme formulu , ktorej výrokové premenné sú špecifikované

interpretáciou (pravdivostným ohodnotením), ktorá predstavuje určitú kombináciu

pravdivostných hodnôt (0 alebo 1) výrokových premenných vystupujúcich vo formuli.

Rôznych interpretácií, ktoré sú priradené výrokovým premenným, je . Pravdivostná

hodnota formule pre danú interpretáciu je označená výrazom . Napríklad tab. 1.2.

pravdivostných hodnôt formuly dvoch premenných a má interpretácie,

zodpovedajúce 4 riadkom tabuľky.

Definícia. Výroková formula sa nazýva tautológia (zapisujeme ako ), ak pre každú

interpretáciu platí (je vždy pravdivá). Naopak, ak pre každú interpretáciu

platí , formula sa nazýva kontradikcia (je vždy nepravdivá). Ak existuje aspoň

jedna interpretácia taká, že , potom formula je splniteľná.

12

Niektoré tautológie sa používajú nielen vo výrokovej logike, ale aj v bežnom usudzovaní.

Tieto tautológie sú obvykle označované aj vlastným menom. Väčšinou ide o tautológie tvaru

ekvivalencie, ktoré umožňujú nahradzovať jednu formulu druhou, pri zachovaní pravdivosti.

Medzi najznámejšie zákony výrokovej logiky patria tautológie uvedené v tab. 1.3.

Tab. 1.3. Známe tautológie [3]

Zákon Formula

Zákon totožnosti 5

Zákon dvojitej negácie

Zákon vylúčenia tretieho

De Morganov zákon pre konjunkciu

De Morganov zákon pre disjunkciu

Zákon ekvivalencie ( )

Zákon rezolventy

Zákon hypotetického sylogizmu

Distribúcia konjunkcie (( ) ( ))

Distribúcia disjunkcie ( ) ( )

Zákon kontrapozície

Zákon „reductio ad absurdum“

Zákon nahradenia implikácie

Zákon „modus ponens“

Klasická výroková logika bola od staroveku založená na tautológiách (zákonoch), ktoré

študovala ako modely správneho usudzovania, pomocou ktorých z pravdivých predpokladov

získavame pravdivé výsledky. Ako tradičný príklad správneho usudzovania uvažujme dvojicu

jednoduchých tvrdení (výrokov) „prší“ a „ak prší, potom je cesta mokrá“. Máme dve

nezávislé tvrdenia, prvé tvrdenie je jednoduchý výrok a druhé tvrdenie má tvar implikácie

. Z týchto dvoch tvrdení vyplýva nové tvrdenie „cesta je mokrá“, ktoré je v procese

usudzovania vyvodené z pôvodných predpokladov a , čo sa obvykle zapisuje takto:

[1.3.]

5 Znak „ “ symbolizuje tautológiu.

13

Táto formálna schéma usudzovania založená na tautológii , sa už od

čias stredoveku označuje ako modus ponens a patrí medzi základné pravidlá správneho

(logického) usudzovania.

1.3. Pravidlá usudzovania

Pravidlá usudzovania vo výrokovej logike možno znázorniť všeobecnou schémou, ktorá

obsahuje n predpokladov a jeden záver:

[1.3.]

ktorá je ekvivalentná so symbolickými zápismi logického dôkazu:

{predpoklad1, ..., predpokladn} záver alebo 6 [1.4.]

a môže byť prepísaná aj do tvaru výrokových formúl:

alebo [1.5.]

zložených zo série konjunkcií alebo implikácií. Predpoklady určitej schémy usudzovania sú

konzistentné vtedy a len vtedy, keď existuje aspoň jedna interpretácia pravdivostných hodnôt

výrokových premenných alebo formúl, pre ktorú sú všetky predpoklady pravdivé. V opačnom

prípade je množina predpokladov nekonzistentná, čo znamená, že z daných predpokladov

logicky vyplýva nejaký záver a súčasne aj jeho negácia. Obvyklé schémy usudzovania vo

výrokovej logike sú uvedené v tab. 1.4.

Príklad. Majme dva výroky (predpoklady), prvý „Ak bude vonku snežiť, zostanem doma“

a druhý „Ak zostanem doma, prečítam si knihu“. Použitím schémy usudzovania hypotetický

sylogizmus dostaneme z týchto dvoch predpokladov záver „Ak bude vonku snežiť, prečítam si

knihu“.

6 Znak „ “ symbolizuje logický dôkaz.

predpoklad1

:

predpokladn

záver

Ak bude vonku snežiť, zostanem doma

Ak zostanem doma, prečítam si knihu

Ak bude vonku snežiť, prečítam si knihu

14

Schéma hypotetického sylogizmu je sformalizovaná použitím výrokových premenných

„vonku sneží“, „zostávam doma“ a „prečítam knihu“, pričom záver bol z predpokladov

vyvodený použitím tautológie: , tab. 1.4.

Tab. 1.4. Schémy usudzovania [4]

Schéma Formula výrokovej logiky Názov

adícia

simplifikácia

inverzia implikácie

konjunkcia

modus ponens

modus tollens

hypotetický sylogizmus

disjunktívny sylogizmus

reductio ad absurdum

Platnosť (pravdivosť) tvrdenia (vety, výroku, teorémy, argumentu alebo výsledku) je

potrebné v matematike dokázať. Existujú viaceré formy matematických dôkazov

spočívajúcich v postupnosti krokov (formúl výrokovej logiky), ktoré vychádzajú z množiny

p

q

15

existujúcich postulátov (axióm), a z predchádzajúcich už dokázaných viet. Jednotlivé kroky

postupnosti sa tvoria pomocou pravidiel usudzovania (tautológií). Dôkaz teda pozostáva z

postupnosti formúl, pričom posledná formula zodpovedá požadovanému záveru.

1.4. Predikátová logika

Predikátová logika je obyčajne chápaná ako rozšírenie výrokovej logiky pomocou kvantifi-

kátorov všeobecný a existenčný 7. Zaoberá sa otázkami pravdivosti a dokázateľnosti

formúl predikátového počtu. S istou dávkou zjednodušenia možno povedať, že predikátová

logika je spoločným základným jazykom matematických teórií a spôsobov usudzovania

obvyklých v matematike. V istej obmedzenej miere aj v bežnom živote. Predikátom

označujeme vlastnosť objektu a vzťah (reláciu) medzi objektmi a .

Príklad. Vlastnosť P znamená „poslucháč“, potom je tvrdenie, ktoré označuje, že

indivíduum (objekt, prvok) Martin je poslucháčom (Farmaceutickej fakulty). Ak relácia

znamená „kamarát“, potom je tvrdenie, ktoré označuje, že Jano a Fero sú

kamaráti.

Takéto základné formulácie môžeme upraviť pomocou kvantifikátorov tak, že budú

označovať množstvo objektov (prvkov) z množiny (Univerza)8, ktoré majú určitú vlastnosť

alebo spĺňajú danú reláciu:

znamená všetky objekty x Univerza majú vlastnosť P

znamená existuje objekt Univerza, ktorý má vlastnosť [1.6.]

Alternatívna reprezentácia kvantifikátorov sa dá zostrojiť v rámci výrokovej logiky pomocou

sekvencie konjunkcií alebo disjunkcií:

⋀ 9

[1.7.]

Použitím De Morganových10

zákonov (tab. 1.3) vieme zostrojiť negácie kvantifikovaných

výrazov:

7 Kvantifikátor je operátor matematickej logiky, ktorý určuje, akému počtu (kvantite) indivíduí možno pripísať (predikovať)

nejakú vlastnosť alebo vzťah. Všeobecný kvantifikátor „ “ nahradzuje spojenie „pre všetky“ a existenčný kvantifikátor

„ “ nahradzuje spojenie „existuje (aspoň jeden)“. 8 Množina je Univerzum (univerzálna množina), ktoré obsahuje všetky ostatné množiny. 9 Symbol „ “ znamená príslušnosť k množine. Pojem množina bude podrobne vysvetlený v nasledujúcej kapitole. Vzťahy

[1.7.] platia presne len ak univerzum je konečná množina.

16

( ) ( )

11

⋀ [1.8.]

Pomocou predikátov a kvantifikátorov môžeme efektívne sformalizovať rôzne tvrdenia.

Napríklad, výrok „každý riaditeľ má aspoň jedného podriadeného“ môžeme vyjadriť takto:

[1.9.]

Základné schémy usudzovania v predikátovej logike sú zhrnuté v tab. 1.5.

Tab. 1.5. Schémy usudzovania v predikátovej logike [4]

Schéma usudzovania Teoréma predikátovej logiky Názov schémy

konkretizácia univerzálneho

kvantifikátora

zovšeobecnenie pomocou

univerzálneho kvantifikátora

konkretizácia existenčného

kvantifikátora

zovšeobecnenie pomocou

existenčného kvantifikátora

Prvá schéma usudzovania v tab. 1.5. (konkretizácia univerzálneho kvantifikátora)

predpokladá, že ak má určitú vlastnosť každý objekt (prvok) z množiny , t. j.

potom musí mať túto vlastnosť aj ľubovoľný konkrétny prvok c tohto univerza:

[1.10.]

Príklad. Konkretizáciu univerzálneho kvantifikátora môžeme ilustrovať na príklade klasickej

logiky:

kde Sokrates patrí do univerza (množiny všetkých ľudí) platnosti kvantifikátora . Túto

schému môžeme zovšeobecniť nasledovne:

10 Augustus De Morgan (1806-1871) bol britský matematik a logik, ktorý okrem sformulovania základných zákonov logiky

zaviedol aj pojem matematická indukcia. 11 znamená: vlastnosť nie je splnená (je nepravdivá).

pre každé

pre nejaký prvok pre nejaký prvok

„všetci ľudia sú smrteľní“

„Sokrates je človek“

„Sokrates je smrteľný“

17

[1.11.]

Ak sa nám podarí dokázať, že vlastnosť P má každý objekt z univerza U, potom vzhľadom

k tomuto univerzu môžeme definovať zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora

takto:

⋀ 12 [1.12.]

Ak použijeme pre túto formulu schému usudzovania konjunkcie (tab. 1.4), potom:

[1.13.]

potom pre ľubovoľný objekt univerza c musí platiť aj:

[1.14.]

Zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora sa často používa v diskrétnej

matematike implicitne. Vlastnosť je platná všeobecne, keďže dôkaz vlastnosti bol

vykonaný pre ľubovoľný náhodne zvolený objekt , nie pre určitý konkrétny objekt.

Príklad. Zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora môžeme ilustrovať na

príklade klasickej logiky takto:

kde Sokrates aj Platón sú dva ľubovoľné objekty patriace do univerza (množiny všetkých

ľudí).

Zovšeobecnenie podľa predchádzajúcej schémy usudzovania alebo predikátovej formule

predstavuje základ induktívneho zovšeobecnenia, pri ktorom sa čiastkové poznatky

o niekoľkých objektoch snažíme zovšeobecniť pre každý objekt daného univerza. Takéto

zovšeobecnenie často používame aj v každodennom živote. Zovšeobecnenie patrí tiež medzi

metódy vedeckého poznania (indukcia, zovšeobecnenie, abstrakcia, ...). Podľa logického

12 Symbol: „ “ znamená: rovná sa podľa definície (táto rovnosť sa používa na definovanie výrazu za rovnítkom).

„Sokrates a Platón sú ľudia“

„obaja sú smrteľní“

„všetci ľudia sú smrteľní“

:

18

pozitivizmu (neopozitivizmu) sa vedecké hypotézy a poznanie získavajú indukciou alebo

zovšeobecňovaním experimentálnych pozorovaní.13

1.5. Metódy dôkazu

Dôkaz matematickej vety je demonštrácia založená na pravidlách matematickej

logiky, ktorá logicky odvodí platnosť danej vety pomocou axióm, definícií alebo už skôr

dokázaných viet. Dôkaz vety je vo všeobecnosti zložitý problém, tu si uvedieme niekoľko

najznámejších metód dôkazu.

Pri priamom dôkaze implikácie postupujeme tak, že ukážeme, že z predpokladu

pravdivosti výroku vyplýva tiež pravdivosť výroku . Pri dôkaze teda vychádzame z axióm

, už dokázaných viet a predpokladu a priamy dôkaz

môžeme nahradiť postupom logického dôkazu:

[1.15.]

Pomocou pravidiel usudzovania (tab. 1.4) potom z týchto axióm, viet a predpokladov

odvodíme dôsledok .

Príklad. Dokážte vetu „pre kladné reálne čísla14

a platí:

√ “ (aritmetický

priemer je vždy väčší alebo rovný geometrickému priemeru). Použijeme techniku priameho

dôkazu a z predpokladanej pravdivosti predpokladu :

13 Moritz Schlick (1882-1936) bol rakúsky filozof a fyzik, vedúci predstaviteľ logického pozitivizmu, zakladateľ

Viedenského krúžku novopozitivistov.

Naproti tomu rakúsky filozof Karl Raimund Popper (1902 – 1994) ukázal, že pravdivosť vedeckej teórie nemožno dokázať

pomocou empirických skúseností, indukcie a zovšeobecnenia, pravdivosť určitej teórie môžeme len empiricky testovať.

Základom nového vedeckého poznávania teda nie je opakované potvrdzovanie (verifikácia) hypotéz, ale ich preverovanie

(tzv. falzifikácia). Iba teória, ktorá je formulovaná tak, aby sa dala vyvrátiť (nepredstavuje teda postulát alebo dogmu),

môže byť podrobená falzifikácii (t. j. môže byť dokázané, že je nesprávna). Podľa Poppera k rozvoju vedy a poznania

dochádza práve vďaka falzifikácii tým, že existujúce teórie testujeme a prekonané teórie zavrhujeme, čím otvárame priestor

pre nové hypotézy a teórie. Popperova filozofia kritický racionalizmus hovorí, že jediným racionálnym prvkom, ktorý nás

posúva ďalej v našom úsilí poznať svet, je kritické skúmanie existujúcich teórií predstavujúcich len domnienky, čím sa

postupne približujeme k pravde (evolúcia vedy). 14 Symbolom označujeme množinu všetkých prirodzených čísel,

Symbolom označujeme množinu všetkých celých čísel,

Symbolom označujeme množinu všetkých racionálnych čísel, ktoré možno vyjadriť v tvare: , kde a sú

nesúdeliteľné celé čísla a .

Symbolom označujeme množinu všetkých iracionálnych čísel, ktoré nemožno vyjadriť v tvare: , t. j. čísla ako

napr. √ .

Symbolom označujeme množinu všetkých reálnych čísel, ktorá obsahuje všetky predchádzajúce množiny až .

Množinu kladných reálnych čísel budeme označovať a množinu záporných reálnych čísel .

Symbolom označujeme množinu všetkých komplexných čísel.

19

pre platí

ktorý je zjavne pravdivý (druhá mocnina reálneho čísla je vždy väčšia alebo rovná nule),

dokážeme pravdivosť dôsledku :

pre platí

√

v tvare implikácie :

√

čím sme dokázali platnosť implikácie .

Metóda nepriameho dôkazu je založená na ekvivalencii nazývanej zákon inverzie

implikácie: ktorý hovorí, ak v implikácii vymeníme poradie členov,

potom musíme negovať aj jej jednotlivé členy. Teda, dôkaz implikácie je ekvivalentný

dôkazu obmenenej implikácie , ktorá sa dokazuje pri nepriamom dôkaze.

Príklad. Dokážte vetu „ak pre každé prirodzené číslo platí: delí , potom nedelí

“. Vetu môžeme opäť prepísať do tvaru implikácie :

15

a budeme dokazovať obmenenú implikáciu :

Nech , potom existuje také prirodzené číslo , že . Pre takto určené číslo

dostaneme: , čo je číslo, ktoré nie je bezo zvyšku

deliteľné piatimi. Týmto sme dokázali platnosť inverznej implikácie , teda musí platiť

aj priama implikácia .

Ďalší druh dôkazu viet, dôkaz sporom, využíva schému usudzovania „reductio ad

absurdum“, tab. 1.4., ktorá je založená na formule výrokovej logiky:

15 Symbolický zápis: " " znamená číslo delí číslo a zápis: " " znamená nedelí .

20

[1.16.]

a ktorú môžeme interpretovať tak, že ak z predpokladu súčasne vyplýva aj , potom musí

byť pravdivá negácia východiskového predpokladu. Pri dokazovaní vety sporom

postupujeme tak, že najprv vytvoríme jej negáciu, potom dokážeme, že negovaná veta je

nepravdivá (t. j. prídeme k sporu: z pravdivého predpokladu nemôže vyplývať nepravdivý

záver), z čoho vyplýva, že platí pôvodná veta.

Príklad. Dokážte vetu „pre každé reálne číslo platí:

.“ Dôkaz vety (výroku) urobíme

sporom. Pôvodný výrok zapíšeme ako:

Negáciu pôvodného výroku môžeme zapísať v tvare:

:

Teraz ukážeme, že je nepravdivý:

(pretože:

Táto nerovnosť zjavne neplatí pre žiadne reálne číslo (druha mocnina reálneho čísla je vždy

väčšia alebo rovná nule). To znamená, ak je nepravdivý výrok , potom je pravdivý výrok ,

čo bolo treba dokázať (q.e.d.)16

.

Ďalším druhom matematického dôkazu je dôkaz vymenovaním prípadov, ktorý môžeme

zapísať v tvare implikácie , ktorú môžeme jednoduchými úpravami

prepísať do ekvivalentného tvaru:

[1.17.]

Dôkaz vymenovaním prípadov používame vtedy, keď výrok je dôsledkom rôznych

prípadov

16 V matematike zaužívaná skratka "q.e.d." znamená latinsky quod erat demonstrandum (čo bolo treba dokázať).

21

Príklad. Dokážte identitu „pre platí: – .“ Použijeme dôkaz

vymenovaním prípadov:

a) , potom – , a a dokazovaná nerovnosť má tvar – –

– – alebo , čo je pravdivý výrok.

b) , potom – , a , dokazovaná nerovnosť má tvar –

– , čo je pravdivý výrok.

c) , potom – , a , dokazovaná nerovnosť má tvar – –

alebo , čo je pravdivý výrok.

Podobným spôsobom sa dajú dokázať aj zostávajúce tri možnosti d) – f) ( ,

a ).

1.6. Matematická indukcia

Ak máme za úlohu dokázať formulu , ktorá hovorí, že vlastnosť platí pre

každé prirodzené číslo , dôkaz môžeme uskutočniť pomocou matematickej indukcie. Táto

metóda dôkazu je založená na dvoch východiskových predpokladoch: a

. Dôkaz matematickou indukciou predpokladá, že existuje minimálna hodnota

argumentu , t. j. a že prípad nasleduje hneď po prípade . Preto sa metóda

matematickej indukcie obzvlášť hodí pre dôkazy vlastností usporiadanej množiny

prirodzených čísel. Matematickú indukciu používal už matematik gréckeho pôvodu Francesco

Maurolico17

a do modernej matematiky a logiky ho zaviedol Giuseppe Peano18

pri

axiomatickej formulácii aritmetiky. Dôkaz matematickou indukciou môžeme prepísať do

nasledovnej schémy usudzovania:

[1.18.]

Príklad. Dokážte, že „suma prvých nepárnych prirodzených čísel sa rovná: .“

Označme:

17 Francesco Maurolico (1494 – 1575) bol grécky matematik a astronóm pôvodom zo Sicílie. 18 Giuseppe Peano (1858 – 1932) bol taliansky matematik a filozof, ktorý významne prispel k rozvoju matematickej logiky

a teórie množín.

22

Máme dokázať, že:

Zrejme pre je , teda platí. Predpokladajme, že platí , t. j.

. Za tohto predpokladu dokážeme, že platí , t. j. . Máme:

Podľa indukčného predpokladu , teda:

čo sme chceli dokázať.

Dokázali sme, že platnosť formule implikuje formulu pre každé prirodzené

číslo , z čoho použitím zovšeobecnenia pomocou univerzálneho kvantifikátora dostaneme:

a použitím schémy matematickej indukcie aj platnosť: .

Použitá literatúra 1

11. L. Bukovský: Úvod do matematickej logiky, UPJŠ, Košice, 2001.

12. V. Čechák, K. Berka, I. Zapletal: Co víte o moderní logice, Horizont, Praha, 1981.

13. V. Kvasnička, J. Pospíchal: Matematická logika, STU, Bratislava, 2006.

14. V. Kvasnička, J. Pospíchal: Algebra a diskrétna matematika, STU, Bratislava, 2008.

15. K. Popper: Logika vědeckého bádání, Oikoymenh, Praha, 1997

16. A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, Praha, 2001.

23

Cvičenia 1

1.1. Aké pravidlo usudzovania treba použiť pri dôkaze záverov?

Ak dnes nepôjdem do kina, prečítam si učebnicu. Ak si dnes prečítam učebnicu, zajtra

ma nevyhodia z laboratórneho cvičenia.

1.2. Zistite, či sú uvedené závery korektné a vysvetlite prečo:

Každý študent farmácie má v indexe zapísanú prednášku z matematiky. Jakub má

zapísanú prednášku z matematiky. Preto Jakub je študentom farmácie.

1.3. Dokážte nasledujúce výroky:

a) Súčin dvoch nepárnych čísel je opäť nepárne číslo. Použite priamy dôkaz.

b) Ak je celé číslo a je nepárne číslo, potom je nepárne číslo. Použite

nepriamy dôkaz.

1.4. Dokážte pomocou matematickej indukcie:

Suma štvorcov prvých n prirodzených čísel sa rovná:

.

24

Riešenia 1

1.1. „dnes nepôjdem do kina“

„dnes si prečítam učebnicu“

„zajtra ma nevyhodia z laboratórneho cvičenia“

1.2. a) „ je študent farmácie“

„x má v indexe zapísanú skúšku z matematiky“

Odvodenie:

1. predpoklad1

2. predpoklad2

3. konkretizácia 1

4. použitie chybného pravidla „potvrdenie dôsledku“

Záver je nesprávny.

1.3. a) „ je nepárne číslo.“ Dokazujeme priamym dôkazom platnosť implikácie

. Ak položíme a , kde a sú

nezáporné celé čísla (t. j. číslam, ktoré nie sú deliteľné dvoma, pri delení 2 dávajú

zvyšok 1), potom .

b) „ je nepárne číslo“, „ je párne číslo“. Máme dokázať:

Nepriamy dôkaz uskutočníme dokazovaním inverzie tejto implikácie:

. Nech , potom

a . Priamym dôkazom inverznej impliká-

cie sme teda nepriamo dokázali platnosť pôvodnej implikácie: .

1.4. Pre platí: , pre :

. Z toho vyplýva pre :

predpoklad1

predpoklad2

dôsledok hypotetického sylogizmu

25

2. Teória množín

2.1. Množiny

Zakladateľom teórie množín, privilegovanej matematickej teórie, ktorá patrí k základom

modernej matematiky, je nemecký matematik Georg Cantor.19

O dôsledné axiomatické

vystavanie tejto teórie sa neskôr zaslúžil najmä anglický logik Bertrand Russell.20

Pojmom množina v matematike označujeme neusporiadaný súbor navzájom rozlíšiteľných

prvkov (elementov, matematických objektov). Fakt, že množina A obsahuje určité prvky

označujeme: . Na druhej strane, príslušnosť prvku k množine

označujeme: (čítame: „ patrí do “ alebo „ je elementom “). Skutočnosť, že prvok

nepatrí do množiny označujeme: (pričom výrazy a chápeme ako

pravdivé výroky).

Množinu môžeme určiť a zapísať dvoma rôznymi spôsobmi:

vymenovaním všetkých prvkov, ktoré do množiny patria: (tento

spôsob je použiteľný pre množiny s konečným počtom prvkov), alebo

stanovením vlastnosti (predikátu) , ktorý určuje, či prvok patrí do množiny (ak

je predikát pravdivý) alebo do množiny nepatrí (ak je predikát nepravdivý):

21.

Príklad. Množinu A všetkých prirodzených čísel menších ako 9 môžeme zapísať oboma

spôsobmi: alebo .

Príklad. Nekonečnú množinu všetkých nepárnych prirodzených čísel už môžeme zapísať

len pomocou vlastnosti : , kde , teda:

(pravda) ak ( je nepárne)

alebo

(nepravda) ak ( nie je nepárne)

19 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) bol nemecký matematik, známy ako tvorca modernej teórie množín. 20 Bertrand Russell (1872-1970) bol anglický filozof, logik, matematik, sociológ, jeden zo zakladateľov analytickej filozofie. 21 Množina je Univerzum (univerzálna množina), ktoré obsahuje všetky ostatné množiny.

26

Príklad. Vlastnosti množín a predikáty môžeme využiť na popísanie intervalov reálnych

čísel. Najprv si ale pripomeňme, že množina reálnych čísel je usporiadaná, t. j. pre dve reálne

čísla je usporiadanie definované ako: – .

Pre usporiadanie reálnych čísel platia tieto pravidlá:

každé reálne číslo je buď kladné, alebo záporné, alebo sa rovná 0 (nemôže byť zároveň

kladné aj záporné a pod.),

ak tranzitívny zákon,

ak distributívny zákon vzhľadom na sčítanie

ak distributívny zákon vzhľadom na násobenie

Tieto pravidlá sa využívajú pri riešení nerovností. Zápis znamená, že alebo

.

Geometricky môžeme reálne čísla znázorniť pomocou číselnej osi (priamky, na ktorej

zvolíme počiatok a kladný smer). Počiatku priradíme číslo 0 a každému bodu, ktorý leží

v kladnom smere osi priradíme kladné reálne číslo x, ktoré predstavuje vzdialenosť tohto

bodu od počiatku .22 Zápornému číslu priradíme bod, ktorý leží v zápornom smere osi

vzdialený o od počiatku (obr. 2.1.).

Obr. 2.1. Číselná os reálnych čísel

Intervaly predstavujú špeciálne podmnožiny množiny reálnych čísel . Poznáme nasledovné

typy intervalov:

uzavretý interval ⟨ ⟩ (tento interval teda obsahuje

všetky reálne čísla, ktoré ležia medzi číslami a , vrátane týchto hraničných hodnôt)

otvorený interval

polouzavreté intervaly ⟨ , ⟩

neohraničené intervaly ⟩ , ,

⟨ ,

22 Zápis „ “ znamená absolútna hodnota čísla . ak , ak . Geometricky na číselnej osi

predstavuje vzdialenosť bodu od počiatku osi.

-2 -1 0 0,5 1 2

27

Obr. 2.2. Grafické znázornenie zľava otvoreného sprava uzavretého intervalu ⟩ na číselnej

osi. Prázdny a plný krúžok označujú príslušnosť hraničných bodov k intervalu

Uvedieme si teraz definície jednotlivých množinových operácií ako sú: rovnosť množín,

vzťah množiny a podmnožiny, zjednotenie, prienik, doplnok a rozdiel množín pomocou

výrokovej logiky a s použitím logických spojok.

Definícia. Množina sa rovná množine , píšeme , vtedy a len vtedy, ak sú obe

množiny definované nad rovnakým univerzom a platí:

[2.1.]

Definícia. Množina je podmnožinou množiny , píšeme , vtedy a len vtedy, ak

každý prvok x z množiny patrí aj do množiny :

[2.2.]

Vzťah nazývame inklúzia. Ak platí , potom je vhodné formulu nahradiť

presnejším tvarom: . Ak a ,23

potom hovoríme, že je vlastnou

podmnožinou množiny . Medzi množinami platí rovnosť vtedy a len vtedy, ak je

pravdivý predikát:

Definícia. Množina je doplnok (komplement) množiny (vzhľadom k univerzu ) vtedy

a len vtedy, ak:

[2.3.]

Všimnime si, že prvok nepatrí do množiny vtedy a len vtedy, ak patrí do doplnku :

Zjednotením množín a nazývame množinu, ktorá obsahuje všetky prvky patriace do

aspoň jednej z množín , , značíme ju . Prienikom množín a nazývame množinu,

ktorá obsahuje všetky prvky patriace zároveň do obidvoch množín , , značíme ju .

Rozdielom množín nazývame množinu, ktorá obsahuje všetky prvky množiny , ktoré

nepatria do množiny ; značíme ju . Symbolicky:

23 Symbol " " označuje prázdnu množinu, t. j. množinu, ktorá neobsahuje žiadny prvok.

-2 0 1

28

[2.4.]

[2.5.]

[2.6.]

Množiny a nazývame disjunktné ak platí: .

Grafické znázornenie množín, podmnožín a operácií nad množinami pomocou tzv.

Vennových diagramov (obr. 2.3.), ktoré zaviedol anglický matematik a filozof John Venn24

,

predstavuje často používaný spôsob vizualizácie a verifikácie korektnosti formúl.

Obr. 2.3. Vennove diagramy. Obdĺžnik = univerzum ( ), kruhy označené a predstavujú

množiny a (podmnožiny univerza). a – diagram predstavuje operáciu doplnok

množiny vzhľadom k univerzu . b – diagram znázorňuje operáciu prienik , kde

tmavšie vyfarbená oblasť predstavuje . c – diagram znázorňuje reláciu je

podmnožinou . d – diagram znázorňuje operáciu zjednotenie , tmavšie vyfarbená

oblasť predstavuje . e – diagram znázorňuje operáciu mínus , tmavšie

vyfarbená oblasť predstavuje .

Uvedené množinové operácie (prienik, zjednotenie, rozdiel), spolu s konceptom podmnožín

danej množiny, tvoria algebru teórie množín. V tab. 2.1. uvádzame základné formule, ktoré

24 John Archibald Venn (1834-1923) bol britský logik a filozof. Preslávil sa prácami v oblasti teórie množín,

pravdepodobnosti, logiky, štatistiky a informatiky.

U U U

a b c

U U

d e

B

A A

A A

B B

B B

29

charakterizujú vlastnosti množinových operácií. Formule v tejto tabuľke je možné znázorniť a

ich platnosť overiť pomocou Vennových diagramov.

Tab. 2.1. Formule množinovej algebry [1]

Vlastnosť Formula

Komutatívnosť

Asociatívnosť

Distributívnosť

Identita ,

Idempotentnosť ,

Dominancia ,

Absorpcia ,

Involúcia

Zákon vylúčenia tretieho

Zákon sporu

Rozdiel množín

Distributívnosť pre rozdiel

De Morganove zákony

Ukážme si teraz, ako možno pomocou Vennových diagramov verifikovať platnosť

distributívneho zákona pre množiny a : . Ako vidno

30

z obr. 2.4., konštrukcia Vennovho diagramu pre ľavú a pravú stranu formuly vedie

k rovnakému výsledku (horná a dolná časť obrázku vedie k rovnakým výsledným

geometrickým obrazcom), čo ilustruje platnosť uvedeného zákona.

Obr. 2.4 Použitie Vennových diagramov na overenie platnosti distributívneho zákona pre

množiny a : . Obdĺžnik = univerzum ( ),

kruhy predstavujú množiny a (podmnožiny univerza), horný riadok zodpovedá

ľavej strane rovnice, spodný pravej.

2.2. Enumerácia konečných množín

V tejto časti sa budeme zaoberať enumeráciou (výpočtom, vymenovaním) prvkov

konečných množín, t. j. takých množín, ktoré majú konečný počet prvkov. Ak je množina

konečná potom počet prvkov, ktoré množina obsahuje, nazývame mohutnosťou množiny a

značíme . V prípade, že množina nie je konečná, potom jej mohutnosť je tiež nekonečná

. Pre disjunktné množiny a ( ) je mohutnosť ich zjednotenia daná

súčtom mohutností jednotlivých množín:

B C

BC A (BC)

B C

BC A B

B C B C B C

(A B) (BC)

31

[2.7.]

Ak množiny a nie sú disjunktné (majú neprázdny prienik, ), potom je

mohutnosť ich zjednotenia daná formulou:

[2.8.]

Túto formulu môžeme ľahko dokázať pomocou rozkladu množiny na disjunktné

podmnožiny tak, ako je to znázornené na obr. 2.5.

Obr. 2.5. Rozklad množiny na tri disjunktné podmnožiny: , a .

Pre mohutnosť množín a a ich zjednotenia dostaneme:

[2.9.]

pričom kombináciou týchto troch formúl dostaneme už uvedený vzťah pre mohutnosť

množiny pre nedisjunktné množiny.

2.3. Karteziánsky súčin množín

Usporiadané dvojice prvkov (čísel) sa využívajú vo viacerých matematických

disciplínach, napríklad v analytickej geometrii. Na určenie polohy bodu v rovine požívame

usporiadané dvojice súradníc a . Dva body (usporiadané dvojice) a

sú si rovné (sú identické, ležia v tom istom mieste roviny), ak sú rovnaké ich

súradnice a .

32

Definícia. Množina sa nazýva karteziánsky súčin dvoch množín a , ak platí:

a [2.10.]

Obr. 2.6. Schematické znázornenie karteziánskeho súčinu množín a

[1].

Karteziánsky súčin teda predstavuje množinu všetkých usporiadaných dvojíc

takých, kde prvá súradnica patrí do množiny a druhá súradnica patrí do množiny .

Pre karteziánsky súčin množín platia nasledovné vlastnosti. Ak , potom

a ak aspoň jedna z množín alebo je prázdna množina, potom aj karteziánsky súčin

. V prípade, ak obidve množiny a nie sú prázdne, potom súčin

vtedy a len vtedy, ak . Táto vlastnosť je priamym dôsledkom podmienky rovnosti

medzi dvoma usporiadanými dvojicami. Nech množina obsahuje prvkov

a množina Y nech obsahuje prvkov , teda mohutnosť

a . Potom počet členov množiny karteziánskeho súčinu, mohutnosť:

.

Koncept usporiadanej dvojice môžeme zovšeobecniť na usporiadanú n-ticu

, ak rozšírime karteziánsky súčin dvoch množín na súčin množín:

[2.11.]

Mohutnosť n-násobného karteziánskeho súčinu sa bude analogicky rovnať:

.

Príklad. Nech a , potom karteziánsky súčin

.

Príklad. Nech množina a množina , potom grafickým znázornením

(grafom) množiny je množina usporiadaných dvojíc reprezentovaných bodmi:

● ■ ]■ ■

● ■ ]■ ■

● ■ ■ ■

● ● ●

33

Obr. 2.7. Znázornenie karteziánskeho súčinu dvoch množín ako množiny usporiadaných

dvojíc , bodov () v rovine

2.4. Relácie

Definícia. Majme dve množiny a , potom množinu nazveme binárnou reláciou

z množiny do množiny práve vtedy, keď je podmnožinou karteziánskeho súčinu

a reláciu zapíšeme pomocou výrokovej logiky ako:

[2.12.]

Na obr. 2.8. je znázornená relácia množín a ,

, táto relácia obsahuje 3 usporiadané

dvojice a z karteziánskeho súčinu , ktorý obsahuje

prvkov.

Obr. 2.8. Schematické znázornenie relácie ako podmnožiny karteziánskeho súčinu množín a

(vytieňovaná oblasť) [1].

5 ● ●

4 ● ●

3

2

1 ● ●

1 2 3 4

y1● R [x1, y1]■ [x2, y1]■ [x3, y1]■

Y y2● [x1, y2]■ [x2, y2]■ [x3, y2]■ X × Y

y3● [x1, y3]■ [x2, y3]■ [x3, y3]■

X x1● x2● x3●

34

Definícia. Nech je relácia, potom množina usporiadaných dvojíc ,

ktorých inverzia patrí do relácie ), sa nazýva inverzná relácia (vzhľadom na

reláciu ) práve vtedy, keď:

[2.13.]

Definícia. Relácia sa nazýva:

reflexívna práve vtedy, keď )

symetrická práve vtedy, keď

antisymetrická práve vtedy, keď

tranzitívna práve vtedy, keď

Príklad. Nech je množina všetkých reálnych čísel a relácia je daná ako:

. Relácia spĺňa nasledovné vlastnosti:

je reflexívna, pretože: platí , teda ,

nie je symetrická, pretože neplatí vzťah: pre ľubovoľné ,

je antisymetrická, pretože platí: pre ľubovoľné ,

je tranzitívna, pretože: a .



12. B. Balcar, P. Štěpánek: Teorie množin. Academia, Praha, 1986.

13. T. Šalát, J. Smítal. Teória množín. UK, Bratislava, 1995.

35

Cvičenia 2

2.1. Ktoré prvky patria do množiny :

a) , kde je množina reálnych čísel.

b) kde je množina prirodzených čísel.

c) , kde je množina reálnych čísel.

2.2. Nech , , , . Zistite, ktoré

množiny sú podmnožinami iných množín.

2.3. Určte mohutnosť týchto množín:

a)

b)

c)

2.4. Určte, ktorá z nižšie uvedených množín je potenčná množina množiny a aké má

členy:

a)

b)

c)

d)

2.5. Nech je množina študentov FaF UK, ktorí chodili na gymnázium a je množina

študentov FaF UK, ktorí sú z Trenčianskeho kraja. Charakterizujte študentov, ktorí

patria do množiny:

a)

b)

c)

d)

e)

2.6. Dokážte, že pre množiny a platí:

a)

b)

2.7. Nech množina a . Nájdite karteziánsky súčin .

36

Riešenia 2

2.1. a)

b)

c)

2.2. , ,

2.3. a)

b)

c)

2.4. ,

2.5. a) množina študentov, ktorí chodili na gymnázium alebo sú z Trenčianskeho kraja

b) množina študentov, ktorí chodili na gymnázium a zároveň sú z Trenčianskeho kraja

c) množina študentov, ktorí chodili na gymnázium, ale nie sú z Trenčianskeho kraja

d) množina študentov, ktorí sú z Trenčianskeho kraja, ale nechodili na gymnázium

e) prázdna množina

2.6. Dôkaz:

a)

b)

2.7. Karteziánsky súčin:

1. predpoklad

2. dôsledok 1

3. deaktivácia predpokladu

1. predpoklad

2. dôsledok 1

3. dôsledok 2

4. deaktivácia predpokladu

37

3. Reálne funkcie

Funkcie alebo zobrazenia predstavujú v matematike jednoznačný predpis, pomocou

ktorého každému prvku (argumentu) z množiny priradíme práve jeden prvok - funkčnú

hodnotu v bode z množiny : , Obr. 3.1. Výraz

predstavuje funkčný predpis alebo analytický tvar funkcie. Funkciu môžeme považovať za

reláciu , teda za množinu usporiadaných dvojíc: . Prvky a

sa nazývajú premenné: je nezávisle premenná a závisle premenná.

Obr. 3.1. Schematické znázornenie zobrazenia : . Obor funkčných hodnôt je vo

všeobecnosti podmnožinou

Definícia. Relácia sa nazýva funkcia práve vtedy, keď pre každé existuje

práve jedno také, že :

[3.1.]

kde symbol znamená, že existuje práve jeden prvok. Množina sa nazýva obor definície

(alebo definičný obor, značí sa ) funkcie a obor hodnôt funkcie sa značí (obr. 3.1.):

, pritom vo všeobecnosti nemusí byť totožné s . Ak platí ,

potom sa nazýva argument alebo vzor a sa nazýva funkčná hodnota alebo obraz (image)

argumentu .

Ak poznáme funkčný predpis reálnej funkcie (t. j. funkcie definovanej na

množine reálnych čísel ) a jej definičný obor nie je daný, potom za definičný obor

považujeme množinu takých reálnych čísel, pre ktoré vieme nájsť reálnu funkčnú hodnotu.

Nazývame ju prirodzený definičný obor.

Príklad. Nájdite prirodzený definičný obor funkcie: √ √ . Úlohu

riešime tak, že hľadáme také , pre ktoré a zároveň . Ľahko

zistíme, že ⟨ ⟩

38

Funkcia predstavuje špeciálny prípad relácie, ktorá vyhovuje podmienke jednoznačnosti,

ktorú môžeme vyjadriť aj ako: . Teda funkcia f

priradí danému argumentu x len jednu jedinú konkrétnu hodnotu (jednoznačné

priradenie).

Definícia. Nech je reálna funkcia s definičným oborom . Grafom funkcie je množina

bodov euklidovskej roviny:25

[3.2.]

Predpis reálnej funkcie (ďalej len funkcie) možno zadať viacerými spôsobmi: analyticky

(pomocou rovnice, funkčného predpisu), pomocou viacerých rovníc, grafom, tabuľkou alebo

algoritmom výpočtu.

Obr. 3.2. Grafy niektorých elementárnych funkcií:

a

Množinu usporiadaných dvojíc teda znázorňujeme ako množinu bodov v rovine,

napríklad pomocou pravouhlej (karteziánskej)26

súradnicovej sústavy, t. j. dvoch na seba

kolmých číselných osí (vodorovnej osi a zvislej osi , ktoré sa pretínajú v počiatku).

Nezávisle premenná predstavuje prvú súradnicu bodu na osi a závisle premenná značí

druhú súradnicu na osi , pričom každému bodu roviny zodpovedá jediná usporiadaná

25 Starogrécky matematik Euklides z Alexandrie (365-300 p.n.l.) položil základy rovinnej a priestorovej geometrie a teórie

čísiel. Spresnil deduktívne chápanie matematiky, založené na axiómach a postulátoch. 26 Názov súradnicovej sústavy je odvodený z latinského mena Cartesius francúzskeho filozofa menom René Descartes, ktorý

ju začal používať v roku 1637 ako jeden z prvých matematikov.

39

dvojica reálnych čísel a naopak, obr. 3.3. Vzdialenosť dvoch bodov a je

v euklidovskej rovine definovaná podľa Pytagorovej vety27

ako:

√ [3.3.]

Obr. 3.3. Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém. Súradnice a vzdialenosť dvoch bodov

a v rovine

Funkcia sa nazýva prostá alebo jedno-jednoznačná funkcia (injekcia), ak dvom rôznym

hodnotám argumentu priradí dve rôzne funkčné hodnoty:

. Pre jedno-jednoznačné funkcie je podmienka rôznosti argumentov ekvivalentná

rôznosti zodpovedajúcich funkčných hodnôt: .

Prostú funkciu : nazývame bijekcia vtedy, keď pre každý prvok existuje

v množine taký prvok , že: , t. j.

[3.4.]

Obr. 3.4. A. Graf prostej funkcie. B. Graf funkcie, ktorá nie je prostá.

27 Grécky filozof a matematik Pytagoras zo Samosu (570-495 p.n.l.) je známy najmä svojou vetou o vzťahu medzi dĺžkami

strán v pravouhlom trojuholníku.

[ , ]

[ , ]

A B

40

Definícia. Dve funkcie : a : a rovnajú práve vtedy, keď platí:

Narábanie s funkciami nám uľahčuje poznanie vlastností funkcií, ktoré sú spojené s grafickou

interpretáciou reálnej funkcie v karteziánskom súradnicovom systéme.

Definícia.

Funkcia sa nazýva párna, ak:

Funkcia f sa nazýva nepárna, ak:

Funkcia f sa nazýva periodická, ak:

Funkcia sa nazýva rastúca na množine , ak:

Funkcia sa nazýva klesajúca na množine , ak:

Funkcia sa nazýva nerastúca na množine , ak:

Funkcia sa nazýva neklesajúca na množine , ak:

Funkcia f sa nazýva zdola (zhora) ohraničená, ak:

( )

Funkcie rastúce alebo klesajúce na celom sa nazývajú rýdzo monotónne. Funkcia je

ohraničená, ak je súčasne ohraničená zdola aj zhora. Ak existuje najmenšie horné (najväčšie

dolné) ohraničenie funkcie, nazývame ho suprémum (infimum) funkcie. Ak je suprémum

(infimum) funkčnou hodnotou v nejakom bode , potom ho nazývame maximum

(minimum) funkcie.

41

Príklad. Ukážte, že funkcia je rastúca na intervale ⟨

Ak potom aj

a teda aj , čiže je rastúca.

Príklad. Zistite, či funkcia je párna.

Pre každé platí: , teda , preto je párna.

Príklad. Zistite, či funkcia

je párna.

, platí:

, preto funkcia je nepárna.

Príklad. Určte, či funkcia je periodická a nájdite periódu .

Hľadáme také číslo , aby pre každé platilo: . Vieme, že funkcia

kosínus je periodická s periódou , teda platí: , z

čoho dostávame:

alebo .

Príklad. Zistite, či funkcia je ohraničená.

Platí:

, je zdola ohraničená, má infimum , ale nemá minimum.

je aj zhora ohraničená, má supremum , ale nemá maximum, obr. 3.5.

Obr. 3.5. Grafy funkcií ,

,

a .

Kompozíciou dvoch funkcií : a : môžeme vytvoriť novú funkciu (zloženú

funkciu) : , pre ktorú platí , vtedy keď existuje taký

„medzičlánok“ , pre ktorý platí, .

Definícia. Kompozíciou funkcií : a : vznikne zložená funkcia

: práve vtedy, keď:

42

[3.5.]

Funkciu nazývame vnútorná zložka a funkciu voláme vonkajšia zložka zloženej funkcie .

Obr. 3.6 Znázornenie kompozície dvoch funkcií . Zložená funkcia existuje len

vtedy, ak prienik oboru funkčných hodnôt prvej funkcie a definičného oboru druhej

funkcie nie je rovný prázdnej množine.

Zloženú funkciu zostrojíme tak, že budeme aplikovať vonkajšiu funkciu na

obraz (výsledok) vnútornej funkcie . Vypočítame teda najprv obraz vnútornej funkcie:

a tento potom použijeme ako argument pre vonkajšiu funkciu:

Príklad. Majme dve reálne funkcie, prvá : má analytický tvar ,

definičný obor a obor hodnôt množinu nezáporných čísel ⟨ .

Druhá funkcia : má tvar , a .

Kompozíciu funkcií na definičnom obore dostaneme

postupným aplikovaním funkčných predpisov vonkajšej funkcie na výsledok vnútornej

funkcie ako .

Obr. 3.7 Graf funkcie , a zloženej funkcie

x ■ ■ z

■

y

43

Inverzná funkcia je určená výmenou (inverziou) poradia prvkov usporiadaných dvojíc. Aj

inverzná funkcia musí spĺňať podmienku jednoznačnosti, preto inverzná funkcia

môže existovať len pre jedno-jednoznačnú funkciu .

Definícia. Majme prostú funkciu : . Hovoríme, že funkcia : je inverzná

funkcia k funkcii práve vtedy, keď spĺňa podmienku:

[3.6.]

Je zrejmé, že ak funkcia je inverzná k prostej funkcii , potom inverzná funkcia k je

pôvodná funkcia: . Inverznú funkciu skonštruujeme tak, ako pri inverzných

reláciách, zámenou poradia prvej a druhej súradnice usporiadaných dvojíc alebo závisle

a nezávisle premennej: , teda: Úpravou tejto rovnosti

dostaneme vzťah pre inverznú funkciu v obvyklom tvare , kde reprezentuje .

Príklad. Nájdite funkciu inverznú k funkcii . Lineárna funkcia má definičný

obor (t. j. všetky reálne čísla) a obor hodnôt . Funkcia

monotónne rastie a je prostá. Preto bude k funkcii existovať inverzná funkcia , ktorú

nájdeme nasledujúcim postupom:

:

.:

úpravou poslednej rovnice dostaneme inverznú funkciu v tvare (obr. 3.8.A):

Príklad. Nájdite funkciu inverznú k funkcii

28 Funkcia má definičný obor

a obor hodnôt , monotónne rastie a je prostá. Preto bude k

funkcii existovať inverzná funkcia na intervale , ktorú nájdeme takto:

:

:

úpravou druhej rovnice dostaneme inverznú funkciu v tvare (obr. 3.8 B):

28 Definícia exponenciálnej funkcie: a logaritmickej funkcie: sa nachádza v odseku 2.6.3.

44

(

)

A B

Obr. 3.8. A. Graf funkcie a inverznej funkcie

. B. Graf funkcie

a inverznej funkcie (

)Všimnime si na grafe dvoch

inverzných funkcií, že prechádzajú bodmi so súradnicami a pre

ktoré platí a a ktoré sú navzájom symetrické podľa osi .

3.1. Základné reálne funkcie

3.1.1. Polynóm

Polynómom alebo mnohočlenom nazývame reálnu funkciu tvaru:

kde koeficienty (čísla) [3.7.]

Definičným oborom polynómu je množina reálnych čísel. Ak , potom číslo

nazývame stupňom polynómu. Číslo budeme nazývať koreňom polynómu , ak

(v bode alebo graf funkcie pretína x-ovú os). Ak existuje taký

polynóm , že platí:

kde [3.8.]

a zároveň nie je koreňom polynómu , t. j. , ak , predstavuje jednoduchý

koreň, ak , potom hovoríme, že je k-násobný koreň polynómu . Polynóm prvého

stupňa: nazývame koreňovým činiteľom. Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že

45

korene sú reálne čísla, vo všeobecnosti však platí, že korene polynómu môžu byť aj

komplexné čísla ( ).29

Medzi polynómami sú definované operácie sčítania a násobenia tak, že pre každé

platí: a , pričom sčítanie

uskutočníme tak, že sčítame koeficienty pri rovnakých mocninách premennej a násobenie

vykonáme tak, že vynásobíme každý člen polynómu s každým členom polynómu .

Výsledkom sčítania (rozdielu) alebo násobenia polynómov je opäť polynóm.

Dva polynómy a :

a

stupňa a sa navzájom rovnajú, ak: , ,

, ..., , t. j. sú rovnakého stupňa a navzájom sa rovnajú koeficienty pri

odpovedajúcich mocninách premennej .

Definícia. Nech je prirodzené číslo. Rovnicu s neznámou tvaru:

[3.9.]

kde sú reálne (alebo komplexné) čísla a , nazývame algebraickou

rovnicou n-tého stupňa.

Základná veta algebry hovorí, že polynóm stupňa (algebraická rovnica n-tého stupňa)

má práve koreňov (pričom k-násobný koreň počítame k-krát). Základnú vetu algebry

dokázal ako prvý Gauss. Svoj prvý dôkaz tejto vety prezentoval už ako 22 ročný v doktorskej

dizertácii. Tento dôkaz sa zakladal na vlastnostiach komplexných funkcií.

Pripomíname, že koreňom reálneho polynómu sú reálne, ale aj komplexné čísla (napr. koreň

polynómu druhého stupňa: ).

Ak sú navzájom odlišné reálne korene polynómu s nepárnou

násobnosťou, potom v každom z intervalov , , ..., bude polynóm

nadobúdať len kladné alebo záporné hodnoty, pričom v dvoch susedných intervaloch

bude nadobúdať opačné znamienko (obr. 3.9).

Veta. Nech algebraická rovnica má práve rôznych koreňov tak, že je k1-

násobný koreň, je k2-násobný koreň, ..., je kr-násobný koreň. Potom:

a algebraickú rovnicu možno napísať v tvare:

29 Komplexné čísla definoval nemecký matematik a fyzik Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ako zovšeobecnenie

reálnych čísel, ktoré zobrazujeme ako body na číselnej osi. Komplexné čísla definoval ako body Gaussovej roviny, keď

komplexnému číslu priradil reálnu zložku (a - priemet do osi x) a imaginárnu zložku (bi - priemet do osi y).

