MECANICA RACIONAL

CURO RAMOS FRANCISCO

GUTIERREZ CAMPOS CARLOS

MENDOZA PAZ NELSON DAVID

PAPA HERMOZA ESTEFANY LISSET

RUPA GREIFO DREYSI

MECANICA RACIONAL

Problema 5.3

Localice el centroide del área plana que se muestra en la figura

SOLUCION:

A,mm2 X, mm

Y, mm xA, mm3 yA, mm3

1 126 x 54 = 6804 9 27 61,236 183,7082 1

2 x 126 x 30 =

1890

30 64 56,700 120,960

3 12 x 72 x 48 = 1728 48 -

1682,944 -27,648

𝛴 10,422 200,880 277,020

­ X 𝛴A = 𝛴 xA

X (10,422 m2) = 200,880 mm2

X = 19,27 mm

­ Y 𝛴A = 𝛴 yA

X (10,422 m2) = 270,020 mm2

Y = 26,6 mm

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Problema 5.11

Localice el centroide del área plana que se muestra en la figura.

SOLUCION:

A, m2 Y, m yA, m3

143

x 4.5 x3 = 18 1.2 21.6

2 - Π2 (1.8)2 = - 5.0894 0.76394 -3.8880𝛴 12.9160 17.7120

Y = ΣyAΣA =

17.7120m3

12.9106m2

Y = 1.372 m

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PROBLEMA 5.15

Localice el centroide del área plana mostrada en la figura:

SOLUCION:

Calculo del centroide:

*Componentes:

A1: un cuarto de circulo de radio r=15 pulg

A2: un tercio de parábola.

Luego:

*Empleando el Ms Excel:

Componente Ai, pulg2 X i, pulg Y i, pulg X i Ai, pulg3 Y i Ai, pulg3

Cuarto circulo

176.714587 6.36619772 16.3661977 1125 2892.14587

Tercio parábola

50 4.5 7.5 255 375

∑ A 226.714587 ∑ X i A i 1350

∑Y i Ai 3267.14587

De la tabla tenemos:

XCG=∑ X i Ai

∑ A= 1350226.7146

=5.9546 pulg

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Y CG=∑ Y i A i

∑ A=3267.14587226.7146

=14.411 pulg

Finalmente el centro de gravedad del área total es: 5.9546 pulg, 14.411 pulg

Problema 5.54

Tres perfiles diferentes de bandas motrices se someten a un estudio. Si en todo momento, cada una de las bandas hace contacto con la mitad de la circunferencia de su polea, determine el área de contacto entre la banda y la polea para cada diseño.

SOLUCION:

DATOS: En las figuras adjuntas. Calcular el área de contacto de la faja en media circunferencia;

CASO a) En este caso el cálculo de área de contacto de la faja es

equivalente a calcular el área generada por el alambre mostrado cuando gira 180º

Se tiene:Y CG= y=60−2.5+ 2.5 x1.75Cosec70 °+2.5 x1.25Cosec 70°5Cosec70 °+12.5

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Luego: y=0.37322+60−2.5=57.87322mm

Que es la ubicación del centro de gravedad;Luego como: L=2.5cosec 70 °+2.5cosec 70 °+12.5 ;De donde: L=17.821mm;

Luego: A=2 π y L2

=π (57.87322)(17.821);

De donde:A=3.2401 x 103mm2(Areade contactode faja y polea)

CASOb) Análogamente tenemos:

En este caso:y=60−1.6−3.75=54.65mm;

Luego su longitud total: L=2 x7.5Sen70 ° ;

Luego el área es:A=2 π (54.65 ) x 152Sen70 °

=2.7406 x103mm2;

CASOc) En este caso; L=πr=5 π=15.708mm; también;

y=60−10π

=56.8169mm ;

El área es:A=2 π y L2

=π y L=π (56.8169)(15.708) ;

A=2.8038 x103mm2

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Problema 5.60

El reflector de una pequeña linterna eléctrica tiene la forma parabólica que se muestra en la figura. Determine el área de la superficie interior del reflector.

Solución:

Datos: En la figura adjunta se tiene la sección recta transversal de una linterna cuyo perfil es una curva parabólica. Calcular el área interna de la lámpara.La curva parabólica su ecuación es: x=k y2;Considerando los puntos conocidos:

x=0.15 y2; también: y= √ x√0.15 ;

Cálculo de longitud de arco:

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L=∫7.5

12.5

√d x2+d y2=∫7.5

12.5

√1+( dxdy )2

dy;

Como: dxdy

=0.3 y:

Tenemos: L=∫7.5

12.5

√1+(0.3 y )2dy; hacemos cambio de variable y=tan t0.3 ;

De lo cual tenemos:

L= 10.3

∫tan−12.25

tan−13.75

Sec3tdt= 10.3 [ Sent

2cos2t+ 12ln( tan( π4 + 1

2 ))] tan−13.75tan−12.25

Evaluando la integral con sus límites tenemos: L=15.8278mm;

Luego el momento es: Q x=∫ ydL= 1

√0.15∫√ x√1+( dydx )2

dx

Con valores tenemos: Q x=1

√0.15 ∫8.4375

23.4375

√ x+ 53dx; resolviendo tenemos:

Q x=( 1√0.15 )( 23 )[(x+53 )

3/2]23.43758.4375=161.226mm2;

Luego sabemos que: y=Q x

L=161.226mm2

15.8278mm=10.1862mm; ubicación del

centroide:

Finalmente por el teorema de Pappus-Guldin:A=2πyL=2π (10.1862 ) (15.8278 )mm2; de donde; A=1013.007408mm2

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