Reálne čísla tvoria podmnožinu komplexných čísel ( ). Komplexné čísla presahujú rámec osnov predmetu

Matematika pre farmaceutov.

46

[3.10.]

Obr. 3.9. Graf polynómu a jeho

znamienka

V praxi sa stretávame s algebraickými rovnicami, ktoré majú reálne koeficienty a pre

ktoré hľadáme reálne korene. Korene takýchto rovníc sú však často iracionálne čísla, ktoré

môžeme nájsť len s istou presnosťou metódami, ktoré patria do oblasti numerickej

matematiky. Pri riešení jednoduchších algebraických rovníc s celočíselnými koeficientmi nám

môže pomôcť nasledovná veta.

Veta. Ak algebraická rovnica s celočíselnými koeficientmi:

[3.11.]

kde (sú celé čísla), má racionálny koreň

, , kde a sú celé

nesúdeliteľné čísla, potom koeficient je deliteľný číslom a koeficient je deliteľný

číslom .

Príkladom najjednoduchších polynómov sú lineárna a kvadratická funkcia, ktoré sú dané

predpismi: a . Zo strednej školy vieme, že rovnica priamky

(lineárna funkcia30

), ktorá prechádza bodom roviny so súradnicami a má danú

smernicu , je: . Smernica priamky, ktorá spája dva rôzne body so

súradnicami a , má tvar:

. Rovnako si pamätáme, že korene

kvadratickej rovnice , kde vypočítame podľa vzorca:

30 Výraz lineárna rovnica znamená, že neznáme v tejto rovnici vystupujú v tvare súčtu alebo rozdielu, prípadne sú násobené

reálnymi koeficientmi. Nevystupujú v tvare súčinu, podielu alebo v mocninách s exponentom .

47

√

kde diskriminant: [3.12.]

Kvadratická rovnica má dva reálne korene, ak , jeden dvojnásobný koreň ak a

nemá žiadny reálny koreň ak .

Príklad. Nájdite rovnicu priamky, ktorá má smernicu rovnajúcu sa a ktorá prechádza

bodom so súradnicami .

Rovnica bude mať tvar: , teda: .

Príklad. Nájdite rovnicu priamky, ktorá prechádza bodmi: a .

Rovnica bude mať všeobecný tvar:

, v našom prípade:

, po úprave:

.

Príklad. Nakreslite graf kvadratickej funkcie:

.

Základné charakteristiky paraboly vyjadrenej všeobecnou kvadratickou funkciou:

nájdeme doplnením kvadratického trojčlena na úplný štvorec:

(

)

(

)

Toto je rovnica paraboly (krivky, ktorej body majú rovnakú vzdialenosť od daného bodu -

ohniska a od riadiacej priamky), ktorá má zvislú os symetrie, roztvára sa dohora (

),

má vrchol v bode [

]ohniskovú vzdialenosť

, ohnisko v bode

[

] a riadiacu priamku

. Gra-

fom funkcie:

bude teda parabola znázornená na obr. 3.10.

Obr. 3.10. Graf paraboly:

, so znázornením polohy vrcholu, ohniska a riadiacej

priamky

48

Príklad. Nájdite reálne korene polynómu: .

Výraz môžeme rozložiť pomocou nasledujúcich vzorcov:

takto:

Pretože obidva kvadratické trojčleny majú záporné diskriminanty ( ), jedinými

reálnymi koreňmi budú čísla a .

Príklad. Nájdite reálne korene algebraickej rovnice .

Korene algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientmi hľadáme v tvare podielu dvoch

celých čísel , kde je deliteľom čísla ( ) a je deliteľom čísla ( ). Rovnica bude

mať najviac rôzne korene (polynóm 4. stupňa). Teda:

, a

{

}

Korene budeme hľadať delením polynómu koreňovými činiteľmi (

) pomocou

Hornerovej schémy. Polynóm

delíme výrazom

tak, že koeficienty polynómu stupňa o jednotku nižšieho:

dostaneme

podľa nasledujúcej schémy:

Začneme teda od najjednoduchších hodnôt a delíme polynóm 4. stupňa postupne možnými

koreňmi v tvare

až kým nenájdeme 4 korene (stupeň nášho polynómu sa rovná 4):

...

...

kde: , , , ... ,

Číslo je zvyšok delenia. Ak , potom je koreňom Polynómu .

49

Pre všetky 4 testované hodnoty koreňov

sme dostali v Hornerovej schéme nulový zvyšok

(posledný stĺpec vpravo), preto platí:

3.1.2. Racionálna funkcia

Majme dva polynómy a stupňa a , kde , potom funkcia:

[3.13.]

sa nazýva racionálnou funkciou. Ak platí, že (t. j. stupeň polynómu je nižší ako

stupeň polynómu ), potom nazývame rýdzo racionálnou funkciou. Definičným

oborom rýdzo racionálnej funkcie je množina všetkých reálnych čísel, okrem koreňov

polynómu : . Ak nie je rýdzo racionálnou funkciou, potom

delením polynómu polynómom dostaneme súčet polynómu a racionálnej funkcie, napr.:

Znamienko racionálnej funkcie určíme pomocou intervalov s hranicami určenými koreňmi

polynómov a čitateľa a menovateľa. Nech sú navzájom rôzne

reálne korene polynómov a s nepárnou násobnosťou, potom v každom z intervalov

bude polynóm nadobúdať len kladné alebo záporné

hodnoty, pričom v dvoch susedných intervaloch bude nadobúdať opačné znamienko (krivka v

okolí reálneho koreňa s párnou násobnosťou nepretína x-ovú os a teda nemení znamienko).

Príklad. Určte znamienko racionálnej lomenej funkcie: ( )

Čitateľ aj menovateľ sú len čiastočne rozložené na súčin koreňových činiteľov, preto najprv

dokončíme rozklad:

Po rozložení a vykrátení má racionálna lomená funkcia tvar:

50

Reálne korene čitateľa a menovateľa s nepárnou násobnosťou sú a a s párnou

násobnosťou . Rozdeľme definičný obor podľa nepárne-násobných koreňov. Určíme

znamienko v bode dosadením

. Znamienka v okolitých

intervaloch sa budú pravidelne striedať, obr. 3.11.

interval

Znamienko

Obr. 3.11 Graf racionálnej funkcie: ( )

a jej znamienka

Príklad. Nakreslite graf racionálnej lomenej funkcie:

.

Funkcia predstavuje najjednoduchší tvar racionálnej funkcie, ktorej grafom je hyperbola, t. j.

krivka, ktorej body spĺňajú nasledujúcu podmienku: rozdiel ich vzdialeností od ohnísk

hyperboly je rovný ohniskovej vzdialenosti krát √ (obr. 3.12 A). Rovnoosá hyperbola so

stredom v bode má rovnicu: . Preto najprv upravíme našu

funkciu na tento tvar:

Grafom funkcie

je teda rovnoosá hyperbola so stredom v bode , obr. 3.12 B.

51

Obr. 3.12. A. Rovnoosá hyperbola: ohniská a sú vzdialené od stredu ,

umiestnenom v počiatku súradnicovej sústavy, o ohniskovú vzdialenosť √ .

Hyperbola leží v I. a III. kvadrante a má dve na seba kolmé osi symetrie. Priesečníky

hyperboly s osou sa nazývajú vrcholy. Pre každý bod hyperboly platí, rozdiel

vzdialeností: √ . B. Graf funkcie:

. Osi symetrie

hyperboly (vyznačené čiarkovane) sa pretínajú v strede . Asymptoty hyperboly

(priamky prechádzajúce stredom, ku ktorým sa krivky limitne približujú) sú priamky:

a (vyznačené bodkovane).

Každú rýdzo racionálnu funkciu možno napísať v tvare súčtu najjednoduchších rýdzo

racionálnych funkcií, ktoré nazývame parciálne zlomky. Poznáme štyri základné typy

parciálnych zlomkov:

typ 1:

kde a

typ 2:

kde , a [3.14.]

typ 3:

kde , a

typ 4:

kde , , a

52

Veta. Každú rýdzo racionálnu funkciu možno vyjadriť ako súčet konečného počtu

parciálnych zlomkov.

Táto veta neuvádza spôsob, ako máme pritom postupovať a postup nie je vždy

jednoduchý. Na druhej strane vieme už, že polynóm v menovateli rýdzo racionálnej

funkcie

možno napísať v tvare súčinu koreňových činiteľov:

kde všetky polynómy 2. stupňa majú záporný diskriminant (t. j. komplexné korene), ,

. Dá sa dokázať, že rýdzo racionálnu funkciu

možno vyjadriť v tvare:

[3.15.]

Príslušné konštanty v čitateľoch parciálnych zlomkov vypočítame tak, že rovnosť:

vynásobíme menovateľom a porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách

premennej . Dostaneme sústavu lineárnych rovníc s neznámymi31

, ktorých riešením sú

hľadané konštanty.

Význam a použitie parciálnych zlomkov si ukážeme v kapitole integrálneho počtu.

Príklad. Rozložte na parciálne zlomky rýdzo racionálnu funkciu:

.

Uvedená funkcia sama nepredstavuje parciálny zlomok, pretože polynóm v menovateli má

kladný diskriminant: pre každé a platí:

Vynásobením spoločným menovateľom dostaneme:

Porovnaním príslušných koeficientov dostaneme 2 rovnice o 2 neznámych a :

a

31 Sústavy lineárnych rovníc sa preberajú v nasledujúcich kapitolách.

53

Ich riešením dostaneme: a . Teda našu racionálnu funkciu môžeme rozdeliť na

súčet dvoch jednoduchých parciálnych zlomkov prvého typu:

Príklad. Rozložte na parciálne zlomky rýdzo racionálnu funkciu:

.

Riešenie očakávame v tvare:

. Z toho po vynásobení

celej rovnice najmenším spoločným menovateľom:

Roznásobením a porovnaním koeficientov dostaneme: a preto

pre každé platí:

3.1.3. Exponenciálna a logaritmická funkcia

Medzi základné reálne funkcie, s ktorými sa často stretávame v laboratórnej praxi, patria

exponenciálna a logaritmická funkcia. Exponenciálna funkcia má tvar: , kde základ

je kladné reálne číslo a nezávisle premenná (neznáma) sa nachádza v exponente.

V prípade, že , dostaneme lineárnu funkciu . Definičný obor exponenciálnej

funkcie je množina reálnych čísel a obor hodnôt množina kladných reálnych čísel

(značíme aj ako ). Exponenciálna funkcia je rastúca pre základ a klesajúca

pre , obr. 3.13.

Obr. 3.13. Grafy exponenciálnych a logaritmických funkcií s rôznym základom

54

Uvažujme funkciu . Hodnotu nezávisle premennej vieme spamäti vypočítať len pre

(malé) celé čísla. Napríklad pre kladné platí . Ak je

záporné celé číslo, napríklad , potom:

. Ak je

racionálne číslo

vieme, že platí:

√

, napríklad:

√ √

.32

Je vhodné si uvedomiť, že nevieme, čomu sa rovná funkčná hodnota pre

iracionálny exponent, napríklad .33

Ako uvidíme neskôr, aj hodnotu vieme

vypočítať (s ľubovoľnou presnosťou) pomocou rozvoja funkcie do mocninového radu.

Inverzná funkcia k exponenciálnej funkcii je logaritmická funkcia .

Logaritmus platí práve vtedy, keď , pre , t. j. logaritmus čísla je

taký exponent (kde ), ktorým treba umocniť základ , aby sme dostali

logaritmované číslo (všimnime si, že platí a ). Definičný obor tejto

funkcie a obor hodnôt . Logaritmická funkcia je rastúca pre základ

a klesajúca pre (obr. 3.13.). Funkciu so základom , ,

nazývame dekadický logaritmus a funkciu so základom (Eulerovo číslo)34

, nazývame prirodzený logaritmus. Použitím výrazu [3.6.] dostaneme užitočné

vzťahy pre :

a [3.16.]

Tieto vlastnosti vyplývajú z poznatku, že zložená funkcia, vytvorená z dvoch navzájom

inverzných funkcií sa rovná identickej funkcii: .

Pre logaritmickú funkciu a , platia nasledujúce rovnosti:

[3.17.]

Vzťahy [3.17.] sa dajú ľahko dokázať nasledujúcou úvahou:

32 Symbol „ “ znamená približne sa rovná. 33 je Ludolfovo číslo (iracionálne číslo, ktoré nemožno vyjadriť v tvare ), matematická konštanta definovaná ako pomer

obvodu a priemeru kruhu: . Táto konštanta dostala názov Ludolfovo číslo

podľa nemecko-holandského matematika Ludolpha van Ceulena (1540-1610), ktorý ako jeden z prvých určil jej hodnotu

pomocou Archimedovho postupu s presnosťou na 35 desatinných miest. 34 Leonhard Euler (1707-1783) bol významný matematik švajčiarskeho pôvodu. Eulerovo číslo predstavuje dôležitú

matematickú konštantu, základ prirodzených logaritmov ( ), ktorá je definovaná ako limita postupnosti

pre prirodzené číslo neobmedzene rastúce do nekonečna .

55

a

Príklad. Nájdite inverznú funkciu k funkcii f: .

Inverznú funkciu hľadáme tak, že zameníme premenné a vo funkčnom predpise

a snažíme sa nanovo vyjadriť ako funkciu premennej . V našom prípade dostaneme:

čo je hľadaná inverzná funkcia .

Nájdite inverznú funkciu k funkcii :

Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom príklade:

–

Príklad. Vyriešte logaritmickú rovnicu:

Riešenie: 3

Príklad. Vyriešte logaritmickú rovnicu:

Riešenie:

56

Príklad. Vyriešte exponenciálnu rovnicu:

Riešenie:

Príklad. Vyriešte exponenciálnu rovnicu:

Riešenie:

(

)

(pretože: )

Príklad. Vyriešte exponenciálnu rovnicu: √ √

Riešenie:

3.1.4. Goniometrické a cyklometrické funkcie

Majme jednotkovú kružnicu (kružnica so stredom v počiatku súradnicovej sústavy s

polomerom rovným 1) a číselnú os reálnych čísel ( ), obr. 3.14. Nech je koncový bod

oblúka na jednotkovej kružnici, ktorého začiatok je v bode a dĺžka ktorého sa rovná

57

Oblúk je orientovaný od bodu k bodu proti smeru pohybu hodinových ručičiek pre

(môže byť orientovaný aj v smere pohybu hodinových ručičiek pre ). Potom prvá

súradnica bodu na jednotkovej kružnici definuje goniometrickú funkciu kosínus ( )

a druhá súradnica definuje funkciu ( ) ( ). Pomery týchto súradníc určujú

ďalšie goniometrické funkcie: tangens

(

) a kotangens

.

Obr. 3.14. Jednotková kružnica, číselná os reálnych čísel a definícia goniometrických funkcií.

Číselnú os priložíme sprava k jednotkovej kružnici a „namotávame“ v smere šípok.

Všetkým reálnym číslam tak priradíme uhol v oblúkovej miere (radián)35

z intervalu

⟨ čo vedie k definícii periodických reálnych funkcií, goniometrických

funkcií. Ľubovoľné body , na číselnej osi navzájom vzdialené o

celočíselný násobok obvodu kružnice ( ) sa namotávaním premietnu do toho istého

bodu na kružnici tak, že ich súradnice budú: ).

Goniometrické (trigonometrické) funkcie sú periodické (nie sú prosté), funkcie sin a cos

majú periódu rovnú (napr. funkcie a majú periódu (napr.

Funkcie , a sú nepárne (napr. funkcia je

párna ( , obr. 3.15. a obr. 3.16.

35 Radián je definovaný ako rovinný uhol s vrcholom v strede kružnice, ktorý vytína na obvode tejto kružnice oblúk dĺžky

rovnajúcej sa jej polomeru (jednotka [rad]). Keďže obvod jednotkovej kružnice (s polomerom ) má dĺžku uhol, ktorý

jedenkrát „obtáča“ celú kružnicu (360), je rovný práve radiánov. Na prevod uhla udávaného v stupňoch na uhol

v radiánoch, a naopak, slúžia nasledujúce jednoduché konverzné vzťahy:

a

, kde

.

58

Obr. 3.15. Grafy funkcií sínus a kosínus

Obr. 3.16. Grafy funkcií tangens a kotangens

Základné hodnoty goniometrických funkcií sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.

Tab. 3.1. Základné hodnoty funkcií sínus a kosínus.

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

Medzi jednotlivými goniometrickými funkciami platia nasledujúce vzťahy:

(

) (

)

59

Ku goniometrickým funkciám existujú inverzné funkcie (tzv. cyklometrické funkcie) vo

vybraných intervaloch, v ktorých sú goniometrické funkcie rýdzo monotónne (prosté). Tieto

intervaly boli zvolené tak, aby zahŕňali 1. kvadrant (

)

Tab. 3.2. Intervaly, na ktorých sú definované cyklometrické funkcie k trigonometrickým

funkciám

Funkcia Inverzná funkcia Symbol36

⟨

⟩ ⟨ ⟩ arkusínus 37 ⟨ ⟩ ⟨

⟩

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ arkuskosínus ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

arkustangens

arkuskotangens

Obr. 3.17. Grafy funkcií arkussínus a arkuskosínus

36 Predpona arc je skratkou slova arcus, ktoré znamená oblúk. 37 V literatúre sa niekedy používa namiesto aj trochu zavádzajúce označenie . Podobný spôsob označenia sa

používa aj pre ostatné cyklometrické funkcie.

60

Grafy cyklometrických funkcií sú znázornené na obr. 3.17. a obr. 3.18. Funkcie

a sú rastúce a funkcie a sú klesajúce. Funkcie a sú nepárne.

Obr. 3.18 Grafy funkcií arkustangens a arkuskotangens

Medzi jednotlivými cyklometrickými funkciami platia nasledujúce jednoduché vzťahy:

Medzi goniometrickými a cyklometrickými funkciami platia tieto jednoduché vzťahy:

√

√

√ √

√

√

√

√

√

Vybrané hodnoty cyklometrických funkcií sú uvedené v tab. 3.3.

61

Tab. 3.3. Vybrané hodnoty cyklometrických funkcií

Funkcia √ √

⟨ ⟩

⟨ ⟩

Funkcia √ √

Príklad. Vyriešte rovnicu: .

Pri riešení použijeme nasledovné vzťahy: a

a obr. 3.15.

(

),

Výsledok:

Príklad. Vyriešte rovnicu .

Pri riešení použijeme vzťah:

substitúcia:

Výsledok:

a)

(

) (

)

,

b) (

)

,

62

Príklad. Vyriešte rovnicu: √ .

⟨ ⟩ a ⟨ ⟩ preto a , čo je splnené pre

⟩

Pri riešení použijeme vzťah: √

√

√ √

Výsledok:

a) ⟩ nemá riešenie

b) √ {

⟩ riešenie: √



12. Z. Došlá: Matematika pro chemiky 1, Masarykova Universita, Brno, 2010.

13. J. Eliáš, J. Horváth, J. Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky, I – IV., Bratislava,

Alfa, 1989.

14. M. Jasem, Ľ. Horanská: Matematika I. Zbierka úloh, STU, Bratislava, 2010.

15. D. L. Stancl, M. L. Stancl: Calculus for Management and the Life and Social

Sciences, 2nd

ed., R. D. Irwin, Boston, MA, 1990.

16. M. Šabo: Matematika I, STU, Bratislava, 2009.

17. J. Zeman: Matematika pre farmaceutov, UK, Bratislava, 1989.

63

Cvičenia 3

3.1. Nájdite prirodzený definičný obor funkcie

√ .

3.2. Zistite, či funkcia

je párna alebo nepárna.

3.3. Určte, či funkcia je periodická a nájdite jej periódu .

3.4. Nájdite inverzné funkcie k funkciám:

a .

3.5. Nájdite zloženú funkciu , ktorá vznikne kompozíciou reálnych funkcií a , keď

a .

3.6. Nájdite rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom so súradnicami a s osou

zviera uhol (

)

3.7. Nájdite reálne korene algebraickej rovnice: .

3.8. Rozložte racionálnu funkciu na parciálne zlomky:

.

3.9. Vyriešte logaritmickú rovnicu: kde .

3.10. Vyriešte goniometrickú rovnicu:

.

64

Riešenia 3

3.1. Definičný obor funkcie

√ , nájdeme ako interval , pre ktorý sú

definované aritmetické operácie delenie a druhá odmocnina: √ a zároveň

. Ľahko zistíme, že

3.2. Funkcia

, nie je párna ani nepárna, pretože:

3.3. Hľadáme také číslo , aby pre každé funkcie platilo:

. Vieme, že funkcia sínus je periodická s periódou , teda platí:

z čoho dostávame:

.

Obr. 3.19. Grafy funkcie

3.4. Postup hľadania inverznej funkcie spočíva v zámene závisle a nezávisle premennej a

vyjadrení Teda:

potom

alebo

potom

3.5. Definičný obor funkcie je a . Druhá funkcia

má a . Kompozíciu funkcií na

definičnom obore nájdeme tak, že budeme hľadať funkciu , ktorá

vznikne spojením vonkajšej funkcie a vnútornej funkcie

ako: .

65

3.6. Rovnica priamky so smernicou ktorá prechádza bodom so súradnicami bude

mať tvar: – – , v našom prípade: .

Keďže , po úprave dostaneme rovnicu: .

3.7. Riešenie algebraickej rovnice: nájdeme pomocou série

nasledovných úprav:

Táto rovnica je splnená, ak sa ktorýkoľvek z jej členov rovná nule:

3.8. Racionálna funkcia:

nie je rýdzo racionálna, preto

vydelíme čitateľa menovateľom:

Výsledná funkcia je súčtom polynómu 2. stupňa a rýdzo racionálnej funkcie, ktorú už

môžeme rozložiť na parciálne zlomky. Rozklad hľadáme v tvare:

odkiaľ:

Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách x dostaneme:

a

Z týchto 2 rovníc dostaneme riešenie: a

Teda:

66

3.9. Logaritmickú rovnicu najprv prevedieme na exponenciálnu:

substitúcia:

Riešenie:

3.10. Riešenie goniometrickej rovnice:

,

, hľadáme úpravami na jednoduchší tvar:

substitúcia:

Riešenie:

a

,

67

4. Lineárna algebra

4.1. Vektory

Pri štúdiu prírodných vied sa stretávame jednak s fyzikálnymi veličinami, ktoré sú úplne

určené jediným číselným údajom (tzv. skalárne veličiny, ako napr. teplota, tlak, hustota, ...) a

tiež s veličinami, ktoré sú plne určené až viacerými číselnými údajmi. Napríklad veličiny ako

sila, rýchlosť alebo dipólový moment a pod. na svoje presné určenie potrebujú definovať

veľkosť a smer. Veličiny, ktoré sú jednoznačne určené skupinou n čísel (usporiadanou n-

ticou) s definovaným počtom a poradím údajov, nazývame vektorové veličiny (n-rozmerné

vektory). Údaje (čísla) v tejto skupine (n-tici) nazývame súradnicami vektora, ich počet určuje

rozmer vektora.

Definícia. Usporiadanú n-ticu reálnych čísel nazývame n-rozmerným

vektorom (skrátene vektorom). Čísla nazývame súradnice vektora. Množinu

takýchto vektorov s reálnymi súradnicami budeme značiť .

Z vyššie uvedenej definície vektora vyplýva, že vektory a

sa rovnajú práve vtedy, keď majú rovnaký rozmer (n) a pre ich súradnice platí:

.

Dvojrozmerné alebo trojrozmerné vektory (dané usporiadanou dvojicou alebo trojicou)

môžeme geometricky reprezentovať v Euklidovom priestore38

ako orientovanú úsečku, ktorá

je určená len svojou dĺžkou, smerom a orientáciou, nezáleží však na jej umiestnení. Teda

všetky úsečky znázornené na obr. 4.1. (a aj mnohé ďalšie) predstavujú ten istý vektor.

Súradnice vektora sú súradnice jeho koncového bodu v takom umiestnení vektora, keď

začiatočný bod je zhodný s počiatkom súradnicovej sústavy.

38 Starogrécky matematik Euklides z Alexandrie (približne 365-300 p.n.l.) položil základy geometrie v rovine

a v trojrozmernom priestore, ktoré boli dôsledne sformulované pomocou axióm a postulátov. Euklidov metrický priestor

pozostáva z bodov (usporiadaných trojíc) a ich podmnožín (útvarov ako sú body, priamky a roviny), pre ktoré platia

pravidlá pre výpočet vzdialeností, uhlov zvieraných priamkami a rovinami, a pod., definované pomocou piatich axióm.

Euklidova geometria a Euklidov priestor opisujú vlastnosti trojrozmerného priestoru, ktoré poznáme z našej každodennej

skúsenosti.

68

Obr. 4.1 Tri umiestnenia vektora so súradnicami . Je dobré si uvedomiť, že tri

zobrazené orientované úsečky, ktoré majú zhodnú dĺžku, smer aj orientáciu,

predstavujú tri rôzne umiestnenia toho istého vektora.

Vektor, ktorý je umiestnený tak, že jeho začiatok leží v bode a koniec v

bode bude mať súradnice . Dĺžka

vektora sa počíta ako vzdialenosť koncového a počiatočného bodu vektora [3.3.]:

| | √ [4.1.]

Polohovým vektorom bodu rozumieme vektor , kde bod

predstavuje počiatok súradnicovej sústavy. Vo fyzike predstavuje polohový vektor (alebo

rádiusvektor) spojnicu počiatku súradnicovej sústavy a hmotného bodu (s orientáciou

smerujúcou od počiatku ku hmotnému bodu), je to vektor viazaný na nemennú polohu

počiatku. Polohový vektor slúži na opis polohy hmotného bodu (prípadne telesa), pretože

pohyb hmotného bodu (trajektóriu pohybu) môžeme opísať ako zmenu polohového vektora v

čase.

Jednotkový vektor je každý vektor, ktorého dĺžka je rovná 1. Pre 3-rozmerné vektory v

3-rozmernom priestore jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi x označujeme

, jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi y označujeme

a jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi z označujeme , obr. 4.2

a 4.3.

Definícia. Súčtom vektorov a (rovnakého rozmeru)

nazývame vektor (obr. 4.2):

.

Násobkom vektora reálnym číslom k nazývame vektor:

69

Obr. 4.2. Grafické znázornenie sčítania vektorov pomocou uhlopriečky rovnobežníka so stranami

tvorenými vektormi a : . Uhol, ktorý zvierajú

vektory a , označíme .

Poznámka. Nulovým n-rozmerným vektorom nazývame vektor: a vektorom

opačným k vektoru nazývame vektor: . Z

predchádzajúcej definície je zrejmé, že sčítanie vektorov je komutatívne, t. j. pre všetky

R n platí: a zároveň asociatívne, t. j. pre :

. Pomocou operácií sčítania vektorov a násobenia vektora číslom môžeme tiež

definovať rozdiel vektorov rovnakého rozmeru:

. Je zrejmé, že bude tiež platiť: a .

Príklad. Nech vektor a . Vypočítajte vektor .

Definícia. Nech sú n-rozmerné vektory a čísla sú reálne

čísla, potom vektor:

[4.2.]

nazývame lineárnou kombináciou vektorov a čísla nazývame

koeficientmi lineárnej kombinácie.

Ak pre koeficienty platí: , potom takúto lineárnu kombináciu

nazývame triviálnou. Ak aspoň jeden z koeficientov je rôzny od nuly, potom ide

o netriviálnu lineárnu kombináciu. Výsledkom triviálnej lineárnej kombinácie ľubovoľných

x

70

vektorov je nulový vektor . Na druhej strane nulový vektor môže byť

výsledkom aj netriviálnej lineárnej kombinácie vektorov, napríklad, ak

potom,

.

Definícia. Vektory sa nazývajú lineárne závislými vektormi, ak aspoň jeden

z nich je lineárnou kombináciou ostatných vektorov. V opačnom prípade sa nazývajú lineárne

nezávislé.

Dva (nenulové) vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď prvý je násobkom druhého. Ak

do lineárne závislej sústavy vektorov pridáme ďalší vektor, dostaneme zase lineárne závislú

zostavu.

Príklad. Vektory sú navzájom

lineárne závislé, pretože platí: .

Ako zistíme, či dva alebo viac vektorov je navzájom lineárne závislých, nám hovorí

nasledujúca veta.

Veta. Vektory sú lineárne závislé vtedy a len vtedy, keď existuje netriviálna

kombinácia vektorov, ktorá sa rovná nulovému vektoru:

[4.3.]

To znamená, že vektory sú lineárne nezávislé vtedy a len vtedy, ak existuje iba

triviálna kombinácia vektorov, ktorá sa rovná nulovému vektoru:

Príklad. Ukážte pomocou predchádzajúcej vety, že 4 nasledujúce 4-rozmerné vektory sú

lineárne nezávislé:

Hľadáme teda koeficienty také, že: alebo

Porovnaním prvých súradníc: dostaneme: . Podobne,

porovnaním ďalších súradníc dostaneme: , , . Teda nulový vektor

71

dostaneme len triviálnou lineárnou kombináciou vektorov . Preto sú tieto vektory

lineárne nezávislé.

Z predchádzajúceho príkladu je zjavné, že v 4-rozmernom priestore môžeme nájsť 4

nezávislé vektory, ako napr. . Je tiež očividné, že každý 4-rozmerný vektor

môžeme napísať ako ich lineárnu kombináciu:

[4.4.]

Dá sa dokázať, že ľubovoľný n-rozmerný vektor možno vyjadriť pomocou lineárnej

kombinácie n akýchkoľvek lineárne nezávislých vektorov. Akým postupom vieme zistiť, či je

vektor lineárnou kombináciu vektorov ,

, ..., ? Hľadáme také koeficienty

, pre ktoré platí: alebo po rozpísaní do

jednotlivých súradníc:

[4.5.]

... ... ... ...

Riešením sústavy lineárnych rovníc [4.5.] dostaneme výsledok: neznámych koeficientov

.39

Vektor bude predstavovať lineárnu kombináciu vektorov

práve vtedy, keď sústava [4.5.] bude mať riešenie.

Príklad. Dokážte, že vektory: , , ,

sú lineárne nezávislé, a ukážte, že vektor je lineárnou

kombináciou vektorov . Budeme teda hľadať také koeficienty , aby

platilo:

alebo:

Porovnaním štvrtých súradníc dostaneme: a teda: .

Podobne porovnaním ostatných súradníc dostaneme: . Nulový

vektor dostaneme len triviálnou kombináciou vektorov , čo znamená, že tieto

vektory sú lineárne nezávislé.

39 V nasledujúcej časti 3.2.1. sa dozvieme, ako treba postupovať pri riešení sústavy lineárnych rovníc.

72

Ďalej budeme hľadať koeficienty lineárnej kombinácie také, aby platilo:

alebo:

Porovnaním jednotlivých súradníc, podobne ako v predchádzajúcom výpočte, vypočítame

príslušné hodnoty koeficientov:

.

Podobne sa dá dokázať, že vektorový priestor40

obsahuje lineárne nezávislých

vektorov a každý ďalší vektor je ich lineárnou kombináciou. Preto každá sústava vektorov,

kde , je lineárne závislá. Sústava lineárne nezávislých vektorov v priestore tvorí

bázu vektorového priestoru, pomocou ktorej môžeme vyjadriť iné vektory. Je výhodné zvoliť

si za bázu vektorového priestoru jednotkové vektory v smere osí súradnicového systému

(napr. v priestore ). V tomto vyjadrení sú koeficienty kombinácie zhodné so

súradnicami vektora, teda platí vzťah [4.4.]. Napríklad sústava vektorov z

predchádzajúceho príkladu predstavuje bázu pre .

Pre vektory sú definované dve operácie násobenia: skalárny a vektorový súčin, s ktorými

sa bežne stretneme v prírodných vedách.

Definícia. Skalárnym súčinom vektorov a

nazývame číslo (skalár):

[4.6.]

kde a predstavujú dĺžky vektorov a (vzťah [4.1.] )a je uhol zovretý vektormi a

, (obr. 4.2).

Uhol dvoch vektorov a , ktorých súradnice sú známe: ,

vypočítame pomocou výrazu:

√

√

[4.7.]

Z definície skalárneho súčinu a vlastností funkcie kosínus vyplýva:

40 Pod vektorovým priestorom všeobecne rozumieme množinu, na ktorej sú definované operácie sčítania prvkov a násobenia

prvku reálnym číslom, uzavretú vzhľadom na tieto operácie, ktoré zároveň spĺňajú nasledujúce vlastnosti: komutatívnosť a

asociatívnosť sčítania, existencia nulového a opačného prvku pre sčítanie, asociatívnosť násobenia, distributívnosť násobenia

vzhľadom na sčítanie, distributívnosť sčítania vzhľadom na násobenie a existencia jednotkového prvku vzhľadom na násobe-

nie. Prvkami vektorového priestoru môžu byť aj iné matematické štruktúry ako usporiadané -tice ( -rozmerné vektory).

73

ak vektory a zvierajú ostrý uhol ⟨

)

ak vektory a zvierajú pravý uhol

,

ak vektory a zvierajú tupý uhol (

)

Príklad. Vypočítajte uhol vektorov a ak a .

Dosadením do vzorca [4.7.] dostaneme:

√ √

√ √ a uhol

Definícia. Vektorovým súčinom dvoch 3-rozmerných vektorov a

je vektor , ktorý je určený takto:

veľkosť: je rovná ploche P rovnobežníka s hranami

a (obr. 4.3.)

smer je kolmý na smery oboch vektorov a

a je orientovaný tak, že usporiadaná trojica vektorov tvorí pravotočivú

súradnú sústavu41

(obr. 4.3. A):

|

| [4.8.]

Výsledný vektor bude mať súradnice42

:

Príklad. Máme 3 body v priestore dané súradnicami: , a .

Vypočítajte vektorový súčin . Vektory a

vynásobíme podľa pravidla [4.8.]:

|

|

41 Orientáciu výsledného vektora môžeme určiť podľa pravidla pravej ruky: ak sú vektory a znázornené ukazovákom a pro-

stredníkom pravej ruky (t. j. natočenie prvého vektora do smeru druhého vektora po kratšej ceste prebieha proti smeru pohybu

hodinových ručičiek), potom výsledný vektor vektorového súčinu má smer vztýčeného palca pravej ruky. 42 Súradnice vektora sme vypočítali pomocou determinantu matice (útvaru štvorcového tvaru vo vzťahu [4.8])

a Sarrusovho pravidla pre výpočet determinantu. Tieto pojmy a postupy sú vysvetlené v nasledujúcej časti 3.3.

74

A B

Obr. 4.3 Grafické znázornenie vektorového súčinu vektorov (A) a (B)

v trojrozmernom priestore . sú jednotkové vektory (s dĺžkou rovnou ) v smere

osí , a karteziánskeho súradnicového systému alebo bázické vektory v .

Vektory a ležia v rovine a zvierajú uhol .

4.2. Matice

4.2.1. Sústavy lineárnych rovníc

Definícia. Sústavou m lineárnych rovníc o n neznámych nazývame nasledujúcu schému:

[4.9.]

kde sú (reálne) neznáme, sú zadané reálne koeficienty (čísla) a sú pravé

strany jednotlivých rovníc; , ( ).

Riešením sústavy rovníc [4.9.] nazveme každú usporiadanú n-ticu reálnych čísel

takú, že po dosadení čísel namiesto neznámych budú

všetky rovnice sústavy splnené. Vyriešiť sústavu rovníc teda znamená nájsť všetky jej

riešenia.

x

y

75

Najjednoduchším typom sústavy lineárnych rovníc je sústava dvoch rovníc o dvoch

neznámych:

s neznámymi x a y, (reálnymi) koeficientmi a a pravými stranami a . Túto sústavu

rovníc riešime napr. dosadzovacou metódou, t. j. vyjadrením jednej premennej z prvej

rovnice, dosadením do rovnice druhej (čím vylúčime prvú neznámu), vypočítaním druhej, s

pomocou ktorej určíme aj prvú premennú. Obdobný postup využíva sčítavacia metóda, pri

ktorej využívame sčítanie dvoch rovníc s vylúčením jednej neznámej atď. Riešenie tejto

sústavy môžeme ľahko nájsť aj geometricky, keďže každá z rovníc predstavuje priamku v

rovine

a nájsť riešenie sústavy znamená nájsť ich priesečník.

Dve rôznobežné priamky v rovine majú práve jeden priesečník (sústava má jedno riešenie)

alebo sú priamky rovnobežné, t. j. nemajú priesečník (sústava nemá žiadne riešenie) alebo sú

totožné, t. j. všetky ich body sú priesečníkmi (sústava má nekonečne veľa riešení). Nemôže

teda nastať prípad, kedy by sústava dvoch lineárnych rovníc mala napríklad dve rôzne

riešenia (dva priesečníky dvoch priamok) a pod.

Príklad. Vyriešte sústavu rovníc:

Z prvej rovnice vyjadríme

, dosadením do druhej rovnice:

(

)

úpravou dostaneme: a z toho

. Sústava má teda jedno riešenie: (

).

Všeobecne, sústava rovníc o neznámych, kde má buď žiadne, jedno alebo

nekonečne veľa riešení. Počet existujúcich riešení danej sústavy opisuje Frobeniova veta,

ktorú si bližšie vysvetlíme v nasledujúcej časti o maticiach. Pri hľadaní riešenia sústav

s väčším počtom lineárnych rovníc a neznámych môžeme postupovať obdobne ako

v predchádzajúcom príklade, t. j. redukciou počtu rovníc a elimináciou neznámych v nich.

Tento postup sa nazýva Gaussova elimiácia a predstavuje systematickú formu dosadzovacej

metódy riešenia.

76

4.2.2. Gaussova eliminačná metóda

Princípom Gaussovej eliminácie je prevedenie zadanej sústavy lineárnych rovníc na

sústavu, ktorá má rovnaké riešenie ako pôvodná, ale má jednoduchší tvar, z ktorého môžeme

riešenie ľahko zistiť, prípadne usúdiť, že riešenie neexistuje. Pôvodnú sústavu rovníc sa

elementárnymi úpravami snažíme previesť na sústavu „stupňovitého“ (trojuholníkového)

tvaru, napr.:

[4.10.]

v ktorej hodnotu poslednej neznámej vypočítame priamo (

), dosadíme do

predchádzajúcej rovnice, odkiaľ spočítame hodnotu , ktorú potom spolu s použijeme v

prvej rovnici na výpočet .

Dá sa ukázať, že akúkoľvek sústavu lineárnych rovníc môžeme previesť na inú, ktorá má

rovnaké riešenie, týmito úpravami:

zmenou poradia rovníc v sústave,

vynásobením ľubovoľnej rovnice sústavy reálnym nenulovým číslom (týmto číslom

vynásobíme všetky koeficienty a pravú stranu rovnice),

pripočítaním násobku ľubovoľnej rovnice sústavy k inej rovnici sústavy (sčítame ľavé

aj pravé strany týchto dvoch rovníc).

Pomocou takýchto elementárnych úprav dokážeme previesť každú sústavu lineárnych rovníc

na trojuholníkový tvar.

Príklad. Nájdite riešenie nasledujúcej sústavy lineárnych rovníc Gaussovou eliminačnou

metódou:

Riešenie Gaussovou elimináciou začneme hľadať tak, že prvú rovnicu vynásobíme ,

pripočítame k druhej rovnici a dostaneme:

77

potom prvú rovnicu vynásobenú 3 pripočítame k tretej rovnici, čím dostaneme:

ďalej stačí pripočítať k tretej rovnici dvojnásobok druhej a získame sústavu

v trojuholníkovom tvare s rovnakým riešením, ako pôvodná sústava:

Odtiaľ dostaneme riešenie . Dosadením do druhej rovnice dostaneme

a nakoniec dosadením a do prvej rovnice vypočítame . Jediným riešením

danej sústavy je trojica čísel .

Príklad. Nájdite riešenie sústavy lineárnych rovníc:

Postupnými elementárnymi úpravami zadanej sústavy dostávame:

alebo:

Tretia rovnica tejto sústavy nie je splnená nikdy (nech sú hodnoty a akékoľvek), preto

táto sústava (ani pôvodná sústava) lineárnych rovníc nemá riešenie.

Pre výsledok riešenia sústavy rovníc má teda podstatný význam posledná rovnica sústavy

upravenej do trojuholníkového tvaru. V prípade, že dostaneme rovnicu, ktorá nie je splnená

78

(ako napr. v predchádzajúcom príklade: ), potom sústava nemá riešenie. V opačnom

prípade sústava bude mať riešenie, ktoré bude závisieť od počtu neznámych n a od počtu

rovníc r po úprave sústavy na trojuholníkový tvar (prípadné rovnice tvaru medzi

rovnice nezapočítame). Pre bude existovať práve jedno riešenie uvažovanej sústavy,

pre bude mať sústava nekonečne veľa riešení, prípad nemôže nastať (zo sústavy

rovníc ktorá má riešenie, a ktorá obsahuje viac rovníc ako neznámych, môžeme nadbytočné

rovnice, vzniknuté lineárnou kombináciou ostatných rovníc, vynechať).

Všimnime si, že pri Gaussovej eliminácii upravujeme koeficienty a pravé strany

jednotlivých rovníc, pričom označenie a poradie premenných sa nemení. Preto pri skrátenom

zápise sústavy rovníc môžeme používať len koeficienty premenných a pravé strany rovníc.

Napríklad pre sústavu:

môžeme použiť zjednodušenú schému:

|

[4.11.]

ktorú, ako ukážeme neskôr, nazývame rozšírenou maticou sústavy lineárnych rovníc.

4.2.3. Matice

V predchádzajúcej časti sme koeficienty sústavy lineárnych rovníc usporiadali do schémy

pozostávajúcej z riadkov a stĺpcov, ktorej hovoríme matica.

Definícia. Maticou typu budeme nazývať objekt (tabuľku) tvorený reálnymi

číslami (prvkami matice ), usporiadanými do m riadkov a n stĺpcov ( ):

(

) ( ) [4.12.]

Maticu typu nazývame stĺpcový vektor a maticu typu nazývame riadkový vektor.

Maticový prvok (reálne číslo) znamená, že dané číslo sa nachádza v i-tom riadku a j-

tom stĺpci matice . Prvky matice nazývame prvkami hlavnej diagonály

79

(uhlopriečky). V prípade, že hlavná diagonála sa nekončí v pravom dolnom rohu

matice. Matici, pre ktorú platí hovoríme štvorcová matica; štvorcovej matici typu

hovoríme aj matica n-tého poriadku. Matici, ktorá má pod hlavnou diagonálou len

nulové prvky ( )43

hovoríme

(horná) trojuholníková matica. Nulovou maticou nazývame maticu, ktorej všetky prvky sa

rovnajú nule. Diagonálna matica je taká, ktorej všetky prvky, ktoré neležia na hlavnej

diagonále, sa rovnajú nule. Jednotková matica je štvorcová diagonálna matica, ktorej všetky

diagonálne prvky sa rovnajú jednej.

Príklad. Obdĺžniková matica typu : (

)

Jednotková matica typu 33: (

)

Trojuholníková matica typu 43: (

)

Diagonálna matica typu 22: (

)

Nulová matica typu 33: (

)

Definícia. Matice a sa rovnajú, ak sú rovnakého typu a zároveň

platí pre všetky hodnoty indexov a .

Podobne ako vektory rovnakého rozmeru aj matice rovnakého typu tvoria lineárny

vektorový priestor, v ktorom sú definované operácie sčítania matíc a násobenia matíc reálnym

číslom. Tieto operácie sú definované v nasledujúcom odseku.

Definícia. Nech matice a sú rovnakého typu a je reálne číslo

. Matica C je k-násobkom matice , , ak platí: pre všetky hodnoty

indexov a : 43 Medzi riadkový index a stĺpcový index maticového prvku píšeme čiarku len ak si to vyžaduje zrozumiteľnosť. Napr.

prvok je prvok matice, ktorý leží v 11. riadku a 4. stĺpci matice.

80

(

) (

) [4.13.]

Definícia. Nech matice , a sú rovnakého typu .

Hovoríme, že matica je súčtom matíc a , , ak platí: pre

všetky hodnoty indexov i a j:

(

) (

) (

)

[4.14.]

Spočítavať môžeme len matice rovnakého typu (pre matice rôznych typov nie je

sčítanie definované). Rozdiel matíc môžeme definovať ako: – .

Príklad. Vypočítajte súčet dvoch matíc typu 3 3: (

), (

)

Súčet matíc A a B uskutočníme podľa definície [4.14.] ako:

(

) (

) (

)

Príklad. Vypočítajte rozdiel dvoch matíc ak:

(

) a (

)

Potom:

(

) (

) (

)

(

)

81

Definícia. Nech matica je typu a matica je typu .

Hovoríme, že matica typu je súčinom matíc a , , ak pre všetky hodnoty

indexov a platí:

∑ [4.15.]

Prvok teda vznikne tak, že vezmeme i-ty riadok matice a j-ty stĺpec matice ,

vynásobíme zodpovedajúce prvky a sčítame: , teda

každý prvok matice vypočítame ako skalárny súčin i-teho riadku matice a j-teho

stĺpca matice .

A: B: C:

( ) ( ) ( )

i-ty riadok j-ty stĺpec prvok

Obr. 4.4. Násobenie matíc . Prvok je skalárnym súčinom i-teho riadku prvej matice

a j-teho stĺpca druhej matice.

Násobiť môžeme štvorcové matice rovnakého typu ale aj matice, ktoré majú aspoň

jeden rozmer rovnaký ( ). Výsledná matica násobenia je typu .

Pripomíname, že aj z tohto dôvodu nie je násobenie matíc komutatívne, t. j. všeobecne platí:

(keďže súčin nemusí byť vôbec definovaný, hoci existuje). Na druhej

strane násobenie matíc je asociatívne a distributívne vzhľadom na sčítanie:

za podmienky, že dané operácie sčítania a násobenia možno vykonať. Výsledkom násobenia

matice nulovou maticou je vždy len nulová matica a výsledkom sčítania matice s nulovou

maticou je pôvodná matica. Jednotkové matice majú tú vlastnosť, že výslednom násobenia

jednotkovou maticou je pôvodná matica, teda ak je matica typu , potom

, napríklad:

pre (

)

(

) (

) (

)

82

(

) (

) (

)

Príklad. Vypočítajte súčin dvoch matíc: (

) a (

)

Súčin matíc a uskutočníme podľa definície [4.15.]:

(

) (

)

(

) (

)

Definícia. Nech matica

(

) je typu , matica (

) typu

sa nazýva matica transponovaná k matici . Transponovaná matica vznikne z danej

matice tak, že riadky pôvodnej matice napíšeme ako stĺpce transponovanej matice (v rovnakom

poradí). Táto operácia súvisí so sčítaním a násobením matíc nasledovne:

Príklad. Nájdite transponovanú maticu k matici (

). (

).

V súvislosti s operáciou násobenia matíc sa vynára otázka, či je matice možné aj deliť.

V ďalšom texte ukážeme, že za určitých podmienok je možné vypočítať ‘podiel‘ , kde

matica je inverzná matica k matici .

Definícia. Majme štvorcovú maticu typu . Maticu nazývame inverznou maticou

k matici vtedy, ak platí: . Inverznú maticu označujeme ako . Teda platí:

[4.16.]

kde je jednotková matica typu .

83

Inverzné matice teda existujú len pre štvorcové matice typu a dá sa dokázať, že ak

existuje inverzná matica , potom platí: a .

Ukážeme si teraz na príklade, ako sa dá vypočítať inverzná matica. Neskôr zistíme, že

inverzná matica neexistuje ku každej jednotlivej matici a ukážeme si tiež inú pomerne

jednoduchú metódu na jej výpočet.

Príklad. Nájdite inverznú maticu k matici: (

).

Hľadáme maticu (

) takú, že platí:

(

) (

) (

).

Rozpísaním násobenia na maticové prvky podľa [4.15.] dostaneme 4 lineárne rovnice o 4

neznámych, ktoré riešime napr. Gaussovou eliminačnou metódou (4.2.2.):

riešením ktorých dostaneme inverznú maticu: (

). Vynásobením sa presvedčíme,

že: (

).

Praktickým postupom na hľadanie inverznej matice je nasledujúci algoritmus:

danú maticu prevedieme pomocou série ekvivalentných úprav (pozri časť Hodnosť

matice) na jednotkovú maticu ,

rovnaké úpravy ako v matici zároveň aplikujeme na jednotkovú maticu , ktorú týmto

postupom prevedieme na inverznú maticu .

4.2.4. Hodnosť matice

Ako sme už predtým naznačili, sústavu lineárnych rovníc môžeme zapísať pomocou

zjednodušenej schémy [4.11.]. Opačne, na maticu typu sa môžeme pozerať ako na

sústavu, ktorá obsahuje riadkov, z ktorých každý je tvorený n-rozmerným riadkovým

84

vektorom patriacim do , pričom súradnice tohto vektora

predstavujú koeficienty lineárnej rovnice s premennými. Medzi riadkami matice

(lineárnymi rovnicami sústavy) sa môžu nachádzať aj také rovnice, ktoré sú lineárnymi

kombináciami iných rovníc, a preto sú pre vyriešenie sústavy nadbytočné. Zavedieme pojem

hodnosť matice, ktorý určuje počet nezávislých riadkov matice (t. j. nezávislých rovníc

v sústave, ktorú matica reprezentuje).

Definícia. Maximálny počet lineárne nezávislých riadkov matice nazývame hodnosť

matice a značíme

Hodnosť nulovej matice je rovná nule. Dá sa dokázať, že: , z čoho vyplýva, že

hodnosť matice je zároveň aj maximálny počet lineárne nezávislých stĺpcov, a pre každú

maticu typu platí: .44 Teda hodnosť matice nemôže prevýšiť počet

riadkov ani počet stĺpcov matice.

Ak matice a majú rovnaké hodnosti, potom ide o ekvivalentné matice, čo označujeme

. Určiť hodnosť matice nie je vždy triviálne, ak je však daná matica v trojuholníkovom

tvare, výpočet je pomerne jednoduchý, ako ukazuje nasledujúca veta, ktorú uvádzame bez

dôkazu.

Veta. Hodnosť trojuholníkovej matice sa rovná počtu jej nenulových riadkov.

Príklad. Nájdite hodnosť matíc (

) a (

) a porovnajte.

Keďže riadky matice sú podľa [3.3.] lineárne nezávislé, platí . Podobne

pretože 3. riadok matice je súčet (lineárna kombinácia) 1. a 2. riadku. Platí teda a sú

ekvivalentné: .

Príklad. Určte hodnosť matice: (

)

Matica je trojuholníková (má nuly pod hlavnou diagonálou). Porovnaním súradníc

dostaneme vektorovú rovnicu:

ktorú môžeme rozpísať na sústavu 4 lineárnych rovníc, pre každú súradnicu vektora. Sústava

má jedno riešenie: , čo znamená, že riadky matice sú lineárne nezávislé

a

44 Funkcia min{A} vyberie najmenšie číslo z číselnej množiny A; funkcia max{A} vyberie najväčšie číslo z A.

85

Spôsob, akým môžeme ku každej nenulovej matici nájsť ekvivalentnú trojuholníkovú

maticu a určiť jej hodnosť, opisuje nasledujúca veta (postup je analogický ako pri

ekvivalentných úpravách lineárnych rovníc v Gaussovej eliminačnej metóde):

Veta. Ak vytvoríme maticu z matice pomocou nasledujúcich riadkových ekvivalentných

úprav:

vzájomná výmena dvoch riadkov,

vynásobenie riadku nenulovým reálnym číslom,

vynechanie riadku, ktorý je lineárnou kombináciou ostatných riadkov,

pripočítanie násobku riadku k inému riadku (pričom pod pričítaním riadku rozumieme

súčet riadkových vektorov),

potom matice a budú mať rovnakú hodnosť (budú ekvivalentné ).

Príklad. Nájdite hodnosť matice: (

)

Maticu začneme upravovať tak, aby sme dostali nuly v 1. stĺpci pod hlavnou diagonálou.

K tretiemu riadku pripočítame dvojnásobok 1. riadku a od 4. riadku odpočítame 1. riadok.

Tieto kroky pre jednoduchosť zapíšeme takto: (kde napr. znamená 3.

riadok a značí 3. riadok po úprave) a –

(

) (

)

Po úprave sa 4. riadok rovná 2. riadku, čo znamená, že napr. 4. riadok môžeme ako lineárnu

kombináciu ostatných riadkov (druhého riadku) vynechať (nesmieme vynechať obidva riadky).

V ďalšom kroku teda vynecháme 4. riadok. S úpravami pokračujeme tak, aby sme získali nulu

aj v druhom stĺpci pod hlavnou diagonálou. Túto nulu pod diagonálou vyrobíme tak, že od 3.

riadku odpočítame trojnásobok 2. riadku: (všimnime si, že na úpravu 3.

riadku nie je vhodné použiť 1. riadok, pretože by sme stratili 0 v prvom stĺpci 3. riadku)

(

) (

) (

)

Dostali sme trojuholníkovú maticu, ktorá je ekvivalentná s pôvodnou maticou, má 3 nenulové

riadky a hodnosť .

86

Pomocou hodnosti matice môžeme zisťovať, či je sústava vektorov lineárne závislá alebo

nie. Z vektorov zostavíme maticu a jej hodnosť porovnáme s počtom vektorov. Ak sa rovnajú,

potom sú vektory lineárne nezávislé.

4.2.5. Sústavy lineárnych rovníc

Sústavu m lineárnych rovníc s n neznámymi:

[4.17.]

môžeme prepísať pomocou matice koeficientov (matica sústavy), stĺpcového vektora

neznámych (matice neznámych typu ) a stĺpcového vektora pravých strán (matice

pravých strán sústavy typu ) v tzv. maticovom tvare:

[4.18.]

kde:

(

) (

) (

)

Ak (0 je nulový vektor, t. j. pravá strana sústavy obsahuje aspoň jeden nenulový prvok

bi), potom sa sústava nazýva nehomogénnou sústavou; ak je (na pravej strane rovníc

sústavy sa nachádzajú samé nuly), potom sa sústava nazýva homogénnou sústavou rovníc.

Riešením sústavy je usporiadaná n-tica (stĺpcový vektor): taká, že:

(pripomíname, že transponovaný stĺpcový vektor tvorí riadkový vektor).

Rozšírenou maticou systému [4.17.] nazveme maticu, ktorá vznikne spojením matice

sústavy a vektora pravých strán do jednej matice typu

(

|

)

v ktorej posledný stĺpec zvyčajne oddeľujeme zvislou čiarou.

87

Ako sme už uviedli v kapitole 4.2.1. sústava lineárnych rovníc môže mať žiadne, jediné alebo

nekonečne veľa riešení. Podmienku, pri splnení ktorej existuje riešenie sústavy lineárnych

rovníc, udáva nasledujúca Frobeniova veta.45

Veta. (Frobeniova veta) Sústava lineárnych rovníc má riešenie vtedy a len vtedy, ak je

hodnosť matice systému rovná hodnosti rozšírenej matice systému:

Frobeniova veta nepodáva návod na riešenie sústavy, jej použitím však možno ukázať, že platí:

ak potom sústava nemá riešenie,

ak kde je počet neznámych, potom má sústava práve jedno riešenie,

ak potom má sústava nekonečne veľa riešení (neznáme až , kde

– , môžeme voliť ľubovoľne).

Prípad nastať nemôže, pretože hodnosť matice nemôže byť väčšia ako

počet jej stĺpcov, ktorý sa rovná počtu neznámych v sústave. Sústava nemá riešenie, ak vektor

pravých strán nie je lineárnou kombináciou stĺpcových vektorov matice sústavy. V takomto

prípade je totiž hodnosť rozšírenej matice sústavy o jednotku väčšia ako hodnosť matice

sústavy: .

Príklad. Riešte sústavu lineárnych rovníc:

Rozšírená matica sústavy má tvar:

(

|

)

Ekvivalentnými úpravami ju prevedieme na nasledujúci trojuholníkový tvar:

(

|

)

45 Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) bol nemecký matematik, po ktorom je pomenované veľké množstvo

matematických viet a konceptov.

88

Vidíme, že , teda sústava bude mať jedno riešenie. Z posledného riadku

matice vyplýva: a teda . Dosadením do druhej rovnosti:

dostaneme: . Nakoniec z prvého riadku dosadením za a vypočítame: . Sústava

má teda jedno riešenie: .

Na riešenie sústavy lineárnych rovníc zapísanej v tvare rozšírenej matice sústavy môžeme

použiť Gaussovu eliminačnú metódu uvedenú v odseku 3.2.2. Postup riešenia je nasledujúci:

rozšírenú maticu sústavy prevedieme ekvivalentnými riadkovými úpravami na

trojuholníkovú maticu,

trojuholníkovú maticu prepíšeme opäť na sústavu rovníc s pôvodnými neznámymi,

začneme riešiť od poslednej rovnice a pokračujeme spätným dosadzovaním už

vypočítaných neznámych.

Príklad. Riešte nasledovnú sústavu lineárnych rovníc použitím Gaussovej eliminačnej

metódy

Rozšírenú maticu sústavy upravíme ekvivalentnými úpravami na trojuholníkovú maticu:

(

|

) (

|

) (

|

)

Pre sústavu platí: , preto podľa Frobeniovej vety bude mať nekonečne

veľa riešení (sústava má 3 neznáme a len 2 nezávislé rovnice). Riešenie preto budeme hľadať

tak, že poslednú neznámu zvolíme ako: , . Dosadením do druhej rovnice

dostaneme:

a z prvej rovnice:

Sústava má teda nekonečne veľa riešení tvaru:

(

) ]

89

4.3. Determinanty

Definícia. Majme štvorcovú maticu typu s reálnymi prvkami :

(

)

Takejto štvorcovej matici môžeme priradiť určité reálne číslo, ktoré je charakteristické pre danú

maticu, a ktorému hovoríme determinant matice a jeho hodnotu počítame podľa Leibnizovej

formule46

prepísanej do jednoduchšieho tvaru pomocou Levi-Civitovho symbolu47

:

|

| ∑ [4.19.]

kde suma obsahuje 48 sčítancov cez všetky permutácie indexov

súčinov maticových prvkov vynásobených Levi-Civitovym symbolom

, ktorý určuje znamienko danej permutácie indexov.

Namiesto uvádzania podrobností tejto na pohľad zložitej všeobecnej definície, ukážeme si

ako sa dá ľahko aplikovať na štvorcové matice do veľkosti a vypočítame hodnotu

determinantu matice podľa Sarrusovho (krížového) pravidla.49

Definícia. Determinant štvorcovej matice typu je číslo:

|

|

[4.20.]

Pre zapamätanie spôsobu výpočtu determinantu matice môže byť užitočná nasledujúca

schéma:

46 Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) bol významný nemecký matematik a filozof, ktorý položil základy

infinitezimálneho počtu. 47 Tullio Levi-Civita, (1873-1941) bol taliansky matematik, známy svojimi prácami z tenzorového počtu a jeho aplikáciami

v teórii relativity. 48 Symbol ( faktoriál) znamená súčin prvých prirodzených čísel: . Platí: . 49 Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861) bol francúzsky matematik známy najmä svojimi prácami z oblasti lineárnej algebry.

90

|

Obr. 4.5. Schéma zápisu štvorcovej matice typu pre výpočet determinantu pomocou

Sarrusovho pravidla. Za maticu pripíšeme 1. a 2. stĺpec, vytvoríme súčiny trojíc prvkov

umiestnených v smere hlavnej diagonály a sčítame ich. Potom vytvoríme súčiny prvkov

v opačnom smere a odčítame ich od predchádzajúceho súčtu.

Príklad. Vypočítajte determinant matice (

)

Najprv si vytvoríme pomocnú schému pridaním prvých dvoch stĺpcov:

|

a počítame:

Pre počítame hodnotu determinantu takto:

|

|

Vypočítať determinanty matíc štvrtého a vyššieho poriadku pomocou súčtov súčinov by bolo

pomerne komplikované. Preto sa používajú iné postupy, ktoré umožňujú výpočet

determinantov matíc vyššieho poriadku pomocou determinantov poriadku nižšieho.

Uvažujme štvorcovú maticu typu :

(

) ( ),

Označme determinant matice typu , ktorá vznikne z matice

vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca, v ktorom sa nachádza prvok . Takýto

determinant budeme nazývať subdeterminantom matice (minorom matice ) prislúchajúcim

k prvku . Poriadok subdeterminantu bude stupňa – .

Ak zvolíme ľubovoľný k-ty riadok matice ktorého prvkami sú čísla

a k ním prináležiace subdeterminanty , potom pre hodnotu

determinantu matice vypočítanú pomocou rozvoja determinantu podľa k-teho riadku platí:

91

[4.21.]

Výraz v [4.20.] je rovný +1 alebo -1 podľa toho, či je súčet riadkového a stĺpcového

indexu prvku rovný párnemu alebo nepárnemu číslu a sčítancom tvaru dávajú

teda kladné alebo záporné znamienko. Číslo nazývame algebraický

doplnok prvku , výraz [4.21.] môžeme s jeho použitím prepísať do tvaru:

[4.22.]

Vzťah [4.22.] nazývame rozvojom determinantu podľa k-teho riadku. Dá sa dokázať, že

rovnaký výsledok dostaneme aj rozvojom podľa iného riadku alebo stĺpca.

Ak aplikujeme tento postup výpočtu determinantu na determinant tretieho poriadku,

rozvojom podľa prvého riadku dostaneme:

|

|

|

| |

| |

|

čo sa rovná výrazu [4.20.]

Príklad. Vypočítajte determinant matice (

)

Rozvojom podľa tretieho riadku (ktorý obsahuje najväčší počet nulových prvkov) dostaneme:

|

| |

|

Jedným z dôsledkov rozvoja determinantu podľa riadku, alebo stĺpca, v zhode so vzťahom

[4.21.] je, že hodnota determinantu, ktorý má celý riadok alebo stĺpec vytvorený z núl, sa

rovná nule.

Pri determinantoch vyšších poriadkov sa na zjednodušenie ich výpočtu môžu použiť

ekvivalentné úpravy, ktoré sme uviedli pri určovaní hodnosti matíc. Treba pri tom však mať

na pamäti, že:

vzájomnou výmenou poradia dvoch riadkov (stĺpcov) determinantu sa hodnota

determinantu zmení na hodnotu opačnú (z kladnej na zápornú hodnotu, alebo naopak),

92

vynásobenie riadku (stĺpca) determinantu reálnym číslom vedie k rovnakému zvýšeniu

hodnoty celého determinantu,

pripočítaním násobku ľubovoľného riadku (stĺpca) ku ktorémukoľvek riadku (stĺpcu)

determinantu jeho hodnotu nezmení.

Všeobecne platí, ak je jeden riadok (stĺpec) determinantu lineárnou kombináciou ostatných

riadkov (stĺpcov), potom je hodnota determinantu nulová. Toto tvrdenie platí aj opačne, ak je

determinant matice nulový, potom má determinant riadky (stĺpce), ktoré sú lineárne závislými

vektormi. Ak označíme hodnosť štvorcovej matice n-tého poriadku, potom platí:

Rovnosť platí totiž práve vtedy, keď sú riadky (stĺpce) matice lineárne nezávislými

vektormi.

Štvorcové matice, ktorých determinant je rôzny od nuly, sa nazývajú regulárne matice.

Matice, ktorých determinant sa rovná nule sa nazývajú singulárne matice. Pre štvorcové

matice A a B rovnakého poriadku platí: . Súčin regulárnych matíc

je opäť regulárna matica, výsledkom súčinu matíc, z ktorých je jedna singulárna, je singulárna

matica.

4.3.1. Maticové rovnice

Dá sa dokázať, že k štvorcovej matici existuje inverzná matica práve vtedy, keď je

regulárna. Pomocou determinantov možno nájsť k regulárnej matici (pre ktorú platí

) inverznú maticu takto:

[4.23.]

kde je matica algebraických doplnkov k matici . Pripomeňme si, že algebraický doplnok

maticového prvku je definovaný pomocou subdeterminantu ([4.22.]).

Toto tvrdenie nebudeme dokazovať, ale ukážeme jeho platnosť na matici typu :

(

)

Najprv určíme algebraické doplnky k matici ako

,

,

93

Matica algebraických doplnkov k matici a jej transponovaná matica budú mať tvar:

(

) (

)

Inverzná matica má potom tvar:

(

)

Teraz nájdeme súčin :

(

) [

(

)]

(

) (

)

(

) (

)

Ako sme už uviedli v stati 3.2.3., existuje aj praktickejší spôsob hľadania inverznej matice.

Príklad. Nájdite inverznú maticu k matici (

)

Nájdime najprv všetky algebraické doplnky prvkov matice :

|

| |

|

|

| |

|

|

| |

|

|

| |

|

|

|

Teraz vypočítame determinant matice , napr. pomocou Sarrusovho pravidla:

Nakoniec určíme inverznú maticu:

(

)

(

)

94

Majme sústavu m lineárnych rovníc s n neznámymi:

ktorú môžeme zapísať v maticovom tvare:

Riešenie tejto jednoduchej rovnice, ktorá obsahuje matice, môžeme dostať násobením rovnice

inverznou maticou zľava:

[4.24.]

Rovnice, v ktorých neznámou je matica, nazývame maticové rovnice. Na ilustráciu si

uvedieme niekoľko základných typov maticových rovníc:

kde je neznáma matica a sú matice rovnakého typu,

kde je neznáma matica a sú násobiteľné matice,

kde je neznáma matica a sú násobiteľné matice

Maticové rovnice riešime pomocou prípustných úprav tak, aby sme vyjadrili neznámu maticu

v tvare výsledok. Medzi prípustné úpravy maticových rovníc patrí:

vynásobenie obidvoch strán rovnice reálnym číslom,

pripočítanie matice k obidvom stranám rovnice,

vynásobenie obidvoch strán rovnice maticou zľava,

vynásobenie obidvoch strán rovnice maticou sprava,

transponovanie obidvoch strán rovnice,

roznásobenie zátvorky a vyňatie pred zátvorku.

Príklad. Riešte maticovú rovnicu: (

) (

), kde (

)

95

Rovnicu najprv prepíšeme do symbolického tvaru a riešime pomocou vhodných prípustných

úprav:

Vypočítame inverznú maticu:

(

), potom dosadíme jednotlivé matice:

(

) (

) (

)

(

)

4.3.2. Cramerovo pravidlo

Sústavu lineárnych rovníc s neznámymi [4.17.] možno riešiť aj pomocou

determinantov. Všeobecne pre regulárne matice platí: , teda riadky

(stĺpce) matice sú lineárne nezávislými vektormi a sústava lineárnych rovníc zapísaná

v maticovom tvare [4.18.]: , (kde je matica sústavy, je stĺpcový vektor

neznámych a je stĺpcový vektor pravých stán) má jedno riešenie

. Toto riešenie môžeme nájsť pomocou Cramerovho pravidla.

50

Veta. Nech determinant matice [4.17.] je rôzny od nuly. Potom má sústava jediné

riešenie:

(|

|

|

|

| |

)

[4.25.]

kde determinant | | dostaneme tak, že k-ty stĺpec v determinante nahradíme stĺpcovým

vektorom pravých strán rovníc sústavy :

50 Gabriel Cramer (1704-1752) bol švajčiarsky matematik a fyzik.

96

|

| | | |

|

V prípade, že ide o singulárnu maticu (pre ktorú ), Cramerovo pravidlo použiť

nemôžeme. V takomto prípade má sústava buď žiadne alebo nekonečne mnoho riešení, ktoré

môžeme vypočítať napr. pomocou Gaussovej eliminácie. Ak máme homogénnu sústavu

rovníc: , kde O je nulový stĺpcový vektor, potom riešením sústavy je: , tzv.

triviálne riešenie. Ak je regulárna matica, potom iné ako triviálne riešenie sústavy

neexistuje. Ak je singulárna matica, existencia netriviálneho riešenia sa bude preberať

v odseku o vlastných hodnotách a vlastných vektoroch matíc.

Príklad. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Matica sústavy: (

), determinant: je

rôzny od nuly a je regulárna. Sústava bude teda mať jedno riešenie, ktoré vypočítame

pomocou Cramerovho pravidla:

|

|

|

|

|

|

Ako vidíme z predchádzajúceho príkladu, postup je pomerne pracný, pretože na vyriešenie

sústavy rovníc sme potrebovali spočítať 4 determinanty 3. poriadku. Pri použití metódy Gausso-

vej eliminácie by bol počet aritmetických operácií potrebných na vyriešenie sústavy nižší.

97

4.3.3. Vlastné hodnoty a vlastné vektory matíc [5]

Majme štvorcovú maticu n-tého poriadku s reálnymi prvkami. Skúsme hľadať také n-

rozmerné stĺpcové vektory , ktoré sa pri vynásobení maticou budú rovnať samy sebe

alebo svojmu násobku (zobrazia sa sami na seba). Inými slovami, hľadajme netriviálne riešenia

rovnice:

[4.26.]

v ktorej nepoznáme ani stĺpcový vektor , ani číslo . Ak existujú ( je nulový

vektor) a reálne číslo , ktoré rovnici [4.26.] vyhovujú, potom nazveme vlastnou hodnotou

(charakteristickou hodnotou) matice a vlastným vektorom (charakteristickým vektorom)

prislúchajúcim k vlastnej hodnote . Rovnicu [4.26.] nazývame vlastný problém. Riešenie

vlastného problému je jednou z ústredných tém niektorých oblastí prírodných vied, napr.

kvantovej mechaniky.

Ak takýto vlastný vektor existuje, potom aj každý nenulový násobok tohto vektora

, bude tiež vlastným vektorom matice , pretože:

.

Vlastný problém môžeme prepísať do alternatívneho tvaru takto:

kde je jednotková matica n-tého poriadku, keďže: , môžeme písať:

Ak má byť nenulovým vektorom, riešením vlastného problému, potom musí byť matica

singulárna, t. j. musí platiť: . V opačnom prípade by pre regulárnu

maticu existovalo len triviálne riešenie . Podmienka nám

umožňuje hľadať vlastné hodnoty matíc. Matica vznikne z matice tak, že od

všetkých prvkov hlavnej diagonály matice odpočítame vlastnú hodnotu .

Riešiť vlastný problém štvorcovej matice n-tého poriadku teda znamená hľadať korene

polynómu n-tého stupňa (charakteristického polynómu), ktorý dostaneme výpočtom

determinantu :

|

|

98

Pre maticu druhého poriadku to teda znamená riešiť kvadratickú rovnicu, ktorá môže

mať tri rôzne možné riešenia (dva rôzne reálne korene, dvojnásobný reálny koreň, dva

komplexne združené korene):

|

|

Príklad [5].

a) Nech matica je singulárna matica (

). Jej determinant bude mať tvar:

|

|

Riešením charakteristického polynómu dostaneme dve vlastné hodnoty: .

b) Ak matica je jednotková matica (


|

|

Riešením charakteristického polynómu dostaneme jedinú vlastnú hodnotu: .

c) Ak matica (


|

|

Riešením charakteristického polynómu dostaneme jedinú vlastnú hodnotu: .

d) Ak matica (

), determinant bude mať tvar:

|

|

Riešením charakteristického polynómu dostaneme dve vlastné hodnoty: .

e) Ak matica je tretieho poriadku (

), determinant bude mať

tvar: |

|

99

Matica má teda tri vlastné hodnoty: .51

Pozrime sa teraz na vlastný problém z druhej strany a hľadajme vlastné vektory pre

niektoré z matíc, napr. b) a c) z uvedených príkladov. Obidve matice majú jedinú vlastnú

hodnotu (dvojnásobný koreň charakteristických polynómov). Jednotková matica

(

) bude mať ako svoj vlastný vektor patriaci k vlastnej hodnote ľubovoľný

nenulový vektor z , pretože rovnicu:

(

)

spĺňajú všetky vektory .

Na druhej strane pre maticu (

) musí vlastný vektor (

) spĺňať

rovnicu:

(

) (

) (

)

a po rozpísaní na súradnice vektora musí teda spĺňať nasledujúce dve rovnice:

Z prvej rovnice vyplýva, že , zatiaľ čo súradnica môže byť ľubovoľná ( ).

Sústava má tak nekonečne veľa riešení, ktoré môžeme zapísať v tvare: (

) ( ) (

),

kde . Ak zvolíme nenulový faktor rovnajúci sa 1, potom bude mať matica (

)

len jediný vlastný vektor ( ). Tento výsledok sa významne líši od vlastného vektora

predchádzajúcej jednotkovej matice s rovnakou vlastnou hodnotou.

Z uvedených príkladov vyplýva, že riešenie vlastného problému nie je jednoduchá úloha

(najmä pre vyššie poriadky matíc), ktorú komplikuje problém s výpočtom koreňov

charakteristických polynómov (viacnásobné korene, komplexné korene atď.). Preto sa kvôli

jednoduchosti zamerajme len na charakteristické polynómy s reálnymi jednonásobnými

51 Prvý koreň sme „uhádli“ (pozri vetu [2.39]) a ostatné dopočítali po vydelení charakteristického polynómu

koreňovým činiteľom .

100

koreňmi. Matica n-tého poriadku tak bude mať práve n rôznych koreňov, ktoré označíme:

. Pre každú z týchto vlastných hodnôt matice nech existuje práve jeden vlastný

vektor. Množina takýchto vlastných vektorov je zároveň aj lineárne nezávislá

a tvorí bázu vektorového priestoru . Tieto vektory potom hľadáme ako riešenia maticových

rovníc: alebo

Príklad [5]. Nájdite vlastné vektory matice (

) ktorej vlastné hodnoty

sme vypočítali v predchádzajúcom príklade ako: .

Počítajme vlastný vektor pre . Dosadením dostaneme maticu:

(

)

Vytvorme rozšírenú maticu sústavy pre homogénnu sústavu :

(

|

)

Po úprave: dostaneme maticu s dvoma lineárne závislými riadkami:

(

|

)

Odtiaľ pre vektor (

) vyplýva: a . Položme , , a

. Vlastný vektor potom môžeme písať ako: (

) (

), .

Podobným postupom dostaneme pre vlastný vektor: (

), . A pre

vlastný vektor: (

), .

Na kontrolu výpočtu urobíme skúšku správnosti. Napríklad pre a (

)

zvolíme tak, aby sme dostali čo najjednoduchšie riešenie: (

). Dosadíme

vlastnú hodnotu a vlastný vektor do vlastného problému pre maticu :

101

(

) (

) (

)

(

) (

)

Dôležité je tiež overiť, že matica je singulárna matica (podmienka existencie

netriviálnych riešení: ), o čom sa ľahko presvedčíme už počas výpočtu pri úpravách

tejto matice na trojuholníkový tvar, kde sme pre každú z vlastných hodnôt dostali hodnosť

trojuholníkovej matice .


11. F. Ayres, Jr., E. Mendelson: Differential and Integral Calculus, 3rd

ed., Schaum’s

Outline Series, McGraw-Hill, New York, 1990.


13. L. D. Hoffmann, G. L. Bradley: Applied Calculus for Business, Economics, and the

Social and Life Sciences, 9th ed., McGraw-Hill, New York, NY, 2007.

14. P. Klemera: Aplikovaná matematika, Karolinum, Praha, 2011.

15. V. Kotvalt: Základy matematiky pro přírodovědné obory, Karolinum, Praha, 2011.


Sciences, 2nd




19. P. Zlatoš: Lineárna algebra a geometria, Albert Marenčin – Vydavateľstvo PT,

Bratislava, 2011.

102

Cvičenia 4

4.1. Nech vektor a . Vypočítajte vektor:

.

4.2. Ukážte, či sú nasledujúce 3 vektory: lineárne

závislé.

4.3 Vypočítajte skalárny súčin vektorov a ak a .

4.4. Vypočítajte uhol vektorov a ak a .

4.5. Určte smer a orientáciu vektora ak a .

4.6. Nájdite riešenie sústavy lineárnych rovníc Gaussovou elimináciou:

4.7. Vypočítajte súčet a súčin dvoch matíc typu :

(

) (

).

4.8. Určte hodnosť matice: (

).

4.9. Riešte sústavu lineárnych rovníc použitím Gaussovej eliminačnej metódy

103

4.10. Vypočítajte determinant matice (

).

4.11. Vypočítajte determinant matice (

) rozvojom podľa riadku

alebo stĺpca.

4.12. Nájdite inverznú maticu k matici (

).

4.13. Riešte maticovú rovnicu s neznámou maticou :

kde: (

) (

) (

).

4.14. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla:

4.15. Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory matice (

).

104

Riešenia 4

4.1. Vektor:

, kde a , vypočítame takto: pre

súradnice výsledného 3-rozmerného vektora podľa zadania platí:

, kde

. Dosadením súradníc vektorov a dostaneme:

.

4.2. Otázku lineárnej závislosti vektorov riešime

tak, že hľadáme také rozvojové koeficienty d1, d2, d3, pre ktoré platí:

. Rovnicu rozpíšeme pre súradnice:

Z poslednej a predposlednej rovnice dostaneme: a , čo po

dosadení do prvej rovnice vedie k výsledku: , , . Keďže lineárna

kombinácia je triviálna, vektory sú lineárne nezávislé.

4.3. Skalárny súčin vektorov a vypočítame podľa vzťahu [4.6.]

ako:

4.4. Uhol dvoch vektorov a vypočítame podľa vzťahu [4.7.]:

√ √

√ √

√ √

uhol

4.5. Vektorový súčin pre a vypočítame podľa

pravidla [4.8.]:

|

|

105

Smer a orientácia výsledného vektora je daná jeho súradnicami:

Obr. 4.5. Znázornenie vektora .

4.6. Sústavu lineárnych rovníc budeme riešiť Gaussovou elimináciou tak, že ju postupnými

elementárnymi úpravami prevedieme na trojuholníkový tvar:

Tretiu rovnicu vynásobíme 3 a odpočítame prvú rovnicu (skrátene to zapíšeme ako:

):

potom (

nakoniec ( ):

x

y

z

106

Z poslednej rovnice vypočítame , dosadením do 2. rovnice dostaneme

a dosadením a do 1. rovnice dostaneme . Riešenie: .

4.7. Súčet dvoch matíc a typu vypočítame takto:

(

) (

) (

)

(

)

Súčin dvoch matíc a vypočítame ako:

(

) (

)

(

)

(

)

4.8. Pri výpočte hodnosti matice (

) budeme najprv maticu

upravovať na trojuholníkový tvar, t. j. na maticu, ktorá obsahuje nuly pod hlavnou

diagonálou. Prvý riadok opíšeme, od druhého riadku odčítame dvojnásobok prvého

riadku ( ):

(

) (

)

od tretieho riadku odpočítame prvý riadok ( ) a nakoniec sčítame druhý

a tretí riadok ( ):

(

) (

) (

)

Počet nenulových riadkov vo výslednej trojuholníkovej matici je 2, teda .

107

4.9. Sústavu lineárnych rovníc budeme riešiť použitím Gaussovej eliminačnej metódy

Rozšírenú maticu sústavy upravíme ekvivalentnými úpravami na trojuholníkovú

maticu:

(

|

) (

|

) (

|

)

Z poslednej matice vidíme, že hodnosť matice sústavy je rovná hodnosti rozšírenej

matice sústavy, ale je menšia ako počet neznámych . Preto bude mať

sústava nekonečne veľa riešení, pričom ľubovoľne voliť môžeme

neznámu (parameter). Z posledného riadku dostaneme

. Druhý

riadok nám po dosadení za

dá výsledok

. Nakoniec

dosadíme za a do prvého riadku a dostaneme . Tejto podmienke

vyhovuje nekonečne veľa hodnôt a . Zvoľme napríklad neznámu za parameter

a položme , kde predstavuje ľubovoľné reálne číslo. Skúmaná sústava

bude mať nekonečne veľa riešení, ktoré všetky spĺňajú tvar:

[(

) ]

4.10. Determinant matice (

) vypočítame pomocou Sarrusovho pravidla.

Najprv si vytvoríme pomocnú schému pridaním prvých dvoch stĺpcov:

|

a potom vypočítame determinant:

108

4.11. Determinant matice (

) vypočítame pomocou rozvoja podľa

riadku alebo stĺpca. Rozvoj determinantu |

| výhodne

urobíme podľa 4. riadku, ktorý obsahuje 2 nuly a bude teda krátky:

|

| |

|

4.12. Inverznú maticu k matici (

) vypočítame nasledujúcim postupom.

Najprv nájdeme všetky algebraické doplnky prvkov matice :

|

| |

|

|

| |

|

|

| |

|

|

| |

|

|

|

Potom vypočítame determinant matice typu , napr. pomocou Sarrusovho

pravidla:

Nakoniec určíme inverznú maticu podľa vzťahu [4.23.] :

(

)

(

)

109

4.13. Maticovú rovnicu s neznámou maticou :

kde: (

) (

) (

)

budeme riešiť tak, aby sme dostali na ľavej strane rovnice len neznámu maticu :

Matica (

) (

) (

) je regulárna matica, preto bude

existovať inverzná matica , ktorú vypočítame podľa vzťahu [4.23.]:

(

). Ďalšími úpravami dostaneme výslednú rovnicu:

Matica (

) (

) (

). Potom:

(

) (

) (

).

4.14. Sústavu lineárnych rovníc:

budeme riešiť pomocou Cramerovho pravidla [4.25.]. Matica sústavy (

),

determinant je rôzny od nuly a je regulárna. Sústava bude teda

mať jedno riešenie, ktoré vypočítame ako:

|

|

|

|

110

4.15. Vlastné hodnoty a vlastné vektory matice (

) nájdeme týmto postupom.

Najprv vypočítame vlastné hodnoty z podmienky singulárneho determinantu

.

|

|

Vlastné hodnoty matice sú: .

Počítajme teraz vlastný vektor pre hodnotu . Dosadením dostaneme maticu:

(

)


(

|

) (

|

)

Sčítaním 1. a 2. riadku zistíme, že matica má hodnosť 1 a je singulárna.

Vlastný problém bude teda mať pre vlastnú hodnotu netriviálne riešenie, ktoré

nájdeme dosadením :

(

) (

) ( )

z prvého riadku dostaneme pre súradnice vektora rovnicu:

Táto rovnica má nekonečne veľa riešení. Zvoľme jednu premennú ako , .

Vlastný vektor potom bude mať tvar: (

), , . Ak nenulový faktor

zvolíme tak, aby výsledok bol čo najjednoduchší, t. j. , potom výsledný vlastný

vektor matice pre vlastnú hodnotu bude (

).

O korektnosti výsledku sa presvedčíme skúškou správnosti:

(

) (

) (

)

111

(

) (

)

Počítajme teraz vlastný vektor pre . Dosadením dostaneme maticu:

(

)


(

|

) (

|

)

Odčítaním 1. riadku násobeného faktorom

od 2. riadku zistíme, že matica má

hodnosť 1 a je opäť singulárna. Vlastný problém bude teda mať pre vlastnú hodnotu

netriviálne riešenie, ktoré nájdeme dosadením :

(

) (

) ( )

Z prvého riadku pre súradnice vektora dostaneme rovnicu:

Vlastný vektor zvolíme ako: (

), , . Nenulový faktor opäť

zvolíme čo najjednoduchší ako . Výsledný vlastný vektor bude mať tvar:

(

). Výsledok opäť overíme skúškou správnosti:

(

) (

) (

)

(

) (

)

112

5. Postupnosti a číselné rady

5.1. Nekonečná postupnosť

Postupnosti sú funkcie definované na množine prirodzených čísel

Definícia. Nekonečná postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel ,

ktorá každému číslu priradí práve jedno reálne číslo , také, že :

[5.1.]

Postupnosti namiesto tvaru obvyklého pre reálne funkcie zapisujeme v tvare:

[5.2.]

kde hodnotu nazývame prvým členom postupnosti (prislúchajúcim nezávisle premennej

), nazývame druhým členom atď., kde index vyjadruje príslušnú hodnotu premennej .

Grafom postupnosti v karteziánskej súradnicovej sústave sú izolované body , (na hori-

zontálnej osi grafu zobrazujeme premennú a na vertikálnej osi funkčné hodnoty ), obr. 5.1.

Obr. 5.1. Graf postupnosti {

}. Graf sa skladá z izolovaných bodov

Postupnosti môžeme zadávať rôznymi spôsobmi:

vymenovaním niekoľkých počiatočných členov postupnosti tak, aby bolo možné

odhadnúť tvar nasledujúcich členov,

zadaním vzorca na výpočet n-tého člena,

113

rekurentne - tak, že zadáme prvý člen postupnosti a predpis ako vypočítať nasledujúci

člen pomocou predchádzajúceho člena, napr. (n+1)-vý člen z n-tého člena.

Napríklad:

{

} {

}

{

} {

}

Príklad.

a) Napíšte prvých 5 členov postupnosti, ktorej n-tý člen je definovaný ako:

.

Dosadenín dostaneme: {

}

b) Nájdite vzorec pre n-tý člen postupnosti: {

}.

Keď prepíšeme postupnosť do tabuľky a vyjadríme v tvare zložených zlomkov:

Vidíme, že pravidelne klesá s rastúcou hodnotou n, pričom je v absolútnej hodnote o

nižšie ako n. Preto:

. Dosadením do vzťahu pre sa presvedčíme, že

je splnený aj pre .

c) Napíšte prvých 6 členov postupnosti danej rekurentne:

Riešime postupným dosadzovaním:

Teda:

114

Táto postupnosť sa nazýva Fibonacciho postupnosť. 52

Aritmetická postupnosť je zadaná prvým členom a rekurentným vzťahom:

[5.3.]

Číslo d sa nazýva diferencia. Pre výpočet n-tého člena platia nasledovné vzťahy:

Súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti vypočítame podľa vzťahu:

[5.4.]

Príklad. Vypočítajte súčet prvých 15 členov aritmetickej postupnosti, pre členy ktorej platí:

a

Najprv si pomocou členov a vypočítame konštanty postupnosti: a riešením sústavy

dvoch rovníc o dvoch neznámych:

Jej riešením dostaneme a . Dosadením dostaneme

a súčet:

Geometrická postupnosť je zadaná prvým členom a rekurentným vzťahom:

kde číslo q sa nazýva kvocient. Na výpočet n-tého člena geometrickej postupnosti môžeme

použiť tieto vzťahy:

Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti pre kvocient q 1 a vypočítame

nasledujúcim postupom. Súčet vynásobíme kvocientom a spočítame rozdiel :

52 Leonardo Pisano (1170-1250), známy ako Fibonacci, bol taliansky matematik, ktorý sa zaslúžil o rozšírenie arabskej

desiatkovej číselnej sústavy v Európe.

115

[5.5.]

S narastajúcou hodnotou nezávisle premennej , bude geometrická postupnosť

v závislosti od hodnoty kvocientu q buď neobmedzene klesať (rásť), alebo sa bude

približovať k nule, obr. 5.2.

A B

C D

Obr. 5.2 Graf geometrickej postupnosti pre a rôzne hodnoty kvocientu

. A. B. C. D. .

Príklad. Vypočítajte súčet prvých 10 členov geometrickej postupnosti, pre členy ktorej platí:

a

Najprv si pomocou členov a vypočítame konštanty postupnosti: a q riešením sústavy

dvoch rovníc o dvoch neznámych:

Jej riešením dostaneme a

. Dosadením do vzťahu [5.5.] dostaneme súčet :

116

So zvyšujúcou sa hodnotou nezávisle premennej n môžu body postupnosti rásť, klesať,

alebo sa približovať k určitému číslu. Hovoríme, že postupnosť je rastúca (klesajúca,

neklesajúca, nerastúca), ak pre každé platí: ( , ,

). Postupnosť je zdola (zhora) ohraničená, ak existuje také , že pre

každé platí: ( . Postupnosť je ohraničená, ak je ohraničená zdola aj

zhora.

Príklad. Dokážte, že postupnosť {

}

je rastúca a ohraničená. Pre rastúcu postupnosť

platí:

čo je splnené pre každé , teda postupnosť je rastúca. Pre dostaneme najnižšiu hodnotu

(spodnú hranicu, ) rastúcej postupnosti (

, teda pre každé platí:

. Hornú hranicu odhadneme ako . Skúsme, či pre ľubovoľné platí:

čo je splnené pre každé . Preto postupnosť {

}

je rastúca a ohraničená číslami:

a .

5.2. Limita postupnosti

Grafy dvoch postupností na obrázku (obr. 5.3) vykazujú rozdielny trend funkčných hodnôt.

Zatiaľ čo postupnosť s narastajúcou hodnotou n neobmedzene rastie (hovoríme, že

postupnosť diverguje), postupnosť {

} sa s narastajúcim hodnotou n neobmedzene približuje

117

k číslu nula (hovoríme, že postupnosť konverguje k nule). Číslo nula v tomto prípade

predstavuje tzv. hromadný bod, t. j. bod v okolí ktorého sa na grafe nachádza nekonečne veľa

bodov postupnosti.

A B

Obr. 5.3. Graf postupnosti. A. . B. {

}.

Okolie bodu úzko súvisí s pojmom neobmedzeného približovania. -okolie bodu ( )

definujeme ako interval so stredom v a so šírkou alebo množinu

. Hovoríme, že postupnosť sa neobmedzene (limitne) približuje

k číslu , ak pre ľubovoľne malú zvolenú hodnotu ležia body postupnosti v -okolí

, obr. 5.4. Teda:

– [5.6.]

Obr. 5.4. Graf postupnosti {

} Pre ležia body postupnosti v úzkom páse

ohraničenom plnými čiarami okolo čísla , ku ktorému sa členy postupnosti

neobmedzene približujú, v tzv. -okolí bodu kde .53

53 Symbol „ “ v nerovnosti znamená, že číslo je omnoho menšie ako číslo .

)

118

Definícia. Hovoríme, že číslo je vlastnou limitou postupnosti , ak pre každé ,

existuje taký index , že pre všetky platí:

alebo [5.7.]

zapisujeme:

[5.8.]

a čítame „limita pre idúce do nekonečna sa rovná “. Postupnosť, ktorá má limitu sa

nazýva konvergentná a postupnosť, ktorá nemá limitu sa nazýva divergentná.

Príklad. Dokážte, že limita postupnosti {

} z obr. 5.4 sa rovná:

.

Podľa definície limity postupnosti musí pre všetky a platiť vzťah [5.7.]:

Z pravej strany nerovnosti:

úpravou dostaneme: , čo je splnené

pre každé . Ľavú stranu nerovnice:

upravíme na tvar:

ktorý

udáva, pre aké hodnoty je splnená ľavá strana nerovnice, keď si zvolíme parameter .

Dosadením vybraných zvolených hodnôt dostaneme:

Príklad. Dokážte, že limita postupnosti {

} sa rovná:

.

Ak sa limita postupnosti rovná , potom musí byť splnená podmienka [5.7.]:

Ľavá strana nerovnosti:

je splnená pre každé . Pre pravú stranu:

vieme

pre každú zvolenú hodnotu nájsť hodnotu

takú, aby bola definičná nerovnosť

splnená. Preto platí:

.

Veta. Limita postupnosti {

} sa rovná:

kde [5.9.]

Konvergentná postupnosť je ohraničená, pretože členy postupnosti, ktorá má limitu

rovnú b, ležia pre v -okolí bodu , , obr. 5.4., a neprekračujú hodnotu . Na

druhej strane samotná ohraničenosť postupnosti ešte nezaručuje jej konvergenciu. Príkladom

ohraničenej postupnosti, ktorá nie je konvergentná, je napr. postupnosť , o čom sa

119

čitateľ môže ľahko presvedčiť nakreslením jej grafu. O existencii limít postupností hovorí

nasledujúca veta, ktorú uvedieme bez dôkazu.

Veta. Každá ohraničená monotónna54

postupnosť má limitu. Každá postupnosť má najviac

jednu limitu.

Existujú divergentné postupnosti také, že neobmedzene rastú nad alebo klesajú pod každú

hranicu. Pre takéto postupnosti môžeme zaviesť nevlastné limity.

Definícia. Postupnosť má nevlastnú limitu ( ), ak pre každé

existuje index taký, že pre všetky platí: ( ), čo zapisujeme ako:

( ) [5.10.]

V ďalšom texte si uvedieme niektoré vlastnosti limít postupností a preberieme metódy

výpočtu limít.

Veta. Majme dve konvergentné postupnosti a , ktorých limity sa rovnajú číslam:

a

potom:

kde

[5.11.]

, ak

ak ,

ak ,

(

)

54 Termín monotónna funkcia alebo krivka znamená, že táto vo svojom definičnom obore buď len rastie alebo len klesá,

prípadne aj stagnuje (čo nie je ani rast ani pokles), ale nikdy vo svojom definičnom nekombinuje pokles a rast.

Podrobnejšie sa budeme týmto termínom zaoberať v diferenciálnom počte.

120

Pomocou týchto pravidiel môžeme vypočítať limity postupností komplikovanejšieho tvaru.

Príklad. Vypočítajte limitu postupnosti:

.

Tento typ limít, ktoré pripomínajú racionálnu funkciu, počítame tak, že zlomok vynásobíme

výrazom, ktorý obsahuje prevrátenú hodnotu najvyššej mocniny , ktorá sa v zlomku

nachádza, v našom prípade:

. Potom aplikujeme pravidlá pre výpočet limity podielu,

súčtu a rozdielu postupností. V zlomku potom dostaneme limity tvaru

, vzťah

[5.9.], ktoré sa rovnajú nule.

Príklad. Vypočítajte limitu postupnosti: (

)

(

)

(

) (

)

(

)

Príklad. Vypočítajte limitu postupnosti: (

)

(

)

(

)

Predchádzajúcu vetu o vlastnostiach limít konvergentných postupností možno obozretne

aplikovať aj na nevlastné limity. Ak máme dve postupnosti divergujúce do nekonečna:

a

potom platí: , čo môžeme zjednodušene symbolicky zapísať ako:

. Pomocou takejto zjednodušenej notácie vieme potom prehľadne zapísať viaceré

vlastnosti nevlastných limít:

,

, kde

, kde ,

, kde ,

121

, kde ,

, kde ,

,

kde

Pri výpočte limít sa môžeme stretnúť aj s kombináciami symbolov, ktoré patria medzi tzv.

neurčité výrazy, pre ktoré nevieme priamo určiť výsledok:

. Takéto prípady treba riešiť individuálne. Napríklad pre limity typu

vieme riešiť

pomocou nasledujúcej vety.

Veta. Pre postupnosti , ktoré konvergujú k nule: a ktorých členy

nadobúdajú len kladné hodnoty: (len záporné hodnoty: ), platí:

(

) [5.12.]

5.3. Nekonečný rad

Majme postupnosť {

} kde

( ). Pomocou

tejto postupnosti vytvoríme novú postupnosť tak, že každý jej člen sa bude rovnať súčtu

prvých členov postupnosti :

Dá sa ukázať, že limita takejto postupnosti čiastočných súčtov postupnosti bude

mať nekonečne veľa sčítancov ( ) a tvar:

∑ [5.13.]

122

Hodnota limity v hore uvedenom príklade postupnosti s

sa bude rovnať

. Súčet nekonečného číselného radu však nemusí vždy existovať (t. j. môže byť

nekonečne veľký). Súčet nekonečného radu existuje vtedy, ak má postupnosť čiastočných

súčtov z neho vytvorená vlastnú limitu.

Veta. Hovoríme, že nekonečný rad ∑ je konvergentný, t. j. má súčet, ak postupnosť

čiastočných súčtov z neho vytvorená je konvergentná, a teda má limitu: .

Potom aj súčet nekonečného radu sa rovná :

∑ [5.14.]

Poznámka. Sumácia vo výraze pre nekonečný rad [5.13.] nemusí vždy začínať od indexu

, ale môže začať aj od iného celého čísla (najčastejšie od ).

Príklad. Majme nekonečný rad:

∑

.

Vytvorme z tohto radu postupnosť čiastočných súčtov:

{∑

∑

∑

∑

}

{

} {

} {

}

Súčet nekonečného radu bude existovať, ak postupnosť vytvorená z čiastočných súčtov radu:

bude konvergovať. Presvedčme sa teda výpočtom, že táto postupnosť

konverguje a má limitu:

(

)

Potom podľa vzťahu [5.14.] súčet nekonečného radu ∑

bude rovný:

∑

(

)

Príklad. Majme nekonečný rad: ∑ .

Postupnosť čiastočných súčtov tohto radu bude mať tvar nasledujúcej postupnosti:

, ktorá diverguje do . Preto súčet nekonečného radu ∑ nebude

existovať (bude nekonečný).

123

Vo všeobecnosti nie je jednoduché určiť, či daný nekonečný rad konverguje alebo

diverguje, a ak konverguje, čomu sa rovná jeho suma. Ako zistíme, či daný nekonečný rad

konverguje alebo diverguje, hovorí nasledujúca veta.

Veta. Nech ∑ je nekonečný rad. Nech existuje limita (D’Alembertovo kritérium

konvergencie):55

[5.15.]

Ak potom rad konverguje, ak potom rad diverguje, ak potom

kritérium nie je použiteľné na zistenie konvergencie radu.

Príklad. Rozhodnite, či nekonečný rad ∑

konverguje alebo diverguje.

Vypočítame D’Alembertovo kritérium konvergencie:

|

|

Keďže rad bude konvergovať, jeho súčet však nepoznáme.

Príklad. Rozhodnite, či nekonečný rad ∑


Vypočítame D’Alembertovo kritérium konvergencie:

|

|

Keďže rad bude konvergovať, jeho súčet však opäť nepoznáme.

Okrem D’Alembertovho kritéria existujú aj ďalšie testy konvergencie, ako napr. Raabeho,

Bertrandov alebo Kummerov test, ktoré tu však nebudeme bližšie rozoberať.56

Nájsť súčet konvergentného radu vo väčšine prípadov nevieme. Vieme však aspoň

odhadnúť približnú hodnotu súčtu použitím numerických metód pomocou počítačov.

55 Jean le Rond D'Alembert (1717-1783) bol francúzsky filozof, matematik, fyzik, astronóm a encyklopedista. 56 Joseph Ludwig Raabe (1801-1859) bol švajčiarsky matematik. Joseph Louis Francois Bertrand (1822-1900) bol francúzsky

matematik. Ernst Eduard Kummer (1810 – 1893) bol nemecký matematik.

124

Výnimku tvoria geometrické rady, ktorých súčet vieme určiť presne. Ako sme ukázali vo

vzťahu [5.5.], pre súčet prvých n členov geometrickej postupnosti platí vzorec:

. Geometrický rad je nekonečný súčet členov geometrickej postupnosti:

∑ [5.16.]

a jeho súčet je definovaný ako limita :

∑

[5.17.]

Ak pre kvocient q platí:

potom

, súčet geometrického radu existuje a rovná sa:

∑

[5.18.]

potom

neexistuje a geometrický rad diverguje.

Príklad. Určte, či nekonečný rad ∑ (

)

konverguje a ak áno, určte jeho súčet.

Ide o geometrický rad s koeficientom a kvocientom

, pre ktorý platí |

|

, preto rad konverguje. Jeho súčet existuje a nájdeme ho ako:

∑

5.4. Mocninové rady

Doteraz sme uvažovali o nekonečných číselných radoch, ktorých členmi boli čísla

(konštanty) :

∑

Teraz sa zameriame na funkcionálne rady, presnejšie na mocninové rady, ktorých členy

obsahujú okrem číselných konštánt an aj nezávisle premennú x a jej prirodzené mocniny:

∑ [5.19.]

kde . Takýto mocninový rad predstavuje polynóm nekonečného stupňa ( ), ktorý

sa po dosadení konkrétneho čísla: zmení na nekonečný číselný rad s reálnymi členmi:

∑ , a ktorý pre danú hodnotu buď konverguje alebo nie. Vidíme, že pomocou

mocninového radu môžeme definovať funkciu, ktorá číslu , pre ktoré rad konverguje,

125

priradí súčet číselného radu ∑

. Mocninový rad ∑ je teda istá funkcia,

ktorej definičným oborom sú všetky čísla , pre ktoré rad konverguje, a funkčná hodnota je

jeho súčet .

Príklad. Nájdite súčet mocninového radu: ∑ .

Tento mocninový rad pre predstavuje po dosadení

geometrický rad s kvocientom r. Ak potom rad konverguje a jeho súčet sa rovná:

∑

.

ak napríklad

potom ∑ (

)

.

ak napríklad

potom ∑ (

)

Daný mocninový rad teda predstavuje funkciu, ktorá každému takému, že , priradí

číslo

. Hovoríme teda, že mocninový rad ∑

konverguje k funkcii

na intervale

.

Dá sa dokázať, že každý mocninový rad konverguje na symetrickom intervale , kde

parameter nazývame polomer konvergencie. Polomer konvergencie mocninového radu

∑ môžeme určiť pomocou nasledujúceho vzťahu:

|

| [5.20.]

Príklad. Nájdite polomer konvergencie mocninového radu:

∑ (

)

.

Podľa kritéria [5.20.] určíme polomer a interval konvergencie:

|

| |

|

Mocninový rad ∑ (

)

teda konverguje na intervale . Keďže tento rad predstavuje

geometrický rad s kvocientom

, vieme určiť aj funkciu, ku ktorej rad konverguje:

∑ (

)

.

126

Existujú aj mocninové rady, ktoré majú interval konvergencie , napríklad:

∑

. Ak poznáme súčet takéhoto radu , môžeme ho nahradiť funkciou . V

iných prípadoch môže byť naopak výhodné rozvinúť funkciu do mocninového radu:

∑

.



ed., Schaum’s





Sciences, 2nd




127

Cvičenia 5

5.1. Napíšte prvých 5 členov postupnosti, ktorej n-tý člen je definovaný ako:

.

5.2. Nájdite vzorec pre n-tý člen postupnosti: {

}.

5.3. Vypočítajte súčet prvých 10 členov aritmetickej postupnosti: .

5.4. Vypočítajte súčet prvých 15 členov geometrickej postupnosti:

{ (

)

}.

5.5. Dokážte, že postupnosť {

}

je rastúca a ohraničená.

5.6. Vypočítajte limitu postupnosti:

.

5.7. Vypočítajte limitu postupnosti: (

)

.

5.8. Vypočítajte limitu postupnosti: (

)

.

5.9. Vypočítajte limitu postupnosti:

.

5.10. Určte, či nekonečný rad ∑ (

)

je konvergentný, ak áno, nájdite jeho súčet.

5.11. Rozhodnite pomocou D’Alembertovho kritéria, či nekonečný číselný rad ∑

(

)


5.12. Nájdite interval konvergencie mocninového radu: ∑

.

128

Riešenia 5

5.1. Prvých 5 členov postupnosti definovanej ako:

dostaneme dosadenín n = 1, ... ,

5 do vzťahu pre : {

}.

5.2. Postupnosť {

} zadanú vymenovaním prvých 5

členov prepíšeme do tabuľky a motívy, ktoré sa opakujú v čitateli aj menovateli

zlomkov

, sú teraz očividné {

}}.

Index

5.3. Súčet prvých 10 členov aritmetickej postupnosti: vypočítame

pomocou prvého a desiateho člena postupnosti: a podľa vzťahu [4.4.]:

5.4. Súčet prvých 15 členov geometrickej postupnosti { (

)

}

vypočítame podľa vzorca [4.5.]:

5.5. Či je postupnosť {

}

rastúca a ohraničená, zistíme nasledovným postupom. Ak je

postupnosť rastúca, potom platí:

129

čo je splnené pre každé n, postupnosť je teda rastúca. Pre dostaneme najnižšiu

hodnotu (spodnú hranicu ) rastúcej postupnosti ( . Teda pre každé

platí: . Hornú hranicu odhadneme ako (na čo nám stačí spočítať

pre , a ). Skúsme, či pre ľubovoľné platí:

čo je splnené pre každé . Preto postupnosť {

}

je rastúca a ohraničená

číslami:

a

5.6. Pri výpočte limity

využijeme fakt, že

a pôvodnú

limitu prevedieme na tento typ limít násobením faktorom:

. Dostaneme:

5.7. Pri výpočte limity postupnosti: (

)

využijeme substitúciu

, pričom platí: a vzťah: (

)

(

)

(

)

(

)

√

5.8. Pri výpočte limity postupnosti: (

)

využijeme substitúciu ,

pričom platí: a vzťah: (

)

.

(

)

(

)

130

5.9. Limitu postupnosti:

vypočítame takto:

5.10. Nekonečný geometrický rad ∑ (

)

má kvocient |

| , preto tento rad

konverguje. Jeho súčet vypočítame podľa vzťahu [5.16.]:

∑ (

)

(

)

(

)

5.11. Vypočítame D’Alembertovo kritérium konvergencie pre nekonečný číselný rad

∑

(

)

a podľa neho určíme, či rad konverguje:

|

| |

| |

|

|

|

|

|

|

|

Keďže , rad bude konvergovať.

5.12. Interval konvergencie mocninového radu: ∑

budeme hľadať pomocou vzťahu

[5.18.]:

|

| |

| |

|

Mocninový rad bude teda konvergovať v intervale .

131

6. Diferenciálny počet

6.1. Limita funkcie

Podobne ako limita postupnosti, ktorá opisuje „správanie“ sa postupnosti pre , aj

limita funkcie opisuje priebeh funkcie v najbližšom okolí 57

bodu , prípadne pre

hodnoty nezávisle premennej rastúce (klesajúce) cez všetky medze ( . Limita funkcie

nám teda poskytuje viac informácií o funkcii v danom mieste ako len samotná funkčná

hodnota. Napríklad pre funkcie a znázornené na obr. 6.1. platí, že zatiaľ čo

, nie je definovaná. Na druhej strane pre obidve funkcie platí, že pre x

neobmedzene sa blížiace k číslu , funkčné hodnoty sa limitne približujú k

rovnakému číslu ( a ).

Obr. 6.1. Grafy funkcií: A

.

B

.

Pre výpočet limity funkcie v bode nie je dôležité, či je v tomto bode funkcia definovaná

(preto v definícii limity požadujeme ), podstatné je len to, ako sa správa v okolí bodu a.

Uveďme si teraz, ako definoval Heine58

limitu funkcie pomocou limity postupnosti

nezávisle premennej.

57 Okolím bodu rozumieme interval , kde , a označujeme ho 58 Heinrich Eduard Heine (1821-1881) bol nemecký matematik známy svojím prínosom k matematickej analýze.

132

Definícia. Nech existuje také okolie bodu , že funkcia je definovaná pre všetky

body okolia okrem bodu , . Hovoríme, že funkcia má v bode

vlastnú limitu rovnú , ak pre každú postupnosť takú, že:

,

platí:

čo zapisujeme ako:

[6.1.]

Túto definíciu limity môžeme pomocou kvantifikátorov zapísať aj ako:

[ ]

Definícia hovorí, ak existuje postupnosť , ktorá sa neobmedzene približuje k bodu

( ), potom funkčné hodnoty funkcie v bodoch tejto postupnosti sa budú

neobmedzene približovať k hodnote , obr. 6.2.

Obr. 6.2. Heineho definícia limity funkcie v bode pomocou postupnosti

Príklad. Počítajme limitu funkcie

v bode podľa Heineho definície.

Vyberme takú postupnosť ktorej limita sa rovná ( ), napríklad

, pre ktorú platí, ak: potom: . Keď body tejto

postupnosti zvolíme za uvažované hodnoty nezávisle premennej funkcie (pretože sa

približujú k bodu , v ktorom chceme vypočítať limitu), dostaneme:

133

Existuje aj ekvivalentná Cauchyho59

definícia limity funkcie, ktorá využíva pojmy -

okolia a -okolia bodu.

Definícia. Nech je funkcia f definovaná pre všetky z -okolia bodu a, t. j.

z intervalu , , . Hovoríme, že funkcia má v bode a vlastnú

limitu rovnajúcu sa číslu , ak ku každému okoliu existuje také okolie , t. j.

interval , , , že pre každé je .

Túto podmienku formulujeme pomocou kvantifikátorov takto:

čo zapisujeme ako:

[6.2.]

Pojmy -okolie bodu a -okolie bodu sú znázornené na obr. 6.3.

Obr. 6.3. Cauchyho definícia limity funkcie v bode definovaná pomocou okolí a

Cauchyho definícia limity funkcie si nevyžaduje zavedenie postupnosti na opísanie

neobmedzeného približovania nezávisle premennej k bodu ( ), ale Heineho definícia

59 Augustin Louis Cauchy (1789-1857) bol významný francúzsky matematik, ktorý sa zaslúžil o exaktnú formuláciu

diferenciálneho a integrálneho počtu.

134

sa jednoduchšie aplikuje v prípadoch, keď alebo . Proces približovania sa k

v Cauchyho definícii limity zabezpečuje požiadavka, nech zvolíme akokoľvek malé, vždy

musí existovať také, že pre . Pre každú funkciu platí: funkcia

môže mať v bode najviac jednu limitu.

Obr. 6.4. znázorňuje dve reálne funkcie

a

, ktoré majú odlišný

priebeh v okolí bodu nula. Vidíme, že funkcia

nadobúda rovnaké hodnoty

, nezávisle od toho, či sa k bodu približujeme zľava alebo sprava (t. j. smerom

od záporných čísel alebo od kladných čísel). Na druhej strane, funkcia

nadobúda

rozdielne hodnoty , keď sa približujeme sprava a , keď sa

približujeme k nule zľava. Preto v bode bude existovať len limita funkcie , zatiaľ

čo pre obidve funkcie budú v tomto bode existovať limity sprava a zľava.

Obr. 6.4. Grafy funkcií:

a

v okolí bodu

Definícia. Nech je funkcia definovaná pre všetky z intervalu (( ), , . Hovoríme, že funkcia má v bode limitu sprava (limitu

zľava) rovnú číslu , ak ku každému -okoliu t. j. intervalu , ,

, existuje také, že pre každé ) je , čo

zapisujeme ako:

( )

Dá sa dokázať, že funkcia má v danom bode limitu vtedy a len vtedy, ak má v tomto bode

limitu sprava aj limitu zľava a platí:

[6.3.]

135

Pre funkcie definované na intervale , prípadne ( , definujeme vlastnú limitu

v nevlastnom bode ( nasledovne:

Definícia. Nech je funkcia f definovaná na intervale , , ak existuje

také, že platí:

potom hovoríme, že funkcia f má vlastnú limitu v nevlastnom bode:

Nech je funkcia f definovaná na intervale , , ak existuje také, že platí:

potom hovoríme, že funkcia f má vlastnú limitu v nevlastnom bode:

Veta. Majme dve funkcie a , ktoré sú definované na intervale ,

a ich limity v bode a sa rovnajú:

a

potom:

, kde

( )

[6.4.]

, kde

, ak

, kde ,

Je vhodné zapamätať si hodnoty limít vo „významných“ bodoch pre niektoré bežné funkcie:

, (

)

, (

)

, kde

136

, ,

, , , neexistuje, rovnako

neexistuje limita v nevlastných bodoch pre žiadnu periodickú funkciu

, ak a funkcia je v bode spojitá60

Pomocou týchto pravidiel môžeme vypočítať limity funkcií komplikovanejšieho tvaru. Z vety

vyplýva, že limita polynómu v bode sa rovná jeho funkčnej hodnote v tomto bode:

Príklad. Vypočítajte limitu funkcie:

.

Na výpočet limity použijeme pravidlá uvedené v predchádzajúcej vete a limitu rozdelíme na

súčet/rozdiel jednoduchých limít:

.


.

.

61

60 Otázku spojitosti funkcie v bode podrobnejšie preberieme na nasledujúcich stranách. Môžeme však už teraz naznačiť, že

spojitosť súvisí s existenciou limity funkcie. 61 Symbolom „0-“ myslíme číslo blízke nule, ktoré sa k nule približuje zľava (zo strany záporných čísel).

137


.

a)

pretože

b)

Keďže limita zľava je rôzna od limity sprava v bode , potom limita:

neexistuje.


.

[

]

62

Použili sme substitúciu a zároveň sme uvážili, ak potom aj , teda .

Príklad. Vypočítajte limitu funkcie: .

(

)

(

)

[

]

(

)

Pri výpočte sme použili vzťah:


.

(

)

Doteraz sme sa zapodievali vlastnými limitami funkcií, t. j. situáciami, v ktorých sa

hodnota funkcie v bode , prípadne v nevlastnom bode ( ), blíži ku konečnému

číslu , . Existujú však aj nevlastné limity funkcií vo vlastných alebo

62 Symbol, ako napr. „ “ uprostred výpočtu, značí zavedenie substitúcie (premennú nahradíme novou premennou

, ktorá je výhodnejšia pre dokončenie výpočtu).

138

nevlastných bodoch ( alebo ), v ktorých, keď sa približuje k zľava alebo sprava,

funkčná hodnota rastie nad všetky medze .

Definícia. Nech je funkcia definovaná na -okolí bodu , , ak existuje také

, že platí:

hovoríme, že funkcia má vo vlastnom bode a nevlastnú limitu rovnú a značíme:

.

Nech je funkcia f definovaná na -okolí bodu , , ak existuje také , že

platí:

hovoríme, že funkcia f má vo vlastnom bode a nevlastnú limitu rovnú a značíme:

.

Definície jednostranných nevlastných limít v bode získame z predchádzajúcich definícií,

ak nahradíme -okolie bodu a intervalom alebo .

Pre funkcie definované na intervale , prípadne ( , definujeme nevlastnú

limitu v nevlastnom bode ( nasledovne:

Definícia. Nech je funkcia f definovaná na intervale , , ak existuje

také, že platí:

hovoríme, že funkcia f má v nevlastnom bode nevlastnú limitu :

Nech je funkcia f definovaná na intervale , , ak existuje také, že platí:

hovoríme, že funkcia f má v nevlastnom bode nevlastnú limitu :

Ak v predchádzajúcich definíciách nahradíme interval intervalom a reláciu

nahradíme nerovnosťou , potom dostaneme definície pre nevlastnú limitu

funkcie f v nevlastnom bode : a .

139

Je užitočné zapamätať si hodnoty nevlastných limít pre niektoré bežné funkcie:

,

,

,

,

,

,

,

,

Podobne ako pri vlastnostiach limít konvergentných postupností, je možné obozretne

aplikovať pravidlá a vzťahy [6.4.] pre vlastné limity funkcií aj na nevlastné limity. Ak máme

dve funkcie a pre ktoré platí:

, a alebo

potom pre

, čo môžeme zjednodušene symbolicky zapísať ako:

v závislosti od znamienka

Pomocou takejto zjednodušenej notácie vieme potom prehľadne zapísať viaceré vlastnosti

nevlastných limít:

,

, , kde

, , kde ,

, , kde ,

, , kde ,

, , kde ,

Pri výpočte limít sa môžeme stretnúť aj s kombináciami symbolov, ktoré patria medzi tzv. ne-

určité výrazy, pre ktoré nevieme priamo určiť výsledok:

. Takéto prípady treba riešiť individuálne. Ako môžeme v týchto prípadoch postupo-

vať, si ukážeme v nasledujúcich odsekoch, v časti venovanej L’Hospitalovmu pravidlu.

140

Niektoré limity tohto typu vieme určiť aj pomocou nasledujúcej vety.

Veta. Nech platí pre . Ak platí:

, potom aj: [6.5.]

Príklad. Vypočítajte limitu typu “ “: √ √ .

√ √ √ √ √ √

√ √

√ √

√ √

Príklad. Vypočítajte limitu typu “

“:

√ .

√

√ √

√

√

(√ )

Príklad. Vypočítajte limitu neurčitého výrazu: (

), obr. 6.5.

Obr. 6.5. Graf funkcií: (

) a (

) v okolí bodu

Limita (

) neexistuje (obr. 6.5.), platí však nasledovný vzťah:

(

)

Vynásobením dostaneme: (

)

141

Keďže podľa vety [6.5.] bude platiť:

(

)

6.2. Spojitosť funkcie

Grafom spojitej funkcie je neprerušovaná krivka.

Definícia. Nech je funkcia definovaná na -okolí bodu , . Ak platí:

, potom hovoríme, že funkcia je v bode spojitá.

Pomocou kvantifikátorov môžeme definíciu spojitosti funkcie zapísať napr. takto:

Ak je funkcia definovaná na pravom okolí bodu (t. j. na intervale ⟨ ), respektíve

na ľavom okolí bodu (t. j. na intervale ⟩) a platí: , resp.

, potom hovoríme, že funkcia je spojitá sprava, resp. spojitá zľava.

Funkcia je v bode spojitá, ak je v tomto bode spojitá zároveň zľava aj sprava.

Definícia. Funkcia je spojitá na intervale ⟨ ⟩, ak je spojitá v každom bode tohto

intervalu. V krajných bodoch intervalu a požadujeme, aby funkcia bola spojitá v bode

sprava a v bode zľava.

Väčšina známych funkcií je spojitá v každom bode svojho definičného oboru. Patria medzi

ne polynómy, racionálne funkcie, mocniny, logaritmické a exponenciálne funkcie,

goniometrické a cyklometrické funkcie. Funkcie, ktoré sú spojité na ohraničenom

a uzavretom intervale ⟨ ⟩, majú dôležité vlastnosti (Weierstrassova veta a Bolzanova veta).

Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale ⟨ ⟩, potom je na tomto intervale ohraničená

a nadobúda na ňom svoje najväčšie aj najmenšie hodnoty (Weierstrassova veta).63

Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale ⟨ ⟩, potom na tomto intervale nadobúda všetky

hodnoty medzi svojou najväčšou a najmenšou hodnotou (Bolzanova veta).64

63 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) bol nemecký matematik považovaný za otca modernej matematickej

analýzy. 64 Bernard Bolzano (1781-1848) bol významný nemecky hovoriaci český matematik a filozof, ktorý sa venoval matematickej

analýze.

142

Z tejto vety vyplýva nasledujúca vlastnosť, ktorá sa používa pri približnom výpočte riešenia

rovnice , a to, ak je funkcia spojitá na uzavretom intervale ⟨ ⟩ a a

, potom existuje bod , taký, že .

Ak neexistuje v bode funkčná hodnota funkcie , potom, na rozdiel od limity, nemôžeme

o spojitosti v tomto bode ani uvažovať. Ako dôsledok vety o limite súčtu, súčinu ... funkcií

platí nasledujúca veta.

Veta. Súčet, rozdiel, súčin a podiel spojitých funkcií je opäť spojitá funkcia (pričom

predpokladáme, že funkcia v menovateli podielu nenadobúda nulové hodnoty).

Príklad. Ako príklad nespojitej funkcie definovanej pre všetky reálne čísla , je

funkcia celá časť: , obr. 6.6.

Obr. 6.6. Graf funkcie (celá časť , táto funkcia priradí najbližšie nižšie alebo

rovné celé číslo)

Funkcia nie je spojitá v celých číslach , pretože tam platí, napr.:

, ale

Funkcia teda v bodoch nemá limitu zľava rovnajúcu sa limite sprava, teda

v bodoch nemá limitu a nie je v týchto bodoch spojitá.

6.3. Derivácia funkcie

Pojem derivácia funkcie v bode zavedieme opísaním jeho geometrického významu. Majme

lineárnu funkciu f, ktorá je charakterizovaná rovnicou , a ktorej grafom je

143

v karteziánskej súradnicovej sústave priamka, obr. 6.7. A. Táto priamka, ktorá prechádza

dvomi bodmi a , bude mať smernicu rovnú:

kde tangens uhla , ktorý zviera priamka s kladným smerom osi , vyjadruje

veľkosť(strmosť) “stúpania“ priamky. Smernica teda určuje stúpanie priamky. Určiť

strmosť stúpania krivky je však o niečo zložitejšie. Majme všeobecnú krivku zadanú rovnicou

obr. 6.7. B. a hľadajme ako popísať stúpanie krivky v bode . Zostrojme

v tomto bode ľubovoľnú priamku, ktorá našu krivku pretne v dvoch bodoch:

a (nazveme ju sečnica). Smernica sečnice s bude rovná (obr. 6.7 B.):

Predstavme si teraz, že bod sa šmýka nadol po krivke , pričom sa stále

viac blíži k , až splynie s bodom . Sečnica , ktorá sa pohybuje spolu

s bodom, sa tiež posúva nadol a nakoniec splynie s dotyčnicou , ktorá sa krivky dotýka len

v jednom bode , obr. 6.7. B. Smernica dotyčnice bude potom limitnou hodnotou

smernice sečnice :

[6.6.]

Táto limita nazýva deriváciou funkcie v bode . Geometrická interpretácia derivácie

funkcie je teda smernica dotyčnice ku krivke v danom bode.

Obr. 6.7. Grafy funkcií a smernice kriviek. A. Priamka:

. B. Krivka: .

Definícia. Nech funkcia je definovaná v okolí bodu . Ak existuje limita:

[6.7.]

144

potom ju nazývame deriváciou funkcie v bode . Ak označíme , potom:

Derivácia teda umožňuje definovať dotyčnicu ku krivke (grafu funkcie ) v dotykovom bode

ako priamku so smernicou prechádzajúcu bodom :

[6.8.]

Normála je kolmica na dotyčnicu v dotykovom bode. Pre jej smernicu platí:

Potom normála má rovnicu:

[6.9.]

Derivácia funkcie v bode sa okrem (Lagrangeova notácia)65

niekedy označuje aj

ako

(Leibnizova notácia), prípadne vo fyzike aj ako (Newtonova

notácia)66

. Funkcia má v bode nanajvýš jednu deriváciu. Podobne ako sme vzťahom [6.7.]

definovali deriváciu funkcie v bode , definujeme aj deriváciu sprava a deriváciu zľava.

Definícia. Nech funkcia je definovaná na intervale ⟨ ⟩) kde ,

. Ak existuje limita:

[6.10.]

potom ju nazývame deriváciou funkcie sprava (zľava) v bode .

Funkcia má v bode deriváciu ak má v tomto bode deriváciu zľava aj sprava a tieto sa

rovnajú:

Derivácie zľava alebo sprava počítame v hraničných bodoch uzavretého intervalu, ak je to

potrebné. Môžu poslúžiť aj na zisťovanie existencie derivácie funkcie v daných bodoch.

Funkcie, ktoré majú v každom bode definičného oboru vlastnú deriváciu, nazývame hladké

funkcie (možno k nim zostrojiť dotyčnicu v každom bode ).

65 Joseph Louis Lagrange (1736-1813) bol taliansko-francúzsky matematik a astronóm, jeden zo zakladateľov variačného počtu. 66 Sir Isaac Newton (1643-1727) bol anglický fyzik, matematik a filozof. Založil infinitezimálny počet a sformuloval prvú

teóriu sily a gravitácie. Jeho objavy položili základy modernej fyziky.

145

Príklad. Vypočítajte deriváciu funkcie: v bode , obr. 6.8.

Obr. 6.8. Graf funkcie:

Podľa definície [6.10.] vypočítame v bode deriváciu funkcie zľava a sprava:

Vidíme, že v bode funkcia nemá deriváciu, pretože:

,

a to aj napriek tomu, že funkcia je v bode spojitá. Zo spojitosti funkcie teda nevyplýva

existencia derivácie. V nasledujúcej vete ukážeme, že opačné tvrdenie je pravdivé.

Veta. Ak funkcia má v bode deriváciu, potom je v tomto bode spojitá (platí:

).

Dôkaz. Predpokladajme, že má v bode deriváciu, teda existuje limita:

potom pre každé môžeme napísať:

Limita tohto výrazu:

Čo bolo treba dokázať.

x

y

146

Príklad. Vypočítajte deriváciu funkcie: v bode a napíšte rovnicu

dotyčnice a normály v bode [1, 3]. Na výpočet derivácie využijeme definičný vzťah [6.7.]:

Rovnica dotyčnice bude mať podľa [6.8.] tvar:

alebo

Rovnica normály podľa [6.9.], obr. 6.9.

alebo

Obr. 6.9. Graf funkcie: , dotyčnice (t): a normály (n):

Ak je derivácia funkcie v bode nulová, potom je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná

s osou (normála bude v tomto prípade rovnobežná s osou ). Ak je derivácia funkcie v bode

rovná (ako napríklad derivácia sprava pre √ ), potom je dotyčnica ku

grafu funkcie rovnobežná s osou (smernicu má priamka, ktorá zviera s osou uhol,

ktorého tangens je rovný , t. j. pravý uhol

).

Body, v ktorých existuje derivácia funkcie tvoria množinu, na ktorej je definovaná

funkcia , ktorú nazývame deriváciou funkcie .

Príklad. Nájdite deriváciu funkcie: pre ľubovoľné , .

Podľa definície:

teda pre akékoľvek platí: , čo skrátene zapisujeme ako: .

147

Fyzikálny zmysel derivácie je v tom, že vyjadruje prírastok (zmenu) fyzikálnej veličiny v

závislosti od zmeny (nezávisle) premennej. Napríklad, uvažujme pohyb hmotného bodu po

číselnej osi a označme jeho polohu v čase . Derivácia funkcie v bode , t. j.

, má význam okamžitej rýchlosti pohybu bodu v čase

(ak sa jedná o funkciu závislú od času, zvykne sa derivácia zjednodušene označovať

bodkou nad symbolom funkcie

). Pre funkciu , kde ,

(ide o rovnomerný priamočiary pohyb), bude okamžitá rýchlosť pohybu (v tomto

prípade rovná strednej rýchlosti) v čase t rovná . Pre , kde , ,

(ide o rovnomerne zrýchlený priamočiary pohyb), bude okamžitá rýchlosť pohybu v čase

rovná . Podobne ako pre rýchlosť pohybujúceho sa hmotného bodu môžeme

napríklad počítať okamžitú rýchlosť priebehu chemickej reakcie ako zmenu koncentrácie

látky s časom: .

Výpočet derivácie funkcií sa bežne nerobí pomocou definičného vzťahu [6.7.] výpočtom

príslušnej limity, ale používajú sa známe vzťahy pre derivácie elementárnych funkcií. Tieto

vzťahy, spolu s pravidlami pre derivovanie súčtu, rozdielu, súčinu, podielu a zloženej funkcie

potom umožňujú pomerne jednoducho zderivovať akúkoľvek funkciu, ktorá bola vytvorená z

elementárnych funkcií konečným počtom uvedených operácií.

Priamo z definície možno odvodiť derivácie týchto známych funkcií:

, , , ,

, ( ) , a 0,

, (

)

, a 0, a 1,

, , [6.11.]

,

,

, ,

√ ,

√ ,

,

,

Príklad. Dokážte, že platí .

Ukážeme, že pre platí pomocou vzťahu [6.7.]:

148

[

]

Príklad. Napíšte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie v dotyko-

vom bode T s prvou súradnicou .

Dotykový bod bude mať súradnice: [

]. Smernica dotyčnice pre

bude:

(

)

Rovnica dotyčnice, ktorá prechádza bodom bude:

teda:

Rovnica normály, ktorá prechádza bodom bude:

teda:

V nasledujúcej vete si vysvetlíme, ako sa derivuje súčet, rozdiel, súčin a podiel reálnych

funkcií.

Veta. Majme funkcie a , ktoré sú diferencovateľné na intervale . Majme funkciu , ktorá

je diferencovateľná na množine . Potom pre platí:

( ) ,

( )

(

)

, [6.12.]

( ( ))

149

(

)

( )

,

Príklad. Dokážte, že platí: ( ) .

Podľa definície:

( )

( )

( )

( )

( )

Príklad. Vypočítajte deriváciu polynómu: .

Príklad. Vypočítajte deriváciu racionálnej funkcie: (

) pre

.

(

)

( )

Príklad. Vypočítajte deriváciu mocninovej funkcie: √ , pre .

(√ ) (

)

√

Príklad. Vypočítajte deriváciu zloženej funkcie: √ , pre .

Derivujeme ako zloženú funkciu , kde √ a . Potom:

(√ ) (√ )

√

√

√

√

Príklad. Vypočítajte deriváciu zloženej funkcie: (

) , pre

Derivujeme ako zloženú funkciu , kde

a . Potom:

150

(

)

Príklad. Vypočítajte deriváciu zloženej funkcie: ( ) , pre .

Funkciu prepíšeme do nasledujúceho tvaru, ktorý je pre derivovanie výhodnejší:

67 a označíme ako zloženú funkciu , kde

a . Potom:

6.4. Derivácie vyšších rádov

Ak má funkcia na intervale deriváciu, potom je na tomto intervale definovaná

funkcia . Vlastnú deriváciu tejto funkcie na intervale označujeme alebo

,

prípadne a nazývame ju druhou deriváciou funkcie (deriváciou druhého rádu). Pre bod

je funkčná hodnota rovnajúca sa limite:

Ďalším derivovaním postupne dostaneme tretiu, štvrtú atď. deriváciu, všeobecne n-tú

deriváciu funkcie : alebo

( ).

Príklad. Nájdite n-tú deriváciu funkcie: , .

Príklad. Nájdite n-tú deriváciu funkcie:

, .

((

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

67 Ľahko sa presvedčíme, že platí: pre .

151

Funkcia, ktorá je na intervale n-krát (resp. nekonečnekrát) spojite diferencovateľná, sa

označuje

, respektíve

. Každý polynóm je prvkom

. Pre polynóm n-

tého stupňa platí: , pre , .

Uveďme si príklad fyzikálnej interpretácie derivácií vyššieho rádu. Majme hmotný bod,

ktorý sa pohybuje rovnomerne zrýchleným priamočiarym pohybom v kladnom smere osi x,

pričom jeho polohu v čase (dráhu) vyjadruje funkcia: , kde je konštanta,

. Rýchlosť pohybu hmotného bodu v čase sa rovná derivácií dráhy podľa času v čase

: . Deriváciou rýchlosti podľa času, t. j. druhou deriváciou dráhy podľa

času, dostaneme okamžité zrýchlenie. V tomto prípade je zrýchlenie konštantné a platí:

.

6.5. L'Hospitalovo pravidlo

L'Hospitalovo pravidlo 68

predstavuje silný nástroj na výpočet limít typu neurčitých

výrazov. Ak napríklad vieme, že deriváciou funkcie je alebo deriváciou je ,

vieme pomocou tohto poznatku vypočítať limity typu

:

alebo:

Súvislosť medzi limitami niektorých neurčitých výrazov a deriváciou stanovuje nasledujúca

veta.

Veta. (L'Hospitalovo pravidlo) Nech funkcie a sú definované v okolí bodu a nech

alebo . Potom, ak

existuje limita (vlastná alebo nevlastná):

platí:

[6.13.]

68 Guillaume François Antoine, Marquis de l’Hospital (1661-1704) (v modernej francúzštine Hôpital), bol francúzsky

matematik, ktorý v roku 1696 publikoval prvú učebnicu diferenciálneho počtu na svete.

152

Pripomeňme, že vo vzťahu [6.13.] derivujeme čitateľa zvlášť a menovateľa zvlášť (nie ako

podiel dvoch funkcií). Vetu možno aplikovať aj na jednostranné limity a tiež na limity v

nevlastných bodoch ( .

L'Hospitalovo pravidlo môžeme priamo aplikovať na limity typu:

alebo

a limity

typu alebo možno na uvedené typy upraviť. Napríklad, ak a

môžeme limitu previesť na:

limitu typu

úpravou:

limitu typu

úpravou:

(ak v )

Ak môžeme limitu typu

previesť na:

limitu typu

úpravou:

Príklad. Vypočítajte limitu:

.

Pretože limita čitateľa aj menovateľa sa rovnajú 0, na výpočet limity použijeme L'Hospitalovo

pravidlo:

Príklad. Vypočítajte limitu: .

Po dosadení dostávame neurčitý výraz typu , ktorý najprv prevedieme na limitu typu

a potom vypočítame pomocou L'Hospitalovo pravidla:


.

Limitu vypočítame dvojnásobnou aplikáciou L'Hospitalovo pravidla:

Všeobecne, nech predstavuje ľubovoľný polynóm n-tého stupňa:

153

, potom platí:

, ak a

, ak .


.

Limitu typu upravíme tak, že v exponente dostaneme limitu typu

:

Príklad. Vypočítajte limitu: (

).

Limitu typu najprv upravíme na typ

:

(

) (

) (

) (

)


.

Príklad. Vypočítajte limitu: .

Limitu typu najprv upravíme na typ

:

(

)

6.6. Diferenciál

Vráťme sa k definícii derivácie funkcie a ukážme, ako je možné odhadnúť pomocou

derivácie v bode funkčnú hodnotu v blízkom bode . Pomocou

derivácie vieme tiež vypočítať chybu určenia fyzikálnej veličiny, ktorá je závislá od

parametra meraného s konečnou presnosťou: ( je stredná hodnota parametra a je

chyba merania).

154

Pamätáme sa, že derivácia funkcie je definovaná ako limita:

Ak označíme a , potom:

alebo:

kde číslo nazývame diferenciou (prírastkom) funkcie a prírastkom argumentu

(nezávisle premennej). Označme rozdiel

ak položíme:

potom pre po úprave dostaneme:

[6.14.]

Preto diferencia je blízka hodnote ,

ktorú nazývame diferenciálom. Diferencia funkcie je aproximovaná diferenciálom tým

lepšie, čím je prírastok argumentu menší (pre sa ), obr. 6.10.

Obr. 6.10. Diferenciál je prírastok na dotyčnici ku krivke s dotykovým bodom

a smernicou . Diferencia – je vzdialenosť medzi

bodmi a .

155

Definícia. Diferenciálom funkcie v bode pre infinitezimálny (nekonečne malý) prírastok

argumentu nazývame výraz:

[6.15.]

Geometrický význam diferenciálu je zrejmý z obr. 6.10. Diferenciál nazývame aj

prírastkom na dotyčnici.

V prírodných vedách, najmä vo fyzike, sa používa zápis derivácie v tvare:

.

Funkcia, ktorá má v bode a diferenciál, sa nazýva diferencovateľná. Je zrejmé, že funkcia je

v bode diferencovateľná vtedy a len vtedy, ak má v danom bode deriváciu. Pre malé

hodnoty možno využiť deriváciu v bode na výpočet približných hodnôt funkcie

v bode :

[6.16.]

Príklad. Nájdite hodnotu diferencie a diferenciálu funkcie , ak sa argument x

zmení z hodnoty na .

Máme zadané nasledovné hodnoty argumentu: , a .

Počítajme najprv diferenciu:

Teraz pomocou vzťahu [6.14.] vypočítame diferenciál:

Vidíme, že rozdiel medzi presnou hodnotou diferencie a približným diferenciálom je malý

( ) a predstavuje odchýlku približne 3%.

Príklad. Vypočítajte pomocou diferenciálu približnú hodnotu .

Pre hodnoty argumentu: , a použijeme na približný výpočet vzťah

[6.16.]

.

Na porovnanie, hodnota vypočítaná na kalkulačke sa rovná .

Vzťah [6.16.] používane aj na odhad absolútnej chyby veličiny, ktorá je funkciou iného

parametra, ktorý bol odmeraný s istou chybou merania. Napríklad povrch kocky:

156

kde je dĺžka hrany kocky. Ak poznáme absolútnu chybu merania dĺžky , potom

absolútna chyba výpočtu veľkosti povrchu kocky bude:

[6.17.]

kde je stredná hodnota merania dĺžky hrany.

Príklad. Opakovaným meraním sa zistilo, že polomer gule je:

Vypočítajte povrch gule.

Povrch gule: , , , .

Stredná hodnota povrchu gule:

Absolútna chyba výpočtu povrchu:

Povrch gule je teda určený ako:

6.7. Taylorov rad

V jednej z predchádzajúcich častí (5.4.) sme sa zaoberali aproximáciou funkcie

mocninovým radom. Teraz sa budeme venovať rozvoju funkcie do Taylorovho radu69

, na

ktorého definíciu je potrebný pojem derivácie funkcie. Taylorov rad je teda mocninový rad,

ktorého súčet sa rovná funkcii na intervale okolo bodu (pre jednoduchosť

predpokladajme, že ):

∑

pre [6.18.]

Zaujíma nás, ako máme zvoliť koeficienty tak, aby bol splnený vzťah [6.18.]. Na

odvodenie výrazov pre koeficienty použijeme nasledovný postup. Rozpíšme [6.18.] postupne

pre 1., 2. až n-tú deriváciu :

[6.19.]

69 Brook Taylor (1685-1731) bol anglický matematik. Zaoberal sa predovšetkým matematickou analýzou. Je známy najmä

vďaka Taylorovmu radu a polynómu.

157

členy obsahujúce

Ak dosadíme do vzťahov [6.19.] za nulu , potom dostaneme:

Pre koeficient mocninového radu ∑

teda platí vzorec:

Pre argument z intervalu okolo bodu platí:

∑

[6.20.]

Tento mocninový rad nazývame Taylorov rad funkcie so stredom v bode . Vo

všeobecnosti môžeme funkciu rozvinúť do Taylorovho radu okolo ľubovoľného bodu

(je potrebné, aby mala funkcia v tomto bode všetky derivácie):

∑

[6.21.]

Ak stred intervalu potom tento mocninový rad nazývame Maclaurinov rad.70

V praxi je často dostačujúce aproximovať funkciu len s určitou vopred zadanou

presnosťou, je preto postačujúce uvažovať len prvých členov nekonečného mocninového

radu. Vtedy hovoríme o Taylorovom polynóme n-tého stupňa:

[6.22.]

Príklad. Napíšte Taylorov polynóm 3. stupňa pre funkciu:

so stredom v bode

.

Najprv vypočítame prvé 3 derivácie funkcie :

70 Colin Maclaurin (1698-1746) bol škótsky matematik.

158

Príklad. Napíšte Taylorov polynóm 5. stupňa pre funkciu: so stredom v .

V súvislosti s rozvojom funkcie do radu je vhodné stanoviť, na akom intervale z

môžeme funkciu aproximovať Taylorovým polynómom n-tého stupňa so stredom v bode .

Zjednodušene sa dá povedať, že je to na intervale , kde je polomer

konvergencie, definovaný ako:

|

| [6.23.]

Príklad. Nájdite polomer konvergencie Taylorovho polynómu pre funkciu:

so

stredom v bode .

Najprv nájdeme tvar k-tej derivácie funkcie :

a

Polomer konvergencie vypočítame podľa vzťahu [6.23.]:

|

| |

| |

|

|

|

159

Funkciu

môžeme teda aproximovať Taylorovým polynómom so stredom v bode

na intervale .

Existujú funkcie a body, pre ktoré polomer konvergencie a Taylorov rozvoj okolo

tohto stredu aproximuje danú funkciu na celom jej definičnom obore. Treba si však uvedomiť,

že pre hodnoty argumentu veľmi vzdialené od stredu je potrebné na dosiahnutie

požadovanej presnosti aproximovanej funkčnej hodnoty použiť podstatne vyšší počet členov

rozvoja.

Riešenie otázky presnosti aproximácie funkčnej hodnoty funkčnou hodnotou

Taylorovho polynómu nie je triviálne. Uvedieme bez dôkazu nasledujúcu tzv.

Taylorovu vetu.

Veta. Nech funkcia má všetky derivácie okolo bodu . Potom pre každé

platí:

kde je n-tý zvyšok Taylorovho radu:

[6.24.]

pričom je nejaké bližšie neurčené číslo z intervalu , v tomto prípade .

Význam n-tého zvyšku Taylorovho radu je v tom, že udáva, akej maximálnej chyby sa

dopustíme pri rozvoji funkcie do radu s konečným počtom členov .

Príklad. Vypočítajte hodnotu s presnosťou .

Taylorov rozvoj funkcie okolo stredu má tvar:

Pričom n-tý zvyšok Taylorovho radu:

, kde pre číslo c platí: . Potom

Teda:

, t. j. ak zoberieme do úvahy prvých členov

Taylorovho radu, potom chyba výpočtu bude menšia ako

.

Dosadením pre dostaneme:

160

Preto:

Porovnaním s výpočtom na kalkulačke zistíme, že funkčnú hodnotu sme vypočítali

s presnosťou na desatinných miest.

Kalkulačky a počítače tiež rátajú funkčné hodnoty väčšiny elementárnych funkcií pomocou

Taylorovho rozvoja v tvare polynómov, pretože na výpočet stačia základné aritmetické

operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie, ktoré aritmetické jednotky počítačov dokážu

vykonávať veľmi rýchlo.

Všimnime si, že Taylorov polynóm 1. stupňa aproximuje danú funkciu lineárnou

funkciou, a to dotyčnicou ku krivke v bode :

[6.25.]

kde

je diferenciál funkcie v bode pre prírastok argumentu . Tento polynóm je

zhodný s výrazom [6.16.], ktorý popisuje približný výpočet hodnôt funkcie v bode

pomocou diferenciálu.

6.8. Derivácia a vlastnosti funkcií

V časti 6.3. sme dokázali vetu, ktorá hovorí, ak má funkcia v bode deriváciu, potom je v

tomto bode spojitá. S existenciou a vlastnosťami derivácie súvisia aj viaceré vlastnosti, ktoré

sa týkajú priebehu funkcie (grafu funkcie). Uvedieme ich v nasledujúcich častiach.

Veta (Lagrangeova veta). Nech je spojitá funkcia na uzavretom intervale ⟨ ⟩ a má

deriváciu v každom bode intervalu . Potom na intervale existuje taký bod

, že platí:

[6.26.]

Veta (Rolleova veta)71

. Nech je spojitá funkcia na uzavretom intervale ⟨ ⟩, má deriváciu

v každom bode intervalu a platí: . Potom existuje bod , pre

ktorý je .

71 Michel Rolle (1652-1719) bol francúzsky matematik.

161

Geometrický význam Rolleovej vety je nasledujúci. Keďže funkcia je na intervale

⟨ ⟩ spojitá a koncové body intervalu majú rovnaké funkčné hodnoty (nejde o

konštantnú funkciu), potom medzi bodmi a nadobúda krivka svoje maximum

alebo minimum (aspoň jedno z nich); a dotyčnica ku grafu funkcie zostrojená v bode má

nulovú smernicu ( , je rovnobežná s x-ovou osou). Ak je funkcia konštantná,

potom je derivácia v každom bode medzi a nulová, čiže .

Lagrangeova veta je zovšeobecnením Rolleovej vety. Geometrická interpretácia Lagrangeo-

vej vety, obr. 6.11, ukazuje, že pre diferencovateľnú funkciu existuje vo vnútri uzavretého

intervalu ⟨ ⟩ taký bod , že dotyčnica ku krivke , zostrojená v bode , je

rovnobežná (má rovnakú smernicu) so spojnicou krajných bodov a .

Obr. 6.11. Dotyčnica ku krivke v bode je rovnobežná s úsečkou

spojnicou krajných bodov intervalu.

Príklad. Nájdite na grafe funkcie bod, v ktorom je dotyčnica rovnobežná so

spojnicou krajných bodov grafu na intervale ⟨ ⟩.

Smernica priamky, ktorá spája krajné body grafu, bude mať smernicu:

Budeme hľadať bod , v ktorom sa krivky dotýka dotyčnica so smernicou

. Bude to teda bod: [

] a rovnica dotyčnice prechádzajúcej

týmto bodom bude:

162

6.8.1. Monotónnosť funkcie

Význam prvej derivácie pre monotónnosť funkcie (rast alebo pokles funkčných hodnôt

s rastúcou hodnotou argumentu ) opisuje nasledujúca veta. Najskôr však uveďme, ako

poznáme, že daná funkcia rastie (okrem pohľadu na graf funkcie). Funkcia rastie vtedy, ak

existuje také, že pre je a pre je

. Podobným spôsobom definujeme aj pokles funkcie.

Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale ⟨ ⟩ a má v každom bode intervalu

kladnú (zápornú) deriváciu:

( ) pre [6.27.]

potom je funkcia na intervale ⟨ ⟩ rastúca (klesajúca).

Dôkaz. Nech pre každé z intervalu má funkcia kladnú deriváciu ( ).

Dokážeme, že je rastúca na ⟨ ⟩, teda:

Keďže ⟨ ⟩ ⟨ ⟩, funkcia spĺňa Lagrangeovu vetu (vzťah [6.25.]). Preto existuje

⟨ ⟩ také, že:

Keďže derivácia je kladná ( ) pre a , potom

Čím sme dokázali, že pre platí: .

Dôkaz pre klesajúcu funkciu je analogický.

Táto veta nám umožňuje zisťovať intervaly, na ktorých je funkcia rastúca alebo klesajúca.

Veta hovorí o monotónnosti na uzavretom intervale ⟨ ⟩, ale môžeme ju použiť aj na

neohraničené intervaly alebo intervaly, v krajných bodoch ktorých funkcia nie je definovaná.

Tvrdenie vety nemožno obrátiť, rastúca funkcia nutne neznamená kladnú deriváciu pre všetky

body intervalu, a pod. Pokiaľ sa derivácia funkcie v bode rovná nule, nevieme rozhodnúť

o monotónnosti funkcie v tomto bode. Ak má funkcia v danom bode nevlastnú deriváciu

, znamená to, že na istom okolí bodu je výraz

obsiahnutý v definícii

derivácie kladný, funkcia bude teda rastúca. Ak je , je v bode klesajúca.

Príklad. Zistite, pre aké hodnoty je funkcia rastúca a pre ktoré je klesajúca.

163

Keďže , bude pre hodnota a teda , preto bude

funkcia klesajúca, obr. 3.13. Pre základ bude a funkcia

bude rastúca.

Príklad. Zistite, na akých intervaloch definičného oboru je funkcia

rastúca a

klesajúca.

Definičným oborom je . Funkcia má deriváciu pre každé

Pretože menovateľ derivácie je vždy kladný, o znamienku derivácie rozhoduje výraz v čitateli:

.

pre , čiže pre je a funkcia

je rastúca,

pre , čiže pre je a funkcia

je

klesajúca, obr. 6.12.

V bodoch a je derivácia funkcie . V týchto bodoch má funkcia

lokálne extrémy (minimum a maximum).

Obr. 6.12. Graf funkcie

Príklad. Zistite, na akých intervaloch definičného oboru je funkcia , kde

, rastúca a klesajúca.

ak , t. j. pre

, teda pre (

) rastie

ak , t. j. pre

, teda pre (

) klesá, obr. 6.13.

164

Graf funkcie klesá z bodu ( ) do bodu [

] a odtiaľ rastie až do

nekonečna ( ).


Majme funkciu , ktorá je v okolí bodu diferencovateľná a existuje také, že pre

všetky je a pre všetky je . Funkcia je teda

na ľavom okolí bodu rastúca a na pravom okolí klesajúca. Toto spolu so spojitosťou funkcie

zabezpečuje existenciu lokálneho maxima v bode . Analogicky, ak je diferencovateľná

funkcia naľavo od bodu klesajúca a napravo od bodu rastúca, znamená to, že v bode má

funkcia lokálne minimum. Takéto body nazývame stacionárne body alebo presnejšie lokálne

extrémy (pozri kapitolu 6.8.3.). V týchto bodoch mení prvá derivácia funkcie znamienko zo

záporného na kladné alebo naopak, teda pre prvú deriváciu funkcie v týchto bodoch platí

.


Príklad. Zistite, v ktorých bodoch má funkcia lokálne extrémy.

Najprv nájdeme prvú deriváciu funkcie a určíme stacionárne body tak, že položíme :

165

Dostaneme dve riešenia: a . Funkcia je teda rastúca na intervale ,

v bode má lokálne maximum, na intervale je klesajúca, v bode má lokálne

minimum a na intervale je rastúca, obr. 6.14.

6.8.2. Konvexnosť a konkávnosť funkcie, inflexný bod

Pojmy konvexnosť a konkávnosť súvisia so zakrivením grafu funkcie a pomáhajú

charakterizovať tvary kriviek. Zakrivenie čiary súvisí s deriváciou funkcie v danom bode (t. j.

so smernicou dotyčnice), preto aj konvexnosť a konkávnosť krivky budeme opisovať vo

vzťahu k dotyčnici, obr. 6.15.

Definícia. Nech funkcia je spojitá na intervale ⟨ ⟩ a má deriváciu v každom bode

intervalu . Hovoríme, že je konvexná (konkávna) na intervale , ak graf funkcie leží

nad (pod) dotyčnicou zostrojenou v každom bode krivky pre :

pre

( pre )

Obr. 6.15. A. Graf konvexnej funkcie. B. Graf konkávnej funkcie. C. Inflexný bod. D. Inflexný bod.

Na obr. 6.15. A a B vidíme príklady konvexnej a konkávnej funkcie v okolí bodov a

Ako poznáme, či je daná funkcia konvexná alebo konkávna hovorí nasledujúca veta.

166

Veta. Nech funkcia je spojitá na intervale ⟨ ⟩ a má druhú deriváciu v každom bode

intervalu . Hovoríme, že funkcia je na konvexná (konkávna), ak má na kladnú

(zápornú) druhú deriváciu:

( ) pre [6.28.]

Táto veta nám umožňuje zisťovať, na ktorých intervaloch je určitá funkcia konvexná alebo

konkávna pri vyšetrovaní priebehu funkcie. Túto vetu možno použiť aj vtedy, keď je interval

neohraničený, prípadne funkcia nie je definovaná v jeho krajných bodoch. V prípade funkcie,

ktorej graf je (aspoň lokálne) totožný s dotyčnicou, nemôžeme hovoriť o konvexnosti alebo

konkávnosti, takéto body budeme nazývať inflexnými bodmi, obr. 6.15.

Príklad. Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie: .

Pre túto funkciu platí: pre každé .

Preto bude funkcia konvexná (nad dotyčnicou) pre všetky

Príklad. Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie: .

Pre túto funkciu platí: .

Funkcia bude konvexná na intervale, kde: , t. j. , teda:

kde

Funkcia bude konkávna na intervale, kde: , t. j. , teda:

Pozri Obr. 3.15.

Veta. Nech funkcia je spojitá v okolí bodu a má v bode deriváciu. Bod

nazývame inflexným bodom grafu funkcie, ak existuje také , že funkcia je na intervale

⟨ ⟩ konvexná a na intervale ⟨ ⟩ konkávna, alebo naopak. Hovoríme tiež, že je

inflexným bodom funkcie , alebo že má v bode inflexný bod.

Funkcia má v inflexnom bode dotyčnicu, ale krivka je z jednej strany inflexného bodu nad

dotyčnicou a z druhej strany pod dotyčnicou, alebo naopak, obr. 6.15.C. a D. Inflexné body

nájdeme tak, že hľadáme intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie a hraničné body, ktoré

sú súčasne hraničným bodom intervalu konvexnosti aj konkávnosti, a v ktorých existuje

derivácia, sú inflexnými bodmi.

167

Príklad. Nájdite inflexné body funkcie .

Funkcia má definičný obor . Najprv nájdeme intervaly, v ktorých (funkcia

je konvexná), teda riešime nerovnicu:

(√ ) √

Dostaneme: je konvexná v intervaloch (

√ ), (

√ )

Podobne riešením nerovnice dostaneme, že je konkávna na intervale (

√

√ ).

Funkcia má deriváciu v každom bode, obr. 6.16 A. Inflexné body grafu ležia na rozhraní

intervalov konvexnosti a konkávnosti v bodoch:

[

√

] a [

√

]

A B

Obr. 6.16. A. Graf funkcie . B. Graf funkcie √

.

Príklad. Nájdite inflexné body funkcie √

.

Funkcia má definičný obor . Najprv nájdeme prvú a druhú deriváciu funkcie:

√ a

√

Vidíme, že funkcia je konvexná na intervale a konkávna na intervale . Preto

očakávame existenciu inflexného bodu na rozhraní intervalov pre . Prvá derivácia

je nevlastná:

√

√

√

√

Funkcia má v bode inflexný bod a dotyčnicu totožnú s osou y, obr. 6.16.B.

Pre existenciu inflexného bodu funkcie platí nasledujúca nutná podmienka:

168

Veta. Ak má funkcia v bode inflexný bod a má v bode deriváciu, potom .

Nasledujúca veta zovšeobecňuje súvis medzi deriváciami funkcie a existenciou inflexných

bodov.

Veta. Ak pre funkciu definovanú a spojitú v okolí bodu platí:

a , [6.29.]

Ak k je nepárne číslo, potom má v bode inflexný bod.

Typickým príkladom podobného správania je funkcia , , v bode

. Platí: , . Pre párne má

funkcia v bode lokálne minimum (zároveň je to aj globálne minimum) a pre nepárne

je v tomto bode inflexný bod.

A B

Obr. 6.17. A. Graf funkcie . B. Graf funkcie .

Príklad. Nájdite inflexné body funkcie: .

Funkcia je definovaná a spojitá pre všetky . Nájdeme derivácie funkcie:

, , ,

,

Vidíme, že: , ale pre nepárne dostávame

.

Funkcia má preto v bode inflexný bod so súradnicami , obr. 6.17.A.

Príklad. Nájdite inflexné body funkcie:

Funkcia je definovaná pre všetky , spojitá, párna a . Nájdeme

derivácie funkcie:

169

,

Funkcia je konvexná na intervale ( √

) (

√

) a konkávna na intervale (

√

√

).

Inflexné body majú súradnice: [ √

√ ] a [

√

√ ], obr. 6.17.B.

6.8.3. Lokálne extrémy

Z hľadiska priebehu funkcie sú asi najzaujímavejšie body, v ktorých sa mení rast funkcie

na pokles a naopak. Tieto body predstavujú lokálne minimum a lokálne maximum na

sledovanej krivke, spoločne ich nazývame lokálne extrémy.

Definícia. Hovoríme, že funkcia má v bode lokálne maximum (lokálne minimum), ak

existuje také okolie bodu , že pre každý bod z tohto okolia , platí:

( )

Z geometrickej predstavy je zrejmé, že dotyčnica v bodoch lokálnych extrémov, ak

existuje, je rovnobežná s osou , obr. 6.18.

Nutnú podmienku existencie lokálneho extrému vyjadruje nasledujúca veta.


Veta. Ak funkcia má v bode lokálny extrém a má v tomto bode deriváciu, potom:

[6.30.]

Veta sa nedá obrátiť, pretože, ak má funkcia v bode nulovú prvú deriváciu, nemusí v bode

nutne mať lokálny extrém, môže tam mať aj inflexný bod. Všeobecne takýto bod nazývame

stacionárnym bodom. Ak má funkcia v bode dotyčnicu rovnobežnú s osou , obr.

6.18., a krivka funkcie leží v okolí bodu nad dotyčnicou, potom má funkcia v tomto bode

170

minimum, ak leží pod dotyčnicou, potom má krivka maximum. Nasledujúca veta obsahuje

postačujúcu podmienku existencie lokálneho extrému.

Veta. Ak funkcia má v bode prvú deriváciu rovnú nule

a druhú deriváciu zápornú

(kladnú ) [6.31.]

potom má v bode lokálne maximum (lokálne minimum).

Nasledujúca veta je užitočná v situáciách, keď v bode je splnená podmienka existencie

extrému, aj inflexného bodu, a potrebujeme určiť o aký druh stacionárneho bodu sa jedná.

Veta. Nech funkcia má v bode prvú deriváciu a vyššie derivácie a platí:

a , [6.32.]

potom:

ak číslo je nepárne, funkcia má v bode inflexný bod,

ak číslo je párne, funkcia má v bode lokálny extrém.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie .

Pri riešení využijeme predchádzajúcu vetu a vzťah [6.32.] Najprv vypočítame prvú a druhú

deriváciu:

Funkcia bude mať stacionárny bod tam, kde , čiže: a to v bode:

. Druhá derivácia v bode dáva hodnotu:

, preto

bude mať funkcia v bode lokálne maximum so súradnicami

, obr. 6.19.A.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie .

Najprv vypočítame derivácie funkcie až po prvú nenulovú hodnotu v bode :

171

rád prvej nenulovej derivácie je párne

číslo a jej hodnota je kladná. Funkcia má preto v bode lokálne minimum, obr. 6.19.B.

Obr. 6.19. A. Graf funkcie . B. Graf funkcie .

Okrem lokálnych extrémov sa často zaujímame o globálne extrémy funkcie.

Veta. Hovoríme, že funkcia má v bode globálne maximum (globálne minimum), ak pre

každé platí:

( ) [6.33.]

Pri hľadaní globálnych extrémov prehliadame lokálne extrémy a funkčné hodnoty

v krajných bodoch intervalov patriacich do definičného oboru funkcie.

Problém hľadania globálnych extrémov sa často vyskytuje pri optimalizácií.

V optimalizačných úlohách hľadáme také hodnoty argumentov, pre ktoré účelová funkcia

(funkcia, ktorá opisuje kľúčové vlastnosti systému) nadobúda maximálne alebo minimálne

hodnoty.

Príklad. Nájdite rozmery kužeľa s čo najmenším objemom, ktorý môžeme opísať guli

s polomerom .

Rozmery kužeľa sú dané takto: - polomer základne, - výška kužeľa. Guľa má

polomer označený , obr. 6.20.

Z podobnosti pravouhlých trojuholníkov so spoločným vrcholom a dostaneme

nasledovný vzťah medzi rozmermi kužeľa a gule, obr. 6.20.:

√

√

Úpravou dostaneme vzťah medzi polomerom podstavy kužeľa a jeho výškou :

172

Objem kužeľa:

Najmenší objem kužeľa určíme tak, že budeme hľadať globálne minimum účelovej funkcie,

ktorá definuje objem kužeľa ako funkciu parametra (výšky). Teda hľadáme také , pre

ktoré

(podmienka existencie extrému) a

(minimum, Veta [6.32.]).

Takže:

Vyriešením dostaneme: a dosadením do vzťahu pre dostaneme: √ .

Preto kužeľ s najmenším objemom, ktorý možno opísať guli s polomerom 8 bude mať

polomer základne √ a výšku .

Obr. 6.20. Kužeľ opísaný guli s polomerom

6.8.4. Asymptoty

Asymptotou funkcie nazývame priamku, ku ktorej sa graf funkcie neobmedzene

približuje. Existujú dva druhy asymptôt:

asymptota bez smernice

asymptota so smernicou

Definícia. Priamka je asymptotou bez smernice grafu funkcie , ak funkcia je

definovaná aspoň na jednom z intervalov alebo , , a aspoň

jedna z limít: alebo je nevlastná (rovná alebo ).

173

Z definície vyplýva, že ak priamka je asymptotou bez smernice ku grafu funkcie ,

potom nie je v okolí bodu ohraničená, a teda ani spojitá. Ak je funkcia spojitá v okolí

bodu , potom nemôže mať v tomto bode asymptotu , obr. 6.21.

Definícia. Asymptota so smernicou ku grafu funkcie je priamka , pre ktorú v

nevlastných bodoch argumentu platí:

a [6.34.]

Z definície je zrejmé, že funkcia , ktorá má asymptoty so smernicou musí mať neohraničený

definičný obor . Funkcia, ktorej , môže mať dve asymptoty, jednu pre ,

druhú pre .

Ukážme, ako sme v predchádzajúcej definícii odvodili vzťahy [6.34.] na výpočet konštánt

asymptoty so smernicou. Keďže sa asymptota pre neobmedzene

približuje ku krivke bude sa rozdiel limitne blížiť nule:

Zároveň vieme, že platí:

Pre súčin dvoch funkcií bude podľa [6.4.] platiť:

(

)

(

)

Z toho dostaneme vzťahy [6.34.].

Príklad. Nájdite asymptoty grafu funkcie

.

Funkcia nie je definovaná v bode , . Hľadajme, k akým

hodnotám sa približujú funkčné hodnoty v okolí zľava a sprava, rátajme:

a

72

72 Symbol „ “ v menovateli posledného zlomku zvýrazňuje, že hodnota menovateľa je po priblížení sa k bodu 3 sprava

(infinitezimálne malá) kladná, preto:

. Symbol „ “ naopak v predchádzajúcej limite zľava znamená, že

menovateľ predstavuje (infinitezimálne malé) záporné číslo a preto:

.

174

Preto priamka rovnobežná s osou , určená rovnicou , bude asymptotou bez smernice

ku grafu funkcie , obr. 6.21. Funkcia bude mať aj asymptotu so smernicou pre

, ktorú určíme pomocou vzťahu [6.34.]:

(

)

Asymptota so smernicou pre bude mať teda tvar: , obr. 6.21. Rovnaký

tvar bude mať aj rovnica asymptoty aj pre .


. Asymptota funkcie bez smernice : . Asymptota

so smernicou : .

Príklad. Nájdite asymptoty grafu funkcie

.

Funkcia nie je definovaná v bodoch a , .

Najprv spočítame limity v bodoch a zľava, aj sprava:

Všetky limity sú nevlastné a majú opačné znamienko pre limitu zľava a sprava, preto priamky

a budú asymptotami bez smernice a .

Na určenie asymptoty so smernicou vypočítame limity:

(

)

175

Asymptotou pre je tak priamka : . Rovnaké hodnoty limít dostaneme aj pre

, preto rovnaká priamka bude asymptotou funkcie pre , obr. 6.22.


. Asymptoty funkcie bez smernice : a : .

Asymptota so smernicou : .

6.8.5. Vyšetrovanie priebehu funkcie

Schéma vyšetrovania priebehu funkcie založená na výpočte derivácií funkcie sa skladá

z nasledujúcich krokov:

určenie definičného oboru a základných vlastností funkcie ako: spojitosť, periodicita,

párnosť alebo nepárnosť. Pre párnu funkciu stačí vyšetriť len interval ⟨ a potom

využiť symetriu krivky. Periodickú funkciu stačí skúmať na intervale rovnom perióde

funkcie,

určenie znamienka funkcie a priesečníkov s osami súradnicového systému. Na intervaloch

respektíve potom graf funkcie leží nad alebo pod osou ,

výpočet limít v krajných bodoch definičného oboru. Ak je zložený z viacerých

otvorených intervalov, je potrebné skúmať limity zľava aj sprava v hraničných bodoch

intervalov. Existencia a hodnota týchto limít vypovedá o správaní sa funkcie v ich blízkom

okolí,

výpočet prvej derivácie a určenie jej znamienka umožní identifikovať intervaly

monotónnosti a lokálne extrémy funkcie,

výpočet druhej (a vyšších) derivácií a určenie ich znamienka umožní identifikovať

intervaly konvexnosti a konkávnosti, inflexné body a určiť typ lokálneho extrému funkcie

(maximum, minimum),

určenie globálneho maxima a minima funkcie,

určenie asymptôt funkcie,

nakreslenie grafu funkcie na základe poznatkov získaných v predchádzajúcich krokoch.

176

Príklad. Vyšetrite priebeh funkcie .

Jedná sa o polynóm tretieho stupňa, ktorý je definovaný na celom obore reálnych čísel, preto

Pre , preto nie je párna, ani nepárna.

Platí:

, ide o polynóm s jednoduchým koreňom

a dvojnásobným koreňom . Znamienko zistíme dosadením:

Interval

Vypočítame prvú deriváciu: .

Korene polynómu: sú a . V nich sa nachádzajú

stacionárne body funkcie. Určíme ich znamienko a monotónnosť funkcie v intervaloch medzi

stacionárnymi bodmi:

Interval

Funkcia má v bode lokálne maximum a v bode lokálne minimum.

Vypočítame druhú deriváciu: .

Ak položíme , dostaneme bod, v ktorom môže byť inflexný bod, . Určíme

znamienko a intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie:

Interval

73

Funkcia má v bode inflexný bod.

Ďalej nájdeme asymptoty funkcie. Funkcia je spojitá pre všetky , preto nemá žiadne

asymptoty bez smernice. Zistíme, či má v krajných bodoch limitu pre :

Preto asymptoty so smernicou pre neexistujú.

Spočítame funkčné hodnoty vo významných bodoch:

a nakreslíme graf, obr. 6.23.

73 Symbol " " znamená: krivka leží (v danom intervale) pod dotyčnicou a symbol " " znamená: krivka leží nad dotyčnicou.

177


Príklad. Vyšetrite priebeh funkcie .

Najprv určíme definičný obor funkcie . Prirodzený logaritmus je definovaný len pre

nezáporné hodnoty argumentu, preto musí platiť: , čo je splnené pre .

Ďalej overíme základné charakteristiky . Platí:

.

preto je párna funkcia. Potom nájdeme priesečníky s osami súradnicového systému:

teda

√

Určíme znamienko funkcie:

Interval √ √ √ √

Počítajme prvú deriváciu:

.

Odtiaľ vyplýva: pre . Znamienko prvej derivácie je nasledovné:

Interval

Preto má funkcia v bode lokálne maximum.

Počítajme druhú deriváciu:

178

(

)

( )

Druhá derivácia nemá na definičnom obore (-2, 2) žiadne nulové body, a preto funkcia nemá

inflexný bod. Určíme znamienko derivácie a konvexnosť, alebo konkávnosť funkcie:

Interval

Funkcia je na celom konkávna.

Spočítajme teraz jednostranné limity v okrajových bodoch :

a preto sú priamky a asymptotami bez smernice.

Nakoniec nakreslíme graf funkcie, obr. 6.24.

Obr. 6.24. Graf funkcie s asymptotami bez smernice : a :

6.9. Interpolácia [3]

Pri interpretovaní experimentálnych pozorovaní sa často stretneme s úlohou nájsť krivku

(funkciu), ktorá prechádza nameranými bodmi , . S jednou funkciou (i

keď mnohoparametrovou) sa totiž pracuje o niečo ľahšie ako s desiatkami nameraných

údajov, aj keď sú údaje popísané len približne. Hľadaná funkcia sa nazýva interpolačná

funkcia a body sa volajú uzly interpolácie.

Pokúsme sa teraz nájsť takúto interpolačnú funkciu v tvare polynómu:

179

pre ktorý musí platiť:

pre [6.35.]

Dostaneme tak sústavu lineárnych rovníc o neznámych , :

[6.36.]

pričom neznáme sú koeficienty . Takýto lineárny systém má práve jedno riešenie.

Dostaneme tak jednoznačne určený interpolačný polynóm stupňa .

Veta. Pre každú množinu navzájom rôznych bodov , , ,

existuje práve jeden polynóm , stupňa rovného najviac číslu , pre ktorý platí:

pre

Polynóm nazývame Langrangeovým interpolačným polynómom a predstavuje riešenie

sústavy rovníc [6.36.].

Langrangeov interpolačný polynóm môžeme vyjadriť aj iným spôsobom, ako riešením

sústavy [6.36.], napr. Gaussovou eliminačnou metódou. Zostrojme pomocné polynómy

také, že:

∏

∏ [6.37.]

hľadaný Langrangeov interpolačný polynómom potom môžeme vyjadriť ako:

[6.38.]

Pomocné polynómy majú vlastnosť:

( ) {

Príklad. Nájdite polynóm vhodný na interpoláciu bodov

Hľadáme polynóm, ktorý spĺňa podmienku [6.35.], t. j.:

určený štyrmi bodmi, teda polynóm najviac 3. stupňa:

.

Dosadením uvedených podmienok do sústavy [6.36.] dostaneme:

180

ktorej riešenie (najmä, ak máme desiatky meraní) je pracné. Ukážme si preto aj rýchlejší

spôsob výpočtu pomocou vzťahov [6.37.] a [6.38.]:

Istou nevýhodou interpolácie dát pomocou Lagrangeovho interpolačného polynómu je jeho

veľká citlivosť na presnosť meraní, keďže aj malé lokálne zmeny hodnôt spôsobia dramatické

zmeny správania výsledného polynómu. Preto sa kvalita interpolačného polynómu zvykne

vylepšovať tak, že pridáme informácie o správaní závislosti v daných bodoch zadaním aj

hodnôt prvej derivácie (napríklad meranie dráhy telesa v čase doplníme o meranie rýchlosti v

tom istom čase a pod.). V tomto prípade hovoríme o Hermiteovom interpolačnom polynóme.74

Príklad. Nájdite Hermiteov interpolačný polynóm, ktorý spĺňa podmienky:

Polynóm, ktorý je určený štyrmi podmienkami je polynóm najviac 3. stupňa. Nech:

potom

Dosadením podmienok dostaneme sústavu štyroch rovníc:

Vyriešením tejto sústavy dostaneme Hermiteov polynóm ,

ktorý sa líši od Lagrangeovho polynómu vypočítanom pre podmienky:

, napríklad správaním pre , obr. 6.25.

74 Charles Hermite (1822-1901) bol francúzsky matematik, ktorý pracoval predovšetkým v teórii čísel a rôznych oblastiach

algebry.

181

Obr. 6.25. Grafy funkcií a

Všeobecne môžeme opísať určenie Hermiteových polynómov takto. Majme

rôznych bodov [ ] , a hľadajme Hermiteov polynóm:

ktorý bude nadobúdať funkčné hodnoty a hodnoty ich derivácií v meraných bodoch.

Dosadením množiny nameraných údajov dostaneme túto sústavu rovníc:

Jedná sa o sústavu rovníc o neznámych. Ak zvolíme stupeň hľadaného

polynómu , dostaneme sústavu, ktorá má práve jedno riešenie, čím dostaneme

koeficienty hľadaného Hermiteovho interpolačného polynómu.



ed., Schaum’s


12. A. Del Fra, L. Lamberti, C. Cammarota: Istituzioni di Matematiche, Libreria

Scientifica Dias, Roma, 1997.


182

14. J. Eliáš, J. Horváth, J. Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky, I - IV., Bratislava,

Alfa, 1989.

15. R. L. Finney, G. B. Thomas Jr.: Calculus and Analytic Geometry, 9th ed., Addison-

Wesley, Reading, 1996.





19. I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika I a II, SVTL, Bratislava, 1961.


11. K. Popper: Logika vědeckého bádání. Oikoymenh, Praha, 1997


Sciences, 2nd




183

Cvičenia 6

6.1. Vypočítajte limitu funkcie:

a

.


.


.


.


.


.


.


.


.

6.10. Vypočítajte limity funkcie: (

).

6.11. Vypočítajte deriváciu funkcie: v bode a napíšte rovnicu

dotyčnice a normály ku krivke v bode [2, 4].

6.12. Vypočítajte deriváciu funkcie:

√

√ .

6.13. Vypočítajte deriváciu funkcie: √ .

6.14. Vypočítajte deriváciu funkcie: .


.

184


6.17. Vypočítajte deriváciu funkcie: √ .




√ .

6.21. Vypočítajte druhú deriváciu funkcie: v bode .

6.22. Vypočítajte druhú deriváciu funkcie: v bode

.

6.23. Vypočítajte pomocou L'Hospitalovho pravidla limitu: √ .

6.24. Vypočítajte pomocou L'Hospitalovho pravidla limitu:

.

6.25. Vypočítajte pomocou L'Hospitalovho pravidla limitu:

.

6.26. Vypočítajte prírastok funkcie √

√ v čísle pre prírastok .

6.27. Vypočítajte pomocou diferenciálu funkcie približnú hodnotu sin 43.

6.28. Nájdite Taylorov polynóm piateho stupňa so stredom v bode

pre funkciu

.

6.29. Pomocou Taylorovho polynómu vo vhodnom strede vypočítajte √

s presnosťou na 4

desatinné miesta.

6.30. Vyšetrite priebeh funkcie √ .

6.31. Vyšetrite priebeh funkcie .

185

6.32. Vyšetrite priebeh funkcie

.

6.33. Vyšetrite priebeh funkcie .

186

Riešenia 6

6.1. Grafom racionálnej lomenej funkcie

je hyperbola, ktorá nie je definovaná v

bode , kde je nespojitá. Limitu sprava funkcie:

vypočítame

takto:

(

) (

)

Pre hodnoty argumentu sa zlomok

približuje k číslu 1:


6.2.

.

6.3.

.

6.4.

.

6.5.

.

6.6.

, pretože

.

6.7.

, pretože

.

187

6.8.

[

]

.

6.9.

.

6.10. (

) [

]

.

6.11. Deriváciu funkcie: v bode a rovnicu dotyčnice a normály

ku krivke v bode [2, 4] nájdeme nasledovným spôsobom:

Derivácia funkcie: , derivácia a smernica dotyčnice v bode

bude . Rovnica dotyčnice bude mať tvar:

Smernica normály v bode bude mať tvar:

. Rovnica

normály potom bude mať tvar:

6.12. Deriváciu funkcie:

√

√ vypočítame pomocou vzorcov

[6.11.] a [6.12.]:

(

√

√ )

(

)

√

√ .

6.13. √

√ .

6.14.

188

6.15.

( )

.

6.16. .

6.17. √

√ .

6.18. .

6.19. [

.

6.20.

√

√

√ (

)

√

√ .

6.21. Druhú deriváciu funkcie: v bode , vypočítame dvojnásobným

derivovaním funkcie a dosadením :

.

6.22.

√

√

√

√

√

√

√

√

(

)

√( (

) )

√ .

6.23. Limitu: √ vypočítame pomocou L'Hospitalovho pravidla:

√

√

√

√ .

189

6.24.

.

6.25.

.

6.26. Diferenciál funkcie √

√ v čísle pre prírastok

vypočítame podľa vzťahu [6.14.]: . Najprv vypočítame deriváciu

funkcie:

√

√

√ √ √

√

√

√

√

√

.

√

√

√

√

Diferenciál v bode pre prírastok bude:

(

)

.

6.27. Výpočet približnej hodnoty sin 43 pomocou diferenciálu uskutočníme pomocou

vzťahu [6.16.]:

Pomocou známej hodnoty

√

v blízkom bode

, derivácie

funkcie sínus

√

a rozdielu

. Teda:

(

)

√

√

(

)

√

Pre porovnanie, hodnota sin 43 vypočítaná na kalkulačke sa rovná zaokrúhlene 0,6820.

6.28. Taylorov polynóm piateho stupňa so stredom v bode

pre funkciu

nájdeme pomocou vzťahu [6.22.]:

(

)

(

)

Najprv vypočítame derivácie v bode

:

(

)

(

)

(

)

neo

pra

ven

á v k

ore

ktú

re

190

(

)

(

)

(

)

Dosadíme do Taylorovho polynómu a dostávame:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

6.29. √

s presnosťou na 4 desatinné miesta vypočítame pomocou Taylorovho polynómu

funkcie √

so stredom v blízkom čísle (keďže poznáme √

), pričom potrebný stupeň polynómu určíme podľa odchýlky vypočítanej

a ‘presnej‘ výslednej hodnoty.

Najprv vypočítame derivácie v bode :

√

(

√ (

√ (

√ (

√ (

Dosadíme do Taylorovho polynómu a dostávame:

Výpočtom na kalkulačke zistíme, že √

, toto číslo sa nelíši od nášho

výsledku na prvých 5. desatinných miestach. Keďže požadujeme presnosť na 4

desatinné miesta, do výpočtu už nemusíme zobrať posledný člen polynómu, ktorý

obsahuje 4. deriváciu, pretože jeho príspevok je menší ako . Na výpočet teda stačí

Taylorov polynóm 3. stupňa.

6.30. Pri vyšetrovaní priebehu funkcie √ budeme postupovať podľa schémy

[6.8.5.]:

definičný obor, periodicita, párnosť/nepárnosť,

znamienka funkcie, priesečníky s osami,

limity v krajných bodoch ,

191

: rast/pokles,

: konvexnosť/konkávnosť, inflexné body, lokálne extrémy,

globálne maximum/minimum,

asymptoty,

graf.

Definičný obor určíme z podmienky , z ktorej dostaneme: ⟨ .

Funkcia nie je párna ani nepárna, pretože: a . Osi

súradnicového systému pretína v bodoch: a (nulové body). Pre

platí √ funkcia neobmedzene rastie. Prvá derivácia:

√

√

√ . Funkcia je rastúca v tej časti , kde , t. j. ,

čiže na intervale a klesajúca tam, kde , t. j. na intervale ⟨ . Funkcia má stacionárny bod pre , t. j. . Druhá derivácia

je rovná: √

√

√ . Druhá derivácia je kladná pre

, t. j. pre , teda na celom . Preto funkcia je na celom konvexná.

, to znamená funkcia ma v bode lokálne aj globálne

minimum. Funkcia nemá inflexné body ani lokálne maximá, pretože len pre

. Funkcia nemá asymptoty. Graf funkcie bude vyzerať takto:

Obr. 6.27. Graf funkcie √

6.31. Pri vyšetrovaní priebehu funkcie budeme postupovať podľa

schémy [6.8.5.], podobne ako v predchádzajúcom príklade:

Definičný obor funkcie je: . Funkcia je párna, pretože platí:

. Os funkcia pretína v bode nemá nulový bod. V krajných bodoch

192

platí:

, funkcia sa neobmedzene

približuje k osi . Prvá derivácia:

( )

. Funkcia je rastúca pre , 0), a klesajúca pre . Funkcia má

stacionárny bod pre , je to lokálne a zároveň globálne maximum so súradnicami

[0, 1]. Druhá derivácia je rovná:

√

√ √ √ . Druhá derivácia je kladná a funkcia je konvexná pre

( √

) (√

). Funkcia je konkávna na intervale ( √

√

). Funkcia

má pre √

dva inflexné body. V nevlastných bodoch sa funkcia asymptoticky

približuje k x-ovej osi ( ). Graf funkcie je zobrazený nižšie:

Obr. 6.28 Graf funkcie

6.32. Definičný obor funkcie

je: . Funkcia nie je párna, ani

nepárna Funkcia nemá nulový bod. V krajných bodoch platí: pre

, funkcia sa neobmedzene približuje k osi , pre

, funkcia neobmedzene klesá. V bode nula má

funkcia rozdielne limity zľava a sprava:

. a

. Preto má funkcia v bode nula asymptotu bez

smernice . Prvá derivácia:

. Funkcia má

stacionárny bod pre . Funkcia je klesajúca pre a rastúca pre .

193

Druhá derivácia je rovná:

.

V stacionárnom bode má funkcia lokálne maximum so súradnicami ,

pretože . Druhá derivácia je záporná a funkcia je konkávna pre

a konvexná na intervale . Funkcia nemá inflexné body. Graf

funkcie je zobrazený nižšie:


6.33. Definičný obor funkcie je: . Funkcia je nepárna.

Funkcia má nulové body:

. V krajných bodoch platí: pre

a funkcia neobmedzene klesá/rastie. Nemá

asymptotu bez smernice, ale má dve asymptoty so smernicou:

,

. Prvá asymptota má

rovnicu: a druhá : . Prvá derivácia:

. Funkcia má stacionárne body pre . Funkcia je rastúca pre

a klesajúca pre . Druhá derivácia je rovná:

. V stacionárnom bode , kde , má funkcia

lokálne maximum so súradnicami

] a v bode , , má

funkcia lokálne minimum so súradnicami

]. V bode má funkcia

inflexný bod, pretože

a pre nepárnu deriváciu. Druhá

derivácia je kladná a funkcia je konvexná pre a konkávna na intervale

. Graf funkcie je zobrazený na obrázku nižšie:

194


195

7. Integrálny počet

7.1. Primitívna funkcia, neurčitý integrál

V predchádzajúcej kapitole sme zaviedli pojem derivácie funkcie. Funkcii sme priradili

novú funkciu , ktorá vyjadruje zmenu v závislosti od zmeny nezávisle premennej . Čím

väčšia bola hodnota derivácie , tým rýchlejšie rástla funkcia .

Teraz sa budeme zaoberať opačnou úlohou. K danej funkcii budeme hľadať primitívnu

funkciu takú, aby platilo . Inými slovami, budeme hľadať takú funkciu ,

derivovaním ktorej dostaneme našu funkciu . Tento proces hľadania primitívnej funkcie,

ktorý je opačný k derivovaniu, nazývame integrovanie (alebo aj antiderivácia).

Definícia. Funkciu definovanú na otvorenom intervale nazývame primitívnou funkciou k

reálnej funkcii na intervale , ak pre každé platí:

[7.1.]

Množinu všetkých primitívnych funkcií k funkcii nazývame neurčitý integrál funkcie a

označujeme :

∫ [7.2.]

kde číslo sa nazýva integračná konštanta.

Vo vzťahu [7.2.] funkciu nazývame integrandom a výraz (diferenciál nezávisle

premennej ) určuje, podľa ktorej premennej sa integruje. Na rozdiel od derivovania, kde

existuje aj pojem derivácie funkcie v bode, pri integrovaní hľadáme primitívnu funkciu na

celom otvorenom intervale , kde . Primitívnu funkciu môžeme hľadať aj

pre funkciu definovanú na uzavretom intervale ⟨ ⟩, v tomto prípade však navyše

požadujeme existenciu derivácie zľava a sprava v krajných bodoch intervalu a

. Primitívna funkcia má v každom bode intervalu vlastnú deriváciu rovnú

funkcii , preto je spojitá a diferencovateľná na .

Vzniká prirodzená otázka, či ku každej funkcii definovanej na intervale existuje

primitívna funkcia a teda aj neurčitý integrál. Odpoveď dáva nasledujúca veta:

Veta. Ak je funkcia spojitá na otvorenom intervale , potom k nej existuje na intervale

primitívna funkcia .

196

Ak je primitívnou funkciou k funkcii na intervale , potom je primitívnou funkciou k aj

každá funkcia tvaru kde je reálna konštanta, , pretože podľa pravidla

o derivovaní súčtu platí:

[7.3.]

Teda výpočtom integrálu je primitívna funkcia určená jednoznačne okrem integračnej

konštanty , čo vystihuje zápis (obr. 7.1):

∫ [7.4.]

Obr. 7.1. Primitívne funkcie k funkcii sa líšia len o konštantu

Veta. Ak a sú primitívne funkcie k rovnakej funkcii na otvorenom intervale , potom

existuje taká konštanta , že: pre každé .

Dôkaz. Z definície primitívnej funkcie na intervale vyplýva, že: .

Označme , potom pre každé platí:

Funkcia má teda na každom bode deriváciu (rovnajúcu sa nule), a preto je na spojitá.

Ukážeme, že musí byť na konštantná, t. j. pre každé .

Vezmime ľubovoľné . Funkcia spĺňa na intervale ⟨ ⟩ Lagrangeovu vetu

([6.26.]), a preto existuje také, že:

Z toho vyplýva, že , teda všetky funkčné hodnoty na intervale sa rovnajú,

a preto každé dve primitívne funkcie k sa na intervale líšia len o konštantu

.

Preto ak poznáme jednu primitívnu funkciu k danej funkcii na intervale , potom poznáme

všetky primitívne funkcie k tejto funkcii.

197

Proces hľadania primitívnej funkcie k danej spojitej funkcii (integrovanie funkcie) je

náročnejší ako proces derivovania. Na rozdiel od derivovania, pre integrovanie neexistujú

ucelené všeobecné platné pravidlá, ktoré nám umožnia nájsť primitívnu funkciu ku každej

integrovanej funkcii pomocou integrálov známych elementárnych funkcií a použitím

konečného počtu operácií sčítania, násobenia a skladania funkcií, aj keď táto primitívna

funkcia existuje.

Priamo z definície neurčitého integrálu, vzťahy [7.1.] a [7.2.], potom môžeme písať pre

každé :

∫

Preto sa integrovanie niekedy nazýva aj „antideriváciou“. Tiež je zrejmé, že ak má funkcia

na intervale deriváciu, ktorej neurčitý integrál existuje, potom:

∫

teda operácie derivovania a integrovania sú navzájom „inverzné“.

Príklad. Nájdite primitívnu funkciu k funkciám a .

V prvom prípade bude mať primitívna funkcie tvar: , pretože .

V druhom prípade bude mať primitívna funkcie tvar: , pretože

. Pomocou neurčitého integrálu to môžeme zapísať:

∫ a ∫

Základné vzorce pre integrovanie elementárnych funkcií sa dajú odvodiť zo vzorcov [6.11.]

pre deriváciu funkcie :

∫ ,

∫

,

∫

∫

∫

,

∫

∫

∫

198

∫

∫ [7.5.]

∫

∫

∫

|

| ,

∫

∫

√

,

∫√

|

√

| √

∫

√ | √ | , √

∫

√ √

∫

∫

Uvedené vzorce môžeme jednoducho dokázať tak, že deriváciou výslednej primitívnej

funkcie dostaneme integrovanú funkciu, napríklad:

pre

pre

Základné vlastnosti neurčitého integrálu, ktoré sú dôsledkom pravidiel pre derivovanie

funkcií, opisujú nasledujúce vety.

Veta. Nech na intervale existujú neurčité integrály ∫ a ∫ a nech sú

ľubovoľné konštanty , potom platí:

∫ ∫ ∫ [7.6.]

199

Veta. Nech na intervale existuje neurčitý integrál ∫ a nech sú

ľubovoľné konštanty , , potom platí:

∫

[7.7.]

Dôkaz. Vetu dokážeme priamym derivovaním zloženej primitívnej funkcie za predpokladu,

že platí: :

Veta. Nech funkcia je diferencovateľná na otvorenom intervale , potom platí:

∫

∫ [7.8.]

Vzťah [7.8.] je založený na vlastnosti derivácie logaritmu funkcie :

Pripomíname, že neexistujú všeobecne platné pravidlá na výpočet ľubovoľných neurčitých

integrálov typu:

∫ alebo ∫

Rôzne typy funkcií sa dajú integrovať rôznymi spôsobmi, niekedy je možné aplikovať rôzne

postupy aj na tú istú funkciu. Voľba postupu je predovšetkým vecou skúsenosti

s integrovaním. Správnosť výsledku je vhodné overiť si zderivovaním vypočítanej primitívnej

funkcie.

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: ∫ √

.

Pri výpočte integrálu použijeme všeobecné pravidlo [7.6.], ako aj známe integrály

elementárnych funkcií [7.5.] na priamy výpočet integrálu:

∫ √

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

200

√

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: ∫

.

Integrál upravíme tak, aby sme mohli použiť vzorec [7.8.]:

∫

∫

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: ∫ .

Použijeme vzťahy medzi goniometrickými funkciami a integrál upravíme tak, aby sme mohli

použiť vzorec [7.8.]:

∫ ∫

∫


.

Najprv upravíme integrand na tvar rýdzo racionálnej lomenej funkcie a potom integrujeme

jednotlivé členy podľa vzťahov [7.5.]:

∫

∫

∫

( )( )

∫

O správnosti výpočtu sa presvedčíme derivovaním výsledku:

(

)

( )( )

7.2. Substitučná metóda

Jednou z najčastejšie používaných metód integrácie je substitučná metóda, ktorá je

založená na derivácii zloženej funkcie.

Veta. Nech funkcia má spojitú deriváciu na intervale a nech pre každé

patria funkčné hodnoty do intervalu . Nech funkcia je

primitívna funkcia k spojitej funkcii na intervale . Potom:

201

∫ ( ) ( ) [7.9.]

Dôkaz. je primitívna funkcia k na intervale , teda: .

Preto:

∫

Nech a pre každé je , potom:

( )

Integráciou dostaneme:

∫ ( ) ( )

Čím sme dokázali platnosť predchádzajúcej vety.

Vetu budeme používať v tejto forme:

∫ ( ) [

] ∫ ( ) [7.10.]

Na výpočet diferenciálu sme využili vzťah [6.15.]. Substitučnú metódu

teda môžeme využiť na integráciu súčinu dvoch funkcií, ak druhá funkcia je deriváciou

vnútornej zložky prvej funkcie. Substitučnú metódu používame vtedy, keď vieme vypočítať

integrál ∫ .

Akú substitúciu je vhodné zvoliť na zjednodušenie integrálu závisí od praktických

skúseností s počítaním integrálov a schopnosti rozoznať, či integrovaný výraz obsahuje

funkciu násobenú jej deriváciou. V niektorých prípadoch je najprv potrebné integrand na tento

tvar upraviť. Nie každý integrál však možno vyriešiť substitučnou metódou.

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: ∫ √ .

Pri výpočte použijeme vlastnosť [7.6.] a substitučnú metódu výpočtu.

∫ √

∫ √ [

]

∫√

√

√


202

∫ [

]

∫


.

∫

[

] ∫


.

∫

[

] ∫

∫


.

∫

∫

[

] ∫

∫

∫(

)

∫ ∫


√ .

∫

√ [

√

] ∫

∫

∫

√ |√ |


√ .

∫

√ ∫

√ ∫

√ [

] ∫

√


√ .

203

∫

√ ∫

√ [

√

] ∫

∫

√ √

Často sa stretneme s integrálmi typu: ∫

, veta [7.8.], ktoré riešime pomocou

substitúcie:

∫ [

] ∫


.

∫

∫

∫

[

] ∫

7.3. Metóda per partes

Metóda integrácie per partes (po častiach) je odvodená zo vzťahu pre deriváciu súčinu

dvoch funkcií a diferencovateľných na otvorenom intervale , [6.12.]:

z čoho integráciou dostávame:

∫ ∫ ∫ [7.11.]

Ako uvidíme z nasledujúcej vety, tento výraz nám dáva možnosť vypočítať neurčité integrály

niektorých súčinov funkcií.

Veta. Nech funkcie a majú na otvorenom intervale spojité derivácie. Potom

platí:

∫ ∫ [7.12.]

Ak vieme vypočítať jeden z integrálov vo vzťahu [7.11.], potom pomocou [7.12.] vieme určiť

aj ten druhý. Metóda per partes je užitočná najmä pri integrovaní súčinov goniometrických,

204

cyklometrických, logaritmických alebo exponenciálnych funkcií s polynómom. Pri počítaní

touto metódou je dôležité správne zvoliť derivovanú ( a integrovanú ( ) funkciu

tak, aby integrál na pravej strane výrazu, ktorý obsahuje súčin zintegrovanej

∫ a derivovanej , bol jednoduchší a integrovateľný. V integráloch

obsahujúcich polynóm , ktoré sa výhodne riešia touto metódou, volíme funkcie a

obvykle takto:

pre integrály typu: ∫ , ∫ , ∫ volíme:

pre integrály typu: ∫ , ∫ , ∫ volíme:

V prípade, keď nie je vopred jasné, ktorú z možností výberu funkcií pri integrácii metódou

per partes zvoliť, je vhodné vyskúšať obidve možnosti.

Príklad. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál: ∫

Najprv sa rozhodneme, ako zvolíme funkcie a pre daný integrál. V našom prípade

zvolíme a . Potom a ∫ a po

dosadení:

∫ |

| ∫ 75

= -

Poznámka: V prípade, že by sme zvolili funkcie a naopak, dostali by sme:

∫

∫ .

Hneď vidíme, že tento postup nevedie k želanému výsledku, pretože na pravej strane sme

dostali integrál ešte o niečo „zložitejší“.


∫ |

| ∫ |

|

∫

Poznámka: V tomto príklade sme použili metódu per partes dvakrát, najprv pre ,

potom pre tak, aby sme sa postupne zbavili druhej mocniny v súčine funkcií .

75 Prvý riadok pomocnej schémy pripomínajúcej determinant dokumentuje v tomto výpočte voľbu derivovanej a integrovanej

funkcie.

205


V tomto príklade sa na prvý pohľad nevyskytuje súčin funkcií, no napriek tomu sa daný

integrál výhodne rieši metódou per partes, čo bude hneď zrejmé, keď integrál prepíšeme do

nasledujúceho tvaru:

∫ ∫ |

| ∫

∫

Poznámka: Týmto postupom môžeme okrem cyklometrických funkcií integrovať napr. aj


V niektorých prípadoch môžeme pri aplikácii metódy per partes dostať v priebehu výpočtu na

pravej strane rovnaký integrál, ako sme mali na začiatku. V takomto prípade sa na výpočet

môžeme dívať ako na rovnicu, z ktorej integrál vyjadríme:

∫ |

| ∫

|

| ∫

Ak sa na tento výsledok pozrieme ako na rovnicu pre hľadanú primitívnu funkciu

∫ , potom dostaneme: , odtiaľ dostaneme:

∫

7.4. Integrály racionálnych funkcií

Racionálne funkcie predstavujú triedu funkcií, pre ktorú existuje všeobecný postup na

výpočet primitívnej funkcie. Celý rad funkcií možno úpravami previesť na tvar racionálnej

funkcie a následne integrovať, preto je dôležité poznať postup ich integrácie. S niektorými

príkladmi integrovania jednoduchých racionálnych funkcií sme sa už stretli:

∫

∫

∫

Ako riešiť neurčité integrály, ktoré obsahujú rýdzo racionálnu funkciu si ukážeme v ďalšom

texte.

206

Rýdzo racionálnou funkciou nazývame funkciu , ktorá je podielom dvoch

polynómov s reálnymi koeficientmi a stupňa a , kde , [3.13.]:

V časti 3.1.2. sme ukázali, že každú rýdzo racionálnu funkciu možno vyjadriť v tvare súčtu

konečného počtu parciálnych zlomkov štyroch typov ([3.14.]):

typ 1:

kde a

typ 2:

kde , a

typ 3:

kde , a

typ 4:

kde , , a

V časti 3.1.2. sme tiež uviedli spôsob, ako môžeme takýto rozklad racionálnej funkcie urobiť.

Teraz si ukážeme ako integrovať jednotlivé typy parciálny zlomkov.

typ 1:

integrujeme pomocou substitúcie :

∫

∫

[7.13.]

typ 2:

integrujeme tiež pomocou substitúcie :

∫

∫

[7.14.]

typ 3:

neurčité integrály tohto typu je možné vhodnou úpravou previesť

na súčet dvoch integrálov nasledujúceho tvaru:

∫

∫

∫

[7.15.]

kde

,

a integrál:

∫

možno vhodnou úpravou, t. j. doplnením na úplný štvorec: ∫

√

√

a

lineárnou substitúciou previesť na integrál typu ∫

. V tabuľkách

207

neurčitých integrálov76

nájdeme všeobecné riešenie pre (za predpokladu, že

) v tvare:

∫

√

√ [7.16.]

typ 4:

integrály parciálnych zlomkov tohto typu možno tiež vhodnou

úpravou previesť na súčet integrálov:

∫

∫

∫

[7.17.]

Integrál sa dá riešiť substitúciou: :

∫

[

] ∫

[7.18.]

Integrál zo vzťahu [7.17.] možno previesť použitím rekurentného vzorca na súčet

racionálnej funkcie a násobku integrálu s o 1 stupeň nižšou mocninou menovateľa ,

pričom ([7.16.]):

∫

[7.19.]

Tento postup si bližšie vysvetlíme na vyriešených príkladoch.

Príklad. Vypočítajte integrál parciálneho zlomku: ∫

.

∫

∫


.

∫

[

]

∫


.

∫

∫

∫

76 Pozri napr. M. L. Smoljanskij: Tabuľky neurčitých integrálov, 2. vydanie, Alfa, Bratislava, 1970.

208

∫

∫

Integrál vieme ľahko vypočítať: ∫

.

Pri výpočte integrálu použijeme doplnenie na úplný štvorec a substitúciu:

∫

∫

∫

∫

[

]

∫

Potom pre dostaneme celkový výsledok ako:

∫


.

∫

∫

∫

∫

Prvý integrál vypočítame pomocou substitúcie:

∫

[

] ∫

Druhý integrál budeme riešiť opakovaným použitím rekurentného vzťahu [7.19.]:

∫

∫

∫

Teda:

∫


.

∫

∫

∫

∫

∫

209

∫

[

] ∫

∫

∫

Teda:

∫

Zhrňme si na záver postup integrovania racionálnej funkcie

, ktorý pozostáva

z nasledujúcich krokov:

ak pre stupne polynómov platí: , potom vydelíme :

kde ,

rozložíme polynóm na polynómy 1. stupňa (koreňové činitele) a polynómy 2.

stupňa so záporným diskriminantom (s komplexnými koreňmi),

rozložíme rýdzo racionálnu lomenú funkciu

na parciálne zlomky, vzťah [3.15.],

integrujeme polynóm a parciálne zlomky.


.

Delením polynómov dostaneme:

Rozložíme menovateľa na súčin koreňových činiteľov a kvadratických členov. Pretože

je koreň menovateľa, dostaneme:

Polynóm nemá reálne korene. Rýdzo racionálnu lomenú funkciu rozložíme na

parciálne zlomky:

Vynásobíme spoločným menovateľom, porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách

a dostaneme:

210

Pre koeficienty platí: ,

∫

∫(

)

Mnoho ďalších integrálov možno vhodnou substitúciou transformovať na integrály

racionálnej funkcie. Napríklad niektoré integrály, ktoré obsahujú racionálne mocniny

√ , , , ktoré môžeme riešiť substitúciou , . Podobne

integrály typu ∫ alebo ∫

kde , ak aspoň jedno z čísel

je nepárne, vieme riešiť použitím vzťahu a substitúciou

alebo

Príklad. Vypočítajte neurčitý integrál: ∫√

√ √

∫√

√ √ [

] ∫

∫

Racionálnu lomenú funkciu v poslednom integráli rozložíme na parciálne zlomky:

Vynásobením spoločným menovateľom a úpravou dostaneme:

∫

∫

| √

|

√

√ √


∫ ∫ [

] ∫

∫


.

∫

∫

[

] ∫

∫

211

7.5. Určitý integrál

Zatiaľ čo neurčitý integrál funkcie predstavuje opäť funkciu (množina primitívnych funkcií

líšiacich sa konštantou), určitý integrál reálnej funkcie je reálne číslo, ktoré priradíme funkcii

na uzavretom intervale ⟨ ⟩, . Hodnota určitého integrálu tak závisí od

samotnej funkcie, ako aj od intervalu , ktorý nazývame integračný obor. Existuje viacero

definícií určitého integrálu, uvedieme si dve.

7.5.1. Riemannova definícia

Majme uzavretý interval ⟨ ⟩. Rozdeľme interval na podintervalov ⟨ ⟩

s rovnakou dĺžkou

a deliacimi bodmi:

Nech je ohraničená funkcia definovaná na uzavretom intervale ⟨ ⟩, pričom ,

ktorá na tomto intervale nadobúda len kladné hodnoty . Zvoľme v každom

podintervale ľubovoľný bod taký, že: . Spočítajme teraz plošné obsahy

obdĺžnikov so šírkou a výškami rovnajúcimi sa funkčným hodnotám v bodoch .

Dostaneme tzv. Riemannov integrálny súčet,77

br. 7.2.:

∑ [7.20.]

Obr. 7.2. Plochu pod krivkou môžeme aproximovať súčtom plôch „úzkych“

obdĺžnikov

77 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) bol nemecký matematik, ktorý významne prispel k rozvoju matematickej

analýzy a diferenciálnej geometrie.

212

bude nadobúdať odlišné hodnoty pre rôzne množiny bodov , ale stále bude

približne zodpovedať ploche pod krivkou na intervale ⟨ ⟩. Je zrejmé, že

s rastúcim počtom deliacich bodov ( , ) sa Riemannov integrálny súčet bude

približovať skutočnému plošnému obsahu krivočiareho lichobežníka ohraničeného osou ,

priamkami a krivkou , t. j.:

[7.21.]

Definícia. Ak postupnosť , Riemannových integrálnych súčtov na intervale

⟨ ⟩ je pre každý výber bodov konvergentná a má rovnakú limitu , potom toto číslo

nazývame Riemannovým určitým integrálom funkcie na intervale ⟨ ⟩ a značíme:

∫

[7.22.]

Funkciu potom nazývame integrovateľnou na intervale ⟨ ⟩. Číslo nazývame dolnou

hranicou a číslo hornou hranicou integrálu.

Na Riemannov určitý integrál sa môžeme pozerať ako na limitný prípad sčítania. Tomu

zodpovedá aj jeho zápis, keď symbol ∑ vo výraze [7.20.] nahradíme symbolom ∫ vo

vzťahu [7.22.] a dĺžkový element nahradíme a namiesto súčtu pre od 1 po budeme

„spojite sčítavať nekonečne malé príspevky“ podľa premennej , v rozmedzí od do .

Požiadavka obmedzenosti funkcie na intervale ⟨ ⟩ súvisí s konvergentnosťou postupnosti

Riemannových integrálnych súčtov, ktorá musí mať vlastnú limitu. Geometrický význam

Riemannovho určitého integrálu je zrejmý z obr. 7.2., predstavuje plochu pod krivkou

nezápornej funkcie na intervale ⟨ ⟩, čo vedie k početným praktickým geometrickým

aplikáciám určitého integrálu.

Vzniká prirodzená otázka, ktoré funkcie sú integrovateľné. V nasledujúcej vete budeme

bez dôkazu charakterizovať triedu integrovateľných funkcií.

Veta. Ak je funkcia spojitá na intervale ⟨ ⟩, potom existuje určitý integrál ∫

.

Táto veta zostáva platná aj vtedy, ak bude funkcia spojitá na ⟨ ⟩ až na konečný počet

nespojitých bodov.

Prednosťou Riemannovej definície určitého integrálu je jej jednoduchá geometrická

interpretácia. Jej nevýhodou je, že zisťovanie limít integrálnych súčtov je vo všeobecnosti

zložité, poprípade neriešiteľné.

213

7.5.2. Newtonova definícia

Nasledujúca veta umožňuje vypočítať určitý integrál pomocou primitívnej funkcie

(neurčitého integrálu).

Veta. Majme spojitú funkciu integrovateľnú na otvorenom intervale a nech existuje

primitívna funkcia funkcii k , ktorá je spojitá na uzavretom intervale ⟨ ⟩, pričom platí

. Potom Newtonov určitý integrál na intervale ⟨ ⟩ je daný vzťahom:

∫

[7.23.]

Vzťah [7.23.] sa nazýva Newtonov-Leibnizov vzorec.

Dôkaz. Rozdeľme interval ⟨ ⟩ na podintervalov s rovnakou dĺžkou a deliacimi

bodmi:

Majme funkciu spojitú na ⟨ ⟩, ktorá je primitívnou funkciou k funkcii na intervale

. To znamená, že spĺňa predpoklady Lagrangeovej vety na každom podintervale

⟨ ⟩ :

kde ⟨ ⟩. Sčítaním takýchto rovníc pre dostaneme:

Výraz na pravej strane rovnice je Riemannov integrálny súčet funkcie na intervale ⟨ ⟩.

Dostávame teda:

Pretože ∫

existuje a je limitou postupnosti na oboch stranách rovnice (na ľavej

strane je konštantná postupnosť), preto výpočtom limity dostaneme:

∫

Všimnime si, že v Newtonovom-Leibnizovom vzorci, vzťah [7.23.], nezáleží na tom, ktorú

z primitívnych funkcií (líšiacich sa o konštantu ) použijeme. Totiž, ak dve spojité funkcie

214

a sú primitívnymi funkciami k funkcii na intervale , potom sa a líšia len

o konštantu: . Preto platí:

∫

Na rozdiel od Riemannovho integrálu, je postup výpočtu určitého integrálu definovaného

podľa Newtona jednoznačne daný. Spočíva v nájdení primitívnej funkcie a vyčíslení jej dvoch

funkčných hodnôt. Naopak, jeho geometrický význam nie je úplne jasný. Z hľadiska

existencie a hodnoty Newtonovho určitého integrálu stojí za povšimnutie, že nezáleží na tom,

či je integrovaná funkcia definovaná v krajných bodoch integračného oboru a . Pre

porovnanie Riemannovej a Newtonovej definície určitého integrálu platí nasledujúca veta.

Veta. Ak je funkcia spojitá na intervale ⟨ ⟩, potom sa hodnota Riemannovho určitého

integrálu rovná hodnote Newtontovho určitého integrálu:

∫

7.5.3. Vlastnosti určitého integrálu

Skôr ako prejdeme k aplikáciám určitého integrálu, uveďme si niektoré jeho základné

vlastnosti. V ďalšom texte sa budeme zaoberať len určitými integrálmi počítanými podľa

Newtonovej definície a integrand budeme považovať za integrovateľnú funkciu

v zmysle Newtonovej definície.

Základné vlastnosti určitého integrálu:

ak je integrovateľná na ⟨ ⟩, , , potom platí:

∫

, ∫

∫

pre nezápornú integrovateľnú funkciu na ⟨ ⟩ je: ∫

ak je integrovateľná na ⟨ ⟩, pre ľubovoľné také, že: , platí:

∫

∫

∫

[7.24.]

ak existujú integrály ∫

a ∫

, a a sú reálne čísla, potom platí:

∫ ( )

∫

∫

ak je integrovateľná na ⟨ ⟩, potom je na ⟨ ⟩ integrovateľná aj a platí:

∫

∫

215

ak a sú integrovateľné funkcie na ⟨ ⟩ a na ⟨ ⟩ platí: , potom:

∫

∫

[7.25.]

ak funkcie a sú spojité a diferencovateľné na ⟨ ⟩, potom:

∫

∫

[7.26.]

Túto vlastnosť využívame na integráciu určitých integrálov metódou per partes.

nech funkcia je spojitá na ⟨ ⟩ a nech funkcia je spojitá, diferencovateľná a rýdzo

monotónna na ⟨ ⟩ taká, že , potom:

∫

∫ ( )

[7.27.]

Túto vlastnosť využívame na integráciu určitých integrálov substitučnou metódou.

ak existuje integrál ∫

a funkcia je párna, potom:

∫ ∫

ak je funkcia je nepárna, potom:

∫

nech funkcia je spojitá na ⟨ ⟩, potom existuje také , že podľa Lagrangeovej

vety platí:

∫

z čoho vyplýva veta o strednej hodnote funkcie na intervale ⟨ ⟩:

∫

[7.28.]

Geometrická interpretácia strednej hodnoty nezápornej spojitej funkcie na intervale

⟨ ⟩ je zrejmá z obr. 7.3. Plošný obsah krivočiareho lichobežníka pod krivkou

je rovnaký ako plocha obdĺžnika s výškou a šírkou .

Poznámka. Ak definujeme pre každé ⟨ ⟩ primitívnu funkciu ako funkciu hornej

hranice určitého integrálu derivovanej funkcie ( ):

∫

⟨ ⟩

potom derivácia tejto funkcie a . Týmto spôsobom môžeme vyjadriť

aj transcendentné primitívne funkcie k funkcii , teda také, ktoré nie je možné vyjadriť

pomocou elementárnych reálnych funkcií, napr.:

216

∫

alebo ∫

Obr. 7.3. Stredná hodnota funkcie na intervale ⟨ ⟩

Príklad. Vypočítajte určitý integrál: ∫

∫

∫ ∫

∫



Pri riešení použijeme aditivitu integrálu, vzťah [7.24.], a integrál funkcie rozdelíme na dve

časti: pre a pre , obr. 7.4.:

217

∫

∫

∫

(

) (

) (

) (

)


∫

∫

( ) (

)

Príklad. Vypočítajte substitučnou metódou určitý integrál: ∫ √

∫ √

[

]

∫ √

√

Príklad. Vypočítajte substitučnou metódou určitý integrál: ∫

∫

[ (

)

] ∫

Príklad. Vypočítajte substitučnou metódou určitý integrál: ∫

√

∫

√

[

]

∫

∫

[(

) (

)]

Príklad. Vypočítajte metódou per partes určitý integrál: ∫

∫

|

| ∫

Príklad. Vypočítajte metódou per partes určitý integrál: ∫

218

∫

|

| [

]

∫

(

)

[

]

(

)

Príklad. Vypočítajte strednú hodnotu funkcie: na intervale ⟨ ⟩.

Strednú hodnotu funkcie budeme počítať podľa vzťahu [7.28.]:

∫

[

]

(

)

Príklad. Vypočítajte strednú hodnotu funkcie: na intervale ⟨ √ √ ⟩.

√ √ ∫

√

√

√ [

]

√

√

√ [(

√

√ ) (

√

( √ ))]

√ ( √

√ )

√ (

√

)

Všimnime si, že stredná hodnota, a tiež určitý integrál funkcie , ktorá

nadobúda na intervale ⟨ √ √ ⟩ záporné hodnoty, sú záporné, . Určitý integrál

∫

, ktorý geometricky interpretujeme na danom intervale ⟨ ⟩ ako plochu

ohraničenú rovinnou krivkou a osou , na rozdiel od plošného obsahu rovinných

útvarov, môže nadobúdať aj záporné hodnoty, ak pre platí: , obr. 7.5.

Obr. 7.5. Graf funkcie a určitý integrál ∫ √

√

√

7.5.4. Nevlastné integrály

V predchádzajúcej časti sme sa zaoberali určitým integrálom spojitej funkcie na konečnom

intervale ⟨ ⟩, kde , . V tejto časti rozšírime pojem určitého integrálu na

neobmedzený interval ⟩ alebo ⟨ , a tiež na neohraničené funkcie.

√ √

219

Definícia. Majme funkciu definovanú na intervale ⟨ a predpokladajme, že

je integrovateľná pre všetky , . Ak existuje vlastná (konečná) limita určitého

integrálu ∫

pre hornú hranicu , potom platí:

∫ ∫

[7.29.]

Majme funkciu definovanú na intervale ⟩ a predpokladajme, že je

integrovateľná pre všetky , . Ak existuje vlastná (konečná) limita určitého

integrálu ∫

pre dolnú hranicu , potom platí:

∫ ∫

[7.30.]

Ak nevlastné integrály [7.29.] a [7.30.] existujú, hovoríme, že nevlastné integrály konvergujú.

V opačnom prípade hovoríme, že divergujú (neexistujú), obr. 7.6. Geometrický význam

určitého integrálu platí aj pre nevlastné integrály, počítame tu obsah rovinného obrazca, ktorý

nie je obmedzený.

Obr. 7.6. Nevlastný integrál na neohraničenom intervale ⟨ ∫ ∫

Ak je funkcia definovaná na intervale a pre ľubovoľné existujú

integrály ∫

a ∫

, potom hovoríme, že existuje nevlastný integrál

∫

a definujeme ho ako:

∫

∫

∫

[7.31.]

Príklad. Vypočítajte nevlastný integrál: ∫

.

Na výpočet integrálu použijeme vzťah [7.29.]:

220

∫

∫

[

]


.

∫

∫

Tento integrál diverguje.


.

∫ [

]

∫


.

Na výpočet integrálu použijeme vzťah [7.31.] a fakt, že funkcia

je párna,

obr. 7.7.:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Obr. 7.7. Nevlastný integrál ∫

221

Okrem nevlastných integrálov ohraničených funkcií na neohraničených intervaloch

⟩ alebo ⟨ , poznáme aj nevlastné integrály neohraničených funkcií definovaných

na ohraničených intervaloch ⟩ alebo ⟨ , obr. 7.8.

Definícia. Majme funkciu definovanú na intervale ⟨ , ktorá nie je ohraničená

v okolí bodu (singulárny bod) a je integrovateľná na každom intervale ⟨ ⟩, pre každé

. Ak existuje vlastná (konečná) limita funkcie pre blížiace sa k singulárnemu

bodu zľava, potom ju nazývame nevlastným integrálom neohraničenej funkcie na intervale

⟨ ⟩:

∫ ∫

[7.32.]

Hovoríme, že nevlastný integrál neohraničenej funkcie konverguje. Ak je táto limita

nevlastná (nekonečná), potom hovoríme, že integrál diverguje.

Obr. 7.8. Nevlastný integrál neohraničenej funkcie na intervale ⟨

Podobným spôsobom možno zadefinovať nevlastný integrál neohraničenej funkcie na

intervale ⟩. Ak je funkcia neohraničená v okolí oboch krajných bodov a pre nejaké

existujú nevlastné integrály ∫

a ∫

, potom

∫

∫

∫

[7.33.]


Keď sa blíži k bodu zľava,

rastie cez všetky medze, preto bod je

singulárny bod, v okolí ktorého je neohraničená, obr. 7.9. Na výpočet nevlastného integrálu

použijeme vzťah [7.32.]:

222

∫

∫

Nevlastný integrál teda diverguje.


a nevlastný integrál ∫


√

Funkcia

√ má singulárny bod v .

∫

√ ∫

√


Funkcia má singulárny bod v . Nevlastný integrál vypočítame metódou

per partes. Poslednú limitu vypočítame L’Hospitalovým pravidlom.

∫ ∫

|

|

[

]

∫

[

]

......

223

7.5.5. Aplikácie určitého integrálu

Okrem matematiky nachádza integrálny počet široké uplatnenie najmä vo fyzike a chémii,

kde celý rad fyzikálnych a fyzikálnochemických veličín je vyjadrený zákonmi formulovanými

v integrálnom tvare. V nasledujúcom texte sa však budeme zaoberať len najjednoduchšími

geometrickými aplikáciami.

K základným geometrickým aplikáciám určitého integrálu patrí určenie plošného obsahu

rovinného útvaru. Ako už vieme, určitý integrál spojitej nezápornej funkcie na intervale

⟨ ⟩ je rovný veľkosti plochy pod krivkou , obr. 7.2.:

∫

[7.34.]

Uvažujme rovinný útvar ohraničený krivkami spojitých funkcií a (Obr. 7.10.) takých,

že:

pre každé ⟨ ⟩. teda môžeme zapísať ako množinu usporiadaných dvojíc:

Ak , potom plošný obsah elementárnej oblasti sa rovná rozdielu plošných

obsahov krivočiarych lichobežníkov pod krivkami a :

Teda:

Obr. 7.10. Elementárne oblasti – plochy a ohraničené krivkami a ; a

na intervale ⟨ ⟩.

224

Pre plochu elementárnej oblasti teda dostaneme:

∫

[7.35.]

Z obr. 7.10. je zrejmé, že vzorec [7.35.] platí na výpočet plošného obsahu, rovnako aj pre

funkcie a posunuté na osi o konštantu . Vzťah [7.35.] môžeme zovšeobecniť aj pre

prípady, keď na intervale ⟨ ⟩ je , alebo sa funkcie a na tomto intervale

pretínajú tak, že uvažujeme absolútnu hodnotu rozdielu oboch funkcií:

∫

[7.36.]

Pred vlastnou integráciou je však potrebné absolútnu hodnotu odstrániť. To môžeme urobiť

tak, že integračný obor rozdelíme na podintervaly, kde rozdiel funkcií nemení svoje

znamienko, teda kde platí: pre a pre . V

prípade, že sa funkcie a na intervale ⟨ ⟩ pretínajú v bode , potom plošný obsah

spočítame ako súčet dvoch určitých integrálov od po a od po

Príklad. Vypočítajte plošný obsah útvaru ohraničeného grafom funkcie a

funkcie , obr. 7.11.

je dotyčnicou ku v bode , pretože . Dotyčnica má

teda smernicu 2. Priesečníky a budú tam, kde:

teda v bodoch so súradnicami a Plocha elementárnej oblasti sa teda bude rovnať:

∫

∫

Obr. 7.11. Elementárna oblasť ohraničená krivkami a

na intervale ⟨ ⟩

225

Príklad. Vypočítajte plošný obsah útvaru ohraničeného grafom funkcie a

funkcie , a priamkami a , obr. 7.12.

∫

[

]

Obr. 7.12. Elementárna oblasť ohraničená krivkami a na intervale

a priamkami a

Okrem plošného obsahu možno pomocou určitého integrálu vypočítať dĺžku rovinnej

krivky. Predstavme si krivku, ktorá je grafom spojitej funkcie , ⟨ ⟩, ktorá má

deriváciu v každom bode intervalu , obr. 7.13. Skúsme vypočítať jej dĺžku na intervale

⟨ ⟩. Interval rozdeľme na rovnakých dielikov dĺžky:

s deliacimi bodmi:

kde

Obr. 7.13. Krivka aproximovaná lomenou čiarou s krokom

Body na grafe funkcie pre hodnoty argumentu zodpovedajúce deliacim bodom

pospájame úsečkami. Takto dostaneme lomenú čiaru, celková dĺžka ktorej bude

určená súčtom jednotlivých úsečiek spájajúcich body s dĺžkami .

226

Dĺžky úsečiek vypočítame pomocou Pytagorovej vety,78

obr. 7.13., a použitím

Lagrangeovej vety:

√ √

√ √

Dĺžka celej lomenej čiary:

∑ ∑ √

[7.37.]

Výraz [7.37.] predstavuje Riemannov integrálny súčet pre funkciu √ na

intervale ⟨ ⟩. S rastúcim počtom dielikov sa bude súčet približovať

skutočnej dĺžke rovinnej krivky :

∫ ∫ √

[7.38.]

Príklad. Vypočítajte dĺžku krivky na intervale ⟨√ √ ⟩.

Na výpočet použijeme vzorec [7.38.].

∫ √ √

√ ∫ √

√

√ ∫

√

√

√ [

(√ )

(√ ) ]

∫√

∫

Racionálnu funkciu rozložíme na parciálne zlomky:

∫

Príklad. Odvoďte vzorec pre obvod kružnice.

Obvod kružnice vyjadríme ako dvojnásobok dĺžky polkružnice √ .

Najprv vyjadríme .

√

√

78 Pytagoras zo Samosu (asi 580-496 p.n.l.) bol starogrécky filozof, matematik a astronóm. Známy je najmä Pytagorovou

vetou, ktorá opisuje vzťah medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine.

227

∫ √ ∫ √

∫

√

(

)

Obr. 7.14. Polkružnica: √ , pre ⟨ ⟩

Pomocou určitého integrálu môžeme vypočítať tiež objem a plochu plášťa rotačných telies.

Majme funkciu spojitú na intervale ⟨ ⟩, ktorá ohraničuje krivočiary lichobežník:

Rotáciou lichobežníka okolo osi vznikne tzv. rotačné teleso, obr. 7.15. Ak si

predstavíme, že rotačné teleso rozdelíme na tenkých valčekov s plochou kruhového prierezu

a konštantnou výškou , potom objem celého rotačného telesa bude súčet

objemov všetkých valčekov pre :

∑ ∑ ∫

[7.39.]

Obr. 7.15. Rotačné teleso ohraničené krivkou na intervale ⟨ ⟩. Rez rotačného telesa v

bode má plochu .

228

Príklad. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi rovinného

útvaru ohraničeného čiarami , a krivkou

.

Objem tohto rotačného telesa vypočítame podľa vzťahu [7.39.]:

∫

∫ (

)

∫

[

]

(

)

Príklad. Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi rovinného

útvaru ohraničeného krivkami a , obr. 7.16.

Najprv nájdeme priesečníky kriviek:

a vypočítame objem telesa:

∫

∫

∫

[

]

Obr. 7.16 Rovinný útvar, rotáciou ktorého okolo osi dostaneme rotačné teleso ohraničené

krivkami a na intervale ⟨ ⟩

Pomocou určitého integrálu možno vypočítať aj plochu povrchu rotačných telies. Povrch

rotačných telies sa skladá z kruhových podstáv a z plášťa, ktorý vznikne rotáciou krivky

pre ⟨ ⟩ okolo osi (v prípade rovinného útvaru znázorneného na obr. 7.16

rotačné teleso nemá podstavy). Element povrchu rotačného telesa zodpovedá plášťu

zrezaného kužeľa s obvodom podstavy a dĺžke steny √ . Preto plochu

plášťa rotačného telesa vypočítame podľa vzorca:

∫ √

[7.40.]

229

Príklad. Odvoďte vzťah pre veľkosť povrchu plášťa kužeľa, ktorý vznikne rotáciou úsečky

okolo osi , kde a .

Rotáciou tejto úsečky vznikne kužeľ s výškou a polomerom podstavy rovnajúcim sa .

∫

√ (

)

√ [

]

√

Príklad. Vypočítajte plošný obsah povrchu plášťa rotačného telesa, ktorý vznikne rotáciou

krivky √ pre ⟨ ⟩.

∫ √ √

∫ √ √

∫ √

√

( √ √ )

7.5.6. Približné metódy výpočtu určitých integrálov

Približný výpočet určitých integrálov pomocou numerických metód používame vtedy, keď

nevieme nájsť primitívnu funkciu k integrovanej funkcii. Postup numerickej integrácie

spočíva v tom, že integračný obor sa rozdelí na dostatočný počet (malých) podintervalov, na

ktorých považujeme integrovanú funkciu za konštantnú alebo ju tam aproximujeme inou

jednoduchšou funkciou. Jednotlivé metódy sa nazývajú podľa typu tejto aproximácie.

A B

Obr. 7.17. Numerická integrácia. A. Obdĺžnikové pravidlo. B. Lichobežníkové pravidlo.

Obdĺžnikové pravidlo. Majme spojitú funkciu na uzavretom intervale ⟨ ⟩.

Rozdeľme na rovnakých podintervalov, ktorých dĺžka bude

. Označme

a . Na každom podintervale ⟨ ⟩ nahraďme funkciu

230

konštantnou funkciou , obr. 7.17. A. Plochu elementárnej oblasti potom môžeme

vyjadriť ako súčet obdĺžnikov:

∫

[7.41.]

Lichobežníkové pravidlo. Pri tomto postupe nahradzujeme na každom podintervale

⟨ ⟩ graf funkcie priamkou, ktorá prechádza po sebe idúcimi vrcholmi [ a

[ . Plochu elementárnej oblasti potom aproximujeme lichobežníkmi, z ktorých

každý má plochu

. Celková plocha sa potom bude rovnať:

∫

[7.42.]

Pre obidva súčty a platí, že s rastúcim sa ich hodnota blíži k hodnote určitého

integrálu ∫

. Rýchlosť tohto približovania je pre lichobežníkovú metódu vyššia. Ak

zdvojnásobíme počet dielikov , chyba odhadu sa pri použití obdĺžnikového pravidla zmenší

na polovicu, zatiaľ čo u lichobežníkového pravidla sa zmenší na štvrtinu. Rýchlosť

konvergencie je daná stupňom polynómu, ktorým funkciu po častiach aproximujeme. Zatiaľ

čo obdĺžnikové pravidlo využíva konštantnú funkciu, lichobežníkové pravidlo používa

presnejšiu lineárnu funkciu. Zložitejšie a presnejšie metódy numerickej integrácie ako napr.

Simpsonovo pravidlo79

, ktoré využíva kvadratickú interpoláciu, umožňujú vypočítať hodnoty

určitých integrálov prakticky s ľubovoľnou presnosťou.



ed., Schaum’s




Alfa, 1989.



79

Thomas Simpson (1710-1761) bol britský matematik a vynálezca, známy najmä pre svoju numerickú metódu

výpočtu určitých integrálov.

231








Sciences, 2nd




232

Cvičenia 7

7.1. Vypočítajte neurčitý integrál: ∫ √ .

7.2. Vypočítajte neurčitý integrál: ∫

√ .

7.3. Vypočítajte neurčitý integrál: ∫√ .


.


.

7.6. Vypočítajte neurčitý integrál: ∫ .


.




.


.


.


.


.


√ .

233

7.16. Vypočítajte neurčitý integrál: ∫√ .

7.17. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál: ∫ .

7.18. Vypočítajte metódou per partes neurčitý integrál: ∫ .




.

7.22. Vypočítajte určitý integrál: ∫

.

7.23. Vypočítajte určitý integrál: ∫ √

.


.


.


√

.


.

7.28. Vypočítajte plochu elementárnej oblasti ohraničenej krivkami a

.

7.29. Vypočítajte plochu elementárnej oblasti uzavretej krivkou .

7.30. Nájdite objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním paraboly √ na intervale

⟨ ⟩ okolo osi .

234

7.31. Nájdite objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy okolo

osi .

7.32. Nájdite dĺžku krivky danej funkciou:

na intervale ⟨ ⟩.

7.33. Nájdite dĺžku reťazovky danej funkciou:

(

) na intervale ⟨ ⟩.

7.34. Vypočítajte plochu povrchu plášťa rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy

okolo osi .

235

Riešenia 7

7.1. ∫ √ ∫(

)

7.2. ∫

√ [

]

∫

√

7.3. ∫√ ∫ √ [

]

∫

√

7.4. ∫

∫ [

]

7.5. ∫

∫ (

)

7.6. ∫ [

]

∫

7.7. ∫

∫

∫

Absolútnu hodnotu môžeme vo výsledku vynechať, pretože pre všetky .

7.8. ∫ [

]

∫

7.9. ∫ [

]

∫

7.10. ∫

∫

7.11. ∫

∫ (

)

7.12. ∫

∫

∫

7.13. ∫

∫

∫

236

∫

∫

7.14. ∫

|

|

7.15. ∫

√

∫

√

∫

√ ∫

√

√ | √ |

7.16. ∫√

∫√

[

√ ( √ )]

√ ( √ )

7.17. ∫ |

| ∫

∫

∫ ∫

Dostaneme rovnicu:

∫

a z toho:

∫

7.18. ∫ |

|

∫ |

|=

{

∫ }

∫

.... |

|

∫

∫

7.19. ∫

∫

∫

7.20. ∫ ∫

neopravené

v korektúre

237

7.21. ∫

Racionálnu funkciu rozložíme na parciálne zlomky:

Z toho pre koeficienty:

∫

∫

∫

∫

Pre druhý integrál použijeme rekurentný vzťah:

∫

∫

∫

∫

Dostaneme teda:

∫

7.22. ∫

[

]

( )

[

(

)]

7.23. ∫ √

√ √

√

√

√

√

7.24. ∫

[ |

|]

(

)

7.25. ∫ |

|

∫

|

|

∫

[

]

(

)

7.26. ∫

√

∫

√ ∫

√

[

]

238

7.27. ∫

∫

∫

∫

∫ (

)

[(

) ]

7.28. Plochu elementárnej oblasti ohraničenej krivkami a

vypočítame ako určitý integrál: ∫ ( )

. Najprv nájdeme priesečníky

kriviek:

∫ ∫ [

]

Obr. 7.18. Elementárna oblasť ohranicená krivkami: a .

7.29. Plochu elementárnej oblasti uzavretej symetrickou krivkou

√ budeme počítať ako štvornásobok časti ležiacej v prvom kvadrante:

∫ √

∫ √ [

]

Obr. 7.19. Elementárna oblasť uzavretá symetrickou krivkou

239

7.30. Objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním paraboly √ na intervale ⟨ ⟩

okolo osi budeme počítať podľa vzťahu ∫

[7.39.]

∫ (√ )

∫ [

]

Obr. 7.20. Rotačné teleso, ktoré vznikne otáčaním paraboly √ na intervale ⟨ ⟩

7.31. Objem rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy s dĺžkou hlav-

nej poloosi okolo osi vypočítame ako integrál na integračnom obore ⟨ ⟩:

∫ (

√ )

∫

[

]

Obr. 7.21. Rotačné teleso, ktoré vznikne otáčaním elipsy

7.32. Dĺžku krivky danej funkciou:

na intervale ⟨ ⟩ budeme počítať

podľa vzorca [7.38.]: ∫ √

.

Najprv vypočítame: (

)

( )

∫ √ (

)

∫ √(

)

∫

[

]

[(

) (

)]

y

240

7.33. Dĺžku reťazovky:

(

) na intervale ⟨ ⟩ budeme počítať ako:

[

(

)]

(

)

∫ √ [

(

)]

∫ √

(

)

∫ (

)

[

]

(

)

Obr. 7.22. Graf krivky nazývanej reťazovka:

(

)

7.34. Plochu povrchu plášťa rotačného telesa, ktoré vznikne otáčaním elipsy

s dĺžkou hlavnej poloosi rovnou 4 okolo osi , vypočítame pomocou vzťahu [7.40.]

∫ √

.

Najprv vypočítame (

√ )

√

√

∫

√ √ [

√ ]

∫ √

√ [ √

√

√

]

( √

).

241

8. Diferenciálny počet funkcií dvoch premenných

8.1. Definičný obor a graf funkcie

Reálnou funkciou dvoch nezávislých premenných budeme nazývať funkčný predpis,

ktorý každej usporiadanej dvojici reálnych čísel z množiny (z definičného

oboru) jednoznačne priradí reálne číslo (funkčnú hodnotu). Toto priradenie symbolicky

zapisujeme: alebo .

Definičný obor funkcie dvoch premenných je teda podmnožina ,

geometricky je to časť roviny s karteziánskymi súradnicami a . Oborom hodnôt funkcie

je podmnožina reálnych čísel .

Grafom reálnej funkcie dvoch premenných je množina

, geometricky je to časť trojrozmerného priestoru (s karteziánskymi súradnicami

a ), hyperplocha80

v priestore, obr. 8.1., (na rozdiel od grafu jednej reálnej premennej, ktorej

grafom je krivka v rovine).

A. B.

Obr. 8.1. Grafy funkcií dvoch nezávisle premenných. A. (rotačný paraboloid).

B.

. Farebná škála rozlišuje „vrstevnice hyperplochy“, ktoré ležia v

odlišných v intervaloch hodnôt súradnice .

Graf funkcie dvoch premenných má takú vlastnosť, že každá priamka rovnobežná s osou

ju pretne najviac v jednom bode. Podobne ako pri funkciách jednej premennej aj v prípade

funkcií dvoch premenných môžeme zaviesť niektoré vlastnosti, ako napr. ohraničenosť

funkcie, prípadne možno zaviesť pojem zloženej funkcie. Iné vlastnosti, ako napr.

80 Termínom „hyperplocha“ budeme označovať zakrivenú plochu v trojrozmernom priestore.

x x y

y

z z

242

monotónnosť, však strácajú zmysel, pretože množinu nepovažujeme za lineárne

usporiadanú (nevieme rozhodnúť či prvok leží pred alebo za prvkom

). Vlastnosti funkcií dvoch premenných, opísané v tejto kapitole, možno jednoducho

rozšíriť aj na funkcie viacerých premenných. Nebudeme sa tým však vzhľadom na malú

názornosť zapodievať. Zatiaľ čo graf funkcie dvoch premenných vieme v učebniciach

znázorniť, napr. ako axonometrický priemet81

do roviny, grafy funkcií 3 (a viac) nezávisle

premenných (t. j. usporiadané štvorice v 4- rozmernom priestore, vo všeobecnosti usporiadané

-tice), už takto znázorniť nedokážeme.

Grafom konštantnej funkcie s definičným oborom je

rovina rovnobežná s rovinou , ktorá pretína -ovú os vo výške . Oborom hodnôt je

. Rezom plochy rovinou kolmou na os (ktorá má rovnicu ),

ako aj rovinou kolmou na os (s rovnicou ), bude priamka, ktorá spĺňa

podmienky ( , , ).

Grafom lineárnej funkcie dvoch premenných kde

sú parametre a , je tiež rovina, obr. 8.2. Rezom tejto rovinnej plochy rovinou

(rovinou kolmou na os ) alebo (rovinou kolmou na os ), dostaneme priamku

s rovnicou (čo je funkcia jednej nezávisle premennej , pričom zostáva

závisle premennou) alebo priamku .

Obr. 8.2. Grafom lineárnej funkcie dvoch premenných: , alebo vo

všeobecnom tvare: , je rovina

Grafom funkcie je kvadratická hyperplocha nazvaná rotačný

paraboloid (obr. 8.1. A), pričom , . Rovinné rezy touto hyperplochou

81 Axonometrická projekcia je jednoduchý spôsob premietania priestorových telies do roviny.

x

y

z

243

rovinami kolmými na os s rovnicou: , sú kružnice s rovnicami:

so stredom v počiatku osí a a polomerom √ . Rezom rotačného paraboloidu:

rovinami kolmými na os alebo (rovnice: a ) je parabola s rovnicou:

alebo .

Príklady grafov, ktoré sme tu stručne načrtli, naznačujú, ako je možné vyšetrovať tvar

kriviek funkcií dvoch premenných, čo je vďaka jednej dimenzii naviac oproti funkciám jednej

premennej, podstatne zložitejšie.

8.2. Limita a spojitosť

V predchádzajúcich častiach sme definovali limitu funkcie pomocou okolia bodu na

množine reálnych čísel. Ak rozšírime pojem okolia na množinu budú zodpovedajúce

definície limity a spojitosti funkcií dvoch premenných veľmi podobné.

Majme bod a , , potom množinu bodov

; √ nazveme prstencovým -okolím bodu

. Druhá odmocnina tu predstavuje vzdialenosť bodov a vyjadrenú

pomocou Pytagorovej vety.

Definícia. Majme funkciu definovanú na určitom prstencovom okolí bodu

. Ak existuje , také, že:

hovoríme, že funkcia dvoch premenných má v bode vlastnú limitu , a zapisujeme:

[8.1.]

Ak je navyše funkcia definovaná aj v bode a platí:

[8.2.]

hovoríme, že funkcia dvoch premenných je v bode spojitá.

Limita aj v prípade funkcií dvoch nezávisle premenných popisuje správanie funkcie v okolí

daného bodu , ale nie v bode samom (na rozdiel od spojitosti). Ak má funkcia dvoch

premenných v bode limitu rovnajúcu sa , dáva, zjednodušene povedané, funkčné

hodnoty v blízkosti bodu , ktoré sa veľmi málo líšia od hodnoty . Pre funkcie dvoch

premenných možno, podobne ako pre funkciu jednej premennej, zaviesť pojem nevlastnej

limity, nedá sa však na ne rozšíriť pojem limity v nevlastnom bode.

244

Rovnako možno na limity funkcií dvoch premenných aplikovať vlastnosti súčtu, rozdielu,

súčinu a podielu limít spojitých funkcií jednej premennej (vzťahy [6.4.]) a výsledkom je opäť

spojitá funkcia. Limita spojitej funkcie sa rovnako ako pri funkciách jednej premennej bude

rovnať funkčnej hodnote v danom bode.

Pretože definičným oborom funkcií dvoch premenných je podmnožina , je vyšetrovanie

správania funkcie, keď sa blížime k hranici jej definičného oboru podstatne náročnejšie ako

pri funkciách jednej premennej. Zatiaľ čo v prípade jednej premennej tvoria hranice oboru

dva body, ku ktorým sa môžeme blížiť zľava alebo sprava, v prípade dvoch premenných tvorí

hranicu nekonečne veľa bodov, ku ktorým sa môžeme približovať z nekonečne mnoho

smerov. Podobne je to aj so stanovením limity funkcie v danom bode, kde existuje nekonečný

počet možných smerov priblíženia. Preto nie je možné pre funkcie dvoch a viac premenných

zaviesť pojem limity zľava a sprava.

Pri vyšetrovaní limity funkcie dvoch premenných v danom bode , je výhodné

postupovať tak, že skúmame limitu v smere priamok, ktoré ležia v definičnom obore funkcie

a daným bodom prechádzajú: , . Limita funkcie dvoch

premenných počítaná v smere takejto priamky: sa totiž počíta

ako limita funkcie jednej premennej, čo už vieme vypočítať. Pokiaľ dostaneme pri

približovaní sa k bodu pre všetky možné smery priamok rovnakú limitu , potom

môžeme pre limitu v bode písať: .



v bode , obr. 8.3.

Funkcia je definovaná na a na definičnom obore je spojitá. Budeme

vyšetrovať jej správanie okolo bodu a počítať limitu:

, pričom sa

x

z

y

245

k počiatku budeme približovať po priamkach , ktoré prechádzajú počiatkom

a ležia v rovine :

Vidíme, že limity sú v rôznych smeroch rôzne ( je smernica priamok, ktoré smer priblíženia

určujú), a preto funkcia nemá v bode limitu.

8.3. Parciálna derivácia

Pripomeňme si definíciu a geometrický význam derivácie funkcie jednej premennej

v bode , ktorá je definovaná ako limita [6.7.]:

.

Derivácia v bode je teda číslo, ktoré udáva veľkosť smernice dotyčnice ku krivke

v dotykovom bode . V predchádzajúcej časti sme ukázali, že v prípade

funkcie dvoch nezávisle premenných je limita funkcie komplikovanejšia ako pri jednej

premennej, pretože v tomto prípade sa môžeme blížiť k bodu z mnohých smerov.

Ukazuje sa, že je výhodné sledovať správanie funkcie, keď sa približujeme k skúmanému

bodu v smere súradnicových osí a . Počítaním limít v smere osí a sa

dostávame k zavedeniu pojmu parciálnej derivácie 82

funkcie dvoch premenných .

Definícia. Majme funkciu definovanú na okolí . Nech funkcie

a sú funkciami jednej premennej definované na -okolí

bodu , respektíve . Ak má funkcia v bode deriváciu , potom ju nazývame

parciálnou deriváciou funkcie podľa premennej v bode a označujeme:

[8.3.]

Ak má funkcia v bode deriváciu , potom ju nazývame parciálnou deriváciou

funkcie podľa premennej v bode a označujeme:

[8.4.]

Ak má funkcia parciálne derivácie v ľubovoľnom bode , sú tieto

derivácie funkciami premenných a . Funkcia dvoch premenných má dve parciálne

derivácie prvého rádu. Pri parciálnom derivovaní v smere osi ( sa dívame na

82 Význam pojmu parciálna derivácia môžeme vysvetliť aj ako čiastočná derivácia.

246

premennú ako na konštantu a derivujeme len podľa premennej . Naopak, pri derivovaní

v smere osi ( sa dívame na premennú ako na konštantu a derivujeme len podľa

premennej . Pretože parciálne derivácie a

počítame ako „obyčajné“

derivácie podľa jednej premennej, platia pre výpočet parciálnych derivácií rovnaké pravidlá

ako pre derivovanie funkcií jednej premennej (ako napr. pravidlo o derivovaní zloženej

funkcie, súčinu a podielu funkcií, a pod.).

Parciálne derivácie v danom bode môžu (a nemusia) existovať a môžu byť

vlastné alebo nevlastné. V každom prípade podávajú informáciu o tom, aké je zakrivenie

hyperplochy v okolí bodu v kladnom smere osi a kladnom smere osi ,

Obr. 8.4.

Obr. 8.4. Parciálna derivácia v bode funkcie udáva smernicu dotyčnice

v bode ku krivke vzniknutej rezom hyperplochy

rovinou kolmou na os s rovnicou (krivka ). Podobne parciálna derivácia

v bode funkcie udáva smernicu dotyčnice v bode

ku krivke vzniknutej rezom hyperplochy rovinou

kolmou na os s rovnicou (krivka ).

Geometrická interpretácia parciálnych derivácií hovorí, že sú to smernice dotyčníc ku

krivkám a v bode , ktoré vznikli ako rezy hyperplochy

rovinami kolmými na os ( a na os ( , a ktoré prechádzajú

bodom . Parciálne derivácie však nehovoria nič o zakrivení hyperplochy v okolí

bodu v smeroch odlišných, ako sú smery súradnicových osí a .

247

Zatiaľ čo pri funkciách jednej premennej vyplýva z existencie derivácie v bode spojitosť

funkcie v danom bode, pri funkciách dvoch premenných toto tvrdenie neplatí. Ak má funkcia

v bode parciálnu deriváciu, nemusí ešte byť v tomto bode spojitá.

Príklad. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie

v bode .

Funkcia predstavuje polynóm premenných a a je definovaná a spojitá na celom

intervale . Najprv vypočítame parciálne derivácie vo všeobecnom bode a potom

určíme ich konkrétne hodnoty v bode .


Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale . Budeme ju derivovať ako

súčin funkcií.


.

Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale . Budeme ju derivovať ako

podiel dvoch funkcií.

[

] ( )

[

] ( )


Funkcia je definovaná a spojitá na intervale , t. j. všade

okrem „tmavého údolia“ obr. 8.5. Budeme ju derivovať ako zloženú funkciu.

248


Vyšetrovanie priebehu funkcií dvoch premenných pomocou parciálnych derivácií je v prin-

cípe podobné postupom, ktoré sme použili v diferenciálnom počte funkcií jednej premennej.

Podobne, podľa znamienka prvej parciálnej derivácie, vieme zistiť, či daná funkcia v určitom

bode rastie alebo klesá v smere osí alebo , prípadne identifikovať aj body, v ktorých by

funkcia mohla mať lokálny extrém. Keďže parciálna derivácia nevystihuje správanie funkcie

v smeroch iných, ako sú osi nezávisle premenných, situácia môže byť komplikovanejšia.

8.4. Gradient funkcie

Vo fyzikálnej terminológii sa vektor zložený z parciálnych derivácií funkcie

nazýva gradient funkcie. Gradient funkcie ukazuje smer najväčšieho rastu funkcie a jeho

absolútna hodnota zodpovedá strmosti nárastu funkcie v danom smere. Gradient je príkladom

vektorovej funkcie. Vektorová funkcia je zobrazenie : , ktoré bodu v rovine priradí

vektor. Vektorová funkcia popisuje nielen veľkosť (danú dĺžkou vektora , vzťah [4.1.]), ale

aj smer fyzikálnej veličiny (napr. gravitačnej sily alebo rýchlosti):

[8.5.]

kde a sú funkcie. Vo fyzike sa namiesto skalárnej a vektorovej funkcie

používa označenie skalárne alebo vektorové pole. Vektorové pole v rovine často zapisujeme

pomocou jednotkových vektorov v smere súradnicových osí a :

a [8.6.]

potom vektorové pole [8.5.] môžeme písať ako:

[8.7.]

249

Vo fyzike sa vektorové pole , ktoré je gradientom nejakej skalárnej funkcie dvoch

premenných:

(

)

[8.8.]

nazýva konzervatívnym vektorovým poľom a danú funkciu nazývame potenciálovou

funkciou (alebo potenciálom) poľa , pričom vektor parciálnych derivácií:

pre

funkcie dvoch premenných a

pre funkcie troch premenných sa nazýva

diferenciálny operátor alebo Hamiltonov operátor (skrátene Hamiltonián).83

Pomerne jednoduchý spôsob, akým môžeme znázorniť vektorové pole v rovine, je

nakresliť v niekoľkých bodoch mriežky v rovine šípky reprezentujúce vektory ,

ktoré začínajú v bodoch

Príklad. Vypočítajte a nakreslite gradientové vektorové pole potenciálovej funkcie

.

Gradient funkcie je daný vzťahom [8.8.], preto dostávame:

(

)

Potenciálová funkcia a jej gradientové pole sú znázornené na obr. 8.6.

Obr. 8.6. Graf potenciálovej funkcie: . Pod hyperplochou

je znázornená projekcia gradientového poľa:

zobrazeného pomocou šípok pre ⟨ ⟩.

83 Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) bol írsky matematik, fyzik a astronóm. Je známy svojimi príspevkami k rozvoju

klasickej mechaniky, optiky, dynamiky a algebry.

250

8.5. Smerová derivácia

Pomocou gradientu môžeme definovať derivácie funkcie dvoch premenných aj v iných

smeroch, ako len v smere súradnicových osí a . Smerové derivácie predstavujú teda

zovšeobecnenie parciálnych derivácií. Sú definované pomocou vektora, v smere ktorého

deriváciu funkcie hľadáme.

Definícia. Majme funkciu , ktorá má spojité parciálne derivácie. Smerovou deriváciou

funkcie v smere vektora nazývame skalárny súčin:

[8.9.]

kde

je jednotkový vektor v smere vektora v rovine .

Smerové derivácie popisujú rýchlosť zmeny funkcie v smere vektora . Parciálna derivácia

je smerová derivácia v smere a

v smere .

Príklad. Pre funkciu vypočítajte smerovú deriváciu v smere vektora

.

Podľa vzťahu [8.9.] vypočítame smerovú deriváciu ako skalárny súčin gradientu funkcie

a jednotkového vektora . Najprv vypočítame jednotkový vektor:

(

) (

√

√ ) (

)

Parciálne derivácie vypočítame ako:

Po dosadení podľa vzťahu [8.9.] dostaneme pre veľkosť smerovej derivácie:

pričom smer derivácie je určený jednotkovým vektorom

.

8.6. Derivácie vyšších rádov

Funkcia má definované dve parciálne derivácie

a

. Každá z prvých parciálnych derivácií predstavuje funkciu, ktorú možno ďalej

derivovať. Ak existujú druhé parciálne derivácie, potom dostaneme 4 funkcie:

251

(

)

(

)

(

)

(

)

[8.10.]

Tieto parciálne derivácie nazývame parciálne derivácie druhého rádu funkcie . Druhá

parciálna derivácia funkcie podľa a podľa :

znamená,

že funkciu najprv derivujeme podľa premennej , čím získame funkciu

, ktorú potom

derivujeme podľa premennej . Parciálne derivácie ,

sa nazývajú zmiešané

parciálne derivácie a platí pre ne nasledujúca Schwarzova veta84

o symetrii druhých derivácií.

Veta. (Schwarzova veta) Nech funkcia má v okolí bodu spojité parciálne derivácie

a

. Potom platí:

[8.11.]

Schwarzova veta sa dá rozšíriť aj na derivácie vyšších rádov. Hovorí, že hodnota zmiešanej

derivácie záleží len na tom, koľkokrát sa derivovalo podľa premennej a koľkokrát podľa

premennej a nezáleží na poradí derivovania.

Príklad. Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie:

.

Definičným oborom funkcie bude a na tejto množine bude funkcia spojitá vrátane

derivácií prvého a druhého rádu. Pre parciálne derivácie platí:

84 Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) bol nemecký matematik, známy predovšetkým vďaka práci v oblasti

komplexnej analýzy.

252

Príklad. Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie: v

bode .

Funkcia je spojitá na , na tejto množine budú spojité aj jej derivácie prvého

a druhého rádu. Funkciu prepíšeme na jednoduchší tvar a parciálne derivácie vypočítame

podľa vzorca pre súčin funkcií [6.12.]:

Hodnoty derivácií v bode dostaneme dosadením hodnôt nezávisle premenných:

8.7. Totálny diferenciál a totálna derivácia funkcie

Pod diferenciálom funkcie jednej premennej v bode chápeme prírastok

funkcie pozdĺž dotyčnice ku grafu funkcie prechádzajúcej bodom (vzťah [6.15.]):

. Existencia diferenciálu funkcie je v tomto prípade ekvivalentná

existencii derivácie funkcie v bode .

Pre funkciu dvoch premenných je diferenciál definovaný analogicky, ako

prírastok funkcie v dotykovej rovine k hyperploche prechádzajúcej dotykovým

bodom . Takáto dotyková rovina má s danou hyperplochou v okolí bodu,

kde ju zostrojujeme, spoločný len samotný dotykový bod (prípadne aj priamku alebo krivku).

253

Definícia. Majme funkciu , ktorá má v bode spojité parciálne derivácie

prvého rádu. Označme prírastky nezávisle premenných a ako:

,

Totálny diferenciál funkcie v bode je lineárnou funkciou prírastkov

premenných a a má tvar:

[8.12.]

Ak má funkcia v danom bode diferenciál, hovoríme, že je v tomto bode diferencovateľná.

Zo vzťahu [8.12.] vidíme, že totálny diferenciál je definovaný ako skalárny súčin gradientu

funkcie v danom bode a vektora prírastkov nezávisle premenných :

[8.13.]

teda ako smerová derivácia v smere vektora prírastku , vzťah [8.9.].

Totálny diferenciál funkcie dvoch premenných je vlastnosť zásadnejšieho významu, ako sú

samotné parciálne derivácie. Platí totiž, ak má funkcia v danom bode totálny

diferenciál, potom je v tomto bode spojitá. Táto implikácia však neplatí opačne, ak je funkcia

spojitá, nemusí byť v danom bode diferencovateľná.

Príklad. Nájdite totálny diferenciál funkcie: v bode .

Totálny diferenciál vypočítame podľa vzťahu [8.12.]. Najprv určíme parciálne derivácie:

Totálny diferenciál bude mať tvar:

Totálny diferenciál v bode bude:

Príklad. Nájdite totálny diferenciál funkcie:

Totálny diferenciál:

254

Príklad. Nájdite totálny diferenciál funkcie:

Totálny diferenciál v ľubovoľnom bode

Ak je funkcia v bode diferencovateľná, potom má v danom bode dotykovú rovinu, ktorú

charakterizuje nasledujúca veta.

Veta. Ak má funkcia v bode totálny diferenciál, potom má graf funkcie

v tomto bode dotykovú rovinu opísanú rovnicou:

[8.14.]

Rovnica dotykovej roviny predstavuje najlepšiu lineárnu aproximáciu funkcie v bode

. Táto rovina je určená dotykovým bodom (kde ), a dvomi

priamkami, ktoré cez tento bod prechádzajú, t. j. dotyčnicami a určenými smerovými

vektormi a

, obr. 8.4. Približná hodnota funkcie

v okolí dotykového bodu je daná výrazom:

[8.15.]

Príklad. Napíšte rovnicu dotykovej roviny grafu funkcie: v bode .

Najprv vypočítame parciálne derivácie:

Rovnicu dotykovej roviny dostaneme dosadením do vzťahu [8.14.]

Alebo v implicitnom tvare:

255

Príklad. Vypočítajte približnú hodnotu: .

K výpočtu využijeme definíciu diferenciálu funkcie v bode s diferenciami

a . Najprv vypočítame parciálne derivácie:

Prírastok funkcie v bode bude:

Približnú hodnotu odhadneme podľa vzťahu [8.15.]:

Výpočet na kalkulačke nám dá výsledok: .

Majme funkciu dvoch premenných a , ktoré sú spojitými funkciami jednej

nezávisle premennej : a . Potom funkcia bude zloženou funkciou

, závislou od premennej . Zmenu (prírastok) funkcie v závislosti od

premennej v bode vyjadruje totálna derivácia , ktorá sa vypočíta pomocou

reťazového pravidla.

Veta. Majme spojitú diferencovateľnú funkciu , ktorá má v bode

spojité parciálne derivácie prvého rádu. Totálna derivácia funkcie v bode

podľa premennej má tvar:

[8.16.]

kde a . Podobne, ak máme funkciu premenných a ,

ktoré sú funkciami dvoch (alebo viac) nezávisle premenných a : a ,

potom bude zloženou funkciou závislou od premenných a .

Prírastky funkcie podľa týchto premenných v bode vyjadrujú derivácie

, ktoré sa počítajú pomocou reťazového pravidla.

Veta. Majme spojitú diferencovateľnú funkciu , ktorá má v bode

spojité parciálne derivácie prvého rádu. Parciálne derivácie funkcie

v bode podľa premenných a majú tvar:

256

[8.17.]

kde a .

Príklad. Nájdite deriváciu funkcie , kde ,

podľa premennej .

Najprv nájdeme parciálne derivácie funkcie a derivácie funkcií :

Potom podľa [8.16.]:

Príklad. Nájdite derivácie

a

funkcie ak .

Najprv nájdeme všetky parciálne derivácie:

a dosadíme do vzťahu [8.17.]:

257

8.8. Kmenová funkcia [2]

V tejto časti budeme riešiť jednoduchú úlohu. Máme daný výraz:

a našou úlohou je zistiť, či existuje nejaká funkcia taká, že daný výraz je jej totálnym

diferenciálom:

[8.18.]

Taká funkcia , ak existuje, sa nazýva kmeňová funkcia funkcií a . Pre kmeňovú

funkciu musí platiť:

a

[8.19.]

Ďalej zo Schwarzovej vety [8.11.] (za predpokladu spojitosti parciálnych derivácií 2. rádu)

platí:

a teda

[8.20.]

Ak je podmienka [8.20.] splnená, potom kmeňovú funkciu dokážeme určiť postupnou

integráciou (všeobecný postup je vysvetlený v časti 9.4.)

Poznámka. Pre úplnosť dodajme, že rovnosť [8.20.] musí platiť pre celú oblasť , odkiaľ

vyberáme nezávisle premenné ( ). Predpokladáme pritom, že oblasť je pre všetky

body jednoducho súvislá. To znamená, že ľubovoľnú uzavretú krivku, ktorá leží v , môžeme

spojite stiahnuť do bodu, pričom hranicu množiny tvorí jediná uzavretá krivka. Príkladom

jednoducho súvislej oblasti je kruh alebo obdĺžnik, naopak množina, ktorá je tvorená

medzikružím, nie je jednoducho súvislá.

Príklad. Rozhodnite, či výraz: je

diferenciálom nejakej kmeňovej funkcie, a ak áno, nájdite jej tvar.

Najprv zistíme, či je uvedený výraz totálnym diferenciálom. Pre všetky platí:

a

Daný výraz je teda diferenciálom kmeňovej funkcie

.

Nájdeme ju postupnou integráciou:

ˇ

258

∫ ∫

Pri integrovaní podľa premennej považujeme premennú za konštantu. Integračnú

konštantu budeme pri hľadaní kmeňovej funkcie dvoch premenných považovať

namiesto číselnej konštanty za funkciu závislú od . Jej derivácia

je totiž rovná nule.

Derivovaním medzivýsledku podľa dostaneme:

(

)

∫

Kmeňová funkcia bude mať teda tvar:

kde je integračná konštanta.

Kmeňové funkcie nachádzajú svoje použitie v prírodných vedách. Napríklad vo fyzikálnej

chémii sa používajú na opis vlastností makroskopických systémov. V termodynamike im

hovoríme stavové funkcie. Tieto funkcie závisia od aktuálneho termodynamického stavu

systému a nezávisia od cesty (spôsobu), ktorým bol tento stav dosiahnutý. Termodynamický

stav systému, ktorý obsahuje jednu čistú homogénnu zložku, je určený dvoma stavovými

premennými. Obvykle sú to veličiny objem a teplota . Funkcia premenných

a , ktorá v termodynamike popisuje vnútornú energiu systému, bude stavovou funkciou

takéhoto jednozložkového systému, ak je výraz:

[8.21.]

totálnym diferenciálom premenných a , teda ak platí:

a

[8.22.]

a zároveň podľa Schwarzovej vety, vzťah [8.11.], platí:

[8.23.]

259

Z vlastností stavových funkcií potom vyplývajú dôsledky pre výpočet fyzikálnochemických

veličín. Aké dôsledky to sú, si ukážeme na nasledujúcich príkladoch.

Príklad. Dokážte pre 1 mol ideálneho plynu, že tlak je termodynamická stavová veličina, t.

j. stavová funkcia premenných objem a teplota . Pri dôkaze použite stavovú rovnicu

ideálneho plynu: .85

Pre funkciu

bude mať totálny diferenciál tvar:

Zároveň platí:

teda zmiešané parciálne derivácie sú rovnaké. Z toho vyplýva, že tlak ideálneho plynu ako

funkcia objemu a teploty, je stavovou funkciou. Preto pri výpočtoch pre ideálny plyn stačí

poznať počiatočnú a konečnú hodnotu tlaku plynu a nemusíme poznať cestu, po ktorej sa tlak

plynu dostal z počiatočného do konečného stavu.

Príklad. Ukážte, že teplo nie je termodynamickou stavovou funkciou.

Budeme vychádzať z prvej vety termodynamickej, ktorá hovorí, že zmena vnútornej energie

sa rovná prírastku tepla a práce dodanej z okolia do systému:

[8.24.]

Vnútornú energiu ideálneho plynu považujeme za stavovú funkciu premenných a

. Uvažujme najprv proces, ktorý prebieha pri konštantnom objeme systému (izochorický dej,

). S ním spojená zmena vnútornej energie systému bude daná výrazom:

[8.25.]

kde (

)

je molárna tepelná kapacita pri konštantnom objeme.

Uvažujme teraz iný proces, ktorý prebieha pri konštantnej teplote systému (izotermický dej,

) a s ním spojenú zmenu vnútornej energie systému, ktorá bude daná výrazom:

[8.26.]

85 je plynová konštanta, .

260

Podľa [8.23.] bude pre prírastok tepla dodaného do systému, ktorý sa riadi stavovou rovnicou

pre 1 mol ideálneho plynu: , platiť:

[8.27.]

Preverme, či teplo ( ) vo vzťahu [8.27.] predstavuje stavovú funkciu tak, že porovnáme

zmiešané druhé derivácie (Schwarzova veta [8.11.]):

[8.28.]

Preto výraz [8.27.] nie je totálnym diferenciálom a teplo nie je termodynamickou stavovou

funkciou. Dodané množstvo tepla teda závisí od integračnej cesty, t. j. od toho, cez ktoré

medzistavy sa systém dostane do konečného stavu.

Príklad. Spojením prvej a druhej vety termodynamickej pre reverzibilný dej dostaneme

vzťah pre diferenciál vnútornej energie uzavretého systému86

:

[8.29.]

Vnútorná energia je chápaná ako funkcia entropie 87

a objemu , čiže:

[8.30.]

Porovnaním vzťahov [8.29.] a [8.30.] získame výrazy pre parciálne derivácie vnútornej

energie:

a

[8.31.]

Z rovnosti druhých derivácií totálneho diferenciálu :

a

dostaneme:

[8.32.]

čo je užitočný vzťah používaný v termodynamike. Tento postup ilustruje využitie stavových

funkcií vo fyzikálnej chémii a kmeňových funkcií v prírodných vedách vôbec.

86 Uzavretý termodynamický systém je taký, ktorý nevymieňa s okolím látku, t. j. počet častíc v systéme je konštantný. 87 Entropia je fyzikálna veličina, ktorá meria neusporiadanosť systému (náhodnosť, neporiadok, mieru neurčitosti, počet

možných usporiadaní systému). Túto stavovú veličinu v termodynamike zaviedol a popísal nemecký fyzik Rudolf Julius

Emanuel Clausius (1822-1888).

261

8.9. Extrémy funkcií dvoch premenných

8.9.1. Lokálne extrémy

Vyšetrovanie priebehu a extrémov funkcií je jednou z podstatných častí diferenciálneho

počtu. Prítomnosť lokálnych extrémov funkcií dvoch premenných zisťujeme skúmaním

funkcií v blízkom okolí zvolených bodov.

Definícia. Nech funkcia je definovaná na okolí bodu . Ak existuje

kladné reálne číslo také, že pre všetky je:

( )

potom hovoríme, že funkcia dvoch nezávisle premenných má v bode lokálne

maximum (lokálne minimum).

Ak platí:

( )

potom hovoríme, že funkcia má v bode ostré lokálne maximum (ostré lokálne

minimum).

Príklad. Funkcia √ má v bode ostré lokálne maximum, pretože

a pre každé je . Grafom tejto funkcie je časť kužeľovej

plochy znázornenej na obr. 8.7.

Obr. 8.7. Graf funkcie: √ s ostrým lokálnym maximom v bode

Keď má funkcia v bode lokálny extrém, potom musí mať v tomto bode lokálny extrém

rovnakého typu aj každá krivka, ktorá vznikne rezom hyperplochy

262

v uvažovanom bode rovinou rovnobežnou s osou (teda nielen rovinami a , ale

aj , kde ).

Príklad. Funkcia , na rozdiel od predchádzajúceho príkladu, nemá

v bode lokálny extrém. Rezy hyperplochou rovinami a tvoria

krivky a , ktoré majú v bode nula lokálny extrém. Zatiaľ čo pri prvej krivke

ide o lokálne maximum, pri druhej krivke ide o lokálne minimum. Preto funkcia nemá

v bode lokálny extrém. Takýto bod na hyperploche sa nazýva sedlový bod, obr. 8.8.

Obr. 8.8. Graf funkcie: so sedlovým bodom v bode

Ak má funkcia dvoch premenných v bode lokálny extrém, potom jej parciálne

derivácie v tomto bode (pokiaľ existujú), musia byť nulové

.

Príklad vrcholu kužeľovej plochy, obr. 8.7., ukazuje, že v lokálnom extréme nemusia nutne

parciálne derivácie existovať. Ak nás zaujímajú polohy vrcholov (maxím) a priehlbní

(miním) na hyperploche , potom nám stačí hľadať body, v ktorých sú obe

parciálne derivácie prvého rádu nulové, prípadne skúmať body, v ktorých jedna alebo obidve

parciálne derivácie neexistujú. Body, v ktorých platí

, budeme

nazývať stacionárne body.

Veta. Nech funkcia má v bode stacionárny bod a v tomto bode existujú

obidve parciálne derivácie prvého rádu. Potom platí:

[8.33.]

Podmienku [8.33.] môžeme zapísať pomocou gradientu funkcie ako:

. Existencia stacionárneho bodu je nutnou, ale nie postačujúcou podmienkou pre prítomnosť

263

lokálneho extrému v danom bode. Podobne ako pri funkciách jednej premennej existencia

lokálneho extrému súvisí so znamienkami druhých parciálnych derivácií v bode .

Extrém (teda maximum aj minimum) majú spoločné to, že znamienka druhých parciálnych

derivácií podľa premenných a sú rovnaké, čo môžeme vyjadriť ako podmienku:

. Naopak, ak

, potom sa znamienka

druhých derivácií musia od seba líšiť, teda v jednom reze vidíme maximum, v druhom

minimum, čo znamená, že ide o sedlový bod. Súčin druhých derivácií teda slúži ako

ukazovateľ prítomnosti extrému alebo sedlového bodu. Ak sa v bode nachádza extrém, tak na

rozlíšenie maxima a minima stačí uvažovať o znamienku ktorejkoľvek z druhých derivácií,

napríklad .

Situácia je však trochu komplikovanejšia, keďže o priebehu funkcie dvoch premenných

rozhoduje jej správanie aj v smeroch iných, ako v smere súradnicových osí a . Preto

musíme pri vyšetrovaní stacionárnych bodov zobrať do úvahy aj zmiešané druhé derivácie v

stacionárnom bode.

Tak ako sú prvé derivácie združené do vektora nazvaného gradient funkcie, druhé

parciálne derivácie sa združujú do Hesseho matice:88

(

) [8.34.]

O prítomnosti lokálneho extrému alebo sedlového bodu nebudeme teda rozhodovať podľa

znamienka súčinu hlavnej diagonály Hesseho matice, ale na základe determinantu :

[8.35.]

Pripomíname, že podľa Schwarzovej vety, vzťah [8.11.], platí:

. Ako

pomocou určíme typ stacionárneho bodu hovorí tzv. Sylvestrovo kritérium.89

Veta. (Sylvestrovo kritérium) Nech funkcia má v bode a jeho blízkom okolí spojité

parciálne derivácie prvého a druhého rádu a nech je bod jej stacionárnym bodom:

. Ak platí:

[8.36.]

potom má funkcia v bode ostrý lokálny extrém. Ak je zároveň: ,

potom ide o minimum, ak je : , jedná sa o maximum.

V prípade, že , funkcia má v bode sedlový bod. V prípade, že ,

nevieme na základe tohto kritéria rozhodnúť, o aký typ stacionárneho bodu ide.

88 Ludwig Otto Hesse (1811-1874) bol nemecký matematik známy najmä prácami z oblasti algebry. 89 James Joseph Sylvester (1814-1897) bol anglický matematik.

264

Aby determinant Hesseho matice nadobudol kladnú hodnotu, je nutné, aby mali druhé

derivácie a

rovnaké znamienka, t. j. aby mala funkcia v bode

rovnaký typ extrému v smere osi aj . Aj v tomto prípade stále môže ísť o sedlový bod,

keďže smery v ktorých má funkcia odlišné lokálne extrémy, nemusia byť len smery osí a ,

ale môžu ležať aj medzi nimi. To sa však prejaví na veľkosti zmiešanej druhej derivácie,

ktorej štvorec v takomto prípade posunie hodnotu do záporných čísel.

Postup hľadania lokálnych extrémov bude teda nasledovný:

riešením sústavy rovníc:

nájdeme súradnice stacionárneho bodu ,

pre stacionárny bod nájdeme zodpovedajúcu Hesseho maticu, vzťah [8.34.] a vypočítame

determinant , vzťah [8.36.],

ak , v bode bude sedlový bod,

ak , v bode bude lokálny extrém. Ak bude to

maximum, ak bude to minimum,

ak , nevieme rozhodnúť, použijeme iný postup.

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie: .

Funkcia je polynómom tretieho stupňa premenných a , preto bude definovaná, a jej

parciálne derivácie budú spojité na celej množine . Lokálne extrémy sa môžu nachádzať

tam, kde má riešenie sústava rovníc:

Z prvej rovnice vyplýva . Dosadením do druhej rovnice dostaneme:

Kvadratický trojčlen má záporný diskriminant (komplexné korene) a je vždy

kladný, preto korene uvedenej rovnice sú a . Dosadením do sústavy dopočítame

príslušné hodnoty a dostaneme dva stacionárne body: a . Pre druhé

parciálne derivácie platí:

265

Dosadením do vzťahu [8.36.] dostaneme:

Pre stacionárny bod bude mať determinant hodnotu , preto má funkcia v bo-

de sedlový bod. Pre stacionárny bod bude mať determinant hodnotu

a hodnotu , preto má funkcia v bode lokálne minimum, obr. 8.9.

Obr. 8.9. Graf funkcie: so sedlovým bodom v bode

a lokálnym minimom v bode .

Príklad. Nájdite lokálne extrémy funkcie:

.

Najprv nájdeme stacionárne body:

Exponenciála je vždy kladná, preto sa môžu rovnice vydeliť výrazom

, a stačí riešiť

sústavu:

alebo

alebo

Prvá rovnica nám dáva dve možnosti. Ak , potom z druhej rovnice dostaneme .

Ak v prvej rovnici , potom z druhej rovnice . Máme teda tri stacionárne body:

, a .

Vypočítame si druhé derivácie:

266

Hesseho matica bude mať tvar:

(

)

(

)

Člen

je vždy kladný, preto jeho vyňatie zo všetkých maticových prvkov pred maticu

neovplyvní znamienko determinantu , ale zjednoduší výpočet. Počítajme teda hodnotu

determinantu :

(

pre jednotlivé stacionárne body:

: (

), , lokálny extrém,

, maximum

so súradnicami

√

: (

), , lokálny extrém,

, minimum so

súradnicami

√

: (

), , sedlový bod so súradnicami , Obr. 8.10.


so sedlovým bodom v bode , lokálnym

maximom v bode a lokálnym minimom v bode

267

8.9.2. Absolútne extrémy

Častou praktickou úlohou býva určiť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu, akú funkcia

dvoch premenných nadobúda na určitej množine (napr. na svojom definičnom obore). Táto

úloha teda vyžaduje identifikovať absolútne (globálne) extrémy funkcie na danej množine.

Definícia. Nech je funkcia dvoch premenných a je množina bodov v rovine,

. Hovoríme, že funkcia nadobúda v bode absolútne maximum na množine

(absolútne minimum na množine ), ak pre všetky body tejto množiny platí:

( )

Na to, aby sme mohli skúmať existenciu absolútnych extrémov na množine , musíme

najprv bližšie opísať samotnú množinu. Hľadať absolútne extrémy vieme len na množine,

ktorá je ohraničená a uzavretá. Tieto pojmy je ťažko na obmedzenom priestore definovať

presne, preto si uvedieme len isté intuitívne vysvetlenie. Množinu budeme považovať za

ohraničenú, ak existuje kruh s konečným polomerom a stredom v počiatku súradnicovej

sústavy taký, že leží celá vo vnútri tohto kruhu. Z geometrického hľadiska teda polrovina

alebo priamka nie sú obmedzené množiny. Presne definovať pojem hranice množiny je tiež

pomerne náročné. Zjednodušene považujme za geometrickú hranicu množiny úsečky alebo

krivky, ktoré vytvárajú obvod daného rovinného útvaru. Potom za uzavretú množinu v

budeme považovať takú množinu, ktorá obsahuje aj celú svoju hranicu. Ohraničenej

a uzavretej množine hovoríme kompaktná množina. O existencii absolútnych extrémov na

kompaktnej množine hovorí Weierstrassova veta.90

Veta. (Weierstrassova veta) Nech je ohraničená a uzavretá množina a je

spojitá funkcia dvoch premenných taká, že . Potom existujú body a

také, že pre akýkoľvek bod platí:

Potom bod nazývame absolútnym minimom funkcie na množine a bod

nazývame absolútnym maximom funkcie na množine .

Spojitá funkcia na kompaktnej množine teda nadobúda svoje minimálne aj maximálne

hodnoty, ale navyše aj všetky hodnoty medzi týmito extremálnymi hodnotami. Ostáva len

vyriešiť otázku, ako nájsť body, v ktorých minimum a maximum ležia.

90 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) bol nemecký matematik, je považovaný za otca modernej matematickej

analýzy.

268

Postup, ktorým hľadáme absolútne extrémy, môžeme zhrnúť takto:

nájdeme stacionárne body funkcie a vyberieme tie, ktoré ležia vo vnútri množiny ,

potom vyšetrujeme danú funkciu na hranici množiny . Hranicu množiny väčšinou

tvoria úsečky a krivky (nekonečný počet bodov). Rovnicu krivky, ktorá tvorí časť hranice

v tvare ⟨ ⟩ alebo ⟨ ⟩ , dosadíme

do funkcie a hľadáme extrémy takto získaných funkcií jednej premennej:

( ) ⟨ ⟩ alebo ⟨ ⟩. Globálne extrémy môžu ležať

buď na hraniciach intervalov: alebo tam, kde ,

prípadne ,

porovnáme funkčné hodnoty vo všetkých bodoch vyšetrovaných z hľadiska globálnych

extrémov a vo vnútri a na hraniciach a vyberieme body, ktoré zodpovedajú absolútnym

extrémom.

Príklad. Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: na

oblasti ohraničenej nerovnicami: , a .

Najprv vyšetríme lokálne extrémy funkcie. Stacionárne body určíme zo sústavy rovníc:

Z prvej rovnice vyjadríme a dosadíme do druhej rovnice. Zistíme, že funkcia má

len jeden stacionárny bod so súradnicami , ktorý zjavne leží vo vnútri hraníc

oblasti. Ide o lokálne minimum so súradnicami . Funkčnú hodnotu porovnáme

s hodnotami získanými na hranici oblasti, trojuholníka tvoreného tromi úsečkami:

a) , ⟨ ⟩ b) , ⟨ ⟩ c) ⟨ ⟩

Teraz vyhľadáme extrémy na troch hraničných úsekoch a-c:

a) , ⟨ ⟩ dosadením do dostaneme:

a hľadáme absolútne extrémy tejto funkcie jednej premennej pre ⟨ ⟩. Platí:

, odtiaľ:

. Funkčné hodnoty v stacionárnom bode a v krajných bodoch

intervalu sú: (

)

, a

b) , ⟨ ⟩ dosadením do dostaneme:

269


, odtiaľ:


intervalu sú: (

)

, a

c) , ⟨ ⟩ dosadením do dostaneme:


, odtiaľ:


intervalu sú: (

)

, a

Dosadením do funkcie určíme funkčné hodnoty v nájdených bodoch:

(

)

(

)

(

)

Porovnaním všetkých vypočítaných funkčných hodnôt vidíme, že funkcia nadobúda

najmenšiu hodnotu v bode a najväčšiu hodnotu v

bodoch a .

Príklad. Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie: v kruhu .

Funkcia je, vrátane svojich parciálnych derivácií, spojitá na celom obore . Začneme s

hľadaním stacionárnych bodov vo vnútri kruhu. Určíme ich zo sústavy:

Jediným stacionárnym bodom je bod , ktorý leží v strede kruhu. Výpočtom

determinantu Hesseho matice

(

)

zistíme, že v bode je sedlový bod. Budeme teda hľadať najväčšie a najmenšie hodnoty

funkcie na hranici kruhu, kde platí: . Hranicu si rozdelíme na hornú a dolnú

polkružnicu:

a) horná polkružnica je popísaná rovnicou: √ pre ⟨ ⟩. Dosadením do

funkčného predpisu dostaneme:

( √ )

270

Dostali sme teda funkciu jednej premennej, extrémy ktorej nájdeme buď v krajných bodoch

intervalu ⟨ ⟩ alebo v stacionárnom bode polkružnice. V krajných bodoch nadobúda

hodnoty: . Stacionárny bod leží tam, kde , t. j. v

bode . Funkčná hodnota .

b) dolná polkružnica je opísaná rovnicou: √ pre ⟨ ⟩. Dosadením do

funkčného predpisu dostaneme rovnaké riešenia ako v prípade a).

Porovnaním vypočítaných hodnôt vidíme, že absolútne maximum dosahuje

funkcia v bodoch a a absolútne minimum v bodoch a

.

8.10. Optimalizácia, metóda Lagrangeových multiplikátorov

Podobne ako pri funkciách jednej premennej sa hľadanie globálnych extrémov funkcií

dvoch a viacerých premenných využíva v optimalizačných úlohách. V takýchto prípadoch

hľadáme také hodnoty premenných, pre ktoré účelová funkcia, vystihujúca kľúčové vlastnosti

systému, nadobúda absolútne maximum alebo minimum na ohraničenej a uzavretej množine

.

Príklad. Rozdeľte číslo 120 na tri časti tak, aby suma súčinov dvojíc týchto častí bola

maximálna.

Máme teda úlohu nájsť čísla , a také, aby platilo: nadobúda

maximálnu hodnotu, pričom ⟨ ⟩. Ak tretiu časť vyjadríme ako:

, potom dostaneme účelovú funkciu: . Funkcia bude

mať stacionárny bod tam, kde:

Sústava rovníc má riešenie a . Dosadením dostaneme

. Pre takto vypočítané časti nadobúda funkcia hodnotu: .

Dosadením blízkeho bodu, napr. , a dostaneme

, čím sme sa presvedčili, že nájdené riešenie zodpovedá globálnemu

maximu.

Často sa pri aplikáciách optimalizácie funkcie stretneme s podmienkou (väzbou)

v tvare , ktorú musí optimalizovaná funkcia spĺňať. V takomto prípade hovoríme

o hľadaní tzv. viazaného extrému funkcie, obr. 8.11.

271

Definícia. Hovoríme, že funkcia definovaná na množine má v bode

maximum viazané podmienkou (ohraničením) , ak platí ,

a pre každé platí: .

Obr. 8.11. Graf funkcie a viazaný extrém určený ohraničujúcou podmienkou

, ktorá je zobrazená ako krivka vytvorená rezom hyperplochy rovinou.

Viazané maximum je zobrazené ako fialový bod.

Obr. 8.12. Vrstevnicová mapa funkcie a ohraničujúcej podmienky (červená

krivka). Bod, v ktorom sa vrstevnica , kde , dotýka krivky

, predstavuje bod , v ktorom leží hľadané maximum, kde smernice

dotyčníc k a , kolmé na smer gradientu (šípky), sú paralelné.

272

Metóda Lagrangeových multiplikátorov spočíva v nahradení optimalizovanej funkcie

novou funkciou nazvanou Lagrangeova funkcia, takou, že

[8.37.]

kde nová premenná , tzv. Lagrangeov multiplikátor, násobí podmienku , a má

viazaný extrém v rovnakom bode ako funkcia :

[8.38.]

Podľa [8.38.] totiž platí, že dotyčnica v bode k funkcii je rovnobežná

s dotyčnicou k ohraničujúcej podmienke násobenej multiplikátorom , obr. 8.12.

Veta. (Lagrangeova veta) Nech je spojitá a diferencovateľná funkcia definovaná na

množine a je spojitá a diferencovateľná funkcia definovaná na množine

, ktorá definuje ohraničujúcu podmienku. Funkcia má v bode

maximum viazané podmienkou , ak platí:

a [8.39.]

kde je Lagrangeova funkcia a je Lagrangeov

multiplikátor.

Postup pri určení polohy viazaného extrému funkcie teda spočíva v riešení sústavy

Lagrangeových rovníc:

[8.40.]

a vzájomnom porovnaní funkčných hodnôt v stacionárnych bodoch .

Príklad. Nájdite extrémy funkcie: viazané podmienkou:

.

Hľadáme teda stacionárne body (pre a ) pomocou Lagrangeovej funkcie:

(

)

273

pre ktoré platí:

Dostávame: z čoho vyplýva . Dosadením do tretej podmienky

dostaneme:

a z toho pre súradnice stacionárneho bodu:

,

Vypočítame druhé derivácie a determinant Hesseho matice:

1

ide teda o extrém,

ide o minimum.

Funkcia má teda v bode minimum.

Príklad. Nájdite extrémy funkcie: viazané podmienkou:

.

Definičný obor funkcie je . Zostavíme Lagrangeovu funkciu:

a vypočítame parciálne derivácie:

Riešením tejto jednoduchej sústavy dostaneme:

274

Vypočítame druhé derivácie:

Determinant Hesseho matice bude mať hodnotu:

(

)

Preto funkcia bude mať len sedlový bod a žiadny viazaný extrém.

Obr. 8.13. Graf funkcie s ohraničujúcou podmienku

. Funkcia nemá viazaný extrém, iba sedlový bod

.

8.11. Metóda najmenších štvorcov

K významným aplikáciám diferenciálneho počtu funkcií dvoch premenných patrí aj

metóda najmenších štvorcov, ktorá sa používa v matematickej štatistike (regresnej analýze) na

opis meraných údajov vhodnou funkčnou závislosťou. Je podstatne výhodnejšie pracovať

namiesto stoviek nameraných hodnôt s krivkou určenou niekoľkými parametrami, ktorá čo

najlepšie aproximuje namerané dáta.

Majme dvojíc nameraných dát , a z podstaty uskutočneného

experimentu vieme, že meraná veličina je lineárne závislá od meranej veličiny , obr. 8.14.

Naším cieľom je preložiť cez množinu bodov (kde rádovo

znamená desiatky bodov) priamku s rovnicou , sú reálne parametre.

Teraz si môžeme položiť otázku, pre akú voľbu parametrov bude regresná priamka

275

vystihovať množinu nameraných bodov najlepšie. Ako dobré kritérium posúdenia

vhodnosti parametrov priamky sa javí výraz: , ktorý zodpovedá rozdielu

medzi nameranou hodnotou a vypočítanou hodnotou , ktorá leží pre zodpovedajúcu

hodnotu na preloženej priamke (modrý bod, obr. 8.14.).

Obr. 8.14. Graf nameraných údajov a regresná priamka , ktorá

opisuje namerané údaje.

Ak sčítame druhé mocniny týchto odchýlok (druhé mocniny používame preto, že odchýlky

ležia nad aj pod priamkou, a teda majú kladné aj záporné znamienka), dostaneme výraz:

∑ [8.41.]

Tento súčet bude pre rôzne hodnoty parametrov iný a definuje spojitú polynomickú

funkciu dvoch premenných , ktorá nadobúda nezáporné hodnoty. Našou úlohou je

nájsť minimum tejto funkcie na definičnom obore . Pretože je

diferencovateľná na celom , budeme hľadať také hodnoty parametrov , v ktorých platí:

. Z tejto podmienky dostaneme sústavu rovníc:

∑

∑

∑

∑

Rovnice vydelíme faktorom -2 a členy usporiadame:

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

alebo

∑

∑ ∑

276

∑ ∑

keďže ∑ . Vyjadrením parametra z druhej rovnice a dosadením do prvej

dostávame pre lokálne minimum :

∑

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

[8.42.]

Výpočtom druhých derivácií a determinantu Hesseho matice a

sa presvedčíme, že bod zodpovedá lokálnemu minimu funkcie a namerané

body bude teda najlepšie popisovať priamka lineárnej regresie: .

Podobný postup by sme zvolili aj v prípade, ak by sme chceli údaje popisovať

kvadratickou rovnicou , kde by sme hľadali minimum funkcie troch

premenných .

8.12. Dvojný integrál

V tejto časti sa budeme zaoberať integrálnym počtom funkcií dvoch premenných, tzv.

dvojným integrálom. Ukážeme si spôsob, ako možno uskutočniť výpočet dvojného integrálu

prevedením na dva jednoduché integrály (integrály funkcie jednej premennej). Pripomeňme si

geometrickú interpretáciu jednoduchého určitého integrálu, vzťah [7.22.], obr. 7.2. Určitý

integrál predstavuje plochu pod krivkou pre ⟨ ⟩, ktorú počítame ako

Riemannov integrálny súčet, napr. podľa obdĺžnikového pravidla, ako sumu obsahov

obdĺžnikov na intervale ⟨ ⟩:

∑ ∫

Dvojný integrál spojitej funkcie dvoch premenných môžeme zaviesť

analogickým postupom. Majme funkciu spojitú na množine , obr.

8.15. Množina definuje oblasť v rovine ohraničenú rovinnou krivkou , na

ktorej budeme počítať dvojný integrál. Rozdeľme oblasť pravouhlou mriežkou na malé

podoblasti (štvorčeky) , ktoré majú plošný obsah , obr. 8.15. V

každej podoblasti vyberme ľubovoľný bod a vypočítajme . Potom

utvorme sumu:

∑ . [8.43.]

277

Ak definujeme šírku štvorcovej podoblasti rovnú , pre mriežku so stále jemnejším

delením na podoblasti bude platiť: ak sa bude počet podoblastí zvyšovať, t. j. pre:

, potom: . Dvojný integrál funkcie na množine môžeme teda definovať

ako limitu zo súčtu [8.43.] pre , ako:

∑ ∬

[8.44.]

Ak funkčné hodnoty sú nezáporné na množine , potom dvojný integrál,

definovaný vzťahom [8.44.], zodpovedá objemu telesa pod hyperplochou

ohraničeného zdola rovinou , zhora funkciou a z bokov zvislým plášťom

prechádzajúcim hranicou množiny definovanou funkciou , obr. 8.15. Každý

sčítanec v sume [8.44.] prispieva k integrálu prírastkom , ktorý zodpovedá

objemu elementárneho kvádra s podstavou a výškou

Obr. 8.15. Geometrickou interpretáciou dvojného integrálu je objem telesa ohraničeného zdola

rovinou , zhora funkciou a z bokov zvislým plášťom prechádzajúcim

hranicou množiny definovanou funkciou

Počítajme dvojný integrál pre teleso pod hyperplochou znázornené na obr.

8.15. podľa nasledujúcej iteratívnej schémy. Nech hraničná krivka oblasti v

rovine je preťatá priamkami rovnobežnými s osami a v najviac dvoch bodoch, obr.

8.16. Dotyčnice a , ktoré sa dotýkajú funkcie v dotykových bodoch K a L

a dotyčnice a , ktoré sa dotýkajú funkcie v dotykových bodoch M a N,

vymedzujú intervaly nezávisle premenných pre oblasť ako: a . Nech

rovinná krivka hranice oblasti určená oblúkom KML je opísaná ohraničujúcou rovnicou

278

a oblúk KNL je opísaný rovnicou . Rozdeľme interval ⟨ ⟩ na

častí s deliacimi bodmi so šírkou . Rovnako rozdeľme interval

⟨ ⟩ na častí s deliacimi bodmi so šírkou a nakreslime

mriežku prechádzajúcu deliacimi bodmi, obr. 8.16. Dostaneme sieť malých obdĺžnikov s

plochou (plus plošné útvary iného tvaru v blízkosti hraničnej krivky ,

ktoré zanedbáme). Na každej podoblasti zvoľme bod , vypočítajme funkčnú

hodnotu a utvorme sumu:

∑

[8.45.]

Výraz [8.45.] predstavuje len iný zápis, ktorý zodpovedá dvojnému integrálu [8.44.], keď

aj a a .

Obr. 8.16. Schéma iteratívneho výpočtu dvojného integrálu

Pri výpočte limity výrazu [8.45.] uvažujme jednotlivé indexy a sumy oddelene a počítajme

najprv príspevky obdĺžnikov mriežky po riadkoch, takých ktoré majú konštantnú hodnotu

(t. j. fixný index ):

∑ ( ) ( )

Limita pre a sa potom bude rovnať:

[∑ ( ) ] ∫

Teraz dopočítajme limitu sumy po stĺpcoch (cez index ) pre a :

279

∑ ∫ ∫

∫

∫ ∫

[8.46.]

Teda výpočet dvojného integrálu zahŕňa postupné vyriešenie dvoch určitých integrálov jednej

premennej v príslušnom poradí. Najprv počítame prvý integrál funkcie podľa (keď

premennú považujeme pri integrovaní za konštantu) od dolnej hranice po hornú

hranicu na . Potom integrujeme výsledok prvého integrálu podľa premennej

(pričom premennú považujeme za konštantu) v hraniciach od po . Tento

postup, pri ktorom sa dvojný integrál premení na dvojnásobný integrál, sa nazýva iteračný

výpočet. Tento postup opisujú Fubiniho vety.91

Veta. (Fubiniho veta) Nech funkcia je spojitá na množine ⟨ ⟩ ⟨ ⟩, potom

platí:

∬ ∫ ∫ ∫ ∫

[8.47.]

Výsledok dvojného integrálu teda nezáleží na poradí, v akom integrujeme podľa premenných

a (za predpokladu, že funkcia je na elementárnej oblasti spojitá). V prípade, ak

integrovaná funkcia má tvar: , kde je spojitá funkcia na intervale

⟨ ⟩ a je spojitá na intervale ⟨ ⟩, potom platí:

∬ ∫ ∫ ∫ ∫

[8.48.]

Fubiniho veta [8.47.] zovšeobecnená pre prípad, keď integračné hranice funkcie sú

definované všeobecnou elementárnou oblasťou:

;

ohraničenou rovinnými krivkami a , pre ⟨ ⟩, má potom

nasledujúci tvar:

Veta. (Fubiniho veta) Nech funkcia je spojitá na množine ;

potom platí:

∬ ∫ ∫

[8.49.]

91 Guido Fubini (1879-1943) bol taliansky matematik. Zaoberal sa rôznymi oblasťami matematickej analýzy a tiež

aplikovanou matematikou.

280

Príklad. Vypočítajte dvojný integrál: ∬

, kde ⟨ ⟩ ⟨ ⟩.

Funkcia je spojitá na obdĺžnikovej elementárnej oblasti , takže

je integrovateľná. Podľa Fubiniho vety [8.47.] dostaneme:

∬

∫ ∫

∫

∫

V tomto prípade sme mohli zvoliť aj iný postup a integrovať v opačnom poradí:

∬

∫ ∫

∫

∫

Výsledok teda nezávisí od poradia integrovania.


, kde ;

√

Najprv si znázornime elementárnu oblasť , ktorej hranice sú časti parabol s rovnicami

a √ , obr. 8.17. Z obrázku vidíme, že je daná nerovnosťami:

√

a √

Obr. 8.17. Elementárna oblasť ; √

Funkcia je spojitá na , a preto integrovateľná. Podľa Fubiniho vety

dostaneme:

∬ ∫ ∫ ∫ [

]

√ √

√

√

281

∫

√

[

]

√


, kde je oblasť ohraničená priamkou:

a parabolou: .

Najprv si znázorníme danú oblasť, určíme priesečníky priamky a paraboly a vyjadríme

integračné hranice pomocou nerovností. Priesečníky hraníc dostaneme z podmienky:

ako: a . Elementárnu oblasť môžeme vyjadriť dvoma spôsobmi:

a) pri obvyklom poradí integrácie vyjadrujeme množinu pomocou intervalu

premennej a funkcií premennej , ktoré ohraničujú premennú . V našom prípade sa však

bude spodná hranica skladať z dvoch funkcií, a preto budeme musieť elementárnu oblasť

rozdeliť na dve podmnožiny, obr. 8.18. A:

√ √

√

Pri integrácii v poradí je teda potrebné rozdeliť integrál na dva integrály:

∬

∫ [∫ √

√ ]

∫ [∫

√

]

čo je nepraktické.

Obr. 8.18. Elementárna oblasť ohraničená priamkou a parabolou. Šípkami sú vyznačené smery

od spodnej integračnej hranice k hornej hranici prvého integrálu. A. Najprv integrujeme

podľa . B. Najprv integrujeme podľa .

282

b) Výhodnejšie bude integrovať v opačnom poradí . Hranice oblasti potom

vyjadríme ako, Obr. 8.18.B:

Dvojný integrál je potom rovný:

∬ ∫ [∫

] ∫ [

]

∫

∫

[

]



ed., Schaum’s



13. J. Eliáš, J. Horváth, J. Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky, I – IV., Bratislava,

Alfa, 1989.






17. K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 2003.


Sciences, 2nd


283

Cvičenia 8

8.1. Vypočítajte parciálne derivácie funkcie: .

8.2. Vypočítajte parciálne derivácie funkcie:




8.6. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie:

8.7. Nájdite gradientové vektorové pole funkcie:

8.8. Pre funkciu vypočítajte smerovú deriváciu v bode

v smere vektora .

8.9. Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie:

.

8.10. Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie: v bode

.

8.11. Vypočítajte totálny diferenciál funkcie: v bode [

].

8.12. Vypočítajte totálny diferenciál funkcie: v bode .

8.13. Nájdite rovnicu dotykovej roviny grafu funkcie: v bode

8.14. Pomocou totálneho diferenciálu približne vypočítajte: √ .

284

8.15. Nájdite totálnu deriváciu funkcie , keď podľa

premennej .

8.16. Výška premenlivého kužeľa sa rovná cm a narastá rýchlosťou cm/min.

Polomer podstavy kužeľa sa rovná cm a zmenšuje sa rýchlosťou cm/min. Ako

rýchlo sa mení objem kužeľa?

8.17. Zistite, či výraz: je

diferenciálom kmeňovej funkcie, a ak áno, nájdite jej tvar.

8.18. Nájdite lokálne extrémy funkcie: √ .

8.19. Nájdite lokálne extrémy funkcie: .

8.20. Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie:

v trojuholníku tvorenom súradnicovými osami a dotyčnicou ku grafu funkcie

v bode .

8.21. Nájdite extrémy funkcie: viazané podmienkou:

.

8.22. Vypočítajte dvojný integrál: ∫ ∫

.

8.23. Vypočítajte dvojný integrál: ∫ ∫

.

8.24. Vypočítajte dvojný integrál ∬

, keď elementárna integračná oblasť leží v prvom

kvadrante a je ohraničená plošnou krivkou √ a priamkou .

8.25. Vypočítajte dvojný integrál ∬

cez elementárnu integračnú oblasť , ktorá leží

v prvom kvadrante a je ohraničená hyperbolou a priamkami ,

a .

285

Riešenia 8

8.1. Funkcia predstavuje polynóm premenných a a je

definovaná a spojitá na celom intervale . Parciálne derivácie vypočítame tak, že

jednu z premenných považujeme za konštantu a podľa druhej derivujeme (a naopak):

8.2. Funkcia

je definovaná a spojitá na celom intervale okrem

počiatku a súradnicových osí , t. j. . Parciálne derivácie

budú mať tvar:

(

)

(

)

8.3. Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale :

8.4. Funkcia je definovaná a spojitá na celom

intervale :

8.5. Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale . V tomto

prípade počítame parciálnu deriváciu podľa pravidla pre súčin funkcií, vzťah [6.12.]:

8.6. Vypočítajte prvé parciálne derivácie funkcie

Funkcia je definovaná a spojitá na celom intervale . Budeme ju derivovať

ako podiel dvoch funkcií.

286

[

]

( )

[

]

( )

8.7. Gradientové vektorové pole funkcie: budeme počítať podľa

vzťahu [8.8.]:

(

)

Toto gradientové vektorové pole je zobrazené na nasledujúcom obrázku pomocou

šípok, ktoré znázorňujú vektor poľa v bodoch množiny .

Obr. 8.19. Gradientové vektorové pole funkcie: .

8.8. Smerovú deriváciu funkcie v bode vypočítame podľa

vzťahu [8.9.] ako skalárny súčin gradientu funkcie v danom bode a jednotkového

vektora . Najprv určíme jednotkový vektor pre vektor :

(

) (

√

√ ) (

√

√ )

Parciálne derivácie určíme ako:

Hodnoty parciálnych derivácií v bode dostaneme dosadením:

Pre veľkosť smerovej derivácie potom platí:

√

√

√

287

8.9. Počítame parciálne derivácie druhého rádu funkcie:

.

Definičným oborom funkcie bude , na tejto množine bude funkcia spojitá

vrátane derivácií prvého a druhého rádu. Pre parciálne derivácie dostaneme:

8.10. Počítame parciálne derivácie druhého rádu funkcie: v bode

.

Funkcia je spojitá na , na tejto množine budú spojité aj jej derivácie prvého

a druhého rádu. Pre prvé parciálne derivácie platí:

Druhé parciálne derivácie budeme počítať ako deriváciu podielu funkcií, vzťah [6.12]:

( )

( )

Hodnoty derivácií v bode dostaneme dosadením hodnôt nezávisle premenných:

288

8.11. Totálny diferenciál funkcie: v bode [

] vypočítame podľa

vzťahu [8.12.]. Najprv určíme parciálne derivácie:

Totálny diferenciál bude mať tvar:

Totálny diferenciál v bode [

] bude:

(

) (

) (

) (

) (

)

8.12. Vypočítajte totálny diferenciál funkcie: v bode .

Najprv určíme parciálne derivácie:

Derivácie v bode .

Totálny diferenciál:

8.13. Rovnicu dotykovej roviny grafu funkcie: v bode

nájdeme pomocou prvých parciálnych derivácií:

Rovnicu dotykovej roviny dostaneme dosadením do vzťahu [8.14.]

Alebo v implicitnom tvare:

8.14. Počítame približnú hodnotu √ pomocou totálneho diferenciálu. K

výpočtu použijeme diferenciál funkcie √ v bode s diferenciami

a . Najprv vypočítame parciálne derivácie:

√

√

289

Totálny diferenciál v bode bude:

(

√

√ )

√

√

√

√

Približnú hodnotu odmocniny odhadneme podľa vzťahu [8.15.]:

√ √

√

Výpočtom na kalkulačke dostaneme:

√

Rozdiel oproti „presnému“ výpočtu na kalkulačke sa prejaví na treťom desatinnom

mieste.

8.15. Hľadáme totálnu deriváciu funkcie podľa premennej , kde

. Najprv vypočítame parciálne derivácie a obyčajné derivácie funkcií

:

Potom podľa [8.16.]:

8.16. Výška premenlivého kužeľa sa rovná 15 cm a narastá rýchlosťou

Polomer podstavy kužeľa sa rovná 10 cm a zmenšuje sa rýchlosťou

Počiatočný objem kužeľa bude:

. Výšku

kužeľa a polomer podstavy považujeme za funkcie času: , . Rýchlosť

zmeny výšky a polomeru s časom zodpovedá deriváciám týchto veličín podľa času:

Parciálne derivácie objemu podľa premenných a sú rovné:

290

Rýchlosť akou sa mení objem kužeľa dostaneme ako:

Objem kužeľa bude teda klesať rýchlosťou:

.

8.17. Zisťujeme, či výraz:

zodpovedá diferenciálu kmeňovej funkcie. Najprv zistíme, či je uvedený výraz totálnym

diferenciálom. Pre všetky platí:

a

Daný výraz je teda diferenciálom kmeňovej funkcie

.

nájdeme postupnou integráciou:

∫ ∫

Pri integrovaní podľa premennej považujeme premennú za konštantu. Integračnú

konštantu budeme pri hľadaní kmeňovej funkcie dvoch premenných

považovať namiesto číselnej konštanty za funkciu závislú od . Jej derivácia

je

totiž rovná nule, rovnako, ako derivácia konštanty. Derivovaním medzivýsledku

podľa :

dostaneme , pretože je, ako sme ukázali vyššie, totálny

diferenciál:

(

)

∫

Kmeňová funkcia bude mať teda tvar:

kde je integračná konštanta.

8.18. Hľadáme lokálne extrémy funkcie: √ . Výraz pod odmocninou

je polynómom druhého stupňa premenných a , ktorý nadobúda kladné hodnoty na

291

celej množine . Preto bude definovaná a jej parciálne derivácie budú spojité na celej

množine . Lokálne extrémy sa môžu nachádzať tam, kde má riešenie sústava rovníc:

√

√

√

√

Riešením sústavy je jediný stacionárny bod .

Pre druhé parciálne derivácie platí:

√

√

√

√

Hodnoty druhých derivácií v stacionárnom bode dostaneme dosadením , :

Dosadením do vzťahu [8.34.] dostaneme:

|

|

a zároveň

Preto stacionárny bod bude lokálnym maximom (pozri obrázok nižšie).

Obr. 8.20. Hyperplocha funkcie: √

8.19. Hľadáme lokálne extrémy funkcie: .

Najprv nájdeme stacionárne body:

292

Exponenciála je vždy kladná, preto môžeme rovnice vydeliť výrazom a riešiť

sústavu:

0

Z druhej rovnice vyjadríme :

dosadíme do prvej rovnice a dostaneme súradnice stacionárneho bodu:

Vypočítame si druhé derivácie v stacionárnom bode:

Hesseho matica bude mať tvar:

(

)

Preto funkcia nemá v bode extrém ale sedlový bod (pozri obrázok nižšie).

Obr. 8.21. Hyperplocha funkcie:

8.20. Hľadáme najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie:

v trojuholníku tvorenom súradnicovými osami a dotyčnicou ku grafu funkcie

v bode .

Funkcia je, vrátane svojich parciálnych derivácií, spojitá na celom obore . Začneme

tým, že určíme rovnicu dotyčnice. Platí

. Dotyčnica v bode bude mať

293

rovnicu

, z toho . Množina, na ktorej hľadáme

absolútny extrém funkcie, bude:

Stacionárne body určíme z podmienky:

Jediným stacionárnym bodom je bod , ktorý leží v . Výpočtom determinantu

Hesseho matice

(

)

a z hodnoty zistíme, že v bode je maximum so súradnicami .

Ďalej budeme hľadať najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na hranici elementárnej

oblasti , ktorá sa skladá z týchto úsečiek:

a) pre ⟨ ⟩,

b) pre ⟨ ⟩,

c) pre ⟨ ⟩,

pre ktoré budeme riešiť extrémy individuálne:

a) pre ⟨ ⟩, dosadením do funkcie dostaneme:

a hľadáme extrémy funkcie pre ⟨ ⟩. , odtiaľ

.

Funkčné hodnoty v stacionárnom bode a v krajných bodoch intervalu sú: (

)

,

, .

b) pre ⟨ ⟩

(

)

, ,

c) pre ⟨ ⟩, dosadením do funkcie dostaneme:

Porovnaním vypočítaných funkčných hodnôt v stacionárnych bodoch a krajných bodoch

intervalov vidíme, že absolútne maximum dosahuje funkcia v bode

a absolútne minimum v bodoch a .

nie je

opravené

v AK

294

8.21. Hľadáme extrémy funkcie: viazané podmienkou:

. Definičný obor funkcie je . Hľadáme stacionárne body pomocou

Lagrangeovej funkcie:

pre ktoré platí:

Dostávame: , z čoho vyplýva . Dosadením do tretej podmienky

dostaneme:

a z toho pre súradnice stacionárneho bodu dostaneme:

, ,

a pre multiplikátor:

Vypočítame druhé derivácie a determinant Hesseho matice:

0

ide teda o extrém,

ide o minimum.

Funkcia má teda v bode minimum viazané podmienkou:

.

8.22. Počítame dvojný integrál: ∫ ∫

.

Funkcia je spojitá na , takže je integrovateľná. Podľa Fubiniho vety

[8.44.] dostaneme:

∫ ∫

∫ [

]

∫

∫

8.23. Počítame dvojný integrál: ∫ ∫

.

Funkcia je spojitá na , takže je integrovateľná.

∫ ∫

∫ [

]

∫

[

]

∫

295

8.24. Počítame dvojný integrál ∬

cez elementárnu integračnú oblasť , ktorá leží

v prvom kvadrante a je ohraničená plošnou krivkou √ a priamkou (pozri

obr. 8.22.).

Priamka a parabola sa pretínajú v bodoch a , ktoré určujú integračné hranice

premennej . Budeme integrovať po „stĺpcoch“, najprv podľa , a potom podľa

(element plochy :

∬

∫ ∫

∫

∫ (

)

[

]

(

)

Obr. 8.22. Elementárna oblasť ohraničená funkciami: √ a

8.25. Počítame dvojný integrál ∬

cez elementárnu integračnú oblasť , ktorá leží v

prvom kvadrante a je ohraničená hyperbolou a priamkami , a

(pozri obr.8.23.).

Z obrázku vidíme, že elementárnu oblasť musíme rozdeliť na dve časti, z ktorých každú

budeme integrovať zvlášť v odlišných hraniciach:

∬

∬

∬ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫ (

)

∫

[

]

[

]

(

)

(

)

√

296

Obr. 8.23. Elementárna oblasť ohraničená funkciami: ,

a

297

9. Diferenciálne rovnice

Na rozdiel napríklad od algebraických rovníc, v ktorých neznámymi sú premenné,

diferenciálne rovnice sú také rovnice, kde hľadanými neznámymi sú funkcie, a v ktorých

vystupujú derivácie týchto funkcií. Ak neznámou funkciou je funkcia jednej premennej,

potom hovoríme o obyčajných diferenciálnych rovniciach. Ak neznámu funkciu tvorí funkcia

viacerých premenných, potom tieto rovnice nazývame parciálnymi diferenciálnymi

rovnicami.

Rádom diferenciálnej rovnice nazývame rád najvyššej derivácie, ktorá sa v rovnici

nachádza.

Riešením diferenciálnej rovnice je každá funkcia (definovaná na určitom intervale), ktorá

po dosadení svojich príslušných derivácií, vrátane funkcie samotnej, spĺňa uvažovanú

diferenciálnu rovnicu. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu je funkcia, ktorá

závisí od jedného parametra - konštanty , ktorej voľbou možno dostať každé riešenie danej

rovnice. Partikulárne riešenie je jedno konkrétne riešenie, získané zo všeobecného riešenia

výberom konkrétnej hodnoty konštanty . Výber jedného konkrétneho riešenia je často

určený zadaním počiatočnej podmienky, napríklad v tvare: . Riešenie

diferenciálnej rovnice s počiatočnou podmienkou sa nazýva počiatočná úloha.

Diferenciálne rovnice hrajú dôležitú úlohu v prírodných vedách, pretože opisujú priebeh

mnohých fyzikálnych, chemických alebo biologických procesov. Príkladom obyčajnej

diferenciálnej rovnice prvého rádu je napr. rovnica . Jej riešením je funkcia

, , je reálna konštanta, pretože platí: . Pre počiatočnú podmienku

zadanú ako: bude potom riešením rovnice funkcia . Iným príkladom

relatívne jednoduchej obyčajnej diferenciálnej rovnice je diferenciálna rovnica druhého rádu:

. Jedným z riešení tejto rovnice je funkcia: , pretože:

. Na druhej strane rovnica:

predstavuje parciálnu

diferenciálnu rovnicu druhého rádu. Jedným z riešení tejto diferenciálnej rovnice bude

funkcia , , sú ľubovoľné reálne konštanty. Nie každá

diferenciálna rovnica musí mať riešenie. Otázka existencie a jednoznačnosti riešení

diferenciálnych rovníc je pomerne komplikovaná. Problematika diferenciálnych rovníc

nebude úplne jednoduchá, aj keď sa budeme zaoberať len obyčajnými diferenciálnymi

rovnicami prvého rádu. V tejto kapitole ukážeme, ako sa riešia základné diferenciálne

rovnice, s ktorými sa študenti stretnú vo fyzike, fyzikálnej chémii, farmakokinetike a ďalších

špecializovaných predmetoch.

298

9.1. Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu

Obyčajnú diferenciálnu rovnicu prvého rádu pre neznámu funkciu môžeme

v explicitnom tvare všeobecne vyjadriť takto:

[9.1.]

Riešenie takejto rovnice závisí od tvaru funkcie . O hľadanom riešení takejto

jednoduchej diferenciálnej rovnice môžeme získať určité informácie pomocou geometrickej

interpretácie diferenciálnej rovnice. Rovnica totiž priraďuje bodu v rovine

hodnotu , teda hodnotu derivácie hľadanej funkcie v danom bode. Túto hodnotu

derivácie môžeme chápať ako smernicu dotyčnice ku krivke prechádzajúcej bodom

. Takúto dotyčnicu môžeme znázorniť ako krátku úsečku so stredom v danom bode

so smernicou . Táto úsečka sa nazýva lineárny element. Množinu všetkých

lineárnych elementov diferenciálnej rovnice nazývame smerové pole, obr. 9.1. Graf každého z

možných riešení danej diferenciálnej rovnice, tzv. integrálna krivka, má tú vlastnosť, že

dotyčnica zostrojená v každom bode krivky obsahuje príslušný lineárny element

smerového poľa. Smerové pole teda zobrazuje tvar hľadaných kriviek a ukazuje smer, ktorý

krivka naberá v každom bode.

Obr. 9.1. Smerové pole diferenciálnej rovnice a jej riešenie

(modrá krivka) spĺňajúce počiatočnú podmienku (modrý bod na osi y)

299

Ak máme zadanú počiatočnú podmienku riešenia , t. j. napr. bod , ktorým

krivka riešenia prechádza, potom dokážeme v smerovom poli nakresliť približný tvar grafu

riešenia tak, že začneme z bodu a sledujeme smer priľahlých lineárnych elementov,

Obr. 9.1. Príslušnú neznámu funkciu však už musíme vypočítať vhodnými metódami,

ktoré opíšeme v ďalšom texte.

Príklad. Presvedčte sa, že riešením diferenciálnej rovnice s počiatočnou

podmienkou je funkcia , .

Či funkcia je riešením uvažovanej rovnice, zistíme derivovaním funkcie a dosadením do

diferenciálnej rovnice, ktorá musí byť splnená:

Dosadením do rovnice dostaneme:

Príklad. Ukážte, že funkcia

je riešením diferenciálnej rovnice: .

Najprv vypočítame prvú deriváciu zadanej funkcie:

Dosadíme do ľavej strany rovnice za a :

(

)

Porovnaním s pravou stranou rovnice vidíme, že obidva výrazy sú rovnaké, a teda

spĺňa uvažovanú diferenciálnu rovnicu.

Špeciálnym prípadom obyčajných diferenciálnych rovníc , kde

, t. j. vo vyjadrení pravej strany diferenciálnej rovnice nevystupuje neznáma funkcia

, ale len nezávisle premenná, je rovnica: . Táto rovnica sa dá priamo riešiť

integráciou: ∫ (čo predstavuje výpočet neurčitého integrálu podľa

premennej ). V prípade, že je zadaná aj počiatočná podmienka , potom dokážeme

určiť aj veľkosť konštanty (dosadením počiatočnej podmienky do primitívnej funkcie

).

300

Príklad. Vyriešte obyčajnú diferenciálnu rovnicu: s počiatočnou

podmienkou

.

Tento špeciálny prípad diferenciálnej rovnice budeme riešiť priamo (integráciou per partes),

vzťah [7.11.]:

∫ |

|

∫

Dosadíme počiatočnú podmienku a pre konštantu dostaneme:

Partikulárne riešenie danej diferenciálnej rovnice má tvar:

Príklad. Overte, že funkcia: , kde (

), je riešením diferenciálnej

rovnice: .

Vypočítame deriváciu funkcie:

Porovnaním s pravou stranou rovnice vidíme, že rovnicu spĺňa. Všimnime si ale, že

zatiaľ čo definičným oborom pravej stany rovnice ( ) je celá množina , riešenie

rovnice je definované len na obmedzenom intervale (

).

Pri riešení diferenciálnych rovníc môžeme naraziť na viaceré komplikácie, ako sú

nejednoznačnosť riešenia (danú diferenciálnu rovnicu môžu spĺňať viaceré funkcie, pri výbere

vhodného riešenia môžu v niektorých prípadoch pomôcť počiatočné podmienky), definičný

obor riešenia (ktorý môže byť odlišný od oboru, na ktorom je definovaná rovnica), existencia

a zložitosť hľadania riešení (v mnohých prípadoch nedokážeme riešenie nájsť – ani pre

najjednoduchšie rovnice, ktoré riešime priamou integráciou nemusíme byť vždy v stave nájsť

riešenie).

301

Uveďme si jednu vetu, ktorá opisuje existenciu riešení obyčajnej diferenciálnej rovnice

prvého rádu.

Veta. Majme bod v rovine a funkciu definovanú na okolí tohto bodu.

Ak je parciálna derivácia

na tomto okolí ohraničenou funkciou, potom má

diferenciálna rovnica s počiatočnou podmienkou: práve jedno

riešenie.

Veta presne nedefinuje veľkosť okolia bodu a predpokladá, že riešenie je spojitá

funkcia (má v okolí bodu deriváciu) a hovorí len, že riešenie existuje. V nasledujúcich

častiach ukážeme, akými metódami môžeme pre niektoré tvary funkcie riešenie

diferenciálnej rovnice vypočítať.

9.2. Rovnica so separovateľnými premennými

Diferenciálnu rovnicu, ktorú možno upraviť na tvar: , nazývame rovnicou

so separovateľnými premennými. Znamená to teda, že funkciu , ktorá vystupuje na

pravej strane rovnice všeobecného tvaru obyčajnej diferenciálnej rovnice prvého rádu, možno

rozdeliť na člen závislý len od premennej a člen závislý len od premennej , ktoré sa

násobia.

Postup riešenia takejto rovnice je nasledujúci. V rovnici budeme namiesto písať

a rovnicu:

upravíme na tvar:

[9.2.]

Obidve strany rovnice zintegrujeme (ľavú stranu podľa premennej , pravú stranu podľa

premennej ) a dostaneme:

∫

∫

[9.3.]

kde je primitívna funkcia k funkcii

, je primitívna funkcia k funkcii a

je integračná konštanta. Riešenie rovnice teda spočíva najmä v integrovaní funkcií

a

. Ak sú tieto funkcie spojité, potom ich neurčité integrály existujú, nemusíme ich však

vždy vedieť vypočítať. Všimnime si, že ak , potom konštantná funkcia je

302

riešením uvažovanej rovnice. Ak máme zo všetkých riešení určiť partikulárne riešenie, ktoré

spĺňa aj počiatočnú podmienku , potom je ešte potrebné určiť hodnotu integračnej

konštanty dosadením do vzťahu [9.3.]: .

Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu: .

Rovnicu budeme riešiť separáciou premenných, vzťah [9.2.] a následnou integráciou, vzťah

[9.3.]:

za predpokladu, že:

Integráciou dostaneme:

∫

∫

kde

pričom je integračná konštanta, ktorá môže nadobúdať kladné, nulové aj záporné

hodnoty (preto môžeme vynechať z výsledku znamienko ). Pripomeňme, že pre hodnotu

konštanty , riešenie obsahuje aj triviálne riešenie .

Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu:

.

Najprv budeme riešiť prípad: . Vidíme, že funkcia:

je riešením

diferenciálnej rovnice. Riešme teraz prípad, keď:

. Dostaneme:

∫

∫

ak nahradíme kladnú konštantu po odlogaritmovaní rovnice ľubovoľnou konštantou

, môžeme odstrániť absolútnu hodnotu a dostaneme:

303

Toto riešenie zahŕňa aj triviálne riešenie:

.

Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu: .

Rovnicu upravíme tak, aby sme mohli odseparovať premenné:

∫

∫ (

)

kde . Konštanta môže nadobúdať kladné, aj záporné hodnoty, preto môžeme

odstrániť absolútne hodnoty. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice preto bude mať tvar:

Príklad. Vyriešte diferenciálnu rovnicu: s počiatočnou

podmienkou .

Odseparujeme premenné za predpokladu, že a dostaneme:

∫

∫

∫

304

Kde integračná konštanta: nadobúda kladné, aj záporné hodnoty. Jej hodnotu určíme

dosadením počiatočnej podmienky do všeobecného riešenia:

Partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice s počiatočnou podmienkou teda bude:

9.3. Lineárne diferenciálne rovnice

Obyčajnú lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu môžeme zapísať vo všeobecnom

tvare:

[9.4.]

kde funkcie a budeme považovať za spojité funkcie jednej premennej . V tejto

diferenciálnej rovnici teda vystupuje neznáma funkcia , ako aj jej derivácia ,

v lineárnom tvare. V niektorých prípadoch, napr. ak , možno lineárnu

diferenciálnu rovnicu upraviť na rovnicu so separovateľnými premennými, všeobecne však

musíme siahnuť po iných metódach riešenia. Jedna z metód vhodných na riešenie lineárnych

diferenciálnych rovníc sa nazýva metóda variácie konštánt. Ukážeme teraz, ako máme pritom

postupovať.

Na začiatku budeme riešiť tzv. homogénnu rovnicu, t. j. rovnicu bez pravej strany, kde

funkciu položíme rovnú nule:

[9.5.]

Všeobecné riešenie homogénnej rovnice nájdeme pomocou separácie premenných:

∫

∫

305

Kde je primitívna funkcia k a je reálna konštanta.

V nasledujúcom kroku, ktorý sa nazýva variácia konštanty, budeme riešiť rovnicu s pravou

stranou tak, že budeme hľadať riešenie v tvare:

kde sme konštantu nahradili funkciou premennej tak, aby modifikované riešenie

spĺňalo nehomogénnu diferenciálnu rovnicu. Dosadením tohto riešenia do lineárnej

rovnice [9.4.] dostaneme:

Pretože je primitívna funkcia k , platí: , a preto sa druhý a tretí člen

na ľavej strane predchádzajúcej rovnice navzájom zrušia, dostaneme:

∫ [9.6.]

Funkciu teda určíme integrovaním výrazu [9.6.] pre spojité funkcie a .

Všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice má potom tvar:

∫ [9.7.]

Všimnime si, že funkcia všeobecného riešenia je vlastne súčet všeobecného riešenia

homogénnej lineárnej rovnice a partikulárneho riešenia rovnice s pravou stranou

∫ . Ak teda poznáme všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany

a nejakým jednoduchým spôsobom dokážeme nájsť partikulárne riešenie homogénnej

rovnice, potom ich súčet bude opisovať všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice.

Lineárne diferenciálne rovnice majú významné postavenie, pretože môžu v okolí daného

bodu nahradiť mnohé zložitejšie nelineárne rovnice (podobne, ako možno graf funkcie jednej

premennej v okolí bodu aproximovať dotyčnicou alebo funkciu dvoch premenných

dotykovou rovinou) a môžu tak poskytnúť približné riešenie pre inak analyticky neriešiteľný

problém.

Príklad. Vyriešte lineárnu diferenciálnu rovnicu:

Na riešenie použijeme metódu variácie konštánt. Najprv budeme riešiť homogénnu rovnicu:

306

ktorá sa dá riešiť separáciou premenných:

∫

∫

Teraz budeme hľadať riešenie rovnice s pravou stranou v tvare:

Platí:

z toho ostaneme:

Integrovaním so substitúciou:

∫ [

] ∫

Všeobecné riešenie rovnice s pravou stranou potom môžeme napísať ako:

( )

Kde je reálna konštanta.

Príklad. Vyriešte počiatočnú úlohu:

, keď .

Rovnicu upravíme:

Najprv budeme riešiť homogénnu rovnicu:

307

∫

,

Partikulárne riešenie rovnice s pravou stranou budeme hľadať v tvare:

Toto riešenie derivujeme ako podiel funkcií:

( )

Dosadíme do nehomogénnej rovnice:

( )

∫

Partikulárne riešenie teda bude mať tvar:

| |

Dosadením počiatočnej podmienky: , dostaneme:

Riešením počiatočnej úlohy je potom funkcia:

( )

Príklad. Nájdite všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice: .

308

Najprv vyriešime homogénnu rovnicu pomocou separácie premenných:

∫

∫

Partikulárne riešenie dostaneme variáciou konštanty :

Do rovnice s pravou stranou dosadíme a :

odtiaľ:

∫

Integrál riešime substitúciou a per partes:

∫ [

]

∫ |

|

∫

Všeobecným riešením lineárnej diferenciálnej rovnice s pravou stranou je funkcia:

kde .

9.4. Exaktné diferenciálne rovnice

Obyčajné diferenciálne rovnice sa zadávajú aj v tvare:

[9.8.]

309

Ak platí, že výraz na ľavej strane rovnice predstavuje totálny diferenciál funkcie :

[9.9.]

potom rovnicu [9.8.] nazývame exaktná diferenciálna rovnica a funkciu označujeme

kmeňová funkcia (pozri časť 8.8.). Pripomeňme si, že pre kmeňovú funkciu musia platiť na

jednoducho súvislej množine (pozri časť 8.8.) vzťahy [8.19.] a [8.20.]:

a

[9.10.]

čiže

Kmeňová funkcia v tvare: kde je konštanta, potom predstavuje riešenie

exaktnej diferenciálnej rovnice [9.8.] (pretože totálny diferenciál konštantnej funkcie sa rovná

nule) a dá sa určiť postupnou integráciou funkcií a . Pri riešení postupujeme takto:

vyberieme si ľubovoľnú rovnosť zo vzťahu [9.10.], napr. , potom musí

platiť:

∫ [9.11.]

pričom integračnú konštantu považujeme za funkciu závislú od premennej ,

v ďalšom kroku určíme funkciu , pre ktorú podľa [9.10.] platí:

∫

∫

integráciou podľa premennej potom dostaneme:

∫

∫ [9.12.]

Príklad. Zistite, či rovnica: je exaktná diferenciálna rovnica

a nájdite jej riešenie.

Pre exaktnú diferenciálnu rovnicu musí platiť:

teda:

310

Keďže sa jedná o exaktnú diferenciálnu rovnicu, kmeňovú funkciu budeme počítať podľa

vzťahov [9.12.]:

∫

Zároveň platí:

potom dostaneme integráciou:

∫

kde je integračná konštanta. Dosadením dostaneme:

alebo

kde je výsledná konštanta . Hodnotu určíme z počiatočnej podmienky.

Príklad. Zistite, či rovnica: je exaktnou

diferenciálnou rovnicou, a ak áno, nájdite jej riešenie.

Najprv overíme platnosť vzťahu [9.10.]:

Rovnica je exaktná. Kmeňovú funkciu a riešenie v tvare nájdeme integráciou:

∫

Zároveň platí:

∫

kde je integračná konštanta. Dosadením dostaneme:

311

alebo

9.5. Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc

Existujú diferenciálne rovnice, ktoré nevieme vyriešiť analyticky, t. j. nevieme vypočítať

funkciu , ktorá spĺňa diferenciálnu rovnicu. V takýchto prípadoch hľadáme aspoň

približné riešenie pomocou grafických alebo numerických metód. Použitie grafických metód,

založených na lineárnych elementoch a smerových poliach, ktoré vedú k nakresleniu

približnej integrálnej krivky, sme ilustrovali na obr. 9.1.

Numerické metódy konštruujú riešenie diferenciálnej rovnice ako množinu bodov

, pričom funkčné hodnoty sa vypočítajú približným

spôsobom pre vybrané hodnoty nezávisle premennej, typicky pre hodnoty narastajúce o malý

konštantný prírastok: .

Majme počiatočnú úlohu, ktorú budeme riešiť numericky:

[9.13.]

Eulerova metóda. Počiatočná podmienka definuje prvý bod približnej krivky

[ . Nasledujúci bod, pre nezávisle premennú: , vypočítame pomocou

diferenciálu funkcie, vzťah [6.16.], obr. 6.10., ako:

alebo skrátene:

kde derivácia riešenia je určená zadaním počiatočnej úlohy:

.

Teda:

Ďalšie body nájdeme opakovaním tohto postupu. Všeobecne, ak numerická hodnota

približného riešenia v bode je , potom pre nasledujúci bod platí:

Príklad. Nájdite pomocou Eulerovej metódy numerické riešenie počiatočnej úlohy:

, .

312

Zvolíme si prírastok a nájdeme približné hodnoty pre , ,

a . Dostaneme:

V sekcii 9.1. sme ukázali, že riešením tejto počiatočnej úlohy je funkcia .

Preto si môžeme v nasledujúcej tabuľke porovnať presnosť analytického a numerického

riešenia.

Tab. 9.1. Porovnanie presného analytického riešenia a numerického Eulerovho riešenia počiatoč-

nej úlohy: ,

presná hodnota približná hodnota rozdiel

Okrem jednoduchej Eulerovej metódy existujú aj komplikovanejšie a presnejšie postupy,

napr. metódy vyvinuté autormi: Runge-Kuta, Adams-Bashford-Moulton, Milne a ďalšie.

9.6. Aplikácie diferenciálnych rovníc v prírodných vedách

V prírode je mnoho fyzikálnych, chemických a biologických procesov, ktoré sa dajú opísať

pomocou matematických modelov. Procesy prevažne deterministickej povahy, u ktorých

poznáme vplyv vonkajších faktorov na zmenu skúmanej veličiny, môžeme modelovať

pomocou diferenciálnych rovníc. Pokiaľ sledujeme vývoj skúmaného systému v čase, na jeho

opis postačia aj obyčajné diferenciálne rovnice, v ktorých vystupuje čas ako nezávisle

premenná a sledovaná veličina ako závisle premenná.

V nasledujúcich častiach opíšeme vybrané jednoduché matematické modely, ktoré opisujú

časovú závislosť troch chemických a biologických procesov a ilustrujú využitie

matematických metód.

313

9.6.1. Kinetika jednoduchej chemickej reakcie

Rýchlosť chemickej reakcie je zjednodušene vyjadrená ako úbytok látkového množstva

alebo pokles koncentrácie reagujúcej látky za časovú jednotku, prípadne ako množstvo

vzniknutého produktu za jednotku času. Podľa Guldbergovho-Waageho zákona92

účinku

hmotností je rýchlosť chemickej reakcie

úmerná koncentrácii ( ) reaktantu

a konštante úmernosti, ktorá sa nazýva rýchlostná konštanta ( ). Pre jednoduchú premenu

reaktantu na produkt : , teda pre rýchlosť chemickej premeny (úbytok reaktantu

alebo prírastok produktu ) dostaneme:

[9.14.]

kde je čas (ktorý začíname merať od ), koncentráciu meriame v jednotkách

a rýchlostnú konštantu tejto reakcie prvého poriadku meriame

v jednotkách . Nech počiatočná koncentrácia reaktantu v čase je , potom

riešenie diferenciálnej rovnice [9.14.], v tvare , nájdeme separáciou premenných:

Absolútnu hodnotu môžeme vynechať, pretože hodnoty exponenciálnej funkcie sú vždy

kladné a . Integračnú konštantu určíme z počiatočnej podmienky

dosadením do riešenia rovnice , ako . Potom pre koncentračnú závislosť

reaktantu dostaneme:

[9.15.]

Pre produkt bude v uzavretom systéme (kde množstvo látky je konštantné) platiť:

[9.16.]

Pretože a , ustáleným (stacionárnym) stavom sledo-

vanej reakcie bude stav, kde všetky molekuly látky sa premenili na molekuly produktu .

Časové priebehy koncentrácií a sú znázornené na obr. 9.2.

92 Cato Maximilian Guldberg (1836 – 1902) bol nórsky matematik a chemik. Peter Waage (1833 – 1900) bol významný

nórsky chemik.

314

Obr. 9.2. Časové závislosti koncentrácií reaktantu a produktu sledovanej chemickej

reakcie:

Uvažujme teraz vratnú chemickú reakciu: ←

→ , kde sú rýchlostné

konštanty priamej a spätnej reakcie. Pre úbytok koncentrácie reaktantu v uzavretom

systéme (kde v každom čase: ) bude teraz platiť:

Riešenie nájdeme separáciou premenných:

∫

∫

Z počiatočnej podmienky , t. j. , vypočítame integračnú konštantu

a po jej dosadení dostaneme partikulárne riešenie:

[9.17.]

315

V ustálenom stave chemickej rovnováhy bude pre tento model platiť:

(

)

t. j. v dynamickej rovnováhe bude proces premeny na neustále prebiehať (rovnakou rých-

losťou v oboch smeroch), pričom bude zachovaná rovnosť:

. Hodnoty

rýchlostných konštánt a budú rozhodovať o tom, na ktorú stranu sa posunie chemická

rovnováha reakcie. Ak napr. , potom

, pretože spätná reakcia

prebieha rýchlejšie. Časové priebehy koncentrácií a sú znázornené na obr. 9.3.

Obr. 9.3. Časové závislosti koncentrácií reaktantu a produktu sledovanej chemickej

reakcie: ←

→ . Znázornené sú aj rovnovážne koncentrácie reaktantu a produktu

a

pre .

9.6.2. Kinetika rastu populácie buniek [10]

Majme bunkovú kultúru, v ktorej sa jednotlivé bunky neobmedzene delia. Množenie

buniek teda nie je limitované ani dostupnosťou živín, ani priestorom, v ktorom sú pestované.

Nech počet buniek v suspenzii v čase sa rovná . Zmenu ich počtu za časový interval

vyjadríme ako rozdiel medzi počtom novovzniknutých a odumretých buniek za čas :

[9.18.]

kde a sú rýchlostné konštanty množenia buniek a zániku buniek. Pre populáciu vo fáze

rastu bude . Počet novovzniknutých buniek je úmerný počtu „rodičovských“ buniek

, ktoré sú v čase v kultúre prítomné, a rovnako aj počet odumierajúcich buniek závisí

od aktuálneho počtu buniek. Počet buniek musí byť dostatočne veľký, aby sme mohli

316

použiť fenomenologický prístup, ktorý využíva štatisticky spriemernené správanie

individuálnych buniek. Časový interval musí byť dostatočne malý, aby sa počas neho

hodnota príliš nemenila, ideálne budeme uvažovať . Dostaneme:

Pre rýchlosť rastu populácie teda dostaneme diferenciálnu rovnicu:

[9.19.]

∫

∫

A pre počiatočnú podmienku: potom máme:

[9.20.]

V prípade, že prevažuje rýchlosť zániku buniek nad množením ( ), potom

a populácia buniek vyhynie. Naopak, ak prevažuje rýchlosť množenia

buniek ( , potom a populácia exponenciálne rastie do

nekonečna, obr. 9.4.

Obr. 9.4. Časový priebeh vývoja bunkovej populácie pre model [9.20.]. A. exponenciálny rast, B.

pokles populácie.

Z experimentálnych pozorovaní správania bunkových kultúr je známe, že po určitej fáze

exponenciálneho rastu populácie dochádza k jeho spomaleniu, a neskôr k zastaveniu rastu, pri

dosiahnutí určitej limitnej hranice (ako napr. počet buniek v jednotkovom objeme). Preto

model kinetiky rastu vyjadrený vzťahom [9.20.] je potrebné spresniť tak, že konštantnú

317

rýchlosť množenia buniek ( ) nahradíme napr. lineárnou závislosťou od celkového počtu

buniek v tvare: , kde je smernica tejto závislosti. Dostaneme teda

modifikovaný vzťah pre rýchlosť rastu bunkovej populácie, nelineárnu diferenciálnu rovnicu:

[9.21.]

Označme: , dostaneme:

(

)

∫

∫

Racionálnu funkciu

v integráli na ľavej strane rozložíme na parciálne zlomky:

Potom:

∫

∫

∫

|

|

[9.22.]

Integračnú konštantu vyjadríme z počiatočnej podmienky: (populácia buniek

v čase ). Ak predpokladáme, že

, potom pre konštantu dostaneme:

.

Dosadením konštanty a úpravami vzťahu [9.22.] dostaneme riešenie diferenciálnej rovnice

v explicitnom tvare:

( ) [9.23.]

Ak , rýchlostné konštanty , potom pre ustálený stav ( ) bude

. Pre

dostaneme rastúcu sigmoidnú krivku a pre

má krivka klesajúci priebeh, obr. 9.5. Vzťah [9.23.] predstavuje model obmedzeného rastu

318

s počiatočným exponenciálnym rastom, vývoj ktorého smeruje k stabilnému ustálenému

stavu.

Obr. 9.5 Časový priebeh vývoja bunkovej populácie pre model [9.23.]. A. obmedzený rast pre:

, B. pokles pre:

.

9.6.3. Kinetický model distribúcie liečiva

Matematické modely využívané na opis časového priebehu šírenia aplikovaného liečiva v

ľudskom organizme sa nazývajú farmakokinetické modely. Priestorovú a časovú závislosť

koncentrácie podanej chemickej látky v komplexnej štruktúre organizmu ovplyvňuje celý rad

fyzikálnochemických faktorov, ktoré môžeme rozdeliť medzi štyri základné pochody:

absorpcia, distribúcia, metabolizmus a eliminácia. Zložitú štruktúru ľudského tela

farmakokinetické modely zjednodušene opisujú ako sériu navzájom prepojených

kompartmentov, idealizovaných diskrétnych oddelení, ktoré majú definovaný objem a

zloženie, a v ktorých sa predpokladá rovnomerné rozptýlenie liečiva. Väčšina dejov, ktoré

ovplyvňujú osud liečiva v organizme (ako sú difúzia, biotransformácia, eliminácia, filtrácia,

...) sa riadia kinetikou prvého poriadku, t. j. rýchlosť zmeny koncentrácie liečiva je úmerná

jeho koncentrácii násobenej rýchlostnou konštantou. Preto pohyb molekúl medzi

kompartmentami je opísaný jednoduchým spôsobom pomocou rýchlostných konštánt a

závislosť zmeny koncentrácie od času vo zvolenom kompartmente môžeme opísať pomocou

obyčajných lineárnych diferenciálnych rovníc.

Zvoľme si jednoduchý dvojkompartmentový farmakokinetický model distribúcie liečiva.

Prvý kompartment bude predstavovať tráviaci trakt, do ktorého aplikujeme liečivo (tabletku)

perorálne (per os). Z neho sa účinná látka absorbuje cez membrány do druhého kompartmentu

(krvný obeh), ktorý účinnú látku distribuuje po celom tele. V druhom kompartmente zároveň

s distribúciou prebieha aj metabolická premena účinnej látky liečiva na neaktívny metabolit a

tiež eliminácia (biotransformácia), ktorou sa liečivo vylučuje z organizmu, obr. 9.6.

319

Obr. 9.6. Dvojkompartmentový model (bloková schéma) pre popis absorpcie, metabolizácie a

eliminácie liečiva v krvnom obehu po jednorazovej dávke podanej p. o. Rýchlostné

konštanty určujú rýchlosť absorpcie, metabolizácie a eliminácie liečiva,

jednotky .

Počítajme funkciu , ktorá vyjadruje časovú závislosť koncentrácie liečiva v krvnej

plazme (t. j. v kompartmente 2) po jednorazovom podaní dávky alebo liečiva per

os, čím získame vybrané farmakokinetické parametre, ktoré možno z tejto funkcie odvodiť.

Jednorazová dávka liečiva podaná do kompartmentu 1 vytvorí v tráviacom trakte počiatočnú

koncentráciu liečiva

. Liečivo bude difundovať z kompartmentu 1,

absorbovať sa v kompartmente 2, kde sa však bude koncentrácia liečiva narastajúca v

dôsledku difuzie zároveň znižovať metabolizáciou a elimináciou liečiva (čo sú chemické

reakcie, ktoré sa riadia kinetikou prvého poriadku). Vzťah pre zmenu koncentrácie s časom

v kompartmente 2 vyjadruje kinetická rovnica:

[9.24.]

kde je okamžitá koncentrácia liečiva v kompartmente 1, sú rýchlostné konštanty

absorpcie, metabolizácie a eliminácie. Rovnica vyjadruje zmenu koncentracie liečiva v

plazme, ktorá závisí od rýchlosti prísunu liečiva z kompartmentu 1 a rýchlosti jeho

úbytku v dôsledku metabolickej premeny a eliminácie . Pre okamžitú

koncentráciu liečiva platí tiež kinetická rovnica prvého poriadku, ktorá opisuje jej pokles v

dôsledku difúzie do kompartmentu 2 (spätnú difúziu a vratnosť chemických reakcií kvôli

jednoduchosti zanedbávame), s počiatočnou podmienkou:

:

Rovnicu riešime separáciou premenných

Komp. 1 Komp. 2

podanie p.o.

absorbcia eliminácia

metabolizácia

ácia

tráviaci trakt

(objem )

krvný obeh

(objem

320

Integračnú konštantu vyjadríme z počiatočnej podmienky:

Okamžitú koncentráciu:

[9.25.]

dosadíme do rovnice [9.24.]:

a úpravou dostaneme lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pre koncentráciu liečiva v

kompartmente 2:

[9.26.]

ktorú riešime metódou variácie konštánt. Najprv vyriešime homogénnu rovnicu:

∫

∫

Ak integračnú konštantu považujeme za funkciu času ,

[9.27.]

potom pre deriváciu podľa platí:

Dosadíme do rovnice s pravou stranou [9.26.]:

321

∫

[9.28.]

Dosadením počiatočnej podmienky pre kompartment 2, , t. j. v čase (okamih

podania liečiva) sa v kompartmente 2 ešte žiadne liečivo nenachádza, vyjadríme integračnú

konštantu

Dosadením do [9.28.] dostaneme:

[9.29.]

A dosadením do [9.27.] dostaneme výslednú funkciu pre časovú závislosť koncentrácie

liečiva v kompartmente 2 :

[

]

[ ] [9.30.]

Táto závislosť je známa aj ako Batemanova funkcia93

, obr. 9.7.

Obr. 9.7 Časová závislosť koncentrácie liečiva v dvojkompartmentovom modeli, obr. 9.6.

A. v kompartmente 1 (tráviaci trakt), vzťah [9.25.]. B. v kompartmente 2 (krvný obeh),

vzťah [9.30.] ( ).

93 Harry Bateman (1882 – 1946) bol britský matematik.

322

Z Batemanovej krivky možno odvodiť viacero farmakokineticky relevantných parametrov.

Napríklad koncentrácia liečiva dosiahne v kompartmente 2 svoju maximálnu hodnotu v

čase takom, keď , teda pre

bude:

[

] [9.31.]

Biodostupnosť liečiva (podiel dávky liečiva podávaného per os, ktorý sa dostane do

krvného obehu v porovnaní k dávke podanej intravenózne t. j. priamo do krvneho obehu)

súvisí s veľkosťou plochy pod krivkou , t. j. s parametrom (area under the

curve, obr. 9.8). vypočítame ako určitý integrál:

∫ ∫

[ ]

∫

[ ]

[

}

{

(

)

(

)}

(

)

[9.32.]

Obr. 9.8. Časová závislosť koncentrácie liečiva v dvojkompartmentovom modeli, obr. 9.6.,

a farmakokinetické parametre. A. plocha pod krivkou ( ∫

).

B. Plocha pod krivkou nad minimálnou efektívnou koncentráciou ( ):

∫

. Časový interval dávkovania lieku podávaného p. o., pri

ktorom koncentrácia liečiva v krvi neklesne pod , bude: .

323

Absolútna biodostupnosť liečiva, významný farmakokinetický ukazovateľ, je definovaná ako

pomer pre perorálne a intravenózne podanie liečiva:

. je daná

vzťahom [9.32.] v dvojkompartmentovom modeli, obr. 9.6. určíme z jednokom-

partmentového modelu, ktorý zodpovedá intravenóznemu podaniu liečiva priamo do krvného

obehu (obr. 9.9.).

Obr. 9.9. Jednokompartmentový model (bloková schéma) pre popis metabolizácie a eliminácie

liečiva v krvnom obehu po jednorazovej dávke podanej i. v. Rýchlostné konštanty

určujú rýchlosť metabolizácie a eliminácie liečiva.

Pokles koncentrácie liečiva s časom v kompartmente 2 po intravenóznom podaní bude

vyjadrovať kinetická rovnica:

[9.33.]

ktorá bude mať pre počiatočnú podmienku:

riešenie analogické ako [9.25.],

obr. 9.10.:

[9.34.]

Obr. 9.10. Časová závislosť koncentrácie liečiva . A. v kompartmente 2 (krvný obeh) pri

intravenóznom podaní, vzťah [9.34.] a plocha pod krivkou pre i. v. podanie . B.

v kompartmente 2 (krvný obeh) pri perorálnom podaní, vzťah [9.30.] (

).

Komp. 2

podanie i.v. eliminácia

metabolizácia

ácia

krvný obeh

(objem

324

vypočítame obdobne ako [9.32.]:

∫ ∫

[9.35.]

Pre absolútnu biodostupnosť perorálne podaného liečiva potom dostaneme v tomto ideálnom

dvojkompartmentovom farmakokinetickom modeli jednoduchý výraz:

[9.36.]

Ďalší dôležitý farmakokinetický parameter, označovaný ako , predstavuje plochu pod

krivkou na intervale ⟨ ⟩ kedy , t. j. koncentrácia liečiva

v kompartmente prekračuje tzv. minimálnu efektívnu koncentráciu ( ), t. j. koncentráciu,

pod ktorou sa už nepozoruje farmakodynamický efekt liečiva. vypočítame pre

funkciu [9.30.] ako:

∫

[9.37.]

keď integračné hranice a určíme ako body, kde: , napr. graficky.

Časový úsek potom určuje, v akých časových intervaloch je liečivo potrebné

dávkovať, aby jeho koncentrácia v krvnej plazme neklesla pod hladinu danú , obr. 9.8. B.

Iný farmakokinetický parameter, ktorý možno odvodiť z krivky , je tzv.

priemerný rezidenčný čas liečiva (označovaný ako , mean residence time), ktorý

predstavuje strednú dobu, ktorú strávia molekuly liečiva v organizme od okamihu podania.

môžeme vyjadriť ako:

∑

∑

∫

∫

[9.38.]

kde je počet molekúl liečiva, ktoré majú rezidenčný čas . Pre veľký počet molekúl, ktoré

sa nachádzajú v terapeutickej dávke liečiva94

, môžeme nahradiť diskrétne rozdelenie molekúl

v objeme spojitou veličinou: :

∑

∫

[9.39.]

ktorú označujeme ako prvý počiatočný moment plochy pod krivkou ( ).

Okamžitá koncentrácia predstavuje hustotu pravdepodobnosti rozdelenia molekúl

podľa rezidenčného času . vypočítame ako:

94 V liečiva sa môže nachádzať okolo molekúl.

325

∫ ∫

∫

∫

Prvý integrál vypočítame substitúciou a metódou per partes:

∫

[

]

∫

|

|

{

∫

}

[(

) (

)]

[

]

[

]

[9.40.]

Obr. 9.11. Farmakokinetické parametre [9.31.], interval davkovania lieku ,

priemerný rezidenčný čas [9.43.] a biodostupnosť liečiva [9.36.], odvodené z

časovej závislosti koncentrácie perorálne podaného liečiva [9.30.] v ideálnom

dvojkompartmentovom modeli. Pre hodnoty počiatočných koncentrácií

a , minimálnej efektívnej koncentrácie

a rýchlostných konštánt: v jednotkách

dostaneme: ,

, a .

326

Podobne vypočítame integrál :

∫

[9.41.]

Pre potom platí:

[9.42.]

a pre priemerný rezidenčný čas liečiva potom pomocou [9.32.] dostaneme (obr. 9.11.):

[9.43.]



ed., Schaum’s


12. R. Bronson: Differential Equations, 2nd

ed., Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill,

New York, 1993.




Alfa, 1989.



17. T. Havránek a kol.: Matematika pro biologické a lékařské vědy. Academia, Praha,

1981.





11. K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 2003.


Sciences, 2nd


327

Cvičenia 9

9.1. Vyriešte diferenciálnu rovnicu: .

9.2. Vyriešte diferenciálnu rovnicu:

.

9.3. Vyriešte diferenciálnu rovnicu:

9.4. Vyriešte diferenciálnu rovnicu: s počiatočnou podmienkou .

9.5. Vyriešte lineárnu diferenciálnu rovnicu:

9.6. Vyriešte počiatočnú úlohu: , ak

9.7. Vyriešte lineárnu diferenciálnu rovnicu:

9.8. Vyriešte exaktnú diferenciálnu rovnicu:

.

9.9. Vyriešte exaktnú diferenciálnu rovnicu: .

328

Riešenia 9

9.1. Diferenciálnu rovnicu: budeme riešiť separáciou premenných:

∫ ∫

√

√

O správnosti výsledku sa presvedčíme dosadením riešenia do pôvodnej rovnice.

9.2. Diferenciálnu rovnicu:

budeme riešiť separáciou premenných:

∫ ∫

√

9.3. Diferenciálnu rovnicu: budeme riešiť separáciou premenných:

∫

∫

∫

∫

9.4. Diferenciálnu rovnicu: s počiatočnou podmienkou riešime

nasledovne:

∫ ∫

329

Konštantu určíme z počiatočnej podmienky:

Dosadíme do všeobecného riešenia a dostane partikulárne riešenie:

√

9.5. Riešime lineárnu diferenciálnu rovnicu: metódou variácie konštánt.

Najprv budeme riešiť rovnicu bez pravej strany:

∫

∫

Integračnú konštantu považujeme za funkciu premennej :

Teraz spočítame :

a dosadíme do rovnice s pravou stranou:

∫

Separátne vypočítame neurčitý integrál na pravej strane dvojnásobnou integráciou per

partes:

∫ |

| ∫

|

| ∫

Výsledok bude:

∫

Dostaneme teda:

330

Dosadíme do riešenia homogénnej rovnice:

[

]

9.6. Riešime počiatočnú úlohu: pre . Najprv budeme riešiť

lineárnu rovnicu bez pravej strany:

∫

∫

Konštantu zmeníme na funkciu premennej :

Pre dostaneme:

(

)

Riešenie homogénnej rovnice dosadíme do rovnice s pravou stranou:

∫

Integrál na pravej strane vypočítame pomocou substitúcie:

∫

[

] ∫

Pre teda dostaneme:

Dosadíme do riešenia homogénnej rovnice a určíme riešenie rovnice s pravou stranou:

331

Hodnotu integračnej konštanty dostaneme z počiatočnej podmienky :

Dosadíme do všeobecného riešenia a dostaneme partikulárne riešenie:

9.7. Riešime lineárnu diferenciálnu rovnicu:

Začneme s homogénnou

rovnicu:

∫

∫

( )

Konštantu nahradíme funkciou premennej :

Nájdeme :

Dosadíme do rovnice s pravou stranou:

∫

Dosadíme do riešenia rovnice bez pravej strany:

(

)

9.8. Vyriešte exaktnú diferenciálnu rovnicu:

. Rovnicu prepíšeme do tvaru:

kde a . Zistíme, či rovnica predstavuje

totálny diferenciál kmeňovej funkcie v tvare :

332

Overili sme, že ide o exaktnú diferenciálnu rovnicu, rovnica teda bude mať riešenie

.

Platí: a

. Zintegrujeme prvý z týchto dvoch

vzťahov:

∫

∫

Na určenie neznámej funkcie využijeme vzťah:

( )

Z toho:

∫

Dosadením do dostaneme:

Riešenie exaktnej diferenciálnej rovnice má tvar:

9.9. Riešime exaktnú diferenciálnu rovnicu: . V tejto rovnici

a . Zistíme, či rovnica predstavuje totálny diferenciál

kmeňovej funkcie v tvare :

Overili sme, že ide o exaktnú diferenciálnu rovnicu, rovnica teda bude mať riešenie

.

Platí: a

. Zintegrujeme prvý z týchto dvoch

vzťahov:

∫

∫

Na určenie neznámej funkcie využijeme vzťah:

333

∫

Dosadením do dostaneme:

Riešenie exaktnej diferenciálnej rovnice má tvar:

334

Odporúčaná literatúra

F. Ayres, Jr., E. Mendelson: Differential and Integral Calculus, 3rd

ed., Schaum’s Outline Series,

McGraw-Hill, New York, 1990.

B. Balcar, P. Štěpánek: Teorie množin. Academia, Praha, 1986.

R. Bronson: Differential Equations, 2nd

ed., Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, New York, 1993.

L. Bukovský: Úvod do matematickej logiky, UPJŠ, Košice, 2001.

V. Čechák, K. Berka, I. Zapletal: Co víte o moderní logice, Horizont, Praha, 1981.

A. Del Fra, L. Lamberti, C. Cammarota: Istituzioni di Matematiche, Libreria Scientifica Dias, Roma,

1997.

Z. Došlá: Matematika pro chemiky 1, Masarykova Universita, Brno, 2010.

Z. Došlá: Matematika pro chemiky 2, Masarykova Universita, Brno, 2011.

J. Eliáš, J. Horváth, J. Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky, I - IV., Bratislava, Alfa, 1989.

R. L. Finney, G. B. Thomas Jr.: Calculus and Analytic Geometry, 9th ed., Addison-Wesley, Reading,

1996.

T. Havránek a kol.: Matematika pro biologické a lékařské vědy. Academia, Praha, 1981.

L. D. Hoffmann, G. L. Bradley: Applied Calculus for Business, Economics, and the Social and Life

Sciences, 9th ed., McGraw-Hill, New York, NY, 2007.

M. Jasem, Ľ. Horanská: Matematika I. Zbierka úloh, STU, Bratislava, 2010.

P. Klemera: Aplikovaná matematika, Karolinum, Praha, 2011.

I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec: Matematika I a II, SVTL, Bratislava, 1961.

V. Kotvalt: Základy matematiky pro přírodovědné obory, Karolinum, Praha, 2011.

H.-H. Körle, R. Hirsch: Elemente der Mathematik für Pharmazeuten, Vieweg Studium, Braunschweig,

1996.

V. Kvasnička, J. Pospíchal: Matematická logika, STU, Bratislava, 2006.

V. Kvasnička, J. Pospíchal: Algebra a diskrétna matematika, STU, Bratislava, 2008.

K. Popper: Logika vědeckého bádání. Oikoymenh, Praha, 1997

K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 2003.

A. Sochor: Klasická matematická logika. Karolinum, Praha, 2001.

D. L. Stancl, M. L. Stancl: Calculus for Management and the Life and Social Sciences, 2nd

ed., R. D.

Irwin, Boston, MA, 1990.

M. Šabo: Matematika I, STU, Bratislava, 2009.

T. Šalát, J. Smítal. Teória množín. UK, Bratislava, 1995.

J. Zeman: Matematika pre farmaceutov, UK, Bratislava, 1989.

P. Zlatoš: Lineárna algebra a geometria, Albert Marenčin – Vydavateľstvo PT, Bratislava, 2011.

335

Použité grafické programy

Na kreslenie grafov funkcií jednej nezávisle premennej sme použili on line kresliaci program

FooPLOT (http://www.fooplot.com).

Na kreslenie grafov funkcií dvoch nezávisle premenných sme použili on line kresliaci program

PlotGraphs (http://www.plotgraphs.com).

Za sprístupnenie týchto užitočných nástrojov širokej verejnosti autorom programov úprimne ďakujem.

336

Register

A

absolútna hodnota 26

algebraický doplnok 91

antiderivácia 195

argument 21

asymptota

bez smernice 172

so smernicou 172

B

bod

hromadný 117

inflexný 166

stacionárny 170

v rovine 33

C

Cramerovo pravidlo 95

číselná os 26

číslo

celé 18

Eulerovo 54

Ludolfovo 54

prirodzené 18

reálne 18

D

De Morganove zálony 12

definičný obor 37

derivácia funkcie

definícia 143

fyzikálny význam 147

geometrický význam 143

inflexný bod 166

konkávnosť 165

konvexnosť 165

lokálny extrém 169

monotónnosť 40

n-tého rádu 150

smerová 250

sprava 144

totálna 252

zľava 144

vyšších rádov 150

derivácia

parciálna 245

podielu 148

smerová 250

súčinu 148

súčtu a rozdielu 148

totálna 252

zloženej funkcie 148

zmiešaná 251

determinant matice 89

rozvoj 91

diagonála matice 78

hlavná 78

diferencia 154

diferenciál

definícia 155

odhad chyby 155

totálny 252

diferenciálna rovnica 297

exaktná 308

homogénna 304

lineárna 304

obyčajná 297

parciálna 297

separovateľná 301

disjunkcia 10

diskriminant 47

dĺžka rovinnej krivky 226

doplnok množiny 27

dotyčnica grafu funkcie 144

dôkaz 18

matematickou

indukciou 21

nepriamy 19

priamy 18

sporom 19

vymenovaním prípadov 20

dotyčnica

smernica dotyčnice 144

E

ekvivalencia 10

elementárna oblasť 224

Euklidova geometria 76

Eulerovo číslo 54

extrém funkcie 169, 261

absolútny 171, 267

lokálny 169

viazaný 270

F

Frobeniova veta 87

Fubiniho veta 279

funkcia 37

59

59

59

59

asymptoty bez smernice 172

asymptoty so smernicou 172

cyklometrická 57

57

57

charakteristická 97

diferencovateľná 155

dvoch premenných 241

elementárna 44

exponenciálna 53

goniometrická 56

graf 38

hladká 144

inverzná 43

klesajúca 40

kmeňová 257

konkávna 165

konvexná 165

konštantná 161

Lagrangeova 272

logaritmická 53

monotónna 119

nepárna 40

ohraničená 40

párna 40

periodická 40

primitívna 195

racionálna 49

rastúca 40

reálna 37

rýdzo racionálna 49

rýdzo monotónna 215

57

spojitá 141

spojitá sprava 141

spojitá zľava 141

stavová 259

57

účelová 270

337

vektorová 248

zložená 41

funkčná hodnota 37

funkčný predpis 37

G

Gaussova eliminačná metóda 76

globálny extrém 171, 267

gradient 248

graf

funkcie 38

postupnosti 112

H

Hamiltonov operátor 249

Hermiteov interpolačný

polynóm 180

hodnosť matice 83

homogénna sústava rovníc 86

homogénna rovnica 304

Hornerova schéma 48

hyperplocha 241

CH

charakteristická funkcia 97

I

identita 29

implikácia 10

infimum funkcie 40

inflexný bod 166

integrál funkcie

dvojný 276

neurčitý 195

nevlastný 219

určitý 211

integrálna krivka 298

interpolácia 178

interpolačný polynóm

Hermiteov 180

Lagrangeov 179

interval 26

interval konkávnosti 166

interval konvexnosti 166

J

jednotková kružnica 57

K

karteziánsky súčin 31

kinetické modely 312

chemická reakcia 313

rast buniek 315

distribúcia liečiva 318

komplement množiny 27

kompozícia 41

konjunkcia 10

kontradikcia 11

koreň polynómu

jednoduchý 44

k-násobný 44

koreňový činiteľ 44

kritérium

D’Alembertovo 123

Sylvestrovo 263

krivka 49

krivočiary lichobežník 223

kvantifikátory 15

kvocient 114

L

Lagrangeov interpolačný

polynóm 179

limita funkcie 131

nevlastná 138

Cauchyho definícia 133

Heineho definícia 132

sprava 134

vlastná 133

v nevlastnom bode 135

zľava 134

limita postupnosti 116

lineárna kombinácia 70

lineárny element 298

logaritmus

dekadický 53

prirodzený 53

logika 9, 15

lokálne maximum 169

lokálne minimum 169

M

Maclaurinov rad 157

matematická indukcia 21

matica 78

diagonálna 79

Hesseho 263

hodnosť 83

inverzná 82

jednotková 79

nulová 79

prvok 79

regulárna 92

rozšírená 86

singulárna 92

sústavy 86

štvorcová 79

transponovaná 82

trojuholníková 79

matice 78

ekvivalentné 84

násobenie 81

rovnosť 79

súčet 80

maticové rovnice 92

maximum funkcie 169, 261

absolútne, globálne 171, 267

lokálné 169

ostré 261

metóda

Gaussova eliminačná 76

najmenších štvorcov 274

Lagrangeových

multiplikátorov 272

per partes 203

substitučná 200

variácie konštánt 304

metódy

dôkazu 18

numerické 229, 311

minimum funkcie 169, 261

absolútne, globálne 171, 267

lokálné 169

ostré 261

minor 90

mnohočlen 44

množina 25

celých čísel 18

iracionálnych čísel 18

kompaktná 267

komplexných čísel 18

mohutnosť 30

338

prázdna 27

prirodzených čísel 18

racionálnych čísel 18

reálnych čísel 18

univerzálna 25

uzavretá 72, 267

mocninový rad 124

model

kompartmentový 318

N

negácia 10

nekonečno 54

nekonečný rad 121

neurčité výrazy 152

neurčitý integrál 195

metóda per partes 203

substitučná metóda 200

základné vzťahy 197

nevlastný integrál 218

divergentný 219

konvergentný 219

na neohraničenon

intervale 221

neohraničenej funkcie 221

normála grafu funkcie 144

rovnica normály 144

notácia

Lagrangeova 144

Leibnizova 144

nulové body 175

numerické metódy riešenia

rovníc

Eulerova metóda 331

O

objem rotačného telesa 227

oblasť 230

obor hodnôt funkcie 37

obraz prvku 37

obsah rovinného obrazca 219

okolie bodu 117

optimalizácia 270

P

parciálna derivácia 245

parciálne zlomky 51

integrovanie 209

rozklad 52

počiatočná podmienka 297

počiatočná úloha 297

podmnožina 27

polomer konvergencie 125, 158

polynóm 44

charakteristický 97

postupnosť 112

aritmetická 114

čiastočných súčtov 121

divergentná 116

Fibonacciho 113

geometrická 114

konvergentná 117

ohraničená zdola 118

ohraničená zhora 118

rastúca 118

pravdivostná hodnota 9

pravidlo

L’Hospitalovo 151

krížové 89

pravej ruky 73

Sarrusovo 89

pravidlá usudzovania 13

predikát 15

predikátová logika 15

premenná

nezávislá 37

závislá 37

približné metódy

výpočtu 229, 311

prienik množín 27

prírastok funkcie 252

R

racionálna funkcia 49

rýdzo racionálna 49

radián 57

relácia 15, 33

Riemannov integrálny súčet 211

Riemannov určitý integrál 212

riešenie

partikulárne 297

triviálne 302

všeobecné 297

rovina 67

rovnica

algebraická 45

koreň 45

riešenie 46

diferenciálna 297

exaktná 308

homogénna 304

lineárna 304

separovateľná 301

hyperboly 50

kvadratická 46

koreň 47

riešenie 47

kružnice 227

lineárna 46

logaritmická 54

paraboly 47

priamky 46

roviny 242

trigonometrická 61

rýchlosť

okamžitá 147

S

Sarrusovo pravidlo 89

sečnica 143

schéma

Hornerova 48

skalár 67

smernica

dotyčnice 143

normály 144

priamky 46

smerové pole 298

spojitosť funkcie 141

stacionárny bod 164

stupeň polynómu 45

subdeterminant 90

substitúcia 200

súčet matíc 80

súčin matíc 81

súčin

karteziánsky 31

skalárny 72

vektorový 73

suprémum funkcie 40

súradnice

339

bodu v rovine 31

vektora 67

sústava lineárnych

rovníc 74

maticový tvar 86

symbol

Levi-Civitov 89

T

tautológia 11

zákony a tautológie 12

Taylorov rad 156

triviálne riešenie 96

U

určitý integrál 211

aditivita 214

definícia 212, 213

výpočet per partes 215

substitučná metóda 215

usporiadaná n-tica 86

V

vektor 67

jednotkový 68

nulový 69

opačný 69

pravých strán 86

stĺpcový 86

vektory

lineárna kombinácia 69

lineárne závislé 70

rovnosť 67

skalárny súčin 72

súčet 68

vektorový súčin 73

vlastné 97

Vennove diagramy 28

veta

Bolzanova 141

Frobeniova 87

Fubiniho 279

Lagrangeova 160

Rolleova 160

Schwarzova 251

Newtonova-Leibnizova 213

o strednej hodnote 215

Weierstrassova 141

základná veta algebry 45

vlastná funkcia 97

vlastná hodnota 97

vrstevnice 241

vzorec Newton-Leibnitzov 213

výrok 9

výroková formula 11

sémantika 11

výroková logika 9

syntax 11

Z

zjednotenie množín 27

zobrazenie 37

zrýchlenie 151

táto vysokoškolská učebnica · zložitejších výrokov (formúl), pozostávajúci z...

Documents